مماس یک خط مستقیم است ، که نمودار تابع را در یک نقطه لمس می کند و تمام نقاط آن در کمترین فاصله از نمودار تابع قرار دارند. بنابراین مماس مماس بر نمودار تابع در یک زاویه مشخص می گذرد و چندین مماس در زوایای مختلف نمی توانند از نقطه مماس عبور کنند. معادلات مماس و معادلات عادی با نمودار تابع با استفاده از مشتق ساخته می شوند.

معادله مماس از معادله خط مستقیم به دست می آید .

معادله خط مماس و سپس معادله نرمال به نمودار تابع را استخراج می کنیم.

y = kx + ب .

در او کشیب است.

از اینجا به رکورد زیر می رسیم:

y - y 0 = ک(ایکس - ایکس 0 ) .

ارزش مشتق f "(ایکس 0 ) عملکرد y = f(ایکس) در نقطه ایکس0 برابر با شیب ک= tg φ مماس بر نمودار تابع رسم شده در یک نقطه م0 (ایکس 0 , y 0 ) ، جایی که y0 = f(ایکس 0 ) ... این هست معنای هندسی مشتق .

بنابراین، ما می توانیم جایگزین کنیم کبر f "(ایکس 0 ) و موارد زیر را دریافت کنید معادله مماس بر نمودار یک تابع :

y - y 0 = f "(ایکس 0 )(ایکس - ایکس 0 ) .

در مسائل ترسیم معادله خط مماس بر نمودار یک تابع (و به زودی به آنها خواهیم پرداخت) لازم است معادله به دست آمده طبق فرمول فوق را به کاهش دهیم. معادله خط مستقیم به صورت کلی... برای این کار باید تمام حروف و اعداد را به سمت چپ معادله منتقل کنید و در سمت راست صفر را رها کنید.

حالا در مورد معادله نرمال. طبیعی خط مستقیمی است که از نقطه مماس بر نمودار تابع عمود بر مماس عبور می کند. معادله نرمال :

(ایکس - ایکس 0 ) + f "(ایکس 0 )(y - y 0 ) = 0

برای گرم کردن، قرار است مثال اول به طور مستقل حل شود و سپس راه حل را ببینید. همه دلایلی وجود دارد که امیدوار باشیم این وظیفه برای خوانندگان ما "دوش آب سرد" نباشد.

مثال 0.یک معادله مماس و یک معادله نرمال بر روی نمودار یک تابع در یک نقطه بنویسید م (1, 1) .

مثال 1.برای نمودار یک تابع یک معادله مماس و یک معادله عادی بنویسید اگر آبسیسا نقطه مماس.

بیایید مشتق تابع را پیدا کنیم:

اکنون ما همه چیزهایی را داریم که باید در ورودی ارائه شده در مرجع نظری جایگزین شود تا معادله مماس را بدست آوریم. ما گرفتیم

در این مثال، ما خوش شانس بودیم: شیب صفر شد، بنابراین نیازی به آوردن معادله به شکل کلی آن به طور جداگانه وجود نداشت. اکنون می توانیم معادله عادی را بسازیم:

در شکل زیر: یک نمودار تابع شرابی، یک مماس سبز، یک نرمال نارنجی.

مثال بعدی نیز پیچیده نیست: تابع، مانند مورد قبلی، نیز چند جمله ای است، اما شیب برابر با صفر نخواهد بود، بنابراین یک مرحله دیگر اضافه می شود - معادله را به یک فرم کلی می رساند.

مثال 2.

راه حل. ترتیب نقطه تماس را پیدا کنید:

بیایید مشتق تابع را پیدا کنیم:

.

مقدار مشتق را در نقطه مماس، یعنی شیب مماس پیدا کنید:

همه داده های به دست آمده را در "فرمول خالی" جایگزین می کنیم و معادله مماس را به دست می آوریم:

معادله را به شکل کلی در می آوریم (همه حروف و اعداد غیر از صفر را در سمت چپ جمع می کنیم و صفر را در سمت راست می گذاریم):

معادله نرمال را می سازیم:

مثال 3.معادله مماس و معادله نرمال به نمودار تابع را بنویسید، اگر ابسیسا نقطه مماس باشد.

راه حل. ترتیب نقطه تماس را پیدا کنید:

بیایید مشتق تابع را پیدا کنیم:

.

مقدار مشتق را در نقطه مماس، یعنی شیب مماس پیدا کنید:

.

معادله خط مماس را پیدا می کنیم:

قبل از اینکه معادله را به یک فرم کلی بیاورید، باید کمی آن را "شانه کنید": در 4 ضرب کنید. این کار را انجام می دهیم و معادله را به شکل کلی می آوریم:

معادله نرمال را می سازیم:

مثال 4.معادله مماس و معادله نرمال به نمودار تابع را بنویسید، اگر ابسیسا نقطه مماس باشد.

راه حل. ترتیب نقطه تماس را پیدا کنید:

.

بیایید مشتق تابع را پیدا کنیم:

مقدار مشتق را در نقطه مماس، یعنی شیب مماس پیدا کنید:

.

