Elementariųjų Gauso transformacijų metodas. Tiesinių lygčių sistemų sprendimas Gauso metodu

Vienas iš paprasčiausių būdų išspręsti sistemą tiesines lygtis yra metodas, pagrįstas determinantų skaičiavimu ( Cramerio taisyklė). Jo privalumas tas, kad leidžia iš karto įrašyti sprendimą, ypač patogu tais atvejais, kai sistemos koeficientai yra ne skaičiai, o kažkokie parametrai. Jo trūkumas yra skaičiavimų sudėtingumas byloje didelis skaičius lygtys, be to, Cramerio taisyklė nėra tiesiogiai taikoma sistemoms, kuriose lygčių skaičius nesutampa su nežinomųjų skaičiumi. Tokiais atvejais jis dažniausiai naudojamas Gauso metodas.

Vadinamos tiesinių lygčių sistemos, turinčios tą patį sprendinių rinkinį lygiavertis. Akivaizdu, kad tiesinės sistemos sprendinių aibė nepasikeis, jei kurios nors lygtys bus sukeistos, arba vieną iš lygčių padauginus iš kokio nors ne nulio skaičiaus, arba pridėjus vieną lygtį prie kitos.

Gauso metodas (nuoseklaus nežinomųjų pašalinimo metodas) yra tai padedant elementarios transformacijos sistema sumažinama iki lygiavertės pakopinės sistemos. Pirma, naudojant 1 lygtį, x 1 visų paskesnių sistemos lygčių. Tada, naudodami 2-ąją lygtį, pašaliname x 2 iš 3 ir visos vėlesnės lygtys. Šis procesas, vadinamas tiesioginis Gauso metodas, tęsiasi tol, kol kairėje paskutinės lygties pusėje lieka tik vienas nežinomasis x n. Po to jis gaminamas Gauso reversas– išspręsdami paskutinę lygtį, randame x n; po to, naudodami šią reikšmę, iš priešpaskutinės lygties apskaičiuojame x n-1 ir kt. Paskutinį kartą randame x 1 iš pirmosios lygties.

Gauso transformacijas patogu atlikti atliekant transformacijas ne pačiomis lygtimis, o jų koeficientų matricomis. Apsvarstykite matricą:

paskambino pratęstas sistemos matrica, nes be pagrindinės sistemos matricos joje yra laisvųjų narių stulpelis. Gauso metodas pagrįstas pagrindinės sistemos matricos sumažinimu iki trikampis(arba trapecijos forma nekvadratinių sistemų atveju) sistemos išplėstinės matricos elementariųjų eilučių transformacijų (!) pagalba.

5.1 pavyzdys. Išspręskite sistemą Gauso metodu:

Sprendimas. Išrašykime papildytą sistemos matricą ir, naudodami pirmą eilutę, likusius elementus nustatysime į nulį:

pirmojo stulpelio 2, 3 ir 4 eilutėse gauname nulius:

Dabar mums reikia, kad visi antrojo stulpelio, esančio po 2-ąja eilute, elementai būtų lygūs nuliui. Norėdami tai padaryti, antrą eilutę galite padauginti iš -4/7 ir pridėti prie 3 eilutės. Tačiau, kad nesusidurtume su trupmenomis, antrojo stulpelio 2-oje eilutėje sukursime vienetą ir tik

Dabar, norėdami gauti trikampę matricą, turite nuluoti 3 stulpelio ketvirtos eilutės elementą, tam galite padauginti trečią eilutę iš 8/54 ir pridėti ją prie ketvirtosios. Tačiau, kad nesusidurtume su trupmenomis, sukeisime 3 ir 4 eilutes bei 3 ir 4 stulpelius ir tik po to iš naujo nustatysime nurodytą elementą. Atkreipkite dėmesį, kad pertvarkant stulpelius atitinkami kintamieji sukeičiami ir tai reikia atsiminti; kitų elementariųjų transformacijų su stulpeliais (sudėti ir dauginti iš skaičiaus) atlikti negalima!

Paskutinė supaprastinta matrica atitinka lygčių sistemą, lygiavertę pradinei:

Iš čia, naudojant atvirkštinę Gauso metodo eigą, randame iš ketvirtosios lygties x 3 = -1; nuo trečio x 4 = -2, nuo antrojo x 2 = 2 ir iš pirmosios lygties x 1 = 1. Matricos formoje atsakymas rašomas kaip

Svarstėme atvejį, kai sistema yra apibrėžta, t.y. kai yra tik vienas sprendimas. Pažiūrėkime, kas atsitiks, jei sistema yra nenuosekli arba neapibrėžta.

5.2 pavyzdys. Ištirkite sistemą naudodami Gauso metodą:

Sprendimas. Išrašome ir transformuojame padidintą sistemos matricą

Rašome supaprastintą lygčių sistemą:

Čia paskutinėje lygtyje paaiškėjo, kad 0=4, t.y. prieštaravimas. Todėl sistema neturi sprendimo, t.y. ji yra nesuderinamas. à

5.3 pavyzdys. Ištirkite ir išspręskite sistemą naudodami Gauso metodą:

Sprendimas. Išrašome ir transformuojame išplėstinę sistemos matricą:

Dėl transformacijų paskutinėje eilutėje buvo gauti tik nuliai. Tai reiškia, kad lygčių skaičius sumažėjo vienu:

Taigi po supaprastinimų lieka dvi lygtys, o keturi nežinomieji, t.y. du nežinomi „papildomai“. Tegul „perteklinis“ arba, kaip sakoma, nemokami kintamieji, valia x 3 ir x 4 . Tada

Darant prielaidą x 3 = 2a ir x 4 = b, mes gauname x 2 = 1–a ir x 1 = 2b–a; arba matricos pavidalu

Įrašyta Panašiu būdu sprendimas vadinamas bendras, kadangi, pateikiant parametrus a ir b skirtingos reikšmės, galima apibūdinti visus galimus sistemos sprendimus. a

Gauso metodo apibrėžimas ir aprašymas

Gauso transformacijos metodas (taip pat žinomas kaip nuoseklaus nežinomų kintamųjų pašalinimo iš lygties ar matricos metodas) tiesinių lygčių sistemoms spręsti yra klasikinis sistemos sprendimo metodas. algebrines lygtis(SLAU). Taip pat šis klasikinis metodas naudojamas sprendžiant tokias problemas kaip gavimas atvirkštinės matricos ir matricos rango nustatymas.

Transformacija naudojant Gauso metodą susideda iš nedidelių (elementarių) nuoseklių pakeitimų tiesinių algebrinių lygčių sistemoje, dėl kurių iš jos pašalinami kintamieji iš viršaus į apačią ir sudaroma nauja trikampė lygčių sistema, kuri yra lygiavertė originalus.

1 apibrėžimas

Ši sprendimo dalis vadinama Gauso sprendimo judėjimu į priekį, nes visas procesas vyksta iš viršaus į apačią.

Suvedus pirminę lygčių sistemą į trikampę, visi sistemos kintamieji randami iš apačios į viršų (tai yra, pirmieji rasti kintamieji yra tiksliai paskutinėse sistemos ar matricos eilutėse). Ši sprendimo dalis taip pat žinoma kaip atvirkštinis Gauso sprendimas. Jo algoritmas susideda iš to: pirmiausia apskaičiuojami kintamieji, kurie yra arčiausiai lygčių sistemos ar matricos apačios, tada gautos reikšmės pakeičiamos aukščiau ir taip randamas kitas kintamasis ir pan.

