این مقاله استخراج معادله یک خط مستقیم را نشان می دهد که از دو می گذرد امتیاز داده شدهدر یک سیستم مختصات مستطیلی که روی یک صفحه قرار دارد. ما معادله یک خط مستقیم را که از دو نقطه داده شده در یک سیستم مختصات مستطیلی می گذرد استخراج می کنیم. چندین مثال مرتبط با مطالب پوشش داده شده را به صورت بصری نشان داده و حل خواهیم کرد.

Yandex.RTB R-A-339285-1

قبل از به دست آوردن معادله یک خط مستقیم که از دو نقطه داده شده می گذرد، لازم است به نکاتی توجه شود. یک بدیهیات وجود دارد که می گوید از طریق دو نقطه غیرمتناسب در یک صفحه می توان یک خط مستقیم و فقط یک را رسم کرد. به عبارت دیگر، دو نقطه داده شده از صفحه توسط یک خط مستقیم که از این نقاط می گذرد تعیین می شود.

اگر صفحه توسط سیستم مختصات مستطیلی Oxy داده شود، هر خط مستقیمی که در آن نشان داده شده است با معادله خط مستقیم روی صفحه مطابقت دارد. همچنین ارتباطی با بردار جهت دهنده خط مستقیم وجود دارد که این داده ها برای ترسیم معادله یک خط مستقیم که از دو نقطه داده شده می گذرد کافی است.

مثالی از حل یک مشکل مشابه را در نظر بگیرید. لازم است معادله یک خط مستقیم a که از دو نقطه ناهمخوان M 1 (x 1, y 1) و M 2 (x 2, y 2) واقع در سیستم مختصات دکارتی عبور می کند، بسازیم.

در معادله متعارف یک خط مستقیم روی یک صفحه، به شکل x - x 1 ax \u003d y - y 1 ay، یک سیستم مختصات مستطیلی O xy با یک خط مستقیم مشخص می شود که در نقطه ای با مختصات M با آن قطع می شود. 1 (x 1, y 1) با بردار راهنما a → = (ax , ay) .

لازم به ترسیم است معادله متعارفخط مستقیم a که از دو نقطه با مختصات M 1 (x 1, y 1) و M 2 (x 2, y 2) عبور می کند.

خط مستقیم a دارای بردار جهت M 1 M 2 → با مختصات (x 2 - x 1، y 2 - y 1) است، زیرا نقاط M 1 و M 2 را قطع می کند. ما داده های لازم را برای تبدیل معادله متعارف با مختصات بردار جهت M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) و مختصات نقاط M 1 که روی آنها قرار دارد به دست آورده ایم. (x 1, y 1) و M 2 (x 2 , y 2) . معادله ای به شکل x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 یا x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 به دست می آوریم.

شکل زیر را در نظر بگیرید.

پس از محاسبات، معادلات پارامتریک یک خط مستقیم را در صفحه ای که از دو نقطه با مختصات M 1 (x 1, y 1) و M 2 (x 2, y 2) می گذرد می نویسیم. معادله ای به شکل x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ یا x \u003d x 2 + (x 2 - x 1) λ بدست می آوریم y \u003d y 2 + (y 2 - y 1) λ.

بیایید نگاهی دقیق تر به چند مثال بیندازیم.

مثال 1

معادله خط مستقیمی را که از 2 نقطه داده شده با مختصات M 1 - 5 , 2 3 , M 2 1 , - 1 6 عبور می کند بنویسید.

راه حل

معادله متعارف خط مستقیمی که در دو نقطه با مختصات x 1 , y 1 و x 2 , y 2 قطع می شود به شکل x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 می باشد. با توجه به شرایط مشکل، ما داریم که x 1 \u003d - 5، y 1 \u003d 2 3، x 2 \u003d 1، y 2 \u003d - 1 6. لازم است مقادیر عددی را در معادله x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 جایگزین کنید. از اینجا دریافتیم که معادله متعارف به شکل x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 خواهد بود.

پاسخ: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .

اگر حل مشکلی با نوع دیگری از معادله ضروری است، برای شروع می توانید به معادله متعارف بروید، زیرا رسیدن به هر دیگری از آن آسان تر است.

