Matricos sprendimas atvirkštiniu metodu internete. Matricos metodas internete
Lygčių naudojimas yra plačiai paplitęs mūsų gyvenime. Jie naudojami atliekant daugybę skaičiavimų, statant pastatus ir net sportuojant. Žmogus senovėje naudojo lygtis ir nuo tada jų taikymas tik išaugo. Matricos metodas leidžia rasti bet kokio sudėtingumo SLAE (tiesinių algebrinių lygčių sistemos) sprendimus. Visas SLAE sprendimo procesas susideda iš dviejų pagrindinių etapų:
Atvirkštinės matricos nustatymas pagal pagrindinę matricą:
Gautos atvirkštinės matricos padauginimas iš sprendinių stulpelio vektoriaus.
Tarkime, kad pateikiamas tokios formos SLAE:
\ [\ left \ (\ pradžia (matrica) 5x_1 + 2x_2 & = & 7 \\ 2x_1 + x_2 & = & 9 \ pabaiga (matrica) \ dešinė. \]
Pradėkime spręsti šią lygtį užrašydami sistemos matricą:
Dešinės pusės matrica:
Apibrėžkime atvirkštinę matricą. Antros eilės matricą galima rasti taip: 1 - pati matrica turi būti neišsigimusi; 2 - jos elementai, esantys pagrindinėje įstrižainėje, sukeičiami, o šoninės įstrižainės elementai pakeičiami į priešingą ženklą, po to atliekame gautų elementų padalijimą matricos determinantu. Mes gauname:
\ [\ pradžia (pmatrica) 7 \\ 9 \ pabaiga (pmatrica) = \ pradžia (pmatrica) -11 \\ 31 \ pabaiga (pmatrica) \ Rodyklė dešinėn \ pradžia (pmatrica) x_1 \\ x_2 \ pabaiga (pmatrica) = \ pradžia (pmatrica) -11 \\ 31 \ pabaiga (pmatrica) \]
2 matricos laikomos lygiomis, jei jas atitinkantys elementai yra lygūs. Dėl to turime tokį atsakymą į SLAE sprendimą:
Kur internete galima išspręsti lygčių sistemą matricos metodu?
Mūsų svetainėje galite išspręsti lygčių sistemą. Nemokamas internetinis sprendimas leis jums per kelias sekundes išspręsti bet kokio sudėtingumo lygtį. Viskas, ką jums reikia padaryti, tai tiesiog įvesti savo duomenis į sprendiklį. Taip pat galite sužinoti, kaip išspręsti lygtį mūsų svetainėje. Ir jei vis dar turite klausimų, galite juos užduoti mūsų „Vkontakte“ grupėje.
Tebūnie n-osios eilės kvadratinė matrica
Matrica A -1 vadinama atvirkštinė matrica matricos A atžvilgiu, jei A * A -1 = E, kur E yra n-osios eilės vienetinė matrica.
Vieneto matrica- tokia kvadratinė matrica, kurioje visi elementai išilgai pagrindinės įstrižainės, einantys iš viršutinio kairiojo kampo į apatinį dešinįjį kampą, yra vienetai, o likusieji yra nuliai, pavyzdžiui:
atvirkštinė matrica gali egzistuoti tik kvadratinėms matricoms tie. toms matricoms, kuriose yra tiek pat eilučių ir stulpelių.
Teorema apie atvirkštinės matricos egzistavimo sąlygą
Kad matrica turėtų atvirkštinę matricą, būtina ir pakanka, kad ji nebūtų išsigimusi.
Vadinama matrica A = (A1, A2, ... A n). neišsigimęs jei stulpelių vektoriai yra tiesiškai nepriklausomi. Tiesiškai nepriklausomų matricos stulpelių vektorių skaičius vadinamas matricos rangu. Todėl galime teigti, kad atvirkštinei matricai egzistuoti būtina ir pakanka, kad matricos rangas būtų lygus jos matmeniui, t.y. r = n.
Atvirkštinės matricos radimo algoritmas
- Lentelėje užrašykite matricą A lygčių sistemų sprendimui Gauso metodu ir dešinėje (vietoj dešiniųjų lygčių pusių) priskirkite matricą E.
- Naudodami Jordano transformaciją, sumažinkite matricą A į matricą, susidedančią iš vienetinių stulpelių; šiuo atveju būtina tuo pačiu metu transformuoti matricą E.
- Jei reikia, pertvarkykite paskutinės lentelės eilutes (lygtis), kad po pradinės lentelės matrica A gautume vienetinę matricą E.
- Užrašykite atvirkštinę matricą A -1, kuri yra paskutinėje lentelėje po pradinės lentelės matrica E.
Matricai A raskite atvirkštinę matricą A -1
Sprendimas: Užrašome matricą A ir dešinėje priskiriame tapatybės matricą E. Naudodami Jordano transformacijas, matricą A redukuojame iki tapatybės matricos E. Skaičiavimai pateikti 31.1 lentelėje.
Skaičiavimų teisingumą patikrinkime pradinę matricą A ir atvirkštinę matricą A padauginę -1.
Dėl matricos daugybos gaunama vienetinė matrica. Todėl skaičiavimai yra teisingi.
