حل سیستم معادلات خطی. سیستم های ناسازگار سیستم هایی با راه حل مشترک راه حل های خصوصی نحوه یافتن جواب کلی و جزئی یک سیستم معادلات خطی

اجازه دهید ابتدا موردی را در نظر بگیریم که تعداد معادلات برابر با تعداد متغیرها باشد، یعنی. m = n سپس ماتریس سیستم مربع است و تعیین کننده آن را تعیین کننده سیستم می نامند.

روش ماتریس معکوس

به طور کلی سیستم معادلات AX = B را با یک ماتریس مربع غیرمنحط A در نظر بگیرید. در این حالت، یک ماتریس معکوس A -1 وجود دارد. اجازه دهید هر دو طرف را در A -1 در سمت چپ ضرب کنیم. ما A -1 AX = A -1 V. از این رو EX = A -1 B و

آخرین برابری یک فرمول ماتریسی برای یافتن راه حل برای چنین سیستم های معادلات است. استفاده از این فرمول را روش ماتریس معکوس می نامند

برای مثال سیستم زیر را با این روش حل می کنیم:

;

در پایان حل سیستم، می توانید با جایگزینی مقادیر یافت شده در معادلات سیستم بررسی کنید. در انجام این کار، آنها باید به برابری های واقعی تبدیل شوند.

برای مثال در نظر گرفته شده، بیایید بررسی کنیم:

روشی برای حل سیستم های معادلات خطی با ماتریس مربع با فرمول های کرامر

اجازه دهید n = 2:

اگر هر دو طرف معادله اول در 22 و هر دو طرف دوم در (-a 12) ضرب شوند و سپس معادلات حاصل را جمع کنیم، متغیر x 2 را از سیستم حذف می کنیم. به طور مشابه، می توانید متغیر x 1 را حذف کنید (با ضرب دو طرف معادله اول در (-a 21)، و هر دو طرف رابطه دوم در 11). در نتیجه، سیستم را دریافت می کنیم:

عبارت داخل پرانتز تعیین کننده سیستم است

نشان می دهیم

سپس سیستم به شکل زیر در می آید:

از سیستم به دست آمده چنین استنباط می شود که اگر تعیین کننده سیستم 0 باشد، آنگاه سیستم سازگار و قطعی خواهد بود. تنها راه حل آن را می توان با فرمول های زیر محاسبه کرد:

اگر  = 0، و 1 0 و / یا 2 0 باشد، آنگاه معادلات سیستم به شکل 0 * x 1 =  2 و / یا 0 * x 1 =  2 خواهند بود. در این صورت، سیستم ناهماهنگ خواهد بود.

در حالتی که  =  1 =  2 = 0، سیستم سازگار و نامعین خواهد بود (مجموعه بی‌نهایتی از راه‌حل‌ها خواهد داشت)، زیرا به شکل زیر خواهد بود:

قضیه کرامر(از برهان صرف نظر می کنیم). اگر تعیین کننده ماتریس سیستم معادلات برابر با صفر نباشد، سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد که با فرمول های زیر تعیین می شود:

,

که در آن  j تعیین کننده ماتریس است که از ماتریس A با جایگزینی ستون j ام با ستونی از عبارات آزاد به دست می آید.

فرمول های فوق نامیده می شوند فرمول های کرامر.

به عنوان مثال، ما از این روش برای حل سیستمی استفاده می کنیم که قبلاً با روش ماتریس معکوس حل شده است:

معایب روش های در نظر گرفته شده:

1) سختی قابل توجه (محاسبه عوامل تعیین کننده و یافتن ماتریس معکوس)؛

2) محدوده محدود (برای سیستم هایی با ماتریس مربع).

موقعیت های واقعی اقتصادی بیشتر توسط سیستم هایی مدل سازی می شوند که تعداد معادلات و متغیرها در آنها کاملاً قابل توجه است و معادلات آن بیشتر از متغیرها است.بنابراین در عمل روش زیر رایج تر است.

روش گاوس (روش حذف متوالی متغیرها)

این روش برای حل یک سیستم معادلات خطی m با n متغیر به صورت کلی استفاده می شود. ماهیت آن در استفاده از ماتریس توسعه یافته سیستم تبدیل های معادل است، که با کمک آن سیستم معادلات به شکلی تبدیل می شود که راه حل های آن آسان شود (در صورت وجود).

این نمایی است که در آن قسمت بالای سمت چپ ماتریس سیستم یک ماتریس پلکانی خواهد بود. این با استفاده از همان تکنیک هایی به دست می آید که برای به دست آوردن یک ماتریس پله ای به منظور تعیین رتبه استفاده شد. در همان زمان، تبدیلات ابتدایی به ماتریس منبسط شده اعمال می شود که به دست آوردن یک سیستم معادل از معادلات را ممکن می کند. پس از آن، ماتریس گسترش یافته به شکل زیر در می آید:

به دست آوردن چنین ماتریسی گفته می شود دوره مستقیمروش گاوس

به یافتن مقادیر متغیرها از سیستم معادلات مربوطه گفته می شود معکوسروش گاوس بیایید آن را در نظر بگیریم.

توجه داشته باشید که آخرین معادلات (m - r) به شکل زیر است:

اگر حداقل یکی از اعداد
برابر با صفر نیست، پس برابری مربوطه نادرست خواهد بود و کل سیستم ناسازگار خواهد بود.

بنابراین، برای هر سیستم مشترک
... در این حالت، آخرین معادلات (m - r) برای هر مقدار از متغیرها، هویت های 0 = 0 خواهد بود و می توان آنها را هنگام حل سیستم نادیده گرفت (فقط خطوط مربوطه را کنار بگذارید).

پس از آن، سیستم به شکل زیر در می آید:

ابتدا موردی را در نظر بگیرید که r = n. سپس سیستم به شکل زیر در می آید:

از آخرین معادله سیستم، x r را می توان بدون ابهام یافت.

با دانستن x r، می توان x r -1 را بدون ابهام از آن بیان کرد. سپس از معادله قبلی با دانستن x r و x r -1 می توانیم x r -2 و غیره را بیان کنیم. داکس 1.

پس در این صورت نظام مشترک و قطعی خواهد بود.

حال موردی را در نظر بگیرید که r پایه ای(اصلی) و بقیه - غیر اساسی(غیر جریان اصلی، رایگان). آخرین معادله سیستم به صورت زیر خواهد بود:

از این معادله، متغیر پایه x r را می توان بر حسب متغیرهای غیر پایه بیان کرد:

معادله ماقبل آخر خواهد بود:

با جایگزینی عبارت بدست آمده به جای x r، می توان متغیر پایه x r -1 را بر حسب غیر پایه بیان کرد. و غیره. به متغیر x 1. برای به دست آوردن یک راه حل برای سیستم، می توانید متغیرهای غیر پایه را با مقادیر دلخواه معادل سازی کنید و سپس با استفاده از فرمول های به دست آمده، متغیرهای پایه را محاسبه کنید. بنابراین، در این حالت، سیستم سازگار و نامعین خواهد بود (مجموعه بی نهایتی از راه حل ها را داشته باشد).

به عنوان مثال، بیایید سیستم معادلات را حل کنیم:

مجموعه ای از متغیرهای اساسی فراخوانی می شود اساسسیستم های. مجموعه ستون های ضرایب برای آنها نیز فراخوانی می شود اساس(ستون های پایه)، یا پایه جزئیماتریس های سیستم جواب سیستمی که در آن همه متغیرهای غیر پایه برابر با صفر هستند فراخوانی می شود راه حل اساسی.

در مثال قبلی، راه‌حل اصلی (4/5؛ -17/5؛ 0؛ 0) خواهد بود (متغیرهای x 3 و x 4 (با 1 و c 2) صفر هستند و متغیرهای پایه x 1 و x 2 از طریق آنها محاسبه می شود) ... برای مثالی از راه حل غیراساسی باید x 3 و x 4 (با 1 و c 2) را با اعداد دلخواه که در آن واحد برابر با صفر نیستند، معادل سازی کرد و از طریق آنها متغیرهای باقیمانده را محاسبه کرد. به عنوان مثال، برای c 1 = 1 و c 2 = 0، ما یک راه حل غیر اساسی - (4/5؛ -12/5؛ 1؛ 0) دریافت می کنیم. با جایگزینی، به راحتی می توان تأیید کرد که هر دو راه حل صحیح هستند.

بدیهی است که در یک سیستم نامشخص راه حل های غیر اساسی بی نهایت می تواند وجود داشته باشد. چند راه حل اساسی می تواند وجود داشته باشد؟ هر ردیف از ماتریس تبدیل شده باید با یک متغیر اساسی مطابقت داشته باشد. n متغیر در مسئله و r در رشته های اصلی وجود دارد. بنابراین، تعداد تمام مجموعه های ممکن متغیرهای اساسی نمی تواند از تعداد ترکیبات از n تا r 2 بیشتر شود. ممکن است کمتر از ، زیرا همیشه نمی توان سیستم را به شکلی تبدیل کرد که این مجموعه خاص از متغیرها پایه باشد.

این چه نوع است؟ این شکلی است که ماتریس تشکیل شده از ستون های ضرایب این متغیرها پله ای می شود و در عین حال از ردیف r تشکیل می شود. آن ها رتبه ماتریس ضرایب برای این متغیرها باید برابر با r باشد. نمی تواند بزرگتر از r باشد، زیرا تعداد ستون ها برابر با r است. اگر معلوم شد که کمتر از r است، پس این نشان دهنده وابستگی خطی ستون ها برای متغیرها است. چنین ستون هایی نمی توانند مبنایی را تشکیل دهند.

بیایید در نظر بگیریم که چه راه حل های اساسی دیگری را می توان در مثال بالا یافت. برای انجام این کار، تمام ترکیبات ممکن از چهار متغیر، دو متغیر اساسی را در نظر بگیرید. چنین ترکیباتی وجود خواهد داشت
، و یکی از آنها (x 1 و x 2) قبلا در نظر گرفته شده است.

بیایید متغیرهای x 1 و x 3 را در نظر بگیریم. اجازه دهید رتبه ماتریس ضرایب را برای آنها پیدا کنیم:

از آنجایی که برابر با دو است، می توانند پایه باشند. اجازه دهید متغیرهای غیر پایه x 2 و x 4 را با صفر برابر کنیم: x 2 = x 4 = 0. سپس از فرمول x 1 = 4/5 - (1/5) * x 4 نتیجه می شود که x 1 = 4 /5، و از فرمول x 2 = -17/5 + x 3 - - (7/5) * x 4 = -17/5 + x 3 نتیجه می شود که x 3 = x 2 +17/5 = 17/ 5. بنابراین، ما راه حل اصلی را دریافت می کنیم (4/5؛ 0؛ 17/5؛ 0).

