حل معادلات آنلاین با حل. حل معادلات نمایی در ریاضیات
معادلات
چگونه معادلات را حل کنیم؟
در این بخش، ابتدایی ترین معادلات را به یاد می آوریم (یا مطالعه می کنیم - همانطور که هر کسی دوست دارد). پس معادله چیست؟ صحبت کردن به زبان انسانی، این مقداری است بیان ریاضی، جایی که علامت مساوی و مجهول وجود دارد. که معمولا با حرف مشخص می شود "ایکس". معادله را حل کنیدیافتن چنین مقادیر x است که هنگام جایگزینی به اولیهبیان، به ما هویت درست می دهد. یادآوری می کنم که هویت بیانی است که حتی برای فردی که مطلقاً زیر بار دانش ریاضی نیست، تردید ایجاد نمی کند. مانند 2=2، 0=0، ab=ab و غیره. پس چگونه معادلات را حل می کنید؟بیایید آن را بفهمیم.
انواع و اقسام معادلات وجود دارد (من تعجب کردم، نه؟). اما تمام تنوع بی نهایت آنها را می توان تنها به چهار نوع تقسیم کرد.
4. دیگر.)
بقیه، البته، بیشتر از همه، بله ...) این شامل مکعب، و نمایی، و لگاریتمی، و مثلثاتی، و انواع دیگر است. ما در بخش های مربوطه با آنها کار خواهیم کرد.
فوراً باید بگویم که گاهی معادلات سه اولانواع آنقدر پیچیده شده اند که آنها را نمی شناسید ... هیچی. ما یاد خواهیم گرفت که چگونه آنها را باز کنیم.
و چرا به این چهار نوع نیاز داریم؟ و پس از آن چه معادلات خطیبه یک طریق حل شد مربعدیگران عقلی کسری - سوم،آ باقی ماندهاصلا حل نشد! خب، اینطور نیست که آنها اصلا تصمیم نمی گیرند، من بیهوده به ریاضیات توهین کردم.) فقط آنها خودشان را دارند. ترفندهای خاصو روش ها
اما برای هر (تکرار می کنم - برای هر!) معادلات مبنایی مطمئن و بدون مشکل برای حل است. همه جا و همیشه کار می کند. این پایه - ترسناک به نظر می رسد، اما موضوع بسیار ساده است. و خیلی (خیلی!)مهم.
در واقع حل معادله از همین تبدیل ها تشکیل شده است. در 99 درصد به سوال پاسخ بدهید: " چگونه معادلات را حل کنیم؟"دروغ، فقط در این تحولات. آیا اشاره واضح است؟)
تبدیل هویت معادلات.
AT هر معادله ایبرای یافتن مجهول، باید مثال اصلی را تبدیل و ساده کرد. علاوه بر این، به طوری که در هنگام تغییر ظاهر ماهیت معادله تغییر نکرده است.چنین تحولاتی نامیده می شود همسانیا معادل آن
توجه داشته باشید که این تبدیل ها هستند فقط برای معادلاتدر ریاضیات، هنوز تحولات یکسانی وجود دارد اصطلاحات.این یک موضوع دیگر است.
اکنون همه پایه را تکرار می کنیم تبدیل معادلات یکسان
اساسی زیرا می توان آنها را اعمال کرد هرمعادلات - خطی، درجه دوم، کسری، مثلثاتی، نمایی، لگاریتمی و غیره. و غیره.
اولین تبدیل یکسان: هر دو طرف هر معادله ای را می توان جمع کرد (کم کرد) هر(اما همان!) یک عدد یا یک عبارت (از جمله یک عبارت با مجهول!). ماهیت معادله تغییر نمی کند.
ضمناً شما دائماً از این تبدیل استفاده می کردید، فقط فکر می کردید که برخی از اصطلاحات را با تغییر علامت از یک قسمت معادله به قسمت دیگر منتقل می کنید. نوع:
موضوع آشناست، دوس را به سمت راست می بریم و می گیریم:
در واقع تو برده شدهاز دو طرف معادله دس. نتیجه یکسان است:
x+2 - 2 = 3 - 2
انتقال اصطلاحات به چپ-راست با تغییر علامت صرفاً یک نسخه کوتاه شده از اول است دگرگونی هویت. و چرا ما به چنین دانش عمیقی نیاز داریم؟ - تو پرسیدی. چیزی در معادلات نیست. به خاطر خدا حرکتش کن فقط فراموش نکنید که علامت را تغییر دهید. اما در نابرابری ها، عادت به انتقال می تواند به بن بست منجر شود...
دگرگونی هویت دوم: هر دو طرف معادله را می توان در یک ضرب (تقسیم) کرد غیر صفرعدد یا عبارت یک محدودیت قابل درک از قبل در اینجا ظاهر می شود: ضرب در صفر احمقانه است، اما به هیچ وجه نمی توان آن را تقسیم کرد. این دگرگونی است که وقتی تصمیم می گیرید چیزی جالب مانند آن را بکار می برید
قابل درک است، ایکس= 2. اما چگونه آن را پیدا کردید؟ انتخاب؟ یا فقط روشن شد؟ برای اینکه دست به دست نشوید و منتظر بصیرت نباشید، باید درک کنید که عادل هستید دو طرف معادله را تقسیم کنیدبر 5. هنگام تقسیم سمت چپ (5x)، پنج کاهش یافته و یک X خالص باقی می‌ماند. چیزی که ما به آن نیاز داشتیم. و هنگام تقسیم سمت راست (10) بر پنج، البته یک دس معلوم شد.
همین.
خنده دار است، اما این دو (فقط دو!) تبدیل یکسان زیربنای راه حل هستند تمام معادلات ریاضیچگونه! منطقی است که به نمونه هایی از چیستی و چگونه نگاه کنیم، درست است؟)
نمونه هایی از تبدیل های یکسان معادلات. مشکلات اصلی
بیا شروع کنیم با اولینتبدیل یکسان چپ به راست حرکت کنید.
نمونه ای برای کوچولوها.)