مثال 2

معادله کلی خط مستقیمی را که از نقاطی با مختصات M 1 (1, 1) و M 2 (4, 2) در سیستم مختصات O x y می گذرد بنویسید.

راه حل

ابتدا باید معادله متعارف خط معینی را که از دو نقطه داده شده می گذرد، یادداشت کنید. معادله ای به شکل x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 بدست می آوریم.

معادله متعارف را به شکل دلخواه می آوریم، سپس به دست می آوریم:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

پاسخ: x - 3 y + 2 = 0 .

نمونه هایی از این وظایف در مورد بحث قرار گرفته است کتاب های درسی مدرسهدر کلاس جبر وظایف مدرسه در معادله یک خط مستقیم با فاکتور شیب، با شکل y = k x + b. اگر باید مقدار شیب k و عدد b را پیدا کنید، که در آن معادله y \u003d kx + b خطی را در سیستم O xy تعریف می کند که از نقاط M 1 (x 1، y 1) و M می گذرد. 2 (x 2، y 2)، که در آن x 1 ≠ x 2. وقتی x 1 = x 2 ، سپس شیب مقدار بی نهایت را به خود می گیرد و خط مستقیم M 1 M 2 با یک معادله ناقص کلی به شکل x - x 1 = 0 تعریف می شود. .

چون نقطه ها M 1و M 2روی یک خط مستقیم هستند، سپس مختصات آنها معادله y 1 = k x 1 + b و y 2 = k x 2 + b را برآورده می کند. حل سیستم معادلات y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b نسبت به k و b ضروری است.

برای انجام این کار، k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 یا k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x پیدا می کنیم 1 b \u003d y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .

با چنین مقادیر k و b، معادله یک خط مستقیم که از دو نقطه داده شده می گذرد، به شکل زیر است: y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 یا y \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

همین الان این را به خاطر بسپار مقدار زیادیفرمول ها کار نخواهند کرد برای این کار باید تعداد تکرارها را در حل مسائل افزایش داد.

مثال 3

معادله یک خط مستقیم با شیب عبور از نقاط با مختصات M 2 (2، 1) و y = k x + b را بنویسید.

راه حل

برای حل مشکل، از فرمولی با شیب استفاده می کنیم که به شکل y \u003d k x + b است. ضرایب k و b باید چنان مقداری داشته باشند که این معادله مطابق با یک خط مستقیم باشد که از دو نقطه با مختصات M 1 (- 7 , - 5) و M 2 (2, 1) می گذرد.

نکته ها M 1و M 2در یک خط مستقیم قرار گرفته اند، سپس مختصات آنها باید معادله y = k x + b برابری صحیح را معکوس کنند. از اینجا دریافت می کنیم که - 5 = k · (- 7) + b و 1 = k · 2 + b. بیایید معادله را در سیستم ترکیب کنیم - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b و حل کنیم.

پس از تعویض، آن را دریافت می کنیم

5 = k - 7 + b 1 = k 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 kk = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

اکنون مقادیر k = 2 3 و b = - 1 3 در معادله y = k x + b جایگزین می شوند. دریافتیم که معادله مورد نظر که از نقاط داده شده می گذرد معادله ای خواهد بود که به شکل y = 2 3 x - 1 3 است.

این روش حل، هزینه را از پیش تعیین می کند تعداد زیادیزمان. راهی وجود دارد که در آن کار به معنای واقعی کلمه در دو مرحله حل می شود.

ما معادله متعارف یک خط مستقیم را که از M 2 (2، 1) و M 1 (- 7، - 5) می گذرد، می نویسیم که شکل x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5) دارد. ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

حالا بیایید به معادله شیب برویم. دریافت می کنیم که: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 (x + 7) = 9 (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3 .

پاسخ: y = 2 3 x - 1 3 .

اگر در فضای سه‌بعدی یک سیستم مختصات مستطیلی O xyz با دو نقطه داده شده غیرهمسو با مختصات M 1 (x 1, y 1, z 1) و M 2 (x 2, y 2, z 2) وجود داشته باشد. خط مستقیم M که از آنها 1 M 2 می گذرد، باید معادله این خط را بدست آوریم.

