Parašykite bendrąją tiesės lygtį. Įvairios tiesės lygtys

Tiesios linijos savybės Euklido geometrijoje.

Yra be galo daug linijų, kurias galima nubrėžti per bet kurį tašką.

Per bet kuriuos du nesutampančius taškus yra tik viena tiesi linija.

Dvi nesutampančios tiesės plokštumoje arba susikerta viename taške, arba yra

lygiagretus (seka nuo ankstesnio).

Trimatėje erdvėje yra trys dviejų linijų santykinės padėties parinktys:

linijos susikerta;

tiesios linijos yra lygiagrečios;

susikerta tiesios linijos.

Tiesiai linija- pirmos eilės algebrinė kreivė: Dekarto koordinačių sistemoje tiesė

plokštumoje pateikiama pirmojo laipsnio lygtimi (tiesine lygtimi).

Bendroji lygtis tiesiai.

Apibrėžimas. Bet kuri tiesė plokštumoje gali būti pateikta pirmosios eilės lygtimi

Ah + Wu + C = 0,

ir pastovus A, B nelygu nuliui tuo pačiu metu. Ši pirmosios eilės lygtis vadinama bendras

tiesios linijos lygtis. Priklausomai nuo konstantų reikšmių A, B ir SU Galimi šie ypatingi atvejai:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- linija eina per pradžią

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (pagal + C = 0)- tiesi linija, lygiagreti ašiai Oi

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C = 0)- tiesi linija, lygiagreti ašiai OU

. B = C = 0, A ≠ 0- linija sutampa su ašimi OU

. A = C = 0, B ≠ 0- linija sutampa su ašimi Oi

Tiesios linijos lygtis gali būti pavaizduota įvairių formų priklausomai nuo bet kurio duoto

pradines sąlygas.

Taško ir normaliojo vektoriaus tiesės lygtis.

Apibrėžimas. Dekarto stačiakampėje koordinačių sistemoje vektorius su komponentais (A, B)

statmena lygties nurodytai tiesei

Ah + Wu + C = 0.

Pavyzdys. Raskite tiesės, einančios per tašką, lygtį A(1, 2) statmenai vektoriui (3, -1).

Sprendimas. Sudarykime ties A \u003d 3 ir B \u003d -1 tiesės lygtį: 3x - y + C \u003d 0. Norėdami rasti koeficientą C

į gautą išraišką pakeičiame koordinates duotas taškas A. Gauname: 3 - 2 + C = 0, todėl

C = -1. Iš viso: norima lygtis: 3x - y - 1 \u003d 0.

Tiesės, einančios per du taškus, lygtis.

Tegu erdvėje pateikti du taškai M 1 (x 1, y 1, z 1) ir M2 (x 2, y 2, z 2), tada tiesios linijos lygtis,

eina per šiuos taškus:

Jei kuris nors iš vardiklių yra lygus nuliui, atitinkamas skaitiklis turi būti lygus nuliui. Ant

plokštumoje, aukščiau parašyta tiesės lygtis yra supaprastinta:

jeigu x 1 ≠ x 2 ir x = x 1, jei x 1 = x 2 .

Frakcija = k paskambino nuolydžio koeficientas tiesiai.

Pavyzdys. Raskite tiesės, einančios per taškus A(1, 2) ir B(3, 4), lygtį.

Sprendimas. Taikydami aukščiau pateiktą formulę, gauname:

Tiesės lygtis su tašku ir nuolydžiu.

Jei bendroji tiesės lygtis Ah + Wu + C = 0 atnešti į formą:

ir paskirti , tada gauta lygtis vadinama

tiesės su nuolydžiu k lygtis.

Taško tiesės ir krypties vektoriaus lygtis.

Pagal analogiją su tašku, kuriame atsižvelgiama į tiesės linijos per normalųjį vektorių lygtį, galite įvesti užduotį

tiesi linija per tašką ir tiesės krypties vektorius.

Apibrėžimas. Kiekvienas nulinis vektorius (α 1 , α 2), kurio komponentai atitinka sąlygą

Aα 1 + Bα 2 = 0 paskambino tiesės krypties vektorius.

Ah + Wu + C = 0.

Pavyzdys. Raskite tiesės su krypties vektoriumi (1, -1) ir einančios per tašką A(1, 2) lygtį.

Sprendimas. Ieškosime norimos tiesės lygties formoje: Ax + By + C = 0. Pagal apibrėžimą,

koeficientai turi atitikti sąlygas:

1 * A + (-1) * B = 0, t.y. A = B.

Tada tiesios linijos lygtis turi tokią formą: Ax + Ay + C = 0, arba x + y + C / A = 0.

adresu x = 1, y = 2 mes gauname C/ A = -3, t.y. norima lygtis:

x + y - 3 = 0

Tiesios linijos atkarpose lygtis.

Jei bendrojoje tiesės lygtyje Ah + Wu + C = 0 C≠0, tada dalijant iš -C gauname:

arba kur

Koeficientų geometrinė reikšmė ta, kad koeficientas a yra susikirtimo taško koordinatė

tiesiai su ašimi Oi, a b- tiesės susikirtimo su ašimi taško koordinatė OU.

Pavyzdys. Pateikta bendroji tiesės lygtis x - y + 1 = 0. Raskite šios tiesės lygtį atkarpomis.

C \u003d 1, , a = -1, b \u003d 1.

Normali tiesės lygtis.

Jei abi lygties pusės Ah + Wu + C = 0 padalinti iš skaičiaus , kuris vadinamas

normalizuojantis veiksnys, tada gauname

xcosφ + ysinφ - p = 0 -normalioji tiesės lygtis.

Normalizuojančio koeficiento ženklas ± turi būti parinktas taip μ * C< 0.

R- statmens ilgis, nukritęs nuo pradžios iki linijos,

a φ - kampas, sudarytas šio statmens su teigiama ašies kryptimi Oi.

Pavyzdys. Duota bendroji tiesės lygtis 12x - 5m - 65 = 0. Reikalingas rašyti skirtingi tipai lygtys

ši tiesi linija.

