Norint dirbti su matricos rango samprata, mums reikia informacijos iš temos "Algebriniai papildiniai ir mažieji. Mažųjų ir algebrinių papildinių tipai". Visų pirma, tai susiję su terminu „matrica minor“, nes matricos rangas bus nustatomas būtent per nepilnamečius.

Pagal matricos rangą vadinama maksimali jo nepilnamečių eilė, tarp kurių yra bent vienas, kuris nėra lygus nuliui.

Lygiavertės matricos- matricos, kurių eilės yra lygios viena kitai.

Leiskite mums paaiškinti išsamiau. Tarkime, kad tarp antros eilės nepilnamečių yra bent vienas nepilnametis. O visi nepilnamečiai, kurių eilė didesnė už du, yra lygūs nuliui. Išvada: matricos rangas yra 2. Arba, pavyzdžiui, tarp dešimtos eilės nepilnamečių yra bent vienas, kuris nėra lygus nuliui. O visi nepilnamečiai, kurių eilė didesnis nei 10, yra lygūs nuliui. Išvada: matricos reitingas yra 10.

Matricos $ A $ rangas žymimas kaip $ \ rang A $ arba $ r (A) $. Nulinės matricos $ O $ rangas laikomas nuliu, $ \ rang O = 0 $. Leiskite jums priminti, kad norint sudaryti mažąją matricą, reikia išbraukti eilutes ir stulpelius, tačiau neįmanoma išbraukti daugiau eilučių ir stulpelių, nei yra pačioje matricoje. Pavyzdžiui, jei $ F $ matrica yra $ 5 \ padauginus 4 $ (t. y. joje yra 5 eilutės ir 4 stulpeliai), tada didžiausia jos mažųjų eilės tvarka yra keturi. Penktos eilės nepilnamečių formuoti nebebus galima, nes jiems reikės 5 stulpelių (o mes turime tik 4). Tai reiškia, kad matricos $ F $ rangas negali būti didesnis nei keturi, t.y. $ \ skambėjo F≤4 $.

Kalbant bendresne forma, tai reiškia, kad jei matricoje yra $ m $ eilučių ir $ n $ stulpelių, tai jos reitingas negali viršyti mažiausio iš skaičių $ m $ ir $ n $, t.y. $ \ skambėjo A≤ \ min (m, n) $.

Iš esmės nuo paties rango apibrėžimo seka jo radimo metodas. Pagal apibrėžimą matricos rango suradimo procesas gali būti schematiškai pavaizduotas taip:

Aš paaiškinsiu šią diagramą išsamiau. Pradėkime mąstyti nuo pat pradžių, t.y. su pirmos eilės nepilnamečiais kai kurios matricos $ A $.

1. Jei visi pirmosios eilės minorai (t. y. matricos $ A $ elementai) yra lygūs nuliui, tai $ \ rang A = 0 $. Jei tarp pirmos eilės nepilnamečių yra bent vienas ne nulis, tada $ \ skambėjo A≥ 1 $. Pereikime prie antros eilės nepilnamečių tikrinimo.
2. Jei visi antros eilės nepilnamečiai yra lygūs nuliui, tada $ \ skamb A = 1 $. Jei tarp antros eilės nepilnamečių yra bent vienas ne nulis, tada $ \ skambėjo A≥ 2 $. Pereikime prie trečios eilės nepilnamečių tikrinimo.
3. Jei visi trečiosios eilės nepilnamečiai yra lygūs nuliui, tada $ \ skamb A = 2 $. Jei tarp trečios eilės nepilnamečių yra bent vienas ne nulis, tada $ \ skambėjo A≥ 3 $. Pereikime prie ketvirtos eilės nepilnamečių tikrinimo.
4. Jei visi ketvirtos eilės nepilnamečiai yra lygūs nuliui, tada $ \ skamb A = 3 $. Jei tarp ketvirtos eilės nepilnamečių yra bent vienas ne nulis, tai $ \ skambėjo A≥ 4 $. Pereiname prie penktos eilės nepilnamečių tikrinimo ir t.t.

Kas mūsų laukia šios procedūros pabaigoje? Gali būti, kad tarp k-osios eilės nepilnamečių yra bent vienas nulis, o visi (k + 1) eilės nepilnamečiai bus lygūs nuliui. Tai reiškia, kad k yra didžiausia nepilnamečių eilė, tarp kurių yra bent vienas, kuris nėra lygus nuliui, t.y. rangas bus k. Situacija gali būti kitokia: tarp k-os eilės nepilnamečių atsiras bent vienas, kuris nelygus nuliui, o (k + 1)-osios eilės nepilnamečių formuoti nebebus galima. Šiuo atveju matricos rangas taip pat yra k. Trumpai tariant, paskutinės sudarytos nulinės mažosios eilės tvarka ir bus lygi matricos rangui.

Pereikime prie pavyzdžių, kuriuose matricos rango suradimo procesas pagal apibrėžimą bus iliustruotas vizualiai. Dar kartą pabrėžiu, kad šios temos pavyzdžiuose matricų rangą pradėsime ieškoti naudodami tik rango apibrėžimą. Kiti metodai (matricos rango apskaičiavimas ribojimo nepilnamečių metodu, matricos rango skaičiavimas elementariųjų transformacijų metodu) nagrinėjami tolesnėse temose.

Beje, rango nustatymo procedūros visai nebūtina pradėti nuo mažiausio laipsnio nepilnamečių, kaip tai daroma pavyzdžiuose # 1 ir # 2. Galite pereiti tiesiai prie aukštesnių nepilnamečių (žr. 3 pavyzdį).

1 pavyzdys

Raskite matricos reitingą $ A = \ left (\ begin (masyvas) (ccccc) 5 & 0 & -3 & 0 & 2 \\ 7 & 0 & -4 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & -1 & 0 & 1 \ pabaiga (masyvas) \ dešinė) $.

Šios matricos dydis yra $ 3 \ kartus 5 $, t.y. yra trys eilutės ir penki stulpeliai. Iš skaičių 3 ir 5 minimumas yra 3, todėl matricos $ A $ rangas yra daugiausia 3, t.y. $ \ skambėjo A≤ 3 $. Ir ši nelygybė akivaizdi, nes nebegalėsime suformuoti ketvirtos eilės nepilnamečių – jiems reikia 4 eilučių, o mes turime tik 3. Eikime tiesiai į duotosios matricos rango suradimo procesą.

Tarp pirmos eilės nepilnamečių (tai yra tarp matricos $ A $ elementų) yra nulinių. Pavyzdžiui, 5, -3, 2, 7. Apskritai mūsų nedomina bendras nulinių elementų skaičius. Yra bent vienas nenulinis elementas – ir to pakanka. Kadangi tarp pirmos eilės nepilnamečių yra bent vienas ne nulis, darome išvadą, kad $ \ skambėjo A≥ 1 $ ir pereiname prie antros eilės nepilnamečių tikrinimo.