Atsakymas: 
Matricinių lygčių sprendimas
Matricos lygtys gali būti tokios formos:
AX = B, XA = B, AXB = C,
kur A, B, C yra nurodytos matricos, X yra reikalinga matrica.
Matricinės lygtys išsprendžiamos lygtį padauginus iš atvirkštinių matricų.
Pavyzdžiui, norėdami rasti matricą iš lygties, padauginkite tą lygtį iš kairės.
Todėl norėdami rasti lygties sprendimą, turite rasti atvirkštinę matricą ir padauginti ją iš matricos, esančios dešinėje lygties pusėje.
Kitos lygtys sprendžiamos panašiai.
Išspręskite lygtį AX = B, jei 
Sprendimas: Kadangi atvirkštinė matrica yra (žr. 1 pavyzdį)
Matricos metodas ekonominėje analizėje
Kartu su kitais jie taip pat randa pritaikymą matricos metodai... Šie metodai yra pagrįsti tiesine ir vektorine matrica algebra. Tokie metodai naudojami sudėtingiems ir daugiamačiams ekonomikos reiškiniams analizuoti. Dažniausiai šie metodai taikomi, kai reikia atlikti lyginamąjį organizacijų ir jų struktūrinių padalinių funkcionavimo vertinimą.
Matricinių analizės metodų taikymo procese galima išskirti keletą etapų.
Pirmajame etape sudaroma ekonominių rodiklių sistema ir jos pagrindu sudaroma pradinių duomenų matrica, kuri yra lentelė, kurios atskirose eilutėse rodomi sistemos numeriai (i = 1,2, ...., n), o išilgai vertikalių stulpelių – rodiklių skaičiai (j = 1,2, ...., m).
Antrame etape kiekvienam vertikaliam stulpeliui atskleidžiama didžiausia iš turimų rodiklių verčių, kuri laikoma vienetu.
Po to visos šioje skiltyje atsispindinčios sumos dalijamos iš didžiausios reikšmės ir susidaro standartizuotų koeficientų matrica.
Trečiajame etape visos matricos sudedamosios dalys yra kvadratinės. Jei jie turi skirtingą reikšmę, kiekvienam matricos rodikliui priskiriamas tam tikras svorio koeficientas k... Pastarosios vertė nustatoma eksperto sprendimu.
Paskutiniame, ketvirtasis etapas rastos reitingų reikšmės R j yra sugrupuoti didėjimo arba mažėjimo tvarka.
Nurodytus matricinius metodus reikėtų naudoti, pavyzdžiui, atliekant įvairių investicinių projektų lyginamąją analizę, taip pat vertinant kitus organizacijų veiklos ekonominius rodiklius.
Paslaugos tikslas... Šis internetinis skaičiuotuvas apskaičiuoja nežinomus (x 1, x 2, ..., x n) lygčių sistemoje. Sprendimas vykdomas atvirkštinės matricos metodas... Kur:- apskaičiuojamas matricos A determinantas;
- atvirkštinė matrica A -1 randama per algebrinius papildinius;
- Excel programoje sukuriamas sprendimo šablonas;
Instrukcija. Norint gauti sprendimą atvirkštinės matricos metodu, būtina nurodyti matricos matmenis. Tada naujame dialogo lange užpildykite matricą A ir rezultatų vektorių B.
Taip pat žr. Matricinių lygčių sprendimas.Sprendimo algoritmas
- Apskaičiuojamas matricos A determinantas. Jei determinantas lygus nuliui, vadinasi, sprendimo pabaiga. Sistema turi begalinį sprendimų skaičių.
- Determinantui, kuris skiriasi nuo nulio, atvirkštinė matrica A -1 randama per algebrinius papildinius.
- Sprendimo vektorius X = (x 1, x 2, ..., x n) gaunamas atvirkštinę matricą padauginus iš rezultato vektoriaus B.
Algebriniai papildiniai.
| A 1,1 = (-1) 1 + 1 |
| ∆ 1,1 = (1 (-2)-0 2) = -2 |
| A 1,2 = (-1) 1 + 2 |
| ∆ 1,2 = -(3 (-2)-1 2) = 8 |
| A 1,3 = (-1) 1 + 3 |
| ∆ 1,3 = (3 0-1 1) = -1 |
| A 2,1 = (-1) 2 + 1 |
| ∆ 2,1 = -(-2 (-2)-0 1) = -4 |
| A 2,2 = (-1) 2 + 2 |
| ∆ 2,2 = (2 (-2)-1 1) = -5 |
| A 2,3 = (-1) 2 + 3 |
| ∆ 2,3 = -(2 0-1 (-2)) = -2 |
| A 3,1 = (-1) 3 + 1 |
| ∆ 3,1 = (-2 2-1 1) = -5 |
| 3 |
| -2 |
| -1 |
X T = (1,0,1)
x 1 = -21 / -21 = 1
x 2 = 0 / -21 = 0
x 3 = -21 / -21 = 1
Egzaminas:
2 1+3 0+1 1 = 3
-2 1+1 0+0 1 = -2
1 1+2 0+-2 1 = -1
Apsvarstykite tiesinių algebrinių lygčių sistema(SLAE) dėl n nežinomas x 1 , x 2 , ..., x n :
Šią sistemą „sutraukta“ forma galima parašyti taip:
S n i = 1 a ij x j = b i , i = 1,2, ..., n.
