Internetinė lygčių sprendimo skaičiuoklė su išsamiu sprendimu. Paprastų tiesinių lygčių sprendimas

Šiame vaizdo įraše apžvelgsime visą rinkinį. tiesines lygtis, kurios sprendžiamos tuo pačiu algoritmu – todėl ir vadinamos paprasčiausiais.

Pirmiausia apibrėžkime: kas yra tiesinė lygtis ir kuri iš jų turėtų būti vadinama paprasčiausia?

Tiesinė lygtis yra ta, kurioje yra tik vienas kintamasis ir tik pirmojo laipsnio.

Paprasčiausia lygtis reiškia konstrukciją:

Visos kitos tiesinės lygtys sumažinamos iki paprasčiausių, naudojant algoritmą:

1. Atidaryti skliausteliuose, jei tokių yra;
2. Perkelkite terminus su kintamuoju į vieną lygybės ženklo pusę, o terminus be kintamojo į kitą;
3. Panašius terminus perkelkite į kairę ir dešinę nuo lygybės ženklo;
4. Gautą lygtį padalinkite iš kintamojo $x$ koeficiento.

Žinoma, šis algoritmas ne visada padeda. Faktas yra tas, kad kartais po visų šių machinacijų kintamojo $x$ koeficientas pasirodo lygus nuliui. Šiuo atveju galimi du variantai:

1. Lygtis apskritai neturi sprendinių. Pavyzdžiui, kai gaunate kažką panašaus į $0\cdot x=8$, t.y. kairėje yra nulis, o dešinėje - ne nulis skaičius. Žemiau esančiame vaizdo įraše apžvelgsime keletą priežasčių, kodėl tokia situacija yra įmanoma.
2. Sprendimas yra visi skaičiai. Vienintelis atvejis, kai tai įmanoma, yra tada, kai lygtis sumažinta iki konstrukcijos $0\cdot x=0$. Visai logiška, kad ir kokius $x$ pakeistume, vis tiek išeis „nulis lygus nuliui“, t.y. teisinga skaitinė lygybė.

O dabar pažiūrėkime, kaip visa tai veikia realių problemų pavyzdžiu.

Lygčių sprendimo pavyzdžiai

Šiandien mes susiduriame su tiesinėmis lygtimis ir tik paprasčiausiomis. Apskritai, tiesinė lygtis reiškia bet kokią lygybę, kurioje yra tiksliai vienas kintamasis, ir ji eina tik iki pirmojo laipsnio.

Tokios konstrukcijos sprendžiamos maždaug tokiu pačiu būdu:

1. Visų pirma, turite atidaryti skliaustus, jei tokių yra (kaip mūsų paskutiniame pavyzdyje);
2. Tada atnešk panašų
3. Galiausiai išskirkite kintamąjį, t.y. viskas, kas susiję su kintamuoju – terminai, kuriuose jis yra – perkeliamas į vieną pusę, o viskas, kas lieka be jo, perkeliama į kitą pusę.

Tada, kaip taisyklė, kiekvienoje gautos lygybės pusėje reikia panašų, o po to lieka tik padalyti iš koeficiento ties „x“, ir mes gausime galutinį atsakymą.

Teoriškai tai atrodo gražiai ir paprastai, tačiau praktiškai net patyrę aukštųjų mokyklų studentai gali padaryti įžeidžiančių klaidų gana paprastose tiesinėse lygtyse. Dažniausiai klaidos daromos arba atidarant skliaustus, arba skaičiuojant „pliusus“ ir „minusus“.

Be to, pasitaiko, kad tiesinė lygtis apskritai neturi sprendinių arba taip, kad sprendinys yra visa skaičių tiesė, t.y. bet koks skaičius. Šios subtilybės išanalizuosime šios dienos pamokoje. Bet mes pradėsime, kaip jau supratote, nuo paprasčiausių užduočių.

Paprastų tiesinių lygčių sprendimo schema

Pirmiausia leiskite man dar kartą parašyti visą paprasčiausių tiesinių lygčių sprendimo schemą:

1. Išskleiskite skliaustus, jei tokių yra.
2. Atskirti kintamuosius, t.y. viskas, kas turi "x", perkeliama į vieną pusę, o be "x" - į kitą.
3. Pateikiame panašias sąlygas.
4. Viską padalijame iš koeficiento „x“.

Žinoma, ši schema ne visada pasiteisina, ji turi tam tikrų subtilybių ir gudrybių, o dabar mes su jais susipažinsime.

