برای کار با مفهوم رتبه یک ماتریس به اطلاعاتی از مبحث "متمم ها و جزئی های جبری. انواع مینورها و متمم های جبری" نیاز داریم. اول از همه، این به اصطلاح "ماتریس مینور" مربوط می شود، زیرا رتبه ماتریس دقیقاً از طریق مینورها تعیین می شود.

با رتبه ماتریسحداکثر مرتبه جزئی آن نامیده می شود که در بین آنها حداقل یکی وجود دارد که برابر با صفر نیست.

ماتریس های معادل- ماتریس هایی که رتبه های آنها با یکدیگر برابر است.

اجازه دهید با جزئیات بیشتر توضیح دهیم. فرض کنید حداقل یک مینور غیر صفر در بین مینورهای مرتبه دوم وجود دارد. و همه صغیرها که ترتیب آنها بالاتر از دو باشد برابر با صفر هستند. نتیجه گیری: رتبه ماتریس 2 است. یا مثلاً در بین مینورهای مرتبه دهم حداقل یکی وجود دارد که برابر با صفر نیست. و تمامی خردسالانی که ترتیب آنها بالاتر از 10 باشد برابر با صفر هستند. نتیجه گیری: رتبه ماتریس 10 است.

رتبه ماتریس $ A $ با $ \ rang A $ یا $ r (A) $ نشان داده می شود. رتبه ماتریس صفر $ O $ صفر در نظر گرفته می شود، $ \ rang O = 0 $. اجازه دهید به شما یادآوری کنم که برای تشکیل یک ماتریس مینور، باید سطرها و ستون‌ها را خط بزنید، اما غیرممکن است که ردیف‌ها و ستون‌های بیشتری نسبت به خود ماتریس خط بکشید. به عنوان مثال، اگر ماتریس $ F $ 5 $ \ ضربدر 4 $ باشد (یعنی شامل 5 ردیف و 4 ستون باشد)، حداکثر ترتیب مینورهای آن چهار است. دیگر امکان تشکیل مینورهای مرتبه پنجم وجود نخواهد داشت، زیرا آنها به 5 ستون نیاز دارند (و ما فقط 4 ستون داریم). این بدان معنی است که رتبه ماتریس $ F $ نمی تواند بیشتر از چهار باشد، یعنی. $ \ زنگ F≤4 $.

در شکل کلی تر، موارد فوق به این معنی است که اگر یک ماتریس حاوی $ m $ ردیف و $ n $ ستون باشد، رتبه آن نمی تواند از کوچکترین اعداد $ m $ و $ n $ تجاوز کند. $ \ محدوده A≤ \ دقیقه (m, n) $.

اصولاً از همان تعریف رتبه، روش یافتن آن دنبال می شود. فرآیند یافتن رتبه یک ماتریس بر اساس تعریف را می توان به صورت شماتیک به صورت زیر نشان داد:

من این نمودار را با جزئیات بیشتری توضیح خواهم داد. بیایید از همان ابتدا فکر کنیم، یعنی. با مینورهای مرتبه اول مقداری ماتریس $ A $.

1. اگر همه مینورهای مرتبه اول (یعنی عناصر ماتریس $ A $) برابر با صفر باشند، آنگاه $ \ rang A = 0 $. اگر در بین مینورهای مرتبه اول حداقل یک غیر صفر وجود داشته باشد، آنگاه $ \ با A≥ 1 $ است. بیایید به بررسی خردسالان درجه دوم برویم.
2. اگر همه مینورهای مرتبه دوم برابر با صفر باشند، آنگاه $ \ زنگ A = 1 $. اگر در بین مینورهای مرتبه دوم حداقل یک غیر صفر وجود داشته باشد، آنگاه $ \ با A≥ 2 $ است. بیایید به بررسی مینورهای مرتبه سوم بپردازیم.
3. اگر همه مینورهای مرتبه سوم برابر با صفر باشند، آنگاه $ \ زنگ A = 2 $. اگر در بین مینورهای مرتبه سوم حداقل یک غیر صفر وجود داشته باشد، آنگاه $ \ با A≥ 3 $ است. بیایید به بررسی مینورهای مرتبه چهارم برویم.
4. اگر همه مینورهای مرتبه چهارم برابر با صفر باشند، آنگاه $ \ زنگ A = 3 $. اگر در بین مینورهای مرتبه چهارم حداقل یک غیر صفر وجود داشته باشد، آنگاه $ \ با A≥ 4 $ است. بیایید به بررسی مینورهای مرتبه پنجم و غیره برویم.

در پایان این رویه چه چیزی در انتظار ما است؟ این امکان وجود دارد که در بین مینورهای مرتبه k حداقل یک غیر صفر وجود داشته باشد و تمام مینورهای مرتبه (k + 1) ام برابر با صفر باشند. این بدان معنی است که k حداکثر مرتبه مینورها است که در بین آنها حداقل یکی وجود دارد که برابر با صفر نیست، یعنی. رتبه k خواهد بود. وضعیت ممکن است متفاوت باشد: در بین مینورهای مرتبه k، حداقل یکی وجود خواهد داشت که برابر با صفر نیست و دیگر نمی توان مینورهای مرتبه (k + 1) ام را تشکیل داد. در این مورد، رتبه ماتریس نیز k است. به طور خلاصه، ترتیب آخرین مینور غیر صفر تشکیل شده و برابر با رتبه ماتریس خواهد بود.

بیایید به سراغ مثال‌هایی برویم که در آنها فرآیند یافتن رتبه یک ماتریس به صورت بصری نشان داده می‌شود. یک بار دیگر تاکید می کنم که در مثال های این مبحث فقط با استفاده از تعریف رتبه شروع به یافتن رتبه ماتریس ها می کنیم. روش های دیگر (محاسبه رتبه یک ماتریس به روش مرزبندی مینورها، محاسبه رتبه یک ماتریس به روش تبدیل های ابتدایی) در مباحث زیر در نظر گرفته شده است.

به هر حال، به هیچ وجه لازم نیست که روش پیدا کردن رتبه را با کوچکترین مرتبه شروع کنید، همانطور که در مثال های # 1 و # 2 انجام می شود. می توانید مستقیماً به خرده های بالاتر بروید (نمونه شماره 3 را ببینید).

مثال شماره 1

رتبه ماتریس $ A = \ چپ (\ شروع (آرایه) (cccc) 5 & 0 & -3 & 0 & 2 \\ 7 & 0 & -4 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & -1 را پیدا کنید & 0 & 1 \ پایان (آرایه) \ سمت راست) $.

این ماتریس دارای اندازه 3 $ \ برابر 5 $ است ، یعنی. شامل سه ردیف و پنج ستون است. از اعداد 3 و 5، حداقل 3 است؛ بنابراین، رتبه ماتریس $ A $ حداکثر 3 است، یعنی. $ \ زنگ A≤ 3 $. و این نابرابری واضح است، زیرا ما دیگر نمی‌توانیم مینورهای مرتبه چهارم را تشکیل دهیم - آنها به 4 ردیف نیاز دارند و ما فقط 3 ردیف داریم. بیایید مستقیماً به روند یافتن رتبه یک ماتریس معین ادامه دهیم.

در بین مینورهای مرتبه اول (یعنی در بین عناصر ماتریس $ A $) موارد غیر صفر وجود دارد. به عنوان مثال، 5، -3، 2، 7. به طور کلی، ما به تعداد کل عناصر غیر صفر علاقه ای نداریم. حداقل یک عنصر غیر صفر وجود دارد - و این کافی است. از آنجایی که در بین مینورهای مرتبه اول حداقل یک غیر صفر وجود دارد، نتیجه می‌گیریم که $ \ با A≥ 1 $ است و به بررسی مینورهای مرتبه دوم ادامه می‌دهیم.

