نحوه یافتن راه حل های ماتریس کلی با استفاده از روش گاوسی روش گاوس یا چرا بچه ها ریاضی را نمی فهمند

در این مقاله روش به عنوان روشی برای حل سیستم معادلات خطی (SLAE) در نظر گرفته شده است. این روش تحلیلی است، یعنی به شما امکان می دهد یک الگوریتم راه حل را به شکل کلی بنویسید و سپس مقادیری را از نمونه های خاص در آنجا جایگزین کنید. بر خلاف روش ماتریسی یا فرمول‌های کرامر، هنگام حل یک سیستم معادلات خطی با روش گاوس، می‌توانید با آن‌هایی که بی‌نهایت راه‌حل دارند کار کنید. یا اصلا آن را ندارید.

حل با روش گاوسی به چه معناست؟

ابتدا باید سیستم معادلات ما را در It به نظر می رسد بنویسید. سیستم گرفته شده است:

ضرایب به صورت جدول و در سمت راست در ستونی جداگانه عبارت آزاد نوشته شده است. ستون با اعضای آزاد برای راحتی از هم جدا می شود ماتریسی که شامل این ستون است Extended نامیده می شود.

علاوه بر این، ماتریس اصلی با ضرایب باید به شکل مثلث بالایی کاهش یابد. این نکته اصلی حل سیستم با استفاده از روش گاوسی است. به عبارت ساده، پس از دستکاری های خاص، ماتریس باید به گونه ای باشد که در قسمت پایین سمت چپ آن فقط صفر باشد:

سپس، اگر دوباره ماتریس جدید را به عنوان یک سیستم معادلات بنویسید، متوجه خواهید شد که آخرین ردیف از قبل حاوی مقدار یکی از ریشه ها است، که سپس به معادله بالا جایگزین می شود، یک ریشه دیگر وجود دارد و بنابراین بر.

این یک توصیف بسیار کلی از یک راه حل گاوسی است. اگر سیستم به طور ناگهانی راه حلی نداشته باشد چه اتفاقی می افتد؟ یا تعداد آنها بی نهایت زیاد است؟ برای پاسخ به این سؤالات و بسیاری سؤالات دیگر، لازم است تمام عناصر مورد استفاده در حل روش گاوسی را جداگانه در نظر بگیریم.

ماتریس ها، ویژگی های آنها

هیچ معنای پنهانی در ماتریس وجود ندارد. این فقط یک راه راحت برای ضبط داده ها برای دستکاری های بعدی است. حتی بچه های مدرسه هم نیازی به ترس از آنها ندارند.

ماتریس همیشه مستطیل شکل است، زیرا به این ترتیب راحت تر است. حتی در روش گاوس، جایی که همه چیز به ساختن یک ماتریس مثلثی ختم می‌شود، یک مستطیل در رکورد ظاهر می‌شود، فقط در جایی که هیچ عددی وجود ندارد، صفر است. صفرها نیازی به نوشتن ندارند، اما ضمنی هستند.

اندازه ماتریس است. "عرض" آن تعداد ردیف ها (m) و "طول" آن تعداد ستون ها (n) است. سپس اندازه ماتریس A (برای تعیین آنها معمولاً از حروف بزرگ لاتین استفاده می شود) A m × n نشان داده می شود. اگر m = n، این ماتریس مربع است و m = n ترتیب آن است. بر این اساس، هر عنصر ماتریس A را می توان با تعداد سطر و ستون آن نشان داد: a xy; x - شماره خط، تغییر، y - شماره ستون، تغییر.

B نقطه اصلی تصمیم گیری نیست. در اصل ، همه عملیات را می توان مستقیماً با خود معادلات انجام داد ، اما رکورد بسیار دست و پا گیرتر می شود و گیج شدن در آن بسیار ساده تر خواهد بود.

تعیین کننده

ماتریس نیز یک تعیین کننده دارد. این یک ویژگی بسیار مهم است. اکنون ارزش آن را ندارد که معنی آن را بفهمید، فقط می توانید نحوه محاسبه آن را نشان دهید و سپس بگویید که چه ویژگی هایی از ماتریس تعریف می کند. ساده ترین راه برای یافتن دترمینال از طریق قطرها است. مورب های خیالی در ماتریس رسم می شوند. عناصر روی هر یک از آنها ضرب می شوند و سپس محصولات حاصل اضافه می شوند: مورب با شیب به سمت راست - با علامت مثبت، با شیب به سمت چپ - با علامت منفی.

توجه به این نکته بسیار مهم است که تعیین کننده فقط برای یک ماتریس مربع قابل محاسبه است. برای یک ماتریس مستطیلی، می‌توانید کارهای زیر را انجام دهید: از بین تعداد ردیف‌ها و تعداد ستون‌ها کمترین را انتخاب کنید (بگذارید k باشد)، و سپس k ستون و k ردیف را در ماتریس به صورت دلخواه علامت‌گذاری کنید. عناصر در تقاطع ستون ها و ردیف های انتخاب شده یک ماتریس مربع جدید را تشکیل می دهند. اگر تعیین کننده چنین ماتریسی یک عدد غیر صفر باشد، آن را مینور پایه ماتریس مستطیلی اصلی می نامند.

قبل از شروع حل سیستم معادلات به روش گاوس، در محاسبه دترمینان تداخلی ایجاد نمی کند. اگر معلوم شد که صفر است، بلافاصله می توانیم بگوییم که ماتریس یا تعداد بی نهایت راه حل دارد یا اصلاً وجود ندارد. در چنین مورد غم انگیز، شما باید بیشتر بروید و از رتبه ماتریس مطلع شوید.

طبقه بندی سیستم

چیزی به نام رتبه یک ماتریس وجود دارد. این حداکثر ترتیب تعیین کننده غیرصفر آن است (اگر مینور پایه را به خاطر بیاوریم، می توانیم بگوییم که رتبه یک ماتریس ترتیب مینور اصلی است).

با توجه به رتبه، SLAE را می توان به موارد زیر تقسیم کرد:

مشترک. دارنداز سیستم های سازگار، رتبه ماتریس اصلی (شامل فقط ضرایب) با رتبه ماتریس توسعه یافته (با ستونی از اعضای آزاد) منطبق است. چنین سیستم هایی دارای یک راه حل هستند، اما لزوماً یک راه حل ندارند، بنابراین، سیستم های مشترک نیز به موارد زیر تقسیم می شوند:
- مسلم - قطعی- داشتن یک راه حل واحد در سیستم های خاص، رتبه ماتریس و تعداد مجهولات (یا تعداد ستون ها که یکسان هستند) برابر است.
- تعریف نشده -با تعداد بی نهایت راه حل رتبه ماتریس ها برای چنین سیستم هایی کمتر از تعداد مجهولات است.
ناسازگار. دارنددر چنین سیستم‌هایی، رتبه‌های ماتریس اصلی و توسعه‌یافته منطبق نیستند. سیستم های ناسازگار راه حلی ندارند.

روش گاوس خوب است زیرا به شخص اجازه می دهد که یا یک اثبات صریح از ناسازگاری سیستم (بدون محاسبه عوامل تعیین کننده ماتریس های بزرگ) یا یک راه حل کلی برای سیستمی با تعداد نامتناهی راه حل به دست آورد.

تحولات ابتدایی

قبل از اینکه مستقیماً به حل سیستم بروید، می توانید آن را برای محاسبات کمتر دست و پا گیر و راحت تر کنید. این از طریق دگرگونی های ابتدایی به دست می آید - به گونه ای که اجرای آنها به هیچ وجه پاسخ نهایی را تغییر نمی دهد. لازم به ذکر است که برخی از تبدیل های ابتدایی فوق فقط برای ماتریس هایی معتبر هستند که منبع آنها دقیقاً SLAE بوده است. در اینجا لیستی از این تبدیل ها آمده است:

جایگشت خطوط بدیهی است که اگر ترتیب معادلات را در نماد سیستم تغییر دهید، این امر به هیچ وجه روی جواب تأثیر نخواهد گذاشت. در نتیجه، در ماتریس این سیستم، می توانید ردیف ها را نیز جابه جا کنید، البته ستون اعضای آزاد را فراموش نکنید.
ضرب همه عناصر خط در یک عامل. بسیار مفید! می توان از آن برای کاهش اعداد بزرگ در ماتریس یا حذف صفرها استفاده کرد. بسیاری از راه حل ها، طبق معمول، تغییر نخواهند کرد و عملیات بعدی راحت تر خواهد شد. نکته اصلی این است که ضریب برابر با صفر نیست.
ردیف هایی با ضرایب متناسب را حذف کنید. این تا حدی از نکته قبل ناشی می شود. اگر دو یا چند ردیف در ماتریس دارای ضرایب متناسب باشند، پس هنگام ضرب / تقسیم یکی از ردیف ها بر ضریب تناسب، دو (یا، دوباره، بیشتر) ردیف کاملاً یکسان به دست می آید و می توانید موارد اضافی را حذف کنید، فقط باقی می ماند. یکی
حذف یک خط پوچ اگر در حین تبدیل‌ها، رشته‌ای در جایی به وجود آمده باشد که در آن همه عناصر، از جمله عبارت آزاد، صفر باشند، چنین رشته‌ای را می‌توان صفر نامید و از ماتریس خارج کرد.
اضافه کردن به عناصر یک ردیف از عناصر دیگر (با توجه به ستون های مربوطه)، ضرب در یک ضریب خاص. ظریف ترین و مهم ترین تحول. ارزش آن را دارد که در جزئیات بیشتر صحبت کنیم.

اضافه کردن یک ردیف ضرب در یک ضریب

برای سهولت درک، ارزش آن را دارد که این فرآیند را گام به گام انجام دهید. دو ردیف از ماتریس گرفته شده است:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | ب 2

فرض کنید باید اولی را به دومی ضرب کنید، ضربدر ضریب "-2".

a "21 = a 21 + -2 × a 11

a "22 = a 22 + -2 × a 12

a "2n = a 2n + -2 × a 1n

سپس ردیف دوم در ماتریس با یک ردیف جدید جایگزین می شود و ردیف اول بدون تغییر باقی می ماند.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a "21 a" 22 ... a "2n | b 2

لازم به ذکر است که ضریب ضرب را می توان به گونه ای انتخاب کرد که در نتیجه جمع دو خط یکی از عناصر خط جدید برابر با صفر شود. بنابراین، می توان معادله ای را در سیستمی به دست آورد که در آن یک مجهول کمتر وجود داشته باشد. و اگر دو معادله از این قبیل بدست آورید، می توان عملیات را دوباره انجام داد و معادله ای بدست آورد که قبلاً حاوی دو مجهول کمتر است. و اگر هر بار که ضریب صفر را برای همه ردیف‌هایی که کمتر از اصلی هستند، تبدیل کنید، می‌توانید مانند مراحل، به انتهای ماتریس بروید و معادله‌ای با یک مجهول دریافت کنید. این را حل سیستم با استفاده از روش گاوسی می نامند.

به طور کلی

بگذار یک سیستم وجود داشته باشد. دارای m معادله و n ریشه مجهول است. می توان آن را به صورت زیر نوشت:

ماتریس اصلی از ضرایب سیستم تشکیل شده است. ستونی از اعضای آزاد به ماتریس گسترش یافته اضافه می شود و برای راحتی با یک خط از هم جدا می شود.