Realių paprastų tiesinių lygčių pavyzdžių sprendimas

1 užduotis

Pirmajame etape turime atidaryti skliaustus. Tačiau šiame pavyzdyje jų nėra, todėl šį žingsnį praleidžiame. Antrame etape turime išskirti kintamuosius. Pastaba: Mes kalbame tik apie atskirus komponentus. Parašykime:

Kairėje ir dešinėje pateikiame panašius terminus, tačiau tai jau buvo padaryta čia. Todėl pereiname prie ketvirto žingsnio: padalinkite iš koeficiento:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Čia mes gavome atsakymą.

2 užduotis

Šioje užduotyje galime stebėti skliaustus, todėl išplėskime juos:

Ir kairėje, ir dešinėje matome maždaug tą pačią konstrukciją, bet veikime pagal algoritmą, t.y. sekvesterio kintamieji:

Štai keletas tokių:

Kokiomis šaknimis tai veikia? Atsakymas: bet kokiam. Todėl galime parašyti, kad $x$ yra bet koks skaičius.

3 užduotis

Trečioji tiesinė lygtis jau įdomesnė:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Čia yra keli skliaustai, bet jie iš nieko nepadauginti, tik prieš juos yra skirtingi ženklai. Išskaidykime juos:

Atliekame antrą mums jau žinomą žingsnį:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Paskaičiuokime:

Mes atliekame paskutinį žingsnį - viską padaliname iš koeficiento "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Ką reikia atsiminti sprendžiant tiesines lygtis

Jei ignoruosime pernelyg paprastas užduotis, norėčiau pasakyti:

• Kaip sakiau aukščiau, ne kiekviena tiesinė lygtis turi sprendimą – kartais tiesiog nėra šaknų;
• Net jei yra šaknų, tarp jų gali patekti nulis – nieko blogo.

Nulis yra toks pat skaičius kaip ir kiti, neturėtumėte jo kažkaip diskriminuoti arba manyti, kad jei gavote nulį, vadinasi, padarėte kažką ne taip.

Kitas bruožas yra susijęs su skliaustų išplėtimu. Atkreipkite dėmesį: kai prieš juos yra „minusas“, mes jį pašaliname, bet skliausteliuose keičiame ženklus į priešingas. Ir tada galime jį atidaryti pagal standartinius algoritmus: gausime tai, ką matėme atlikdami aukščiau esančius skaičiavimus.

Šio paprasto fakto supratimas padės nepadaryti kvailų ir skaudžių klaidų vidurinėje mokykloje, kai tokie veiksmai laikomi savaime suprantamu dalyku.

Sudėtingų tiesinių lygčių sprendimas

Pereikime prie sudėtingesnių lygčių. Dabar konstrukcijos sudėtingės, o atliekant įvairias transformacijas atsiras kvadratinė funkcija. Tačiau neturėtumėte to bijoti, nes jei pagal autoriaus ketinimą išspręsime tiesinę lygtį, tada transformacijos procese visi monomai, turintys kvadratinę funkciją, būtinai bus sumažinti.

1 pavyzdys

Akivaizdu, kad pirmasis žingsnis yra atidaryti skliaustus. Padarykime tai labai atsargiai:

Dabar paimkime privatumą:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Štai keletas tokių:

Akivaizdu, kad duota lygtis Sprendimų nėra, todėl atsakyme rašome:

\[\variety \]

arba be šaknų.

2 pavyzdys

Atliekame tuos pačius veiksmus. Pirmas žingsnis:

Viską perkelkime su kintamuoju į kairę, o be jo - į dešinę:

Štai keletas tokių:

Akivaizdu, kad ši tiesinė lygtis neturi sprendimo, todėl rašome taip:

\[\varnothing\],

arba be šaknų.

Sprendimo niuansai

Abi lygtys yra visiškai išspręstos. Šių dviejų išraiškų pavyzdžiu dar kartą įsitikinome, kad net ir paprasčiausiose tiesinėse lygtyse viskas gali būti ne taip paprasta: gali būti arba viena, arba nė vienos, arba be galo daug. Mūsų atveju mes svarstėme dvi lygtis, abiejose tiesiog nėra šaknų.

Tačiau norėčiau atkreipti jūsų dėmesį į kitą faktą: kaip dirbti su skliaustais ir kaip juos išplėsti, jei prieš juos yra minuso ženklas. Apsvarstykite šią išraišką:

Prieš atidarant, reikia viską padauginti iš "x". Atkreipkite dėmesį: padauginkite kiekvienas atskiras terminas. Viduje yra du terminai - atitinkamai du terminai ir yra padauginti.