فرض کنید باید معادله زیر را حل کنیم:
3-2x=5-3x
بیایید طلسم را به خاطر بسپاریم: "با X - به سمت چپ، بدون X - به سمت راست!"این طلسم دستورالعملی برای اعمال اولین تبدیل هویت است.) عبارت x در سمت راست چیست؟ 3 برابر? پاسخ اشتباه است! سمت راست ما - 3 برابر! منهایسه ایکس! بنابراین، هنگام جابجایی به سمت چپ، علامت به مثبت تغییر می کند. گرفتن:
3-2x+3x=5
بنابراین، X ها کنار هم قرار گرفتند. بیایید اعداد را انجام دهیم. سه در سمت چپ. چه علامتی؟ جواب «با هیچ» قبول نمی شود!) جلوی ثلاث واقعاً چیزی کشیده نمی شود. و این بدان معنی است که در مقابل سه گانه است به علاوه.بنابراین ریاضیدانان موافقت کردند. هیچی نوشته نشده پس به علاوه.بنابراین، سه گانه به سمت راست منتقل می شود با منهایما گرفتیم:
-2x+3x=5-3
جاهای خالی باقی مانده است. در سمت چپ - موارد مشابه را بدهید، در سمت راست - شمارش کنید. پاسخ بلافاصله این است:
در این مثال، یک تبدیل یکسان کافی بود. دومی مورد نیاز نبود. بسیار خوب.)
نمونه ای برای بزرگان.)
اگر این سایت را دوست دارید ...
به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)
می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و سطح خود را پیدا کنید. تست با تایید فوری یادگیری - با علاقه!)
می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.
در درس ریاضی پایه هفتم ابتدا با معادلات با دو متغیر، اما آنها فقط در چارچوب سیستم های معادلات با دو مجهول مورد مطالعه قرار می گیرند. به همین دلیل است که تعدادی از مسائل از دید خارج می شوند که در آنها شرایط خاصی بر روی ضرایب معادله که آنها را محدود می کند معرفی می شوند. علاوه بر این، روش‌هایی برای حل مسائلی مانند «حل معادله در اعداد طبیعی یا صحیح» نیز نادیده گرفته می‌شوند، اگرچه مشکلاتی از این دست بیشتر و بیشتر در مواد USE و در امتحانات ورودی با آن مواجه می‌شوند.
کدام معادله را معادله ای با دو متغیر می نامیم؟
بنابراین، برای مثال، معادلات 5x + 2y = 10، x 2 + y 2 = 20، یا xy = 12 معادلات دو متغیره هستند.
معادله 2x - y = 1 را در نظر بگیرید. در x = 2 و y = 3 به یک برابری واقعی تبدیل می‌شود، بنابراین این جفت مقادیر متغیر راه‌حلی برای معادله مورد بررسی است.
بنابراین، حل هر معادله ای با دو متغیر، مجموعه ای از جفت های مرتب شده (x; y)، مقادیر متغیرهایی است که این معادله به یک برابری عددی واقعی تبدیل می کند.
معادله ای با دو مجهول می تواند:
آ) یک راه حل داشته باشیدبه عنوان مثال، معادله x 2 + 5y 2 = 0 یک راه حل منحصر به فرد دارد (0; 0).
ب) راه حل های متعددی دارندبه عنوان مثال، (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 دارای 4 راه حل است: (5; 2)، (-5; 2)، (5; -2)، (-5; - 2)؛
که در) هیچ راه حلی ندارندبرای مثال، معادله x 2 + y 2 + 1 = 0 هیچ راه حلی ندارد.
ز) راه حل های بی نهایت زیادی دارندبه عنوان مثال x + y = 3. جواب های این معادله اعدادی خواهند بود که مجموع آنها 3 است. مجموعه راه حل ها معادله داده شدهرا می توان به صورت (k؛ 3 – k) نوشت که k هر عدد واقعی است.
روش‌های اصلی برای حل معادلات با دو متغیر، روش‌های مبتنی بر تجزیه عبارات به عوامل، انتخاب مربع کامل، استفاده از ویژگی‌های یک معادله درجه دوم، مرزبندی عبارات و روش‌های ارزیابی است. معادله، به عنوان یک قاعده، به شکلی تبدیل می شود که از آن می توان سیستمی برای یافتن مجهولات به دست آورد.
فاکتورسازی
مثال 1
معادله xy - 2 = 2x - y را حل کنید.
تصمیم.
ما شرایط را به منظور فاکتورگیری گروه بندی می کنیم:
(xy + y) - (2x + 2) = 0. فاکتور مشترک را از هر براکت خارج کنید:
y (x + 1) - 2 (x + 1) = 0;
(x + 1)(y - 2) = 0. داریم:
y = 2، x هر عدد واقعی است یا x = -1، y هر عدد واقعی است.
بدین ترتیب، پاسخ همه جفت های فرم (x; 2)، x € R و (-1; y)، y € R است.
تساوی به صفر اعداد غیر منفی
مثال 2
معادله را حل کنید: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12 (x + y).
تصمیم.
گروه بندی:
(9x 2 - 12x + 4) + (4y 2 - 12y + 9) = 0. اکنون هر پرانتز را می توان با استفاده از فرمول اختلاف مربع جمع کرد.
(3x - 2) 2 + (2y - 3) 2 = 0.
مجموع دو عبارت غیر منفی فقط در صورتی صفر است که 3x - 2 = 0 و 2y - 3 = 0 باشد.
بنابراین x = 2/3 و y = 3/2.
جواب: (2/3؛ 3/2).
روش ارزشیابی
مثال 3
معادله را حل کنید: (x 2 + 2x + 2) (y 2 - 4y + 6) = 2.
تصمیم.
در هر پرانتز مربع کامل را انتخاب کنید:
((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. تخمین 
معنی عبارات داخل پرانتز
(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 و (y - 2) 2 + 2 ≥ 2، سپس سمت چپ معادله همیشه حداقل 2 است. تساوی ممکن است اگر:
(x + 1) 2 + 1 = 1 و (y - 2) 2 + 2 = 2، بنابراین x = -1، y = 2.
پاسخ: (-1؛ 2).
بیایید با روش دیگری برای حل معادلات با دو متغیر درجه دو آشنا شویم. این روش به این صورت است که معادله به صورت در نظر گرفته می شود مربع با توجه به برخی از متغیرها.
مثال 4
معادله را حل کنید: x 2 - 6x + y - 4√y + 13 = 0.
تصمیم.
