Matrica Gauso keturių lygčių metodu. Gauso matricų sprendimo metodas. Tiesinių lygčių sistemos sprendimas Gauso metodu

Dvi tiesinių lygčių sistemos yra lygiavertės, jei sutampa visų jų sprendimų aibė.

Pagrindinės lygčių sistemos transformacijos yra:

Trivialių lygčių pašalinimas iš sistemos, t.y. tie, kuriuose visi koeficientai yra lygūs nuliui;

Bet kurios lygties dauginimas iš skaičiaus, kuris nėra nulis;

Prie bet kurios i -tosios lygties pridėjus bet kurią j -ąją lygtį, padaugintą iš bet kurio skaičiaus.

Kintamasis x i vadinamas laisvu, jei šis kintamasis neleidžiamas, ir leidžiama visa lygčių sistema.

Teorema. Elementarios transformacijos lygčių sistemą paverčia lygiaverte.

Gausso metodo prasmė yra pakeisti pradinę lygčių sistemą ir gauti lygiavertę išspręstą arba lygiavertę nenuoseklią sistemą.

Taigi Gausso metodas susideda iš šių žingsnių:

Apsvarstykite pirmąją lygtį. Išsirinkime pirmąjį nulinį koeficientą ir padalinkime iš jo visą lygtį. Paimkime lygtį, į kurią įeina koks nors kintamasis x i su koeficientu 1;
Atimkime šią lygtį iš visų kitų, padauginę ją iš tokių skaičių, kad kintamojo x i koeficientai likusiose lygtyse būtų lygūs nuliui. Gauname sistemą, kuri išspręsta kintamojo x i atžvilgiu ir yra lygiavertė pradinei;
Jei atsiranda trivialių lygčių (retai, bet taip atsitinka; pavyzdžiui, 0 = 0), mes jas ištriname iš sistemos. Dėl to lygtys tampa viena mažiau;
Mes kartojame ankstesnius veiksmus ne daugiau kaip n kartų, kur n yra lygčių skaičius sistemoje. Kiekvieną kartą „apdorojimui“ pasirenkame naują kintamąjį. Jei atsiranda prieštaringų lygčių (pavyzdžiui, 0 = 8), sistema yra nenuosekli.

Dėl to po kelių žingsnių gauname arba leidžiamą sistemą (galbūt su laisvaisiais kintamaisiais), arba nesuderinamą. Leidžiamos sistemos skirstomos į du atvejus:

Kintamųjų skaičius yra lygus lygčių skaičiui. Tai reiškia, kad sistema yra apibrėžta;
Kintamųjų skaičius yra didesnis už lygčių skaičių. Mes renkame visus nemokamus kintamuosius dešinėje - gauname leistinų kintamųjų formules. Šios formulės parašytos atsakyme.

Tai viskas! Tiesinių lygčių sistema išspręsta! Tai gana paprastas algoritmas, ir norint jį įvaldyti, nereikia kreiptis į gimnazijos matematikos mokytoją. Apsvarstykime pavyzdį:

Užduotis. Išspręskite lygčių sistemą:

Veiksmų aprašymas:

Iš antrosios ir trečiosios atimkite pirmąją lygtį - gauname leidžiamą kintamąjį x 1;
Antrąją lygtį padauginame iš (−1), o trečiąją lygtį padalijame iš (−3) - gauname dvi lygtis, kuriose kintamasis x 2 atsiranda su koeficientu 1;
Prie pirmosios pridedame antrąją lygtį, o iš trečiosios atimame. Paimkime leistiną kintamąjį x 2;
Galiausiai iš pirmosios atimame trečiąją lygtį - gauname leidžiamą kintamąjį x 3;
Gavome įgaliotą sistemą, užrašome atsakymą.

Bendras jungtinės linijinių lygčių sistemos sprendimas yra nauja sistema, lygiavertė pradinei, kurioje visi leidžiami kintamieji išreiškiami laisvaisiais.

Kada gali prireikti bendro sprendimo? Jei turite atlikti mažiau žingsnių nei k (k - kiek lygčių yra). Tačiau priežastys, kodėl procesas baigiasi tam tikru etapu l< k , может быть две:

Po l -ojo žingsnio gavome sistemą, kurioje nėra lygties su skaičiumi (l + 1). Tai iš tikrųjų yra gerai, nes leista sistema vis tiek buvo gauta - net keliais žingsniais anksčiau.
Po 1 -ojo žingsnio buvo gauta lygtis, kurioje visi kintamųjų koeficientai yra lygūs nuliui, o laisvasis koeficientas yra nulis. Tai prieštaringa lygtis, todėl sistema yra nenuosekli.

Svarbu suprasti, kad prieštaringos Gauso lygties atsiradimas yra pakankama neatitikimo priežastis. Tuo pat metu atkreipiame dėmesį, kad l -tojo žingsnio metu nelieka jokių trivialių lygčių - visos jos ištrinamos.

Veiksmų aprašymas:

Iš antrosios atimkite pirmąją lygtį, padaugintą iš 4. Ir taip pat pridedame pirmąją lygtį prie trečiosios - gauname leidžiamą kintamąjį x 1;
Iš antrosios atėmus trečiąją lygtį, padaugintą iš 2, gauname priešingą lygtį 0 = −5.

Taigi sistema yra nenuosekli, nes randama prieštaringa lygtis.

Užduotis. Ištirti suderinamumą ir rasti bendrą sistemos sprendimą:

Veiksmų aprašymas:

Atimkite pirmąją lygtį iš antrosios (prieš tai padauginę iš dviejų) ir trečiąją - gauname leidžiamą kintamąjį x 1;
Iš trečiosios atimkite antrąją lygtį. Kadangi visi šių lygčių koeficientai yra vienodi, trečioji lygtis tampa nereikšminga. Tuo pačiu metu antrąją lygtį padauginame iš (−1);
Iš pirmosios lygties atimkite antrąjį - gauname leidžiamą kintamąjį x 2. Taip pat išspręsta visa lygčių sistema;
Kadangi kintamieji x 3 ir x 4 yra laisvi, juos perkeliame į dešinę, kad būtų galima išreikšti leidžiamus kintamuosius. Tai yra atsakymas.

