Šiame straipsnyje aprašoma, kaip gauti tiesės, einančios per du nurodytus taškus stačiakampėje koordinačių sistemoje, esančioje plokštumoje, lygtis. Išveskime tiesės, einančios per du nurodytus taškus stačiakampėje koordinačių sistemoje, lygtį. Aiškiai parodysime ir išspręsime keletą pavyzdžių, susijusių su nagrinėjama medžiaga.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Prieš gaunant tiesės, einančios per du duotus taškus, lygtį, būtina atkreipti dėmesį į kai kuriuos faktus. Yra aksioma, kuri sako, kad per du nesutampančius plokštumos taškus galima nubrėžti tiesią liniją ir tik vieną. Kitaip tariant, du duotieji plokštumos taškai yra apibrėžti tiesia linija, einančia per šiuos taškus.

Jei plokštuma nurodyta stačiakampe koordinačių sistema Oxy, tai bet kuri joje pavaizduota tiesė atitiks plokštumos tiesės lygtį. Taip pat yra ryšys su tiesės krypties vektoriumi.Šių duomenų pakanka sukurti tiesės, einančios per du duotus taškus, lygtį.

Panagrinėkime panašios problemos sprendimo pavyzdį. Būtina sudaryti tiesės a, einančios per du nesutampančius taškus M 1 (x 1, y 1) ir M 2 (x 2, y 2), kurie yra Dekarto koordinačių sistemoje, lygtį.

Kanoninėje plokštumos tiesės lygtyje, kurios forma x - x 1 ax = y - y 1 ay, nurodyta stačiakampė koordinačių sistema O xy su tiesia linija, kuri susikerta su ja taške su koordinatėmis M 1 (x 1, y 1) su kreipiamuoju vektoriumi a → = (ax, ay).

Būtina sudaryti kanoninę tiesės a lygtį, kuri eina per du taškus, kurių koordinatės M 1 (x 1, y 1) ir M 2 (x 2, y 2).

Tiesė a turi krypties vektorių M 1 M 2 → su koordinatėmis (x 2 - x 1, y 2 - y 1), nes ji kerta taškus M 1 ir M 2. Gavome reikiamus duomenis, kad galėtume transformuoti kanoninę lygtį krypties vektoriaus M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) koordinatėmis ir taškų M 1 koordinatėmis (x 1, y 1) gulint ant jų ir M 2 (x 2, y 2). Gauname x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 arba x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 lygtį.

Apsvarstykite žemiau esantį paveikslą.

Atlikę skaičiavimus, užrašome parametrines tiesės lygtis plokštumoje, kuri eina per du taškus, kurių koordinatės M 1 (x 1, y 1) ir M 2 (x 2, y 2). Gauname x = x 1 + (x 2 - x 1) λ y = y 1 + (y 2 - y 1) λ arba x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y lygtį. 2 + (y 2 - y 1) λ.

Pažvelkime atidžiau į kelių pavyzdžių sprendimą.

1 pavyzdys

Užrašykite tiesės, einančios per 2 duotus taškus, kurių koordinatės M 1 - 5, 2 3, M 2 1, - 1 6, lygtį.

Sprendimas

Tiesės, susikertančios dviejuose taškuose, kurių koordinatės x 1, y 1 ir x 2, y 2, kanoninė lygtis yra x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. Pagal uždavinio sąlygą gauname, kad x 1 = - 5, y 1 = 2 3, x 2 = 1, y 2 = - 1 6. Pakeiskite skaitines reikšmes į lygtį x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. Iš čia gauname, kad kanoninė lygtis yra x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.

Atsakymas: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.

Jei jums reikia išspręsti problemą naudojant kitokią lygtį, pirmiausia galite pereiti prie kanoninės, nes iš jos lengviau pereiti prie bet kurios kitos.

2 pavyzdys

Nubraižykite bendrąją tiesės, einančios per O x y koordinačių sistemos taškus, kurių koordinatės M 1 (1, 1) ir M 2 (4, 2), lygtį.

Sprendimas

Pirmiausia turite užsirašyti kanoninę tam tikros tiesės, einančios per duotus du taškus, lygtį. Gauname x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 formos lygtį.

Pateikime kanoninę lygtį į reikiamą formą, tada gausime:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

Atsakymas: x - 3 y + 2 = 0.