Ir tik baigus šias iš pažiūros elementarias, bet labai svarbias ir pavojingas transformacijas, skliaustelį galima atverti iš to, kad po jo yra minuso ženklas. Taip, taip: tik dabar, kai atliekamos transformacijos, prisimename, kad prieš skliaustus yra minuso ženklas, o tai reiškia, kad viskas žemyn tik keičia ženklus. Tuo pačiu metu dingsta patys laikikliai ir, svarbiausia, dingsta ir priekinis „minusas“.

Tą patį darome su antrąja lygtimi:

Neatsitiktinai atkreipiu dėmesį į šiuos mažus, atrodytų, nereikšmingus faktus. Nes lygčių sprendimas visada yra seka elementarios transformacijos, kur nesugebėjimas aiškiai ir kompetentingai atlikti paprastus veiksmus lemia tai, kad pas mane ateina gimnazistai ir vėl mokosi spręsti tokias paprastas lygtis.

Žinoma, ateis diena, kai šiuos įgūdžius ištobulinsite iki automatizmo. Nebereikia kaskart atlikti tiek daug transformacijų, viską surašysite į vieną eilutę. Tačiau kol jūs tik mokotės, kiekvieną veiksmą turite parašyti atskirai.

Dar sudėtingesnių tiesinių lygčių sprendimas

Tai, ką dabar spręsime, vargu ar galima pavadinti paprasčiausia užduotimi, tačiau prasmė išlieka ta pati.

1 užduotis

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

Padauginkime visus pirmosios dalies elementus:

Padarykime rekolekciją:

Štai keletas tokių:

Atlikime paskutinį žingsnį:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Štai mūsų galutinis atsakymas. Ir nepaisant to, kad spręsdami turėjome koeficientus su kvadratine funkcija, jie vienas kitą sunaikino, todėl lygtis yra tiksliai tiesinė, o ne kvadratinė.

2 užduotis

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

Pirmąjį veiksmą atlikime atsargiai: padauginkite kiekvieną pirmame skliauste esantį elementą iš kiekvieno antrojo elemento. Iš viso po transformacijų turėtų būti gauti keturi nauji terminai:

Ir dabar atidžiai atlikite dauginimą kiekviename termine:

Perkelkime terminus su „x“ į kairę, o be – į dešinę:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Čia yra panašūs terminai:

Gavome galutinį atsakymą.

Sprendimo niuansai

Svarbiausia pastaba apie šias dvi lygtis yra tokia: kai tik pradedame dauginti skliaustus, kuriuose yra didesnis už jį narys, tada tai daroma pagal kita taisyklė: paimame pirmąjį narį iš pirmojo ir dauginame su kiekvienu elementu iš antrojo; tada paimame antrą elementą iš pirmojo ir panašiai dauginame su kiekvienu elementu iš antrojo. Dėl to gauname keturis terminus.

Ant algebrinės sumos

Paskutiniu pavyzdžiu norėčiau priminti mokiniams, kas yra algebrinė suma. Klasikinėje matematikoje turime omenyje 1–7 USD paprastas dizainas: iš vieno atimkite septynis. Algebroje turime omenyje tai: prie skaičiaus „vienas“ pridedame kitą skaičių, būtent „minus septyni“. Ši algebrinė suma skiriasi nuo įprastos aritmetinės sumos.

Kai tik atlikdami visas transformacijas, kiekvieną sudėjimą ir daugybą, pradėsite matyti konstrukcijas, panašias į aukščiau aprašytas, tiesiog neturėsite problemų algebroje dirbdami su daugianariais ir lygtimis.

Pabaigoje pažvelkime į dar keletą pavyzdžių, kurie bus dar sudėtingesni nei tie, kuriuos ką tik pažvelgėme, ir norėdami juos išspręsti, turėsime šiek tiek išplėsti savo standartinį algoritmą.

Spręsti lygtis su trupmena

Norint išspręsti tokias užduotis, mūsų algoritmas turės būti įtrauktas dar vienu žingsniu. Bet pirmiausia priminsiu mūsų algoritmą:

1. Atidarykite skliaustus.
2. Atskiri kintamieji.
3. Atnešk panašių.
4. Padalinkite iš koeficiento.

Deja, šis nuostabus algoritmas, nepaisant viso jo efektyvumo, nėra visiškai tinkamas, kai prieš mus yra trupmenos. Ir tai, ką matysime toliau, abiejose lygtyse turime trupmeną kairėje ir dešinėje.

Kaip tokiu atveju dirbti? Taip, tai labai paprasta! Norėdami tai padaryti, prie algoritmo turite pridėti dar vieną veiksmą, kurį galima atlikti tiek prieš pirmąjį veiksmą, tiek po jo, būtent, atsikratyti trupmenų. Taigi, algoritmas bus toks:

1. Atsikratykite frakcijų.
2. Atidarykite skliaustus.
3. Atskiri kintamieji.
4. Atnešk panašių.
5. Padalinkite iš koeficiento.

