معادله درجه دوم کاهش یافته را کامل کنید. ماشین حساب آنلاین حل یک معادله درجه دوم

این موضوع ممکن است در ابتدا به دلیل فرمول های دشوار بسیار پیچیده به نظر برسد. نه تنها معادلات درجه دوم خود رکوردهای طولانی دارند، بلکه ریشه ها نیز از طریق ممیز یافت می شوند. در کل سه فرمول جدید وجود دارد. به خاطر سپردن آن آسان نیست. این تنها پس از حل مکرر چنین معادلاتی امکان پذیر است. سپس تمام فرمول ها به خودی خود به خاطر سپرده می شوند.

نمای کلی معادله درجه دوم

در اینجا، ضبط صریح آنها پیشنهاد می شود، زمانی که بالاترین درجه اول ثبت می شود و سپس به ترتیب نزولی. اغلب شرایطی وجود دارد که شرایط از نظم خارج می شود. سپس بهتر است معادله را به ترتیب کاهش درجه متغیر بازنویسی کنید.

اجازه دهید نماد را معرفی کنیم. آنها در جدول زیر ارائه شده اند.

اگر این نام گذاری ها را بپذیریم، تمام معادلات درجه دوم به رکورد زیر کاهش می یابد.

علاوه بر این، ضریب a ≠ 0. اجازه دهید این فرمول با شماره یک نشان داده شود.

وقتی معادله داده می شود، مشخص نیست که چه تعداد ریشه در پاسخ وجود خواهد داشت. زیرا یکی از سه گزینه همیشه ممکن است:

دو ریشه در راه حل وجود خواهد داشت.
جواب یک عدد است؛
معادله اصلاً ریشه نخواهد داشت.

و تا زمانی که تصمیم به پایان نرسد، درک اینکه کدام یک از گزینه ها در یک مورد خاص از بین می رود دشوار است.

انواع رکوردهای معادلات درجه دوم

وظایف ممکن است حاوی سوابق مختلف خود باشند. آنها همیشه شبیه یک فرمول درجه دوم کلی نخواهند بود. گاهی اوقات فاقد برخی شرایط است. آنچه در بالا نوشته شد یک معادله کامل است. اگر عبارت دوم یا سوم را در آن حذف کنید، چیز متفاوتی دریافت خواهید کرد. به این رکوردها معادلات درجه دوم نیز گفته می شود که فقط ناقص هستند.

علاوه بر این، فقط عباراتی که در آنها ضرایب "b" و "c" می توانند ناپدید شوند. عدد "الف" در هیچ شرایطی نمی تواند برابر با صفر باشد. زیرا در این حالت فرمول به یک معادله خطی تبدیل می شود. فرمول های شکل ناقص معادلات به صورت زیر خواهد بود:

بنابراین، فقط دو نوع وجود دارد، علاوه بر کامل، معادلات درجه دوم ناقص نیز وجود دارد. بگذارید فرمول اول شماره دو و فرمول دوم شماره سه باشد.

تمایز و وابستگی تعداد ریشه ها به مقدار آن

برای محاسبه ریشه های معادله باید این عدد را بدانید. همیشه می توان آن را محاسبه کرد، هر فرمول معادله درجه دوم باشد. برای محاسبه ممیز باید از تساوی نوشته شده در زیر استفاده کنید که دارای عدد چهار خواهد بود.

پس از جایگزینی مقادیر ضرایب در این فرمول، می توانید اعدادی با علائم مختلف بدست آورید. اگر پاسخ مثبت است، پاسخ معادله دو ریشه متفاوت خواهد بود. اگر عدد منفی باشد، ریشه معادله درجه دوم وجود ندارد. اگر برابر با صفر باشد جواب یک خواهد بود.

یک معادله درجه دوم کامل چگونه حل می شود؟

در واقع بررسی این موضوع از قبل آغاز شده است. زیرا ابتدا باید متمایز کننده را پیدا کنید. پس از اینکه مشخص شد که معادله درجه دوم ریشه هایی وجود دارد و تعداد آنها مشخص شد، باید از فرمول های متغیرها استفاده کنید. اگر دو ریشه وجود دارد، پس باید این فرمول را اعمال کنید.

از آنجایی که حاوی علامت "±" است، دو مقدار وجود خواهد داشت. عبارت جذر ممیز است. بنابراین، فرمول را می توان به روش دیگری بازنویسی کرد.

فرمول شماره پنج همان رکورد نشان می دهد که اگر ممیز صفر باشد، هر دو ریشه مقادیر یکسانی خواهند داشت.

اگر حل معادلات درجه دوم هنوز کار نشده است، بهتر است قبل از اعمال فرمول های متمایز و متغیر، مقادیر همه ضرایب را یادداشت کنید. بعداً این لحظه مشکلی ایجاد نخواهد کرد. اما در همان ابتدا، سردرگمی وجود دارد.

چگونه یک معادله درجه دوم ناقص حل می شود؟

همه چیز در اینجا بسیار ساده تر است. حتی نیازی به فرمول های اضافی نیست. و به مواردی که قبلاً برای ممیز و مجهول ثبت شده اند نیاز نخواهید داشت.

ابتدا معادله ناقص شماره دو را در نظر بگیرید. در این تساوی قرار است کمیت مجهول را از براکت خارج کرده و معادله خطی را که در براکت ها باقی می ماند حل کند. پاسخ دو ریشه خواهد داشت. اولین مورد لزوماً برابر با صفر است، زیرا عاملی متشکل از خود متغیر وجود دارد. دومی با حل یک معادله خطی به دست می آید.

معادله ناقص شماره سه با انتقال عدد از سمت چپ معادله به راست حل می شود. سپس باید بر ضریب مقابل مجهول تقسیم کنید. تنها چیزی که باقی می ماند این است که ریشه مربع را استخراج کنید و به یاد داشته باشید که آن را دو بار با علائم مخالف یادداشت کنید.

در زیر چند مرحله وجود دارد که به شما کمک می کند یاد بگیرید چگونه انواع معادلاتی را که به معادلات درجه دوم تبدیل می شوند، حل کنید. آنها به دانش آموز کمک می کنند تا از اشتباهات بی دقتی خودداری کند. این کاستی ها دلیل نمرات ضعیف در مطالعه مبحث گسترده «معادلات درجه دوم (پایه هشتم)» است. پس از آن، این اقدامات نیازی به انجام مداوم نخواهند داشت. زیرا یک مهارت پایدار ظاهر می شود.

ابتدا باید معادله را به شکل استاندارد بنویسید. یعنی ابتدا عبارت با بالاترین درجه متغیر و سپس - بدون درجه و آخرین - فقط یک عدد.

اگر یک منهای در مقابل ضریب "a" ظاهر شود، می تواند کار را برای یک مبتدی برای مطالعه معادلات درجه دوم پیچیده کند. بهتر است از شر آن خلاص شوید. برای این منظور، تمام تساوی باید در "-1" ضرب شود. این بدان معنی است که همه اصطلاحات علامت خود را به عکس تغییر می دهند.

به همین ترتیب، توصیه می شود از شر کسری خلاص شوید. به سادگی معادله را در ضریب مناسب ضرب کنید تا مخرج ها حذف شوند.

نمونه هایی از

حل معادلات درجه دوم زیر لازم است:

x 2 - 7x = 0;

15 - 2x - x 2 = 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2).

معادله اول: x 2 - 7x = 0. ناقص است، بنابراین مطابق با فرمول شماره دو حل می شود.

پس از ترک براکت ها، معلوم می شود: x (x - 7) = 0.

ریشه اول مقدار x 1 = 0 را می گیرد. دومی از معادله خطی پیدا می شود: x - 7 = 0. به راحتی می توان دریافت که x 2 = 7.

معادله دوم: 5x 2 + 30 = 0. باز هم ناقص. فقط همانطور که برای فرمول سوم توضیح داده شد حل می شود.

پس از انتقال 30 به سمت راست برابری: 5x 2 = 30. اکنون باید بر 5 تقسیم کنید. معلوم می شود: x 2 = 6. پاسخ ها اعداد خواهند بود: x 1 = √6، x 2 = - √ 6.

معادله سوم: 15 - 2x - x 2 = 0. از این پس حل معادلات درجه دوم با بازنویسی مجدد آنها به شکل استاندارد آغاز می شود: - x 2 - 2x + 15 = 0. حال نوبت به استفاده از دومین توصیه مفید و همه چیز را در منهای یک ضرب کن... به نظر می رسد x 2 + 2x - 15 = 0. طبق فرمول چهارم، باید تفکیک کننده را محاسبه کنید: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. این یک عدد مثبت است. از آنچه در بالا گفته شد، معلوم می شود که معادله دو ریشه دارد. آنها باید با استفاده از فرمول پنجم محاسبه شوند. معلوم می شود که x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. سپس x 1 = 3، x 2 = - 5.

معادله چهارم x 2 + 8 + 3x = 0 به این تبدیل می شود: x 2 + 3x + 8 = 0. ممیز آن برابر با این مقدار است: -23. از آنجایی که این عدد منفی است، پاسخ این کار به صورت زیر خواهد بود: "ریشه ای وجود ندارد."

معادله پنجم 12x + x 2 + 36 = 0 باید به صورت زیر بازنویسی شود: x 2 + 12x + 36 = 0. پس از اعمال فرمول برای ممیز، عدد صفر به دست می آید. این بدان معنی است که یک ریشه دارد، یعنی: x = -12 / (2 * 1) = -6.

معادله ششم (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) نیاز به تبدیل‌هایی دارد که شامل این واقعیت است که قبل از باز کردن پرانتزها باید اصطلاحات مشابهی را بیاورید. به جای اولی، چنین عبارتی وجود خواهد داشت: x 2 + 2x + 1. پس از برابری، این رکورد ظاهر می شود: x 2 + 3x + 2. پس از شمارش این عبارت ها، معادله به شکل x در می آید: 2 - x = 0. تبدیل به ناقص شد ... مشابه آن قبلاً کمی بالاتر در نظر گرفته شده است. ریشه این اعداد 0 و 1 خواهد بود.

