Gauso metodas yra universali formulė. Atvirkštinis Gauso metodas

Šiandien mes kalbame apie Gauso metodą, skirtą tiesinių algebrinių lygčių sistemoms spręsti. Apie tai, kas yra šios sistemos, galite perskaityti ankstesniame straipsnyje, skirtame tam pačiam SLAE sprendimui Cramer metodu. Gauso metodas nereikalauja jokių specifinių žinių, reikia tik kruopštumo ir nuoseklumo. Nepaisant to, kad matematikos požiūriu jos pritaikymui užtenka mokyklinio pasiruošimo, šio metodo įsisavinimas dažnai sukelia mokiniams sunkumų. Šiame straipsnyje mes stengsimės juos sumažinti iki nieko!

Gauso metodas

M Gauso metodas yra universaliausias SLAE sprendimo būdas (išskyrus, gerai, labai didelės sistemos). Skirtingai nei aptartas anksčiau, jis tinka ne tik sistemoms, kurios turi unikalų sprendimą, bet ir sistemoms, kurios turi be galo daug sprendimų. Čia yra trys variantai.

1. Sistema turi unikalų sprendimą (sistemos pagrindinės matricos determinantas nelygus nuliui);
2. Sistema turi begalinį sprendimų skaičių;
3. Sprendimų nėra, sistema nenuosekli.

Taigi, mes turime sistemą (tegul ji turi vieną sprendimą), ir mes ją išspręsime Gauso metodu. Kaip tai veikia?

Gauso metodas susideda iš dviejų etapų – tiesioginio ir atvirkštinio.

Tiesioginis Gauso metodas

Pirmiausia parašome išplėstinę sistemos matricą. Norėdami tai padaryti, į pagrindinę matricą pridedame laisvų narių stulpelį.

Visa Gauso metodo esmė – elementariųjų transformacijų pagalba duotąją matricą suvesti į laiptuotą (arba, kaip sakoma, trikampę) formą. Šioje formoje po (arba aukščiau) pagrindinės matricos įstrižainės turėtų būti tik nuliai.

Ką galima padaryti:

1. Galite pertvarkyti matricos eilutes;
2. Jei matricoje yra identiškų (arba proporcingų) eilučių, galite ištrinti visas jas, išskyrus vieną;
3. Eilutę galite padauginti arba padalyti iš bet kurio skaičiaus (išskyrus nulį);
4. Nulinės linijos pašalinamos;
5. Prie eilutės galite pridėti eilutę, padaugintą iš ne nulio skaičiaus.

Atvirkštinis Gauso metodas

Po to, kai mes transformavome sistemą tokiu būdu, vienas nežinomas xn tampa žinomas, o visus likusius nežinomuosius galima rasti atvirkštine tvarka, pakeičiant jau žinomus x į sistemos lygtis, iki pirmosios.

Kai internetas visada po ranka, lygčių sistemą galite išspręsti Gauso metodu prisijungęs . Viskas, ką jums reikia padaryti, tai įvesti koeficientą į internetinę skaičiuoklę. Tačiau, pripažinkite, daug maloniau suvokti, kad pavyzdį išsprendė ne kompiuterinė programa, o jūsų pačių smegenys.

Lygčių sistemos sprendimo Gauso metodu pavyzdys

O dabar – pavyzdys, kad viskas taptų aišku ir suprantama. Tegul sistema tiesines lygtis, ir jūs turite tai išspręsti naudodami Gauso metodą:

Pirmiausia parašykime išplėstinę matricą:

Dabar pažvelkime į transformacijas. Prisiminkite, ką turime pasiekti trikampis matricos. Padauginkite 1 eilutę iš (3). 2-ą eilutę padauginkite iš (-1). Pridėkime 2 eilutę prie 1 ir gausime:

Tada padauginkite 3 eilutę iš (-1). Pridėkime 3-ią eilutę prie 2-osios:

Padauginkite 1 eilutę iš (6). 2-ąją eilutę padauginkite iš (13). Pridėkime 2-ąją eilutę prie 1-osios:

Voila - sistema įvedama į atitinkamą formą. Belieka surasti nežinomuosius:

Sistema viduje šis pavyzdys turi unikalų sprendimą. Sistemų su begaliniu sprendimų rinkiniu sprendimą nagrinėsime atskirame straipsnyje. Galbūt iš pradžių nežinosite nuo ko pradėti matricų transformacijas, bet po atitinkamos praktikos paimsite į rankas ir kaip riešutus spustelėsite Gauso SLAE. Ir jei staiga susidursite su SLAU, kuris pasirodo per kietas riešutėlis, susisiekite su mūsų autoriais! galite palikę prašymą korespondencijoje. Kartu mes išspręsime bet kokią problemą!

Nuo XVI-XVIII amžiaus pradžios matematikai pradėjo intensyviai tyrinėti funkcijas, kurių dėka mūsų gyvenime tiek daug pasikeitė. Kompiuterinės technologijos be šių žinių tiesiog neegzistuotų. Dėl sprendimų sudėtingas užduotis, buvo sukurtos tiesinės lygtys ir funkcijos, įvairios koncepcijos, teoremos ir sprendimo metodai. Vienas iš tokių universalių ir racionalių tiesinių lygčių ir jų sistemų sprendimo metodų ir technikų buvo Gauso metodas. Matricos, jų rangas, determinantas – viską galima apskaičiuoti nenaudojant sudėtingų operacijų.

Kas yra SLAU

Matematikoje yra sąvoka SLAE – tiesinių algebrinių lygčių sistema. Ką ji atstovauja? Tai m lygčių rinkinys su reikiamais n nežinomųjų, paprastai žymimų x, y, z arba x 1 , x 2 ... x n arba kitais simboliais. Išspręskite Gauso metodu šią sistemą- reiškia surasti visus reikalingus nežinomus dalykus. Jei sistema turi tas pats numeris nežinomųjų ir lygčių, tada ji vadinama n-osios eilės sistema.

Populiariausi SLAE sprendimo būdai

V švietimo įstaigos vidurinio išsilavinimo studijuoja įvairius tokių sistemų sprendimo būdus. Dažniausiai tai paprastos lygtys, susidedantis iš dviejų nežinomųjų, todėl bet koks esamas būdas rasti atsakymą į juos neužims daug laiko. Tai gali būti kaip pakeitimo metodas, kai iš vienos lygties išvedama kita lygtis ir pakeičiama pradine. Arba terminas po termino atimti ir sudėti. Tačiau Gauso metodas laikomas lengviausiu ir universaliausiu. Tai leidžia išspręsti lygtis su bet kokiu nežinomųjų skaičiumi. Kodėl ši technika laikoma racionalia? Viskas paprasta. Matricos metodas yra geras, nes nereikia kelis kartus perrašyti nereikalingų simbolių į nežinomus, pakanka atlikti aritmetines operacijas su koeficientais - ir gausite patikimą rezultatą.

Kur SLAE naudojami praktiškai?