Šios tiesės lygtis atkarpomis:

Šios tiesės lygtis su nuolydžiu: (padalinkite iš 5)

Tiesios linijos lygtis:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p=5.

Reikėtų pažymėti, kad ne kiekviena tiesė gali būti pavaizduota lygtimi atkarpose, pavyzdžiui, tiesės,

lygiagrečios ašims arba einančios per pradžią.

Kampas tarp linijų plokštumoje.

Apibrėžimas. Jei pateiktos dvi eilutės y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, tada smailusis kampas tarp šių linijų

bus apibrėžtas kaip

Dvi tiesės lygiagrečios, jei k 1 = k 2. Dvi linijos yra statmenos

jeigu k 1 \u003d -1 / k 2 .

Teorema.

Tiesioginis Ah + Wu + C = 0 ir A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 yra lygiagrečios, kai koeficientai yra proporcingi

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. Jei taip pat С 1 \u003d λС, tada linijos sutampa. Dviejų tiesių susikirtimo taško koordinatės

randami kaip šių tiesių lygčių sistemos sprendimas.

Tiesės, einančios per ją, lygtis duotas taškas statmenai šiai linijai.

Apibrėžimas. Tiesė, einanti per tašką M 1 (x 1, y 1) ir statmenai tiesei y = kx + b

pavaizduota lygtimi:

Atstumas nuo taško iki linijos.

Teorema. Jei duodamas taškas M(x 0, y 0), tada atstumas iki linijos Ah + Wu + C = 0 apibrėžtas kaip:

Įrodymas. Tegul taškas M 1 (x 1, y 1)- statmeno pagrindas nukrito nuo taško M už duotą

tiesioginis. Tada atstumas tarp taškų M ir M 1:

(1)

Koordinatės x 1 ir 1 galima rasti kaip lygčių sistemos sprendimą:

Antroji sistemos lygtis yra tiesės, einančios per tam tikrą tašką M 0 statmenai lygtis

duota linija. Jei paversime pirmąją sistemos lygtį į formą:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + Iš 0 + C = 0,

tada išspręsdami gauname:

Pakeitę šias išraiškas į (1) lygtį, randame:

Teorema įrodyta.

Kanoninės tiesės erdvėje lygtys yra lygtys, apibrėžiančios tiesę, einančią per tam tikrą tašką kolineariai su krypties vektoriumi.

Tegu duotas taškas ir krypties vektorius. Savavališkas taškas yra tiesėje l tik tuo atveju, jei vektoriai ir yra kolineariniai, ty jie atitinka sąlygą:

Aukščiau pateiktos lygtys yra kanonines lygtis tiesiai.

Skaičiai m , n ir p yra krypties vektoriaus projekcijos į koordinačių ašis. Kadangi vektorius yra ne nulis, tada visi skaičiai m , n ir p tuo pačiu metu negali būti nulis. Tačiau vienas ar du iš jų gali būti lygūs nuliui. Pavyzdžiui, analitinėje geometrijoje leidžiama naudoti tokias žymes:

o tai reiškia, kad vektoriaus projekcijos ant ašių Oy ir Ozas yra lygūs nuliui. Todėl ir vektorius, ir tiesė, kurią pateikia kanoninės lygtys, yra statmenos ašims Oy ir Ozas t.y. lėktuvai yOz .

1 pavyzdys Sudarykite tiesės, statmenos plokštumai erdvėje, lygtis ir einančios per šios plokštumos susikirtimo su ašimi tašką Ozas .

Sprendimas. Raskite duotosios plokštumos susikirtimo tašką su ašimi Ozas. Kadangi bet kuris ašies taškas Ozas, turi koordinates, tada, darant prielaidą, kad pateiktoje plokštumos lygtyje x=y= 0, gauname 4 z- 8 = 0 arba z= 2. Todėl duotosios plokštumos susikirtimo taškas su ašimi Ozas turi koordinates (0; 0; 2) . Kadangi norima tiesė yra statmena plokštumai, ji lygiagreti jos normaliajam vektoriui. Todėl normalusis vektorius gali tarnauti kaip tiesės krypties vektorius duotas lėktuvas.

Dabar parašome norimas tiesės, einančios per tašką, lygtis A= (0; 0; 2) vektoriaus kryptimi:

Tiesios linijos, einančios per du duotus taškus, lygtys

Tiesią liniją galima apibrėžti dviem taškais, esančiais ant jos ir Šiuo atveju tiesės nukreipiantis vektorius gali būti vektorius . Tada kanoninės linijos lygtys įgauna formą

Aukščiau pateiktos lygtys apibrėžia tiesią liniją, einančią per du nurodytus taškus.

2 pavyzdys Parašykite tiesės erdvėje, einančios per taškus ir, lygtį.

Sprendimas. Rašome norimas tiesės lygtis aukščiau pateikta forma teorinėje nuorodoje:

Kadangi , Tada norima linija yra statmena ašiai Oy .

Tiesi kaip plokštumų susikirtimo linija

Tiesė erdvėje gali būti apibrėžta kaip dviejų nelygiagrečių plokštumų susikirtimo linija ir, t.y., kaip taškų rinkinys, atitinkantis dviejų tiesinių lygčių sistemą.

Sistemos lygtys dar vadinamos bendrosiomis tiesės erdvėje lygtimis.

3 pavyzdys Sudarykite kanonines tiesės lygtis bendrųjų lygčių pateiktoje erdvėje

Sprendimas. Norėdami parašyti kanonines tiesės lygtis arba, kas yra ta pati, tiesės, einančios per du nurodytus taškus, lygtį, turite rasti bet kurių dviejų tiesės taškų koordinates. Pavyzdžiui, jie gali būti tiesės susikirtimo taškai su bet kuriomis dviem koordinačių plokštumomis yOz ir xOz .