معادلات متعارفی به شکل x - x 1 ax = y - y 1 ay = z - z 1 az و معادلات پارامتری شکل x = x 1 + ax λ y = y 1 + ay λ z = z 1 + داریم. az λ می توانند خطی را در سیستم مختصات O x y z تنظیم کنند که از نقاط دارای مختصات (x 1, y 1, z 1) با بردار جهت a → = (ax, ay, az) عبور می کند.

راست M 1 M 2 دارای یک بردار جهت به شکل M 1 M 2 → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1 ) ، جایی که خط از نقطه M 1 (x 1 , y 1 , z 1 1) و M 2 (x 2، y 2، z 2)، بنابراین معادله متعارف می تواند به شکل x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z باشد. 2 - z 1 یا x - x 2 x 2 - x 1 \u003d y - y 2 y 2 - y 1 \u003d z - z 2 z 2 - z 1، به نوبه خود، پارامتری x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ یا x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) λ z \u003d z 2 + (z 2 - z 1) λ.

شکلی را در نظر بگیرید که 2 نقطه داده شده در فضا و معادله یک خط مستقیم را نشان می دهد.

مثال 4

معادله یک خط مستقیم تعریف شده در یک سیستم مختصات مستطیلی O xyz فضای سه بعدی را بنویسید که از دو نقطه داده شده با مختصات M 1 (2, - 3, 0) و M 2 (1, - 3, - 5) عبور می کند. ) .

راه حل

ما باید معادله متعارف را پیدا کنیم. زیرا ما داریم صحبت می کنیمدر حدود فضای سه بعدی است، به این معنی که وقتی یک خط مستقیم از نقاط داده شده عبور می کند، معادله متعارف مورد نظر به شکل x - x 1 x 2 - x 1 \u003d y - y 1 y 2 - y 1 \u003d z - خواهد بود. z 1 z 2 - z 1.

با شرط، داریم که x 1 = 2، y 1 = - 3، z 1 = 0، x 2 = 1، y 2 = - 3، z 2 = - 5. بدین ترتیب می توان معادلات لازم را به صورت زیر نوشت:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

پاسخ: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.

اگر متوجه اشتباهی در متن شدید، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

معادله خط مستقیمی که از آن می گذرد نقطه داده شدهدر این راستا. معادله یک خط مستقیم که از دو نقطه داده شده می گذرد. زاویه بین دو خط. شرط موازی و عمود بودن دو خط. تعیین نقطه تلاقی دو خط

1. معادله خطی که از یک نقطه معین می گذرد آ(ایکس 1 , y 1) در یک جهت معین، تعیین شده توسط شیب ک,

y - y 1 = ک(ایکس - ایکس 1). (1)

این معادله مداد خطوطی را تعریف می کند که از یک نقطه عبور می کنند آ(ایکس 1 , y 1) که مرکز پرتو نامیده می شود.

2. معادله خط مستقیمی که از دو نقطه می گذرد: آ(ایکس 1 , y 1) و ب(ایکس 2 , y 2) به این صورت نوشته شده است:

شیب خط مستقیمی که از دو نقطه داده شده می گذرد با فرمول تعیین می شود

3. زاویه بین خطوط مستقیم آو بزاویه ای است که اولین خط مستقیم باید بر اساس آن بچرخد آاطراف نقطه تقاطع این خطوط در خلاف جهت عقربه های ساعت تا زمانی که با خط دوم منطبق شود ب. اگر دو خط با معادلات شیب داده شود

y = ک 1 ایکس + ب 1 ,

ویژگی های خط مستقیم در هندسه اقلیدسی

خطوط بی نهایت زیادی وجود دارد که می توان از هر نقطه ای ترسیم کرد.

از طریق هر دو نقطه غیر متقابل، فقط یک خط مستقیم وجود دارد.

دو خط غیر منطبق در صفحه یا در یک نقطه قطع می شوند یا هستند

موازی (از قبلی پیروی می کند).