SLAE sprendimas yra funkcijų grafikų tiesių susikirtimo taškai. Mūsų aukštųjų technologijų kompiuterių amžiuje žmonės, glaudžiai susiję su žaidimų ir kitų programų kūrimu, turi žinoti, kaip tokias sistemas išspręsti, ką jos reprezentuoja ir kaip patikrinti gauto rezultato teisingumą. Dažniausiai programuotojai kuria specialius tiesinės algebros skaičiuotuvus, tai apima tiesinių lygčių sistemą. Gauso metodas leidžia apskaičiuoti visus esamus sprendimus. Taip pat naudojamos kitos supaprastintos formulės ir metodai.

SLAE suderinamumo kriterijus

Tokia sistema gali būti išspręsta tik tada, kai ji yra suderinama. Aiškumo dėlei pateikiame SLAE forma Ax=b. Jis turi sprendimą, jei rang(A) lygus rang(A,b). Šiuo atveju (A,b) yra išplėstinės formos matrica, kurią galima gauti iš A matricos perrašant ją laisvaisiais terminais. Pasirodo, tiesines lygtis Gauso metodu išspręsti gana paprasta.

Galbūt kai kurie užrašai nėra iki galo aiškūs, todėl reikia viską apsvarstyti pavyzdžiu. Tarkime, kad yra sistema: x+y=1; 2x-3y=6. Jį sudaro tik dvi lygtys, kuriose yra 2 nežinomieji. Sistema turės sprendimą tik tuo atveju, jei jos matricos rangas bus lygus padidintos matricos rangui. Kas yra rangas? Tai nepriklausomų sistemos linijų skaičius. Mūsų atveju matricos rangas yra 2. Matrica A susideda iš koeficientų, esančių šalia nežinomųjų, o koeficientai už „=“ ženklo taip pat tilps į išplėstą matricą.

Kodėl SLAE galima pavaizduoti matricos forma

Remiantis suderinamumo kriterijumi pagal įrodytą Kronecker-Capelli teoremą, tiesinių algebrinių lygčių sistema gali būti pavaizduota matricine forma. Naudodami Gauso kaskados metodą galite išspręsti matricą ir gauti vienintelį patikimą atsakymą visai sistemai. Jei įprastos matricos rangas yra lygus jos išplėstinės matricos rangui, bet mažesnis už nežinomųjų skaičių, tada sistema turi begalinį atsakymų skaičių.

Matricos transformacijos

Prieš pereinant prie matricų sprendimo, būtina žinoti, kokius veiksmus galima atlikti su jų elementais. Yra keletas elementarių transformacijų:

• Perrašant sistemą į matricinę formą ir atlikus jos sprendimą, galima visus eilutės elementus padauginti iš to paties koeficiento.
• Norint konvertuoti matricą į kanoninę formą, galima sukeisti dvi lygiagrečias eilutes. Kanoninė forma reiškia, kad visi matricos elementai, esantys išilgai pagrindinės įstrižainės, tampa vienetais, o likusieji tampa nuliais.
• Atitinkamus lygiagrečių matricos eilučių elementus galima pridėti vieną prie kito.

Jordano-Gausso metodas

Tiesinių vienarūšių ir nehomogeninių lygčių sistemų sprendimo Gauso metodu esmė – laipsniškai pašalinti nežinomuosius. Tarkime, kad turime dviejų lygčių sistemą, kurioje yra du nežinomieji. Norėdami juos rasti, turite patikrinti sistemos suderinamumą. Gauso lygtis išspręsta labai paprastai. Koeficientus, esančius šalia kiekvieno nežinomojo, būtina užrašyti matricos pavidalu. Norėdami išspręsti sistemą, turite parašyti išplėstinę matricą. Jei vienoje iš lygčių yra mažesnis nežinomųjų skaičius, vietoj trūkstamo elemento reikia įdėti „0“. Viskas taikoma matricai žinomi metodai transformacijos: daugyba, padalijimas iš skaičiaus, atitinkamų eilučių elementų sudėjimas vienas prie kito ir kt. Pasirodo, kiekvienoje eilutėje reikia palikti vieną kintamąjį su reikšme "1", likusi dalis turi būti sumažinta iki nulio. Norint tiksliau suprasti, būtina apsvarstyti Gauso metodą su pavyzdžiais.

Paprastas 2x2 sistemos sprendimo pavyzdys

Pirmiausia paimkime paprastą algebrinių lygčių sistemą, kurioje bus 2 nežinomieji.

Perrašykime jį į padidintą matricą.

Norint išspręsti šią tiesinių lygčių sistemą, reikia atlikti tik dvi operacijas. Turime perkelti matricą į kanoninę formą, kad pagrindinėje įstrižainėje būtų vienetų. Taigi, iš matricinės formos verčiant atgal į sistemą, gauname lygtis: 1x+0y=b1 ir 0x+1y=b2, kur b1 ir b2 yra atsakymai, gauti sprendžiant.

1. Pirmas žingsnis sprendžiant išplėstinę matricą bus toks: pirmąją eilutę reikia padauginti iš -7 ir atitinkamai pridėti atitinkamus elementus į antrąją eilutę, kad antrojoje lygtyje būtų pašalintas vienas nežinomasis.
2. Kadangi lygčių sprendimas Gauso metodu reiškia matricos perkėlimą į kanoninę formą, tuomet reikia atlikti tas pačias operacijas su pirmąja lygtimi ir pašalinti antrąjį kintamąjį. Norėdami tai padaryti, iš pirmosios atimame antrąją eilutę ir gauname reikiamą atsakymą - SLAE sprendimą. Arba, kaip parodyta paveikslėlyje, antrą eilutę padauginame iš koeficiento -1 ir antros eilutės elementus pridedame prie pirmosios eilutės. Tai tas pats.

Kaip matote, mūsų sistema išspręsta Jordano-Gausso metodu. Perrašome reikiama forma: x=-5, y=7.

SLAE 3x3 sprendimo pavyzdys

Tarkime, kad turime sudėtingesnę tiesinių lygčių sistemą. Gauso metodas leidžia apskaičiuoti atsakymą net ir pačiai painiausiai sistemai. Todėl norėdami įsigilinti į skaičiavimo metodiką, galime pereiti prie sudėtingesnio pavyzdžio su trimis nežinomaisiais.

Kaip ir ankstesniame pavyzdyje, mes perrašome sistemą į išplėstinę matricą ir pradedame ją perkelti į kanoninę formą.

Norėdami išspręsti šią sistemą, turėsite atlikti daug daugiau veiksmų nei ankstesniame pavyzdyje.

1. Pirmiausia pirmame stulpelyje turite padaryti vieną elementą, o likusius nulius. Norėdami tai padaryti, padauginkite pirmąją lygtį iš -1 ir pridėkite prie jos antrąją lygtį. Svarbu atsiminti, kad pirmąją eilutę perrašome pradine forma, o antrąją – jau pakeista forma.
2. Tada iš trečiosios lygties pašaliname tą patį pirmąjį nežinomąjį. Norėdami tai padaryti, pirmosios eilutės elementus padauginame iš -2 ir pridedame prie trečios eilės. Dabar pirmoji ir antroji eilutės perrašomos į pradinę formą, o trečioji – jau su pakeitimais. Kaip matote iš rezultato, pirmąjį gavome pagrindinės matricos įstrižainės pradžioje, o likusi dalis yra nuliai. Dar keli veiksmai ir lygčių sistema Gauso metodu bus patikimai išspręsta.
3. Dabar reikia atlikti operacijas su kitais eilučių elementais. Trečią ir ketvirtą žingsnius galima sujungti į vieną. Antrą ir trečią eilutes turime padalyti iš -1, kad atsikratytume neigiamų įstrižainėje. Trečią eilutę jau atnešėme į reikiamą formą.
4. Toliau mes kanonizuojame antrąją eilutę. Norėdami tai padaryti, padauginame trečiosios eilutės elementus iš -3 ir pridedame juos prie antrosios matricos eilutės. Iš rezultato matyti, kad antroji eilutė taip pat sumažinama iki mums reikalingos formos. Belieka atlikti dar keletą operacijų ir iš pirmos eilės pašalinti nežinomųjų koeficientus.
5. Kad iš antrojo eilutės elemento būtų 0, reikia trečią eilutę padauginti iš -3 ir pridėti prie pirmosios eilutės.
6. Kitas lemiamas žingsnis yra pridėti prie pirmosios eilutės būtini elementai antra eilė. Taigi gauname kanoninę matricos formą ir atitinkamai atsakymą.