ردیف اول ماتریس با ضریب k = (-a 21 / a 11) ضرب می شود.
اولین ردیف اصلاح شده و ردیف دوم ماتریس اضافه می شوند.
به جای ردیف دوم، نتیجه جمع از پاراگراف قبلی در ماتریس درج می شود.
اکنون ضریب اول در ردیف دوم جدید 11 × (-a 21 / a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0 است.

الان همون سری تبدیلات انجام میشه فقط خط اول و سوم درگیره. بر این اساس، در هر مرحله از الگوریتم، عنصر a 21 با یک 31 جایگزین می شود. سپس همه چیز برای 41، ... a m1 تکرار می شود. نتیجه ماتریسی است که در آن اولین عنصر در ردیف ها برابر با صفر است. اکنون باید خط شماره یک را فراموش کنیم و همان الگوریتم را از خط دوم شروع کنیم:

ضریب k = (-a 32 / a 22)؛
دومین خط اصلاح شده به خط "جاری" اضافه می شود.
نتیجه جمع به خطوط سوم، چهارم و غیره جایگزین می شود، در حالی که اول و دوم بدون تغییر باقی می مانند.
در ردیف های ماتریس، دو عنصر اول از قبل برابر با صفر هستند.

الگوریتم باید تکرار شود تا ضریب k = (-a m، m-1 / a mm) ظاهر شود. این بدان معناست که آخرین بار الگوریتم فقط برای معادله پایین اجرا شده است. ماتریس اکنون شبیه یک مثلث است یا شکل پلکانی دارد. خط پایین حاوی برابری a mn × x n = b m است. ضریب و فاصله مشخص هستند و ریشه از طریق آنها بیان می شود: x n = b m / a mn. ریشه حاصل در ردیف بالایی جایگزین می شود تا x n-1 = (b m-1 - a m-1, n × (b m / a mn)) ÷ a m-1, n-1 را پیدا کند. و به همین ترتیب بر اساس قیاس: در هر خط بعدی یک ریشه جدید وجود دارد، و هنگامی که به "بالای" سیستم رسیدید، می توانید راه حل های زیادی پیدا کنید. تنها خواهد بود.

زمانی که هیچ راه حلی وجود ندارد

اگر در یکی از ردیف های ماتریس، همه عناصر، به جز جمله آزاد، برابر با صفر باشند، معادله مربوط به این ردیف مانند 0 = b به نظر می رسد. راه حلی ندارد. و از آنجایی که چنین معادله ای در یک سیستم محصور شده است، پس مجموعه راه حل های کل سیستم خالی است، یعنی منحط است.

وقتی راه حل ها بی پایان هستند

ممکن است معلوم شود که در ماتریس مثلثی کاهش یافته هیچ ردیفی با یک عنصر ضریب معادله و یک جمله آزاد وجود ندارد. فقط چنین خطوطی وجود دارند که وقتی بازنویسی شوند، شکل معادله ای با دو یا چند متغیر دارند. این بدان معنی است که سیستم دارای تعداد بی نهایت راه حل است. در این صورت می توان پاسخ را در قالب یک راه حل کلی داد. چگونه انجامش بدهیم؟

تمامی متغیرهای ماتریس به دو دسته اصلی و آزاد تقسیم می شوند. پایه آنهایی هستند که "در لبه" سطرها در ماتریس پلکانی قرار دارند. بقیه رایگان هستند. در حل کلی، متغیرهای پایه بر حسب آزاد نوشته می شوند.

برای راحتی، ماتریس ابتدا در سیستم معادلات بازنویسی می شود. سپس، در آخرین آنها، جایی که دقیقاً تنها یک متغیر اساسی باقی می‌ماند، در یک طرف باقی می‌ماند و بقیه چیزها به طرف دیگر منتقل می‌شوند. این برای هر معادله با یک متغیر پایه انجام می شود. سپس، در صورت امکان، عبارت به دست آمده برای آن به جای متغیر پایه در بقیه معادلات، در صورت امکان، جایگزین می شود. اگر در نتیجه، عبارتی دوباره ظاهر شد که فقط یک متغیر اساسی داشت، دوباره از آنجا بیان می‌شود و به همین ترتیب تا زمانی که هر متغیر پایه به‌عنوان عبارتی با متغیرهای آزاد نوشته شود. این راه حل کلی SLAE است.

همچنین می توانید یک راه حل اساسی برای سیستم پیدا کنید - به متغیرهای رایگان هر مقداری بدهید و سپس برای این مورد خاص، مقادیر متغیرهای اساسی را محاسبه کنید. بی نهایت راه حل های خصوصی وجود دارد.

راه حل بر اساس مثال های خاص

در اینجا یک سیستم معادلات وجود دارد.

برای راحتی، بهتر است بلافاصله ماتریس آن را بسازید

مشخص است که هنگام حل با روش گاوس، معادله مربوط به خط اول در پایان تبدیل ها بدون تغییر باقی می ماند. بنابراین، اگر عنصر سمت چپ بالای ماتریس کوچکترین باشد، سود بیشتری خواهد داشت - سپس اولین عناصر ردیف های باقی مانده پس از عملیات ناپدید می شوند. این بدان معنی است که در ماتریس کامپایل شده، جایگزینی ردیف اول با ردیف دوم مفید خواهد بود.

خط دوم: k = (-a 21 / a 11) = (-3/1) = -3

a "21 = a 21 + k × a 11 = 3 + (-3) × 1 = 0

a "22 = a 22 + k × a 12 = -1 + (-3) × 2 = -7

a "23 = a 23 + k × a 13 = 1 + (-3) × 4 = -11

b "2 = b 2 + k × b 1 = 12 + (-3) × 12 = -24

خط سوم: k = (-a 3 1 / a 11) = (-5/1) = -5

a "3 1 = a 3 1 + k × a 11 = 5 + (-5) × 1 = 0

a "3 2 = a 3 2 + k × a 12 = 1 + (-5) × 2 = -9

a "3 3 = a 33 + k × a 13 = 2 + (-5) × 4 = -18

b "3 = b 3 + k × b 1 = 3 + (-5) × 12 = -57

حال برای اینکه گیج نشویم، باید یک ماتریس با نتایج میانی تبدیل ها بنویسیم.

بدیهی است که چنین ماتریسی را می توان با کمک برخی عملیات خواناتر کرد. به عنوان مثال، از خط دوم، می توانید با ضرب هر عنصر در "-1" تمام "منهای" را حذف کنید.

همچنین شایان ذکر است که در خط سوم، همه عناصر مضرب سه هستند. سپس می توانید رشته را با این عدد کوتاه کنید و هر عنصر را در "-1/3" ضرب کنید (منهای - در همان زمان برای حذف مقادیر منفی).

خیلی قشنگتر به نظر میرسه حالا باید خط اول را به حال خود رها کنیم و با خط دوم و سوم کار کنیم. وظیفه این است که دوم را به خط سوم اضافه کنید، در چنین ضریبی ضرب کنید تا عنصر a 32 برابر با صفر شود.

k = (-a 32 / a 22) = (-3 / 7) = -3/7 کسر، و فقط بعداً، هنگامی که پاسخ ها دریافت شد، تصمیم بگیرید که آیا ارزش گرد کردن و ترجمه به شکل دیگری از نمادگذاری را دارد یا خیر.

a "32 = a 32 + k × a 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0

a "33 = a 33 + k × a 23 = 6 + (-3/7) × 11 = -9/7

b "3 = b 3 + k × b 2 = 19 + (3/7-) × 24 = -61/7

ماتریس دوباره با مقادیر جدید نوشته می شود.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

همانطور که می بینید، ماتریس حاصل از قبل یک فرم پلکانی دارد. بنابراین، تغییرات بیشتر سیستم با روش گاوس مورد نیاز نیست. کاری که در اینجا می توانید انجام دهید این است که ضریب کلی "-1/7" را از ردیف سوم حذف کنید.

حالا همه چیز زیباست. موضوع کوچک است - ماتریس را دوباره به شکل یک سیستم معادلات بنویسید و ریشه ها را محاسبه کنید

x + 2y + 4z = 12 (1)

7y + 11z = 24 (2)

الگوریتمی که اکنون ریشه ها را با آن پیدا می کنند در روش گاوسی حرکت معکوس نامیده می شود. معادله (3) حاوی مقدار z است:

y = (24 - 11 × (61/9)) / 7 = -65/9

و معادله اول به شما امکان می دهد x را پیدا کنید:

x = (12 - 4z - 2y) / 1 = 12 - 4 × (61/9) - 2 × (-65/9) = -6/9 = -2/3

ما حق داریم چنین سیستمی را مشترک و حتی قطعی بنامیم، یعنی داشتن یک راه حل منحصر به فرد. پاسخ به شکل زیر نوشته شده است:

x 1 = -2/3، y = -65/9، z = 61/9.

نمونه ای از یک سیستم تعریف نشده

نوع حل یک سیستم خاص با روش گاوس مورد تجزیه و تحلیل قرار گرفته است، اکنون لازم است در صورت عدم قطعیت سیستم مورد بررسی قرار گیرد، یعنی راه حل های بی نهایت زیادی برای آن یافت شود.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

شکل سیستم از قبل هشدار دهنده است، زیرا تعداد مجهولات n = 5، و رتبه ماتریس سیستم در حال حاضر دقیقاً کمتر از این عدد است، زیرا تعداد ردیف ها m = 4 است، یعنی بزرگ‌ترین ترتیب مجذور تعیین‌کننده 4 است. از این رو، راه‌حل‌های بی‌نهایتی وجود دارد و باید به دنبال ظاهر کلی آن بود. روش گاوس برای معادلات خطی این امکان را به شما می دهد.

ابتدا، طبق معمول، یک ماتریس توسعه یافته کامپایل می شود.

خط دوم: ضریب k = (-a 21 / a 11) = -3. در خط سوم، عنصر اول حتی قبل از تبدیل ها است، بنابراین لازم نیست چیزی را لمس کنید، باید آن را همانطور که هست رها کنید. خط چهارم: k = (-a 4 1 / a 11) = -5

با ضرب عناصر سطر اول در هر یک از ضرایب آنها به نوبه خود و جمع آنها با سطرهای مورد نیاز، ماتریسی به شکل زیر بدست می آید:

همانطور که می بینید خطوط دوم، سوم و چهارم از عناصر متناسب با یکدیگر تشکیل شده اند. دوم و چهارم به طور کلی یکسان هستند، بنابراین یکی از آنها را می توان بلافاصله حذف کرد، و بقیه را می توان در ضریب "-1" ضرب کرد و خط شماره 3 را به دست آورد. و دوباره، یکی از دو خط یکسان را رها کنید.

نتیجه چنین ماتریسی است. سیستم هنوز نوشته نشده است، در اینجا لازم است که متغیرهای اساسی را تعیین کنیم - با ضرایب a 11 = 1 و a 22 = 1، و آزاد - همه بقیه.

در معادله دوم، تنها یک متغیر پایه وجود دارد - x 2. از این رو می توان آن را از آنجا با نوشتن بر حسب متغیرهای x 3, x 4, x 5 که آزاد هستند بیان کرد.

عبارت حاصل را در معادله اول جایگزین کنید.

نتیجه معادله ای است که در آن تنها متغیر اصلی x 1 است. بیایید همان کار را با x 2 انجام دهیم.

همه متغیرهای اساسی که دوتا از آنها وجود دارد بر حسب سه متغیر آزاد بیان می شوند، اکنون می توانید پاسخ را به صورت کلی بنویسید.

