حل معادلات ماشین حساب آنلاین با یک راه حل دقیق. حل معادلات خطی ساده

در این ویدیو نگاهی به کل مجموعه خواهیم داشت. معادلات خطی، که با همان الگوریتم حل می شوند - به همین دلیل آنها را ساده ترین می نامند.

برای شروع، اجازه دهید تعریف کنیم: معادله خطی چیست و کدام یک از آنها را باید ساده ترین نامید؟

معادله خطی معادله ای است که در آن فقط یک متغیر و فقط در درجه اول وجود داشته باشد.

ساده ترین معادله به معنای ساخت است:

تمام معادلات خطی دیگر با استفاده از الگوریتم به ساده ترین معادلات کاهش می یابد:

1. در صورت وجود، پرانتز را باز کنید؛
2. عبارت‌های حاوی متغیر را به یک طرف علامت مساوی و عبارت‌های بدون متغیر را به طرف دیگر منتقل کنید.
3. عبارت های مشابه را در سمت چپ و راست علامت مساوی بیاورید.
4. معادله به دست آمده را بر ضریب متغیر $x$ تقسیم کنید.

البته این الگوریتم همیشه کمک نمی کند. واقعیت این است که گاهی بعد از این همه ماشینکاری، ضریب متغیر $x$ برابر با صفر می شود. در این مورد، دو گزینه ممکن است:

1. معادله اصلاً راه حلی ندارد. برای مثال، وقتی چیزی شبیه $0\cdot x=8$ دریافت می‌کنید، یعنی. در سمت چپ صفر و در سمت راست یک عدد غیر صفر است. در ویدیوی زیر به چند دلیل برای امکان پذیر بودن این وضعیت نگاه خواهیم کرد.
2. راه حل همه اعداد است. تنها موردی که این امکان وجود دارد زمانی است که معادله به ساختار $0\cdot x=0$ کاهش یافته است. کاملاً منطقی است که مهم نیست $x$ را جایگزین کنیم، باز هم معلوم می شود که "صفر برابر با صفر است". برابری عددی صحیح

و اکنون بیایید ببینیم که چگونه همه اینها بر روی مثال مشکلات واقعی کار می کند.

نمونه هایی از حل معادلات

امروز ما با معادلات خطی و فقط ساده ترین آنها سروکار داریم. به طور کلی معادله خطی به معنای هر برابری است که دقیقاً یک متغیر داشته باشد و فقط به درجه اول می رود.

چنین ساختارهایی تقریباً به همان روش حل می شوند:

1. اول از همه، شما باید پرانتزها را در صورت وجود باز کنید (مانند نمونه آخر ما).
2. سپس مشابه بیاورید
3. در نهایت، متغیر را جدا کنید، i.e. هر چیزی که با متغیر مرتبط است - اصطلاحاتی که در آن وجود دارد - به یک طرف منتقل می شود و هر چیزی که بدون آن باقی می ماند به طرف دیگر منتقل می شود.

سپس، به عنوان یک قاعده، باید در هر طرف برابری حاصل مشابه بیاورید، و پس از آن فقط تقسیم بر ضریب "x" باقی می ماند و ما پاسخ نهایی را خواهیم گرفت.

از نظر تئوری، این کار زیبا و ساده به نظر می‌رسد، اما در عمل، حتی دانش‌آموزان با تجربه دبیرستانی نیز می‌توانند در معادلات خطی نسبتاً ساده مرتکب اشتباهات تهاجمی شوند. معمولاً یا هنگام باز کردن پرانتزها یا هنگام شمارش «مضافات» و «منهای» اشتباه می شود.

علاوه بر این، این اتفاق می افتد که یک معادله خطی اصلاً راه حلی نداشته باشد، یا به طوری که راه حل کل خط اعداد باشد، یعنی. هر عددی این ظرافت ها را در درس امروز تحلیل خواهیم کرد. اما همانطور که قبلاً فهمیدید ما با ساده ترین کارها شروع خواهیم کرد.

طرحی برای حل معادلات خطی ساده

برای شروع، اجازه دهید یک بار دیگر کل طرح حل ساده ترین معادلات خطی را بنویسم:

1. در صورت وجود، پرانتز را باز کنید.
2. جدا کردن متغیرها، به عنوان مثال هر چیزی که حاوی "x" باشد به یک طرف و بدون "x" - به طرف دیگر منتقل می شود.
3. ما اصطلاحات مشابهی را ارائه می دهیم.
4. همه چیز را بر ضریب "x" تقسیم می کنیم.

البته این طرح همیشه جواب نمی دهد، ظرافت ها و ترفندهای خاصی دارد و حالا با آنها آشنا می شویم.