Gauso metodo algoritmo aprašymas

Veiksmų seka, skirta bendram lygčių sistemos sprendimui Gauso metodu, yra pakaitomis taikant pirmyn ir atgal judesius matricai pagal SLAE. Tegul pradinė lygčių sistema turi tokią formą:

$\begin(cases) a_(11) \cdot x_1 +...+ a_(1n) \cdot x_n = b_1 \\ ... \\ a_(m1) \cdot x_1 + a_(mn) \cdot x_n = b_m \end(cases)$

Norint išspręsti SLAE Gauso metodu, reikia užrašyti pradinę lygčių sistemą matricos pavidalu:

$A = \begin(pmatrix) a_(11) & … & a_(1n) \\ \vdots & … & \vdots \\ a_(m1) & … & a_(mn) \end(pmatrix)$, $b =\begin(pmatrix) b_1 \\ \vdots \\ b_m \end(pmatrix)$

Matrica $A$ vadinama pagrindine matrica ir vaizduoja eilės tvarka užrašytų kintamųjų koeficientus, o $b$ vadinama jos laisvųjų terminų stulpeliu. Matrica $A$, parašyta per eilutę su laisvųjų terminų stulpeliu, vadinama išplėstine matrica:

$A = \begin(masyvas)(ccc|c) a_(11) & … & a_(1n) & b_1 \\ \vdots & … & \vdots & ...\\ a_(m1) & … & a_( mn) & b_m \end(masyvas)$

Dabar, naudojant elementarias transformacijas per lygčių sistemą (arba per matricą, kaip patogiau), būtina ją paversti tokia forma:

$\begin(cases) α_(1j_(1)) \cdot x_(j_(1)) + α_(1j_(2)) \cdot x_(j_(2))...+ α_(1j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(1j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_1 \\ α_(2j_(2)) \cdot x_(j_(2)). ..+ α_(2j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(2j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_2 \\ ...\\ α_( rj_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(rj_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_r \\ 0 = β_(r+1) \\ … \ \ 0 = β_m \pabaiga(atvejai)$ (1)

Matrica, gauta iš (1) transformuotos lygčių sistemos koeficientų, vadinama žingsnine matrica, taip paprastai atrodo žingsnių matricos:

$A = \begin(masyvas)(ccc|c) a_(11) & a_(12) & a_(13) & b_1 \\ 0 & a_(22) & a_(23) & b_2\\ 0 & 0 & a_(33) ir b_3 \end(masyvas)$

Šioms matricoms būdingas toks savybių rinkinys:

Visos jos nulinės eilutės eina po nulinių vienetų
Jei kuri nors matricos eilutė su indeksu $k$ yra ne nulis, tai tos pačios matricos ankstesnėje eilutėje yra mažiau nulių nei šioje eilutėje su indeksu $k$.

Gavus žingsninę matricą, gautus kintamuosius reikia pakeisti į likusias lygtis (pradedant nuo pabaigos) ir gauti likusias kintamųjų reikšmes.

Pagrindinės taisyklės ir leidžiamos transformacijos naudojant Gauso metodą

Šiuo metodu supaprastinant matricą ar lygčių sistemą, turi būti naudojamos tik elementarios transformacijos.

Tokios transformacijos yra operacijos, kurias galima pritaikyti matricai arba lygčių sistemai nekeičiant jos reikšmės:

kelių eilučių permutacija vietose,
pridedant arba atimant iš vienos matricos eilutės kitą eilutę,
eilutę padauginti arba padalyti iš konstantos, kuri nėra lygi nuliui,
eilutė, kurią sudaro tik nuliai, gauta apskaičiuojant ir supaprastinant sistemą, turi būti išbraukta,
Taip pat reikia pašalinti nereikalingas proporcingas eilutes, sistemai pasirenkant vienintelę, kurios koeficientai yra tinkamesni ir patogesni tolesniems skaičiavimams.

Visos elementarios transformacijos yra grįžtamos.

Trijų pagrindinių atvejų, atsirandančių sprendžiant tiesines lygtis paprastų Gauso transformacijų metodu, analizė

Yra trys atvejai, atsirandantys naudojant Gauso metodą sistemoms išspręsti:

Kai sistema yra nenuosekli, tai yra, ji neturi jokių sprendimų
Lygčių sistema turi sprendimą ir vienintelį, o matricos eilučių ir stulpelių skaičius yra lygus vienas kitam.
Sistema turi numerį arba rinkinį galimi sprendimai, o eilučių skaičius jame yra mažesnis nei stulpelių skaičius.

Sprendimo rezultatas su nenuoseklia sistema

Dėl šio varianto, sprendžiant matricos lygtis Gauso metodui būdinga tam tikra tiesė, kai neįmanoma įvykdyti lygybės. Todėl, jei įvyksta bent viena neteisinga lygybė, gautos ir pradinės sistemos neturi sprendinių, nepaisant kitų jose esančių lygčių. Nenuoseklios matricos pavyzdys:

$\begin(masyvas)(ccc|c) 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(masyvas)$

Paskutinėje eilutėje pasirodė nepatenkinama lygybė: $0 \cdot x_(31) + 0 \cdot x_(32) + 0 \cdot x_(33) = 1$.

Lygčių sistema, turinti tik vieną sprendinį

Sistemos duomenys po redukavimo į pakopinę matricą ir ištrynus eilutes su nuliais turi tiek pat eilučių ir stulpelių pagrindinėje matricoje. čia paprasčiausias pavyzdys tokia sistema:

$\begin(cases) x_1 - x_2 = -5 \\ 2 \cdot x_1 + x_2 = -7 \end(cases)$

Parašykime tai matricos forma:

$\begin(masyvas)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 2 & 1 & -7 \end(masyvas)$

Norėdami, kad antrosios eilutės pirmasis langelis būtų nulis, viršutinę eilutę padauginame iš $-2 $ ir atimame ją iš apatinės matricos eilutės, o viršutinę eilutę paliekame pradine forma, todėl gauname: :

$\begin(masyvas)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 0 & 3 & 10 \end(masyvas)$

Šis pavyzdys gali būti parašytas kaip sistema:

$\begin(cases) x_1 - x_2 = -5 \\ 3 \cdot x_2 = 10 \end(cases)$

Ši $x$ reikšmė išeina iš apatinės lygties: $x_2 = 3 \frac(1)(3)$. Pakeitę šią reikšmę į viršutinę lygtį: $x_1 – 3 \frac(1)(3)$, gauname $x_1 = 1 \frac(2)(3)$.

Sistema su daugybe galimų sprendimų

Šiai sistemai būdingas mažesnis reikšmingų eilučių skaičius nei joje esančių stulpelių skaičius (atsižvelgiama į pagrindinės matricos eilutes).

Kintamieji tokioje sistemoje skirstomi į du tipus: pagrindinius ir nemokamus. Transformuojant tokią sistemą, pagrindiniai joje esantys kintamieji turi būti palikti kairėje prieš „=“ ženklą, o likę kintamieji perkelti į dešinę lygybės pusę.

Tokia sistema turi tik tam tikrą bendrą sprendimą.

Pažiūrėkime kita sistema lygtys:

$\begin(atvejai) 2y_1 + 3y_2 + x_4 = 1 \\ 5y_3 - 4y_4 = 1 \end(atvejai)$

Parašykime tai matricos forma:

$\begin(masyvas)(cccc|c) 2 & 3 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 4 & 1 \\ \end(masyvas)$

Mūsų užduotis – rasti bendrą sistemos sprendimą. Šios matricos pagrindiniai kintamieji bus $y_1$ ir $y_3$ ($y_1$ – kadangi jis yra pirmoje vietoje, o $y_3$ atveju – po nulių).

Kaip pagrindinius kintamuosius pirmiausia pasirenkame tuos, kurie nėra lygūs nuliui.

Likę kintamieji vadinami laisvaisiais, per juos reikia išreikšti pagrindinius.

Naudodami vadinamąjį atvirkštinį judėjimą, išardome sistemą iš apačios į viršų, tam pirmiausia išreiškiame $y_3$ iš apatinės sistemos eilutės:

5 m._3 – 4 m._4 = 1 USD

5 m._3 USD = 4 m._4 + 1 USD

$y_3 = \frac(4/5)y_4 + \frac(1)(5)$.