در فضای سه بعدی، سه گزینه برای موقعیت نسبی دو خط وجود دارد:

• خطوط متقاطع؛

• خطوط مستقیم موازی هستند.

• خطوط مستقیم قطع می شوند

سر راست خط- منحنی جبری مرتبه اول: در دستگاه مختصات دکارتی، یک خط مستقیم

در هواپیما با معادله درجه اول (معادله خطی) داده می شود.

معادله عمومیسر راست.

تعریف. هر خطی در صفحه را می توان با یک معادله مرتبه اول به دست آورد

Ah + Wu + C = 0،

و ثابت الف، بهمزمان با صفر برابر نیست. این معادله مرتبه اول نامیده می شود عمومی

معادله خط مستقیمبسته به مقادیر ثابت ها الف، بو از جانبموارد خاص زیر ممکن است:

. C = 0، A ≠ 0، B ≠ 0- خط از مبدأ عبور می کند

. A = 0، B ≠0، C ≠0 (با + C = 0)- خط مستقیم موازی با محور اوه

. B = 0، A ≠ 0، C ≠ 0 (Ax + C = 0)- خط مستقیم موازی با محور OU

. B = C = 0، A ≠ 0- خط با محور منطبق است OU

. A = C = 0، B ≠ 0- خط با محور منطبق است اوه

معادله یک خط مستقیم را می توان در نشان داد اشکال گوناگونبسته به هر داده شده

شرایط اولیه.

معادله یک خط مستقیم با یک نقطه و یک بردار معمولی.

تعریف. در یک سیستم مختصات مستطیلی دکارتی، بردار با اجزای (A, B)

عمود بر خط داده شده توسط معادله

Ah + Wu + C = 0.

مثال. معادله خط مستقیمی که از یک نقطه می گذرد را پیدا کنید A (1، 2)عمود بر بردار (3, -1).

راه حل. بیایید در A \u003d 3 و B \u003d -1 معادله خط مستقیم را بسازیم: 3x - y + C \u003d 0. برای پیدا کردن ضریب C

مختصات نقطه A را با عبارت حاصل جایگزین می کنیم.

C = -1. مجموع: معادله مورد نظر: 3x - y - 1 \u003d 0.

معادله خط مستقیمی که از دو نقطه می گذرد.

بگذارید دو نقطه در فضا داده شود M 1 (x 1 , y 1 , z 1)و M2 (x 2، y 2، z 2)،سپس معادله خط مستقیم,

عبور از این نقاط:

اگر هر یک از مخرج ها برابر با صفر باشد، صورت مربوطه باید برابر با صفر باشد. در

در صفحه، معادله یک خط مستقیم که در بالا نوشته شده است ساده شده است:

اگر x 1 ≠ x 2و x = x 1، اگر x 1 = x 2 .

کسر = kتماس گرفت فاکتور شیب سر راست.

مثال. معادله خط مستقیمی که از نقاط A(1,2) و B(3,4) می گذرد را بیابید.

راه حل. با استفاده از فرمول بالا، دریافت می کنیم:

معادله یک خط مستقیم با یک نقطه و یک شیب.

اگر معادله کلی یک خط مستقیم باشد Ah + Wu + C = 0به فرم بیاورید:

و تعیین کنید ، سپس معادله حاصل فراخوانی می شود

معادله یک خط مستقیم با شیب k.

معادله یک خط مستقیم روی یک نقطه و یک بردار جهت دهنده.

با قیاس با نقطه با در نظر گرفتن معادله یک خط مستقیم از بردار عادی، می توانید وظیفه را وارد کنید.

یک خط مستقیم از طریق یک نقطه و یک بردار جهت یک خط مستقیم.

تعریف. هر بردار غیر صفر (α 1، α 2)، که اجزای آن شرایط را برآورده می کند

Aα 1 + Bα 2 = 0تماس گرفت بردار جهت خط مستقیم

Ah + Wu + C = 0.

مثال. معادله یک خط مستقیم با بردار جهت (1، -1) و عبور از نقطه A (1، 2) را بیابید.