بیایید شروع به بررسی خردسالان درجه دوم کنیم. به عنوان مثال، در تقاطع ردیف های # 1، # 2 و ستون های # 1، # 4 عناصر چنین جزئی قرار دارند: $ \ left | \ begin (آرایه) (cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \ end (آرایه) \ سمت راست | $. برای این تعیین کننده، تمام عناصر ستون دوم برابر با صفر هستند، بنابراین خود تعیین کننده برابر با صفر است، یعنی. $ \ چپ | \ شروع (آرایه) (cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \ end (آرایه) \ سمت راست | = 0 $ (به ویژگی شماره 3 در مبحث خصوصیات تعیین کننده ها مراجعه کنید). یا می توانید به سادگی این تعیین کننده را با استفاده از فرمول شماره 1 از بخش محاسبه تعیین کننده های مرتبه دوم و سوم محاسبه کنید:

$$ \ چپ | \ شروع (آرایه) (cc) 5 و 0 \\ 7 و 0 \ پایان (آرایه) \ راست | = 5 \ cdot 0-0 \ cdot 7 = 0. $$

اولین مینور از مرتبه دومی که بررسی کردیم صفر بود. این یعنی چی؟ در مورد این که لازم است خردسالان مرتبه دوم بیشتر بررسی شوند. یا همه آنها صفر می شوند (و سپس رتبه برابر با 1 خواهد بود) یا در بین آنها حداقل یک غیر صفر جزئی وجود دارد. بیایید سعی کنیم با نوشتن مینور مرتبه دوم، که عناصر آن در تقاطع ردیف های # 1، # 2 و ستون های # 1 و # 5 قرار دارند، انتخاب بهتری داشته باشیم: $ \ چپ | \ شروع (آرایه) (cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \ انتهای (آرایه) \ سمت راست | $. بیایید مقدار این مینور مرتبه دوم را پیدا کنیم:

$$ \ چپ | \ شروع (آرایه) (cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \ end (آرایه) \ راست | = 5 \ cdot 3-2 \ cdot 7 = 1. $$

این مینور صفر نیست. نتیجه گیری: در بین خردسالان مرتبه دوم، حداقل یک غیر صفر وجود دارد. بنابراین $ \ دارای A≥ 2 $ بود. لازم است نسبت به مطالعه خردسالان درجه سوم اقدام شود.

اگر ستون # 2 یا ستون # 4 را برای تشکیل مینورهای مرتبه سوم انتخاب کنیم، آنگاه این مینورها برابر با صفر خواهند بود (زیرا حاوی یک ستون صفر هستند). باقی مانده است که فقط یک مینور از مرتبه سوم بررسی شود که عناصر آن در تقاطع ستون های شماره 1، شماره 3، شماره 5 و ردیف های شماره 1، شماره 2، شماره 3 قرار دارند. بیایید این مینور را بنویسیم و معنی آن را پیدا کنیم:

$$ \ چپ | \ شروع (آرایه) (cccc) 5 & -3 & 2 \\ 7 & -4 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \ end (آرایه) \ راست | = -20-18-14 + 16 + 21 + 15 = 0. $$

بنابراین، همه مینورهای مرتبه سوم صفر هستند. آخرین مینور غیر صفر که ما گردآوری کردیم از مرتبه دوم بود. نتیجه گیری: حداکثر ترتیب مینورها که در بین آنها حداقل یکی غیر از صفر وجود دارد، 2 است. بنابراین، $ = A = 2 $ است.

پاسخ: $ \ رنگ A = 2 $.

مثال شماره 2

رتبه ماتریس $ A = \ چپ (\ شروع (آرایه) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3 \\ 4 & -2 & 5 & 1 \\ -5 & 0 & -4 & 0 را پیدا کنید \\ 9 & 7 & 8 & -7 \ انتهای (آرایه) \ سمت راست) $.

ما یک ماتریس مربع از مرتبه چهارم داریم. فوراً توجه داشته باشید که رتبه این ماتریس از 4 تجاوز نمی کند، یعنی. $ \ زنگ A≤ 4 $. بیایید شروع به یافتن رتبه ماتریس کنیم.

در بین مینورهای مرتبه اول (یعنی در بین عناصر ماتریس $ A $) حداقل یک غیر صفر وجود دارد، بنابراین $ \ با A≥ 1 $ است. بیایید به بررسی خردسالان درجه دوم برویم. به عنوان مثال، در تقاطع ردیف های # 2، # 3 و ستون های # 1 و # 2، ما مینور زیر را از مرتبه دوم دریافت می کنیم: $ \ left | \ شروع (آرایه) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \ پایان (آرایه) \ سمت راست | $. بیایید آن را محاسبه کنیم:

$$ \ باقی مانده | \ شروع (آرایه) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \ پایان (آرایه) \ سمت راست | = 0-10 = -10. $$

در بین مینورهای مرتبه دوم، حداقل یک غیر صفر وجود دارد، بنابراین $ \ با A≥ 2 $ است.

بیایید به سراغ مینورهای مرتبه سوم برویم. بیایید به عنوان مثال یک مینور را پیدا کنیم که عناصر آن در تقاطع ردیف های شماره 1، شماره 3، شماره 4 و ستون های شماره 1، شماره 2، شماره 4 قرار دارند:

$$ \ باقی مانده | \ شروع (آرایه) (cccc) -1 & 3 & -3 \\ -5 & 0 & 0 \\ 9 & 7 & -7 \ پایان (آرایه) \ راست | = 105-105 = 0. $$

از آنجایی که این مینور مرتبه سوم صفر است، لازم است یک مینور مرتبه سوم دیگر بررسی شود. یا معلوم می شود که همه آنها برابر با صفر هستند (سپس رتبه برابر با 2 خواهد بود) یا حداقل یکی از آنها وجود دارد که برابر با صفر نیست (سپس ما خردورهای مرتبه چهارم را بررسی خواهیم کرد). یک مینور مرتبه سوم را در نظر بگیرید که عناصر آن در تقاطع ردیف های شماره 2، شماره 3، شماره 4 و ستون های شماره 2، شماره 3، شماره 4 قرار دارند:

$$ \ باقی مانده | \ شروع (آرایه) (cccc) -2 & 5 & 1 \\ 0 & -4 & 0 \\ 7 & 8 & -7 \ end (array) \ سمت راست | = -28. $$

در میان مینورهای مرتبه سوم، حداقل یک غیر صفر وجود دارد، بنابراین $ \ با A≥ 3 $ است. بیایید به بررسی مینورهای مرتبه چهارم برویم.

هر مینور مرتبه چهارم در محل تلاقی چهار سطر و چهار ستون از ماتریس $ A $ قرار دارد. به عبارت دیگر، مینور مرتبه چهارم، تعیین کننده ماتریس $ A $ است، زیرا این ماتریس دقیقاً شامل 4 ردیف و 4 ستون است. تعیین کننده این ماتریس در مثال 2 از مبحث "کاهش ترتیب دترمینان. تجزیه دترمینان در یک ردیف (ستون)" محاسبه شده است، بنابراین فقط نتیجه تمام شده را بگیرید:

$$ \ باقی مانده | \ شروع (آرایه) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3 \\ 4 & -2 & 5 & 1 \\ -5 & 0 & -4 & 0 \\ 9 & 7 & 8 & -7 \ پایان (آرایه) \ سمت راست | = 86. $$

بنابراین، مینور مرتبه چهارم صفر نیست. ما دیگر نمی توانیم خردسالان درجه پنجم را تشکیل دهیم. نتیجه‌گیری: بالاترین مرتبه مینورها که در بین آنها حداقل یکی غیر از صفر وجود دارد، 4 است. مجموع: $ = A = 4 $.

پاسخ: $ \ رنگ A = 4 $.

مثال شماره 3

رتبه ماتریس $ A = \ چپ (\ شروع (آرایه) (cccc) -1 & 0 & 2 & -3 \\ 4 & -2 & 5 & 1 \\ 7 & -4 & 0 & -5 را پیدا کنید \ end (آرایه) \ سمت راست) $.

فوراً توجه داشته باشید که این ماتریس شامل 3 ردیف و 4 ستون است، بنابراین $ \ با A≤ 3 $ است. در مثال‌های قبلی، فرآیند رتبه‌بندی را با مشاهده حداقل‌ترین (اول) خرده‌ها آغاز کردیم. در اینجا سعی خواهیم کرد فوراً خردسالان را با بالاترین مرتبه ممکن بررسی کنیم. برای ماتریس $ A $، چنین مینورها از مرتبه سوم هستند. یک مینور مرتبه سوم را در نظر بگیرید که عناصرش در تقاطع ردیف های شماره 1، شماره 2، شماره 3 و ستون های شماره 2، شماره 3، شماره 4 قرار دارند:

$$ \ باقی مانده | \ begin (آرایه) (cccc) 0 & 2 & -3 \\ -2 & 5 & 1 \\ -4 & 0 & -5 \ end (array) \ سمت راست | = -8-60-20 = -88. $$

بنابراین، بالاترین مرتبه مینورها، که در میان آنها حداقل یکی وجود دارد که برابر با صفر نیست، 3 است. بنابراین، رتبه ماتریس 3 است، یعنی. $ \ رنگ A = 3 $.