به طور مشابه، می توانید راه حل های اساسی برای متغیرهای پایه x 1 و x 4 - (9/7; 0; 0; -17/7) دریافت کنید. x 2 و x 4 - (0; -9; 0; 4); x 3 و x 4 - (0؛ 0؛ 9؛ 4).

متغیرهای x 2 و x 3 در این مثال را نمی توان به عنوان پایه در نظر گرفت، زیرا رتبه ماتریس مربوطه برابر با یک است، یعنی. کمتر از دو:

.

رویکرد دیگری برای تعیین اینکه آیا امکان ایجاد مبنایی برای برخی متغیرها وجود دارد یا خیر نیز امکان پذیر است. هنگام حل مثال، در نتیجه تبدیل ماتریس سیستم به شکل گام به گام، به شکل زیر درآمد:

با انتخاب جفت متغیرها، می توان مینورهای مربوط به این ماتریس را محاسبه کرد. به راحتی می توان تأیید کرد که برای همه جفت ها، به جز x 2 و x 3، آنها برابر با صفر نیستند، یعنی. ستون ها به صورت خطی مستقل هستند. و فقط برای ستون هایی با متغیرهای x 2 و x 3
که نشان دهنده رابطه خطی آنهاست.

بیایید مثال دیگری بزنیم. بیایید سیستم معادلات را حل کنیم

بنابراین، معادله مربوط به ردیف سوم آخرین ماتریس متناقض است - به برابری اشتباه 0 = -1 منجر شد، بنابراین، این سیستم ناسازگار است.

روش جردن-گاوس 3 نشان دهنده توسعه روش گاوس است. ماهیت آن این است که ماتریس توسعه یافته سیستم زمانی که ضرایب متغیرها ماتریس هویت را تا جایگشتی از ردیف ها یا ستون های 4 تشکیل می دهند (که r رتبه ماتریس سیستم است) به شکل تبدیل می شود.

بیایید سیستم را با این روش حل کنیم:

ماتریس سیستم توسعه یافته را در نظر بگیرید:

در این ماتریس یک عنصر واحد را انتخاب می کنیم. به عنوان مثال، ضریب x 2 در محدودیت سوم 5 است. اطمینان حاصل می کنیم که ردیف های باقی مانده در این ستون حاوی صفر هستند، یعنی. بیایید ستون را تک کنیم. در فرآیند دگرگونی ها این را می نامیم ستونسهل گیر(پیشرو، کلید). محدودیت سوم (سوم رشته) نیز نامیده خواهد شد سهل گیر... خودم عنصر، که در محل تقاطع سطر و ستون تعیین کننده (در اینجا یک واحد است) نیز نامیده می شود. سهل گیر.

خط اول اکنون حاوی ضریب (-1) است. برای به دست آوردن صفر در جای خود، ردیف سوم را در (-1) ضرب کنید و نتیجه را از ردیف اول کم کنید (یعنی فقط ردیف اول را به ردیف سوم اضافه کنید).

خط دوم شامل ضریب 2 است. برای به دست آوردن صفر در جای خود، خط سوم را در 2 ضرب کنید و نتیجه را از خط اول کم کنید.

نتیجه تحولات به شرح زیر خواهد بود:

از این ماتریس به وضوح مشاهده می شود که یکی از دو محدودیت اول را می توان حذف کرد (ردیف های مربوطه متناسب هستند، یعنی این معادلات از یکدیگر پیروی می کنند). برای مثال دومی را خط بزنیم:

بنابراین، سیستم جدید دارای دو معادله است. یک ستون واحد (دوم) دریافت می شود که یکی در ردیف دوم قرار دارد. به یاد داشته باشید که متغیر پایه x 2 با معادله دوم سیستم جدید مطابقت دارد.

بیایید متغیر پایه را برای خط اول انتخاب کنیم. این می تواند هر متغیری غیر از x 3 باشد (زیرا برای x 3 اولین محدودیت حاوی ضریب صفر است، یعنی مجموعه متغیرهای x 2 و x 3 در اینجا نمی توانند پایه باشند). می توانید متغیر اول یا چهارم را انتخاب کنید.

بیایید x 1 را انتخاب کنیم. سپس عنصر حل کننده 5 خواهد بود و هر دو طرف معادله حل باید بر 5 تقسیم شود تا در ستون اول سطر اول یکی شود.

بیایید مطمئن شویم که بقیه سطرها (یعنی ردیف دوم) در ستون اول صفر هستند. از آنجایی که اکنون خط دوم حاوی صفر نیست، بلکه 3 است، لازم است عناصر خط اول تبدیل شده را از خط دوم کم کنیم، ضرب در 3:

از ماتریس به دست آمده، می توان مستقیماً یک راه حل اساسی را با معادل سازی متغیرهای غیر پایه با صفر و آنهایی که پایه را با عبارت های آزاد در معادلات مربوطه استخراج کرد: (0.8; -3.4; 0؛ 0). همچنین می‌توانید فرمول‌های کلی را که متغیرهای پایه را از طریق متغیرهای غیر پایه بیان می‌کنند استخراج کنید: x 1 = 0.8 - 1.2 x 4; x 2 = -3.4 + x 3 + 1.6 x 4. این فرمول‌ها کل مجموعه بی‌نهایت راه‌حل‌های سیستم را توصیف می‌کنند (معادل x 3 و x 4 با اعداد دلخواه، می‌توانید x 1 و x 2 را محاسبه کنید).

توجه داشته باشید که ماهیت تحولات در هر مرحله از روش جردن-گاوس به شرح زیر بود:

1) رشته تفکیک کننده توسط عنصر تفکیک کننده تقسیم شد تا یکی در جای خود قرار گیرد.

2) از تمام خطوط دیگر، وضوح تبدیل شده کم شد، در عنصری که در خط داده شده در ستون حل قرار داشت ضرب شد تا به جای این عنصر صفر شود.

دوباره ماتریس توسعه یافته تبدیل شده سیستم را در نظر بگیرید:

این رکورد نشان می دهد که رتبه ماتریس سیستم A برابر با r است.

در جریان استدلال فوق، ما مشخص کردیم که سیستم اگر و فقط اگر مشترک خواهد بود
... این بدان معنی است که ماتریس توسعه یافته سیستم به شکل زیر خواهد بود:

با کنار گذاشتن ردیف های صفر، به این نتیجه می رسیم که رتبه ماتریس توسعه یافته سیستم نیز r است.

قضیه کرونکر-کاپلی... یک سیستم معادلات خطی در صورتی سازگار است که رتبه ماتریس سیستم برابر با رتبه ماتریس توسعه یافته این سیستم باشد.

به یاد بیاورید که رتبه یک ماتریس برابر با حداکثر تعداد ردیف های مستقل خطی آن است. از این نتیجه می شود که اگر رتبه ماتریس توسعه یافته کمتر از تعداد معادلات باشد، معادلات سیستم به صورت خطی وابسته هستند و یک یا چند مورد از آنها را می توان از سیستم حذف کرد (از آنجایی که آنها یک خطی هستند. ترکیبی از بقیه). سیستم معادلات فقط در صورتی مستقل خطی خواهد بود که رتبه ماتریس توسعه یافته با تعداد معادلات برابر باشد.

علاوه بر این، برای سیستم های سازگار معادلات خطی، می توان استدلال کرد که اگر رتبه ماتریس برابر با تعداد متغیرها باشد، سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد و اگر کمتر از تعداد متغیرها باشد، پس این سیستم نامحدود است و راه حل های بی نهایت زیادی دارد.

1 برای مثال، فرض کنید پنج ردیف در یک ماتریس وجود دارد (ترتیب ردیف اصلی 12345 است). لازم است خط دوم و پنجم را تغییر دهید. برای اینکه خط دوم در جای پنجم بیفتد، "حرکت" به پایین، خطوط مجاور را سه بار متوالی تغییر دهید: دوم و سوم (13245)، دوم و چهارم (13425) و دوم و پنجم ( 13452). سپس، برای اینکه ردیف پنجم در ماتریس اصلی به جای ردیف دوم بیفتد، باید ردیف پنجم را تنها با دو تغییر متوالی به سمت بالا تغییر داد: ردیف پنجم و چهارم (13542) و ردیف پنجم و سوم (15342).

2 تعداد ترکیبات از n تا r تعداد تمام زیر مجموعه های مختلف عنصر r یک مجموعه n عنصری را فراخوانی کنید (مجموعه های مختلف آنهایی هستند که ترکیب عناصر متفاوتی دارند، ترتیب انتخاب مهم نیست). با فرمول محاسبه می شود:
... بیایید معنی علامت "!" (فاکتوریل):
0!=1.)

3 از آنجایی که این روش از روش گاوس که قبلاً در نظر گرفته شده رایج تر است و در اصل خود ترکیبی از مراحل رو به جلو و معکوس روش گاوسی است، گاهی اوقات با حذف قسمت اول نام، روش گاوس نیز نامیده می شود.

4 برای مثال،
.

5اگر هیچ واحدی در ماتریس سیستم وجود نداشت، مثلاً می‌توان دو طرف معادله اول را بر دو تقسیم کرد و سپس ضریب اول تبدیل به واحد شد. یا مانند آن

ما همچنان به سیستم های معادلات خطی می پردازیم. تا اینجا سیستم هایی را بررسی کردیم که یک راه حل واحد دارند. چنین سیستم هایی را می توان به هر طریقی حل کرد: روش تعویض("مدرسه") با فرمول های کرامر، روش ماتریسی, روش گاوسی... با این حال، در عمل، دو مورد دیگر گسترده است که:

1) سیستم ناسازگار است (راه حلی ندارد).

2) سیستم بی نهایت راه حل دارد.

برای این سیستم ها، جهانی ترین روش حل استفاده می شود - روش گاوس... در واقع روش «مدرسه» به پاسخ خواهد رسید، اما در ریاضیات عالی مرسوم است که از روش گاوسی حذف متوالی مجهولات استفاده شود. کسانی که با الگوریتم روش گاوس آشنایی ندارند لطفا ابتدا درس را مطالعه کنند روش گاوس

خود تبدیل‌های ماتریس ابتدایی دقیقاً یکسان هستند، تفاوت در پایان راه حل خواهد بود. اجازه دهید ابتدا چند مثال را در زمانی که سیستم راه حلی ندارد (ناسازگار) در نظر بگیریم.