Tiesės susikirtimo su plokštuma taškas yOz turi abscisę x= 0. Todėl šioje lygčių sistemoje darant prielaidą x= 0 , gauname sistemą su dviem kintamaisiais:

Jos sprendimas y = 2 , z= 6 kartu su x= 0 apibrėžia tašką A(0; 2; 6) norimos eilutės. Darant prielaidą, kad tada duotoje lygčių sistemoje y= 0 , gauname sistemą

Jos sprendimas x = -2 , z= 0 kartu su y= 0 apibrėžia tašką B(-2; 0; 0) tiesės susikirtimas su plokštuma xOz .

Dabar rašome tiesės, einančios per taškus, lygtis A(0; 2; 6) ir B (-2; 0; 0) :

arba padalijus vardiklius iš -2:

Šis straipsnis tęsia tiesės lygties plokštumoje temą: apsvarstykite tokio tipo lygtį kaip bendrą tiesės lygtį. Apibrėžkime teoremą ir pateikime jos įrodymą; Išsiaiškinkime, kas yra neišsami bendroji tiesės lygtis ir kaip atlikti perėjimus iš bendrosios lygties į kitų tipų tiesės lygtis. Visą teoriją įtvirtinsime iliustracijomis ir spręsdami praktines problemas.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Tegu plokštumoje pateikta stačiakampė koordinačių sistema O x y.

1 teorema

Bet kuri pirmojo laipsnio lygtis, turinti formą A x + B y + C \u003d 0, kur A, B, C yra kai kurie realieji skaičiai (A ir B tuo pačiu metu nėra lygūs nuliui), apibrėžia tiesę stačiakampė koordinačių sistema plokštumoje. Savo ruožtu bet kuri tiesė stačiakampėje koordinačių sistemoje plokštumoje yra nustatoma pagal lygtį, kurios forma yra A x + B y + C = 0 tam tikram reikšmių rinkiniui A, B, C.

Įrodymas

Ši teorema susideda iš dviejų punktų, kiekvieną iš jų įrodysime.

Įrodykime, kad lygtis A x + B y + C = 0 apibrėžia tiesę plokštumoje.

Tebūnie koks nors taškas M 0 (x 0, y 0), kurio koordinatės atitinka lygtį A x + B y + C = 0. Taigi: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Iš kairės ir dešinės lygčių A x + B y + C \u003d 0 atimkite lygties A x 0 + B y 0 + C \u003d 0 kairę ir dešinę puses, gausime naują lygtį, kuri atrodo kaip A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . Jis lygus A x + B y + C = 0 .

Gauta lygtis A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 yra būtina ir pakankama vektorių n → = (A, B) ir M 0 M → = (x - x) statmenumo sąlyga. 0, y - y 0) . Taigi taškų aibė M (x, y) stačiakampėje koordinačių sistemoje apibrėžia tiesę, statmeną vektoriaus n → = (A, B) krypčiai. Galime manyti, kad taip nėra, bet tada vektoriai n → = (A, B) ir M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) nebūtų statmeni, o lygybė A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 nebūtų teisinga.

Todėl lygtis A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 apibrėžia kokią nors tiesę stačiakampėje koordinačių sistemoje plokštumoje, todėl lygiavertė lygtis A x + B y + C \u003d 0 apibrėžia ta pati linija. Taigi mes įrodėme pirmąją teoremos dalį.

Įrodykime, kad bet kurią tiesę stačiakampėje koordinačių sistemoje plokštumoje galima pateikti pirmojo laipsnio lygtimi A x + B y + C = 0 .

Stačiakampėje koordinačių sistemoje plokštumoje nustatykime tiesę a; taškas M 0 (x 0 , y 0), per kurį eina ši tiesė, taip pat šios tiesės normalusis vektorius n → = (A , B) .

Tegu taip pat egzistuoja tam tikras taškas M (x , y) – tiesės slankusis taškas. Šiuo atveju vektoriai n → = (A , B) ir M 0 M → = (x - x 0 , y - y 0) yra statmeni vienas kitam, o jų skaliarinė sandauga lygi nuliui:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

Perrašykime lygtį A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0 , apibrėžkime C: C = - A x 0 - B y 0 ir galiausiai gaukime lygtį A x + B y + C = 0 .

Taigi, mes įrodėme antrąją teoremos dalį ir įrodėme visą teoremą kaip visumą.

1 apibrėžimas

Lygtis, kuri atrodo kaip A x + B y + C = 0 - tai bendroji tiesės lygtis stačiakampės koordinačių sistemos plokštumojeO x y .

Remdamiesi įrodyta teorema, galime daryti išvadą, kad tiesė, duota plokštumoje fiksuotoje stačiakampėje koordinačių sistemoje, ir jos bendroji lygtis yra neatsiejamai susijusios. Kitaip tariant, pradinė eilutė atitinka jos bendrąją lygtį; bendroji tiesės lygtis atitinka duotąją tiesę.

Iš teoremos įrodymo taip pat išplaukia, kad kintamųjų x ir y koeficientai A ir B yra tiesės normaliojo vektoriaus koordinatės, kurią pateikia bendroji tiesės lygtis A x + B y + C = 0.

Apsvarstykite konkretus pavyzdys bendroji tiesės lygtis.

Tegu yra lygtis 2 x + 3 y - 2 = 0, kuri atitinka tiesę duotoje stačiakampėje koordinačių sistemoje. Normalus šios linijos vektorius yra vektorius n → = (2 , 3) . Brėžinyje nubrėžkite nurodytą tiesią liniją.

Taip pat galima ginčytis: tiesė, kurią matome brėžinyje, yra nulemta bendrosios lygties 2 x + 3 y - 2 = 0, nes visų duotosios tiesės taškų koordinatės atitinka šią lygtį.

Lygtį λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 galime gauti padauginę abi bendrosios tiesės lygties puses iš nulinio skaičiaus λ. Gauta lygtis yra lygiavertė pradinei bendrajai lygčiai, todėl ji aprašys tą pačią tiesę plokštumoje.