پاسخ: $ \ رنگ A = 3 $.

به طور کلی، یافتن رتبه یک ماتریس بر اساس تعریف، در حالت کلی، کار نسبتاً پر زحمتی است. به عنوان مثال، یک ماتریس با اندازه نسبتا کوچک 5 $ \ ضربدر 4 $ دارای 60 مینور درجه دوم است. و حتی اگر 59 مورد از آنها برابر با صفر باشد، مینور 60 ممکن است غیر صفر باشد. سپس باید مینورهای مرتبه سوم را بررسی کنید که ماتریس داده شده دارای 40 قطعه است. معمولاً سعی می‌کنند از روش‌های کمتر دست و پا گیر استفاده کنند، مانند روش مرزبندی خرده‌ها یا روش تبدیل‌های معادل.

رتبه یک ماتریس یک مشخصه عددی مهم است. معمولی ترین مشکلی که نیاز به یافتن رتبه یک ماتریس دارد، بررسی سازگاری یک سیستم معادلات جبری خطی است. در این مقاله مفهوم رتبه یک ماتریس را بیان می کنیم و روش هایی برای یافتن آن در نظر می گیریم. برای جذب بهتر مواد، ما به طور مفصل راه حل های چندین مثال را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد.

پیمایش صفحه.

تعیین رتبه یک ماتریس و مفاهیم اضافی لازم.

قبل از اعلام تعریف رتبه ماتریس، باید مفهوم مینور را به خوبی درک کرد و یافتن مینورهای یک ماتریس مستلزم توانایی محاسبه تعیین کننده است. بنابراین توصیه می کنیم، در صورت لزوم، تئوری مقاله، روش های یافتن تعیین کننده ماتریس، ویژگی های تعیین کننده را یادآوری کنید.

یک ماتریس A به ترتیب بگیرید. فرض کنید k یک عدد طبیعی باشد که از کوچکترین اعداد m و n تجاوز نکند، یعنی: .

تعریف.

مینور از مرتبه kthماتریس A را تعیین کننده ماتریس مربع مرتبه می نامند که از عناصر ماتریس A تشکیل شده است که در k سطر و ستون از پیش انتخاب شده قرار دارند و آرایش عناصر ماتریس A حفظ می شود. .

به عبارت دیگر، اگر در ماتریس A (p – k) سطرها و (n – k) ستون ها را حذف کنیم و از عناصر باقیمانده یک ماتریس تشکیل دهیم و آرایش عناصر ماتریس A را حفظ کنیم، آنگاه تعیین کننده ماتریس حاصل می شود. جزئی از مرتبه k ماتریس A است.

بیایید با استفاده از یک مثال به تعریف ماتریس مینور نگاه کنیم.

ماتریس را در نظر بگیرید .

اجازه دهید چندین مینور مرتبه اول این ماتریس را بنویسیم. به عنوان مثال، اگر ردیف سوم و ستون دوم ماتریس A را انتخاب کنیم، انتخاب ما با مینور مرتبه اول مطابقت دارد. ... به عبارت دیگر، برای به دست آوردن این مینور، ردیف های اول و دوم و همچنین ستون های اول، سوم و چهارم را از ماتریس A خط زدیم و از عنصر باقی مانده، تعیین کننده را ساختیم. اگر سطر اول و ستون سوم ماتریس A را انتخاب کنیم، یک مینور دریافت می کنیم .

اجازه دهید روش به دست آوردن خردسالان مرتبه اول را توضیح دهیم
و .

بنابراین، مینورهای مرتبه اول ماتریس، خود عناصر ماتریس هستند.

ما چندین خردسال درجه دوم را نشان می دهیم. دو سطر و دو ستون را انتخاب کنید. به عنوان مثال، سطر اول و دوم و ستون سوم و چهارم را در نظر بگیرید. با این انتخاب، ما یک مینور از مرتبه دوم داریم ... این مینور همچنین می تواند با حذف ردیف سوم، ستون اول و دوم از ماتریس A تشکیل شود.

یکی دیگر از مینورهای مرتبه دوم ماتریس A است.

اجازه دهید ساخت این خردسالان درجه دوم را به تصویر بکشیم
و .

مینورهای مرتبه سوم ماتریس A را می توان به طور مشابه یافت. از آنجایی که در ماتریس A فقط سه ردیف وجود دارد، همه آنها را انتخاب می کنیم. اگر سه ستون اول را برای این ردیف ها انتخاب کنیم، یک مینور مرتبه سوم دریافت می کنیم

همچنین می توان آن را با حذف آخرین ستون ماتریس A ساخت.

یکی دیگر از مینورهای مرتبه سوم است

با حذف ستون سوم ماتریس A به دست می آید.

در اینجا نقشه ای است که ساخت این خردسالان درجه سوم را نشان می دهد.
و .

برای یک ماتریس A معین، مینورهای مرتبه بالاتر از سوم وجود ندارند، زیرا.

چند مینور از مرتبه kth ماتریس A وجود دارد؟

تعداد مینورهای مرتبه k را می توان به صورت، Where محاسبه کرد و - تعداد ترکیبات از p تا k و از n تا k به ترتیب.

چگونه می توان تمام مینورهای مرتبه k ماتریس A از مرتبه p را با n ساخت؟

ما به تعداد ردیف های ماتریسی و تعداد ستون های زیادی نیاز داریم. ما همه چیز را یادداشت می کنیم ترکیب عناصر p توسط k(هنگام ساختن یک مینور از مرتبه k با ردیف های انتخابی ماتریس A مطابقت دارند). به هر ترکیبی از اعداد خط، تمام ترکیبات n عنصر را با k عدد ستون اضافه می کنیم. این مجموعه‌ای از ترکیب‌های اعداد ردیف و اعداد ستون ماتریس A به ترکیب همه فرعی‌های مرتبه k کمک می‌کند.

بیایید یک مثال بزنیم.

مثال.

همه مینورهای مرتبه دوم ماتریس را پیدا کنید.

راه حل.

از آنجایی که ترتیب ماتریس اصلی 3 در 3 است، مجموع مینورهای مرتبه دوم خواهد بود .

بیایید تمام ترکیب های 3 در 2 ردیف های ماتریس A را بنویسیم: 1، 2; 1، 3 و 2، 3. تمام ترکیب های 3 در 2 شماره ستون 1، 2 هستند. 1، 3 و 2، 3.

ردیف اول و دوم ماتریس A را در نظر بگیرید. با انتخاب این ردیف ها به ترتیب ستون های اول و دوم، ستون های اول و سوم، ستون های دوم و سوم به ترتیب مینورها را دریافت می کنیم.

برای ردیف های اول و سوم، با انتخاب مشابهی از ستون ها، داریم

باقی مانده است که ستون های اول و دوم، اول و سوم، دوم و سوم را به ردیف های دوم و سوم اضافه کنید:

بنابراین، تمام نه فرعی مرتبه دوم ماتریس A یافت می شوند.

اکنون می توانید به تعیین رتبه ماتریس بروید.

تعریف.

رتبه ماتریسیبالاترین مرتبه مینور غیر صفر در یک ماتریس است.

رتبه ماتریس A به عنوان رتبه (A) شناخته می شود. همچنین می توانید عناوین Rg (A) یا Rang (A) را پیدا کنید.

از تعاریف رتبه یک ماتریس و مینور ماتریس می توان نتیجه گرفت که رتبه یک ماتریس صفر صفر است و رتبه یک ماتریس غیر صفر حداقل یک است.

پیدا کردن رتبه یک ماتریس بر اساس تعریف.

بنابراین، اولین روش برای یافتن رتبه یک ماتریس است روش brute force... این روش بر اساس تعیین رتبه ماتریس است.

فرض کنید ما باید رتبه یک ماتریس A را پیدا کنیم.

به طور خلاصه توضیح می دهیم الگوریتمحل این مشکل با برشمردن خردسالان.

اگر حداقل یک عنصر از ماتریس متفاوت از صفر باشد، رتبه ماتریس حداقل برابر با یک است (زیرا یک مینور مرتبه اول وجود دارد که برابر با صفر نیست).

در مرحله بعد، روی مینورهای مرتبه دوم تکرار می کنیم. اگر همه مینورهای مرتبه دوم برابر با صفر باشند، رتبه ماتریس برابر با یک است. اگر حداقل یک مینور مرتبه دوم غیر صفر وجود داشته باشد، به شمارش مینورهای مرتبه سوم می رویم و رتبه ماتریس حداقل دو است.