حل مثال های واقعی از معادلات خطی ساده

وظیفه شماره 1

در مرحله اول باید براکت ها را باز کنیم. اما آنها در این مثال نیستند، بنابراین از این مرحله می گذریم. در مرحله دوم باید متغیرها را ایزوله کنیم. توجه داشته باشید: ما داریم صحبت می کنیمفقط در مورد شرایط فردی بیا بنویسیم:

ما عبارت‌های مشابهی را در سمت چپ و راست ارائه می‌دهیم، اما این قبلاً در اینجا انجام شده است. بنابراین به مرحله چهارم می رویم: تقسیم بر ضریب:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

اینجا جواب گرفتیم

وظیفه شماره 2

در این کار، می توانیم براکت ها را مشاهده کنیم، بنابراین اجازه دهید آنها را گسترش دهیم:

هم در سمت چپ و هم در سمت راست، تقریباً یک ساختار را می بینیم، اما بیایید طبق الگوریتم عمل کنیم، i.e. متغیرهای sequester:

در اینجا مواردی مانند:

این در چه ریشه ای کار می کند؟ پاسخ: برای هر. بنابراین، می توانیم بنویسیم که $x$ هر عددی است.

وظیفه شماره 3

معادله خطی سوم در حال حاضر جالب تر است:

\[\چپ(6-x \راست)+\چپ(12+x \راست)-\چپ(3-2x \راست)=15\]

در اینجا چندین براکت وجود دارد، اما آنها در هیچ چیز ضرب نمی شوند، فقط علائم مختلفی در جلوی خود دارند. بیایید آنها را تجزیه کنیم:

ما مرحله دوم را که قبلاً برای ما شناخته شده است انجام می دهیم:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

بیایید محاسبه کنیم:

ما آخرین مرحله را انجام می دهیم - همه چیز را بر ضریب "x" تقسیم می کنیم:

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

نکاتی که در حل معادلات خطی باید به خاطر بسپارید

اگر کارهای خیلی ساده را نادیده بگیریم، می‌خواهم موارد زیر را بگویم:

• همانطور که در بالا گفتم، هر معادله خطی راه حلی ندارد - گاهی اوقات به سادگی هیچ ریشه ای وجود ندارد.
• حتی اگر ریشه‌هایی وجود داشته باشد، صفر می‌تواند در بین آنها وارد شود - هیچ ایرادی در آن وجود ندارد.

صفر همان عدد بقیه است، شما نباید به نوعی آن را متمایز کنید یا فرض کنید که اگر به صفر رسیدید، پس کار اشتباهی انجام داده اید.

ویژگی دیگر مربوط به گسترش پرانتز است. لطفا توجه داشته باشید: وقتی یک "منفی" در مقابل آنها وجود دارد، آن را حذف می کنیم، اما در پرانتز علائم را به تغییر می دهیم. مقابل. و سپس می توانیم آن را طبق الگوریتم های استاندارد باز کنیم: آنچه را که در محاسبات بالا دیدیم به دست می آوریم.

درک این واقعیت ساده به شما کمک می کند تا از انجام اشتباهات احمقانه و آسیب زا در دبیرستان جلوگیری کنید، در حالی که انجام چنین اقداماتی بدیهی است.

حل معادلات خطی پیچیده

بیایید به معادلات پیچیده تر برویم. اکنون ساختارها پیچیده تر می شوند و هنگام انجام تبدیل های مختلف یک تابع درجه دوم ظاهر می شود. با این حال، شما نباید از این بترسید، زیرا اگر طبق قصد نویسنده، معادله خطی را حل کنیم، در فرآیند تبدیل، همه یکپارچه های حاوی تابع درجه دوم لزوما کاهش می یابد.

مثال شماره 1

بدیهی است که اولین قدم باز کردن براکت ها است. بیایید این کار را با دقت انجام دهیم:

حالا بیایید حریم خصوصی را در نظر بگیریم:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

در اینجا مواردی مانند:

بدیهی است که معادله داده شدههیچ راه حلی وجود ندارد، بنابراین در پاسخ می نویسیم:

\[\تنوع \]

یا بدون ریشه

مثال شماره 2

ما همین مراحل را انجام می دهیم. گام اول:

بیایید همه چیز را با یک متغیر به سمت چپ و بدون آن - به راست منتقل کنیم:

در اینجا مواردی مانند:

بدیهی است که این معادله خطی جوابی ندارد، بنابراین آن را به صورت زیر می نویسیم:

\[\varnothing\]،

یا بدون ریشه

تفاوت های ظریف راه حل

هر دو معادله کاملا حل شده است. در مثال این دو عبارت، ما یک بار دیگر مطمئن شدیم که حتی در ساده ترین معادلات خطی، همه چیز می تواند چندان ساده نباشد: می تواند یکی باشد، یا هیچ، یا بی نهایت زیاد. در مورد ما، ما دو معادله را در نظر گرفتیم، در هر دو به سادگی هیچ ریشه ای وجود ندارد.

اما من می خواهم توجه شما را به یک واقعیت دیگر جلب کنم: نحوه کار با براکت ها و نحوه باز کردن آنها در صورت وجود علامت منفی در جلوی آنها. این عبارت را در نظر بگیرید:

قبل از باز کردن، باید همه چیز را در "x" ضرب کنید. لطفا توجه داشته باشید: ضرب کنید هر ترم جداگانه. در داخل دو عبارت وجود دارد - به ترتیب، دو جمله و ضرب شده است.