Tokių užduočių pavyzdžiai buvo svarstomi mokykliniuose vadovėliuose algebros pamokose. Mokyklos uždaviniai skyrėsi tuo, kad gerai žinoma tiesės su nuolydžiu lygtis, kurios forma yra y = k x + b. Jei reikia rasti nuolydžio k reikšmę ir skaičių b, kuriam lygtis y = kx + b apibrėžia O xy sistemos liniją, kuri eina per taškus M 1 (x 1, y 1) ir M 2 ( x 2, y 2) , kur x 1 ≠ x 2. Kai x 1 = x 2 , tada nuolydis įgauna begalybės reikšmę, o tiesė М 1 М 2 nustatoma pagal bendrą nepilną lygtį, kurios formos x - x 1 = 0 .

Nes taškai M 1 ir M 2 yra tiesėje, tada jų koordinatės tenkina lygtį y 1 = k x 1 + b ir y 2 = k x 2 + b. Būtina išspręsti k ir b lygčių sistemą y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b.

Norėdami tai padaryti, raskite k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 arba k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 2 – y 2 – y 1 x 2 – x 1 x 2.

Esant tokioms k ir b reikšmėms, tiesės, einančios per duotus du taškus, lygtis yra tokia: y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 arba y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

Prisiminti tokį daugybę formulių vienu metu nepavyks. Norėdami tai padaryti, turite padidinti problemų sprendimų pakartojimų skaičių.

3 pavyzdys

Užrašykite tiesės su nuolydžiu, einančios per taškus, kurių koordinatės M 2 (2, 1) ir y = k x + b, lygtį.

Sprendimas

Norėdami išspręsti problemą, naudojame formulę su nuolydžiu, kurios forma yra y = k x + b. Koeficientai k ir b turi turėti tokią reikšmę, kad ši lygtis atitiktų tiesę, einančią per du taškus, kurių koordinatės M 1 (- 7, - 5) ir M 2 (2, 1).

Taškai M 1 ir M 2 yra tiesioje linijoje, tada jų koordinatės turėtų pakeisti lygtį y = k x + b tikroji lygybė. Iš to gauname, kad - 5 = k (- 7) + b ir 1 = k 2 + b. Sujunkite lygtį į sistemą - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b ir išspręskite.

Pakeitę tai randame

5 = k - 7 + b 1 = k 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 kk = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

Dabar reikšmės k = 2 3 ir b = - 1 3 pakeičiamos į lygtį y = k x + b. Gauname, kad reikiama lygtis, einanti per duotus taškus, yra y = 2 3 x - 1 3 formos lygtis.

Šis sprendimo būdas nulemia daug laiko švaistymą. Yra būdas, kuriuo užduotis išsprendžiama pažodžiui dviem etapais.

Rašome kanoninę tiesės, einančios per M 2 (2, 1) ir M 1 (- 7, - 5), lygtį, kurios forma yra x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6.

Dabar pereiname prie lygties nuolydyje. Gauname: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 (x + 7) = 9 (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3.

Atsakymas: y = 2 3 x - 1 3.

Jei trimatėje erdvėje yra stačiakampė koordinačių sistema O xyz su dviem nurodytais nesutampančiais taškais, kurių koordinatės M 1 (x 1, y 1, z 1) ir M 2 (x 2, y 2, z 2), a. tiesė M 1 M 2, reikia gauti šios tiesės lygtį.

Turime x - x 1 formos kanonines lygtis ax = y - y 1 ay = z - z 1 az ir parametrines lygtis formos x = x 1 + ax λ y = y 1 + ay λ z = z 1 + az λ gali nustatyti tiesę O x y z koordinačių sistemoje, einančią per taškus, turinčius koordinates (x 1, y 1, z 1), su krypties vektoriumi a → = (ax, ay, az).

Tiesus M 1 M 2 turi krypties vektorių formos M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1), kur tiesė eina per tašką M 1 (x 1, y 1, z) 1) ir M 2 (x 2, y 2, z 2), taigi kanoninė lygtis gali būti tokios formos: x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 arba x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1, savo ruožtu parametrinis x = x 1 + (x 2 - x 1) λ y = y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ arba x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) Λ z = z 2 + (z 2 - z 1) λ.

Apsvarstykite paveikslą, kuriame pavaizduoti 2 duotieji erdvės taškai ir tiesės lygtis.