Pradėkime tyrinėti antros eilės nepilnamečius. Pavyzdžiui, eilučių # 1, # 2 ir stulpelių # 1, # 4 sankirtoje yra tokio šalutinio elemento elementai: $ \ left | \ begin (masyvas) (cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \ end (masyvas) \ dešinė | $. Šiam determinantui visi antrojo stulpelio elementai lygūs nuliui, todėl ir pats determinantas lygus nuliui, t.y. $ \ kairėje | \ pradžia (masyvas) (cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \ pabaiga (masyvas) \ dešinė | = 0 $ (žr. savybę # 3 determinantų savybių temoje). Arba galite tiesiog apskaičiuoti šį determinantą naudodami formulę Nr. 1 iš skyriaus apie antros ir trečios eilės determinantų apskaičiavimą:

$$ \ left | \ pradžia (masyvas) (cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \ pabaiga (masyvas) \ dešinė | = 5 \ cdot 0-0 \ cdot 7 = 0. $$

Mūsų patikrintos antrojo užsakymo pirmas nepilnametis pasirodė lygus nuliui. Ką tai reiškia? Apie tai, kad reikia toliau tikrinti antros eilės nepilnamečius. Arba jie visi yra lygūs nuliui (ir tada rangas bus lygus 1), arba tarp jų yra bent vienas nepilnametis. Pabandykime geriau pasirinkti užrašydami antros eilės minorą, kurio elementai yra # 1, # 2 eilučių ir # 1 ir # 5 stulpelių sankirtoje: $ \ left | \ begin (masyvas) (cc) 5 ir 2 \\ 7 ir 3 \ pabaiga (masyvas) \ dešinė | $. Raskime šio antrosios eilės nepilnamečio reikšmę:

$$ \ left | \ pradžia (masyvas) (cc) 5 ir 2 \\ 7 ir 3 \ pabaiga (masyvas) \ dešinė | = 5 \ cdot 3-2 \ cdot 7 = 1. $$

Šis nepilnametis nėra nulis. Išvada: tarp antros eilės nepilnamečių yra bent vienas ne nulis. Todėl $ \ skambėjo A≥ 2 $. Būtina pereiti prie trečios eilės nepilnamečių tyrimo.

Jei trečios eilės nepilnamečiams sudaryti pasirinksime stulpelį # 2 arba stulpelį # 4, tada tokie nepilnamečiai bus lygūs nuliui (nes juose bus nulinis stulpelis). Belieka patikrinti tik vieną trečios eilės nepilnametį, kurio elementai yra stulpelių Nr.1, Nr.3, Nr.5 ir eilučių Nr.1, Nr.2, Nr.3 sankirtoje. Užrašykime šį minorą ir suraskime jo reikšmę:

$$ \ left | \ pradžia (masyvas) (ccc) 5 & -3 & 2 \\ 7 & -4 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \ end (masyvas) \ dešinėn | = -20-18-14 + 16 + 21 + 15 = 0. $$

Taigi, visi trečios eilės nepilnamečiai yra nuliai. Paskutinis mūsų sudarytas nepilnametis buvo antros eilės. Išvada: didžiausia nepilnamečių eilė, tarp kurių yra bent vienas kitas nei nulis, yra 2. Todėl $ \ ring A = 2 $.

Atsakymas: $ \ skambėjo A = 2 $.

2 pavyzdys

Raskite matricos reitingą $ A = \ left (\ begin (masyvas) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3 \\ 4 & -2 & 5 & 1 \\ -5 & 0 & -4 & 0 \\ 9 & 7 & 8 & -7 \ pabaiga (masyvas) \ dešinė) $.

Turime ketvirtos eilės kvadratinę matricą. Iš karto atkreipkite dėmesį, kad šios matricos rangas neviršija 4, t.y. $ \ skambėjo A≤ 4 $. Pradėkime ieškoti matricos rango.

Tarp pirmos eilės nepilnamečių (ty tarp matricos $ A $ elementų) yra bent vienas ne nulis, todėl $ \ skambėjo A≥ 1 $. Pereikime prie antros eilės nepilnamečių tikrinimo. Pavyzdžiui, eilučių # 2, # 3 ir stulpelių # 1 ir # 2 sankirtoje gauname šią antros eilės minorą: $ \ left | \ pradžia (masyvas) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \ pabaiga (masyvas) \ dešinė | $. Paskaičiuokime:

$$ \ liko | \ pradžia (masyvas) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \ pabaiga (masyvas) \ dešinė | = 0-10 = -10. $$

Tarp antros eilės nepilnamečių yra bent vienas ne nulis, todėl $ \ skambėjo A≥ 2 $.

Pereikime prie trečios eilės nepilnamečių. Raskime, pavyzdžiui, nepilnametį, kurio elementai yra eilučių Nr.1, Nr.3, Nr.4 ir stulpelių Nr.1, Nr.2, Nr.4 sankirtoje:

$$ \ liko | \ pradžia (masyvas) (cccc) -1 & 3 & -3 \\ -5 & 0 & 0 \\ 9 & 7 & -7 \ end (masyvas) \ dešinė | = 105-105 = 0. $$

Kadangi šis trečios eilės nepilnametis pasirodė esąs nulis, reikėtų tirti kitą trečios eilės nepilnametį. Arba visi jie bus lygūs nuliui (tada rangas bus lygus 2), arba tarp jų yra bent vienas, kuris nėra lygus nuliui (tada pradėsime tirti ketvirtos eilės nepilnamečius). Apsvarstykite trečiosios eilės nepilnametį, kurio elementai yra eilučių Nr. 2, Nr. 3, Nr. 4 ir stulpelių Nr. 2, Nr. 3, Nr. 4 sankirtoje:

$$ \ liko | \ pradžia (masyvas) (ccc) -2 & 5 & 1 \\ 0 & -4 & 0 \\ 7 & 8 & -7 \ pabaiga (masyvas) \ dešinė | = -28. $$

Tarp trečios eilės nepilnamečių yra bent vienas nulis, todėl $ \ skambėjo A≥ 3 $. Pereikime prie ketvirtos eilės nepilnamečių tikrinimo.

Bet kuris ketvirtos eilės nepilnametis yra $ A $ matricos keturių eilučių ir keturių stulpelių sankirtoje. Kitaip tariant, ketvirtos eilės mažoji yra matricos $ A $ determinantas, nes šioje matricoje yra lygiai 4 eilutės ir 4 stulpeliai. Šios matricos determinantas buvo apskaičiuotas temos "Determinanto eilės mažinimas. Determinanto išskaidymas eilėje (stulpelyje)" pavyzdyje Nr. 2, todėl tiesiog imkite galutinį rezultatą:

$$ \ liko | \ pradžia (masyvas) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3 \\ 4 & -2 & 5 & 1 \\ -5 & 0 & -4 & 0 \\ 9 & 7 & 8 & -7 \ end (masyvas) \ dešinėje | = 86. $$

Taigi, ketvirtos eilės nepilnametis nėra nulis. Penktos eilės nepilnamečių formuoti nebegalime. Išvada: didžiausias nepilnamečių skaičius, tarp kurių yra bent vienas kitas nei nulis, yra 4. Iš viso: $ \ skamb A = 4 $.

Atsakymas: $ \ skambėjo A = 4 $.

3 pavyzdys

Raskite matricos reitingą $ A = \ left (\ begin (masyvas) (cccc) -1 & 0 & 2 & -3 \\ 4 & -2 & 5 & 1 \\ 7 & -4 & 0 & -5 \ pabaiga (masyvas) \ dešinė) $.

Iš karto atkreipkite dėmesį, kad šioje matricoje yra 3 eilutės ir 4 stulpeliai, todėl $ \ skambėjo A≤ 3 $. Ankstesniuose pavyzdžiuose reitingavimo procesą pradėjome žiūrėdami į mažiausiai (pirmos) eilės nepilnamečius. Čia stengsimės iš karto patikrinti kuo aukštesnės eilės nepilnamečius. Matricoje $ A $ tokie nepilnamečiai yra trečios eilės. Apsvarstykite trečiosios eilės nepilnametį, kurio elementai yra eilučių Nr. 1, Nr. 2, Nr. 3 ir stulpelių Nr. 2, Nr. 3, Nr. 4 sankirtoje:

$$ \ liko | \ pradžia (masyvas) (ccc) 0 & 2 & -3 \\ -2 & 5 & 1 \\ -4 & 0 & -5 \ pabaiga (masyvas) \ dešinė | = -8-60-20 = -88. $$

Taigi, aukščiausia nepilnamečių eilė, tarp kurių yra bent vienas, kuris nėra lygus nuliui, yra 3. Todėl matricos rangas yra 3, t.y. $ \ skambėjo A = 3 $.

Atsakymas: $ \ skambėjo A = 3 $.

