Paprasčiausių trigonometrinių lygčių sprendimo formulės. Trigonometrinės lygtys. Išsamus vadovas (2019 m.)

Trigonometrinių lygčių sprendimo samprata.

• Norėdami išspręsti trigonometrinę lygtį, konvertuokite ją į vieną ar daugiau pagrindinių trigonometrinių lygčių. Trigonometrinės lygties sprendimas galiausiai yra keturių pagrindinių trigonometrinių lygčių sprendimas.

Pagrindinių trigonometrinių lygčių sprendimas.

• Yra 4 pagrindinių trigonometrinių lygčių tipai:
• sin x = a; cos x = a
• įdegis x = a; ctg x = a
• Sprendžiant pagrindines trigonometrines lygtis, reikia pažvelgti į skirtingas x padėtis vieneto apskritime, taip pat naudoti konvertavimo lentelę (arba skaičiuotuvą).
• 1 pavyzdys. sin x = 0.866. Naudodami konvertavimo lentelę (arba skaičiuotuvą) gausite atsakymą: x = π/3. Vieneto apskritimas pateikia kitą atsakymą: 2π/3. Atminkite: visos trigonometrinės funkcijos yra periodinės, tai yra, jų reikšmės kartojasi. Pavyzdžiui, sin x ir cos x periodiškumas yra 2πn, o tg x ir ctg x – πn. Taigi atsakymas parašytas taip:
• x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
• 2 pavyzdys cos x = -1/2. Naudodami konvertavimo lentelę (arba skaičiuotuvą) gausite atsakymą: x = 2π/3. Vieneto apskritimas pateikia kitą atsakymą: -2π/3.
• x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
• 3 pavyzdys. tg (x - π/4) = 0.
• Atsakymas: x \u003d π / 4 + πn.
• 4 pavyzdys. ctg 2x = 1,732.
• Atsakymas: x \u003d π / 12 + πn.

Transformacijos, naudojamos sprendžiant trigonometrines lygtis.

• Norėdami konvertuoti trigonometrines lygtis, naudokite algebrinės transformacijos(faktorizavimas, vienarūšių terminų redukcija ir kt.) ir trigonometrinės tapatybės.
• 5 pavyzdys. Naudojant trigonometrines tapatybes, lygtis sin x + sin 2x + sin 3x = 0 paverčiama lygtimi 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. Taigi, šios pagrindinės trigonometrinės lygtys reikia išspręsti: cos x = 0; sin(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.

• Kampų paieška pagal žinomos vertės funkcijas.

  • Prieš išmokdami išspręsti trigonometrines lygtis, turite išmokti rasti kampus pagal žinomų funkcijų reikšmes. Tai galima padaryti naudojant konvertavimo lentelę arba skaičiuotuvą.
  • Pavyzdys: cos x = 0,732. Skaičiuoklė pateiks atsakymą x = 42,95 laipsniai. Vienetinis apskritimas duos papildomų kampų, kurių kosinusas taip pat lygus 0,732.

• Atidėkite tirpalą ant vieneto apskritimo.

  • Galite pateikti trigonometrinės lygties sprendinius vienetiniame apskritime. Vienetinio apskritimo trigonometrinės lygties sprendiniai yra taisyklingo daugiakampio viršūnės.
  • Pavyzdys: Vienetinio apskritimo sprendiniai x = π/3 + πn/2 yra kvadrato viršūnės.
  • Pavyzdys: vienetinio apskritimo sprendiniai x = π/4 + πn/3 yra taisyklingo šešiakampio viršūnės.

• Trigonometrinių lygčių sprendimo būdai.