راه حل. معادله خط مستقیم مورد نظر را به شکل زیر جستجو می کنیم: Ax + By + C = 0.طبق تعریف،

ضرایب باید شرایط زیر را داشته باشند:

1 * A + (-1) * B = 0، یعنی. الف = ب.

سپس معادله یک خط مستقیم به شکل زیر است: Ax + Ay + C = 0،یا x + y + C / A = 0.

در x=1، y=2ما گرفتیم C/A = -3، یعنی معادله مورد نظر:

x + y - 3 = 0

معادله یک خط مستقیم در پاره ها.

اگر در معادله کلی خط مستقیم Ah + Wu + C = 0 C≠0، با تقسیم بر -C، به دست می‌آید:

یا کجا

معنی هندسی ضرایب این است که ضریب a مختصات نقطه تقاطع است.

مستقیم با محور اوه،ولی ب- مختصات نقطه تقاطع خط با محور OU.

مثال. معادله کلی یک خط مستقیم داده شده است x - y + 1 = 0.معادله این خط مستقیم را به صورت پاره پاره پیدا کنید.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

معادله عادی یک خط مستقیم.

اگر هر دو طرف معادله Ah + Wu + C = 0تقسیم بر عدد ، که نامیده می شود

عامل عادی سازی، سپس دریافت می کنیم

xcosφ + ysinφ - p = 0 -معادله عادی یک خط مستقیم.

علامت ± عامل نرمال کننده باید طوری انتخاب شود که μ * C< 0.

آر- طول عمود کاهش یافته از مبدا به خط،

ولی φ - زاویه تشکیل شده توسط این عمود بر جهت مثبت محور اوه

مثال. با توجه به معادله کلی یک خط مستقیم 12x - 5y - 65 = 0. برای نوشتن لازم است انواع متفاوتمعادلات

این خط مستقیم

معادله این خط مستقیم در قطعات:

معادله این خط با شیب: (تقسیم بر 5)

معادله یک خط مستقیم:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p=5.

لازم به ذکر است که هر خط مستقیم را نمی توان با یک معادله در پاره ها نشان داد، به عنوان مثال، خطوط مستقیم،

به موازات محورها یا عبور از مبدا.

زاویه بین خطوط در یک صفحه.

تعریف. اگر دو خط داده شود y \u003d k 1 x + b 1، y \u003d k 2 x + b 2، سپس زاویه حاد بین این خطوط

به عنوان تعریف خواهد شد

دو خط موازی هستند اگر k 1 = k 2. دو خط عمود بر هم هستند

اگر k 1 \u003d -1 / k 2 .

قضیه.

مستقیم Ah + Wu + C = 0و A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0زمانی که ضرایب متناسب باشند موازی هستند

A 1 \u003d λA، B 1 \u003d λB. اگر همچنین С 1 \u003d λС، سپس خطوط بر هم منطبق می شوند. مختصات نقطه تقاطع دو خط

به عنوان راه حلی برای سیستم معادلات این خطوط یافت می شوند.

معادله خطی که از یک نقطه معین می گذرد بر یک خط معین عمود است.

تعریف. خطی که از یک نقطه می گذرد M 1 (x 1، y 1)و عمود بر خط y = kx + b

با معادله نشان داده می شود:

فاصله از یک نقطه تا یک خط.

قضیه. اگر امتیاز داده شود M(x 0، y 0)،سپس فاصله تا خط Ah + Wu + C = 0که تعریف میشود:

اثبات. بگذارید نکته M 1 (x 1، y 1)- قاعده عمود از نقطه افتاد مبرای یک معین

مستقیم. سپس فاصله بین نقاط مو M 1:

(1)

مختصات x 1و 1می توان به عنوان یک راه حل برای سیستم معادلات یافت:

معادله دوم سیستم معادله یک خط مستقیم است که از نقطه معینی M 0 به طور عمود عبور می کند.

خط داده شده اگر معادله اول سیستم را به شکل زیر تبدیل کنیم:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

سپس با حل کردن، دریافت می کنیم:

با جایگزینی این عبارات به معادله (1)، متوجه می شویم:

قضیه ثابت شده است.