و تنها پس از تکمیل این دگرگونی های به ظاهر ابتدایی، اما بسیار مهم و خطرناک، می توان براکت را از این نظر که بعد از آن علامت منفی وجود دارد، باز کرد. بله، بله: فقط اکنون، هنگامی که تبدیل ها انجام شد، به یاد می آوریم که یک علامت منفی در جلوی براکت ها وجود دارد، به این معنی که همه چیز پایین فقط علائم را تغییر می دهد. در عین حال ، خود براکت ها ناپدید می شوند و مهمتر از همه ، "منهای" جلو نیز ناپدید می شوند.

ما همین کار را با معادله دوم انجام می دهیم:

تصادفی نیست که به این حقایق کوچک و به ظاهر کم اهمیت توجه می کنم. زیرا حل معادلات همیشه یک دنباله است تحولات ابتدایی، جایی که ناتوانی در انجام واضح و شایسته اقدامات ساده منجر به این واقعیت می شود که دانش آموزان دبیرستانی به سراغ من می آیند و دوباره یاد می گیرند که چگونه چنین معادلات ساده ای را حل کنند.

البته، روزی فرا خواهد رسید که این مهارت ها را به سمت خودکارسازی ارتقا دهید. دیگر لازم نیست هر بار این همه تبدیل انجام دهید، همه چیز را در یک خط خواهید نوشت. اما در حالی که تازه در حال یادگیری هستید، باید هر عمل را جداگانه بنویسید.

حل معادلات خطی حتی پیچیده تر

چیزی که اکنون می خواهیم حل کنیم را به سختی می توان ساده ترین کار نامید، اما معنی همان است.

وظیفه شماره 1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

بیایید تمام عناصر قسمت اول را ضرب کنیم:

بیایید عقب نشینی کنیم:

در اینجا مواردی مانند:

بیایید آخرین مرحله را انجام دهیم:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

در اینجا پاسخ نهایی ما است. و علیرغم این واقعیت که در فرآیند حل ما ضرایبی با تابع درجه دوم داشتیم، اما آنها متقابلاً لغو شدند، که باعث می شود معادله دقیقاً خطی باشد، نه مربع.

وظیفه شماره 2

\[\ چپ (1-4x \راست)\ چپ (1-3x \راست)=6x\چپ (2x-1 \راست)\]

بیایید مرحله اول را با دقت انجام دهیم: هر عنصر در براکت اول را در هر عنصر در دومی ضرب کنید. در مجموع، چهار عبارت جدید باید پس از تبدیل به دست آید:

و اکنون ضرب را در هر جمله با دقت انجام دهید:

بیایید اصطلاحات را با "x" به سمت چپ و بدون - به راست منتقل کنیم:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

در اینجا اصطلاحات مشابه وجود دارد:

ما پاسخ قطعی دریافت کرده ایم.

تفاوت های ظریف راه حل

مهمترین نکته در مورد این دو معادله به این صورت است: به محض اینکه شروع به ضرب پرانتزهایی کنیم که در آنها یک جمله بزرگتر از آن وجود دارد، این کار مطابق با آن انجام می شود. قانون بعدی: جمله اول را از اولی می گیریم و در هر عنصر از دومی ضرب می کنیم. سپس عنصر دوم را از اولی می گیریم و به طور مشابه در هر عنصر از دومی ضرب می کنیم. در نتیجه، چهار ترم دریافت می کنیم.

در مجموع جبری

با مثال آخر، می خواهم به دانش آموزان یادآوری کنم که جمع جبری چیست. در ریاضیات کلاسیک منظور ما از 1 تا 7 دلار است طراحی ساده: هفت را از یک کم کنید. در جبر، منظور ما از این عبارت زیر است: به عدد "یک" یک عدد دیگر، یعنی "منهای هفت" اضافه می کنیم. این مجموع جبری با مجموع حسابی معمول متفاوت است.

به محض انجام تمام تبدیل ها، هر جمع و ضرب، شروع به دیدن ساختارهایی مشابه آنچه در بالا توضیح داده شد، می کنید، به سادگی هنگام کار با چند جمله ای ها و معادلات هیچ مشکلی در جبر نخواهید داشت.

در پایان، بیایید به چند مثال دیگر نگاه کنیم که حتی پیچیده‌تر از نمونه‌هایی هستند که اخیراً به آنها نگاه کردیم، و برای حل آنها، باید کمی الگوریتم استاندارد خود را گسترش دهیم.

حل معادلات با کسری

برای حل چنین وظایفی، باید یک مرحله دیگر به الگوریتم ما اضافه شود. اما ابتدا الگوریتم خود را یادآوری می کنم:

1. پرانتزها را باز کنید.
2. متغیرها را جدا کنید
3. مشابه بیاورید
4. تقسیم بر یک عامل.

