مقدار تصادفی ویژگی های عددی متغیرهای تصادفی پیوسته. اجازه دهید یک متغیر تصادفی پیوسته X توسط تابع توزیع f(x) داده شود.

بر خلاف گسسته متغیر تصادفیمتغیرهای تصادفی پیوسته را نمی توان در قالب جدولی از قانون توزیع آن مشخص کرد، زیرا فهرست کردن و نوشتن در یک دنباله خاص تمام مقادیر آن غیرممکن است. یکی از راه های ممکنتنظیم یک متغیر تصادفی پیوسته برای استفاده از تابع توزیع است.

تعریف. تابع توزیع تابعی است که احتمال اینکه یک متغیر تصادفی مقداری را که روی محور واقعی توسط نقطه ای در سمت چپ نقطه x نشان داده می شود را تعیین می کند.

گاهی به جای عبارت «تابع توزیع» از عبارت «عملکرد انتگرال» استفاده می شود.

ویژگی های تابع توزیع:

1. مقدار تابع توزیع متعلق به بخش: 0F(x)1 است
2. F(x) یک تابع غیر نزولی است، یعنی. F(x2)F(x1) اگر x 2 >x 1

نتیجه 1. احتمال اینکه یک متغیر تصادفی مقدار موجود در بازه (a,b) را بگیرد برابر است با افزایش تابع توزیع در این بازه:

P(aX

مثال 9. یک متغیر تصادفی X توسط یک تابع توزیع داده می شود:

این احتمال را پیدا کنید که در نتیجه آزمایش، X مقداری متعلق به بازه (0؛ 2) بگیرد: P(0

راه حل: از آنجایی که در بازه (0;2) توسط شرط، F(x)=x/4+1/4، سپس F(2)-F(0)=(2/4+1/4)-(0 /4+1/4)=1/2. بنابراین P(0

نتیجه 2. احتمال اینکه یک متغیر تصادفی پیوسته X یک مقدار معین بگیرد برابر با صفر است.

نتیجه 3. اگر مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی متعلق به بازه (a;b) باشد، آنگاه: 1) F(x)=0 برای xa; 2) F(x)=1 برای xb.
روابط حد زیر معتبر است:

نمودار تابع توزیع در نواری قرار دارد که با خطوط مستقیم y=0، y=1 محدود شده است (اولین ویژگی). با افزایش x در بازه (a;b)، که شامل تمام مقادیر ممکن متغیر تصادفی است، نمودار "بالا می رود". برای xa، مختصات نمودار برابر با صفر است. در xb، مختصات نمودار برابر با یک است:

تصویر 1

مثال 10. یک متغیر تصادفی گسسته X توسط جدول توزیع داده می شود:

ایکس	1	4	8
پ	0.3	0.1	0.6

تابع توزیع را پیدا کنید و نمودار آن را بسازید.
راه حل: تابع توزیع را می توان به صورت تحلیلی به صورت زیر نوشت:

شکل 2

تعریف: چگالی توزیع احتمال یک متغیر تصادفی پیوسته X تابع f (x) است - اولین مشتق تابع توزیع F (x): f (x) \u003d F "(x)

از این تعریف برمی‌آید که تابع توزیع ضد مشتق چگالی توزیع است.

قضیه. احتمال اینکه یک متغیر تصادفی پیوسته X مقداری متعلق به بازه (a; b) بگیرد برابر با انتگرال معینی از چگالی توزیع است که در محدوده a تا b گرفته شده است:

(8)

خواص چگالی احتمال:

1. چگالی احتمال یک تابع غیر منفی است: f(x)0.
2. انتگرال معین از -∞ تا +∞ چگالی توزیع احتمال یک متغیر تصادفی پیوسته برابر است با 1: f(x)dx=1.
3. انتگرال معین از -∞ تا x چگالی توزیع احتمال یک متغیر تصادفی پیوسته برابر است با تابع توزیع این متغیر: f(x)dx=F(x)

مثال 11. با توجه به چگالی توزیع احتمال یک متغیر تصادفی X

این احتمال را پیدا کنید که در نتیجه آزمایش، X مقداری متعلق به بازه (0.5؛ 1) بگیرد.

