در این حالت مختصات نقاط آن تنظیم می شود عبارات منطقیاز متغیر t؟ پاسخ به این سوال به معادله منحنی بستگی دارد. اگر هر دو طرف معادله دارای چند جمله‌ای در x و y با درجه حداکثر دو باشد، همیشه می‌توان نقاط منحنی را با استفاده از توابع گویا یک متغیر تعریف کرد (مثال‌ها در مسئله 21.11 هستند). اگر منحنی با معادله ای با درجه بزرگتر از 2 داده شود، به عنوان یک قاعده، نمی توان مختصات نقاط آن را با توابع گویا مشخص کرد: این مورد قبلاً برای منحنی x3 + y3 = 1 است.

وظیفه 21.11. مختصات نقاط منحنی های زیر را با استفاده از توابع گویا مشخص کنید:

الف) یک بیضی با معادله x2 + 4y2 = 1.

ب) هذلولی با معادله xy = 1.

ج) هذلولی با معادله x2 - y2 = 1.

جهت ها. ب) اگر x = t، y = 1 / t. ج) سمت چپ را فاکتور بگیرید.

وظیفه 21.12. الف) پنج راه حل معادله x2 + y2 = 1 را در اعداد گویا مثبت نشان دهید.

ب) پنج راه حل معادله a2 + b2 = c2 را در اعداد طبیعی نشان دهید.

§ 22. تبدیل اثر به جمع و مبلغ به اثر

بگذارید یکی زیر فرمول های دیگر برای سینوس مجموع و سینوس تفاوت بنویسیم:

sin (α + β) = گناه α cos β + cos α sin β; sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β.

با اضافه کردن این فرمول ها، sin (α + β) + sin (α - β) = 2 sin α cos β یا

sin α cos β = 1 2 (sin (α + β) + sin (α - β)).

با استفاده از فرمول های کسینوس مجموع و تفاوت به روشی مشابه، به دست می آوریم:

cos (α + β) + cos (α - β) = 2 cos α cos β. cos (α + β) - cos (α - β) = -2 sin α sin β،

از جایی که چنین فرمول هایی به دست می آید:

cos α cos β = 1 2 (cos (α - β) + cos (α + β))

sin α sin β = 1 2 (cos (α - β) - cos (α + β))

ما فرمول هایی را به دست آورده ایم که به ما امکان می دهد از حاصل ضرب توابع مثلثاتی به مجموع آنها عبور کنیم. بیایید اکنون یاد بگیریم که چگونه انتقال را در جهت دیگر انجام دهیم: از مجموع به محصول.

به عنوان مثال، فرمول را در نظر بگیرید

2 sin α cos β = گناه (α + β) + گناه (α - β).

در سمت راست این فرمول α + β را با x و α - β را با y نشان می دهیم. با جمع و تفریق تساوی α + β = x و α - β = y، در می یابیم که α = (x + y) / 2، β = (x - y) / 2. با جایگزینی این عبارات در سمت چپ فرمول و خواندن فرمول از راست به چپ، در نهایت می‌گیریم:

sin x + sin y = 2 sin x + y cosx - y. 2 2

جایگزین کردن در فرمول به دست آمده −y به جای y،

sin x - sin y = 2 sin x - y cosx + y. 2 2

اگر فرمول های cos α cos β و برای sin α sin β را به همان روشی که با فرمول sin α cos β پردازش کردیم، به این نتیجه رسیدیم:

(به علامت منفی در فرمول دوم توجه کنید).

وظیفه 22.1. این فرمول ها را ثابت کنید.

فرمول های تبدیل مجموع توابع مثلثاتی به یک محصول را می توان به صورت هندسی نیز به دست آورد. در بسیار

در واقع، ما از مبدأ بردار به تعویق می افتیم

داشتن طول 1 و تشکیل

با جهت مثبت محور

زوایای آبسیسا α و β به ترتیب. بگذار

(شکل 22.1). سپس، بدیهی است

OA = (cos α؛ sin α)،

OB = (cos β؛ sin β)،

= (cos α + cos β؛ گناه α + گناه β).

از طرف دیگر، از آنجایی که OA = OB = 1، متوازی الاضلاع OACB یک لوزی است. بنابراین، OC نیمساز زاویه AOB است،

از آنجا BOC =

α - 2

و برای مثلث متساوی الساقین OBC

از آنجایی که بردار

با محور آبسیسا یک زاویه β + ایجاد می کند

مقایسه دو عبارت برای مختصات برداری

cos α + cos β = 2 cos

sin α + sin β = 2 sin

مطابق با فرمول های مشتق شده ما

وظیفه 22.2. اثبات هویت:

الف) گناه (α + β) گناه (α - β) + گناه (β + γ) گناه (β - γ) +

Sin (γ + α) sin (γ - α) = 0;

ب) 4 گناه α sin (π / 3 - α) گناه (π / 3 + α) = گناه 3α;

ج) cos α + cos 2α + cos 6α + cos 7α = 4 cos α 2 cos5 2 α cos 4α.

وظیفه 22.3. با فرض α + β + γ = π، برابری ها را ثابت کنید:

ب) sin α + sin β + sin γ = 4 cos

ج) sin2 α + sin2 β + sin2 γ = 2 + 2 cos α cos β cos γ.

