Хэмжээний математик тэмдэглэгээ. Математик тэмдэг
Хязгааргүй байдал.Ж.Уоллис (1655).
Анх удаа Английн математикч Жон Уолисын "Конус огтлолын тухай" трактаттай тааралджээ.
Байгалийн логарифмын үндэс. Л.Эйлер (1736).
Математикийн тогтмол, трансцендентал тоо. Энэ дугаарыг заримдаа дууддаг неперовШотландын хүндэтгэлд зориулавэрдэмтэн Напиер, "Логарифмын гайхалтай хүснэгтийн тайлбар" (1614) бүтээлийн зохиогч. Напиерын 1618 онд хэвлэгдсэн дээрх бүтээлийн англи хэл дээрх орчуулгын хавсралтад анх удаа тогтмол байна. Үүнтэй ижил тогтмолыг анх Швейцарийн математикч Жейкоб Бернулли хүүгийн орлогын ахиу үнэ цэнийн асуудлыг шийдвэрлэх явцад тооцоолсон болно.
2,71828182845904523...
Энэ тогтмолыг анх мэддэг байсан бөгөөд үүнийг үсгээр тэмдэглэсэн болно б, 1690-1691 онд Лейбницын Гюйгенс рүү илгээсэн захидлуудаас олджээ. Захидал д 1727 онд Эйлерийг ашиглаж эхэлсэн бөгөөд энэ захидал бүхий анхны хэвлэл нь түүний 1736 онд "Механик буюу хөдөлгөөний шинжлэх ухаан, аналитик байдлаар тайлбарласан" бүтээл юм. Тус тусдаа, дтүгээмэл гэж нэрлэдэг Эйлерийн дугаар... Яагаад захидлыг сонгосон юм бол д, яг тодорхой мэдэхгүй байна. Магадгүй энэ үг үүнээс эхэлдэгтэй холбоотой байх экспоненциал("Экспоненциал", "экспоненциал"). Өөр нэг таамаглал бол үсэг юм а, б, cба dбусад зорилгоор аль хэдийн нэлээд өргөн хэрэглэгдэж байсан ба данхны "үнэгүй" захидал байв.
Тойргийн диаметртэй харьцуулсан харьцаа. В.Жонс (1706), Л.Эйлер (1736).
Математикийн тогтмол, үндэслэлгүй тоо. "Pi" тоо, хуучин нэр нь Людольфын дугаар юм. Аливаа иррационал тооны нэгэн адил π нь хязгааргүй тогтмол бус аравтын бутархайгаар илэрхийлэгддэг.
π = 3.141592653589793 ...
Анх удаа энэ дугаарыг грек үсгээр π гэж Британийн математикч Уильям Жонс "Математикийн шинэ танилцуулга" номондоо ашигласан бөгөөд үүнийг Леонард Эйлерийн бүтээлүүдийн дараа нийтээр хүлээн зөвшөөрсөн юм. Энэхүү тэмдэглэгээ нь грек хэлний περιφερεια - тойрог, зах ба περιμετρος - периметр гэсэн үгсийн эхний үсгээс гаралтай. Иоханн Хайнрих Ламберт 1761 онд π, 1774 онд Адриен Мари Легендре π 2 -ийн иррационал байдлыг нотолжээ. Legendre, Euler нар π нь трансценденталь байж болно гэж үзсэн. бүхэл тоон коэффициент бүхий алгебрийн тэгшитгэлийг хангаж чадахгүй бөгөөд үүнийг 1882 онд Фердинанд фон Линдеманн баталжээ.
Төсөөллийн нэгж. Л.Эйлер (1777, хэвлэлд - 1794).