مثال 1

چه چیزی بلافاصله در این سیستم توجه شما را جلب می کند؟ تعداد معادلات کمتر از تعداد متغیرها است. قضیه ای هست که می گوید: «اگر تعداد معادلات در سیستم کمتر از تعداد متغیرها باشد, پس سیستم یا ناسازگار است یا راه حل های بی نهایت زیادی دارد."و تنها برای کشف باقی مانده است.

شروع راه حل کاملاً معمولی است - ماتریس توسعه یافته سیستم را می نویسیم و با استفاده از تبدیل های اولیه، آن را به شکل گام به گام در می آوریم:

(1). در مرحله بالا سمت چپ، باید (+1) یا (–1) را بدست آوریم. چنین اعدادی در ستون اول وجود ندارد، بنابراین مرتب کردن مجدد ردیف ها هیچ کاری انجام نمی دهد. این واحد باید به طور مستقل سازماندهی شود، و این می تواند به چندین روش انجام شود. ما این کار را کردیم. به خط اول سطر سوم ضرب در (-1) را اضافه کنید.

(2). حالا در ستون اول دو صفر می گیریم. به سطر دوم سطر اول ضرب در 3 را اضافه می کنیم به سطر سوم سطر اول ضرب در 5 را اضافه می کنیم.

(3). پس از تبدیل انجام شده، همیشه توصیه می شود که نگاه کنید، و آیا می توان خطوط حاصل را ساده کرد؟ می توان. ردیف دوم را بر 2 تقسیم کنید و در همان زمان در مرحله دوم مقدار مورد نظر (-1) را بدست آورید. ردیف سوم را بر (-3) تقسیم کنید.

(4). خط دوم را به خط سوم اضافه کنید. احتمالاً همه به خط بدی که در نتیجه تحولات ابتدایی ظاهر شد توجه کردند:

... واضح است که چنین چیزی نمی تواند باشد.

در واقع، ماتریس حاصل را بازنویسی می کنیم

بازگشت به سیستم معادلات خطی:

اگر در نتیجه دگرگونی های ابتدایی، رشته ای از فرم ، جایی کهλ - عددی غیر از صفر، پس سیستم ناسازگار است (راه حلی ندارد).

چگونه می توانم پایان یک تکلیف را ثبت کنم؟ باید این عبارت را یادداشت کنید:

"در نتیجه تحولات ابتدایی، رشته ای از فرم به دست آمد، که در آن λ ≠ 0 ". پاسخ: "سیستم راه حلی ندارد (ناسازگار)."

لطفاً توجه داشته باشید که در این مورد هیچ عقبگردی از الگوریتم گاوس وجود ندارد، هیچ راه حلی وجود ندارد و به سادگی چیزی برای یافتن وجود ندارد.

مثال 2

حل یک سیستم معادلات خطی

این یک مثال برای راه حلی است که خودتان انجام دهید. حل کامل و پاسخ در پایان آموزش.

مجدداً به شما یادآوری می کنیم که دوره تصمیم گیری شما ممکن است با دوره تصمیم گیری ما متفاوت باشد، روش گاوس یک الگوریتم بدون ابهام را مشخص نمی کند، شما باید در مورد ترتیب اقدامات و خود اقدامات در هر مورد به طور مستقل حدس بزنید.

یکی دیگر از ویژگی های فنی راه حل: تحولات ابتدایی را می توان متوقف کرد بلافاصله. مستقیما، به محض ظاهر شدن یک خط از فرم، که در آن λ ≠ 0 ... یک مثال شرطی را در نظر بگیرید: فرض کنید پس از اولین تبدیل، ماتریس به دست می آید

.

این ماتریس هنوز به یک شکل پلکانی تقلیل نیافته است، اما نیازی به تبدیلات ابتدایی بیشتر نیست، زیرا یک ردیف از فرم ظاهر شده است، جایی که λ ≠ 0 ... شما باید بلافاصله پاسخ دهید که سیستم ناسازگار است.

هنگامی که یک سیستم معادلات خطی هیچ راه حلی ندارد، این تقریباً یک هدیه برای دانش آموز است، زیرا یک راه حل کوتاه، گاهی اوقات به معنای واقعی کلمه در 2-3 مرحله به دست می آید. اما همه چیز در این دنیا متعادل است و مشکلی که در آن سیستم راه حل های بی نهایت زیادی دارد طولانی تر است.

مثال 3:

حل یک سیستم معادلات خطی

4 معادله و 4 مجهول وجود دارد، بنابراین سیستم می تواند یا یک راه حل داشته باشد، یا هیچ راه حلی نداشته باشد، یا راه حل های بی نهایت زیادی داشته باشد. هر طور که باشد، اما روش گاوس به هر حال ما را به پاسخ می رساند. این همه کاره بودن آن است.

شروع دوباره استاندارد است. اجازه دهید ماتریس توسعه یافته سیستم را بنویسیم و با استفاده از تبدیل های ابتدایی، آن را به شکل گام به گام در آوریم:

همین و شما می ترسیدید.

(1). لطفا توجه داشته باشید که تمام اعداد ستون اول بر 2 بخش پذیر هستند، بنابراین، در مرحله بالا سمت چپ، ما نیز به دو بسنده می کنیم. به خط دوم، خط اول ضرب در (4) را اضافه کنید. به خط سوم، سطر اول ضرب در (-2) را اضافه کنید. به خط چهارم، سطر اول ضرب در (-1) را اضافه کنید.

توجه!ممکن است خیلی ها از خط چهارم وسوسه شوند کم کردنخط اول. این را می توان انجام داد، اما لازم نیست، تجربه نشان می دهد که احتمال خطا در محاسبات چندین برابر افزایش می یابد. فقط اضافه کنید: به خط چهارم، خط اول ضرب در (–1) را اضافه کنید - دقیقا!

(2). سه خط آخر متناسب هستند، دو تا از آنها قابل حذف هستند. در اینجا دوباره باید نشان دهید افزایش توجه، اما آیا خطوط واقعاً متناسب هستند؟ برای حفظ امنیت، ضرب سطر دوم در (-1) و تقسیم خط چهارم بر 2 و در نتیجه سه خط یکسان، اضافی نخواهد بود. و فقط پس از آن دو تا از آنها را حذف کنید. در نتیجه تبدیل های اولیه، ماتریس گسترش یافته سیستم به شکل پلکانی کاهش می یابد:

هنگام پر کردن یک کار در یک دفترچه، توصیه می شود برای وضوح همان یادداشت ها را با مداد تهیه کنید.

بیایید سیستم معادلات مربوطه را بازنویسی کنیم:

تنها راه حل سیستم در اینجا بوی "معمول" نمی دهد. یک خط بد که در آن λ ≠ 0, بازهم نه. این به این معنی است که این سومین مورد باقی مانده است - سیستم راه حل های بی نهایت زیادی دارد.

تعداد نامتناهی از راه حل های سیستم به طور خلاصه در قالب به اصطلاح نوشته شده است راه حل کلی سیستم.

ما جواب کلی سیستم را با استفاده از حرکت معکوس روش گاوس پیدا می کنیم. برای سیستم های معادلات با مجموعه بی نهایت راه حل، مفاهیم جدیدی ظاهر می شوند: "متغیرهای اساسی"و "متغیرهای رایگان"... ابتدا بیایید تعریف کنیم که کدام متغیرها را داریم پایه ایو کدام متغیرها - رایگان... توضیح دقیق اصطلاحات جبر خطی ضروری نیست، کافی است به یاد داشته باشید که چنین مواردی وجود دارد متغیرهای اساسیو متغیرهای رایگان.

متغیرهای پایه همیشه به شدت روی مراحل ماتریس "نشسته" هستند... در این مثال، متغیرهای اساسی هستند ایکس 1 و ایکس 3 .

متغیرهای رایگان همه چیز هستند باقی مانده استمتغیرهایی که یک پله دریافت نکردند. در مورد ما، دو مورد از آنها وجود دارد: ایکس 2 و ایکس 4 - متغیرهای رایگان.

حالا شما نیاز دارید همهمتغیرهای اساسیعنوان کردن فقط از طریقمتغیرهای رایگان... معکوس الگوریتم گاوسی به طور سنتی از پایین به بالا کار می کند. از معادله دوم سیستم، متغیر پایه را بیان می کنیم ایکس 3:

حال بیایید به معادله اول نگاه کنیم: ... ابتدا عبارت یافت شده را جایگزین آن می کنیم:

باقی مانده است که متغیر اصلی را بیان کنیم ایکس 1 از طریق متغیرهای رایگان ایکس 2 و ایکس 4:

در پایان، ما آنچه را که نیاز داریم به دست آوردیم - همهمتغیرهای اساسی ( ایکس 1 و ایکس 3) بیان شده است فقط از طریقمتغیرهای رایگان ( ایکس 2 و ایکس 4):

در واقع، راه حل کلی آماده است:

.

چگونه راه حل کلی را به درستی یادداشت کنیم؟ اول از همه، متغیرهای رایگان در راه حل کلی "به خودی خود" و به طور دقیق در جای خود نوشته می شوند. در این مورد، متغیرهای آزاد ایکس 2 و ایکس 4 باید در جایگاه دوم و چهارم نوشته شود:

.

عبارات به دست آمده برای متغیرهای اساسی و بدیهی است که باید در جایگاه اول و سوم بنویسید:

از راه حل کلی سیستم، می توانید بی نهایت بسیاری را پیدا کنید راه حل های خصوصی... خیلی ساده است. متغیرهای رایگان ایکس 2 و ایکس 4 به این دلیل نامیده می شوند که می توان آنها را داد هر مقدار نهایی... محبوب ترین مقادیر صفر هستند، زیرا این ساده ترین راه حل برای راه حل خاص است.

تعویض ( ایکس 2 = 0; ایکس 4 = 0) در راه حل کلی، یکی از راه حل های خاص را دریافت می کنیم:

یا یک راه حل خاص مربوط به متغیرهای آزاد در مقادیر است ( ایکس 2 = 0; ایکس 4 = 0).

واحدها یک زوج شیرین دیگر هستند، جایگزین ( ایکس 2 = 1 و ایکس 4 = 1) به یک راه حل کلی:

، یعنی (-1؛ 1؛ 1؛ 1) راه حل خاص دیگری است.

به راحتی می توان فهمید که سیستم معادلات دارد راه حل های بی نهایت زیاد،از آنجایی که می توانیم متغیرهای رایگان بدهیم هرارزش های.