تمایز یک اصطلاح مبهم است. در این مقاله، ما بر روی تمایز یک چند جمله ای تمرکز خواهیم کرد، که به شما امکان می دهد تعیین کنید که آیا یک چند جمله ای معین دارای راه حل های معتبر است یا خیر. فرمول چند جمله ای مربع در درس مدرسه جبر و تجزیه و تحلیل یافت می شود. چگونه تشخیص دهنده را پیدا کنیم؟ برای حل معادله چه چیزی لازم است؟

چند جمله ای مربع یا معادله درجه دوم نامیده می شود i * w ^ 2 + j * w + k برابر با 0، که در آن "i" و "j" به ترتیب ضرایب اول و دوم هستند، "k" یک ثابت است که گاهی اوقات به آن "عضو آزاد" می گویند، و "w" یک متغیر است. ریشه های آن تمام مقادیر متغیری است که در آن به هویت تبدیل می شود. چنین تساوی را می توان به صورت حاصل ضرب i، (w - w1) و (w - w2) برابر با 0 بازنویسی کرد. در این حالت، بدیهی است که اگر ضریب "i" ناپدید نشود، تابع سمت چپ است. فقط در صورتی که x w1 یا w2 باشد، سمت صفر می شود. این مقادیر نتیجه صفر کردن چند جمله ای است.

برای یافتن مقدار متغیری که در آن یک چند جمله‌ای مربعی ناپدید می‌شود، از یک ساختار کمکی استفاده می‌شود که بر روی ضرایب آن ساخته می‌شود و متمایز نامیده می‌شود. این طرح با توجه به فرمول D برابر است با j * j - 4 * i * k محاسبه می شود. چرا استفاده می شود؟

او می گوید اگر نتایج معتبری وجود داشته باشد.
او به محاسبه آنها کمک می کند.

چگونه این مقدار وجود ریشه های واقعی را نشان می دهد:

اگر مثبت باشد، می توانید دو ریشه در محدوده اعداد واقعی پیدا کنید.
اگر ممیز صفر باشد، هر دو راه حل بر هم منطبق هستند. می توان گفت که تنها یک راه حل وجود دارد و آن از حوزه اعداد حقیقی است.
اگر ممیز کمتر از صفر باشد، آن چند جمله ای هیچ ریشه واقعی ندارد.

گزینه های محاسبه برای ایمن سازی مواد

برای مجموع (7 * w ^ 2; 3 * w; 1) برابر با 0 است D را با توجه به فرمول 3 * 3 - 4 * 7 * 1 = 9 - 28 محاسبه می کنیم - 19 بدست می آوریم. مقدار متمایز زیر صفر نشان می دهد که هیچ نتیجه ای در خط واقعی وجود ندارد.

با در نظر گرفتن 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 معادل 0سپس D به صورت (-3) مجذور منهای حاصل ضرب اعداد (4؛ 2؛ 1) محاسبه می شود و برابر است با 9 - 8، یعنی 1. یک مقدار مثبت نشان دهنده دو نتیجه در خط واقعی است.

اگر مجموع (w ^ 2; 2 * w; 1) را بگیریم و برابر با 0 کنیم.، D به صورت دو مجذور منهای حاصل ضرب اعداد (4؛ 1؛ 1) محاسبه می شود. این عبارت به 4 - 4 ساده شده و ناپدید می شود. معلوم می شود که نتایج یکسان است. اگر به این فرمول دقت کنید، مشخص می شود که این یک "مربع کامل" است. از این رو، تساوی را می توان به شکل (w + 1) ^ 2 = 0 بازنویسی کرد. آشکار شد که نتیجه در این مشکل "-1" است. در شرایطی که D برابر با 0 باشد، همیشه می توان سمت چپ تساوی را طبق فرمول «مربع مجموع» تا کرد.

استفاده از ممیز در محاسبه ریشه ها

این ساخت و ساز کمکی نه تنها تعداد راه حل های واقعی را نشان می دهد، بلکه به یافتن آنها نیز کمک می کند. فرمول محاسبه کلی معادله درجه دوم به شرح زیر است:

w = (-j +/- d) / (2 * i)، که در آن d 1/2 تمایز توان است.

فرض کنید تفکیک کننده زیر صفر باشد، پس d خیالی و نتایج خیالی است.

D صفر است، سپس d برابر با D به توان 1/2 نیز صفر است. راه حل: -j / (2 * i). با در نظر گرفتن 1 * w ^ 2 + 2 * w + 1 = 0 دوباره، نتایجی معادل -2 / (2 * 1) = -1 پیدا می کنیم.

فرض کنید D> 0، بنابراین d یک عدد واقعی است، و پاسخ در اینجا به دو قسمت تقسیم می شود: w1 = (-j + d) / (2 * i) و w2 = (-j - d) / (2 * i) ... هر دو نتیجه معتبر خواهد بود. بیایید به 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 = 0 نگاه کنیم. در اینجا تفکیک کننده و d یک هستند. معلوم می شود که w1 (3 + 1) تقسیم بر (2 * 2) یا 1 است و w2 برابر است با (3 - 1) تقسیم بر 2 * 2 یا 1/2.

نتیجه معادل سازی یک عبارت مربعی با صفر بر اساس الگوریتم محاسبه می شود:

تعیین تعداد تصمیمات معتبر
محاسبه d = D ^ (1/2).
یافتن نتیجه با توجه به فرمول (-j +/- d) / (2 * i).
جایگزینی نتیجه به دست آمده به برابری اصلی برای آزمایش.

چند مورد خاص

بسته به ضرایب، راه حل را می توان تا حدودی ساده کرد. بدیهی است که اگر ضریب مقابل متغیر در درجه دوم برابر با صفر باشد، تساوی خطی به دست می آید. زمانی که ضریب مقابل متغیر در درجه اول صفر باشد، دو گزینه ممکن است:

چند جمله ای به تفاضل مربع های با قطع منفی تجزیه می شود.
برای یک ثابت مثبت، هیچ راه حل واقعی نمی توان یافت.

اگر جمله آزاد صفر باشد، ریشه ها (0; -j) خواهند بود.

اما موارد خاص دیگری نیز وجود دارد که یافتن راه حل را آسان می کند.

معادله کاهش یافته درجه دوم

داده شده نامیده می شودچنین مربع سه جمله ای، که در آن ضریب جلوی عبارت پیشرو یک است. برای این وضعیت، قضیه ویتا قابل استفاده است که می گوید مجموع ریشه ها برابر است با ضریب متغیر در توان اول ضرب در -1 و حاصلضرب با ثابت "k" مطابقت دارد.

بنابراین، w1 + w2 برابر با -j است و w1 * w2 برابر k است اگر ضریب اول یک باشد. برای اطمینان از درست بودن این نمایش، می‌توانیم w2 = -j - w1 را از فرمول اول بیان کنیم و آن را با برابری دوم w1 * (-j - w1) = k جایگزین کنیم. در نتیجه، برابری اصلی w1 ^ 2 + j * w1 + k = 0 را بدست می آوریم.

توجه به آن ضروری استکه i * w ^ 2 + j * w + k = 0 را می توان با تقسیم بر "i" کاهش داد. نتیجه این خواهد بود: w ^ 2 + j1 * w + k1 = 0، که در آن j1 برابر با j / i و k1 برابر با k / i است.

بیایید نگاهی به 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 = 0 از قبل حل شده با نتایج w1 = 1 و w2 = 1/2 بیندازیم. باید آن را به نصف تقسیم کنیم، در نتیجه w ^ 2 - 3/2 * w + 1/2 = 0. اجازه دهید بررسی کنیم که شرایط قضیه برای نتایج یافت شده معتبر است: 1 + 1/2 = 3 /2 و 1 * 1/2 = 1/2.

حتی عامل دوم

اگر ضریب متغیر به توان اول (j) بر 2 بخش پذیر باشد، سپس می توان فرمول را ساده کرد و به دنبال راه حل بر حسب یک چهارم متمایز D / 4 = (j / 2) ^ 2 - i * k. ما w = (-j +/- d / 2) / i را دریافت می کنیم که d / 2 = D / 4 به توان 1/2 می رسد.

اگر i = 1 باشد و ضریب j زوج باشد، جواب حاصل ضرب 1- و نصف ضریب در متغیر w به اضافه / منهای ریشه مربع این نیمه منهای ثابت "k" خواهد بود. فرمول: w = -j / 2 +/- (j ^ 2/4 - k) ^ 1/2.

ممیز مرتبه بالاتر

ممیز سه جمله ای درجه دوم که در بالا در نظر گرفته شد، رایج ترین مورد خاص مورد استفاده است. در حالت کلی، ممیز یک چند جمله ای است مربع های ضرب شده اختلاف ریشه های این چند جمله ای... در نتیجه، ممیز برابر با صفر وجود حداقل دو راه حل چندگانه را نشان می دهد.

i * w ^ 3 + j * w ^ 2 + k * w + m = 0 را در نظر بگیرید.

D = j ^ 2 * k ^ 2 - 4 * i * k ^ 3 - 4 * i ^ 3 * k - 27 * i ^ 2 * m ^ 2 + 18 * i * j * k * m.

فرض کنید تفکیک کننده بزرگتر از صفر است... یعنی سه ریشه در قلمرو وجود دارد. در صفر، چندین راه حل وجود دارد. اگر D< 0, то два корня комплексно-сопряженные, которые дают отрицательное значение при возведении в квадрат, а также один корень — вещественный.

ویدئو

ویدیوی ما در مورد محاسبه تفکیک کننده به شما توضیح می دهد.

پاسخ سوال خود را دریافت نکردید؟ موضوعی را به نویسندگان پیشنهاد دهید.

ما به مطالعه موضوع ادامه می دهیم " حل معادلات". ما قبلاً با معادلات خطی روبرو شده ایم و در حال حرکت برای آشنایی هستیم معادلات درجه دوم.