Тэгшитгэл гэдгийг мэддэг x 2 = 1хоёр үндэстэй: 1 ба -1 ... Төсөөллийн нэгж нь тэгшитгэлийн хоёр үндэсийн нэг юм x 2 = -1, латин үсгээр тэмдэглэв би, өөр нэг үндэс: -i... Энэ нэрийг Латин үгийн эхний үсгийг авсан Леонард Эйлер санал болгов төсөөлөл(төсөөлөл). Тэрээр мөн бүх стандарт функцийг нарийн төвөгтэй талбайд өргөжүүлсэн, өөрөөр хэлбэл. хэлбэрээр илэрхийлэгдэх тоонуудын багц a + иб, хаана аба б- бодит тоо. "Комплекс тоо" гэсэн нэр томъёог 1831 онд Германы математикч Карл Гаусс өргөн хэрэглэж байсан боловч уг нэр томъёог өмнө нь 1803 онд Францын математикч Лазар Карно ижил утгаар ашиглаж байжээ.
Нэгжийн векторууд. В.Хэмилтон (1853).
Нэгжийн векторууд нь ихэвчлэн координатын системийн координатын тэнхлэгүүдтэй (ялангуяа, декарт координатын системийн тэнхлэгүүдтэй) холбоотой байдаг. Тэнхлэгийн дагуу чиглэсэн нэгжийн вектор NS, тэмдэглэсэн би, тэнхлэгийн дагуу чиглэсэн нэгжийн вектор Y, тэмдэглэсэн j, ба тэнхлэгийн дагуу чиглэсэн нэгжийн вектор З, тэмдэглэсэн к... Векторууд би, j, кОрц гэж нэрлэдэг бөгөөд тэдгээр нь нэгжийн модулиудтай байдаг. "Орт" гэсэн нэр томъёог Английн математикч, инженер Оливер Хевисайд (1892), тэмдэглэгээгээр оруулсан болно. би, j, к- Ирландын математикч Уильям Хэмилтон.
Тооны бүхэл бүтэн хэсэг. К.Гаусс (1808).
X тооны [x] тооны бүхэл хэсэг нь x -ээс хэтрэхгүй хамгийн том бүхэл тоо юм. Тиймээс, = 5, [-3.6] = - 4. [X] функцийг "antje of x" гэж нэрлэдэг. "Бүхэл тоо" функцийн тэмдгийг Карл Гаусс 1808 онд танилцуулсан. Зарим математикчид үүний оронд 1798 онд Legendre -ийн санал болгосон E (x) тэмдэглэгээг ашиглахыг илүүд үздэг.
Зэрэгцээ байдлын өнцөг. N.I. Лобачевский (1835).
Лобачевскийн хавтгайд - шулуун шугамын хоорондох өнцөгбцэгээр дамжин өнгөрөхОзэрэгцээ шулуунацэг агуулаагүй болноО, ба -аас перпендикулярОдээр а. α Энэ нь перпендикуляр урт юм. Оноо арилах тусамОшулуун дээрээс апараллелизмын өнцөг 90 ° -аас 0 ° хүртэл буурдаг. Лобачевский параллелизмын өнцгийн томъёог өгсөнNS ( α ) = 2 аркт e - α / q , хаана q- Лобачевскийн орон зайн муруйлттай холбоотой зарим тогтмол.
Үл мэдэгдэх эсвэл хувьсах утгууд. Р.Декарт (1637).
Математикийн хувьд хувьсагч гэдэг нь авч болох утгуудын багцаар тодорхойлогддог хэмжигдэхүүн юм. Энэ нь физик контекстээс түр зуур авч үзсэн бодит физик хэмжигдэхүүн, бодит ертөнцөд ямар ч аналоггүй хийсвэр хэмжигдэхүүн гэсэн хоёр утгыг илэрхийлж болно. Хувьсагчийн тухай ойлголт 17 -р зуунд үүссэн. Эхэндээ байгалийн шинжлэх ухааны шаардлагын нөлөөн дор, энэ нь зөвхөн муж улс биш харин хөдөлгөөн, үйл явцыг судалж байгааг онцолсон болно. Энэхүү үзэл баримтлал нь түүнийг илэрхийлэх шинэ хэлбэрийг шаарддаг. Рене Декартийн цагаан толгойн алгебр ба аналитик геометр нь яг ийм шинэ хэлбэрүүд байв. Анх удаа тэгш өнцөгт координатын систем ба x, y тэмдэглэгээг Рене Декарт 1637 онд "Аргын тухай яриа" бүтээлдээ танилцуулсан. Пьер Ферма нь координатын аргыг боловсруулахад хувь нэмэр оруулсан боловч түүний бүтээлүүд түүнийг нас барсны дараа анх хэвлэгджээ. Декарт, Ферма нар координатын аргыг зөвхөн хавтгай дээр ашигласан. Гурван хэмжээст орон зайн координатын аргыг анх 18-р зуунд Леонард Эйлер хэрэглэж байжээ.