Taigi, sistema yra suderinama ir neapibrėžta, nes yra du leidžiami kintamieji (x 1 ir x 2) ir du laisvi (x 3 ir x 4).

Tegul pateikiama linijinių algebrinių lygčių sistema, kurią reikia išspręsti (raskite tokias nežinomųjų xi reikšmes, kurios kiekvieną sistemos lygtį paverčia lygybe).

Mes žinome, kad linijinių algebrinių lygčių sistema gali:

1) Neturėkite sprendimų (būkite nenuoseklus).
2) Turėkite be galo daug sprendimų.
3) Turėkite unikalų sprendimą.

Kaip prisimename, Cramerio taisyklė ir matricos metodas netaikomi tais atvejais, kai sistema turi be galo daug sprendimų arba yra nenuosekli. Gausso metodas – galingiausias ir universaliausias įrankis ieškant sprendimų bet kuriai linijinių lygčių sistemai, kurį kiekvienu atveju nuves mus į atsakymą! Pats metodo algoritmas visais trimis atvejais veikia vienodai. Jei Cramerio ir matricos metoduose reikia žinoti determinantus, tai norint taikyti Gausso metodą, būtinos tik žinios apie aritmetines operacijas, todėl jos yra prieinamos net pradinių klasių mokiniams.

Išplėstinės matricos transformacijos ( tai yra sistemos matrica - matrica, sudaryta tik iš nežinomųjų koeficientų ir laisvų terminų stulpelio) tiesinių algebrinių lygčių sistemos Gauso metodu:

1) su stygos matricos gali pertvarkyti vietų.

2) jei matricoje atsirado (arba yra) proporcingos (kaip ypatingas atvejis - identiškos) eilutės, tai seka Ištrinti iš matricos visos šios eilutės, išskyrus vieną.

3) jei transformacijų metu matricoje atsirado nulinė eilutė, tai taip pat seka Ištrinti.

4) matricos eilutė gali būti padauginti (padalyti) bet kuriam kitam skaičiui, išskyrus nulį.

5) matricos eilutė gali būti pridėkite kitą eilutę, padaugintą iš skaičiaus nulis.

Gauso metodu elementarios transformacijos nekeičia lygčių sistemos sprendimo.

Gauso metodas susideda iš dviejų etapų:

„Tiesioginis judėjimas“ - elementarių transformacijų pagalba sumažinkite linijinės algebrinių lygčių sistemos išplėstinę matricą į „trikampę“ laipsnišką formą: išplėstinės matricos elementai, esantys žemiau pagrindinės įstrižainės, yra lygūs nuliui („viršuje žemyn “judėjimas). Pavyzdžiui, į šią formą:

Norėdami tai padaryti, atliksime šiuos veiksmus:

1) Tarkime, kad laikome pirmąją linijinių algebrinių lygčių sistemos lygtį, o koeficientas x 1 yra K. Antrasis, trečiasis ir kt. lygtys transformuojamos taip: kiekviena lygtis (nežinomųjų koeficientai, įskaitant laisvuosius terminus) padalijama iš nežinomo x 1 koeficiento, esančio kiekvienoje lygtyje, ir padauginama iš K. Po to iš antrosios lygties atimame pirmąją (nežinomų ir nemokamų sąlygų koeficientai). Antroje lygtyje x 1 gauname koeficientą 0. Iš trečiosios transformuotos lygties atimkite pirmąją lygtį, kol visos, išskyrus pirmąją, nežinomos x 1 lygtys turi koeficientą 0.

2) Pereikite prie kitos lygties. Tegul tai yra antroji lygtis, o koeficientas x 2 yra lygus M. Su visomis „žemesnėmis“ lygtimis elgiamės taip, kaip aprašyta aukščiau. Taigi „po“ nežinomas x 2 visose lygtyse bus nuliai.

3) Eikite į kitą lygtį ir taip toliau, kol bus paskutinis nežinomas ir pakeistas laisvasis terminas.

Gauso metodo „atvirkštinė eiga“ - tiesinių algebrinių lygčių sistemos sprendimo gavimas (judėjimas „iš apačios į viršų“). Iš paskutinės „žemesnės“ lygties gauname vieną pirmąjį sprendimą - nežinomą x n. Norėdami tai padaryti, mes išsprendžiame elementariąją lygtį A * x n = B. Pirmiau pateiktame pavyzdyje x 3 = 4. Rastą reikšmę pakeiskite į „viršutinę“ kitą lygtį ir išspręskite ją kitos nežinomos atžvilgiu. Pavyzdžiui, x 2 - 4 = 1, t.y. x 2 = 5. Ir taip toliau, kol nerasime visų nežinomųjų.

Pavyzdys.

Išspręskime tiesinių lygčių sistemą Gauso metodu, kaip pataria kai kurie autoriai:

Užsirašykime išplėstinę sistemos matricą ir, naudodami elementarias transformacijas, įveskime ją laipsniškai:

Mes žiūrime į viršutinį kairįjį „žingsnį“. Ten turėtume turėti padalinį. Problema ta, kad pirmoje skiltyje apskritai jų nėra, todėl eilučių pertvarkymas nieko neišspręs. Tokiais atvejais padalinį reikia organizuoti naudojant elementarią transformaciją. Paprastai tai galima padaryti keliais būdais. Padarykime tai:
1 žingsnis ... Prie pirmosios eilutės pridėkite antrąją eilutę, padaugintą iš –1. Tai yra, mes protiškai padauginome antrąją eilutę iš –1 ir pridėjome pirmąją ir antrąją eilutes, o antroji eilutė nepasikeitė.

Dabar viršuje kairėje „minus vienas“, kuris mums puikiai tinka. Kiekvienas, norintis gauti +1, gali atlikti papildomą veiksmą: pirmąją eilutę padauginkite iš –1 (pakeiskite jos ženklą).

2 žingsnis ... Pirmoji eilutė, padauginta iš 5, buvo pridėta prie antrosios eilutės. Pirmoji eilutė, padauginta iš 3, buvo pridėta prie trečiosios eilutės.

3 žingsnis ... Pirmoji eilutė buvo padauginta iš -1, iš principo tai skirta grožiui. Mes taip pat pakeitėme trečiosios eilutės ženklą ir perkėlėme jį į antrą vietą, taigi antrame „žingsnyje turime reikiamą vienetą.

