فرمول های حل ساده ترین معادلات مثلثاتی معادلات مثلثاتی راهنمای جامع (2019)

مفهوم حل معادلات مثلثاتی.

• برای حل یک معادله مثلثاتی، آن را به یک یا چند معادله مثلثاتی اصلی تبدیل کنید. حل یک معادله مثلثاتی در نهایت به حل چهار معادله مثلثاتی اصلی ختم می شود.

حل معادلات مثلثاتی پایه

• 4 نوع معادلات مثلثاتی اساسی وجود دارد:
• گناه x = a; cos x = a
• tg x = a; ctg x = a
• حل معادلات مثلثاتی اولیه شامل نگاه کردن به موقعیت های x مختلف در دایره واحد و استفاده از جدول تبدیل (یا ماشین حساب) است.
• مثال 1.sin x = 0.866. با استفاده از جدول تبدیل (یا ماشین حساب)، پاسخ را دریافت می کنید: x = π / 3. دایره واحد پاسخ دیگری می دهد: 2π / 3. به یاد داشته باشید: همه توابع مثلثاتی تناوبی هستند، یعنی مقادیر آنها تکرار می شود. به عنوان مثال، تناوب sin x و cos x 2πn است و تناوب tg x و ctg x πn است. بنابراین پاسخ به صورت زیر نوشته می شود:
• x1 = π / 3 + 2πn; x2 = 2π / 3 + 2πn.
• مثال 2.cos x = -1/2. با استفاده از جدول تبدیل (یا ماشین حساب)، پاسخ را دریافت می کنید: x = 2π / 3. دایره واحد پاسخ دیگری می دهد: -2π / 3.
• x1 = 2π / 3 + 2π; x2 = -2π / 3 + 2π.
• مثال 3.tg (x - π / 4) = 0.
• پاسخ: x = π / 4 + πn.
• مثال 4. ctg 2x = 1.732.
• پاسخ: x = π / 12 + πn.

تبدیل های مورد استفاده برای حل معادلات مثلثاتی.

• برای تبدیل معادلات مثلثاتی، استفاده کنید تبدیلات جبری(فاکتورسازی، کاهش اصطلاحات همگن و...) و هویت های مثلثاتی.
• مثال 5. با استفاده از هویت های مثلثاتی، معادله sin x + sin 2x + sin 3x = 0 به معادله 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) = 0 تبدیل می شود. بنابراین، شما باید معادلات مثلثاتی اصلی زیر: cos x = 0. گناه (3x / 2) = 0; cos (x/2) = 0.

• یافتن گوشه ها توسط ارزش های شناخته شدهکارکرد.

  • قبل از یادگیری روش‌های حل معادلات مثلثاتی، باید یاد بگیرید که چگونه زوایا را از مقادیر شناخته شده توابع پیدا کنید. این را می توان با استفاده از جدول تبدیل یا ماشین حساب انجام داد.
  • مثال: cos x = 0.732. ماشین حساب پاسخ x = 42.95 درجه را می دهد. دایره واحد زوایای اضافی می دهد که کسینوس آن نیز 0.732 است.

• محلول را روی دایره واحد کنار بگذارید.

  • می توانید جواب های معادله مثلثاتی را در دایره واحد به تعویق بیندازید. جواب های معادله مثلثاتی روی دایره واحد رئوس یک چندضلعی منتظم هستند.
  • مثال: جواب های x = π / 3 + πn / 2 روی دایره واحد رئوس یک مربع هستند.
  • مثال: راه حل های x = π / 4 + πn / 3 روی دایره واحد نشان دهنده رئوس یک شش ضلعی منظم است.

• روش های حل معادلات مثلثاتی.