2 apibrėžimas

Pilna bendroji tiesės lygtis- tokia bendroji eilutės A x + B y + C \u003d 0 lygtis, kurioje skaičiai A, B, C nėra lygūs nuliui. Priešingu atveju lygtis yra Nebaigtas.

Išanalizuokime visus nepilnos bendrosios tiesės lygties variantus.

Kai A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0, bendroji lygtis tampa B y + C \u003d 0. Tokia nepilna bendroji lygtis apibrėžia tiesę stačiakampėje koordinačių sistemoje O x y, kuri yra lygiagreti O x ašiai, nes bet kuriai realiajai x vertei kintamasis y įgis reikšmę. - C B. Kitaip tariant, bendroji linijos lygtis A x + B y + C \u003d 0, kai A \u003d 0, B ≠ 0, apibrėžia taškų (x, y), kurių koordinatės yra lygios tam pačiam skaičiui, vietą. - C B.
Jei A \u003d 0, B ≠ 0, C \u003d 0, bendroji lygtis tampa y \u003d 0. Tokia nepilna lygtis apibrėžia x ašies O x .
Kai A ≠ 0, B \u003d 0, C ≠ 0, gauname neišsamią bendrąją lygtį A x + C \u003d 0, apibrėžiančią tiesę, lygiagrečią y ašiai.
Tegul A ≠ 0, B \u003d 0, C \u003d 0, tada nepilna bendroji lygtis bus x \u003d 0, ir tai yra koordinačių linijos O y lygtis.
Galiausiai, kai A ≠ 0, B ≠ 0, C \u003d 0, nepilna bendroji lygtis įgauna formą A x + B y \u003d 0. Ir ši lygtis apibūdina tiesią liniją, kuri eina per pradžią. Iš tiesų skaičių pora (0 , 0) atitinka lygybę A x + B y = 0 , nes A · 0 + B · 0 = 0 .

Grafiškai pavaizduokime visus aukščiau išvardintus nepilnos bendrosios tiesės lygties tipus.

1 pavyzdys

Yra žinoma, kad duotoji tiesė yra lygiagreti y ašiai ir eina per tašką 2 7 , - 11 . Būtina užrašyti bendrąją duotosios tiesės lygtį.

Sprendimas

Tiesi linija, lygiagreti y ašiai, pateikiama A x + C \u003d 0 formos lygtimi, kurioje A ≠ 0. Sąlyga taip pat nurodo taško, per kurį eina tiesė, koordinates, o šio taško koordinatės atitinka nepilnos bendrosios lygties A x + C = 0 sąlygas, t.y. lygybė teisinga:

A 2 7 + C = 0

Iš jo galima nustatyti C, suteikiant A kokią nors nulinę reikšmę, pavyzdžiui, A = 7 . Šiuo atveju gauname: 7 2 7 + C \u003d 0 ⇔ C \u003d - 2. Žinome abu koeficientus A ir C, pakeisime juos lygtimi A x + C = 0 ir gauname reikiamą tiesės lygtį: 7 x - 2 = 0

Atsakymas: 7 x - 2 = 0

2 pavyzdys

Brėžinyje pavaizduota tiesė, būtina užrašyti jos lygtį.

Sprendimas

Pateiktas brėžinys leidžia lengvai paimti pradinius duomenis problemai išspręsti. Brėžinyje matome, kad duota linija yra lygiagreti O x ašiai ir eina per tašką (0 , 3).

Tiesi linija, kuri yra lygiagreti abscisei, nustatoma pagal nepilną bendrąją lygtį B y + С = 0. Raskite B ir C reikšmes. Taško (0, 3) koordinatės, kadangi per jį eina duota tiesė, tenkins tiesės B y + С = 0 lygtį, tada galioja lygybė: В · 3 + С = 0. Nustatykime B vertę, kuri skiriasi nuo nulio. Tarkime, B \u003d 1, šiuo atveju iš lygybės B · 3 + C \u003d 0 galime rasti C: C \u003d - 3. Mes naudojame žinomos vertės B ir C, gauname reikiamą tiesės lygtį: y - 3 = 0.

Atsakymas: y-3 = 0.

Bendroji tiesės, einančios per tam tikrą plokštumos tašką, lygtis

Tegu duotoji tiesė eina per tašką M 0 (x 0, y 0), tada jos koordinatės atitinka bendrąją tiesės lygtį, t.y. lygybė teisinga: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Atimkite kairę ir dešinę šios lygties puses iš kairės ir dešinės bendrosios pusės pilna lygtis tiesiai. Gauname: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C \u003d 0, ši lygtis yra lygiavertė pradinei bendrajai, eina per tašką M 0 (x 0, y 0) ir turi normalusis vektorius n → \u003d (A, B) .

Gautas rezultatas leidžia parašyti bendrąją tiesės lygtį žinomoms normalaus tiesės vektoriaus koordinatėms ir tam tikro šios tiesės taško koordinatėms.

3 pavyzdys

Duotas taškas M 0 (- 3, 4), per kurį eina tiesė, ir šios tiesės normalusis vektorius n → = (1 , - 2) . Būtina užrašyti duotosios tiesės lygtį.

Sprendimas

Pradinės sąlygos leidžia gauti reikiamus duomenis lygčiai sudaryti: A \u003d 1, B \u003d - 2, x 0 \u003d - 3, y 0 \u003d 4. Tada:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

Problema galėjo būti išspręsta kitaip. Bendroji tiesės lygtis yra tokia: A x + B y + C = 0 . Pateiktas normalus vektorius leidžia gauti koeficientų A ir B reikšmes, tada:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

Dabar suraskime C reikšmę, naudodami tašką M 0 (- 3, 4), pateiktą uždavinio sąlygos, per kurią eina tiesė. Šio taško koordinatės atitinka lygtį x - 2 · y + C = 0 , t.y. - 3 - 2 4 + C \u003d 0. Taigi C = 11. Reikalinga tiesės lygtis yra tokia: x - 2 · y + 11 = 0 .

Atsakymas: x - 2 y + 11 = 0 .