Pagal matricos daugybos taisyklę, nagrinėjamą tiesinių lygčių sistemą galima įrašyti matricos forma Ax = b, kur
,
,.
Matrica A, kurių stulpeliai yra atitinkamų nežinomųjų koeficientai, o eilutės yra nežinomųjų koeficientai atitinkamoje lygtyje vadinama sistemos matrica... Stulpelių matrica b, kurios elementai yra dešiniosios sistemos lygčių pusės, vadinama dešiniosios pusės matrica arba tiesiog dešinėje sistemos pusėje... Stulpelių matrica x , kurio elementai yra nežinomi nežinomieji, vadinamas sisteminis sprendimas.
Forma užrašytų tiesinių algebrinių lygčių sistema Ax = b, yra matricos lygtis.
Jei sistemos matrica neišsigimęs, tada ji turi atvirkštinę matricą ir tada sistemos sprendimą Ax = b pateikiama pagal formulę:
x = A -1 b.
Pavyzdys Išspręskite sistemą 
matricos metodas.
Sprendimas rasti atvirkštinę sistemos koeficientų matricą
Apskaičiuokime determinantą, išplėsdami pirmąją eilutę:
Tiek, kiek Δ ≠ 0 , tada A -1 egzistuoja.
Atvirkštinė matrica buvo rasta teisingai.
Raskime sistemos sprendimą 
Vadinasi, x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3 .
Egzaminas: 
7. Kronecker-Capelli teorema apie tiesinių algebrinių lygčių sistemos suderinamumą.
Tiesinių lygčių sistema atrodo kaip:
a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2n x n = b 2, (5.1)
a m1 x 1 + a m1 x 2 + ... + a mn x n = b m.
Čia pateikti a i j ir b i (i =; j =), o x j yra nežinomi realieji skaičiai. Naudojant matricų sandaugos sąvoką, sistemą (5.1) galima perrašyti tokia forma:
čia A = (a i j) yra matrica, susidedanti iš (5.1) sistemos nežinomųjų koeficientų, kuri vadinama sistemos matrica, X = (x 1, x 2, ..., x n) T, B = (b 1, b 2, ..., b m) T yra stulpelių vektoriai, sudaryti atitinkamai iš nežinomųjų x j ir laisvųjų terminų b i.
Užsakyta kolekcija n vadinami tikrieji skaičiai (c 1, c 2, ..., c n). sisteminis sprendimas(5.1) jei, pakeitus šiuos skaičius vietoj atitinkamų kintamųjų x 1, x 2, ..., x n, kiekviena sistemos lygtis virsta aritmetine tapatybe; kitaip tariant, jei egzistuoja vektorius C = (c 1, c 2, ..., c n) T, kad AC B.
Iškviečiama sistema (5.1). Bendras, arba išsprendžiamas, jei ji turi bent vieną sprendimą. Sistema vadinama nenuoseklus arba netirpios jei jis neturi sprendimų.
,
suformuotas laisvųjų terminų stulpelį priskiriant matricai A iš dešinės, vadinamas išplėstinė sistemos matrica.
Sistemos (5.1) suderinamumo klausimas sprendžiamas tokia teorema.
Kronecker-Capelli teorema ... Tiesinių lygčių sistema yra nuosekli tada ir tik tada, kai matricų A ir A eilės sutampa, tai yra, r (A) = r (A) = r.
Sistemos (5.1) sprendinių aibei M yra trys galimybės:
1) M = (šiuo atveju sistema nenuosekli);
2) M susideda iš vieno elemento, t.y. sistema turi unikalų sprendimą (šiuo atveju sistema vadinama tam tikras);
3) M susideda iš daugiau nei vieno elemento (tada sistema vadinama neapibrėžtas). Trečiuoju atveju sistema (5.1) turi begalinį sprendinių skaičių.
Sistema turi unikalų sprendimą tik tada, kai r (A) = n. Šiuo atveju lygčių skaičius yra ne mažesnis už nežinomųjų skaičių (mn); jei m> n, tai m-n lygtys yra kitų pasekmės. Jei 0 Norint išspręsti savavališką tiesinių lygčių sistemą, reikia mokėti išspręsti sistemas, kuriose lygčių skaičius lygus nežinomųjų skaičiui – taip vadinama. Kramer tipo sistemos: a 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2n x n = b 2, (5.3) ...
... ... ...