  • Jei duotoje trigonometrinėje lygtyje yra tik viena trigonometrinė funkcija, išspręskite šią lygtį kaip pagrindinę trigonometrinę lygtį. Jeigu duota lygtis apima dvi ar daugiau trigonometrinių funkcijų, tada yra 2 tokios lygties sprendimo būdai (priklausomai nuo jos transformacijos galimybės).
    • 1 būdas
  • Paverskite šią lygtį į tokios formos lygtį: f(x)*g(x)*h(x) = 0, kur f(x), g(x), h(x) yra pagrindinės trigonometrinės lygtys.
  • 6 pavyzdys. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
  • Sprendimas. Naudodami dvigubo kampo formulę sin 2x = 2*sin x*cos x, pakeiskite sin 2x.
  • 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Dabar išspręskite dvi pagrindines trigonometrines lygtis: cos x = 0 ir (sin x + 1) = 0.
  • 7 pavyzdys cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
  • Sprendimas: naudodami trigonometrines tapatybes, paverskite šią lygtį tokios formos lygtimi: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Dabar išspręskite dvi pagrindines trigonometrines lygtis: cos 2x = 0 ir (2cos x + 1) = 0.
  • 8 pavyzdys. sin x - sin 3x \u003d cos 2x. (0< x < 2π)
  • Sprendimas: Naudodami trigonometrines tapatybes, paverskite šią lygtį tokios formos lygtimi: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Dabar išspręskite dvi pagrindines trigonometrines lygtis: cos 2x = 0 ir (2sin x + 1) = 0.
    • 2 būdas
  • Konvertuokite pateiktą trigonometrinę lygtį į lygtį, kurioje yra tik viena trigonometrinė funkcija. Tada šią trigonometrinę funkciją pakeiskite kokia nors nežinoma, pavyzdžiui, t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x/2) = t ir tt).
  • 9 pavyzdys. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
  • Sprendimas. Šioje lygtyje (cos^2 x) pakeiskite (1 - sin^2 x) (pagal tapatybę). Transformuota lygtis atrodo taip:
  • 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Sin x pakeiskite t. Dabar lygtis atrodo taip: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Tai kvadratinė lygtis su dviem šaknimis: t1 = -1 ir t2 = 9/5. Antroji šaknis t2 neatitinka funkcijos diapazono (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • 10 pavyzdys. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
  • Sprendimas. Pakeiskite tg x į t. Perrašykite pradinę lygtį taip: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Dabar raskite t ir raskite x, jei t = tg x.

Jūsų privatumas mums svarbus. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Perskaitykite mūsų privatumo politiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.

Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas

Asmeninė informacija – tai duomenys, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba su juo susisiekti.

Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.

Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.

Kokią asmeninę informaciją renkame:

• Kai pateikiate paraišką svetainėje, galime rinkti įvairią informaciją, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, adresą El. paštas ir tt

Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:

• Mūsų renkama asmeninė informacija leidžia susisiekti su jumis ir informuoti apie unikalius pasiūlymus, akcijas ir kitus renginius bei artėjančius renginius.
• Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją, norėdami išsiųsti jums svarbius pranešimus ir pranešimus.
• Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, tokiais kaip auditas, duomenų analizė ir įvairūs tyrimai pagerinti mūsų teikiamas paslaugas ir pateikti jums rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
• Jei dalyvaujate loterijoje, konkurse ar panašioje paskatoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.

Atskleidimas trečiosioms šalims

Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.

Išimtys:

• Jei tai būtina – pagal įstatymus, teismine tvarka, teisminiuose procesuose ir (arba) remiantis viešais prašymais ar valstybės institucijų prašymais Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleisti savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas dėl saugumo, teisėsaugos ar kitų viešojo intereso priežasčių.
• Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.

Asmeninės informacijos apsauga

Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.

Jūsų privatumo palaikymas įmonės lygiu

Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugos praktiką ir griežtai vykdome privatumo praktiką.

Reikia žinoti pagrindines trigonometrijos formules – sinuso ir kosinuso kvadratų sumą, liestinės raišką per sinusą ir kosinusą ir kt. Tiems, kurie jų pamiršo ar nepažįsta, rekomenduojame perskaityti straipsnį "".
Taigi pagrindinis trigonometrines formulesžinome, kad laikas jas pritaikyti praktiškai. Trigonometrinių lygčių sprendimas su tinkamu požiūriu tai gana įdomi veikla, kaip, pavyzdžiui, išspręsti Rubiko kubą.