هر یکراه حل خاص باید ارضا شود به هرمعادله سیستم این مبنایی برای بررسی "سریع" صحت راه حل است. به عنوان مثال، یک راه حل خاص (-1؛ 1؛ 1؛ 1) را در نظر بگیرید و آن را در سمت چپ هر معادله سیستم اصلی جایگزین کنید:

همه چیز باید با هم هماهنگ شود. و با هر تصمیم خاصی که دریافت می کنید - همه چیز نیز باید موافق باشد.

به بیان دقیق، بررسی یک راه حل خاص گاهی اوقات فریب می دهد، یعنی. برخی از راه حل های خاص می تواند هر معادله سیستم را برآورده کند، اما خود راه حل کلی در واقع نادرست یافت می شود. بنابراین، اول از همه، بررسی راه حل کلی دقیق تر و قابل اعتمادتر است.

چگونه راه حل کلی حاصل را بررسی کنیم ?

کار سختی نیست، اما مستلزم تغییرات زمان‌بر زیادی است. شما باید عبارات را بگیرید پایه ایمتغیرها در این مورد و، و آنها را در سمت چپ هر معادله سیستم جایگزین کنید.

در سمت چپ معادله اول سیستم:

سمت راست اولین معادله اولیه سیستم به دست می آید.

در سمت چپ معادله دوم سیستم:

سمت راست معادله دوم اصلی سیستم به دست می آید.

و در ادامه - به سمت چپ معادلات سوم و چهارم سیستم. این بررسی بیشتر طول می کشد، اما صد در صد صحت راه حل کلی را تضمین می کند. علاوه بر این، در برخی از کارها، دقیقاً تأیید راه حل کلی است که مورد نیاز است.

مثال 4:

سیستم را با روش گاوسی حل کنید. یک راه حل کلی و دو راه حل خاص پیدا کنید. راه حل کلی را بررسی کنید.

این یک مثال برای راه حلی است که خودتان انجام دهید. در اینجا، اتفاقا، باز هم تعداد معادلات کمتر از تعداد مجهولات است، به این معنی که بلافاصله مشخص می شود که سیستم یا ناسازگار خواهد بود یا با مجموعه ای بی نهایت از راه حل ها.

مثال 5:

حل یک سیستم معادلات خطی. اگر سیستم بی نهایت راه حل دارد، دو راه حل خاص پیدا کنید و راه حل کلی را بررسی کنید

راه حل:اجازه دهید ماتریس توسعه یافته سیستم را بنویسیم و با استفاده از تبدیل های ابتدایی، آن را به شکل گام به گام در آوریم:

(1). خط اول را به خط دوم اضافه کنید. به خط سوم سطر اول ضرب در 2 را اضافه می کنیم به خط چهارم اولین سطر ضرب در 3 را اضافه می کنیم.

(2). به خط سوم، خط دوم ضرب در (-5) را اضافه کنید. به خط چهارم، خط دوم ضرب در (-7) را اضافه کنید.

(3). خط سوم و چهارم یکسان است، یکی از آنها را حذف می کنیم. در اینجا چنین زیبایی وجود دارد:

متغیرهای پایه روی پله ها قرار می گیرند، بنابراین متغیرهای پایه.

فقط یک متغیر رایگان وجود دارد که در اینجا یک مرحله دریافت نکرده است:.

(4). حرکت معکوس بیایید متغیرهای اساسی را در قالب یک متغیر آزاد بیان کنیم:

از معادله سوم:

معادله دوم را در نظر بگیرید و عبارت پیدا شده را جایگزین آن کنید:

, , ,

معادله اول را در نظر بگیرید و عبارات یافت شده را جایگزین آن کنید:

بنابراین، راه حل کلی برای یک متغیر آزاد ایکس 4:

یک بار دیگر چگونه به وجود آمد؟ متغیر رایگان ایکس 4 به تنهایی در جایگاه چهارم قرار دارد. عبارات حاصل برای متغیرهای اساسی نیز در جای خود قرار دارند.

بیایید فوراً راه حل کلی را بررسی کنیم.

متغیرهای اصلی را در سمت چپ هر معادله سیستم جایگزین می کنیم:

سمت راست معادلات مربوطه به دست می آید، بنابراین، جواب کلی صحیح پیدا می شود.

اکنون از راه حل رایج یافت شده ما دو راه حل خاص دریافت می کنیم. همه متغیرها در اینجا از طریق یک واحد بیان می شوند متغیر رایگان x 4 . نیازی نیست سرت را بشکنی

بگذار باشد ایکس 4 = 0، سپس - اولین راه حل خاص

بگذار باشد ایکسپس 4 = 1 - یک راه حل خاص دیگر

پاسخ:تصمیم مشترک: ... راه حل های خصوصی:

و .

مثال 6:

جواب کلی یک سیستم معادلات خطی را پیدا کنید.

ما قبلاً تصمیم کلی را بررسی کرده ایم، می توان به پاسخ اعتماد کرد. ممکن است مسیر تصمیم شما با تصمیم ما متفاوت باشد. نکته اصلی این است که تصمیمات مشترک همزمان باشند. احتمالاً بسیاری از افراد متوجه یک لحظه ناخوشایند در راه حل ها شده اند: اغلب در طول مسیر معکوس روش گاوس، ما مجبور بودیم با کسری های معمولی کمانچه بپردازیم. در عمل، این درست است، مواردی که کسری وجود ندارد بسیار کمتر رایج است. از نظر ذهنی و از همه مهمتر از نظر فنی آماده باشید.

اجازه دهید در مورد ویژگی های راه حل که در مثال های حل شده یافت نشد صحبت کنیم. راه حل کلی سیستم گاهی اوقات می تواند شامل یک ثابت (یا ثابت) باشد.

به عنوان مثال، راه حل کلی این است:. در اینجا یکی از متغیرهای اصلی برابر است با یک عدد ثابت:. هیچ چیز عجیب و غریبی در این وجود ندارد، این اتفاق می افتد. بدیهی است که در این حالت، هر راه حل خاصی در موقعیت اول دارای یک A خواهد بود.

به ندرت، اما سیستم هایی وجود دارند که در آنها تعداد معادلات از تعداد متغیرها بیشتر است... با این حال، روش گاوس در سخت ترین شرایط کار می کند. لازم است با آرامش ماتریس منبسط شده سیستم را طبق الگوریتم استاندارد به شکل پلکانی کاهش دهیم. چنین سیستمی می‌تواند ناسازگار باشد، می‌تواند راه‌حل‌های بی‌نهایتی داشته باشد، و به طرز عجیبی می‌تواند یک راه‌حل واحد داشته باشد.

بیایید در توصیه خود تکرار کنیم - برای اینکه هنگام حل یک سیستم با استفاده از روش گاوسی احساس راحتی کنید، باید دست خود را پر کنید و حداقل دوازده سیستم را حل کنید.

راه حل ها و پاسخ ها:

مثال 2:

راه حل:اجازه دهید ماتریس توسعه یافته سیستم را بنویسیم و با استفاده از تبدیل های ابتدایی، آن را به شکل گام به گام در آوریم.

تبدیل های اولیه انجام شده:

(1) خط اول و سوم معکوس شده اند.

(2) خط اول ضرب در (-6) به خط دوم اضافه شد. خط اول ضرب در (-7) به خط سوم اضافه شد.

(3) خط دوم ضرب در (-1) به خط سوم اضافه شد.

در نتیجه دگرگونی های ابتدایی، رشته ای از فرم، جایی که λ ≠ 0 .این بدان معنی است که سیستم ناسازگار است.پاسخ: بدون راه حل

مثال 4:

راه حل:اجازه دهید ماتریس توسعه یافته سیستم را بنویسیم و با استفاده از تبدیل های ابتدایی، آن را به شکل گام به گام در آوریم:

تبدیل های انجام شده:

(1). سطر اول ضرب در 2 به سطر دوم اضافه شد سطر اول ضرب در 3 به سطر سوم اضافه شد.

کسی برای مرحله دوم نیست و تبدیل (2) در جهت به دست آوردن آن است.

(2). خط سوم ضرب در 3- به خط دوم اضافه شد.

(3). خطوط دوم و سوم با هم عوض شدند (1- حاصل را به مرحله دوم بازآرایی کرد)

(4). خط سوم ضرب در 3 به خط دوم اضافه شد.

(5). علامت دو خط اول تغییر کرد (ضرب در -1) خط سوم بر 14 تقسیم شد.

معکوس:

(1). اینجا - متغیرهای اساسی (که در مراحل هستند)، و - متغیرهای رایگان (که یک مرحله دریافت نکردند).

(2). بیایید متغیرهای اساسی را بر حسب متغیرهای آزاد بیان کنیم:

از معادله سوم: .

(3). معادله دوم را در نظر بگیرید:راه حل های خاص:

پاسخ: تصمیم مشترک:

اعداد مختلط

در این قسمت با مفهوم آن آشنا می شویم عدد مختلط، در نظر گرفتن جبری, مثلثاتیو فرم نمونهعدد مختلط. همچنین نحوه انجام اعمال با اعداد مختلط را یاد خواهیم گرفت: جمع، تفریق، ضرب، تقسیم، توان و استخراج ریشه.

برای تسلط بر اعداد مختلط نیازی به دانش خاصی از درس ریاضیات عالی ندارید و مطالب حتی در اختیار دانش آموز هم هست. کافی است بتوانیم با اعداد «معمولی» عملیات جبری انجام دهیم و مثلثات را به خاطر بسپاریم.

اجازه دهید ابتدا اعداد "معمولی" را به یاد بیاوریم. در ریاضیات به آنها می گویند مجموعه ای از اعداد واقعیو با حرف مشخص می شود R،یا R (ضخیم شده). همه اعداد واقعی روی خط اعداد آشنا قرار می گیرند:

شرکت اعداد واقعی بسیار متنوع است - در اینجا اعداد صحیح، کسرها و اعداد غیر منطقی وجود دارد. در این حالت، هر نقطه از محور عددی لزوماً با مقداری واقعی مطابقت دارد.

سیستم های معادلات به طور گسترده ای در صنعت اقتصادی در مدل سازی ریاضی فرآیندهای مختلف استفاده می شود. به عنوان مثال، هنگام حل مشکلات مدیریت و برنامه ریزی تولید، مسیرهای لجستیکی (مشکل حمل و نقل) یا قرار دادن تجهیزات.

سیستم های معادله نه تنها در زمینه ریاضیات، بلکه در فیزیک، شیمی و زیست شناسی، در حل مسائل مربوط به یافتن اندازه جمعیت مورد استفاده قرار می گیرند.

سیستم معادلات خطی دو یا چند معادله با چندین متغیر نامیده می شود که برای آن باید یک راه حل کلی یافت. چنین دنباله ای از اعداد که برای آن همه معادلات به برابری های واقعی تبدیل می شوند یا ثابت می کنند که دنباله وجود ندارد.