معادله خط مماس را بدست می آوریم:

معادله را به شکل کلی در می آوریم:

معادله نرمال را می سازیم:

یک اشتباه رایج هنگام ترسیم معادلات مماس و نرمال این است که متوجه پیچیده بودن تابع ارائه شده در مثال نمی شویم و مشتق آن را به عنوان مشتق یک تابع ساده محاسبه می کنیم. نمونه های زیر قبلاً از توابع پیچیده(درس مربوطه در یک پنجره جدید باز می شود).

مثال 5.معادله مماس و معادله نرمال به نمودار تابع را بنویسید، اگر ابسیسا نقطه مماس باشد.

راه حل. ترتیب نقطه تماس را پیدا کنید:

توجه! این تابع پیچیده است، زیرا آرگومان مماس (2 ایکس) خود یک تابع است. بنابراین، مشتق تابع را به عنوان مشتق تابع مختلط خواهیم یافت.

این مقاله توضیح مفصلی از تعاریف، معنای هندسی مشتق با نمادهای گرافیکی ارائه می دهد. معادله خط مماس با مثال در نظر گرفته می شود، معادلات مماس بر منحنی های مرتبه 2 یافت می شود.

Yandex.RTB R-A-339285-1 تعریف 1

زاویه تمایل خط مستقیم y = k x + b را زاویه α می گویند که از جهت مثبت محور x به خط مستقیم y = k x + b در جهت مثبت اندازه گیری می شود.

در شکل جهت o x با فلش سبز رنگ و به صورت کمان سبز و زاویه تمایل با قوس قرمز مشخص شده است. خط آبی به خط مستقیم اشاره دارد.

تعریف 2

شیب خط مستقیم y = k x + b را ضریب عددی k می نامند.

شیب برابر است با مماس شیب خط مستقیم، به عبارت دیگر k = t g α.

• شیب خط مستقیم فقط در صورتی 0 است که حدود x موازی باشد و شیب آن صفر باشد، زیرا مماس صفر برابر با 0 است. از این رو، شکل معادله y = b خواهد بود.
• اگر زاویه تمایل خط مستقیم y = k x + b تند باشد، شرایط 0 است< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию t g α >0، و افزایش در نمودار وجود دارد.
• اگر α = π 2، آنگاه محل خط عمود بر x است. تساوی با استفاده از برابری x = c با c یک عدد واقعی مشخص می شود.
• اگر زاویه میل خط مستقیم y = k x + b مبهم باشد، آنگاه با شرایط π 2 مطابقت دارد.< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.

تعریف 3

سکانت به خطی گفته می شود که از 2 نقطه تابع f (x) می گذرد. به عبارت دیگر، یک خط سکانس یک خط مستقیم است که از میان هر دو نقطه در نمودار یک تابع مشخص کشیده می شود.

شکل نشان می دهد که A B یک سکونت است، و f (x) یک منحنی سیاه است، α یک قوس قرمز است، که به معنای زاویه میل سکانس است.

هنگامی که شیب یک خط مستقیم با مماس زاویه میل برابر باشد، می توان دید که مماس از یک مثلث قائم الزاویه ABC را می توان نسبت به سمت مقابل به سمت مجاور پیدا کرد.

تعریف 4

ما فرمول پیدا کردن سکانت فرم را دریافت می کنیم:

k = tan α = BCAC = f (x B) - fx A x B - x A، که در آن ابسیساهای نقاط A و B مقادیر x A، x B، و f (x A)، f (x هستند. ب) توابع مقادیر در این نقاط هستند.

بدیهی است که شیب سکونت با استفاده از برابری k = f (x B) - f (x A) x B - x A یا k = f (x A) - f (x B) x A - x B تعیین می شود. و معادله باید به صورت y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) یا
y = f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B).

سکنت نمودار را از نظر بصری به 3 قسمت تقسیم می کند: سمت چپ نقطه A، از A به B، به سمت راست B. شکل زیر نشان می دهد که سه سکانس وجود دارد که منطبق هستند، یعنی تنظیم شده اند. با استفاده از یک معادله مشابه

با تعریف، مشخص است که خط و مقطع آن در این مورد منطبق هستند.

سکنت می تواند نمودار یک تابع معین را چندین بار قطع کند. اگر معادله ای به شکل y = 0 برای سکنت وجود داشته باشد، تعداد نقاط تقاطع با سینوسی بی نهایت است.

تعریف 5

مماس بر نمودار تابع f (x) در نقطه x 0. f (x 0) خط مستقیمی نامیده می شود که از یک نقطه معین می گذرد x 0. f (x 0)، با حضور قطعه ای که دارای مجموعه ای از مقادیر x نزدیک به x 0 است.

مثال 1

بیایید نگاه دقیق تری به مثال زیر بیندازیم. سپس مشاهده می شود که خطی که با تابع y = x + 1 تعریف شده است مماس بر y = 2 x در نقطه با مختصات (1; 2) در نظر گرفته می شود. برای وضوح، لازم است نمودارهایی با مقادیر نزدیک به (1؛ 2) در نظر گرفته شود. تابع y = 2 x با رنگ مشکی مشخص شده است، خط آبی خط مماس و نقطه قرمز نقطه تقاطع است.

بدیهی است که y = 2 x با خط y = x + 1 ادغام می شود.

برای تعیین مماس، لازم است رفتار مماس A B را در زمانی که نقطه B بی نهایت به نقطه A نزدیک می کند، در نظر بگیریم. برای وضوح، شکلی را ارائه می دهیم.