4 pavyzdys

Duota tiesė 2 3 x - y - 1 2 = 0 ir taškas M 0, esantis šioje tiesėje. Žinoma tik šio taško abscisė ir ji lygi – 3. Būtina nustatyti duoto taško ordinates.

Sprendimas

Taško M 0 koordinačių žymėjimą nustatykime kaip x 0 ir y 0 . Pradiniai duomenys rodo, kad x 0 \u003d - 3. Kadangi taškas priklauso duotai tiesei, tai jo koordinatės atitinka bendrąją šios tiesės lygtį. Tada bus teisinga tokia lygybė:

2 3 x 0 – y 0 – 1 2 = 0

Apibrėžkite y 0: 2 3 (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

Atsakymas: - 5 2

Perėjimas iš bendrosios tiesės lygties į kitų tipų tiesės lygtis ir atvirkščiai

Kaip žinome, yra keli tos pačios tiesės plokštumoje lygčių tipai. Lygties tipo pasirinkimas priklauso nuo uždavinio sąlygų; galima pasirinkti jo sprendimui patogesnį. Čia labai praverčia įgūdžiai konvertuoti vienos rūšies lygtį į kitos rūšies lygtį.

Pirmiausia apsvarstykite perėjimą nuo bendrosios A x + B y + C = 0 lygties į kanoninę lygtį x - x 1 a x = y - y 1 a y .

Jei A ≠ 0, tai terminą B y perkeliame į dešinę bendrosios lygties pusę. Kairėje pusėje iš skliaustų išimame A. Dėl to gauname: A x + C A = - B y .

Šią lygybę galima užrašyti kaip proporciją: x + C A - B = y A .

Jei B ≠ 0, kairėje bendrosios lygties pusėje paliekame tik terminą A x, kitus perkeliame į dešinę, gauname: A x \u003d - B y - C. Iš skliaustų išimame - B, tada: A x \u003d - B y + C B.

Perrašykime lygybę kaip proporciją: x - B = y + C B A .

Žinoma, nereikia įsiminti gautų formulių. Pakanka žinoti veiksmų algoritmą pereinant nuo bendrosios lygties prie kanoninės.

5 pavyzdys

Pateikta bendroji tiesės 3 lygtis y - 4 = 0. Ją reikia konvertuoti į kanoninę lygtį.

Sprendimas

Pradinę lygtį užrašome kaip 3 y - 4 = 0 . Toliau veikiame pagal algoritmą: terminas 0 x lieka kairėje pusėje; ir dešinėje pusėje išimame - 3 iš skliaustų; gauname: 0 x = - 3 y - 4 3 .

Gautą lygybę parašykime proporcija: x - 3 = y - 4 3 0 . Taigi, mes gavome kanoninės formos lygtį.

Atsakymas: x - 3 = y - 4 3 0.

Norint paversti bendrąją tiesės lygtį į parametrines, pirmiausia pereinama prie kanoninės formos, o po to pereinama nuo kanoninės tiesės lygties prie parametrinių lygčių.

6 pavyzdys

Tiesi linija pateikiama lygtimi 2 x - 5 y - 1 = 0 . Užrašykite šios tiesės parametrines lygtis.

Sprendimas

Pereikime nuo bendrosios lygties prie kanoninės:

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Dabar paimkime abi gautos kanoninės lygties dalis, lygias λ, tada:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Atsakymas:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Bendrąją lygtį galima konvertuoti į tiesią lygtį, kurios nuolydis y = k x + b, bet tik tada, kai B ≠ 0. Perėjimui kairėje pusėje paliekame terminą B y , likusieji perkeliami į dešinę. Gauname: B y = - A x - C . Abi gautos lygybės dalis padalinkime iš B , kuri skiriasi nuo nulio: y = - A B x - C B .

7 pavyzdys

Pateikiama bendroji tiesės lygtis: 2 x + 7 y = 0 . Turite konvertuoti šią lygtį į nuolydžio lygtį.

Sprendimas

Gaminkime būtini veiksmai pagal algoritmą:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

Atsakymas: y = - 2 7 x .

Iš bendrosios tiesės lygties pakanka tiesiog gauti lygtį x a + y b \u003d 1 formos segmentuose. Norėdami atlikti tokį perėjimą, skaičių C perkeliame į dešinę lygybės pusę, abi gautos lygybės dalis padaliname iš - С ir galiausiai perkeliame kintamųjų x ir y koeficientus į vardiklius:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

8 pavyzdys

Reikia paversti bendrąją tiesės x - 7 y + 1 2 = 0 lygtį į tiesės lygtį atkarpomis.

Sprendimas

Perkelkime 1 2 į dešinę pusę: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

Padalinkite iš -1/2 abiejų lygties pusių: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

Atsakymas: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .

Apskritai atvirkštinis perėjimas taip pat yra lengvas: nuo kitų tipų lygčių prie bendrosios.

Tiesios linijos lygtis atkarpomis ir lygtis su nuolydžiu gali būti lengvai konvertuojama į bendrą, tiesiog surinkus visus terminus kairėje lygties pusėje:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Kanoninė lygtis konvertuojama į bendrąją pagal šią schemą:

x - x 1 ax = y - y 1 ay ⇔ ay (x - x 1) = ax (y - y 1) ⇔ ⇔ ayx - axy - ayx 1 + axy 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Norėdami pereiti nuo parametrinio, pirmiausia pereinama prie kanoninio, o tada prie bendro:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

9 pavyzdys

Pateikiamos tiesės x = - 1 + 2 · λ y = 4 parametrinės lygtys. Būtina užrašyti bendrąją šios tiesės lygtį.

Sprendimas

Pereikime nuo parametrinių lygčių prie kanoninių:

x = - 1 + 2 λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 λ y = 4 + 0 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Pereikime nuo kanoninio prie bendro:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

Atsakymas: y – 4 = 0

10 pavyzdys

Pateikta tiesės lygtis atkarpose x 3 + y 1 2 = 1. Būtina atlikti perėjimą prie bendrosios lygties formos.