Ką reiškia „atsikratyti trupmenų“? Ir kodėl tai galima padaryti ir po pirmojo standartinio žingsnio, ir prieš jį? Iš tikrųjų mūsų atveju visos trupmenos yra skaitinės pagal vardiklį, t.y. visur vardiklis yra tik skaičius. Todėl, jei abi lygties dalis padauginsime iš šio skaičiaus, tada atsikratysime trupmenų.

1 pavyzdys

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Atsikratykime šios lygties trupmenų:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Atkreipkite dėmesį: viskas padauginama iš „keturių“ vieną kartą, t.y. vien todėl, kad turite du skliaustus, nereiškia, kad turite padauginti kiekvieną iš „keturių“. Parašykime:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Dabar atidarykime:

Atliekame kintamojo išskyrimą:

Atliekame panašių terminų sumažinimą:

\[-4x=-1\left| :\kairė(-4 \dešinė) \dešinė.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Gavome galutinį sprendimą, pereiname prie antrosios lygties.

2 pavyzdys

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Čia atliekame visus tuos pačius veiksmus:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Problema išspręsta.

Tiesą sakant, tai yra viskas, ką šiandien norėjau pasakyti.

Pagrindiniai klausimai

Pagrindinės išvados yra šios:

• Žinoti tiesinių lygčių sprendimo algoritmą.
• Galimybė atidaryti skliaustus.
• Nesijaudinkite, jei kažkur turite kvadratinių funkcijų, greičiausiai tolesnių transformacijų metu jos bus sumažintos.
• Šaknys tiesinėse lygtyse, net ir paprasčiausiose, yra trijų tipų: viena šaknis, visa skaičių eilutė yra šaknis, šaknų visai nėra.

Tikiuosi, kad ši pamoka padės jums įsisavinti paprastą, bet labai svarbią temą, kad galėtumėte geriau suprasti visą matematiką. Jei kažkas neaišku, eikite į svetainę, išspręskite ten pateiktus pavyzdžius. Sekite naujienas, jūsų laukia dar daug įdomių dalykų!