بیایید معادله را با توجه به x به صورت یک درجه دوم حل کنیم. بیایید متمایز کننده را پیدا کنیم:
D = 36 - 4(y - 4√y + 13) = -4y + 16√y - 16 = -4(√y - 2) 2 . معادله فقط در صورت D = 0 راه حل خواهد داشت، یعنی اگر y = 4 باشد. مقدار y را جایگزین معادله اصلی می کنیم و می یابیم که x = 3.
جواب: (3؛ 4).
اغلب در معادلات با دو مجهول نشان می دهد محدودیت در متغیرها.
مثال 5
معادله را به اعداد صحیح حل کنید: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.
تصمیم.
بیایید معادله را به شکل x 2 = -5y 2 + 20x + 2 بازنویسی کنیم. سمت راست معادله حاصل، وقتی بر 5 تقسیم می شود، باقیمانده 2 به دست می آید. بنابراین، x 2 بر 5 بخش پذیر نیست. اما مربع از عددی که بر 5 بخش پذیر نیست، باقیمانده 1 یا 4 به دست می آید. بنابراین تساوی غیرممکن است و هیچ راه حلی وجود ندارد.
پاسخ: بدون ریشه.
مثال 6
معادله را حل کنید: (x 2 - 4|x| + 5) (y 2 + 6y + 12) = 3.
تصمیم.
بیایید مربع های کامل در هر پرانتز را انتخاب کنیم:
((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. سمت چپ معادله همیشه بزرگتر یا مساوی 3 است. تساوی ممکن است اگر |x| – 2 = 0 و y + 3 = 0. بنابراین، x = ± 2، y = -3.
پاسخ: (2؛ -3) و (-2؛ -3).
مثال 7
برای هر جفت اعداد صحیح منفی (x; y) که معادله را برآورده می کند
x 2 - 2xy + 2y 2 + 4y = 33، مجموع (x + y) را محاسبه کنید. به کوچکترین مقدار پاسخ دهید.
تصمیم.
مربع های کامل را انتخاب کنید:
(x 2 - 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;
(x - y) 2 + (y + 2) 2 = 37. از آنجایی که x و y اعداد صحیح هستند، مربع آنها نیز اعداد صحیح هستند. مجموع مربع های دو عدد صحیح برابر با 37، اگر 1 + 36 را جمع کنیم، به دست می آید.
(x - y) 2 = 36 و (y + 2) 2 = 1 
(x - y) 2 = 1 و (y + 2) 2 = 36.
با حل این سیستم ها و با در نظر گرفتن منفی بودن x و y، راه حل های (-7; -1)، (-9; -3)، (-7; -8)، (-9; -8) را پیدا می کنیم.
پاسخ: -17.
اگر در حل معادلات با دو مجهول مشکل دارید، ناامید نشوید. با کمی تمرین می توانید بر هر معادله ای مسلط شوید.
آیا هیچ سوالی دارید؟ نمی دانید چگونه معادلات را با دو متغیر حل کنید؟
برای کمک گرفتن از یک معلم خصوصی - ثبت نام کنید.
درس اول رایگان است
سایت، با کپی کامل یا جزئی از مطالب، لینک به منبع الزامی است.
I. ax 2 \u003d 0 – ناقص معادله درجه دوم (b=0، c=0 ). راه حل: x=0. پاسخ: 0.
حل معادلات
2x·(x+3)=6x-x 2 .
تصمیم.براکت ها را با ضرب باز کنید 2 برابربرای هر ترم داخل پرانتز:
2x2 +6x=6x-x2 ; انتقال عبارت ها از سمت راست به سمت چپ:
2x2 +6x-6x+x2=0; در اینجا اصطلاحات مشابه وجود دارد:
3x 2 =0، بنابراین x=0.
پاسخ: 0.
II. ax2+bx=0 –ناقص معادله درجه دوم (s=0 ). راه حل: x (ax+b)=0 → x 1 =0 یا ax+b=0 → x 2 =-b/a. پاسخ: 0; -b/a.
5x2 -26x=0.
تصمیم.عامل مشترک را حذف کنید ایکسبرای براکت:
x(5x-26)=0; هر عامل می تواند صفر باشد:
x=0یا 5x-26=0← 5x=26، دو طرف تساوی را بر تقسیم کنید 5 و دریافت می کنیم: x \u003d 5.2.
پاسخ: 0; 5,2.
مثال 3 64x+4x2=0.
تصمیم.عامل مشترک را حذف کنید 4 برابربرای براکت:
4x(16+x)=0. ما سه عامل داریم، 4≠0، بنابراین، یا x=0یا 16+x=0. از آخرین برابری x=-16 بدست می آوریم.
پاسخ: -16; 0.
مثال 4(x-3) 2 +5x=9.
تصمیم.با اعمال فرمول مربع اختلاف دو عبارت، پرانتزها را باز کنید:
x 2 -6x+9+5x=9; تبدیل به شکل: x 2 -6x+9+5x-9=0; در اینجا اصطلاحات مشابه وجود دارد:
x2-x=0; تحمل کن ایکسخارج از پرانتز، دریافت می کنیم: x (x-1)=0. از اینجا یا x=0یا x-1=0→ x=1.
پاسخ: 0; 1.
III. ax2+c=0 –ناقص معادله درجه دوم (b=0 ) راه حل: تبر 2 \u003d -c → x 2 \u003d -c / a.
اگر یک (-c/a)<0 ، پس هیچ ریشه واقعی وجود ندارد. اگر یک (-s/a)>0
مثال 5 x 2 -49=0.
تصمیم.
x 2 \u003d 49، از اینجا x=±7. پاسخ:-7; 7.
مثال 6 9x2-4=0.
تصمیم.
اغلب لازم است مجموع مربع ها (x 1 2 + x 2 2) یا مجموع مکعب ها (x 1 3 + x 2 3) ریشه های یک معادله درجه دوم را پیدا کنید، در موارد کمتر - مجموع متقابل های مجذور ریشه ها یا مجموع محاسبات ریشه های مربعاز ریشه های معادله درجه دوم:
قضیه ویتا می تواند در این مورد کمک کند:
x 2 +px+q=0
x 1 + x 2 \u003d-p; x 1 ∙ x 2 \u003d q.