راه حل: احتمال مطلوب:

اجازه دهید تعریف ویژگی های عددی کمیت های گسسته را به کمیت های پیوسته گسترش دهیم. اجازه دهید یک متغیر تصادفی پیوسته X با چگالی توزیع f(x) داده شود.

تعریف. انتظار ریاضی یک متغیر تصادفی پیوسته X، که مقادیر ممکن آن متعلق به بخش است، انتگرال معین نامیده می شود:

M(x)=xf(x)dx (9)

اگر مقادیر ممکن به کل محور x تعلق دارند، پس:

M(x)=xf(x)dx (10)

حالت M 0 (X) یک متغیر تصادفی پیوسته X مقدار ممکن آن است که با حداکثر محلی چگالی توزیع مطابقت دارد.

میانه M e (X) یک متغیر تصادفی پیوسته X مقدار ممکن آن است که با برابری تعیین می شود:

P(X e (X))=P(X>M e (X))

تعریف. پراکندگی یک متغیر تصادفی پیوسته، انتظار ریاضی مربع انحراف آن است. اگر مقادیر ممکن X متعلق به بخش باشد، آنگاه:

D(x)=2 f(x)dx (11)
یا
D(x)=x 2 f(x)dx- 2 (11*)

اگر مقادیر ممکن به کل محور x تعلق دارند، پس.

همانطور که مشخص است، متغیر تصادفی به متغیری گفته می شود که بسته به مورد می تواند مقادیر خاصی را به خود بگیرد. متغیرهای تصادفی با حروف بزرگ الفبای لاتین (X، Y، Z) و مقادیر آنها با حروف کوچک مربوطه (x، y، z) مشخص می شوند. متغیرهای تصادفی به دو دسته ناپیوسته (گسسته) و پیوسته تقسیم می شوند.

متغیر تصادفی گسسته متغیر تصادفی نامیده می شود که فقط یک مجموعه مقادیر متناهی یا نامتناهی (قابل شمارش) با احتمالات غیر صفر معینی را می گیرد.

قانون توزیع یک متغیر تصادفی گسسته تابعی است که مقادیر یک متغیر تصادفی را با احتمالات مربوط به آنها مرتبط می کند. قانون توزیع را می توان به یکی از روش های زیر مشخص کرد.

1 . قانون توزیع را می توان با جدول ارائه کرد:

که در آن λ> 0، k = 0، 1، 2، …

که در)از طريق تابع توزیع F(x) ، که برای هر مقدار x این احتمال را تعیین می کند که متغیر تصادفی X مقداری کمتر از x بگیرد، یعنی. F(x) = P(X< x).

ویژگی های تابع F(x)

3 . قانون توزیع را می توان به صورت گرافیکی تنظیم کرد - چند ضلعی توزیع (چند ضلعی) (مسئله 3 را ببینید).

توجه داشته باشید که برای رفع برخی مشکلات نیازی به دانستن قانون توزیع نیست. در برخی موارد، دانستن یک یا چند عدد که مهمترین ویژگی های قانون توزیع را منعکس می کند، کافی است. این می تواند عددی باشد که معنای "مقدار متوسط" یک متغیر تصادفی را داشته باشد یا عددی باشد که اندازه متوسط ​​انحراف یک متغیر تصادفی از مقدار متوسط ​​آن را نشان می دهد. اعدادی از این نوع را مشخصه های عددی یک متغیر تصادفی می نامند.

ویژگی های عددی پایه یک متغیر تصادفی گسسته :

• انتظارات ریاضی (مقدار متوسط) یک متغیر تصادفی گسسته M(X)=Σ x i p i.
  برای توزیع دو جمله ای M(X)=np، برای توزیع پواسون M(X)=λ
• پراکندگی متغیر تصادفی گسسته D(X)=M2یا D(X) = M(X 2) - 2. تفاوت X–M(X) را انحراف یک متغیر تصادفی از انتظارات ریاضی آن می گویند.
  برای توزیع دو جمله ای D(X)=npq، برای توزیع پواسون D(X)=λ
• انحراف معیار (انحراف معیار) σ(X)=√D(X).

