Lygu n aritmetine progresija. Aritmetinės progresijos n-ojo nario formulė
Aritmetinė ir geometrinė progresija
Teorinė informacija
Teorinė informacija
Aritmetinė progresija |
Geometrinė progresija |
|
Apibrėžimas |
Aritmetinė progresija a n vadinama seka, kurios kiekvienas narys, pradedant nuo antrojo, yra lygus ankstesniam nariui, pridėtam tuo pačiu skaičiumi d (d- progresavimo skirtumas) |
geometrinė progresija b n vadinama ne nulinių skaičių seka, kurios kiekvienas narys, pradedant nuo antrojo, yra lygus ankstesniam nariui, padaugintam iš to paties skaičiaus q (q- progreso vardiklis) |
Pasikartojanti formulė |
Bet kokiam natūraliam n |
Bet kokiam natūraliam n |
n-ojo termino formulė |
a n = a 1 + d (n - 1) |
b n \u003d b 1 ∙ q n - 1, b n ≠ 0 |
| būdinga savybė |  |
|
| Pirmųjų n narių suma |  |
 |
Užduočių pavyzdžiai su komentarais
1 pratimas
Aritmetine progresija ( a n) a 1 = -6, a 2
Pagal n-ojo nario formulę:
a 22 = a 1+ d (22 - 1) = a 1+ 21d
Pagal sąlygą:
a 1= -6, taigi a 22= -6 + 21d.
Būtina rasti progresavimo skirtumą:
d= a 2-a 1 = -8 – (-6) = -2
a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.
Atsakymas : a 22 = -48.
2 užduotis
Raskite penktąjį geometrinės progresijos narį: -3; 6;...
1-as būdas (naudojant n terminų formulę)
Pagal geometrinės progresijos n-ojo nario formulę:
b 5 \u003d b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.
Nes b 1 = -3,
2 būdas (naudojant rekursinę formulę)
Kadangi progresijos vardiklis yra -2 (q = -2), tada:
b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;
b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;
b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.
Atsakymas : b 5 = -48.
3 užduotis
Aritmetine progresija ( a n) a 74 = 34; a 76= 156. Raskite septyniasdešimt penktąjį šios progresijos narį.
Aritmetinei progresijai būdinga savybė turi formą 
.
Todėl:
.
Pakeiskite duomenis formulėje:
Atsakymas: 95.
4 užduotis
Aritmetine progresija ( a n ) a n= 3n - 4. Raskite pirmųjų septyniolikos narių sumą.
Norint rasti aritmetinės progresijos pirmųjų n narių sumą, naudojamos dvi formulės:
.
Kurį iš jų šiuo atveju patogiau taikyti?
Pagal sąlygą yra žinoma pradinės progresijos n-ojo nario formulė ( a n) a n= 3n - 4. Galima rasti iš karto ir a 1, Ir a 16 neradus d . Todėl naudojame pirmąją formulę.
Atsakymas: 368.
5 užduotis
Aritmetinėje progresijoje a n) a 1 = -6; a 2= -8. Raskite dvidešimt antrąjį progresavimo terminą.
Pagal n-ojo nario formulę:
a 22 = a 1 + d (22 – 1) = a 1+ 21d.
Pagal sąlygą, jei a 1= -6, tada a 22= -6 + 21d. Būtina rasti progresavimo skirtumą:
d= a 2-a 1 = -8 – (-6) = -2
a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.
Atsakymas : a 22 = -48.
6 užduotis
Įrašomi keli iš eilės geometrinės progresijos nariai:
Raskite progresijos terminą, pažymėtą raide x .
Spręsdami naudojame n-ojo nario formulę b n \u003d b 1 ∙ q n - 1 geometrinei progresijai. Pirmasis progresijos narys. Norėdami rasti progresijos q vardiklį, turite paimti bet kurį iš šių progresijos narių ir padalyti iš ankstesnio. Mūsų pavyzdyje galite paimti ir padalyti iš. Gauname, kad q \u003d 3. Vietoj n formulėje pakeičiame 3, nes reikia rasti trečiąjį tam tikros geometrinės progresijos narį.
Pakeitę rastas reikšmes į formulę, gauname:
.
Atsakymas:.