وظیفه 22.4. بگذارید زوایای α، β، γ در مثلث مقابل اضلاع a، b، c قرار بگیرند. فرمول ها را ثابت کنید:

			α - 2 β					α - 2 β

این فرمول ها فرمول های Regiomontan یا قضیه مماس نامیده می شوند.

وظیفه 22.5. الف) با این فرض که α + β + γ + δ = π، هویت را ثابت کنید:

sin α sin γ + sin β sin δ = گناه (α + β) گناه (β + γ).

ب) چهارضلعی ABCD به صورت دایره ای محاط شده است. ثابت کنید که AB CD + BC AD = AC BD (در یک چهار ضلعی محاطی، مجموع حاصلضرب اضلاع مقابل برابر است با حاصل ضرب قطرها - قضیه بطلمیوس).

فرمول هایی که در این قسمت مطالعه کردیم در مهندسی رادیو استفاده می شود. فرض کنید باید صدای گوینده را با فرکانس مثلاً 300 از طریق رادیو مخابره کنیم. روی چنین فرکانس های پایینانتقال رادیویی غیرممکن است: فرکانس امواج رادیویی مورد استفاده برای پخش را می توان در میلیون ها اندازه گیری کرد. امواج

چنین فرکانس هایی به شرح زیر استفاده می شود. در حالی که گوینده ساکت است، فقط امواج رادیویی پخش می شود فرکانس بالاω (فرکانس حامل - نمودار را در شکل 22.2 a ببینید).

هیچ اطلاعاتی با این سیگنال مخابره نمی شود. حالا اجازه دهید بلندگو شروع به تولید صداهایی با فرکانس η کند (η بسیار کمتر از ω است). سپس سیگنال u = (A sin ηt) sin ωt روی آنتن می رود. نمودار تقریبی آن در شکل نشان داده شده است. 22.2 ب. می توان گفت که دامنه نوسانات فرکانس بالا ω خود دچار نوسانات با فرکانس کم η می شود. همانطور که می گویند، یک سیگنال فرکانس بالا توسط یک سیگنال فرکانس پایین مدوله می شود (همه اینها فقط یک نمودار تقریبی از آنچه در واقع در گیرنده اتفاق می افتد است).

ما عبارت سیگنال مدوله شده را تبدیل می کنیم:

u = A sin ηt sin ωt = A 2 cos (ω - η) t −A 2 cos (ω + η) t.

همانطور که می بینید، سیگنال مدوله شده ما چیزی بیش از مجموع سیگنال هایی با فرکانس ω + η و ω - η نیست. بنابراین وقتی می گویند که یک ایستگاه رادیویی در یک فرکانس، مثلاً ω = 10 ارسال می کند، باید به خاطر داشت که در واقع نه تنها امواج رادیویی با فرکانس ω به هوا می روند، بلکه امواج همه فرکانس ها از بازه [ω نیز به هوا می روند. −η; ω + η] که در آن η حداکثر فرکانس سیگنال مفید ارسال شده توسط ایستگاه رادیویی است. این بدان معناست که فرکانس‌های حامل ایستگاه‌های رادیویی مختلف نمی‌توانند خیلی نزدیک به یکدیگر باشند: اگر بخش‌های [ω -η; ω + η] همپوشانی خواهند داشت، سپس ایستگاه های رادیویی با یکدیگر تداخل خواهند داشت.

یکی دیگر از کاربردهای فرمول های این بخش، محاسبه مجموع کسینوس ها یا سینوس های اعدادی است که محاسبات را تشکیل می دهند.

پیشرفت فیزیکی (در فیزیک، از چنین محاسباتی برای مطالعه پدیده پراش استفاده می شود).

فرض کنید باید عبارت را ساده کنیم

cos α + cos (α + h) + cos (α + 2h) +. ... ... + cos (α + 10 ساعت).

برای شروع، این مسئله را به صورت هندسی حل می کنیم و سپس نشان خواهیم داد که چگونه فرمول های ما را می توان برای آن اعمال کرد. بردارهای زیر را در نظر بگیرید: a0 = (cos α؛ sin α)، a1 = (cos (α + h)، sin (α + h))،. ... ... ، a10 = (cos (α + 10h)؛ sin (α + 10h)). بدیهی است که مجموع مورد نیاز ابسیسا بردار a0 + a1 + است. ... ... + a10. بیایید این مجموع بردارها را پیدا کنیم.

برای این کار، OA1 = a0 را از مبدا، A1 A2 = a1 را از نقطه A1 و غیره به تعویق می اندازیم (شکل 22.3). سپس a0 + a1 +. ... ... + a10 = OA11.

برنج. 22.3. OA1 = a0، A1 A2 = a1،. ... ... ، A10 A11 = a10.