افسوس، این الگوریتم فوق العاده، با همه کارایی که دارد، زمانی که کسری در مقابل خود داریم، کاملا مناسب نیست. و در آنچه در زیر خواهیم دید، در هر دو معادله یک کسری در سمت چپ و راست داریم.

در این مورد چگونه باید کار کرد؟ بله، خیلی ساده است! برای انجام این کار، باید یک مرحله دیگر به الگوریتم اضافه کنید، که هم قبل از اولین اقدام و هم بعد از آن، یعنی خلاص شدن از شر کسری، قابل انجام است. بنابراین، الگوریتم به صورت زیر خواهد بود:

1. از شر کسری خلاص شوید.
2. پرانتزها را باز کنید.
3. متغیرها را جدا کنید
4. مشابه بیاورید
5. تقسیم بر یک عامل.

منظور از "خلاص شدن از کسری" چیست؟ و چرا هم بعد از اولین مرحله استاندارد و هم قبل از آن می توان این کار را انجام داد؟ در واقع، در مورد ما، همه کسرها از نظر مخرج عددی هستند، یعنی. همه جا مخرج فقط یک عدد است. بنابراین، اگر هر دو قسمت معادله را در این عدد ضرب کنیم، از شر کسر خلاص خواهیم شد.

مثال شماره 1

\[\frac(\left(2x+1 \راست)\left(2x-3 \راست))(4)=((x)^(2))-1\]

بیایید از کسرهای این معادله خلاص شویم:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \راست)\cdot 4\]

لطفا توجه داشته باشید: همه چیز یک بار در "چهار" ضرب می شود، یعنی. فقط به این دلیل که شما دو براکت دارید به این معنی نیست که باید هر یک از آنها را در "چهار" ضرب کنید. بیا بنویسیم:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

حالا بیایید آن را باز کنیم:

ما جداسازی یک متغیر را انجام می دهیم:

ما کاهش شرایط مشابه را انجام می دهیم:

\[-4x=-1\ چپ| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

ما جواب نهایی را دریافت کردیم، به معادله دوم می رویم.

مثال شماره 2

\[\frac(\چپ(1-x \راست)\چپ(1+5x \راست))(5)+((x)^(2))=1\]

در اینجا ما همه اقدامات مشابه را انجام می دهیم:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \راست)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

مشکل حل شد.

این در واقع تمام چیزی است که امروز می خواستم بگویم.

امتیاز کلیدی

یافته های کلیدی به شرح زیر است:

• الگوریتم حل معادلات خطی را بشناسید.
• قابلیت باز کردن براکت ها
• اگر توابع درجه دوم در جایی دارید نگران نباشید، به احتمال زیاد، در روند تحولات بعدی، آنها کاهش می یابد.
• ریشه ها در معادلات خطی، حتی ساده ترین آنها، سه نوع هستند: یک ریشه، کل خط اعداد یک ریشه است، اصلاً ریشه وجود ندارد.

امیدوارم این درس به شما در تسلط بر یک مبحث ساده اما بسیار مهم برای درک بیشتر تمامی ریاضیات کمک کند. اگر چیزی واضح نیست، به سایت بروید، نمونه های ارائه شده در آنجا را حل کنید. با ما همراه باشید، چیزهای جالب دیگری در انتظار شما هستند!