ابتدا، ما تجزیه و تحلیل خواهیم کرد که معادله درجه دوم چیست، چگونه به صورت کلی نوشته می شود و تعاریف مرتبط را ارائه می دهیم. پس از آن، با استفاده از مثال، نحوه حل معادلات درجه دوم ناقص را به تفصیل تجزیه و تحلیل خواهیم کرد. سپس به حل کامل معادلات می پردازیم، فرمول ریشه ها را به دست می آوریم، با ممیز معادله درجه دوم آشنا می شویم و جواب های مثال های معمولی را در نظر می گیریم. در نهایت، بیایید رابطه بین ریشه ها و ضرایب را ردیابی کنیم.

پیمایش صفحه.

معادله درجه دوم چیست؟ انواع آنها

ابتدا باید به وضوح درک کنید که معادله درجه دوم چیست. بنابراین منطقی است که صحبت از معادلات درجه دوم را با تعریف معادله درجه دوم و همچنین تعاریف مرتبط شروع کنیم. پس از آن می توانید انواع اصلی معادلات درجه دوم را در نظر بگیرید: کاهش یافته و غیرکاهش شده و همچنین معادلات کامل و ناقص.

تعریف و مثال هایی از معادلات درجه دوم

تعریف.

معادله ی درجه دومعادله ای از فرم است a x 2 + b x + c = 0، جایی که x یک متغیر است، a، b و c برخی از اعداد و a غیر صفر است.

بیایید بلافاصله بگوییم که معادلات درجه دوم اغلب معادلات درجه دوم نامیده می شوند. این به این دلیل است که معادله درجه دوم است معادله جبریدرجه دوم

تعریف صدا به ما اجازه می دهد تا مثال هایی از معادلات درجه دوم بیاوریم. بنابراین 2 x 2 + 6 x + 1 = 0، 0.2 x 2 + 2.5 x + 0.03 = 0، و غیره. معادلات درجه دوم هستند.

تعریف.

شماره a، b و c نامیده می شوند ضرایب معادله درجه دوم a x 2 + b x + c = 0 و ضریب a اولین یا بالاترین یا ضریب در x 2 نامیده می شود، b ضریب دوم یا ضریب x و c عبارت آزاد است.

به عنوان مثال، بیایید یک معادله درجه دوم به شکل 5x2 −2x3 = 0 را در نظر بگیریم، در اینجا ضریب پیشرو 5، ضریب دوم −2 و نقطه قطع آن −3 است. توجه داشته باشید که وقتی ضرایب b و / یا c منفی هستند، همانطور که در مثالی که ارائه شد، شکل کوتاه معادله درجه دوم 5 x 2 −2 x − 3 = 0 است، نه 5 x 2 + (- 2 ) X + (- 3) = 0.

شایان ذکر است که وقتی ضرایب a و / یا b برابر با 1 یا -1 هستند، معمولاً به صراحت در معادله درجه دوم وجود ندارند، که به دلیل ویژگی های نوشتن چنین است. به عنوان مثال، در یک معادله درجه دوم y 2 −y + 3 = 0، ضریب پیشرو یک و ضریب در y −1 است.

معادلات درجه دوم کاهش یافته و کاهش نیافته

معادلات درجه دوم کاهش یافته و غیر کاهش یافته بسته به مقدار ضریب پیشرو متمایز می شوند. اجازه دهید تعاریف مربوطه را ارائه دهیم.

تعریف.

معادله درجه دومی که در آن ضریب پیشرو 1 است نامیده می شود معادله درجه دوم کاهش یافته... در غیر این صورت معادله درجه دوم است کاهش نیافته.

طبق این تعریف، معادلات درجه دوم x 2 −3 x + 1 = 0، x 2 −x − 2/3 = 0 و غیره. - داده شده، در هر یک از آنها ضریب اول برابر با یک است. و 5 x 2 −x − 1 = 0 و غیره. - معادلات درجه دوم کاهش نیافته، ضرایب پیشرو آنها با 1 متفاوت است.

از هر معادله درجه دوم غیر کاهشی، با تقسیم هر دو قسمت آن بر ضریب پیشرو، می توانید به سمت کاهش یافته بروید. این عمل یک تبدیل معادل است، یعنی معادله درجه دوم کاهش یافته به دست آمده از این طریق دارای ریشه های معادل معادله درجه دوم تقلیل نشده اصلی است یا مانند آن بدون ریشه است.

اجازه دهید با مثال تجزیه و تحلیل کنیم که چگونه انتقال از یک معادله درجه دوم کاهش‌یافته به یک معادله کاهش‌یافته انجام می‌شود.

مثال.

از معادله 3 x 2 + 12 x − 7 = 0، به معادله درجه دوم کاهش یافته مربوطه بروید.

راه حل.

کافی است دو طرف معادله اصلی را بر ضریب پیشرو 3 تقسیم کنیم، غیر صفر است، بنابراین می توانیم این عمل را انجام دهیم. داریم (3 x 2 + 12 x − 7): 3 = 0: 3 که یکسان است، (3 x 2): 3+ (12 x): 3-7: 3 = 0، و بیشتر (3: 3) x 2 + (12: 3) x − 7: 3 = 0، از این رو. بنابراین معادله درجه دوم کاهش یافته را بدست آوردیم که معادل معادله اصلی است.

پاسخ:

معادلات درجه دوم کامل و ناقص

تعریف یک معادله درجه دوم شامل شرط a ≠ 0 است. این شرط برای اینکه معادله a x 2 + b x + c = 0 دقیقاً درجه دوم باشد، ضروری است، زیرا در a = 0 در واقع به یک معادله خطی به شکل b x + c = 0 تبدیل می شود.

در مورد ضرایب b و c هم به صورت جداگانه و هم با هم می توانند صفر باشند. در این موارد معادله درجه دوم ناقص نامیده می شود.

تعریف.

معادله درجه دوم a x 2 + b x + c = 0 نامیده می شود ناقصاگر حداقل یکی از ضرایب b، c برابر با صفر باشد.

به نوبه خود

تعریف.

معادله درجه دوم کاملمعادله ای است که در آن همه ضرایب غیر صفر هستند.

چنین اسامی تصادفی نیست. این از ملاحظات زیر مشخص خواهد شد.

اگر ضریب b برابر با صفر باشد، معادله درجه دوم به شکل a x 2 + 0 x + c = 0 است و معادل معادله a x 2 + c = 0 است. اگر c = 0، یعنی معادله درجه دوم به صورت x 2 + b x + 0 = 0 باشد، می توان آن را به صورت x 2 + b x = 0 بازنویسی کرد. و با b = 0 و c = 0، معادله درجه دوم a x 2 = 0 را بدست می آوریم. معادلات به دست آمده با معادله درجه دوم کامل تفاوت دارند زیرا در سمت چپ آنها عبارتی با متغیر x یا عبارت آزاد یا هر دو وجود ندارد. از این رو نام آنها - معادلات درجه دوم ناقص است.

بنابراین معادلات x 2 + x + 1 = 0 و −2 x 2 −5 x + 0.2 = 0 نمونه‌هایی از معادلات درجه دوم هستند و x 2 = 0، −2 x 2 = 0.5 x 2 + 3 = 0، − x 2 −5 · x = 0 معادلات درجه دوم ناقص هستند.

حل معادلات درجه دوم ناقص

از اطلاعات پاراگراف قبل چنین بر می آید که وجود دارد سه نوع معادله درجه دوم ناقص:

a · x 2 = 0، ضرایب b = 0 و c = 0 با آن مطابقت دارد.
a x 2 + c = 0 وقتی b = 0;
و x 2 + b x = 0 وقتی c = 0 باشد.

اجازه دهید به ترتیب چگونگی حل معادلات درجه دوم ناقص هر یک از این انواع را تجزیه و تحلیل کنیم.

a x 2 = 0

بیایید با حل معادلات درجه دوم ناقص شروع کنیم که در آنها ضرایب b و c برابر با صفر هستند، یعنی با معادلات به شکل a · x 2 = 0. معادله a · x 2 = 0 معادل معادله x 2 = 0 است که با تقسیم هر دو قسمت آن بر یک عدد غیر صفر a از معادله اصلی به دست می آید. بدیهی است که ریشه معادله x 2 = 0 صفر است زیرا 0 2 = 0 است. این معادله ریشه دیگری ندارد، که توضیح داده شده است، در واقع، برای هر عدد غیرصفر p، نابرابری p 2> 0 برقرار است، از این رو چنین است که برای p ≠ 0 برابری p 2 = 0 هرگز به دست نمی آید.

بنابراین، معادله درجه دوم ناقص a · x 2 = 0 دارای یک ریشه واحد x = 0 است.

به عنوان مثال، اجازه دهید حل معادله درجه دوم ناقص -4 · x 2 = 0 را بدهیم. معادله x 2 = 0 معادل آن است، تنها ریشه آن x = 0 است، بنابراین، معادله اصلی نیز یک ریشه منحصر به فرد دارد.

یک راه حل کوتاه در این مورد می تواند به صورت زیر فرموله شود:
-4 x 2 = 0،
x 2 = 0،
x = 0.

a x 2 + c = 0

حال بیایید در نظر بگیریم که چگونه معادلات درجه دوم ناقص حل می شوند که در آنها ضریب b صفر و c ≠ 0 است، یعنی معادلات شکل a · x 2 + c = 0. می دانیم که با انتقال یک جمله از یک طرف معادله به سمت دیگر با علامت مخالف و همچنین تقسیم دو طرف معادله بر یک عدد غیر صفر، یک معادله معادل به دست می آید. بنابراین، می‌توان تبدیل‌های معادل زیر را از معادله درجه دوم ناقص a x 2 + c = 0 انجام داد:

c را به سمت راست حرکت دهید، که معادله a x 2 = −c را به دست می‌دهد،
و هر دو قسمت آن را بر a تقسیم کنیم، بدست می آوریم.

معادله به دست آمده به ما امکان می دهد در مورد ریشه های آن نتیجه گیری کنیم. بسته به مقادیر a و c، مقدار عبارت می تواند منفی باشد (به عنوان مثال، اگر a = 1 و c = 2، پس) یا مثبت، (به عنوان مثال، اگر a = -2 و c = 6 باشد. ، پس) برابر با صفر نیست، زیرا با فرضیه c ≠ 0. اجازه دهید به طور جداگانه موارد و.