Kaip matote, lygčių sprendimas Gauso metodu yra gana paprastas.

4x4 lygčių sistemos sprendimo pavyzdys

Truputį daugiau sudėtingos sistemos lygtys gali būti išspręstos Gauso metodu naudojant kompiuterines programas. Būtina į esamus tuščius langelius suvaryti koeficientus nežinomiems, o programa žingsnis po žingsnio apskaičiuos reikiamą rezultatą, išsamiai apibūdindama kiekvieną veiksmą.

Aprašyta žemiau žingsnis po žingsnio instrukcijašio pavyzdžio sprendimai.

Pirmajame etape į tuščius langelius įvedami laisvieji koeficientai ir skaičiai nežinomiems. Taigi gauname tą pačią papildytą matricą, kurią rašome ranka.

Ir atliekamos visos būtinos aritmetinės operacijos, kad išplėstinė matrica būtų kanoninė. Reikia suprasti, kad lygčių sistemos atsakymas ne visada yra sveikieji skaičiai. Kartais sprendimas gali būti iš trupmeninių skaičių.

Sprendimo teisingumo tikrinimas

Jordano-Gausso metodas numato rezultato teisingumo patikrinimą. Norėdami sužinoti, ar koeficientai apskaičiuoti teisingai, jums tereikia pakeisti rezultatą į pradinę lygčių sistemą. Kairioji lygties pusė turi sutapti dešinioji pusė, esantis po „lygybės“ ženklo. Jei atsakymai nesutampa, turite perskaičiuoti sistemą arba pabandyti taikyti kitą jums žinomą SLAE sprendimo būdą, pvz., pakeitimą arba atimtį ir sudėjimą po terminą. Juk matematika yra mokslas, kuris turi puiki sumaįvairūs sprendimo būdai. Tačiau atminkite: rezultatas visada turi būti toks pat, nesvarbu, kokį sprendimo būdą naudojote.

Gauso metodas: dažniausiai pasitaikančios klaidos sprendžiant SLAE

Sprendžiant tiesines lygčių sistemas, dažniausiai pasitaiko klaidų, tokių kaip neteisingas koeficientų perkėlimas į matricinę formą. Yra sistemų, kurių vienoje iš lygčių trūksta kai kurių nežinomųjų, tada, perkeliant duomenis į išplėstinę matricą, jie gali būti prarasti. Dėl to sprendžiant šią sistemą rezultatas gali neatitikti tikrojo.

Kita pagrindinių klaidų gali būti neteisingas galutinio rezultato užrašymas. Reikia aiškiai suprasti, kad pirmasis koeficientas atitiks pirmąjį iš sistemos nežinomą, antrasis – antrąjį ir pan.

Gauso metodas detaliai aprašo tiesinių lygčių sprendimą. Jo dėka nesunku atlikti reikiamas operacijas ir rasti tinkamą rezultatą. Be to, šis universali priemonė ieškoti patikimo atsakymo į bet kokio sudėtingumo lygtis. Galbūt todėl jis taip dažnai naudojamas sprendžiant SLAE.

Mes ir toliau svarstome tiesinių lygčių sistemas. Ši pamoka yra trečioji šia tema. Jei turite miglotą supratimą apie tai, kas apskritai yra tiesinių lygčių sistema, jaučiatės kaip arbatinukas, tada rekomenduoju pradėti nuo pagrindų kitame puslapyje, naudinga studijuoti pamoką.

Gauso metodas yra paprastas! Kodėl? Garsus vokiečių matematikas Johanas Carlas Friedrichas Gaussas pripažinimo sulaukė per savo gyvenimą didžiausias matematikas visų laikų genijus ir net „matematikos karaliaus“ slapyvardis. Ir viskas išradinga, kaip žinote, yra paprasta! Beje, į pinigus patenka ne tik čiulptukai, bet ir genijai – Gauso portretas puikavosi ant 10 Vokietijos markių kupiūros (iki euro įvedimo), o Gaussas iki šiol paslaptingai šypsosi vokiečiams iš paprastų pašto ženklų.

Gauso metodas yra paprastas tuo, kad Jį įvaldyti PAKAKNA VENTKOKĖS MOKINIO ŽINIŲ. Turi mokėti pridėti ir dauginti! Neatsitiktinai pasirenkamųjų matematikos dalykų mokytojai dažnai svarsto nuoseklaus nežinomųjų pašalinimo metodą. Paradoksalu, tačiau Gauso metodas mokiniams sukelia daugiausiai sunkumų. Nieko stebėtino – viskas apie metodiką, o aš pabandysiu prieinama forma papasakoti apie metodo algoritmą.

Pirmiausia šiek tiek susisteminame žinias apie tiesinių lygčių sistemas. Tiesinių lygčių sistema gali:

1) Turėkite unikalų sprendimą. 2) Turėkite be galo daug sprendimų. 3) Neturi sprendimų (būti nesuderinamas).

Gauso metodas yra galingiausias ir universaliausias sprendimas ieškant sprendimo bet koks tiesinių lygčių sistemos. Kaip prisimename Cramerio taisyklė ir matricos metodas yra netinkami tais atvejais, kai sistema turi be galo daug sprendimų arba yra nenuosekli. Nežinomų nuoseklaus pašalinimo metodas šiaip veda mus prie atsakymo! Ant šią pamoką 1 atveju (vienintelis sistemos sprendimas) vėl svarstysime Gauso metodą, straipsnis skirtas 2-3 punktų situacijoms. Atkreipiu dėmesį, kad pats metodo algoritmas visais trimis atvejais veikia vienodai.

Atgal į paprasčiausia sistema iš pamokos Kaip išspręsti tiesinių lygčių sistemą? ir išspręskite jį Gauso metodu.

Pirmas žingsnis – rašyti išplėstinė matricų sistema: . Kokiu principu fiksuojami koeficientai, manau, visi mato. Vertikali linija matricos viduje neturi jokios matematinės reikšmės – tai tik perbrauktas dizainas.

nuoroda : Rekomenduoju prisiminti terminai tiesinė algebra. Sistemos matrica yra matrica, sudaryta tik iš nežinomųjų koeficientų, šiame pavyzdyje sistemos matrica: . Išplėstinė sistemos matrica yra ta pati sistemos matrica ir laisvųjų narių stulpelis, šiuo atveju: . Bet kuri iš matricų gali būti vadinama tiesiog matrica dėl trumpumo.