Remiantis pačiu pavadinimu, aišku, kad trigonometrinė lygtis yra lygtis, kurioje nežinomasis yra po trigonometrinės funkcijos ženklu.
Yra vadinamosios paprastos trigonometrinės lygtys. Štai kaip jie atrodo: sinх = a, cos x = a, tg x = a. Apsvarstykite, kaip išspręsti tokias trigonometrines lygtis, aiškumo dėlei naudosime jau pažįstamą trigonometrinį apskritimą.

sinx = a

cos x = a

įdegis x = a

vaikiška lovelė x = a

Bet kuri trigonometrinė lygtis sprendžiama dviem etapais: pateikiame lygtį į paprasčiausią formą ir išsprendžiame kaip paprasčiausią trigonometrinę lygtį.
Yra 7 pagrindiniai metodai, kuriais sprendžiamos trigonometrinės lygtys.

1. Kintamasis pakeitimas ir pakeitimo metodas

Išspręskite lygtį 2cos 2 (x + /6) - 3sin( /3 - x) +1 = 0

Naudodami redukcijos formules gauname:

2cos 2 (x + /6) – 3cos (x + /6) +1 = 0

Paprastumo dėlei pakeiskime cos(x + /6) y ir gaukime įprastą kvadratinę lygtį:

2 m. 2 – 3 m. + 1 + 0

Šaknys, kurių y 1 = 1, y 2 = 1/2

Dabar eikime atgal

Rastas y reikšmes pakeičiame ir gauname du atsakymus:

2. Trigonometrinių lygčių sprendimas faktorizavimo būdu

Kaip išspręsti lygtį sin x + cos x = 1?

Viską perkelkime į kairę, kad 0 liktų dešinėje:

sin x + cos x - 1 = 0

Mes naudojame aukščiau pateiktas tapatybes, kad supaprastintume lygtį:

sin x – 2 sin 2 (x/2) = 0

Atlikime faktorizaciją:

2sin (x/2) * cos (x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

Gauname dvi lygtis

3. Redukcija į homogeninę lygtį

Lygtis yra vienalytė sinuso ir kosinuso atžvilgiu, jei visi jos nariai sinuso ir kosinuso atžvilgiu yra vienodo to paties kampo laipsnio. Norėdami išspręsti homogeninę lygtį, atlikite šiuos veiksmus:

a) perkelti visus savo narius į kairę pusę;

b) visus įprastus veiksnius išrašykite skliausteliuose;

c) visus veiksnius ir skliaustus prilyginti 0;

d) gauta skliausteliuose vienalytė lygtis mažesniu laipsniu jis savo ruožtu yra padalintas į sinusą arba kosinusą aukštesniu laipsniu;

e) išspręskite gautą tg lygtį.

Išspręskite lygtį 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

Naudokime formulę sin 2 x + cos 2 x = 1 ir atsikratykime atvirų dviejų dešinėje:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2 cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

Padalinkite iš cosx:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Tg x pakeičiame y ir gauname kvadratinę lygtį:

y 2 + 4y +3 = 0, kurių šaknys yra y 1 = 1, y 2 = 3

Iš čia randame du pradinės lygties sprendinius:

x 2 \u003d arctg 3 + k

4. Lygčių sprendimas per perėjimą prie pusės kampo

Išspręskite lygtį 3sin x - 5cos x = 7

Pereikime prie x/2:

6sin (x/2) * cos (x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Viską perkėlus į kairę:

2sin 2 (x/2) - 6sin (x/2) * cos (x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

Padalinkite iš cos(x/2):

tg 2 (x/2) – 3tg (x/2) + 6 = 0

5. Pagalbinio kampo įvedimas

Apsvarstymui paimkime formos lygtį: a sin x + b cos x \u003d c,

kur a, b, c yra kai kurie savavališki koeficientai, o x yra nežinomasis.

Padalinkite abi lygties puses iš:



Dabar lygties koeficientai pagal trigonometrines formules turi sin ir cos savybes, būtent: jų modulis ne didesnis kaip 1, o kvadratų suma = 1. Pažymime juos atitinkamai kaip cos ir sin, kur yra vadinamasis pagalbinis kampas. Tada lygtis bus tokia:

cos * sin x + sin * cos x \u003d C

arba sin(x + ) = C

Šios paprastos trigonometrinės lygties sprendimas yra

x \u003d (-1) k * arcsin C - + k, kur



Reikėtų pažymėti, kad pavadinimai cos ir sin yra keičiami.