Dabar išreikštą $y_3$ pakeičiame viršutine sistemos $2y_1 + 3y_2 + y_4 = 1$ lygtimi: $2y_1 + 3y_2 - (\frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5)) + y_4 = 1 USD

$y_1$ išreiškiame nemokamais kintamaisiais $y_2$ ir $y_4$:

2m_1 + 3m_2 – \frac(4)(5)y_4 – \frac(1)(5) + y_4 = 1$

$2y_1 = 1 - 3y_2 + \frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5) - y_4$

$2y_1 = -3y_2 - \frac(1)(5)y_4 + \frac(6)(5)$

$y_1 = -1,5x_2 – 0,1y_4 + 0,6 $

Sprendimas paruoštas.

1 pavyzdys

Išspręskite slogą Gauso metodu. Pavyzdžiai. Tiesinių lygčių sistemos, pateiktos matrica 3:3, sprendimo Gauso metodu pavyzdys

$\begin(atvejai) 4x_1 + 2x_2 - x_3 = 1 \\ 5x_1 + 3x_2 - 2x^3 = 2\\ 3x_1 + 2x_2 - 3x_3 = 0 \pabaiga(atvejai)$

Mes rašome savo sistemą papildytos matricos forma:

$\begin(masyvas)(ccc|c) 4 & 2 & -1 & 1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(masyvas)$

Dabar patogumo ir praktiškumo dėlei turime pakeisti matricą taip, kad $1$ būtų viršutiniame paskutinio stulpelio kampe.

Norėdami tai padaryti, turime pridėti eilutę iš vidurio, padauginto iš $-1 $, prie 1-osios eilutės ir parašyti pačią vidurinę eilutę tokią, kokia ji yra, pasirodo:

$\begin(masyvas)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(masyvas)$

$\begin(masyvas)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 0 & -3\\ \end(masyvas) $

Padauginkite viršutinę ir paskutinę eilutes iš $-1 $ ir pakeiskite paskutinę ir vidurinę eilutes:

$\begin(masyvas)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & 3 & -3\\ \end(masyvas)$

$\begin(masyvas)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3\\ \end(masyvas)$

Paskutinę eilutę padalinkite iš 3 USD:

$\begin(masyvas)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1\\ \end(masyvas)$

Gauname tokią lygčių sistemą, lygiavertę pradinei:

$\begin(atvejai) x_1 + x_2 – x_3 = 1\\ x_2 = 3 \\ x_3 = 1 \end(atvejai)$

Iš viršutinės lygties išreiškiame $x_1$:

x1 $ = 1 + x_3 - x_2 = 1 + 1 - 3 = -1 $.

2 pavyzdys

Sistemos, apibrėžtos naudojant 4 x 4 matricą, naudojant Gauso metodą, sprendimo pavyzdys

$\begin(masyvas)(cccc|c) 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 ir 37 \\ \end(masyvas)$.

Pradžioje sukeičiame viršutines eilutes, esančias po jo, kad gautume 1 USD viršutiniame kairiajame kampe:

$\begin(masyvas)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 ir 37 \\ \end(masyvas)$.

Dabar padauginkime viršutinę eilutę iš $-2 $ ir pridėkime prie 2 ir 3. Prie 4-osios pridedame 1-ąją eilutę, padaugintą iš $-3 $:

$\begin(masyvas)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 4 & 5 & 5 & 18\\ 0 & - 1 ir 3 & -1 ir 4 \\ \end(masyvas)$

Dabar prie 3 eilutės pridedame 2 eilutę, padaugintą iš $4 $, o prie 4 eilutės pridedame 2 eilutę, padaugintą iš $-1 $.

$\begin(masyvas)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10\\ 0 & 0 & 3 & 0 & 6 \\ \end(masyvas)$

2 eilutę padauginkite iš $-1 $, 4 eilutę padalinkite iš $3 $ ir pakeiskite 3 eilutę.

$\begin(masyvas)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 5 & 1 ir 10 \\ \end(masyvas)$

Dabar prie paskutinės eilutės pridedame priešpaskutinę eilutę, padaugintą iš -5 USD.

$\begin(masyvas)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 1 ir 0 \\ \end(masyvas)$

Išsprendžiame gautą lygčių sistemą:

$\begin(atvejai) m = 0 \\ g = 2\\ y + m = 2\ \ x + 3y + 2g + m = 11\pabaiga (atvejai)$

Carlas Friedrichas Gaussas, didžiausias matematikas ilgas laikas dvejojo tarp filosofijos ir matematikos. Galbūt kaip tik tokia mąstysena leido jam taip pastebimai „pasitraukti“ iš pasaulio mokslo. Visų pirma, sukūrus „Gausso metodą“ ...

Jau beveik 4 metus šios svetainės straipsniai buvo susiję su mokykliniu ugdymu, daugiausia filosofijos požiūriu, į vaikų mintis įvestais (ne)supratimo principais. Ateina laikas daugiau specifikos, pavyzdžių ir metodų... Tikiu, kad tai yra požiūris į pažįstamą, painų ir svarbu gyvenimo srityse duoda geriausių rezultatų.

Mes, žmonės, esame taip sutvarkyti, kad nesvarbu, kiek apie tai kalbėtum abstraktus mąstymas, bet supratimas visada vyksta per pavyzdžius. Jei nėra pavyzdžių, tai neįmanoma pagauti principų... Kaip neįmanoma būti kalno viršūnėje kitaip, nei perėjus visą jo šlaitą nuo papėdės.

Tas pats su mokykla: kol kas gyvos istorijos nepakanka, kad mes instinktyviai ir toliau laikome tai vieta, kur vaikai mokomi suprasti.

Pavyzdžiui, mokyti Gauso metodo...

Gauso metodas mokyklos 5 klasėje

Iš karto padarysiu išlygą: Gauso metodas turi daug platesnį pritaikymą, pavyzdžiui, sprendžiant tiesinių lygčių sistemos. Tai, apie ką kalbėsime, vyksta 5 klasėje. Tai yra pradėti, supratus kurį, daug lengviau suprasti „išplėstines parinktis“. Šiame straipsnyje mes kalbame apie Gauso metodas (metodas) ieškant serijos sumos

Štai pavyzdys, kurį atsinešiau iš mokyklos jaunesnis sūnus lanko Maskvos gimnazijos 5 klasę.

Gauso metodo demonstravimas mokykloje

Matematikos mokytojas naudoja interaktyvią lentą ( šiuolaikiniai metodai mokymai) vaikams parodė mažojo Gauso „metodo sukūrimo“ istorijos pristatymą.

Mokyklos mokytoja plakė mažąjį Carlą (pasenęs metodas, dabar mokyklose nenaudojamas) už tai, kad

užuot nuosekliai sudėję skaičius nuo 1 iki 100, kad surastumėte jų sumą pastebėjo kad skaičių poros, vienodai nutolusios nuo aritmetinės progresijos kraštų, sumuojasi į tą patį skaičių. pavyzdžiui, 100 ir 1, 99 ir 2. Suskaičiavęs tokių porų skaičių mažasis Gaussas beveik akimirksniu išsprendė mokytojo pasiūlytą uždavinį. Už tai jam buvo įvykdyta mirties bausmė nustebusios visuomenės akivaizdoje. Likusiesiems galvoti buvo nepagarbu.

Ką padarė mažasis Gaussas išvystyta skaičių pojūtis? Pastebėjo tam tikra funkcija skaičių eilutė su pastoviu žingsniu (aritmetinė progresija). Ir būtent tai vėliau padarė jį puikiu mokslininku, galintis pastebėti, turintis jausmas, supratimo instinktas.

Tai yra matematikos vertybė, kuri vystosi gebėjimas matyti apskritai, ypač - abstraktus mąstymas. Todėl dauguma tėvų ir darbdavių instinktyviai laiko matematiką svarbia disciplina ...

„Matematikos reikėtų mokyti vėliau, kad sutvarkytų mintis.
M.V. Lomonosovas“.