Вектор. О. Коши (1853).
Анхнаасаа векторыг хэмжээ, чиглэл, (заавал биш) хэрэглээний цэг бүхий объект гэж ойлгодог. Векторын тооцооллын үндсэн ойлголтууд нь Гауссын (1831) нийлмэл тооны геометрийн загвартай хамт гарч ирэв. Вектортой хийсэн боловсруулсан үйлдлүүдийг Гамильтон түүний дөрөвдөгч тооцооны нэг хэсэг болгон нийтэлсэн (векторыг дөрөвдөгчийн төсөөллийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдээс бүрдсэн). Хэмилтон энэ нэр томъёог өөрөө зохиосон вектор(Латин үгнээс гаралтай вектор, тээвэрлэгч) болон вектор шинжилгээний зарим үйлдлийг тайлбарласан болно. Энэхүү формализмыг Максвелл цахилгаан соронзон судлалын талаархи бүтээлүүддээ ашигласан бөгөөд ингэснээр эрдэмтдийн анхаарлыг шинэ тооцоонд татжээ. Гиббсийн вектор шинжилгээний элементүүд (1880 -аад он) удалгүй гарч ирсэн бөгөөд дараа нь Хевисайд (1903) вектор шинжилгээг орчин үеийн дүр төрхтэй болгосон. Вектор тэмдгийг өөрөө 1853 онд Францын математикч Августин Луи Коши ашиглаж байжээ.
Нэмэх, хасах. Ж.Видман (1489).
Нэмэх ба хасах тэмдгийг Германы "косистистууд" математикийн сургуульд (өөрөөр хэлбэл алгебристууд) зохион бүтээсэн бололтой. Тэдгээрийг 1489 онд хэвлэгдсэн Ян (Йоханнес) Видманны сурган хүмүүжүүлэгчдэд зориулсан хурдан бөгөөд сайхан тоолох сурах бичигт ашигласан болно. Үүнээс өмнө нэмэлтийг үсгээр тэмдэглэсэн болно х(латин хэлнээс нэмэх"Илүү их") эсвэл латин үг гэх мэт("ба" холбоос), хасах нь үсэг юм м(латин хэлнээс хасах"Бага, бага"). Видманы хувьд нэмэх тэмдэг нь зөвхөн нэмэлтийг төдийгүй "ба" холбоог орлуулдаг. Эдгээр тэмдгийн гарал үүсэл нь тодорхойгүй байгаа боловч өмнө нь арилжаа наймаанд ашиг, алдагдлын үзүүлэлт болгон ашиглаж байсан байх. Удалгүй хоёулаа хоёулаа Европт түгээмэл болсон бөгөөд Италийг эс тооцвол нэг зуун орчим жилийн турш хуучин тэмдэглэгээг ашиглаж байжээ.
Үржүүлэх. W. Outred (1631), H. Leibniz (1698).