برای یافتن مختصات بردار OA، طول و زاویه تمایل آن را نسبت به محور آبسیسا می‌یابیم. برای انجام این کار، توجه داشته باشید که هر یک از بخش های OA1، A1 A2،. ... ... طول آن 1 است و نسبت به قبلی با همان زاویه h رادیان می چرخد. بنابراین نقاط O, A1, A2,. ... ... ، A11 روی همان دایره دراز بکشید. مرکز آن Z نقطه تقاطع عمود بر قطعات OA1 و A1 A2 است. اگر FZ و GZ این عمودها باشند، F ZG = h، به طوری که F ZA1 = h / 2 و شعاع دایره R برابر است با F A1 / sin F ZA1 = 1/2 sin (h / 2) (یادآوری که طول ها از

برش های OA1 و A1 A2 برابر با یک هستند). از آنجا که، بدیهی است، OZA1 = = A1 ZA2 =. ... ... = A10 ZA11 = h، سپس OZA11 = 11h، و از مثلث متساوی الساقین OZA11 داریم

OA11		OZA11

برای یافتن زاویه تمایل بردار OA11 به محور آبسیسا، جایگزین

توجه داشته باشید که زاویه مرکزی A1 ZA11 = 10h، به طوری که محاط است

زاویه A11 OA1 روی قوس A1 A11 10h / 2 = 5h است و A11 OX = A11 OA1 + α = α + 5h است. به این معنا که،

OA11 = (OA11 cos (α + 5h)؛ OA11 sin (α + 5h)) =
	sin 11h cos (α + 5h)	sin 11h sin (α + 5h)

با مقایسه دو رکورد برای مختصات بردار OA11، فرمول ها را بدست می آوریم:

cos α + cos (α + h) + cos (α + 2h) +. ... ... + cos (α + 10h) =

	sin 11h cos (α + 5h)
sin α + sin (α + h) + sin (α + 2h) +. ... ... + sin (α + 10h) =
			sin 11h sin (α + 5h)

اولین مورد از این فرمول ها همان چیزی است که ما به دنبال آن بودیم، دومی به عنوان یک محصول جانبی ظاهر شد.

همانطور که می بینید، محاسبات بسیار طولانی بود. علاوه بر این، خواننده متحرک ممکن است متوجه شود که نقاشی در شکل 22.3 فقط برای h به اندازه کافی کوچک به دست می آید و برای h بزرگ خط شکسته OA1 · · · A10 A11 می تواند کل دایره را دور بزند، و بیش از یک بار، بنابراین نقاشی متفاوت خواهد بود. در واقع، فرمول ما برای همه α و h صادق است (مگر اینکه مخرج sin (h / 2) صفر باشد؛ اما دومی فقط در صورتی امکان‌پذیر است که h = 2πn برای برخی از اعداد صحیح n باشد، و سپس بدون هیچ فرمولی مشخص می‌شود که مجموع است

- sin α + m -

با جایگزین کردن این به فرمول ما، می بینیم که مجموع برابر است با

α + 2

Sin α + 10 + 2

h - sin α + 9 + 2

اگر پرانتزها را باز کنید، تمام شرایط لغو می شود، به استثنای

- گناه α -							h و مجموع آن خواهد بود
	sin (α + (10 + 2 1) h) - sin (α -h 2)							2 sin 11 2 h cos (α + 5h)

(مجموع را به حاصلضرب تبدیل کردیم). با لغو دو در صورت و مخرج، همان فرمولی را به دست می آوریم که از نظر هندسی پیدا کردیم.

محاسبه دوم ما کوتاهتر است و راحت تر از اولیاما کمتر طبیعی وقتی با اعداد مختلط آشنا شدیم، یاد خواهیم گرفت که چگونه چنین مجموعی را به طبیعی ترین (هر چند نه کوتاه ترین) راه پیدا کنیم.

در پایه دهم دانش آموزان بخشی از جبر را مانند مثلثات می گذرانند. در تعداد زیادی درس مطالعه خواهد شد.

خود مثلثات به عنوان یک علم بیش از دو هزار سال پیش ظاهر شد. از آنجایی که عملیات معمول جبری برای بیان توابع مثلثاتی کافی نبود، دانشمندان مجبور شدند نماد جدیدی را معرفی کنند. این علم به بررسی رابطه بین اضلاع مثلث و زوایای آن می پردازد. در بسیاری از مسائل هندسی و جبری پرداختن به این حوزه ضروری می شود. مشکلات فیزیک نیز گاهی منجر به توابع مثلثاتی می شود.

دانش‌آموزان قبلاً توابع مثلثاتی اساسی را مطالعه کرده‌اند، یاد گرفته‌اند که چگونه نمودارهای خود را بسازند، تبدیل، فرمول‌های اساسی در مثلثات را بسازند، از جدول مقادیر آرگومان‌هایی که اغلب در مثلثات یافت می‌شوند و غیره استفاده کنند. برای مطالعه این درس ویدیویی، آنها قبلاً با آن کنار آمدند مقدار زیادعبارات و معادلات مثلثاتی

در برخی از مثال ها، تبدیل فرمول حاصل از مجموع تابع مثلثاتی به یک محصول ضروری می شود. می توانید از این عمل برای کوتاه کردن و ساده کردن عبارات بزرگ، حل معادلات، سیستم معادلات و موارد دیگر استفاده کنید.

فیلم ضبط شده "تبدیل مجموع توابع مثلثاتی به آثار" یک ماده همراه عالی در مطالعه این موضوع است. معلمان می توانند از مثال هایی که در منبع، تعاریف و فرمول ها آورده شده است استفاده کنند. فایل مدیا کیفیت عالی دارد. می توان آن را در طول درس پخش کرد. این به دانش آموزان کمک می کند تا روی موضوع مورد مطالعه تمرکز کنند.