... ... a n1 x 1 + a n1 x 2 + ... + a nn x n = b n. Sistemos (5.3) sprendžiamos vienu iš šių būdų: 1) Gauso metodu, arba nežinomųjų pašalinimo metodu; 2) pagal Cramerio formules; 3) matricos metodu. 2.12 pavyzdys... Ištirkite lygčių sistemą ir išspręskite ją, jei ji suderinama: 5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7, 2x 1 + x 2 + 4x 3 - 2x 4 = 1, x 1 - 3x 2 - 6x 3 + 5x 4 = 0. Sprendimas. Išrašome išplėstinę sistemos matricą:
Apskaičiuokime pagrindinės sistemos matricos rangą. Akivaizdu, kad, pavyzdžiui, antros eilės minoras viršutiniame kairiajame kampe = 7 0; trečios eilės nepilnamečiai, turintys jį, yra lygūs nuliui: Vadinasi, sistemos pagrindinės matricos rangas yra 2, t.y. r (A) = 2. Norėdami apskaičiuoti išplėstinės matricos A rangą, apsvarstykite besiribojantį minorą taigi, išplėstinės matricos rangas yra r (A) = 3. Kadangi r (A) r (A), sistema yra nenuosekli. Atvirkštinės matricos metodas yra ypatingas atvejis matricos lygtis Išspręskite sistemą matricos metodu Sprendimas: Parašykime sistemą matricos forma ir pagal formulę raskime sistemos sprendimą (žr. paskutinę formulę) Atvirkštinę matricą randame pagal formulę: Pirma, mes susiduriame su determinantu: Čia kvalifikatorius išplečiamas pirmoje eilutėje. Dėmesio! Jei, tada atvirkštinė matrica neegzistuoja, o sistemos išspręsti matricos metodu neįmanoma. Šiuo atveju sistema sprendžiama nežinomųjų pašalinimo metodu (Gauso metodas). Dabar reikia suskaičiuoti 9 nepilnamečius ir įrašyti juos į nepilnamečių matricą Nuoroda: Pravartu žinoti dvigubų indeksų reikšmę tiesinėje algebroje. Pirmasis skaitmuo yra eilutės, kurioje yra šis elementas, numeris. Antrasis skaitmuo yra stulpelio, kuriame yra šis elementas, numeris: Sprendimo eigoje geriau detaliai aprašyti nepilnamečių skaičiavimą, nors, turint tam tikrą patirtį, jie gali būti įpratę skaičiuoti su klaidomis žodžiu. Nepilnamečių skaičiavimo tvarka visai nesvarbi, čia aš juos skaičiavau iš kairės į dešinę eilutę po eilutės. Nepilnamečius buvo galima skaičiuoti stulpeliais (taip dar patogiau). Taigi: - algebrinių komplementų matrica. - transponuota algebrinių komplementų matrica. Pasikartosiu, mūsų atlikti žingsniai buvo detaliai analizuojami pamokoje. Kaip rasti atvirkštinę matricos vertę? Dabar rašome atvirkštinę matricos vertę: Jokiu būdu neįvesime į matricą, tai rimtai apsunkins tolesnius skaičiavimus... Padalijimas turėtų būti atliktas, jei visi skaičiai matricoje dalijasi iš 60 be liekanos. Tačiau šiuo atveju labai reikia į matricą įvesti minusą, priešingai, tai supaprastins tolesnius skaičiavimus. Belieka atlikti matricos dauginimą. Pamokoje galite išmokti padauginti matricas Matricos operacijos... Beje, ten analizuojamas lygiai toks pats pavyzdys. Atkreipkite dėmesį, kad padalijimas iš 60 atliktas paskutinėje vietoje. Atsakymas: 12 pavyzdys Išspręskite sistemą naudodami atvirkštinę matricą. Tai yra savarankiško sprendimo pavyzdys (užbaigimo pavyzdys ir atsakymas pamokos pabaigoje). Universaliausias būdas išspręsti sistemą yra nežinomųjų pašalinimo metodas (Gausso metodas)... Nėra taip lengva lengvai paaiškinti algoritmą, bet aš pabandžiau!. Linkime sėkmės! Atsakymai: 3 pavyzdys:
6 pavyzdys:
8 pavyzdys:
,
... Galite peržiūrėti arba atsisiųsti šio pavyzdžio sprendimo pavyzdį (nuoroda žemiau). 10, 12 pavyzdžiai: Mes ir toliau svarstome tiesinių lygčių sistemas. Ši pamoka yra trečioji šia tema. Jei turite miglotą supratimą apie tai, kas apskritai yra tiesinių lygčių sistema, jaučiatės kaip arbatinukas, tada rekomenduoju pradėti nuo pagrindų puslapyje Be to, naudinga studijuoti pamoką. Gauso metodas yra lengvas! Kodėl? Garsus vokiečių matematikas Johanas Karlas Friedrichas Gaussas per savo gyvenimą buvo pripažintas didžiausiu visų laikų matematiku, genijumi ir netgi pravarde „matematikos karalius“. Ir viskas išradinga, kaip žinote, yra paprasta! Beje, už pinigus moka ne tik durneliai, bet ir genijai – Gauso portretas buvo ant 10 Vokietijos markių banknoto (prieš euro įvedimą), o Gaussas iki šiol paslaptingai šypsosi vokiečiams iš paprastų pašto ženklų. Gauso metodas yra paprastas tuo, kad 5 klasės mokiniui Jį įvaldyti pakanka žinių. Turite mokėti pridėti ir dauginti! Neatsitiktinai mokytojai dažnai pasirenka nuoseklų nežinomųjų pašalinimo metodą pasirenkant matematikos pamokas. Paradoksalu, bet Gauso metodas studentams yra pats sunkiausias. Nenuostabu – visa esmė yra metodikoje, o apie metodo algoritmą pasistengsiu papasakoti prieinama forma. Pirma, šiek tiek susisteminkime žinias apie tiesinių lygčių sistemas. Tiesinių lygčių sistema gali: 1) Turėkite unikalų sprendimą. Gauso metodas yra galingiausias ir universaliausias sprendimas ieškant sprendimo bet koks tiesinių lygčių sistemos. Kaip prisimename Cramerio taisyklė ir matricos metodas netinka tais atvejais, kai sistema turi be galo daug sprendimų arba yra nesuderinama. Ir nuoseklaus nežinomųjų pašalinimo metodas šiaip nuves mus prie atsakymo! Šioje pamokoje dar kartą apsvarstysime Gauso metodą atvejui Nr. 1 (vienintelis sistemos sprendimas), straipsnis yra skirtas punktų Nr. 2-3 situacijai. Atkreipkite dėmesį, kad paties metodo algoritmas visais trimis atvejais veikia vienodai. Iš pamokos grįžkime prie paprasčiausios sistemos Kaip išspręsti tiesinių lygčių sistemą? Pirmajame etape reikia rašyti išplėstinė sistemos matrica: Nuoroda:
Rekomenduoju prisimintiterminai
tiesinė algebra.Sistemos matrica
Ar matrica sudaryta tik iš koeficientų su nežinomaisiais, šiame pavyzdyje yra sistemos matrica:
.