4 žingsnis ... Antroji eilutė buvo pridėta prie trečiosios eilutės, padauginta iš 2.

5 žingsnis ... Trečioji eilutė buvo padalyta iš 3.

Ženklas, rodantis skaičiavimų klaidą (rečiau - rašybos klaida), yra „bloga“ apatinė eilutė. Tai yra, jei apačioje gavome kažką panašaus (0 0 11 | 23) ir atitinkamai 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, tada su didele tikimybe galima teigti, kad klaida buvo padarytas elementarių virsmų metu.

Atliekame atvirkštinį žingsnį, kuriant pavyzdžius, pati sistema dažnai neperrašoma, o lygtys „paimamos tiesiai iš nurodytos matricos“. Primenu, kad atvirkštinis žingsnis veikia „iš apačios į viršų“. Šiame pavyzdyje gavome dovaną:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 = 1, todėl x 1 + 3 - 1 = 1, x 1 = –1

Atsakymas: x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.

Išspręskime tą pačią sistemą pagal siūlomą algoritmą. Mes gauname

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Padalinkite antrąją lygtį iš 5, o trečiąją - iš 3. Gauname:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Padauginę antrąją ir trečiąją lygtis iš 4, gauname:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Atimdami pirmąją lygtį iš antrosios ir trečiosios lygčių, turime:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Trečiąją lygtį padalinkite iš 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Trečiąją lygtį padauginkite iš 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Atimdami antrąją iš trečiosios lygties, gauname „laipsnišką“ išplėstinę matricą:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Taigi, kadangi paklaida susikaupė atliekant skaičiavimus, gauname x 3 = 0,96 arba maždaug 1.

x 2 = 3 ir x 1 = –1.

Sprendžiant taip, niekada nesusipainiosite skaičiavimuose ir, nepaisant skaičiavimo klaidų, gausite rezultatą.

Šis tiesinių algebrinių lygčių sistemos sprendimo būdas yra lengvai programuojamas ir neatsižvelgiama į specifines nežinomųjų koeficientų ypatybes, nes praktiškai (atliekant ekonominius ir techninius skaičiavimus) tenka susidurti su ne sveikųjų skaičių koeficientais.

Linkiu sėkmės! Iki pasimatymo klasėje! Mokytoja.

tinklaraščio svetainę, visiškai ar iš dalies nukopijavus medžiagą, būtina nuoroda į šaltinį.

Gauso metodo apibrėžimas ir aprašymas

Gauso transformacijos metodas (dar žinomas kaip nuoseklaus nežinomų kintamųjų pašalinimo iš lygties ar matricos metodas) tiesinių lygčių sistemų sprendimui yra klasikinis metodas algebrinių lygčių sistemai (SLAE) spręsti. Taip pat šis klasikinis metodas naudojamas tokioms problemoms spręsti, kaip atvirkštinių matricų gavimas ir matricos rango nustatymas.

Transformacija naudojant Gauso metodą susideda iš nedidelių (elementarių) nuoseklių linijinių algebrinių lygčių sistemos pakeitimų, dėl kurių kintamieji iš jos pašalinami iš viršaus į apačią, suformuojant naują trikampę lygčių sistemą. originalus.

1 apibrėžimas

Ši sprendimo dalis vadinama tiesiogine Gauso tirpalo eiga, nes visas procesas atliekamas iš viršaus į apačią.

Sumažinus pradinę lygčių sistemą į trikampę, visi sistemos kintamieji randami iš apačios į viršų (tai yra, pirmieji rasti kintamieji yra tiksliai paskutinėse sistemos ar matricos eilutėse). Ši sprendimo dalis taip pat žinoma kaip Gauso apsisukimas. Jo algoritmas yra toks: pirma, apskaičiuojami kintamieji, esantys arčiausiai lygčių sistemos ar matricos apačios, tada gautos vertės pakeičiamos aukščiau ir taip randamas dar vienas kintamasis ir pan.

Gauso metodo algoritmo aprašymas

Veiksmų seka bendram lygčių sistemos sprendimui Gauso metodu susideda iš pakaitomis judėjimo į priekį ir atgal į matricą, pagrįstą SLAE. Tegul originali lygčių sistema turi tokią formą:

$ \ begin (atvejai) a_ (11) \ cdot x_1 + ... + a_ (1n) \ cdot x_n = b_1 \\ ... \\ a_ (m1) \ cdot x_1 + a_ (mn) \ cdot x_n = b_m \ end (atvejai) $

Norėdami išspręsti SLAE Gauso metodu, turite parašyti pradinę lygčių sistemą matricos pavidalu:

$ A = \ begin (pmatrix) a_ (11) &… & a_ (1n) \\ \ vdots &… & \ vdots \\ a_ (m1) &… & a_ (mn) \ end (pmatrix) $, $ b = \ begin (pmatrix) b_1 \\ \ vdots \\ b_m \ end (pmatrix) $

Matrica $ A $ vadinama pagrindine matrica ir vaizduoja kintamųjų koeficientus, parašytus eilės tvarka, o $ b $ - jos laisvųjų sąlygų stulpeliu. $ A $ matrica, parašyta per juostą su laisvų terminų stulpeliu, vadinama išplėsta matrica:

$ A = \ begin (masyvas) (ccc | c) a_ (11) &… & a_ (1n) & b_1 \\ \ vdots &… & \ vdots & ... \\ a_ (m1) &… & a_ ( mn) & b_m \ end (masyvas) $

Dabar, naudojant elementarias transformacijas per lygčių sistemą (arba per matricą, nes taip patogiau), reikia ją suformuoti tokia forma:

$ \ begin (atvejai) α_ (1j_ (1)) \ cdot x_ (j_ (1)) + α_ (1j_ (2)) \ cdot x_ (j_ (2)) ... + α_ (1j_ (r)) \ cdot x_ (j_ (r)) + ... α_ (1j_ (n)) \ cdot x_ (j_ (n)) = β_1 \\ α_ (2j_ (2)) \ cdot x_ (j_ (2)). .. + α_ (2j_ (r)) \ cdot x_ (j_ (r)) + ... α_ (2j_ (n)) \ cdot x_ (j_ (n)) = β_2 \\ ... \\ α_ ( rj_ (r)) \ cdot x_ (j_ (r)) + ... α_ (rj_ (n)) \ cdot x_ (j_ (n)) = β_r \\ 0 = β_ (r + 1) \\… \ \ 0 = β_m \ end (atvejai) $ (1)