بیان از طریق پو q:
1) مجموع مجذورات ریشه های معادله x2+px+q=0;
2) مجموع مکعب های ریشه های معادله x2+px+q=0.
تصمیم.
1) اصطلاح x 1 2 + x 2 2از مجذور دو طرف معادله بدست می آید x 1 + x 2 \u003d-p;
(x 1 +x 2) 2 \u003d (-p) 2; پرانتزها را باز کنید: x 1 2 +2x 1 x 2 + x 2 2 =p 2; مقدار مورد نظر را بیان می کنیم: x 1 2 + x 2 2 \u003d p 2 -2x 1 x 2 \u003d p 2 -2q. ما یک معادله مفید داریم: x 1 2 + x 2 2 \u003d p 2 -2q.
2) اصطلاح x 1 3 + x 2 3با فرمول مجموع مکعب ها به شکل زیر نمایش دهید:
(x 1 3 + x 2 3) = (x 1 + x 2) (x 1 2 -x 1 x 2 + x 2 2) = - p (p 2 -2q-q) = - p (p 2 -3q ).
یک معادله مفید دیگر: x 1 3 + x 2 3 \u003d-p (p 2 -3q).
مثال ها.
3) x 2 -3x-4=0.بدون حل معادله، مقدار عبارت را محاسبه کنید x 1 2 + x 2 2.
تصمیم.
x 1 + x 2 \u003d-p \u003d 3،و کار x 1 ∙x 2 \u003d q \u003dدر مثال 1) برابری:
x 1 2 + x 2 2 \u003d p 2 -2q.ما داریم -پ=x 1 + x 2 = 3 → p 2 = 3 2 = 9; q= x 1 x 2 = -4. سپس x 1 2 + x 2 2 =9-2 (-4)=9+8=17.
پاسخ: x 1 2 + x 2 2 = 17.
4) x 2 -2x-4=0.محاسبه کنید: x 1 3 + x 2 3 .
تصمیم.
با قضیه ویتا، مجموع ریشه های این معادله درجه دوم کاهش یافته است x 1 + x 2 \u003d-p \u003d 2,و کار x 1 ∙x 2 \u003d q \u003d-4. اجازه دهید آنچه را که به دست آورده ایم اعمال کنیم ( در مثال 2) برابری: x 1 3 + x 2 3 \u003d-p (p 2 -3q) \u003d 2 (2 2 -3 (-4))=2 (4+12)=2 16=32.
پاسخ: x 1 3 + x 2 3 = 32.
سوال: اگر معادله درجه دوم غیر کاهشی به ما داده شود چه؟ پاسخ: همیشه می توان آن را با تقسیم عبارت به جمله بر ضریب اول "کاهش" داد.
5) 2x2 -5x-7=0.بدون حل، محاسبه کنید: x 1 2 + x 2 2.
تصمیم.یک معادله درجه دوم کامل به ما داده می شود. دو طرف معادله را بر 2 (ضریب اول) تقسیم کنید و معادله درجه دوم زیر را بدست آورید: x 2 -2.5x-3.5 \u003d 0.
بر اساس قضیه ویتا، مجموع ریشه ها برابر است با 2,5 ; محصول ریشه است -3,5 .
به همین شکل به عنوان مثال حل می کنیم 3) با استفاده از برابری: x 1 2 + x 2 2 \u003d p 2 -2q.
x 1 2 + x 2 2 =p 2 -2q= 2,5 2 -2∙(-3,5)=6,25+7=13,25.
پاسخ: x 1 2 + x 2 2 = 13,25.
6) x2 -5x-2=0.برای پیدا کردن:
اجازه دهید این برابری را تغییر دهیم و با جایگزین کردن مجموع ریشه ها بر اساس قضیه ویتا، -پ، و محصول ریشه از طریق q، فرمول مفید دیگری بدست می آوریم. هنگام استخراج فرمول، از برابری 1 استفاده کردیم: x 1 2 + x 2 2 \u003d p 2 -2q.
در مثال ما x 1 + x 2 \u003d -p \u003d 5; x 1 ∙x 2 \u003d q \u003d-2. این مقادیر را در فرمول به دست آمده جایگزین کنید:
7) x 2 -13x+36=0.برای پیدا کردن:
بیایید این مجموع را تبدیل کنیم و فرمولی به دست آوریم که با آن بتوان مجموع ریشه های مربع حسابی را از ریشه های یک معادله درجه دوم پیدا کرد.
ما داریم x 1 + x 2 \u003d -p \u003d 13; x 1 ∙x 2 \u003d q \u003d 36. این مقادیر را با فرمول مشتق شده جایگزین کنید:
مشاوره : همیشه امکان یافتن ریشه های معادله درجه دوم را بررسی کنید راه مناسب، گذشته از همه اینها 4 بررسی شده فرمول های مفیدبه شما این امکان را می دهد که اول از همه در مواردی که متمایز کننده یک عدد "ناراحتی" است، کار را به سرعت انجام دهید. در همه موارد سادهریشه ها را پیدا کنید و آنها را عمل کنید. به عنوان مثال، در آخرین مثال، ریشه ها را با استفاده از قضیه Vieta انتخاب می کنیم: مجموع ریشه ها باید برابر باشد. 13 ، و محصول ریشه 36 . این اعداد چیست؟ قطعا، 4 و 9.حالا مجموع جذر این اعداد را محاسبه کنید: 2+3=5. خودشه!
I. قضیه ویتابرای معادله درجه دوم کاهش یافته.
مجموع ریشه های معادله درجه دوم کاهش یافته x 2 +px+q=0برابر است با ضریب دوم برگرفته از علامت مخالفو حاصل ضرب ریشه ها برابر با عبارت آزاد است:
x 1 + x 2 \u003d-p; x 1 ∙ x 2 \u003d q.
ریشه های معادله درجه دوم داده شده را با استفاده از قضیه ویتا بیابید.
مثال 1) x 2 -x-30=0.این معادله درجه دوم کاهش یافته است ( x 2 +px+q=0)، ضریب دوم p=-1، و مدت آزاد q=-30.ابتدا مطمئن شوید که معادله داده شده دارای ریشه است و ریشه ها (در صورت وجود) به صورت اعداد صحیح بیان می شوند. برای این، کافی است که ممیز مربع کامل یک عدد صحیح باشد.