Išspręskite lygtį sin 3x - cos 3x = 1

Šioje lygtyje koeficientai yra:

a \u003d, b \u003d -1, todėl abi dalis padaliname iš \u003d 2

Sprendžiant daugelį matematikos uždaviniai, ypač tų, kurie įvyksta iki 10 klasės, aiškiai apibrėžta atliekamų veiksmų, kurie leis pasiekti tikslą, tvarka. Tokios užduotys apima, pavyzdžiui, linijinius ir kvadratines lygtis, tiesinės ir kvadratinės nelygybės, trupmeninės lygtys ir lygtys, redukuojančios į kvadratines. Kiekvieno iš paminėtų uždavinių sėkmingo sprendimo principas yra toks: reikia nustatyti, kokio tipo uždavinys yra sprendžiamas, prisiminti reikiamą veiksmų seką, kuri leis pasiekti norimą rezultatą, t.y. atsakykite ir atlikite šiuos veiksmus.

Akivaizdu, kad sėkmė ar nesėkmė sprendžiant konkrečią problemą daugiausia priklauso nuo to, kaip teisingai nustatytas sprendžiamos lygties tipas, kaip teisingai atkurta visų jos sprendimo etapų seka. Žinoma, būtina turėti įgūdžių atlikti identiškos transformacijos ir kompiuterija.

Kitokia situacija susidaro su trigonometrines lygtis. Nesunku nustatyti, kad lygtis yra trigonometrinė. Sunkumai iškyla nustatant veiksmų seką, kuri leistų gauti teisingą atsakymą.

Autorius išvaizda lygtis kartais sunku nustatyti jos tipą. O nežinant lygties tipo iš kelių dešimčių trigonometrinių formulių išsirinkti tinkamą beveik neįmanoma.

Norėdami išspręsti trigonometrinę lygtį, turime pabandyti:

1. visas į lygtį įtrauktas funkcijas nukreipkite į „tais pačiais kampais“;
2. perkelkite lygtį į „tas pačias funkcijas“;
3. faktorizuokite kairę lygties pusę ir kt.

Apsvarstykite pagrindiniai trigonometrinių lygčių sprendimo metodai.

I. Redukcija į paprasčiausias trigonometrines lygtis

Sprendimo schema

1 žingsnis. Išreikškite trigonometrinę funkciją žinomais komponentais.

2 žingsnis Raskite funkcijos argumentą naudodami formules:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

įdegis x = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.

3 veiksmas Raskite nežinomą kintamąjį.

Pavyzdys.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Sprendimas.

1) cos(3x - π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Atsakymas: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Kintamasis pakeitimas

Sprendimo schema

1 žingsnis. Išveskite lygtį į algebrinę formą vienos iš trigonometrinių funkcijų atžvilgiu.

2 žingsnis Gautą funkciją pažymėkite kintamuoju t (jei reikia, įveskite t apribojimus).

3 veiksmas Užrašykite ir išspręskite gautą algebrinę lygtį.

4 veiksmas Atlikite atvirkštinį pakeitimą.

5 veiksmas Išspręskite paprasčiausią trigonometrinę lygtį.

Pavyzdys.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Sprendimas.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) Tegul sin (x/2) = t, kur |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 arba e = -3/2 netenkina sąlygos |t| ≤ 1.

4) nuodėmė (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Atsakymas: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Lygčių eilės mažinimo metodas

Sprendimo schema

1 žingsnis. Pakeiskite šią lygtį tiesine, naudodami galios mažinimo formules:

nuodėmė 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

įdegis 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

2 žingsnis Išspręskite gautą lygtį naudodami I ir II metodus.

Pavyzdys.

cos2x + cos2x = 5/4.

Sprendimas.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Atsakymas: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Homogeninės lygtys

Sprendimo schema

1 žingsnis. Pateikite šią lygtį į formą

a) a sin x + b cos x = 0 (homogeninė pirmojo laipsnio lygtis)

arba į vaizdą

b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (homogeninė antrojo laipsnio lygtis).