Ташуу загалмай хэлбэрээр үржүүлэх тэмдгийг 1631 онд англи хүн Уильям Отред танилцуулжээ. Түүний өмнө захидлыг ихэвчлэн ашигладаг байсан М.бусад тэмдэглэгээг санал болгосон боловч тэгш өнцөгтийн бэлгэдэл (Францын математикч Эригон, 1634), од (Швейцарийн математикч Иоханн Рахн, 1659). Хожим нь Готфрид Вильгельм Лейбниц загалмайг үсэгээр андуурахгүйн тулд цэгээр (17 -р зууны төгсгөл) сольжээ. x; Түүний өмнө ийм бэлгэдэл нь Германы одон орон судлаач, математикч Региомонтанус (15-р зуун), Английн эрдэмтэн Томас Харриот (1560-1621) нарын дунд олджээ.
Хэсэг. I. Rahn (1659), G. Leibniz (1684).
Уильям Оутред урагш ташуу зураас / хуваах тэмдгийг ашигласан. Готфрид Лейбниц хуваагдлыг бүдүүн гэдсээр илэрхийлж эхлэв. Тэдний өмнө захидлыг ихэвчлэн ашигладаг байсан Д.... Фибоначчигээс эхлэн бутархай хэсгийн хэвтээ шугамыг мөн ашигладаг бөгөөд үүнийг Heron, Diophantus болон Араб бичгээр ашигладаг байжээ. Англи, АНУ -д ÷ (obelus) тэмдэг өргөн тархсан бөгөөд үүнийг Иоханн Рахн (магадгүй Жон Пеллийн оролцоотойгоор) 1659 онд санал болгожээ. Америкийн Үндэсний математикийн стандартын хорооны оролдлого ( Математикийн шаардлагын үндэсний хороо) obelus -ийг практикаас гаргах (1923) амжилтгүй болсон.
Хувь. М.де ла Порт (1685).
Бүхэл бүтэн зүүний нэгийг нэг болгон авсан. "Хувь" гэдэг үг өөрөө латин "pro centum" -аас гаралтай бөгөөд орчуулгад "зуун" гэсэн утгатай. 1685 онд Матье де ла Портын "Арилжааны арифметикийн гарын авлага" ном Парист хэвлэгджээ. Нэг газарт энэ нь ойролцоогоор хувь байсан бөгөөд энэ нь "cto" (cento гэсэн үгийн товчлол) гэсэн утгатай байв. Гэсэн хэдий ч бичигч энэ "cto" -г бутархай гэж андуурч "%" гэж бичжээ. Тиймээс, буруу хэвлэснээс болж энэ тэмдэг ашиглагдаж эхэлжээ.
Зэрэг. Р.Декарт (1637), И.Ньютон (1676).
Орчин үеийн экспонентын тэмдэглэгээг Рене Декарт өөрийн номондоо оруулсан болно. Геометр"(1637), гэхдээ зөвхөн 2 -оос дээш экспонент бүхий байгалийн зэрэглэлд зориулагдсан. Хожим нь Исаак Ньютон энэ хэлбэрийн тэмдэглэгээг сөрөг болон бутархай экспонент болгон өргөжүүлэв (1676), тайлбарыг аль хэдийн санал болгосон байсан: Флемандын математикч инженер Саймон Стевин, Английн математикч Жон Уоллис, Францын математикч Альберт Жирард нар.
Арифметик үндэс n-Бодит тооны хүч а≥0 нь сөрөг бус тоо юм n-түүний зэрэг нь а... 2 -р зэргийн арифметик язгуурыг квадрат язгуур гэж нэрлэдэг бөгөөд зэрэглэлийг зааж өгөхгүйгээр бичиж болно: √. 3 -р зэргийн арифметик үндсийг кубын үндэс гэж нэрлэдэг. Дундад зууны математикчид (жишээлбэл, Кардано) квадрат язгуурыг R x (Латин хэлнээс) тэмдгээр тэмдэглэсэн байдаг Радикс, үндэс). Орчин үеийн нэрийг 1525 онд Коссист сургуулийн Германы математикч Кристоф Рудольф анх ашиглаж байжээ. Энэ тэмдэг нь ижил үгийн загварчилсан эхний үсгээс гаралтай радиус... Радикал илэрхийллийн дээрх шугам эхэндээ байгаагүй; үүнийг хожим Декарт (1637) өөр зориулалтаар (хаалтанд оруулахын тулд) танилцуулсан бөгөөд удалгүй энэ шинж чанарыг язгуур тэмдгээр нэгтгэв. 16 -р зууны шоо үндэсийг дараах байдлаар тодорхойлсон: R x .u.cu (лат. Radix universalis cubica). Альберт Жирард (1629) дурын зэрэглэлийн язгуурын ердийн тэмдэглэгээг ашиглаж эхлэв. Энэ форматыг Исаак Ньютон, Готфрид Лейбниц нарын ачаар нэгтгэсэн болно.