Išplėstinė sistemos matrica
- tai ta pati sistemos matrica ir laisvųjų narių stulpelis, šiuo atveju:
... Bet kuri iš matricų gali būti vadinama tiesiog matrica dėl trumpumo. Užfiksavus išplėstinę matricinę sistemą, su ja reikia atlikti kai kuriuos veiksmus, kurie dar vadinami elementarios transformacijos. Yra šios elementarios transformacijos: 1) Stygos matricos galima pertvarkyti vietos. Pavyzdžiui, nagrinėjamoje matricoje galite neskausmingai pertvarkyti pirmąją ir antrąją eilutes: 2) Jei matricoje yra (arba pasirodo) proporcingos (ypatingu atveju - tos pačios) eilučių, tai seka Ištrinti iš matricos visos šios eilutės, išskyrus vieną. Apsvarstykite, pavyzdžiui, matricą 3) Jei transformacijų metu matricoje atsirado nulinė eilutė, tai taip pat seka Ištrinti... Aš, žinoma, nebrėžiu, nulinė linija yra ta linija, kurioje tik nuliai. 4) Matricos eilutė gali būti padauginti (padalyti) bet kokiu numeriu, ne nulis... Apsvarstykite, pavyzdžiui, matricą. Čia patartina pirmąją eilutę padalyti iš –3, o antrąją eilutę padauginti iš 2: 5) Ši transformacija yra pati sunkiausia, bet iš tikrųjų nėra nieko sudėtingo. Į matricos eilutę galite pridėkite kitą eilutę, padaugintą iš skaičiaus ne nulis. Apsvarstykite mūsų matricą iš praktinio pavyzdžio:. Pirmiausia labai išsamiai aprašysiu konversiją. Padauginkite pirmąją eilutę iš –2: Praktikoje, žinoma, jie ne taip išsamiai aprašo, bet rašo trumpiau: "Matricos perrašymas ir pirmosios eilutės perrašymas:" „Pirmiausia pirma kolona. Apačioje turiu gauti nulį. Todėl viršuje esantį vienetą padauginu iš –2:, o pirmą pridedu prie antros eilutės: 2 + (–2) = 0. Rezultatą rašau į antrą eilutę: „Dabar apie antrą stulpelį. Virš –1, padaugintas iš –2:. Pirmąją pridedu prie antrosios eilutės: 1 + 2 = 3. Rezultatą rašau į antrą eilutę: " „Ir trečia kolona. Virš –5 padaugintas iš –2:. Pirmąją pridedu prie antros eilutės: –7 + 10 = 3. Rezultatą rašau į antrą eilutę: Prašome atidžiai suprasti šį pavyzdį ir suprasti nuoseklų skaičiavimų algoritmą, jei tai suprantate, tada Gauso metodas yra praktiškai „kišenėje“. Bet, žinoma, dirbsime ties šia pertvarka. Elementariosios transformacijos nekeičia lygčių sistemos sprendinio ! DĖMESIO: laikomos manipuliacijos negali naudoti, jei jums pasiūloma užduotis, kur matricos pateikiamos „pačios“. Pavyzdžiui, su "klasika" veiksmai su matricomis Jokiu būdu neturėtumėte pertvarkyti ko nors matricų viduje! Grįžkime prie mūsų sistemos. Tai beveik išspręsta. Užrašome išplėstinę sistemos matricą ir, naudodami elementariąsias transformacijas, redukuojame į laiptuotas vaizdas: (1) Pirmoji eilutė, padauginta iš –2, buvo pridėta prie antrosios eilutės. Beje, kodėl pirmąją eilutę dauginame iš –2? Norėdami gauti nulį apačioje, o tai reiškia, kad atsikratykite vieno kintamojo antroje eilutėje. (2) Padalinkite antrąją eilutę iš 3. Elementariųjų transformacijų tikslas–
perkelkite matricą į laiptuotą formą: Elementariųjų transformacijų rezultate gavome lygiavertis originali lygčių sistema: Dabar sistemą reikia „išvynioti“ priešinga kryptimi – iš apačios į viršų, šis procesas vadinamas atgalinis Gauso metodas. Apatinėje lygtyje mes jau turime paruoštą rezultatą:. Panagrinėkime pirmąją sistemos lygtį ir pakeiskime ja jau žinomą „žaidimo“ reikšmę: Panagrinėkime dažniausiai pasitaikančią situaciją, kai Gauso metodu reikia išspręsti trijų tiesinių lygčių su trimis nežinomaisiais sistemą. 