4 pavyzdys

Parašykite tiesės, apibrėžtos trimatės erdvės stačiakampėje koordinačių sistemoje O xyz, einančios per duotus du taškus, kurių koordinatės M 1 (2, - 3, 0) ir M 2 (1, - 3, - 5), lygtį. ).

Sprendimas

Būtina rasti kanoninę lygtį. Kadangi mes kalbame apie trimatę erdvę, tai reiškia, kad kai tiesė eina per nurodytus taškus, norima kanoninė lygtis bus tokia: x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 ...

Remdamiesi hipoteze, turime, kad x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5. Iš to išplaukia, kad reikiamas lygtis galima parašyti taip:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

Atsakymas: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl + Enter

Tiesės, einančios per tam tikrą tašką tam tikra kryptimi, lygtis. Tiesės, einančios per du duotus taškus, lygtis. Kampas tarp dviejų tiesių. Dviejų tiesių lygiagretumo ir statmenumo sąlyga. Dviejų tiesių susikirtimo taško nustatymas

1. Tiesės, einančios per nurodytą tašką, lygtis A(x 1 , y 1) tam tikra kryptimi, nulemta nuolydžio k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

Ši lygtis apibrėžia tiesių linijų, einančių per tašką, pluoštą A(x 1 , y 1), kuris vadinamas spindulio centru.

2. Tiesios linijos, einančios per du taškus, lygtis: A(x 1 , y 1) ir B(x 2 , y 2) parašyta taip:

Tiesės, einančios per du duotus taškus, nuolydis nustatomas pagal formulę

3. Kampas tarp tiesių linijų A ir B vadinamas kampas, kuriuo reikia pasukti pirmąją tiesiąją A aplink šių linijų susikirtimo tašką prieš laikrodžio rodyklę, kol jis sutampa su antrąja linija B... Jei dvi tiesės pateiktos lygtimis su nuolydžiu

y = k 1 x + B 1 ,

Tiesios linijos savybės Euklido geometrijoje.

Per bet kurį tašką galite nubrėžti be galo daug tiesių linijų.

Vieną tiesią liniją galima nubrėžti per bet kuriuos du nesutampančius taškus.

Dvi nesutampančios tiesės plokštumoje arba susikerta viename taške, arba yra

lygiagretus (seka nuo ankstesnio).

Trimatėje erdvėje yra trys dviejų tiesių linijų santykinės padėties parinktys:

• susikerta tiesios linijos;

• tiesios linijos yra lygiagrečios;

• susikerta tiesios linijos.

Tiesiai linija- pirmos eilės algebrinė kreivė: Dekarto koordinačių sistemoje tiesė

plokštumoje pateikiama pirmojo laipsnio lygtimi (tiesine lygtimi).

Bendroji tiesės lygtis.

Apibrėžimas... Bet kuri tiesė plokštumoje gali būti pateikta pirmosios eilės lygtimi

Ax + Wu + C = 0,

su pastoviu A, B tuo pačiu metu nėra lygūs nuliui. Ši pirmosios eilės lygtis vadinama bendras

tiesios linijos lygtis. Priklausomai nuo konstantų reikšmių A, B ir SU galimi šie ypatingi atvejai:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- tiesi linija eina per pradžią

. A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (pagal + C = 0)- tiesi linija, lygiagreti ašiai Oi

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- tiesi linija, lygiagreti ašiai OU

. B = C = 0, A ≠ 0- tiesi linija sutampa su ašimi OU

. A = C = 0, B ≠ 0- tiesi linija sutampa su ašimi Oi

Tiesios linijos lygtis gali būti pateikta įvairiomis formomis, atsižvelgiant į bet kurią duotąją

pradines sąlygas.

Tiesės išilgai taško ir normaliojo vektoriaus lygtis.

Apibrėžimas... Dekarto stačiakampėje koordinačių sistemoje vektorius su komponentais (A, B)

statmena lygties nurodytai tiesei

Ax + Wu + C = 0.

Pavyzdys... Raskite tiesės, einančios per tašką, lygtį A (1, 2) statmenai vektoriui (3, -1).

Sprendimas... Esant A = 3 ir B = -1, sudarome tiesės lygtį: 3x - y + C = 0. Norėdami rasti koeficientą C

gautoje išraiškoje pakeiskite duoto taško A koordinates. Gauname: 3 - 2 + C = 0, todėl

C = -1. Iš viso: reikalinga lygtis: 3x - y - 1 = 0.

Tiesės, einančios per du taškus, lygtis.

