Дээр энэ хичээлБид системийг шийдвэрлэх аргуудыг авч үзэх болно шугаман тэгшитгэл. Дээд математикийн хичээлийн хувьд шугаман тэгшитгэлийн системийг тусдаа даалгаврын хэлбэрээр, жишээлбэл, "Крамерын томъёог ашиглан системийг шийдэх" болон бусад асуудлыг шийдвэрлэх явцад хоёуланг нь шийдвэрлэх шаардлагатай байдаг. Дээд математикийн бараг бүх салбарт шугаман тэгшитгэлийн системтэй ажиллах шаардлагатай болдог.

Нэгдүгээрт, бага зэрэг онол. Энэ тохиолдолд "шугаман" гэсэн математикийн үг ямар утгатай вэ? Энэ нь системийн тэгшитгэлд гэсэн үг юм бүгдхувьсагчдыг оруулсан болно нэгдүгээр зэрэгт: тийм гоё зүйл байхгүй гэх мэт, үүнээс зөвхөн математикийн олимпиадад оролцогчид баяртай байдаг.

AT дээд математикХувьсагчдыг тодорхойлохын тулд зөвхөн бага наснаасаа мэддэг үсгийг ашигладаггүй.
Нэлээд алдартай сонголт бол индекс бүхий хувьсагч юм: .
Эсвэл латин цагаан толгойн жижиг, том эхний үсгүүд:
Грек үсгийг олох нь тийм ч ховор биш юм: - олон хүн "альфа, бета, гамма" мэддэг. Мөн түүнчлэн "mu" үсэг бүхий индекс бүхий багц:

Нэг буюу өөр үсгийн хэрэглээ нь шугаман тэгшитгэлийн системтэй тулгарч буй дээд математикийн салбараас хамаарна. Жишээлбэл, интегралыг шийдвэрлэхэд тохиолддог шугаман тэгшитгэлийн системд, дифференциал тэгшитгэлуламжлалт тэмдэглэгээг ашигладаг

Гэхдээ хувьсагчдыг хэрхэн тодорхойлсон ч шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх зарчим, арга, арга нь үүнээс өөрчлөгддөггүй. Тиймээс, хэрэв та ямар нэгэн аймшигтай зүйлтэй тулгарвал айж сандарсандаа асуудлын номыг хаах гэж яарах хэрэггүй, үүний оронд та нар, оронд нь шувуу, оронд нь нүүр (багш) зурж болно. Хачирхалтай нь эдгээр тэмдэглэгээ бүхий шугаман тэгшитгэлийн системийг бас шийдэж болно.

Энэ нийтлэл нь нэлээд урт байх болно гэдгийг би урьдчилан таамаглаж байгаа зүйл бол жижиг агуулгын хүснэгт юм. Тиймээс дараалсан "товчлох" нь дараах байдалтай байна.

– Шугаман тэгшитгэлийн системийг орлуулах аргаар шийдвэрлэх (“сургуулийн арга”);
– Системийн тэгшитгэлийг гишүүнээр нь нэмэх (хасах) аргаар системийн шийдэл.;
– Крамерын томъёогоор системийн шийдэл;
– Урвуу матриц ашиглан системийн шийдэл;
– Гауссын аргаар системийн шийдэл.

Сургуулийн математикийн хичээлээс шугаман тэгшитгэлийн системийг хүн бүр мэддэг. Үнэндээ бид давталтаас эхэлдэг.

Шугаман тэгшитгэлийн системийг орлуулах аргаар шийдвэрлэх

Энэ аргыг "сургуулийн арга" эсвэл үл мэдэгдэх зүйлийг арилгах арга гэж нэрлэж болно. Дүрслэн хэлэхэд үүнийг "хагас боловсруулсан Гауссын арга" гэж бас нэрлэж болно.

Жишээ 1

Энд хоёр үл мэдэгдэх хоёр тэгшитгэлийн систем байна. Чөлөөт нөхцөлүүд (5 ба 7 дугаар) тэгшитгэлийн зүүн талд байрлана гэдгийг анхаарна уу. Ерөнхийдөө тэд хаана, зүүн эсвэл баруун талд байх нь хамаагүй, зөвхөн дээд математикийн бодлогод тэдгээр нь ихэвчлэн ийм байдлаар байрладаг. Мөн ийм бүртгэл нь төөрөгдүүлэх ёсгүй, хэрэв шаардлагатай бол системийг "ердийнх шигээ" үргэлж бичиж болно:. Нэр томъёог хэсэгчлэн шилжүүлэхдээ түүний тэмдгийг өөрчлөх шаардлагатай гэдгийг бүү мартаарай.

Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийднэ гэдэг нь юу гэсэн үг вэ? Тэгшитгэлийн системийг шийднэ гэдэг нь түүний шийдлийн багцыг олохыг хэлнэ. Системийн шийдэл нь түүнд багтсан бүх хувьсагчийн утгуудын багц юм. Энэ нь системийн тэгшитгэл бүрийг жинхэнэ тэгшитгэл болгон хувиргадаг. Үүнээс гадна, систем байж болно нийцэхгүй (шийдэл байхгүй).Бүү ичимхий, тийм ерөнхий тодорхойлолт=) Бид-тэй тэгшитгэл бүрийг хангадаг "x"-ийн зөвхөн нэг утга, "y"-ийн нэг утгатай байх болно.

Системийг шийдвэрлэх график арга байдаг бөгөөд үүнийг хичээлээс олж болно. Шулуун шугамтай холбоотой хамгийн энгийн асуудлууд. Тэнд би ярьсан геометрийн мэдрэмжХоёр үл мэдэгдэх хоёр шугаман тэгшитгэлийн систем. Харин одоо хашаанд алгебрийн эрин үе ирж, тоо-тоо, үйлдэл-үйлдэл.

Бид шийднэ: эхний тэгшитгэлээс бид дараахыг илэрхийлнэ:
Бид үүссэн илэрхийлэлийг хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулна.

Бид хаалт нээж, ижил нөхцөлийг өгч, утгыг олно:

Дараа нь бид тэд юу бүжиглэж байсныг санаж байна:
Бид үнэ цэнийг аль хэдийн мэдэж байгаа тул үүнийг олох хэрэгтэй:

Хариулах:

Аливаа тэгшитгэлийн системийг ямар ч аргаар шийдэж дууссаны дараа шалгахыг зөвлөж байна (амаар, ноорог эсвэл тооны машин дээр). Аз болоход энэ нь хурдан бөгөөд амархан хийгддэг.

1) Эхний тэгшитгэлд олсон хариултыг орлуулна уу:

- зөв тэгш байдлыг олж авсан.

2) Бид олсон хариултыг хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулна.

- зөв тэгш байдлыг олж авсан.

Эсвэл илүү энгийнээр хэлбэл "бүх зүйл нэг дор цугларсан"

Шийдвэрлэх арга нь цорын ганц биш бөгөөд эхний тэгшитгэлээс үүнийг илэрхийлэх боломжтой байсан, гэхдээ үгүй.
Та эсрэгээр болно - хоёр дахь тэгшитгэлээс ямар нэг зүйлийг илэрхийлж, эхний тэгшитгэлд орлуулж болно. Дашрамд хэлэхэд, дөрвөн аргын хамгийн сул тал нь хоёр дахь тэгшитгэлээс илэрхийлэх явдал гэдгийг анхаарна уу.

Бутархай хэсгүүдийг олж авдаг, гэхдээ яагаад ийм байна вэ? Илүү оновчтой шийдэл бий.

Гэсэн хэдий ч зарим тохиолдолд фракцууд зайлшгүй шаардлагатай хэвээр байна. Үүнтэй холбогдуулан би илэрхийллийг ХЭРХЭН бичсэнд анхаарлаа хандуулж байна. Ийм биш: үүнтэй адил биш: .

Хэрэв та дээд математикийн хувьд бутархай тоонуудтай харьцаж байгаа бол бүх тооцоог энгийн буруу бутархайгаар хийхийг хичээ.

Яг тийм биш, эсвэл!

Таслалыг зөвхөн хааяа ашиглаж болно, ялангуяа энэ бол зарим асуудлын эцсийн хариулт бөгөөд энэ тоогоор цаашид ямар ч үйлдэл хийх шаардлагагүй.

Олон уншигчид "Яагаад ийм нарийн тайлбар, залруулгын ангийн тухайд бүх зүйл тодорхой байна" гэж бодсон байх. Ийм зүйл байхгүй, энэ нь сургуулийн энгийн жишээ юм шиг санагдаж байна, гэхдээ хичнээн маш чухал дүгнэлт вэ! Энд өөр нэг байна:

Аливаа ажлыг хамгийн оновчтой байдлаар дуусгахыг хичээх хэрэгтэй.. Зөвхөн цаг хугацаа, мэдрэлийг хэмнэж, алдаа гаргах магадлалыг бууруулдаг.

Хэрэв дээд математикийн даалгавар дээр хоёр үл мэдэгдэх хоёр шугаман тэгшитгэлийн системтэй тааралдвал орлуулах аргыг үргэлж ашиглаж болно (хэрэв системийг өөр аргаар шийдвэрлэх шаардлагатай гэж заагаагүй бол).
Түүнээс гадна зарим тохиолдолд орлуулах аргыг илүү олон тооны хувьсагчтай ашиглахыг зөвлөж байна.

Жишээ 2

Гурван үл мэдэгдэх шугаман тэгшитгэлийн системийг шийд

Ижил төстэй тэгшитгэлийн систем нь оновчтой бутархай функцийн интегралыг олох үед тодорхойгүй коэффициент гэж нэрлэгддэг аргыг ашиглах үед ихэвчлэн үүсдэг. Тэр системийг би тэндээс авсан.

Интегралыг олох үед - зорилго хурданкоэффициентүүдийн утгыг олох, Крамерын томъёо, урвуу матрицын арга гэх мэт нарийн төвөгтэй байж болохгүй. Тиймээс энэ тохиолдолд орлуулах арга тохиромжтой.