در ابتدای درس ویدیویی، گوینده می گوید که برخی از فرمول های جمع روی صفحه نمایش داده می شود که به حل معادلات مثلثاتی کمک می کند.

اول از همه، مجموع سینوس ها در نظر گرفته می شود. عبارت اول مجموع سینوس مجموع دو آرگومان و سینوس اختلاف همان آرگومان است. هر عضو طبق فرمول هایی که قبلاً مورد مطالعه قرار گرفت امضا می کند. به منظور یادآوری دانش آموزان در سمت راست صفحه نمایش داده می شوند.

با علامت گذاری کامل، گسترش پرانتز و ساده سازی، به یک اثر می رسیم. جایگزینی با متغیرها انجام می شود. X-th نشان دهنده مجموع آرگومان ها، y-th - تفاوت است. با جایگزینی عبارت به دست آمده، اولین فرمول برای تبدیل مجموع به یک حاصل ضرب در مثلثات را دریافت می کنیم.

برای دانش آموزان مدرسه ای که این فرمول را به خاطر بسپارند، نشان دادن راه رسیدن به آن کافی نیست. لازم است سعی شود با مثال حل شود. مجموع سینوس های برخی مقادیر داده شده است. با فرمول به محصول تبدیل می شود.

فرمول دوم که دریافت آن مرحله به مرحله نشان داده خواهد شد، اختلاف سینوس ها است. برای اینکه مراحل قبلی را به اضافه انجام ندهید، می توانید از فرمولی که قبلاً برای مقدار بدست آمده استفاده کنید. به یاد داشته باشید که سینوس یک تابع فرد است. اگر مابه التفاوت را به صورت مجموع بنویسیم و در فرمول جمع یک منهای را جایگزین کنیم، قانون جدیدی برای تبدیل تفاوت به حاصلضرب بدست می آید.

یک مثال به روش مشابه آورده شده است. گوینده تصمیم خود را به تفصیل توضیح می دهد.

مجموع و تفاضل کسینوس ها با مثال ها به همین ترتیب آورده شده است. فرمول های قبلا مطالعه شده به روشی مشابه استفاده می شوند، جایگزینی داده می شود و نتیجه نمایش داده می شود. هنگام استخراج فرمول تفاوت، می توان به این واقعیت متوسل شد که کسینوس یک تابع زوج است.

هنگام حل معادله، سمت چپ به یک محصول تبدیل می شود. همانطور که می دانید زمانی برابر صفر خواهد بود که برخی از عوامل نیز برابر با صفر باشند. بنابراین تبدیل به اثر بسیار مفید خواهد بود.

در نهایت، مثال دیگری، پیچیده تر، آورده شده است. می‌توانید مسیر درست را به دانش‌آموزان بگویید و اگر اصل را به‌عنوان یک کل درک کنند، خودشان با مثال کنار می‌آیند.

ضبط ویدئو برای دانش آموزان مدرسه ای که در خانه تحصیل می کنند بسیار مفید خواهد بود. با آن می توانید استاد شوید فرمول های مهم، بدون آن حل معادلات مثلثاتی دشوار و گاهی غیر ممکن خواهد بود.

کد متن:

تبدیل مجموع توابع مثلثاتی به محصولات

امروز به چند مورد دیگر خواهیم پرداخت فرمول های مثلثاتی، که اجازه می دهد مجموع (تفاوت) سینوس ها یا کسینوس ها فاکتورسازی شود. این فرمول ها هنگام حل معادلات مثلثاتی مفید خواهند بود.

فرمول اول جمع سینوس ها است.

عبارت sin (s + t) + sin (s - t) را در نظر بگیرید، جایی که s و t آرگومان های توابع مثلثاتی هستند.

ما فرمول های شناخته شده قبلی را برای مجموع سینوس و تفاوت سینوس اعمال می کنیم:

sin (x - y) = sin xcos y - cos xsin y,

سپس بیان گناه ( س +تی) شکل sin را خواهد داشت س cos تی+ cos سگناه تی

و بیانگناه (s - t) گناه خواهد بود س cos تی- cos سگناه تی,

سپس دریافت می کنیم:

گناه ( س +تی) + گناه ( س - تی) = (گناه س cos تی+ cos سگناه تی) + (گناه س cos تی- cos سگناه تی)

پرانتزها را باز کنید:

گناه س cos تی+ cos سگناه تی+ گناه س cos تی- cos سگناه تی

ما محاسبات را انجام می دهیم:

cos سگناه تی- cos سگناه تی=0

گناه س cos تی+ گناه س cos تی= 2 گناه س cos تی

گناه ( س +تی) + گناه ( س - تی) = (گناه س cos تی+ cos سگناه تی) + (گناه س cos تی- cos سگناه تی) = گناه س cos تی+ cos سگناه تی+ گناه س cos تی- cos سگناه تی= 2 گناه س cos تی

بنابراین، دریافتیم که عبارت sin (s + t) + sin (s - t) = 2 sin س cos تی.

بیایید متغیرهای جدید را معرفی کنیم x =س +تی و y =س- تی.