مقطع AB که با خط آبی نشان داده می شود، به سمت موقعیت مماس خود میل می کند و زاویه میل مقطع α شروع به گرایش به زاویه میل خود مماس α x می کند.

تعریف 6

مماس بر نمودار تابع y = f (x) در نقطه A، موقعیت محدود مقطع A B است زمانی که B به A تمایل دارد، یعنی B → A.

اکنون به بررسی معنای هندسی مشتق یک تابع در یک نقطه می پردازیم.

اجازه دهید به در نظر گرفتن سکانس А В برای تابع f (x)، که در آن А و В با مختصات x 0، f (x 0) و x 0 + ∆ x، f (x 0 + ∆ x)، و ∆ x به عنوان افزایش آرگومان نشان داده می شود ... اکنون تابع به شکل ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) می‌شود. برای وضوح، ما یک نمونه از یک تصویر را ارائه می دهیم.

مثلث قائم الزاویه A B C حاصل را در نظر بگیرید. ما از تعریف مماس برای حل استفاده می کنیم، یعنی نسبت Δ y ∆ x = t g α را به دست می آوریم. از تعریف مماس نتیجه می شود که lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x. با قاعده مشتق در نقطه، داریم که مشتق f (x) در نقطه x 0 را حد نسبت های افزایش تابع به افزایش آرگومان می گویند، جایی که ∆ x → 0، سپس f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x را نشان می دهیم ...

نتیجه می شود که f "(x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x، که در آن k x به عنوان شیب مماس نشان داده می شود.

یعنی به دست می آوریم که f'(x) می تواند در نقطه x 0 وجود داشته باشد و مانند مماس نمودار داده شده تابع در نقطه مماس برابر با x 0، f 0 (x 0)، جایی که مقدار شیب مماس در نقطه برابر است با مشتق در نقطه x 0. سپس دریافت می کنیم که k x = f "(x 0).

معنای هندسی مشتق تابع در یک نقطه این است که مفهوم وجود مماس بر نمودار در همان نقطه داده می شود.

برای نوشتن معادله هر خط مستقیم روی یک صفحه، باید شیبی با نقطه ای داشته باشید که از آن می گذرد. تعیین آن به صورت x 0 در تقاطع گرفته می شود.

معادله مماس بر نمودار تابع y = f (x) در نقطه x 0، f 0 (x 0) به شکل y = f "(x 0) x - x 0 + f (x 0) است. .

این بدان معنی است که مقدار محدود مشتق f "(x 0) می تواند موقعیت مماس را تعیین کند، یعنی به صورت عمودی، lim x → x 0 + 0 f" (x) = ∞ و lim x → x 0 - را تعیین می کند. 0 f "(x) = ∞ یا اصلاً تحت شرایط lim x → x 0 + 0 f "(x) ≠ lim x → x 0 - 0 f" (x).

مکان مماس به مقدار شیب آن بستگی دارد. مماس x = x 0 در kx> 0 افزایش می یابد، برای kx کاهش می یابد< 0 .

مثال 2

معادله مماس بر نمودار تابع y = ex + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 را در نقطه ای با مختصات (1; 3) با تعیین زاویه تمایل

راه حل

با فرضیه، داریم که تابع برای همه اعداد حقیقی تعریف شده است. دریافتیم که نقطه با مختصات داده شده توسط شرط (1؛ 3) نقطه مماس است، سپس x 0 = - 1، f (x 0) = - 3.

لازم است مشتق را در نقطه ای با مقدار - 1 پیدا کنید. ما آن را دریافت می کنیم

y "= ex + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3" = = ex + 1 "+ x 3 3" - 6 - 3 3 x "- 17 - 3 3" = ex + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y "(x 0) = y" (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

مقدار f'(x) در نقطه مماس، شیب مماس است که برابر با مماس شیب است.

سپس k x = t g α x = y "(x 0) = 3 3

از این رو چنین است که α x = a r c t g 3 3 = π 6

پاسخ:معادله مماس شکل می گیرد

y = f "(x 0) x - x 0 + f (x 0) y = 3 3 (x + 1) - 3 y = 3 3 x - 9 - 3 3

برای وضوح، مثالی را در یک تصویر گرافیکی ارائه می دهیم.

رنگ سیاه برای نمودار تابع اصلی استفاده می شود، رنگ آبی تصویر مماس، نقطه قرمز نقطه مماس است. شکل سمت راست نمای بزرگ شده را نشان می دهد.

مثال 3

وجود مماس بر نمودار یک تابع معین را پیدا کنید
y = 3 x - 1 5 + 1 در نقطه با مختصات (1؛ 1). یک معادله تشکیل دهید و زاویه شیب را تعیین کنید.

راه حل

بر اساس فرضیه، ما می دانیم که دامنه تعریف یک تابع معین، مجموعه تمام اعداد حقیقی است.

بیایید به یافتن مشتق برویم

y "= 3 x - 1 5 + 1" = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5

اگر x 0 = 1، آنگاه f '(x) تعریف نشده است، اما محدودیت ها به صورت lim x نوشته می شوند → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 1 + 0 = + ∞ و lim x → 1 - 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (- 0) 4 5 = 3 5 1 + 0 = + ∞، که به معنای وجود مماس عمودی در نقطه (1؛ 1).