Аливаа тэгшитгэлийн системийг өгөхдөө юуны түрүүнд үүнийг олж мэдэх нь зүйтэй боловч үүнийг ШУУД хялбарчлах боломжтой юу? Системийн тэгшитгэлд дүн шинжилгээ хийхдээ системийн хоёр дахь тэгшитгэлийг 2-т хувааж болохыг бид анзаарч, бид үүнийг хийдэг.

Лавлагаа: математикийн тэмдэгЭнэ нь "Үүнээс үүдэн үүнийг дагадаг" гэсэн утгатай бөгөөд энэ нь асуудлыг шийдвэрлэх явцад ихэвчлэн хэрэглэгддэг.

Одоо бид тэгшитгэлд дүн шинжилгээ хийж, зарим нэг хувьсагчийг үлдсэнээр нь илэрхийлэх хэрэгтэй. Аль тэгшитгэлийг сонгох вэ? Энэ зорилгоор хамгийн хялбар арга бол системийн эхний тэгшитгэлийг авах явдал гэдгийг та аль хэдийн таамагласан байх.

Энд аль хувьсагчийг илэрхийлэх нь хамаагүй, эсвэл .

Дараа нь бид системийн хоёр ба гурав дахь тэгшитгэлийн илэрхийлэлийг орлуулна.

Хаалтуудыг нээж, ижил нэр томъёог нэмнэ үү:

Гурав дахь тэгшитгэлийг 2-т хуваана.

Хоёр дахь тэгшитгэлээс бид илэрхийлж, гурав дахь тэгшитгэлд орлуулна.

Гурав дахь тэгшитгэлээс бид бараг бүх зүйл бэлэн болсон.
Хоёр дахь тэгшитгэлээс:
Эхний тэгшитгэлээс:

Шалгах: Системийн тэгшитгэл бүрийн зүүн талд байгаа хувьсагчдын олсон утгыг орлуулна уу.

1)
2)
3)

Тэгшитгэлийн баруун талын харгалзах талуудыг олж авсан тул шийдийг зөв олно.

Жишээ 3

4 үл мэдэгдэх шугаман тэгшитгэлийн системийг шийд

Энэ бол өөрийгөө шийдэх жишээ юм (хичээлийн төгсгөлд хариулах).

Системийн тэгшитгэлийг гишүүнээр нь нэмэх (хасах) замаар системийн шийдэл

Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхдээ "сургуулийн арга" биш харин системийн тэгшитгэлийг улирал бүрээр нэмэх (хасах) аргыг ашиглахыг хичээх хэрэгтэй. Яагаад? Энэ нь цаг хугацаа хэмнэж, тооцооллыг хялбаршуулдаг боловч одоо илүү тодорхой болно.

Жишээ 4

Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийд:

Би эхний жишээтэй ижил системийг авсан.
Тэгшитгэлийн системд дүн шинжилгээ хийхдээ хувьсагчийн коэффициентүүд үнэмлэхүй утгаараа ижил, тэмдгээр эсрэгээрээ (–1 ба 1) байгааг бид анзаарч байна. Энэ тохиолдолд тэгшитгэлийг нэр томъёогоор нэмж болно:

Улаанаар дугуйлсан үйлдлүүдийг СЭТГЭЛЭЭР гүйцэтгэдэг.
Таны харж байгаагаар нэр томъёоны дагуу нэмсний үр дүнд бид хувьсагчаа алдсан. Энэ бол үнэндээ аргын мөн чанар нь аль нэг хувьсагчаас салах явдал юм.

-аас харагдаж байна Крамерын теоремуудШугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхэд гурван тохиолдол гарч болно.

Эхний тохиолдол: шугаман тэгшитгэлийн систем нь өвөрмөц шийдэлтэй

(систем нь тууштай бөгөөд тодорхой)

Хоёр дахь тохиолдол: шугаман тэгшитгэлийн систем нь хязгааргүй тооны шийдтэй

(систем нь тогтвортой бөгөөд тодорхойгүй)

** ,

тэдгээр. үл мэдэгдэх болон чөлөөт гишүүний коэффициентүүд пропорциональ байна.

Гурав дахь тохиолдол: шугаман тэгшитгэлийн системд шийдэл байхгүй

(системд нийцэхгүй)

Тиймээс систем мшугаман тэгшитгэлүүд nхувьсагч гэж нэрлэдэг нийцэхгүйямар ч шийдэлгүй бол, мөн хамтарсанХэрэв энэ нь дор хаяж нэг шийдэлтэй бол. Зөвхөн нэг шийдэлтэй тэгшитгэлийн хамтарсан системийг гэнэ тодорхой, мөн нэгээс олон тодорхойгүй.

Шугаман тэгшитгэлийн системийг Крамерын аргаар шийдвэрлэх жишээ

Системийг зөвшөөр

.

Крамерын теорем дээр үндэслэсэн

………….
,

хаана
-

системийн танигч. Үлдсэн тодорхойлогчдыг баганыг харгалзах хувьсагчийн коэффициент (үл мэдэгдэх) чөлөөт гишүүдээр солих замаар олж авна.

Жишээ 2

.

Тиймээс тогтолцоо нь тодорхой байна. Үүний шийдлийг олохын тулд бид тодорхойлогчдыг тооцоолно

Крамерын томъёогоор бид дараахь зүйлийг олно.

Тиймээс (1; 0; -1) нь системийн цорын ганц шийдэл юм.

3 X 3 ба 4 X 4 тэгшитгэлийн системийн шийдлүүдийг шалгахын тулд та онлайн тооцоолуур ашиглаж болно. шийдвэрлэх аргаКрамер.

Хэрэв нэг буюу хэд хэдэн тэгшитгэлд шугаман тэгшитгэлийн системд хувьсагч байхгүй бол тодорхойлогч дахь тэдгээрт тохирох элементүүд тэгтэй тэнцүү байна! Энэ бол дараагийн жишээ юм.

Жишээ 3Шугаман тэгшитгэлийн системийг Крамерын аргаар шийд.

.

Шийдвэр. Бид системийн тодорхойлогчийг олдог:

Тэгшитгэлийн систем болон системийн тодорхойлогчийг анхааралтай ажиглаж, тодорхойлогчийн нэг буюу хэд хэдэн элемент тэгтэй тэнцүү байх тохиолдолд асуултын хариултыг давт. Тэгэхээр тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү биш тул систем нь тодорхой байна. Үүний шийдлийг олохын тулд бид үл мэдэгдэх тодорхойлогчдыг тооцдог

Крамерын томъёогоор бид дараахь зүйлийг олно.

Тэгэхээр системийн шийдэл (2; -1; 1) байна.

6. Шугаман шугамын ерөнхий систем алгебрийн тэгшитгэл. Гауссын арга.

Бидний санаж байгаагаар Крамерын дүрэм ба матрицын арга нь систем нь хязгааргүй олон шийдэлтэй эсвэл нийцэхгүй байгаа тохиолдолд тохиромжгүй байдаг. Гауссын арга – хамгийн хүчирхэг ба бүх нийтийн хэрэгсэлшугаман тэгшитгэлийн аливаа системийн шийдийг олох, аль бүх тохиолдолдбиднийг хариулт руу хөтөл! Гурван тохиолдлын аргын алгоритм нь ижил аргаар ажилладаг. Хэрэв Крамер ба матрицын аргууд нь тодорхойлогчдын талаархи мэдлэгийг шаарддаг бол Гауссын аргыг хэрэглэх нь зөвхөн арифметик үйлдлийн талаархи мэдлэгийг шаарддаг бөгөөд энэ нь сургуулийн сурагчдад ч хүртээмжтэй болгодог. бага сургууль.

Нэгдүгээрт, бид шугаман тэгшитгэлийн системийн талаархи мэдлэгийг бага зэрэг системчилдэг. Шугаман тэгшитгэлийн систем нь:

1) Өвөрмөц шийдэлтэй байх.
2) Хязгааргүй олон шийдэлтэй байх.
3) Ямар ч шийдэл байхгүй (байх нийцэхгүй).

Гауссын арга бол шийдлийг олох хамгийн хүчирхэг, олон талын хэрэгсэл юм ямар чшугаман тэгшитгэлийн системүүд. Бидний санаж байгаагаар Крамерын дүрэм ба матрицын аргаСистем нь хязгааргүй олон шийдэлтэй эсвэл нийцэхгүй байгаа тохиолдолд тохиромжгүй. Үл мэдэгдэх зүйлийг дараалан арилгах арга ямар ч байсанбиднийг хариулт руу хөтөл! Энэ хичээл дээр бид Гауссын аргыг 1-р тохиолдол (системийн цорын ганц шийдэл) дахин авч үзэх болно, нийтлэл нь 2-3-р цэгүүдийн нөхцөл байдалд зориулагдсан болно. Аргын алгоритм нь бүх гурван тохиолдолд адилхан ажилладаг гэдгийг би тэмдэглэж байна.

Буцах хамгийн энгийн системхичээлээс Шугаман тэгшитгэлийн системийг хэрхэн шийдэх вэ?
Гауссын аргыг ашиглан шийднэ.

Эхний алхам бол бичих явдал юм Өргөтгөсөн матрицын систем:
. Коэффициентийг ямар зарчмаар бүртгэдэг вэ гэдгийг хүн бүр харж байгаа байх гэж бодож байна. Матрицын доторх босоо шугам нь ямар ч математикийн утгыг агуулдаггүй - энэ нь дизайныг хялбарчлах үүднээс зүгээр л зураас юм.

Лавлагаа:Би санаж байхыг зөвлөж байна нөхцөлшугаман алгебр. Системийн матрицнь зөвхөн үл мэдэгдэх коэффициентүүдээс бүрдэх матриц бөгөөд энэ жишээнд системийн матриц: . Өргөтгөсөн системийн матрицнь системийн ижил матриц ба чөлөөт нөхцлийн багана бөгөөд энэ тохиолдолд: . Аливаа матрицыг товчилсон матриц гэж нэрлэж болно.

Системийн өргөтгөсөн матрицыг бичсэний дараа түүнтэй хамт зарим үйлдлүүдийг хийх шаардлагатай бөгөөд үүнийг бас нэрлэдэг. анхан шатны өөрчлөлтүүд.

Дараах үндсэн өөрчлөлтүүд байдаг.

1) Мөрматрицууд дахин зохион байгуулж болногазрууд. Жишээлбэл, авч үзэж буй матрицад та эхний болон хоёр дахь мөрийг аюулгүйгээр дахин байрлуулж болно.

2) Хэрэв матрицад пропорциональ (эсвэл гарч ирсэн) байвал онцгой тохиолдолижил) мөрүүд, дараа нь энэ нь дагадаг устгахматрицаас, нэгээс бусад бүх мөр. Жишээлбэл, матрицыг авч үзье . Энэ матрицад сүүлийн гурван эгнээ пропорциональ байгаа тул тэдгээрийн зөвхөн нэгийг нь үлдээхэд хангалттай. .

3) Хэрэв хувиргалт хийх явцад матрицад тэг мөр гарч ирсэн бол энэ нь мөн адил байна устгах. Би зурахгүй, мэдээжийн хэрэг, тэг шугам нь ямар шугам юм зөвхөн тэг.

4) Матрицын мөр байж болно үржүүлэх (хуваах)дурын тооны хувьд тэг биш. Жишээлбэл, матрицыг авч үзье. Энд эхний мөрийг -3-аар хувааж, хоёр дахь мөрийг 2-оор үржүүлэхийг зөвлөж байна. . Энэ үйлдэл нь матрицын цаашдын хувиргалтыг хялбарчлах тул маш хэрэгтэй.

5) Энэ хувиргалт нь хамгийн их хүндрэл учруулдаг боловч үнэндээ тийм ч төвөгтэй зүйл байхгүй. Матрицын эгнээнд та чадна тоогоор үржүүлсэн өөр мөр нэмнэ, тэгээс ялгаатай. Манай матрицыг авч үзье кейс судалгаа: . Эхлээд би өөрчлөлтийн талаар дэлгэрэнгүй тайлбарлах болно. Эхний мөрийг -2-оор үржүүлнэ: , ба хоёр дахь мөрөнд бид эхний мөрийг -2-оор үржүүлнэ: . Одоо эхний мөрийг "буцаж" -2-оор хувааж болно: . Таны харж байгаагаар НЭМЭГДСЭН мөр Л.И – өөрчлөгдөөгүй. Үргэлжмөрийг өөрчилсөн, НЭМЭГДСЭН UT.

Практикт мэдээжийн хэрэг тэд ийм нарийн зурдаггүй, гэхдээ богино бичдэг:

Дахин нэг удаа: хоёр дахь мөрөнд -2-оор үржүүлсэн эхний мөрийг нэмсэн. Мөрийг ихэвчлэн амаар эсвэл ноорог дээр үржүүлдэг бол тооцооллын сэтгэцийн явц нь дараах байдалтай байна.

"Би матрицыг дахин бичиж, эхний мөрийг дахин бичнэ: »

Эхний багана. Доор би тэг авах хэрэгтэй. Тиймээс дээрх нэгжийг -2:-оор үржүүлж, хоёр дахь мөрөнд эхнийхийг нэмнэ: 2 + (-2) = 0. Би үр дүнг хоёр дахь мөрөнд бичнэ: »

"Одоо хоёр дахь багана. -1 дахин -2-оос дээш: . Би эхний мөрийг хоёр дахь мөрөнд нэмнэ: 1 + 2 = 3. Би үр дүнг хоёр дахь мөрөнд бичнэ: »

"Ба гурав дахь багана. -5 дахин их -2: . Би эхний мөрийг хоёр дахь мөрөнд нэмнэ: -7 + 10 = 3. Би үр дүнг хоёр дахь мөрөнд бичнэ: »

Энэ жишээг сайтар бодож, дараалсан тооцооллын алгоритмыг ойлгоорой, хэрвээ та үүнийг ойлгож байгаа бол Гауссын арга нь бараг "халаасандаа" байна. Гэхдээ мэдээжийн хэрэг бид энэ өөрчлөлтийг хийхээр ажиллаж байна.

Элементар хувиргалт нь тэгшитгэлийн системийн шийдийг өөрчилдөггүй

! АНХААР: заль мэх гэж үздэг ашиглаж чадахгүй, хэрэв танд матрицуудыг "өөрсдөө" өгдөг даалгавар санал болгосон бол. Жишээлбэл, "сонгодог" матрицуудямар ч тохиолдолд та матриц доторх ямар нэг зүйлийг дахин цэгцлэх ёсгүй!

Систем рүүгээ буцаж орцгооё. Тэр бараг хэсэг хэсгээрээ хуваагдсан.

Систем болон ашиглалтын нэмэгдүүлсэн матрицыг бичье анхан шатны өөрчлөлтүүдтүүнийг авчрах шаталсан харах:

(1) Эхний мөрийг хоёр дахь эгнээнд нэмж, -2-оор үржүүлсэн. Дахин хэлэхэд: яагаад бид эхний мөрийг -2-оор үржүүлдэг вэ? Доод талдаа тэг авахын тулд, энэ нь хоёр дахь мөрөнд нэг хувьсагчаас салах гэсэн үг юм.

(2) Хоёр дахь эгнээ 3-аар хуваагдана.

Анхан шатны өөрчлөлтүүдийн зорилго – матрицыг алхам хэлбэрт хөрвүүлэх: . Даалгаврын загвар гаргахдаа тэд "шат" -ыг энгийн харандаагаар шууд зурж, "алхам" дээр байрлах тоонуудыг дугуйлна. "Шаталсан үзэл" гэсэн нэр томъёо нь шинжлэх ухаанд тийм ч онолын хувьд биш юм боловсролын уран зохиолихэвчлэн гэж нэрлэдэг трапец хэлбэрийн харагдацэсвэл гурвалжин үзэмж.

Энгийн өөрчлөлтүүдийн үр дүнд бид олж авсан тэнцүүАнхны тэгшитгэлийн систем:

Одоо системийг эсрэг чиглэлд "муйрах" хэрэгтэй - доороос дээш, энэ процессыг нэрлэдэг. урвуу Гауссын арга.

Доод тэгшитгэлд бид аль хэдийн дууссан үр дүнд хүрсэн байна: .

Системийн эхний тэгшитгэлийг авч үзээд аль хэдийн орлуулаарай мэдэгдэж байгаа үнэ цэнэ"yig":

Шийдвэрлэхийн тулд Гауссын аргыг ашиглах шаардлагатай хамгийн нийтлэг нөхцөл байдлыг авч үзье гуравгурван үл мэдэгдэх шугаман тэгшитгэл.

Жишээ 1

Гауссын аргыг ашиглан тэгшитгэлийн системийг шийд.

Системийн нэмэгдүүлсэн матрицыг бичье.

Одоо би шийдлийн явцад хүрэх үр дүнг нэн даруй зурах болно.

Би давтан хэлэхэд бидний зорилго бол энгийн хувиргалтуудыг ашиглан матрицыг шаталсан хэлбэрт оруулах явдал юм. Хаанаас арга хэмжээ авч эхлэх вэ?

Эхлээд зүүн дээд талын дугаарыг харна уу:

Бараг үргэлж энд байх ёстой нэгж. Ерөнхийдөө -1 (заримдаа бусад тоонууд) ч тохирох болно, гэхдээ ямар нэгэн байдлаар тэнд нэгжийг ихэвчлэн байрлуулсан байдаг. Хэрхэн нэгжийг зохион байгуулах вэ? Бид эхний баганыг хардаг - бид бэлэн нэгжтэй байна! Нэгдүгээр өөрчлөлт: эхний болон гурав дахь мөрийг солих:

Одоо эхний мөр нь шийдлийн төгсгөл хүртэл өөрчлөгдөөгүй хэвээр байх болно. Одоо зүгээр.

Зүүн дээд талд байгаа нэгж нь зохион байгуулалттай. Одоо та эдгээр газруудад тэг авах хэрэгтэй:

Тэгийг зөвхөн "хэцүү" өөрчлөлтийн тусламжтайгаар олж авдаг. Эхлээд бид хоёр дахь мөрөнд (2, -1, 3, 13) ханддаг. Эхний байрлалд тэг авахын тулд юу хийх хэрэгтэй вэ? Хэрэгтэй хоёр дахь мөрөнд эхний мөрийг -2-оор үржүүлнэ. Оюун санааны хувьд эсвэл ноорог дээр бид эхний мөрийг -2-оор үржүүлнэ: (-2, -4, 2, -18). Мөн бид байнга (дахин оюун ухаанаараа эсвэл ноорог дээр) нэмэлт, өөрчлөлт оруулдаг. хоёр дахь мөрөнд бид аль хэдийн -2-оор үржүүлсэн эхний мөрийг нэмнэ:

Үр дүнг хоёр дахь мөрөнд бичнэ:

Үүний нэгэн адил бид гурав дахь мөрөнд (3, 2, -5, -1) ханддаг. Эхний байрлалд тэг авахын тулд танд хэрэгтэй Гурав дахь мөрөнд эхний мөрийг -3-аар үржүүлнэ. Оюун санааны хувьд эсвэл ноорог дээр бид эхний мөрийг -3-аар үржүүлнэ: (-3, -6, 3, -27). Тэгээд Гурав дахь мөрөнд бид эхний мөрийг -3-аар үржүүлнэ:

Үр дүнг гурав дахь мөрөнд бичнэ.

Практикт эдгээр үйлдлүүдийг ихэвчлэн амаар хийж, нэг алхамаар бичдэг.

Бүх зүйлийг нэг дор, нэгэн зэрэг тоолох шаардлагагүй. Тооцооллын дараалал, үр дүнг "оруулах" тууштайихэвчлэн ийм байдаг: эхлээд бид эхний мөрийг дахин бичээд чимээгүйхэн хийсгэнэ - ТУСГАЙ болон АНХААРАЛТАЙ:


Дээр дурдсан тооцооллын сэтгэцийн явцыг би аль хэдийн авч үзсэн.

Энэ жишээн дээр үүнийг хийхэд хялбар, бид хоёр дахь мөрийг -5-д хуваадаг (бүх тоонууд 5-д үлдэгдэлгүйгээр хуваагддаг тул). Үүний зэрэгцээ бид гурав дахь мөрийг -2-оор хуваана, учир нь тоо бага байх тусам шийдэл нь хялбар болно.

Анхан шатны хувиргалтын эцсийн шатанд дахиад нэг тэгийг эндээс авах шаардлагатай.

Үүний төлөө Гурав дахь мөрөнд бид хоёр дахь мөрийг нэмж, -2-оор үржүүлнэ:


Энэ үйлдлийг өөрөө задлан шинжилж үзээрэй - хоёр дахь мөрийг оюун ухаанаараа -2-оор үржүүлж, нэмэлтийг гүйцэтгээрэй.

Гүйцэтгэсэн хамгийн сүүлийн үйлдэл бол үр дүнгийн үс засалт бөгөөд гурав дахь мөрийг 3-аар хуваана.

Энгийн хувиргалтуудын үр дүнд шугаман тэгшитгэлийн ижил төстэй анхны системийг олж авав.

Сайхан байна.

Одоо Гауссын аргын урвуу чиглэл хэрэгжиж байна. Тэгшитгэлүүд нь доороосоо "тайлдаг".

Гурав дахь тэгшитгэлд бид аль хэдийн дууссан үр дүнд хүрсэн байна:

Хоёр дахь тэгшитгэлийг авч үзье: . "z"-ийн утгыг аль хэдийн мэддэг болсон тул:

Эцэст нь эхний тэгшитгэл: . "Y" ба "Z" нь мэдэгдэж байгаа, асуудал бага байна:

Хариулах:

Дахин дахин дурьдсанчлан тэгшитгэлийн аливаа системийн хувьд олсон шийдлийг шалгах боломжтой бөгөөд зайлшгүй шаардлагатай бөгөөд аз болоход энэ нь хэцүү бөгөөд хурдан биш юм.

Жишээ 2

Энэ бол хичээлийн төгсгөлд өөрийгөө шийдвэрлэх жишээ, дуусгах жишээ, хариулт юм.

Таны үйл ажиллагааны чиглэлМиний үйл ажиллагааны чиглэлтэй таарахгүй байж магадгүй, бөгөөд энэ нь Гауссын аргын онцлог юм. Гэхдээ хариултууд нь адилхан байх ёстой!

Жишээ 3

Шугаман тэгшитгэлийн системийг Гауссын аргыг ашиглан шийд

Системийн өргөтгөсөн матрицыг бичиж, энгийн хувиргалтуудыг ашиглан шаталсан хэлбэрт оруулцгаая.

Бид зүүн дээд талын "алхам" -ыг хардаг. Тэнд бид нэгжтэй байх ёстой. Асуудал нь эхний баганад нэг ч хүн байхгүй тул мөрүүдийг дахин цэгцлэх замаар юу ч шийдэж чадахгүй. Ийм тохиолдолд нэгжийг энгийн өөрчлөлтийг ашиглан зохион байгуулах ёстой. Үүнийг ихэвчлэн хэд хэдэн аргаар хийж болно. Би үүнийг хийсэн:
(1) Эхний мөрөнд бид хоёр дахь мөрийг нэмж, -1-ээр үржүүлнэ. Өөрөөр хэлбэл, бид оюун ухаанаараа хоёр дахь мөрийг -1-ээр үржүүлж, эхний болон хоёр дахь мөрийг нэмж гүйцэтгэсэн бол хоёр дахь мөр өөрчлөгдөөгүй.

Одоо зүүн дээд талд "хасах нэг" байгаа нь бидэнд төгс тохирно. +1 авахыг хүссэн хүн нэмэлт дохио зангаа хийж болно: эхний мөрийг -1-ээр үржүүлнэ (түүний тэмдгийг өөрчлөх).

(2) 5-аар үржүүлсэн эхний мөрийг хоёр дахь эгнээнд, 3-аар үржүүлсэн эхний мөрийг гурав дахь эгнээнд нэмж оруулав.

(3) Эхний мөрийг -1-ээр үржүүлсэн, зарчмын хувьд энэ нь гоо сайхны төлөө юм. Гурав дахь эгнээний тэмдгийг мөн өөрчилж, хоёрдугаарт шилжүүлсэн тул хоёр дахь "алхам дээр бид хүссэн нэгжтэй болсон.

(4) Гурав дахь мөрөнд хоёр дахь мөрийг 2-оор үржүүлсэн.

(5) Гурав дахь эгнээ 3-т хуваагдсан.

Тооцооллын алдааг илтгэдэг муу тэмдэг (харилцан үсгийн алдаа) нь "муу" дүгнэлт юм. Өөрөөр хэлбэл, хэрэв бид доорх шиг зүйл авсан бол, үүний дагуу, , дараа нь өндөр магадлалтайгаар анхан шатны хувиргалтын явцад алдаа гарсан гэж маргаж болно.

Бид урвуу хөдөлгөөнийг цэнэглэдэг, жишээнүүдийн дизайнд систем өөрөө ихэвчлэн дахин бичигддэггүй бөгөөд тэгшитгэлийг "өгөгдсөн матрицаас шууд авдаг". Урвуу, Би танд сануулж байна, энэ нь доороос дээш ажилладаг. Тийм ээ, энд бэлэг байна:

Хариулах: .

Жишээ 4

Шугаман тэгшитгэлийн системийг Гауссын аргыг ашиглан шийд

Энэ бол бие даасан шийдлийн жишээ бөгөөд энэ нь арай илүү төвөгтэй юм. Хэрэв хэн нэгэн андуурвал зүгээр. Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, дизайны дээж. Таны шийдэл минийхээс өөр байж магадгүй.

Сүүлчийн хэсэгт бид Гауссын алгоритмын зарим шинж чанарыг авч үзье.
Эхний онцлог нь заримдаа системийн тэгшитгэлд зарим хувьсагч дутуу байдаг, жишээлбэл:

Системийн нэмэгдүүлсэн матрицыг хэрхэн зөв бичих вэ? Би энэ мөчийн талаар аль хэдийн хичээл дээр ярьсан. Крамерын дүрэм. Матрицын арга. Системийн өргөтгөсөн матрицад бид алга болсон хувьсагчдын оронд тэгийг тавьдаг.

Дашрамд хэлэхэд, энэ нь нэлээд хялбар жишээ юм, учир нь эхний баганад аль хэдийн нэг тэг байгаа бөгөөд цөөн тооны энгийн хувиргалт хийх болно.

Хоёр дахь онцлог нь энэ юм. Үзсэн бүх жишээн дээр бид "алхам" дээр -1 эсвэл +1-ийн аль нэгийг тавьсан. Өөр тоо байж болох уу? Зарим тохиолдолд тэд чадна. Системийг авч үзье: .

Энд зүүн дээд "алхам" дээр бид deuce байна. Гэхдээ эхний баганад байгаа бүх тоонууд 2-т үлдэгдэлгүйгээр хуваагдаж, өөр хоёр ба зургаад хуваагддаг болохыг бид анзаарч байна. Мөн зүүн дээд талд байгаа deuce бидэнд тохирох болно! Эхний алхамд та дараах хувиргалтыг хийх хэрэгтэй: эхний мөрийг -1-ээр үржүүлсэн хоёр дахь мөрөнд нэмнэ; Гурав дахь мөрөнд эхний мөрийг -3-аар үржүүлнэ. Ингэснээр бид авах болно шаардлагатай тэгэхний баганад.

Эсвэл өөр нэг таамаглалын жишээ: . 12 (тэг авах шаардлагатай газар) нь үлдэгдэлгүйгээр 3-т хуваагддаг тул хоёр дахь "шат" дээрх гурвалсан тоо нь бидэнд тохирно. Дараахь өөрчлөлтийг хийх шаардлагатай: гурав дахь мөрөнд -4-ээр үржүүлсэн хоёр дахь мөрийг нэмж, үр дүнд нь бидэнд хэрэгтэй тэгийг авах болно.

Гауссын арга нь бүх нийтийнх боловч нэг онцлог шинж чанартай байдаг. Та өөр аргуудаар (Крамерын арга, матрицын арга) системийг хэрхэн шийдвэрлэхийг анх удаагаа итгэлтэйгээр сурч чадна - маш хатуу алгоритм байдаг. Гэхдээ Гауссын аргад итгэлтэй байхын тулд та "гараа дүүргэж", дор хаяж 5-10 системийг шийдэх хэрэгтэй. Тиймээс эхлээд төөрөгдөл, тооцоололд алдаа гарч болзошгүй бөгөөд үүнд ер бусын, эмгэнэлтэй зүйл байхгүй.

Цонхны гадна намрын бороотой цаг агаар .... Тиймээс хүн бүрт илүү их нарийн төвөгтэй жишээбие даасан шийдлийн хувьд:

Жишээ 5

Гауссын аргаар шийднэ дөрвөн системдөрвөн үл мэдэгдэх шугаман тэгшитгэл.

Практикт ийм даалгавар тийм ч ховор биш юм. Энэ хуудсыг нарийвчлан судалсан цайны аяга хүртэл ийм системийг зөн совингоор шийдвэрлэх алгоритмыг ойлгодог гэж би бодож байна. Үндсэндээ адилхан - зүгээр л илүү их үйлдэл.

Хичээл дээр системд шийдэл байхгүй (зөрчил) эсвэл хязгааргүй олон шийдэлтэй тохиолдлуудыг авч үзнэ. Тохиромжгүй систем ба системүүд нийтлэг шийдэл . Тэнд та Гауссын аргын авч үзсэн алгоритмыг засах боломжтой.

Танд амжилт хүсье!

Шийдэл ба хариултууд:

Жишээ 2: Шийдвэр: Системийн нэмэгдүүлсэн матрицыг бичээд энгийн хувиргалтуудын тусламжтайгаар шаталсан хэлбэрт оруулъя.


Гүйцэтгэсэн үндсэн өөрчлөлтүүд:
(1) Эхний мөрийг хоёр дахь эгнээнд нэмж, -2-оор үржүүлсэн. Эхний мөрийг гурав дахь мөрөнд нэмж, -1-ээр үржүүлсэн. Анхаар!Энд гурав дахь мөрөөс эхнийхийг хасах сонирхолтой байж магадгүй, би хасахыг зөвлөдөггүй - алдаа гарах эрсдэл эрс нэмэгддэг. Бид зүгээр л нугалав!
(2) Хоёр дахь мөрийн тэмдгийг өөрчилсөн (-1-ээр үржүүлсэн). Хоёр, гурав дахь мөрийг сольсон. тэмдэглэл"Алхам" дээр бид зөвхөн нэгд төдийгүй -1-д сэтгэл хангалуун байдаг бөгөөд энэ нь илүү тохиромжтой юм.
(3) Гурав дахь мөрөнд 5-аар үржүүлсэн хоёр дахь мөрийг нэмнэ.
(4) Хоёр дахь мөрийн тэмдгийг өөрчилсөн (-1-ээр үржүүлсэн). Гурав дахь мөрийг 14-т хуваасан.

Урвуу хөдөлгөөн:

Хариулах: .

Жишээ 4: Шийдвэр: Системийн нэмэгдүүлсэн матрицыг бичээд энгийн хувиргалтуудын тусламжтайгаар шаталсан хэлбэрт оруулъя.

Гүйцэтгэсэн хөрвүүлэлт:
(1) Эхний мөрөнд хоёр дахь мөрийг нэмсэн. Тиймээс хүссэн нэгжийг зүүн дээд "алхам" дээр зохион байгуулав.
(2) 7-оор үржүүлсэн эхний мөрийг хоёр дахь эгнээнд, 6-аар үржүүлсэн эхний мөрийг гурав дахь эгнээнд нэмж оруулав.

Хоёр дахь "алхам" -аар бүх зүйл улам дорддог, үүний "нэр дэвшигчид" нь 17 ба 23 тоо бөгөөд бидэнд нэг эсвэл -1 хэрэгтэй. Өөрчлөлт (3) ба (4) нь хүссэн нэгжийг авахад чиглэгдэх болно

(3) Гурав дахь мөрөнд хоёр дахь мөрийг нэмж, -1-ээр үржүүлсэн.
(4) -3-аар үржүүлсэн гурав дахь мөрийг хоёр дахь мөрөнд нэмсэн.
Хоёр дахь шатанд шаардлагатай зүйлийг хүлээн авна .
(5) Гурав дахь мөрөнд хоёр дахь мөрийг нэмж, 6-аар үржүүлсэн.

Хичээлийн хүрээнд Гауссын аргаболон Нийтлэг шийдэл бүхий үл нийцэх систем/систембид авч үзсэн шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн бус систем, хаана чөлөөт гишүүн(энэ нь ихэвчлэн баруун талд байдаг) ядаж нэгТэгшитгэлийн хэмжээ нь тэгээс ялгаатай байв.
Тэгээд одоо сайн халсаны дараа матрицын зэрэглэл, бид техникийг үргэлжлүүлэн өнгөлөх болно анхан шатны өөрчлөлтүүддээр шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн систем.
Эхний догол мөрүүдийн дагуу материал нь уйтгартай, энгийн мэт санагдаж болох ч сэтгэгдэл төрүүлсэнхууран мэхлэх замаар. Техникийг цаашид хөгжүүлэхээс гадна маш олон шинэ мэдээлэл байх тул энэ нийтлэл дэх жишээнүүдийг үл тоомсорлохгүй байхыг хичээгээрэй.

Гауссын арга нь хэд хэдэн сул талуудтай: Гауссын аргад шаардлагатай бүх хувиргалтыг хийх хүртэл систем тууштай байгаа эсэхийг мэдэх боломжгүй; Гауссын арга нь үсгийн коэффициент бүхий системд тохиромжгүй.

Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх бусад аргуудыг авч үзье. Эдгээр аргууд нь матрицын зэрэглэлийн үзэл баримтлалыг ашигладаг бөгөөд аливаа хамтарсан системийн шийдлийг Крамерын дүрэм хамаарах системийн шийдэл болгон бууруулдаг.

Жишээ 1Ерөнхий шийдлийг олох дараагийн систембууруулсан нэгэн төрлийн системийн шийдлийн үндсэн систем ба нэгэн төрлийн бус системийн тодорхой шийдийг ашиглан шугаман тэгшитгэл.

1. Бид матрицыг хийдэг Аба системийн нэмэгдүүлсэн матриц (1)

2. Системийг судлах (1) нийцтэй байдлын хувьд. Үүнийг хийхийн тулд бид матрицуудын зэрэглэлийг олдог Аболон https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). Хэрэв энэ нь илэрвэл систем (1) нийцэхгүй. Хэрэв бид үүнийг олж авбал , тэгвэл энэ систем нь тогтвортой бөгөөд бид үүнийг шийдэх болно. (Тууштай байдлын судалгаа нь Кронекер-Капелли теорем дээр үндэслэсэн).

а. Бид олдог rA.

Олох rA, бид матрицын эхний, хоёрдугаар гэх мэт эрэмбийн тэгээс ялгаатай жижиг хэсгүүдийг дараалан авч үзэх болно. Амөн тэднийг хүрээлж буй насанд хүрээгүй хүүхдүүд.

М1=1≠0 (1-ийг матрицын зүүн дээд булангаас авсан ГЭХДЭЭ).

Хилтэй М1энэ матрицын хоёр дахь мөр ба хоёр дахь багана. . Бид хилээ үргэлжлүүлсээр байна М1хоёр дахь мөр ба гурав дахь багана..gif" width="37" height="20 src=">. Одоо бид тэгээс өөр жижиг хэсгийг хиллэдэг. М2′хоёр дахь захиалга.

Бидэнд байгаа: (эхний хоёр багана ижил учраас)

(хоёр дахь ба гурав дахь мөр нь пропорциональ учраас).

Бид үүнийг харж байна rA=2, ба матрицын суурь минор юм А.

б. Бид олдог.

Хангалттай үндсэн бага М2′матрицууд Ачөлөөт гишүүдийн багана болон бүх мөрүүдтэй хиллэдэг (бидэнд зөвхөн сүүлийн мөр байна).

. Үүнээс үүдэн гарч байна М3′′матрицын үндсэн суурь хэвээр байна https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)

гэх мэт М2′- матрицын суурь минор Асистемүүд (2) , тэгвэл энэ систем нь системтэй тэнцэнэ (3) , системийн эхний хоёр тэгшитгэлээс бүрдэнэ (2) (for М2′ A) матрицын эхний хоёр мөрөнд байна.

(3)

Үндсэн насанд хүрээгүй учраас https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)

Энэ системд хоёр үнэгүй үл мэдэгдэх ( x2 болон x4 ). Тэгэхээр FSR системүүд (4) хоёр шийдлээс бүрдэнэ. Тэдгээрийг олохын тулд бид үнэ төлбөргүй үл мэдэгдэх зүйлсийг хуваарилдаг (4) үнэт зүйлс хамгийн түрүүнд x2=1 , x4=0 , Тэгээд - x2=0 , x4=1 .

At x2=1 , x4=0 бид авах:

.

Энэ систем аль хэдийн бий болсон цорын ганц зүйл шийдэл (үүнийг Крамерын дүрмээр эсвэл өөр ямар ч аргаар олж болно). Хоёр дахь тэгшитгэлээс эхний тэгшитгэлийг хасвал бид дараахь зүйлийг авна.

Түүний шийдвэр байх болно x1= -1 , x3=0 . Үнэт зүйлсийг өгсөн x2 болон x4 , бидний өгсөн, бид эхний авдаг үндсэн шийдвэрсистемүүд (2) : .

Одоо бид орууллаа (4) x2=0 , x4=1 . Бид авах:

.

Бид энэ системийг Крамерын теоремыг ашиглан шийддэг.

.

Бид системийн хоёр дахь үндсэн шийдлийг олж авдаг (2) : .

Шийдэл β1 , β2 мөн бүрдүүлэх FSR системүүд (2) . Дараа нь түүний ерөнхий шийдэл байх болно

γ= C1 β1+С2β2=С1(-1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(-С1+5С2, С1, 4С2, С2)

Энд C1 , C2 дурын тогтмолууд юм.

4. Нэгийг нь ол хувийн шийдвэр гетероген систем(1) . Догол мөрөнд дурдсанчлан 3 , системийн оронд (1) эквивалент системийг авч үзье (5) , системийн эхний хоёр тэгшитгэлээс бүрдэнэ (1) .

(5)

Бид үнэгүй үл мэдэгдэх зүйлсийг баруун гар тал руу шилжүүлдэг x2болон x4.

(6)

Үл мэдэгдэх зүйлсийг үнэгүй өгье x2 болон x4 дурын утгууд, жишээлбэл, x2=2 , x4=1 мөн тэдгээрийг холбоно уу (6) . Системийг нь авч үзье

Энэ систем нь өвөрмөц шийдэлтэй (учир нь тодорхойлогч М2′0). Үүнийг шийдэж (Крамерын теорем эсвэл Гауссын аргыг ашиглан) бид олж авна x1=3 , x3=3 . Үнэгүй үл мэдэгдэх утгыг өгсөн x2 болон x4 , бид авдаг нэгэн төрлийн бус системийн тусгай шийдэл(1)α1=(3,2,3,1).

5. Одоо бичих л үлдлээ нэгэн төрлийн бус системийн ерөнхий шийдэл α(1) : нийлбэртэй тэнцүү байна хувийн шийдвэрэнэ систем ба түүний багасгасан нэгэн төрлийн системийн ерөнхий шийдэл (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).

Энэ нь: (7)

6. Шалгалт.Та системийг зөв шийдсэн эсэхийг шалгахын тулд (1) , бидэнд ерөнхий шийдэл хэрэгтэй (7) -д орлуулах (1) . Хэрэв тэгшитгэл бүр ижил төстэй байдал болж байвал ( C1 болон C2 устгасан байх ёстой), дараа нь шийдлийг зөв олно.

Бид орлуулах болно (7) жишээ нь зөвхөн системийн сүүлчийн тэгшитгэлд (1) (х1 + х2 + х3 ‑9 х4 =‑1) .

Бид дараахыг авна: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

Энд -1=-1. Бид таних тэмдэгтэй болсон. Бид үүнийг системийн бусад бүх тэгшитгэлээр хийдэг (1) .

Сэтгэгдэл.Баталгаажуулах нь ихэвчлэн нэлээд төвөгтэй байдаг. Бид дараахь "хэсэгчилсэн баталгаажуулалтыг" санал болгож болно: системийн ерөнхий шийдэлд (1) дурын тогтмолуудад зарим утгыг оноож, үүссэн тодорхой шийдлийг зөвхөн хасагдсан тэгшитгэлд (өөрөөр хэлбэл эдгээр тэгшитгэлүүдэд) орлуулна. (1) үүнд ороогүй болно (5) ). Хэрэв та хэн болохыг олж мэдвэл илүү магадлалтай, системийн шийдэл (1) зөв олсон (гэхдээ ийм шалгалт нь зөв байдлын бүрэн баталгаа өгөхгүй!). Жишээлбэл, хэрэв байгаа бол (7) тавих C2=- 1 , C1=1, тэгвэл бид: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0 болно. Системийн (1) сүүлчийн тэгшитгэлийг орлуулбал бид: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , өөрөөр хэлбэл –1=–1. Бид таних тэмдэгтэй болсон.

Жишээ 2Шугаман тэгшитгэлийн системийн ерөнхий шийдийг ол (1) , үндсэн үл мэдэгдэх зүйлсийг чөлөөт хэлбэрээр илэрхийлэх.

Шийдвэр.Шиг жишээ 1, матриц зохиох Аболон https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> эдгээр матрицууд. Одоо бид зөвхөн системийн тэгшитгэлүүдийг л үлдээж байна. (1) , коэффициентүүд нь энэ үндсэн бага хэсэгт багтсан (өөрөөр хэлбэл, бид эхний хоёр тэгшитгэлтэй) бөгөөд тэдгээрээс бүрдэх системийг авч үзэх нь (1) системтэй тэнцүү юм.

Чөлөөт үл мэдэгдэх зүйлсийг эдгээр тэгшитгэлийн баруун талд шилжүүлье.

систем (9) Бид зөв хэсгүүдийг чөлөөт гишүүд гэж үзэн Гауссын аргаар шийддэг.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">

Сонголт 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" өргөн "192" өндөр "106 src=">

Сонголт 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" өргөн "172" өндөр "80">

Сонголт 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">

Сонголт 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" өргөн "195" өндөр "106">

Энэхүү математик программын тусламжтайгаар та хоёр хувьсагчтай хоёр шугаман тэгшитгэлийн системийг орлуулах арга болон нэмэх аргыг ашиглан шийдэж болно.

Програм нь зөвхөн асуудлын хариултыг өгөхөөс гадна шийдвэрлэх алхамуудын тайлбар бүхий нарийвчилсан шийдлийг орлуулах арга, нэмэх арга гэсэн хоёр аргаар өгдөг.

Энэ програмахлах ангийн сурагчдад бэлтгэхэд хэрэг болно хяналтын ажилболон шалгалт, шалгалтын өмнө мэдлэг шалгах үед эцэг эхчүүд математик, алгебрийн олон асуудлын шийдлийг хянах. Эсвэл багш хөлслөх эсвэл шинэ сурах бичиг худалдаж авах нь танд хэтэрхий үнэтэй байх болов уу? Эсвэл та математик, алгебрийн гэрийн даалгавраа аль болох хурдан хийхийг хүсч байна уу? Энэ тохиолдолд та манай програмуудыг нарийвчилсан шийдэлтэй ашиглаж болно.

Ингэснээр та өөрөө болон/эсвэл дүү нарынхаа сургалтыг явуулах боломжтой болохын зэрэгцээ шийдвэрлэх шаардлагатай ажлын хүрээнд боловсролын түвшин нэмэгддэг.

Тэгшитгэл оруулах дүрэм

Ямар ч латин үсэг хувьсагч болж чадна.
Жишээ нь: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) гэх мэт.

Тэгшитгэл оруулах үед та хаалт ашиглаж болно. Энэ тохиолдолд тэгшитгэлийг эхлээд хялбаршуулсан болно. Хялбаршуулсаны дараах тэгшитгэл нь шугаман байх ёстой, i.e. ax+by+c=0 хэлбэрийн элементүүдийн эрэмбийн нарийвчлалтай.
Жишээ нь: 6x+1 = 5(x+y)+2

Тэгшитгэлд та бүхэл тоо төдийгүй бутархай тоог аравтын бутархай болон энгийн бутархай хэлбэрээр ашиглаж болно.

Аравтын бутархай оруулах дүрэм.
Бүхэл ба бутархай хэсэг аравтын бутархайцэг эсвэл таслалаар тусгаарлаж болно.
Жишээ нь: 2.1н + 3.5м = 55

Энгийн бутархай оруулах дүрэм.
Зөвхөн бүхэл тоо нь бутархайн тоологч, хуваагч, бүхэл хэсэг болж чадна.
Хуваагч нь сөрөг байж болохгүй.
Тоон бутархай оруулахдаа тоологчийг хуваагчаас хуваах тэмдгээр тусгаарлана. /
Бүхэл тоо нь бутархай хэсгээс тэмдэгт тэмдэгээр тусгаарлагдана: &

Жишээ.
-1&2/3y + 5/3x = 55
2.1p + 55 = -2/7(3.5p - 2&1/8q)

Тэгшитгэлийн системийг шийд

Энэ даалгаврыг шийдвэрлэхэд шаардлагатай зарим скриптүүд ачаалагдаагүй, програм ажиллахгүй байж магадгүй нь тогтоогдсон.
Та AdBlock-ийг идэвхжүүлсэн байж магадгүй.
Энэ тохиолдолд үүнийг идэвхгүй болгож, хуудсыг дахин сэргээнэ үү.

Таны хөтөч дээр JavaScript идэвхгүй байна.
Шийдэл гарч ирэхийн тулд JavaScript идэвхжсэн байх ёстой.
Хөтөч дээрээ JavaScript-г хэрхэн идэвхжүүлэх тухай заавар энд байна.

Учир нь Асуудлыг шийдэх гэсэн хүмүүс маш олон байна, таны хүсэлт дараалалд байна.
Хэдэн секундын дараа шийдэл доор гарч ирнэ.
Хүлээж байгаарай сек...

Хэрэв чи шийдэлд алдаа байгааг анзаарсан, дараа нь та энэ талаар санал хүсэлтийн маягт дээр бичиж болно.
Битгий мартаарай ямар ажлыг зааж өгнөюуг чи шийднэ талбаруудад оруулна уу.

Манай тоглоом, оньсого, эмуляторууд:

Жаахан онол.

Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх. Орлуулах арга

Шугаман тэгшитгэлийн системийг орлуулах аргаар шийдвэрлэх үед хийх үйлдлийн дараалал:
1) системийн зарим тэгшитгэлээс нэг хувьсагчийг нөгөө хувьсагчаар илэрхийлэх;
2) гарсан илэрхийллийг системийн өөр тэгшитгэлд энэ хувьсагчийн оронд орлуулах;

$$ \left\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(массив) \баруун. $$

Эхний тэгшитгэлээс y-ээс x хүртэл илэрхийлье: y = 7-3x. Хоёр дахь тэгшитгэлд y-ийн оронд 7-3x илэрхийлэлийг орлуулснаар бид дараах системийг авна.
$$ \left\( \begin(массив)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(массив) \баруун. $$

Эхний болон хоёр дахь систем нь ижил шийдэлтэй гэдгийг харуулахад хялбар байдаг. Хоёр дахь системд хоёр дахь тэгшитгэл нь зөвхөн нэг хувьсагчийг агуулна. Энэ тэгшитгэлийг шийдье:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Баруун сум -5x+14-6x=3 \Баруун сум -11x=-11 \Баруун сум x=1 $$

y=7-3x тэгшитгэлд х-ийн оронд 1-ийн тоог орлуулснаар y-ийн харгалзах утгыг олно.
$$ y=7-3 \cdot 1 \Баруун сум y=4 $$

Хос (1;4) - системийн шийдэл

Ижил шийдэлтэй хоёр хувьсагчийн тэгшитгэлийн системийг гэнэ тэнцүү. Шийдэлгүй системийг мөн адил тэнцүү гэж үзнэ.

Шугаман тэгшитгэлийн системийг нэмэх замаар шийдвэрлэх

Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдэх өөр аргыг авч үзье - нэмэх арга. Системийг ийм аргаар, мөн орлуулах аргаар шийдвэрлэхдээ бид өгөгдсөн системээс үүнтэй тэнцэх өөр систем рүү шилждэг бөгөөд тэгшитгэлийн аль нэг нь зөвхөн нэг хувьсагчтай байдаг.

Шугаман тэгшитгэлийн системийг нэмэх аргаар шийдвэрлэх үед хийх үйлдлийн дараалал:
1) системийн нэр томъёоны тэгшитгэлийг гишүүнээр үржүүлж, нэг хувьсагчийн коэффициент нь эсрэг тоо болохын тулд хүчин зүйлийг сонгох;
2) системийн тэгшитгэлийн зүүн ба баруун хэсгийг гишүүнээр нь нэмэх;
3) үүссэн тэгшитгэлийг нэг хувьсагчтай шийдэх;
4) хоёр дахь хувьсагчийн харгалзах утгыг ол.

Жишээ. Тэгшитгэлийн системийг шийдье:
$$ \left\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(массив) \баруун. $$

Энэ системийн тэгшитгэлд y-ийн коэффициентүүд нь эсрэг тоонууд юм. Тэгшитгэлийн зүүн ба баруун хэсгийг гишүүнээр нэмбэл 3x=33 гэсэн нэг хувьсагчтай тэгшитгэл гарна. Системийн нэг тэгшитгэлийг жишээ нь эхнийх нь 3x=33 тэгшитгэлээр сольъё. Системийг нь авч үзье
$$ \left\( \begin(массив)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(массив) \баруун. $$

3x=33 тэгшитгэлээс бид x=11 болохыг олж мэднэ. Энэ x утгыг \(x-3y=38 \) тэгшитгэлд орлуулснаар y хувьсагчтай тэгшитгэл гарч ирнэ: \(11-3y=38 \). Энэ тэгшитгэлийг шийдье:
\(-3y=27 \Баруун сум у=-9 \)

Тиймээс бид тэгшитгэлийн системийн шийдлийг олсон: \(x=11; y=-9 \) эсвэл \((11; -9) \)

Системийн тэгшитгэлд y-ийн коэффициентүүд нь эсрэг тоонууд байдгийг ашиглан бид түүний шийдлийг эквивалент системийн шийдэл болгон бууруулсан (анхны симмемийн тэгшитгэл бүрийн хоёр хэсгийг нэгтгэн) тэгшитгэл нь зөвхөн нэг хувьсагчийг агуулна.

Номууд (сурах бичиг) Улсын нэгдсэн шалгалтын хураангуй болон OGE тестийн онлайн тоглоомууд, оньсого тоглоомууд Орос хэлний зөв бичгийн дүрмийн толь бичиг Залуучуудын хэл ярианы толь бичиг Орос сургуулиудын каталог Оросын дунд сургуулиудын каталог Оросын их дээд сургуулиудын каталоги Даалгавруудын жагсаалт

Тэгшитгэлийн системийг эдийн засгийн салбарт математик загварчлалд өргөн ашигладаг янз бүрийн процессууд. Жишээлбэл, үйлдвэрлэлийн менежмент, төлөвлөлт, логистикийн маршрут (тээврийн асуудал) эсвэл тоног төхөөрөмжийг байрлуулах асуудлыг шийдвэрлэхэд.

Тэгшитгэлийн системийг зөвхөн математикийн салбарт төдийгүй физик, хими, биологи, хүн амын тоог олох асуудлыг шийдвэрлэхэд ашигладаг.

Шугаман тэгшитгэлийн систем гэдэг нь нийтлэг шийдийг олох шаардлагатай хэд хэдэн хувьсагчтай хоёр ба түүнээс дээш тэгшитгэлийн нэр томъёо юм. Бүх тэгшитгэл нь жинхэнэ тэгшитгэл болох эсвэл дараалал байхгүй гэдгийг нотлох тоонуудын ийм дараалал.

Шугаман тэгшитгэл

ax+by=c хэлбэрийн тэгшитгэлийг шугаман гэнэ. X, y тэмдэглэгээ нь тодорхойгүй, утгыг нь олох ёстой, b, a нь хувьсагчдын коэффициент, в нь тэгшитгэлийн чөлөөт гишүүн юм.
Тэгшитгэлийн графикийг зурах замаар шийдвэрлэх нь бүх цэг нь олон гишүүнтийн шийдэл болох шулуун шугам шиг харагдана.

Шугаман тэгшитгэлийн системийн төрлүүд

Хамгийн энгийн нь X ба Y хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн системийн жишээнүүд юм.

F1(x, y) = 0 ба F2(x, y) = 0, энд F1,2 нь функц, (x, y) нь функцын хувьсагч юм.

Тэгшитгэлийн системийг шийд - Энэ нь систем жинхэнэ тэгш байдал болох ийм утгуудыг (x, y) олох, эсвэл x ба y-ийн тохирох утга байхгүй гэдгийг тогтоох гэсэн үг юм.

Цэгийн координат хэлбэрээр бичсэн хос утгыг (x, y) шугаман тэгшитгэлийн системийн шийдэл гэж нэрлэдэг.

Хэрэв системүүд нэг нийтлэг шийдэлтэй эсвэл шийдэл байхгүй бол тэдгээрийг эквивалент гэж нэрлэдэг.

Шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн системүүд нь баруун тал нь тэгтэй тэнцүү систем юм. Хэрэв "тэнцүү" тэмдгийн дараа баруун хэсэг нь утгатай эсвэл функцээр илэрхийлэгддэг бол ийм систем нь нэгэн төрлийн биш юм.

Хувьсагчийн тоо хоёроос хамаагүй их байж болно, тэгвэл бид гурав ба түүнээс дээш хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн системийн жишээг ярих хэрэгтэй.

Системтэй тулгарсан сургуулийн сурагчид тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх тоотой заавал давхцах ёстой гэж үздэг боловч энэ нь тийм биш юм. Систем дэх тэгшитгэлийн тоо нь хувьсагчдаас хамаардаггүй, тэдгээрийн тоо дур мэдэн олон байж болно.

Тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх энгийн бөгөөд төвөгтэй аргууд

Ийм системийг шийдэх ерөнхий аналитик арга байхгүй, бүх аргууд нь тоон шийдэл дээр суурилдаг. AT сургуулийн курсМатематик нь орлуулах, алгебрийн нэмэх, орлуулах аргууд, түүнчлэн график ба матрицын арга, Гауссын аргаар шийдвэрлэх аргуудыг нарийвчлан тодорхойлдог.

Шийдвэрлэх аргыг заах гол ажил бол системд хэрхэн зөв дүн шинжилгээ хийх, жишээ тус бүрийн оновчтой шийдлийн алгоритмыг олоход сургах явдал юм. Хамгийн гол нь арга тус бүрийн дүрэм журам, үйлдлийн системийг цээжлэх биш, харин тодорхой аргыг хэрэглэх зарчмуудыг ойлгох явдал юм.

Хөтөлбөрийн 7-р ангийн шугаман тэгшитгэлийн системийн жишээг шийдвэрлэх дунд сургуульмаш энгийн бөгөөд маш дэлгэрэнгүй тайлбарласан. Математикийн аливаа сурах бичигт энэ хэсэгт хангалттай анхаарал хандуулдаг. Гаусс ба Крамерын аргаар шугаман тэгшитгэлийн системийн жишээнүүдийн шийдлийг дээд боловсролын байгууллагуудын эхний курсуудад илүү нарийвчлан судалж үздэг.

Орлуулах аргаар системийг шийдвэрлэх

Орлуулах аргын үйлдэл нь нэг хувьсагчийн утгыг хоёр дахь хувьсах замаар илэрхийлэхэд чиглэгддэг. Илэрхийллийг үлдсэн тэгшитгэлд орлуулж, дараа нь нэг хувьсах хэлбэр болгон бууруулна. Үйлдэл нь систем дэх үл мэдэгдэх тооноос хамаарч давтагдана

Орлуулах аргаар 7-р ангийн шугаман тэгшитгэлийн системийн жишээг өгье.

Жишээнээс харахад х хувьсагчийг F(X) = 7 + Y-ээр илэрхийлсэн. Үр дүнгийн илэрхийлэл нь системийн 2-р тэгшитгэлд X-ийн оронд орлуулсан нь 2-р тэгшитгэлд нэг Y хувьсагчийг авахад тусалсан. . Шийдвэр энэ жишээхүндрэл учруулахгүй бөгөөд Y утгыг авах боломжийг олгодог.Сүүлийн алхам бол хүлээн авсан утгыг шалгах явдал юм.

Шугаман тэгшитгэлийн системийн жишээг орлуулах замаар шийдэх нь үргэлж боломжгүй байдаг. Тэгшитгэлүүд нь нарийн төвөгтэй байж болох ба хувьсагчийг хоёр дахь үл мэдэгдэх утгаараа илэрхийлэх нь цаашдын тооцоололд хэтэрхий төвөгтэй байх болно. Системд 3-аас дээш үл мэдэгдэх зүйл байвал орлуулах шийдэл нь бас боломжгүй юм.

Шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн системийн жишээний шийдэл:

Алгебрийн нэмэлтийг ашиглан шийдэл

Нэмэх аргаар системүүдийн шийдлийг хайхдаа тэгшитгэлийг нэр томъёогоор нэмэх, янз бүрийн тоогоор үржүүлэх ажлыг гүйцэтгэдэг. Математик үйлдлүүдийн эцсийн зорилго нь нэг хувьсагчтай тэгшитгэл юм.

Энэ аргын хэрэглээ нь дадлага, ажиглалт шаарддаг. 3 ба түүнээс дээш тооны хувьсагчтай нэмэх аргыг ашиглан шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдэх нь тийм ч амар биш юм. Тэгшитгэлд бутархай болон аравтын бутархай тоо орсон тохиолдолд алгебрийн нэмэх хэрэгтэй.

Шийдлийн үйлдлийн алгоритм:

1. Тэгшитгэлийн хоёр талыг тодорхой тоогоор үржүүл. Арифметик үйлдлийн үр дүнд хувьсагчийн нэг коэффициент нь 1-тэй тэнцүү байх ёстой.
2. Үүссэн илэрхийлэлийг гишүүнээр нэмээд үл мэдэгдэх нэгийг ол.
3. Үлдсэн хувьсагчийг олохын тулд үүссэн утгыг системийн 2-р тэгшитгэлд орлуулна.

Шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэх замаар шийдвэрлэх арга

Хэрэв систем нь хоёроос илүүгүй тэгшитгэлийн шийдлийг олох шаардлагатай бол шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлж болно, үл мэдэгдэх тоо нь хоёроос илүүгүй байх ёстой.

Энэ аргыг шинэ хувьсагч оруулах замаар нэг тэгшитгэлийг хялбарчлахад ашигладаг. Оруулсан үл мэдэгдэх зүйлтэй холбоотойгоор шинэ тэгшитгэлийг шийдэж, гарсан утгыг анхны хувьсагчийг тодорхойлоход ашиглана.

t шинэ хувьсагчийг оруулснаар системийн 1-р тэгшитгэлийг стандарт квадрат гурвалжин болгож бууруулах боломжтой байсныг жишээнээс харж болно. Дискриминантыг олох замаар олон гишүүнтийг шийдэж болно.