7 užduotis
Iš aritmetinių progresijų, pateiktų n-ojo nario formule, pasirinkite tą, kurios sąlyga tenkinama a 27 > 9:
Kadangi nurodyta sąlyga turi būti įvykdyta 27 progresijos nariui, kiekvienoje iš keturių progresijų vietoj n pakeičiame 27. 4-oje pakopoje gauname:
.
Atsakymas: 4.
8 užduotis
Aritmetinėje progresijoje a 1= 3, d = -1,5. Nurodykite didžiausią n reikšmę, kuriai galioja nelygybė a n > -6.
IV Jakovlevas | Matematikos medžiaga | MathUs.ru
Aritmetinė progresija
Aritmetinė progresija yra ypatinga sekos rūšis. Todėl prieš apibrėždami aritmetinę (o vėliau ir geometrinę) progresiją, turime trumpai aptarti svarbią skaičių sekos sąvoką.
Pasekmė
Įsivaizduokite įrenginį, kurio ekrane vienas po kito rodomi kai kurie skaičiai. Tarkime, 2; 7; 13; vienas; 6; 0; 3; : : : Toks skaičių rinkinys yra tik sekos pavyzdys.
Apibrėžimas. Skaičių seka yra skaičių rinkinys, kuriame kiekvienam skaičiui galima priskirti unikalų skaičių (tai yra, suderinti su vienu natūraliu skaičiumi)1. Skaičius su skaičiumi n vadinamas n-tuoju sekos nariu.
Taigi aukščiau pateiktame pavyzdyje pirmasis skaičius turi skaičių 2, kuris yra pirmasis sekos narys, kuris gali būti žymimas a1 ; skaičius penki turi skaičių 6, kuris yra penktasis sekos narys, kuris gali būti žymimas a5 . Apskritai n-asis sekos narys žymimas an (arba bn , cn ir tt).
Labai patogi situacija, kai n-tą sekos narį galima nurodyti kokia nors formule. Pavyzdžiui, formulė an = 2n 3 nurodo seką: 1; vienas; 3; penki; 7; : : : Formulė an = (1)n apibrėžia seką: 1; vienas; vienas; vienas; : : :
Ne kiekvienas skaičių rinkinys yra seka. Taigi segmentas nėra seka; jame yra ¾per daug¿ skaičių, kad juos būtų galima pernumeruoti. Visų realiųjų skaičių aibė R taip pat nėra seka. Šie faktai įrodomi atliekant matematinę analizę.
Aritmetinė progresija: pagrindiniai apibrėžimai
Dabar esame pasirengę apibrėžti aritmetinę progresiją.
Apibrėžimas. Aritmetinė progresija yra seka, kurioje kiekvienas narys (pradedant nuo antrojo) yra lygus ankstesnio nario ir tam tikro fiksuoto skaičiaus (vadinamo aritmetinės progresijos skirtumu) sumai.
Pavyzdžiui, seka 2; penki; 8; vienuolika; : : : yra aritmetinė progresija, kurios pirmasis narys yra 2 ir skirtumas 3. 7 seka; 2; 3; 8; : : : yra aritmetinė progresija, kurios pirmasis narys yra 7 ir skirtumas 5. 3 seka; 3; 3; : : : yra aritmetinė progresija su nuliu skirtumu.
Lygiavertis apibrėžimas: seka an vadinama aritmetine progresija, jei skirtumas an+1 an yra konstanta (nepriklausoma nuo n).
Sakoma, kad aritmetinė progresija didėja, jei jos skirtumas yra teigiamas, ir mažėja, jei skirtumas yra neigiamas.
1 Ir čia yra glaustesnis apibrėžimas: seka yra funkcija, apibrėžta natūraliųjų skaičių aibėje. Pavyzdžiui, realiųjų skaičių seka yra funkcija f: N! R.
Pagal numatytuosius nustatymus sekos laikomos begalinėmis, ty turinčios begalinį skaičių skaičių. Tačiau niekas nesivargina atsižvelgti ir į baigtines sekas; iš tikrųjų bet kurią baigtinę skaičių aibę galima pavadinti baigtine seka. Pavyzdžiui, galutinė seka 1; 2; 3; 4; 5 susideda iš penkių skaičių.
Aritmetinės progresijos n-ojo nario formulė
Nesunku suprasti, kad aritmetinę progresiją visiškai lemia du skaičiai: pirmasis narys ir skirtumas. Todėl kyla klausimas: kaip, žinant pirmąjį narį ir skirtumą, rasti savavališką aritmetinės progresijos narį?