پاسخ:معادله به شکل x = 1 خواهد بود که در آن شیب برابر با π 2 خواهد بود.

برای وضوح، ما آن را به صورت گرافیکی به تصویر می کشیم.

مثال 4

نقاط روی نمودار تابع y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2 را پیدا کنید، جایی که

1. مماس وجود ندارد.
2. خط مماس موازی x است.
3. مماس با خط مستقیم y = 8 5 x + 4 موازی است.

راه حل

توجه به حوزه تعریف ضروری است. با فرضیه، داریم که تابع بر روی مجموعه تمام اعداد حقیقی تعریف شده است. ماژول را گسترش دهید و سیستم را با فواصل x ∈ - ∞ حل کنید. 2 و [- 2; + ∞). ما آن را دریافت می کنیم

y = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176، x ∈ - ∞; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12، x ∈ [- 2; + ∞)

لازم است که عملکرد را متمایز کنیم. ما آن را داریم

y "= - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176"، x ∈ - ∞; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 ", x ∈ [- 2; + ∞) y" = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35)، x ∈ - ∞; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3، x ∈ [- 2; + ∞)

وقتی x = - 2، مشتق وجود ندارد زیرا حدود یک طرفه در این نقطه برابر نیستند:

lim x → - 2 - 0 y "(x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lim x → - 2 + 0 y "(x) = lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

ما مقدار تابع را در نقطه x = - 2 محاسبه می کنیم، جایی که به آن می رسیم

1. y (- 2) = 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 = - 2، یعنی مماس در نقطه ( - 2؛ - 2) وجود نخواهد داشت.
2. مماس با x موازی است وقتی شیب صفر باشد. سپس kx = tan α x = f "(x 0). یعنی زمانی که مشتق تابع آن را صفر می کند، باید مقادیر چنین x را پیدا کرد. یعنی مقادیر f ' (x) نقاط مماس خواهند بود، جایی که مماس با x موازی است ...

وقتی x ∈ - ∞; - 2، سپس - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0، و برای x ∈ (- 2؛ + ∞) 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 می گیریم.

1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2; + ∞

مقادیر تابع مربوطه را محاسبه کنید

y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 y 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

از این رو - 5; 8 5، - 4; 4 3، 1; 8 5، 3; 4 3 به عنوان نقاط مورد نیاز نمودار تابع در نظر گرفته می شوند.

یک نمایش گرافیکی از راه حل را در نظر بگیرید.

خط سیاه نمودار تابع و نقاط قرمز نقاط لمسی هستند.

1. هنگامی که خطوط موازی هستند، شیب ها برابر هستند. سپس باید به دنبال نقاطی در نمودار تابع بگردید، جایی که شیب برابر با مقدار 8 5 خواهد بود. برای انجام این کار، باید معادله ای به شکل y "(x) = 8 5 حل کنیم. سپس، اگر x ∈ - ∞؛ - 2، به دست می آوریم که - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 5، و اگر x ∈ (- 2؛ + ∞)، آنگاه 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5.

معادله اول ریشه ندارد زیرا تفکیک کننده کمتر از صفر است. بیایید آن را بنویسیم

1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0

پس معادله دیگر دو ریشه واقعی دارد

1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 · (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2; + ∞

بیایید به سراغ یافتن مقادیر تابع برویم. ما آن را دریافت می کنیم

y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

امتیاز با مقادیر - 1؛ 4 15.5; 8 3 نقاطی هستند که در آن مماس ها با خط y = 8 5 x + 4 موازی هستند.

پاسخ:خط سیاه - نمودار تابع، خط قرمز - نمودار y = 8 5 x + 4، خط آبی - مماس در نقاط - 1. 4 15.5; 8 3.

برای توابع داده شده می تواند بی نهایت مماس وجود داشته باشد.

مثال 5

معادلات همه توابع مماس موجود y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3 را بنویسید که عمود بر خط مستقیم y = - 2 x + 1 2 قرار دارند.

راه حل

برای تشکیل معادله مماس باید ضریب و مختصات نقطه مماس را بر اساس شرط عمود بودن خطوط مستقیم یافت. تعریف به شرح زیر است: حاصل ضرب ضرایب شیب که بر خطوط مستقیم عمود هستند برابر است - 1، یعنی به صورت k x · k ⊥ = - 1 نوشته می شود. از این شرط داریم که شیب عمود بر خط مستقیم است و برابر با k ⊥ = - 2 است، سپس k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2.

حالا باید مختصات نقاط مماس را پیدا کنید. شما باید x را پیدا کنید، پس از آن مقدار آن برای یک تابع معین. توجه داشته باشید که از معنای هندسی مشتق در نقطه
x 0 بدست می آوریم که k x = y "(x 0). از این برابری مقادیر x را برای نقاط مماس پیدا می کنیم.

ما آن را دریافت می کنیم

y "(x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3" = 3 · - sin 3 2 x 0 - π 4 · 3 2 x 0 - π 4 "= = - 3 · sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 = - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 ⇒ kx = y "(x 0) ⇔ - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 = 1 2 ⇒ sin 3 2 x 0 - π 4 = - 1 9

این معادله مثلثاتی برای محاسبه مختصات نقاط لمسی استفاده خواهد شد.