Apskritai, rasti matricos rangą pagal apibrėžimą, paprastai yra gana daug pastangų reikalaujanti užduotis. Pavyzdžiui, santykinai mažo dydžio matricoje 5 $ \ x 4 $ yra 60 antros eilės nepilnamečių. Ir net jei 59 iš jų yra lygūs nuliui, 60-asis nepilnametis gali pasirodyti ne nulis. Tada tenka tirti trečios eilės nepilnamečius, kurių duotoje matricoje yra 40 vienetų. Paprastai jie stengiasi naudoti ne tokius sudėtingus metodus, kaip ribojasi su nepilnamečiais arba lygiaverčių transformacijų metodas.

Matricos rangas yra svarbi skaitinė charakteristika. Tipiškiausia problema, kuriai reikia rasti matricos rangą, yra tiesinių algebrinių lygčių sistemos nuoseklumo patikrinimas. Šiame straipsnyje pateiksime matricos rango sąvoką ir apsvarstysime būdus, kaip jį rasti. Norėdami geriau įsisavinti medžiagą, išsamiai išanalizuosime kelių pavyzdžių sprendimus.

Puslapio naršymas.

Matricos rango ir reikalingų papildomų sąvokų nustatymas.

Prieš paskelbiant matricos rango apibrėžimą, reikėtų gerai suprasti nepilnamečio sąvoką, o ieškant matricos nepilnamečių, reikia mokėti determinantą apskaičiuoti. Taigi rekomenduojame, jei reikia, prisiminti straipsnio teoriją, matricos determinanto radimo būdus, determinanto savybes.

Paimkite eilės matricą A. Tegul k yra koks nors natūralusis skaičius, neviršijantis mažiausio iš skaičių m ir n, tai yra, .

Apibrėžimas.

K-osios eilės nepilnametis matrica A vadinama eilės kvadratinės matricos determinantu, susidedančia iš matricos A elementų, kurie yra iš anksto pasirinktose k eilučių ir k stulpelių, ir išsaugomas matricos A elementų išdėstymas.

Kitaip tariant, jei matricoje A ištrinsime (p – k) eilutes ir (n – k) stulpelius, o iš likusių elementų suformuosime matricą, išsaugant A matricos elementų išdėstymą, tada gautos matricos determinantas yra A matricos k eilės minoras.

Pažvelkime į mažosios matricos apibrėžimą naudodami pavyzdį.

Apsvarstykite matricą .

Parašykime keletą šios matricos pirmos eilės minorų. Pavyzdžiui, jei pasirenkame trečią matricos A eilutę ir antrą stulpelį, tada mūsų pasirinkimas atitinka pirmos eilės mažąjį ... Kitaip tariant, norėdami gauti šį mažąjį, iš matricos A išbraukėme pirmąją ir antrąją eilutes, taip pat pirmą, trečią ir ketvirtą stulpelius, o determinantą sudarėme iš likusio elemento. Jei pasirinksime pirmąją matricos A eilutę ir trečią stulpelį, tada gausime minorą .

Pavaizduokime laikomų pirmos eilės nepilnamečių gavimo tvarką
ir .

Taigi matricos pirmos eilės minorai yra patys matricos elementai.

Rodome keletą antros eilės nepilnamečių. Pasirinkite dvi eilutes ir du stulpelius. Pavyzdžiui, paimkite pirmą ir antrą eilutes bei trečią ir ketvirtą stulpelius. Su šiuo pasirinkimu turime antros eilės nepilnametį ... Ši mažoji dalis taip pat gali būti sudaryta iš A matricos išbraukus trečią eilutę, pirmąjį ir antrąjį stulpelius.

Kitas matricos A antros eilės minoras yra.

Pavaizduokime šių antros eilės nepilnamečių konstrukciją
ir .

Panašiai galima rasti ir matricos A trečiosios eilės nepilnamečius. Kadangi matricoje A yra tik trys eilutės, pasirenkame jas visas. Jei šioms eilutėms pasirinksime pirmus tris stulpelius, gausime trečios eilės minorą

Jį taip pat galima sukurti išbraukus paskutinį A matricos stulpelį.

Kitas trečios eilės nepilnametis yra

gautas išbraukus trečiąjį A matricos stulpelį.

Štai brėžinys, kuriame pavaizduota šių trečios eilės nepilnamečių konstrukcija.
ir .

Pateiktoje matricoje A žemesnės eilės nei trečioji neegzistuoja, nes.

Kiek yra matricos A eilės k-osios eilės nepilnamečių?

K eilės nepilnamečių skaičius gali būti apskaičiuojamas kaip, kur ir - derinių skaičius atitinkamai nuo p iki k ir nuo n iki k.

Kaip sukonstruoti visus p eilės A matricos k eilės mažuosius iš n?

Mums reikia daug matricos eilučių numerių ir daug stulpelių numerių. Viską užrašome p elementų deriniai k(jos atitiks pasirinktas matricos A eilutes konstruojant k eilės minorą). Prie kiekvienos eilučių skaičių kombinacijos paeiliui pridedame visus n elementų derinius su k stulpelių numeriais. Šios matricos A eilučių numerių ir stulpelių numerių derinių rinkiniai padės sudaryti visus k eilės minorinius.

Paimkime pavyzdį.

Pavyzdys.

Raskite visus antros eilės mažuosius matricoje.

Sprendimas.

Kadangi pradinės matricos tvarka yra 3 x 3, tada bendras antrosios eilės nepilnametis bus .

Užrašykime visas 3 kombinacijas 2 matricos A eilučių skaičiais: 1, 2; 1, 3 ir 2, 3. Visi stulpelių numerių 3 x 2 deriniai yra 1, 2; 1, 3 ir 2, 3.

Paimkite pirmąją ir antrąją matricos A eilutes. Pasirinkę šias eilutes pirmą ir antrą stulpelius, pirmą ir trečią stulpelius, antrą ir trečią stulpelius, gauname atitinkamai nepilnamečius

Pirmoje ir trečioje eilutėse su panašiu stulpelių pasirinkimu turime

Belieka į antrą ir trečią eilutes pridėti pirmąjį ir antrąjį, pirmą ir trečią, antrą ir trečią stulpelius:

Taigi, randami visi devyni antros eilės nepilnamečiai A matricoje.

Dabar galime pereiti prie matricos rango nustatymo.

Apibrėžimas.

Matricos rangas Yra aukščiausia matricos mažosios eilės nulis.

A matricos rangas vadinamas rangu (A). Taip pat galite rasti žymėjimus Rg (A) arba Rang (A).

Iš matricos rango ir matricos minoro apibrėžimų galime daryti išvadą, kad nulinės matricos rangas yra lygus nuliui, o nenulinės matricos rangas yra bent vienas.

Matricos rango nustatymas pagal apibrėžimą.

Taigi, pirmasis matricos rango nustatymo metodas yra brutalios jėgos metodas... Šis metodas pagrįstas matricos rango nustatymu.

Tarkime, kad turime rasti eilės matricos A rangą.

Trumpai apibūdinkime algoritmas sprendžiant šią problemą išvardijant nepilnamečius.

Jei yra bent vienas matricos elementas, kuris skiriasi nuo nulio, tada matricos rangas yra bent jau lygus vienetui (kadangi yra pirmos eilės nepilnametis, kuris nėra lygus nuliui).

Toliau kartojame antros eilės nepilnamečius. Jei visi antros eilės nepilnamečiai yra lygūs nuliui, tada matricos rangas yra lygus vienetui. Jei yra bent vienas antros eilės nepilnametis, pereinama prie trečios eilės nepilnamečių sąrašo, o matricos rangas yra bent du.

Panašiai, jei visi trečiosios eilės nepilnamečiai yra lygūs nuliui, tada matricos rangas yra du. Jei yra bent vienas trečios eilės nepilnametis, išskyrus nulį, tada matricos rangas yra mažiausiai trys, ir pereinama prie ketvirtos eilės nepilnamečių.

Atkreipkite dėmesį, kad matricos rangas negali viršyti mažiausio iš skaičių p ir n.

Pavyzdys.

Raskite matricos rangą .

Sprendimas.