اگر، پس معادله ریشه ندارد. این عبارت از این واقعیت ناشی می شود که مربع هر عدد یک عدد غیر منفی است. از این نتیجه می شود که وقتی برای هر عدد p برابری نمی تواند صادق باشد.

اگر، پس وضعیت با ریشه های معادله متفاوت است. در این مورد، اگر به یاد داشته باشید، ریشه معادله بلافاصله آشکار می شود، این یک عدد است، زیرا. به راحتی می توان حدس زد که عدد نیز ریشه معادله است، در واقع،. این معادله ریشه دیگری ندارد که مثلاً با روش متناقض نشان داده شود. بیایید آن را انجام دهیم.

اجازه دهید ریشه های معادله ای را که به نظر می رسد x 1 و −x 1 نشان دهیم. فرض کنید معادله یک ریشه x 2 بیشتر از ریشه های نشان داده شده x 1 و −x 1 دارد. مشخص است که جایگزینی ریشه های آن در معادله به جای x معادله را به یک برابری عددی واقعی تبدیل می کند. برای x 1 و −x 1 داریم و برای x 2 داریم. ویژگی‌های تساوی‌های عددی به ما این امکان را می‌دهند که تفریق ترم به ترم برابری‌های عددی واقعی را انجام دهیم، بنابراین با تفریق بخش‌های مربوطه برابری‌ها x 1 2 −x 2 2 = 0 به دست می‌آید. ویژگی های اعمال با اعداد به شما امکان می دهد تساوی حاصل را به صورت (x 1 - x 2) · (x 1 + x 2) = 0 بازنویسی کنید. می دانیم که حاصل ضرب دو عدد صفر است اگر و فقط اگر حداقل یکی از آنها صفر باشد. بنابراین، از برابری به دست آمده نتیجه می شود که x 1 - x 2 = 0 و / یا x 1 + x 2 = 0، که یکسان است، x 2 = x 1 و / یا x 2 = -x 1. به این ترتیب به تناقض رسیدیم، زیرا در ابتدا گفتیم که ریشه معادله x 2 با x 1 و −x 1 متفاوت است. این ثابت می کند که معادله هیچ ریشه ای جز و ندارد.

بیایید اطلاعات این مورد را خلاصه کنیم. معادله درجه دوم ناقص a x 2 + c = 0 معادل معادله ای است که

ریشه ندارد اگر،
دو ریشه دارد و اگر.

مثال هایی از حل معادلات درجه دوم ناقص به شکل a · x 2 + c = 0 را در نظر بگیرید.

بیایید با معادله درجه دوم 9 x 2 + 7 = 0 شروع کنیم. پس از انتقال عبارت آزاد به سمت راست معادله، به شکل 9 · x 2 = −7 خواهد بود. با تقسیم دو طرف معادله حاصل بر 9 به این نتیجه می رسیم. از آنجایی که یک عدد منفی در سمت راست به دست می آید، این معادله ریشه ندارد، بنابراین، معادله درجه دوم ناقص اصلی 9 · x 2 + 7 = 0 ریشه ندارد.

یک معادله درجه دوم ناقص دیگر را حل کنید -x 2 + 9 = 0. نه را به سمت راست حرکت دهید: −x 2 = −9. حالا هر دو طرف را بر 1- تقسیم می کنیم، x 2 = 9 به دست می آید. در سمت راست یک عدد مثبت وجود دارد که از آن نتیجه می گیریم که یا. سپس پاسخ نهایی را یادداشت می کنیم: معادله درجه دوم ناقص -x 2 + 9 = 0 دارای دو ریشه x = 3 یا x = -3 است.

a x 2 + b x = 0

باقی مانده است که به حل آخرین نوع معادلات درجه دوم ناقص برای c = 0 بپردازیم. معادلات درجه دوم ناقص شکل a x 2 + b x = 0 به شما امکان می دهد حل کنید روش فاکتورسازی... بدیهی است که ما می‌توانیم در سمت چپ معادله قرار داشته باشیم که برای آن کافی است عامل مشترک x را فاکتور کنیم. این به ما اجازه می دهد تا از معادله درجه دوم ناقص اولیه به معادله ای معادل به شکل x · (a · x + b) = 0 عبور کنیم. و این معادله معادل ترکیب دو معادله x = 0 و a x + b = 0 است که آخرین آنها خطی است و دارای ریشه x = −b / a است.

بنابراین، معادله درجه دوم ناقص a x 2 + b x = 0 دارای دو ریشه x = 0 و x = -b / a است.

برای ادغام مطالب، راه حل یک مثال خاص را تجزیه و تحلیل می کنیم.

مثال.

معادله را حل کنید.

راه حل.

خارج کردن x از پرانتز معادله را به دست می دهد. معادل دو معادله x = 0 و است. معادله خطی حاصل را حل می کنیم: و پس از تقسیم عدد مختلط بر کسری معمولی، پیدا می کنیم. بنابراین، ریشه های معادله اصلی x = 0 و.

پس از تمرین لازم، جواب این گونه معادلات را می توان به طور خلاصه نوشت:

پاسخ:

x = 0،.

تفکیک کننده، فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم

یک فرمول ریشه برای حل معادلات درجه دوم وجود دارد. بیایید بنویسیم فرمول درجه دوم: ، جایی که D = b 2 −4 a c- باصطلاح تفکیک درجه دوم... نماد در اصل به این معنی است.

دانستن اینکه فرمول ریشه چگونه به دست آمده و چگونه در هنگام یافتن ریشه معادلات درجه دوم به کار می رود مفید است. بیایید آن را بفهمیم.

استخراج فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم

فرض کنید باید معادله درجه دوم a x 2 + b x + c = 0 را حل کنیم. بیایید چند تبدیل معادل را انجام دهیم:

می‌توانیم هر دو طرف این معادله را بر یک عدد غیر صفر a تقسیم کنیم، در نتیجه معادله درجه دوم کاهش یافته را به دست می‌آوریم.
اکنون مربع کامل را انتخاب کنیددر سمت چپ آن:. پس از آن، معادله شکل خواهد گرفت.
در این مرحله می‌توان انتقال دو ترم آخر را به سمت راست با علامت مخالف انجام داد.
و همچنین عبارت سمت راست را تبدیل می کنیم:.

در نتیجه به معادله ای می رسیم که معادل معادله درجه دوم a x 2 + b x + c = 0 است.

ما قبلاً معادلات مشابه را در پاراگراف های قبلی هنگام تجزیه و تحلیل آنها حل کرده ایم. این به ما امکان می دهد تا در مورد ریشه های معادله نتایج زیر را بدست آوریم:

اگر، پس معادله هیچ راه حل واقعی ندارد.
اگر، پس معادله شکلی دارد، بنابراین، تنها ریشه آن قابل مشاهده است.
اگر، پس یا، که یکسان است یا، یعنی معادله دو ریشه دارد.

بنابراین، وجود یا عدم وجود ریشه های معادله، و از این رو معادله درجه دوم اصلی، به علامت عبارت در سمت راست بستگی دارد. به نوبه خود ، علامت این عبارت با علامت صورت تعیین می شود ، زیرا مخرج 4 · a 2 همیشه مثبت است ، یعنی علامت عبارت b 2 −4 · a · c. این عبارت b 2-4 a c نامیده شد ممیز یک معادله درجه دومو با حرف مشخص شده است دی... از اینجا جوهر ممیز مشخص می شود - با ارزش و علامت آن نتیجه می شود که آیا معادله درجه دوم ریشه واقعی دارد و اگر چنین است تعداد آنها چقدر است - یک یا دو.

با بازگشت به معادله، آن را با استفاده از نماد تمایز بازنویسی کنید. و نتیجه گیری می کنیم:

اگر D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
اگر D = 0 باشد، این معادله یک ریشه دارد.
در نهایت اگر D> 0 باشد، معادله دارای دو ریشه است یا به موجب آن می توان آن را به صورت یا بازنویسی کرد و پس از بسط و کاهش کسرها به مخرج مشترک، به دست می آوریم.

بنابراین ما فرمول‌هایی را برای ریشه‌های یک معادله درجه دوم به دست آورده‌ایم، آنها شکلی دارند که در آن ممیز D با فرمول D = b 2-4 · a · c محاسبه می‌شود.

با کمک آنها، با یک تمایز مثبت، می توانید هر دو ریشه واقعی معادله درجه دوم را محاسبه کنید. هنگامی که ممیز برابر با صفر است، هر دو فرمول مقدار ریشه یکسانی مربوط به تنها راه حل معادله درجه دوم را می دهند. و با ممیز منفی، هنگام استفاده از فرمول برای ریشه های یک معادله درجه دوم، با استخراج جذر یک عدد منفی مواجه می شویم که ما را از محدوده برنامه درسی مدرسه خارج می کند. با یک ممیز منفی، معادله درجه دوم ریشه واقعی ندارد، اما دارای یک جفت است مزدوج پیچیدهریشه‌ها، که با همان فرمول‌های ریشه‌ای که توسط ما به دست آمده‌اند، پیدا می‌شوند.

الگوریتم حل معادلات درجه دوم با استفاده از فرمول ریشه

در عمل، هنگام حل معادلات درجه دوم، می توانید بلافاصله از فرمول ریشه استفاده کنید که با آن می توانید مقادیر آنها را محاسبه کنید. اما این بیشتر در مورد یافتن ریشه های پیچیده است.

با این حال، در درس مدرسه جبر، معمولا در مورد پیچیده نیست، بلکه در مورد ریشه های واقعی یک معادله درجه دوم است. در این مورد، توصیه می شود قبل از استفاده از فرمول های ریشه های معادله درجه دوم، ابتدا متمایز را پیدا کنید، از منفی نبودن آن اطمینان حاصل کنید (در غیر این صورت، می توانیم نتیجه بگیریم که معادله ریشه واقعی ندارد) و فقط پس از آن. که مقادیر ریشه ها را محاسبه می کند.