3 2 x 0 - π 4 = a r c sin - 1 9 + 2 πk یا 3 2 x 0 - π 4 = π - a r c sin - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 = - a r c sin 1 9 + 2 πk یا 3 2 x 0 - π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk یا x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk, k ∈ Z

Z مجموعه ای از اعداد صحیح است.

x نقاط مماس پیدا شد. اکنون باید به جستجوی مقادیر y بروید:

y 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 یا y 0 = 3 - 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 یا y 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 = 4 5 - 1 3 یا y 0 = - 4 5 + 1 3

از این رو به دست می آوریم که 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk; 4 5 - 1 3، 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk; - 4 5 + 1 3 نقاط تماس هستند.

پاسخ:معادلات لازم به صورت نوشته خواهد شد

y = 1 2 x - 2 3 π 4 - arc sin 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3, y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + arc sin 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 ، k ∈ Z

برای نمایش بصری، یک تابع و یک خط مماس روی خط مختصات در نظر بگیرید.

شکل نشان می دهد که محل تابع در بازه [- 10; 10]، جایی که خط سیاه نمودار تابع است، خطوط آبی مماس هایی هستند که عمود بر خط داده شده به شکل y = - 2 x + 1 2 قرار دارند. نقاط قرمز نقاط لمسی هستند.

معادلات متعارف منحنی های مرتبه 2 توابع تک مقداری نیستند. معادلات مماس برای آنها طبق طرح های شناخته شده ترسیم شده است.

مماس دایره

برای تعریف یک دایره در مرکز نقطه x c e n t e r. y c e n t e r و شعاع R فرمول x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2 اعمال می شود.

این برابری را می توان به صورت اتحاد دو تابع نوشت:

y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r

همانطور که در شکل نشان داده شده است، تابع اول در بالا و تابع دوم در پایین است.

برای ایجاد معادله دایره در نقطه x 0؛ y 0 که در نیم دایره بالا یا پایین قرار دارد، باید معادله نمودار تابع شکل y = R 2 - x - xcenter 2 + ycenter یا y = - R 2 - x - xcenter 2 + را پیدا کنید. ycenter در نقطه مشخص شده

وقتی در نقاط x c e n t e r; y c e n t e r + R و x c e n t e r; مماس های y c e n t e r - R را می توان با معادلات y = y c e n t e r + R و y = y c e n t e r - R و در نقاط x c e n t e r + R به دست داد. y c e n t e r و
x c e n t e r - R; y c e n t e r حدود y موازی خواهد بود، سپس معادلاتی به شکل x = x c e n t e r + R و x = x c e n t e r - R به دست می آوریم.

مماس بیضی

وقتی بیضی در نقطه x c e n t e r مرکز دارد. y c e n t e r با نیم محورهای a و b ، سپس می توان آن را با استفاده از معادله x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 مشخص کرد.

یک بیضی و یک دایره را می توان با ترکیب دو تابع، یعنی نیمه بیضی بالا و پایین نشان داد. سپس آن را دریافت می کنیم

y = b a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r

اگر مماس ها در راس های بیضی قرار داشته باشند، آنگاه حدود x یا حدود y موازی هستند. در زیر، برای وضوح، شکل را در نظر بگیرید.

مثال 6

معادله مماس بر بیضی x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 را در نقاطی با مقادیر x برابر با x = 2 بنویسید.

راه حل

لازم است نقاط لمسی را پیدا کنید که با مقدار x = 2 مطابقت دارد. معادله موجود بیضی را جایگزین می کنیم و آن را به دست می آوریم

x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

سپس 2; 5 3 2 + 5 و 2; - 5 3 2 + 5 نقاط مماسی هستند که به نیمه بیضی بالا و پایین تعلق دارند.

اجازه دهید به یافتن و حل معادله بیضی با توجه به y بپردازیم. ما آن را دریافت می کنیم

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 y - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

بدیهی است که نیمه بیضی بالایی با استفاده از تابعی به شکل y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 و بیضی پایینی y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2 مشخص می شود.

بیایید الگوریتم استاندارد را برای تشکیل معادله مماس بر نمودار تابع در یک نقطه اعمال کنیم. ما می نویسیم که معادله مماس اول در نقطه 2; 5 3 2 + 5 فرم خواهد داشت

y "= 5 + 5 2 4 - x - 3 2" = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 "= = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y "(x 0) = y" (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y "(x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

ما معادله مماس دوم با مقدار در نقطه را دریافت می کنیم
2 - 5 3 2 + 5 شکل می گیرد

y "= 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2" = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 "= = 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y "(x 0) = y" (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y "(x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

از نظر گرافیکی، مماس ها به صورت زیر تعیین می شوند:

مماس بر هذلولی

هنگامی که هذلول مرکز در نقطه x c e n t e r باشد. y c e n t e r و رئوس x c e n t e r + α; y c e n t e r و x c e n t e r - α; y c e n t e r، نابرابری مشخص شده است x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1، اگر با رئوس x c e n t e r باشد. y c e n t e r + b و x c e n t e r; y c e n t e r - b، سپس با نابرابری x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1 به دست می آید.