Parašius išplėstinę sistemos matricą, su ja reikia atlikti kai kuriuos veiksmus, kurie taip pat vadinami elementarios transformacijos.

Yra šie elementarios transformacijos:

1) Stygos matricos gali pertvarkyti vietos. Pavyzdžiui, nagrinėjamoje matricoje galite saugiai pertvarkyti pirmąją ir antrąją eilutes:

2) Jei matricoje yra (arba pasirodė) proporcinga (kaip ypatinga byla yra tos pačios) eilutės, tada seka Ištrinti iš matricos visos šios eilutės, išskyrus vieną. Apsvarstykite, pavyzdžiui, matricą . Šioje matricoje paskutinės trys eilutės yra proporcingos, todėl pakanka palikti tik vieną iš jų: .

3) Jei transformacijų metu matricoje atsirado nulinė eilutė, tai taip pat seka Ištrinti. Aš, žinoma, nebrėžiu, nulinė linija yra ta linija, kurioje tik nuliai.

4) Matricos eilutė gali būti padauginti (padalyti) bet kuriam skaičiui ne nulis. Apsvarstykite, pavyzdžiui, matricą. Čia patartina pirmąją eilutę padalyti iš -3, o antrąją eilutę padauginti iš 2: . Šis veiksmas yra labai naudingas, nes supaprastina tolesnius matricos pakeitimus.

5) Ši transformacija sukelia daugiausiai sunkumų, tačiau iš tikrųjų nėra ir nieko sudėtingo. Į matricos eilutę galite pridėkite kitą eilutę, padaugintą iš skaičiaus, skiriasi nuo nulio. Apsvarstykite mūsų matricą iš atvejo analizė: . Pirmiausia labai detaliai aprašysiu transformaciją. Padauginkite pirmąją eilutę iš -2: , ir prie antros eilutės pridedame pirmąją eilutę, padaugintą iš -2: . Dabar pirmoji eilutė gali būti padalinta "atgal" iš -2: . Kaip matote, eilutė, kuri yra PRIDĖTA LI – nepasikeitė. Yra visada eilutė pakeista, PRIE KURIOS PRIDĖTA UT.

Praktiškai, žinoma, jie netapo taip išsamiai, bet rašo trumpiau: Dar kartą: į antrą eilutę pridėjo pirmąją eilutę, padaugintą iš -2. Linija paprastai padauginama žodžiu arba juodraštyje, o protiniai skaičiavimų eiga yra maždaug tokia:

„Perrašau matricą ir perrašau pirmą eilutę: »

Pirmas stulpelis pirmas. Žemiau turiu gauti nulį. Todėl aukščiau esantį vienetą padauginu iš -2:, o pirmąjį pridedu prie antros eilutės: 2 + (-2) = 0. Rezultatą rašau antroje eilutėje: »

„Dabar antra stulpelis. Virš -1 kartas -2: . Pirmąją pridedu į antrą eilutę: 1 + 2 = 3. Rezultatą rašau į antrą eilutę: »

„Ir trečia kolona. Virš -5 kartus -2: . Pirmą eilutę pridedu prie antros eilutės: -7 + 10 = 3. Rezultatą rašau antroje eilutėje: »

Prašome gerai pagalvoti apie šį pavyzdį ir suprasti nuoseklaus skaičiavimo algoritmą, jei tai suprantate, tada Gauso metodas yra praktiškai „kišenėje“. Bet, žinoma, mes vis dar dirbame su šia pertvarka.

Elementariosios transformacijos nekeičia lygčių sistemos sprendinio

! DĖMESIO: apgalvotos manipuliacijos negali naudoti, jei jums pasiūloma užduotis, kur matricos pateikiamos „pačios“. Pavyzdžiui, su "klasika" matricos jokiu būdu neturėtumėte pertvarkyti ko nors matricų viduje! Grįžkime prie mūsų sistemos. Ji praktiškai suskaidyta į gabalus.

Parašykime padidintą sistemos matricą ir, naudodami elementariąsias transformacijas, sumažinkime ją iki laiptuotas vaizdas:

(1) Pirmoji eilutė buvo pridėta prie antrosios eilutės, padauginta iš -2. Ir dar: kodėl pirmąją eilutę dauginame iš -2? Norint gauti nulį apačioje, o tai reiškia, kad reikia atsikratyti vieno kintamojo antroje eilutėje.

(2) Padalinkite antrąją eilutę iš 3.

Elementariųjų transformacijų paskirtis – konvertuoti matricą į žingsninę formą: . Kurdami užduotį, jie tiesiai pieštuku nubrėžia „kopėčias“, taip pat apibraukite skaičius, esančius ant „laiptelių“. Pats terminas „pakopinis vaizdas“ nėra visiškai teorinis, mokslinėje ir mokomoji literatūra jis dažnai vadinamas trapecinis vaizdas arba trikampis vaizdas.

Elementariųjų transformacijų rezultate gavome lygiavertis originali lygčių sistema:

Dabar sistemą reikia „atsukti“ priešinga kryptimi – iš apačios į viršų šis procesas vadinamas atvirkštinis Gauso metodas.

Apatinėje lygtyje jau turime galutinį rezultatą: .

Apsvarstykite pirmąją sistemos lygtį ir pakeiskite ja jau žinomą „y“ reikšmę:

Panagrinėkime dažniausiai pasitaikančią situaciją, kai trijų tiesinių lygčių su trimis nežinomaisiais sistemai išspręsti reikalingas Gauso metodas.

1 pavyzdys

Gauso metodu išspręskite lygčių sistemą:

Parašykime išplėstinę sistemos matricą:

Dabar iš karto nubraižysiu rezultatą, kurį pasieksime sprendimo eigoje: Ir kartoju, mūsų tikslas yra suvesti matricą į laiptuotą formą naudojant elementarias transformacijas. Nuo ko pradėti imtis veiksmų?

Pirmiausia pažiūrėkite į viršutinį kairįjį skaičių: Čia turėtų būti beveik visada vienetas. Paprastai tariant, tiks ir -1 (o kartais ir kiti skaičiai), bet kažkaip tradiciškai susiklostė taip, kad ten dažniausiai dedamas vienetas. Kaip organizuoti padalinį? Žiūrime į pirmą stulpelį – turime baigtą vienetą! Pirma transformacija: sukeiskite pirmą ir trečią eilutes:

Dabar pirmoji eilutė išliks nepakitusi iki sprendimo pabaigos. Dabar gerai.