2 žingsnis Padalinkite abi lygties puses iš

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

ir gaukite tg x lygtį:

a) a tg x + b = 0;

b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

3 veiksmas Išspręskite lygtį žinomais metodais.

Pavyzdys.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

Sprendimas.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 (sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3 tg x - 4 = 0.

3) Tada tegul tg x = t

t 2 + 3 t - 4 = 0;

t = 1 arba t = -4, taigi

tg x = 1 arba tg x = -4.

Iš pirmosios lygties x = π/4 + πn, n Є Z; iš antrosios lygties x = -arctg 4 + πk, kЄZ.

Atsakymas: x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Lygties transformavimo naudojant trigonometrines formules metodas

Sprendimo schema

1 žingsnis. Naudodami visas trigonometrines formules, pateikite šią lygtį į lygtį, kurią galima išspręsti I, II, III, IV metodais.

2 žingsnis Išspręskite gautą lygtį žinomais metodais.

Pavyzdys.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

Sprendimas.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 arba 2cos x + 1 = 0;

Iš pirmosios lygties 2x = π/2 + πn, n Є Z; iš antrosios lygties cos x = -1/2.

Turime x = π/4 + πn/2, n Є Z; iš antrosios lygties x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Dėl to x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Atsakymas: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Gebėjimas ir įgūdžiai spręsti trigonometrines lygtis yra labai svarbu, kad jų kūrimas reikalauja didelių pastangų tiek iš mokinio, tiek iš mokytojo pusės.

Su trigonometrinių lygčių sprendimu siejama daug stereometrijos, fizikos ir kt. uždavinių.. Tokių uždavinių sprendimo procese tarsi yra daug žinių ir įgūdžių, kurie įgyjami studijuojant trigonometrijos elementus.

Trigonometrinės lygtys užima svarbią vietą matematikos mokymo ir apskritai asmenybės ugdymo procese.

Ar turite kokių nors klausimų? Nežinote, kaip išspręsti trigonometrines lygtis?
Norėdami gauti pagalbą iš dėstytojo -.
Pirma pamoka nemokama!

blog.site, visiškai arba iš dalies nukopijavus medžiagą, būtina nuoroda į šaltinį.

Sprendžiant daugelį matematikos uždaviniai, ypač tų, kurie įvyksta iki 10 klasės, aiškiai apibrėžta atliekamų veiksmų, kurie leis pasiekti tikslą, tvarka. Tokios problemos apima, pavyzdžiui, tiesines ir kvadratines lygtis, tiesines ir kvadratines nelygybes, trupmenines lygtis ir lygtis, redukuojančias į kvadratines. Kiekvieno iš paminėtų uždavinių sėkmingo sprendimo principas yra toks: reikia nustatyti, kokio tipo uždavinys yra sprendžiamas, prisiminti reikiamą veiksmų seką, kuri leis pasiekti norimą rezultatą, t.y. atsakykite ir atlikite šiuos veiksmus.

Akivaizdu, kad sėkmė ar nesėkmė sprendžiant konkrečią problemą daugiausia priklauso nuo to, kaip teisingai nustatytas sprendžiamos lygties tipas, kaip teisingai atkurta visų jos sprendimo etapų seka. Žinoma, tokiu atveju būtina turėti įgūdžių atlikti identiškas transformacijas ir skaičiavimus.

Kitokia situacija susidaro su trigonometrines lygtis. Nesunku nustatyti, kad lygtis yra trigonometrinė. Sunkumai iškyla nustatant veiksmų seką, kuri leistų gauti teisingą atsakymą.

Kartais sunku nustatyti jo tipą pagal lygtį. O nežinant lygties tipo iš kelių dešimčių trigonometrinių formulių išsirinkti tinkamą beveik neįmanoma.

Norėdami išspręsti trigonometrinę lygtį, turime pabandyti:

1. visas į lygtį įtrauktas funkcijas nukreipkite į „tais pačiais kampais“;
2. perkelkite lygtį į „tas pačias funkcijas“;
3. faktorizuokite kairę lygties pusę ir kt.