Matrica, gauta iš transformuotos (1) lygties sistemos koeficientų, vadinama pakopine, taip paprastai atrodo pakopinės matricos:

$ A = \ begin (masyvas) (ccc | c) a_ (11) & a_ (12) & a_ (13) & b_1 \\ 0 & a_ (22) & a_ (23) & b_2 \\ 0 & 0 & a_ (33) ir b_3 \ end (masyvas) $

Šioms matricoms būdingas toks savybių rinkinys:

Visos jo nulinės linijos yra po nenulinių.
Jei kai kurios matricos eilutės, pažymėtos $ k $, yra nulis, tai tos pačios matricos ankstesnėje eilutėje yra mažiau nulių nei šioje eilutėje, pažymėtoje $ k $.

Gavus pakopinę matricą, būtina gautus kintamuosius pakeisti į likusias lygtis (pradedant nuo pabaigos) ir gauti likusias kintamųjų reikšmes.

Pagrindinės taisyklės ir leidžiamos transformacijos naudojant Gauso metodą

Šiuo metodu supaprastinant matricą ar lygčių sistemą, turėtų būti naudojamos tik elementarios transformacijos.

Tokios transformacijos yra operacijos, kurias galima pritaikyti matricai ar lygčių sistemai nekeičiant jos reikšmės:

kelių eilučių permutacija vietose,
pridedant arba atimant iš vienos matricos eilutės kitą eilutę,
padauginti arba padalinti tiesę iš konstantos, kuri nėra lygi nuliui,
eilutė, kurią sudaro tik nuliai, gauta apskaičiuojant ir supaprastinant sistemą, turi būti išbraukta,
Taip pat turite pašalinti nereikalingas proporcines linijas, pasirinkdami sistemai vienintelę, kurios tolesni skaičiavimai yra tinkamesni ir patogesni.

Visos elementarios transformacijos yra grįžtamos.

Trijų pagrindinių atvejų, kylančių sprendžiant tiesines lygtis naudojant paprastų Gauso transformacijų metodą, analizė

Yra trys atvejai, kylantys naudojant Gauso metodą sistemoms spręsti:

Kai sistema yra nenuosekli, tai yra, ji neturi jokių sprendimų
Lygčių sistema turi sprendimą ir vienintelį, o eilučių ir stulpelių skaičius matricoje yra lygus vienas kitam.
Sistema turi tam tikrą skaičių arba daug galimų sprendimų, o eilučių skaičius yra mažesnis už stulpelių skaičių.

Sprendimo su nenuoseklia sistema rezultatas

Pasirinkus šią parinktį, sprendžiant matricos lygtį Gauso metodu, būdinga gauti tam tikrą eilutę, kai neįmanoma įvykdyti lygybės. Todėl, jei atsiranda bent viena neteisinga lygybė, gautos ir originalios sistemos neturi sprendimų, nepaisant kitų jose esančių lygčių. Nenuoseklios matricos pavyzdys:

$ \ begin (masyvas) (ccc | c) 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end (masyvas) $

Paskutinėje eilutėje pasirodė nepatenkinama lygybė: $ 0 \ cdot x_ (31) + 0 \ cdot x_ (32) + 0 \ cdot x_ (33) = 1 $.

Lygčių sistema, turinti tik vieną sprendimą

Sumažinus iki pakopinės matricos ir pašalinus eilutes su nuliais, šios sistemos pagrindinėje matricoje turi tą patį eilučių ir stulpelių skaičių. Čia yra paprasčiausias tokios sistemos pavyzdys:

$ \ begin (atvejai) x_1 -x_2 = -5 \\ 2 \ cdot x_1 + x_2 = -7 \ end (atvejai) $

Parašykime ją matricos pavidalu:

$ \ begin (masyvas) (cc | c) 1 & -1 & -5 \\ 2 & 1 & -7 \ end (masyvas) $

Kad pirmas antros eilutės langelis būtų nulis, viršutinę eilutę padauginame iš $ -2 $ ir atimame ją iš apatinės matricos eilutės, o viršutinę eilutę paliekame pradinėje formoje, todėl gauname: :

$ \ begin (masyvas) (cc | c) 1 & -1 & -5 \\ 0 & 3 & 10 \ end (masyvas) $

Šis pavyzdys gali būti parašytas kaip sistema:

$ \ begin (atvejai) x_1 - x_2 = -5 \\ 3 \ cdot x_2 = 10 \ end (atvejai) $

Iš apatinės lygties gaunama tokia $ x $ vertė: $ x_2 = 3 \ frac (1) (3) $. Pakeitus šią vertę į viršutinę lygtį: $ x_1 - 3 \ frac (1) (3) $, gauname $ x_1 = 1 \ frac (2) (3) $.

Sistema su daugybe galimų sprendimų

Šiai sistemai būdingas mažesnis reikšmingų eilučių skaičius nei stulpelių skaičius joje (atsižvelgiama į pagrindinės matricos eilutes).

Tokios sistemos kintamieji skirstomi į du tipus: pagrindinius ir nemokamus. Keičiant tokią sistemą, pagrindiniai joje esantys kintamieji turi būti palikti kairėje srityje iki „=“ ženklo, o likę kintamieji turi būti perkelti į dešinę lygybės pusę.

Tokia sistema turi tik bendrą sprendimą.

Panagrinėkime šią lygčių sistemą:

$ \ begin (atvejai) 2y_1 + 3y_2 + x_4 = 1 \\ 5y_3 - 4y_4 = 1 \ end (atvejai) $

Parašykime ją matricos pavidalu:

$ \ begin (masyvas) (cccc | c) 2 & 3 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 4 & 1 \\ \ end (masyvas) $

Mūsų užduotis yra rasti bendrą sistemos sprendimą. Šios matricos pagrindiniai kintamieji bus $ y_1 $ ir $ y_3 $ ($ y_1 $ - nes ji yra pirmoje vietoje, o $ y_3 $ atveju - po nulių).