سرویس حل معادلات آنلاین به شما کمک می کند تا هر معادله ای را حل کنید. با استفاده از سایت ما نه تنها پاسخ معادله را دریافت خواهید کرد، بلکه یک راه حل دقیق، یعنی نمایش مرحله به مرحله روند به دست آوردن نتیجه را نیز مشاهده خواهید کرد. خدمات ما برای دانش آموزان دبیرستانی مفید خواهد بود مدارس آموزش عمومیو پدر و مادرشان دانش آموزان قادر خواهند بود برای آزمون ها، امتحانات آماده شوند، دانش خود را آزمایش کنند و والدین قادر خواهند بود حل معادلات ریاضی را توسط فرزندان خود کنترل کنند. توانایی حل معادلات نیاز اجباریبه دانش آموزان این سرویس به شما کمک می کند تا خودآموزی کنید و دانش خود را در زمینه معادلات ریاضی ارتقا دهید. با آن می توانید هر معادله ای را حل کنید: درجه دوم، مکعب، غیر منطقی، مثلثاتی و غیره. خدمات آنلایناما بی ارزش است، زیرا علاوه بر پاسخ صحیح، شما یک راه حل دقیق برای هر معادله دریافت می کنید. مزایای حل معادلات آنلاین شما می توانید هر معادله ای را به صورت آنلاین در وب سایت ما کاملا رایگان حل کنید. این سرویس کاملاً خودکار است، لازم نیست چیزی روی رایانه خود نصب کنید، فقط باید داده ها را وارد کنید و برنامه راه حلی را صادر می کند. هر گونه اشتباه محاسباتی یا اشتباهات نگارشی مستثنی است. حل هر معادله ای به صورت آنلاین با ما بسیار آسان است، پس حتما از سایت ما برای حل هر نوع معادله استفاده کنید. شما فقط باید داده ها را وارد کنید و محاسبه در چند ثانیه تکمیل می شود. این برنامه به صورت مستقل و بدون دخالت انسان کار می کند و شما پاسخ دقیق و دقیقی دریافت می کنید. حل معادله در نمای کلی. در چنین معادله ای، ضرایب متغیر و ریشه های مورد نظر به هم مرتبط هستند. بالاترین توان یک متغیر ترتیب چنین معادله ای را تعیین می کند. بر این اساس، برای معادلات استفاده کنید روش های مختلفو قضایا برای یافتن راه حل. حل معادلات از این نوعبه معنای یافتن ریشه های مورد نظر به صورت کلی است. خدمات ما به شما امکان می دهد حتی پیچیده ترین معادله جبری را به صورت آنلاین حل کنید. برای مقادیر عددی ضرایبی که مشخص کردید می توانید هم جواب کلی معادله و هم جواب خصوصی را بدست آورید. برای حل یک معادله جبری در سایت، کافی است فقط دو قسمت را به درستی پر کنید: قسمت چپ و راست معادله داده شده. در معادلات جبریبا ضرایب متغیر بی نهایت راه حل و با تعیین شرایط خاص از مجموعه راه حل ها خصوصی انتخاب می شوند. معادله درجه دوم. معادله درجه دوم به صورت ax^2+bx+c=0 برای a>0 است. حل معادلات یک شکل مربع به معنای یافتن مقادیر x است که در آن محور برابری ^ 2 + bx + c \u003d 0 برآورده می شود. برای انجام این کار، مقدار تفکیک کننده با فرمول D=b^2-4ac پیدا می شود. اگر ممیز کمتر از صفر، معادله فاقد ریشه واقعی است (ریشه ها از میدان اعداد مختلط هستند)، اگر برابر با صفر باشد، معادله یک ریشه واقعی دارد و اگر ممیز بزرگتر از صفر باشد، معادله دارای دو ریشه واقعی است. که با فرمول یافت می شوند: D = -b + - sqrt/2a. برای حل یک معادله درجه دوم به صورت آنلاین، فقط باید ضرایب چنین معادله ای (اعداد کامل، کسر یا مقادیر اعشاری) را وارد کنید. اگر در معادله علائم تفریق وجود دارد، باید جلوی عبارت های مربوط به معادله یک منهای قرار دهید. تصميم گرفتن معادله درجه دومآنلاین نیز بسته به پارامتر، یعنی متغیرهای موجود در ضرایب معادله امکان پذیر است. خدمات آنلاین ما برای یافتن راه حل های رایج. معادلات خطی برای حل معادلات خطی (یا سیستم معادلات)، در عمل از چهار روش اصلی استفاده می شود. بیایید هر روش را با جزئیات شرح دهیم. روش تعویض. حل معادلات با استفاده از روش جایگزینی مستلزم بیان یک متغیر بر حسب متغیرهای دیگر است. پس از آن، عبارت به معادلات دیگر سیستم جایگزین می شود. از این رو نام روش حل، یعنی به جای یک متغیر، بیان آن از طریق بقیه متغیرها جایگزین می شود. در عمل، این روش به محاسبات پیچیده نیاز دارد، اگرچه درک آن آسان است، بنابراین حل چنین معادله ای به صورت آنلاین باعث صرفه جویی در زمان و انجام محاسبات می شود. شما فقط باید تعداد مجهولات را در معادله مشخص کنید و داده ها را از معادلات خطی پر کنید، سپس سرویس محاسبه را انجام می دهد. روش گاوس این روش بر اساس ساده ترین تبدیل های سیستم به منظور رسیدن به یک سیستم معادل است مثلثی. مجهولات یکی یکی از آن مشخص می شوند. در عمل، حل چنین معادله ای به صورت آنلاین با توصیف همراه با جزئیات، به لطف آن به روش گاوس برای حل سیستم های معادلات خطی به خوبی تسلط خواهید داشت. سیستم معادلات خطی را با فرمت صحیح بنویسید و تعداد مجهولات را در نظر بگیرید تا به درستی سیستم را حل کنید. روش کرامر این روش سیستم های معادلات را در مواردی حل می کند که سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد. عملیات اصلی ریاضی در اینجا محاسبه عوامل ماتریس است. حل معادلات به روش کرامر به صورت آنلاین انجام می شود، شما بلافاصله با توضیحات کامل و دقیق نتیجه را دریافت می کنید. فقط کافی است سیستم را با ضرایب پر کنید و تعداد متغیرهای مجهول را انتخاب کنید. روش ماتریسی این روش شامل جمع آوری ضرایب مجهولات در ماتریس A، مجهولات در ستون X و عبارت های آزاد در ستون B است. بنابراین، سیستم معادلات خطی به کاهش می یابد. معادله ماتریسیاز شکل AxX=B. این معادله تنها در صورتی جواب منحصربه‌فرد دارد که تعیین‌کننده ماتریس A غیر صفر باشد، در غیر این صورت سیستم هیچ راه‌حلی یا بی‌تعداد جواب ندارد. حل معادلات به روش ماتریسی یافتن است ماتریس معکوسآ.