پیدا کردن ممیز دی=b 2 - 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121= 11 2 .
حال، طبق قضیه ویتا، مجموع ریشه ها باید برابر با ضریب دوم باشد که با علامت مخالف گرفته می شود، یعنی. ( -پ، و حاصلضرب برابر با عبارت آزاد است، یعنی. ( q). سپس:
x 1 + x 2 = 1; x 1 ∙ x 2 \u003d -30.باید چنین دو عدد را طوری انتخاب کنیم که حاصل ضرب آنها برابر باشد -30 ، و مجموع آن است واحد. این اعداد هستند -5 و 6 . پاسخ: -5; 6.
مثال 2) x 2 +6x+8=0.معادله درجه دوم کاهش یافته را با ضریب دوم داریم p=6و عضو رایگان q=8. مطمئن شوید که ریشه های عدد صحیح وجود دارد. بیایید متمایز کننده را پیدا کنیم D1 D1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . متمایز D 1 مربع کامل عدد است 1 ، بنابراین ریشه های این معادله اعداد صحیح هستند. ما ریشه ها را با توجه به قضیه Vieta انتخاب می کنیم: مجموع ریشه ها برابر است با –p=-6، و محصول ریشه است q=8. این اعداد هستند -4 و -2 .
در واقع: -4-2=-6=-p; -4∙(-2)=8=q. پاسخ: -4; -2.
مثال 3) x 2 +2x-4=0. در این معادله درجه دوم کاهش یافته، ضریب دوم p=2، و مدت آزاد q=-4. بیایید متمایز کننده را پیدا کنیم D1، زیرا ضریب دوم یک عدد زوج است. D1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. ممیز یک مربع کامل از یک عدد نیست، بنابراین ما این کار را می کنیم نتیجه: ریشه های این معادله اعداد صحیح نیستند و با استفاده از قضیه ویتا نمی توان آنها را یافت.پس این معادله را طبق فرمول ها (در این مورد طبق فرمول ها) طبق معمول حل می کنیم. ما گرفتیم:
مثال 4).معادله درجه دوم را با استفاده از ریشه های آن بنویسید x 1 \u003d -7، x 2 \u003d 4.
تصمیم.معادله مورد نظر به شکل زیر نوشته می شود: x 2 +px+q=0، علاوه بر این، بر اساس قضیه Vieta –p=x1 +x2=-7+4=-3 →p=3; q=x 1 ∙x 2=-7∙4=-28 . سپس معادله به شکل زیر در می آید: x2 +3x-28=0.
مثال 5).یک معادله درجه دوم را با استفاده از ریشه های آن بنویسید اگر:
II. قضیه ویتابرای معادله درجه دوم کامل ax2+bx+c=0.
مجموع ریشه ها منهای است بتقسیم بر آ، محصول ریشه است باتقسیم بر آ:
x 1 + x 2 \u003d -b / a; x 1 ∙ x 2 \u003d c / a.
مثال 6).مجموع ریشه های یک معادله درجه دوم را بیابید 2x2 -7x-11=0.
تصمیم.
ما متقاعد شده ایم که این معادله ریشه خواهد داشت. برای این کار کافی است یک عبارت برای ممیز بنویسید و بدون محاسبه آن فقط دقت کنید که ممیز بزرگتر از صفر باشد. دی=7 2 -4∙2∙(-11)>0 . و حالا بیایید استفاده کنیم قضیه ویتابرای معادلات درجه دوم کامل
x 1 + x 2 =-b:a=- (-7):2=3,5.
مثال 7). حاصل ضرب ریشه های یک معادله درجه دوم را پیدا کنید 3x2 +8x-21=0.
تصمیم.
بیایید متمایز کننده را پیدا کنیم D1از ضریب دوم ( 8 ) یک عدد زوج است. D1=4 2 -3∙(-21)=16+63=79>0 . معادله درجه دوم دارد 2 ریشه، طبق قضیه Vieta، حاصل ضرب ریشه ها است x 1 ∙ x 2 \u003d c: a=-21:3=-7.
I. ax 2 +bx+c=0یک معادله درجه دوم کلی است
ممیز D=b 2 - 4ac.
اگر یک D> 0، پس ما دو ریشه واقعی داریم:
اگر یک D=0، سپس یک ریشه داریم (یا دو ریشه مساوی) x=-b/(2a).
اگر D<0, то действительных корней нет.
مثال 1) 2x2 +5x-3=0.
تصمیم. آ=2; ب=5; ج=-3.
D=b 2-4ac=5 2 -4∙2∙(-3)=25+24=49=7 2 >0; 2 ریشه واقعی
4x2 +21x+5=0.
تصمیم. آ=4; ب=21; ج=5.
D=b 2-4ac=21 2 - 4∙4∙5=441-80=361=19 2 >0; 2 ریشه واقعی
II. ax2+bx+c=0 – معادله درجه دوم ویژه برای یک ثانیه حتی
ضریب ب
مثال 3) 3x2 -10x+3=0.
تصمیم. آ=3; ب\u003d -10 (عدد زوج)؛ ج=3.
مثال 4) 5x2-14x-3=0.
تصمیم. آ=5; ب= -14 (عدد زوج)؛ ج=-3.
مثال 5) 71x2 +144x+4=0.
تصمیم. آ=71; ب= 144 (عدد زوج)؛ ج=4.
مثال 6) 9x 2 -30x+25=0.
تصمیم. آ=9; ب\u003d -30 (عدد زوج)؛ ج=25.
III. ax2+bx+c=0 – معادله درجه دوم نوع خصوصی، ارائه شده است: a-b+c=0.
ریشه اول همیشه منهای یک است و ریشه دوم منهای است باتقسیم بر آ:
x 1 \u003d -1، x 2 \u003d - c / a.
مثال 7) 2x2+9x+7=0.
تصمیم. آ=2; ب=9; ج=7. بیایید برابری را بررسی کنیم: a-b+c=0.ما گرفتیم: 2-9+7=0 .
سپس x 1 \u003d -1، x 2 \u003d -c / a \u003d -7 / 2 \u003d -3.5.پاسخ: -1; -3,5.