استدلال بالا به ما اجازه نوشتن را می دهد حل کننده معادلات درجه دوم... برای حل معادله درجه دوم a x 2 + b x + c = 0، شما نیاز دارید:

با فرمول متمایز D = b 2-4 · a · c مقدار آن را محاسبه کنید.
نتیجه بگیرید که معادله درجه دوم ریشه واقعی ندارد اگر ممیز منفی باشد.
اگر D = 0 باشد، تنها ریشه معادله را با فرمول محاسبه کنید.
اگر ممیز مثبت باشد، دو ریشه واقعی یک معادله درجه دوم را با استفاده از فرمول ریشه پیدا کنید.

در اینجا فقط توجه می کنیم که اگر ممیز برابر با صفر باشد، از فرمول نیز می توان استفاده کرد، همان مقدار را به دست می دهد.

می توانید به نمونه هایی از استفاده از الگوریتم حل معادلات درجه دوم بروید.

نمونه هایی از حل معادلات درجه دوم

راه حل های سه معادله درجه دوم با ممیز مثبت، منفی و صفر را در نظر بگیرید. پس از پرداختن به حل آنها، بر اساس قیاس، حل هر معادله درجه دوم دیگری امکان پذیر خواهد بود. بیا شروع کنیم.

مثال.

ریشه های معادله x 2 + 2 x − 6 = 0 را بیابید.

راه حل.

در این حالت، ضرایب زیر از معادله درجه دوم را داریم: a = 1، b = 2 و c = -6. طبق الگوریتم، ابتدا باید تفکیک کننده را محاسبه کنید، برای این کار، a، b و c نشان داده شده را در فرمول تفکیک جایگزین می کنیم، ما داریم D = b 2 −4 a c = 2 2 −4 1 (-6) = 4 + 24 = 28... از آنجایی که 28> 0، یعنی ممیز بزرگتر از صفر است، پس معادله درجه دوم دارای دو ریشه واقعی است. ما آنها را با استفاده از فرمول ریشه پیدا می کنیم، دریافت می کنیم، در اینجا می توانید عبارات به دست آمده با انجام را ساده کنید فاکتور گرفتن علامت ریشهبا کاهش بعدی کسر:

پاسخ:

بیایید به مثال معمولی بعدی برویم.

مثال.

معادله درجه دوم -4x2 + 28x-49 = 0 را حل کنید.

راه حل.

ما با یافتن متمایز شروع می کنیم: D = 28 2-4 (-4) (-49) = 784-784 = 0... بنابراین، این معادله درجه دوم یک ریشه دارد که ما آن را به صورت، یعنی:

پاسخ:

x = 3.5.

باقی مانده است که حل معادلات درجه دوم با ممیز منفی را در نظر بگیریم.

مثال.

معادله 5 y 2 + 6 y + 2 = 0 را حل کنید.

راه حل.

در اینجا ضرایب معادله درجه دوم آمده است: a = 5، b = 6 و c = 2. جایگزینی این مقادیر در فرمول تفکیک کننده، داریم D = b 2 −4 a c = 6 2 −4 5 2 = 36−40 = −4... ممیز منفی است، بنابراین، این معادله درجه دوم ریشه واقعی ندارد.

اگر نیاز به نشان دادن ریشه های پیچیده دارید، فرمول شناخته شده را برای ریشه های معادله درجه دوم اعمال می کنیم و عملیات اعداد مختلط:

پاسخ:

هیچ ریشه واقعی وجود ندارد، ریشه های پیچیده به شرح زیر است:.

یک بار دیگر متذکر می شویم که اگر تمایز معادله درجه دوم منفی باشد ، در مدرسه معمولاً بلافاصله پاسخی را می نویسند که در آن نشان می دهد که ریشه واقعی وجود ندارد و ریشه های پیچیده پیدا نمی شود.

فرمول ریشه برای ضرایب حتی دوم

فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم، که در آن D = b 2-4 ln5 = 2 7 ln5). بیا بیرونش کنیم

فرض کنید باید یک معادله درجه دوم به شکل a x 2 + 2 n x + c = 0 حل کنیم. بیایید ریشه های آن را با استفاده از فرمولی که برای ما شناخته شده است پیدا کنیم. برای این کار تفکیک کننده را محاسبه کنید D = (2 n) 2 -4 a c = 4 n 2 -4 a c = 4 (n 2 -a c)، و سپس از فرمول برای ریشه ها استفاده می کنیم:

اجازه دهید عبارت n 2 - a · c را با D 1 نشان دهیم (گاهی اوقات با D نشان داده می شود) سپس فرمول ریشه های معادله درجه دوم در نظر گرفته شده با ضریب دوم 2 n شکل می گیرد. ، جایی که D 1 = n 2 - a · c.

به راحتی می توان فهمید که D = 4 · D 1، یا D 1 = D / 4. به عبارت دیگر D 1 قسمت چهارم ممیز است. واضح است که علامت D 1 همان علامت D است. یعنی علامت D 1 نیز نشانگر وجود یا عدم وجود ریشه های یک معادله درجه دوم است.

بنابراین، برای حل معادله درجه دوم با ضریب دوم 2 n، شما نیاز دارید

محاسبه D 1 = n 2 −a · c;
اگر D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
اگر D 1 = 0، تنها ریشه معادله را با فرمول محاسبه کنید.
اگر D 1> 0 باشد، با فرمول دو ریشه واقعی پیدا کنید.

حل یک مثال را با استفاده از فرمول ریشه به دست آمده در این پاراگراف در نظر بگیرید.

مثال.

معادله درجه دوم 5x2 −6x − 32 = 0 را حل کنید.

راه حل.

ضریب دوم این معادله را می توان به صورت 2 · (-3) نشان داد. یعنی می توانید معادله درجه دوم اصلی را به شکل 5 x 2 + 2 (-3) x − 32 = 0، در اینجا a = 5، n = −3 و c = −32 بازنویسی کنید و قسمت چهارم را محاسبه کنید. متمایز کننده: D 1 = n 2 −a c = (- 3) 2 −5 (32-) = 9 + 160 = 169... از آنجایی که مقدار آن مثبت است، معادله دو ریشه واقعی دارد. بیایید آنها را با استفاده از فرمول ریشه مربوطه پیدا کنیم:

توجه داشته باشید که استفاده از فرمول معمول برای ریشه های یک معادله درجه دوم امکان پذیر بود، اما در این صورت باید کارهای محاسباتی بیشتری انجام شود.

پاسخ:

ساده سازی دیدگاه معادلات درجه دوم

گاهی اوقات، قبل از شروع به محاسبه ریشه های یک معادله درجه دوم با فرمول، بد نیست این سوال را بپرسیم: "آیا می توان شکل این معادله را ساده کرد؟" موافق باشید که از نظر محاسبات حل معادله درجه دوم 11 · x 2 -4 · x - 6 = 0 از 1100 · x 2 -400 · x - 600 = 0 آسانتر خواهد بود.

معمولاً با ضرب یا تقسیم هر دو قسمت آن در عددی، ساده‌سازی شکل یک معادله درجه دوم حاصل می‌شود. به عنوان مثال، در پاراگراف قبل، ما موفق شدیم معادله 1100x2 −400x−600 = 0 را با تقسیم هر دو طرف بر 100 ساده کنیم.

یک تبدیل مشابه با معادلات درجه دوم انجام می شود که ضرایب آن نیست. در این حالت معمولاً هر دو طرف معادله بر مقادیر مطلق ضرایب آن تقسیم می شوند. برای مثال، اجازه دهید معادله درجه دوم 12 x 2 −42 x + 48 = 0 را در نظر بگیریم. مقادیر مطلق ضرایب آن: GCD (12، 42، 48) = GCD (GCD (12، 42)، 48) = GCD (6، 48) = 6. با تقسیم دو طرف معادله درجه دوم بر 6، به معادله درجه دوم معادل 2 x 2 −7 x + 8 = 0 می رسیم.

و معمولاً ضرب دو طرف معادله درجه دوم برای خلاص شدن از شر ضرایب کسری انجام می شود. در این حالت، ضرب توسط مخرج ضرایب آن انجام می شود. به عنوان مثال، اگر هر دو طرف معادله درجه دوم در LCM (6، 3، 1) = 6 ضرب شوند، آنگاه شکل ساده تری به خود می گیرد x 2 + 4 x − 18 = 0.

در پایان این پاراگراف، یادآور می‌شویم که تقریباً همیشه با تغییر علائم همه عبارت‌ها از منهای ضریب اصلی معادله درجه دوم خلاص می‌شویم، که مربوط به ضرب (یا تقسیم) هر دو قسمت در -1 است. به عنوان مثال، معمولاً از معادله درجه دوم -2x2 -3x + 7 = 0 به جواب 2x2 + 3x - 7 = 0 می رود.

رابطه بین ریشه ها و ضرایب یک معادله درجه دوم

فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم، ریشه های یک معادله را بر حسب ضرایب آن بیان می کند. بر اساس فرمول ریشه، می توانید وابستگی های دیگر بین ریشه ها و ضرایب را بدست آورید.

شناخته‌شده‌ترین و کاربردی‌ترین فرمول‌ها از قضیه فرم و ویتا است. به ویژه، برای معادله درجه دوم داده شده، مجموع ریشه ها برابر با ضریب دوم با علامت مخالف است و حاصل ضرب ریشه ها برابر با جمله آزاد است. به عنوان مثال، با شکل معادله درجه دوم 3 x 2 −7 x + 22 = 0، بلافاصله می توان گفت که مجموع ریشه های آن 7/3 و حاصل ضرب ریشه ها 22/3 است.

با استفاده از فرمول های قبلاً نوشته شده، می توانید تعدادی رابطه دیگر بین ریشه ها و ضرایب معادله درجه دوم بدست آورید. به عنوان مثال، شما می توانید مجموع مجذورات ریشه های یک معادله درجه دوم را از طریق ضرایب آن بیان کنید:.

کتابشناسی - فهرست کتب.