Tačiau pasekėjai tų, kurie plakė būsimus genijus, Metodą pavertė priešingu. Kaip prieš 35 metus sakė mano vadovas: „Jie išmoko šį klausimą“. Arba, kaip vakar pasakė mano jauniausias sūnus apie Gauso metodą: „Gal neverta iš to daryti didelio mokslo, ar ne?

„Mokslininkų“ kūrybiškumo pasekmės matomos dabartinės mokyklinės matematikos lygyje, jos mokymo ir daugumos „Mokslų karalienės“ supratimo lygyje.

Tačiau tęskime...

Gauso metodo aiškinimo metodai mokyklos 5 klasėje

Maskvos gimnazijos matematikos mokytojas, Vilenkino būdu aiškindamas Gauso metodą, užduotį apsunkino.

Ką daryti, jei aritmetinės progresijos skirtumas (žingsnis) yra ne vienas, o kitas skaičius? Pavyzdžiui, 20.

Užduotis, kurią jis davė penktokams:

20+40+60+80+ ... +460+480+500

Prieš susipažindami su gimnazijos metodu, pažvelkime į internetą: kaip tai daro mokyklos mokytojai - matematikos mokytojai? ..

Gauso metodas: 1 paaiškinimas

Gerai žinomas dėstytojas savo YOUTUBE kanale pateikia tokius argumentus:

Parašykime skaičius nuo 1 iki 100 taip:

pirmiausia skaičių serija nuo 1 iki 50, o griežtai po ja kita skaičių serija nuo 50 iki 100, bet atvirkštine tvarka.

1, 2, 3, ... 48, 49, 50

100, 99, 98 ... 53, 52, 51

"Atkreipkite dėmesį: kiekvienos skaičių poros iš viršutinės ir apatinės eilučių suma yra tokia pati ir lygi 101! Suskaičiuokime porų skaičių, tai yra 50 ir padauginkite vienos poros sumą iš porų skaičiaus! Voila: The atsakymas paruoštas!"

„Jei nesugebėjai suprasti, nenusimink!“ – aiškindamasis tris kartus pakartojo mokytojas. „Šį metodą įveiksite 9 klasėje!

Gauso metodas: 2 paaiškinimas

Kitas dėstytojas, mažiau žinomas (sprendžiant pagal peržiūrų skaičių) naudoja daugiau mokslinis požiūris, siūlantis 5 taškų sprendimo algoritmą, kuris turi būti atliekamas nuosekliai.

Nežinantiems: 5 yra vienas iš Fibonačio skaičių, kuris tradiciškai laikomas stebuklingu. Pavyzdžiui, 5 žingsnių metodas visada yra moksliškesnis nei 6 žingsnių metodas. ... Ir vargu ar tai atsitiktinumas, greičiausiai Autorius yra paslėptas Fibonačio teorijos šalininkas

Dana aritmetinė progresija: 4, 10, 16 ... 244, 250, 256 .

Eilučių skaičių sumos nustatymo algoritmas Gauso metodu:

1 veiksmas: perrašykite pateiktą skaičių seką atvirkščiai, tiksliai pagal pirmąją.

4, 10, 16 ... 244, 250, 256

256, 250, 244 ... 16, 10, 4

2 veiksmas: apskaičiuokite skaičių porų, išdėstytų vertikaliomis eilėmis, sumas: 260.

3 veiksmas: suskaičiuokite, kiek tokių porų yra skaičių serijoje. Norėdami tai padaryti, atimkite minimumą iš didžiausio skaičių serijų skaičiaus ir padalykite iš žingsnio dydžio: (256 - 4) / 6 = 42.

Tuo pačiu metu reikia atsiminti apie plius viena taisyklė : prie gauto koeficiento reikia pridėti vieną: kitaip gausime rezultatą, kuris yra vienu mažesnis už tikrąjį porų skaičių: 42 + 1 = 43.

4 veiksmas: vienos skaičių poros sumą padauginkite iš porų skaičiaus: 260 x 43 = 11 180

5 veiksmas: kadangi apskaičiavome sumą skaičių poros, tada gautą sumą reikia padalyti iš dviejų: 11 180 / 2 = 5590.

Tai yra norima aritmetinės progresijos suma nuo 4 iki 256 su skirtumu 6!

Gauso metodas: paaiškinimas Maskvos gimnazijos 5 klasėje

Štai kaip reikėjo išspręsti eilės sumos radimo problemą:

20+40+60+ ... +460+480+500

Maskvos gimnazijos 5 klasėje Vilenkino vadovėlis (pagal sūnų).

Parodęs pristatymą, matematikos mokytojas parodė porą Gauso pavyzdžių ir davė klasei užduotį surasti skaičių sumą iš eilės su žingsniu 20.

Tam reikėjo šių dalykų:

1 žingsnis: būtinai užsirašykite visus eilėje esančius skaičius į sąsiuvinį nuo 20 iki 500 (didinant po 20).

2 žingsnis: parašykite iš eilės einančius terminus - skaičių poras: pirmasis su paskutiniu, antrasis su priešpaskutiniu ir t.t. ir apskaičiuokite jų sumas.

3 veiksmas: apskaičiuokite „sumų sumą“ ir suraskite visos serijos sumą.

Kaip matote, jis yra kompaktiškesnis ir efektyvi technika: skaičius 3 taip pat yra Fibonačio sekos narys

Mano komentarai apie mokyklinę Gauso metodo versiją

Didysis matematikas tikrai būtų pasirinkęs filosofiją, jei būtų numatęs, kuo jo „metodą“ pavers jo pasekėjai. vokiečių kalbos mokytoja kurie nuplakė Karlą lazdomis. Jis būtų matęs simboliką, dialektinę spiralę ir neblėstantį „mokytojų“ kvailumą. bando išmatuoti gyvos matematinės minties harmoniją su nesusipratimo algebra ....

Beje, ar žinai. kad mūsų švietimo sistemos šaknys yra XVIII–XIX amžiaus vokiečių mokykloje?

Tačiau Gaussas pasirinko matematiką.

Kokia jo metodo esmė?

AT supaprastinimas. AT stebėjimas ir fiksavimas paprasti skaičių modeliai. AT sausą mokyklinę aritmetiką paverčiant įdomi ir smagi veikla , suaktyvina norą tęsti smegenyse, o ne blokuoja brangiai kainuojančią protinę veiklą.

Ar galima apskaičiuoti aritmetinės progresijos skaičių sumą naudojant vieną iš aukščiau pateiktų "Gauso metodo modifikacijų" akimirksniu? Pagal „algoritmus“ mažasis Karlas būtų garantuotas vengdamas pliaukštelėjimo, išsiugdęs priešiškumą matematikai ir užgniaužęs savo kūrybinius impulsus.

Kodėl dėstytojas taip primygtinai patarė penktokams „nebijoti nesuprasti“ metodo, įtikindamas, kad „tokias“ problemas išspręs jau 9 klasėje? Psichologiškai neraštingas veiksmas. Buvo gera mintis pastebėti: "Iki jau 5 klasėje galite išspręskite problemas, kurias įveiksite tik po 4 metų! Kokie jūs geri bičiuliai!"

Norint naudoti Gauso metodą, pakanka 3 klasės lygio kai normalūs vaikai jau moka sudėti, dauginti ir dalyti 2-3 skaitmenų skaičius. Problemos kyla dėl suaugusių mokytojų, kurie „neįeina“, kaip paaiškinti paprasčiausius dalykus normalia žmonių kalba, o ne tik matematine... Jie nesugeba susidomėti matematika ir visiškai atbaidyti net „sugebančius“.

Arba, kaip komentavo mano sūnus, „padaryk iš to didelį mokslą“.

Kaip į bendras atvejis) išsiaiškinkite, ant kurio numerio turėtumėte „išvynioti“ skaičių įrašą metodu Nr. 1?

Ką daryti, jei serialo narių skaičius yra nelyginis?