Internete teikiama lygčių sprendimo paslauga padės išspręsti bet kurią lygtį. Naudodamiesi mūsų svetaine, jūs ne tik gausite atsakymą į lygtį, bet ir pamatysite išsamų sprendimą, tai yra, žingsnis po žingsnio parodytą rezultato gavimo procesą. Mūsų paslauga bus naudinga aukštųjų mokyklų studentams bendrojo lavinimo mokyklose ir jų tėvai. Mokiniai galės ruoštis įskaitoms, egzaminams, pasitikrinti savo žinias, o tėvai galės kontroliuoti savo vaikų matematinių lygčių sprendimą. Gebėjimas spręsti lygtis privalomas reikalavimas moksleiviams. Paslauga padės savarankiškai mokytis ir patobulinti žinias matematinių lygčių srityje. Su juo galite išspręsti bet kokią lygtį: kvadratinę, kubinę, neracionaliąją, trigonometrinę ir kt. internetinė paslauga bet neįkainojamas, nes be teisingo atsakymo gausite išsamų kiekvienos lygties sprendimą. Privalumai sprendžiant lygtis internete. Galite visiškai nemokamai išspręsti bet kurią lygtį internetu mūsų svetainėje. Paslauga pilnai automatizuota, nieko nereikia diegti kompiuteryje, tereikia įvesti duomenis ir programa išduos sprendimą. Bet kokios skaičiavimo ar spausdinimo klaidos neįtraukiamos. Su mumis labai lengva išspręsti bet kokias lygtis, todėl būtinai naudokite mūsų svetainę, kad išspręstumėte bet kokias lygtis. Jums tereikia įvesti duomenis ir skaičiavimas bus baigtas per kelias sekundes. Programa veikia savarankiškai, be žmogaus įsikišimo, o jūs gaunate tikslų ir išsamų atsakymą. Lygties sprendimas in bendras vaizdas. Tokioje lygtyje kintamųjų koeficientai ir norimos šaknys yra tarpusavyje susiję. Didžiausia kintamojo galia lemia tokios lygties eiliškumą. Remiantis tuo, naudokite lygtis įvairių metodų o teoremos sprendimams rasti. Lygčių sprendimas šio tipo reiškia norimų šaknų radimą bendrais bruožais. Mūsų paslauga leidžia išspręsti net sudėtingiausias algebrines lygtis internetu. Galite gauti tiek bendrąjį, tiek privatų lygties sprendimą pagal jūsų nurodytų koeficientų skaitines reikšmes. Norėdami išspręsti algebrinę lygtį svetainėje, pakanka teisingai užpildyti tik du laukus: pateiktos lygties kairę ir dešinę dalis. At algebrines lygtis su kintamaisiais koeficientais be galo daug sprendinių, o nustatant tam tikras sąlygas iš sprendinių aibės parenkamos privačios. Kvadratinė lygtis. Kvadratinė lygtis yra ax^2+bx+c=0, kai a>0. Kvadratinės formos lygčių sprendimas reiškia, kad reikia rasti x reikšmes, kurioms esant tenkinama lygybė ax^2+bx+c=0. Norėdami tai padaryti, diskriminanto reikšmė randama pagal formulę D=b^2-4ac. Jei diskriminantas mažiau nei nulis, tada lygtis neturi realių šaknų (šaknys yra iš kompleksinių skaičių lauko), jei lygi nuliui, tai lygtis turi vieną tikrąją šaknį, o jei diskriminantas didesnis už nulį, tai lygtis turi dvi realiąsias šaknis, kurios randamos pagal formulę: D = -b + - sqrt/2a. Norint išspręsti kvadratinę lygtį internetu, tereikia įvesti tokios lygties koeficientus (sveiuosius skaičius, trupmenas arba dešimtaines reikšmes). Jei lygtyje yra atimties ženklų, prieš atitinkamus lygties narius turite įdėti minusą. Nuspręsk kvadratinė lygtis internetu galima ir priklausomai nuo parametro, tai yra lygties koeficientų kintamųjų. Mūsų internetinė paslauga, skirta rasti bendrų sprendimų. Tiesinės lygtys. Tiesinėms lygtims (arba lygčių sistemoms) spręsti praktikoje naudojami keturi pagrindiniai metodai. Išsamiai apibūdinkime kiekvieną metodą. Pakeitimo metodas. Sprendžiant lygtis pakeitimo metodu, vieną kintamąjį reikia išreikšti kitais. Po to išraiška pakeičiama kitomis sistemos lygtimis. Taigi sprendimo metodo pavadinimas, ty vietoj kintamojo pakeičiama jo išraiška per likusius kintamuosius. Praktikoje metodas reikalauja sudėtingų skaičiavimų, nors jį lengva suprasti, todėl sprendžiant tokią lygtį internetu sutaupysite laiko ir atliksite skaičiavimus lengviau. Jums tereikia nurodyti nežinomųjų skaičių lygtyje ir užpildyti duomenis iš tiesinių lygčių, tada paslauga atliks skaičiavimus. Gauso metodas. Metodas pagrįstas paprasčiausiomis sistemos transformacijomis, siekiant gauti lygiavertę sistemą trikampis. Iš jo po vieną nustatomi nežinomieji. Praktiškai tokią lygtį reikia išspręsti internetu Išsamus aprašymas, kurio dėka gerai įsisavinsite Gauso metodą tiesinių lygčių sistemoms spręsti. Užrašykite tiesinių lygčių sistemą teisingu formatu ir atsižvelkite į nežinomųjų skaičių, kad teisingai išspręstumėte sistemą. Cramerio metodas. Šis metodas išsprendžia lygčių sistemas tais atvejais, kai sistema turi unikalų sprendimą. Pagrindinė matematinė operacija čia yra matricos determinantų skaičiavimas. Lygčių sprendimas Cramerio metodu atliekamas internetu, rezultatą gausite akimirksniu su išsamiu ir išsamiu aprašymu. Pakanka tik užpildyti sistemą koeficientais ir pasirinkti nežinomų kintamųjų skaičių. matricos metodas. Šis metodas susideda iš nežinomųjų koeficientų rinkimo matricoje A, nežinomųjų X stulpelyje ir laisvųjų narių B stulpelyje. Taigi tiesinių lygčių sistema sumažinama iki matricos lygtis formos AxX=B. Ši lygtis turi unikalų sprendinį tik tuo atveju, jei matricos A determinantas yra ne nulis, kitaip sistema neturi sprendinių arba neturi begalinio skaičiaus sprendinių. Lygčių sprendimas matricos metodu yra rasti atvirkštinė matrica BET.