  • اگر معادله مثلثاتی داده شده فقط شامل یک باشد تابع مثلثاتی، این معادله را به عنوان یک معادله تریگ پایه حل کنید. اگر معادله داده شدهشامل دو یا چند تابع مثلثاتی است، سپس 2 روش برای حل چنین معادله ای (بسته به امکان تبدیل آن) وجود دارد.
    • روش 1.
  • این معادله را به معادله ای به شکل تبدیل کنید: f (x) * g (x) * h (x) = 0، که در آن f (x)، g (x)، h (x) معادلات مثلثاتی اولیه هستند.
  • مثال 6.2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
  • راه حل. با استفاده از فرمول دو زاویه sin 2x = 2 * sin x * cos x، جایگزین sin 2x کنید.
  • 2cos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0. حالا دو معادله مثلثاتی اصلی را حل کنید: cos x = 0 و (sin x + 1) = 0.
  • مثال 7.cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
  • راه حل: با استفاده از هویت های مثلثاتی، این معادله را به یک معادله تبدیل کنید: cos 2x (2cos x + 1) = 0. حال دو معادله مثلثاتی اصلی را حل کنید: cos 2x = 0 و (2cos x + 1) = 0.
  • مثال 8.sin x - sin 3x = cos 2x. (0< x < 2π)
  • راه حل: با استفاده از هویت های مثلثاتی، این معادله را به معادله ای به شکل: -cos 2x * (2sin x + 1) = 0 تبدیل کنید. اکنون دو معادله مثلثاتی اصلی را حل کنید: cos 2x = 0 و (2sin x + 1) = 0 .
    • روش 2.
  • معادله مثلثاتی داده شده را به معادله ای که فقط یک تابع مثلثاتی دارد تبدیل کنید. سپس این تابع مثلثاتی را با مقداری مجهول جایگزین کنید، به عنوان مثال، t (sin x = t؛ cos x = t؛ cos 2x = t، tg x = t؛ tg (x / 2) = t و غیره).
  • مثال 9.3sin ^ 2 x - 2cos ^ 2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
  • راه حل. در این معادله (cos ^ 2 x) را با (1 - sin ^ 2 x) (بر اساس هویت) جایگزین کنید. معادله تبدیل شده به صورت زیر است:
  • 3sin ^ 2 x - 2 + 2sin ^ 2 x - 4sin x - 7 = 0. sin x را با t جایگزین کنید. معادله اکنون به این صورت است: 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0. این یک معادله درجه دوم با دو ریشه است: t1 = -1 و t2 = 9/5. ریشه دوم t2 محدوده مقادیر تابع (-1) را برآورده نمی کند< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • مثال 10.tg x + 2 tg ^ 2 x = ctg x + 2
  • راه حل. tg x را با t جایگزین کنید. معادله اصلی را به صورت زیر بازنویسی کنید: (2t + 1) (t ^ 2 - 1) = 0. حالا t را پیدا کنید و سپس x را برای t = tg x پیدا کنید.

حریم خصوصی شما برای ما مهم است. به همین دلیل، ما یک خط‌مشی رازداری ایجاد کرده‌ایم که نحوه استفاده و ذخیره اطلاعات شما را توضیح می‌دهد. لطفا خط مشی حفظ حریم خصوصی ما را بخوانید و در صورت داشتن هرگونه سوال با ما در میان بگذارید.

جمع آوری و استفاده از اطلاعات شخصی

اطلاعات شخصی به داده هایی اطلاق می شود که می توان از آنها برای شناسایی یک فرد خاص یا تماس با او استفاده کرد.

در هر زمانی که با ما تماس می گیرید ممکن است از شما خواسته شود اطلاعات شخصی خود را ارائه دهید.

در زیر چند نمونه از انواع اطلاعات شخصی که ممکن است جمع آوری کنیم و نحوه استفاده از این اطلاعات آورده شده است.

چه اطلاعات شخصی جمع آوری می کنیم:

• وقتی درخواستی را در سایت می گذارید، ممکن است اطلاعات مختلفی از جمله نام، شماره تلفن، آدرس شما را جمع آوری کنیم پست الکترونیکو غیره.