این برابری ها را ترم به ترم اضافه می کنیم، می گیریم

x + y= س +تی + س- تی.

x + y= 2س

مقدار را پیدا کنیدس

س= .

در حالت دوم، این برابری ها را جزء به جزء کم می کنیم و به دست می آوریم

NS - در= س +تی- (s - ت)

NS - در= س +تی- س + تی

x - y= 2تی

مقدار را پیدا کنیدتی

در بیان گناه (ص + ت) + گناه (س - ت) = 2 گناه س cos تی

جایگزین کردن s و t برای متغیرهای جدیدی که معرفی کردیم:

س +تیبا x جایگزین کنید

س- تیتعویض با در

سبر

تیبر.

سپس دریافت می کنیم:

sinх + sinу = 2 sincos

(مجموع سینوس های دو آرگومان برابر است با حاصل ضرب مضاعف سینوس مجموع نصف این آرگومان ها با کسینوس نیم تفاضل آنها).

sin 7x + sin3x = 2 sin cos = 2 sin5x cos2x.

فرمول دوم SINUS DIFERENCE است.

برای اینکه بتوانیم فرمول مشتق شده از قبل را برای مجموع سینوس های دو آرگومان sinх + sinу = 2 sincos اعمال کنیم.

بیایید از این واقعیت استفاده کنیم که سینوس یک تابع فرد است، i.e. - sinу = گناه (- у)

sinx - sinу = sinx + sin (- y)

حالا فرمول مجموع سینوس ها را اعمال می کنیم، به دست می آوریم

2 گناه cos = 2 گناه cos

گناه x - گناه y = گناه x + گناه (- y) = 2 گناه cos = 2 گناه cos

بنابراین، فرمول تفاضل سینوس ها را به دست آوردیم:

sinх - sinу = 2 گناه cos (تفاوت سینوس های دو آرگومان برابر است با حاصلضرب سینوس نیم تفاضل این آرگومان ها با کسینوس نیم جمع آنها).

مثال. عبارت sin 77 ° - sin 17 ° را ساده کنید.

گناه 77 درجه - گناه 17 درجه = 2 گناه cos = 2 گناه قیمت 47 درجه

(از آنجا که گناه 30º =، پس) = 2 ∙ ∙ cos = cos.

فرمول سوم SUUM OF COSINUS است.

برای بیان cos (s + t) + cos (s - t)، از فرمول های قبلا شناخته شده برای کسینوس مجموع و کسینوس تفاوت استفاده می کنیم:

cos (x - y) = cos xcos y + sin x sin y،

در عبارت cos (s + t) + cos (s - t)، مقادیر فرمول ها را جایگزین می کنیم و به دست می آوریم:

cos ( س+تی) + cos ( س - تی) = cos س cos تی- گناه سگناه تی+ cos س cos تی+ گناه سگناه تی= 2 cos س cos تی

از این رو cos ( س+تی) + cos ( س - تی) = 2 cos س cos تی

بیایید متغیرهای جدید را معرفی کنیم x =س +تی و y =س - تی... همانطور که در اشتقاق فرمول SUM OF SINUSES.

س +تیبا x جایگزین کنید

س- تیتعویض با در

سبر

تیبر.

و فرمول مجموع کسینوس ها را بدست می آوریم

cos x + cozy = 2 cos cos

(مجموع کسینوسهای دو آرگومان برابر است با حاصلضرب کسینوس نصف مجموع این آرگومانها با کسینوس نیم تفاضل آنها).

مثال. عبارت cos (x + 2y) + cos (3x - 2y) را ساده کنید.

cos (x + 2y) + cos (3x - 2y) = 2 coscos =

2cos 2x cos (- x + 2y) = 2cos 2x cos (- (x - 2y)) (و چون cos (- t) = هزینه، پس) =

2cos2x cos (x - 2y).

فرمول چهارم، تفاضل کسینوس است.

برای بیان cos (s + t) - cos (s - t)، از فرمول های قبلا شناخته شده برای کسینوس مجموع و کسینوس تفاوت استفاده می کنیم:

cos (x + y) = cos x cos y - sin x sin y

cos (x - y) = cos xcos y + sin x sin y، می گیریم

cos ( س+تی) - cos ( س - تی) = cos س cos تی- گناه سگناه تی- cos س cos تی- گناه سگناه تی= - 2سین سگناه تی... متغیرهای جدید را معرفی کنید NS= s +تیو در= s - تی، به معنای، s = و t =... جایگزینی نام های وارد شده در فرمول:

cos ( س+تی) - cos ( س - تی) = - 2سین سگناه تی، فرمول تفاضل کسینوس را بدست می آوریم:

cosх - cosу = -2sin sin (تفاوت کسینوس های دو آرگومان برابر است با حاصلضرب سینوس مجموع نیمی از این آرگومان ها و سینوس نصف تفاضل آنها که با علامت منفی گرفته می شود).

مثال. عبارت cos - cos را ساده کنید.

cos - cos = - 2sin گناه = - 2 گناه گناه (از گناه = پس) =

2 ∙ ∙ گناه = - گناه.

مثال 1. معادله cos6x + cos2x = 0 را حل کنید.