ما دو نوع سیستم حل معادلات را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد:

1. حل سیستم به روش جایگزینی.
2. حل سیستم با جمع (تفریق) ترم به ترم معادلات سیستم.

به منظور حل سیستم معادلات روش تعویضشما باید یک الگوریتم ساده را دنبال کنید:
1. بیان می کنیم. از هر معادله ای یک متغیر را بیان می کنیم.
2. جایگزین. به جای متغیر بیان شده، مقدار حاصل را در معادله دیگری جایگزین می کنیم.
3. معادله به دست آمده را با یک متغیر حل می کنیم. ما راه حلی برای سیستم پیدا می کنیم.

برطرف كردن سیستم با جمع ترم به ترم (تفریق)نیاز به:
1. متغیری را انتخاب کنید که برای آن ضرایب یکسانی ایجاد کنیم.
2. معادلات را جمع یا کم می کنیم، در نتیجه معادله ای با یک متغیر به دست می آید.
3. معادله خطی حاصل را حل می کنیم. ما راه حلی برای سیستم پیدا می کنیم.

راه حل سیستم، نقاط تقاطع نمودارهای تابع است.

اجازه دهید راه حل سیستم ها را با استفاده از مثال ها با جزئیات در نظر بگیریم.

مثال شماره 1:

بیایید با روش جایگزینی حل کنیم

حل سیستم معادلات به روش جایگزینی

2x+5y=1 (1 معادله)
x-10y=3 (معادله دوم)

1. اکسپرس
مشاهده می شود که در معادله دوم یک متغیر x با ضریب 1 وجود دارد، بنابراین مشخص می شود که بیان متغیر x از معادله دوم ساده ترین است.
x=3+10y

2. پس از بیان، به جای متغیر x، 3 + 10y را در معادله اول جایگزین می کنیم.
2(3+10y)+5y=1

3. معادله به دست آمده را با یک متغیر حل می کنیم.
2(3+10y)+5y=1 (پرانتز باز)
6 + 20 سال + 5 سال = 1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0.2

راه حل سیستم معادلات، نقاط تلاقی نمودارها است، بنابراین باید x و y را پیدا کنیم، زیرا نقطه تقاطع از x و y تشکیل شده است، بیایید x را پیدا کنیم، در اولین پاراگراف که بیان کردیم، y را در آنجا جایگزین می کنیم.
x=3+10y
x=3+10*(-0.2)=1

مرسوم است که در مرحله اول امتیاز می نویسیم، متغیر x و در مرحله دوم متغیر y.
پاسخ: (1؛ -0.2)

مثال شماره 2:

بیایید با جمع ترم به ترم (تفریق) حل کنیم.

حل یک سیستم معادلات با روش جمع

3x-2y=1 (1 معادله)
2x-3y=-10 (معادله دوم)

1. یک متغیر را انتخاب کنید، فرض کنید x را انتخاب می کنیم. در معادله اول، متغیر x دارای ضریب 3 است، در دومی - 2. ما باید ضرایب را یکسان کنیم، برای این ما حق داریم معادلات را ضرب کنیم یا بر هر عددی تقسیم کنیم. معادله اول را در 2 و دومی را در 3 ضرب می کنیم و ضریب کل 6 به دست می آید.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. از معادله اول، دومی را کم کنید تا از شر متغیر x خلاص شوید. معادله خطی را حل کنید.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6.4

3. x را پیدا کنید. y یافت شده را در هر یک از معادلات، مثلاً در معادله اول، جایگزین می کنیم.
3x-2y=1
3x-2*6.4=1
3x-12.8=1
3x=1+12.8
3x=13.8 |:3
x=4.6

نقطه تقاطع x=4.6 خواهد بود. y=6.4
پاسخ: (4.6؛ 6.4)

آیا می خواهید برای امتحانات به صورت رایگان آماده شوید؟ معلم آنلاین رایگان است. شوخی نکن.

ماشین حساب رایگان ارائه شده به شما دارای زرادخانه غنی از امکانات برای محاسبات ریاضی است. به شما امکان استفاده می دهد ماشین حساب آنلایندر زمینه های مختلف فعالیت: آموزشی, حرفه ایو تجاری. البته استفاده از ماشین حساب آنلاین از محبوبیت خاصی برخوردار است دانش آموزانو دانش آموزان، انجام محاسبات مختلف را برای آنها بسیار آسان می کند.

با این حال، ماشین حساب می تواند باشد ابزار مفیددر برخی از زمینه های کسب و کار و برای افراد با حرفه های مختلف. البته نیاز به استفاده از ماشین حساب در تجارت یا فعالیت کارگریدر درجه اول توسط خود نوع فعالیت تعیین می شود. اگر تجارت و حرفه با محاسبات و محاسبات ثابت همراه باشد، ارزش آن را دارد که یک ماشین حساب الکترونیکی را امتحان کنید و میزان سودمندی آن را برای یک تجارت خاص ارزیابی کنید.