به طور مشابه، اگر همه مینورهای مرتبه سوم صفر باشند، رتبه ماتریس دو است. اگر حداقل یک مینور مرتبه سوم غیر از صفر وجود داشته باشد، رتبه ماتریس حداقل سه است و ما از مینورهای مرتبه چهارم عبور می کنیم.

توجه داشته باشید که رتبه ماتریس نمی تواند از کوچکترین اعداد p و n تجاوز کند.

مثال.

رتبه ماتریس را پیدا کنید .

راه حل.

از آنجایی که ماتریس غیر صفر است، رتبه آن حداقل یک است.

جزئی از مرتبه دوم غیر صفر است، بنابراین، رتبه ماتریس A حداقل دو است. به سرشماری خردسالان مرتبه سوم می پردازیم. همه آنها چیزها

همه مینورهای مرتبه سوم صفر هستند. بنابراین، رتبه ماتریس دو است.

پاسخ:

رتبه (A) = 2.

یافتن رتبه یک ماتریس با روش مینورهای مرزی.

روش های دیگری برای یافتن رتبه یک ماتریس وجود دارد که به شما امکان می دهد با کار محاسباتی کمتری به نتیجه برسید.

یکی از این روش ها این است روش فرعی مرزی.

بیایید مقابله کنیم حاشیه ای جزئی.

گفته می شود که M ok فرعی از (k + 1) امین مرتبه ماتریس A با M جزئی مرتبه k ماتریس A هم مرز است، اگر ماتریس مربوط به M ok فرعی حاوی ماتریس مربوط به ماتریس A باشد. صغیر ام.

به عبارت دیگر، ماتریس مربوط به مینور M حاشیه دار از ماتریس مربوط به مینور حاشیه M ok با حذف عناصر یک سطر و یک ستون به دست می آید.

به عنوان مثال، ماتریس را در نظر بگیرید و یک مینور از مرتبه دوم بگیرید. بیایید همه خردسالان مرزی را بنویسیم:

روش مرزبندی جزئی ها با قضیه زیر اثبات می شود (ما فرمول آن را بدون اثبات ارائه می کنیم).

قضیه.

اگر همه مینورهای مرتبه k ماتریس A از مرتبه p با n هم مرز با صفر باشند، آنگاه همه مینورهای مرتبه (k + 1) ماتریس A برابر با صفر هستند.

بنابراین، برای یافتن رتبه یک ماتریس، نیازی به تکرار بر روی تمام موارد فرعی که به اندازه کافی حاشیه هستند، نیست. تعداد مینورهای هم مرز با درجه k-ام ماتریس مرتبه A با فرمول بدست می آید ... توجه داشته باشید که مینورهای مجاور مینور مرتبه k ماتریس A بیشتر از مینورهای مرتبه k (k + 1) -ام ماتریس A نیستند. بنابراین، در بیشتر موارد، استفاده از روش فرعی مرزی سود بیشتری نسبت به شمارش ساده همه خردسالان دارد.

اجازه دهید به یافتن رتبه ماتریس با روش مینورهای مرزی ادامه دهیم. به طور خلاصه توضیح می دهیم الگوریتماین روش.

اگر ماتریس A غیر صفر باشد، آنگاه هر عنصری از ماتریس A را غیر از صفر به عنوان مینور مرتبه اول می گیریم. خردسالان مرزی آن را در نظر بگیرید. اگر همه آنها برابر با صفر باشند، رتبه ماتریس برابر با یک است. اگر حداقل یک مینور مرزی غیر صفر وجود داشته باشد (ترتیب آن دو است)، سپس به بررسی مینورهای حاشیه آن می‌پردازیم. اگر همه آنها صفر باشند، رتبه (A) = 2 است. اگر حداقل یک مینور مرزی غیر صفر باشد (ترتیب آن سه است)، آنگاه مینورهای حاشیه آن را در نظر می گیریم. و غیره. در نتیجه، رتبه (A) = k، اگر همه مینورهای مرزی (k + 1) امین مرتبه ماتریس A برابر با صفر باشند، یا رتبه (A) = min (p, n) اگر غیر صفر وجود داشته باشد. مینور که با مینور از مرتبه هم مرز است (min ( p, n) - 1).

اجازه دهید روش مینورهای مرزی را برای یافتن رتبه یک ماتریس با استفاده از یک مثال تجزیه و تحلیل کنیم.

مثال.

رتبه ماتریس را پیدا کنید به روش مرزبندی خردسالان.

راه حل.

از آنجایی که عنصر a 1 1 ماتریس A غیر صفر است، آن را به عنوان یک مینور مرتبه اول در نظر می گیریم. بیایید شروع به جستجوی یک مینور حاشیه غیر صفر کنیم:

یک مینور حاشیه از مرتبه دوم، به غیر از صفر پیدا شد. بیایید خردسالان مرزی آن را مرتب کنیم (آنها چیزها):

تمام مینورهای حاشیه مینور مرتبه دوم برابر با صفر هستند، بنابراین، رتبه ماتریس A برابر با دو است.

پاسخ:

رتبه (A) = 2.

مثال.

رتبه ماتریس را پیدا کنید استفاده از خردسالان مرزی

راه حل.

به عنوان مینور غیر صفر مرتبه اول، عنصر a 1 1 = 1 از ماتریس A را می گیریم. فرعی فرعی مرتبه دوم صفر نیست این مینور با یک مینور درجه سوم مرزبندی شده است.
... از آنجایی که برابر با صفر نیست و یک مینور مرزی برای آن وجود ندارد، رتبه ماتریس A برابر با سه است.

پاسخ:

رتبه (A) = 3.

یافتن رتبه با استفاده از تبدیل های ماتریس ابتدایی (روش گاوس).

راه دیگری را برای یافتن رتبه یک ماتریس در نظر بگیرید.

تبدیل های ماتریسی زیر ابتدایی نامیده می شوند:

• جایگشت سطرها (یا ستون ها) ماتریس؛
• ضرب تمام عناصر هر ردیف (ستون) ماتریس با عدد دلخواه k غیر از صفر.
• با اضافه کردن عناصر هر ردیف (ستون) عناصر مربوط به سطر (ستون) دیگر ماتریس، ضرب در عدد دلخواه k.

ماتریس B را معادل ماتریس A می نامنداگر B با استفاده از تعداد متناهی تبدیل ابتدایی از A به دست آید. معادل ماتریس ها با نماد "~" نشان داده می شود، یعنی A ~ B نوشته می شود.

یافتن رتبه یک ماتریس با استفاده از تبدیل‌های ماتریس ابتدایی بر اساس این جمله است: اگر ماتریس B از ماتریس A با استفاده از تعداد محدودی از تبدیل‌های ابتدایی به دست آید، رتبه (A) = رتبه (B) است.

اعتبار این عبارت از ویژگی های تعیین کننده ماتریس به دست می آید:

• هنگامی که ردیف‌ها (یا ستون‌های) یک ماتریس دوباره مرتب می‌شوند، تعیین کننده آن علامت تغییر می‌کند. اگر برابر با صفر باشد، پس از جابجایی ردیف ها (ستون ها) برابر با صفر باقی می ماند.
• وقتی همه عناصر هر ردیف (ستون) ماتریس در یک عدد دلخواه k غیر از صفر ضرب شوند، تعیین کننده ماتریس حاصل برابر با تعیین کننده ماتریس اصلی ضرب در k است. اگر تعیین کننده ماتریس اصلی برابر با صفر باشد، پس از ضرب تمام عناصر هر سطر یا ستون در عدد k، تعیین کننده ماتریس حاصل نیز برابر با صفر خواهد بود.
• با افزودن عناصر یک ردیف (ستون) ماتریس، عناصر مربوط به سطر دیگر (ستون) ماتریس، ضرب در مقداری k، تعیین کننده آن را تغییر نمی دهد.

جوهر روش تحولات ابتداییعبارت است از کاهش ماتریس که باید رتبه آن را پیدا کنیم، به ذوزنقه ای (در یک مورد خاص، به مثلث بالایی) با استفاده از تبدیل های ابتدایی.

چرا این کار انجام می شود؟ یافتن رتبه ماتریس هایی از این دست بسیار آسان است. برابر است با تعداد خطوطی که حداقل یک عنصر غیر صفر را شامل می شود. و از آنجایی که رتبه ماتریس در طول تبدیل های اولیه تغییر نمی کند، مقدار حاصل رتبه ماتریس اصلی خواهد بود.

در اینجا چند تصویر از ماتریس ها وجود دارد که یکی از آنها باید پس از تبدیل به دست آید. شکل آنها به ترتیب ماتریس بستگی دارد.