همچنین می توانید یکی از راه حل های خاص سیستم را مشخص کنید. برای چنین مواردی، به عنوان یک قاعده، صفرها به عنوان مقادیر برای متغیرهای آزاد انتخاب می شوند. سپس پاسخ این خواهد بود:

16, 23, 0, 0, 0.

نمونه ای از یک سیستم ناسازگار

حل سیستم های معادلات ناسازگار با روش گاوس سریع ترین است. بلافاصله به پایان می رسد، به محض اینکه در یکی از مراحل معادله ای به دست می آید که راه حل ندارد. یعنی مرحله با محاسبه ریشه که کاملا طولانی و کسالت بار است از بین می رود. سیستم زیر در نظر گرفته شده است:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

طبق معمول، یک ماتریس ترسیم می شود:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

و به نمای پلکانی تقلیل می یابد:

k 1 = -2k 2 = -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

پس از اولین تبدیل، خط سوم شامل یک معادله از فرم است

بدون راه حل بنابراین، سیستم ناسازگار است و پاسخ مجموعه خالی است.

مزایا و معایب روش

اگر روشی را برای حل SLAE روی کاغذ با قلم انتخاب کنید، روش مورد بحث در این مقاله جذاب ترین به نظر می رسد. گیج شدن تبدیل‌های ابتدایی بسیار دشوارتر از زمانی است که مجبور باشید به صورت دستی یک تعیین کننده یا یک ماتریس معکوس هوشمندانه را جستجو کنید. با این حال، اگر از برنامه هایی برای کار با داده هایی از این نوع، به عنوان مثال، صفحات گسترده استفاده می کنید، معلوم می شود که چنین برنامه هایی قبلاً الگوریتم هایی برای محاسبه پارامترهای اصلی ماتریس ها - تعیین کننده، جزئی، معکوس و غیره دارند. و اگر مطمئن باشید که ماشین خودش این مقادیر را محاسبه می کند و اشتباه نمی کند، بهتر است از روش ماتریس یا فرمول های کرامر استفاده کنید، زیرا کاربرد آنها با محاسبه عوامل تعیین کننده و ماتریس های معکوس شروع و پایان می یابد.

کاربرد

از آنجایی که یک راه حل گاوسی یک الگوریتم است و یک ماتریس در واقع یک آرایه دو بعدی است، می توان از آن در برنامه نویسی استفاده کرد. اما از آنجایی که مقاله خود را به عنوان یک راهنمای "برای ساختگی ها" قرار می دهد، باید گفت که ساده ترین جایی که می توان این روش را جابجا کرد، صفحات گسترده است، به عنوان مثال، اکسل. مجدداً، هر SLAE که به شکل ماتریس وارد جدول شود، توسط اکسل به عنوان یک آرایه دو بعدی در نظر گرفته می شود. و برای عملیات با آنها، دستورات خوبی وجود دارد: جمع (فقط ماتریس هایی با همان اندازه می توانند اضافه شوند!)، ضرب در یک عدد، ضرب ماتریس (همچنین با محدودیت های خاص)، یافتن ماتریس های معکوس و جابجا شده، و بیشتر مهمتر از همه، محاسبه تعیین کننده. اگر این کار پرزحمت با یک فرمان جایگزین شود، می توان رتبه ماتریس را خیلی سریعتر تعیین کرد و بنابراین، سازگاری یا ناسازگاری آن را مشخص کرد.

روش گاوسمناسب برای حل سیستم های معادلات جبری خطی (SLAE). چندین مزیت نسبت به سایر روش ها دارد:

اولاً، نیازی به بررسی سیستم معادلات برای سازگاری نیست.
ثانیاً، روش گاوس را می توان برای حل نه تنها SLAEهایی که در آنها تعداد معادلات با تعداد متغیرهای مجهول منطبق است و ماتریس اصلی سیستم غیر منحط است، بلکه برای حل سیستم های معادلاتی که تعداد معادلات در آنها انجام می شود، استفاده کرد. با تعداد متغیرهای مجهول منطبق نیست یا تعیین کننده ماتریس اصلی صفر است.
ثالثاً، روش گاوس منجر به نتیجه ای با تعداد نسبتاً کمی از عملیات محاسباتی می شود.

مروری کوتاه بر مقاله.

ابتدا تعاریف لازم را ارائه کرده و نماد را معرفی می کنیم.

در مرحله بعد، الگوریتم روش گاوس را برای ساده ترین حالت توصیف می کنیم، یعنی برای سیستم های معادلات جبری خطی، تعداد معادلاتی که در آنها با تعداد متغیرهای مجهول منطبق است و تعیین کننده ماتریس اصلی سیستم برابر نیست. صفر هنگام حل چنین سیستم های معادلات، ماهیت روش گاوس به وضوح قابل مشاهده است، که شامل حذف متوالی متغیرهای ناشناخته است. بنابراین روش گاوس را روش حذف متوالی مجهولات نیز می نامند. بیایید راه حل های دقیق چندین مثال را نشان دهیم.

در پایان، اجازه دهید راه حلی را با روش گاوس سیستم های معادلات جبری خطی، که ماتریس اصلی آن مستطیل یا منحط است، در نظر بگیریم. راه حل چنین سیستم هایی دارای ویژگی هایی است که با ذکر مثال هایی به تجزیه و تحلیل آنها می پردازیم.

پیمایش صفحه.

تعاریف اساسی و نماد.

سیستمی از p معادلات خطی با n مجهول را در نظر بگیرید (p می تواند برابر با n باشد):

جایی که متغیرهای ناشناخته هستند، اعداد (واقعی یا مختلط) و اعضای آزاد هستند.

اگر ، سپس سیستم معادلات جبری خطی نامیده می شود همگن، در غیر این صورت - ناهمگون.

مجموعه ای از مقادیر متغیرهای مجهول که تمام معادلات سیستم به هویت تبدیل می شوند نامیده می شود تصمیم SLAE.

اگر حداقل یک راه حل برای یک سیستم معادلات جبری خطی وجود داشته باشد، آن را نامیده می شود مفصل، در غیر این صورت - ناسازگار.

اگر SLAE راه حل منحصر به فردی داشته باشد، نامیده می شود معین... اگر بیش از یک راه حل وجود داشته باشد، سیستم فراخوانی می شود تعریف نشده.

گفته می شود که این سیستم در نوشته شده است فرم مختصاتاگر فرم داشته باشد
.

این سیستم در فرم ماتریسیرکورد دارای فرم، جایی است که - ماتریس اصلی SLAE، - ماتریس ستون متغیرهای مجهول، - ماتریس عبارت‌های آزاد.

اگر ماتریس-ستون عبارت های آزاد را به عنوان ستون (n + 1) به ماتریس A اضافه کنیم، به اصطلاح به ماتریس A اضافه می کنیم. ماتریس گسترش یافتهسیستم های معادلات خطی معمولاً ماتریس منبسط شده با حرف T نشان داده می شود و ستون اعضای آزاد با یک خط عمودی از بقیه ستون ها جدا می شود.

ماتریس مربع A نامیده می شود منحطاگر تعیین کننده آن صفر باشد. اگر، پس ماتریس A فراخوانی می شود غیر منحط.

نکته بعدی باید مورد بحث قرار گیرد.

اگر اعمال زیر را با سیستم معادلات جبری خطی انجام دهید

مبادله دو معادله،
دو طرف یک معادله را در یک عدد واقعی (یا مختلط) دلخواه غیرصفر k ضرب کنیم،
به هر دو طرف هر معادله، قسمت های مربوط به معادله دیگر را با عدد دلخواه k ضرب کنید،

سپس یک سیستم معادل به دست می آوریم که راه حل های یکسانی دارد (یا، مانند نمونه اصلی، هیچ راه حلی ندارد).

برای یک ماتریس توسعه یافته از یک سیستم معادلات جبری خطی، این اقدامات به معنای انجام تبدیل های ابتدایی با ردیف ها است:

جایگشت دو خط در مکان ها،
ضرب تمام عناصر هر ردیف از ماتریس T در عدد غیر صفر k،
به عناصر هر ردیف از ماتریس، عناصر مربوط به سطر دیگر را که در عدد دلخواه k ضرب می شود، اضافه می کنیم.

اکنون می توانید به توضیح روش گاوس بروید.

حل سیستم معادلات جبری خطی که تعداد معادلات آنها برابر با تعداد مجهولات و ماتریس اصلی سیستم غیر منحط است به روش گاوس.

اگر وظیفه یافتن راه حلی برای سیستم معادلات به ما محول شود، در مدرسه چه می کنیم؟ .

برخی این کار را انجام می دهند.

توجه داشته باشید که با اضافه کردن سمت چپ اولی به سمت چپ معادله دوم و سمت راست به سمت راست، می‌توانیم از شر متغیرهای مجهول x 2 و x 3 خلاص شویم و بلافاصله x 1 را پیدا کنیم:

مقدار یافت شده x 1 = 1 را در معادلات اول و سوم سیستم جایگزین کنید:

اگر هر دو طرف معادله سوم سیستم را در -1 ضرب کنیم و به قسمت های مربوط به معادله اول اضافه کنیم، آنگاه از متغیر مجهول x 3 خلاص می شویم و می توانیم x 2 را پیدا کنیم:

مقدار x 2 = 2 حاصل را در معادله سوم جایگزین کنید تا متغیر مجهول x 3 باقی مانده را پیدا کنید:

دیگران غیر از این عمل می کردند.

اجازه دهید معادله اول سیستم را با توجه به متغیر مجهول x 1 حل کنیم و عبارت حاصل را جایگزین معادلات دوم و سوم سیستم کنیم تا این متغیر از آنها حذف شود:

حال اجازه دهید معادله دوم سیستم را نسبت به x 2 حل کنیم و نتیجه به دست آمده را جایگزین معادله سوم کنیم تا متغیر مجهول x 2 را از آن حذف کنیم:

از معادله سوم سیستم می توان دریافت که x 3 = 3. از معادله دوم پیدا می کنیم ، و از معادله اول بدست می آوریم.

راه حل های آشنا، اینطور نیست؟

جالب ترین نکته در اینجا این است که راه حل دوم اساساً روش حذف متوالی مجهولات است، یعنی روش گاوس. هنگامی که متغیرهای مجهول را بیان کردیم (اول x 1، در مرحله بعدی x 2) و آنها را در بقیه معادلات سیستم جایگزین کردیم، در نتیجه آنها را حذف کردیم. ما حذف را تا لحظه ای انجام دادیم که تنها یک متغیر مجهول در آخرین معادله باقی مانده بود. فرآیند حذف متوالی مجهولات نامیده می شود با سیر مستقیم روش گاوس... پس از تکمیل حرکت مستقیم، این فرصت را داریم که متغیر مجهول موجود در آخرین معادله را محاسبه کنیم. با کمک آن، از معادله ماقبل آخر، متغیر مجهول بعدی و غیره را پیدا می کنیم. فرآیند یافتن متوالی متغیرهای مجهول در حین حرکت از آخرین معادله به معادله اول نامیده می شود روش گاوسی عقب مانده.

لازم به ذکر است که وقتی در معادله اول x 1 تا x 2 و x 3 را بیان می کنیم و سپس عبارت حاصل را در معادلات دوم و سوم جایگزین می کنیم، اقدامات زیر به همین نتیجه منجر می شود:

در واقع، چنین رویه ای حذف متغیر مجهول x 1 را از معادلات دوم و سوم سیستم امکان پذیر می کند:

تفاوت های ظریف با حذف متغیرهای ناشناخته با روش گاوس زمانی به وجود می آیند که معادلات سیستم شامل برخی از متغیرها نباشد.