Tegu erdvėje pateikti du taškai M 1 (x 1, y 1, z 1) ir M2 (x 2, y 2, z 2), tada tiesios linijos lygtis,

eina per šiuos taškus:

Jei kuris nors iš vardiklių yra lygus nuliui, atitinkamas skaitiklis turi būti prilygintas nuliui. Įjungta

plokštumoje, aukščiau parašyta tiesės lygtis yra supaprastinta:

jeigu x 1 ≠ x 2 ir x = x 1, jei x 1 = x 2 .

Frakcija = k paskambino nuolydis tiesiai.

Pavyzdys... Raskite tiesės, einančios per taškus A (1, 2) ir B (3, 4), lygtį.

Sprendimas... Taikydami aukščiau pateiktą formulę, gauname:

Tiesės lygtis pagal tašką ir nuolydį.

Jei bendroji tiesės lygtis Ax + Wu + C = 0 veda į formą:

ir paskirti , tada gauta lygtis vadinama

tiesės su nuolydžiu k lygtis.

Tiesios linijos išilgai taško ir krypties vektoriaus lygtis.

Pagal analogiją su pastraipa, kurioje nagrinėjama tiesės linijos per normalųjį vektorių lygtis, galite įvesti užduotį

tiesi linija per tašką ir tiesės krypties vektorius.

Apibrėžimas... Kiekvienas nulinis vektorius (α 1, α 2) kurio komponentai tenkina sąlygą

Аα 1 + Вα 2 = 0 paskambino nukreipiantis tiesės vektorius.

Ax + Wu + C = 0.

Pavyzdys... Raskite tiesės su krypties vektoriumi (1, -1) ir einančios per tašką A (1, 2) lygtį.

Sprendimas... Reikalingos tiesės lygtis bus ieškoma tokia forma: Ax + By + C = 0. Pagal apibrėžimą,

koeficientai turi atitikti sąlygas:

1 * A + (-1) * B = 0, t.y. A = B.

Tada tiesės lygtis turi tokią formą: Ax + Ay + C = 0, arba x + y + C / A = 0.

adresu x = 1, y = 2 mes gauname C / A = -3, t.y. reikalinga lygtis:

x + y - 3 = 0

Tiesios linijos atkarpose lygtis.

Jei bendrojoje tiesės lygtyje Ax + Vy + C = 0 C ≠ 0, tada, padalijant iš -C, gauname:

arba kur

Koeficientų geometrinė reikšmė ta, kad koeficientas a yra susikirtimo taško koordinatė

tiesiai su ašimi Oi, a b- tiesės susikirtimo su ašimi taško koordinatė OU.

Pavyzdys... Pateikiama bendroji tiesės lygtis x - y + 1 = 0. Raskite šios tiesės lygtį atkarpomis.

C = 1, a = -1, b = 1.

Normali tiesės lygtis.

Jei abi lygties pusės Ax + Wu + C = 0 padalinti iš skaičiaus kuris vadinamas

normalizuojantis veiksnys, tada gauname

xcosφ + ysinφ - p = 0 -normalioji tiesės lygtis.

Normalizuojančio koeficiento ± ženklą reikia parinkti taip, kad μ * C< 0.

R- statmens ilgis, nukritęs nuo pradžios iki tiesės,

a φ - kampas, sudarytas šio statmens su teigiama ašies kryptimi Oi.

Pavyzdys... Pateikiama bendroji tiesės lygtis 12x - 5m - 65 = 0... Reikalinga parašyti įvairių tipų lygtis

ši tiesi linija.

Šios tiesės lygtis atkarpomis:

Šios tiesės lygtis su nuolydžiu: (padalinkite iš 5)

Tiesios linijos lygtis:

cos φ = 12/13; sin φ = -5/13; p = 5.

Reikėtų pažymėti, kad ne kiekviena tiesė gali būti pavaizduota lygtimi atkarpose, pavyzdžiui, tiesės,

lygiagrečios ašims arba einančios per pradžią.

Kampas tarp tiesių plokštumoje.

Apibrėžimas... Jei pateiktos dvi eilutės y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, tada smailusis kampas tarp šių linijų

bus apibrėžtas kaip

Dvi tiesės lygiagrečios, jei k 1 = k 2... Dvi tiesios linijos yra statmenos,

jeigu k 1 = -1 / k 2 .

Teorema.