Kadangi matrica nėra nulis, jos rangas yra bent vienas.

Antrosios eilės nepilnametis yra ne nulis, todėl matricos A rangas yra bent du. Pereiname prie trečios eilės nepilnamečių surašymo. Visi jie dalykų.

Visi trečios eilės nepilnamečiai yra nuliai. Todėl matricos rangas yra du.

Atsakymas:

Reitingas (A) = 2.

Matricos rango suradimas besiribojančių nepilnamečių metodu.

Yra ir kitų matricos rango nustatymo būdų, kurie leidžia gauti rezultatą su mažesniu skaičiavimo darbu.

Vienas iš tokių metodų yra besiribojantis minorinis metodas.

Susitvarkykime besiribojanti nepilnametė.

Sakoma, kad matricos A (k + 1) eilės mažoji M ok ribojasi su matricos A k eilės mažuoju M, jei matricoje, atitinkančioje mažąją M ok, "yra" matrica, atitinkanti mažąją. M.

Kitaip tariant, matrica, atitinkanti ribinį mažąjį M, gaunama iš matricos, atitinkančios ribinį mažąjį M ok, išbraukus vienos eilutės ir vieno stulpelio elementus.

Pavyzdžiui, apsvarstykite matricą ir paimti antros eilės nepilnametį. Užrašykime visus besiribojančius nepilnamečius:

Nepilnamečių ribojimo būdą pagrindžia tokia teorema (jos formuluotę pateikiame be įrodymų).

Teorema.

Jei visi mažieji, besiribojantys su p eilės matricos A k-osios eilės minora, yra lygūs nuliui, tai visi matricos A mažieji (k + 1) yra lygūs nuliui.

Taigi, norint rasti matricos rangą, nebūtina kartoti visų nepilnamečių, kurie yra pakankamai besiribojantys. Nepilnamečių, besiribojančių su eilės matricos A k-osios eilės nepilnamečiu, skaičius randamas pagal formulę ... Atkreipkite dėmesį, kad nepilnamečiai, besiribojantys su A matricos k-osios eilės minora, yra ne daugiau nei (k + 1) matricos A mažosios eilės. Todėl daugeliu atvejų besiribojančių nepilnamečių metodo taikymas yra pelningesnis nei paprastas visų nepilnamečių surašymas.

Pereikime prie matricos rango nustatymo pagal besiribojančių nepilnamečių metodą. Trumpai apibūdinkime algoritmasšis metodas.

Jei matrica A yra ne nulis, tai kaip pirmos eilės mažąjį imame bet kurį A matricos elementą, išskyrus nulį. Apsvarstykite besiribojančius nepilnamečius. Jei jie visi lygūs nuliui, tada matricos rangas yra lygus vienetui. Jei yra bent vienas nulinis besiribojantis nepilnametis (jo eilė yra du), mes pradedame svarstyti besiribojančius nepilnamečius. Jei jie visi lygūs nuliui, tada reitingas (A) = 2. Jei bent vienas besiribojantis nepilnametis yra ne nulis (jo eilė yra trys), tada mes laikome jo besiribojančius nepilnamečius. ir kt. Dėl to rangas (A) = k, jei visi besiribojantys matricos A (k + 1) eilės nepilnamečiai yra lygūs nuliui, arba rangas (A) = min (p, n), jei yra nulis nenulinis minoras. ribojasi su eilės minora (min ( p, n) - 1).

Išanalizuokime besiribojančių nepilnamečių metodą matricos rangui rasti naudojant pavyzdį.

Pavyzdys.

Raskite matricos rangą nepilnamečių ribojimo būdu.

Sprendimas.

Kadangi matricos A elementas a 1 1 yra nulis, tai imame jį kaip pirmos eilės mažąjį. Pradėkime ieškoti nepilnamečio be nulio:

Rasta besiribojanti antros eilės nepilnametė, išskyrus nulį. Sutvarkykime besiribojančius nepilnamečius (jų dalykai):

Visi nepilnamečiai, besiribojantys su antros eilės nepilnamečiu, yra lygūs nuliui, todėl matricos A rangas yra lygus dviem.

Atsakymas:

Reitingas (A) = 2.

Pavyzdys.

Raskite matricos rangą naudojant besiribojančius nepilnamečius.

Sprendimas.

Kaip pirmos eilės mažąjį nulį, imame matricos A elementą a 1 1 = 1. Antrosios eilės gretutinis minoras nėra nulis. Šis nepilnametis ribojasi su trečios eilės nepilnamečiu.
... Kadangi jis nėra lygus nuliui ir jam nėra nė vieno besiribojančio minoro, matricos A rangas yra lygus trims.

Atsakymas:

Reitingas (A) = 3.

Rango suradimas naudojant elementariosios matricos transformacijas (Gauso metodas).

Apsvarstykite kitą būdą, kaip rasti matricos rangą.

Šios matricos transformacijos vadinamos elementariomis:

• matricos eilučių (arba stulpelių) permutacija;
• visų bet kurios matricos eilutės (stulpelio) elementų dauginimas iš savavališko skaičiaus k, kuris nėra nulis;
• prie bet kurios eilutės (stulpelio) elementų pridedant atitinkamus kitos matricos eilutės (stulpelio) elementus, padaugintus iš savavališko skaičiaus k.

Matrica B vadinama ekvivalentiška matricai A jei B gaunamas iš A naudojant baigtinį elementariųjų transformacijų skaičių. Matricų lygiavertiškumas žymimas simboliu „~“, tai yra, parašyta A ~ B.

Matricos rango nustatymas naudojant elementariąsias matricos transformacijas grindžiamas teiginiu: jei matrica B gaunama iš matricos A naudojant baigtinį elementariųjų transformacijų skaičių, tada rangas (A) = rangas (B).

Šio teiginio pagrįstumas išplaukia iš matricos determinanto savybių:

• Pertvarkius matricos eilutes (ar stulpelius), jos determinantas keičia ženklą. Jei jis lygus nuliui, tai sukeitus eilutes (stulpelius) jis lieka lygus nuliui.
• Kai visi bet kurios matricos eilutės (stulpelio) elementai padauginami iš savavališko skaičiaus k, kuris nėra nulis, gautos matricos determinantas yra lygus pradinės matricos determinantui, padaugintam iš k. Jei pradinės matricos determinantas yra lygus nuliui, tada padauginus visus bet kurios eilutės ar stulpelio elementus iš skaičiaus k, gautos matricos determinantas taip pat bus lygus nuliui.
• Prie vienos matricos eilutės (stulpelio) elementų pridėjus atitinkamus kitos matricos eilutės (stulpelio) elementus, padaugintus iš kokio nors skaičiaus k, jo determinantas nekeičiamas.

Elementariųjų transformacijų metodo esmė susideda iš matricos, kurios rangą turime rasti, sumažinimas iki trapecijos (konkrečiu atveju iki viršutinio trikampio), naudojant elementarias transformacijas.

Kodėl tai daroma? Tokio tipo matricų rangą rasti labai lengva. Jis lygus eilučių, kuriose yra bent vienas nulinis elementas, skaičiui. O kadangi elementariųjų transformacijų metu matricos rangas nesikeičia, gauta reikšmė bus pradinės matricos rangas.

Štai keletas matricų iliustracijų, iš kurių viena turėtų būti gauta po transformacijų. Jų forma priklauso nuo matricos eilės.

Šios iliustracijos yra šablonai, į kuriuos transformuosime matricą A.

Aprašykime metodo algoritmas.

Tarkime, kad turime rasti nulinės eilės matricos A rangą (p gali būti lygus n).

Taigi,. Padauginkime visus A matricos pirmosios eilutės elementus iš. Šiuo atveju gauname lygiavertę matricą, pažymime ją A (1):

Prie gautos matricos A (1) antrosios eilutės elementų pridėkite atitinkamus pirmosios eilutės elementus, padaugintus iš. Prie trečios eilutės elementų pridėkite atitinkamus pirmosios eilutės elementus, padaugintus iš. Ir taip iki p-osios eilutės. Gauname ekvivalentinę matricą, pažymime ją A (2):

Jei visi gautos matricos elementai, esantys eilutėse nuo antrosios iki p-osios, yra lygūs nuliui, tada šios matricos rangas yra lygus vienetui, taigi ir pradinės matricos rangas yra lygus nuliui. lygus vienam.