این تصاویر الگوهایی هستند که ماتریس A را به آنها تبدیل می کنیم.

بیایید توصیف کنیم الگوریتم روش.

فرض کنید ما باید رتبه یک ماتریس غیر صفر مرتبه A را پیدا کنیم (p می تواند برابر با n باشد).

بنابراین، . بیایید تمام عناصر ردیف اول ماتریس A را در ضرب کنیم. در این حالت، ماتریس معادل به دست می آوریم، آن را با A (1) نشان می دهیم:

به عناصر ردیف دوم ماتریس حاصل A (1)، عناصر مربوط به ردیف اول را ضرب کنید. به عناصر ردیف سوم، عناصر مربوط به ردیف اول را ضرب کنید. و به همین ترتیب تا خط p-ام. ما یک ماتریس معادل به دست می آوریم، آن را با A (2) نشان می دهیم:

اگر تمام عناصر ماتریس حاصل که در ردیف های دوم تا p-ام قرار دارند برابر با صفر باشند، رتبه این ماتریس برابر با یک است و در نتیجه، رتبه ماتریس اصلی برابر است. برابر با یک

اگر حداقل یک عنصر غیر صفر در ردیف های دوم تا pth وجود داشته باشد، ما به انجام تبدیل ها ادامه می دهیم. علاوه بر این، ما کاملاً به همین ترتیب عمل می کنیم، اما فقط با بخشی از ماتریس A که در شکل (2) مشخص شده است.

اگر، سطرها و (یا) ستون‌های ماتریس A (2) را مجدداً مرتب می‌کنیم تا عنصر «جدید» غیر صفر شود.

عدد r را رتبه ماتریس A می گویند اگر:
1) ماتریس A حاوی یک مینور از مرتبه r متفاوت از صفر است.
2) تمام مینورهای مرتبه (r + 1) و بالاتر، در صورت وجود، برابر با صفر هستند.
در غیر این صورت، رتبه ماتریس بالاترین مرتبه جزئی غیر صفر است.
نام‌گذاری‌ها: rangA، r A، یا r.
از تعریف بر می آید که r یک عدد صحیح مثبت است. برای یک ماتریس تهی، رتبه صفر در نظر گرفته می شود.

هدف خدمات... ماشین حساب آنلاین برای پیدا کردن طراحی شده است رتبه ماتریس... در این حالت راه حل با فرمت ورد و اکسل ذخیره می شود. نمونه راه حل را ببینید

دستورالعمل. بعد ماتریس را انتخاب کنید، روی Next کلیک کنید.

بعد ماتریس را انتخاب کنید 3 4 5 6 7 × 3 4 5 6 7

تعریف . اجازه دهید ماتریسی از رتبه r داده شود. هر مینور ماتریس غیر از صفر و دارای مرتبه r پایه و سطرها و ستون های اجزای آن را سطرها و ستون های پایه می نامند.
با توجه به این تعریف، ماتریس A می تواند چندین مینور اصلی داشته باشد.

رتبه ماتریس هویت E n (تعداد ردیف ها) است.

مثال 1. دو ماتریس داده شده است، و خردسالان آنها , ... کدام یک را می توان به عنوان پایه در نظر گرفت؟
راه حل... مینور M 1 = 0، بنابراین نمی تواند برای هیچ یک از ماتریس ها پایه باشد. مینور M 2 = -9 ≠ 0 و دارای مرتبه 2 است، بنابراین می توان آن را به عنوان ماتریس های پایه A یا / و B در نظر گرفت، مشروط بر اینکه دارای رتبه هایی برابر با 2 باشند. از آنجایی که detB = 0 (به عنوان یک تعیین کننده با دو ستون متناسب)، پس rangB = 2 و M 2 را می توان به عنوان مینور پایه ماتریس B در نظر گرفت. رتبه ماتریس A 3 است، زیرا detA = -27 ≠ 0 و بنابراین، ترتیب مینور اصلی این ماتریس باید برابر با 3 باشد، یعنی M 2 برای ماتریس A پایه نیست. توجه داشته باشید که ماتریس A یک مینور اصلی دارد که برابر با تعیین کننده ماتریس A است.

قضیه (روی مینور پایه). هر سطر (ستون) ماتریس ترکیبی خطی از ردیف های پایه (ستون) آن است.
نتایج حاصل از قضیه.

1. هر ستون (r + 1) (ردیف) از یک ماتریس با رتبه r به صورت خطی وابسته هستند.
2. اگر رتبه یک ماتریس کمتر از تعداد ردیف‌های آن (ستون‌ها) باشد، ردیف‌ها (ستون‌های) آن به صورت خطی وابسته هستند. اگر RangA برابر با تعداد سطرها (ستون) آن باشد، سطرها (ستون ها) به صورت خطی مستقل هستند.
3. تعیین کننده ماتریس A برابر با صفر است اگر و فقط در صورتی که سطرها (ستون های) آن به صورت خطی وابسته باشند.
4. اگر به یک سطر (ستون) از ماتریس یک سطر (ستون) دیگر ضرب در هر عددی غیر از صفر اضافه کنیم، رتبه ماتریس تغییر نخواهد کرد.
5. اگر یک ردیف (ستون) در ماتریس خط خورده باشد که ترکیبی خطی از سایر ردیف ها (ستون ها) است، رتبه ماتریس تغییر نمی کند.
6. رتبه یک ماتریس برابر است با حداکثر تعداد سطرهای مستقل خطی آن (ستون).
7. حداکثر تعداد ردیف های مستقل خطی با حداکثر تعداد ستون های مستقل خطی برابر است.

مثال 2. رتبه یک ماتریس را پیدا کنید .
راه حل. بر اساس تعریف رتبه یک ماتریس، ما به دنبال یک مینور از بالاترین مرتبه، به غیر از صفر خواهیم بود. ابتدا ماتریس را به یک فرم ساده تر تبدیل می کنیم. برای این کار، ردیف اول ماتریس را در (-2) ضرب کرده و به ردیف دوم اضافه کنید، سپس آن را در (-1) ضرب کرده و به ردیف سوم اضافه کنید.

فرض کنید A یک ماتریس به اندازه m \ ضربدر n باشد و k یک عدد طبیعی باشد که از m و n تجاوز نکند: k \ leqslant \ min \ (m; n \). مینور از مرتبه kthماتریس A را تعیین کننده ماتریس مرتبه k می نامند که توسط عناصری در تقاطع k ردیف و k ستون ماتریس A به طور دلخواه انتخاب شده است. هنگام نشان دادن مینورها، اعداد سطرهای انتخاب شده با حروف فوق، و ستون های انتخابی - با موارد پایین نشان داده می شوند و آنها را به ترتیب صعودی قرار می دهند.

مثال 3.4.مینورهای مرتبه های مختلف یک ماتریس را بنویسید

A = \ شروع (pmatrix) 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 3 & 3 \ end (pmatrix) \ !.

راه حل.ماتریس A دارای ابعاد 3 \ بار 4 است. دارای: 12 خردسال درجه 1، به عنوان مثال، یک خردسال M _ (() _ 2) ^ (() _ 3) = \ det (a_ (32)) = 4; به عنوان مثال، 18 خردسال درجه 2، M _ (() _ (23)) ^ (() ^ (12)) = \ شروع (vmatrix) 2 & 1 \\ 2 & 2 \ end (vmatrix) = 2; 4 مرتبه سوم جزئی، به عنوان مثال،

M _ (() _ (134)) ^ (() ^ (123)) = \ شروع (vmatrix) 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 3 \ end (vmatrix) = 0.

در یک ماتریس A به اندازه m \ ضربدر n، مینور مرتبه r فراخوانی می شود پایه ایاگر غیر صفر باشد، و همه (r + 1) -ro مینورهای مرتبه صفر هستند یا اصلا وجود ندارند.

با رتبه ماتریسترتیب مینور پایه نامیده می شود. هیچ مینور اساسی در ماتریس صفر وجود ندارد. بنابراین، رتبه ماتریس صفر، طبق تعریف، صفر در نظر گرفته می شود. رتبه ماتریس A مشخص می شود \ نام اپراتور (rg) A.

مثال 3.5.همه مینورهای پایه و رتبه یک ماتریس را پیدا کنید

A = \ شروع (pmatrix) 1 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \ end (pmatrix) \ !.