نحوه استفاده ما از اطلاعات شخصی شما:

• اطلاعات شخصی که جمع آوری می کنیم به ما امکان می دهد با شما تماس بگیریم و پیشنهادات، تبلیغات و سایر رویدادها و رویدادهای آینده را گزارش کنیم.
• هر از گاهی، ممکن است از اطلاعات شخصی شما برای ارسال اعلان‌ها و پیام‌های مهم استفاده کنیم.
• ما همچنین ممکن است از اطلاعات شخصی برای اهداف داخلی مانند حسابرسی، تجزیه و تحلیل داده ها و مطالعات مختلفبه منظور بهبود خدماتی که ارائه می کنیم و توصیه هایی در مورد خدمات خود به شما ارائه می دهیم.
• اگر در قرعه‌کشی جوایز، مسابقه یا رویداد تبلیغاتی مشابه شرکت می‌کنید، ممکن است از اطلاعاتی که ارائه می‌دهید برای اجرای چنین برنامه‌هایی استفاده کنیم.

افشای اطلاعات به اشخاص ثالث

ما اطلاعات دریافتی از شما را در اختیار اشخاص ثالث قرار نمی دهیم.

استثناها:

• در صورت لزوم - مطابق با قانون، حکم دادگاه، در مراحل دادرسی و / یا بر اساس درخواست های عمومی یا درخواست های مقامات دولتی در قلمرو فدراسیون روسیه - اطلاعات شخصی خود را افشا کنید. همچنین اگر تشخیص دهیم که چنین افشایی برای امنیت، اجرای قانون یا سایر دلایل مهم اجتماعی ضروری یا مناسب است، ممکن است اطلاعاتی درباره شما فاش کنیم.
• در صورت سازماندهی مجدد، ادغام یا فروش، ممکن است اطلاعات شخصی را که جمع آوری می کنیم به یک شخص ثالث مناسب - جانشین قانونی انتقال دهیم.

حفاظت از اطلاعات شخصی

ما اقدامات احتیاطی - از جمله اداری، فنی و فیزیکی - را برای محافظت از اطلاعات شخصی شما در برابر از دست دادن، سرقت و سوء استفاده، و همچنین از دسترسی، افشا، تغییر و تخریب غیرمجاز انجام می دهیم.

به حریم خصوصی خود در سطح شرکت احترام بگذارید

به منظور اطمینان از ایمن بودن اطلاعات شخصی شما، قوانین محرمانه و امنیتی را برای کارمندان خود آورده و بر اجرای اقدامات محرمانه به شدت نظارت می کنیم.

نیاز به دانش فرمول های اصلی مثلثات - مجموع مربع های سینوس و کسینوس، بیان مماس بر حسب سینوس و کسینوس، و دیگران است. برای کسانی که آنها را فراموش کرده اند یا نمی دانند، خواندن مقاله "" را توصیه می کنیم.
بنابراین اصلی فرمول های مثلثاتیما می دانیم که زمان آن فرا رسیده است که آنها را عملی کنیم. حل معادلات مثلثاتیبا رویکرد درست، این یک فعالیت بسیار هیجان انگیز است، مثلاً حل مکعب روبیک.

بر اساس نام خود مشخص می شود که معادله مثلثاتی معادله ای است که مجهول در آن تحت علامت تابع مثلثاتی قرار دارد.
به اصطلاح ساده ترین معادلات مثلثاتی وجود دارد. آنها اینگونه به نظر می رسند: sinx = a، cos x = a، tg x = a. در نظر گرفتن چگونه می توان چنین معادلات مثلثاتی را حل کرد، برای وضوح، از دایره مثلثاتی آشنا استفاده خواهیم کرد.

sinx = a

cos x = a

tg x = a

تخت x = a

هر معادله مثلثاتی در دو مرحله حل می شود: معادله را به ساده ترین شکل می آوریم و سپس آن را به عنوان ساده ترین معادله مثلثاتی حل می کنیم.
7 روش اصلی برای حل معادلات مثلثاتی وجود دارد.