این ماشین حساب آنلاین می تواند

• توابع ریاضی استاندارد نوشته شده در یک خط را به درستی اجرا کنید مانند - 12*3-(7/2) و می‌تواند اعداد بزرگ‌تر از اعداد بزرگ را در یک ماشین‌حساب آنلاین محاسبه کند. ما حتی نمی‌دانیم چگونه با چنین شماره‌ای به درستی تماس بگیریم ( 34 کاراکتر وجود دارد و این به هیچ وجه محدودیت نیست).
• بعلاوه مماس, کسینوس, سینوسیو سایر توابع استاندارد - ماشین حساب از عملیات محاسبه پشتیبانی می کند مماس قوسی, مماس قوسیو دیگران.
• موجود در زرادخانه لگاریتم ها, فاکتوریل هاو سایر ویژگی های جالب
• این ماشین حساب آنلاین می تواند نمودار بسازد!!!

برای رسم نمودارها، این سرویس از یک دکمه مخصوص (گراف خاکستری ترسیم شده است) یا یک نمایش تحت اللفظی این تابع (Plot) استفاده می کند. برای ساخت یک نمودار در یک ماشین حساب آنلاین، کافی است یک تابع بنویسید: plot(tan(x))،x=-360..360.

ساده ترین نمودار را برای مماس گرفتیم و بعد از نقطه اعشار، محدوده متغیر X را از 360- تا 360 نشان دادیم.

شما می توانید مطلقاً هر تابعی را با هر تعداد متغیر بسازید، به عنوان مثال: نمودار(cos(x)/3z، x=-180..360،z=4)یا حتی پیچیده تر از چیزی که فکرش را بکنید. ما به رفتار متغیر X توجه می کنیم - فاصله از و به با استفاده از دو نقطه نشان داده می شود.

تنها عیب این ماشین حساب آنلاین (اگرچه دشوار است که آن را یک نقطه ضعف نامید) این است که نمی تواند کره ها و سایر اشکال سه بعدی - فقط یک هواپیما - بسازد.

نحوه کار با ماشین حساب ریاضی

1. صفحه نمایش (صفحه ماشین حساب) عبارت وارد شده و نتیجه محاسبه آن را همانطور که روی کاغذ می نویسیم با حروف معمولی نمایش می دهد. این فیلد صرفاً برای مشاهده عملیات جاری است. زمانی که یک عبارت ریاضی را در خط ورودی تایپ می کنید، ورودی روی نمایشگر نمایش داده می شود.

2. فیلد ورودی عبارت برای نوشتن عبارت مورد محاسبه در نظر گرفته شده است. در اینجا لازم به ذکر است که نمادهای ریاضی مورد استفاده در برنامه های کامپیوتری، همیشه با مواردی که معمولاً روی کاغذ استفاده می کنیم منطبق نیستند. در نمای کلی هر عملکرد ماشین حساب، تعیین صحیح یک عملیات خاص و نمونه هایی از محاسبات را در ماشین حساب خواهید یافت. در این صفحه زیر لیستی از تمام عملیات های ممکن در ماشین حساب وجود دارد که همچنین املای صحیح آنها را نشان می دهد.

3. نوار ابزار - اینها دکمه های ماشین حساب هستند که جایگزین ورودی دستی نمادهای ریاضی می شوند که عملیات مربوطه را نشان می دهد. برخی از دکمه‌های ماشین حساب (توابع اضافی، مبدل واحد، حل ماتریس‌ها و معادلات، نمودارها) نوار وظیفه را با فیلدهای جدیدی تکمیل می‌کنند که در آن داده‌های یک محاسبه خاص وارد می‌شود. فیلد "تاریخچه" شامل نمونه هایی از نوشتن است عبارات ریاضیو همچنین شش ورودی اخیر شما.

لطفاً توجه داشته باشید که وقتی دکمه های تماس را فشار می دهید ویژگی های اضافی، مبدل واحد، حل ماتریس ها و معادلات، رسم کل صفحه ماشین حساب به سمت بالا حرکت می کند و بخشی از نمایشگر را پوشش می دهد. فیلدهای مورد نیاز را پر کنید و کلید "I" (که در شکل با رنگ قرمز مشخص شده است) را فشار دهید تا نمایشگر را در اندازه کامل ببینید.

4. صفحه کلید عددی حاوی اعداد و علائم حسابی است. دکمه "C" کل ورودی را در قسمت ورودی عبارت حذف می کند. برای حذف یک به یک کاراکترها، باید از فلش سمت راست خط ورودی استفاده کنید.