IV. ax2+bx+c=0 – معادله درجه دوم یک فرم خاص تحت شرایط : a+b+c=0.
ریشه اول همیشه برابر یک است و ریشه دوم برابر است باتقسیم بر آ:
x 1 \u003d 1، x 2 \u003d c / a.
مثال 8) 2x2 -9x+7=0.
تصمیم. آ=2; ب=-9; ج=7. بیایید برابری را بررسی کنیم: a+b+c=0.ما گرفتیم: 2-9+7=0 .
سپس x 1 \u003d 1، x 2 \u003d c / a \u003d 7/2 \u003d 3.5.پاسخ: 1; 3,5.
صفحه 1 از 1 1
در این ویدیو، مجموعه کاملی از معادلات خطی را که با استفاده از همان الگوریتم حل می شوند، تجزیه و تحلیل خواهیم کرد - به همین دلیل آنها را ساده ترین می نامند.
برای شروع، اجازه دهید تعریف کنیم: معادله خطی چیست و کدام یک از آنها را باید ساده ترین نامید؟
معادله خطی معادله ای است که در آن فقط یک متغیر و فقط در درجه اول وجود داشته باشد.
ساده ترین معادله به معنای ساخت است:
تمام معادلات خطی دیگر با استفاده از الگوریتم به ساده ترین معادلات کاهش می یابد:
- در صورت وجود، پرانتزها را باز کنید.
- عبارت‌های حاوی متغیر را به یک طرف علامت مساوی و عبارت‌های بدون متغیر را به طرف دیگر منتقل کنید.
- عبارت های مشابه را در سمت چپ و راست علامت مساوی بیاورید.
- معادله به دست آمده را بر ضریب متغیر $x$ تقسیم کنید.
البته این الگوریتم همیشه کمک نمی کند. واقعیت این است که گاهی بعد از این همه ماشینکاری، ضریب متغیر $x$ برابر با صفر می شود. در این مورد، دو گزینه ممکن است:
- معادله اصلاً راه حلی ندارد. برای مثال، وقتی چیزی شبیه $0\cdot x=8$ دریافت می‌کنید، یعنی. در سمت چپ صفر و در سمت راست یک عدد غیر صفر است. در ویدیوی زیر به چند دلیل برای امکان پذیر بودن این وضعیت نگاه خواهیم کرد.
- راه حل همه اعداد است. تنها موردی که این امکان وجود دارد زمانی است که معادله به ساختار $0\cdot x=0$ کاهش یافته است. کاملاً منطقی است که مهم نیست $x$ را جایگزین کنیم، باز هم معلوم می شود که "صفر برابر با صفر است". برابری عددی صحیح
و اکنون بیایید ببینیم که چگونه همه اینها بر روی مثال مشکلات واقعی کار می کند.
نمونه هایی از حل معادلات
امروز ما با معادلات خطی و فقط ساده ترین آنها سروکار داریم. به طور کلی معادله خطی به معنای هر برابری است که دقیقاً یک متغیر داشته باشد و فقط به درجه اول می رود.
چنین ساختارهایی تقریباً به همان روش حل می شوند:
- اول از همه، شما باید پرانتزها را در صورت وجود باز کنید (مانند نمونه آخر ما).
- سپس مشابه بیاورید
- در نهایت، متغیر را جدا کنید، i.e. هر چیزی که با متغیر مرتبط است - اصطلاحاتی که در آن وجود دارد - به یک طرف منتقل می شود و هر چیزی که بدون آن باقی می ماند به طرف دیگر منتقل می شود.
سپس، به عنوان یک قاعده، باید در هر طرف برابری حاصل مشابه بیاورید، و پس از آن فقط تقسیم بر ضریب "x" باقی می ماند و ما پاسخ نهایی را خواهیم گرفت.
از نظر تئوری، این کار زیبا و ساده به نظر می رسد، اما در عمل، حتی دانش آموزان دبیرستانی با تجربه نیز می توانند اشتباهات توهین آمیزی را نسبتاً ساده مرتکب شوند. معادلات خطی. معمولاً یا هنگام باز کردن پرانتزها یا هنگام شمارش «معلوم» و «منفی» اشتباه می‌شود.
علاوه بر این، این اتفاق می افتد که یک معادله خطی اصلاً راه حلی نداشته باشد، یا به طوری که راه حل کل خط اعداد باشد، یعنی. هر عددی این ظرافت ها را در درس امروز تحلیل خواهیم کرد. اما همانطور که قبلاً فهمیدید ما با ساده ترین کارها شروع خواهیم کرد.
طرحی برای حل معادلات خطی ساده
برای شروع، اجازه دهید یک بار دیگر کل طرح حل ساده ترین معادلات خطی را بنویسم:
- در صورت وجود، پرانتز را باز کنید.
- جدا کردن متغیرها، به عنوان مثال هر چیزی که حاوی "x" باشد به یک طرف و بدون "x" - به طرف دیگر منتقل می شود.
- ما اصطلاحات مشابهی را ارائه می دهیم.
- همه چیز را بر ضریب "x" تقسیم می کنیم.
البته این طرح همیشه جواب نمی دهد، ظرافت ها و ترفندهای خاصی دارد و اکنون با آنها آشنا می شویم.
حل مثال های واقعی از معادلات خطی ساده
وظیفه شماره 1
در مرحله اول باید براکت ها را باز کنیم. اما آنها در این مثال نیستند، بنابراین از این مرحله می گذریم. در مرحله دوم باید متغیرها را ایزوله کنیم. توجه داشته باشید: ما داریم صحبت می کنیمفقط در مورد شرایط فردی بیا بنویسیم:
ما عبارت‌های مشابهی را در سمت چپ و راست ارائه می‌دهیم، اما این قبلاً در اینجا انجام شده است. بنابراین به مرحله چهارم می رویم: تقسیم بر ضریب:
\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]
اینجا جواب گرفتیم
وظیفه شماره 2
در این کار، می‌توانیم براکت‌ها را مشاهده کنیم، بنابراین اجازه دهید آنها را گسترش دهیم:
هم در سمت چپ و هم در سمت راست، تقریباً یک ساختار را می بینیم، اما بیایید طبق الگوریتم عمل کنیم، i.e. متغیرهای sequester:
در اینجا مواردی مانند:
این در چه ریشه ای کار می کند؟ پاسخ: برای هر. بنابراین، می توانیم بنویسیم که $x$ هر عددی است.