Kam paversti „taisykle plius 1“ tai, ką vaikas gali tiesiog padaryti asimiliuoti net pirmoje klasėje, jei būtų išsiugdęs „skaičiaus pojūtį“, ir neprisiminė"skaičiuoti į dešimt"?

Ir galiausiai: kur dingo ZERO, puikus išradimas, kuriam daugiau nei 2000 metų ir kuris šiuolaikiniai mokytojai matematikai vengia vartoti?!.

Gauso metodas, mano paaiškinimai

Su žmona šį „metodą“ paaiškinome savo vaikui, atrodo, dar prieš mokyklą...

Paprastumas vietoj sudėtingumo ar klausimų žaidimas – atsakymai

""Žiūrėk, čia yra skaičiai nuo 1 iki 100. Ką tu matai?"

Tai ne tai, ką vaikas mato. Gudrybė yra priversti jį atrodyti.

"Kaip galite juos sujungti?" Sūnus pagavo, kad tokie klausimai neužduodami „tik taip“ ir reikia žiūrėti į klausimą „kažkaip kitaip, kitaip, nei jis dažniausiai daro“

Nesvarbu, ar vaikas iš karto pamato sprendimą, mažai tikėtina. Svarbu, kad jis nustojo bijoti žiūrėti, arba kaip aš sakau: „perkėlė užduotį“. Tai yra kelio į supratimą pradžia

"Kas lengviau: pridėti, pavyzdžiui, 5 ir 6, ar 5 ir 95?" Vadovaujantis klausimas... Bet juk bet koks mokymas nusileidžia tam, kad žmogus „vedžiotų“ iki „atsakymo“ – bet kokiu jam priimtinu būdu.

Šiame etape jau gali kilti spėlionių, kaip „sutaupyti“ skaičiuojant.

Viskas, ką padarėme, yra užuomina: „frontalinis, tiesinis“ skaičiavimo metodas nėra vienintelis įmanomas. Jei vaikas tai sutrumpino, vėliau jis sugalvos daug daugiau tokių metodų, nes tai įdomu!!! Ir tikrai išvengs matematikos „nesusipratimo“, nejaus jai pasibjaurėjimo. Jis laimėjo pergalę!

Jeigu atrado kūdikį kad pridėti skaičių poras, kurios sudaro šimtą, yra nereikšminga užduotis "aritmetinė progresija su skirtumu 1"- gana niūrus ir vaikui neįdomus dalykas - staiga suteikė jam gyvybę . Iš chaoso atsirado tvarka, ir tai visada entuziastinga: tokie mes esame!

Greitas klausimas: kodėl po vaiko įžvalgos jį vėl reikia įvaryti į sausų algoritmų rėmus, kurie šiuo atveju irgi funkciškai nenaudingi?!

Kam priversti kvailai perrašyti eilės numeriai sąsiuvinyje: kad net galintys neturėtų nė vienos galimybės suprasti? Žinoma, statistiškai, bet masinis švietimas yra orientuotas į „statistiką“ ...

Kur dingo nulis?

Ir vis dėlto, sudėjus skaičius, kurie sudaro 100, protui daug priimtiniau, nei duoti 101 ...

"Mokyklos Gauso metodas" reikalauja būtent to: be proto sulankstyti vienodu atstumu nuo skaičių poros progresijos centro, Nesvarbu kas.

O jei pažiūrėsi?

Vis tiek nulis didžiausias išradimasžmonija, kuriai daugiau nei 2000 metų. O matematikos mokytojai ir toliau jį ignoruoja.

Daug lengviau skaičių seriją, prasidedančią nuo 1, paversti seka, prasidedančia nuo 0. Suma nepasikeis, tiesa? Reikia nustoti „mąstyti vadovėliuose“ ir pradėti ieškoti... Ir pamatyti, kad poras, kurių suma yra 101, galima visiškai pakeisti poromis, kurių suma yra 100!

0 + 100, 1 + 99, 2 + 98 ... 49 + 51

Kaip panaikinti „taisyklę plius 1“?

Tiesą sakant, pirmą kartą apie tokią taisyklę išgirdau iš to „YouTube“ mokytojo ...

Ką vis tiek daryti, kai reikia nustatyti serijos narių skaičių?

Žiūrint į seką:

1, 2, 3, .. 8, 9, 10

o kai visiškai pavargęs, tada paprastesnėje eilėje:

1, 2, 3, 4, 5

ir aš suprantu: jei atimsi vieną iš 5, gauni 4, bet man visiškai aišku pamatyti 5 skaičiai! Todėl jūs turite pridėti vieną! Skaičių pojūtis išsivystė pradinė mokykla, siūlo: net jei serijos narių yra visas „Google“ (nuo 10 iki šimtosios galios), modelis išliks toks pat.

Velniop taisykles?..

Taip kad per porą – trejus metus užpildyti visą tarpą tarp kaktos ir pakaušio ir nustoti galvoti? Kaip užsidirbti duonos ir sviesto? Juk lygiomis gretomis judame į skaitmeninės ekonomikos erą!

Daugiau apie Gauso mokyklinį metodą: „kam iš to daryti mokslą? ..“

Ne veltui įdėjau ekrano kopiją iš sūnaus užrašų knygelės...

"Kas buvo pamokoje?"

"Na, aš iš karto suskaičiavau, pakėliau ranką, bet ji nepaklausė. Todėl, kol kiti skaičiavo, pradėjau daryti DZ rusiškai, kad negaiščiau laiko. Tada, kai kiti baigė rašyti (?? ?), ji pakvietė mane į lentą. Aš atsakiau."

„Taip, parodyk, kaip išsprendei“, – pasakė mokytojas. Aš parodžiau. Ji pasakė: „Negerai, reikia skaičiuoti, kaip aš parodžiau!

"Gerai, kad nepadėjau dviračio. Ir priverčiau mane į sąsiuvinį savaip surašyti" sprendimo eigą ". Kam iš to daryti didelį mokslą? ..

Pagrindinis matematikos mokytojo nusikaltimas

vargu ar po to ta proga Carlas Gaussas patyrė didelę pagarbą mokyklos matematikos mokytojui. Bet jei žinotų kaip to mokytojo pasekėjai iškreipti metodo esmę... jis būtų riaumojęs iš pasipiktinimo ir per Pasaulinę intelektinės nuosavybės organizaciją WIPO pasiekęs draudimą naudoti jo sąžiningą vardą mokykliniuose vadovėliuose! ..

Ką pagrindinė klaida mokyklos požiūris? Ar, kaip aš sakau, mokyklinės matematikos mokytojų nusikaltimas vaikams?

Nesusipratimo algoritmas

Ką veikia mokyklų metodininkai, kurių didžioji dauguma nemoka mąstyti?

Sukurkite metodus ir algoritmus (žr.). Tai yra gynybinė reakcija, apsauganti mokytojus nuo kritikos („Viskas daroma pagal...“), o vaikus nuo supratimo. Ir taip – iš noro kritikuoti mokytojus!(Antrasis biurokratinės „išminties“ vedinys, mokslinis požiūris į problemą). Žmogus, kuris nesuvokia prasmės, kaltins savo nesusipratimą, o ne mokyklos sistemos kvailumą.

Kas vyksta: tėvai kaltina vaikus, o mokytojus... tas pats vaikams, kurie „nesupranta matematikos!

Ar tu nuovokus?

Ką padarė mažasis Karlas?

Visiškai netradiciškai priartėjau prie šabloninės užduoties. Tai yra Jo požiūrio kvintesencija. Tai yra pagrindinis dalykas, kurio reikia mokyti mokykloje, yra mąstyti ne vadovėliais, o galva. Žinoma, yra ir instrumentinis komponentas, kurį galima panaudoti... ieškant paprastesnis ir veiksmingi metodai sąskaitas.

Gauso metodas pagal Vilenkiną

Mokykloje jie moko, kad Gauso metodas yra

poromis rasti skaičių sumas vienodu atstumu nuo skaičių eilutės kraštų, būtinai pradedant nuo kraštų!

rasti tokių porų skaičių ir pan.

ką, jei elementų skaičius eilutėje yra nelyginis, kaip ir užduotyje, kuri buvo paskirta sūnui? ..