Jei eilutėse nuo antrosios iki p-osios yra bent vienas nulinis elementas, toliau vykdome transformacijas. Be to, elgiamės visiškai taip pat, bet tik su matricos A dalimi, pažymėta paveikslėlyje (2)

Jei, tada matricos A (2) eilutes ir (arba) stulpelius pertvarkome taip, kad „naujas“ elementas taptų ne nulis.

Skaičius r vadinamas matricos A rangu, jei:
1) matricoje A yra r eilės minoras, kuris skiriasi nuo nulio;
2) visi nepilnamečiai eilės (r + 1) ir aukštesni, jei jie yra, yra lygūs nuliui.
Kitu atveju matricos rangas yra aukščiausias nulinio nepilnamečio laipsnis.
Pavadinimai: rangA, r A arba r.
Iš apibrėžimo matyti, kad r yra teigiamas sveikasis skaičius. Nulinės matricos reitingas laikomas nuliu.

Paslaugos tikslas... Internetinė skaičiuoklė skirta rasti matricos rangas... Sprendimas išsaugomas Word ir Excel formatu. žr. sprendimo pavyzdį.

Instrukcija. Pasirinkite matricos matmenis, spustelėkite Pirmyn.

Pasirinkite matricos matmenis 3 4 5 6 7 x 3 4 5 6 7

Apibrėžimas . Tegu pateikiama r rango matrica. Bet kuri matricos mažoji dalis, kuri nėra nulis ir kurios eilės tvarka yra r, vadinama bazine, o jos komponentų eilutės ir stulpeliai – pagrindinėmis eilutėmis ir stulpeliais.
Pagal šį apibrėžimą, matrica A gali turėti keletą pagrindinių nepilnamečių.

Tapatybės matricos E rangas yra lygus n (eilučių skaičiui).

1 pavyzdys. Pateikiamos dvi matricos, ir jų nepilnamečiai , ... Kuris iš jų gali būti laikomas baziniu?
Sprendimas... Mažoji M 1 = 0, todėl jokiai matricai ji negali būti pagrindinė. Mažoji M 2 = -9 ≠ 0 ir turi 2 eilę, todėl ją galima paimti kaip pagrindines matricas A arba / ir B, jei jos turi lygius 2. Kadangi detB = 0 (kaip determinantas su dviem proporcingais stulpeliais), rangB = 2 ir M 2 gali būti laikomi matricos B bazine minora. Matricos A rangas yra 3, nes detA = -27 ≠ 0 ir , todėl šios matricos pagrindinės minorinės eilės tvarka turi būti lygi 3, tai yra, M 2 nėra pagrindinė matricai A. Atkreipkite dėmesį, kad matrica A turi vieną pagrindinį minorą, kuris yra lygus matricos A determinantui.

Teorema (pagrindinis minoras). Bet kuri matricos eilutė (stulpelis) yra tiesinis jos bazinių eilučių (stulpelių) derinys.
Išvados iš teoremos.

1. Bet kurie (r + 1) r rango matricos stulpeliai (eilutės) yra tiesiškai priklausomi.
2. Jei matricos rangas yra mažesnis už jos eilučių (stulpelių) skaičių, tada jos eilutės (stulpeliai) yra tiesiškai priklausomos. Jei rangA yra lygus jo eilučių (stulpelių) skaičiui, tai eilutės (stulpeliai) yra tiesiškai nepriklausomos.
3. Matricos A determinantas lygus nuliui tada ir tik tada, kai jos eilutės (stulpeliai) yra tiesiškai priklausomos.
4. Jei prie matricos eilutės (stulpelio) pridėsime kitą eilutę (stulpelį), padaugintą iš bet kurio kito skaičiaus nei nulis, tai matricos rangas nepasikeis.
5. Jei perbrauksite eilutę (stulpelį) matricoje, kuri yra tiesinis kitų eilučių (stulpelių) derinys, tada matricos rangas nepasikeis.
6. Matricos rangas yra lygus didžiausiam jos tiesiškai nepriklausomų eilučių (stulpelių) skaičiui.
7. Didžiausias tiesiškai nepriklausomų eilučių skaičius yra toks pat kaip didžiausias tiesiškai nepriklausomų stulpelių skaičius.

2 pavyzdys. Raskite matricos rangą .
Sprendimas. Remdamiesi matricos rango apibrėžimu, ieškosime aukščiausios eilės minorinio, išskyrus nulį. Pirmiausia paverčiame matricą į paprastesnę formą. Norėdami tai padaryti, padauginkite pirmąją matricos eilutę iš (-2) ir pridėkite prie antrosios, tada padauginkite iš (-1) ir pridėkite prie trečiosios.

Tegu A matrica, kurios dydis yra m \ padaugintas n, o k yra natūralusis skaičius, neviršijantis m ir n: k \ leqslant \ min \ (m; n \). K-osios eilės nepilnametis matricos A vadinama determinantu k-os eilės matricos, kurią sudaro elementai, stovintys savavališkai parinktų matricos A eilučių ir k stulpelių sankirtoje. Žymint nepilnamečius, pasirinktų eilučių numeriai bus žymimi viršutiniais indeksais, o pasirinkti stulpeliai - žemesniais, išdėstant juos didėjančia tvarka.

3.4 pavyzdys. Rašykite nepilnamečius skirtingos matricos tvarka

A = \ pradžia (pmatrica) 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 3 & 3 \ end (pmatrica) \ !.

Sprendimas. Matrica A turi matmenis 3 \ kartus4. Jame yra: 12 I eilės nepilnamečių, pavyzdžiui, nepilnametis M _ (() _ 2) ^ (() _ 3) = \ det (a_ (32)) = 4; Pavyzdžiui, 18 2 eilės nepilnamečių, M _ (() _ (23)) ^ (() ^ (12)) = \ pradžia (vmatrica) 2 & 1 \\ 2 & 2 \ pabaiga (vmatrica) = 2; 4 smulkūs 3 užsakymai, pavyzdžiui,

M _ (() _ (134)) ^ (() ^ (123)) = \ pradžia (vmatrica) 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 3 \ pabaiga (vmatrica) = 0.

Matricoje A, kurios dydis m \ kartus n, vadinama r-osios eilės mažoji pagrindinis jei jis nėra lygus nuliui, o visi (r + 1) -ro eilės nepilnamečiai yra nuliai arba jų visai nėra.

Pagal matricos rangą vadinama pagrindinio nepilnamečio tvarka. Nulinėje matricoje nėra pagrindinės minorinės. Todėl nulinės matricos rangas pagal apibrėžimą laikomas nuliu. Matricos A rangas žymimas \ operatoriaus pavadinimas (rg) A.

3.5 pavyzdys. Raskite visus pagrindinius nepilnamečius ir matricos rangą

A = \ pradžia (pmatrica) 1 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \ end (pmatrica) \ !.

Sprendimas. Visi šios matricos trečiosios eilės mažieji yra lygūs nuliui, nes šie determinantai turi nulinę trečiąją eilutę. Todėl tik antros eilės mažoji, esanti pirmose dviejose matricos eilutėse, gali būti pagrindinė. Eidami per 6 galimus nepilnamečius, pasirenkame ne nulį

M _ (() _ (12)) ^ (() ^ (12)) = M _ (() _ (13)) ^ (() ^ (12)) = \ pradėti (vmatrica) 1 ir 2 \\ 0 ir 2 \ pabaiga ( vmatrica) \!, \ keturkampis M _ (() _ (24)) ^ (() ^ (12)) = M _ (() _ (34)) ^ (() ^ (12) )) = \ pradžia (vmatrica) 2 & 0 \\ 2 & 3 \ pabaiga (vmatrica) \!, \ Quad M _ (() _ (14)) ^ (() ^ (12)) = \ pradžia (vmatrica) ) 1 & 0 \\ 0 & 3 \ pabaiga (vmatrica) \ !.