Viršutiniame kairiajame kampe esantis padalinys yra organizuotas. Dabar šiose vietose reikia gauti nulius:

Nuliai gaunami tiesiog „sunkios“ transformacijos pagalba. Pirma, mes susiduriame su antrąja eilute (2, -1, 3, 13). Ką reikia padaryti, kad pirmoje pozicijoje būtų nulis? Reikia prie antrosios eilutės pridėkite pirmąją eilutę, padaugintą iš -2. Protiškai arba juodraštyje pirmąją eilutę padauginame iš -2: (-2, -4, 2, -18). Ir mes nuosekliai atliekame (vėl mintyse arba pagal juodraštį) papildymą, prie antros eilutės pridedame pirmąją eilutę, jau padaugintą iš -2:

Rezultatas rašomas antroje eilutėje:

Panašiai elgiamės ir su trečiąja eilute (3, 2, -5, -1). Norėdami gauti nulį pirmoje pozicijoje, jums reikia prie trečios eilutės pridėkite pirmąją eilutę, padaugintą iš -3. Protiškai arba juodraštyje pirmąją eilutę padauginame iš -3: (-3, -6, 3, -27). IR prie trečios eilutės pridedame pirmąją eilutę, padaugintą iš -3:

Rezultatas rašomas trečioje eilutėje:

Praktikoje šie veiksmai dažniausiai atliekami žodžiu ir užrašomi vienu žingsniu:

Nereikia visko skaičiuoti iš karto ir tuo pačiu metu. Skaičiavimų ir rezultatų „įterpimo“ tvarka nuoseklus o dažniausiai taip: pirma perrašome pirmą eilutę, o patys tyliai išsipučiame - NUOSTOLIAI ir ATSARGIAI:
O pačių skaičiavimų protinę eigą jau apsvarsčiau aukščiau.

Šiame pavyzdyje tai padaryti nesunku, antrą eilutę padalijame iš -5 (nes visi ten esantys skaičiai dalijasi iš 5 be liekanos). Tuo pačiu metu trečią eilutę padalijame iš -2, nes kuo mažesnis skaičius, tuo paprastesnis sprendimas:

Paskutiniame elementariųjų transformacijų etape čia reikia gauti dar vieną nulį:

Už tai prie trečios eilutės pridedame antrą eilutę, padaugintą iš -2:
Pabandykite patys išanalizuoti šį veiksmą - mintyse padauginkite antrą eilutę iš -2 ir atlikite sudėjimą.

Paskutinis atliktas veiksmas yra rezultato šukuosena, trečią eilutę padalinkite iš 3.

Elementariųjų transformacijų rezultate buvo gauta lygiavertė pradinė tiesinių lygčių sistema: Saunus.

Dabar pradedama naudoti atvirkštinė Gauso metodo eiga. Lygtys „atsipalaiduoja“ iš apačios į viršų.

Trečioje lygtyje mes jau turime galutinį rezultatą:

Pažvelkime į antrąją lygtį: . „z“ reikšmė jau žinoma, taigi:

Ir galiausiai pirmoji lygtis: . „Y“ ir „Z“ žinomi, reikalas mažas:

Atsakymas:

Kaip jau ne kartą buvo pažymėta, bet kuriai lygčių sistemai galima ir būtina patikrinti rastą sprendimą, laimei, tai nėra sunku ir greita.

2 pavyzdys

Tai yra savarankiško sprendimo pavyzdys, užbaigimo pavyzdys ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Reikėtų pažymėti, kad jūsų veiksmų eiga gali nesutapti su mano veiksmų eiga, ir tai yra Gauso metodo bruožas. Bet atsakymai turi būti tie patys!

3 pavyzdys

Išspręskite tiesinių lygčių sistemą Gauso metodu

Mes žiūrime į viršutinį kairįjį „žingsnį“. Ten turėtume turėti padalinį. Bėda ta, kad pirmame stulpelyje išvis nėra nė vieno, todėl perstačius eilutes nieko nepavyks išspręsti. Tokiais atvejais padalinys turi būti organizuojamas naudojant elementarią transformaciją. Paprastai tai galima padaryti keliais būdais. Aš padariau taip: (1) Prie pirmosios eilutės pridedame antrą eilutę, padaugintą iš -1. Tai yra, mes mintyse padauginome antrą eilutę iš -1 ir atlikome pirmosios ir antrosios eilučių pridėjimą, o antroji eilutė nepasikeitė.

Dabar viršuje kairėje „minusas vienas“, kuris mums puikiai tinka. Kiekvienas, norintis gauti +1, gali atlikti papildomą gestą: padauginkite pirmąją eilutę iš -1 (pakeiskite jos ženklą).

(2) Pirmoji eilutė, padauginta iš 5, buvo įtraukta į antrąją eilutę. Pirmoji eilutė, padauginta iš 3, buvo įtraukta į trečią eilutę.

(3) Pirmoji eilutė buvo padauginta iš -1, iš esmės tai skirta grožiui. Trečios eilutės ženklas taip pat buvo pakeistas ir perkeltas į antrą vietą, taigi antruoju „žingsniu“ gavome norimą vienetą.

(4) Antroji eilutė, padauginta iš 2, buvo pridėta prie trečios eilutės.

(5) Trečioji eilutė buvo padalinta iš 3.

Blogas ženklas, rodantis skaičiavimo klaidą (rečiau rašybos klaidą), yra „bloga“ išvada. Tai yra, jei gautume kažką panašaus į žemiau, ir atitinkamai , tada su didele tikimybe galima teigti, kad elementariųjų transformacijų metu buvo padaryta klaida.

Apmokestiname atvirkštinį žingsnį, projektuojant pavyzdžius pati sistema dažnai neperrašoma, o lygtys „paimtos tiesiai iš duotosios matricos“. Atvirkštinis judėjimas, primenu, veikia iš apačios į viršų. Taip, čia yra dovana:

Atsakymas: .

4 pavyzdys

Išspręskite tiesinių lygčių sistemą Gauso metodu

Tai yra nepriklausomo sprendimo pavyzdys, jis yra šiek tiek sudėtingesnis. Gerai, jei kas nors susipainios. Visas sprendimas ir dizaino pavyzdys pamokos pabaigoje. Jūsų sprendimas gali skirtis nuo mano.

Paskutinėje dalyje aptariame kai kurias Gauso algoritmo ypatybes. Pirmoji ypatybė yra ta, kad kartais sistemos lygtyse trūksta kai kurių kintamųjų, pavyzdžiui: Kaip teisingai parašyti išplėstinę sistemos matricą? Apie šią akimirką jau kalbėjau pamokoje. Cramerio taisyklė. Matricos metodas. Išplėstoje sistemos matricoje vietoj trūkstamų kintamųjų dedame nulius: Beje, tai yra gana paprastas pavyzdys, nes pirmajame stulpelyje jau yra vienas nulis, o elementarių transformacijų reikia atlikti mažiau.

Antroji savybė yra tokia. Visuose nagrinėjamuose pavyzdžiuose „žingsniuose“ įdėjome arba –1, arba +1. Ar gali būti kitų skaičių? Kai kuriais atvejais jie gali. Apsvarstykite sistemą: .

Čia, viršutiniame kairiajame „žingsnelyje“, turime dvikovą. Tačiau pastebime faktą, kad visi skaičiai pirmajame stulpelyje dalijasi iš 2 be likučio – ir dar iš dviejų ir šešių. O viršuje, kairėje esanti deuce mums tiks! Pirmajame žingsnyje turite atlikti šias transformacijas: prie antrosios eilutės pridėkite pirmąją eilutę, padaugintą iš -1; prie trečios eilutės pridėkite pirmąją eilutę, padaugintą iš -3. Taip gausime reikalingi nuliai pirmoje skiltyje.