هذلولی را می توان به عنوان دو تابع ترکیبی از فرم نشان داد

y = ba (x - xcenter) 2 - a 2 + ycentery = - ba (x - xcenter) 2 - a 2 + ycenter یا y = ba (x - xcenter) 2 + a 2 + ycentery = - ba (x - xcenter) ) 2 + a 2 + ycenter

در حالت اول داریم که مماس ها موازی y و در حالت دوم موازی x هستند.

از این رو نتیجه می شود که برای یافتن معادله مماس بر هذلولی، باید مشخص شود که نقطه مماس متعلق به کدام تابع است. برای تعیین این امر، لازم است معادلات را جایگزین کرده و هویت آنها را بررسی کنید.

مثال 7

معادله مماس بر هذلولی x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 را در نقطه 7 بنویسید. - 3 3 - 3.

راه حل

لازم است رکورد حل یافتن هذلولی با استفاده از 2 تابع تبدیل شود. ما آن را دریافت می کنیم

x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 و l و y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3

باید دریابیم که نقطه داده شده با مختصات 7 متعلق به کدام تابع است. - 3 3 - 3.

بدیهی است که برای آزمایش تابع اول به y (7) = 3 2 نیاز دارید

برای تابع دوم، داریم که y (7) = - 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3، به این معنی که نقطه متعلق به نمودار داده شده است. . از اینجا شیب را باید پیدا کرد.

ما آن را دریافت می کنیم

y "= - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3" = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ kx = y "(x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

پاسخ:معادله مماس را می توان به صورت نشان داد

y = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3

به وضوح به شرح زیر نشان داده شده است:

مماس سهمی

برای ایجاد معادله مماس بر سهمی y = ax 2 + bx + c در نقطه x 0, y (x 0)، باید از الگوریتم استاندارد استفاده کنید، سپس معادله به شکل y = y "(x 0) x - x 0 + y ( x 0) چنین مماس در راس با x موازی است.

سهمی x = a y 2 + b y + c باید به عنوان اتحاد دو تابع مشخص شود. بنابراین حل معادله y ضروری است. ما آن را دریافت می کنیم

x = ay 2 + توسط + c ⇔ ay 2 + توسط + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 ay = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a

بیایید به صورت گرافیکی به صورت زیر تصویر کنیم:

برای فهمیدن اینکه آیا نقطه x 0، y (x 0) متعلق به یک تابع است یا خیر، باید طبق الگوریتم استاندارد عمل کرد. چنین مماس با توجه به سهمی با حدود y موازی خواهد بود.

مثال 8

معادله مماس بر نمودار x - 2 y 2 - 5 y + 3 را بنویسید، زمانی که زاویه تمایل مماس 150 درجه داریم.

راه حل

حل را با نمایش سهمی به صورت دو تابع شروع می کنیم. ما آن را دریافت می کنیم

2 y 2 - 5 y + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 (- 2) (3 - x) = 49 - 8 xy = 5 + 49 - 8 x - 4 y = 5 - 49 - 8 x - 4

مقدار شیب برابر با مقدار مشتق در نقطه x 0 این تابع و برابر با مماس شیب است.

ما گرفتیم:

k x = y "(x 0) = t g α x = t g 150 درجه = - 1 3

از اینجا مقدار x را برای نقاط مماس تعیین می کنیم.

تابع اول به صورت نوشته خواهد شد

y "= 5 + 49 - 8 x - 4" = 1 49 - 8 x ⇒ y "(x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

بدیهی است که هیچ ریشه واقعی وجود ندارد، زیرا آنها ارزش منفی دارند. نتیجه می گیریم که هیچ مماس با زاویه 150 درجه برای چنین تابعی وجود ندارد.

تابع دوم به صورت نوشته خواهد شد

y "= 5 - 49 - 8 x - 4" = - 1 49 - 8 x ⇒ y "(x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

ما داریم که نقاط تماس 23 4 هستند. - 5 + 3 4.

پاسخ:معادله مماس شکل می گیرد

y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4

بیایید به صورت گرافیکی آن را به این صورت به تصویر بکشیم:

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را انتخاب کرده و Ctrl + Enter را فشار دهید

دستورالعمل ها

شیب مماس بر منحنی را در نقطه M تعیین کنید.
منحنی نشان دهنده نمودار تابع y = f (x) در برخی از همسایگی های نقطه M (از جمله خود نقطه M) پیوسته است.

اگر مقدار f '(x0) وجود نداشته باشد، یا خط مماس وجود ندارد، یا به صورت عمودی اجرا می شود. با توجه به این موضوع وجود مشتق تابع در نقطه x0 به دلیل وجود مماس غیر عمودی در تماس با نمودار تابع در نقطه (x0, f (x0)) است. در این حالت، شیب مماس f "(x0) خواهد بود. بنابراین، معنای هندسی مشتق روشن می شود - محاسبه شیب مماس.

مقدار آبسیسا نقطه مماس را که با حرف "الف" نشان داده می شود، بیابید. اگر با نقطه مماس داده شده منطبق شود، "a" مختصات x آن خواهد بود. مقدار را تعیین کنید عملکرد f (الف) با جایگزین کردن در معادله عملکردارزش آبسیسا

مشتق اول معادله را بیابید عملکرد f '(x) و مقدار نقطه "a" را وصل کنید.