Kiekvienas iš šių penkių nepilnamečių yra pagrindinis. Todėl matricos rangas yra 2.

Pastabos 3.2

1. Jei matricoje visi k-osios eilės minoriniai yra lygūs nuliui, tai aukštesnės eilės minoriniai taip pat lygūs nuliui. Iš tiesų, bet kurioje eilutėje išplėtę (k + 1) -ro eilės minorą, gauname šios eilutės elementų sandaugų sumą k-osios eilės nepilnamečiais, ir jie yra lygūs nuliui.

2. Matricos rangas yra lygus aukščiausiai šios matricos mažosios eilės nuliui.

3. Jei kvadratinė matrica yra neišsigimusi, tada jos rangas yra lygus eilės tvarkai. Jei kvadratinė matrica yra išsigimusi, tada jos rangas yra mažesnis už eilę.

4. Pavadinimai taip pat naudojami rangui \ operatoriaus pavadinimas (Rg) A, ~ \ operatoriaus pavadinimas (rangas) A, ~ \ operatoriaus pavadinimas (rangas) A.

5. Blokų matricos rangas apibrėžiamas kaip įprastos (skaitinės) matricos rangas, t.y. nekreipdamas dėmesio į jo bloko struktūrą. Šiuo atveju bloko matricos rangas yra ne mažesnis už jo blokų eiles: \ operatoriaus pavadinimas (rg) (A \ mid B) \ geqslant \ operatoriaus pavadinimas (rg) A ir \ operatoriaus pavadinimas (rg) (A \ mid B) \ geqslant \ operatoriaus pavadinimas (rg) B nes visi matricos A (arba B) minorai yra ir blokinės matricos minorai (A \ mid B).

Pagrindinės mažosios ir matricinės rango teoremos

Apsvarstykite pagrindines teoremas, išreiškiančias matricos stulpelių (eilučių) tiesinės priklausomybės ir tiesinės nepriklausomybės savybes.

3.1 teorema apie pagrindinį minorą. Savavališkoje matricoje A kiekvienas stulpelis (eilutė) yra tiesinis stulpelių (eilučių), kuriuose yra pagrindinė mažoji, derinys.

Iš tiesų, neprarandant bendrumo, darome prielaidą, kad matricoje A, kurios dydis yra m \ kartus n, pagrindinė mažoji yra pirmose r eilutėse ir pirmuosiuose r stulpeliuose. Apsvarstykite determinantą

D = \ begin (vmatrica) ~ a_ (11) & \ cdots & a_ (1r) \! \! & \ Vline \! \! & A_ (1k) ~ \\ ~ \ vdots & \ ddots & \ vdots \! \! & \ vline \! \! & \ vdots ~ \\ ~ a_ (r1) & \ cdots & a_ (rr) \! \! & \ vline \! \! & a_ (rk) ~ \\\ hline ~ a_ (s1) & \ cdots & a_ (sr) \! \! & \ vline \! \! & a_ (sk) ~ \ pabaiga (vmatrica),

kuri gaunama priskiriant atitinkamus s-osios eilutės ir k-osios stulpelio elementus pagrindiniam matricos A minorui. Atkreipkite dėmesį, kad bet kuriai 1 \ leqslant s \ leqslant m ir šis determinantas lygus nuliui. Jei s \ leqslant r arba k \ leqslant r, tai determinantas D turi dvi identiškas eilutes arba du vienodus stulpelius. Jei s> r ir k> r, tai D determinantas yra lygus nuliui, nes jis yra (r + l) -ro eilės minorinis. Išplėsdami determinantą išilgai paskutinės eilutės, gauname

a_ (s1) \ cdot D_ (r + 11) + \ ltaškai + a_ (sr) \ cdot D_ (r + 1r) + a_ (sk) \ cdot D_ (r + 1 \, r + 1) = 0,

kur D_ (r + 1 \, j) yra paskutinės eilutės elementų algebriniai papildiniai. Atminkite, kad D_ (r + 1 \, r + 1) \ ne0, nes tai yra pagrindinė minorinė. Štai kodėl

a_ (sk) = \ lambda_1 \ cdot a_ (s1) + \ ldots + \ lambda_r \ cdot a_ (sr), kur \ lambda_j = - \ frac (D_ (r + 1 \, j)) (D_ (r + 1 \, r + 1)), ~ j = 1,2, \ ltaškai, r.

Užrašę paskutinę lygybę s = 1,2, \ ltaškai, m, gauname

\ pradžia (pmatrica) a_ (1k) \\\ vdots \\ a_ (mk) \ pabaiga (pmatrica) = \ lambda_1 \ cdot \! \ pradžia (pmatrica) a_ (11) \\\ vtaškai \\ a_ (m1) \ pabaiga (pmatrica) + \ ltaškai \ lambda_r \ cdot \! \ pradžia (pmatrica) a_ (1r) \\\ vtaškai \\ a_ (mr) \ pabaiga (pmatrica) \ !.

tie. k-tas stulpelis (bet kuriam 1 \ leqslant k \ leqslant n) yra linijinis pagrindinės minorinės dalies stulpelių derinys, jei reikia.

Pagrindinė mažoji teorema padeda įrodyti šias svarbias teoremas.

Determinanto lygybės nuliui sąlyga

3.2 teorema (būtina ir pakankama sąlyga determinanto išnykimui). Kad determinantas būtų lygus nuliui, būtina ir pakanka, kad vienas jo stulpelis (viena iš jo eilučių) būtų linijinis likusių stulpelių (eilučių) derinys.

Iš tikrųjų būtinybė išplaukia iš pagrindinės minorinės teoremos. Jeigu n-osios eilės kvadratinės matricos determinantas lygus nuliui, tai jos rangas mažesnis už n, t.y. bent vienas stulpelis neįtrauktas į pagrindinį minorą. Tada šis pasirinktas stulpelis pagal 3.1 teoremą yra linijinis stulpelių, kuriuose yra pagrindinė mažoji, derinys. Jei reikia, prie šios kombinacijos pridėjus kitus stulpelius su nuliniais koeficientais, gauname, kad pasirinktas stulpelis yra tiesinis likusių matricos stulpelių derinys. Pakankamumas išplaukia iš determinanto savybių. Jei, pavyzdžiui, paskutinis determinanto stulpelis A_n \ det (A_1 ~ A_2 ~ \ cdots ~ A_n) išreikštas tiesiškai likusia dalimi

A_n = \ lambda_1 \ cdot A_1 + \ lambda_2 \ cdot A_2 + \ ldots + \ lambda_ (n-1) \ cdot A_ (n-1),

tada pridėti prie A_n stulpelio A_1, padaugintą iš (- \ lambda_1), tada stulpelį A_2 padauginus iš (- \ lambda_2) ir t. t. stulpelis A_ (n-1) padaugintas iš (- \ lambda_ (n-1)), gauname determinantą \ det (A_1 ~ \ cdots ~ A_ (n-1) ~ o) su nuliniu stulpeliu, kuris yra lygus nuliui (determinanto 2 savybė).

Matricos rangų invariancija elementariose transformacijose

3.3 teorema (apie rangų invarianciją elementariosiose transformacijose). Elementarios matricos stulpelių (eilučių) transformacijos nekeičia jos rango.