بگذارید خط مستقیم از نقاط M 1 (x 1; y 1) و M 2 (x2; y 2) عبور کند. معادله خط مستقیمی که از نقطه M 1 می گذرد به شکل y- y 1 \u003d است. ک (x - x 1)، (10.6)

جایی که ک - ضریب هنوز ناشناخته.

از آنجایی که خط مستقیم از نقطه M 2 (x 2 y 2) می گذرد، پس مختصات این نقطه باید معادله (10.6) را برآورده کند: y 2 -y 1 \u003d ک (x 2 - x 1).

از اینجا جایگزین مقدار یافت شده را می یابیم ک در رابطه (10.6)، معادله خط مستقیمی را که از نقاط M 1 و M 2 می گذرد، بدست می آوریم:

فرض بر این است که در این معادله x 1 ≠ x 2، y 1 ≠ y 2

اگر x 1 \u003d x 2، آنگاه خط مستقیمی که از نقاط M 1 (x 1، y I) و M 2 (x 2، y 2) می گذرد با محور y موازی است. معادله آن است x = x 1 .

اگر y 2 \u003d y I ، معادله خط مستقیم را می توان به صورت y \u003d y 1 نوشت ، خط مستقیم M 1 M 2 موازی با محور x است.

معادله یک خط مستقیم در پاره ها

اجازه دهید خط مستقیم محور Ox را در نقطه M 1 (a؛ 0) و محور Oy را در نقطه M 2 (0؛ b) قطع کند. معادله به شکل زیر خواهد بود:
آن ها
. این معادله نامیده می شود معادله یک خط مستقیم در پاره ها، زیرا اعداد a و b نشان می دهد که خط مستقیم کدام بخش ها را بر روی محورهای مختصات قطع می کند.

معادله یک خط مستقیم که از نقطه ای عمود بر یک بردار معین می گذرد

بیایید معادله خط مستقیمی را پیدا کنیم که از نقطه معینی می گذرد Mo (x O; y o) عمود بر یک بردار غیر صفر معین n = (A; B).

یک نقطه دلخواه M(x; y) روی خط مستقیم بگیرید و بردار M 0 M (x - x 0; y - y o) را در نظر بگیرید (شکل 1 را ببینید). از آنجایی که بردارهای n و M o M عمود هستند، حاصل ضرب اسکالر آنها برابر با صفر است:

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

معادله (10.8) نامیده می شود معادله یک خط مستقیم که از نقطه ای عمود بر یک بردار معین می گذرد .

بردار n = (A; B) عمود بر خط عادی نامیده می شود بردار عادی این خط .

معادله (10.8) را می توان به صورت بازنویسی کرد Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

که در آن A و B مختصات بردار معمولی هستند، C \u003d -Ax o - Vu o - عضو آزاد. معادله (10.9) معادله کلی یک خط مستقیم است(شکل 2 را ببینید).

Fig.1 Fig.2

معادلات متعارف خط مستقیم

,

جایی که
مختصات نقطه ای هستند که خط از آن می گذرد و
- بردار جهت.

منحنی های دایره مرتبه دوم

دایره مجموعه ای از تمام نقاط یک صفحه است که از یک نقطه معین فاصله دارند که مرکز نامیده می شود.

معادله متعارف یک دایره با شعاع آر متمرکز بر یک نقطه
:

به طور خاص، اگر مرکز سهام با مبدا منطبق باشد، معادله به شکل زیر خواهد بود:

بیضی

بیضی مجموعه ای از نقاط در یک صفحه است که مجموع فواصل هر یک از آنها تا دو نقطه داده شده است. و ، که کانون نامیده می شود، یک مقدار ثابت است
، بیشتر از فاصله بین کانون ها است
.

معادله متعارف بیضی که کانون‌های آن روی محور Ox و مبدأ آن در وسط بین کانون‌ها قرار دارد، به شکل
جی deآ طول نیم محور اصلی؛ب طول نیم محور فرعی است (شکل 2).