Nesunku gauti norimą aritmetinės progresijos n-ojo nario formulę. Tegul an
aritmetinė progresija su skirtumu d. Mes turime: | |
an+1 = an + d (n = 1; 2; : ::): | |
Visų pirma, mes rašome: | |
a2 = a1 + d; | |
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d; | |
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d; | |
ir dabar tampa aišku, kad formulė yra: | |
an = a1 + (n 1)d: |
1 užduotis. 2 aritmetinėje progresijoje; penki; 8; vienuolika; : : : raskite n-ojo nario formulę ir apskaičiuokite šimtąjį narį.
Sprendimas. Pagal (1) formulę turime:
an = 2 + 3 (n 1) = 3n 1:
a100 = 3 100 1 = 299:
Savybė ir aritmetinės progresijos ženklas
aritmetinės progresijos savybė. Aritmetinėje progresijoje an už bet kurią
Kitaip tariant, kiekvienas aritmetinės progresijos narys (pradedant nuo antrosios) yra gretimų narių aritmetinis vidurkis.
Įrodymas. Mes turime: | ||||
a n 1+ a n+1 | (an d) + (an + d) | |||
ko ir reikėjo.
Apskritai aritmetinė progresija an tenkina lygybę
a n = a n k+ a n+k
bet kuriam n > 2 ir bet kuriam natūraliam k< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).
Pasirodo, kad (2) formulė yra ne tik būtina, bet ir pakankama sąlyga, kad seka būtų aritmetinė progresija.
Aritmetinės progresijos ženklas. Jei lygybė (2) galioja visiems n > 2, tai seka an yra aritmetinė progresija.
Įrodymas. Perrašykime formulę (2) taip:
a na n 1= a n+1a n:
Tai rodo, kad skirtumas an+1 an nepriklauso nuo n, o tai tiesiog reiškia, kad seka an yra aritmetinė progresija.
Aritmetinės progresijos savybė ir ženklas gali būti suformuluoti kaip vienas teiginys; patogumo dėlei tai padarysime su trimis skaičiais (ši situacija dažnai pasitaiko problemose).
Aritmetinės progresijos apibūdinimas. Trys skaičiai a, b, c sudaro aritmetinę progresiją tada ir tik tada, kai 2b = a + c.
2 uždavinys. (Maskvos valstybinis universitetas, Ekonomikos fakultetas, 2007) Trys skaičiai 8x, 3 x2 ir 4 nurodyta tvarka sudaro mažėjančią aritmetinę progresiją. Raskite x ir parašykite šios progresijos skirtumą.
Sprendimas. Pagal aritmetinės progresijos savybę turime:
2 (3 x 2 ) = 8x 4, 2x2 + 8x 10 = 0, x2 + 4x 5 = 0, x = 1; x=5:
Jei x = 1, tai gauname mažėjančią progresiją 8, 2, 4 su skirtumu 6. Jei x = 5, tai gauname didėjančią 40, 22, 4 progresiją; ši byla neveikia.
Atsakymas: x = 1, skirtumas yra 6.
Pirmųjų n aritmetinės progresijos narių suma
Legenda pasakoja, kad kartą mokytojas liepė vaikams surasti skaičių sumą nuo 1 iki 100 ir atsisėdo ramiai skaityti laikraščio. Tačiau per kelias minutes vienas berniukas pasakė, kad problemą išsprendė. Tai buvo 9 metų Carlas Friedrichas Gaussas, vėliau vienas didžiausių matematikų istorijoje.
Mažojo Gauso idėja buvo tokia. Leisti būti
S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:
Parašykime šią sumą atvirkštine tvarka:
S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;
ir pridėkite šias dvi formules:
2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):
Kiekvienas terminas skliausteliuose yra lygus 101, o iš viso tokių terminų yra 100. Todėl
2S = 101 100 = 10100;
Mes naudojame šią idėją sumos formulei išvesti
S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)
Naudinga (3) formulės modifikacija gaunama į ją pakeičiant n-ojo nario formulę an = a1 + (n 1)d:
2a1 + (n 1)d | |||||
3 užduotis. Raskite visų teigiamų triženklių skaičių, dalijamų iš 13, sumą.