Tikrai, tegul būna. Tarkime, kad dėl vienos elementarios matricos A stulpelių transformacijos gavome matricą A ". Jei buvo atlikta I tipo transformacija (dviejų stulpelių permutacija), tai bet koks minorinis (r + l) -ro matricos A eilės eilės yra arba lygi matricos A eilės atitinkamam minoriniam (r + l ) -ro, arba skiriasi nuo jos ženklu (determinanto 3 savybė). Jei buvo atlikta II tipo transformacija (stulpelio padauginimas iš skaičiaus \ lambda \ ne0), tada bet kuris matricos A eilės mažasis (r + l) -ro yra lygus atitinkamam minoriniam (r + l). ) -ro matricos A eilės, arba skiriasi nuo jos faktorius \ lambda \ ne0 (determinanto savybė 6).Jei buvo atlikta III tipo transformacija (pridėjimas prie vienos stulpelio kitos stulpelio padaugintas iš skaičiaus \ Lambda ), tada bet kuri matricos A (r + 1) eilės mažoji yra lygi atitinkamai mažajai (r + 1) matricos A eilei (determinanto savybė 9), arba lygi matricos A (8 determinanto savybė) (r + l) -ro eilės dviejų mažųjų suma. Todėl, atliekant bet kokio tipo elementariąją transformaciją, visi matricos A " (r + l) -ro eilės minorai yra lygūs nuliui, nes visi matricos (r + l) -ro eilės minorai A lygus nuliui.Kadangi transformacijos, atvirkštinės į elementariąsias, yra elementarios, matricos rangas atliekant elementariąsias stulpelių transformacijas negali ir mažėti, tai yra, nekinta.

1 išvada. Jei viena matricos eilutė (stulpelis) yra tiesinis kitų jos eilučių (stulpelių) derinys, tada šią eilutę (stulpelį) galima ištrinti iš matricos nekeičiant jos rango.

Iš tiesų, tokią eilutę galima padaryti nuliu naudojant elementariąsias transformacijas, o nulinės eilutės negalima įtraukti į pagrindinį minorą.

2 išvada. Jei matrica sumažinama iki paprasčiausios formos (1.7), tada

\ operatoriaus pavadinimas (rg) A = \ operatoriaus pavadinimas (rg) \ Lambda = r \ ,.

Iš tiesų, paprasčiausia matrica (1.7) turi r-osios eilės bazinį minorą.

3 išvada. Bet kuri neišsigimusi kvadratinė matrica yra elementari, kitaip tariant, bet kuri neišsigimusi kvadratinė matrica yra lygiavertė tos pačios eilės tapatybės matricai.

Iš tiesų, jei A yra neišsigimusi n eilės kvadratinė matrica, tada \ operatoriaus pavadinimas (rg) A = n(žr. 3.2 pastabų 3 punktą). Todėl elementariomis transformacijomis sumažinę matricą A iki paprasčiausios formos (1.7), gauname vienetinę matricą \ Lambda = E_n, nes \ operatoriaus pavadinimas (rg) A = \ operatoriaus pavadinimas (rg) \ Lambda = n(žr. 2 išvadą). Vadinasi, matrica A yra lygiavertė tapatybės matricai E_n ir gali būti iš jos gaunama atlikus baigtinį elementariųjų transformacijų skaičių. Tai reiškia, kad matrica A yra elementari.

3.4 teorema (apie matricos rangą). Matricos rangas yra lygus didžiausiam šios matricos tiesiškai nepriklausomų eilučių skaičiui.

Tikrai, tegul \ operatoriaus pavadinimas (rg) A = r... Tada matricoje A yra r tiesiškai nepriklausomų eilučių. Tai yra eilutės, kuriose yra pagrindinis minoras. Jei jie būtų tiesiškai priklausomi, tai pagal 3.2 teoremą šis minoras būtų lygus nuliui, o matricos A rangas nebūtų lygus r. Parodykime, kad r yra didžiausias tiesiškai nepriklausomų eilučių skaičius, ty bet kurios p eilutės yra tiesiškai priklausomos nuo p> r. Iš tikrųjų iš šių p eilučių sudarome matricą B. Kadangi matrica B yra matricos A dalis, tada \ operatorname (rg) B \ leqslant \ operatorname (rg) A = r

Vadinasi, bent viena matricos B eilutė neįtraukta į šios matricos pagrindinį minorą. Tada pagal pagrindinę minoro teoremą jis lygus eilučių, kuriose yra pagrindinė minorinė, tiesinei kombinacijai. Todėl matricos B eilutės yra tiesiškai priklausomos. Taigi matricoje A yra daugiausia r tiesiškai nepriklausomų eilučių.

1 išvada. Didžiausias tiesiškai nepriklausomų eilučių skaičius matricoje yra lygus didžiausiam tiesiškai nepriklausomų stulpelių skaičiui:

\ operatoriaus pavadinimas (rg) A = \ operatoriaus pavadinimas (rg) A ^ T.

Šis teiginys išplaukia iš 3.4 teoremos, jei ją pritaikysime perkeltos matricos eilutėms ir atsižvelgsime į tai, kad perkeliant nepilnamečiai nesikeičia (determinanto 1 savybė).

2 išvada. Esant elementarioms matricos eilučių transformacijoms, išsaugoma bet kurios šios matricos stulpelių sistemos tiesinė priklausomybė (arba tiesinė nepriklausomybė).

Iš tiesų, pasirinkime bet kuriuos k pateiktos matricos A stulpelius ir iš jų sudarykime matricą B. Tegul elementariųjų matricos A eilučių transformacijų rezultate „buvo gauta matrica A, o tų pačių matricos B eilučių transformacijų rezultate gauta matrica B“. Pagal 3.3 teoremą \ operatoriaus pavadinimas (rg) B "= \ operatoriaus pavadinimas (rg) B... Todėl jei matricos B stulpeliai būtų tiesiškai nepriklausomi, t.y. k = \ operatoriaus pavadinimas (rg) B(žr. 1 išvadą), tada matricos B stulpeliai taip pat yra tiesiškai nepriklausomi, nes k = \ operatoriaus pavadinimas (rg) B "... Jei matricos B stulpeliai būtų tiesiškai priklausomi (k> \ operatoriaus pavadinimas (rg) B), tada matricos B stulpeliai taip pat yra tiesiškai priklausomi (k> \ operatoriaus pavadinimas (rg) B ")... Vadinasi, bet kuriems A matricos stulpeliams, atliekant elementariąsias eilučių transformacijas, išsaugoma tiesinė priklausomybė arba tiesinė nepriklausomybė.

Pastabos 3.3

1. Pagal 3.4 teoremos 1 išvadą, 2 išvadoje nurodyta stulpelių savybė galioja ir bet kuriai matricos eilučių sistemai, jei elementarios transformacijos atliekamos tik jos stulpeliuose.

2. 3.3 teoremos 3 išvadą galima patikslinti taip: bet kuri neišsigimusi kvadratinė matrica, naudojant tik jos eilučių (arba tik stulpelių) elementariąsias transformacijas, gali būti redukuota iki tos pačios eilės tapatybės matricos.

Iš tiesų, naudojant tik elementariąsias eilučių transformacijas, bet kurią matricą A galima redukuoti į supaprastintą formą \ Lambda (1.5 pav.) (žr. 1.1 teoremą). Kadangi matrica A yra neišsigimusi (\ det (A) \ ne0), jos stulpeliai yra tiesiškai nepriklausomi. Vadinasi, matricos \ Lambda stulpeliai taip pat yra tiesiškai nepriklausomi (3.4 teoremos 2 išvada). Todėl neišsigimusios matricos A supaprastinta forma \ Lambda sutampa su jos paprasčiausia forma (1.6 pav.) ir yra tapatumo matrica \ Lambda = E (žr. 3.3 teoremos 3 išvadą). Taigi, transformuojant tik neišsigimusios matricos eilutes, ją galima redukuoti iki tapatybės. Panašūs samprotavimai galioja ir elementarioms neišsigimusios matricos stulpelių transformacijoms.

Produkto rangas ir matricų suma

3.5 teorema (apie matricų sandaugos rangą). Matricos produkto reitingas neviršija veiksnių rango:

\ operatoriaus pavadinimas (rg) (A \ cdot B) \ leqslant \ min \ (\ operatorname (rg) A, \ operatorname (rg) B \).