راه حل. تبدیل مجموع کسینوس ها به یک ضرب با استفاده از فرمول:

(cos x + cozy = 2 cos cos,

ما 2cos4x cos2x = 0 می گیریم. این معادله به یک برابری واقعی تبدیل می شود اگر

مثال 2. معادله sin7x + sin3x - sin5x = 0 را حل کنید.

راه حل. برای مجموع جمله های اول و دوم از فرمول مجموع سینوس ها استفاده می کنیم

sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y

(sin7x + sin3x) - sin5x = 0

2 سینکو - sin5x = 0

sin5x (2 cos2x - 1) = 0.

sin5x = 0 یا 2 cos2x - 1 = 0،

راه حل های معادله sint = a برای a = 0 پذیرفته می شوند:

sint = 0 برای t = πk،

سپس دریافت می کنیم

x =، (pi en تقسیم بر پنج)

با استفاده از مقادیر جدولی کسینوس و تعیین جواب معادله هزینه = a، که در آن (| a | 1) به صورت کلی بنویسید:

t = آرکوس آ+ 2πk

معادله دوم cos2x = جواب های زیر را دارد

2x = arccos + 2πn،

(بعلاوه منهای پی با شش به اضافه پی ان).

کلید موفقیت با جمع کردن در توانایی ما برای تبدیل یک مجموع به مجموع دیگر نهفته است - یا ساده کردن اصل یا نزدیکتر کردن ما به هدف. و هنگامی که چند قانون اساسی تحول را یاد گرفتید و تمرین کردید، به راحتی می توانید بر این توانایی مسلط شوید.

اجازه دهید K مجموعه ای محدود از اعداد صحیح باشد. مجموع عناصر K را می توان بر اساس سه قانون ساده تبدیل کرد:

قانون توزیع اجازه ورود و کسر ثابت ها را در زیر علامت و فراتر از علامت می دهد. قانون ترکیب به شما این امکان را می دهد که یک مقدار را به دو تقسیم کنید یا دو مقدار را در یک ترکیب کنید. قانون انتقال بیان می کند که شرایط مبلغ را می توان به هر ترتیب دلخواه بازآرایی کرد. اینجا مقداری جایگشت مجموعه همه اعداد صحیح است. به عنوان مثال، اگر و اگر پس این سه قانون به ترتیب بیان می کنند که

ترفند گاوس از چ. 1 را می توان یکی از کاربردهای این سه قانون اساسی دانست. فرض کنید می خواهیم

مقدار را محاسبه کنید پیشرفت حسابینمای کلی

طبق قانون جابجایی، با جایگزینی k به دست می آوریم

این دو معادله را می توان با استفاده از قانون ترکیب اضافه کرد:

حالا بیایید قانون توزیع را اعمال کنیم و مجموع ناچیز را محاسبه کنیم:

با تقسیم بر 2 متوجه می شویم که

سمت راست را می توان به عنوان میانگین اولین و آخرین عبارت به خاطر آورد، یعنی ضرب در تعداد عبارت ها، یعنی در

مهم است که در نظر داشته باشید که تابع در شکل کلی قانون جابجایی (2.17) جایگشت همه اعداد صحیح در نظر گرفته می شود. به عبارت دیگر، برای هر کل باید دقیقا یک k کل وجود داشته باشد، به طوری که. در غیر این صورت، قانون انتقال ممکن است محقق نشود - اعمال. 3 مثال خوبی است. تبدیل های نوع c یا جایی که c ثابت عدد صحیح است همیشه جایگشت هستند، بنابراین خوب هستند.

با این حال، می توان محدودیت در جایگشت را کمی تضعیف کرد: فقط کافی است که دقیقاً یک عدد صحیح k وجود داشته باشد به طوری که عنصری از مجموعه شاخص K کی باشد. اگر (یعنی اگر به K تعلق نداشته باشد) ضروری نیست، زیرا غالباً برابری مکان دارد زیرا مشابه در جمع شرکت نمی کند. بنابراین، برای مثال، می توان استدلال کرد که

زیرا دقیقاً یک k وجود دارد که وقتی زوج باشد.

نماد آیورسون، که به فرد اجازه می دهد تا 0 یا 1 را به عنوان مقادیر عبارات منطقی در یک فرمول خاص به دست آورد، می تواند همراه با قوانین توزیع، ترکیب و جابجایی برای نشان دادن ویژگی های اضافی مجموع استفاده شود. مثلا، قانون مهماتحادیه های مجموعه های مختلف شاخص: اگر مجموعه ای از اعداد صحیح هستند، پس

این از فرمول های کلی به دست می آید

معمولاً از قانون (2.20) برای الحاق دو مجموعه شاخص تقریباً غیرمتناسب استفاده می شود.

یا به عنوان مورد، یک عضو جداگانه از مبلغ را جدا کنید

این عملیات تخصیص یک عضو اساس روش کاهش است که اغلب به شما امکان می دهد مبلغ خاصی را به صورت بسته محاسبه کنید. ماهیت این روش این است که با مقداری که باید محاسبه شود شروع و آن را تعیین کنید

(نشان دهید و فتح کنید.) سپس به دو صورت بازنویسی می کنیم و هر دو عبارت آخر و اول را برجسته می کنیم:

حال می‌توانیم به جمع آخر بپردازیم و سعی کنیم آن را به صورت «اگر تلاش موفقیت آمیز بود» بیان کنیم، معادله‌ای به دست می‌آید که جواب آن حاصل جمع مورد نظر خواهد بود.