جبر:مطالعه. برای 8 سی سی آموزش عمومی. مؤسسات / [یو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorova]؛ ویرایش S. A. Telyakovsky. - چاپ شانزدهم - م.: آموزش و پرورش، 1387 .-- 271 ص. : مریض - شابک 978-5-09-019243-9.
A. G. Mordkovichجبر. کلاس هشتم. در ساعت 2 بعد از ظهر قسمت 1. کتاب درسی برای دانش آموزان مؤسسات آموزشی / A. G. Mordkovich. - چاپ یازدهم، پاک شده. - M .: Mnemozina, 2009 .-- 215 p.: Ill. شابک 978-5-346-01155-2.

معادلات درجه دوم اغلب هنگام حل مسائل مختلف در فیزیک و ریاضی ظاهر می شوند. در این مقاله به چگونگی حل این برابری ها به صورت جهانی "از طریق ممیز" خواهیم پرداخت. نمونه هایی از استفاده از دانش به دست آمده نیز در مقاله آورده شده است.

از چه معادلاتی صحبت می کنیم؟

شکل زیر فرمولی را نشان می دهد که در آن x یک متغیر مجهول است و نمادهای لاتین a، b، c نشان دهنده برخی از اعداد شناخته شده است.

به هر یک از این نمادها یک ضریب می گویند. همانطور که می بینید، عدد "a" در مقابل متغیر مربع x قرار دارد. این حداکثر توان عبارت ارائه شده است، به همین دلیل است که به آن معادله درجه دوم می گویند. نام دیگر آن اغلب استفاده می شود: معادله مرتبه دوم. مقدار a خود ضریب مربع (مخفف متغیر مربع است)، b ضریب خطی است (در کنار متغیری است که به توان اول افزایش یافته است) و در نهایت عدد c عبارت آزاد است.

توجه داشته باشید که شکل معادله نشان داده شده در شکل بالا یک عبارت مربع کلاسیک رایج است. علاوه بر آن، معادلات مرتبه دوم دیگری نیز وجود دارد که در آنها ضرایب b، c می تواند صفر باشد.

وقتی مسئله برای حل برابری در نظر گرفته شده مطرح می شود، این بدان معناست که چنین مقادیری از متغیر x باید پیدا شود که آن را برآورده کند. در اینجا، اولین چیزی که باید به خاطر بسپارید این است: از آنجایی که حداکثر درجه x 2 است، این نوع عبارت نمی تواند بیش از 2 راه حل داشته باشد. این بدان معناست که اگر هنگام حل معادله، 2 مقدار x پیدا شد که آن را برآورده می کند، می توان مطمئن بود که عدد سومی وجود ندارد که جایگزین آن به جای x، تساوی نیز صادق است. به حل یک معادله در ریاضیات، ریشه می گویند.

روش های حل معادلات مرتبه دوم

حل معادلات از این نوع مستلزم آگاهی از برخی نظریه ها در مورد آنها است. در درس جبر مدرسه 4 روش مختلف حل در نظر گرفته شده است. بیایید آنها را فهرست کنیم:

با استفاده از فاکتورسازی؛
با استفاده از فرمول مربع کامل؛
با اعمال نمودار تابع درجه دوم مربوطه؛
با استفاده از معادله تفکیک

مزیت روش اول در سادگی آن نهفته است، اما نمی توان آن را برای همه معادلات اعمال کرد. روش دوم جهانی است، اما تا حدودی دست و پا گیر است. روش سوم به دلیل وضوح قابل توجه است، اما همیشه راحت و کاربردی نیست. و در نهایت، استفاده از معادله تمایز یک راه جهانی و نسبتاً ساده برای یافتن ریشه مطلقاً هر معادله مرتبه دوم است. بنابراین، در مقاله ما فقط آن را در نظر خواهیم گرفت.

فرمول بدست آوردن ریشه های معادله

اجازه دهید به شکل کلی معادله درجه دوم بپردازیم. بیایید آن را بنویسیم: a * x² + b * x + c = 0. قبل از استفاده از روش حل آن "از طریق ممیز" باید برابری را همیشه به شکل نوشتاری تقلیل داد. یعنی باید از سه جمله (یا کمتر اگر b یا c 0 باشد) تشکیل شده باشد.

به عنوان مثال، اگر عبارتی وجود داشته باشد: x²-9 * x + 8 = -5 * x + 7 * x²، ابتدا باید تمام عبارت های آن را به یک سمت تساوی منتقل کنید و عبارت های حاوی متغیر x را به آن اضافه کنید. همان قدرت ها

در این حالت، این عملیات به عبارت زیر منجر می شود: -6 * x²-4 * x + 8 = 0، که معادل معادله 6 * x² + 4 * x-8 = 0 است (در اینجا ما سمت چپ را ضرب کردیم و سمت راست تساوی توسط -1) ...

در مثال بالا، a = 6، b = 4، c = -8. توجه داشته باشید که تمام عبارات برابری در نظر گرفته شده همیشه بین خود جمع می شوند، بنابراین اگر علامت "-" ظاهر شود، به این معنی است که ضریب مربوطه منفی است، همانطور که عدد c در این مورد نیز منفی است.

پس از بررسی این نکته، اکنون به خود فرمول می پردازیم که به دست آوردن ریشه های یک معادله درجه دوم را ممکن می سازد. دارای فرمی است که در عکس زیر نشان داده شده است.

همانطور که از این عبارت می بینید، به شما امکان می دهد دو ریشه بگیرید (باید به علامت "±" توجه کنید). برای این کار کافی است ضرایب b و c و a را جایگزین آن کنید.

مفهوم تمایز

در پاراگراف قبل، فرمولی داده شد که به شما امکان می دهد هر معادله مرتبه دوم را به سرعت حل کنید. در آن، عبارت رادیکال تفکیک کننده نامیده می شود، یعنی D = b²-4 * a * c.

چرا این قسمت از فرمول برجسته شده است و حتی نام خود را دارد؟ واقعیت این است که ممیز هر سه ضریب معادله را به یک عبارت واحد متصل می کند. واقعیت اخیر به این معنی است که به طور کامل اطلاعاتی در مورد ریشه ها دارد که می تواند در لیست زیر بیان شود:

D> 0: برابری 2 راه حل مختلف دارد که هر دو اعداد واقعی هستند.
D = 0: معادله فقط یک ریشه دارد و یک عدد واقعی است.

وظیفه تعیین ممیز

بیایید یک مثال ساده از نحوه یافتن متمایز ارائه کنیم. اجازه دهید برابری زیر داده شود: 2 * x² - 4 + 5 * x-9 * x² = 3 * x-5 * x² + 7.

ما آن را به فرم استاندارد می آوریم، دریافت می کنیم: (2 * x²-9 * x² + 5 * x²) + (5 * x-3 * x) + (- 4-7) = 0، از آنجا به برابری می رسیم : -2 * x² + 2 * x-11 = 0. در اینجا a = -2، b = 2، c = -11.

اکنون می توانید از فرمول نامگذاری شده برای تشخیص دهنده استفاده کنید: D = 2² - 4 * (- 2) * (- 11) = -84. عدد حاصل پاسخ کار است. از آنجایی که ممیز در مثال کمتر از صفر است، پس می توان گفت که این معادله درجه دوم ریشه واقعی ندارد. تنها اعداد مختلط راه حل او خواهند بود.

نمونه ای از نابرابری از طریق ممیز

بیایید مسائل از نوع کمی متفاوت را حل کنیم: با توجه به تساوی -3 * x²-6 * x + c = 0. لازم است چنین مقادیری از c را پیدا کنید که برای آنها D> 0 باشد.

در این صورت از 3 ضریب فقط 2 ضریب مشخص است، بنابراین محاسبه دقیق مقدار ممیز امکان پذیر نخواهد بود اما مثبت بودن آن مشخص است. هنگام ترسیم نابرابری از آخرین واقعیت استفاده می کنیم: D = (-6) ²-4 * (- 3) * c> 0 => 36 + 12 * c> 0. حل نابرابری به دست آمده به نتیجه می رسد: c> -3.

بیایید شماره دریافتی را بررسی کنیم. برای این کار، D را برای 2 مورد محاسبه کنید: c = -2 و c = -4. عدد -2 نتیجه به دست آمده را برآورده می کند (-2> -3)، ممیز مربوطه مقدار D = 12> 0 را خواهد داشت. به نوبه خود، عدد -4 نابرابری (-4) را برآورده نمی کند بنابراین، هر عدد c که بزرگتر از -3 باشد، شرط را برآورده می کند.

نمونه ای از حل معادله

اجازه دهید مسئله ای را ارائه کنیم که نه تنها شامل یافتن ممیز، بلکه در حل معادله نیز می شود. شما باید ریشه های برابری -2 * x² + 7-9 * x = 0 را پیدا کنید.

در این مثال، ممیز برابر با مقدار زیر است: D = 81-4 * (- 2) * 7 = 137. سپس ریشه های معادله به صورت زیر تعریف می شوند: x = (9 ± √137) / (- 4). اینها مقادیر دقیق ریشه ها هستند، اگر ریشه تقریبی را محاسبه کنید، اعداد را دریافت می کنید: x = -5.176 و x = 0.676.

مشکل هندسی

بیایید مشکلی را حل کنیم که نه تنها به توانایی محاسبه متمایز، بلکه به استفاده از مهارت های تفکر انتزاعی و دانش چگونگی ساخت معادلات درجه دوم نیاز دارد.

باب یک لحاف 5*4 متری داشت. پسر می خواست یک نوار پیوسته از پارچه زیبا دور محیط بدوزد. اگر مشخص شود که باب 10 متر مربع پارچه دارد، این نوار چقدر ضخیم خواهد بود.

بگذارید نوار ضخامت xm داشته باشد، سپس مساحت پارچه در امتداد ضلع بلند پتو (5 + 2 * x) * x خواهد بود و از آنجایی که 2 ضلع بلند وجود دارد، داریم: 2 * x * (5 + 2 * x). در سمت کوتاه، مساحت پارچه دوخته شده 4 * x خواهد بود، از آنجایی که 2 تا از این ضلع ها وجود دارد، مقدار 8 * x را دریافت می کنیم. توجه داشته باشید که 2 * x به ضلع بلند اضافه شده است زیرا طول پتو به این تعداد افزایش یافته است. مساحت کل پارچه دوخته شده به پتو 10 متر مربع است. بنابراین، برابری را بدست می آوریم: 2 * x * (5 + 2 * x) + 8 * x = 10 => 4 * x² + 18 * x-10 = 0.