معادله خطی

معادلات شکل ax + by = c خطی نامیده می شوند. علامت x، y مجهول است که مقدار آن را باید پیدا کرد، b، a ضرایب متغیرها، c عبارت آزاد معادله است.
حل معادله با رسم نمودار آن به شکل یک خط مستقیم خواهد بود که همه نقاط آن حل چند جمله ای هستند.

انواع سیستم های معادلات خطی

ساده‌ترین مثال‌ها، سیستم‌های معادلات خطی با دو متغیر X و Y هستند.

F1 (x، y) = 0 و F2 (x، y) = 0، که در آن F1،2 توابع و (x، y) متغیرهای تابع هستند.

حل سیستم معادلات - این به معنای یافتن مقادیری (x, y) است که در آن سیستم به یک برابری واقعی تبدیل می‌شود یا اینکه هیچ مقادیر مناسبی برای x و y وجود ندارد.

یک جفت مقدار (x, y) که به صورت مختصات یک نقطه نوشته می شود، راه حل یک سیستم معادلات خطی نامیده می شود.

اگر سیستم ها یک راه حل مشترک داشته باشند یا راه حل وجود نداشته باشد، معادل نامیده می شوند.

سیستم های همگن معادلات خطی سیستم هایی هستند که سمت راست آنها برابر با صفر است. اگر قسمت سمت راست بعد از علامت "برابر" مقداری داشته باشد یا با یک تابع بیان شود، چنین سیستمی ناهمگن است.

تعداد متغیرها می تواند بسیار بیشتر از دو باشد، پس باید در مورد مثالی از یک سیستم معادلات خطی با سه یا چند متغیر صحبت کنیم.

در مواجهه با سیستم‌ها، دانش‌آموزان تصور می‌کنند که تعداد معادلات لزوماً باید با تعداد مجهول‌ها منطبق باشد، اما اینطور نیست. تعداد معادلات در سیستم به متغیرها بستگی ندارد، می تواند به تعداد دلخواه شما باشد.

روش های ساده و پیچیده برای حل سیستم معادلات

هیچ روش تحلیلی کلی برای حل چنین سیستم‌هایی وجود ندارد، همه روش‌ها مبتنی بر حل‌های عددی هستند. درس ریاضیات مدرسه به طور مفصل روش هایی مانند جایگشت، جمع جبری، جایگزینی و همچنین روش گرافیکی و ماتریسی، حل با روش گاوس را شرح می دهد.

وظیفه اصلی در آموزش راه حل ها، آموزش نحوه تحلیل صحیح سیستم و یافتن الگوریتم راه حل بهینه برای هر مثال است. نکته اصلی حفظ کردن سیستم قوانین و اقدامات برای هر روش نیست، بلکه درک اصول به کارگیری یک روش خاص است.

حل نمونه های سیستم معادلات خطی پایه هفتم برنامه درسی عمومی مدرسه بسیار ساده و با جزئیات توضیح داده شده است. در هر کتاب درسی ریاضی به این بخش توجه کافی شده است. حل نمونه‌هایی از سیستم‌های معادلات خطی به روش گاوس و کرامر در سال‌های اول موسسات آموزش عالی با جزئیات بیشتری مورد بررسی قرار می‌گیرد.

حل سیستم ها به روش جایگزینی

اقدامات روش جایگزینی با هدف بیان مقدار یک متغیر بر حسب متغیر دوم است. عبارت در معادله باقی مانده جایگزین می شود، سپس به شکلی با یک متغیر کاهش می یابد. این عمل بسته به تعداد مجهولات در سیستم تکرار می شود

اجازه دهید حل مثالی از یک سیستم معادلات خطی کلاس هفتم را با روش جایگزینی ارائه دهیم:

همانطور که از مثال می بینید، متغیر x از طریق F (X) = 7 + Y بیان شد. عبارت حاصل که به جای X در معادله دوم سیستم جایگزین شد، به بدست آوردن یک متغیر Y در معادله 2 کمک کرد. . حل این مثال هیچ مشکلی ایجاد نمی کند و به شما امکان می دهد مقدار Y را بدست آورید آخرین مرحله بررسی مقادیر بدست آمده است.

همیشه نمی توان نمونه ای از یک سیستم معادلات خطی را با جایگزینی حل کرد. معادلات می توانند پیچیده باشند و بیان یک متغیر بر حسب مجهول دوم برای محاسبات بیشتر بسیار دشوار خواهد بود. هنگامی که بیش از 3 مجهول در سیستم وجود دارد، حل با جایگزینی نیز غیرعملی است.

حل یک مثال از سیستم معادلات ناهمگن خطی:

راه حل جمع جبری

هنگام جستجوی راه حل برای سیستم ها با روش جمع، جمع ترم به ترم و ضرب معادلات در اعداد مختلف انجام می شود. هدف نهایی عملیات ریاضی معادله ای در یک متغیر است.

این روش نیاز به تمرین و مشاهده دارد. حل یک سیستم معادلات خطی با روش جمع با تعداد متغیرهای 3 یا بیشتر آسان نیست. هنگامی که کسرها و اعداد اعشاری در معادلات وجود دارند، استفاده از جمع جبری راحت است.

الگوریتم عمل حل:

1. دو طرف معادله را در یک عدد ضرب کنید. در نتیجه عملیات حسابی باید یکی از ضرایب متغیر برابر با 1 شود.
2. عبارت حاصل را ترم به ترم اضافه کنید و یکی از مجهولات را پیدا کنید.
3. مقدار به دست آمده را جایگزین معادله 2 سیستم کنید تا متغیر باقیمانده را پیدا کنید.

راه حل با معرفی یک متغیر جدید

اگر سیستم نیاز به یافتن راه حلی برای بیش از دو معادله نداشته باشد، می توان متغیر جدیدی معرفی کرد، تعداد مجهول ها نیز نباید بیش از دو معادله باشد.

این روش برای ساده سازی یکی از معادلات با وارد کردن یک متغیر جدید استفاده می شود. معادله جدید با توجه به مجهول وارد شده حل می شود و مقدار حاصل برای تعیین متغیر اصلی استفاده می شود.

مثال نشان می دهد که با معرفی یک متغیر جدید t، می توان معادله 1 سیستم را به یک مثلث درجه دوم استاندارد کاهش داد. شما می توانید چند جمله ای را با پیدا کردن ممیز حل کنید.

لازم است مقدار ممیز را طبق فرمول معروف پیدا کنید: D = b2 - 4 * a * c که در آن D ممیز مورد نیاز است، b، a، c عوامل چند جمله ای هستند. در مثال داده شده، a = 1، b = 16، c = 39، بنابراین، D = 100. اگر ممیز بزرگتر از صفر باشد، دو راه حل وجود دارد: t = -b ± √D / 2 * a، اگر ممیز کمتر از صفر باشد، یک راه حل وجود دارد: x = -b / 2 * a.

راه حل برای سیستم های حاصل با روش جمع یافت می شود.

روش بصری برای حل سیستم ها

مناسب برای سیستم های دارای 3 معادله. این روش شامل رسم بر روی محور مختصات نمودارهای هر معادله موجود در سیستم است. مختصات نقاط تقاطع منحنی ها راه حل کلی سیستم خواهد بود.

روش گرافیکی دارای تعدادی تفاوت ظریف است. بیایید چندین مثال از حل سیستم معادلات خطی را به صورت تصویری در نظر بگیریم.

همانطور که از مثال می بینید، برای هر خط مستقیم دو نقطه ساخته شد، مقادیر متغیر x به صورت دلخواه انتخاب شدند: 0 و 3. بر اساس مقادیر x، مقادیر y پیدا شد. : 3 و 0. نقاط با مختصات (0، 3) و (3، 0) روی نمودار مشخص شده و با یک خط به هم متصل شدند.

مراحل باید برای معادله دوم تکرار شوند. نقطه تلاقی خطوط راه حل سیستم است.

در مثال زیر، باید یک جواب گرافیکی برای یک سیستم معادلات خطی پیدا کنید: 0.5x-y + 2 = 0 و 0.5x-y-1 = 0.

همانطور که از مثال می بینید، سیستم هیچ راه حلی ندارد، زیرا نمودارها موازی هستند و در تمام طول خود قطع نمی کنند.

سیستم‌های مثال‌های 2 و 3 مشابه هستند، اما هنگام ساختن آن مشخص می‌شود که راه‌حل‌های آنها متفاوت است. باید به خاطر داشت که همیشه نمی توان تشخیص داد که یک سیستم راه حلی دارد یا نه، همیشه باید یک نمودار ساخت.

ماتریس و انواع آن

از ماتریس ها برای نوشتن مختصر یک سیستم معادلات خطی استفاده می شود. ماتریس یک جدول از نوع خاص است که با اعداد پر شده است. n * m دارای n - ردیف و m - ستون است.

یک ماتریس زمانی مربع است که تعداد ستون ها و سطرها با یکدیگر برابر باشد. ماتریس برداری یک ماتریس تک ستونی با تعداد بی نهایت ردیف است. ماتریسی که در امتداد یکی از مورب ها و سایر عناصر صفر باشد، ماتریس هویت نامیده می شود.

یک ماتریس معکوس چنین ماتریسی است که وقتی در آن ضرب شود ماتریس اصلی به یک ماتریس هویت تبدیل می شود، چنین ماتریسی فقط برای مربع اصلی وجود دارد.

قوانین تبدیل یک سیستم معادلات به یک ماتریس

همانطور که برای سیستم های معادلات اعمال می شود، ضرایب و عبارت های آزاد معادلات به عنوان اعداد ماتریس نوشته می شوند، یک معادله یک ردیف از ماتریس است.

یک ردیف ماتریسی غیر صفر نامیده می شود اگر حداقل یک عنصر از ردیف غیر صفر باشد. بنابراین، اگر در هر یک از معادلات تعداد متغیرها متفاوت باشد، باید به جای مجهول گمشده، صفر نوشت.

ستون های ماتریس باید کاملاً با متغیرها مطابقت داشته باشند. این بدان معنی است که ضرایب متغیر x را می توان فقط در یک ستون نوشت، به عنوان مثال، اول، ضریب مجهول y - فقط در ستون دوم.

هنگام ضرب یک ماتریس، تمام عناصر ماتریس به صورت متوالی در یک عدد ضرب می شوند.

انواع یافتن ماتریس معکوس

فرمول برای یافتن ماتریس معکوس بسیار ساده است: K -1 = 1 / | K | که در آن K -1 ماتریس معکوس است و | K | تعیین کننده ماتریس است. | ک | نباید صفر باشد، پس سیستم راه حلی دارد.