وظیفه شماره 3
معادله خطی سوم در حال حاضر جالب تر است:
\[\چپ(6-x \راست)+\چپ(12+x \راست)-\چپ(3-2x \راست)=15\]
در اینجا چندین براکت وجود دارد، اما آنها در هیچ چیز ضرب نمی شوند، فقط علائم مختلفی در جلوی آنها وجود دارد. بیایید آنها را تجزیه کنیم:
ما مرحله دوم را که قبلاً برای ما شناخته شده است انجام می دهیم:
\[-x+x+2x=15-6-12+3\]
بیایید محاسبه کنیم:
ما آخرین مرحله را انجام می دهیم - همه چیز را بر ضریب "x" تقسیم می کنیم:
\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]
نکاتی که در حل معادلات خطی باید به خاطر بسپارید
اگر کارهای خیلی ساده را نادیده بگیریم، می‌خواهم موارد زیر را بگویم:
- همانطور که در بالا گفتم، هر معادله خطی راه حلی ندارد - گاهی اوقات به سادگی هیچ ریشه ای وجود ندارد.
- حتی اگر ریشه‌هایی وجود داشته باشد، صفر می‌تواند در میان آنها وارد شود - هیچ اشکالی در آن وجود ندارد.
صفر همان عدد بقیه است، شما نباید به نوعی آن را متمایز کنید یا فرض کنید که اگر به صفر رسیدید، پس کار اشتباهی انجام داده اید.
ویژگی دیگر مربوط به گسترش پرانتز است. لطفا توجه داشته باشید: وقتی یک "منفی" در مقابل آنها وجود دارد، آن را حذف می کنیم، اما در پرانتز علائم را به تغییر می دهیم. مقابل. و سپس می توانیم آن را طبق الگوریتم های استاندارد باز کنیم: آنچه را که در محاسبات بالا دیدیم به دست می آوریم.
درک این واقعیت ساده به شما کمک می کند تا از انجام اشتباهات احمقانه و آسیب زا در دبیرستان جلوگیری کنید، در حالی که انجام چنین اقداماتی بدیهی است.
حل معادلات خطی پیچیده
بیایید به معادلات پیچیده تر برویم. اکنون ساختارها پیچیده تر می شوند و هنگام انجام تبدیل های مختلف یک تابع درجه دوم ظاهر می شود. با این حال، شما نباید از این بترسید، زیرا اگر طبق قصد نویسنده، معادله خطی را حل کنیم، در فرآیند تبدیل، همه یکپارچه های حاوی تابع درجه دوم لزوما کاهش می یابد.
مثال شماره 1
بدیهی است که اولین قدم باز کردن براکت ها است. بیایید این کار را با دقت انجام دهیم:
حالا بیایید حریم خصوصی را در نظر بگیریم:
\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]
در اینجا مواردی مانند:
بدیهی است که این معادله هیچ راه حلی ندارد، بنابراین در پاسخ به صورت زیر می نویسیم:
\[\تنوع \]
یا بدون ریشه
مثال شماره 2
ما همین مراحل را انجام می دهیم. گام اول:
بیایید همه چیز را با یک متغیر به سمت چپ و بدون آن - به راست منتقل کنیم:
در اینجا مواردی مانند:
بدیهی است که این معادله خطی جوابی ندارد، بنابراین آن را به صورت زیر می نویسیم:
\[\varnothing\]،
یا بدون ریشه
تفاوت های ظریف راه حل
هر دو معادله کاملا حل شده است. در مثال این دو عبارت، ما یک بار دیگر مطمئن شدیم که حتی در ساده ترین معادلات خطی، همه چیز می تواند چندان ساده نباشد: می تواند یکی باشد، یا هیچ، یا بی نهایت زیاد. در مورد ما، ما دو معادله را در نظر گرفتیم، در هر دو به سادگی هیچ ریشه ای وجود ندارد.
اما من می خواهم توجه شما را به یک واقعیت دیگر جلب کنم: نحوه کار با براکت ها و نحوه باز کردن آنها در صورت وجود علامت منفی در جلوی آنها. این عبارت را در نظر بگیرید:
قبل از باز کردن، باید همه چیز را در "x" ضرب کنید. لطفا توجه داشته باشید: ضرب کنید هر ترم جداگانه. در داخل دو عبارت وجود دارد - به ترتیب، دو جمله و ضرب شده است.
و تنها پس از تکمیل این دگرگونی های به ظاهر ابتدایی، اما بسیار مهم و خطرناک، می توان براکت را از این نظر که بعد از آن علامت منفی وجود دارد، باز کرد. بله، بله: فقط اکنون، هنگامی که تبدیل ها انجام شد، به یاد می آوریم که یک علامت منفی در جلوی براکت ها وجود دارد، به این معنی که همه چیز زیر فقط علائم را تغییر می دهد. در عین حال ، خود براکت ها ناپدید می شوند و مهمتر از همه ، "منهای" جلو نیز ناپدید می شوند.
ما همین کار را با معادله دوم انجام می دهیم:
تصادفی نیست که به این حقایق کوچک و به ظاهر کم اهمیت توجه می کنم. زیرا حل معادلات همیشه یک دنباله است تحولات ابتدایی، جایی که ناتوانی در انجام واضح و شایسته اقدامات ساده منجر به این واقعیت می شود که دانش آموزان دبیرستانی به سراغ من می آیند و دوباره یاد می گیرند که چگونه چنین معادلات ساده ای را حل کنند.
البته، روزی فرا خواهد رسید که این مهارت ها را به سمت خودکارسازی ارتقا دهید. دیگر لازم نیست هر بار این همه تبدیل انجام دهید، همه چیز را در یک خط خواهید نوشت. اما در حالی که تازه در حال یادگیری هستید، باید هر عمل را جداگانه بنویسید.
حل معادلات خطی حتی پیچیده تر
چیزی که اکنون می خواهیم حل کنیم را به سختی می توان ساده ترین کار نامید، اما معنی همان است.