Apsvarstykite pagrindiniai trigonometrinių lygčių sprendimo metodai.

I. Redukcija į paprasčiausias trigonometrines lygtis

Sprendimo schema

1 žingsnis. Išreikškite trigonometrinę funkciją žinomais komponentais.

2 žingsnis Raskite funkcijos argumentą naudodami formules:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

įdegis x = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.

3 veiksmas Raskite nežinomą kintamąjį.

Pavyzdys.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Sprendimas.

1) cos(3x - π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Atsakymas: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Kintamasis pakeitimas

Sprendimo schema

1 žingsnis. Išveskite lygtį į algebrinę formą vienos iš trigonometrinių funkcijų atžvilgiu.

2 žingsnis Gautą funkciją pažymėkite kintamuoju t (jei reikia, įveskite t apribojimus).

3 veiksmas Užrašykite ir išspręskite gautą algebrinę lygtį.

4 veiksmas Atlikite atvirkštinį pakeitimą.

5 veiksmas Išspręskite paprasčiausią trigonometrinę lygtį.

Pavyzdys.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Sprendimas.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) Tegul sin (x/2) = t, kur |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 arba e = -3/2 netenkina sąlygos |t| ≤ 1.

4) nuodėmė (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Atsakymas: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Lygčių eilės mažinimo metodas

Sprendimo schema

1 žingsnis. Pakeiskite šią lygtį tiesine, naudodami galios mažinimo formules:

nuodėmė 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

įdegis 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

2 žingsnis Išspręskite gautą lygtį naudodami I ir II metodus.

Pavyzdys.

cos2x + cos2x = 5/4.

Sprendimas.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Atsakymas: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Homogeninės lygtys

Sprendimo schema

1 žingsnis. Pateikite šią lygtį į formą

a) a sin x + b cos x = 0 (homogeninė pirmojo laipsnio lygtis)

arba į vaizdą

b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (homogeninė antrojo laipsnio lygtis).

2 žingsnis Padalinkite abi lygties puses iš

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

ir gaukite tg x lygtį:

a) a tg x + b = 0;

b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

3 veiksmas Išspręskite lygtį žinomais metodais.

Pavyzdys.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

Sprendimas.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 (sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3 tg x - 4 = 0.

3) Tada tegul tg x = t

t 2 + 3 t - 4 = 0;

t = 1 arba t = -4, taigi

tg x = 1 arba tg x = -4.

Iš pirmosios lygties x = π/4 + πn, n Є Z; iš antrosios lygties x = -arctg 4 + πk, kЄZ.

Atsakymas: x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Lygties transformavimo naudojant trigonometrines formules metodas

Sprendimo schema

1 žingsnis. Naudodami visas trigonometrines formules, pateikite šią lygtį į lygtį, kurią galima išspręsti I, II, III, IV metodais.

2 žingsnis Išspręskite gautą lygtį žinomais metodais.

Pavyzdys.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

Sprendimas.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 arba 2cos x + 1 = 0;

Iš pirmosios lygties 2x = π/2 + πn, n Є Z; iš antrosios lygties cos x = -1/2.

Turime x = π/4 + πn/2, n Є Z; iš antrosios lygties x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Dėl to x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Atsakymas: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Gebėjimas ir įgūdžiai spręsti trigonometrines lygtis yra labai svarbu, kad jų kūrimas reikalauja didelių pastangų tiek iš mokinio, tiek iš mokytojo pusės.

Su trigonometrinių lygčių sprendimu siejama daug stereometrijos, fizikos ir kt. uždavinių.. Tokių uždavinių sprendimo procese tarsi yra daug žinių ir įgūdžių, kurie įgyjami studijuojant trigonometrijos elementus.

Trigonometrinės lygtys užima svarbią vietą matematikos mokymo ir apskritai asmenybės ugdymo procese.

Ar turite kokių nors klausimų? Nežinote, kaip išspręsti trigonometrines lygtis?
Norėdami gauti korepetitoriaus pagalbą – registruokitės.
Pirma pamoka nemokama!

svetainę, visiškai ar iš dalies nukopijavus medžiagą, būtina nuoroda į šaltinį.