Tiesioginis Ax + Wu + C = 0 ir A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 yra lygiagrečios, kai koeficientai yra proporcingi

А 1 = λА, В 1 = λВ... Jei taip pat С 1 = λС, tada tiesės sutampa. Dviejų tiesių susikirtimo taško koordinatės

randami kaip šių tiesių lygčių sistemos sprendimas.

Tiesės, einančios per tam tikrą tašką statmenai nurodytai tiesei, lygtis.

Apibrėžimas... Linija per tašką M 1 (x 1, y 1) ir statmenai tiesei y = kx + b

yra pavaizduotas lygtimi:

Atstumas nuo taško iki linijos.

Teorema... Jei duodamas taškas M (x 0, y 0), atstumas iki tiesės Ax + Wu + C = 0 apibrėžtas kaip:

Įrodymas... Tegul taškas M 1 (x 1, y 1)- statmeno pagrindas nukrito nuo taško M už duotą

tiesi linija. Tada atstumas tarp taškų M ir M 1:

(1)

Koordinatės x 1 ir 1 val galima rasti kaip lygčių sistemos sprendimą:

Antroji sistemos lygtis yra tiesės, einančios per tam tikrą tašką M 0, statmeną

duota tiesi linija. Jei paversime pirmąją sistemos lygtį į formą:

A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 + pagal 0 + C = 0,

tada išspręsdami gauname:

Pakeitę šias išraiškas į (1) lygtį, randame:

Teorema įrodyta.

Tegul tiesė eina per taškus M 1 (x 1; y 1) ir M 2 (x 2; y 2). Tiesės, einančios per tašką M 1, lygtis yra y-y 1 = k (x - x 1), (10,6)

kur k – dar nežinomas koeficientas.

Kadangi tiesė eina per tašką M 2 (x 2 y 2), šio taško koordinatės turi atitikti (10.6) lygtį: y 2 -y 1 = k (x 2 - x 1).

Iš čia randame Rastos vertės pakeitimą k į (10.6) lygtį gauname tiesės, einančios per taškus M 1 ir M 2, lygtį:

Daroma prielaida, kad šioje lygtyje x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Jei x 1 = x 2, tai tiesė, einanti per taškus M 1 (x 1, y I) ir M 2 (x 2, y 2), yra lygiagreti ordinačių ašiai. Jo lygtis turi formą x = x 1 .

Jei y 2 = y I, tai tiesės lygtį galima parašyti taip y = y 1, tiesė M 1 M 2 lygiagreti abscisių ašiai.

Tiesios linijos atkarpose lygtis

Tegul tiesė kerta Ox ašį taške M 1 (a; 0), o Oy ašį - taške M 2 (0; b). Lygtis bus tokia:
tie.
... Ši lygtis vadinama tiesės lygtis atkarpose, kadangi skaičiai a ir b rodo, kurios atkarpos koordinačių ašyse nupjautos tiesia linija.

Tiesės, einančios per tam tikrą tašką, statmeną tam tikram vektoriui, lygtis

Raskime lygtį tiesės, einančios per duotą tašką Mo (x O; y o), statmeną duotam nuliniam vektoriui n = (A; B).

Paimkite savavališką tiesės tašką M (x; y) ir apsvarstykite vektorių M 0 M (x - x 0; y - y o) (žr. 1 pav.). Kadangi vektoriai n ir M o M yra statmeni, jų skaliarinė sandauga yra lygi nuliui: tai yra,

A (x – xo) + B (y – yo) = 0. (10.8)

Lygtis (10.8) vadinama tiesės, einančios per tam tikrą tašką, statmeną tam tikram vektoriui, lygtis .

Vektorius n = (A; B), statmenas tiesei, vadinamas normaliuoju šios linijos normalusis vektorius .

Lygtį (10.8) galima perrašyti kaip Ax + Wu + C = 0 , (10.9)

čia A ir B yra normaliojo vektoriaus koordinatės, C = -Aх о - Ву о - laisvasis narys. Lygtis (10.9) yra bendroji tiesės lygtis(žr. 2 pav.).

1 pav. 2 pav

Kanoninės tiesės lygtys

,

Kur
- taško, per kurį eina tiesė, koordinates ir
yra krypties vektorius.

Antros eilės kreivių ratas

Apskritimas yra visų plokštumos taškų, nutolusių vienodu atstumu nuo tam tikro taško, vadinamo centru, rinkinys.