به عنوان مثال، در SLAE معادله اول شامل متغیر مجهول x 1 نیست (به عبارت دیگر، ضریب مقابل آن برابر با صفر است). بنابراین، نمی‌توانیم معادله اول سیستم را با توجه به x 1 حل کنیم تا این متغیر مجهول را از بقیه معادلات حذف کنیم. راه برون رفت از این وضعیت، تنظیم مجدد معادلات سیستم است. از آنجایی که سیستم‌هایی از معادلات خطی را در نظر می‌گیریم که تعیین‌کننده‌های ماتریس‌های اصلی آن‌ها غیر صفر هستند، بنابراین همیشه معادله‌ای وجود دارد که متغیر مورد نیاز ما در آن وجود دارد و می‌توانیم این معادله را به موقعیتی که نیاز داریم بازآرایی کنیم. برای مثال ما کافی است معادلات اول و دوم سیستم را مبادله کنیم ، سپس می توانید معادله اول را با توجه به x 1 حل کنید و آن را از بقیه معادلات سیستم حذف کنید (اگرچه x 1 قبلاً در معادله دوم وجود ندارد).

امیدواریم به اصل مطلب پی ببرید.

بیایید توصیف کنیم الگوریتم روش گاوس

فرض کنید باید یک سیستم از n معادله جبری خطی را با n متغیر مجهول شکل حل کنیم. و اجازه دهید تعیین کننده ماتریس اصلی آن غیر صفر باشد.

ما این را فرض می کنیم، زیرا همیشه می توانیم با تنظیم مجدد معادلات سیستم به این امر دست یابیم. متغیر مجهول x 1 را از تمام معادلات سیستم حذف کنید، از معادله دوم شروع کنید. برای انجام این کار، به معادله دوم سیستم، اولی را ضرب در معادله سوم اضافه می کنیم، در معادله اول ضرب می کنیم و به همین ترتیب، به معادله n ام، اولین را ضرب می کنیم. سیستم معادلات پس از چنین تبدیل ها شکل می گیرد

کجا، و .

اگر x 1 را بر حسب سایر متغیرهای مجهول در اولین معادله سیستم بیان کنیم و عبارت حاصل را در تمام معادلات دیگر جایگزین کنیم، به همین نتیجه می رسیم. بنابراین، متغیر x 1 از تمام معادلات حذف می شود، که از معادلات دوم شروع می شود.

در مرحله بعد به روشی مشابه عمل می کنیم، اما فقط با بخشی از سیستم حاصل که در شکل مشخص شده است

برای انجام این کار، به معادله سوم سیستم، دوم ضرب در معادله چهارم را اضافه می کنیم، و به همین ترتیب، به معادله n-امین دومی ضرب شده در را اضافه می کنیم. سیستم معادلات پس از چنین تبدیل ها شکل می گیرد

کجا، و ... بنابراین، متغیر x 2 از معادلات سوم حذف می شود.

در مرحله بعد، به حذف مجهول x 3 ادامه می دهیم، در حالی که با بخشی از سیستم که در شکل مشخص شده است، به طور مشابه عمل می کنیم.

بنابراین مسیر مستقیم روش گاوس را تا زمانی که سیستم شکل بگیرد ادامه می دهیم

از این لحظه، مسیر معکوس روش گاوس را شروع می کنیم: xn را از آخرین معادله محاسبه می کنیم، با استفاده از مقدار xn به دست آمده، x n-1 را از معادله ماقبل آخر می یابیم، و به همین ترتیب، x 1 را از معادله پیدا می کنیم. معادله اول

بیایید الگوریتم را با استفاده از یک مثال تجزیه و تحلیل کنیم.

مثال.

به روش گاوس

راه حل.

ضریب a 11 غیر صفر است، پس بیایید به مسیر مستقیم روش گاوس، یعنی حذف متغیر مجهول x 1 از تمام معادلات سیستم، به جز معادله اول، برویم. برای این کار، سمت چپ و راست معادله اول را به سمت چپ و راست معادله دوم، سوم و چهارم اضافه کنید، به ترتیب ضرب در: و:

متغیر مجهول x 1 حذف شده است، به حذف x 2 ادامه دهید. به سمت چپ و راست معادلات سوم و چهارم سیستم، سمت چپ و راست معادله دوم را به ترتیب ضرب در معادله دوم اضافه می کنیم. و :

برای تکمیل مسیر مستقیم روش گاوس، باقی مانده است که متغیر مجهول x 3 را از آخرین معادله سیستم حذف کنیم. به سمت چپ و راست معادله چهارم به ترتیب سمت چپ و راست معادله سوم را ضرب کنید. :

می توانید شروع به معکوس کردن روش گاوسی کنید.

از آخرین معادله ای که داریم ,
از معادله سوم بدست می آوریم
از دومی،
از اول.

برای تأیید، می توانید مقادیر به دست آمده از متغیرهای مجهول را در سیستم معادلات اصلی جایگزین کنید. همه معادلات به هویت تبدیل می شوند، به این معنی که راه حل با روش گاوس به درستی پیدا می شود.

پاسخ:

و اکنون حل همان مثال را با روش گاوس در نمادگذاری ماتریسی خواهیم داد.

مثال.

جواب سیستم معادلات را پیدا کنید به روش گاوس

راه حل.

ماتریس توسعه یافته سیستم دارای فرم است ... بالای هر ستون متغیرهای ناشناخته نوشته شده است که با عناصر ماتریس مطابقت دارد.

روند مستقیم روش گاوس در اینجا شامل کاهش ماتریس توسعه یافته سیستم به شکل ذوزنقه ای با استفاده از تبدیل های ابتدایی است. این فرآیند مشابه حذف متغیرهای ناشناخته است که ما با یک سیستم مختصات انجام دادیم. حالا شما از این قانع خواهید شد.

اجازه دهید ماتریس را طوری تبدیل کنیم که تمام عناصر ستون اول، از ستون دوم، صفر شوند. برای انجام این کار، به عناصر خط دوم، سوم و چهارم، عناصر مربوط به خط اول را ضرب کنید: و به ترتیب:

در مرحله بعد، ماتریس حاصل را طوری تبدیل می کنیم که در ستون دوم تمام عناصری که از ستون سوم شروع می شوند صفر شوند. این با حذف متغیر مجهول x 2 مطابقت دارد. برای انجام این کار، به عناصر ردیف سوم و چهارم، عناصر مربوط به ردیف اول ماتریس را به ترتیب ضرب می کنیم. و :

باقی مانده است که متغیر مجهول x 3 را از آخرین معادله سیستم حذف کنیم. برای انجام این کار، به عناصر آخرین ردیف ماتریس حاصل، عناصر مربوط به ردیف ماقبل آخر را ضرب می کنیم. :

لازم به ذکر است که این ماتریس با سیستم معادلات خطی مطابقت دارد

که زودتر پس از حرکت مستقیم به دست آمد.

زمان بازگشت است. در نمادگذاری ماتریسی، معکوس روش گاوسی چنین تبدیل ماتریس حاصل را پیش‌فرض می‌گیرد به طوری که ماتریس مشخص شده در شکل

مورب شد، یعنی شکل گرفت

تعدادی اعداد کجا هستند

این تبدیل‌ها مشابه تبدیل‌های رو به جلو گاوسی است، اما نه از خط اول به آخر، بلکه از آخرین به اول انجام می‌شود.

به عناصر سطر سوم، دوم و اول، عناصر مربوط به سطر آخر را ضرب کنید ، در و در به ترتیب:

حالا بیایید به عناصر خط دوم و اول، عناصر مربوط به خط سوم را که به ترتیب در و در ضرب می شوند، اضافه کنیم:

در آخرین مرحله از مرحله معکوس روش گاوسی، عناصر مربوط به ردیف دوم را ضرب کنید:

ماتریس حاصل با سیستم معادلات مطابقت دارد ، از آنجا متغیرهای ناشناخته را پیدا می کنیم.

پاسخ:

توجه داشته باشید.

هنگام استفاده از روش گاوس برای حل سیستم های معادلات جبری خطی، باید از محاسبات تقریبی خودداری شود، زیرا این امر می تواند منجر به نتایج کاملاً نادرست شود. توصیه می کنیم اعشار را گرد نکنید. بهتر است از کسرهای اعشاری به کسرهای معمولی حرکت کنید.

مثال.

یک سیستم سه معادله را با استفاده از روش گاوسی حل کنید .

راه حل.

توجه داشته باشید که در این مثال، متغیرهای مجهول دارای نماد متفاوتی هستند (نه x 1، x 2، x 3، بلکه x، y، z). بیایید به کسری مشترک برویم:

x مجهول را از معادلات دوم و سوم سیستم حذف کنید:

در سیستم حاصل، در معادله دوم متغیر مجهول y وجود ندارد و در معادله سوم y وجود دارد، بنابراین معادله دوم و سوم را با هم عوض می کنیم:

این کار اجرای مستقیم روش گاوس را کامل می کند (لازم نیست y را از معادله سوم حذف کنیم، زیرا این متغیر مجهول دیگر وجود ندارد).

به سمت معکوس حرکت می کنیم.

از آخرین معادله ای که پیدا می کنیم ,
از ماقبل آخر

از اولین معادله ای که داریم

پاسخ:

X = 10، y = 5، z = -20.

حل سیستم های معادلات جبری خطی که در آنها تعداد معادلات با تعداد مجهولات منطبق نیست یا ماتریس اصلی سیستم منحط است، به روش گاوس.

سیستم های معادلات که ماتریس اصلی آنها مستطیل یا مربع منحط است، ممکن است راه حل نداشته باشند، ممکن است یک راه حل منحصر به فرد داشته باشند و ممکن است مجموعه ای از راه حل های بی نهایت داشته باشند.

اکنون خواهیم فهمید که چگونه روش گاوس به ما اجازه می دهد تا سازگاری یا ناسازگاری یک سیستم معادلات خطی را تعیین کنیم و در مورد سازگاری آن، همه راه حل ها (یا یک راه حل واحد) را تعیین کنیم.

در اصل، روند حذف متغیرهای ناشناخته در مورد این گونه SLAE ها یکسان است. با این حال، شما باید با جزئیات در مورد برخی از موقعیت هایی که ممکن است ایجاد شود صحبت کنید.

به مهم ترین مرحله می رسیم.

بنابراین، فرض می کنیم که سیستم معادلات جبری خطی پس از اتمام دوره مستقیم روش گاوس شکل گرفته است. و حتی یک معادله به کاهش نیافت (در این مورد، نتیجه می گیریم که سیستم ناسازگار است). یک سوال منطقی مطرح می شود: "بعد چه باید کرد؟"

اجازه دهید متغیرهای مجهول را بنویسیم که در وهله اول همه معادلات سیستم حاصل قرار دارند:

در مثال ما، اینها x 1، x 4 و x 5 هستند. در سمت چپ معادلات سیستم، فقط عبارت‌هایی را می‌گذاریم که حاوی متغیرهای مجهول نوشته شده x 1، x 4 و x 5 هستند، بقیه عبارت‌ها به سمت راست معادلات منتقل می‌شوند. علامت مقابل:

اجازه دهید مقادیر دلخواه را به متغیرهای مجهولی که در سمت راست معادلات قرار دارند، اختصاص دهیم، جایی که - اعداد دلخواه:

پس از آن، اعداد در سمت راست تمام معادلات SLAE ما یافت می شوند و می توانیم به سمت معکوس روش گاوس برویم.