معادله کلی مماس را که به صورت y = f (a) = f (a) (x - a) تعریف می شود را در نظر بگیرید و مقادیر یافت شده a، f (a)، f "(a) را جایگزین کنید. در نتیجه حل گراف و مماس پیدا می شود.

اگر نقطه مماس مشخص شده با نقطه مماس منطبق نبود، مسئله را به روش دیگری حل کنید. در این صورت لازم است به جای اعداد، «الف» در معادله مماس جایگزین شود. پس از آن، حروف "x" و "y" را با مقدار مختصات نقطه داده شده جایگزین کنید. معادله حاصل را که در آن "الف" مجهول است حل کنید. مقدار حاصل را در معادله مماس قرار دهید.

معادله خط مماس را با حرف "الف" بسازید اگر معادله در بیان مسئله آمده باشد. عملکردو معادله خط موازی نسبت به مماس مورد نظر. پس از آن، شما به مشتق نیاز دارید عملکرد، به طوری که مختصات در نقطه "a". مقدار مربوطه را به معادله مماس وصل کرده و تابع را حل کنید.

حریم خصوصی شما برای ما مهم است. به همین دلیل، ما یک خط‌مشی رازداری ایجاد کرده‌ایم که نحوه استفاده و ذخیره اطلاعات شما را توضیح می‌دهد. لطفا خط مشی حفظ حریم خصوصی ما را بخوانید و در صورت داشتن هرگونه سوال با ما در میان بگذارید.

جمع آوری و استفاده از اطلاعات شخصی

اطلاعات شخصی به داده هایی اطلاق می شود که می توان از آنها برای شناسایی یک فرد خاص یا تماس با او استفاده کرد.

در هر زمانی که با ما تماس می گیرید ممکن است از شما خواسته شود اطلاعات شخصی خود را ارائه دهید.

در زیر چند نمونه از انواع اطلاعات شخصی که ممکن است جمع آوری کنیم و نحوه استفاده از این اطلاعات آورده شده است.

چه اطلاعات شخصی جمع آوری می کنیم:

• وقتی درخواستی را در سایت می گذارید، ممکن است اطلاعات مختلفی از جمله نام، شماره تلفن، آدرس ایمیل و غیره شما را جمع آوری کنیم.

نحوه استفاده ما از اطلاعات شخصی شما:

• اطلاعات شخصی که جمع آوری می کنیم به ما امکان می دهد با شما تماس بگیریم و پیشنهادات، تبلیغات و سایر رویدادها و رویدادهای آینده را گزارش کنیم.
• هر از گاهی، ممکن است از اطلاعات شخصی شما برای ارسال اعلان‌ها و پیام‌های مهم استفاده کنیم.
• ما همچنین ممکن است از اطلاعات شخصی برای مقاصد داخلی مانند انجام ممیزی، تجزیه و تحلیل داده ها و تحقیقات مختلف به منظور بهبود خدماتی که ارائه می کنیم و توصیه هایی در مورد خدمات خود به شما ارائه می دهیم، استفاده کنیم.
• اگر در قرعه‌کشی جوایز، مسابقه یا رویداد تبلیغاتی مشابه شرکت می‌کنید، ممکن است از اطلاعاتی که شما ارائه می‌دهید برای اجرای چنین برنامه‌هایی استفاده کنیم.

افشای اطلاعات به اشخاص ثالث

ما اطلاعات دریافتی از شما را در اختیار اشخاص ثالث قرار نمی دهیم.

استثناها:

• در صورت لزوم - مطابق با قانون، حکم دادگاه، در مراحل دادرسی و / یا بر اساس درخواست های عمومی یا درخواست های مقامات دولتی در قلمرو فدراسیون روسیه - اطلاعات شخصی خود را افشا کنید. همچنین اگر تشخیص دهیم که چنین افشایی برای امنیت، اجرای قانون یا سایر دلایل مهم اجتماعی ضروری یا مناسب است، ممکن است اطلاعاتی درباره شما فاش کنیم.
• در صورت سازماندهی مجدد، ادغام یا فروش، ممکن است اطلاعات شخصی را که جمع آوری می کنیم به شخص ثالث مناسب - جانشین قانونی انتقال دهیم.

حفاظت از اطلاعات شخصی

ما اقدامات احتیاطی - از جمله اداری، فنی و فیزیکی - را برای محافظت از اطلاعات شخصی شما در برابر از دست دادن، سرقت و سوء استفاده، و همچنین از دسترسی، افشا، تغییر و تخریب غیرمجاز انجام می دهیم.

به حریم خصوصی خود در سطح شرکت احترام بگذارید

به منظور اطمینان از ایمن بودن اطلاعات شخصی شما، قوانین محرمانه و امنیتی را برای کارمندان خود آورده و بر اجرای اقدامات محرمانه به شدت نظارت می کنیم.

این برنامه ریاضی معادله مماس بر نمودار تابع \ (f (x) \) را در نقطه مشخص شده توسط کاربر \ (a \) پیدا می کند.

این برنامه نه تنها معادله خط مماس را نمایش می دهد، بلکه روند حل مسئله را نیز نمایش می دهد.