Kaip pagrindinius kintamuosius mes pasirenkame būtent tuos, kurie yra pirmieji eilutėje, kurie nėra lygūs nuliui.

Likę kintamieji vadinami laisvaisiais, per juos turime išreikšti pagrindinius.

Naudodami vadinamąjį atvirkštinį judėjimą, mes analizuojame sistemą iš apačios į viršų, todėl pirmiausia iš apatinės sistemos eilutės išreiškiame $ y_3 $:

$ 5y_3 - 4y_4 = 1 $

$ 5y_3 = 4y_4 + 1 $

$ y_3 = \ frac (4/5) y_4 + \ frac (1) (5) $.

Dabar viršutinėje sistemos lygtyje $ 2y_1 + 3y_2 + y_4 = 1 $ pakeičiame išreikštą $ y_3 $: $ 2y_1 + 3y_2 - (\ frac (4) (5) y_4 + \ frac (1) (5)) + y_4 = 1 USD

$ Y_1 $ išreiškiame nemokamais kintamaisiais $ y_2 $ ir $ y_4 $:

$ 2y_1 + 3y_2 - \ frac (4) (5) y_4 - \ frac (1) (5) + y_4 = 1 $

2 metai_1 = 1–3 metai_2 + \ frac (4) (5) y_4 + \ frac (1) (5) - y_4 $

$ 2y_1 = -3y_2 - \ frac (1) (5) y_4 + \ frac (6) (5) $

$ y_1 = -1,5x_2 - 0,1y_4 + 0,6 $

Tirpalas paruoštas.

1 pavyzdys

Išspręskite slough Gauso metodu. Pavyzdžiai. Linijinių lygčių sistemos, pateiktos 3x3 matricos, sprendimo pavyzdys naudojant Gauso metodą

$ \ begin (atvejai) 4x_1 + 2x_2 - x_3 = 1 \\ 5x_1 + 3x_2 - 2x ^ 3 = 2 \\ 3x_1 + 2x_2 - 3x_3 = 0 \ end (atvejai) $

Parašykime savo sistemą išplėstinės matricos pavidalu:

$ \ begin (masyvas) (ccc | c) 4 & 2 & -1 & 1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0 \\ \ end (masyvas) $

Dabar, kad būtų patogiau ir praktiškiau, turite pakeisti matricą taip, kad 1 USD būtų viršutiniame kraštutinio stulpelio kampe.

Norėdami tai padaryti, pridėkite eilutę iš vidurio, padaugintą iš $ -1 $ į 1 eilutę, ir parašykite vidurinę eilutę tokią, kokia ji yra, paaiškėja:

$ \ begin (masyvas) (ccc | c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0 \\ \ end (masyvas) $

$ \ begin (masyvas) (ccc | c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 0 & -3 \\ \ end (masyvas) $

Padauginkite viršutinę ir paskutinę eilutes iš $ -1 $, taip pat pakeiskite paskutinę ir vidurinę eilutes:

$ \ begin (masyvas) (ccc | c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ \ end (masyvas) $

$ \ begin (masyvas) (ccc | c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3 \\ \ end (masyvas) $

Ir paskutinę eilutę padalinkite iš 3 USD:

$ \ begin (masyvas) (ccc | c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ \ end (masyvas) $

Mes gauname šią lygčių sistemą, kuri yra lygiavertė pradinei:

$ \ begin (atvejai) x_1 + x_2 - x_3 = 1 \\ x_2 = 3 \\ x_3 = 1 \ end (atvejai) $

Iš viršutinės lygties išreiškiame $ x_1 $:

x1 = 1 + x_3 - x_2 = 1 + 1 - 3 = -1 $.

2 pavyzdys

Sistemos, apibrėžtos naudojant 4x4 matricą Gauso metodu, sprendimo pavyzdys

$ \ begin (masyvas) (cccc | c) 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40 \\ 3 & 8 & 9 & 2 ir 37 \\ \ end (masyvas) $.

Pradžioje mes pakeičiame viršutinių tyrimų eilučių vietas už jo, kad viršutiniame kairiajame kampe gautumėte 1 USD:

$ \ begin (masyvas) (cccc | c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40 \\ 3 & 8 & 9 & 2 ir 37 \\ \ end (masyvas) $.

Dabar padauginkite viršutinę eilutę iš $ -2 $ ir pridėkite prie 2 ir 3. Prie ketvirtosios pridedame 1 eilutę, padaugintą iš $ -3 $:

$ \ begin (masyvas) (cccc | c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 4 & 5 & 5 & 18 \\ 0 & - 1 ir 3 & -1 ir 4 \\ \ pabaiga (masyvas) $

Dabar prie 3 eilutės pridėkite 2 eilutę, padaugintą iš 4 USD, o prie 4 eilutės pridėkite 2 eilutę, padaugintą iš 1 USD.

$ \ begin (masyvas) (cccc | c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10 \\ 0 & 0 & 3 & 0 & 6 \\ \ end (masyvas) $

Padauginame 2 eilutę iš -1 USD, padalijame 4 eilutę iš 3 USD ir pakeičiame 3 eilutę.

$ \ begin (masyvas) (cccc | c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 5 & 1 ir 10 \\ \ end (masyvas) $

Dabar prie paskutinės eilutės pridėkite priešpaskutinę, padaugintą iš -5 $.

$ \ begin (masyvas) (cccc | c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 ir 0 \\ \ end (masyvas) $

Mes sprendžiame gautą lygčių sistemą:

$ \ begin (atvejai) m = 0 \\ g = 2 \\ y + m = 2 \ \ x + 3y + 2g + m = 11 \ end (atvejai) $

Nuo XVI – XVIII a. Pradžios matematikai pradėjo intensyviai tyrinėti funkcijas, kurių dėka tiek daug kas pasikeitė mūsų gyvenime. Be šių žinių kompiuterinė technologija neegzistuotų. Sudėtingoms problemoms spręsti sukurtos tiesinės lygtys ir funkcijos, įvairios sąvokos, teoremos ir sprendimo būdai. Vienas iš tokių universalių ir racionalių linijinių lygčių ir jų sistemų sprendimo būdų ir metodų buvo Gausso metodas. Matricos, jų rangas, veiksniai - viską galima apskaičiuoti nenaudojant sudėtingų operacijų.