راه حل.همه مینورهای مرتبه سوم این ماتریس برابر با صفر هستند، زیرا این تعیین کننده ها دارای یک ردیف سوم صفر هستند. بنابراین، فقط مینور مرتبه دوم که در دو ردیف اول ماتریس قرار دارد می تواند پایه باشد. با عبور از 6 مینور ممکن، غیر صفر را انتخاب می کنیم

M _ (() _ (12)) ^ (() ^ (12)) = M _ (() _ (13)) ^ (() ^ (12)) = \ شروع (vmatrix) 1 & 2 \\ 0 و 2 \ پایان ( vmatrix) \!، \ چهار M _ (() _ (24)) ^ (() ^ (12)) = M _ (() _ (34)) ^ (() ^ (12) )) = \ begin (vmatrix) 2 & 0 \\ 2 & 3 \ end (vmatrix) \!, \ Quad M _ (() _ (14)) ^ (() ^ (12)) = \ شروع (vmatrix) ) 1 & 0 \\ 0 & 3 \ end (vmatrix) \ !.

هر یک از این پنج خردسال پایه هستند. بنابراین، رتبه ماتریس 2 است.

اظهارات 3.2

1. اگر در ماتریس همه مینورهای مرتبه k برابر با صفر باشند، مینورهای مرتبه بالاتر نیز برابر با صفر هستند. در واقع، با گسترش (k + 1) -ro مینور در امتداد هر ردیف، مجموع حاصلضرب عناصر این ردیف را با مینورهای مرتبه k به دست می آوریم و آنها برابر با صفر هستند.

2. رتبه یک ماتریس برابر است با بالاترین مرتبه مینور غیر صفر این ماتریس.

3. اگر یک ماتریس مربع غیر منحط باشد، رتبه آن برابر با ترتیب آن است. اگر ماتریس مربع منحط باشد، رتبه آن کمتر از مرتبه آن است.

4. از عناوین نیز برای رتبه استفاده می شود \ نام اپراتور (Rg) A, ~ \ نام اپراتور (رنگ) A, ~ \ نام اپراتور (رتبه) A.

5. رتبه ماتریس بلوکبه عنوان رتبه یک ماتریس معمولی (عددی) تعریف می شود، یعنی. عدم توجه به ساختار بلوک آن. علاوه بر این، رتبه یک ماتریس بلوک کمتر از رتبه های بلوک های آن نیست: \ نام اپراتور (rg) (A \ mid B) \ geqslant \ نام اپراتور (rg) Aو \ نام اپراتور (rg) (A \ mid B) \ geqslant \ نام اپراتور (rg) Bاز آنجایی که تمام مینورهای ماتریس A (یا B) نیز جزئی های ماتریس بلوک (A \ mid B) هستند.

قضایای ماتریسی و جزئی پایه

قضایای اصلی را در نظر بگیرید که ویژگی‌های وابستگی خطی و استقلال خطی ستون‌ها (ردیف‌ها) یک ماتریس را بیان می‌کنند.

قضیه 3.1 در مینور پایه.در یک ماتریس دلخواه A، هر ستون (ردیف) ترکیبی خطی از ستون‌ها (ردیف‌ها) است که مینور پایه در آن قرار دارد.

در واقع، بدون از دست دادن کلیت، فرض می‌کنیم که در یک ماتریس A با اندازه m \ ضربدر n، مینور پایه در اولین ردیف‌های r و اولین ستون‌های r قرار دارد. تعیین کننده را در نظر بگیرید

D = \ start (vmatrix) ~ a_ (11) & \ cdots & a_ (1r) \! \! & \ Vline \! \! & A_ (1k) ~ \\ ~ \ vdots & \ ddots & \ vdots \! \! & \ vline \! \! & \ vdots ~ \\ ~ a_ (r1) & \ cdots & a_ (rr) \! \! & \ vline \! \! & a_ (rk) ~ \\\ hline ~ a_ (s1) & \ cdots & a_ (sr) \! \! & \ vline \! \! & a_ (sk) ~ \ end (vmatrix)،

که با اختصاص دادن عناصر مربوط به ردیف s و ستون k به مینور اصلی ماتریس A به دست می آید. توجه داشته باشید که برای هر 1 \ leqslant s \ leqslant mو این تعیین کننده صفر است. اگر s \ leqslant r یا k \ leqslant r، آنگاه تعیین کننده D شامل دو ردیف یکسان یا دو ستون یکسان است. اگر s> r و k> r، آنگاه تعیین کننده D برابر با صفر است، زیرا جزئی از مرتبه (r + l) -ro است. با گسترش تعیین کننده در امتداد آخرین خط، به دست می آوریم

a_ (s1) \ cdot D_ (r + 11) + \ ldots + a_ (sr) \ cdot D_ (r + 1r) + a_ (sk) \ cdot D_ (r + 1 \, r + 1) = 0,

که در آن D_ (r + 1 \, j) مکمل های جبری عناصر ردیف آخر هستند. توجه داشته باشید که D_ (r + 1 \, r + 1) \ ne0، زیرا این یک پایه جزئی است. از همین رو

a_ (sk) = \ lambda_1 \ cdot a_ (s1) + \ ldots + \ lambda_r \ cdot a_ (sr)، جایی که \ lambda_j = - \ frac (D_ (r + 1 \, j)) (D_ (r + 1 \, r + 1))، ~ j = 1,2, \ ldots, r.

با نوشتن آخرین برابری برای s = 1,2، \ ldots، m، به دست می‌آییم

\ شروع (pmatrix) a_ (1k) \\\ vdots \\ a_ (mk) \ پایان (pmatrix) = \ lambda_1 \ cdot \! \ begin (pmatrix) a_ (11) \\\ vdots \\ a_ (m1) \ end (pmatrix) + \ ldots \ lambda_r \ cdot \! \ شروع (pmatrix) a_ (1r) \\\ vdots \\ a_ (mr) \ پایان (pmatrix) \ !.

آن ها ستون k -ام (برای هر 1 \ leqslant k \ leqslant n) ترکیبی خطی از ستون های مینور اصلی است، در صورت لزوم.

قضیه جزئی پایه در خدمت اثبات قضایای مهم زیر است.

شرط تساوی به صفر تعیین کننده

قضیه 3.2 (شرط لازم و کافی برای ناپدید شدن تعیین کننده).برای اینکه تعیین کننده برابر با صفر باشد، لازم و کافی است که یکی از ستون های آن (یکی از ردیف های آن) ترکیبی خطی از بقیه ستون ها (ردیف ها) باشد.

در واقع، ضرورت از قضیه جزئی اساسی ناشی می شود. اگر تعیین کننده یک ماتریس مربع از مرتبه n برابر با صفر باشد، رتبه آن کمتر از n است، یعنی. حداقل یک ستون در مینور پایه گنجانده نشده است. سپس این ستون انتخاب شده، توسط قضیه 3.1، ترکیبی خطی از ستون هایی است که مینور اصلی در آنها قرار دارد. با افزودن ستون های دیگر با ضرایب صفر در صورت لزوم به این ترکیب، به این نتیجه می رسیم که ستون انتخابی ترکیبی خطی از ستون های باقیمانده ماتریس است. کفایت از خواص تعیین کننده حاصل می شود. اگر مثلاً آخرین ستون A_n تعیین کننده باشد \ det (A_1 ~ A_2 ~ \ cdots ~ A_n)به صورت خطی بر حسب بقیه بیان می شود

A_n = \ lambda_1 \ cdot A_1 + \ lambda_2 \ cdot A_2 + \ ldots + \ lambda_ (n-1) \ cdot A_ (n-1)،

سپس به A_n ستون A_1 ضرب در (- \ lambda_1)، سپس ستون A_2 ضرب در (- \ lambda_2) و غیره اضافه کنید. ستون A_ (n-1) ضرب در (- \ lambda_ (n-1))، ما تعیین می کنیم \ det (A_1 ~ \ cdots ~ A_ (n-1) ~ o)با یک ستون صفر که صفر است (خاصیت 2 تعیین کننده).

تغییر ناپذیری رتبه ماتریس تحت تبدیل های ابتدایی

قضیه 3.3 (در مورد عدم تغییر رتبه تحت تبدیل های ابتدایی). تبدیل های اولیه ستون ها (ردیف ها) ماتریس رتبه آن را تغییر نمی دهد.