از آخرین معادلات سیستمی که داریم، از معادله ماقبل آخری که پیدا می کنیم، از معادله اول به دست می آوریم

راه حل سیستم معادلات مجموعه ای از مقادیر متغیرهای مجهول است

دادن اعداد مقادیر مختلف، راه حل های متفاوتی برای سیستم معادلات خواهیم داشت. یعنی سیستم معادلات ما بی نهایت راه حل دارد.

پاسخ:

جایی که - اعداد دلخواه

برای ادغام مطالب، راه حل های چندین مثال دیگر را به تفصیل تجزیه و تحلیل خواهیم کرد.

مثال.

حل یک سیستم همگن معادلات جبری خطی به روش گاوس

راه حل.

متغیر مجهول x را از معادلات دوم و سوم سیستم حذف کنید. برای انجام این کار، به سمت چپ و راست معادله دوم، به ترتیب، ضلع چپ و راست معادله اول را ضرب در و به سمت چپ و راست معادله سوم - سمت چپ و راست معادله سوم اضافه می کنیم. معادله اول ضرب در:

اکنون y را از معادله سوم سیستم معادلات حاصل حذف می کنیم:

SLAE حاصل معادل سیستم است .

در سمت چپ معادلات سیستم فقط عبارت های حاوی متغیرهای مجهول x و y را رها می کنیم و اصطلاحات را با متغیر مجهول z به سمت راست منتقل می کنیم:

روش گاوس آسان است!چرا؟ یوهان کارل فردریش گاوس، ریاضیدان مشهور آلمانی در طول زندگی خود به عنوان بزرگترین ریاضیدان تمام دوران، نابغه و حتی لقب "پادشاه ریاضیات" شناخته شد. و همه چیز مبتکرانه، همانطور که می دانید، ساده است!به هر حال، نه تنها لعنتی ها، بلکه نابغه ها نیز در ازای پول پول می گیرند - پرتره گاوس روی اسکناس 10 مارک آلمان (قبل از معرفی یورو) بود و گاوس هنوز از روی تمبرهای پستی معمولی به طور مرموزی به آلمانی ها لبخند می زند.

روش گاوس از این نظر ساده است که دانش یک دانش آموز کلاس 5 برای تسلط بر آن کافی است. باید بتوانید جمع و ضرب کنید!تصادفی نیست که معلمان اغلب روش حذف متوالی مجهولات را در دروس انتخابی ریاضی مدرسه در نظر می گیرند. به طور متناقض، روش گاوس برای دانش آموزان سخت ترین است. جای تعجب نیست - کل نکته در روش شناسی است و من سعی خواهم کرد در مورد الگوریتم روش به شکل قابل دسترس به شما بگویم.

ابتدا اجازه دهید دانش در مورد سیستم های معادلات خطی را کمی نظام مند کنیم. یک سیستم معادلات خطی می تواند:

1) یک راه حل منحصر به فرد داشته باشید.
2) بی نهایت راه حل داشته باشید.
3) راه حلی نداشته باشید (باشید ناسازگار).

روش گاوسی قدرتمندترین و همه کاره ترین ابزار برای یافتن راه حل است هرسیستم های معادلات خطی همانطور که به یاد داریم قانون کرامر و روش ماتریسدر مواردی که سیستم بی نهایت راه حل دارد یا ناسازگار است نامناسب است. و روش حذف متوالی مجهولات به هر حالما را به پاسخ می رساند! در این درس مجدداً روش گاوس را برای مورد شماره 1 (تنها راه حل سیستم) در نظر می گیریم، مقاله ای برای وضعیت نقاط شماره 2-3 در نظر گرفته شده است. توجه داشته باشید که الگوریتم خود روش در هر سه حالت یکسان عمل می کند.

بیایید به ساده ترین سیستم از درس برگردیم چگونه یک سیستم معادلات خطی را حل کنیم؟
و با روش گاوس حل کنید.

در مرحله اول باید بنویسید ماتریس سیستم توسعه یافته:
... ضرایب بر چه اساسی نوشته شده است، فکر می کنم همه می توانند ببینند. نوار عمودی داخل ماتریس هیچ معنای ریاضی ندارد - فقط یک خط زیر برای سهولت طراحی است.

مرجع :توصیه می کنم به خاطر بسپارید مقرراتجبر خطی. ماتریس سیستمآیا ماتریسی فقط از ضرایب مجهول تشکیل شده است، در این مثال ماتریس سیستم:. ماتریس سیستم توسعه یافته- این همان ماتریس سیستم به اضافه یک ستون از اعضای آزاد است، در این مورد:. هر یک از ماتریس ها را می توان برای اختصار به سادگی ماتریس نامید.

پس از مکتوب شدن ماتریس منبسط شده سیستم، لازم است اقداماتی با آن انجام شود که به آنها نیز گفته می شود. تحولات ابتدایی.

دگرگونی های ابتدایی زیر وجود دارد:

1) رشته هایماتریس ها می توان تنظیم مجددمکان ها به عنوان مثال، در ماتریس مورد بررسی، می توانید بدون دردسر ردیف های اول و دوم را دوباره مرتب کنید:

2) اگر ماتریس حاوی (یا ظاهر می شود) ردیف های متناسب (به عنوان یک مورد خاص - یکسان) باشد، از آن پیروی می کند. حذفاز ماتریس همه این سطرها به جز یک. به عنوان مثال، ماتریس را در نظر بگیرید ... در این ماتریس، سه ردیف آخر متناسب هستند، بنابراین کافی است تنها یکی از آنها باقی بماند: .

3) اگر یک ردیف صفر در ماتریس در طول تبدیل ها ظاهر شد، پس از آن نیز می آید حذف... من رسم نمی کنم، البته، خط صفر خطی است که در آن فقط صفرها.

4) ردیف ماتریس می تواند باشد ضرب (تقسیم)با هر تعداد، غیر صفر... به عنوان مثال، یک ماتریس را در نظر بگیرید. در اینجا توصیه می شود خط اول را بر -3 تقسیم کنید و خط دوم را در 2 ضرب کنید: ... این عمل بسیار مفید است زیرا تبدیل ماتریس های بیشتر را ساده می کند.

5) این تحول سخت ترین است، اما در واقع هیچ چیز پیچیده ای نیز وجود ندارد. به یک ردیف از یک ماتریس، می توانید یک رشته دیگر ضرب در یک عدد اضافه کنیدغیر صفر ماتریس ما را از یک مثال عملی در نظر بگیرید:. ابتدا، تبدیل را با جزئیات کامل شرح می دهم. خط اول را در -2 ضرب کنید: ، و به خط دوم سطر اول ضرب در 2- را اضافه کنید: ... اکنون می توان خط اول را با -2: "بازگشت" تقسیم کرد. همانطور که می بینید، خطی که اضافه می کند لی – تغییر نکرده است. همیشه ... هستخط را به آن افزایش می دهد UT.

البته در عمل آنها با این جزئیات توضیح نمی دهند، اما کوتاهتر می نویسند:

بار دیگر: به خط دوم سطر اول ضرب در -2 را اضافه کرد... رشته معمولاً به صورت شفاهی یا بر روی پیش نویس ضرب می شود، در حالی که سیر ذهنی محاسبات چیزی شبیه به این است:

من ماتریس را بازنویسی می کنم و خط اول را بازنویسی می کنم: »

«ابتدا ستون اول. در پایین، باید صفر را دریافت کنم. بنابراین، واحد بالا را در -2: ضرب می کنم و اولین را به خط دوم اضافه می کنم: 2 + (–2) = 0. نتیجه را در خط دوم می نویسم: »

حالا برای ستون دوم. بالای –1 ضرب در –2:. اولی را به خط دوم اضافه می کنم: 1 + 2 = 3. نتیجه را در خط دوم می نویسم: »

و ستون سوم. بالای -5 ضرب در -2:. اولی را به خط دوم اضافه می کنم: -7 + 10 = 3. نتیجه را در خط دوم می نویسم: »

لطفاً این مثال را با دقت درک کنید و الگوریتم متوالی محاسبات را درک کنید، اگر این را فهمیدید، روش گاوس عملاً "در جیب شما" است. اما، البته، ما روی این تحول کار خواهیم کرد.

تبدیل های ابتدایی حل سیستم معادلات را تغییر نمی دهند

! توجه: دستکاری در نظر گرفته شده است نمی تواند استفاده کند، اگر کاری به شما پیشنهاد می شود که در آن ماتریس ها "به خودی خود" داده می شوند. به عنوان مثال، با "کلاسیک" اقدامات با ماتریسبه هیچ وجه نباید چیزی را در داخل ماتریس ها تنظیم مجدد کنید!

بیایید به سیستم خود برگردیم. او عملاً تکه تکه شده است.

ماتریس توسعه یافته سیستم را یادداشت می کنیم و با استفاده از تبدیل های ابتدایی، آن را به کاهش می دهیم نمای پلکانی:

(1) خط اول ضرب در -2 به خط دوم اضافه شد. و دوباره: چرا خط اول دقیقاً در -2 ضرب می شود؟ برای به دست آوردن صفر در پایین، یعنی خلاص شدن از شر یک متغیر در خط دوم.

(2) ردیف دوم را بر 3 تقسیم کنید.

هدف از تحولات ابتدایی – ماتریس را به شکل پلکانی بیاورید: ... در طراحی تکلیف، "نردبان" با یک مداد ساده مشخص شده است و اعدادی که روی "پله ها" قرار دارند دایره می شوند. اصطلاح "نوع مرحله" به خودی خود کاملاً نظری نیست؛ در ادبیات علمی و آموزشی اغلب به آن گفته می شود نمای ذوزنقه اییا نمای مثلثی.

در نتیجه تحولات ابتدایی به دست آوردیم معادلسیستم اصلی معادلات:

اکنون سیستم باید در جهت مخالف "باز شود" - از پایین به بالا، این فرآیند نامیده می شود روش گاوسی عقب مانده.

در معادله پایین، ما از قبل یک نتیجه آماده داریم:.

اجازه دهید اولین معادله سیستم را در نظر بگیریم و مقدار شناخته شده "بازی" را در آن جایگزین کنیم:

اجازه دهید رایج ترین حالت را در نظر بگیریم که روش گاوس نیاز به حل یک سیستم سه معادله خطی با سه مجهول دارد.