1. جایگزینی متغیر و روش جایگزینی

حل معادله 2cos 2 (x + / 6) - 3sin (/ 3 - x) +1 = 0

با استفاده از فرمول های کاهش، به دست می آوریم:

2cos 2 (x + / 6) - 3cos (x + / 6) +1 = 0

برای سادگی cos (x + / 6) را با y جایگزین کنید و معادله درجه دوم معمول را بدست آورید:

2 سال 2 - 3 سال + 1 + 0

که ریشه های آن y 1 = 1، y 2 = 1/2

حالا به ترتیب معکوس برویم

مقادیر y یافت شده را جایگزین می کنیم و دو پاسخ می گیریم:

2. حل معادلات مثلثاتی از طریق فاکتورسازی

چگونه معادله sin x + cos x = 1 را حل کنیم؟

همه چیز را به سمت چپ حرکت دهید تا 0 در سمت راست باقی بماند:

sin x + cos x - 1 = 0

بیایید از هویت های بالا برای ساده کردن معادله استفاده کنیم:

sin x - 2 sin 2 (x / 2) = 0

ما فاکتورسازی را انجام می دهیم:

2 sin (x / 2) * cos (x / 2) - 2 sin 2 (x / 2) = 0

2سین (x/2) * = 0

دو معادله بدست می آوریم

3. کاهش به یک معادله همگن

یک معادله از نظر سینوس و کسینوس همگن است در صورتی که تمام عبارات آن نسبت به سینوس و کسینوس همان توان یک زاویه باشند. برای حل یک معادله همگن به صورت زیر عمل کنید:

الف) تمام اعضای خود را به سمت چپ منتقل کنید.

ب) همه عوامل مشترک را از پرانتز خارج کنید.

ج) همه عوامل و براکت ها را با 0 برابر کنید.

د) در پرانتز به دست می آید معادله همگندر درجه ای کمتر، به نوبه خود بر سینوس یا کسینوس در بالاترین درجه تقسیم می شود.

ه) معادله حاصل را برای tg حل کنید.

حل معادله 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

بیایید از فرمول sin 2 x + cos 2 x = 1 استفاده کنیم و از شر دو باز سمت راست خلاص شویم:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

تقسیم بر cos x:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

tg x را با y جایگزین کنید و یک معادله درجه دوم بدست آورید:

y 2 + 4y + 3 = 0، که ریشه های آن y 1 = 1، y 2 = 3

از اینجا دو راه حل برای معادله اصلی پیدا می کنیم:

x 2 = آرکتان 3 + k

4. حل معادلات با رفتن به نیم زاویه

معادله 3sin x - 5cos x = 7 را حل کنید

حرکت به سمت x / 2:

6sin (x / 2) * cos (x / 2) - 5cos 2 (x / 2) + 5sin 2 (x / 2) = 7sin 2 (x / 2) + 7cos 2 (x / 2)

همه چیز را به سمت چپ حرکت دهید:

2sin 2 (x / 2) - 6sin (x / 2) * cos (x / 2) + 12cos 2 (x / 2) = 0

تقسیم بر cos (x/2):

tg 2 (x / 2) - 3tg (x / 2) + 6 = 0

5. معرفی یک زاویه کمکی

برای بررسی، معادله ای به این شکل در نظر می گیریم: a sin x + b cos x = c,

که در آن a، b، c برخی از ضرایب دلخواه هستند و x ناشناخته است.

دو طرف معادله را به زیر تقسیم کنید:



حال ضرایب معادله طبق فرمولهای مثلثاتی دارای خصوصیات sin و cos هستند، یعنی: مدول آنها از 1 بیشتر نیست و مجموع مجذورها 1= است. آنها را به ترتیب به صورت cos و sin نشان می دهیم که در کجاست. به اصطلاح زاویه کمکی. سپس معادله به شکل زیر در می آید:

cos * sin x + sin * cos x = С

یا گناه (x +) = C

راه حل این ساده ترین معادله مثلثاتی خواهد بود

x = (-1) k * arcsin С - + k، که در آن



توجه داشته باشید که cos و sin به جای یکدیگر استفاده می شوند.