برای این مثال، تمایز این است: D = 18²-4 * 4 * (- 10) = 484. ریشه آن 22 است. با استفاده از فرمول، ریشه های مورد نیاز را پیدا می کنیم: x = (-18 ± 22) / (2 * 4) = (- 5؛ 0.5). بدیهی است که از بین دو ریشه، تنها عدد 0.5 برای عبارت مشکل مناسب است.

بنابراین، نوار پارچه ای که باب به پتوی خود می دوزد، 50 سانتی متر عرض خواهد داشت.

با هم کار کنیم معادلات درجه دوم... این معادلات بسیار محبوب هستند! در کلی ترین شکل آن، معادله درجه دوم به صورت زیر است:

مثلا:

اینجا آ =1; ب = 3; ج = -4

اینجا آ =2; ب = -0,5; ج = 2,2

اینجا آ =-3; ب = 6; ج = -18

خوبه، تو ایده ای داری ...

چگونه معادلات درجه دوم را حل کنیم؟اگر یک معادله درجه دوم در این شکل دارید، پس همه چیز از قبل ساده است. به یاد کلمه جادویی ممیز ... دانش آموز کمیاب دبیرستانی این کلمه را نشنیده است! عبارت "تصمیم گیری از طریق ممیز" اطمینان بخش و اطمینان بخش است. زیرا نیازی به انتظار نیرنگ های کثیف از سوی ممیز نیست! استفاده از آن ساده و بدون دردسر است. بنابراین، فرمول برای یافتن ریشه های یک معادله درجه دوم به صورت زیر است:

عبارت زیر علامت ریشه یکسان است ممیز... همانطور که می بینید، برای یافتن x از آن استفاده می کنیم فقط الف، ب و ج... آن ها ضرایب از معادله درجه دوم فقط با دقت مقادیر را جایگزین کنید الف، ب و جوارد این فرمول شوید و بشمارید. جایگزین با نشانه های تو مثلا برای معادله اول آ =1; ب = 3; ج= -4. پس می نویسیم:

مثال تقریباً حل شده است:

همین.

هنگام استفاده از این فرمول چه مواردی امکان پذیر است؟ فقط سه مورد وجود دارد.

1. ممیز مثبت است. این بدان معنی است که می توانید ریشه را از آن استخراج کنید. ریشه خوب استخراج شده است، یا بد - یک سوال دیگر. این مهم است که در اصل چه چیزی استخراج می شود. سپس معادله درجه دوم شما دو ریشه دارد. دو راه حل متفاوت

2. ممیز صفر است. سپس شما یک راه حل دارید. به بیان دقیق، این یک ریشه نیست، بلکه دو تا یکسان... اما این در نابرابری ها نقش دارد، در آنجا موضوع را با جزئیات بیشتری بررسی خواهیم کرد.

3. ممیز منفی است. هیچ جذری از یک عدد منفی استخراج نمی شود. بسیار خوب. این بدان معناست که هیچ راه حلی وجود ندارد.

همه چیز بسیار ساده است. و به نظر شما چه چیزی غیر ممکن است اشتباه شود؟ خب آره چطوری...
رایج ترین اشتباهات اشتباه گرفتن با نشانه های معنی است. الف، ب و ج... نه با علائم آنها (کجا باید گیج شد؟)، بلکه با جایگزینی مقادیر منفی در فرمول محاسبه ریشه ها. در اینجا، نماد دقیق فرمول با اعداد خاص ذخیره می شود. اگر مشکلات محاسباتی وجود دارد، این کار را انجام دهید!

فرض کنید باید این مثال را حل کنید:

اینجا a = -6; b = -5; c = -1

فرض کنید می دانید که به ندرت در بار اول پاسخ می گیرید.

خب تنبل نباش نوشتن یک خط اضافی و تعداد خطاها 30 ثانیه طول می کشد به شدت کاهش خواهد یافت... بنابراین ما با تمام پرانتزها و علائم به تفصیل می نویسیم:

به نظر می رسد نقاشی با این دقت بسیار دشوار است. اما فقط به نظر می رسد. آن را امتحان کنید. خوب یا انتخاب کن کدام بهتر است، سریع یا درست؟ علاوه بر این، من شما را خوشحال خواهم کرد. بعد از مدتی دیگر نیازی به رنگ آمیزی همه چیز با این همه دقت نخواهد بود. خودش درست میشه به خصوص اگر از تکنیک های عملی شرح داده شده در زیر استفاده کنید. این مثال شیطانی با یک سری اشکالات را می توان به راحتی و بدون خطا حل کرد!

بنابراین، چگونه معادلات درجه دوم را حل کنیمما از طریق ممیز به یاد آوردیم. یا آموخته که آن هم بد نیست. نحوه تشخیص صحیح را بدانید الف، ب و ج... تو میدونی چطوری با دقتآنها را در فرمول ریشه جایگزین کنید و با دقتنتیجه را بخوانید شما این ایده را دریافت می کنید که کلمه کلیدی اینجاست با دقت؟

با این حال، معادلات درجه دوم اغلب کمی متفاوت به نظر می رسند. به عنوان مثال، مانند این:

آی تی معادلات درجه دوم ناقص ... آنها همچنین می توانند از طریق تمایز حل شوند. شما فقط باید به درستی بفهمید که آنها با چه چیزی برابر هستند الف، ب و ج.

آیا آن را فهمیده اید؟ در مثال اول a = 1; b = -4;آ ج? اون اصلا اونجا نیست! خوب، بله، درست است. در ریاضیات به این معناست که c = 0 ! همین. به جای صفر در فرمول جو ما موفق خواهیم شد. در مورد مثال دوم هم همینطور است. فقط صفر ما اینجا نیست با، آ ب !

اما معادلات درجه دوم ناقص را می توان بسیار ساده تر حل کرد. بدون هیچ تبعیضی اولین معادله ناقص را در نظر بگیرید. آنجا در سمت چپ چه کاری می توانید انجام دهید؟ شما می توانید x را خارج از پرانتز قرار دهید! بیا بیرونش کنیم

و از آن چه؟ و این که حاصل برابر صفر است اگر و فقط اگر زمانی که هر یک از عوامل برابر با صفر باشد! باور نمی کنی؟ خوب، پس به دو عدد غیر صفر فکر کنید که با ضرب آنها صفر می شود!
کار نمی کند؟ خودشه ...
بنابراین، می توانیم با اطمینان بنویسیم: x = 0، یا x = 4

همه چيز. اینها ریشه های معادله ما خواهند بود. هر دو مناسب هستند. هنگامی که هر یک از آنها را در معادله اصلی جایگزین می کنیم، هویت صحیح 0 = 0 را به دست می آوریم. همانطور که می بینید، راه حل بسیار ساده تر از روش تشخیص دهنده است.

معادله دوم را نیز می توان به سادگی حل کرد. 9 را به سمت راست حرکت دهید. ما گرفتیم:

باقی مانده است که ریشه را از 9 استخراج کنیم و تمام. معلوم خواهد شد:

همچنین دو ریشه ... x = +3 و x = -3.

به این ترتیب تمام معادلات درجه دوم ناقص حل می شوند. یا با قرار دادن x در داخل پرانتز، یا با انتقال عدد به سمت راست و سپس استخراج ریشه.
اشتباه گرفتن این تکنیک ها بسیار دشوار است. صرفاً به این دلیل که در حالت اول باید ریشه را از x استخراج کنید که به نوعی نامفهوم است و در مورد دوم چیزی برای خارج کردن از براکت وجود ندارد ...

در حال حاضر، به بهترین روش هایی که خطاها را به شدت کاهش می دهد، توجه داشته باشید. همان هایی که ناشی از بی توجهی است ... برای آن درد و توهین ...

اولین پذیرایی... برای آوردن آن به فرم استاندارد قبل از حل معادله درجه دوم تنبلی نکنید. این یعنی چی؟
فرض کنید، پس از چند تغییر، معادله زیر را به دست می آورید:

برای نوشتن فرمول ریشه عجله نکنید! تقریباً مطمئناً شانس ها را با هم مخلوط خواهید کرد. الف، ب و ج.مثال را درست بسازید. ابتدا X مجذور می شود، سپس بدون مربع، سپس عبارت آزاد. مثل این:

و باز هم عجله نکنید! منهای جلوی x در مربع می تواند شما را واقعاً غمگین کند. فراموش کردنش آسان است... از شر منهای خلاص شوید. چگونه؟ بله همانطور که در مبحث قبل آموزش داده شد! شما باید کل معادله را در -1 ضرب کنید. ما گرفتیم:

اما اکنون می توانید با خیال راحت فرمول ریشه ها را بنویسید، تشخیص دهنده را محاسبه کرده و مثال را کامل کنید. خودتان آن را انجام دهید. شما باید ریشه های 2 و -1 داشته باشید.

پذیرایی از دوم.ریشه ها را بررسی کنید! با قضیه ویتا. نگران نباشید، من همه چیز را توضیح خواهم داد! چک کردن آخرین چیزمعادله. آن ها فرمولی که با آن فرمول ریشه ها را یادداشت کردیم. اگر (مانند این مثال) ضریب a = 1، بررسی ریشه ها آسان است. کافی است آنها را ضرب کنیم. شما باید یک عضو رایگان دریافت کنید، یعنی. در مورد ما، -2. توجه کنید، نه 2، بلکه -2! عضو رایگان با علامت من ... اگر کار نکرد، پس قبلاً در جایی خراب شده است. به دنبال یک باگ باشید. اگر جواب داد، باید ریشه ها را تا کنید. آخرین و آخرین بررسی. شما باید یک ضریب بگیرید ببا مقابل آشنا در مورد ما، -1 + 2 = +1. و ضریب بکه قبل از x است -1. بنابراین، همه چیز درست است!
حیف است که این فقط برای مثال هایی که مربع x خالص است، با ضریب بسیار ساده است. a = 1.اما حداقل در چنین معادلاتی بررسی کنید! اشتباهات کمتری وجود خواهد داشت.