مثال 1

حل سیستم معادلات به روش گاوس:

بیایید ماتریس توسعه یافته سیستم را بنویسیم:

اکنون من فوراً نتیجه ای را ترسیم می کنم که در طول راه حل به آن خواهیم رسید:

و دوباره، هدف ما این است که با استفاده از تبدیل‌های ابتدایی، ماتریس را به شکل پلکانی برسانیم. اکشن را از کجا شروع کنیم؟

ابتدا به عدد سمت چپ بالا نگاه می کنیم:

تقریباً همیشه باید اینجا باشد واحد... به طور کلی، -1 خوب خواهد بود (و گاهی اوقات اعداد دیگر)، اما به نوعی به طور سنتی اتفاق می افتد که واحد معمولاً در آنجا قرار می گیرد. چگونه یک واحد را سازماندهی کنیم؟ ما به ستون اول نگاه می کنیم - ما یک واحد آماده داریم! تبدیل اول: خط اول و سوم را عوض کنید:

اکنون خط اول تا پایان راه حل بدون تغییر باقی می ماند.... حالا خوبه

واحد در سمت چپ بالا سازماندهی شده است. حالا باید در این مکان ها صفر بگیرید:

ما صفرها را فقط با کمک تبدیل "سخت" بدست می آوریم. ابتدا با خط دوم (2، -1، 3، 13) سروکار داریم. برای به دست آوردن صفر در موقعیت اول چه باید کرد؟ نیاز به به خط دوم سطر اول ضرب در 2- را اضافه کنید... به صورت ذهنی یا روی پیش نویس، خط اول را در -2 ضرب کنید: (-2، -4، 2، -18). و ما به طور مداوم (دوباره ذهنی یا بر اساس پیش نویس) اضافه می کنیم، به خط دوم ما خط اول را که قبلاً در -2 ضرب شده است اضافه می کنیم:

نتیجه را در خط دوم می نویسیم:

با خط سوم نیز به همین ترتیب برخورد می کنیم (3، 2، -5، -1). برای به دست آوردن صفر در موقعیت اول، شما نیاز دارید به خط سوم، سطر اول ضرب در 3- را اضافه کنید... به صورت ذهنی یا روی پیش نویس، خط اول را در -3 ضرب کنید: (–3، –6، 3، –27). و به خط سوم، سطر اول ضرب در 3- را اضافه کنید:

نتیجه را در خط سوم می نویسیم:

در عمل، این اقدامات معمولاً به صورت شفاهی انجام می شود و در یک مرحله ثبت می شود:

لازم نیست همه چیز را یکجا و همزمان بشمارید... ترتیب محاسبات و "نوشتن" نتایج استوارو معمولاً اینگونه است: ابتدا خط اول را بازنویسی می کنیم و خودمان را به حیله گری پف می کنیم - SEQUENTIAL و با دقت:

و من قبلاً سیر ذهنی خود محاسبات را در بالا بررسی کرده ام.

در این مثال، انجام این کار آسان است، خط دوم بر 5- تقسیم می شود (زیرا همه اعداد بدون باقیمانده بر 5 بخش پذیر هستند). در همان زمان، خط سوم را بر -2 تقسیم می کنیم، زیرا هرچه اعداد کوچکتر باشند، راه حل آسان تر است:

در مرحله نهایی تبدیل های ابتدایی، باید یک صفر دیگر را در اینجا بدست آورید:

برای این به خط سوم خط دوم را ضرب در 2- اضافه کنید:

سعی کنید خودتان این عمل را تجزیه کنید - به صورت ذهنی خط دوم را در -2 ضرب کنید و اضافه کنید.

آخرین عمل انجام شده مدل موی نتیجه است، خط سوم را بر 3 تقسیم کنید.

در نتیجه تبدیل های ابتدایی، یک سیستم اولیه معادل معادلات خطی به دست آمد:

سرد.

معکوس روش گاوسی اکنون وارد عمل می شود. معادلات از پایین به بالا "باز" می شوند.

در معادله سوم، از قبل یک نتیجه آماده داریم:

ما به معادله دوم نگاه می کنیم:. معنای "ز" قبلاً شناخته شده است، بنابراین:

و در نهایت، معادله اول:. «ی» و «ز» معلوم است، موضوع کوچک است:

پاسخ:

همانطور که قبلاً بارها اشاره شده است، برای هر سیستم معادلات، بررسی راه حل یافت شده ممکن و ضروری است، خوشبختانه، آسان و سریع است.

مثال 2

این یک نمونه کار خودتان، یک نمونه نهایی و پاسخ در انتهای آموزش است.

لازم به ذکر است که شما دوره تصمیم گیریممکن است با مسیر تصمیم من مطابقت نداشته باشد، و این یکی از ویژگی های روش گاوس است... اما پاسخ ها باید یکسان باشد!

مثال 3

حل یک سیستم معادلات خطی با روش گاوسی

اجازه دهید ماتریس توسعه یافته سیستم را بنویسیم و با استفاده از تبدیل های ابتدایی، آن را به شکل گام به گام در آوریم:

ما به "پله" بالا سمت چپ نگاه می کنیم. ما باید یک واحد آنجا داشته باشیم. مشکل این است که اصلاً در ستون اول کسی وجود ندارد، بنابراین مرتب کردن مجدد ردیف ها چیزی را حل نمی کند. در چنین مواردی، واحد باید با استفاده از یک تبدیل اولیه سازماندهی شود. این کار را معمولاً می توان به روش های مختلفی انجام داد. من این کار را انجام دادم:
(1) به خط اول خط دوم را ضرب در -1 اضافه کنید... یعنی به صورت ذهنی خط دوم را در -1 ضرب کردیم و خط اول و دوم را اضافه کردیم در حالی که خط دوم تغییر نکرد.

اکنون در بالا سمت چپ "منهای یک" است که برای ما خوب است. هر کسی که بخواهد 1+ بگیرد می‌تواند یک حرکت اضافی بدن انجام دهد: خط اول را در -1 ضرب کنید (علامت آن را تغییر دهید).

(2) سطر اول ضرب در 5 به سطر دوم اضافه شد سطر اول ضرب در 3 به سطر سوم اضافه شد.

(3) خط اول در -1 ضرب شد، در اصل، این برای زیبایی است. علامت خط سوم را نیز تغییر دادیم و به مکان دوم منتقل کردیم، به این ترتیب در «پله دوم» واحد مورد نیاز را داریم.

(4) ردیف دوم ضرب در 2 به ردیف سوم اضافه شد.

(5) خط سوم بر 3 تقسیم شد.

یک علامت بد که نشان دهنده خطا در محاسبات است (کمتر - یک اشتباه تایپی) نتیجه "بد" است. یعنی اگر در قسمت پایین چیزی شبیه به آن داشته باشیم و بر این اساس، ، پس با درجه احتمال بالایی می توان استدلال کرد که در جریان تحولات ابتدایی اشتباهی رخ داده است.

ما حرکت معکوس را شارژ می کنیم، در طراحی نمونه ها، خود سیستم اغلب بازنویسی نمی شود و معادلات "مستقیماً از ماتریس داده شده گرفته می شوند." به شما یادآوری می کنم حرکت معکوس از پایین به بالا کار می کند. بله، اینجا هدیه معلوم شد:

پاسخ: .

مثال 4

حل یک سیستم معادلات خطی با روش گاوسی

این نمونه ای برای یک راه حل مستقل است، تا حدودی پیچیده تر است. اگر کسی گیج شود اشکالی ندارد. حل کامل و طراحی نمونه در پایان آموزش. راه حل شما ممکن است با من متفاوت باشد.

در قسمت آخر به بررسی برخی از ویژگی های الگوریتم گاوس می پردازیم.
اولین ویژگی این است که گاهی اوقات برخی از متغیرها در معادلات سیستم گم می شوند، به عنوان مثال:

چگونه ماتریس سیستم توسعه یافته را به درستی بنویسیم؟ قبلاً در مورد این لحظه در درس صحبت کردم. قانون کرامر روش ماتریسی... در ماتریس توسعه یافته سیستم، به جای متغیرهای گمشده، صفر قرار می دهیم:

به هر حال، این یک مثال نسبتاً آسان است، زیرا قبلاً یک صفر در ستون اول وجود دارد و تبدیل‌های اولیه کمتری برای انجام وجود دارد.

ویژگی دوم به شرح زیر است. در تمام مثال‌های در نظر گرفته شده، ما ۱- یا ۱+ را روی «گام‌ها» قرار دادیم. آیا اعداد دیگری ممکن است وجود داشته باشد؟ در برخی موارد می توانند. سیستم را در نظر بگیرید: .

در اینجا در سمت چپ "پله" ما دو داریم. اما ما متوجه این واقعیت هستیم که تمام اعداد در ستون اول بر 2 بدون باقی مانده بخش پذیر هستند - و دو و شش دیگر. و دوسه در بالا سمت چپ مناسب ما خواهد بود! در مرحله اول، شما باید تبدیل های زیر را انجام دهید: خط اول ضرب در -1 را به خط دوم اضافه کنید. به خط سوم، سطر اول ضرب در 3- را اضافه کنید. با این کار صفرهای مورد نظر در ستون اول به ما می رسد.

یا مثال شرطی دیگر: ... در اینجا سه در "پله" دوم نیز برای ما مناسب است، زیرا 12 (محلی که باید صفر را بدست آوریم) بدون باقی مانده بر 3 بخش پذیر است. لازم است تبدیل زیر را انجام دهید: به خط سوم خط دوم ضرب در -4 را اضافه کنید که در نتیجه صفر مورد نیاز ما به دست می آید.

روش گاوس جهانی است، اما یک ویژگی وجود دارد. شما می توانید با اطمینان یاد بگیرید که چگونه سیستم ها را با روش های دیگر حل کنید (روش کرامر، روش ماتریس) به معنای واقعی کلمه اولین بار - یک الگوریتم بسیار سفت و سخت وجود دارد. اما برای اینکه به روش گاوس اطمینان داشته باشید، باید "دست خود را پر کنید" و حداقل 5-10 سیستم را حل کنید. بنابراین، در ابتدا، سردرگمی، اشتباه در محاسبات امکان پذیر است و هیچ چیز غیرعادی یا غم انگیزی در این وجود ندارد.

هوای بارانی پاییز در خارج از پنجره ... بنابراین، برای همه، یک مثال پیچیده تر برای یک راه حل مستقل:

مثال 5

حل سیستم چهار معادله خطی با چهار مجهول به روش گاوس.

چنین کاری در عمل چندان نادر نیست. من فکر می کنم حتی یک قوری که این صفحه را به طور کامل مطالعه کرده است، الگوریتم حل چنین سیستمی به طور مستقیم واضح است. اساساً همه چیز یکسان است - فقط اقدامات بیشتری وجود دارد.

مواردی که سیستمی راه حل ندارد (ناسازگار) یا راه حل های بی نهایت زیادی دارد در درس سیستم ها و سیستم های ناسازگار با یک راه حل مشترک در نظر گرفته می شود. الگوریتم در نظر گرفته شده روش گاوس نیز می تواند در آنجا ثابت شود.

برایت ارزوی موفقیت میکنم!

راه حل ها و پاسخ ها:

مثال 2: راه حل : اجازه دهید ماتریس توسعه یافته سیستم را بنویسیم و با استفاده از تبدیل های ابتدایی، آن را به شکل گام به گام در آوریم.

تبدیل های اولیه انجام شده:
(1) خط اول ضرب در -2 به خط دوم اضافه شد. خط اول ضرب در -1 به خط سوم اضافه شد. توجه!در اینجا ممکن است وسوسه انگیز باشد که خط اول را از خط سوم کم کنید، من به شدت از تفریق منع می کنم - خطر خطا بسیار افزایش می یابد. فقط جمع کن!
(2) علامت خط دوم تغییر کرد (ضرب در -1). خط دوم و سوم عوض شد. توجه داشته باشیدکه در "پله ها" ما نه تنها از یک، بلکه به -1 راضی هستیم که حتی راحت تر است.
(3) ردیف دوم در 5 ضرب به ردیف سوم اضافه شد.
(4) علامت خط دوم تغییر کرد (ضرب در -1). خط سوم به 14 تقسیم شد.

معکوس:

پاسخ: .

مثال 4: راه حل : اجازه دهید ماتریس توسعه یافته سیستم را بنویسیم و با استفاده از تبدیل های ابتدایی، آن را به شکل گام به گام در آوریم:

تبدیل های انجام شده:
(1) دومی به سطر اول اضافه شد. بنابراین، واحد مورد نظر در "پله" سمت چپ بالا سازماندهی شده است.
(2) سطر اول ضرب در 7 به سطر دوم اضافه شد سطر اول ضرب در 6 به سطر سوم اضافه شد.