وظیفه شماره 1
\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]
بیایید تمام عناصر قسمت اول را ضرب کنیم:
بیایید عقب نشینی کنیم:
در اینجا مواردی مانند:
بیایید آخرین مرحله را انجام دهیم:
\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]
در اینجا پاسخ نهایی ما است. و علیرغم اینکه در فرآیند حل ما ضرایبی با تابع درجه دوم داشتیم، اما آنها متقابلاً از بین رفتند، که باعث می شود معادله دقیقاً خطی باشد، نه مربع.
وظیفه شماره 2
\[\ چپ (1-4x \راست)\ چپ (1-3x \راست)=6x\چپ (2x-1 \راست)\]
بیایید مرحله اول را با دقت انجام دهیم: هر عنصر در براکت اول را در هر عنصر در دوم ضرب کنید. در مجموع، چهار عبارت جدید باید پس از تبدیل به دست آید:
و اکنون ضرب را در هر جمله با دقت انجام دهید:
بیایید اصطلاحات را با "x" به سمت چپ و بدون - به راست منتقل کنیم:
\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]
در اینجا اصطلاحات مشابه وجود دارد:
ما پاسخ قطعی دریافت کرده ایم.
تفاوت های ظریف راه حل
مهمترین نکته در مورد این دو معادله این است: به محض اینکه شروع به ضرب براکت هایی کنیم که در آنها یک جمله بزرگتر از آن وجود دارد، این کار بر اساس انجام می شود. قانون بعدی: جمله اول را از اولی می گیریم و در هر عنصر از دومی ضرب می کنیم. سپس عنصر دوم را از اولی می گیریم و به طور مشابه در هر عنصر از دومی ضرب می کنیم. در نتیجه، چهار ترم دریافت می کنیم.
در مجموع جبری
با مثال آخر، می خواهم به دانش آموزان یادآوری کنم که جمع جبری چیست. در ریاضیات کلاسیک منظور ما از 1 تا 7 دلار است طراحی ساده: هفت را از یک کم کنید. در جبر، منظور ما از این است: به عدد "یک" یک عدد دیگر، یعنی "منهای هفت" اضافه می کنیم. این مجموع جبری با مجموع حسابی معمول متفاوت است.
به محض انجام تمام تبدیل ها، هر جمع و ضرب، شروع به دیدن ساختارهایی مشابه آنچه در بالا توضیح داده شد، می کنید، به سادگی هنگام کار با چند جمله ای ها و معادلات هیچ مشکلی در جبر نخواهید داشت.
در پایان، بیایید به چند مثال دیگر نگاه کنیم که حتی پیچیده‌تر از نمونه‌هایی هستند که اخیراً به آنها نگاه کردیم، و برای حل آنها، باید کمی الگوریتم استاندارد خود را گسترش دهیم.
حل معادلات با کسری
برای حل چنین وظایفی، باید یک مرحله دیگر به الگوریتم ما اضافه شود. اما ابتدا الگوریتم خود را یادآوری می کنم:
- پرانتزها را باز کنید.
- متغیرها را جدا کنید
- مشابه بیاورید
- تقسیم بر یک عامل.
افسوس، این الگوریتم فوق العاده، با همه کارایی که دارد، زمانی که کسری در مقابل خود داریم، کاملا مناسب نیست. و در آنچه در زیر خواهیم دید، در هر دو معادله یک کسری در سمت چپ و راست داریم.
در این مورد چگونه باید کار کرد؟ بله، خیلی ساده است! برای انجام این کار، باید یک مرحله دیگر به الگوریتم اضافه کنید، که هم قبل از اولین اقدام و هم بعد از آن، یعنی خلاص شدن از شر کسری، قابل انجام است. بنابراین، الگوریتم به صورت زیر خواهد بود:
- از شر کسری خلاص شوید.
- پرانتزها را باز کنید.
- متغیرها را جدا کنید
- مشابه بیاورید
- تقسیم بر یک عامل.
منظور از "خلاص شدن از کسری" چیست؟ و چرا هم بعد از اولین مرحله استاندارد و هم قبل از آن می توان این کار را انجام داد؟ در واقع، در مورد ما، همه کسرها از نظر مخرج عددی هستند، یعنی. همه جا مخرج فقط یک عدد است. بنابراین، اگر هر دو قسمت معادله را در این عدد ضرب کنیم، از شر کسر خلاص خواهیم شد.
مثال شماره 1
\[\frac(\left(2x+1 \راست)\left(2x-3 \راست))(4)=((x)^(2))-1\]
بیایید از کسرهای این معادله خلاص شویم:
\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \راست)\cdot 4\]
لطفا توجه داشته باشید: همه چیز یک بار در "چهار" ضرب می شود، یعنی. فقط به این دلیل که شما دو براکت دارید به این معنی نیست که باید هر یک از آنها را در "چهار" ضرب کنید. بیا بنویسیم:
\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]
حالا بیایید آن را باز کنیم:
ما جداسازی یک متغیر را انجام می دهیم:
ما کاهش شرایط مشابه را انجام می دهیم:
\[-4x=-1\ چپ| :\left(-4 \right) \right.\]
\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]
ما جواب نهایی را دریافت کردیم، به معادله دوم می رویم.
مثال شماره 2
\[\frac(\چپ(1-x \راست)\چپ(1+5x \راست))(5)+((x)^(2))=1\]
در اینجا ما همه اقدامات مشابه را انجام می دهیم:
\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \راست)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]
\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]
مشکل حل شد.
این در واقع تمام چیزی است که امروز می خواستم بگویم.
امتیاز کلیدی
یافته های کلیدی به شرح زیر است:
- الگوریتم حل معادلات خطی را بشناسید.
- قابلیت باز کردن براکت ها
- نگران نباشید اگر در جایی توابع درجه دوم دارید، به احتمال زیاد، در روند تحولات بعدی، آنها کاهش می یابد.
- ریشه ها در معادلات خطی، حتی ساده ترین آنها، سه نوع هستند: یک ریشه، کل خط اعداد یک ریشه است، اصلاً ریشه وجود ندارد.
امیدوارم این درس به شما در تسلط بر یک مبحث ساده اما بسیار مهم برای درک بیشتر تمامی ریاضیات کمک کند. اگر چیزی واضح نیست، به سایت بروید، نمونه های ارائه شده در آنجا را حل کنید. با ما همراه باشید، چیزهای جالب دیگری در انتظار شما هستند!