در واقع، بگذارید باشد. فرض کنید در نتیجه یک تبدیل ابتدایی ستون های ماتریس A، ماتریس A را به دست می آوریم. اگر تبدیل نوع I (جایگشت دو ستون) انجام شود، هر مینور (r + l) -ro از ترتیب ماتریس A" یا برابر است با مینور متناظر (r + l ) -ro از ترتیب ماتریس A، یا از نظر علامت با آن متفاوت است (خاصیت 3 تعیین کننده). اگر تبدیل نوع II انجام شود (ضرب یک ستون در عدد \ lambda \ ne0)، آنگاه هر مینور (r + l) -ro از مرتبه ماتریس A " یا برابر با مینور مربوطه است (r + l) -ro از ترتیب ماتریس A، یا با فاکتور \ lambda \ ne0 با آن متفاوت است (خاصیت 6 تعیین کننده). سپس هر مینور از (r + 1) امین مرتبه ماتریس A "یا برابر است با مینور متناظر (r + 1) -امین مرتبه ماتریس A (خاصیت 9 تعیین کننده) یا برابر است با مجموع از دو مینور از (r + l) -ro از ماتریس A (خاصیت 8 تعیین کننده). بنابراین، تحت یک تبدیل اولیه از هر نوع، همه مینورهای مرتبه (r + l) -ro ماتریس A برابر با صفر هستند، زیرا همه مینورهای مرتبه (r + l) -ro ماتریس A برابر با صفر است از آنجایی که تبدیل های معکوس به ابتدایی ابتدایی هستند، رتبه یک ماتریس در زیر تبدیل های ابتدایی ستون ها نمی تواند و کاهش می یابد، یعنی تغییر نمی کند.

نتیجه 1. اگر یک سطر (ستون) ماتریس ترکیبی خطی از سطرهای دیگر آن (ستون) باشد، این سطر (ستون) را می توان بدون تغییر رتبه آن از ماتریس حذف کرد.

در واقع، چنین رشته‌ای را می‌توان با استفاده از تبدیل‌های ابتدایی صفر کرد و رشته صفر را نمی‌توان در مینور اصلی گنجاند.

نتیجه 2. اگر ماتریس به ساده ترین شکل (1.7) کاهش یابد، پس

\ نام اپراتور (rg) A = \ نام اپراتور (rg) \ Lambda = r \ ,.

در واقع، ماتریس ساده ترین شکل (1.7) دارای مینور پایه از مرتبه r ام است.

نتیجه 3. هر ماتریس مربع غیر انحطاط ابتدایی است، به عبارت دیگر، هر ماتریس مربع غیر انحطاط معادل ماتریس هویت همان ترتیب است.

در واقع، اگر A یک ماتریس مربع غیرمنحط از مرتبه n باشد، پس \ نام اپراتور (rg) A = n(به مورد 3 از اظهارات 3.2 مراجعه کنید). بنابراین، با کاهش ماتریس A به ساده ترین شکل (1.7) با تبدیل های ابتدایی، ماتریس واحد \ Lambda = E_n را به دست می آوریم، زیرا \ نام اپراتور (rg) A = \ نام اپراتور (rg) \ Lambda = n(به نتیجه 2 مراجعه کنید). در نتیجه، ماتریس A معادل ماتریس هویت E_n است و می توان از آن در نتیجه تعداد محدودی از تبدیل های ابتدایی به دست آورد. این بدان معناست که ماتریس A ابتدایی است.

قضیه 3.4 (در رتبه یک ماتریس). رتبه یک ماتریس برابر با حداکثر تعداد ردیف های مستقل خطی این ماتریس است.

در واقع، اجازه دهید \ نام اپراتور (rg) A = r... سپس ماتریس A دارای r ردیف های مستقل خطی است. اینها خطوطی هستند که پایه مینور در آنها قرار دارد. اگر آنها به صورت خطی وابسته بودند، آنگاه این جزئی با قضیه 3.2 برابر با صفر خواهد بود و رتبه ماتریس A برابر با r نخواهد بود. اجازه دهید نشان دهیم که r حداکثر تعداد ردیف های مستقل خطی است، یعنی: هر ردیف p به صورت خطی برای p> r وابسته است. در واقع، ما یک ماتریس B از این ردیف‌های p تشکیل می‌دهیم. از آنجایی که ماتریس B بخشی از ماتریس A است، پس \ نام اپراتور (rg) B \ leqslant \ نام اپراتور (rg) A = r

از این رو، حداقل یک ردیف از ماتریس B در مینور اصلی این ماتریس گنجانده نشده است. سپس با قضیه جزئی پایه برابر است با ترکیب خطی ردیف هایی که مینور پایه در آنها قرار دارد. بنابراین، ردیف های ماتریس B به صورت خطی وابسته هستند. بنابراین، ماتریس A حداکثر دارای r ردیف مستقل خطی است.

نتیجه 1. حداکثر تعداد ردیف‌های مستقل خطی در یک ماتریس برابر است با حداکثر تعداد ستون‌های مستقل خطی:

\ نام اپراتور (rg) A = \ نام اپراتور (rg) A ^ T.

اگر آن را روی ردیف‌های ماتریس جابجا شده اعمال کنیم و در نظر بگیریم که مینورها در حین جابجایی تغییر نمی‌کنند، از قضیه 3.4 پیروی می‌شود.

نتیجه 2. تحت تبدیل های ابتدایی ردیف های یک ماتریس، وابستگی خطی (یا استقلال خطی) هر سیستم از ستون های این ماتریس حفظ می شود.

در واقع، اجازه دهید هر k ستون از ماتریس A را انتخاب کنیم و ماتریس B را از آنها بسازیم. بگذارید در نتیجه تبدیل‌های ابتدایی ردیف‌های ماتریس A، ماتریس A به دست آمد و در نتیجه همان تبدیل‌های ردیف‌های ماتریس B، ماتریس B به دست آمد. توسط قضیه 3.3 \ نام اپراتور (rg) B "= \ نام اپراتور (rg) B... بنابراین، اگر ستون‌های ماتریس B مستقل خطی باشند، یعنی. k = \ نام اپراتور (rg) B(نگاه کنید به نتیجه 1)، سپس ستون های ماتریس B "به طور خطی مستقل هستند، زیرا k = \ نام اپراتور (rg) B"... اگر ستون های ماتریس B به صورت خطی وابسته بودند (k> \ نام اپراتور (rg) B)، سپس ستون های ماتریس B نیز به صورت خطی وابسته هستند (k> \ نام اپراتور (rg) B ")... در نتیجه، برای هر ستونی از ماتریس A، وابستگی خطی یا استقلال خطی تحت تبدیل‌های ابتدایی ردیف‌ها حفظ می‌شود.

اظهارات 3.3

1. بر اساس نتیجه 1 قضیه 3.4، ویژگی ستون های نشان داده شده در نتیجه 2 نیز برای هر سیستمی از ردیف های یک ماتریس معتبر است اگر تبدیل های اولیه فقط روی ستون های آن انجام شود.

2. نتیجه 3 قضیه 3.3 را می توان به شرح زیر اصلاح کرد: هر ماتریس مربع غیر منحط، با استفاده از تبدیل‌های ابتدایی فقط ردیف‌های آن (یا فقط ستون‌های آن)، می‌تواند به ماتریس هویتی با همان ترتیب کاهش یابد.

در واقع، تنها با استفاده از تبدیل‌های ردیف ابتدایی، هر ماتریس A را می‌توان به شکل ساده شده لامبدا (شکل 1.5) کاهش داد (به قضیه 1.1 مراجعه کنید). از آنجایی که ماتریس A غیر منحط است (\ det (A) \ ne0)، ستون های آن به صورت خطی مستقل هستند. از این رو، ستون‌های ماتریس \ Lambda نیز به صورت خطی مستقل هستند (نتیجه 2 قضیه 3.4). بنابراین، شکل ساده شده \ Lambda ماتریس غیر منحط A با ساده‌ترین شکل آن منطبق است (شکل 1.6) و ماتریس هویت \ Lambda = E است (به نتیجه 3 قضیه 3.3 مراجعه کنید). بنابراین، با تبدیل تنها ردیف‌های یک ماتریس غیر منحط، می‌توان آن را به یک ماتریس هویت تقلیل داد. استدلال مشابهی برای تبدیل‌های ابتدایی ستون‌های یک ماتریس غیرمنحط معتبر است.

رتبه محصول و مجموع ماتریس ها

قضیه 3.5 (در رتبه یک حاصل ضرب ماتریس). رتبه محصول ماتریس از رتبه عوامل تجاوز نمی کند:

\ نام اپراتور (rg) (A \ cdot B) \ leqslant \ min \ (\ نام اپراتور (rg) A, \ نام اپراتور (rg) B \).