مرحله دوم بدتر می شود ، "کاندیدا" برای آن اعداد 17 و 23 هستند و به یک یا -1 نیاز داریم. دگرگونی های (3) و (4) با هدف به دست آوردن واحد مورد نظر خواهد بود

(3) خط دوم به خط سوم اضافه شد، ضرب در -1.
(4) خط سوم به خط دوم اضافه شد که در 3- ضرب شد.
(3) خط دوم به خط سوم اضافه شد، ضرب در 4. خط دوم به خط چهارم اضافه شد، ضرب در -1.
(4) علامت خط دوم تغییر کرد. خط چهارم به 3 تقسیم شد و به جای خط سوم قرار گرفت.
(5) خط سوم ضرب در 5- به خط چهارم اضافه شد.

معکوس:

ما همچنان به بررسی سیستم های معادلات خطی ادامه می دهیم. این درس سومین درس در این موضوع است. اگر تصور مبهمی در مورد اینکه سیستم معادلات خطی به طور کلی چیست، احساس می کنید مانند یک قوری هستید، توصیه می کنم از اصول اولیه صفحه شروع کنید و مطالعه درس مفید است.

ابتدا اجازه دهید دانش در مورد سیستم های معادلات خطی را کمی نظام مند کنیم. یک سیستم معادلات خطی می تواند:

1) یک راه حل منحصر به فرد داشته باشید. 2) بی نهایت راه حل داشته باشید. 3) راه حلی نداشته باشید (باشید ناسازگار).

بیایید به ساده ترین سیستم از درس برگردیم چگونه یک سیستم معادلات خطی را حل کنیم؟و با روش گاوس حل کنید.

در مرحله اول باید بنویسید ماتریس سیستم توسعه یافته: ضرایب بر چه اساسی نوشته شده است، فکر می کنم همه می توانند ببینند. نوار عمودی داخل ماتریس هیچ معنای ریاضی ندارد - فقط یک خط زیر برای سهولت طراحی است.

مرجع : توصیه می کنم به خاطر بسپارید مقررات جبر خطی. ماتریس سیستم آیا ماتریسی فقط از ضرایب مجهول تشکیل شده است، در این مثال ماتریس سیستم: . ماتریس سیستم توسعه یافته - این همان ماتریس سیستم به اضافه یک ستون از اعضای آزاد است، در این مورد: ... هر یک از ماتریس ها را می توان برای اختصار به سادگی ماتریس نامید.

دگرگونی های ابتدایی زیر وجود دارد:

البته در عمل آنها با این جزئیات توضیح نمی دهند، اما کوتاهتر می نویسند: بار دیگر: به خط دوم سطر اول ضرب در -2 را اضافه کرد... رشته معمولاً به صورت شفاهی یا بر روی پیش نویس ضرب می شود، در حالی که سیر ذهنی محاسبات چیزی شبیه به این است:

من ماتریس را بازنویسی می کنم و خط اول را بازنویسی می کنم: »

حالا برای ستون دوم. بالای –1 ضرب در –2:. اولی را به خط دوم اضافه می کنم: 1 + 2 = 3. نتیجه را در خط دوم می نویسم: »

و ستون سوم. بالای -5 ضرب در -2:. اولی را به خط دوم اضافه می کنم: -7 + 10 = 3. نتیجه را در خط دوم می نویسم: »

تبدیل های ابتدایی حل سیستم معادلات را تغییر نمی دهند

(2) ردیف دوم را بر 3 تقسیم کنید.

در نتیجه تحولات ابتدایی به دست آوردیم معادلسیستم اصلی معادلات:

اکنون سیستم باید در جهت مخالف "باز شود" - از پایین به بالا، این فرآیند نامیده می شود روش گاوسی عقب مانده.

در معادله پایین، ما از قبل یک نتیجه آماده داریم:.

اجازه دهید اولین معادله سیستم را در نظر بگیریم و مقدار شناخته شده "بازی" را در آن جایگزین کنیم:

اجازه دهید رایج ترین حالت را در نظر بگیریم که روش گاوس نیاز به حل یک سیستم سه معادله خطی با سه مجهول دارد.

مثال 1

حل سیستم معادلات به روش گاوس:

بیایید ماتریس توسعه یافته سیستم را بنویسیم:

اکنون من فوراً نتیجه ای را ترسیم می کنم که در طول راه حل به آن خواهیم رسید: و دوباره، هدف ما این است که با استفاده از تبدیل‌های ابتدایی، ماتریس را به شکل پلکانی برسانیم. اکشن را از کجا شروع کنیم؟

ابتدا به عدد سمت چپ بالا نگاه می کنیم: تقریباً همیشه باید اینجا باشد واحد... به طور کلی، -1 خوب خواهد بود (و گاهی اوقات اعداد دیگر)، اما به نوعی به طور سنتی اتفاق می افتد که واحد معمولاً در آنجا قرار می گیرد. چگونه یک واحد را سازماندهی کنیم؟ ما به ستون اول نگاه می کنیم - ما یک واحد آماده داریم! تبدیل اول: خط اول و سوم را عوض کنید:

اکنون خط اول تا پایان راه حل بدون تغییر باقی می ماند.... حالا خوبه

واحد در سمت چپ بالا سازماندهی شده است. حالا باید در این مکان ها صفر بگیرید:

نتیجه را در خط دوم می نویسیم:

نتیجه را در خط سوم می نویسیم:

در عمل، این اقدامات معمولاً به صورت شفاهی انجام می شود و در یک مرحله ثبت می شود:

لازم نیست همه چیز را یکجا و همزمان بشمارید... ترتیب محاسبات و "نوشتن" نتایج استوارو معمولاً اینگونه است: ابتدا خط اول را بازنویسی می کنیم و خودمان را به حیله گری پف می کنیم - SEQUENTIAL و با دقت:
و من قبلاً سیر ذهنی خود محاسبات را در بالا بررسی کرده ام.

در مرحله نهایی تبدیل های ابتدایی، باید یک صفر دیگر را در اینجا بدست آورید:

برای این به خط سوم خط دوم را ضرب در 2- اضافه کنید:
سعی کنید خودتان این عمل را تجزیه کنید - به صورت ذهنی خط دوم را در -2 ضرب کنید و اضافه کنید.

آخرین عمل انجام شده مدل موی نتیجه است، خط سوم را بر 3 تقسیم کنید.

در نتیجه تبدیل های ابتدایی، یک سیستم اولیه معادل معادلات خطی به دست آمد: سرد.

معکوس روش گاوسی اکنون وارد عمل می شود. معادلات از پایین به بالا "باز" می شوند.

در معادله سوم، از قبل یک نتیجه آماده داریم:

ما به معادله دوم نگاه می کنیم:. معنای "ز" قبلاً شناخته شده است، بنابراین:

و در نهایت، معادله اول:. «ی» و «ز» معلوم است، موضوع کوچک است:

پاسخ:

مثال 2

این یک نمونه کار خودتان، یک نمونه نهایی و پاسخ در انتهای آموزش است.

مثال 3

حل یک سیستم معادلات خطی با روش گاوسی

ما به "پله" بالا سمت چپ نگاه می کنیم. ما باید یک واحد آنجا داشته باشیم. مشکل این است که اصلاً در ستون اول کسی وجود ندارد، بنابراین مرتب کردن مجدد ردیف ها چیزی را حل نمی کند. در چنین مواردی، واحد باید با استفاده از یک تبدیل اولیه سازماندهی شود. این کار را معمولاً می توان به روش های مختلفی انجام داد. من این کار را کردم: (1) به خط اول خط دوم را ضرب در -1 اضافه کنید... یعنی به صورت ذهنی خط دوم را در -1 ضرب کردیم و خط اول و دوم را اضافه کردیم در حالی که خط دوم تغییر نکرد.

(2) سطر اول ضرب در 5 به سطر دوم اضافه شد سطر اول ضرب در 3 به سطر سوم اضافه شد.

(4) ردیف دوم ضرب در 2 به ردیف سوم اضافه شد.

(5) خط سوم بر 3 تقسیم شد.

پاسخ: .

مثال 4

حل یک سیستم معادلات خطی با روش گاوسی

در قسمت آخر به بررسی برخی از ویژگی های الگوریتم گاوس می پردازیم. اولین ویژگی این است که گاهی اوقات برخی از متغیرها در معادلات سیستم گم می شوند، به عنوان مثال: چگونه ماتریس سیستم توسعه یافته را به درستی بنویسیم؟ قبلاً در مورد این لحظه در درس صحبت کردم. قانون کرامر روش ماتریسی... در ماتریس توسعه یافته سیستم، به جای متغیرهای گمشده، صفر قرار می دهیم: به هر حال، این یک مثال نسبتاً آسان است، زیرا قبلاً یک صفر در ستون اول وجود دارد و تبدیل‌های اولیه کمتری برای انجام وجود دارد.

روش گاوس جهانی است، اما یک ویژگی وجود دارد. شما می توانید با اطمینان یاد بگیرید که چگونه سیستم ها را با روش های دیگر حل کنید (روش کرامر، روش ماتریس) به معنای واقعی کلمه اولین بار - یک الگوریتم بسیار سفت و سخت وجود دارد. اما برای اینکه به روش گاوس اطمینان داشته باشید، باید "دست خود را پر کنید" و حداقل 5-10 ده سیستم را حل کنید. بنابراین، در ابتدا، سردرگمی، اشتباه در محاسبات امکان پذیر است و هیچ چیز غیرعادی یا غم انگیزی در این وجود ندارد.

هوای بارانی پاییز در خارج از پنجره ... بنابراین، برای همه، یک مثال پیچیده تر برای یک راه حل مستقل:

مثال 5

سیستم 4 معادله خطی با چهار مجهول را با روش گاوس حل کنید.

مواردی که سیستم هیچ راه حلی ندارد (ناسازگار) یا راه حل های بی نهایت زیادی دارد در درس در نظر گرفته می شود. سیستم ها و سیستم های ناسازگار با یک راه حل مشترک... الگوریتم در نظر گرفته شده روش گاوس نیز می تواند در آنجا ثابت شود.

برایت ارزوی موفقیت میکنم!

راه حل ها و پاسخ ها:

مثال 2: راه حل : اجازه دهید ماتریس توسعه یافته سیستم را بنویسیم و با استفاده از تبدیل های ابتدایی، آن را به شکل گام به گام در آوریم.
تبدیل های اولیه انجام شده: (1) خط اول ضرب در -2 به خط دوم اضافه شد. خط اول ضرب در -1 به خط سوم اضافه شد. توجه! در اینجا ممکن است وسوسه انگیز باشد که خط اول را از خط سوم کم کنید، من به شدت از تفریق منع می کنم - خطر خطا بسیار افزایش می یابد. فقط جمع کن! (2) علامت خط دوم تغییر کرد (ضرب در -1). خط دوم و سوم عوض شد. توجه داشته باشید که در "پله ها" ما نه تنها از یک، بلکه به -1 راضی هستیم که حتی راحت تر است. (3) ردیف دوم در 5 ضرب به ردیف سوم اضافه شد. (4) علامت خط دوم تغییر کرد (ضرب در -1). خط سوم به 14 تقسیم شد.

معکوس:

پاسخ : .