Arba kitas hipotetinis pavyzdys: . Čia mums tinka ir antrojo „laiptelio“ trivietis, nes 12 (vieta, kur reikia gauti nulį) dalijasi iš 3 be liekanos. Būtina atlikti tokią transformaciją: prie trečios eilutės pridėkite antrąją eilutę, padaugintą iš -4, dėl to bus gautas mums reikalingas nulis.

Gauso metodas yra universalus, tačiau yra vienas ypatumas. Užtikrintai išmokite spręsti sistemas kitais metodais (Cramerio metodas, matricos metodas) gali būti pažodžiui pirmą kartą – yra labai griežtas algoritmas. Tačiau norint jaustis užtikrintai Gauso metodu, turėtumėte „užpildyti ranką“ ir išspręsti bent 5–10 dešimties sistemų. Todėl iš pradžių gali kilti painiavos, klaidų skaičiavimuose, ir tame nėra nieko neįprasto ar tragiško.

Už lango lietingas rudeniškas oras....Todėl visiems daugiau sudėtingas pavyzdys nepriklausomam sprendimui:

5 pavyzdys

Gauso metodu išspręskite 4 tiesinių lygčių su keturiais nežinomaisiais sistemą.

Tokia užduotis praktikoje nėra tokia reta. Manau, kad net arbatinukas, detaliai išstudijavęs šį puslapį, tokios sistemos sprendimo algoritmą supranta intuityviai. Iš esmės tas pats – tik daugiau veiksmo.

Pamokoje nagrinėjami atvejai, kai sistema neturi sprendinių (nenuosekli) arba turi be galo daug sprendimų. Nesuderinamos sistemos ir sistemos su bendru sprendimu. Čia galite pataisyti svarstomą Gauso metodo algoritmą.

Linkime sėkmės!

Sprendimai ir atsakymai:

2 pavyzdys: Sprendimas : Užrašykime išplėstinę sistemos matricą ir, naudodami elementariąsias transformacijas, perveskime ją į laiptuotą formą.
Atliktos elementarios transformacijos: (1) Pirmoji eilutė buvo pridėta prie antrosios eilutės, padauginta iš -2. Pirmoji eilutė buvo pridėta prie trečios eilutės, padauginta iš -1. Dėmesio! Čia gali kilti pagunda atimti pirmą iš trečios eilutės, aš griežtai nerekomenduoju atimti - klaidos rizika labai padidėja. Mes tiesiog sulenkiame! (2) Antros eilutės ženklas buvo pakeistas (padaugintas iš -1). Antroji ir trečioji eilutės buvo pakeistos. pastaba kad ant „laiptelių“ pasitenkiname ne tik vienu, bet ir -1, o tai dar patogiau. (3) Prie trečios eilutės pridėkite antrą eilutę, padaugintą iš 5. (4) Antros eilutės ženklas buvo pakeistas (padaugintas iš -1). Trečioji eilutė buvo padalinta iš 14.

Atvirkštinis judėjimas:

Atsakymas : .

4 pavyzdys: Sprendimas : Rašome išplėstinę sistemos matricą ir, naudodami elementarias transformacijas, pateikiame ją į žingsninę formą:

Atliktos konversijos: (1) Antroji eilutė buvo pridėta prie pirmosios eilutės. Taigi, norimas vienetas yra organizuojamas viršutiniame kairiajame „žingsnyje“. (2) Pirmoji eilutė, padauginta iš 7, buvo įtraukta į antrąją eilutę. Pirmoji eilutė, padauginta iš 6, buvo įtraukta į trečią eilutę.

Su antruoju „žingsniu“ viskas dar blogiau , jo „kandidatai“ yra skaičiai 17 ir 23, o mums reikia arba vieno, arba -1. Transformacijomis (3) ir (4) bus siekiama gauti norimą vienetą (3) Antroji eilutė buvo pridėta prie trečios eilutės, padauginta iš -1. (4) Trečioji eilutė, padauginta iš -3, buvo pridėta prie antrosios eilutės. Antrame žingsnyje reikalingas daiktas gaunamas . (5) Prie trečios eilutės pridedama antra, padauginta iš 6. (6) Antroji eilutė buvo padauginta iš -1, trečioji eilė padalinta iš -83.

Atvirkštinis judėjimas:

Atsakymas :

5 pavyzdys: Sprendimas : Užrašykime sistemos matricą ir naudodami elementariąsias transformacijas perkelkime ją į laipsnišką formą:

Atliktos konversijos: (1) Pirmoji ir antroji eilutės buvo pakeistos. (2) Pirmoji eilutė buvo pridėta prie antrosios eilutės, padauginta iš -2. Pirmoji eilutė buvo pridėta prie trečios eilutės, padauginta iš -2. Pirmoji eilutė buvo pridėta prie ketvirtos eilutės, padauginta iš -3. (3) Antroji eilutė, padauginta iš 4, buvo įtraukta į trečią eilutę. Antroji eilutė, padauginta iš -1, buvo įtraukta į ketvirtą eilutę. (4) Antros eilutės ženklas pakeistas. Ketvirtoji eilutė buvo padalinta iš 3 ir įdėta vietoj trečios eilutės. (5) Trečia eilutė buvo pridėta prie ketvirtos eilutės, padauginta iš -5.

Atvirkštinis judėjimas:

Atsakymas :

Čia galite nemokamai išspręsti tiesinių lygčių sistemą Gauso metodas internete dideli dydžiai kompleksiniais skaičiais su labai detaliu sprendimu. Mūsų skaičiuotuvas gali internetu išspręsti tiek įprastas apibrėžtąsias, tiek neapibrėžtas tiesinių lygčių sistemas, naudodamas Gauso metodą, kuris turi begalinį sprendinių skaičių. Tokiu atveju atsakyme gausite vienų kintamųjų priklausomybę per kitus, laisvuosius. Taip pat galite patikrinti lygčių sistemos suderinamumą internete, naudodami Gauso sprendimą.

Matricos dydis: 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 29 30 31 32 33 30 31 32 33 34 34 34 34 34 34 34 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 68 69 70 71 72 73 74 74 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 98 99 100 X 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 30 31 32 33 34 31 32 33 34 35 31 32 33 34 35 38 45 45 45 45 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 80 81 82 83 80 81 82 83 80 81 82 83 80 81 82 83 80 81 82 83 84 80 81 82 83 84 80 81 82 83 84 85 81 82 83 84 85 81 82 83 84 85 88 98 90 90

Apie metodą

Sprendžiant tiesinių lygčių sistemą internetinis metodas Gaussas atlieka šiuos veiksmus.

1. Rašome padidintą matricą.
2. Tiesą sakant, sprendimas yra padalintas į pirmyn ir atgal Gauso metodo žingsnius. Tiesioginis Gauso metodo judėjimas vadinamas matricos redukavimu į laiptuotą formą. Gauso metodo atvirkštinis judėjimas yra matricos redukavimas į specialią laiptuotą formą. Tačiau praktikoje patogiau iš karto pašalinti tai, kas yra aukščiau ir žemiau atitinkamo elemento. Mūsų skaičiuoklė naudoja būtent šį metodą.
3. Svarbu pažymėti, kad sprendžiant Gauso metodu, matricoje esanti bent viena nulinė eilutė su ne nuline dešine puse (laisvųjų narių stulpelis) rodo sistemos nenuoseklumą. Tiesinės sistemos sprendimas šiuo atveju neegzistuoja.