Šiuo atveju „gudrybė“ yra ta turėtumėte rasti „papildomą“ serijos numerį ir pridėkite prie porų sumos. Mūsų pavyzdyje šis skaičius yra 260.

Kaip atrasti? Visų skaičių porų perrašymas į sąsiuvinį!(Todėl mokytojas privertė vaikus dirbti šį kvailą darbą, bandydamas išmokyti „kūrybiškumo“ Gauso metodu... Ir štai kodėl toks „metodas“ praktiškai nepritaikomas didelėms duomenų eilutėms, Ir štai kodėl tai ne Gauso metodas metodas).

Šiek tiek kūrybiškumo mokyklos rutinoje...

Sūnus pasielgė kitaip.

Iš pradžių jis pastebėjo, kad lengviau padauginti skaičių 500, o ne 520.

(20 + 500, 40 + 480 ...).

Tada jis suprato: žingsnių skaičius pasirodė nelyginis: 500 / 20 = 25.

Tada jis prie serijos pradžios pridėjo NULIS (nors buvo galima atmesti paskutinį serijos terminą, kuris taip pat užtikrintų paritetą) ir pridėjo skaičius, iš viso gaudamas 500

0+500, 20+480, 40+460 ...

26 žingsniai yra 13 porų „penkių šimtų“: 13 x 500 = 6500 ..

Jei išmestume paskutinę serijos narę, tada porų bus 12, tačiau prie skaičiavimo rezultato nepamirškime pridėti „išmestų“ penkių šimtukų. Tada: (12 x 500) + 500 = 6500!

Lengva, tiesa?

Tačiau praktiškai tai darosi dar lengviau, o tai leidžia 2-3 minutes skirti nuotoliniam tyrimui rusų kalba, o likusios „skaičiuoja“. Be to, išlaikomas metodikos žingsnių skaičius: 5, o tai neleidžia kritikuoti požiūrio už nemoksliškumą.

Akivaizdu, kad šis metodas yra paprastesnis, greitesnis ir universalesnis pagal metodo stilių. Bet... mokytoja ne tik nepagyrė, bet ir privertė perrašyti „teisingai“ (žr. ekrano kopiją). Tai reiškia, kad ji desperatiškai bandė užgniaužti kūrybinį impulsą ir gebėjimą suprasti matematiką dar užuomazgoje! Matyt, kad vėliau būtų pasamdyta auklėtoja... Ji užpuolė ne tą...

Viską, ką taip ilgai ir nuobodžiai aprašiau normaliam vaikui galima paaiškinti daugiausiai per pusvalandį. Kartu su pavyzdžiais.

Ir kad jis niekada to nepamirštų.

Ir bus žingsnis supratimo link...ne tik matematika.

Prisipažinkite: kiek kartų per savo gyvenimą pridėjote naudodami Gauso metodą? Ir aš niekada!

Bet supratimo instinktas, kuri vystosi (arba užgęsta) mokymosi procese matematiniai metodai mokykloje... O!.. Tai tikrai nepakeičiamas dalykas!

Ypač visuotinės skaitmenizacijos amžiuje, į kurį tyliai įžengėme griežtai vadovaujant partijai ir vyriausybei.

Keletas žodžių mokytojų gynybai...

Nesąžininga ir neteisinga visą atsakomybę už tokį mokymo stilių priskirti tik mokyklos mokytojams. Sistema veikia.

Kai kurie mokytojai supranta to, kas vyksta absurdą, bet ką daryti? Švietimo įstatymas, federaliniai švietimo standartai, metodai, technologiniai žemėlapiai pamokos... Viskas turi būti daroma "pagal ir remiantis" ir viskas turi būti dokumentuota. Atsitraukite – stovėjo eilėje dėl atleidimo. Nebūkime veidmainiai: Maskvos mokytojų atlyginimas labai geras... Jei atleis, kur dėtis?..

Todėl ši svetainė ne apie švietimą. Jis yra apie individualus išsilavinimas, tik galimas būdas išeiti iš minios Z karta ...

Nuo XVI-XVIII amžiaus pradžios matematikai pradėjo intensyviai tyrinėti funkcijas, kurių dėka mūsų gyvenime tiek daug pasikeitė. Kompiuterinės technologijos be šių žinių tiesiog neegzistuotų. Dėl sprendimų sudėtingas užduotis, buvo sukurtos tiesinės lygtys ir funkcijos, įvairios koncepcijos, teoremos ir sprendimo metodai. Vienas iš tokių universalių ir racionalių tiesinių lygčių ir jų sistemų sprendimo metodų ir technikų buvo Gauso metodas. Matricos, jų rangas, determinantas – viską galima apskaičiuoti nenaudojant sudėtingų operacijų.

Kas yra SLAU

Matematikoje yra sąvoka SLAE – tiesinių algebrinių lygčių sistema. Ką ji atstovauja? Tai m lygčių rinkinys su reikiamais n nežinomųjų, paprastai žymimų x, y, z arba x 1 , x 2 ... x n arba kitais simboliais. Išspręskite Gauso metodu šią sistemą- reiškia surasti visus reikalingus nežinomus dalykus. Jei sistema turi tas pats numeris nežinomųjų ir lygčių, tada ji vadinama n-osios eilės sistema.

Populiariausi SLAE sprendimo būdai

AT švietimo įstaigos vidurinio išsilavinimo studijuoja įvairius tokių sistemų sprendimo būdus. Dažniausiai tai paprastos lygtys, susidedantis iš dviejų nežinomųjų, todėl bet koks esamas būdas rasti atsakymą į juos neužims daug laiko. Tai gali būti kaip pakeitimo metodas, kai iš vienos lygties išvedama kita lygtis ir pakeičiama pradine. Arba terminas po termino atimti ir sudėti. Tačiau Gauso metodas laikomas lengviausiu ir universaliausiu. Tai leidžia išspręsti lygtis su bet kokiu nežinomųjų skaičiumi. Kodėl ši technika laikoma racionalia? Viskas paprasta. Matricos metodas yra geras, nes nereikia kelis kartus perrašyti nereikalingų simbolių į nežinomus, pakanka atlikti aritmetines operacijas su koeficientais - ir gausite patikimą rezultatą.

Kur SLAE naudojami praktiškai?

SLAE sprendimas yra funkcijų grafikų tiesių susikirtimo taškai. Mūsų aukštųjų technologijų kompiuterių amžiuje žmonės, glaudžiai susiję su žaidimų ir kitų programų kūrimu, turi žinoti, kaip tokias sistemas išspręsti, ką jos reprezentuoja ir kaip patikrinti gauto rezultato teisingumą. Dažniausiai programuotojai kuria specialius tiesinės algebros skaičiuotuvus, tai apima tiesinių lygčių sistemą. Gauso metodas leidžia apskaičiuoti visus esamus sprendimus. Taip pat naudojamos kitos supaprastintos formulės ir metodai.

SLAE suderinamumo kriterijus

Tokia sistema gali būti išspręsta tik tada, kai ji yra suderinama. Aiškumo dėlei pateikiame SLAE forma Ax=b. Jis turi sprendimą, jei rang(A) lygus rang(A,b). Šiuo atveju (A,b) yra išplėstinės formos matrica, kurią galima gauti iš A matricos perrašant ją laisvaisiais terminais. Pasirodo, tiesines lygtis Gauso metodu išspręsti gana paprasta.

Galbūt kai kurie užrašai nėra iki galo aiškūs, todėl reikia viską apsvarstyti pavyzdžiu. Tarkime, kad yra sistema: x+y=1; 2x-3y=6. Jį sudaro tik dvi lygtys, kuriose yra 2 nežinomieji. Sistema turės sprendimą tik tuo atveju, jei jos matricos rangas bus lygus padidintos matricos rangui. Kas yra rangas? Tai nepriklausomų sistemos linijų skaičius. Mūsų atveju matricos rangas yra 2. Matrica A susideda iš koeficientų, esančių šalia nežinomųjų, o koeficientai už „=“ ženklo taip pat tilps į išplėstą matricą.