نمونه هایی از حل مسائل با موضوع "قانون توزیع یک متغیر تصادفی گسسته"

وظیفه 1.

1000 بلیط بخت آزمایی صادر شده است: 5 تای آنها 500 روبل، 10 نفر 100 روبل، 20 نفر 50 روبل و 50 نفر 10 روبل برنده خواهند شد. قانون توزیع احتمال متغیر تصادفی X - برد در هر بلیط را تعیین کنید.

راه حل. با توجه به شرایط مسئله، مقادیر زیر برای متغیر تصادفی X امکان پذیر است: 0، 10، 50، 100 و 500.

تعداد بلیت های بدون برنده شدن 1000 - (5+10+20+50) = 915، سپس P(X=0) = 915/1000 = 0.915 است.

به طور مشابه، ما همه احتمالات دیگر را پیدا می کنیم: P(X=0) = 50/1000=0.05، P(X=50) = 20/1000=0.02، P(X=100) = 10/1000=0.01، P(X = 500) = 5/1000 = 0.005. قانون به دست آمده را در قالب یک جدول ارائه می کنیم:

انتظار ریاضی X را بیابید: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1 + 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3.5

وظیفه 3.

این دستگاه از سه عنصر مستقل تشکیل شده است. احتمال شکست هر عنصر در یک آزمایش 0.1 است. یک قانون توزیع برای تعداد عناصر شکست خورده در یک آزمایش ترسیم کنید، یک چند ضلعی توزیع بسازید. تابع توزیع F(x) را پیدا کنید و آن را رسم کنید. انتظارات ریاضی، واریانس و انحراف معیار یک متغیر تصادفی گسسته را بیابید.

راه حل. 1. متغیر تصادفی گسسته X=(تعداد عناصر شکست خورده در یک آزمایش) مقادیر ممکن زیر را دارد: x 1 = 0 (هیچ یک از عناصر دستگاه شکست خورد)، x 2 = 1 (یک عنصر شکست خورد)، x 3 =2 ( دو عنصر ناموفق ) و x 4 \u003d 3 (سه عنصر ناموفق بود).

خرابی عناصر مستقل از یکدیگر است، احتمال خرابی هر عنصر با یکدیگر برابر است، بنابراین قابل اجرا است. فرمول برنولی . با توجه به اینکه، با شرط، n=3، p=0.1، q=1-p=0.9، احتمالات مقادیر را تعیین می کنیم:
P 3 (0) \u003d C 3 0 p 0 q 3-0 \u003d q 3 \u003d 0.9 3 \u003d 0.729;
P 3 (1) \u003d C 3 1 p 1 q 3-1 \u003d 3 * 0.1 * 0.9 2 \u003d 0.243;
P 3 (2) \u003d C 3 2 p 2 q 3-2 \u003d 3 * 0.1 2 * 0.9 \u003d 0.027;
P 3 (3) \u003d C 3 3 p 3 q 3-3 \u003d p 3 \u003d 0.1 3 \u003d 0.001;
بررسی کنید: ∑p i = 0.729+0.243+0.027+0.001=1.

بنابراین، قانون توزیع دو جمله ای مورد نظر X به شکل زیر است:

در محور آبسیسا، مقادیر ممکن x i و روی محور ارتین، احتمالات مربوطه р i را رسم می کنیم. بیایید نقاط M 1 (0؛ 0.729)، M 2 (1؛ 0.243)، M 3 (2؛ 0.027)، M 4 (3؛ 0.001) را بسازیم. با اتصال این نقاط با پاره خط، چند ضلعی توزیع مورد نظر را بدست می آوریم.

3. تابع توزیع F(x) = P(X را پیدا کنید

برای x ≤ 0 داریم F(x) = P(X<0) = 0;
برای 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
برای 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
برای 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
برای x > 3 F(x) = 1 خواهد بود، زیرا واقعه قطعی است

نمودار تابع F(x)

4. برای توزیع دوجمله ای X:
- انتظارات ریاضی М(X) = np = 3*0.1 = 0.3;
- پراکندگی D(X) = npq = 3*0.1*0.9 = 0.27;
- میانگین انحراف معیارσ(X) = √D(X) = √0.27 ≈ 0.52.