Мэдэгдэж буй томьёог ашиглан ялгаварлагчийн утгыг олох шаардлагатай: D = b2 - 4*a*c, энд D нь хүссэн дискриминант, b, a, c нь олон гишүүнтийн үржүүлэгч юм. AT жишээ өгсөн a=1, b=16, c=39, иймээс D=100. Хэрэв ялгаварлагч нь тэгээс их байвал t = -b±√D / 2*a гэсэн хоёр шийдэл байна. тэгээс бага, тэгвэл ганцхан шийдэл байна: x= -b / 2*a.

Үүссэн системүүдийн шийдлийг нэмэх аргаар олно.

Системийг шийдвэрлэх харааны арга

3 тэгшитгэл бүхий системд тохиромжтой. Энэ арга нь координатын тэнхлэг дээр системд багтсан тэгшитгэл бүрийн графикийг зурахаас бүрдэнэ. Муруйнуудын огтлолцох цэгүүдийн координатууд нь системийн ерөнхий шийдэл болно.

График арга нь хэд хэдэн нюанстай байдаг. Шугаман тэгшитгэлийн системийг визуал аргаар шийдвэрлэх хэд хэдэн жишээг авч үзье.

Жишээнээс харахад мөр бүрт хоёр цэг байгуулж, x хувьсагчийн утгуудыг дур мэдэн сонгосон: 0 ба 3. x-ийн утгуудад үндэслэн y-ийн утгыг олов: 3 ба 0. График дээр (0, 3) ба (3, 0) координаттай цэгүүдийг тэмдэглэж, шугамаар холбосон.

Хоёр дахь тэгшитгэлийн хувьд алхамуудыг давтах ёстой. Шугамануудын огтлолцох цэг нь системийн шийдэл юм.

Дараах жишээнд шугаман тэгшитгэлийн системийн график шийдийг олох шаардлагатай: 0.5x-y+2=0 ба 0.5x-y-1=0.

Графикууд нь параллель бөгөөд бүхэл бүтэн уртаараа огтлолцдоггүй тул жишээнээс харахад системд шийдэл байхгүй.

2 ба 3-р жишээн дээрх системүүд нь ижил төстэй боловч угсралтын явцад тэдгээрийн шийдэл нь өөр болох нь тодорхой болно. Системд шийдэл байгаа эсэхийг хэлэх нь үргэлж боломжгүй байдаг тул график байгуулах шаардлагатай байдаг гэдгийг санах нь зүйтэй.

Матриц ба түүний сортууд

Матрицуудыг ашигладаг товчлолшугаман тэгшитгэлийн системүүд. Хүснэгтийг матриц гэж нэрлэдэг. онцгой төрөлтоогоор дүүргэсэн. n*m нь n - мөр, m - баганатай.

Багана, мөрийн тоо тэнцүү байх үед матриц нь квадрат юм. Матриц-вектор гэдэг нь хязгааргүй тооны мөр бүхий нэг баганатай матриц юм. Диагональ ба бусад тэг элементүүдийн дагуух нэгж бүхий матрицыг ижил төстэй байдал гэж нэрлэдэг.

Урвуу матриц нь ийм матриц бөгөөд анхных нь нэгж болж хувирах үед ийм матриц нь зөвхөн анхны дөрвөлжингийн хувьд л байдаг.

Тэгшитгэлийн системийг матриц болгон хувиргах дүрэм

Тэгшитгэлийн системийн хувьд коэффициент ба тэгшитгэлийн чөлөөт гишүүдийг матрицын тоогоор бичдэг бөгөөд нэг тэгшитгэл нь матрицын нэг эгнээ юм.

Хэрэв мөрийн ядаж нэг элемент нь тэгтэй тэнцүү биш байвал матрицын мөрийг тэг биш гэж нэрлэдэг. Тиймээс, хэрэв тэгшитгэлийн аль нэгэнд хувьсагчийн тоо өөр байвал алга болсон үл мэдэгдэхийн оронд тэг оруулах шаардлагатай.

Матрицын баганууд нь хувьсагчидтай яг тохирч байх ёстой. Энэ нь х хувьсагчийн коэффициентийг зөвхөн нэг баганад, жишээлбэл, эхнийх нь үл мэдэгдэх y-ийн коэффициентийг зөвхөн хоёр дахь хэсэгт бичиж болно гэсэн үг юм.

Матрицыг үржүүлэхдээ матрицын бүх элементүүдийг тоогоор дараалан үржүүлнэ.

Урвуу матрицыг олох сонголтууд

Урвуу матрицыг олох томъёо нь маш энгийн: K -1 = 1 / |K|, энд K -1 - урвуу матриц, болон |K| - матриц тодорхойлогч. |K| тэгтэй тэнцүү байж болохгүй, тэгвэл систем шийдэлтэй болно.

Тодорхойлогчийг хоёроос хоёр матрицад хялбархан тооцдог тул элементүүдийг бие биенээсээ диагональаар үржүүлэхэд л хангалттай. "Гурав гурваар" гэсэн сонголтын хувьд |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c гэсэн томъёо байна. 3 + a 3 b 2 c 1. Та томъёог ашиглаж болно, эсвэл элементийн багана, мөрийн дугаарууд бүтээгдэхүүнд давтагдахгүйн тулд мөр, багана бүрээс нэг элемент авах хэрэгтэй гэдгийг санаж болно.

Шугаман тэгшитгэлийн системийн жишээг матрицын аргаар шийдвэрлэх

Шийдвэр олох матрицын арга нь системийг шийдвэрлэх үед төвөгтэй тэмдэглэгээг багасгах боломжийг олгодог их хэмжээнийхувьсагч ба тэгшитгэл.

Жишээн дээр a nm нь тэгшитгэлийн коэффициентууд, матриц нь вектор х n хувьсагч, b n нь чөлөөт нөхцөл юм.

Гауссын аргаар системийн шийдэл

Дээд математикт Гауссын аргыг Крамерын аргатай хамт судалдаг бөгөөд системийн шийдлийг олох үйл явцыг Гаусс-Крамерын шийдвэрлэх арга гэж нэрлэдэг. Эдгээр аргуудыг олон тооны шугаман тэгшитгэл бүхий системийн хувьсагчдыг олоход ашигладаг.

Гауссын арга нь орлуулалт болон алгебрийн нэмэх шийдэлтэй маш төстэй боловч илүү системтэй байдаг. Сургуулийн хичээл дээр Гауссын шийдлийг 3 ба 4 тэгшитгэлийн системд ашигладаг. Аргын зорилго нь системийг урвуу трапецын хэлбэрт оруулах явдал юм. арга алгебрийн хувиргалтба орлуулалт нь системийн тэгшитгэлийн аль нэг дэх нэг хувьсагчийн утга юм. Хоёр дахь тэгшитгэл нь 2 үл мэдэгдэх, 3 ба 4 нь 3 ба 4 хувьсагчтай илэрхийлэл юм.

Системийг тодорхойлсон хэлбэрт оруулсны дараа дараагийн шийдлийг системийн тэгшитгэлд мэдэгдэж буй хувьсагчдыг дараалан орлуулах хүртэл бууруулна.

AT сургуулийн сурах бичиг 7-р ангийн хувьд Гауссын аргын уусмалын жишээг дараах байдлаар тайлбарлав.

Жишээнээс харахад (3) алхам дээр 3х 3 -2х 4 =11 ба 3х 3 +2х 4 =7 гэсэн хоёр тэгшитгэл олдсон. Аливаа тэгшитгэлийн шийдэл нь x n хувьсагчийн аль нэгийг олох боломжийг танд олгоно.

Текстэд дурдсан теорем 5-д хэрэв системийн тэгшитгэлийн аль нэгийг ижил тэгшитгэлээр сольсон тохиолдолд үүссэн систем нь анхныхтай тэнцүү болно гэж заасан.

Гауссын аргыг оюутнууд ойлгоход хэцүү байдаг ахлах сургууль, гэхдээ хамгийн олон нь сонирхолтой арга замуудматематик, физикийн ангид гүнзгийрүүлсэн сургалтын хөтөлбөрт хамрагдаж буй хүүхдүүдийн ур чадварыг хөгжүүлэх.

Тооцооллыг хялбарчлахын тулд дараахь зүйлийг хийх нь заншилтай байдаг.

Тэгшитгэлийн коэффициент ба чөлөөт нэр томъёог матрицын хэлбэрээр бичсэн бөгөөд матрицын мөр бүр нь системийн тэгшитгэлүүдийн аль нэгэнд тохирч байна. тэгшитгэлийн зүүн талыг баруун талаас нь тусгаарлана. Ром тоо нь систем дэх тэгшитгэлийн тоог илэрхийлдэг.

Эхлээд тэд ажиллах матрицыг бичээд дараа нь аль нэг мөрийг ашиглан хийсэн бүх үйлдлийг бичнэ. Үүссэн матрицыг "сум" тэмдгийн дараа бичиж, үр дүнд хүрэх хүртэл шаардлагатай алгебрийн үйлдлүүдийг үргэлжлүүлнэ.

Үүний үр дүнд диагональуудын аль нэг нь 1, бусад бүх коэффициентүүд нь тэгтэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл матрицыг нэг хэлбэр болгон бууруулсан матрицыг авах ёстой. Бид тэгшитгэлийн хоёр талын тоогоор тооцоо хийхээ мартаж болохгүй.

Энэ тэмдэглэгээ нь илүү төвөгтэй бөгөөд олон үл мэдэгдэх зүйлсийг жагсаахад анхаарлаа сарниулахгүй байх боломжийг олгодог.

Аливаа шийдлийн аргыг үнэ төлбөргүй хэрэглэх нь анхаарал халамж, тодорхой хэмжээний туршлага шаарддаг. Бүх аргыг хэрэглэдэггүй. Шийдэл олох зарим арга нь хүний ​​​​үйл ажиллагааны тодорхой хэсэгт илүү тохиромжтой байдаг бол зарим нь суралцах зорилгоор байдаг.