مثال 4: راه حل : اجازه دهید ماتریس توسعه یافته سیستم را بنویسیم و با استفاده از تبدیل های ابتدایی، آن را به شکل گام به گام در آوریم:

تبدیل های انجام شده: (1) دومی به سطر اول اضافه شد. بنابراین، واحد مورد نظر در "پله" سمت چپ بالا سازماندهی شده است. (2) سطر اول ضرب در 7 به سطر دوم اضافه شد سطر اول ضرب در 6 به سطر سوم اضافه شد.

مرحله دوم بدتر می شود ، "کاندیدا" برای آن اعداد 17 و 23 هستند و به یک یا -1 نیاز داریم. دگرگونی های (3) و (4) با هدف به دست آوردن واحد مورد نظر خواهد بود (3) خط دوم به خط سوم اضافه شد، ضرب در -1. (4) خط سوم به خط دوم اضافه شد که در 3- ضرب شد. مورد لازم در مرحله دوم دریافت می شود . (5) خط دوم در 6 ضرب به خط سوم اضافه شد. (6) خط دوم در -1 ضرب شد، خط سوم بر -83 تقسیم شد.

معکوس:

پاسخ :

مثال 5: راه حل : اجازه دهید ماتریس سیستم را بنویسیم و با استفاده از تبدیل های ابتدایی، آن را به شکل گام به گام در آوریم:

تبدیل های انجام شده: (1) خط اول و دوم معکوس هستند. (2) خط اول ضرب در -2 به خط دوم اضافه شد. خط اول ضرب در -2 به خط سوم اضافه شد. خط اول ضرب در -3 به خط چهارم اضافه شد. (3) خط دوم به خط سوم اضافه شد، ضرب در 4. خط دوم به خط چهارم اضافه شد، ضرب در -1. (4) علامت خط دوم تغییر کرد. خط چهارم به 3 تقسیم شد و به جای خط سوم قرار گرفت. (5) خط سوم ضرب در 5- به خط چهارم اضافه شد.

معکوس:

پاسخ :

1. سیستم معادلات جبری خطی

1.1 مفهوم سیستم معادلات جبری خطی

سیستم معادلات شرایطی است که شامل اجرای همزمان چندین معادله در چندین متغیر است. سیستم معادلات جبری خطی (از این پس - SLAE) حاوی m معادلات و n مجهول سیستمی به شکل زیر است:

جایی که اعداد a ij ضرایب سیستم نامیده می شوند، اعداد b i عبارت های آزاد هستند. یک ijو b i(i = 1، ...، m؛ b = 1، ...، n) برخی از اعداد شناخته شده هستند و x 1، ...، x n- ناشناخته. در تعیین ضرایب یک ijزیرنویس اول i تعداد معادله را نشان می دهد و j دوم تعداد مجهولی را که این ضریب در آن قرار دارد نشان می دهد. برای پیدا کردن عدد x n. نوشتن چنین سیستمی به شکل ماتریس فشرده راحت است: AX = B.در اینجا A ماتریس ضرایب سیستم است که ماتریس اصلی نامیده می شود.

بردار ستونی از مجهولات xj است.
بردار ستونی از عبارات آزاد bi است.

حاصل ضرب ماتریس‌های A * X تعریف می‌شود، زیرا در ماتریس A به تعداد ردیف‌ها در ماتریس X (n قطعه) ستون وجود دارد.

ماتریس توسعه‌یافته سیستم، ماتریس A سیستم است که با ستون عبارت‌های آزاد تکمیل می‌شود

1.2 حل سیستم معادلات جبری خطی

یک راه حل برای یک سیستم معادلات، مجموعه ای مرتب از اعداد (مقادیر متغیرها) است، زمانی که به جای متغیرها جایگزین شوند، هر یک از معادلات سیستم به یک برابری واقعی تبدیل می شود.

راه حل سیستم را n مقدار مجهولات x1 = c1، x2 = c2،…، xn = cn می نامند، در صورت جایگزینی، تمام معادلات سیستم به برابری های واقعی تبدیل می شوند. هر راه حلی برای سیستم را می توان به شکل یک ماتریس ستونی نوشت

سیستم معادلات اگر حداقل یک راه حل داشته باشد سازگار و اگر راه حل نداشته باشد ناسازگار نامیده می شود.

سیستم مشترک اگر دارای یک راه حل واحد باشد معین و اگر بیش از یک جواب داشته باشد نامعین نامیده می شود. در حالت دوم، هر یک از راه حل های آن را یک راه حل خاص سیستم می نامند. به مجموعه تمام راه حل های خاص، راه حل کلی می گویند.

حل کردن یک سیستم به معنای سازگاری یا ناسازگاری آن است. اگر سیستم سازگار است، راه حل کلی آن را پیدا کنید.

دو سیستم اگر راه حل کلی یکسانی داشته باشند معادل (معادل) نامیده می شوند. به عبارت دیگر، سیستم ها در صورتی معادل هستند که هر راه حل برای یکی از آنها راه حل دیگری باشد و بالعکس.

تبدیلی که اعمال آن یک سیستم را به یک سیستم جدید معادل با سیستم اصلی تبدیل می کند، تبدیل معادل یا معادل نامیده می شود. نمونه‌هایی از تبدیل‌های معادل عبارتند از تبدیل‌های زیر: جایگشت دو معادله سیستم، جایگشت دو مجهول به همراه ضرایب همه معادلات، ضرب هر دو قسمت هر معادله سیستم در عددی غیرصفر.

یک سیستم معادلات خطی همگن نامیده می شود که تمام جمله های آزاد برابر با صفر باشند:

یک سیستم همگن همیشه سازگار است، زیرا x1 = x2 = x3 =… = xn = 0 راه حلی برای سیستم است. این راه حل تهی یا بی اهمیت نامیده می شود.

2. روش حذف گاوسی

2.1 ماهیت روش حذف گاوسی

روش کلاسیک برای حل سیستم های معادلات جبری خطی روش حذف متوالی مجهولات است - روش گاوس(که روش حذف گاوسی نیز نامیده می شود). این روشی برای حذف متوالی متغیرها است، زمانی که با استفاده از تبدیل های ابتدایی، سیستم معادلات به یک سیستم معادل به صورت گام به گام (یا مثلثی) کاهش می یابد، که از آن همه متغیرهای دیگر به ترتیب یافت می شوند، که از آخرین (بر اساس عدد) شروع می شود. ) متغیرها

فرآیند حل گاوسی شامل دو مرحله است: حرکت به جلو و عقب.

1. دوره مستقیم.

در مرحله اول، به اصطلاح حرکت مستقیم انجام می شود، زمانی که با دگرگونی های ابتدایی روی خطوط، سیستم به شکل پلکانی یا مثلثی در می آید یا مشخص می شود که سیستم ناسازگار است. یعنی از بین عناصر ستون اول ماتریس، یک غیر صفر را انتخاب کنید، آن را با جایگشت سطرها به بالاترین موقعیت منتقل کنید و اولین سطر به دست آمده پس از جایگشت را از سطرهای باقیمانده کم کنید و آن را در مقداری برابر ضرب کنید. نسبت عنصر اول هر یک از این ردیف ها به عنصر اول ردیف اول، بنابراین ستون زیر آن را صفر می کند.

پس از انجام تبدیل های مشخص شده، ردیف اول و ستون اول به صورت ذهنی خط کشیده شده و تا زمانی که یک ماتریس با اندازه صفر وجود داشته باشد ادامه می یابد. اگر در برخی از تکرارها، یک غیر صفر در بین عناصر ستون اول یافت نشد، به ستون بعدی بروید و عملیات مشابهی را انجام دهید.

در مرحله اول (اجرای مستقیم)، سیستم به شکل پلکانی (به ویژه مثلثی) کاهش می یابد.

سیستم زیر پله ای است:

ضرایب aii را عناصر اصلی (پیشرو) سیستم می نامند.

(اگر a11 = 0، ردیف های ماتریس را به گونه ای تنظیم می کنیم که آ 11 برابر 0 نبود. این همیشه ممکن است، زیرا در غیر این صورت ماتریس حاوی یک ستون صفر است، تعیین کننده آن صفر است و سیستم ناسازگار است).

سیستم را با حذف مجهول x1 در تمام معادلات به جز معادله اول (با استفاده از تبدیل های ابتدایی سیستم) تبدیل می کنیم. برای انجام این کار، دو طرف معادله اول را در ضرب کنید

و آن را ترم به ترم با معادله دوم سیستم جمع کنید (یا از معادله دوم جمله اول را ضرب در عدد کم می کنیم). سپس هر دو طرف معادله اول را در ضرب کرده و به معادله سوم سیستم اضافه می کنیم (یا از سومین معادله اول را که در آن ضرب شده کم می کنیم). بنابراین، ما به ترتیب ردیف اول را در یک عدد ضرب می کنیم و به آن اضافه می کنیم منخط هفتم، برای من = 2, 3, …,n

با ادامه این فرآیند، یک سیستم معادل بدست می آوریم:

- مقادیر جدید ضرایب برای مجهولات و عبارات آزاد در آخرین معادلات m-1 سیستم که با فرمول تعیین می شود:

بنابراین، در مرحله اول، تمام ضرایبی که در زیر اولین عنصر محوری قرار دارند 11 است

0، مرحله دوم عناصری را که در زیر عنصر محوری دوم a 22 (1) قرار دارند (اگر 22 (1) 0 باشد) از بین می برد. با ادامه این روند، در نهایت در مرحله (m-1) سیستم اصلی را به یک سیستم مثلثی کاهش می دهیم.

اگر در فرآیند کاهش سیستم به شکل گام به گام، معادلات صفر ظاهر شوند، یعنی. برابری های شکل 0 = 0، آنها را کنار گذاشته می شوند. اگر معادله ای از فرم ظاهر شود

سپس این نشان دهنده ناسازگاری سیستم است.

اینجاست که سیر مستقیم روش گاوس به پایان می رسد.

2. معکوس.

در مرحله دوم، به اصطلاح حرکت معکوس انجام می شود که ماهیت آن بیان همه متغیرهای اساسی به دست آمده بر حسب متغیرهای غیر اساسی و ساختن یک سیستم اساسی از راه حل ها است، یا اگر همه متغیرها پایه باشند، سپس تنها راه حل سیستم معادلات خطی را به صورت عددی بیان کنید.

این روش با آخرین معادله شروع می شود، که از آن متغیر اصلی مربوطه بیان می شود (فقط یکی در آن وجود دارد) و جایگزین معادلات قبلی می شود و به همین ترتیب "پله ها" بالا می رود.

هر خط دقیقاً مربوط به یک متغیر اساسی است، بنابراین، در هر مرحله، به جز آخرین (بالاترین)، وضعیت دقیقاً مورد آخرین خط را تکرار می کند.

توجه: در عمل، راحت تر است که نه با سیستم، بلکه با ماتریس گسترش یافته آن کار کنید و تمام تبدیلات اولیه را در ردیف های آن انجام دهید. راحت است که ضریب a11 برابر با 1 باشد (معادلات را دوباره مرتب کنید یا هر دو طرف معادله را بر a11 تقسیم کنید).

2.2 نمونه هایی از حل SLAE با روش گاوسی

در این بخش با استفاده از سه مثال مختلف نشان می دهیم که چگونه می توان از روش گاوسی برای حل SLAE استفاده کرد.

مثال 1. SLAE مرتبه 3 را حل کنید.

اجازه دهید ضرایب را صفر کنیم

در خط دوم و سوم برای انجام این کار، آنها را به ترتیب در 2/3 و 1 ضرب کنید و به خط اول اضافه کنید: