Tiesinių lygčių sistemų sprendimas. Nesuderinamos sistemos. Sistemos su bendru sprendimu. Privatūs sprendimai. Kaip rasti tiesinių lygčių sistemos bendrąjį ir specifinį sprendinį
Pirmiausia panagrinėkime atvejį, kai lygčių skaičius lygus kintamųjų skaičiui, t.y. m = n. Tada sistemos matrica yra kvadratinė, o jos determinantas vadinamas sistemos determinantu.
Atvirkštinės matricos metodas
Apsvarstykite bendra forma lygčių sistemą AX = B su neišsigimusia kvadratine matrica A. Šiuo atveju yra atvirkštinė matrica A -1. Padauginkime abi puses iš A -1 kairėje. Gauname A -1 AX = A -1 V. Taigi EX = A -1 B ir
Paskutinė lygybė yra matricinė formulė, skirta rasti tokių lygčių sistemų sprendimus. Šios formulės naudojimas vadinamas atvirkštinės matricos metodu
Pavyzdžiui, išspręskime šią sistemą šiuo metodu:
;
Sistemos sprendimo pabaigoje galite patikrinti, pakeisdami rastas reikšmes į sistemos lygtis. Tai darydami jie turi virsti tikromis lygybėmis.
Apsvarstytame pavyzdyje patikrinkime:
Tiesinių lygčių sistemų su kvadratine matrica sprendimo Kramerio formulėmis metodas
Tegul n = 2:
Jei abi pirmosios lygties pusės padauginamos iš 22, o abi antrosios pusės – iš (-a 12), o gautos lygtys sudedamos, tada iš sistemos neįtraukiame kintamąjį x 2. Panašiai galite pašalinti kintamąjį x 1 (abi pirmosios lygties puses padauginus iš (-a 21), o abi antrosios lygties puses – iš 11). Dėl to gauname sistemą:
Skliausteliuose esanti išraiška yra sistemos determinantas
Mes pažymime
Tada sistema įgis tokią formą:
Iš gautos sistemos išplaukia, kad jei sistemos determinantas yra 0, tai sistema bus nuosekli ir apibrėžta. Vienintelis jo sprendimas gali būti apskaičiuotas pagal formules:
Jei = 0, o 1 0 ir (arba) 2 0, tada sistemos lygtys bus 0 * x 1 = 2 ir (arba) 0 * x 1 = 2. Tokiu atveju sistema bus nenuosekli.
Tuo atveju, kai = 1 = 2 = 0, sistema bus nuosekli ir neapibrėžta (turės begalinį sprendinių rinkinį), nes ji bus tokia:
Cramerio teorema(praleidžiame įrodymą). Jei lygčių sistemos matricos determinantas nėra lygus nuliui, tada sistema turi unikalų sprendimą, kurį nustato formulės:
,
čia j yra matricos, gautos iš matricos A, pakeitus j-tą stulpelį laisvųjų terminų stulpeliu, determinantas.
Aukščiau pateiktos formulės vadinamos Cramerio formulės.
Pavyzdžiui, mes naudojame šį metodą, norėdami išspręsti sistemą, kuri anksčiau buvo išspręsta atvirkštinės matricos metodu:
Nagrinėjamų metodų trūkumai:
1) didelis darbo krūvis (determinantų skaičiavimas ir atvirkštinės matricos radimas);
2) ribota taikymo sritis (sistemoms su kvadratine matrica).
Realios ekonominės situacijos dažniau modeliuojamos sistemomis, kuriose lygčių ir kintamųjų skaičius yra gana reikšmingas, o lygčių yra daugiau nei kintamųjų.Todėl praktikoje labiau paplitęs toks metodas.
Gauso metodas (nuoseklaus kintamųjų pašalinimo metodas)
Šis metodas naudojamas sprendžiant m tiesinių lygčių su n bendrosios formos kintamųjų sistemą. Jos esmė slypi lygiaverčių transformacijų sistemos pritaikyme išplėstinei matricai, kurios pagalba lygčių sistema transformuojama į formą, kai jos sprendiniai tampa lengvai randami (jei yra).
Tai vaizdas, kuriame viršutinė kairioji sistemos matricos dalis bus pakopinė matrica. Tai pasiekiama naudojant tuos pačius metodus, kurie buvo naudojami pakopinei matricai gauti rangui nustatyti. Tuo pačiu metu išplėstai matricai taikomos elementarios transformacijos, kurios leis gauti lygiavertę lygčių sistemą. Po to išplėstinė matrica bus tokia:
Tokios matricos gavimas vadinamas tiesioginis kursas Gauso metodas.
Kintamųjų reikšmių radimas iš atitinkamos lygčių sistemos vadinamas atvirkščiai Gauso metodas. Pasvarstykime.
Atkreipkite dėmesį, kad paskutinės (m - r) lygtys yra tokios formos:
Jei bent vienas iš skaičių 
nėra lygus nuliui, tada atitinkama lygybė bus klaidinga ir visa sistema bus nenuosekli.
Todėl bet kokiai sąnarių sistemai 
... Tokiu atveju paskutinės (m - r) lygtys bet kurioms kintamųjų reikšmėms bus tapatybės 0 = 0, ir į jas galima nepaisyti sprendžiant sistemą (tiesiog išmeskite atitinkamas eilutes).
Po to sistema įgis tokią formą:
Pirmiausia apsvarstykite atvejį, kai r = n. Tada sistema įgis tokią formą:
Iš paskutinės sistemos lygties x r galima rasti vienareikšmiškai.
Žinant x r, iš jo galima vienareikšmiškai išreikšti x r -1. Tada iš ankstesnės lygties, žinodami x r ir x r -1, galime išreikšti x r -2 ir kt. doksas 1.
Taigi šiuo atveju sistema bus bendra ir apibrėžta.
Dabar panagrinėkime atvejį, kai r
Iš šios lygties pagrindinis kintamasis x r gali būti išreikštas nebaziniais:
Priešpaskutinė lygtis bus tokia:
Pakeitus gautą išraišką vietoj x r, pagrindinį kintamąjį x r -1 bus galima išreikšti nepagrindiniais. ir kt. į kintamąjį x 1. Norėdami rasti sistemos sprendimą, galite prilyginti nepagrindinius kintamuosius su savavališkomis reikšmėmis ir tada apskaičiuoti pagrindinius kintamuosius naudodami gautas formules. Taigi šiuo atveju sistema bus nuosekli ir neapibrėžta (turės begalinį sprendinių rinkinį).
Pavyzdžiui, išspręskime lygčių sistemą:
Pagrindinių kintamųjų rinkinys bus vadinamas pagrindu sistemos. Taip pat bus vadinamas jų koeficientų stulpelių rinkinys pagrindu(pagrindiniai stulpeliai), arba bazinis minoras sistemos matricos. Bus iškviestas sistemos, kurioje visi nepagrindiniai kintamieji lygūs nuliui, sprendimas pagrindinis sprendimas.
Ankstesniame pavyzdyje pagrindinis sprendimas būtų (4/5; -17/5; 0; 0) (kintamieji x 3 ir x 4 (su 1 ir c 2) yra nustatyti į nulį, o pagrindiniai kintamieji x 1 ir per juos apskaičiuojami x 2) ... Norint pateikti nepagrindinio sprendimo pavyzdį, reikia x 3 ir x 4 (su 1 ir c 2) prilyginti savavališkiems skaičiams, kurie tuo pačiu metu nėra lygūs nuliui, ir per juos apskaičiuoti likusius kintamuosius. Pavyzdžiui, kai c 1 = 1 ir c 2 = 0, gauname nepagrindinį sprendimą - (4/5; -12/5; 1; 0). Pakeitus, nesunku patikrinti, ar abu sprendimai yra teisingi.
Akivaizdu, kad neapibrėžtoje sistemoje gali būti be galo daug nepagrindinių sprendimų. Kiek gali būti pagrindinių sprendimų? Kiekviena transformuotos matricos eilutė turi atitikti vieną pagrindinį kintamąjį. Užduotyje yra n kintamųjų, o pagrindinėse eilutėse - r. Todėl visų galimų pagrindinių kintamųjų rinkinių skaičius negali viršyti kombinacijų skaičiaus nuo n iki r 2. Jis gali būti mažesnis nei 
, nes ne visada įmanoma transformuoti sistemą į tokią formą, kad šis konkretus kintamųjų rinkinys būtų pagrindinis.
Kokia tai rūšis? Tai tokia forma, kai iš šių kintamųjų koeficientų stulpelių suformuota matrica bus laiptuota ir tuo pačiu susideda iš r eilučių. Tie. šių kintamųjų koeficientų matricos rangas turi būti lygus r. Jis negali būti didesnis nei r, nes stulpelių skaičius lygus r. Jei jis yra mažesnis nei r, tai rodo tiesinę stulpelių priklausomybę nuo kintamųjų. Tokie stulpeliai negali sudaryti pagrindo.
Panagrinėkime, kokių kitų pagrindinių sprendimų galima rasti aukščiau pateiktame pavyzdyje. Norėdami tai padaryti, apsvarstykite visus galimus keturių kintamųjų, dviejų pagrindinių, derinius. Bus tokių derinių 
, o vienas iš jų (x 1 ir x 2) jau buvo svarstytas.
Paimkime kintamuosius x 1 ir x 3. Raskime jų koeficientų matricos rangą:
Kadangi jis yra lygus dviem, jie gali būti pagrindiniai. Nepagrindinius kintamuosius x 2 ir x 4 prilyginkime nuliui: x 2 = x 4 = 0. Tada iš formulės x 1 = 4/5 - (1/5) * x 4 išeina, kad x 1 = 4 /5, o iš formulės x 2 = -17/5 + x 3 - - (7/5) * x 4 = -17/5 + x 3 išeina, kad x 3 = x 2 +17/5 = 17/ 5. Taigi gauname pagrindinį sprendimą (4/5; 0; 17/5; 0).
Panašiai galite gauti pagrindinius pagrindinių kintamųjų x 1 ir x 4 sprendimus - (9/7; 0; 0; -17/7); x 2 ir x 4 - (0; -9; 0; 4); x 3 ir x 4 – (0; 0; 9; 4).
Kintamieji x 2 ir x 3 šiame pavyzdyje negali būti laikomi pagrindiniais, nes atitinkamos matricos rangas yra lygus vienetui, t.y. mažiau nei du:
.
Galimas ir kitas būdas nustatyti, ar galima sudaryti kai kurių kintamųjų pagrindą, ar ne. Sprendžiant pavyzdį, pakeitus sistemos matricą į laipsnišką formą, ji buvo tokia:
Pasirinkus kintamųjų poras, buvo galima apskaičiuoti atitinkamus šios matricos minorinius. Nesunku patikrinti, ar visoms poroms, išskyrus x 2 ir x 3, jos nėra lygios nuliui, t.y. stulpeliai yra tiesiškai nepriklausomi. Ir tik stulpeliams su kintamaisiais x 2 ir x 3 
, kuris rodo jų linijinį ryšį.
Paimkime kitą pavyzdį. Išspręskime lygčių sistemą
Taigi lygtis, atitinkanti paskutinės matricos trečiąją eilutę, yra prieštaringa - ji lėmė neteisingą lygybę 0 = -1, todėl ši sistema nesuderinama.
Jordano-Gausso metodas 3 reprezentuoja Gauso metodo plėtrą. Jos esmė ta, kad išplėstinė sistemos matrica transformuojama į formą, kai kintamųjų koeficientai sudaro tapatumo matricą iki 4 eilučių ar stulpelių permutacijos (kur r yra sistemos matricos rangas).
Išspręskime sistemą šiuo metodu:
Apsvarstykite išplėstinę sistemos matricą:
Šioje matricoje pasirinksime vienetinį elementą. Pavyzdžiui, koeficientas x 2 trečiajame apribojime yra 5. Užtikrinsime, kad likusiose šio stulpelio eilutėse būtų nuliai, t.y. padarykime stulpelį vieną. Transformacijų procese tai vadinsime stulpelyjeleistinas(vadovas, raktas). Trečiasis apribojimas (trečiasis styga) taip pat bus vadinamas leistinas... Aš pats elementas, kuris stovi sprendžiamosios eilutės ir stulpelio sankirtoje (čia tai vienetas), dar vadinamas leistinas.
Pirmoje eilutėje dabar yra koeficientas (-1). Norėdami gauti nulį, trečią eilutę padauginkite iš (-1) ir atimkite rezultatą iš pirmosios eilutės (t. y. tiesiog pridėkite pirmąją eilutę prie trečios).
Antroje eilutėje yra koeficientas 2. Norėdami gauti nulį, padauginkite trečią eilutę iš 2 ir atimkite rezultatą iš pirmosios eilutės.
Transformacijų rezultatas bus:
Iš šios matricos aiškiai matyti, kad vieną iš pirmųjų dviejų apribojimų galima panaikinti (atitinkamos eilutės yra proporcingos, t. y. šios lygtys seka viena iš kitos). Perbraukime, pavyzdžiui, antrąjį:
Taigi, naujoji sistema turi dvi lygtis. Gaunamas vienas stulpelis (antrasis), vienas antroje eilutėje. Prisiminkime, kad bazinis kintamasis x 2 atitiks antrąją naujosios sistemos lygtį.
Parinkime pirmosios eilutės bazinį kintamąjį. Tai gali būti bet koks kintamasis, išskyrus x 3 (kadangi x 3 pirmame apribojime yra nulinis koeficientas, t. y. kintamųjų x 2 ir x 3 rinkinys čia negali būti pagrindinis). Galite paimti pirmąjį arba ketvirtąjį kintamąjį.
Pasirinkime x 1. Tada skiriamasis elementas bus 5, o abi sprendžiamosios lygties puses turės būti padalintos iš penkių, kad pirmosios eilutės pirmame stulpelyje būtų vienas.
Įsitikinkite, kad likusiose eilutėse (t. y. antroje eilutėje) pirmajame stulpelyje yra nuliai. Kadangi dabar antroje eilutėje yra ne nulis, o 3, iš antrosios eilutės reikia atimti transformuotos pirmosios eilutės elementus, padaugintus iš 3:
Iš gautos matricos galima tiesiogiai išskirti vieną pagrindinį sprendinį, nepagrindinius kintamuosius prilyginus nuliui, o pagrindinius – laisviesiems nariams atitinkamose lygtyse: (0,8; -3,4; 0; 0). Taip pat galite išvesti bendrąsias formules, išreiškiančias pagrindinius kintamuosius per ne pagrindinius: x 1 = 0,8 - 1,2 x 4; x 2 = -3,4 + x 3 + 1,6 x 4. Šios formulės apibūdina visą begalinį sistemos sprendinių rinkinį (prilyginus x 3 ir x 4 savavališkiems skaičiams, galite apskaičiuoti x 1 ir x 2).
Atkreipkite dėmesį, kad transformacijų esmė kiekviename Jordano-Gausso metodo etape buvo tokia:
1) sprendžiamoji eilutė buvo padalinta iš skiriamojo elemento, kad jis būtų vietoje jo,
2) iš visų kitų eilučių buvo atimta transformuota skiriamoji geba, padauginta iš elemento, kuris buvo nurodytoje eilutėje skiriamojoje stulpelyje, kad vietoj šio elemento būtų nulis.
Dar kartą apsvarstykite transformuotą išplėstinę sistemos matricą:
Šis įrašas rodo, kad sistemos A matricos rangas yra lygus r.
Savo samprotavimuose nustatėme, kad sistema bus jungtinė tada ir tik tada 
... Tai reiškia, kad išplėstinė sistemos matrica atrodys taip:
Atmetus nulines eilutes, gauname, kad sistemos išplėstinės matricos rangas taip pat yra r.
Kronecker-Capelli teorema... Tiesinių lygčių sistema yra nuosekli tada ir tik tada, kai sistemos matricos rangas yra lygus šios sistemos išplėstinės matricos rangui.
Prisiminkite, kad matricos rangas yra lygus didžiausiam jos tiesiškai nepriklausomų eilučių skaičiui. Iš to išplaukia, kad jei išplėstinės matricos rangas yra mažesnis už lygčių skaičių, tada sistemos lygtys yra tiesiškai priklausomos ir vieną ar daugiau iš jų galima pašalinti iš sistemos (nes jos yra tiesinės kitų derinys). Lygčių sistema bus tiesiškai nepriklausoma tik tuo atveju, jei išplėstinės matricos rangas bus lygus lygčių skaičiui.
Be to, suderinamoms tiesinių lygčių sistemoms galima teigti, kad jei matricos rangas yra lygus kintamųjų skaičiui, tada sistema turi unikalų sprendimą, o jei jis yra mažesnis už kintamųjų skaičių, tada sistema yra neapibrėžta ir turi be galo daug sprendimų.
1Pavyzdžiui, tarkime, kad matricoje yra penkios eilutės (pradinė eilučių tvarka yra 12345). Būtina pakeisti antrą ir penktą eilutę. Kad antroji eilutė patektų į penktos vietą, „judėtų“ žemyn, tris kartus paeiliui keičiame gretimas eilutes: antrą ir trečią (13245), antrą ir ketvirtą (13425) bei antrą ir penktą. (13452). Tada, kad penktoji eilutė patektų į antrosios vietą pradinėje matricoje, reikia „pastumti“ penktą eilutę aukštyn tik dviem iš eilės pakeitimais: penktąja ir ketvirtąja eilute (13542) ir penktąja bei trečias (15342).
2 Derinių skaičius nuo n iki r 
iškviesti visų skirtingų n elementų rinkinio r elementų poaibių skaičių (skirtingos aibės yra tos, kurios turi skirtingą elementų sudėtį, pasirinkimo tvarka nėra svarbi). Jis apskaičiuojamas pagal formulę: 
... Prisiminkime ženklo „! (fakcinis): 
0!=1.)
3Kadangi šis metodas yra labiau paplitęs nei anksčiau svarstytas Gauso metodas ir iš esmės yra Gauso metodo pirmyn ir atgal žingsnių derinys, jis taip pat kartais vadinamas Gauso metodu, praleidžiant pirmąją pavadinimo dalį.
4 Pavyzdžiui, 
.
5Jei sistemos matricoje nebūtų vienetų, tai būtų galima, pavyzdžiui, abi pirmosios lygties puses padalyti iš dviejų, o tada pirmasis koeficientas taptų vienetu; ar panašiai
Mes ir toliau dirbame su tiesinių lygčių sistemomis. Iki šiol nagrinėjome sistemas, kurios turi vieną sprendimą. Tokias sistemas galima išspręsti bet kokiu būdu: pakeitimo metodas(„Mokykla“), Cramerio formulėmis, matricos metodu, Gauso metodas... Tačiau praktikoje plačiai paplitę dar du atvejai, kai:
1) sistema nesuderinama (nėra sprendimų);
2) sistema turi be galo daug sprendinių.
Šioms sistemoms naudojamas universaliausias iš visų sprendimo būdų - Gauso metodas... Tiesą sakant, „mokyklos“ metodas padės rasti atsakymą, tačiau aukštojoje matematikoje įprasta naudoti Gauso metodą, skirtą nuosekliam nežinomųjų pašalinimui. Tiems, kurie nėra susipažinę su Gauso metodo algoritmu, pirmiausia išstudijuokite pamoką Gauso metodas
Pačios elementariosios matricos transformacijos yra lygiai tokios pačios, skirtumas bus sprendimo pabaigoje. Pirmiausia panagrinėkime kelis pavyzdžius, kai sistema neturi sprendimų (nenuoseklu).
1 pavyzdys
Kas šioje sistemoje iškart krenta į akis? Lygčių skaičius yra mažesnis už kintamųjų skaičių. Yra tokia teorema, kuri teigia: „Jei lygčių skaičius sistemoje yra mažesnis už kintamųjų skaičių, tada sistema yra arba nenuosekli, arba turi be galo daug sprendimų. Ir belieka tik išsiaiškinti.
Sprendimo pradžia yra visiškai įprasta - užrašome išplėstinę sistemos matricą ir, naudodami elementarias transformacijas, pateikiame ją į laipsnišką formą:
(1). Viršutiniame kairiajame žingsnyje turime gauti (+1) arba (–1). Pirmajame stulpelyje tokių skaičių nėra, todėl eilučių pertvarkymas nieko neduos. Vienetas turės būti organizuotas savarankiškai, ir tai galima padaryti keliais būdais. Mes tai padarėme. Prie pirmosios eilutės pridėkite trečią eilutę, padaugintą iš (–1).
(2). Dabar pirmajame stulpelyje gauname du nulius. Į antrą eilutę pridedame pirmąją eilutę, padaugintą iš 3. Prie trečios eilutės pridedame pirmąją eilutę, padaugintą iš 5.
(3). Po atliktos transformacijos visada patartina pasidairyti, o ar galima gautas eilutes supaprastinti? Gali. Padalinkite antrąją eilutę iš 2, tuo pačiu gaudami norimą (–1) antrame žingsnyje. Trečią eilutę padalinkite iš (–3).
(4). Pridėkite antrą eilutę prie trečios eilutės. Tikriausiai visi atkreipė dėmesį į blogą liniją, kuri pasirodė dėl elementarių transformacijų:
... Aišku, kad taip negali būti.
Iš tiesų, gautą matricą perrašome
Grįžkime prie tiesinių lygčių sistemos:
Jei dėl elementariųjų transformacijų formos eilutė , kurλ - skaičius, kuris nėra nulis, tada sistema nesuderinama (neturi sprendimų).
Kaip įrašyti užduoties pabaigą? Turite užsirašyti frazę:
„Elementariųjų transformacijų rezultate buvo gauta formos eilutė, kur λ ≠ 0 “. Atsakymas: „Sistema neturi sprendimų (nesuderinama).“
Atkreipkite dėmesį, kad šiuo atveju Gauso algoritmas neatsitraukia, nėra sprendimų ir tiesiog nėra ko rasti.
2 pavyzdys
Išspręskite tiesinių lygčių sistemą 
Tai yra „pasidaryk pats“ sprendimo pavyzdys. Užbaigti sprendimą ir atsakymą pamokos pabaigoje.
Dar kartą primename, kad jūsų sprendimo eiga gali skirtis nuo mūsų sprendimo eigos, Gauso metodas nenurodo vienareikšmiško algoritmo, apie veiksmų eiliškumą ir pačius veiksmus turite atspėti kiekvienu atveju savarankiškai.
Dar viena techninė sprendimo savybė: elementarias transformacijas galima sustabdyti nedelsiant, kai tik atsirado formos eilutė, kur λ ≠ 0 ... Apsvarstykite sąlyginį pavyzdį: tarkime, kad po pirmos transformacijos gaunama matrica
.
Ši matrica dar nėra redukuota į laiptuotą formą, tačiau papildomų elementarių transformacijų nereikia, nes atsirado formos eilutė, kurioje λ ≠ 0 ... Turėtumėte iš karto atsakyti, kad sistema nesuderinama.
Kai tiesinių lygčių sistema neturi sprendinių, tai beveik dovana studentui, nes gaunamas trumpas sprendimas, kartais tiesiogine prasme 2–3 žingsniais. Tačiau viskas šiame pasaulyje yra subalansuota, o problema, kurioje sistema turi be galo daug sprendimų, yra tik ilgesnė.
3 pavyzdys:
Išspręskite tiesinių lygčių sistemą
Yra 4 lygtys ir 4 nežinomieji, todėl sistema gali turėti vieną sprendinį arba neturėti sprendinių, arba turėti be galo daug sprendinių. Kaip ten bebūtų, bet Gauso metodas mus vis tiek prives prie atsakymo. Tai yra jo universalumas.
Pradžia vėl standartinė. Užrašykime išplėstinę sistemos matricą ir naudodami elementariąsias transformacijas perkelkime ją į laipsnišką formą:
Tai viskas, ir tu bijojai.
(1). Atkreipkite dėmesį, kad visi skaičiai pirmajame stulpelyje dalijasi iš 2, todėl viršutiniame kairiajame žingsnyje taip pat tenkiname du. Prie antrosios eilutės pridėkite pirmąją eilutę, padaugintą iš (–4). Prie trečios eilutės pridėkite pirmąją eilutę, padaugintą iš (–2). Prie ketvirtos eilutės pridėkite pirmąją eilutę, padaugintą iš (–1).
Dėmesio! Daugelis gali susigundyti iš ketvirtos eilutės atimti Pirma eilė. Tai galima padaryti, bet tai nėra būtina, patirtis rodo, kad klaidų tikimybė skaičiavimuose padidėja kelis kartus. Tiesiog pridėkite: prie ketvirtos eilutės pridėkite pirmąją eilutę, padaugintą iš (–1) - tiksliai!
(2). Paskutinės trys eilutės yra proporcingos, dvi iš jų gali būti ištrintos. Čia vėl reikia parodyti padidėjęs dėmesys, bet ar linijos tikrai proporcingos? Saugumo sumetimais nebus nereikalinga antrą eilutę padauginti iš (–1), o ketvirtąją padalyti iš 2, taip gaudami tris identiškas eilutes. Ir tik tada ištrinkite du iš jų. Dėl elementarių transformacijų išplėstinė sistemos matrica redukuojama į laipsnišką formą:
Pildant užduotį sąsiuvinyje, aiškumo dėlei patartina tuos pačius užrašus pasidaryti pieštuku.
Perrašykime atitinkamą lygčių sistemą: 
Vienintelis sistemos sprendimas čia nekvepia „įprastu“. Bloga linija kur λ ≠ 0, taip pat ne. Tai reiškia, kad tai jau trečias likęs atvejis – sistema turi be galo daug sprendimų.
Be galo daug sisteminių sprendinių trumpai parašyti vadinamąja forma bendras sistemos sprendimas.
Bendrąjį sistemos sprendimą randame naudodami atvirkštinę Gauso metodo eigą. Lygčių sistemoms su begaliniu sprendinių rinkiniu atsiranda naujų sąvokų: „Pagrindiniai kintamieji“ ir „Nemokami kintamieji“... Pirma, apibrėžkime, kokius kintamuosius turime pagrindinis ir kurie kintamieji - Laisvas... Nebūtina detaliai aiškinti tiesinės algebros terminų, užtenka prisiminti, kad tokių yra pagrindiniai kintamieji ir laisvi kintamieji.
Pagrindiniai kintamieji visada „sėdi“ griežtai ant matricos žingsnių... Šiame pavyzdyje pagrindiniai kintamieji yra x 1 ir x 3 .
Nemokami kintamieji yra viskas likę kintamieji, kurie nesulaukė skambučio. Mūsų atveju yra du iš jų: x 2 ir x 4 - laisvieji kintamieji.
Dabar tau reikia visipagrindiniai kintamieji išreikšti tik perlaisvi kintamieji... Gauso algoritmo atvirkštinė pusė tradiciškai veikia iš apačios į viršų. Iš antrosios sistemos lygties išreiškiame pagrindinį kintamąjį x 3:
Dabar pažvelkime į pirmąją lygtį: 
... Pirmiausia į jį pakeičiame rastą išraišką:
Belieka išreikšti pagrindinį kintamąjį x 1 per nemokamus kintamuosius x 2 ir x 4:
Galų gale mes gavome tai, ko mums reikia - visi pagrindiniai kintamieji ( x 1 ir x 3) išreikštas tik per laisvi kintamieji ( x 2 ir x 4):
Tiesą sakant, bendras sprendimas yra paruoštas:
.
Kaip teisingai užrašyti bendrą sprendimą? Visų pirma, laisvieji kintamieji į bendrą sprendimą įrašomi „savaime“ ir griežtai į savo vietas. Šiuo atveju laisvieji kintamieji x 2 ir x 4 turėtų būti parašytas antroje ir ketvirtoje pozicijose:
.
Gautos pagrindinių kintamųjų išraiškos ir, aišku, reikia rašyti pirmoje ir trečioje pozicijose:
Iš bendro sistemos sprendimo galite rasti be galo daug privatūs sprendimai... Tai labai paprasta. Nemokami kintamieji x 2 ir x 4 vadinami taip, nes juos galima duoti bet kokios galutinės vertės... Populiariausios reikšmės yra nulis, nes tai yra lengviausias konkretaus sprendimo sprendimas.
Pakeičiant ( x 2 = 0; x 4 = 0) į bendrą sprendimą, gauname vieną iš konkrečių sprendimų:
, arba yra tam tikras sprendimas, atitinkantis laisvus kintamuosius vertėse ( x 2 = 0; x 4 = 0).
Vienetai yra dar viena miela pora, pakaitalas ( x 2 = 1 ir x 4 = 1) į bendrą sprendimą:
, ty (-1; 1; 1; 1) yra dar vienas konkretus sprendimas.
Nesunku pastebėti, kad lygčių sistema turi be galo daug sprendimų, kadangi galime duoti laisvųjų kintamųjų bet koks vertybes.
Kiekvienas konkretus sprendimas turi tenkinti kiekvienam sistemos lygtis. Tai yra „greito“ sprendimo teisingumo patikrinimo pagrindas. Paimkite, pavyzdžiui, konkretų sprendimą (-1; 1; 1; 1) ir pakeiskite jį į kairę kiekvienos pradinės sistemos lygties pusę:
Viskas turi derėti kartu. Ir su bet kokiu konkrečiu priimtu sprendimu - viskas taip pat turėtų sutapti.
Griežtai kalbant, konkretaus sprendimo patikrinimas kartais apgauna, t.y. koks nors konkretus sprendimas gali patenkinti kiekvieną sistemos lygtį, tačiau pats bendras sprendimas iš tikrųjų randamas neteisingai. Todėl, visų pirma, bendro sprendimo patikrinimas yra kruopštesnis ir patikimesnis.
Kaip patikrinti gautą bendrą sprendimą 
?
Tai nesunku, tačiau reikalauja daug laiko reikalaujančių transformacijų. Reikia imtis išraiškų pagrindinis kintamieji, šiuo atveju 
ir, ir pakeiskite juos kiekvienos sistemos lygties kairėje pusėje.
Kairėje pirmosios sistemos lygties pusėje:
Gaunama pradinės pirmosios sistemos lygties dešinioji pusė.
Kairėje antrosios sistemos lygties pusėje:
Gaunama originalios antrosios sistemos lygties dešinioji pusė.
O toliau – į kairę trečiosios ir ketvirtosios sistemos lygčių puses. Šis patikrinimas užtrunka ilgiau, tačiau garantuoja šimtaprocentinį viso sprendimo teisingumą. Be to, atliekant kai kurias užduotis, reikia kaip tik patikrinti bendrą sprendimą.
4 pavyzdys:
Išspręskite sistemą Gauso metodu. Raskite bendrą sprendimą ir du konkrečius. Patikrinkite bendrą sprendimą.
Tai yra „pasidaryk pats“ sprendimo pavyzdys. Čia, beje, vėlgi lygčių skaičius yra mažesnis nei nežinomųjų, o tai reiškia, kad iš karto aišku, kad sistema bus arba nesuderinama, arba su begaline sprendinių aibe.
5 pavyzdys:
Išspręskite tiesinių lygčių sistemą. Jei sistemoje yra be galo daug sprendimų, suraskite du konkrečius sprendimus ir patikrinkite bendrą sprendimą
Sprendimas: Užrašykime išplėstinę sistemos matricą ir naudodami elementariąsias transformacijas perkelkime ją į laipsnišką formą:
(1). Pridėkite pirmąją eilutę prie antrosios eilutės. Prie trečios eilutės pridedame pirmąją eilutę, padaugintą iš 2. Į ketvirtą eilutę pridedame pirmąją eilutę, padaugintą iš 3.
(2). Prie trečios eilutės pridėkite antrą eilutę, padaugintą iš (–5). Prie ketvirtos eilutės pridėkite antrą eilutę, padaugintą iš (–7).
(3). Trečia ir ketvirta eilutės yra vienodos, vieną iš jų ištriname. Štai toks grožis:
Pagrindiniai kintamieji yra ant pakopų, todėl pagrindiniai kintamieji.
Yra tik vienas nemokamas kintamasis, kuris čia nepadėjo:.
(4). Atvirkštinis judėjimas. Išreikškime pagrindinius kintamuosius laisvuoju kintamuoju:
Iš trečiosios lygties:
Apsvarstykite antrąją lygtį ir pakeiskite ja rastą išraišką:
, 
, ,
Apsvarstykite pirmąją lygtį ir pakeiskite rastas išraiškas į ją:
Taigi, bendras vieno laisvojo kintamojo sprendimas x 4:
Dar kartą, kaip tai atsirado? Nemokamas kintamasis x 4 sėdi viena teisėtoje ketvirtoje vietoje. Gautos pagrindinių kintamųjų išraiškos taip pat yra savo vietose.
Iš karto patikrinkime bendrą sprendimą.
Kiekvienos sistemos lygties kairėje pusėje pakeičiame pagrindinius kintamuosius:
Gautos atitinkamos dešinės lygčių pusės, taip randamas teisingas bendrasis sprendinys.
Dabar iš rasto bendro sprendimo 
gauname du konkrečius sprendimus. Visi kintamieji čia išreiškiami vienu laisvas kintamasis x 4 . Nereikia laužyti galvos.
Leisti būti x 4 = 0, tada 
– pirmasis konkretus sprendimas.
Leisti būti x 4 = 1, tada 
– dar vienas konkretus sprendimas.
Atsakymas: Bendras sprendimas: ... Privatūs sprendimai:
ir .
6 pavyzdys:
Raskite bendrą tiesinių lygčių sistemos sprendinį.
Bendrą sprendimą jau patikrinome, atsakymu galima pasitikėti. Jūsų sprendimas gali skirtis nuo mūsų sprendimo. Svarbiausia, kad bendri sprendimai sutaptų. Tikriausiai daugelis žmonių pastebėjo nemalonų momentą sprendiniuose: labai dažnai atvirkštinio Gauso metodo eigoje tekdavo suktis su paprastosiomis trupmenomis. Praktikoje tai tiesa, atvejai, kai trupmenų nėra, yra daug rečiau. Būkite pasiruošę protiškai, o svarbiausia – techniškai.
Apsistokime ties sprendimo ypatybėmis, kurių nebuvo išspręstuose pavyzdžiuose. Bendrasis sistemos sprendimas kartais gali apimti konstantą (arba konstantas).
Pavyzdžiui, bendras sprendimas yra:. Čia vienas iš pagrindinių kintamųjų yra lygus pastoviam skaičiui:. Čia nėra nieko egzotiško, pasitaiko. Akivaizdu, kad šiuo atveju bet kurio konkretaus sprendimo pirmoje pozicijoje bus A.
Retai, bet yra sistemų, kuriose lygčių skaičius yra didesnis nei kintamųjų skaičius... Tačiau Gauso metodas veikia atšiauriausiomis sąlygomis. Būtina ramiai sumažinti sistemos išplėstą matricą į laiptuotą formą pagal standartinį algoritmą. Tokia sistema gali būti nenuosekli, gali turėti be galo daug sprendimų ir, kaip bebūtų keista, gali turėti vieną sprendimą.
Pakartokime patarime – norint jaustis patogiai sprendžiant sistemą Gauso metodu, reikėtų numoti ranka ir išspręsti bent keliolika sistemų.
Sprendimai ir atsakymai:
2 pavyzdys:
Sprendimas:Užrašykime išplėstinę sistemos matricą ir, naudodami elementariąsias transformacijas, perkelkime ją į laipsnišką formą.
Atliktos elementarios transformacijos:
(1) Pirmoji ir trečioji eilutės yra priešingos.
(2) Pirmoji eilutė, padauginta iš (–6), buvo pridėta prie antrosios eilutės. Pirmoji eilutė, padauginta iš (–7), buvo pridėta prie trečios eilutės.
(3) Antroji eilutė, padauginta iš (–1), buvo pridėta prie trečios eilutės.
Dėl elementarių transformacijų formos eilutė, kur λ ≠ 0 .Tai reiškia, kad sistema nesuderinama.Atsakymas: jokių sprendimų.
4 pavyzdys:
Sprendimas:Užrašykime išplėstinę sistemos matricą ir naudodami elementariąsias transformacijas perkelkime ją į laipsnišką formą:
Atliktos konversijos:
(1). Pirmoji eilutė, padauginta iš 2, buvo įtraukta į antrąją eilutę. Pirma eilutė, padauginta iš 3, buvo įtraukta į trečią eilutę.
Antram žingsniui nėra kam , o transformacija (2) siekiama ją gauti.
(2). Trečioji eilutė buvo pridėta prie antrosios eilutės, padaugintos iš –3.
(3). Antroji ir trečioji eilutės buvo pakeistos (gautas -1 pertvarkytas į antrą žingsnį)
(4). Trečioji eilutė buvo pridėta prie antrosios eilutės, padaugintos iš 3.
(5). Pirmų dviejų eilučių ženklas buvo pakeistas (padaugintas iš –1), trečioji eilutė padalinta iš 14.
Atvirkščiai:
(1). Čia - pagrindiniai kintamieji (kurie yra žingsniuose) ir - laisvieji kintamieji (kas negavo žingsnio).
(2). Išreikškime pagrindinius kintamuosius laisvaisiais kintamaisiais:
Iš trečiosios lygties: .
(3). Apsvarstykite antrąją lygtį:, ypatingi sprendimai:
Atsakymas: Bendras sprendimas: 
Sudėtingi skaičiai
Šiame skyriuje susipažinsime su koncepcija kompleksinis skaičius, apsvarstykite algebrinė, trigonometrinis ir pavyzdinga forma kompleksinis skaičius. Taip pat išmoksime atlikti veiksmus su kompleksiniais skaičiais: sudėtį, atimtį, daugybą, dalybą, eksponenciją ir šaknų ištraukimą.
Norint įvaldyti sudėtingus skaičius, nereikia jokių specialių žinių iš aukštosios matematikos kurso, o medžiaga yra prieinama net studentui. Užtenka mokėti atlikti algebrinius veiksmus su „paprastais“ skaičiais, atsiminti trigonometriją.
Pirmiausia prisiminkime „įprastus“ skaičius. Matematikoje jie vadinami realiųjų skaičių rinkinys ir žymimas raide R, arba R (sutirštintas). Visi tikrieji skaičiai yra žinomoje skaičių eilutėje:
Realiųjų skaičių kompanija labai marga – čia ir sveikieji, ir trupmenos, ir neracionalieji skaičiai. Šiuo atveju kiekvienas skaitinės ašies taškas būtinai atitinka tam tikrą realųjį skaičių.
Lygčių sistemos plačiai naudojamos ekonomikos pramonėje įvairių procesų matematiniam modeliavimui. Pavyzdžiui, sprendžiant gamybos, logistikos maršrutų (transporto problemos) ar įrangos išdėstymo valdymo ir planavimo problemas.
Lygčių sistemos naudojamos ne tik matematikos, bet ir fizikos, chemijos ir biologijos srityse, sprendžiant populiacijos dydžio nustatymo uždavinius.
Tiesinių lygčių sistema vadinamos dvi ar daugiau lygčių su keliais kintamaisiais, kurioms būtina rasti bendrą sprendimą. Tokia skaičių seka, kuriai visos lygtys tampa tikrosiomis lygybėmis arba įrodo, kad sekos nėra.
Tiesinė lygtis
Formos ax + by = c lygtys vadinamos tiesinėmis. Žymėjimas x, y – nežinomasis, kurio reikšmę reikia rasti, b, a – kintamųjų koeficientai, c – laisvasis lygties narys.
Lygties sprendimas, nubraižęs jos grafiką, turės tiesės formą, kurios visi taškai yra daugianario sprendinys.
Tiesinių lygčių sistemų tipai
Paprasčiausiais pavyzdžiais laikomos tiesinių lygčių sistemos su dviem kintamaisiais X ir Y.
F1 (x, y) = 0 ir F2 (x, y) = 0, kur F1,2 yra funkcijos, o (x, y) yra funkcijų kintamieji.
Išspręskite lygčių sistemą - tai reiškia, kad reikia rasti tokias reikšmes (x, y), kurioms esant sistema virsta tikra lygybe, arba nustatyti, kad nėra tinkamų x ir y reikšmių.
Reikšmių pora (x, y), parašyta kaip taško koordinatės, vadinama tiesinių lygčių sistemos sprendimu.
Jei sistemos turi vieną bendrą sprendimą arba sprendimo nėra, jos vadinamos lygiavertėmis.
Homogeninės tiesinių lygčių sistemos yra sistemos, kurių dešinioji pusė lygi nuliui. Jei dešinioji dalis po „lygybės“ ženklo turi reikšmę arba išreiškiama funkcija, tokia sistema yra nevienalytė.
Kintamųjų skaičius gali būti daug didesnis nei du, tuomet turėtume kalbėti apie tiesinių lygčių sistemos su trimis ar daugiau kintamųjų pavyzdį.
Susidūrę su sistemomis, moksleiviai mano, kad lygčių skaičius būtinai turi sutapti su nežinomųjų skaičiumi, tačiau taip nėra. Lygčių skaičius sistemoje nepriklauso nuo kintamųjų, jų gali būti tiek, kiek norite.
Paprasti ir sudėtingi lygčių sistemų sprendimo metodai
Nėra bendro analitinio būdo tokioms sistemoms spręsti, visi metodai yra pagrįsti skaitiniais sprendimais. Mokykliniame matematikos kurse išsamiai aprašomi tokie metodai kaip permutacija, algebrinis sudėjimas, pakaitalai, taip pat grafinis ir matricinis metodas, sprendimas Gauso metodu.
Pagrindinis uždavinys mokant sprendimo metodus – išmokyti tinkamai analizuoti sistemą ir kiekvienam pavyzdžiui rasti optimalų sprendimo algoritmą. Svarbiausia yra ne įsiminti kiekvieno metodo taisyklių ir veiksmų sistemą, o suprasti konkretaus metodo taikymo principus.
7 klasės bendrojo ugdymo programos tiesinių lygčių sistemų pavyzdžių sprendimas yra gana paprastas ir labai išsamiai paaiškintas. Bet kuriame matematikos vadovėlyje šiam skyriui skiriama pakankamai dėmesio. Tiesinių lygčių sistemų pavyzdžių sprendimas Gauso ir Cramerio metodu plačiau nagrinėjamas pirmaisiais aukštųjų mokyklų metais.
Sistemų sprendimas pakeitimo metodu
Pakeitimo metodo veiksmais siekiama išreikšti vieno kintamojo reikšmę antruoju. Išraiška pakeičiama į likusią lygtį, tada ji redukuojama į formą su vienu kintamuoju. Veiksmas kartojamas priklausomai nuo nežinomųjų skaičiaus sistemoje
Pateikiame 7-osios klasės tiesinių lygčių sistemos pavyzdį keitimo metodu:
Kaip matote iš pavyzdžio, kintamasis x buvo išreikštas F (X) = 7 + Y. Gauta išraiška, pakeista į 2-ąją sistemos lygtį vietoj X, padėjo gauti vieną kintamąjį Y 2-oje lygtyje. . Šio pavyzdžio sprendimas nesukelia jokių sunkumų ir leidžia gauti reikšmę Y. Paskutinis žingsnis – gautų reikšmių patikrinimas.
Tiesinių lygčių sistemos pavyzdį ne visada įmanoma išspręsti pakeičiant. Lygtys gali būti sudėtingos, o kintamojo išraiška antrojo nežinomojo atžvilgiu bus pernelyg sudėtinga tolesniems skaičiavimams. Kai sistemoje yra daugiau nei 3 nežinomieji, sprendimas pakeitimu taip pat yra nepraktiškas.
Tiesinių nehomogeninių lygčių sistemos pavyzdžio sprendimas:
Algebrinis pridėjimo sprendimas
Ieškant sprendimų sistemoms sudavimo metodu, atliekamas lygčių terminų sudėjimas ir dauginimas iš įvairių skaičių. Galutinis matematinių operacijų tikslas yra lygtis viename kintamajame.
Šis metodas reikalauja praktikos ir stebėjimo. Nelengva išspręsti tiesinių lygčių sistemą sudėjimo metodu, kai kintamųjų skaičius yra 3 ar daugiau. Algebrinis sudėjimas yra naudingas, kai lygtyse yra trupmenų ir dešimtainių skaičių.
Sprendimo veiksmų algoritmas:
- Padauginkite abi lygties puses iš tam tikro skaičiaus. Dėl aritmetinės operacijos vienas iš kintamojo koeficientų turi tapti lygus 1.
- Sudėkite gautą išraišką po termino ir raskite vieną iš nežinomųjų.
- Pakeiskite gautą reikšmę į 2-ąją sistemos lygtį, kad rastumėte likusį kintamąjį.
Sprendimas įvedant naują kintamąjį
Naujas kintamasis gali būti įvestas, jei sistemai reikia rasti sprendimą ne daugiau kaip dviem lygtims, nežinomųjų skaičius taip pat turėtų būti ne didesnis kaip du.
Metodas naudojamas supaprastinti vieną iš lygčių įvedant naują kintamąjį. Naujoji lygtis išsprendžiama įvesto nežinomojo atžvilgiu, o gauta reikšmė naudojama pirminiam kintamajam nustatyti.
Pavyzdys rodo, kad įvedus naują kintamąjį t, buvo galima 1-ąją sistemos lygtį sumažinti iki standartinio kvadratinio trinalio. Galite išspręsti daugianarį suradę diskriminantą.
Reikia rasti diskriminanto reikšmę pagal gerai žinomą formulę: D = b2 - 4 * a * c, kur D yra reikalingas diskriminantas, b, a, c yra daugianario veiksniai. Pateiktame pavyzdyje a = 1, b = 16, c = 39, todėl D = 100. Jei diskriminantas didesnis už nulį, tai yra du sprendiniai: t = -b ± √D / 2 * a, jei diskriminantas yra mažesnis už nulį, tada yra vienas sprendinys: x = -b / 2 * a.
Gautų sistemų sprendimas randamas pridėjimo metodu.
Vizualus sistemų sprendimo metodas
Tinka sistemoms su 3 lygtimis. Metodas susideda iš kiekvienos lygties, įtrauktos į sistemą, grafikų atvaizdavimo koordinačių ašyje. Kreivių susikirtimo taškų koordinatės bus bendras sistemos sprendimas.
Grafinis metodas turi keletą niuansų. Panagrinėkime keletą tiesinių lygčių sistemų vaizdinio sprendimo pavyzdžių.
Kaip matote iš pavyzdžio, kiekvienai tiesei buvo pastatyti du taškai, savavališkai pasirinktos kintamojo x reikšmės: 0 ir 3. Remiantis x reikšmėmis, buvo rastos y reikšmės. : 3 ir 0. Taškai su koordinatėmis (0, 3) ir (3, 0) buvo pažymėti grafike ir sujungti linija.
Antrosios lygties veiksmai turi būti kartojami. Tiesių susikirtimo taškas yra sistemos sprendimas.
Šiame pavyzdyje reikia rasti grafinį tiesinių lygčių sistemos sprendimą: 0,5x-y + 2 = 0 ir 0,5x-y-1 = 0.
Kaip matote iš pavyzdžio, sistema neturi sprendimo, nes grafikai yra lygiagretūs ir nesikerta per visą ilgį.
2 ir 3 pavyzdžių sistemos yra panašios, tačiau ją kuriant tampa akivaizdu, kad jų sprendimai skiriasi. Reikia atsiminti, kad ne visada galima pasakyti, ar sistema turi sprendimą, ar ne, visada reikia sudaryti grafiką.
Matrica ir jos atmainos
Matricos naudojamos glaustai parašyti tiesinių lygčių sistemą. Matrica yra specialios rūšies lentelė, užpildyta skaičiais. n * m turi n - eilučių ir m - stulpelius.
Matrica yra kvadratinė, kai stulpelių ir eilučių skaičius yra lygus vienas kitam. Vektorinė matrica yra vieno stulpelio matrica su begaliniu eilučių skaičiumi. Matrica su vienetais išilgai vienos iš įstrižainių ir kitų nulinių elementų vadinama tapatumo matrica.
Atvirkštinė matrica yra tokia matrica, iš kurios padauginus pradinę virsta tapatybės matrica, tokia matrica egzistuoja tik pradinei kvadratinei.
Lygčių sistemos pavertimo matrica taisyklės
Taikant lygčių sistemoms, lygčių koeficientai ir laisvieji nariai rašomi kaip matricos skaičiai, viena lygtis yra viena matricos eilutė.
Matricos eilutė vadinama nuliui, jei bent vienas eilutės elementas yra nulis. Todėl jei kurioje nors lygtyje kintamųjų skaičius skiriasi, tai vietoj trūkstamo nežinomojo reikia rašyti nulį.
Matricos stulpeliai turi griežtai atitikti kintamuosius. Tai reiškia, kad kintamojo x koeficientai gali būti rašomi tik viename stulpelyje, pavyzdžiui, pirmasis, nežinomo y koeficientas – tik antrame.
Dauginant matricą, visi matricos elementai paeiliui dauginami iš skaičiaus.
Atvirkštinės matricos radimo variantai
Formulė atvirkštinei matricai rasti yra gana paprasta: K -1 = 1 / | K |, kur K -1 yra atvirkštinė matrica ir | K | yra matricos determinantas. | K | neturėtų būti nulis, tada sistema turi sprendimą.
Determinantas nesunkiai apskaičiuojamas matricai du po du; tereikia padauginti įstrižainės elementus vienas iš kito. Parinkčiai „trys iš trijų“ yra formulė | K | = a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1. Galite naudoti formulę arba prisiminti, kad reikia paimti po vieną elementą iš kiekvienos eilutės ir kiekvieno stulpelio, kad gaminyje nesikartotų stulpelių ir elementų eilučių skaičiai.
Tiesinių lygčių sistemų pavyzdžių sprendimas matriciniu metodu
Matricinis sprendimo paieškos metodas leidžia sumažinti sudėtingus įrašus sprendžiant sistemas su daugybe kintamųjų ir lygčių.
Pavyzdyje a nm yra lygčių koeficientai, matrica yra vektorius, x n yra kintamieji, o b n yra laisvieji nariai.
Gauso sistemų sprendimas
Aukštojoje matematikoje Gauso metodas tiriamas kartu su Cramerio metodu, o sistemų sprendimo paieškos procesas vadinamas Gauss-Cramer metodu. Šie metodai naudojami ieškant kintamųjų sistemų su daugybe tiesinių lygčių.
Gauso metodas yra labai panašus į pakeitimo ir algebrinio sudėjimo sprendimus, bet sistemingesnis. Mokykliniame kurse Gauso sprendimas naudojamas 3 ir 4 lygčių sistemoms. Metodo tikslas – kad sistema atrodytų kaip apversta trapecija. Vieno kintamojo reikšmė vienoje iš sistemos lygčių randama algebrinėmis transformacijomis ir keitimais. Antroji lygtis yra išraiška su 2 nežinomaisiais, bet 3 ir 4 - atitinkamai su 3 ir 4 kintamaisiais.
Suvedus sistemą į aprašytą formą, tolesnis sprendimas redukuojamas iki nuoseklaus žinomų kintamųjų pakeitimo į sistemos lygtis.
7 klasės mokykliniuose vadovėliuose Gauso metodo sprendimo pavyzdys aprašytas taip:
Kaip matote iš pavyzdžio, (3) žingsnyje buvo gautos dvi lygtys: 3x 3 -2x 4 = 11 ir 3x 3 + 2x 4 = 7. Bet kurios lygties sprendimas leis jums sužinoti vieną iš kintamųjų x n.
Tekste minima 5 teorema teigia, kad jei vieną iš sistemos lygčių pakeisite lygiaverte, tai gauta sistema taip pat bus lygiavertė pradinei.
Gauso metodas yra sunkiai suprantamas vidurinių mokyklų moksleiviams, tačiau tai vienas įdomiausių būdų ugdyti vaikų intelektą aukštesnėse matematikos ir fizikos pamokose.
Kad būtų lengviau įrašyti skaičiavimus, įprasta atlikti šiuos veiksmus:
Lygčių ir laisvųjų dėmenų koeficientai rašomi matricos pavidalu, kur kiekviena matricos eilutė yra susijusi su viena iš sistemos lygčių. atskiria kairę lygties pusę nuo dešinės. Romėniški skaitmenys nurodo lygčių skaičius sistemoje.
Pirmiausia jie užrašo matricą, su kuria reikia dirbti, tada visus veiksmus, atliekamus su viena iš eilučių. Gauta matrica rašoma po rodyklės ženklu ir tęsiami būtini algebriniai veiksmai, kol pasiekiamas rezultatas.
Dėl to turėtų būti gauta matrica, kurios viena iš įstrižainių yra 1, o visi kiti koeficientai lygūs nuliui, tai yra, matrica sumažinama iki vienos formos. Nepamirškite atlikti skaičiavimų su skaičiais abiejose lygties pusėse.
Šis įrašymo būdas yra ne toks sudėtingas ir leidžia nesiblaškyti dėl daugybės nežinomųjų.
Nemokamas bet kokio sprendimo pritaikymas pareikalaus kruopštumo ir tam tikros patirties. Ne visi metodai yra taikomojo pobūdžio. Kai kurie sprendimų paieškos būdai yra labiau tinkami šioje kitoje žmogaus veiklos srityje, o kiti yra švietimo tikslais.
Ištirti linijinių amžių lygčių (SLAE) sistemos suderinamumą reiškia išsiaiškinti, ar ši sistema turi sprendimų, ar ne. Na, jei yra sprendimų, nurodykite, kiek jų yra.
Mums reikės informacijos iš temos "Tiesinių algebrinių lygčių sistema. Pagrindiniai terminai. Matricos žymėjimas". Visų pirma mums reikalingos tokios sąvokos kaip sistemos matrica ir išplėstinė sistemos matrica, nes jomis grindžiama Kronecker-Capelli teoremos formuluotė. Kaip įprasta, sistemos matrica bus žymima raide $ A $, o išplėstinė sistemos matrica – raide $ \ widetilde (A) $.
Kronecker-Capelli teorema
Tiesinių algebrinių lygčių sistema yra nuosekli tada ir tik tada, kai sistemos matricos rangas yra lygus sistemos išplėstinės matricos rangui, t.y. $ \ skamb A = \ skamb \ widetilde (A) $.
Leiskite jums priminti, kad sistema vadinama jungtimi, jei ji turi bent vieną sprendimą. Kronecker-Capelli teorema sako taip: jei $ \ rang A = \ rang \ widetilde (A) $, tada yra sprendimas; jei $ \ skamb A \ neq \ rang \ widetilde (A) $, tada šis SLAE neturi sprendimų (nenuoseklus). Atsakymą į klausimą apie šių sprendinių skaičių duoda Kronecker-Capelli teoremos išvada. Formuliuojant išvadą, naudojama raidė $ n $, kuri yra lygi nurodytos SLAE kintamųjų skaičiui.
Išvada iš Kronecker-Capelli teoremos
- Jei $ \ skamb A \ neq \ rang \ widetilde (A) $, tada SLAE yra nenuoseklus (nėra sprendimų).
- Jei $ \ skamb A = \ skamb \ widetilde (A)< n$, то СЛАУ является неопределённой (имеет бесконечное количество решений).
- Jei $ \ skamb A = \ rang \ widetilde (A) = n $, tada SLAE yra apibrėžtas (turi tiksliai vieną sprendimą).
Atkreipkite dėmesį, kad aukščiau pateikta teorema ir jos pasekmė nenurodo, kaip rasti SLAE sprendimą. Su jų pagalba galima tik sužinoti, ar šie sprendimai egzistuoja, ar ne, o jei jų yra, tai kiek.
1 pavyzdys
Naršyti SLAE $ \ left \ (\ pradžia (sulygiuota) & -3x_1 + 9x_2-7x_3 = 17; \\ & -x_1 + 2x_2-4x_3 = 9; \\ & 4x_1-2x_2 + 19x_3 = -42. \ Pabaiga (sulygiuota) ) \ right. $ suderinamumui Jei SLAE yra suderinamas, nurodykite sprendimų skaičių.
Norėdami išsiaiškinti, ar egzistuoja tam tikros SLAE sprendimai, naudojame Kronecker-Capelli teoremą. Mums reikia sistemos $ A $ matricos ir išplėstinės sistemos $ \ widetilde (A) $ matricos, jas užrašome:
$$ A = \ left (\ pradžia (masyvas) (ccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \ end (masyvas) \ dešinė); \; \ widetilde (A) = \ left (\ begin (masyvas) (ccc | c) -3 & 9 & -7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9 \\ 4 & -2 & 19 & -42 \ pabaiga (masyvas) \ dešinė). $$
Raskite $ \ ring A $ ir $ \ ring \ widetilde (A) $. Yra daug būdų tai padaryti, kai kurie iš jų yra išvardyti Matricos reitingo skyriuje. Paprastai tokioms sistemoms tirti naudojami du metodai: „Matricos rango apskaičiavimas pagal apibrėžimą“ arba „Matricos rango apskaičiavimas elementariųjų transformacijų metodu“.
1 metodas. Rangų apskaičiavimas pagal apibrėžimą.
Pagal apibrėžimą rangas yra aukščiausia matricos nepilnamečių eilė, tarp kurių yra bent vienas nulis. Paprastai tyrimas pradedamas nuo pirmos eilės nepilnamečių, tačiau čia patogiau iškart pradėti skaičiuoti trečiosios eilės nepilnamečius matricoje $ A $. Trečios eilės minoro elementai yra trijų nagrinėjamos matricos eilučių ir trijų stulpelių sankirtoje. Kadangi matricoje $ A $ yra tik 3 eilutės ir 3 stulpeliai, tai matricos $ A $ trečios eilės minoras yra matricos $ A $ determinantas, t.y. $ \ Delta A $. Norėdami apskaičiuoti determinantą, pritaikykime formulę # 2 iš temos "Antros ir trečios eilės determinantų skaičiavimo formulės":
$$ \ Delta A = \ kairėje | \ pradžia (masyvas) (ccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \ pabaiga (masyvas) \ dešinė | = -21. $$
Taigi, matricoje $ A $ yra trečios eilės minoras, kuris nėra lygus nuliui. Neįmanoma sudaryti ketvirtos eilės minoro, nes tam reikia 4 eilučių ir 4 stulpelių, o $ A $ matricoje yra tik 3 eilutės ir 3 stulpeliai. Taigi, didžiausia matricos $ A $ nepilnamečių eilė, tarp kurių yra bent vienas ne nulis, yra lygus 3. Todėl $ \ rang A = 3 $.
Taip pat turime rasti $ \ ring \ widetilde (A) $. Pažvelkime į matricos $ \ widetilde (A) $ struktūrą. Matricoje $ \ widetilde (A) $ yra matricos $ A $ elementai ir mes išsiaiškinome, kad $ \ Delta A \ neq 0 $. Todėl matrica $ \ widetilde (A) $ turi trečiosios eilės minorą, kuris nėra nulis. Negalime sudaryti ketvirtosios eilės mažųjų matricos $ \ widetilde (A) $, todėl darome išvadą: $ \ rang \ widetilde (A) = 3 $.
Kadangi $ \ rang A = \ rang \ widetilde (A) $, pagal Kronecker-Capelli teoremą, sistema yra nuosekli, t.y. turi sprendimą (bent vieną). Norėdami nurodyti sprendimų skaičių, atsižvelkime į tai, kad mūsų SLAE yra 3 nežinomieji: $ x_1 $, $ x_2 $ ir $ x_3 $. Kadangi nežinomųjų skaičius yra $ n = 3 $, darome išvadą: $ \ rang A = \ rang \ widetilde (A) = n $, todėl pagal išvadą iš Kronecker-Capelli teoremos sistema yra apibrėžta, t.y. turi tik vieną sprendimą.
Problema išspręsta. Kokie yra šio metodo trūkumai ir pranašumai? Pirmiausia pakalbėkime apie privalumus. Pirma, mums tereikėjo rasti vieną lemiantį veiksnį. Po to iš karto padarėme išvadą apie sprendimų skaičių. Paprastai standartiniuose standartiniuose skaičiavimuose pateikiamos lygčių sistemos, kuriose yra trys nežinomieji ir turintis unikalų sprendimą. Tokioms sistemoms šis būdas netgi labai patogus, nes iš anksto žinome, kad sprendimas yra (kitaip nebūtų pavyzdžio tipiniame skaičiavime). Tie. mes tiesiog turime greičiausiu būdu parodyti sprendimo buvimą. Antra, apskaičiuota sistemos matricos determinanto reikšmė (tai yra $ \ Delta A $) pravers po: kai pradėsime spręsti pateiktą sistemą Cramerio metodu arba naudodami atvirkštinę matricą.
Tačiau rango apskaičiavimo metodas pagal apibrėžimą yra nepageidaujamas, jei sistemos $ A $ matrica yra stačiakampė. Tokiu atveju geriau naudoti antrąjį metodą, kuris bus aptartas toliau. Be to, jei $ \ Delta A = 0 $, tai nieko negalime pasakyti apie duotos nehomogeninės SLAE sprendinių skaičių. Galbūt SLAE turi begalę sprendimų, o gal jų nėra. Jei $ \ Delta A = 0 $, tada reikia atlikti papildomus tyrimus, kurie dažnai yra sudėtingi.
Apibendrindamas tai, kas pasakyta, pažymiu, kad pirmasis metodas tinka tiems SLAE, kuriuose sistemos matrica yra kvadratinė. Šiuo atveju pačiame SLAE yra trys ar keturi nežinomieji ir jis yra paimtas iš standartinių tipinių skaičiavimų ar valdymo darbų.
2 metodas. Rangos apskaičiavimas elementariųjų transformacijų metodu.
Šis metodas išsamiai aprašytas susijusioje temoje. Apskaičiuosime matricos $ \ widetilde (A) $ rangą. Kodėl būtent matricos $ \ widetilde (A) $, o ne $ A $? Faktas yra tas, kad matrica $ A $ yra matricos $ \ widetilde (A) $ dalis, todėl skaičiuodami matricos $ \ widetilde (A) $ rangą, tuo pačiu rasime matricos $ A rangą. $.
\ pradžia (sulygiuota) & \ plačiatildė (A) = \ kairė (\ pradžia (masyvas) (ccc | c) -3 & 9 & -7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9 \\ 4 & - 2 & 19 & -42 \ pabaiga (masyvas) \ dešinė) \ rodyklė dešinėn \ kairė | \ tekstas (sukeisti pirmą ir antrą eilutes) \ dešinė | \ rodyklė dešinėn \\ & \ rodyklė dešinėn \ kairė (\ pradžia (masyvas) (ccc | c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ -3 & 9 & -7 & 17 \\ 4 & -2 & 19 & - 42 \ pabaiga (masyvas) \ dešinė) \ pradžia (masyvas) (l) \ fantomas (0) \\ II-3 \ cdot I \\ III + 4 \ cdot I \ end (masyvas) \ rodyklė dešinėn \ kairė (\ pradžia (masyvas) (ccc | c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 & 5 & -10 \\ 0 & 6 & 3 & -6 \ end (masyvas) \ right) \ begin (masyvas) ( l) \ fantomas (0) \\ \ fantomas (0) \\ III-2 \ cdot II \ pabaiga (masyvas) \ dešinė rodyklė \\ & \ dešinė rodyklė \ kairė (\ pradžia (masyvas) (ccc | c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 & 5 & -10 \\ 0 & 0 & -7 & 14 \ pabaiga (masyvas) \ dešinė) \ pabaiga (sulygiuota)
Matricą $ \ widetilde (A) $ sumažinome iki trapecijos formos. Pagrindinėje gautos matricos dagonalėje $ \ left (\ begin (masyvas) (ccc | c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 & 5 & -10 \\ 0 & 0 & -7 & 14 \ pabaiga (masyvas) \ dešinė) $ yra trys nuliniai elementai: -1, 3 ir -7. Išvada: matricos $ \ widetilde (A) $ rangas yra 3, t.y. $ \ skamb \ widetilde (A) = 3 $. Atlikdami transformacijas su matricos $ \ widetilde (A) $ elementais, vienu metu transformavome matricos $ A $ elementus, esančius iki linijos. Matrica $ A $ taip pat yra trapecijos formos: $ \ left (\ pradžia (masyvas) (ccc) -1 & 2 & -4 \\ 0 & 3 & 5 \\ 0 & 0 & -7 \ end (masyvas) \ dešinė ) $. Išvada: matricos $ A $ rangas taip pat lygus 3, t.y. $ \ skambėjo A = 3 $.
Kadangi $ \ rang A = \ rang \ widetilde (A) $, pagal Kronecker-Capelli teoremą, sistema yra nuosekli, t.y. turi sprendimą. Norėdami nurodyti sprendimų skaičių, atsižvelkime į tai, kad mūsų SLAE yra 3 nežinomieji: $ x_1 $, $ x_2 $ ir $ x_3 $. Kadangi nežinomųjų skaičius yra $ n = 3 $, darome išvadą: $ \ rang A = \ rang \ widetilde (A) = n $, todėl pagal išvadą iš Kronecker-Capelli teoremos sistema yra apibrėžta, t.y. turi tik vieną sprendimą.
Kokie antrojo metodo pranašumai? Pagrindinis privalumas yra jo universalumas. Mums visiškai nesvarbu, ar sistemos matrica yra kvadratinė, ar ne. Be to, iš tikrųjų atlikome Gauso metodo krypties transformacijas. Liko tik keli veiksmai, ir mes galime gauti šios SLAE sprendimą. Jei atvirai, antrasis būdas man patinka labiau nei pirmasis, bet pasirinkimas yra skonio reikalas.
Atsakymas: pateikta SLAE yra nuosekli ir apibrėžta.
2 pavyzdys
Naršyti SLAE $ \ left \ (\ pradžia (sulygiuota) & x_1-x_2 + 2x_3 = -1; \\ & -x_1 + 2x_2-3x_3 = 3; \\ & 2x_1-x_2 + 3x_3 = 2; \\ & 3x_1- 2x_2 + 5x_3 = 1; \\ & 2x_1-3x_2 + 5x_3 = -4. \ Pabaiga (sulygiuota) \ dešinė. $ Dėl suderinamumo.
Sistemos matricos ir išplėstinės sistemos matricos gretas rasime elementariųjų transformacijų metodu. Išplėstinė sistemos matrica: $ \ widetilde (A) = \ left (\ begin (masyvas) (ccc | c) 1 & -1 & 2 & -1 \\ -1 & 2 & -3 & 3 \\ 2 & -1 & 3 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 1 \\ 2 & -3 & 5 & -4 \ pabaiga (masyvas) \ dešinė) $. Raskite reikiamus rangus transformuodami išplėstinę sistemos matricą:
Išplėstinė sistemos matrica sumažinama iki pakopinės formos. Jei matrica sumažinama iki pakopinės formos, tada jos rangas yra lygus nulinių eilučių skaičiui. Todėl $ \ skamb A = 3 $. Matrica $ A $ (iki eilutės) sumažinama iki trapecijos formos ir jos rangas yra lygus 2, $ \ rang A = 2 $.
Kadangi $ \ rang A \ neq \ rang \ widetilde (A) $, pagal Kronecker-Capelli teoremą, sistema yra nenuosekli (t. y. neturi sprendimų).
Atsakymas: Sistema nenuosekli.
3 pavyzdys
Naršyti SLAE $ \ left \ (\ pradėti (sulygiuoti) & 2x_1 + 7x_3-5x_4 + 11x_5 = 42; \\ & x_1-2x_2 + 3x_3 + 2x_5 = 17; \\ & -3x_1 + 9x_2-11_5 = 9x_2-11_5 \\ & -5x_1 + 17x_2-16x_3-5x_4-4x_5 = -90; \\ & 7x_1-17x_2 + 23x_3 + 15x_5 = 132. \ Pabaiga (sulygiuota) \ dešinė. $ Dėl suderinamumo.
Išplėstinė sistemos matrica yra: $ \ widetilde (A) = \ left (\ begin (masyvas) (ccccc | c) 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42 \\ 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17 \\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64 \\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \ pabaiga (masyvas) \ dešinė) $. Sukeiskime pirmąją ir antrąją šios matricos eilutes taip, kad pirmasis pirmosios eilutės elementas būtų vienas: $ \ left (\ begin (masyvas) (ccccc | c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17 \\ 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42 \\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64 \\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \ pabaiga (masyvas) \ dešinė) $.
Mes sumažinome išplėstinę sistemos matricą ir pačią sistemos matricą iki trapecijos formos. Sistemos išplėstinės matricos rangas yra trys, sistemos matricos rangas taip pat yra trys. Kadangi sistemoje yra $ n = 5 $ nežinomųjų, t.y. $ \ skamb \ widetilde (A) = \ skamb A< n$, то согласно следствия из теоремы Кронекера-Капелли данная система является неопределённой, т.е. имеет бесконечное количество решений.
Atsakymas: sistema neapibrėžta.
Antroje dalyje analizuosime pavyzdžius, kurie dažnai įtraukiami į tipinius aukštosios matematikos skaičiavimus ar testus: suderinamumo tyrimą ir SLAE sprendimą, priklausomai nuo į jį įtrauktų parametrų verčių.
1 pavyzdys... Raskite bendrą sprendimą ir konkretų sistemos sprendimąSprendimas atliekame naudodami skaičiuotuvą. Parašykime išplėstines ir pagrindines matricas: 
Pagrindinė matrica A atskirta punktyrine linija. Viršuje rašome nežinomas sistemas, turint omeny galimą dėmenų pertvarkymą sistemos lygtyse. Nustatydami išplėstinės matricos rangą, vienu metu randame rangą ir pagrindinį. Matricoje B pirmoji ir antroji stulpeliai yra proporcingi. Iš dviejų proporcingų stulpelių tik vienas gali patekti į pagrindinį minorą, todėl, pavyzdžiui, pirmą stulpelį perkeliame už brūkšninės linijos su priešingu ženklu. Sistemai tai reiškia terminų perkėlimą iš x 1 į dešinę lygčių pusę. 
Perkelkime matricą į trikampę formą. Dirbsime tik su eilutėmis, nes matricos eilutę padauginus iš kito skaičiaus nei nulis ir pridėjus prie kitos sistemos eilutės, lygtį padauginsime iš to paties skaičiaus ir pridėsime su kita lygtimi, kuri nekeičia sprendinio. sistema. Dirbame su pirmąja eilute: pirmąją matricos eilutę padauginkite iš (-3) ir paeiliui pridėkite prie antros ir trečios eilučių. Tada pirmąją eilutę padauginame iš (-2) ir pridedame prie ketvirtos. 
Antroji ir trečioji eilutės yra proporcingos, todėl vieną iš jų, pavyzdžiui, antrą, galima perbraukti. Tai prilygsta antrosios sistemos lygties išbraukimui, nes tai yra trečiosios pasekmė. 
Dabar dirbame su antrąja eilute: padauginkite ją iš (-1) ir pridėkite prie trečios. 
Brūkšninis minoras turi aukščiausią eilę (iš galimų mažųjų) ir yra ne nulis (lygus pagrindinės įstrižainės elementų sandaugai), o ši mažoji priklauso ir pagrindinei, ir išplėstinei matricai, todėl rangA = skambutis B = 3.
Nepilnametis 
yra pagrindinis. Tai apima nežinomųjų x 2, x 3, x 4 koeficientus, o tai reiškia, kad nežinomieji x 2, x 3, x 4 yra priklausomi, o x 1, x 5 yra laisvi.
Transformuojame matricą, kairėje paliekant tik bazinį minorą (tai atitinka aukščiau pateikto sprendimo algoritmo 4 punktą). 
Sistema su šios matricos koeficientais yra lygiavertė pradinei sistemai ir turi formą
Naudodami nežinomųjų pašalinimo metodą, randame: 
, ,
Gavome santykius, išreiškiančius priklausomus kintamuosius x 2, x 3, x 4 per laisvuosius x 1 ir x 5, tai yra, radome bendrą sprendimą: 
Priskirdami bet kokias reikšmes laisviesiems nežinomiesiems, gauname tiek konkrečių sprendimų, kiek norime. Raskime du konkrečius sprendimus:
1) tegul x 1 = x 5 = 0, tada x 2 = 1, x 3 = -3, x 4 = 3;
2) įdėkite x 1 = 1, x 5 = -1, tada x 2 = 4, x 3 = -7, x 4 = 7.
Taigi radome du sprendimus: (0.1, -3.3.0) - vienas sprendimas, (1.4, -7.7, -1) - kitas sprendimas.
2 pavyzdys... Ištirkite suderinamumą, raskite bendrą ir vieną konkretų sistemos sprendimą 
Sprendimas... Pertvarkome pirmąją ir antrąją lygtis, kad pirmoje lygtyje būtų vienybė, ir užrašome matricą B. 
Ketvirtajame stulpelyje gauname nulius, veikiančius pirmoje eilutėje: 
Dabar mes gauname nulius trečiajame stulpelyje naudodami antrą eilutę: 
Trečia ir ketvirta eilutės yra proporcingos, todėl vieną iš jų galima nubraukti nekeičiant rango:
Trečią eilutę padauginame iš (–2) ir pridedame prie ketvirtos: 
Matome, kad pagrindinės ir išplėstinės matricos rangai yra lygūs 4, o rangas sutampa su nežinomųjų skaičiumi, todėl sistema turi unikalų sprendimą:
;
x 4 = 10 - 3x 1 - 3x 2 - 2x 3 = 11.
3 pavyzdys... Patikrinkite sistemos suderinamumą ir raskite sprendimą, jei jis yra. 
Sprendimas... Sudarome išplėstinę sistemos matricą. 
Pertvarkome pirmąsias dvi lygtis taip, kad viršutiniame kairiajame kampe būtų 1:
Pirmąją eilutę padauginę iš (-1), pridėkite ją prie trečios: 
Padauginkite antrąją eilutę iš (-2) ir pridėkite prie trečios: 
Sistema nenuosekli, nes pagrindinėje matricoje gavome eilutę, susidedančią iš nulių, kuri nubraukiama, kai randamas rangas, o išplėstinėje matricoje liks paskutinė eilutė, tai yra, r B> r A.
Pratimas... Ištirkite šią nuoseklumo lygčių sistemą ir išspręskite ją matricos skaičiavimu.
Sprendimas
Pavyzdys... Įrodykite tiesinių lygčių sistemos suderinamumą ir išspręskite ją dviem būdais: 1) Gauso metodu; 2) Cramerio metodas. (įveskite atsakymą į formą: x1, x2, x3)
Sprendimas: doc: doc: xls
Atsakymas: 2,-1,3.
Pavyzdys... Pateikta tiesinių lygčių sistema. Įrodykite jo suderinamumą. Raskite bendrą sistemos sprendimą ir vieną konkretų sprendimą.
Sprendimas
Atsakymas: x 3 = - 1 + x 4 + x 5; x 2 = 1 - x 4; x 1 = 2 + x 4 - 3x 5
Pratimas... Raskite bendrus ir konkrečius sprendimus kiekvienai sistemai.
Sprendimas. Ištirkime šią sistemą naudodami Kronecker-Capelli teoremą.
Parašykime išplėstines ir pagrindines matricas:
| 1 | 1 | 14 | 0 | 2 | 0 |
| 3 | 4 | 2 | 3 | 0 | 1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
| x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
Čia matrica A paryškinta.
Perkelkime matricą į trikampę formą. Dirbsime tik su eilutėmis, nes matricos eilutę padauginus iš kito skaičiaus nei nulis ir pridėjus prie kitos sistemos eilutės, lygtį padauginsime iš to paties skaičiaus ir pridėsime su kita lygtimi, kuri nekeičia sprendinio. sistema.
Padauginkite 1 eilutę iš (3). Padauginkite 2 eilutę iš (-1). Pridėkime 2-ąją eilutę prie 1-osios:
| 0 | -1 | 40 | -3 | 6 | -1 |
| 3 | 4 | 2 | 3 | 0 | 1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
Padauginkite 2 eilutę iš (2). Padauginkite 3 eilutę iš (-3). Pridėkime 3-ią eilutę prie 2-osios:
| 0 | -1 | 40 | -3 | 6 | -1 |
| 0 | -1 | 13 | -3 | 6 | -1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
Padauginkite 2 eilutę iš (-1). Pridėkime 2-ąją eilutę prie 1-osios:
| 0 | 0 | 27 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | -1 | 13 | -3 | 6 | -1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
Paryškintas minoras turi aukščiausią eilę (iš galimų mažųjų) ir yra ne nulis (lygus atvirkštinės įstrižainės elementų sandaugai), o šis minoras priklauso ir pagrindinei, ir išplėstinei matricai, todėl skambėjo ( A) = skambėjo (B) = 3. Kadangi pagrindinės matricos rangas yra lygus išplėstinės matricos rangui, tada sistema yra jungtis.
Šis nepilnametis yra pagrindinis. Tai apima nežinomųjų x 1, x 2, x 3 koeficientus, o tai reiškia, kad nežinomieji x 1, x 2, x 3 yra priklausomi (pagrindiniai), o x 4, x 5 yra laisvi.
Transformuojame matricą, palikdami tik bazinį minorą kairėje.
| 0 | 0 | 27 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | -1 | 13 | -1 | 3 | -6 |
| 2 | 3 | -3 | 1 | -3 | 2 |
| x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
27x3 =
- x 2 + 13x 3 = - 1 + 3x 4 - 6x 5
2x 1 + 3x 2 - 3x 3 = 1 - 3x 4 + 2x 5
Naudodami nežinomųjų pašalinimo metodą, randame:
Gavome ryšius, išreiškiančius priklausomus kintamuosius x 1, x 2, x 3 per laisvuosius x 4, x 5, tai yra, radome bendras sprendimas:
x 3 = 0
x 2 = 1 - 3x 4 + 6x 5
x 1 = - 1 + 3x 4 - 8x 5
neapibrėžtas nuo turi daugiau nei vieną sprendimą.
Pratimas... Išspręskite lygčių sistemą.
Atsakymas: x 2 = 2 – 1,67 x 3 + 0,67 x 4
x 1 = 5 – 3,67 x 3 + 0,67 x 4
Priskirdami bet kokias reikšmes laisviesiems nežinomiesiems, gauname tiek konkrečių sprendimų, kiek norime. Sistema yra neapibrėžtas