این ماشین حساب آنلاین می تواند برای دانش آموزان سال آخر دبیرستان در آمادگی برای آزمون ها و امتحانات، هنگام بررسی دانش قبل از امتحان، برای والدین برای کنترل حل بسیاری از مسائل در ریاضیات و جبر مفید باشد. یا شاید استخدام معلم خصوصی یا خرید کتاب های درسی جدید برای شما گران باشد؟ یا فقط می خواهید تکالیف ریاضی یا جبر خود را در سریع ترین زمان ممکن انجام دهید؟ در این مورد، شما همچنین می توانید از برنامه های ما با یک راه حل دقیق استفاده کنید.

به این ترتیب شما می توانید تدریس خود و / یا آموزش خواهر و برادر کوچکتر خود را انجام دهید، ضمن اینکه سطح تحصیلات در زمینه مشکلات در حال حل افزایش می یابد.

اگر نیاز دارید مشتق یک تابع را پیدا کنید، برای این کار ما کار مشتق را پیدا کنید.

اگر با قوانین وارد کردن توابع آشنا نیستید، توصیه می کنیم با آنها آشنا شوید.

عبارت تابع \ (f (x) \) و عدد \ (a \) را وارد کنید

f (x) =
a =

معادله خط مماس را پیدا کنید

مشخص شد که برخی از اسکریپت های مورد نیاز برای حل این مشکل بارگذاری نشده اند و ممکن است برنامه کار نکند.
شاید AdBlock را فعال کرده باشید.
در این صورت آن را غیرفعال کرده و صفحه را Refresh کنید.

جاوا اسکریپت در مرورگر شما غیرفعال است.
برای اینکه راه حل ظاهر شود، باید جاوا اسکریپت را فعال کنید.
در اینجا دستورالعمل هایی در مورد نحوه فعال کردن جاوا اسکریپت در مرورگر خود آورده شده است.

زیرا افراد زیادی هستند که می خواهند مشکل را حل کنند، درخواست شما در صف است.
پس از چند ثانیه، راه حل در زیر ظاهر می شود.
لطفا منتظر بمانید ثانیه...

اگر شما متوجه اشتباه در تصمیم گیری شد، سپس می توانید در این مورد در فرم بازخورد بنویسید.
فراموش نکن مشخص کنید کدام کارشما تصمیم می گیرید و چه در فیلدها وارد کنید.

بازی ها، پازل ها، شبیه سازهای ما:

کمی تئوری

شیب یک خط مستقیم

به یاد بیاورید که نمودار تابع خطی \ (y = kx + b \) یک خط مستقیم است. عدد \ (k = tg \ آلفا \) فراخوانی می شود شیب خط مستقیمو زاویه \ (\ آلفا \) زاویه بین این خط و محور Ox است

اگر \ (k> 0 \)، سپس \ (0 اگر \ (k معادله مماس بر نمودار تابع

اگر نقطه M (a; f (a)) متعلق به نمودار تابع y = f (x) باشد و اگر در این نقطه بتوان یک مماس بر نمودار تابع رسم کرد، نه عمود بر محور آبسیسا، آنگاه از معنای هندسی مشتق نتیجه می شود که شیب مماس f "(a) است. سپس، الگوریتمی را برای ترکیب معادله مماس بر نمودار هر تابع ایجاد می کنیم.

اجازه دهید یک تابع y = f (x) و یک نقطه M (a; f (a)) روی نمودار این تابع داده شود. اجازه دهید بدانیم که f "(a) وجود دارد. بیایید معادله مماس بر نمودار یک تابع معین را در یک نقطه معین بسازیم. شکل y = kx + b، بنابراین مشکل پیدا کردن مقادیر ضرایب k و b است.

با شیب k، همه چیز مشخص است: مشخص است که k = f "(a). برای محاسبه مقدار b، از این واقعیت استفاده می کنیم که خط جستجو شده از نقطه M می گذرد (a; f (a)). این بدان معنی است که اگر مختصات نقطه M را در معادله خط جایگزین کنیم، تساوی صحیح را بدست می آوریم: \ (f (a) = ka + b \)، یعنی \ (b = f (a) - ka \ ).

باقی مانده است که مقادیر یافت شده ضرایب k و b را در معادله خط مستقیم جایگزین کنیم:

$$ y = kx + b $$ $$ y = kx + f (a) - ka $$ $$ y = f (a) + k (xa) $$ $$ y = f (a) + f "( الف) (xa) $$

دریافت کرده ایم معادله مماس بر نمودار یک تابع\ (y = f (x) \) در نقطه \ (x = a \).

الگوریتم یافتن معادله مماس بر نمودار تابع \ (y = f (x) \)
1. ابسیسا نقطه مماس را با حرف \ (a \) مشخص کنید.
2. محاسبه \ (f (a) \)
3. \ (f "(x) \) را پیدا کنید و \ (f" (a) \) را محاسبه کنید
4. اعداد پیدا شده \ (a, f (a), f "(a) \) را با فرمول \ (y = f (a) + f" (a) (x-a) \) جایگزین کنید.

کتاب ها (کتاب های درسی) چکیده ها استفاده و تست های OGE آنلاین بازی ها، پازل ها توابع رسم نمودار فرهنگ لغت زبان روسی فرهنگ عامیانه جوانان کاتالوگ مدارس روسی کاتالوگ مدارس متوسطه روسیه کاتالوگ دانشگاه های روسیه فهرست وظایف یافتن GCD و NOC ساده سازی یک چند جمله ای ( ضرب چند جمله ای ها)