در تئوری احتمال، باید با متغیرهای تصادفی سر و کار داشت که همه مقادیر آنها قابل تفکیک نیست. به عنوان مثال، غیرممکن است که تمام مقادیر متغیر تصادفی $X$ - زمان سرویس ساعت را در نظر بگیرید و "مرتب سازی" کنید، زیرا زمان را می توان در ساعت، دقیقه، ثانیه، میلی ثانیه و غیره اندازه گیری کرد. شما فقط می توانید یک بازه مشخص را مشخص کنید که در آن مقادیر یک متغیر تصادفی قرار دارد.

متغیر تصادفی پیوستهیک متغیر تصادفی است که مقادیر آن یک بازه مشخص را به طور کامل پر می کند.

تابع توزیع یک متغیر تصادفی پیوسته

از آنجایی که مرتب کردن تمام مقادیر یک متغیر تصادفی پیوسته امکان پذیر نیست، می توان آن را با استفاده از تابع توزیع مشخص کرد.

تابع توزیعمتغیر تصادفی $X$ تابع $F\left(x\right)$ است که این احتمال را تعیین می‌کند که متغیر تصادفی $X$ مقداری کمتر از مقدار ثابت $x$، یعنی $F\left(x\) را تعیین می‌کند. راست)$ )=P\چپ(X< x\right)$.

ویژگی های تابع توزیع:

1 . $0\le F\چپ(x\راست)\le 1$.

2 . احتمال اینکه متغیر تصادفی $X$ مقادیری را از بازه $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ بگیرد برابر است با تفاوت بین مقادیر تابع توزیع در انتهای این بازه : $P\left(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$.

3 . $F\left(x\right)$ - بدون کاهش.

4 . $(\mathop(lim)_(x\to -\infty) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty) F\left(x \right)=1\ )$.

مثال 1
0،\ x\le 0\\
x،\0< x\le 1\\
1،\x>1
\end(ماتریس)\right.$. احتمال اینکه یک متغیر تصادفی $X$ در بازه $\left(0.3;0.7\right)$ بیفتد را می توان به عنوان تفاوت بین مقادیر تابع توزیع $F\left(x\right)$ در انتهای این بازه، یعنی:

$$P\ چپ (0,3< X < 0,7\right)=F\left(0,7\right)-F\left(0,3\right)=0,7-0,3=0,4.$$

چگالی احتمالی

تابع $f\left(x\right)=(F)"(x)$ چگالی توزیع احتمال نامیده می شود، یعنی اولین مشتق از تابع توزیع $F\left(x\right) است. خود دلار

ویژگی های تابع $f\left(x\right)$.

1 . $f\left(x\right)\ge 0$.

2 . $\int^x_(-\infty )(f\left(t\right)dt)=F\left(x\right)$.

3 . احتمال اینکه یک متغیر تصادفی $X$ مقادیری را از بازه $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ بگیرد $P\left(\alpha است.< X < \beta \right)=\int^{\beta }_{\alpha }{f\left(x\right)dx}$. Геометрически это означает, что вероятность попадания случайной величины $X$ в интервал $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ равна площади криволинейной трапеции, которая будет ограничена графиком функции $f\left(x\right)$, прямыми $x=\alpha ,\ x=\beta $ и осью $Ox$.

4 . $\int^(+\infty )_(-\infty )(f\left(x\right))=1$.