Išanalizuosime dviejų tipų lygčių sistemų sprendimo būdus:

1. Sistemos sprendimas pakeitimo metodu.
2. Sistemos sprendimas sudedant (atimant) sistemos lygtis.

Siekiant išspręsti lygčių sistemą pakeitimo metodas turite laikytis paprasto algoritmo:
1. Išreiškiame. Iš bet kurios lygties išreiškiame vieną kintamąjį.
2. Pakaitalas. Vietoj išreikšto kintamojo, gautą reikšmę, pakeičiame kita lygtimi.
3. Gautą lygtį išsprendžiame vienu kintamuoju. Mes randame sistemos sprendimą.

Išspręsti sistema po termino pridėjimo (atėmimo) reikia:
1. Pasirinkite kintamąjį, kuriam darysime tuos pačius koeficientus.
2. Sudedame arba atimame lygtis, todėl gauname lygtį su vienu kintamuoju.
3. Išsprendžiame gautą tiesinę lygtį. Mes randame sistemos sprendimą.

Sistemos sprendimas – funkcijos grafikų susikirtimo taškai.

Išsamiai apsvarstykime sistemų sprendimą naudodami pavyzdžius.

1 pavyzdys:

Išspręskime pakeitimo metodu

Lygčių sistemos sprendimas pakeitimo metodu

2x+5y=1 (1 lygtis)
x-10y = 3 (2 lygtis)

1. Išreikšti
Matyti, kad antroje lygtyje yra kintamasis x, kurio koeficientas yra 1, taigi paaiškėja, kad kintamąjį x lengviausia išreikšti iš antrosios lygties.
x=3+10m

2. Išreiškę pirmoje lygtyje vietoj kintamojo x pakeičiame 3 + 10y.
2(3+10m)+5m=1

3. Gautą lygtį išsprendžiame vienu kintamuoju.
2(3+10m)+5y=1 (atviri skliausteliai)
6+20m+5m=1
25m = 1-6
25 m = -5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Lygčių sistemos sprendimas yra grafų susikirtimo taškai, todėl reikia rasti x ir y, nes susikirtimo taškas susideda iš x ir y. Raskime x, pirmoje pastraipoje, kur išreiškėme, ten pakeičiame y.
x=3+10m
x=3+10*(-0,2)=1

Įprasta pirmoje vietoje rašyti taškus, rašome kintamąjį x, o antroje – y.
Atsakymas: (1; -0,2)

2 pavyzdys:

Išspręskime terminų pridėjimo (atimties) būdu.

Lygčių sistemos sprendimas sudėjimo metodu

3x-2y=1 (1 lygtis)
2x-3y = -10 (2 lygtis)

1. Pasirinkite kintamąjį, tarkime, kad pasirenkame x. Pirmoje lygtyje kintamasis x turi koeficientą 3, antroje - 2. Koeficientus turime padaryti vienodus, tam turime teisę padauginti lygtis arba padalyti iš bet kurio skaičiaus. Pirmąją lygtį padauginame iš 2, o antrąją iš 3 ir gauname bendrą koeficientą 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3m = -10 |*3
6x-9y=-30

2. Iš pirmosios lygties atimkite antrąją, kad atsikratytumėte kintamojo x. Išspręskite tiesinę lygtį.
__6x-4y=2

5m=32 | :5
y = 6,4

3. Raskite x. Rastą y pakeičiame bet kurioje lygtyje, tarkime, pirmoje lygtyje.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Susikirtimo taškas bus x=4,6; y = 6,4
Atsakymas: (4.6; 6.4)

Ar norite ruoštis egzaminams nemokamai? Mokytoja internete nemokamai. Nejuokauju.

Jūsų dėmesiui siūlomas nemokamas skaičiuotuvas turi gausų matematinių skaičiavimų galimybių arsenalą. Tai leidžia naudoti internetinis skaičiuotuvasįvairiose veiklos srityse: edukacinis, profesionalus ir komercinis. Žinoma, ypač populiarus yra internetinės skaičiuoklės naudojimas studentai ir moksleiviai, jiems daug lengviau atlikti įvairius skaičiavimus.

Tačiau skaičiuotuvas gali būti naudinga priemonė kai kuriose verslo srityse ir skirtingų profesijų žmonėms. Žinoma, reikia naudoti skaičiuotuvą versle ar darbo veikla pirmiausia lemia pati veiklos rūšis. Jei verslas ir profesija siejami su nuolatiniais skaičiavimais ir skaičiavimais, tuomet verta išbandyti elektroninį skaičiuotuvą ir įvertinti jo naudingumo laipsnį konkrečiam verslui.