Kanoninė spindulio apskritimo lygtis R centruojamas taške
:

Visų pirma, jei statymo centras sutampa su kilme, lygtis atrodys taip:

Elipsė

Elipsė yra plokštumos taškų rinkinys, atstumų nuo kiekvieno iš jų iki dviejų nurodytų taškų suma ir , kurie vadinami židiniais, turi konstantą
didesnis nei atstumas tarp židinių
.

Kanoninė elipsės lygtis, kurios židiniai yra ant Ox ašies, o koordinačių pradžia viduryje tarp židinių turi formą
G de a pusiau pagrindinės ašies ilgis; b - pusiau mažosios ašies ilgis (2 pav.).

Tiesės, einančios per du taškus, lygtis. Straipsnis" " Pažadėjau išanalizuoti antrąjį pateiktų išvestinės suradimo uždavinių sprendimo būdą tam tikram funkcijos grafikui ir šio grafiko liestinei. Mes analizuosime šį metodą , Nepraleisk! Kodėl kitame?

Faktas yra tas, kad ten bus naudojama tiesės lygties formulė. Žinoma, galite tiesiog parodyti šią formulę ir patarti jos išmokti. Bet geriau paaiškinti – iš kur jis kilęs (kaip kilęs). Tai būtina! Jei pamiršite, greitai atkurkitenebus sunku. Viskas išsamiai aprašyta žemiau. Taigi koordinačių plokštumoje turime du taškus A(x 1; y 1) ir B (x 2; y 2), per nurodytus taškus nubrėžiama tiesi linija:

Čia yra tiesios linijos formulė:

* Tai yra, pakeitę konkrečias taškų koordinates, gauname y = kx + b formos lygtį.

** Jei ši formulė yra tiesiog „dantyta“, yra didelė tikimybė susipainioti su indeksais NS... Be to, indeksai gali būti žymimi įvairiais būdais, pavyzdžiui:

Štai kodėl svarbu suprasti prasmę.

Dabar šios formulės išvada. Viskas labai paprasta!

Trikampiai ABE ir ACF yra panašūs smailiuoju kampu (pirmasis stačiakampių trikampių panašumo ženklas). Iš to išplaukia, kad atitinkamų elementų santykiai yra lygūs, tai yra:

Dabar mes tiesiog išreiškiame šiuos segmentus taškų koordinačių skirtumu:

Žinoma, nebus klaidų, jei elementų ryšius parašysite kita tvarka (svarbiausia, kad atitiktų):

Rezultatas bus ta pati tiesės lygtis. Tai viskas!

Tai yra, kad ir kaip būtų pažymėti patys taškai (ir jų koordinatės), supratę šią formulę visada rasite tiesės lygtį.

Formulę galima išvesti naudojant vektorių savybes, tačiau išvados principas bus tas pats, nes kalbėsime apie jų koordinačių proporcingumą. Šiuo atveju veikia tas pats stačiakampių trikampių panašumas. Mano nuomone, aukščiau aprašyta produkcija yra aiškesnė)).

Peržiūrėkite išvestį per vektorines koordinates >>>

Koordinačių plokštumoje, einančioje per du duotus taškus A (x 1; y 1) ir B (x 2; y 2), nutieskite tiesę. Tiesėje pažymėkime savavališką tašką C su koordinatėmis ( x; y). Taip pat žymime du vektorius:

Yra žinoma, kad vektoriams, esantiems lygiagrečiose tiesėse (arba vienoje tiesėje), jų atitinkamos koordinatės yra proporcingos, tai yra:

- užrašome atitinkamų koordinačių santykių lygybę:

Panagrinėkime pavyzdį:

Raskite tiesės, einančios per du taškus, kurių koordinatės (2; 5) ir (7: 3), lygtį.

Jums net nereikia tiesti pačios tiesios linijos. Taikome formulę:

Sudarant santykį svarbu, kad gautumėte korespondenciją. Negalite suklysti, jei parašysite:

Atsakymas: y = -2 / 5x + 29/5 eiti y = -0,4x + 5,8

Norėdami įsitikinti, kad gauta lygtis rasta teisingai, būtinai patikrinkite – pakeiskite į ją taškų būklės duomenų koordinates. Turėtumėte gauti teisingas lygybes.

Tai viskas. Tikiuosi, kad medžiaga jums buvo naudinga.

Pagarbiai Aleksandras.

P.S. Būčiau dėkingas, jei papasakotumėte apie svetainę socialiniuose tinkluose.