معادله sin 3x - cos 3x = 1 را حل کنید

در این معادله ضرایب عبارتند از:

a =، b = -1، بنابراین هر دو طرف را بر 2 تقسیم می کنیم

زیاد مسائل ریاضیبه خصوص آنهایی که قبل از درجه 10 اتفاق می افتند، ترتیب اقداماتی که منجر به هدف می شود به وضوح مشخص شده است. این وظایف شامل، به عنوان مثال، خطی و معادلات درجه دوم، نابرابری های خطی و درجه دوم، معادلات کسری و معادلاتی که به درجه دوم کاهش می یابد. اصل حل موفقیت آمیز هر یک از مشکلات ذکر شده به شرح زیر است: باید مشخص شود که چه نوع مشکلی باید حل شود، دنباله ای از اقدامات لازم را که منجر به نتیجه مطلوب می شود، به خاطر بسپارید. پاسخ دهید و این مراحل را دنبال کنید.

بدیهی است که موفقیت یا شکست در حل یک مسئله خاص عمدتاً به این بستگی دارد که چگونه نوع معادله ای که باید حل شود به درستی تعیین می شود و چگونه دنباله ای از تمام مراحل حل آن به درستی بازتولید می شود. البته در این مورد باید مهارت اجرا داشته باشید تحولات یکسانو محاسبات

وضعیت با معادلات مثلثاتیاثبات این واقعیت که معادله مثلثاتی است اصلاً دشوار نیست. در تعیین توالی اقداماتی که منجر به پاسخ صحیح می شود، مشکلاتی به وجود می آید.

توسط ظاهرتعیین نوع معادله گاهی اوقات دشوار است. و بدون دانستن نوع معادله، تقریباً غیرممکن است که از بین چندین ده فرمول مثلثاتی، مناسب را انتخاب کنید.

برای حل یک معادله مثلثاتی باید سعی کنید:

1. تمام توابع موجود در معادله را به "زوایای یکسان" بیاورید.
2. برای آوردن معادله به "توابع یکسان"؛
3. سمت چپ معادله و غیره را فاکتور کنید.

در نظر گرفتن روش های اساسی برای حل معادلات مثلثاتی

I. تقلیل به ساده ترین معادلات مثلثاتی

طرح راه حل

مرحله 1.یک تابع مثلثاتی را بر حسب مولفه های شناخته شده بیان کنید.

گام 2.آرگومان یک تابع را با فرمول های زیر بیابید:

cos x = a; x = ± arccos a + 2πn، n ЄZ.

گناه x = a; x = (-1) n arcsin a + πn، n Є Z.

tg x = a; x = آرکتان a + πn، n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn، n Є Z.

مرحله 3.متغیر ناشناخته را پیدا کنید

مثال.

2 cos (3x - π / 4) = -√2.

راه حل.

1) cos (3x - π / 4) = -√2 / 2.

2) 3x - π / 4 = ± (π - π / 4) + 2πn، n Є Z;

3x - π / 4 = ± 3π / 4 + 2πn، n Є Z.

3) 3x = ± 3π / 4 + π / 4 + 2πn، n Є Z;

x = ± 3π / 12 + π / 12 + 2πn / 3، n Є Z;

x = ± π / 4 + π / 12 + 2πn / 3، n Є Z.

پاسخ: ± π / 4 + π / 12 + 2πn / 3، n Є Z.

II. جایگزینی متغیر

طرح راه حل

مرحله 1.معادله را با توجه به یکی از توابع مثلثاتی به شکل جبری بیاورید.

گام 2.تابع به دست آمده را با متغیر t مشخص کنید (در صورت لزوم محدودیت هایی را برای t وارد کنید).

مرحله 3.معادله جبری حاصل را بنویسید و حل کنید.

مرحله 4.یک جایگزین معکوس انجام دهید.

مرحله 5.ساده ترین معادله مثلثاتی را حل کنید.

مثال.