Šis internetinis skaičiuotuvas gali

• Teisingai vykdykite standartines matematines funkcijas, parašytas vienoje eilutėje, pvz. 12*3-(7/2) ir gali apdoroti didesnius skaičius, nei skaičiuojame didžiulius skaičius internetinėje skaičiuoklėje. Net nežinome, kaip teisingai paskambinti tokiu numeriu ( yra 34 simboliai ir tai nėra riba).
• Išskyrus liestinė, kosinusas, sinusas ir kitos standartinės funkcijos – skaičiuotuvas palaiko skaičiavimo operacijas lanko liestinė, lanko liestinė ir kiti.
• Yra arsenale logaritmus, faktorialai ir kitų puikių funkcijų
• Šis internetinis skaičiuotuvas gali sudaryti diagramas!!!

Grafikams braižyti paslauga naudoja specialų mygtuką (braižomas pilkas grafikas) arba pažodinį šios funkcijos atvaizdavimą (Plot). Norėdami sukurti grafiką internetiniame skaičiuoklėje, tiesiog parašykite funkciją: plot(tan(x)),x=-360..360.

Paėmėme paprasčiausią liestinės diagramą ir po kablelio nurodėme X kintamojo diapazoną nuo -360 iki 360.

Galite sukurti absoliučiai bet kokią funkciją su bet kokiu kintamųjų skaičiumi, pavyzdžiui: diagrama(cos(x)/3z, x=-180..360,z=4) Arba dar sudėtingesnis, nei galite pagalvoti. Atkreipiame dėmesį į kintamojo X elgesį – intervalas nuo ir iki nurodomas naudojant du taškus.

Vienintelis šios internetinės skaičiuoklės trūkumas (nors sunku tai pavadinti) yra tas, kad jis negali statyti rutulių ir kitų trimačių figūrų – tik plokštumos.

Kaip dirbti su matematikos skaičiuokle

1. Ekrane (skaičiuotuvo ekrane) įvesta išraiška ir jos skaičiavimo rezultatas rodomas įprastais simboliais, kaip rašome ant popieriaus. Šis laukas skirtas tiesiog dabartinei operacijai peržiūrėti. Įrašas rodomas ekrane, kai įvedate matematinę išraišką įvesties eilutėje.

2. Išraiškos įvesties laukas skirtas skaičiuojamai išraiškai rašyti. Čia reikia pažymėti, kad naudojami matematiniai simboliai kompiuterines programas, ne visada sutampa su tais, kuriuos dažniausiai naudojame popieriuje. Kiekvienos skaičiuotuvo funkcijos apžvalgoje rasite tinkamą konkrečios operacijos pavadinimą ir skaičiavimų pavyzdžius skaičiuoklėje. Šiame puslapyje žemiau pateikiamas visų galimų skaičiuotuvo operacijų sąrašas, taip pat nurodant teisingą jų rašybą.

3. Įrankių juosta – tai skaičiuotuvo mygtukai, pakeičiantys rankinį matematinių simbolių, nurodančių atitinkamą operaciją, įvedimą. Kai kurie skaičiuotuvo mygtukai (papildomos funkcijos, vienetų keitiklis, matricų ir lygčių sprendimas, grafikai) užduočių juostą papildo naujais laukeliais, kuriuose įvedami duomenys konkrečiam skaičiavimui. Lauke „Istorija“ yra rašymo pavyzdžių matematines išraiškas, taip pat šeši naujausi jūsų įrašai.

Atkreipkite dėmesį, kad kai paspausite skambinimo mygtukus papildomos funkcijos, vienetų keitiklis, sprendžiant matricas ir lygtis, nubraižant visas skaičiuoklės skydelis juda aukštyn, uždengdamas dalį ekrano. Užpildykite reikiamus laukus ir paspauskite mygtuką „I“ (paveikslėlyje paryškintas raudonai), kad pamatytumėte viso dydžio ekraną.

4. Skaičių klaviatūroje yra skaičiai ir aritmetiniai ženklai. Mygtukas „C“ ištrina visą įrašą išraiškos įvesties lauke. Norėdami ištrinti simbolius po vieną, turite naudoti rodyklę įvesties eilutės dešinėje.

Stenkitės visada uždaryti skliaustus išraiškos pabaigoje. Daugeliui operacijų tai nėra kritiška, internetinis skaičiuotuvas viską apskaičiuos teisingai. Tačiau kai kuriais atvejais galimos klaidos. Pavyzdžiui, kai didinama iki trupmeninės laipsnio, dėl neuždarytų skliaustų laipsnio trupmenos vardiklis pereis į bazės vardiklį. Ekrane uždarymo skliaustas pažymėtas blyškiai pilka spalva, jis turi būti uždarytas baigus įrašymą.