تعیین کننده به راحتی برای یک ماتریس دو در دو محاسبه می شود؛ فقط باید عناصر روی مورب را در یکدیگر ضرب کنید. برای گزینه "سه در سه"، فرمول وجود دارد | K | = a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1. می توانید از فرمول استفاده کنید یا می توانید به یاد داشته باشید که باید از هر سطر و هر ستون یک عنصر بگیرید تا تعداد ستون ها و ردیف های عناصر در محصول تکرار نشود.

حل نمونه هایی از سیستم های معادلات خطی به روش ماتریسی

روش ماتریسی برای یافتن راه حل به فرد اجازه می دهد تا رکوردهای دست و پا گیر را هنگام حل سیستم هایی با تعداد زیادی متغیر و معادلات کاهش دهد.

در مثال، a nm ضرایب معادلات است، ماتریس یک بردار است x n متغیر هستند و b n عبارت‌های آزاد هستند.

راه حل گاوسی سیستم ها

در ریاضیات عالی، روش گاوس همراه با روش کرامر مورد مطالعه قرار می گیرد و فرآیند یافتن راه حل برای سیستم ها، روش گاوس-کرامر نامیده می شود. از این روش ها برای یافتن سیستم های متغیر با تعداد معادلات خطی زیاد استفاده می شود.

روش گاوس بسیار شبیه به راه حل های جایگزینی و جمع جبری است، اما سیستماتیک تر است. در دوره مدرسه از حل گاوسی برای سیستم های معادله 3 و 4 استفاده می شود. هدف این روش این است که سیستم شبیه ذوزنقه معکوس به نظر برسد. مقدار یک متغیر در یکی از معادلات سیستم با تبدیل و جانشینی جبری بدست می آید. معادله دوم عبارتی است با 2 مجهول، اما 3 و 4 - به ترتیب با 3 و 4 متغیر.

پس از آوردن سیستم به شکل توصیف شده، حل بیشتر به جایگزینی متوالی متغیرهای شناخته شده در معادلات سیستم کاهش می یابد.

در کتاب های درسی مدرسه برای کلاس 7، نمونه ای از راه حل به روش گاوس به شرح زیر است:

همانطور که از مثال می بینید، در مرحله (3) دو معادله به دست آمد: 3x 3 -2x 4 = 11 و 3x 3 + 2x 4 = 7. حل هر یک از معادلات به شما امکان می دهد یکی از متغیرهای x n را پیدا کنید.

قضیه 5 که در متن ذکر شده بیان می کند که اگر یکی از معادلات سیستم با معادلی جایگزین شود، سیستم حاصل نیز معادل معادله اصلی خواهد بود.

درک روش گاوس برای دانش‌آموزان دبیرستانی دشوار است، اما یکی از جالب‌ترین راه‌ها برای رشد هوش کودکان در کلاس‌های پیشرفته ریاضی و فیزیک است.

برای سادگی ثبت محاسبات، مرسوم است که موارد زیر را انجام دهید:

ضرایب معادلات و عبارت های آزاد به صورت ماتریسی نوشته می شود که هر ردیف از ماتریس به یکی از معادلات سیستم مربوط می شود. سمت چپ معادله را از سمت راست جدا می کند. اعداد رومی تعداد معادلات موجود در سیستم را نشان می دهد.

ابتدا ماتریسی را می نویسند که با آن کار می کنند، سپس تمام اقدامات انجام شده با یکی از خطوط. ماتریس حاصل بعد از علامت فلش نوشته می شود و اقدامات جبری لازم تا حصول نتیجه ادامه می یابد.

در نتیجه، ماتریسی باید به دست آید که در آن یکی از مورب ها 1 است و سایر ضرایب برابر با صفر هستند، یعنی ماتریس به یک شکل واحد کاهش می یابد. فراموش نکنید که با اعداد دو طرف معادله محاسبات انجام دهید.

این روش ضبط کمتر دست و پا گیر است و به شما این امکان را می دهد که با فهرست کردن مجهولات زیاد حواس پرت نشوید.

استفاده رایگان از هر راه حلی نیاز به دقت و تجربه خاصی دارد. همه روش ها ماهیت کاربردی ندارند. برخی از راه‌های یافتن راه‌حل در این حوزه دیگر از فعالیت‌های انسانی ارجحیت دارند، در حالی که برخی دیگر برای اهداف آموزشی وجود دارند.

بررسی یک سیستم معادلات خطی سنی (SLAE) برای سازگاری به این معنی است که آیا این سیستم راه حل هایی دارد یا خیر. خوب، اگر راه حل هایی وجود دارد، تعداد آنها را مشخص کنید.

به اطلاعاتی از مبحث "سیستم معادلات جبری خطی. اصطلاحات پایه. نماد ماتریسی" نیاز داریم. به طور خاص، مفاهیمی مانند ماتریس سیستم و ماتریس توسعه یافته سیستم مورد نیاز است، زیرا بر اساس آنها است که صورت‌بندی قضیه کرونکر-کاپلی است. طبق معمول، ماتریس سیستم با حرف $ A $ و ماتریس توسعه یافته سیستم با حرف $ \ widetilde (A) $ نشان داده می شود.

قضیه کرونکر-کاپلی

سیستم معادلات جبری خطی اگر و تنها در صورتی سازگار است که رتبه ماتریس سیستم برابر با رتبه ماتریس توسعه یافته سیستم باشد، یعنی. $ \ rang A = \ rang \ widetilde (A) $.

به شما یادآوری می کنم که اگر سیستمی حداقل یک راه حل داشته باشد، مفصل نامیده می شود. قضیه کرونکر-کاپلی به شرح زیر است: اگر $ \ rang A = \ rang \ widetilde (A) $، آنگاه یک راه حل وجود دارد. اگر $ \ rang A \ neq \ rang \ widetilde (A) $، این SLAE هیچ راه‌حلی ندارد (ناسازگار). پاسخ به سؤال در مورد تعداد این راه حل ها با نتیجه ای از قضیه کرونکر-کاپلی داده می شود. در فرمول بندی نتیجه از حرف $ n $ استفاده شده است که برابر با تعداد متغیرهای SLAE داده شده است.

نتیجه از قضیه کرونکر-کاپلی

1. اگر $ \ rang A \ neq \ rang \ widetilde (A) $، آنگاه SLAE ناسازگار است (راه‌حلی ندارد).
2. اگر $ \ rang A = \ rang \ widetilde (A)< n$, то СЛАУ является неопределённой (имеет бесконечное количество решений).
3. اگر $ \ rang A = \ rang \ widetilde (A) = n $، SLAE قطعی است (دقیقا یک راه حل دارد).

توجه داشته باشید که قضیه بالا و نتیجه آن نحوه یافتن راه حل SLAE را نشان نمی دهد. با کمک آنها فقط می توان فهمید که آیا این راه حل ها وجود دارند یا نه و اگر وجود دارند، پس چند تا هستند.

مثال شماره 1

SLAE $ \ چپ \ (\ شروع (تراز شده) & -3x_1 + 9x_2-7x_3 = 17؛ \\ & -x_1 + 2x_2-4x_3 = 9؛ \\ & 4x_1-2x_2 + 19x_3 = -42. \ پایان (تراز شده) ) \ right $ برای سازگاری اگر SLAE سازگار است، تعداد راه حل ها را مشخص کنید.

برای پی بردن به وجود جواب برای SLAE داده شده، از قضیه کرونکر-کاپلی استفاده می کنیم. ما به ماتریس سیستم $ A $ و ماتریس توسعه یافته سیستم $ \ widetilde (A) $ نیاز داریم، آنها را یادداشت می کنیم:

$$ A = \ چپ (\ شروع (آرایه) (cccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \ پایان (آرایه) \ راست)؛ \; \ widetilde (A) = \ چپ (\ شروع (آرایه) (cc | c) -3 & 9 & -7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9 \\ 4 & -2 & 19 & -42 \ پایان (آرایه) \ سمت راست). $$

$ \ rang A $ و $ \ rang \ widetilde (A) $ را پیدا کنید. راه های زیادی برای انجام این کار وجود دارد که برخی از آنها در قسمت Matrix Rank آمده است. معمولاً برای مطالعه چنین سیستم هایی از دو روش استفاده می شود: «محاسبه رتبه یک ماتریس بر اساس تعریف» یا «محاسبه رتبه یک ماتریس به روش تبدیل های ابتدایی».

روش شماره 1. محاسبه رتبه ها بر اساس تعریف.

طبق تعریف، رتبه بالاترین مرتبه مینورهای ماتریس است که در میان آنها حداقل یک غیر صفر وجود دارد. معمولاً مطالعه با مینورهای مرتبه اول شروع می شود ، اما در اینجا راحت تر است که بلافاصله محاسبه فرعی مرتبه سوم ماتریس $ A $ را شروع کنید. عناصر درجه سوم جزئی در محل تلاقی سه سطر و سه ستون ماتریس مورد بررسی قرار دارند. از آنجایی که ماتریس $ A $ فقط شامل 3 ردیف و 3 ستون است، جزئی مرتبه سوم ماتریس $ A $ تعیین کننده ماتریس $ A $ است، یعنی. $ \ دلتا A $. برای محاسبه تعیین کننده، اجازه دهید فرمول شماره 2 را از مبحث "فرمول های محاسبه دترمینان های مرتبه دوم و سوم" اعمال کنیم:

$$ \ دلتا A = \ چپ | \ begin (آرایه) (cccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \ end (array) \ سمت راست | = -21. $$

بنابراین، یک مرتبه سوم جزئی از ماتریس $ A $ وجود دارد که برابر با صفر نیست. نوشتن یک مینور از مرتبه چهارم غیرممکن است، زیرا به 4 سطر و 4 ستون نیاز دارد و در ماتریس $ A $ فقط 3 سطر و 3 ستون وجود دارد. بنابراین، بالاترین ترتیب مینورهای ماتریس $ A $، که در میان آنها حداقل یک غیر صفر وجود دارد، برابر با 3 است. بنابراین، $ \ A = 3 $ است.

ما همچنین باید $ \ rang \ widetilde (A) $ را پیدا کنیم. بیایید نگاهی به ساختار ماتریس $ \ widetilde (A) $ بیاندازیم. ماتریس $ \ widetilde (A) $ شامل عناصر ماتریس $ A $ است و ما متوجه شدیم که $ \ Delta A \ neq 0 $. بنابراین، ماتریس $ \ widetilde (A) $ دارای یک مینور مرتبه سوم است که صفر نیست. ما نمی‌توانیم مینورهای مرتبه چهارم ماتریس $ \ widetilde (A) $ را بسازیم، بنابراین نتیجه می‌گیریم: $ \ rang \ widetilde (A) = 3 $.