Sprendimas:

Tiesiog perrašykime lygtį reikiama forma:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

Atsakymas: 1 3 x + 2 y - 1 = 0 .

Bendrosios tiesės lygties sudarymas

Aukščiau sakėme, kad bendrąją lygtį galima parašyti žinomomis normalaus vektoriaus koordinatėmis ir taško, per kurį eina linija, koordinatėmis. Tokia tiesė apibrėžiama lygtimi A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . Toje pačioje vietoje analizavome atitinkamą pavyzdį.

Dabar pažvelkime į daugiau sudėtingų pavyzdžių, kuriame pirmiausia reikia nustatyti normaliojo vektoriaus koordinates.

11 pavyzdys

Duota tiesė, lygiagreti tiesei 2 x - 3 y + 3 3 = 0 . Taip pat žinomas taškas M 0 (4 , 1), per kurį eina duotoji tiesė. Būtina užrašyti duotosios tiesės lygtį.

Sprendimas

Pradinės sąlygos mums sako, kad tiesės yra lygiagrečios, o kaip normalų tiesės, kurios lygtį reikia parašyti, vektorių, imame tiesės nukreipimo vektorių n → \u003d (2, - 3) : 2 x - 3 y + 3 3 \u003d 0. Dabar mes žinome visus reikalingus duomenis, kad sudarytume bendrą tiesės lygtį:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

Atsakymas: 2 x - 3 y - 5 = 0 .

12 pavyzdys

Duota tiesė eina per pradžią statmenai tiesei x - 2 3 = y + 4 5 . Būtina parašyti bendrąją duotosios tiesės lygtį.

Sprendimas

Duotos tiesės normalusis vektorius bus tiesės x - 2 3 = y + 4 5 krypties vektorius.

Tada n → = (3 , 5) . Tiesi linija eina per pradžią, t.y. per tašką O (0, 0) . Sudarykime bendrąją duotosios tiesės lygtį:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Atsakymas: 3 x + 5 y = 0 .

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Tegul tiesė eina per taškus M 1 (x 1; y 1) ir M 2 (x 2; y 2). Tiesės, einančios per tašką M 1, lygtis yra y- y 1 \u003d k (x - x 1), (10,6)

kur k – dar nežinomas koeficientas.

Kadangi tiesė eina per tašką M 2 (x 2 y 2), šio taško koordinatės turi atitikti (10.6) lygtį: y 2 -y 1 \u003d k (x 2 - x 1).

Iš čia randame Rastos vertės pakeitimą k į (10.6) lygtį gauname tiesės, einančios per taškus M 1 ir M 2, lygtį:

Daroma prielaida, kad šioje lygtyje x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Jei x 1 \u003d x 2, tai tiesė, einanti per taškus M 1 (x 1, y I) ir M 2 (x 2, y 2), yra lygiagreti y ašiai. Jo lygtis yra x = x 1 .

Jei y 2 \u003d y I, tada tiesės lygtis gali būti parašyta kaip y \u003d y 1, tiesė M 1 M 2 yra lygiagreti x ašiai.

Tiesios linijos atkarpose lygtis

Tegul tiesė kerta Ox ašį taške M 1 (a; 0), o Oy ašį - taške M 2 (0; b). Lygtis bus tokia:
tie.
. Ši lygtis vadinama tiesės lygtis atkarpose, nes skaičiai a ir b rodo, kuriuos atkarpas tiesia linija nukerta koordinačių ašyse.

Tiesės, einančios per tam tikrą tašką, statmeną tam tikram vektoriui, lygtis

Raskime tiesės, einančios per duotą tašką Mo (x O; y o), statmeną duotam nuliniam vektoriui n = (A; B), lygtį.

Paimkite savavališką tiesės tašką M(x; y) ir apsvarstykite vektorių M 0 M (x - x 0; y - y o) (žr. 1 pav.). Kadangi vektoriai n ir M o M yra statmeni, jų skaliarinė sandauga yra lygi nuliui: tai yra,

A(x – xo) + B(y – yo) = 0. (10.8)

Lygtis (10.8) vadinama tiesės, einančios per tam tikrą tašką, statmeną tam tikram vektoriui, lygtis .

Vektorius n = (A; B), statmenas tiesei, vadinamas normaliuoju šios linijos normalusis vektorius .

Lygtį (10.8) galima perrašyti kaip Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

kur A ir B yra normaliojo vektoriaus koordinatės, C \u003d -Ax o - Vu o - laisvasis narys. Lygtis (10.9) yra bendroji tiesės lygtis(žr. 2 pav.).

1 pav.2 pav

Kanoninės tiesės lygtys

Kur
yra taško, per kurį eina linija, koordinatės ir
- krypties vektorius.

Antros eilės apskritimo kreivės

Apskritimas yra visų plokštumos taškų, nutolusių vienodu atstumu nuo nurodyto taško, vadinamo centru, rinkinys.

Kanoninė spindulio apskritimo lygtis R sutelktas į tašką
:

Visų pirma, jei statymo centras sutampa su kilme, lygtis atrodys taip:

Elipsė

Elipsė yra plokštumos taškų rinkinys, atstumų nuo kiekvieno iš jų iki dviejų nurodytų taškų suma ir , kurie vadinami židiniais, yra pastovi reikšmė
, didesnis nei atstumas tarp židinių
.

Elipsės, kurios židiniai yra ant Jaučio ašies ir kurios pradžia yra viduryje tarp židinių, kanoninė lygtis turi formą
G de a didžiosios pusašios ilgis; b yra mažosios pusašios ilgis (2 pav.).

Tiesės lygtis plokštumoje.

Kaip žinoma, bet kurį plokštumos tašką tam tikroje koordinačių sistemoje nustato dvi koordinatės. Koordinačių sistemos gali būti skirtingos, priklausomai nuo pagrindo ir kilmės pasirinkimo.

Apibrėžimas. Linijos lygtis yra santykis y = f(x) tarp taškų, sudarančių šią tiesę, koordinačių.