سعی کنید همیشه پرانتزها را در انتهای عبارت ببندید. برای اکثر عملیات، این مهم نیست، ماشین حساب آنلاین همه چیز را به درستی محاسبه می کند. با این حال، در برخی موارد خطا ممکن است. به عنوان مثال، هنگام افزایش به توان کسری، براکت های بسته نشده باعث می شود که مخرج کسری در توان به مخرج پایه برود. روی صفحه نمایش، براکت بسته شدن به رنگ خاکستری کم رنگ نشان داده شده است، پس از اتمام ضبط باید بسته شود.

کلید	نماد	عمل
پی	پی	پی ثابت
ه	ه	شماره اویلر
%	%	درصد
()	()	باز کردن/بستن براکت ها
,	,	کاما
گناه	گناه (؟)	سینوس یک زاویه
cos	cos(؟)	کسینوس
برنزه	قهوهای مایل به زرد (y)	مماس
گناه	sinh()	سینوس هایپربولیک
پول نقد	cosh()	کسینوس هایپربولیک
tanh	tanh()	مماس هایپربولیک
گناه-1	asin()	سینوس معکوس
cos-1	acos()	کسینوس معکوس
tan-1	قهوهای مایل به زرد()	مماس معکوس
sinh-1	asinh()	سینوس هذلولی معکوس
cosh-1	acosh()	کسینوس هذلولی معکوس
tanh-1	atanh()	مماس هذلولی معکوس
x2	^2	مربع کردن
x 3	^3	مکعب
x y	^	توانمندی
10 x	10^()	توان در پایه 10
سابق	exp()	نمایی از عدد اویلر
vx	sqrt(x)	ریشه دوم
3vx	sqrt3 (x)	ریشه درجه 3
yvx	مربع (x,y)	استخراج ریشه
log 2 x	log2 (x)	لگاریتم باینری
ورود به سیستم	ورود به سیستم (x)	لگاریتم اعشاری
لوگاریتم	ورود به سیستم (x)	لگاریتم طبیعی
ورود به سیستم y x	log (x,y)	لگاریتم
I / II		به حداقل رساندن / فراخوانی توابع اضافی
واحد		مبدل واحد
ماتریس		ماتریس ها
حل		معادلات و سیستم های معادلات
		توطئه
عملکردهای اضافی (تماس با کلید II)
مد	مد	تقسیم با باقیمانده
!	!	فاکتوریل
i/j	i/j	واحد خیالی
Re	Re()	انتخاب کل قسمت واقعی
من هستم	من هستم()	حذف قسمت واقعی
|x|	abs()	قدر مطلق یک عدد
ارگ	arg()	آرگومان تابع
nCr	ncr()	ضریب دو جمله ای
gcd	gcd()	GCD
lcm	lcm()	NOC
مجموع	جمع ()	مقدار مجموع همه راه حل ها
صورت	factorize()	فاکتورسازی اولیه
تفاوت	diff()	تفکیک
درجه		درجه
راد		رادیان

استفاده از معادلات در زندگی ما بسیار رایج است. آنها در بسیاری از محاسبات، ساخت سازه ها و حتی ورزش استفاده می شوند. معادلات از زمان های قدیم توسط انسان استفاده می شده است و از آن زمان استفاده از آنها فقط افزایش یافته است. معادلات توان یا نمایی به معادلاتی گفته می شود که در آنها متغیرها برحسب توان هستند و مبنا یک عدد است. برای مثال:

حل معادله نمایی به 2 مرحله نسبتاً ساده می رسد:

1. باید بررسی شود که آیا پایه های معادله سمت راست و چپ یکسان هستند یا خیر. اگر پایه ها یکسان نیستند، ما به دنبال گزینه هایی برای حل این مثال هستیم.

2. پس از یکسان شدن پایه ها، درجه ها را با هم برابر می کنیم و معادله جدید حاصل را حل می کنیم.

فرض کنید یک معادله نمایی به شکل زیر به ما داده شود:

شایسته است حل این معادله را با تحلیل مبنا شروع کنیم. پایه ها متفاوت هستند - 2 و 4، و برای حل نیاز داریم که آنها یکسان باشند، بنابراین 4 را مطابق فرمول زیر تبدیل می کنیم - \ [ (a ^ n) ^ m = a ^ (nm): \]

به معادله اصلی اضافه کنید:

بیایید براکت ها را برداریم \

بیان \

از آنجایی که درجات یکسان هستند، آنها را کنار می گذاریم:

پاسخ: \

کجا می توانم معادله نمایی را به صورت آنلاین با حل کننده حل کنم؟

می توانید معادله را در وب سایت ما https: // سایت حل کنید. رایگان حل کننده آنلاینبه شما امکان می دهد معادله ای با هر پیچیدگی را به صورت آنلاین در چند ثانیه حل کنید. تنها کاری که باید انجام دهید این است که داده های خود را در حل کننده وارد کنید. همچنین می توانید آموزش تصویری را مشاهده کنید و نحوه حل معادله را در وب سایت ما بیاموزید. و اگر سؤالی دارید، می توانید آنها را در گروه Vkontakte ما بپرسید http://vk.com/pocketteacher. به گروه ما بپیوندید، ما همیشه خوشحالیم که به شما کمک می کنیم.