برای مثال از این روش برای یافتن مجموع استفاده می کنیم پیشرفت هندسینمای کلی

مطابق با طرح کلیکاهش (2.24)، جمع در فرم بازنویسی می شود

و مجموع سمت راست برابر قانون توزیع است. بنابراین، و با حل این معادله با توجه به، به دست می آوریم

(برای x = 1، این مجموع، البته، به سادگی برابر است با سمت راست این فرمول را می توان به عنوان تفاوت بین اولین و اولین عبارت غیر شامل، تقسیم بر تفاضل 1 و مخرج حفظ کرد. پیشرفت

همه اینها کاملاً ساده بود، بنابراین بیایید روش ریخته گری را با مبلغ کمی دشوارتر امتحان کنیم.

این فیلم آموزشی برای دانش آموزان پایه دهم طراحی شده است. به کمک آن می توانند مبحث «تبدیل محصولات عبارات مثلثاتی به مجموع» را مطالعه کنند. مطالب آموزشی با صدای آرام مردانه همراه است. با استفاده از آن می توانید یک درس جالب و آموزنده در مدرسه برگزار کنید. با تصاویر و تعاریفی که به صورت متن واضح روی صفحه نمایش داده می شود، دانش آموزان می توانند موضوع را سریعتر و موثرتر درک کنند.

علیرغم این واقعیت که مثلثات، به عنوان یک علم، مدت ها پیش ظاهر شد، اما ارتباط خود را تا به امروز از دست نداده است. در علوم مختلف، مشکلاتی ظاهر می شود که در راه حل آنها دانش آموزان باید با این حوزه روبرو شوند. به همین دلیل، آنها باید بتوانند با مثال هایی با پیچیدگی های مختلف کنار بیایند، توابع حاوی سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت و غیره را در نظر بگیرند.

از آنجایی که مثلثات شامل مقدار زیادیفرمول هایی که بدون آنها ساده سازی این یا آن عبارت زمان زیادی می برد. بنابراین حفظ و درک این فرمول ها بسیار مهم است. اگر نحوه استخراج آنها را درک کنید، می توانید به راحتی آنها را به خاطر بسپارید و آنها را در عمل به کار ببرید. برای اینکه آنها در خاطره باقی بمانند مدت زمان طولانی، تقویت آنها در عمل ضروری است. بنابراین لازم است معلمان در منزل سوال کنند تعداد زیادی ازعبارات مثلثاتی و معادلات برای دانش آموزان.

این فیلم آموزشی توسط افراد حرفه ای گردآوری شده است. ساختاری ثابت دارد، هیچ اطلاعات غیرضروری و غیرضروری که از برنامه درسی منحرف شود وجود ندارد.

دانش آموزان از قبل می دانند که چگونه معادلات مثلثاتی یک مجموع را به یک محصول تبدیل کنند. نحوه انجام آن در صورت لزوم روند معکوس? گاهی اوقات لازم است این یا آن عبارت را ساده کنیم.

بررسی با یک مثال آغاز می شود. حاصل ضرب سینوس مقداری t با کسینوس با همان مقدار نوشته می شود. این عبارت از طریق یک کسری تبدیل می شود، جایی که در صورت حساب مجموع سینوس مجموع آرگومان ها و تفاوت را تقسیم بر 2 می بینیم.

به همین ترتیب، حاصل ضرب سینوس برخی s و سینوس t تبدیل می شود.

برای تجمیع این عبارات در عمل، حل چند مثال پیشنهاد شده است. در اولین مورد، پیشنهاد شده است که پاسخ عددی عبارت را پیدا کنید که حاصل ضرب سینوس 2x توسط کسینوس 9x است. هنگام تصمیم گیری این مثالاز فرمول آموخته شده قبلی استفاده می شود. صفحه نمایش نشان می دهد راه حل دقیقبه عنوان مثال، همچنین نشان می دهد که کدام فرمول استفاده می شود.

در مرحله بعد، مثال دیگری در نظر گرفته می شود که در آن پیشنهاد می شود یک محصول را به مبلغ تبدیل کنید. تمام محاسبات و توضیحات در سمت راست نمایش داده می شود. درک چگونگی حل این مثال چندان دشوار نیست، زیرا گوینده در مورد همه چیز با جزئیات نظر می دهد.

مثال سوم ساده کردن عبارت را پیشنهاد می‌کند که از حاصل ضرب سه سینوس با مقادیری چند درجه تشکیل شده است. ساده سازی از فرمول برای تبدیل حاصل ضرب سینوس ها به جمع استفاده می کند. هنگام حل این مثال، توجه به این واقعیت جلب می شود که تابع کسینوس یک تابع زوج است. بنابراین، علائم به درستی شناسایی می شوند. پاسخ نمایش داده می شود. راه حل بسیار حجیم است، با این حال، اگر آن را مرحله به مرحله در نظر بگیرید، هیچ چیز نامفهومی باقی نمی ماند.