1 pavyzdys Išspręskite lygčių sistemą Gauso metodu: Užrašykime išplėstinę sistemos matricą: Dabar iš karto nubraižysiu rezultatą, kurį pasieksime sprendimo eigoje: Pirmiausia žiūrime į viršutiniame kairiajame kampe esantį skaičių: Dabar pirmoji eilutė išliks nepakitusi iki sprendimo pabaigos.... Dabar gerai. Viršutiniame kairiajame kampe esantis padalinys yra organizuotas. Dabar šiose vietose reikia gauti nulius: Nulius gauname tiesiog „sunkios“ transformacijos pagalba. Pirma, mes susiduriame su antrąja eilute (2, -1, 3, 13). Ką daryti, kad pirmoje pozicijoje būtų nulis? Būtinas prie antrosios eilutės pridėkite pirmąją eilutę, padaugintą iš –2... Protiškai arba juodraštyje pirmąją eilutę padauginkite iš –2: (–2, –4, 2, –18). Ir mes nuosekliai atliekame (vėl mintyse arba pagal juodraštį) papildymą, prie antros eilutės pridedame pirmąją eilutę, jau padaugintą iš –2: Rezultatą įrašome į antrą eilutę: Su trečiąja eilute elgiamės taip pat (3, 2, –5, –1). Norėdami gauti nulį pirmoje pozicijoje, jums reikia prie trečios eilutės pridėkite pirmąją eilutę, padaugintą iš –3... Protiškai arba juodraštyje pirmąją eilutę padauginkite iš –3: (–3, –6, 3, –27). IR prie trečios eilutės pridėkite pirmąją eilutę, padaugintą iš –3: Rezultatą rašome trečioje eilutėje: Praktikoje šie veiksmai dažniausiai atliekami žodžiu ir įrašomi vienu žingsniu: Nereikia visko skaičiuoti iš karto ir tuo pačiu metu... Skaičiavimų ir rezultatų „rašymo“ tvarka nuoseklus o dažniausiai taip: pirma perrašome pirmą eilutę, o gudraujame - NEIŠKAI ir DĖMESINGAI: Šiame pavyzdyje tai padaryti nesunku, antroji eilutė dalijama iš –5 (nes visi skaičiai dalijasi iš 5 be liekanos). Tuo pačiu metu trečią eilutę dalijame iš –2, nes kuo mažesni skaičiai, tuo lengvesnis sprendimas: Paskutiniame elementarių transformacijų etape čia reikia gauti dar vieną nulį: Už tai prie trečios eilutės pridėkite antrą eilutę, padaugintą iš –2: Paskutinis atliktas veiksmas yra rezultato šukuosena, trečią eilutę padalinkite iš 3. Elementariųjų transformacijų rezultate buvo gauta lygiavertė pradinė tiesinių lygčių sistema: Dabar pradedamas naudoti atvirkštinis Gauso metodo variantas. Lygtys „atsipalaiduoja“ iš apačios į viršų. Trečioje lygtyje mes jau turime paruoštą rezultatą: Mes žiūrime į antrąją lygtį:. „z“ reikšmė jau žinoma, taigi: Ir galiausiai pirmoji lygtis:. „Y“ ir „z“ žinomi, reikalas mažas: Atsakymas: Kaip jau ne kartą buvo pažymėta, bet kuriai lygčių sistemai galima ir būtina patikrinti rastą sprendimą, laimei, tai paprasta ir greita. 2 pavyzdys Tai „pasidaryk pats“ pavyzdys, baigiamasis pavyzdys ir atsakymas pamokos pabaigoje. Reikėtų pažymėti, kad jūsų sprendimo kursas gali nesutapti su mano sprendimu, ir tai yra Gauso metodo bruožas... Bet atsakymai turi būti tie patys! 3 pavyzdys Išspręskite tiesinių lygčių sistemą Gauso metodu Užrašykime išplėstinę sistemos matricą ir naudodami elementariąsias transformacijas perkelkime ją į laipsnišką formą: Mes žiūrime į viršutinį kairįjį „žingsnį“. Ten turėtume turėti padalinį. Bėda ta, kad pirmame stulpelyje išvis nėra nė vieno, todėl eilučių pertvarkymas nieko neišspręs. Tokiais atvejais padalinį reikia organizuoti naudojant elementarią transformaciją. Paprastai tai galima padaryti keliais būdais. Aš padariau taip: (1) Prie pirmosios eilutės pridėkite antrą eilutę, padaugintą iš -1... Tai yra, mes mintyse padauginome antrą eilutę iš –1 ir pridėjome pirmąją ir antrąją eilutes, o antroji eilutė nepasikeitė. Dabar viršuje kairėje yra -1, o tai mums tinka. Visi norintys gauti +1 gali atlikti papildomą kūno judesį: pirmąją eilutę padauginkite iš –1 (pakeiskite jos ženklą). (2) Pirmoji eilutė, padauginta iš 5, buvo įtraukta į antrąją eilutę. Pirma eilutė, padauginta iš 3, buvo įtraukta į trečią eilutę. (3) Pirmoji eilutė buvo padauginta iš -1, iš esmės tai skirta grožiui. Trečiosios eilutės ženklą taip pat pakeitėme ir perkėlėme į antrą vietą, taigi antrame „žingsnyje turime reikiamą vienetą. (4) Antroji eilutė, padauginta