Sprendimas. Triženkliai 13 kartotiniai sudaro aritmetinę progresiją, kurios pirmasis narys yra 104, o skirtumas yra 13; N-asis šios progresijos narys yra:
an = 104 + 13 (n 1) = 91 + 13n:
Sužinokime, kiek narių yra mūsų progresas. Norėdami tai padaryti, išsprendžiame nelygybę:
6999; 91 + 13n 6999;
n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:
Taigi mūsų progrese yra 69 nariai. Pagal (4) formulę randame reikiamą sumą:
S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2
Aritmetinė progresija pavadinkite skaičių seką (progresijos narius)
Kuriame kiekvienas paskesnis terminas skiriasi nuo ankstesnio plieno terminu, kuris taip pat vadinamas žingsnio ar progreso skirtumas.
Taigi, nustatę progresijos žingsnį ir pirmąjį jo terminą, naudodami formulę galite rasti bet kurį jo elementą
Aritmetinės progresijos savybės
1) Kiekvienas aritmetinės progresijos narys, pradedant nuo antrojo skaičiaus, yra ankstesnio ir kito progresijos nario aritmetinis vidurkis
Priešingai irgi tiesa. Jei gretimų nelyginių (lyginių) progresijos narių aritmetinis vidurkis yra lygus nariui, kuris yra tarp jų, tai ši skaičių seka yra aritmetinė progresija. Pagal šį teiginį labai lengva patikrinti bet kokią seką.
Taip pat pagal aritmetinės progresijos savybę aukščiau pateiktą formulę galima apibendrinti taip
Tai lengva patikrinti, jei terminus rašome lygybės ženklo dešinėje
Jis dažnai naudojamas praktikoje, siekiant supaprastinti problemų skaičiavimus.
2) Pirmųjų n aritmetinės progresijos narių suma apskaičiuojama pagal formulę
Gerai atsiminkite aritmetinės progresijos sumos formulę, ji yra būtina skaičiuojant ir gana įprasta paprastose gyvenimo situacijose.
3) Jei jums reikia rasti ne visą sumą, o dalį sekos, prasidedančios nuo k-ojo nario, tada jums pravers ši sumos formulė
4) Praktiškai įdomu rasti aritmetinės progresijos n narių sumą, pradedant nuo k-ojo skaičiaus. Norėdami tai padaryti, naudokite formulę
Čia baigiasi teorinė medžiaga ir pereinama prie praktikoje įprastų problemų sprendimo.
1 pavyzdys. Raskite keturiasdešimtąjį aritmetinės progresijos 4;7 narį;...
Sprendimas:
Pagal būklę turime
Apibrėžkite progresavimo žingsnį
Pagal gerai žinomą formulę randame keturiasdešimtąjį progresijos narį
2 pavyzdys. Aritmetinę progresiją pateikia trečiasis ir septintasis nariai. Raskite pirmąjį progresijos narį ir dešimties sumą.
Sprendimas:
Duotus progresijos elementus užrašome pagal formules
Pirmąją lygtį atimame iš antrosios lygties, todėl randame progresavimo žingsnį
Rasta reikšmė pakeičiama į bet kurią lygtį, kad būtų rastas pirmasis aritmetinės progresijos narys
Apskaičiuokite pirmųjų dešimties progresijos narių sumą
Netaikant sudėtingų skaičiavimų, radome visas reikalingas reikšmes.
3 pavyzdys. Aritmetinė progresija nurodoma vardikliu ir vienu iš jo narių. Raskite pirmąjį progresijos narį, jo 50 narių sumą, pradedant nuo 50, ir pirmųjų 100 sumą.
Sprendimas:
Parašykime šimtosios progresijos elemento formulę
ir susirask pirmąjį
Remdamiesi pirmuoju, randame 50-ąjį progresijos terminą
Progresijos dalies sumos radimas
ir pirmųjų 100 suma
Progresijos suma yra 250.
4 pavyzdys
Raskite aritmetinės progresijos narių skaičių, jei:
a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.
Sprendimas:
Rašome lygtis pagal pirmąjį narį ir progresijos žingsnį ir jas apibrėžiame
Gautas reikšmes pakeičiame į sumos formulę, kad nustatytų sumos narių skaičių
Supaprastinimų darymas
ir išspręskite kvadratinę lygtį
Iš dviejų rastų verčių problemos sąlygai tinka tik skaičius 8. Taigi pirmųjų aštuonių progresijos narių suma yra 111.
5 pavyzdys
išspręsti lygtį
1+3+5+...+x=307.