Raktas	Simbolis	Operacija
pi	pi	pastovus pi
e	e	Eulerio numeris
%	%	proc
()	()	Atidaryti/uždaryti skliaustus
,	,	Kablelis
nuodėmė	nuodėmė (?)	Kampo sinusas
cos	cos (?)	Kosinusas
įdegis	įdegis (y)	Tangentas
sinh	sinh ()	Hiperbolinis sinusas
grynųjų pinigų	cosh ()	Hiperbolinis kosinusas
tanh	tanh()	Hiperbolinė tangentė
nuodėmė-1	asin ()	Atvirkštinis sinusas
cos-1	acos ()	atvirkštinis kosinusas
įdegis-1	įdegis()	atvirkštinė liestinė
sinh-1	asinh ()	Atvirkštinis hiperbolinis sinusas
cosh-1	acosh ()	Atvirkštinis hiperbolinis kosinusas
tanh-1	atanh ()	Atvirkštinė hiperbolinė tangentė
x2	^2	Kvadratavimas
x 3	^3	kubas
x y	^	Eksponentiškumas
10 x	10^()	Eksponentinis koeficientas 10 bazėje
e x	exp ()	Eilerio skaičiaus didinimas
vx	sqrt (x)	Kvadratinė šaknis
3vx	sqrt3(x)	3 laipsnio šaknis
yvx	kvadratas (x, y)	šaknų ištraukimas
rąstas 2 x	log2(x)	dvejetainis logaritmas
žurnalas	žurnalas (x)	Dešimtainis logaritmas
ln	žurnalas (x)	natūralusis logaritmas
rąstas yx	log(x,y)	Logaritmas
I/II		Sumažinti / iškviesti papildomas funkcijas
vienetas		Vienetų keitiklis
matrica		matricos
išspręsti		Lygtys ir lygčių sistemos
		Braižybos
Papildomos funkcijos (skambinti mygtuku II)
mod	mod	Padalijimas su likusia dalimi
!	!	Faktorinis
i/j	i/j	įsivaizduojamas vienetas
Re	Re()	Visos tikrosios dalies pasirinkimas
Aš	Aš()	Realios dalies pašalinimas
|x|	abs ()	Absoliuti skaičiaus reikšmė
Arg	arg()	Funkcijos argumentas
nCr	ncr()	Binominis koeficientas
gcd	gcd ()	GCD
lcm	lcm()	NOC
suma	suma()	Visų sprendimų suma
fac	faktorizuoti ()	Pirminis faktorizavimas
skirt	diff()	Diferencijavimas
Deg		laipsnių
Rad		radianų

Lygčių naudojimas yra plačiai paplitęs mūsų gyvenime. Jie naudojami atliekant daugybę skaičiavimų, statant konstrukcijas ir net sportuojant. Lygtis žmogus naudojo nuo seniausių laikų ir nuo to laiko jų naudojimas tik išaugo. Galios arba eksponentinės lygtys vadinamos lygtimis, kuriose kintamieji yra laipsniais, o pagrindas yra skaičius. Pavyzdžiui:

Eksponentinės lygties sprendimas susideda iš 2 gana paprastų žingsnių:

1. Reikia patikrinti, ar lygties pagrindai dešinėje ir kairėje yra vienodi. Jei bazės nevienodos, ieškome variantų, kaip išspręsti šį pavyzdį.

2. Po to, kai bazės tampa vienodos, sulyginame laipsnius ir išsprendžiame gautą naują lygtį.

Tarkime, kad turime tokios formos eksponentinę lygtį:

Šios lygties sprendimą verta pradėti nuo bazės analizės. Bazės yra skirtingos - 2 ir 4, o sprendimui reikia, kad jos būtų vienodos, todėl 4 transformuojame pagal tokią formulę - \ [ (a ^ n) ^ m = a ^ (nm): \]

Pridėkite prie pradinės lygties:

Išimkime skliaustus \

Express\

Kadangi laipsniai yra vienodi, juos atmetame:

Atsakymas: \

Kur galiu išspręsti eksponentinę lygtį internete naudojant sprendiklį?

Galite išspręsti lygtį mūsų svetainėje https: //. Laisvas internetinis sprendėjas leis jums per kelias sekundes išspręsti bet kokio sudėtingumo lygtį internete. Viskas, ką jums reikia padaryti, tai tiesiog įvesti savo duomenis į sprendiklį. Taip pat galite peržiūrėti vaizdo įrašo instrukcijas ir sužinoti, kaip išspręsti lygtį mūsų svetainėje. Ir jei turite klausimų, galite juos užduoti mūsų „Vkontakte“ grupėje http://vk.com/pocketteacher. Prisijunkite prie mūsų grupės, mes visada džiaugiamės galėdami jums padėti.