iš 2, buvo pridėta prie trečios eilutės. (5) Trečioji eilutė buvo padalinta iš 3. Blogas ženklas, rodantis klaidą skaičiavimuose (rečiau – rašybos klaida), yra „bloga“ apatinė eilutė. Tai yra, jei apačioje gautume kažką panašaus, ir atitinkamai Mes apmokestiname atvirkštinį eigą, projektuojant pavyzdžius pati sistema dažnai neperrašoma, o lygtys „paimtos tiesiai iš duotosios matricos“. Atvirkštinis žingsnis, primenu, veikia iš apačios į viršų: Atsakymas: 4 pavyzdys Išspręskite tiesinių lygčių sistemą Gauso metodu Tai yra nepriklausomo sprendimo pavyzdys, jis yra šiek tiek sudėtingesnis. Viskas gerai, jei kas nors susipainios. Visas sprendimas ir dizaino pavyzdys mokymo programos pabaigoje. Jūsų sprendimas gali skirtis nuo mano. Paskutinėje dalyje apžvelgsime kai kurias Gauso algoritmo ypatybes. Antroji funkcija yra tokia. Visuose nagrinėjamuose pavyzdžiuose ant „žingsnių“ įdėjome arba –1, arba +1. Ar gali būti kitų skaičių? Kai kuriais atvejais jie gali. Apsvarstykite sistemą: Viršutiniame kairiajame „žingsnyje“ turime du. Bet pastebime faktą, kad visi skaičiai pirmajame stulpelyje dalijasi iš 2 be liekanos – o kiti du ir šeši. O viršuje, kairėje esanti deuce mums tiks! Pirmajame žingsnyje reikia atlikti tokias transformacijas: prie antrosios eilutės pridėkite pirmąją eilutę, padaugintą iš –1; prie trečios eilutės pridėkite pirmąją eilutę, padaugintą iš –3. Tai suteiks mums norimus nulius pirmame stulpelyje. Arba kitas sąlyginis pavyzdys: Gauso metodas yra universalus, tačiau yra vienas ypatumas. Galite drąsiai išmokti spręsti sistemas kitais metodais (Cramerio metodas, matricos metodas) tiesiogine prasme pirmą kartą – yra labai griežtas algoritmas. Tačiau norint jaustis užtikrintai Gauso metodu, reikėtų „pripildyti ranką“ ir išspręsti bent 5–10 dešimties sistemų. Todėl iš pradžių galimos painiavos, skaičiavimų klaidos, ir tame nėra nieko neįprasto ar tragiško. Lietingas rudens oras už lango... Todėl kiekvienam sudėtingesnis savarankiško sprendimo pavyzdys: 5 pavyzdys Gauso metodu išspręskite 4 tiesinių lygčių su keturiais nežinomaisiais sistemą. Tokia užduotis praktikoje nėra tokia reta. Manau, kad net arbatinukui, kuris nuodugniai išstudijavo šį puslapį, tokios sistemos sprendimo algoritmas yra intuityviai aiškus. Iš esmės viskas taip pat – tik veiksmų yra daugiau. Pamokoje nagrinėjami atvejai, kai sistema neturi sprendinių (nenuosekli) arba turi be galo daug sprendimų Nesuderinamos sistemos ir sistemos su bendru sprendimu... Ten taip pat gali būti užfiksuotas svarstomas Gauso metodo algoritmas. Linkime sėkmės! Sprendimai ir atsakymai: 2 pavyzdys: Užrašykime išplėstinę sistemos matricą ir, naudodami elementariąsias transformacijas, perkelkime ją į laipsnišką formą. Atvirkščiai:
4 pavyzdys: Užrašome išplėstinę sistemos matricą ir, naudodami elementariąsias transformacijas, pateikiame ją į laipsnišką formą: Atliktos konversijos: Antrasis žingsnis blogėja
, „Kandidatai“ yra skaičiai 17 ir 23, o mums reikia arba vieno, arba -1. Transformacijomis (3) ir (4) bus siekiama gauti norimą vienetą (3) Antroji eilutė buvo pridėta prie trečios eilutės, padauginta iš –1.
.
, kur yra atitinkamų matricos elementų algebrinių komplementų transponuota matrica.
Tai yra, dvigubas indeksas rodo, kad elementas yra pirmoje eilutėje, trečiame stulpelyje, o, pavyzdžiui, elementas yra 3 eilutėje, 2 stulpelyje
- atitinkamų matricos elementų nepilnamečių matrica.
Kartais jis gali būti ne visiškai padalintas, t.y. gali atsirasti „blogų“ trupmenų. Ką daryti tokiais atvejais, jau sakiau, kai analizavome Cramerio taisyklę.
2) Turėkite be galo daug sprendimų.
3) Neturi sprendimų (būti nenuoseklus).
ir išspręsti ją Gauso metodu.