Kas yra SLAE

Matematikoje yra SLAE sąvoka - linijinių algebrinių lygčių sistema. Į ką tai panašu? Tai m lygčių rinkinys su reikiamais n nežinomais kiekiais, paprastai žymimas x, y, z arba x 1, x 2 ... x n arba kitais simboliais. Išspręsti šią sistemą Gauso metodu reiškia surasti visus nežinomus nežinomus. Jei sistemoje yra tiek pat nežinomų ir lygčių, vadinama n eilės sistema.

Populiariausi SLAE sprendimo būdai

Vidurinio ugdymo įstaigose jie mokosi įvairių tokių sistemų sprendimo būdų. Dažniausiai tai yra paprastos lygtys, susidedančios iš dviejų nežinomų, todėl bet koks esamas atsakymo į jas metodas neužims daug laiko. Tai gali būti kaip pakeitimo metodas, kai kitas gaunamas iš vienos lygties ir pakeičiamas originalu. Arba terminų po terminų atėmimo ir pridėjimo metodas. Tačiau Gausso metodas laikomas paprasčiausiu ir universaliausiu. Tai leidžia išspręsti lygtis su bet kokiu nežinomų skaičių skaičiumi. Kodėl ši technika laikoma racionalia? Tai paprasta. Matricos metodas yra geras tuo, kad nereikia kelis kartus perrašyti nereikalingų simbolių nežinomųjų pavidalu, pakanka atlikti koeficientų aritmetines operacijas - ir gausite patikimą rezultatą.

Kur praktikoje naudojami SLAE

SLAE sprendimas yra funkcijų grafikuose esančių tiesių linijų susikirtimo taškai. Mūsų aukštųjų technologijų kompiuterių amžiuje žmonės, glaudžiai susiję su žaidimų ir kitų programų kūrimu, turi žinoti, kaip išspręsti tokias sistemas, ką jos atstovauja ir kaip patikrinti rezultato teisingumą. Dažniausiai programuotojai kuria specialias linijinės algebros skaičiavimo programas, įskaitant linijinių lygčių sistemą. Gausso metodas leidžia apskaičiuoti visus esamus sprendimus. Taip pat naudojamos kitos supaprastintos formulės ir metodai.

SLAE suderinamumo kriterijus

Tokią sistemą galima išspręsti tik tuo atveju, jei ji yra suderinama. Aiškumo dėlei SLAE vaizduojame Ax = b pavidalu. Jis turi sprendimą, jei skambėjimas (A) yra lygus skambesiui (A, b). Šiuo atveju (A, b) yra išplėstinės formos matrica, kurią galima gauti iš A matricos perrašant ją laisvomis sąlygomis. Pasirodo, kad tiesinių lygčių sprendimas Gauso metodu yra gana lengvas.

Galbūt kai kurie žymėjimai nėra visiškai aiškūs, todėl būtina viską apsvarstyti pavyzdžiu. Tarkime, yra sistema: x + y = 1; 2–3 metai = 6. Jį sudaro tik dvi lygtys, kuriose yra 2 nežinomos. Sistema turės sprendimą tik tuo atveju, jei jos matricos reitingas bus lygus išplėstinės matricos rangui. Kas yra rangas? Tai yra nepriklausomų eilučių skaičius sistemoje. Mūsų atveju matricos rangas yra 2. Matricą A sudarys koeficientai, esantys netoli nežinomųjų, o koeficientai, esantys už ženklo „=“, taip pat įtraukti į išplėstinę matricą.

Kodėl SLAE gali būti pavaizduotas matricos pavidalu

Remiantis suderinamumo kriterijumi pagal patikrintą Kroneckerio-Capelli teoremą, linijinių algebrinių lygčių sistema gali būti pavaizduota matricos pavidalu. Naudodami Gauso kaskadinį metodą, galite išspręsti matricą ir gauti vieną patikimą atsakymą visai sistemai. Jei paprastos matricos rangas yra lygus jos išplėstinės matricos rangui, bet mažesnis už nežinomų skaičių, tada sistema turi begalinį atsakymų skaičių.

Matricos transformacijos

Prieš pereidami prie matricų sprendimo, turite žinoti, kokius veiksmus galima atlikti su jų elementais. Yra keletas elementarių transformacijų:

Perrašius sistemą į matricos formą ir įgyvendinus jos sprendimą, galima visus serijos elementus padauginti iš to paties koeficiento.
Norint konvertuoti matricą į kanoninę formą, galima sukeisti dvi lygiagrečias eilutes. Kanoninė forma reiškia, kad visi matricos elementai, esantys pagrindinėje įstrižainėje, tampa vienodi, o likę - nuliai.
Atitinkamus lygiagrečių matricos eilučių elementus galima pridėti vienas prie kito.

Jordano-Gauso metodas

Tiesinių vienalyčių ir nevienalyčių lygčių sistemų Gauso metodu sprendimo esmė yra palaipsniui pašalinti nežinomybę. Tarkime, kad turime dviejų lygčių sistemą, kurioje yra du nežinomi. Norėdami juos rasti, turite patikrinti sistemos suderinamumą. Gauso lygtį išspręsti labai paprasta. Būtina užrašyti koeficientus, esančius šalia kiekvieno nežinomo, matricos pavidalu. Norėdami išspręsti sistemą, turite išrašyti išplėstinę matricą. Jei vienoje iš lygčių yra mažiau nežinomų, vietoj trūkstamo elemento reikia įrašyti „0“. Matricai taikomi visi žinomi transformacijos metodai: daugyba, padalijimas iš skaičiaus, atitinkamų serijos elementų pridėjimas vienas prie kito ir kiti. Pasirodo, kad kiekvienoje eilutėje būtina palikti vieną kintamąjį, kurio vertė yra „1“, o likusi dalis turėtų būti nulinė. Norint tiksliau suprasti, būtina atsižvelgti į Gausso metodą pavyzdžiais.

Paprastas 2x2 sistemos sprendimo pavyzdys

Pirmiausia paimkime paprastą algebrinių lygčių sistemą, kurioje bus 2 nežinomieji.

Perrašykime ją į išplėstinę matricą.