Sprendimas: ši lygtis yra aritmetinės progresijos suma. Išrašome pirmąjį jo terminą ir randame progresijos skirtumą
Aritmetinės progresijos problemos egzistavo nuo senų senovės. Jie pasirodė ir reikalavo sprendimo, nes turėjo praktinį poreikį.
Taigi viename iš Senovės Egipto papirusų, turinčių matematinį turinį - Rhindo papirusas (XIX a. pr. Kr.) - yra tokia užduotis: padalinkite dešimt duonos matų dešimčiai žmonių, jei skirtumas tarp jų yra vienas. aštunta masto.
O senovės graikų matematiniuose darbuose yra elegantiškų teoremų, susijusių su aritmetine progresija. Taigi Hipsikliai iš Aleksandrijos (II a., sudėję daug įdomių uždavinių ir keturioliktąją knygą pridėję prie Euklido „Elementų“) suformulavo mintį: „Aritmetinėje progresijoje su lyginiu narių skaičiumi II pusės narių suma. yra didesnė už 1-osios narių sumą kvadratu 1/2 narių.
Seka an yra pažymėta. Sekos skaičiai vadinami jos nariais ir dažniausiai žymimi raidėmis su indeksais, nurodančiais šio nario eilės numerį (a1, a2, a3 ... rašoma: „a 1st“, „a 2nd“, „a 3rd“ “ ir pan.).
Seka gali būti begalinė arba baigtinė.
Kas yra aritmetinė progresija? Jis suprantamas kaip gautas pridedant ankstesnį terminą (n) su tuo pačiu skaičiumi d, kuris yra progresijos skirtumas.
Jei d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, tada tokia progresija laikoma didėjančia.
Sakoma, kad aritmetinė progresija yra baigtinė, jei atsižvelgiama tik į keletą pirmųjų jos narių. Esant labai dideliam narių skaičiui, tai jau yra begalinis progresas.
Bet kokia aritmetinė progresija pateikiama pagal šią formulę:
an =kn+b, o b ir k yra kai kurie skaičiai.
Teiginys, kuris yra priešingas, yra visiškai teisingas: jei seka pateikiama panašia formule, tai yra būtent aritmetinė progresija, turinti savybes:
- Kiekvienas progresijos narys yra ankstesnio ir kito nario aritmetinis vidurkis.
- Priešingai: jei, pradedant nuo 2-osios, kiekvienas narys yra ankstesnio ir kito nario aritmetinis vidurkis, t.y. jei sąlyga įvykdyta, tai duotoji seka yra aritmetinė progresija. Ši lygybė kartu yra ir progresavimo požymis, todėl dažniausiai vadinama būdinga progresijos savybe.
Lygiai taip pat teisinga šią savybę atspindinti teorema: seka yra aritmetinė progresija tik tuo atveju, jei ši lygybė teisinga bet kuriam sekos nariui, pradedant nuo 2-osios.
Bet kurių keturių aritmetinės progresijos skaičių būdingą savybę galima išreikšti formule an + am = ak + al, jei n + m = k + l (m, n, k yra progresijos skaičiai).
Aritmetinėje progresijoje bet kurį būtiną (N-ąjį) narį galima rasti taikant šią formulę:
Pavyzdžiui: pirmasis aritmetinės progresijos narys (a1) yra lygus trims, o skirtumas (d) lygus keturiems. Turite rasti keturiasdešimt penktąjį šios progresijos terminą. a45 = 1+4(45-1)=177
Formulė an = ak + d(n - k) leidžia nustatyti n-ąjį aritmetinės progresijos narį per bet kurį k-ąjį narį, jei jis žinomas.
Aritmetinės progresijos narių suma (darant prielaidą, kad galutinėje progresijoje yra 1 n narių) apskaičiuojama taip:
Sn = (a1+an) n/2.
Jei žinomas ir 1-asis terminas, tada skaičiavimui patogu naudoti kitą formulę:
Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.
Aritmetinės progresijos, kurią sudaro n narių, suma apskaičiuojama taip:
Skaičiavimų formulių pasirinkimas priklauso nuo užduočių sąlygų ir pradinių duomenų.
Natūralioji bet kokių skaičių serija, pvz., 1,2,3,...,n,... yra paprasčiausias aritmetinės progresijos pavyzdys.
Be aritmetinės progresijos, yra ir geometrinė, kuri turi savo savybes ir ypatybes.