Kodėl SLAE galima pavaizduoti matricos forma

Remiantis suderinamumo kriterijumi pagal įrodytą Kronecker-Capelli teoremą, tiesinių algebrinių lygčių sistema gali būti pavaizduota matricine forma. Naudodami Gauso kaskados metodą galite išspręsti matricą ir gauti vienintelį patikimą atsakymą visai sistemai. Jei įprastos matricos rangas yra lygus jos išplėstinės matricos rangui, bet mažesnis už nežinomųjų skaičių, tada sistema turi begalinį atsakymų skaičių.

Matricos transformacijos

Prieš pereinant prie matricų sprendimo, būtina žinoti, kokius veiksmus galima atlikti su jų elementais. Yra keletas elementarių transformacijų:

Perrašant sistemą į matricinę formą ir atlikus jos sprendimą, galima visus eilutės elementus padauginti iš to paties koeficiento.
Norint konvertuoti matricą į kanoninę formą, galima sukeisti dvi lygiagrečias eilutes. Kanoninė forma reiškia, kad visi matricos elementai, esantys išilgai pagrindinės įstrižainės, tampa vienetais, o likusieji tampa nuliais.
Atitinkamus lygiagrečių matricos eilučių elementus galima pridėti vieną prie kito.

Jordano-Gausso metodas

Tiesinių vienarūšių ir nehomogeniškų lygčių sistemų sprendimo Gauso metodu esmė – laipsniškai pašalinti nežinomuosius. Tarkime, kad turime dviejų lygčių sistemą, kurioje yra du nežinomieji. Norėdami juos rasti, turite patikrinti sistemos suderinamumą. Gauso lygtis išspręsta labai paprastai. Koeficientus, esančius šalia kiekvieno nežinomojo, būtina užrašyti matricos pavidalu. Norėdami išspręsti sistemą, turite parašyti išplėstinę matricą. Jei vienoje iš lygčių yra mažesnis nežinomųjų skaičius, vietoj trūkstamo elemento reikia įdėti „0“. Viskas taikoma matricai žinomi metodai transformacijos: daugyba, padalijimas iš skaičiaus, atitinkamų eilučių elementų sudėjimas vienas prie kito ir kt. Pasirodo, kiekvienoje eilutėje reikia palikti vieną kintamąjį su reikšme "1", likusi dalis turi būti sumažinta iki nulio. Norint tiksliau suprasti, būtina apsvarstyti Gauso metodą su pavyzdžiais.

Paprastas 2x2 sistemos sprendimo pavyzdys

Pirmiausia paimkime paprastą algebrinių lygčių sistemą, kurioje bus 2 nežinomieji.

Perrašykime jį į padidintą matricą.

Norint išspręsti šią tiesinių lygčių sistemą, reikia atlikti tik dvi operacijas. Turime perkelti matricą į kanoninę formą, kad pagrindinėje įstrižainėje būtų vienetų. Taigi, iš matricinės formos verčiant atgal į sistemą, gauname lygtis: 1x+0y=b1 ir 0x+1y=b2, kur b1 ir b2 yra atsakymai, gauti sprendžiant.

Pirmas žingsnis sprendžiant išplėstinę matricą bus toks: pirmąją eilutę reikia padauginti iš -7 ir atitinkamai pridėti atitinkamus elementus į antrąją eilutę, kad antrojoje lygtyje būtų pašalintas vienas nežinomasis.
Kadangi lygčių sprendimas Gauso metodu reiškia matricos perkėlimą į kanoninę formą, tuomet reikia atlikti tas pačias operacijas su pirmąja lygtimi ir pašalinti antrąjį kintamąjį. Norėdami tai padaryti, iš pirmosios atimame antrąją eilutę ir gauname reikiamą atsakymą - SLAE sprendimą. Arba, kaip parodyta paveikslėlyje, antrą eilutę padauginame iš koeficiento -1 ir antros eilutės elementus pridedame prie pirmosios eilės. Tai tas pats.

Kaip matote, mūsų sistema išspręsta Jordano-Gausso metodu. Perrašome reikiama forma: x=-5, y=7.

SLAE 3x3 sprendimo pavyzdys

Tarkime, kad turime sudėtingesnę tiesinių lygčių sistemą. Gauso metodas leidžia apskaičiuoti atsakymą net ir pačiai painiausiai sistemai. Todėl norėdami įsigilinti į skaičiavimo metodiką, galite pereiti prie daugiau sudėtingas pavyzdys su trimis nežinomaisiais.

Kaip ir ankstesniame pavyzdyje, mes perrašome sistemą į išplėstinę matricą ir pradedame ją perkelti į kanoninę formą.

Norėdami išspręsti šią sistemą, turėsite atlikti daug daugiau veiksmų nei ankstesniame pavyzdyje.

Pirmiausia pirmame stulpelyje turite padaryti vieną elementą, o likusius nulius. Norėdami tai padaryti, padauginkite pirmąją lygtį iš -1 ir pridėkite prie jos antrąją lygtį. Svarbu atsiminti, kad pirmąją eilutę perrašome pradine forma, o antrąją – jau pakeista forma.
Tada iš trečiosios lygties pašaliname tą patį pirmąjį nežinomąjį. Norėdami tai padaryti, pirmosios eilutės elementus padauginame iš -2 ir pridedame prie trečios eilės. Dabar pirmoji ir antroji eilutės perrašomos į pradinę formą, o trečioji – jau su pakeitimais. Kaip matote iš rezultato, pirmąjį gavome pagrindinės matricos įstrižainės pradžioje, o likusi dalis yra nuliai. Dar keli veiksmai ir lygčių sistema Gauso metodu bus patikimai išspręsta.
Dabar reikia atlikti operacijas su kitais eilučių elementais. Trečią ir ketvirtą žingsnius galima sujungti į vieną. Antrą ir trečią eilutes turime padalyti iš -1, kad atsikratytume neigiamų įstrižainėje. Trečią eilutę jau atnešėme į reikiamą formą.
Toliau mes kanonizuojame antrąją eilutę. Norėdami tai padaryti, padauginame trečiosios eilutės elementus iš -3 ir pridedame juos prie antrosios matricos eilutės. Iš rezultato matyti, kad antroji eilutė taip pat sumažinama iki mums reikalingos formos. Belieka atlikti dar keletą operacijų ir iš pirmos eilės pašalinti nežinomųjų koeficientus.
Kad iš antrojo eilutės elemento būtų 0, reikia trečią eilutę padauginti iš -3 ir pridėti prie pirmosios eilutės.
Kitas lemiamas žingsnis yra pridėti prie pirmosios eilutės būtini elementai antra eilė. Taigi gauname kanoninę matricos formą ir atitinkamai atsakymą.

Kaip matote, lygčių sprendimas Gauso metodu yra gana paprastas.

4x4 lygčių sistemos sprendimo pavyzdys

Truputį daugiau sudėtingos sistemos lygtys gali būti išspręstos Gauso metodu naudojant kompiuterines programas. Būtina į esamus tuščius langelius suvaryti koeficientus nežinomiems, o programa žingsnis po žingsnio apskaičiuos reikiamą rezultatą, išsamiai apibūdindama kiekvieną veiksmą.

Aprašyta žemiau žingsnis po žingsnio instrukcijašio pavyzdžio sprendimai.

Pirmajame etape į tuščius langelius įvedami laisvieji koeficientai ir skaičiai nežinomiems. Taigi gauname tą pačią papildytą matricą, kurią rašome ranka.

Ir atliekamos visos būtinos aritmetinės operacijos, kad išplėstinė matrica būtų kanoninė. Reikia suprasti, kad lygčių sistemos atsakymas ne visada yra sveikieji skaičiai. Kartais sprendimas gali būti iš trupmeninių skaičių.