مثال 2 . یک متغیر تصادفی پیوسته $X$ توسط تابع توزیع زیر $F(x)=\left\(\begin(ماتریس) داده می شود.
0،\ x\le 0\\
x،\0< x\le 1\\
1،\x>1
\end(ماتریس)\right.$. سپس تابع چگالی $f\left(x\right)=(F)"(x)=\left\(\begin(ماتریس)
0،\ x\le 0 \\
1,\ 0 < x\le 1\\
0،\x>1
\end(ماتریس)\right.$

انتظارات ریاضی از یک متغیر تصادفی پیوسته

ارزش مورد انتظارمتغیر تصادفی پیوسته $X$ با فرمول محاسبه می شود

$$M\left(X\right)=\int^(+\infty )_(-\infty)(xf\left(x\right)dx).$$

مثال 3 . $M\left(X\right)$ را برای متغیر تصادفی $X$ از مثال $2$ پیدا کنید.

$$M\left(X\right)=\int^(+\infty )_(-\infty )(xf\left(x\right)\ dx)=\int^1_0(x\ dx)=(( x^2)\over (2))\bigg|_0^1=((1)\over (2)).$$

پراکندگی یک متغیر تصادفی پیوسته

واریانس یک متغیر تصادفی پیوسته $X$ با فرمول محاسبه می شود

$$D\left(X\right)=\int^(+\infty )_(-\infty )(x^2f\left(x\right)\ dx)-(\چپ)^2.$$

مثال 4 . بیایید $D\left(X\right)$ را برای متغیر تصادفی $X$ از مثال $2$ پیدا کنیم.

$$D\left(X\right)=\int^(+\infty )_(-\infty )(x^2f\left(x\right)\ dx)-(\left)^2=\int^ 1_0(x^2\ dx)-(\left(((1)\over (2))\right))^2=((x^3)\over (3))\bigg|_0^1-( (1)\over (4))=((1)\over (3))-((1)\over (4))=((1)\over(12)).$$

به تابع توزیع یک متغیر تصادفی گسسته را پیدا کنیدباید از این ماشین حساب استفاده کنید تمرین 1. چگالی توزیع یک متغیر تصادفی پیوسته X به شکل زیر است:
برای پیدا کردن:
الف) پارامتر A؛
ب) تابع توزیع F(x) ;
ج) احتمال برخورد با متغیر تصادفی X در بازه ;
د) انتظارات ریاضی MX و واریانس DX.
توابع f(x) و F(x) را رسم کنید.

وظیفه 2. واریانس متغیر تصادفی X که توسط تابع انتگرال داده می شود را بیابید.

وظیفه 3. انتظارات ریاضی یک متغیر تصادفی X را با توجه به تابع توزیع پیدا کنید.

وظیفه 4. چگالی احتمال برخی از متغیرهای تصادفی به صورت زیر ارائه می شود: f(x) = A/x 4 (x = 1; +∞)
ضریب A، تابع توزیع F(x)، انتظارات ریاضی و واریانس، و همچنین احتمال اینکه یک متغیر تصادفی مقداری در بازه می گیرد را بیابید. نمودارهای f(x) و F(x) را رسم کنید.

یک وظیفه. تابع توزیع برخی از متغیرهای تصادفی پیوسته به صورت زیر ارائه می شود:

پارامترهای a و b را تعیین کنید، عبارت چگالی احتمال f(x)، انتظارات ریاضی و واریانس و همچنین احتمال اینکه متغیر تصادفی مقداری در بازه دریافت کند را بیابید. نمودارهای f(x) و F(x) را رسم کنید.

بیایید تابع چگالی توزیع را به عنوان مشتق تابع توزیع پیدا کنیم.

با دانستن اینکه

پارامتر a را پیدا کنید:


یا 3a=1، از این رو a = 1/3
پارامتر b را از ویژگی های زیر پیدا می کنیم:
F(4) = a*4 + b = 1
1/3*4 + b = 1 از این رو b = -1/3
بنابراین، تابع توزیع: F(x) = (x-1)/3 است

ارزش مورد انتظار.


پراکندگی.

1 / 9 4 3 - (1 / 9 1 3) - (5 / 2) 2 = 3 / 4
احتمال اینکه یک متغیر تصادفی مقداری در بازه دریافت کند را بیابید
P(2< x< 3) = F(3) – F(2) = (1/3*3 - 1/3) - (1/3*2 - 1/3) = 1/3

مثال شماره 1. چگالی توزیع احتمال f(x) یک متغیر تصادفی پیوسته X داده شده است. ضروری:

1. ضریب A را تعیین کنید.
2. تابع توزیع F(x) را پیدا کنید.
3. F(x) و f(x) را به صورت شماتیک رسم کنید.
4. انتظارات ریاضی و واریانس X را پیدا کنید.
5. احتمال اینکه X مقداری از بازه (2;3) بگیرد را بیابید.

f(x) = A*sqrt(x)، 1 ≤ x ≤ 4.
راه حل:

متغیر تصادفی X با چگالی توزیع f(x) به دست می آید:

پارامتر A را از شرط پیدا کنید:



یا
14/3*A-1=0
جایی که،
A = 3/14

تابع توزیع را می توان با فرمول پیدا کرد.