2cos 2 (x / 2) - 5sin (x / 2) - 5 = 0.

راه حل.

1) 2 (1 - sin 2 (x / 2)) - 5sin (x / 2) - 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) بگذارید sin (x / 2) = t، جایی که | t | ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 یا e = -3/2، شرط را برآورده نمی کند | t | ≤ 1.

4) گناه (x/2) = 1.

5) x / 2 = π / 2 + 2πn، n Є Z;

x = π + 4πn، n Є Z.

پاسخ: x = π + 4πn، n Є Z.

III. روش کاهش ترتیب معادله

طرح راه حل

مرحله 1.با استفاده از فرمول های کاهش درجه برای این، این معادله را با یک معادله خطی جایگزین کنید:

sin 2 x = 1/2 (1 - cos 2x)؛

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x)؛

tg 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

گام 2.معادله به دست آمده را با استفاده از روش های I و II حل کنید.

مثال.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

راه حل.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ± π / 3 + 2πn، n Є Z;

x = ± π / 6 + πn، n Є Z.

پاسخ: x = ± π / 6 + πn، n Є Z.

IV. معادلات همگن

طرح راه حل

مرحله 1.این معادله را به شکل بیاورید

الف) a sin x + b cos x = 0 (معادله همگن درجه اول)

یا به ذهن

ب) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (معادله همگن درجه دوم).

گام 2.دو طرف معادله را تقسیم بر

الف) cos x ≠ 0;

ب) cos 2 x ≠ 0;

و معادله tg x را بدست آورید:

الف) a tg x + b = 0;

ب) a tg 2 x + b آرکتان x + c = 0.

مرحله 3.معادله را با استفاده از روش های شناخته شده حل کنید.

مثال.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

راه حل.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 (sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x - 4sin² x - 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x = 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) بگذارید tg x = t، سپس

t 2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 یا t = -4، بنابراین

tg x = 1 یا tg x = -4.

از معادله اول x = π / 4 + πn، n Є Z; از معادله دوم x = -arctg 4 + πk، k Є Z.

پاسخ: x = π / 4 + πn، n Є Z; x = -arctg 4 + πk، k Є Z.

V. روش تبدیل یک معادله با استفاده از فرمول های مثلثاتی

طرح راه حل

مرحله 1.با استفاده از انواع فرمول های مثلثاتی، این معادله را به معادله حل شده با روش های I، II، III، IV برسانید.

گام 2.معادله به دست آمده را با روش های شناخته شده حل کنید.

مثال.

sin x + sin 2x + sin 3x = 0.

راه حل.

1) (سین x + گناه 3x) + گناه 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 یا 2cos x + 1 = 0;

از معادله اول 2x = π / 2 + πn، n Є Z; از معادله دوم cos x = -1/2.

ما x = π / 4 + πn / 2، n Є Z داریم. از معادله دوم x = ± (π - π / 3) + 2πk، k Є Z.

در نتیجه، x = π / 4 + πn / 2، n Є Z. x = ± 2π / 3 + 2πk، k Є Z.

پاسخ: x = π / 4 + πn / 2، n Є Z; x = ± 2π / 3 + 2πk، k Є Z.

مهارت و توانایی حل معادلات مثلثاتی بسیار است مهم است، توسعه آنها نیازمند تلاش های قابل توجهی است، هم از طرف دانش آموز و هم از طرف معلم.

بسیاری از مسائل استریومتری، فیزیک و غیره با حل معادلات مثلثاتی مرتبط هستند، فرآیند حل چنین مسائلی، همانطور که گفته شد، حاوی دانش و مهارت های بسیاری است که هنگام مطالعه عناصر مثلثات به دست می آید.

معادلات مثلثاتیدر فرآیند یادگیری ریاضیات و به طور کلی رشد شخصیت جایگاه مهمی را اشغال می کند.

هنوز سوالی دارید؟ نمی دانید چگونه معادلات مثلثاتی را حل کنید؟
برای کمک گرفتن از یک معلم خصوصی -.
درس اول رایگان است

سایت وبلاگ، با کپی کامل یا جزئی از مطالب، لینک منبع الزامی است.