Sprendimo teisingumo tikrinimas

Jordano-Gausso metodas numato rezultato teisingumo patikrinimą. Norėdami sužinoti, ar koeficientai apskaičiuoti teisingai, jums tereikia pakeisti rezultatą į pradinę lygčių sistemą. Kairioji lygties pusė turi sutapti su dešine puse, kuri yra už lygybės ženklo. Jei atsakymai nesutampa, turite perskaičiuoti sistemą arba pabandyti taikyti kitą jums žinomą SLAE sprendimo būdą, pvz., pakeitimą arba atimtį ir sudėjimą po terminą. Juk matematika yra mokslas, kuris turi puiki sumaįvairūs sprendimo būdai. Tačiau atminkite: rezultatas visada turi būti toks pat, nesvarbu, kokį sprendimo būdą naudojote.

Gauso metodas: dažniausiai pasitaikančios klaidos sprendžiant SLAE

Sprendžiant tiesines lygčių sistemas, dažniausiai pasitaiko klaidų, tokių kaip neteisingas koeficientų perkėlimas į matricinę formą. Yra sistemų, kurių vienoje iš lygčių trūksta kai kurių nežinomųjų, tada, perkeliant duomenis į išplėstinę matricą, jie gali būti prarasti. Dėl to sprendžiant šią sistemą rezultatas gali neatitikti tikrojo.

Kita pagrindinių klaidų gali būti neteisingas galutinio rezultato užrašymas. Reikia aiškiai suprasti, kad pirmasis koeficientas atitiks pirmąjį iš sistemos nežinomą, antrasis – antrąjį ir pan.

Gauso metodas detaliai aprašo tiesinių lygčių sprendimą. Jo dėka nesunku atlikti reikiamas operacijas ir rasti tinkamą rezultatą. Be to, šis universali priemonė ieškoti patikimo atsakymo į bet kokio sudėtingumo lygtis. Galbūt todėl jis taip dažnai naudojamas sprendžiant SLAE.

Vienas iš universalių ir efektyvių tiesinių algebrinių sistemų sprendimo būdų yra Gauso metodas , susidedantis iš nuoseklaus nežinomųjų pašalinimo.

Prisiminkite, kad dvi sistemos vadinamos lygiavertis (ekvivalentinis), jei jų sprendinių aibės yra vienodos. Kitaip tariant, sistemos yra lygiavertės, jei kiekvienas vienos iš jų sprendimas yra kitos sprendimas, ir atvirkščiai. Gaunamos lygiavertės sistemos su elementarios transformacijos sistemos lygtys:

padauginus abi lygties puses iš ne nulinio skaičiaus;

prie kokios nors lygties pridedamos atitinkamos kitos lygties dalys, padaugintos iš kito skaičiaus nei nulis;

dviejų lygčių permutacija.

Tegu lygčių sistema

Šios sistemos sprendimo Gauso metodu procesas susideda iš dviejų etapų. Pirmajame etape (į priekį) sistema redukuojama elementarių transformacijų būdu į žingsniavo , arba trikampis protas, o antrajame etape (atvirkštinis judėjimas) yra nuoseklus, pradedant nuo paskutinio kintamojo, nežinomųjų apibrėžimas iš gautos žingsnių sistemos.

Tarkime, kad šios sistemos koeficientas
, kitu atveju sistemoje pirmoji eilutė gali būti pakeista bet kuria kita eilute taip, kad koeficientas ties skyrėsi nuo nulio.

Pakeiskime sistemą, pašalindami nežinomybę visose lygtyse, išskyrus pirmąją. Norėdami tai padaryti, padauginkite abi pirmosios lygties puses iš ir pridėti terminą po termino su antrąja sistemos lygtimi. Tada padauginkite abi pirmosios lygties puses iš ir pridėkite ją prie trečiosios sistemos lygties. Tęsdami šį procesą gauname lygiavertę sistemą

čia
yra naujos koeficientų ir laisvųjų terminų reikšmės, kurios gaunamos po pirmojo žingsnio.

Panašiai, atsižvelgiant į pagrindinį elementą
, neįtraukti nežinomybės iš visų sistemos lygčių, išskyrus pirmąją ir antrąją. Tęsiame šį procesą kiek įmanoma ilgiau, todėl gauname žingsninę sistemą

kur ,
,…,- pagrindiniai sistemos elementai
.

Jei sistemos perkėlimo į žingsninę formą procese atsiranda lygtys, t.y. formos lygybės
, jie atmetami, nes bet koks skaičių rinkinys juos tenkina
. Jei pas
atsiras formos lygtis, kuri neturi sprendimų, tai rodo sistemos nenuoseklumą.

At atvirkštinis kursas pirmasis nežinomasis išreiškiamas iš paskutinės transformuotos žingsnių sistemos lygties per visus kitus nežinomuosius
kurie vadinami Laisvas . Tada kintamoji išraiška iš paskutinės sistemos lygties pakeičiama į priešpaskutinę lygtį ir iš jos išreiškiamas kintamasis
. Kintamieji apibrėžiami panašiai
. Kintamieji
, išreikšti laisvaisiais kintamaisiais, vadinami pagrindinis (priklausomas). Dėl to gaunamas bendras tiesinių lygčių sistemos sprendinys.

Rasti privatus sprendimas sistemos, nemokama nežinoma
in bendras sprendimas pateikiamos savavališkos reikšmės ir apskaičiuojamos kintamųjų reikšmės
.

Techniškai patogiau elementarias transformacijas priskirti ne sistemos lygtims, o išplėstinei sistemos matricai

Gauso metodas yra universalus metodas, leidžiantis išspręsti ne tik kvadratines, bet ir stačiakampes sistemas, kuriose nežinomųjų skaičius
nelygus lygčių skaičiui
.

Šio metodo pranašumas taip pat slypi tame, kad sprendimo procese vienu metu tiriame sistemos suderinamumą, nes sumažinus padidintą matricą
į laiptuotą formą, nesunku nustatyti matricos eiles ir išplėstinė matrica
ir kreiptis Kronecker-Capelli teorema .

2.1 pavyzdys Išspręskite sistemą Gauso metodu

Sprendimas. Lygčių skaičius
ir nežinomųjų skaičius
.

Išplėstinę sistemos matricą sudarykime priskirdami koeficientų matricos dešinėje nemokamų narių skiltis .

Atneškime matricą iki trikampio formos; Norėdami tai padaryti, mes gausime "0" žemiau elementų pagrindinėje įstrižainėje, naudodami elementarias transformacijas.

Norėdami gauti "0" antroje pirmojo stulpelio pozicijoje, padauginkite pirmąją eilutę iš (-1) ir pridėkite prie antrosios eilutės.

Šią transformaciją užrašome skaičiumi (-1) prieš pirmąją eilutę ir pažymime rodykle, einančia iš pirmosios eilutės į antrąją.

Norėdami gauti "0" trečioje pirmojo stulpelio pozicijoje, padauginkite pirmąją eilutę iš (-3) ir pridėkite prie trečios eilutės; Parodykime šį veiksmą rodykle, einančia iš pirmos eilutės į trečią.

Gautoje matricoje, įrašytoje antroje matricos grandinėje, gauname "0" antrame stulpelyje trečioje pozicijoje. Norėdami tai padaryti, padauginkite antrą eilutę iš (-4) ir pridėkite prie trečiosios. Gautoje matricoje antrą eilutę padauginame iš (-1), o trečią padalijame iš (-8). Visi šios matricos elementai, esantys žemiau įstrižainių, yra nuliai.

Kaip , sistema yra bendradarbiaujanti ir specifinė.

Paskutinę matricą atitinkanti lygčių sistema turi trikampę formą:

Iš paskutinės (trečios) lygties
. Pakeiskite antrąją lygtį ir gaukite
.

Pakaitalas
ir
į pirmąją lygtį, randame

.