پذیرایی سوم... اگر معادله شما دارای ضرایب کسری است، از شر کسر خلاص شوید! معادله را همانطور که در قسمت قبل توضیح دادیم در مخرج مشترک ضرب کنید. هنگام کار با کسرها، به دلایلی، خطاها ظاهر می شوند ...

به هر حال، من قول دادم که مثال شیطانی را با یک سری معایب ساده کنم. لطفا! ایناهاش.

برای اینکه در منفی ها گیج نشویم، معادله را در -1 ضرب می کنیم. ما گرفتیم:

همین! تصمیم گیری لذت بخش است!

بنابراین، برای خلاصه کردن موضوع.

توصیه عملی:

1. قبل از حل، معادله درجه دوم را به فرم استاندارد می آوریم، آن را می سازیم درست.

2. اگر جلوی x در مربع ضریب منفی باشد با ضرب کل معادله در -1 آن را حذف می کنیم.

3. اگر ضرایب کسری باشند، با ضرب کل معادله در ضریب مناسب، کسرها را حذف می کنیم.

4. اگر x مجذور خالص باشد، ضریب در آن برابر با یک است، جواب را می توان به راحتی با قضیه ویتا تأیید کرد. انجام دهید!

معادلات کسری ODZ.

ما به تسلط بر معادلات ادامه می دهیم. ما قبلاً می دانیم که چگونه با معادلات خطی و درجه دوم کار کنیم. آخرین نگاه باقی می ماند - معادلات کسری... یا آنها نیز بسیار محکم تر نامیده می شوند - معادلات گویا کسری... این هم همینطور است.

معادلات کسری

همانطور که از نام آن پیداست، کسرها همیشه در این معادلات وجود دارند. اما نه فقط کسری، بلکه کسری که دارد مجهول در مخرج... حداقل یکی. مثلا:

اجازه دهید یادآوری کنم که اگر مخرج ها فقط شامل شماره، این معادلات خطی هستند.

چگونه حل کنیم معادلات کسری? اول از همه، از شر کسری خلاص شوید! پس از آن، معادله، اغلب، به خطی یا درجه دوم تبدیل می شود. و سپس می دانیم چه باید بکنیم ... در برخی موارد، می تواند به یک هویت، مانند 5 = 5، یا یک عبارت نادرست، مانند 7 = 2 تبدیل شود. اما این به ندرت اتفاق می افتد. در زیر به این موضوع اشاره خواهم کرد.

اما چگونه می توان از شر کسری خلاص شد!؟ بسیار ساده. اعمال همه تبدیل های یکسان یکسان.

باید کل معادله را در همان عبارت ضرب کنیم. به طوری که همه مخرج ها کاهش می یابد! همه چیز به یکباره آسان تر خواهد شد. بگذارید با یک مثال توضیح دهم. فرض کنید باید معادله را حل کنیم:

در مقاطع پایین چگونه تدریس می کردید؟ ما همه چیز را در یک جهت منتقل می کنیم، به یک مخرج مشترک می آوریم و غیره. مثل یک رویای بد فراموشش کن! این باید زمانی انجام شود که عبارات کسری را اضافه یا تفریق می کنید. یا کار با نابرابری ها. و در معادلات، بلافاصله هر دو طرف را در یک عبارت ضرب می کنیم که به ما فرصت می دهد همه مخرج ها را کاهش دهیم (یعنی در اصل با یک مخرج مشترک). و این بیان چیست؟

در سمت چپ، ضرب در x + 2... و در سمت راست، ضرب در 2 مورد نیاز است، بنابراین، معادله باید در ضرب شود 2 (x + 2)... ضرب می کنیم:

این ضرب معمول کسری است، اما من آن را با جزئیات خواهم نوشت:

لطفا توجه داشته باشید که من هنوز پرانتز را گسترش نمی دهم. (x + 2)! بنابراین، به طور کامل آن را می نویسم:

در سمت چپ، به طور کامل کاهش یافته است (x + 2)، و در سمت راست 2. که لازم است! پس از کاهش می گیریم خطیمعادله:

و همه این معادله را حل خواهند کرد! x = 2.

بیایید یک مثال دیگر را حل کنیم، کمی پیچیده تر:

اگر به یاد داشته باشیم که 3 = 3/1، و 2x = 2x / 1، می توانید بنویسید:

و دوباره از چیزهایی که واقعاً دوست نداریم خلاص می شویم - کسری.

می بینیم که برای لغو مخرج با x، باید کسر را در ضرب کنید (x - 2)... چند مورد مانعی برای ما نیستند. خوب ما ضرب می کنیم. تمامسمت چپ و تمامسمت راست:

باز هم براکت (x - 2)من فاش نمی کنم. من با پرانتز در کل کار می کنم، انگار یک عدد است! این باید همیشه انجام شود، در غیر این صورت چیزی کاهش نمی یابد.

با احساس رضایت عمیق، بریدیم (x - 2)و معادله را بدون هیچ کسر در یک خط کش به دست می آوریم!

و حالا پرانتزها را باز می کنیم:

موارد مشابه را می دهیم، همه چیز را به سمت چپ منتقل می کنیم و می گیریم:

معادله درجه دوم کلاسیک اما منهای پیش رو خوب نیست. همیشه می توانید با ضرب یا تقسیم بر -1 از شر آن خلاص شوید. اما اگر به مثال دقت کنید متوجه می شوید که بهتر است این معادله را بر 2- تقسیم کنید! در یک لحظه، منفی ناپدید می شود، و شانس زیباتر می شود! تقسیم بر -2 در سمت چپ - جمله به جمله و در سمت راست - به سادگی صفر را بر -2 تقسیم کنید، صفر و بدست آورید:

ما از طریق تفکیک حل می کنیم و با قضیه Vieta بررسی می کنیم. ما گرفتیم x = 1 و x = 3... دو ریشه

همانطور که می بینید، در حالت اول، معادله پس از تبدیل خطی شد، اما در اینجا درجه دوم است. این اتفاق می افتد که پس از خلاص شدن از شر کسری، تمام xes کاهش می یابد. چیزی شبیه 5 = 5 باقی می ماند. معنیش اینه که x می تواند هر چیزی باشد... هر چه هست باز هم کوچک می شود. و شما حقیقت صادقانه را دریافت می کنید، 5 = 5. اما، پس از خلاص شدن از شر کسری، ممکن است کاملاً نادرست باشد، مانند 2 = 7. این به این معنی است که بدون راه حل! با هر x، معلوم می شود که نادرست است.

متوجه راه حل اصلی شد معادلات کسری? ساده و منطقی است. عبارت اصلی را تغییر می دهیم تا هر چیزی که دوست نداریم ناپدید شود. یا دخالت می کند. در این مورد، اینها کسری هستند. ما همین کار را با انواع مثال های پیچیده با لگاریتم، سینوس و دیگر وحشت انجام خواهیم داد. ما همیشهما از شر همه اینها خلاص خواهیم شد

با این حال، باید عبارت اصلی را در جهتی که نیاز داریم تغییر دهیم. طبق قوانین، بله ... مسترینگ که آمادگی برای امتحان ریاضی است. بنابراین ما به آن مسلط هستیم.

اکنون یاد خواهیم گرفت که چگونه یکی از آنها را دور بزنیم کمین اصلی در امتحان! اما ابتدا، بیایید ببینیم آیا وارد آن می شوید یا نه؟

بیایید به یک مثال ساده نگاه کنیم:

موضوع از قبل آشناست، هر دو قسمت را در ضرب می کنیم (x - 2)، ما گرفتیم:

با پرانتز یادآوری می کنم (x - 2)ما مانند یک عبارت کامل کار می کنیم!

در اینجا من دیگر 1 در مخرج ننوشتم، بی ارزش است ... و در مخرج ها پرانتز نکشیدم، به جز برای x - 2چیزی وجود ندارد، شما مجبور نیستید بکشید. کوتاه می کنیم:

براکت ها را باز می کنیم، همه چیز را به سمت چپ حرکت می دهیم، موارد مشابه را می دهیم:

حل می کنیم، بررسی می کنیم، دو ریشه می گیریم. x = 2و x = 3... خوب.

فرض کنید وظیفه می‌گوید اگر بیش از یک ریشه وجود دارد، ریشه یا مجموع آنها را بنویسید. چی بنویسیم؟

اگر تصمیم گرفتید که پاسخ 5 باشد، شما در کمین قرار گرفتند... و وظیفه برای شما محاسبه نمی شود. بیهوده کار کردند ... پاسخ صحیح 3.

موضوع چیه؟! و شما سعی می کنید چک کنید. مقادیر مجهول را جایگزین کنید اصلیمثال. و اگر در x = 3همه چیز با ما به طرز شگفت انگیزی رشد می کند، ما 9 = 9، سپس با x = 2تقسیم بر صفر! کاری که نمی توان به طور قطعی انجام داد. به معنای x = 2راه حل نیست و در پاسخ به آن توجه نمی شود. این به اصطلاح ریشه اضافی یا اضافی است. ما فقط آن را رها می کنیم. ریشه نهایی یکی است. x = 3.

چطوری؟! - من تعجب های عصبانی می شنوم. به ما یاد دادند که یک معادله را می توان در یک عبارت ضرب کرد! این یک تحول یکسان است!

بله یکسان با یک شرط کوچک - عبارتی که در آن ضرب (تقسیم) می کنیم - غیر صفر... آ x - 2در x = 2برابر با صفر است! پس همه چیز منصفانه است.

و حالا چیکار میتونم بکنم؟! ضرب در یک عبارت نیست؟ آیا لازم است هر بار چک کنید؟ بازم معلوم نیست!

با آرامش! نترسید!

در این شرایط سخت، سه حرف جادویی ما را نجات خواهند داد. می دانم که به چه می اندیشی. درست! آی تی ODZ ... محدوده مقادیر مجاز