معادله خط مستقیمی که از دو نقطه می گذرد. در مقاله" " من به شما قول دادم که روش دوم را برای حل مسائل ارائه شده برای یافتن مشتق، با یک نمودار تابع داده شده و مماس بر این نمودار، تجزیه و تحلیل کنید. در ادامه این روش را بررسی خواهیم کرد ، از دست ندهید! چرابعد؟

واقعیت این است که از فرمول معادله یک خط مستقیم در آنجا استفاده خواهد شد. البته می توان به سادگی نشان داد این فرمولو به شما توصیه می کند آن را یاد بگیرید. اما بهتر است توضیح دهید که از کجا آمده (چگونه مشتق شده است). لازم است! اگر آن را فراموش کردید، به سرعت آن را بازیابی کنیددشوار نخواهد بود. همه چیز در زیر به تفصیل آمده است. بنابراین، ما دو نقطه A در صفحه مختصات داریم(x 1; y 1) و B (x 2; y 2)، یک خط مستقیم از طریق نقاط نشان داده شده ترسیم می شود:

این فرمول مستقیم است:

*یعنی هنگام تعویض مختصات خاص نقاط، معادله ای به شکل y=kx+b به دست می آید.

** اگر این فرمول به سادگی "به خاطر سپردن" باشد، احتمال اشتباه گرفتن با شاخص ها وجود دارد. ایکس. علاوه بر این، شاخص ها را می توان به روش های مختلفی نشان داد، به عنوان مثال:

به همین دلیل است که درک معنای آن مهم است.

حالا اشتقاق این فرمول. همه چیز خیلی ساده است!

مثلث های ABE و ACF از نظر زاویه تند شبیه هم هستند (نخستین نشانه تشابه مثلث های قائم الزاویه). از این نتیجه می شود که نسبت عناصر مربوطه برابر است، یعنی:

اکنون به سادگی این بخش ها را بر حسب تفاوت مختصات نقاط بیان می کنیم:

البته، اگر روابط عناصر را به ترتیب دیگری بنویسید، هیچ خطایی وجود نخواهد داشت (نکته اصلی حفظ مطابقت است):

نتیجه همان معادله یک خط مستقیم است. این همه است!

یعنی مهم نیست که خود نقاط (و مختصات آنها) چگونه تعیین می شوند، با درک این فرمول، همیشه معادله یک خط مستقیم را خواهید یافت.

فرمول را می توان با استفاده از خواص بردارها استنباط کرد، اما اصل مشتق یکسان خواهد بود، زیرا ما در مورد تناسب مختصات آنها صحبت خواهیم کرد. در این مورد، همان شباهت مثلث های قائم الزاویه کار می کند. به نظر من، نتیجه ای که در بالا توضیح داده شد قابل درک تر است)).

مشاهده خروجی از طریق مختصات برداری >>>

بگذارید یک خط مستقیم بر روی صفحه مختصات ایجاد شود که از دو نقطه داده شده A (x 1; y 1) و B (x 2; y 2) عبور می کند. اجازه دهید یک نقطه دلخواه C روی خط را با مختصات ( ایکس; y). ما همچنین دو بردار را نشان می دهیم:

مشخص است که برای بردارهایی که روی خطوط موازی (یا روی یک خط) قرار دارند، مختصات مربوطه آنها متناسب است، یعنی:

- برابری نسبت های مختصات مربوطه را می نویسیم:

یک مثال را در نظر بگیرید:

معادله خط مستقیمی که از دو نقطه با مختصات (2;5) و (7:3) می گذرد را بیابید.

شما حتی نمی توانید خط خود را بسازید. ما فرمول را اعمال می کنیم:

مهم است که هنگام تنظیم نسبت، مکاتبات را بگیرید. اگر بنویسید نمی توانید اشتباه کنید:

پاسخ: y=-2/5x+29/5 go y=-0.4x+5.8

برای اینکه مطمئن شوید معادله حاصل به درستی پیدا شده است، حتما آن را بررسی کنید - مختصات داده را در شرایط نقاط در آن جایگزین کنید. شما باید برابری های صحیح را بدست آورید.

همین. امیدوارم مطالب برای شما مفید بوده باشد.

با احترام، اسکندر.

P.S: اگر در مورد سایت در شبکه های اجتماعی بگویید ممنون می شوم.