Atkreipkite dėmesį, kad tiesės lygtis gali būti išreikšta parametriniu būdu, tai yra, kiekviena kiekvieno taško koordinatė išreiškiama per tam tikrą nepriklausomą parametrą t.

Tipiškas pavyzdys yra judančio taško trajektorija. Šiuo atveju laikas vaidina parametro vaidmenį.

Tiesės lygtis plokštumoje.

Apibrėžimas. Bet kuri tiesė plokštumoje gali būti pateikta pirmosios eilės lygtimi

Ah + Wu + C = 0,

be to, konstantos A, B vienu metu nelygios nuliui, t.y. A 2 + B 2  0. Ši pirmosios eilės lygtis vadinama bendroji tiesės lygtis.

Atsižvelgiant į konstantų A, B ir C vertes, galimi šie specialūs atvejai:

C \u003d 0, A  0, B  0 - linija eina per pradžios tašką

A \u003d 0, B  0, C  0 (pagal + C \u003d 0) - linija lygiagreti Ox ašiai

B \u003d 0, A  0, C  0 ( Ax + C \u003d 0) - linija lygiagreti Oy ašiai

B \u003d C \u003d 0, A  0 - tiesi linija sutampa su Oy ašimi

A \u003d C \u003d 0, B  0 - linija sutampa su Jaučio ašis

Tiesios linijos lygtis gali būti pateikta įvairiomis formomis, priklausomai nuo bet kokių pradinių sąlygų.

Taško ir normaliojo vektoriaus tiesės lygtis.

Apibrėžimas. Dekarto stačiakampėje koordinačių sistemoje vektorius su komponentais (A, B) yra statmenas tiesei, kurią suteikia lygtis Ax + By + C = 0.

Pavyzdys. Raskite tiesės, einančios per tašką A (1, 2), statmeną vektoriui, lygtį (3, -1).

Sudarykime ties A \u003d 3 ir B \u003d -1 tiesės lygtį: 3x - y + C \u003d 0. Norėdami rasti koeficientą C, gautoje išraiškoje pakeičiame duoto taško A koordinates.

Gauname: 3 - 2 + C \u003d 0, todėl C \u003d -1.

Iš viso: norima lygtis: 3x - y - 1 \u003d 0.

Tiesės, einančios per du taškus, lygtis.

Tegu erdvėje pateikti du taškai M 1 (x 1, y 1, z 1) ir M 2 (x 2, y 2, z 2), tada tiesės, einančios per šiuos taškus, lygtis:

Jei kuris nors iš vardiklių yra lygus nuliui, atitinkamas skaitiklis turi būti lygus nuliui.

Plokštumoje aukščiau parašyta tiesės lygtis yra supaprastinta:

jei x 1  x 2 ir x \u003d x 1, jei x 1 \u003d x 2.

Frakcija
=k vadinamas nuolydžio koeficientas tiesiai.

Pavyzdys. Raskite tiesės, einančios per taškus A(1, 2) ir B(3, 4), lygtį.

Taikydami aukščiau pateiktą formulę, gauname:

Tiesės lygtis su tašku ir nuolydžiu.

Jei bendroji tiesės Ax + Vy + C = 0 lygtis veda į formą:

ir paskirti
, tada gauta lygtis vadinama tiesės su nuolydžiu lygtisk.

Taško tiesės ir krypties vektoriaus lygtis.

Analogiškai su tašku, atsižvelgiant į tiesės per normalųjį vektorių lygtį, galite įvesti tiesės priskyrimą per tašką ir nukreipiamąjį tiesės vektorių.

Apibrėžimas. Kiekvienas nulinis vektorius ( 1 ,  2), kurio komponentai tenkina sąlygą A 1 + B 2 = 0, vadinamas tiesės nukreipiamuoju vektoriumi.

Ah + Wu + C = 0.

Pavyzdys. Raskite tiesės su krypties vektoriumi lygtį (1, -1) ir einantis per tašką A(1, 2).

Ieškosime norimos tiesės lygties formoje: Ax + By + C = 0. Pagal apibrėžimą koeficientai turi atitikti sąlygas:

1A + (-1)B = 0, t.y. A = B.

Tada tiesės lygtis yra tokia: Ax + Ay + C = 0 arba x + y + C/A = 0.

esant x = 1, y = 2 gauname С/A = -3, t.y. norima lygtis:

Tiesios linijos atkarpose lygtis.

Jei bendrojoje tiesės lygtyje Ah + Wu + C = 0 C 0, tai dalijant iš –C gauname:
arba

, kur

Koeficientų geometrinė reikšmė yra ta, kad koeficientas a yra tiesės susikirtimo su x ašimi taško koordinatė ir b- tiesės susikirtimo su Oy ašimi taško koordinatė.

Pavyzdys. Duota bendroji tiesės lygtis x - y + 1 = 0. Raskite šios tiesės lygtį atkarpose.

C \u003d 1,
, a = -1, b = 1.

Normali tiesės lygtis.

Jei abi lygties pusės Ax + Wy + C = 0 padalytos iš skaičiaus
, kuris vadinamas normalizuojantis veiksnys, tada gauname

xcos + ysin - p = 0 -

normalioji tiesės lygtis.

Normalizuojančio koeficiento ženklas  turi būti parinktas taip, kad С< 0.

p yra statmens, nuleistos nuo pradžios iki tiesės, ilgis, o  yra šio statmens sudarytas kampas su teigiama Ox ašies kryptimi.

Pavyzdys. Duota bendroji tiesės lygtis 12x - 5y - 65 = 0. Šiai eilutei reikia parašyti įvairių tipų lygtis.

šios tiesios linijos atkarpomis lygtis:

šios tiesės lygtis su nuolydžiu: (padalinkite iš 5)

normalioji tiesės lygtis:

; cos = 12/13; sin = -5/13; p=5.

Reikėtų pažymėti, kad ne kiekviena tiesė gali būti pavaizduota lygtimi atkarpose, pavyzdžiui, tiesės, lygiagrečios ašims arba einančios per pradžią.