از آنجایی که $ \ rang A = \ rang \ widetilde (A) $، طبق قضیه کرونکر-کاپلی، سیستم سازگار است، یعنی. یک راه حل (حداقل یک) دارد. برای نشان دادن تعداد راه حل ها، بیایید در نظر بگیریم که SLAE ما شامل 3 مجهول است: $ x_1 $، $ x_2 $ و $ x_3 $. از آنجایی که تعداد مجهولات $ n = 3 $ است، نتیجه می‌گیریم: $ \ rang A = \ rang \ widetilde (A) = n $، بنابراین، طبق نتیجه قضیه کرونکر-کاپلی، سیستم قطعی است، یعنی. تنها یک راه حل دارد

مشکل حل شده است. معایب و مزایای این روش چیست؟ ابتدا اجازه دهید در مورد جوانب مثبت صحبت کنیم. اول، ما فقط نیاز داشتیم که یک عامل تعیین کننده پیدا کنیم. پس از آن، ما بلافاصله در مورد تعداد راه حل ها نتیجه گیری کردیم. معمولاً در محاسبات استاندارد استاندارد، سیستم‌هایی از معادلات داده می‌شود که شامل سه مجهول و دارای راه‌حل منحصربه‌فرد هستند. برای چنین سیستم هایی، این روش حتی بسیار راحت است، زیرا ما از قبل می دانیم که یک راه حل وجود دارد (در غیر این صورت هیچ مثالی در یک محاسبه معمولی وجود نخواهد داشت). آن ها ما فقط باید وجود یک راه حل را به سریع ترین روش نشان دهیم. ثانیاً، مقدار محاسبه‌شده تعیین‌کننده ماتریس سیستم (یعنی $ \ دلتا A $) بعد از این مفید خواهد بود: وقتی شروع به حل سیستم داده‌شده با روش کرامر یا با استفاده از ماتریس معکوس می‌کنیم.

با این حال، اگر ماتریس سیستم $ A $ مستطیل شکل باشد، روش محاسبه رتبه طبق تعریف نامطلوب است. در این صورت بهتر است از روش دوم استفاده شود که در ادامه به آن پرداخته خواهد شد. علاوه بر این، اگر $ \ دلتا A = 0 $ باشد، نمی‌توانیم چیزی در مورد تعداد راه‌حل‌های یک SLAE ناهمگن معین بگوییم. شاید SLAE تعداد بی نهایت راه حل داشته باشد، یا شاید هیچ کدام. اگر $ \ دلتا A = 0 $ باشد، تحقیقات بیشتری مورد نیاز است که اغلب دست و پا گیر است.

با خلاصه کردن آنچه گفته شد، متذکر می شوم که روش اول برای آن دسته از SLAEهایی که ماتریس سیستم در آنها مربع است خوب است. در این مورد، SLAE خود شامل سه یا چهار مجهول است و از محاسبات معمولی یا کارهای کنترلی گرفته شده است.

روش شماره 2. محاسبه رتبه با روش تبدیل های ابتدایی.

این روش در مبحث مربوطه به تفصیل توضیح داده شده است. ما شروع به محاسبه رتبه ماتریس $ \ widetilde (A) $ خواهیم کرد. چرا دقیقاً ماتریس $ \ widetilde (A) $ و نه $ A $؟ واقعیت این است که ماتریس $ A $ بخشی از ماتریس $ \ widetilde (A) $ است ، بنابراین با محاسبه رتبه ماتریس $ \ widetilde (A) $ ، به طور همزمان رتبه ماتریس $ A را پیدا خواهیم کرد. $.

\ شروع (تراز شده) & \ پهن (A) = \ چپ (\ شروع (آرایه) (ccc | c) -3 & 9 & -7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9 \\ 4 & - 2 و 19 و -42 \ انتهای (آرایه) \ راست) \ فلش راست \ چپ | \ متن (مقاله خط اول و دوم) \ راست | \ فلش راست \\ & \ فلش راست \ چپ (\ شروع (آرایه) (ccc | c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ -3 & 9 & -7 & 17 \\ 4 & -2 & 19 & - 42 \ پایان (آرایه) \ راست) \ شروع (آرایه) (l) \ فانتوم (0) \\ II-3 \ cdot I \\ III + 4 \ cdot I \ پایان (آرایه) \ فلش راست \ چپ (\ شروع (آرایه) (cccc | c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 & 5 & -10 \\ 0 & 6 & 3 & -6 \ end (array) \ سمت راست) \ شروع (آرایه) (l) \ فانتوم (0) \\ \ فانتوم (0) \\ III-2 \ cdot II \ پایان (آرایه) \ فلش راست \\ & \ فلش راست \ چپ (\ شروع (آرایه) (cc | c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 & 5 & -10 \\ 0 & 0 & -7 & 14 \ انتهای (آرایه) \ سمت راست) \ انتهای (تراز شده)

ماتریس $ \ widetilde (A) $ را به شکل ذوزنقه ای کاهش داده ایم. در داگونال اصلی ماتریس حاصل $ \ چپ (\ شروع (آرایه) (ccc | c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 & 5 & -10 \\ 0 & 0 & -7 & 14 \ end ( آرایه) \ سمت راست) $ سه عنصر غیر صفر وجود دارد: -1، 3 و -7. نتیجه گیری: رتبه ماتریس $ \ widetilde (A) $ 3 است، یعنی. $ \ rang \ widetilde (A) = 3 $. با ایجاد تبدیل با عناصر ماتریس $ \ widetilde (A) $، ما به طور همزمان عناصر ماتریس $ A $ را که تا خط قرار دارند تبدیل کردیم. ماتریس $ A $ نیز ذوزنقه‌ای است: $ \ چپ (\ شروع (آرایه) (ccc) -1 & 2 & -4 \\ 0 & 3 & 5 \\ 0 & 0 & -7 \ پایان (آرایه) \ سمت راست) $. نتیجه گیری: رتبه ماتریس $ A $ نیز برابر با 3 است، یعنی. $ \ رنگ A = 3 $.

از آنجایی که $ \ rang A = \ rang \ widetilde (A) $، طبق قضیه کرونکر-کاپلی، سیستم سازگار است، یعنی. راه حل دارد برای نشان دادن تعداد راه حل ها، بیایید در نظر بگیریم که SLAE ما شامل 3 مجهول است: $ x_1 $، $ x_2 $ و $ x_3 $. از آنجایی که تعداد مجهول‌ها $ n = 3 $ است، نتیجه می‌گیریم: $ \ rang A = \ rang \ widetilde (A) = n $، بنابراین، طبق نتیجه قضیه کرونکر-کاپلی، سیستم تعریف می‌شود. تنها یک راه حل دارد

مزایای روش دوم چیست؟ مزیت اصلی همه کاره بودن آن است. مربع بودن یا نبودن ماتریس سیستم اصلا برای ما مهم نیست. علاوه بر این، ما در واقع تحولات مسیر رو به جلو روش گاوس را انجام دادیم. فقط چند عمل باقی مانده است و ما می توانیم راه حل این SLAE را بدست آوریم. راستش من روش دوم را بیشتر از روش اول دوست دارم اما انتخاب سلیقه ای است.

پاسخ: SLAE داده شده سازگار و تعریف شده است.

مثال شماره 2

کاوش SLAE $ \ چپ \ (\ شروع (تراز شده) & x_1-x_2 + 2x_3 = -1؛ \\ & -x_1 + 2x_2-3x_3 = 3; \\ & 2x_1-x_2 + 3x_3 = 2؛ \\ & 3x_1- 2x_2 + 5x_3 = 1؛ \\ & 2x_1-3x_2 + 5x_3 = -4. \ پایان (تراز شده) \ سمت راست. $ برای سازگاری.

ما رتبه های ماتریس سیستم و ماتریس توسعه یافته سیستم را با روش تبدیل های ابتدایی خواهیم یافت. ماتریس سیستم توسعه یافته: $ \ widetilde (A) = \ چپ (\ شروع (آرایه) (ccc | c) 1 & -1 & 2 & -1 \\ -1 & 2 & -3 & 3 \\ 2 & -1 & 3 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 1 \\ 2 & -3 & 5 & -4 \ انتها (آرایه) \ سمت راست) $. با تبدیل ماتریس توسعه یافته سیستم، رتبه های مورد نیاز را بیابید:

ماتریس سیستم گسترش یافته به شکل پلکانی کاهش می یابد. اگر ماتریس به شکل پلکانی کاهش یابد، رتبه آن برابر با تعداد ردیف های غیر صفر است. بنابراین، $ \ زنگ A = 3 $. ماتریس $ A $ (به خط) به شکل ذوزنقه ای کاهش می یابد و رتبه آن 2 است، $ \ rang A = 2 $.

از آنجایی که $ \ rang A \ neq \ rang \ widetilde (A) $، طبق قضیه کرونکر-کاپلی، سیستم ناسازگار است (یعنی هیچ راه حلی ندارد).

پاسخ: سیستم ناسازگار است.

مثال شماره 3

کاوش SLAE $ \ چپ \ (\ شروع (تراز شده) & 2x_1 + 7x_3-5x_4 + 11x_5 = 42; \\ & x_1-2x_2 + 3x_3 + 2x_5 = 17; \\ & -3x_1 + 9x_2-1_5x_3- ; \\ & -5x_1 + 17x_2-16x_3-5x_4-4x_5 = -90؛ \\ & 7x_1-17x_2 + 23x_3 + 15x_5 = 132. \ پایان (تراز شده) \ سمت راست. $ برای سازگاری.

ماتریس سیستم توسعه یافته عبارت است از: $ \ widetilde (A) = \ چپ (\ شروع (آرایه) (ccccc | c) 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42 \\ 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17 \\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64 \\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \ پایان (آرایه) \ سمت راست) $. بیایید ردیف اول و دوم این ماتریس را با هم عوض کنیم تا اولین عنصر ردیف اول یک باشد: $ \ چپ (\ begin (آرایه) (ccccc | c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17 \\ 2 و 0 و 7 و -5 و 11 و 42 \\ -3 و 9 و -11 و 0 و -7 و -64 \\ -5 و 17 و -16 و -5 و -4 و -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \ انتهای (آرایه) \ سمت راست) $.