Norėdami geriau suprasti, kaip Gauso algoritmas veikia internete, įveskite bet kurį pavyzdį, pasirinkite „labai išsamus sprendimas“ ir peržiūrėkite jo sprendimą internete.

Gauso metodo apibrėžimas ir aprašymas

Gauso transformacijos metodas (taip pat žinomas kaip nuoseklaus nežinomų kintamųjų pašalinimo iš lygties ar matricos metodas), skirtas tiesinių lygčių sistemoms spręsti, yra klasikinis algebrinių lygčių sistemos (SLAE) sprendimo metodas. Taip pat šis klasikinis metodas naudojamas sprendžiant tokias problemas kaip gavimas atvirkštinės matricos ir matricos rango nustatymas.

Transformacija naudojant Gauso metodą susideda iš nedidelių (elementarių) nuoseklių pakeitimų tiesinių algebrinių lygčių sistemoje, dėl kurių iš jos pašalinami kintamieji iš viršaus į apačią ir sudaroma nauja trikampė lygčių sistema, kuri yra lygiavertė originalus.

1 apibrėžimas

Ši sprendimo dalis vadinama Gauso priekiniu sprendimu, nes visas procesas vyksta iš viršaus į apačią.

Suvedus pirminę lygčių sistemą į trikampę, visi sistemos kintamieji randami iš apačios į viršų (tai yra, pirmieji rasti kintamieji yra tiksliai paskutinėse sistemos ar matricos eilutėse). Ši sprendimo dalis taip pat žinoma kaip atvirkštinis Gauso sprendimas. Jo algoritmas susideda iš to: pirmiausia apskaičiuojami kintamieji, kurie yra arčiausiai lygčių sistemos ar matricos apačios, tada gautos reikšmės pakeičiamos aukščiau ir taip randamas kitas kintamasis ir pan.

Gauso metodo algoritmo aprašymas

Veiksmų seka, skirta bendram lygčių sistemos sprendimui Gauso metodu, yra pakaitomis taikant pirmyn ir atgal judesius matricai pagal SLAE. Tegul pradinė lygčių sistema turi tokią formą:

$\begin(cases) a_(11) \cdot x_1 +...+ a_(1n) \cdot x_n = b_1 \\ ... \\ a_(m1) \cdot x_1 + a_(mn) \cdot x_n = b_m \end(atvejai)$

Norint išspręsti SLAE Gauso metodu, reikia užrašyti pradinę lygčių sistemą matricos pavidalu:

$A = \begin(pmatrix) a_(11) & … & a_(1n) \\ \vdots & … & \vdots \\ a_(m1) & … & a_(mn) \end(pmatrix)$, $b =\begin(pmatrix) b_1 \\ \vdots \\ b_m \end(pmatrix)$

Matrica $A$ vadinama pagrindine matrica ir vaizduoja eilės tvarka užrašytų kintamųjų koeficientus, o $b$ vadinama jos laisvųjų terminų stulpeliu. Matrica $A$, parašyta per eilutę su laisvųjų narių stulpeliu, vadinama išplėstine matrica:

$A = \begin(masyvas)(ccc|c) a_(11) & … & a_(1n) & b_1 \\ \vdots & … & \vdots & ...\\ a_(m1) & … & a_( mn) & b_m \end(masyvas)$

Dabar, naudojant elementarias transformacijas per lygčių sistemą (arba per matricą, kaip patogiau), būtina ją paversti tokia forma:

$\begin(cases) α_(1j_(1)) \cdot x_(j_(1)) + α_(1j_(2)) \cdot x_(j_(2))...+ α_(1j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(1j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_1 \\ α_(2j_(2)) \cdot x_(j_(2)). ..+ α_(2j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(2j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_2 \\ ...\\ α_( rj_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(rj_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_r \\ 0 = β_(r+1) \\ … \ \ 0 = β_m \pabaiga(atvejai)$ (1)

Matrica, gauta iš (1) transformuotos lygčių sistemos koeficientų, vadinama žingsnine matrica, taip paprastai atrodo žingsnių matricos:

$A = \begin(masyvas)(ccc|c) a_(11) & a_(12) & a_(13) & b_1 \\ 0 & a_(22) & a_(23) & b_2\\ 0 & 0 & a_(33) ir b_3 \end(masyvas)$

Šioms matricoms būdingas toks savybių rinkinys:

1. Visos jos nulinės eilutės eina po nulinių vienetų
2. Jei kuri nors matricos eilutė su indeksu $k$ yra ne nulis, tai tos pačios matricos ankstesnėje eilutėje yra mažiau nulių nei šioje eilutėje su indeksu $k$.

Gavus žingsninę matricą, gautus kintamuosius reikia pakeisti į likusias lygtis (pradedant nuo pabaigos) ir gauti likusias kintamųjų reikšmes.

Pagrindinės taisyklės ir leidžiamos transformacijos naudojant Gauso metodą

Šiuo metodu supaprastinant matricą ar lygčių sistemą, turi būti naudojamos tik elementarios transformacijos.

Tokios transformacijos yra operacijos, kurias galima pritaikyti matricai arba lygčių sistemai nekeičiant jos reikšmės:

• kelių eilučių permutacija vietose,
• pridedant arba atimant iš vienos matricos eilutės kitą eilutę,
• eilutę padauginti arba padalyti iš konstantos, kuri nėra lygi nuliui,
• eilutė, kurią sudaro tik nuliai, gauta apskaičiuojant ir supaprastinant sistemą, turi būti išbraukta,
• Taip pat reikia pašalinti nereikalingas proporcingas eilutes, sistemai pasirenkant vienintelę, kurios koeficientai yra tinkamesni ir patogesni tolesniems skaičiavimams.

Visos elementarios transformacijos yra grįžtamos.

Trijų pagrindinių atvejų, atsirandančių sprendžiant tiesines lygtis paprastų Gauso transformacijų metodu, analizė

Yra trys atvejai, atsirandantys naudojant Gauso metodą sistemoms išspręsti:

1. Kai sistema yra nenuosekli, tai yra, ji neturi jokių sprendimų
2. Lygčių sistema turi sprendimą ir vienintelį, o matricos eilučių ir stulpelių skaičius yra lygus vienas kitam.
3. Sistema turi numerį arba rinkinį galimi sprendimai, o eilučių skaičius jame yra mažesnis nei stulpelių skaičius.

Sprendimo rezultatas su nenuoseklia sistema

Dėl šio varianto, sprendžiant matricos lygtis Gauso metodui būdinga tam tikra tiesė, kai neįmanoma įvykdyti lygybės. Todėl, jei įvyksta bent viena neteisinga lygybė, gautos ir pradinės sistemos neturi sprendinių, nepaisant kitų jose esančių lygčių. Nenuoseklios matricos pavyzdys:

$\begin(masyvas)(ccc|c) 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(masyvas)$

Paskutinėje eilutėje pasirodė nepatenkinama lygybė: $0 \cdot x_(31) + 0 \cdot x_(32) + 0 \cdot x_(33) = 1$.