چگالی توزیع احتمال یک متغیر تصادفی پیوسته (تابع توزیع دیفرانسیل) اولین مشتق تابع توزیع انتگرال است: f(x)=F'(X). از این تعریف و ویژگی های تابع توزیع نتیجه می شود که

انتظار ریاضی از یک متغیر تصادفی پیوسته X عدد است

واریانس یک متغیر تصادفی پیوسته X با برابری تعریف می شود

مثال 79.چگالی توزیع زمان تیمونتاژ REA در خط تولید

ضریب را پیدا کنید آ، تابع توزیع زمان مونتاژ REA و احتمال اینکه زمان مونتاژ در بازه (0.1A) باشد.

راه حل.بر اساس ویژگی تابع توزیع یک متغیر تصادفی

ادغام توسط قطعات دو بار، ما دریافت می کنیم

تابع توزیع است

احتمال اینکه زمان مونتاژ REA از (0؛ 1/λ) فراتر نرود:

مثال 80. چگالی احتمال انحراف مقاومت خروجی واحد تجهیزات الکترونیکی از مقدار اسمی آر 0 در زمینه تلورانس 2δ توسط قانون توضیح داده شده است

انتظارات ریاضی و واریانس انحراف مقاومت از مقدار اسمی را بیابید.

راه حل.

از آنجایی که انتگرال فرد است و حدود انتگرال نسبت به مبدا متقارن است، انتگرال برابر با 0 است.

در نتیجه، م{آر} = 0.

با انجام یک تعویض r = آ گناه ایکس, ما گرفتیم

مثال 81.چگالی توزیع یک متغیر تصادفی پیوسته X داده شده است:

یافتن: 1. F(x); 2.M (X); 3. D(X).

راه حل. 1. برای یافتن F(x)، از فرمول استفاده می کنیم

اگر
، سپس

ولی

اگر
، سپس

اگر
، سپس f(x)=0 و

3.

با ادغام توسط قطعات دو بار، به دست می آوریم:

، سپس

82. f(x)، M(X)، D(X) را در مسائل 74، 75 بیابید.

83. چگالی توزیع یک متغیر تصادفی پیوسته X داده شده است:

تابع توزیع F(x) را پیدا کنید.

84. چگالی توزیع یک متغیر تصادفی پیوسته X بر روی کل محور Ox با برابری داده می شود.
. پارامتر ثابت C را پیدا کنید.

85. یک متغیر تصادفی X در بازه (3-3، 3) با چگالی توزیع داده می شود.
; خارج از این فاصله

الف) واریانس X را بیابید.

ب) که احتمال بیشتری دارد: نتیجه آزمایش X خواهد بود<1 или X>1?

86. واریانس یک متغیر تصادفی X که توسط تابع توزیع داده شده است را بیابید

87. یک متغیر تصادفی توسط یک تابع توزیع داده می شود

میانگین، واریانس و انحراف معیار X را بیابید.

§8. توزیع های یکنواخت و نمایی

توزیع متغیر تصادفی پیوسته X در صورتی یکنواخت نامیده می شود که در بازه (a,b) که تمام مقادیر ممکن X به آن تعلق دارند، چگالی ثابت بماند و خارج از این بازه برابر با صفر باشد، یعنی.

توزیع نمایی (نمایی) توزیع احتمال یک متغیر تصادفی پیوسته X است که با چگالی توصیف می شود.