Pavyzdys. Tiesi linija nupjauna lygias teigiamas atkarpas koordinačių ašyse. Parašykite tiesės lygtį, jei iš šių atkarpų sudaryto trikampio plotas yra 8 cm 2.

Tiesios linijos lygtis turi tokią formą:
, a = b = 1; ab/2 = 8; a = 4; -4.

a = -4 neatitinka problemos sąlygos.

Iš viso:
arba x + y - 4 = 0.

Pavyzdys. Parašykite tiesės, einančios per tašką A (-2, -3) ir pradžios lygtį.

Tiesios linijos lygtis turi tokią formą:
, kur x 1 \u003d y 1 \u003d 0; x 2 \u003d -2; y 2 \u003d -3.

Kampas tarp linijų plokštumoje.

Apibrėžimas. Jei dvi tiesės pateiktos y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , smailusis kampas tarp šių linijų bus apibrėžtas kaip

Dvi tiesės lygiagrečios, jei k 1 = k 2 .

Dvi tiesės yra statmenos, jei k 1 = -1/k 2 .

Teorema. Tiesios linijos Ax + Vy + C = 0 ir A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 yra lygiagrečios, kai koeficientai A yra proporcingi 1 =  A, B 1 =  B. Jei taip pat C 1 =  C, tada linijos sutampa.

Dviejų tiesių susikirtimo taško koordinatės randamos kaip šių tiesių lygčių sistemos sprendimas.

Tiesės, einančios per nurodytą tašką, lygtis

statmenai šiai linijai.

Apibrėžimas. Tiesė, einanti per tašką M 1 (x 1, y 1) ir statmena tiesei y \u003d kx + b, pavaizduota lygtimi:

Atstumas nuo taško iki linijos.

Teorema. Jei taškas M(x 0 , y 0 ), tada atstumas iki tiesės Ax + Vy + C = 0 apibrėžiamas kaip

Įrodymas. Tegul taškas M 1 (x 1, y 1) yra statmens, nuleistos iš taško M į duotąją tiesę, pagrindas. Tada atstumas tarp taškų M ir M 1:

Koordinates x 1 ir y 1 galima rasti kaip lygčių sistemos sprendimą:

Antroji sistemos lygtis yra tiesės, einančios per tam tikrą tašką M 0, statmeną tam tikrai tiesei, lygtis.

Jei paversime pirmąją sistemos lygtį į formą:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + Iš 0 + C = 0,

tada išspręsdami gauname:

Pakeitę šias išraiškas į (1) lygtį, randame:

Teorema įrodyta.

Pavyzdys. Nustatykite kampą tarp tiesių: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 \u003d -3; k 2 = 2tg =
;  = /4.

Pavyzdys. Parodykite, kad tiesės 3x - 5y + 7 = 0 ir 10x + 6y - 3 = 0 yra statmenos.

Randame: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 k 2 \u003d -1, todėl linijos yra statmenos.

Pavyzdys. Pateikiamos trikampio A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1) viršūnės. Raskite aukščio lygtį, nubrėžtą iš viršūnės C.

Randame kraštinės AB lygtį:
; 4x = 6y - 6;

2x - 3m + 3 = 0;

Norima aukščio lygtis yra tokia: Ax + By + C = 0 arba y = kx + b.

k = . Tada y =
. Nes aukštis eina per tašką C, tada jo koordinatės tenkina šią lygtį:
iš kur b = 17. Iš viso:
.

Atsakymas: 3x + 2m - 34 = 0.

Analitinė geometrija erdvėje.

Tiesių lygtis erdvėje.

Erdvės tiesės lygtis pagal tašką ir

krypties vektorius.

Paimkite savavališką liniją ir vektorių (m, n, p) lygiagreti duotai tiesei. Vektorius paskambino kreipiamasis vektorius tiesiai.

Paimkime du savavališkus taškus M 0 (x 0 , y 0 , z 0) ir M(x, y, z) tiesėje.

Šių taškų spindulio vektorius pažymėkime kaip ir , tai aišku - =
.

Nes vektoriai
ir yra kolinearūs, tada ryšys yra teisingas
= t, kur t yra koks nors parametras.

Iš viso galime rašyti: = + t.

Nes šią lygtį tenkina bet kurio tiesės taško koordinatės, tada gauta lygtis yra parametrinė tiesės lygtis.

Ši vektorinė lygtis gali būti pavaizduota koordinačių forma:

Transformavus šią sistemą ir sulyginus parametro t reikšmes, gauname kanonines tiesės erdvėje lygtis:

Apibrėžimas. Krypties kosinusai tiesioginiai yra vektoriaus krypties kosinusai , kurį galima apskaičiuoti pagal formules:

;

.

Iš čia gauname: m: n: p = cos : cos : cos.

Vadinami skaičiai m, n, p nuolydžio veiksniai tiesiai. Nes yra nulinis vektorius, m, n ir p vienu metu negali būti nulis, bet vienas ar du iš šių skaičių gali būti lygūs nuliui. Šiuo atveju tiesės lygtyje atitinkami skaitikliai turi būti prilyginti nuliui.

Praeinančios erdvės tiesės lygtis

per du taškus.

Jei du savavališki taškai M 1 (x 1, y 1, z 1) ir M 2 (x 2, y 2, z 2) yra pažymėti tiesioje erdvėje, tada šių taškų koordinatės turi atitikti lygtį aukščiau gauta tiesi linija:

Be to, taške M 1 galime parašyti:

Išspręsdami šias lygtis kartu, gauname:

Tai tiesės, einančios per du erdvės taškus, lygtis.

Bendrosios tiesės erdvėje lygtys.

Tiesės lygtis gali būti laikoma dviejų plokštumų susikirtimo linijos lygtimi.

Kaip aptarta aukščiau, vektorinės formos plokštumą galima pateikti pagal lygtį:

+ D = 0, kur

- lėktuvas normalus; - savavališko plokštumos taško spindulys-vektorius.