Lygčių sistema, turinti tik vieną sprendinį

Sistemos duomenys po redukavimo į pakopinę matricą ir ištrynus eilutes su nuliais turi tiek pat eilučių ir stulpelių pagrindinėje matricoje. čia paprasčiausias pavyzdys tokia sistema:

$\begin(cases) x_1 - x_2 = -5 \\ 2 \cdot x_1 + x_2 = -7 \end(cases)$

Parašykime tai matricos forma:

$\begin(masyvas)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 2 & 1 & -7 \end(masyvas)$

Norėdami, kad antrosios eilutės pirmasis langelis būtų nulis, viršutinę eilutę padauginame iš $-2 $ ir atimame ją iš apatinės matricos eilutės, o viršutinę eilutę paliekame pradine forma, todėl gauname: :

$\begin(masyvas)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 0 & 3 & 10 \end(masyvas)$

Šis pavyzdys gali būti parašytas kaip sistema:

$\begin(cases) x_1 - x_2 = -5 \\ 3 \cdot x_2 = 10 \end(cases)$

Ši $x$ reikšmė išeina iš apatinės lygties: $x_2 = 3 \frac(1)(3)$. Pakeitę šią reikšmę į viršutinę lygtį: $x_1 – 3 \frac(1)(3)$, gauname $x_1 = 1 \frac(2)(3)$.

Sistema su daugybe galimų sprendimų

Šiai sistemai būdingas mažesnis reikšmingų eilučių skaičius nei joje esančių stulpelių skaičius (atsižvelgiama į pagrindinės matricos eilutes).

Kintamieji tokioje sistemoje skirstomi į du tipus: pagrindinius ir nemokamus. Transformuojant tokią sistemą, pagrindiniai joje esantys kintamieji turi būti palikti kairėje prieš „=“ ženklą, o likę kintamieji perkelti į dešinę lygybės pusę.

Tokia sistema turi tik keletą bendras sprendimas.

Pažiūrėkime kita sistema lygtys:

$\begin(atvejai) 2y_1 + 3y_2 + x_4 = 1 \\ 5y_3 - 4y_4 = 1 \end(atvejai)$

Parašykime tai matricos forma:

$\begin(masyvas)(cccc|c) 2 & 3 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 4 & 1 \\ \end(masyvas)$

Mūsų užduotis – rasti bendrą sistemos sprendimą. Šios matricos pagrindiniai kintamieji bus $y_1$ ir $y_3$ ($y_1$ – kadangi jis yra pirmoje vietoje, o $y_3$ atveju – po nulių).

Kaip pagrindinius kintamuosius pirmiausia pasirenkame tuos, kurie nėra lygūs nuliui.

Likę kintamieji vadinami laisvaisiais, per juos reikia išreikšti pagrindinius.

Naudodami vadinamąjį atvirkštinį judėjimą, išardome sistemą iš apačios į viršų, tam pirmiausia išreiškiame $y_3$ iš apatinės sistemos eilutės:

5 m._3 – 4 m._4 = 1 USD

5 m._3 USD = 4 m._4 + 1 USD

$y_3 = \frac(4/5)y_4 + \frac(1)(5)$.

Dabar išreikštą $y_3$ pakeičiame viršutine sistemos $2y_1 + 3y_2 + y_4 = 1$ lygtimi: $2y_1 + 3y_2 - (\frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5)) + y_4 = 1 USD

$y_1$ išreiškiame nemokamais kintamaisiais $y_2$ ir $y_4$:

2m_1 + 3m_2 – \frac(4)(5)y_4 – \frac(1)(5) + y_4 = 1$

$2y_1 = 1 - 3y_2 + \frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5) - y_4$

$2y_1 = -3y_2 - \frac(1)(5)y_4 + \frac(6)(5)$

$y_1 = -1,5x_2 – 0,1y_4 + 0,6 $

Sprendimas paruoštas.

1 pavyzdys

Išspręskite slogą Gauso metodu. Pavyzdžiai. Tiesinių lygčių sistemos, pateiktos matrica 3:3, sprendimo Gauso metodu pavyzdys

$\begin(atvejai) 4x_1 + 2x_2 - x_3 = 1 \\ 5x_1 + 3x_2 - 2x^3 = 2\\ 3x_1 + 2x_2 - 3x_3 = 0 \pabaiga(atvejai)$

Mes rašome savo sistemą papildytos matricos forma:

$\begin(masyvas)(ccc|c) 4 & 2 & -1 & 1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(masyvas)$

Dabar patogumo ir praktiškumo dėlei turime pakeisti matricą taip, kad $1$ būtų viršutiniame paskutinio stulpelio kampe.

Norėdami tai padaryti, turime pridėti eilutę iš vidurio, padauginto iš $-1 $, prie 1-osios eilutės ir parašyti pačią vidurinę eilutę tokią, kokia ji yra, pasirodo:

$\begin(masyvas)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(masyvas)$

$\begin(masyvas)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 0 & -3\\ \end(masyvas) $

Padauginkite viršutinę ir paskutinę eilutes iš $-1 $ ir pakeiskite paskutinę ir vidurinę eilutes:

$\begin(masyvas)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & 3 & -3\\ \end(masyvas)$

$\begin(masyvas)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3\\ \end(masyvas)$

Paskutinę eilutę padalinkite iš 3 USD:

$\begin(masyvas)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1\\ \end(masyvas)$

Gauname tokią lygčių sistemą, lygiavertę pradinei:

$\begin(atvejai) x_1 + x_2 – x_3 = 1\\ x_2 = 3 \\ x_3 = 1 \end(atvejai)$

Iš viršutinės lygties išreiškiame $x_1$:

x1 $ = 1 + x_3 - x_2 = 1 + 1 - 3 = -1 $.

2 pavyzdys

Sistemos, apibrėžtos naudojant 4 x 4 matricą, naudojant Gauso metodą, sprendimo pavyzdys

$\begin(masyvas)(cccc|c) 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 ir 37 \\ \end(masyvas)$.

Pradžioje sukeičiame viršutines eilutes, esančias po jo, kad gautume 1 USD viršutiniame kairiajame kampe:

$\begin(masyvas)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 ir 37 \\ \end(masyvas)$.

Dabar padauginkime viršutinę eilutę iš $-2 $ ir pridėkime prie 2 ir 3. Prie 4-osios pridedame 1-ąją eilutę, padaugintą iš $-3 $:

$\begin(masyvas)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 4 & 5 & 5 & 18\\ 0 & - 1 ir 3 & -1 ir 4 \\ \end(masyvas)$

Dabar prie 3 eilutės pridedame 2 eilutę, padaugintą iš $4 $, o prie 4 eilutės pridedame 2 eilutę, padaugintą iš $-1 $.

$\begin(masyvas)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10\\ 0 & 0 & 3 & 0 & 6 \\ \end(masyvas)$

2 eilutę padauginkite iš $-1 $, 4 eilutę padalinkite iš $3 $ ir pakeiskite 3 eilutę.

$\begin(masyvas)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 5 & 1 ir 10 \\ \end(masyvas)$

Dabar prie paskutinės eilutės pridedame priešpaskutinę eilutę, padaugintą iš -5 USD.

$\begin(masyvas)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 1 ir 0 \\ \end(masyvas)$

Išsprendžiame gautą lygčių sistemą:

$\begin(atvejai) m = 0 \\ g = 2\\ y + m = 2\ \ x + 3y + 2g + m = 11\pabaiga (atvejai)$