در واقع، اجازه دهید ماتریس های A و B دارای ابعاد m \ ضربدر p و p \ بار n باشند. ماتریس را به ماتریس A نسبت می دهیم C = AB \ کولون \، (A \ وسط C)... ناگفته نماند که \ نام اپراتور (rg) C \ leqslant \ نام اپراتور (rg) (A \ mid C)، زیرا C بخشی از ماتریس است (A \ mid C) (به مورد 5 از تبصره 3.2 مراجعه کنید). توجه داشته باشید که هر ستون C_j با توجه به عملیات ضرب ماتریس، ترکیبی خطی از ستون ها است A_1، A_2، \ ldots، A_pماتریس ها A = (A_1 ~ \ cdots ~ A_p):

C_ (j) = A_1 \ cdot b_ (1j) + A_2 \ cdot b_ (2j) + \ ldots + A_ (p) \ cdot b_pj)، \ quad j = 1,2، \ ldots، n.

چنین ستونی را می توان بدون تغییر رتبه آن از ماتریس (A \ mid C) حذف کرد (نتیجه 1 قضیه 3.3). با خط زدن تمام ستون‌های ماتریس C، دریافت می‌کنیم: \ نام اپراتور (rg) (A \ mid C) = \ نام اپراتور (rg) A... از این رو، \ نام اپراتور (rg) C \ leqslant \ نام اپراتور (rg) (A \ mid C) = \ نام اپراتور (rg) A... به همین ترتیب، می توان ثابت کرد که شرط \ نام اپراتور (rg) C \ leqslant \ نام اپراتور (rg) B، و در مورد اعتبار قضیه نتیجه گیری کنید.

نتیجه. اگر پس A یک ماتریس مربع غیر منحط است \ نام اپراتور (rg) (AB) = \ نام اپراتور (rg) Bو \ نام اپراتور (rg) (CA) = \ نام اپراتور (rg) C، یعنی اگر ماتریس در سمت چپ یا راست با یک ماتریس مربع غیر منحط ضرب شود، رتبه ماتریس تغییر نمی کند.

قضیه 3.6 در مورد رتبه مجموع ماتریس ها. رتبه مجموع ماتریس ها از مجموع رتبه های عبارات تجاوز نمی کند:

\ نام اپراتور (rg) (A + B) \ leqslant \ نام اپراتور (rg) A + \ نام اپراتور (rg) B.

در واقع، ما ماتریس را می سازیم (A + B \ وسط A \ وسط B)... توجه داشته باشید که هر ستون از ماتریس A + B ترکیبی خطی از ستون های ماتریس های A و B است. از همین رو \ نام اپراتور (rg) (A + B \ mid A \ mid B) = \ نام اپراتور (rg) (A \ mid B)... با توجه به اینکه تعداد ستون های مستقل خطی در ماتریس (A \ mid B) از \ نام اپراتور (rg) A + \ نام اپراتور (rg) B، آ \ نام اپراتور (rg) (A + B) \ leqslant \ نام اپراتور (rg) (A + B \ mid A \ mid B)(به مورد 5 از تبصره 3.2 مراجعه کنید)، نابرابری لازم را بدست می آوریم.

>> رتبه ماتریسی

رتبه ماتریسی

تعیین رتبه یک ماتریس

یک ماتریس مستطیل شکل را در نظر بگیرید. اگر در این ماتریس خودسرانه انتخاب کنیم کخطوط و کستون‌ها، سپس عناصری که در محل تقاطع سطرها و ستون‌های انتخاب شده قرار دارند، یک ماتریس مربع مرتبه k را تشکیل می‌دهند. تعیین کننده این ماتریس نامیده می شود kth سفارش جزئیماتریس A. بدیهی است که ماتریس A دارای مقادیر فرعی از هر مرتبه از 1 تا کوچکترین اعداد m و n است. در میان تمام مینورهای غیر صفر ماتریس A، حداقل یک مینور وجود دارد که ترتیب آن بزرگترین خواهد بود. بزرگترین مرتبه غیر صفر مینورهای یک ماتریس داده شده نامیده می شود رتبهماتریس ها اگر رتبه ماتریس A باشد r، پس این بدان معنی است که ماتریس A یک مینور غیر صفر از مرتبه دارد r، اما هر جزئی از ترتیب بیشتر از r، برابر با صفر است. رتبه ماتریس A با r (A) نشان داده می شود. بدیهی است که رابطه

محاسبه رتبه یک ماتریس با استفاده از مینورها

رتبه ماتریس یا با روش مرزبندی جزئی یا با روش تبدیل های ابتدایی پیدا می شود. هنگام محاسبه رتبه یک ماتریس به روش اول، باید از مینورهای مرتبه‌های پایین‌تر به کوچک‌ترهای مرتبه بالاتر عبور کرد. اگر یک D جزئی از مرتبه k ام ماتریس A، که با صفر متفاوت است، قبلاً پیدا شده باشد، فقط مینورهای مرتبه (k + 1) -ام، هم مرز با D جزئی مورد نیاز هستند، یعنی. حاوی آن به عنوان یک کلید فرعی اگر همه آنها برابر با صفر باشند، رتبه ماتریس برابر است ک.

مثال 1.رتبه یک ماتریس را با حاشیه کردن مینورها پیدا کنید

.

راه حل.ما با مینورهای مرتبه اول شروع می کنیم، یعنی. با عناصر ماتریس A. بیایید، برای مثال، جزئی (عنصر) М 1 = 1 را انتخاب کنیم که در ردیف اول و ستون اول قرار دارد. در کادر بندی با ردیف دوم و ستون سوم، M 2 = غیر از صفر جزئی بدست می آوریم. اکنون به سراغ مینورهای مرتبه سوم در مرز M 2 می رویم. فقط دو مورد از آنها وجود دارد (شما می توانید یک ستون دوم یا یک چهارم اضافه کنید). ما آنها را محاسبه می کنیم: = 0. بنابراین، همه مینورهای مرزی مرتبه سوم برابر با صفر بودند. رتبه ماتریس A دو است.

محاسبه رتبه یک ماتریس با استفاده از تبدیل های ابتدایی

ابتداییتبدیل های ماتریسی زیر نامیده می شوند:

1) جایگشت هر دو سطر (یا ستون)،

2) ضرب یک ردیف (یا ستون) در یک عدد غیر صفر،

3) اضافه کردن به یک سطر (یا ستون) سطر (یا ستون) دیگر ضرب در تعدادی.

دو ماتریس نامیده می شوند معادلاگر یکی از آنها با استفاده از مجموعه ای محدود از تبدیل های ابتدایی از دیگری به دست آید.

ماتریس های معادل، به طور کلی، برابر نیستند، اما رتبه های آنها برابر است. اگر ماتریس های A و B معادل باشند، به صورت زیر نوشته می شود: A~ ب.

متعارفماتریس ماتریسی است که در ابتدای مورب اصلی چندین مورد در یک ردیف وجود دارد (تعداد آنها می تواند برابر با صفر باشد) و همه عناصر دیگر برابر با صفر هستند، به عنوان مثال،

.

با استفاده از تبدیل های ابتدایی ردیف ها و ستون ها، هر ماتریسی را می توان به ماتریس متعارف کاهش داد. رتبه یک ماتریس متعارف برابر است با تعداد یک ها در مورب اصلی آن.

مثال 2رتبه یک ماتریس را پیدا کنید

A =

و آن را به صورت متعارف برسانید.

راه حل.خط اول را از خط دوم کم کنید و این خطوط را دوباره مرتب کنید:

.

حالا خط اول را از خط دوم و سوم کم کنید و به ترتیب در 2 و 5 ضرب کنید:

;

خط اول را از خط سوم کم کنید. ماتریس را می گیریم

B = ,

که معادل ماتریس A است، زیرا با استفاده از مجموعه ای محدود از تبدیل های ابتدایی از آن به دست می آید. بدیهی است که رتبه ماتریس B برابر با 2 است و بنابراین r (A) = 2 است. ماتریس B را می توان به راحتی به ماتریس متعارف کاهش داد. با کم کردن ستون اول، ضرب در اعداد مناسب، از تمام ستون های بعدی، تمام عناصر ردیف اول به جز اولین را به صفر تبدیل می کنیم و عناصر سطرهای باقی مانده تغییر نمی کنند. سپس، با کم کردن ستون دوم، ضرب در اعداد مناسب، از تمام ستون های بعدی، اجازه دهید همه عناصر ردیف دوم به جز دوم را صفر کنیم و ماتریس متعارف را بدست آوریم:

.