... Kokiu principu rašomi koeficientai, manau, visi mato. Vertikali juosta matricos viduje neturi jokios matematinės reikšmės – tai tik pabraukimas, kad būtų lengviau kurti.
... Šioje matricoje paskutinės trys eilutės yra proporcingos, todėl pakanka palikti tik vieną iš jų: 
.
... Šis veiksmas yra labai naudingas, nes supaprastina tolimesnes matricos transformacijas.
, ir prie antrosios eilutės pridėkite pirmąją eilutę, padaugintą iš –2:. Dabar pirmoji eilutė gali būti padalinta "atgal" iš –2:. Kaip matote, eilutė, kuri ADD LEE – nepasikeitė. Yra visada pakeičia eilutę, IKI DIDĖJIMO UT.
Dar kartą: į antrą eilutę pridėjo pirmąją eilutę, padaugintą iš –2... Eilutė paprastai padauginama žodžiu arba juodraštyje, o psichikos skaičiavimų eiga yra maždaug tokia:
» »
... Užduoties projekte „kopėčios“ pažymėtos paprastu pieštuku, o skaičiai, esantys ant „laiptelių“, apibraukti. Pats terminas „žingsnio tipas“ nėra visiškai teorinis, mokslinėje ir mokomojoje literatūroje jis dažnai vadinamas trapecinis vaizdas arba trikampis vaizdas.
Ir vėl mūsų tikslas – naudojant elementarias transformacijas perkelti matricą į laiptuotą formą. Kur pradėti veiksmą?
Čia jis turėtų būti beveik visada vienetas... Paprastai tariant, –1 bus gerai (o kartais ir kiti skaičiai), bet kažkaip taip tradiciškai susiklostė, kad vienetas dažniausiai dedamas ten. Kaip organizuoti padalinį? Mes žiūrime į pirmąjį stulpelį - turime paruoštą įrenginį! Pirma transformacija: sukeiskite pirmą ir trečią eilutes: 
Ir aš jau išnagrinėjau pačių skaičiavimų eigą aukščiau.
Pabandykite patys išanalizuoti šį veiksmą – mintyse padauginkite antrą eilutę iš –2 ir pridėkite.
Saunus.
, tada su didele tikimybe galima teigti, kad elementariųjų transformacijų metu buvo padaryta klaida.
Taip, štai dovana pasirodė: 
.
Pirmoji ypatybė yra ta, kad kartais sistemos lygtyse trūksta kai kurių kintamųjų, pavyzdžiui: 
Kaip teisingai parašyti išplėstinę sistemos matricą? Apie šią akimirką jau kalbėjau pamokoje. Cramerio taisyklė. Matricos metodas... Išplėstoje sistemos matricoje vietoj trūkstamų kintamųjų dedame nulius: 
Beje, tai gana lengvas pavyzdys, nes pirmajame stulpelyje jau yra vienas nulis, o elementarių transformacijų reikia atlikti mažiau. .
... Čia mums tinka ir trys antrojo „žingsnio“, nes 12 (vieta, kur reikia gauti nulį) dalijasi iš 3 be liekanos. Būtina atlikti tokią transformaciją: prie trečios eilutės pridėkite antrą eilutę, padaugintą iš –4, dėl to bus gautas mums reikalingas nulis.
Atliktos elementarios transformacijos:
(1) Pirmoji eilutė, padauginta iš –2, buvo pridėta prie antrosios eilutės. Pirmoji eilutė, padauginta iš -1, buvo pridėta prie trečios eilutės.Dėmesio!
Čia gali kilti pagunda atimti pirmą iš trečios eilutės, aš labai neskatinu atimti - klaidos rizika labai padidėja. Tiesiog pridėkite!
(2) Pakeistas antrosios eilutės ženklas (padaugintas iš –1). Antroji ir trečioji eilutės buvo sukeistos.pastaba
kad ant „laiptelių“ pasitenkiname ne tik vienu, bet ir –1, o tai dar patogiau.
(3) Antroji eilutė buvo pridėta prie trečios eilutės, padauginta iš 5.
(4) Pakeistas antrosios eilutės ženklas (padaugintas iš –1). Trečioji eilutė buvo padalinta iš 14.
Atsakymas: 
.
(1) Antroji buvo įtraukta į pirmąją eilutę. Taigi, norimas vienetas organizuojamas viršutiniame kairiajame „laiptelyje“.
(2) Pirmoji eilutė, padauginta iš 7, buvo įtraukta į antrąją eilutę. Pirma eilutė, padauginta iš 6, buvo įtraukta į trečią eilutę.
(4) Trečia eilutė buvo pridėta prie antrosios eilutės, padauginta iš –3.
Antrame žingsnyje reikalingas daiktas gaunamas
.
(5) Antroji eilutė buvo pridėta prie trečios eilutės, padauginta iš 6.
(6) Antroji eilutė buvo padauginta iš -1, trečioji eilutė buvo padalinta iš -83. Akivaizdu, kad plokštumą vienareikšmiškai lemia trys skirtingi taškai, kurie nėra vienoje tiesėje. Todėl trijų raidžių plokštumų žymėjimai yra gana populiarūs - pavyzdžiui, pagal jiems priklausančius taškus; .Jei laisvi nariai