Norint išspręsti šią linijinių lygčių sistemą, reikia tik dviejų operacijų. Turime perkelti matricą į kanoninę formą, kad pagrindinėje įstrižainėje būtų vienetai. Taigi, perkeliant iš matricos formos atgal į sistemą, gauname lygtis: 1x + 0y = b1 ir 0x + 1y = b2, kur b1 ir b2 yra atsakymai, gauti sprendžiant.

Pirmasis žingsnis sprendžiant išplėstinę matricą bus toks: pirmoji eilutė turi būti padauginta iš -7, o atitinkami elementai turi būti pridėti atitinkamai prie antrosios eilutės, kad būtų galima atsikratyti vienos nežinomos antroje lygtyje.
Kadangi lygčių sprendimas Gauso metodu reiškia matricos perkėlimą į kanoninę formą, būtina atlikti tas pačias operacijas su pirmąja lygtimi ir pašalinti antrąjį kintamąjį. Norėdami tai padaryti, atimkite antrąją eilutę iš pirmosios ir gaukite reikiamą atsakymą - SLAE sprendimą. Arba, kaip parodyta paveikslėlyje, antrą eilutę padauginame iš koeficiento -1 ir prie pirmosios eilutės pridedame antros eilės elementus. Tai tas pats.

Kaip matote, mūsų sistema buvo išspręsta Jordano-Gauso metodu. Mes jį perrašome reikiama forma: x = -5, y = 7.

SLAE 3x3 sprendimo pavyzdys

Tarkime, kad turime sudėtingesnę tiesinių lygčių sistemą. Gausso metodas leidžia apskaičiuoti atsakymą net ir iš pažiūros painiausios sistemos. Todėl, norint labiau įsigilinti į skaičiavimo metodiką, galima pereiti prie sudėtingesnio pavyzdžio su trimis nežinomaisiais.

Kaip ir ankstesniame pavyzdyje, mes perrašome sistemą išplėstinės matricos pavidalu ir pradedame ją perkelti į kanoninę formą.

Norėdami išspręsti šią sistemą, turėsite atlikti daug daugiau veiksmų nei ankstesniame pavyzdyje.

Pirma, pirmajame stulpelyje turite padaryti vieną vieneto elementą ir likusius nulius. Norėdami tai padaryti, padauginkite pirmąją lygtį iš -1 ir pridėkite antrąją lygtį. Svarbu prisiminti, kad pirmą eilutę perrašome originalia forma, o antrąją - jau pakeistą.
Tada iš trečiosios lygties pašaliname tą patį pirmą nežinomą. Norėdami tai padaryti, pirmosios eilutės elementus padauginkite iš -2 ir pridėkite prie trečios eilutės. Dabar pirmoji ir antroji eilutės perrašomos pradine forma, o trečioji - su pakeitimais. Kaip matote iš rezultato, pirmąjį gavome pagrindinės matricos įstrižainės pradžioje ir likusius nulius. Dar keli žingsniai ir lygčių sistema Gauso metodu bus patikimai išspręsta.
Dabar būtina atlikti operacijas su kitais eilučių elementais. Trečią ir ketvirtą veiksmus galima sujungti į vieną. Antrąją ir trečiąją eilutes reikia padalyti iš -1, kad atsikratytumėte minusų ant įstrižainės. Mes jau pervedėme trečią eilutę į reikiamą formą.
Toliau antrąją eilutę pateiksime į kanoninę formą. Norėdami tai padaryti, trečiosios eilutės elementus padauginame iš -3 ir pridedame prie antrosios matricos eilutės. Rezultatas rodo, kad antroji eilutė taip pat sumažinama iki mums reikalingos formos. Belieka atlikti dar keletą operacijų ir iš pirmosios eilės pašalinti nežinomųjų koeficientus.
Kad iš antrojo eilutės elemento padarytumėte 0, trečiąją eilutę reikia padauginti iš -3 ir pridėti prie pirmosios eilutės.
Kitas lemiamas žingsnis bus būtinų antrosios eilutės elementų pridėjimas prie pirmosios eilutės. Taigi mes gauname kanoninę matricos formą ir atitinkamai atsakymą.

Kaip matote, lygčių sprendimas Gauso metodu yra gana paprastas.

4x4 lygčių sistemos sprendimo pavyzdys

Kai kurias sudėtingesnes lygčių sistemas galima išspręsti Gauso metodu, naudojant kompiuterines programas. Nežinomųjų koeficientus būtina įvesti į esamas tuščias ląsteles, o pati programa žingsnis po žingsnio apskaičiuos reikiamą rezultatą, išsamiai aprašydama kiekvieną veiksmą.

Žemiau yra žingsnis po žingsnio instrukcija, kaip išspręsti tokį pavyzdį.

Atliekant pirmąjį veiksmą, į tuščius langelius įvedami nemokami nežinomų asmenų koeficientai ir skaičiai. Taigi mes gauname tą pačią išplėstinę matricą, kurią rašome ranka.

Ir visos būtinos aritmetinės operacijos atliekamos, kad išplėsta matrica įgautų kanoninę formą. Reikia suprasti, kad atsakymas į lygčių sistemą ne visada yra sveikieji skaičiai. Kartais sprendimas gali būti trupmeniniai skaičiai.

Tirpalo teisingumo tikrinimas

Jordano-Gausso metodas numato patikrinti rezultato teisingumą. Norėdami sužinoti, ar koeficientai apskaičiuoti teisingai, jums tiesiog reikia pakeisti rezultatą į pradinę lygčių sistemą. Kairė lygties pusė turi sutapti su dešine puse už lygybės ženklo. Jei atsakymai nesutampa, būtina perskaičiuoti sistemą arba pabandyti jai pritaikyti kitą jums žinomą SLAE sprendimo būdą, pvz., Pakeitimą arba terminų atėmimą ir pridėjimą. Galų gale, matematika yra mokslas, turintis daugybę skirtingų sprendimų metodų. Tačiau atminkite: rezultatas visada turi būti tas pats, nesvarbu, kokį sprendimo metodą naudojate.