Iš tiesų, tegul matricos A ir B turi matmenis m \ kartus p ir p \ kartus n. Matricai A priskiriame matricą C = AB \ dvitaškis \, (A \ vidurys C)... Savaime suprantama \ operatorname (rg) C \ leqslant \ operatorname (rg) (A \ mid C), kadangi C yra matricos dalis (A \ mid C) (žr. 3.2 pastabos 5 punktą). Atkreipkite dėmesį, kad kiekvienas stulpelis C_j pagal matricos daugybos operaciją yra tiesinis stulpelių derinys A_1, A_2, \ ldots, A_p matricos A = (A_1 ~ \ cdots ~ A_p):

C_ (j) = A_1 \ cdot b_ (1j) + A_2 \ cdot b_ (2j) + \ ltaškai + A_ (p) \ cdot b_pj), \ quad j = 1,2, \ ltaškai, n.

Tokį stulpelį galima ištrinti iš matricos (A \ mid C) nekeičiant jo rango (3.3 teoremos 1 išvada). Perbraukę visus matricos C stulpelius, gauname: \ operatoriaus pavadinimas (rg) (A \ mid C) = \ operatoriaus pavadinimas (rg) A... Vadinasi, \ operatoriaus pavadinimas (rg) C \ leqslant \ operatoriaus pavadinimas (rg) (A \ mid C) = \ operatoriaus pavadinimas (rg) A... Panašiai galima įrodyti, kad sąlyga \ operatorname (rg) C \ leqslant \ operatorname (rg) B, ir padaryti išvadą apie teoremos pagrįstumą.

Pasekmė. Jeigu Taigi A yra neišsigimusi kvadratinė matrica \ operatoriaus pavadinimas (rg) (AB) = \ operatoriaus pavadinimas (rg) B ir \ operatoriaus pavadinimas (rg) (CA) = \ operatoriaus pavadinimas (rg) C, t.y. matricos rangas nesikeičia, jei ji padauginama į kairę arba į dešinę iš neišsigimusios kvadratinės matricos.

3.6 teorema apie matricų sumos rangą. Matricų sumos rangas neviršija terminų eilių sumos:

\ operatorname (rg) (A + B) \ leqslant \ operatorname (rg) A + \ operatorname (rg) B.

Iš tiesų, mes sudarome matricą (A + B \ vidurys A \ vidurys B)... Atkreipkite dėmesį, kad kiekvienas matricos A + B stulpelis yra tiesinis A ir B matricų stulpelių derinys. Štai kodėl \ operatoriaus pavadinimas (rg) (A + B \ mid A \ mid B) = \ operatoriaus pavadinimas (rg) (A \ mid B)... Atsižvelgiant į tai, kad tiesiškai nepriklausomų stulpelių skaičius matricoje (A \ mid B) neviršija \ operatoriaus pavadinimas (rg) A + \ operatoriaus pavadinimas (rg) B, a \ operatorname (rg) (A + B) \ leqslant \ operatorname (rg) (A + B \ mid A \ mid B)(žr. 3.2 pastabos 5 punktą), gauname reikiamą nelygybę.

>> Matricos rangas

Matricos rangas

Matricos rango nustatymas

Apsvarstykite stačiakampę matricą. Jei šioje matricoje pasirenkame savavališkai k linijos ir k stulpelius, tada pasirinktų eilučių ir stulpelių sankirtoje esantys elementai sudaro k-osios eilės kvadratinę matricą. Šios matricos determinantas vadinamas k-osios eilės nepilnametis Matrica A. Akivaizdu, kad matrica A turi bet kokios eilės mažuosius nuo 1 iki mažiausio iš skaičių m ir n. Tarp visų A matricos nepilnamečių yra bent vienas nepilnametis, kurio tvarka bus didžiausia. Vadinama didžiausia tam tikros matricos nepilnamečių nulinė tvarka rangas matricos. Jei matricos A rangas yra r, tai reiškia, kad matrica A turi nulinę eilės mažąją r, bet kiekvienas nepilnametis eilės didesnis nei r, yra lygus nuliui. Matricos A rangas žymimas r (A). Aišku, santykis

Matricos rango apskaičiavimas naudojant nepilnamečius

Matricos rangas randamas arba ribojimo su nepilnamečiais metodu, arba elementarių transformacijų metodu. Skaičiuojant matricos rangą pirmuoju būdu, iš žemesnės eilės nepilnamečių reikia pereiti prie aukštesnės eilės nepilnamečių. Jei matricos A k-osios eilės mažoji D, kuri skiriasi nuo nulio, jau buvo rasta, tai reikalingi tik (k + 1) eilės minorai, besiribojantys su mažuoju D, t.y. kuriame jis yra minorinis klavišas. Jei jie visi lygūs nuliui, tada matricos rangas yra k.

1 pavyzdys.Raskite matricos rangą, ribojant nepilnamečius

.

Sprendimas.Pradedame nuo 1 eilės nepilnamečių, t.y. su matricos A elementais. Pasirinkime, pavyzdžiui, mažąjį (elementą) М 1 = 1, esantį pirmoje eilutėje ir pirmame stulpelyje. Įrėminus antrą eilutę ir trečią stulpelį, gauname mažąjį M 2 = kitokį nei nulis. Dabar kreipiamės į 3 eilės nepilnamečius, besiribojančius su M 2. Jų yra tik du (galite pridėti antrą arba ketvirtą stulpelį). Mes juos apskaičiuojame: = 0. Taigi visi besiribojantys trečios eilės nepilnamečiai pasirodė lygūs nuliui. Matricos A rangas yra du.

Matricos rango apskaičiavimas naudojant elementariąsias transformacijas

Elementarusvadinamos šios matricos transformacijos:

1) bet kurių dviejų eilučių (ar stulpelių) permutacija,

2) eilutės (arba stulpelio) padauginimas iš skaičiaus, kuris nėra nulis,

3) prie vienos eilutės (ar stulpelio) pridėjus kitą eilutę (ar stulpelį), padaugintą iš kokio nors skaičiaus.

Dvi matricos vadinamos lygiavertis jei vienas iš jų gaunamas iš kito naudojant baigtinę elementariųjų transformacijų aibę.

Ekvivalentinės matricos paprastai nėra lygios, tačiau jų rangai yra vienodi. Jei matricos A ir B yra lygiavertės, tai rašoma taip: A~ B.

Kanoninismatrica yra matrica, kurioje pagrindinės įstrižainės pradžioje iš eilės yra keli vienetai (kurių skaičius gali būti lygus nuliui), o visi kiti elementai yra lygūs nuliui, pavyzdžiui,

.

Elementariomis eilučių ir stulpelių transformacijomis bet kuri matrica gali būti sumažinta iki kanoninės. Kanoninės matricos rangas yra lygus vienetų skaičiui pagrindinėje įstrižainėje.

2 pavyzdysRaskite matricos rangą

A =

ir perkelti jį į kanoninę formą.

Sprendimas. Atimkite pirmąją iš antrosios eilutės ir pertvarkykite šias eilutes:

.

Dabar atimkite pirmąją iš antrosios ir trečiosios eilučių, padaugintų atitinkamai iš 2 ir 5:

;

atimti pirmąją iš trečios eilutės; gauname matricą

B = ,

kuri yra lygiavertė matricai A, nes iš jos gaunama naudojant baigtinę elementariųjų transformacijų aibę. Akivaizdu, kad matricos B rangas yra lygus 2, todėl r (A) = 2. Matricą B galima lengvai redukuoti į kanoninę. Iš visų vėlesnių atėmus pirmąjį stulpelį, padaugintą iš tinkamų skaičių, visus pirmosios eilutės elementus, išskyrus pirmąją, paverčiame nuliu, o likusių eilučių elementai nesikeičia. Tada iš visų paskesnių atėmus antrąjį stulpelį, padaugintą iš tinkamų skaičių, visus antrosios eilutės elementus, išskyrus antrąją, nulinėsime, ir gauname kanoninę matricą:

.