Internetinis skaičiuotuvas.
Aritmetinės progresijos sprendimas.
Duota: a n , d, n
Rasti: 1
Ši matematikos programa suranda \(a_1\) aritmetinės progresijos, pagrįstos vartotojo nurodytais skaičiais \(a_n, d \) ir \(n \).
Skaičiai \(a_n\) ir \(d \) gali būti nurodyti ne tik kaip sveikieji skaičiai, bet ir kaip trupmenos. Be to, trupmeninį skaičių galima įvesti kaip dešimtainę trupmeną (\(2,5 \)) ir kaip paprastąją trupmeną (\(-5\frac(2) (7) \)).
Programa ne tik pateikia atsakymą į problemą, bet ir parodo sprendimo paieškos procesą.
Ši internetinė skaičiuoklė gali būti naudinga gimnazistams ruošiantis įskaitoms ir egzaminams, pasitikrinti žinias prieš Vieningą valstybinį egzaminą, o tėvams kontroliuoti daugelio matematikos ir algebros uždavinių sprendimą. O gal jums per brangu samdyti dėstytoją ar pirkti naujus vadovėlius? O gal tiesiog norite kuo greičiau atlikti matematikos ar algebros namų darbus? Tokiu atveju taip pat galite naudoti mūsų programas su išsamiu sprendimu.
Tokiu būdu galite vesti savo ir (arba) jaunesnių brolių ar seserų mokymus, tuo pačiu padidindami išsilavinimo lygį sprendžiamų užduočių srityje.
Jei nesate susipažinę su skaičių įvedimo taisyklėmis, rekomenduojame su jomis susipažinti.
Skaičių įvedimo taisyklės
Skaičiai \(a_n\) ir \(d \) gali būti nurodyti ne tik kaip sveikieji skaičiai, bet ir kaip trupmenos.
Skaičius \(n\) gali būti tik teigiamas sveikasis skaičius.
Dešimtainių trupmenų įvedimo taisyklės.
Sveikasis skaičius ir trupmenos dalys dešimtainėse trupmenose gali būti atskirtos tašku arba kableliu.
Pavyzdžiui, galite įvesti dešimtainius skaičius, pvz., 2,5 arba 2,5
Paprastųjų trupmenų įvedimo taisyklės.
Tik sveikas skaičius gali veikti kaip trupmenos skaitiklis, vardiklis ir sveikoji dalis.
Vardiklis negali būti neigiamas.
Įvedant skaitinę trupmeną, skaitiklis nuo vardiklio atskiriamas dalybos ženklu: /
Įvestis:
Rezultatas: \(-\frac(2)(3) \)
Sveikoji dalis nuo trupmenos atskiriama ampersandu: &
Įvestis:
Rezultatas: \(-1\frac(2)(3) \)
Nustatyta, kad kai kurie scenarijai, reikalingi šiai užduočiai išspręsti, nebuvo įkelti, todėl programa gali neveikti.
Galbūt esate įjungę „AdBlock“.
Tokiu atveju išjunkite jį ir atnaujinkite puslapį.
Kad sprendimas būtų rodomas, JavaScript turi būti įjungtas.
Čia pateikiamos instrukcijos, kaip įjungti „JavaScript“ naršyklėje.
Nes Yra daug žmonių, kurie nori išspręsti problemą, jūsų prašymas yra eilėje.
Po kelių sekundžių apačioje pasirodys sprendimas.
Prašau palauk sek...
Jei tu pastebėjo klaidą sprendime, tuomet apie tai galite rašyti Atsiliepimų formoje .
Nepamiršk nurodykite, kokia užduotis tu spręsk ką įveskite laukelius.
Mūsų žaidimai, galvosūkiai, emuliatoriai:
Šiek tiek teorijos.
Skaitmeninė seka
Kasdienėje praktikoje įvairių objektų numeracija dažnai naudojama norint nurodyti jų išdėstymo tvarką. Pavyzdžiui, kiekvienoje gatvėje esantys namai yra sunumeruoti. Bibliotekoje skaitytojų abonementai numeruojami, o po to išdėliojami suteiktų numerių tvarka į specialias bylų spinteles.