Логарифм, аравтын логарифм, натурал логарифм. И.Кеплер (1624), Б.Кавалиери (1632), А.Приншейм (1893).
"Логарифм" гэсэн нэр томъёо нь Шотландын математикч Жон Напиерт ( "Гайхамшигтай логарифмын хүснэгтийн тодорхойлолт", 1614); Энэ нь λογος (үг, харилцаа) ба αριθμος (тоо) гэсэн грек үгсийн нэгдлээс үүссэн юм. Ж.Напиегийн логарифм нь хоёр тооны харьцааг хэмжих туслах тоо юм. Логарифмын орчин үеийн тодорхойлолтыг анх Английн математикч Уильям Гардинер (1742) өгсөн. Тодорхойлолтоор бол тооны логарифм бшалтгаанаар а (а ≠ 1, а> 0) - экспонент мэнэ тоог нэмэгдүүлэх ёстой а(логарифмын суурь гэж нэрлэдэг) авах б... Тэмдэглэсэн бүртгэл a b.Тиймээс, м = бүртгэл a б, хэрэв a m = b.
Аравтын логарифмын анхны хүснэгтүүдийг 1617 онд Оксфордын математикийн профессор Хенри Бригс хэвлүүлжээ. Тиймээс гадаадад аравтын логарифмыг ихэвчлэн Бригс логарифм гэж нэрлэдэг. "Байгалийн логарифм" гэсэн нэр томъёог Пиетро Менголи (1659), Николас Меркатор (1668) нар оруулсан боловч Лондоны математикийн багш Жон Спиделл 1619 онд байгалийн логарифмын хүснэгтийг эмхэтгэсэн байв.
19 -р зууны эцэс хүртэл логарифмын үндсэн ойлголт гэж байдаггүй байв адараа нь зүүн ба тэмдгийн дээд талд заана бүртгэлдараа нь давна. Эцэст нь математикчид суурийн хувьд хамгийн тохиромжтой газар нь тэмдгийн дараа шугамын доор байрладаг гэсэн дүгнэлтэд хүрсэн байна бүртгэл... Логарифмын тэмдэг - "логарифм" гэсэн үгийн товчлолын үр дүн - логарифмын эхний хүснэгт гарч ирэхтэй зэрэгцэн янз бүрийн хэлбэрээр тохиолддог. Бүртгэл- И.Кеплер (1624), Г.Бригс (1631), бүртгэл- Б.Кавалиери (1632). Тэмдэглэгээ lnУчир нь байгалийн логарифмыг Германы математикч Альфред Прингсхайм (1893) нэвтрүүлсэн.
Синус, косинус, тангенс, котангенс. В.Отред (17 -р зууны дунд үе), И.Бернулли (18 -р зуун), Л.Эйлер (1748, 1753).
Синус ба косинусын товчилсон тэмдэглэгээг 17 -р зууны дундуур Уильям Оутред танилцуулсан. Тангенс ба котангенсийн товчлол: tg, ctg 18 -р зуунд Иоханн Бернуллигийн танилцуулсан нь Герман, Орост өргөн тархсан байв. Бусад улс орнууд эдгээр функцын нэрийг ашигладаг шар, орАльберт Жирард бүр 17 -р зууны эхээр санал болгосон. Тригонометрийн функцийн онолыг Леонард Эйлер (1748, 1753) орчин үеийн хэлбэрт оруулсан бөгөөд бид түүнд жинхэнэ бэлгэдлийг нэгтгэх өртэй юм."Тригонометрийн функц" гэсэн нэр томъёог 1770 онд Германы математикч, физикч Георг Саймон Клюгель танилцуулсан.
Энэтхэгийн математикчдын синус шугамыг анх нэрлэдэг байжээ "Арха-жива"("Хагас мөр", өөрөөр хэлбэл хагас хөвч), дараа нь үг "Арча"унасан бөгөөд синус шугамыг энгийнээр дуудсан Жива... Араб орчуулагчид энэ үгийг орчуулаагүй байна ЖиваАраб үг "Ватар", нум, хөвчийг илэрхийлж, араб үсгээр бичээд синус шугамыг дуудаж эхлэв Жиба... Араб хэл дээр богино эгшигийг заагаагүй, харин урт "ба" гэсэн үгтэй байдаг ЖибаХагас эгшигт "y" -тэй адилаар тэмдэглэсэн арабууд синусын шугамын нэрийг дуудаж эхлэв. Жибэ, энэ нь шууд утгаараа "хөндий", "синус" гэсэн утгатай. Араб хэлний бүтээлүүдийг латин хэл рүү орчуулахдаа Европын орчуулагчид энэ үгийг орчуулжээ ЖибэЛатин үг синус, ижил утгатай."Тангенс" гэсэн нэр томъёо (лат.тангенс- тухай) Данийн математикч Томас Финке "Геометрийн тойрог" (1583) номондоо танилцуулсан.
Арксин. C. Шерфер (1772), Ж.Лагранж (1772).
Урвуу тригонометрийн функц нь тригонометрийн функцээс урвуу математик функц юм. Урвуу тригонометрийн функцын нэрийг "нуман" угтварыг нэмж харгалзах тригонометрийн функцийн нэрнээс гаралтай (лат. нуман- нуман).Урвуу тригонометрийн функцууд нь ихэвчлэн arcsin, arccos, arctg, arcctg, arcsec, arccosec гэсэн зургаан функцийг агуулдаг. Урвуу тригонометрийн функцын тусгай тэмдгийг анх удаа Даниел Бернулли (1729, 1736) ашигласан.Урвуу тригонометрийн функцийг угтвараар илэрхийлэх арга нуман(лат. arcus, arc) нь Австрийн математикч Карл Шерфер дээр гарч ирсэн бөгөөд Францын математикч, одон орон судлаач, механик Жозеф Луи Лагранжийн ачаар нэгтгэгджээ. Энэ нь жишээлбэл, ердийн синус нь тойргийн нумын дагуу агшиж буй хөвчийг олох боломжийг олгодог бөгөөд урвуу функц нь эсрэг асуудлыг шийддэг гэсэн үг юм. 19 -р зууны эцэс хүртэл Англи, Германы математикийн сургуулиуд бусад нэр томъёог санал болгов -1 ба 1 / sin, гэхдээ тэдгээр нь өргөн хэрэглэгддэггүй.
Гиперболик синус, гипербол косинус. В.Риккати (1757).
Түүхчид гиперболик функцийн анхны дүр төрхийг Английн математикч Абрахам де Мойврегийн (1707, 1722) бүтээлүүдээс олж илрүүлжээ. Орчин үеийн тодорхойлолт, нарийвчилсан судалгааг Италийн Винченцо Риккати 1757 онд "Опускулорум" бүтээлдээ хийсэн бөгөөд тэрээр мөн тэдний нэрийг санал болгов. ш,Ч... Риккати ганц гиперболыг авч үзсэн. Гиперболик функцийн шинж чанарыг бие даасан нээлт, цаашдын судалгааг Германы математикч, физикч, философич Иоханн Ламберт (1768) хийж, энгийн ба гиперболик тригонометрийн томъёоны өргөн параллелизмийг тогтоожээ. N.I. Лобачевский дараа нь энэ параллелизмийг ашиглаж, энгийн тригонометрийг гиперболикоор сольсон Евклидийн бус геометрийн тууштай байдлыг нотлохыг оролдов.