زیاد مسائل ریاضیبه خصوص آنهایی که قبل از درجه 10 اتفاق می افتند، ترتیب اقداماتی که منجر به هدف می شود به وضوح مشخص شده است. این مسائل شامل معادلات خطی و درجه دوم، نابرابری های خطی و درجه دوم، معادلات کسری و معادلاتی است که به درجه دوم کاهش می یابد. اصل حل موفقیت آمیز هر یک از مشکلات ذکر شده به شرح زیر است: باید مشخص شود که چه نوع مشکلی باید حل شود، دنباله ای از اقدامات لازم را که منجر به نتیجه مطلوب می شود، به خاطر بسپارید. پاسخ دهید و این مراحل را دنبال کنید.

بدیهی است که موفقیت یا شکست در حل یک مسئله خاص عمدتاً به این بستگی دارد که چگونه نوع معادله ای که باید حل شود به درستی تعیین می شود و چگونه دنباله ای از تمام مراحل حل آن به درستی بازتولید می شود. البته داشتن مهارت برای انجام تبدیل ها و محاسبات یکسان ضروری است.

وضعیت با معادلات مثلثاتیاثبات این واقعیت که معادله مثلثاتی است اصلاً دشوار نیست. در تعیین توالی اقداماتی که منجر به پاسخ صحیح می شود، مشکلاتی به وجود می آید.

ظاهر یک معادله گاهی اوقات برای تعیین نوع آن دشوار است. و بدون دانستن نوع معادله، تقریباً غیرممکن است که از بین چندین ده فرمول مثلثاتی، مناسب را انتخاب کنید.

برای حل یک معادله مثلثاتی باید سعی کنید:

1. تمام توابع موجود در معادله را به "زوایای یکسان" بیاورید.
2. برای آوردن معادله به "توابع یکسان"؛
3. سمت چپ معادله و غیره را فاکتور کنید.

در نظر گرفتن روش های اساسی برای حل معادلات مثلثاتی

I. تقلیل به ساده ترین معادلات مثلثاتی

طرح راه حل

مرحله 1.یک تابع مثلثاتی را بر حسب مولفه های شناخته شده بیان کنید.

گام 2.آرگومان یک تابع را با فرمول های زیر بیابید:

cos x = a; x = ± arccos a + 2πn، n ЄZ.

گناه x = a; x = (-1) n arcsin a + πn، n Є Z.

tg x = a; x = آرکتان a + πn، n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn، n Є Z.

مرحله 3.متغیر ناشناخته را پیدا کنید

مثال.

2 cos (3x - π / 4) = -√2.

راه حل.

1) cos (3x - π / 4) = -√2 / 2.

2) 3x - π / 4 = ± (π - π / 4) + 2πn، n Є Z;

3x - π / 4 = ± 3π / 4 + 2πn، n Є Z.

3) 3x = ± 3π / 4 + π / 4 + 2πn، n Є Z;

x = ± 3π / 12 + π / 12 + 2πn / 3، n Є Z;

x = ± π / 4 + π / 12 + 2πn / 3، n Є Z.

پاسخ: ± π / 4 + π / 12 + 2πn / 3، n Є Z.

II. جایگزینی متغیر

طرح راه حل

مرحله 1.معادله را با توجه به یکی از توابع مثلثاتی به شکل جبری بیاورید.

گام 2.تابع به دست آمده را با متغیر t مشخص کنید (در صورت لزوم محدودیت هایی را برای t وارد کنید).

مرحله 3.معادله جبری حاصل را بنویسید و حل کنید.

مرحله 4.یک جایگزین معکوس انجام دهید.

مرحله 5.ساده ترین معادله مثلثاتی را حل کنید.

مثال.

2cos 2 (x / 2) - 5sin (x / 2) - 5 = 0.

راه حل.