Gausso metodas: dažniausiai pasitaikančios klaidos sprendžiant SLAE

Sprendžiant tiesines lygčių sistemas, dažniausiai pasitaiko klaidų, tokių kaip neteisingas koeficientų perkėlimas į matricos formą. Yra sistemų, kuriose kai kurių nežinomų nėra vienoje iš lygčių, tada, perkėlus duomenis į išplėstinę matricą, jos gali būti prarastos. Dėl to, sprendžiant šią sistemą, rezultatas gali neatitikti tikrosios.

Kita pagrindinė klaida gali būti neteisingas galutinio rezultato rašymas. Būtina aiškiai suprasti, kad pirmasis koeficientas atitiks pirmą nežinomą iš sistemos, antrasis - antrąjį ir pan.

Gausso metodas išsamiai aprašo tiesinių lygčių sprendimą. Jo dėka lengva atlikti reikiamas operacijas ir rasti teisingą rezultatą. Be to, tai universali priemonė, leidžianti rasti patikimą atsakymą į bet kokio sudėtingumo lygtis. Galbūt todėl jis taip dažnai naudojamas sprendžiant SLAE.

Švietimo įstaiga „Baltarusijos valstybė

Žemės ūkio akademija “

Aukštosios matematikos katedra

Metodinės instrukcijos

temos „Gauso metodas tiesinėms sistemoms spręsti“ tyrimas

lygtys “, kurias parengė korespondencijos ugdymo apskaitos skyriaus (NISPO) studentai

Gorkis, 2013 m

Gauso metodas tiesinių lygčių sistemoms spręsti

Lygiavertės lygčių sistemos

Teigiama, kad dvi linijinių lygčių sistemos yra lygiavertės, jei kiekvienos iš jų sprendimas yra kitos. Tiesinių lygčių sistemos sprendimo procesas susideda iš to, kad ji nuosekliai transformuojama į lygiavertę sistemą, naudojant vadinamąją elementarios transformacijos , kurie yra:

1) bet kurios dviejų sistemos lygčių permutacija;

2) bet kurios sistemos lygties abiejų pusių dauginimas iš ne nulinio skaičiaus;

3) prie bet kurios lygties pridėjus kitą lygtį, padaugintą iš bet kurio skaičiaus;

4) lygties, susidedančios iš nulių, ištrynimas, t.y. formos lygtis.

Gauso išimtys

Apsvarstykite sistemą m tiesinės lygtys su n nežinoma:

Gausso metodo arba nuoseklaus nežinomų pašalinimo metodo esmė yra tokia.

Pirma, elementarių transformacijų pagalba nežinomas pašalinamas iš visų sistemos lygčių, išskyrus pirmąją. Tokios sistemos transformacijos vadinamos Gauso eliminavimo žingsnis ... Nežinomas vadinamas sprendžiamasis kintamasis pirmajame transformacijos žingsnyje. Koeficientas vadinamas rezoliucijos faktorius , vadinama pirmoji lygtis sprendžianti lygtis , o koeficientų stulpelis - leistinas stulpelis .

Atlikdami vieną Gauso pašalinimo žingsnį, turite naudoti šias taisykles:

1) koeficientai ir laisvas sprendimo lygties terminas nesikeičia;

2) skyros stulpelio, esančio žemiau skiriamojo koeficiento, koeficientai išnyksta;

3) visi kiti koeficientai ir laisvos sąlygos per pirmąjį žingsnį apskaičiuojami pagal stačiakampio taisyklę:

, kur i=2,3,…,m; j=2,3,…,n.

Mes atliekame panašias transformacijas antroje sistemos lygtyje. Tai sukels sistemą, kurioje nežinomas bus pašalintas visose lygtyse, išskyrus pirmąsias dvi. Dėl tokių transformacijų per kiekvieną sistemos lygtį (tiesioginė Gausso metodo eiga) pradinė sistema sumažinama į lygiavertę vieno iš šių tipų pakopų sistemą.

Atvirkštinis Gauso metodas

Žingsnių sistema

turi trikampę formą ir viskas (i=1,2,…,n). Tokia sistema turi tik vieną sprendimą. Nežinomieji nustatomi pradedant nuo paskutinės lygties (Gauso metodo atvirkštinė dalis).

Žingsnių sistema turi formą

kur, t.y. lygčių skaičius sistemoje yra mažesnis arba lygus nežinomųjų skaičiui. Ši sistema neturi sprendimų, nes paskutinė lygtis negalioja jokioms kintamojo reikšmėms.

Žingsnio tipo sistema

turi begalę sprendimų. Iš paskutinės lygties nežinomybė išreiškiama nežinomais ... Tada priešpaskutinėje lygtyje vietoj nežinomo jo išraiška pakeičiama per nežinomuosius ... Tęsiant atvirkštinį Gauso metodo kursą, nežinomieji galima išreikšti nežinomais ... Šiuo atveju nežinomi yra vadinami Laisvas ir gali priimti bet kokias vertybes ir nežinomas pagrindinis.

Praktiškai sprendžiant sistemas, patogu visas transformacijas atlikti ne su lygčių sistema, o su išplėsta sistemos matrica, susidedančia iš koeficientų prie nežinomų ir laisvų sąlygų stulpelio.

1 pavyzdys... Išspręskite lygčių sistemą

Sprendimas... Sudarykime išplėstinę sistemos matricą ir atlikime elementarias transformacijas:

Išplėstinėje sistemos matricoje skaičius 3 (jis paryškintas) yra sprendžiamasis veiksnys, pirmoji eilutė - išsprendimo eilutė, o pirmasis stulpelis - skiriamasis stulpelis. Pereinant prie kitos matricos, išsprendimo eilutė nesikeičia, visi skylančiojo stulpelio elementai, esantys po skiriamuoju elementu, pakeičiami nuliais. Ir visi kiti matricos elementai perskaičiuojami pagal keturkampio taisyklę. Vietoj 4 elemento antroje eilutėje rašykite , vietoj -3 elemento, antroje eilutėje bus ir kt. Taigi bus gauta antroji matrica. Šioje matricoje sprendžiamasis elementas bus skaičius 18 antroje eilėje. Norėdami sudaryti kitą (trečiąją matricą), mes paliekame nepakeistą antrąją eilutę, įrašome nulį stulpelyje po skiriamuoju elementu ir perskaičiuojame likusius du elementus: vietoj skaičiaus 1 rašykite , o vietoj skaičiaus 16 rašome.