Тригонометрийн синус ба косинус нь координатын тойрог дээрх цэгийн координат байдаг шиг гиперболын синус ба косинус нь гиперболын цэгийн координат юм. Гиперболик функцийг экспоненциал функцээр илэрхийлдэг бөгөөд тригонометрийн функцтэй нягт холбоотой байдаг. sh (x) = 0.5 (e x -e -x) , ch (x) = 0.5 (e x + e -x). Тригонометрийн функцтэй адилаар гиперболик тангенс ба котангенсыг гипербол синус ба косинус, косинус ба синусын харьцаа гэж тодорхойлдог.
Дифференциал. Г.Лейбниц (1675, хэвлэлд 1684).
Функцийн нэмэгдэх үндсэн, шугаман хэсэг.Хэрэв функц y = f (x)нэг хувьсагч x байна x = x 0дериватив ба өсөлтΔy = f (x 0 +? X) -f (x 0)функц f (x)хэлбэрээр төлөөлж болноΔy = f "(x 0) Δx + R (Δx) , гишүүн хаана байна R-тай харьцуулахад хязгааргүй жижигX... Эхний улиралdy = f "(x 0) ΔxЭнэ өргөтгөлийг функцийн дифференциал гэж нэрлэдэг f (x)цэг дээрx 0... V Готфрид Лейбниц, Жейкоб, Иоханн Бернулли нарын бүтээлүүд"ялгаа""нэмэгдэх" гэсэн утгаар ашигласан, И.Бернулли үүнийг Δ гэж тэмдэглэсэн. Г.Лейбниц (1675, 1684 онд хэвлэгдсэн) "хязгааргүй жижиг ялгаа" гэсэн тэмдэглэгээг ашигласан.d- үгийн эхний үсэг"дифференциал", түүний үүсгэн байгуулсан"ялгаа".
Хязгааргүй интеграл. Г.Лейбниц (1675, 1686 оны хэвлэлд).
"Интеграл" гэдэг үгийг анх Жэйкоб Бернулли (1690) хэвлэсэн. Магадгүй энэ нэр томъёо нь латин хэлнээс гаралтай байж магадгүй юм бүхэл тоо- бүхэлдээ. Өөр нэг таамаглалын дагуу үндэс нь латин үг байв интегро- өмнөх төлөвт оруулах, сэргээх. ∫ тэмдэг нь математикийн интегралийг илэрхийлэхэд хэрэглэгддэг бөгөөд латин үгийн эхний үсгийн загварчилсан дүрс юм. сумма -нийлбэр. Үүнийг анх Германы математикч, дифференциал ба интеграл тооцооллыг үндэслэгч Готфрид Лейбниц 17 -р зууны сүүлчээр ашиглаж байжээ. Дифференциал ба интеграл тооцооллыг үндэслэгчдийн нэг Исаак Ньютон бүтээлүүддээ интегралийн өөр бэлгэдлийг санал болгоогүй боловч хэд хэдэн сонголтыг туршиж үзсэн: функцын дээгүүр босоо баар эсвэл функцын өмнө зогсож буй дөрвөлжин тэмдэг. үүнийг хиллэдэг. Функцийн тодорхойгүй интеграл y = f (x)Энэ бол өгөгдсөн функцын бүх эсрэгтөрөгчдийн цуглуулга юм.
Тодорхой интеграл. Ж.Фурье (1819-1822).
Функцийн тодорхой интеграл f (x)доод хязгаартай аба дээд хязгаар бялгааг тодорхойлж болно F (b) - F (a) = a ∫ b f (x) dx , хаана F (x)- функцын эсрэг зарим эсрэг үйлчилгээтэй f (x) ... Тодорхой интеграл a ∫ b f (x) dx abscissa тэнхлэгээр, шулуун шугамаар хязгаарлагдсан зургийн талбартай тэнцүү байна x = aба x = bба функцын график f (x)... Францын математикч, физикч Жан Батист Жозеф Фурье 19 -р зууны эхэн үед бидний дассан хэлбэрээр тодорхой интеграл зохион бүтээхийг санал болгов.