که در آن λ یک مقدار مثبت ثابت است. تابع توزیع قانون نمایی

انتظارات ریاضی و واریانس به ترتیب برابر هستند

;
;

مثال 88.مقدار تقسیم مقیاس آمپرمتر 0.10A است. قرائت آمپرمتر به نزدیکترین تقسیم کل گرد می شود. احتمال خطای بیش از 0.02A در هنگام خواندن را پیدا کنید.

راه حل.خطای گرد کردن را می توان به عنوان یک متغیر تصادفی X در نظر گرفت که به طور مساوی در فاصله (0؛ 0.1) بین دو تقسیم عدد صحیح توزیع می شود. در نتیجه،

سپس
.

مثال 89.مدت زمان فعال بودن عنصر دارای توزیع نمایی است. این احتمال را پیدا کنید که در طول زمان t=100 ساعت: الف) عنصر از کار بیفتد. ب) عنصر خراب نخواهد شد.

راه حل.الف) طبق تعریف
بنابراین احتمال خرابی عنصر را در زمان t تعیین می کند، بنابراین

ب) رویداد "عنصر خراب نخواهد شد" برعکس مورد در نظر گرفته شده است، بنابراین احتمال آن است

90. واحد الکترونیکی در خط تولید مونتاژ می شود، سیکل مونتاژ 2 دقیقه می باشد. بلوک تمام شده برای کنترل و تنظیم در یک نقطه زمانی دلخواه در چرخه از نوار نقاله خارج می شود. میانگین و انحراف معیار زمان صرف شده را بیابید بلوک تمام شدهروی نوار نقاله زمان صرف شده توسط یک بلوک بر روی نوار نقاله از قانون توزیع یکنواخت متغیرهای تصادفی تبعیت می کند.

91. احتمال شکست REA برای مدت معینی با فرمول بیان می شود . میانگین زمان کارکرد REA قبل از خرابی را تعیین کنید.

92. یک ماهواره ارتباطی در حال توسعه باید میانگین زمان بین خرابی 5 سال داشته باشد. با در نظر گرفتن زمان واقعی بین خرابی ها به عنوان یک مقدار تصادفی توزیع شده نمایی، این احتمال را تعیین کنید که

الف) ماهواره کمتر از 5 سال کار خواهد کرد،

ب) ماهواره حداقل به مدت 10 سال کار خواهد کرد،

ج) ماهواره در سال ششم از کار می افتد.

93. مستأجری چهار لامپ رشته ای با عمر متوسط ​​1000 ساعت خرید و یکی از آنها را در یک چراغ رومیزی نصب کرد و بقیه را در صورت سوختن لامپ در رزرو نگه داشت. تعريف كردن:

الف) عمر کل مورد انتظار چهار لامپ،

ب) احتمال دوام چهار لامپ در مجموع 5000 ساعت یا بیشتر،

ج) احتمال اینکه طول عمر کل لامپ ها از 2000 ساعت تجاوز نکند.

94. تقسیم قیمت ترازو دستگاه اندازه گیریبرابر 0.2 است. قرائت های ابزار به نزدیکترین تقسیم کل گرد می شوند. احتمال خطا در هنگام خواندن را بیابید: الف) کمتر از 0.04. ب) بزرگ 0.05.

95. اتوبوس های یک مسیر مشخص کاملا طبق برنامه حرکت می کنند. فاصله حرکتی 5 دقیقه این احتمال را پیدا کنید که مسافری که به ایستگاه می رسد کمتر از 3 دقیقه منتظر اتوبوس بعدی باشد.

96. انتظار ریاضی یک متغیر تصادفی X را که به طور یکنواخت در بازه (2، 8) توزیع شده است، بیابید.

97. واریانس و انحراف معیار یک متغیر تصادفی X را که به طور یکنواخت در بازه (2، 8) توزیع شده است، بیابید.

98. دو عنصر مستقل را آزمایش کنید. مدت زمان آپتایم عنصر اول دارای توزیع نمایی است
، دومین
. این احتمال را پیدا کنید که در مدت زمان t = 6 ساعت: الف) هر دو عنصر از کار بیفتند. ب) هر دو عنصر شکست نخواهند خورد. ج) تنها یک عنصر از کار خواهد افتاد. د) حداقل یک عنصر از کار خواهد افتاد.