Taupymo kasoje pagal indėlininko asmeninės sąskaitos numerį galite nesunkiai rasti šią sąskaitą ir pamatyti, koks jos indėlis. Tegul yra a1 rublio indėlis į sąskaitą Nr.1, įnašas a2 rublis į sąskaitą Nr.2 ir t.t.. Pasirodo skaitinė seka
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a N
kur N yra visų sąskaitų skaičius. Čia kiekvienam natūraliam skaičiui n nuo 1 iki N priskiriamas skaičius a n .
Matematika taip pat studijuoja begalinės skaičių sekos:
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... .
Skaičius a 1 vadinamas pirmasis sekos narys, numeris a 2 - antrasis sekos narys, numeris a 3 - trečiasis sekos narys ir tt
Skaičius a n vadinamas n-asis (n-asis) sekos narys, o natūralusis skaičius n yra jo numerį.
Pavyzdžiui, natūraliųjų skaičių 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2, (n + 1) 2, ... ir 1 = 1 kvadratų sekoje yra pirmasis sekos narys; ir n = n 2 yra n-tasis sekos narys; a n+1 = (n + 1) 2 yra (n + 1)-asis (en plius pirmasis) sekos narys. Dažnai seka gali būti nurodyta jos n-ojo nario formule. Pavyzdžiui, formulė \(a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) \) suteikia seką \(1, \; \frac(1)(2) , \; \frac(1)(3) , \; \frac(1)(4), \taškai,\frac(1)(n), \taškai \)
Aritmetinė progresija
Metų ilgis yra maždaug 365 dienos. Tikslesnė reikšmė yra \(365\frac(1)(4) \) dienų, todėl kas ketverius metus kaupiasi vienos dienos paklaida.
Siekiant atsižvelgti į šią klaidą, prie kas ketvirtų metų pridedama diena, o pailginti metai vadinami keliamaisiais metais.
Pavyzdžiui, trečiajame tūkstantmetyje keliamieji metai yra 2004, 2008, 2012, 2016, ... .
Šioje sekoje kiekvienas narys, pradedant nuo antrojo, yra lygus ankstesniam, pridedamas tuo pačiu skaičiumi 4. Tokios sekos vadinamos aritmetinės progresijos.
Apibrėžimas.
Skaičių seka a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... vadinama aritmetinė progresija, jei visiems natūraliems n lygybė
\(a_(n+1) = a_n+d, \)
kur d yra koks nors skaičius.
Iš šios formulės išplaukia, kad a n+1 – a n = d. Skaičius d vadinamas skirtumu aritmetinė progresija.
Pagal aritmetinės progresijos apibrėžimą turime:
\(a_(n+1)=a_n+d, \quad a_(n-1)=a_n-d, \)
kur
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \), kur \(n>1 \)
Taigi kiekvienas aritmetinės progresijos narys, pradedant nuo antrosios, yra lygus dviejų gretimų narių aritmetiniam vidurkiui. Tai paaiškina pavadinimą „aritmetinė“ progresija.
Atkreipkite dėmesį, kad jei pateikti a 1 ir d, tai likusius aritmetinės progresijos narius galima apskaičiuoti naudojant rekursinę formulę a n+1 = a n + d. Tokiu būdu nesunku suskaičiuoti keletą pirmųjų progresijos terminų, tačiau, pavyzdžiui, 100 jau reikės atlikti daug skaičiavimų. Paprastai tam naudojama n-oji termino formulė. Pagal aritmetinės progresijos apibrėžimą
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d\)
ir tt
Iš viso,
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
kadangi n-asis aritmetinės progresijos narys gaunamas iš pirmojo nario pridedant (n-1) skaičių d.
Ši formulė vadinama aritmetinės progresijos n-ojo nario formulė.
Pirmųjų n aritmetinės progresijos narių suma
Raskime visų natūraliųjų skaičių nuo 1 iki 100 sumą.
Šią sumą rašome dviem būdais:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
Mes pridedame šias lygybes po termino:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
Šioje sumoje yra 100 terminų.
Todėl 2S = 101 * 100, iš kur S = 101 * 50 = 5050.
Dabar apsvarstykite savavališką aritmetinę progresiją
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ...
Tegul S n yra pirmųjų n šios progresijos narių suma:
S n \u003d a 1, a 2, a 3, ..., a n
Tada aritmetinės progresijos pirmųjų n narių suma yra
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)
Kadangi \(a_n=a_1+(n-1)d \), tada pakeitę n šioje formulėje, gauname kitą formulę, kaip rasti aritmetinės progresijos pirmųjų n narių sumos:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)