1) 2 (1 - sin 2 (x / 2)) - 5sin (x / 2) - 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) بگذارید sin (x / 2) = t، جایی که | t | ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 یا e = -3/2، شرط را برآورده نمی کند | t | ≤ 1.

4) گناه (x/2) = 1.

5) x / 2 = π / 2 + 2πn، n Є Z;

x = π + 4πn، n Є Z.

پاسخ: x = π + 4πn، n Є Z.

III. روش کاهش ترتیب معادله

طرح راه حل

مرحله 1.با استفاده از فرمول های کاهش درجه برای این، این معادله را با یک معادله خطی جایگزین کنید:

sin 2 x = 1/2 (1 - cos 2x)؛

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x)؛

tg 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

گام 2.معادله به دست آمده را با استفاده از روش های I و II حل کنید.

مثال.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

راه حل.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ± π / 3 + 2πn، n Є Z;

x = ± π / 6 + πn، n Є Z.

پاسخ: x = ± π / 6 + πn، n Є Z.

IV. معادلات همگن

طرح راه حل

مرحله 1.این معادله را به شکل بیاورید

الف) a sin x + b cos x = 0 (معادله همگن درجه اول)

یا به ذهن

ب) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (معادله همگن درجه دوم).

گام 2.دو طرف معادله را تقسیم بر

الف) cos x ≠ 0;

ب) cos 2 x ≠ 0;

و معادله tg x را بدست آورید:

الف) a tg x + b = 0;

ب) a tg 2 x + b آرکتان x + c = 0.

مرحله 3.معادله را با استفاده از روش های شناخته شده حل کنید.

مثال.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

راه حل.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 (sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x - 4sin² x - 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x = 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) بگذارید tg x = t، سپس

t 2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 یا t = -4، بنابراین

tg x = 1 یا tg x = -4.

از معادله اول x = π / 4 + πn، n Є Z; از معادله دوم x = -arctg 4 + πk، k Є Z.

پاسخ: x = π / 4 + πn، n Є Z; x = -arctg 4 + πk، k Є Z.

V. روش تبدیل یک معادله با استفاده از فرمول های مثلثاتی

طرح راه حل

مرحله 1.با استفاده از انواع فرمول های مثلثاتی، این معادله را به معادله حل شده با روش های I، II، III، IV برسانید.

گام 2.معادله به دست آمده را با روش های شناخته شده حل کنید.

مثال.

sin x + sin 2x + sin 3x = 0.

راه حل.

1) (سین x + گناه 3x) + گناه 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 یا 2cos x + 1 = 0;

از معادله اول 2x = π / 2 + πn، n Є Z; از معادله دوم cos x = -1/2.

ما x = π / 4 + πn / 2، n Є Z داریم. از معادله دوم x = ± (π - π / 3) + 2πk، k Є Z.

در نتیجه، x = π / 4 + πn / 2، n Є Z. x = ± 2π / 3 + 2πk، k Є Z.

پاسخ: x = π / 4 + πn / 2، n Є Z; x = ± 2π / 3 + 2πk، k Є Z.

مهارت و توانایی حل معادلات مثلثاتی بسیار است مهم است، توسعه آنها نیازمند تلاش های قابل توجهی است، هم از طرف دانش آموز و هم از طرف معلم.

بسیاری از مسائل استریومتری، فیزیک و غیره با حل معادلات مثلثاتی مرتبط هستند، فرآیند حل چنین مسائلی، همانطور که گفته شد، حاوی دانش و مهارت های بسیاری است که هنگام مطالعه عناصر مثلثات به دست می آید.

معادلات مثلثاتی جایگاه مهمی در فرآیند آموزش ریاضیات و به طور کلی رشد شخصیت دارند.

هنوز سوالی دارید؟ نمی دانید چگونه معادلات مثلثاتی را حل کنید؟
برای کمک گرفتن از یک معلم خصوصی - ثبت نام کنید.
درس اول رایگان است

سایت، با کپی کامل یا جزئی از مطالب، لینک به منبع الزامی است.