ما ماتریس سیستم توسعه یافته و خود ماتریس سیستم را به شکل ذوزنقه ای کاهش داده ایم. رتبه ماتریس توسعه یافته سیستم سه است، رتبه ماتریس سیستم نیز سه است. از آنجایی که سیستم شامل $ n = 5 $ مجهول است، یعنی. $ \ rang \ widetilde (A) = \ rang A< n$, то согласно следствия из теоремы Кронекера-Капелли данная система является неопределённой, т.е. имеет бесконечное количество решений.

پاسخ: سیستم تعریف نشده است.

در بخش دوم، نمونه هایی را که اغلب در محاسبات یا آزمون های معمولی در ریاضیات بالاتر گنجانده شده اند، تجزیه و تحلیل خواهیم کرد: مطالعه سازگاری و حل یک SLAE، بسته به مقادیر پارامترهای موجود در آن.

مثال 1... یک راه حل کلی و یک راه حل خاص برای سیستم پیدا کنید

راه حلما با کمک ماشین حساب انجام می دهیم. بیایید ماتریس های توسعه یافته و اساسی را بنویسیم:

ماتریس اصلی A با یک خط نقطه از هم جدا شده است.در بالا سیستم های مجهول را می نویسیم، با در نظر گرفتن بازآرایی احتمالی عبارت ها در معادلات سیستم. با تعیین رتبه ماتریس توسعه یافته، به طور همزمان رتبه و اصلی را پیدا می کنیم. در ماتریس B، ستون اول و دوم متناسب هستند. از دو ستون متناسب، فقط یکی می تواند به مینور اصلی بیفتد، بنابراین، برای مثال، اولین ستون را پشت خط چین با علامت مخالف منتقل می کنیم. برای سیستم، این به معنای انتقال عبارت ها از x 1 به سمت راست معادلات است.

بیایید ماتریس را به شکل مثلثی بیاوریم. ما فقط با سطرها کار خواهیم کرد، زیرا ضرب یک ردیف از یک ماتریس در عددی غیر از صفر و اضافه کردن به سطر دیگر برای سیستم به معنای ضرب معادله در همان عدد و جمع کردن آن با معادله دیگری است که حل آن را تغییر نمی دهد. سیستم. ما با ردیف اول کار می کنیم: ردیف اول ماتریس را در (-3) ضرب می کنیم و به ترتیب به ردیف های دوم و سوم اضافه می کنیم. سپس خط اول را در (2-) ضرب می کنیم و به خط چهارم اضافه می کنیم.

خطوط دوم و سوم متناسب هستند، بنابراین می توان یکی از آنها، به عنوان مثال، خط دوم را خط زد. این معادل حذف معادله دوم سیستم است، زیرا نتیجه معادله سوم است.

اکنون با خط دوم کار می کنیم: آن را در (-1) ضرب کرده و به خط سوم اضافه کنید.

مینور نقطه چین بالاترین مرتبه (از مینورهای ممکن) را دارد و غیر صفر است (برابر حاصل ضرب عناصر روی قطر اصلی است) و این مینور هم به ماتریس اصلی و هم به ماتریس توسعه یافته تعلق دارد، بنابراین، rangA = RangB = 3.
جزئی اساسی است. این شامل ضرایب برای مجهولات x 2، x 3، x 4 است، به این معنی که مجهولات x 2، x 3، x 4 وابسته هستند و x 1، x 5 آزاد هستند.
ماتریس را تبدیل می کنیم و فقط پایه مینور را در سمت چپ (که مربوط به نقطه 4 الگوریتم حل بالا است) باقی می گذاریم.

سیستم با ضرایب این ماتریس معادل سیستم اصلی و دارای فرم است

با استفاده از روش حذف مجهولات، متوجه می شویم:
, ,

نسبت های بیانگر متغیرهای وابسته x 2، x 3، x 4 را از طریق x 1 و x 5 آزاد دریافت کردیم، یعنی یک راه حل کلی پیدا کردیم:

با تخصیص هر مقدار به مجهولات رایگان، هر تعداد راه حل خاص را که دوست داریم به دست می آوریم. بیایید دو راه حل خاص پیدا کنیم:
1) اجازه دهید x 1 = x 5 = 0، سپس x 2 = 1، x 3 = -3، x 4 = 3.
2) x 1 = 1، x 5 = -1، سپس x 2 = 4، x 3 = -7، x 4 = 7 قرار دهید.
بنابراین، ما دو راه حل پیدا کردیم: (0.1، -3.3.0) - یک راه حل، (1.4، -7.7، -1) - یک راه حل دیگر.

مثال 2... بررسی سازگاری، یافتن یک راه حل کلی و یک راه حل خاص برای سیستم

راه حل... معادله اول و دوم را دوباره مرتب می کنیم تا در معادله اول وحدت داشته باشیم و ماتریس B را می نویسیم.

ما در ستون چهارم صفر می گیریم که روی ردیف اول کار می کند:

حالا صفرهای ستون سوم را با استفاده از ردیف دوم بدست می آوریم:

خطوط سوم و چهارم متناسب هستند، بنابراین می توان یکی از آنها را بدون تغییر رتبه خط زد:
ردیف سوم را در (-2) ضرب می کنیم و به ردیف چهارم اضافه می کنیم:

می بینیم که رتبه های ماتریس های اصلی و توسعه یافته برابر با 4 است و رتبه با تعداد مجهول ها منطبق است، بنابراین، سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد:
;
x 4 = 10 - 3x 1 - 3x 2 - 2x 3 = 11.

مثال 3... سیستم را از نظر سازگاری بررسی کنید و در صورت وجود راه حل پیدا کنید.

راه حل... ما یک ماتریس توسعه یافته از سیستم را می سازیم.

دو معادله اول را طوری مرتب می کنیم که در گوشه سمت چپ بالا عدد 1 باشد:
سطر اول را در (-1) ضرب کنید، آن را به خط سوم اضافه کنید:

ردیف دوم را در (-2) ضرب کرده و به ردیف سوم اضافه کنید:

این سیستم ناسازگار است، زیرا در ماتریس اصلی ردیفی متشکل از صفرها دریافت کردیم که با یافتن رتبه خط زده می شود و در ماتریس توسعه یافته آخرین ردیف باقی می ماند، یعنی r B> r A.

ورزش... این سیستم معادلات را برای سازگاری بررسی کنید و آن را با استفاده از حساب ماتریسی حل کنید.
راه حل

مثال... سازگاری سیستم معادلات خطی را ثابت کنید و آن را به دو روش حل کنید: 1) روش گاوس. 2) روش کرامر. (پاسخ را به شکل x1، x2، x3 وارد کنید)
راه حل: doc: doc: xls
پاسخ: 2,-1,3.

مثال... یک سیستم معادلات خطی داده شده است. سازگاری آن را ثابت کنید. یک راه حل کلی برای سیستم و یک راه حل خاص پیدا کنید.
راه حل
پاسخ: x 3 = - 1 + x 4 + x 5; x 2 = 1 - x 4; x 1 = 2 + x 4 - 3x 5

ورزش... برای هر سیستم راه حل های کلی و خاص پیدا کنید.
راه حل.اجازه دهید این سیستم را با استفاده از قضیه کرونکر-کاپلی بررسی کنیم.
بیایید ماتریس های توسعه یافته و اساسی را بنویسیم:

1	1	14	0	2	0
3	4	2	3	0	1
2	3	-3	3	-2	1
x 1	x 2	x 3	x 4	x 5

در اینجا ماتریس A به صورت پررنگ است.
بیایید ماتریس را به شکل مثلثی در آوریم. ما فقط با سطرها کار خواهیم کرد، زیرا ضرب یک ردیف از یک ماتریس در عددی غیر از صفر و اضافه کردن به سطر دیگر برای سیستم به معنای ضرب معادله در همان عدد و جمع کردن آن با معادله دیگری است که حل آن را تغییر نمی دهد. سیستم.
ردیف اول را در (3) ضرب کنید. ردیف دوم را در (-1) ضرب کنید. بیایید خط 2 را به خط 1 اضافه کنیم:

0	-1	40	-3	6	-1
3	4	2	3	0	1
2	3	-3	3	-2	1

ردیف دوم را در (2) ضرب کنید. ردیف سوم را در (3-) ضرب کنید. بیایید خط 3 را به خط 2 اضافه کنیم:

0	-1	40	-3	6	-1
0	-1	13	-3	6	-1
2	3	-3	3	-2	1

ردیف دوم را در (-1) ضرب کنید. بیایید خط 2 را به 1 اضافه کنیم:

0	0	27	0	0	0
0	-1	13	-3	6	-1
2	3	-3	3	-2	1

مینور برجسته بالاترین مرتبه (از مینورهای ممکن) را دارد و غیر صفر است (برابر حاصل ضرب عناصر در مورب معکوس است) و این مینور هم به ماتریس اصلی و هم به ماتریس توسعه یافته تعلق دارد، بنابراین، زنگ ( A) = Rang (B) = 3. از آنجایی که رتبه ماتریس اصلی برابر است با رتبه ماتریس توسعه یافته، پس سیستم یک مفصل است.
این مینور پایه است. این شامل ضرایب برای مجهولات x 1، x 2، x 3 است، به این معنی که مجهولات x 1، x 2، x 3 وابسته (اساسی) و x 4، x 5 آزاد هستند.
ماتریس را تبدیل می کنیم و فقط مینور پایه را در سمت چپ باقی می گذاریم.

0	0	27	0	0	0
0	-1	13	-1	3	-6
2	3	-3	1	-3	2
x 1	x 2	x 3		x 4	x 5

سیستم با ضرایب این ماتریس معادل سیستم اصلی است و به شکل زیر است:
27x3 =
- x 2 + 13x 3 = - 1 + 3x 4 - 6x 5
2x 1 + 3x 2 - 3x 3 = 1 - 3x 4 + 2x 5
با استفاده از روش حذف مجهولات، متوجه می شویم:
ما روابطی را به دست آوردیم که متغیرهای وابسته x 1، x 2، x 3 را از طریق x 4، x 5 آزاد بیان می کند، یعنی یافتیم تصمیم مشترک:
x 3 = 0
x 2 = 1 - 3x 4 + 6x 5
x 1 = - 1 + 3x 4 - 8x 5
تعریف نشدهاز آنجا که بیش از یک راه حل دارد

ورزش... سیستم معادلات را حل کنید.
پاسخ: x 2 = 2 - 1.67x 3 + 0.67x 4
x 1 = 5 - 3.67x 3 + 0.67x 4
با تخصیص هر مقدار به مجهولات رایگان، هر تعداد راه حل خاص را که دوست داریم به دست می آوریم. سیستم است تعریف نشده