مثال چهارم شامل معادله مثلثاتی، در حل آن لازم است از فرمول های مورد مطالعه استفاده شود، مانند این درسو در ویدیوهای قبلی

همانطور که قبلا ذکر شد، از این ارائه می توان برای آموزش یک درس جذاب برای دانش آموزان پایه دهم استفاده کرد. هم معلمان و هم دانش آموزان می توانند مطالب را دانلود کنند. با آن می توانید به صورت بصری دانش آموز را نشان دهید راه حل گام به گامنمونه‌هایی که دانش‌آموزان هم در حین انجام تکالیف و هم در مستقل و کنترل کار می کنددر مدرسه.

کد متن:

تبدیل محصولات عبارات مثلثاتی به مجموع

شما قبلاً می دانید که هر فرمول ریاضی در عمل از راست به چپ و از چپ به راست استفاده می شود. بنابراین با اعمال فرمول در جهت مخالف، می‌توان حاصل ضرب تابع مثلثاتی را به مجموع تبدیل کرد.

بیایید یک مثال را در نظر بگیریم:

از فرمول تبدیل مجموع سینوس های آرگومان های ec و te به حاصلضرب sin ( س +تی) + گناه ( س - تی) = 2 گناه س cos تی

می توانید فرمول دیگری دریافت کنید:

گناه س cos تی= (محصول سینوس آرگومان es و کسینوس برهان te برابر است با نصف مجموع سینوس مجموع آرگومان‌های es و te و سینوس تفاوت بین آرگومان‌های es و te، و این تفاوت به گونه ای گرفته می شود که زاویه زیر علامت کسینوس از استدلال زیر علامت سینوس کم می شود.)

گناه ( س +تی) + گناه ( س - تی) = 2 گناه س cos تی

گناه س cos تی =

به طور مشابه، از فرمول تبدیل مجموع کسینوس آرگومان های ec و te به حاصل ضرب cos ( س+تی) + cos ( س - تی) = 2 cos س cos تیگرفتن

cos س cos تی= (ضرب کسینوس آرگومان های es و te برابر است با نصف مجموع کسینوس مجموع این آرگومان ها و کسینوس تفاوت آنها).

و از فرمول تبدیل تفاوت کسینوس آرگومان های ec و te به حاصل ضرب cos ( س+تی) - cos ( س - تی) = - 2سین سگناه تیما داریم

گناه سگناه تی= (محصول سینوس های آرگومان های es و te برابر است با نصف اختلاف کسینوس تفاوت بین این آرگومان ها و کسینوس مجموع آنها).

بیایید به چند نمونه نگاه کنیم.

مثال 1. حاصلضرب را به مجموع sin2x cos9x تبدیل کنید.

راه حل. هنگام حل از فرمول sin استفاده می کنیم س cos تی=، که در آن s = 2x، t = 9x. سپس می نویسیم

sin2хcos 9х = = ( با توجه به آن

گناه(-y) = -گناهy، می گیریم) = (نصف اختلاف سینوس یازده x و سینوس هفت x).

پاسخ: sin2x cos9x =.

مثال 2. حاصلضرب را به مجموع cos (2x - y) cos (x + 4y) تبدیل کنید (محصول کسینوس آرگومان دو x منهای y توسط کسینوس آرگومان x به اضافه چهار y).

راه حل. هنگام حل، از فرمول cos استفاده می کنیم س cos تی=، که در آن s = (2x-y)، t = (x + 4y). سپس

cos (2x - y) cos (x + 4y) = = پرانتزها را باز کنید =، محاسبات را انجام دهید و بدست آورید

= (نیم مجموع کسینوس آرگومان سه x به اضافه سه y و کسینوس آرگومان x منهای پنج y).

مثال 3. عبارت sin20 ° sin40 ° sin80 ° را ساده کنید.

راه حل. بیایید فرمول را اعمال کنیم: گناه سگناه تی= .

گناه 20 درجه گناه 40 درجه گناه 80 درجه = ∙ گناه 80 درجه = ∙ گناه 80 درجه =

(ما در نظر می گیریم که کسینوس یک تابع زوج است، به این معنی

= ∙ گناه 80 درجه از آنجایی که cos60 ° =

= ∙ گناه 80 درجه = ∙) ∙ گناه 80 درجه =

(توجه داشته باشید که sin 80 ° = sin (90 ° - 10 °) = cos10 °، بنابراین ما آن را دریافت می کنیم)

= ∙) ∙ cos10 ° = باز کردن براکت ها = ∙ cos10 ° - ∙ cos10 °

(فرمول cos را اعمال کنید س cos تی =)

= ∙ - ∙ cos10 ° = ∙ () - ∙ cos10 ° =

براکت ها را گسترش دهید

(به یاد داشته باشید که =)

پاسخ: sin20 ° sin40 ° sin80 ° =.

مثال 4. معادله 2 sin2x cos9x - sin11x = 0 را حل کنید.

سمت چپ معادله را با استفاده از فرمول تبدیل کنید

گناه س cos تی=، که در آن s = 2x، و t = 9x به دست می آوریم:

2 ∙ - sin11x = sin11x =.

بنابراین، این معادله معادل معادله = 0 (منهای سینوس هفت x برابر با صفر است). از این رو، = πn، از این رو х =،.