Үүсмэл. Г.Лейбниц (1675), Ж.Лагранж (1770, 1779).
Дериватив нь функцийн өөрчлөлтийн хурдыг тодорхойлдог дифференциал тооцооллын үндсэн ойлголт юм f (x)маргааныг өөрчлөх тухай x ... Хэрэв ийм хязгаар байгаа бол аргументийн өсөлт тэг болж хувирах үед функцын өсөлт ба түүний аргументийн өсөлтийн харьцааны хязгаарыг тодорхойлно. Хязгаарлагдмал деривативтай функцийг энэ үед дифференциал гэж нэрлэдэг. Деривативыг тооцоолох үйл явцыг дифференциаци гэж нэрлэдэг. Эсрэг процесс бол нэгтгэх явдал юм. Сонгодог дифференциал тооцоололд деривативыг ихэвчлэн хязгаарын онолын үзэл баримтлалаар тодорхойлдог боловч түүхийн хувьд хязгаарын онол нь дифференциал тооцооллоос хожуу гарч ирсэн байдаг.
"Дериватив" гэсэн нэр томъёог 1797 онд Жозеф Луис Лагранж танилцуулсан; dy / dx- Готфрид Лейбниц 1675 онд. Цагийн үүсмэл хэлбэрийг үсэг дээр цэгээр тэмдэглэх арга нь Ньютоноос (1691) гаралтай.Орос хэлний "Функцийн дериватив" гэсэн нэр томъёог анх Оросын математикч ашиглаж байжээВасилий Иванович Висковатов (1779-1812).
Хэсэгчилсэн дериватив. А.Легандре (1786), Ж.Лагранж (1797, 1801).
Олон хувьсагчийн функцийн хувьд хэсэгчилсэн деривативыг тодорхойлдог - аргументуудын аль нэгэнд хамаарах деривативыг бусад аргументууд тогтмол гэж таамаглаж тооцдог. Тэмдэглэгээ ∂f / ∂ x, ∂ z / ∂ yФранцын математикч Adrienne Marie Legendre 1786 онд танилцуулсан; fx ",z x "- Жозеф Луис Лагранж (1797, 1801) ∂ 2 з / ∂ x 2, ∂ 2 з / ∂ x ∂ y- хоёрдугаар зэрэглэлийн хэсэгчилсэн деривативууд - Германы математикч Карл Густав Якоб Якоби (1837).
Ялгаа, өсөлт. I. Бернулли (17 -р зууны сүүл - 18 -р зууны эхний хагас), Л.Эйлер (1755).
Δ үсгээр нэмэгдэх тэмдэглэгээг анх Швейцарийн математикч Иоханн Бернулли ашигласан. Дельта бэлгэ тэмдэг нь 1755 онд Леонард Эйлерийн бүтээлийн дараа нийтлэг хэрэглээ болжээ.
Нийлбэр. Л.Эйлер (1755).
Нийлбэр нь утгыг (тоо, функц, вектор, матриц гэх мэт) нэмсний үр дүн юм. N тоонуудын нийлбэрийг a 1, a 2, ..., an гэж тэмдэглэхийн тулд Грекийн "sigma" letter үсгийг ашиглана: a 1 + a 2 + ... + an = Σ ni = 1 ai = Σ n 1 a i. Нийлбэрийн Σ тэмдгийг 1755 онд Леонард Эйлер танилцуулсан.
Ажил. К.Гаусс (1812).
Бүтээгдэхүүн нь үржүүлэх үр дүн юм. N тооны a, a, 2, ..., an тоонуудын бүтээгдэхүүнийг илэрхийлэхийн тулд Грекийн "pi" Π үсгийг ашиглана: a 1 · a 2 · ... · an = Π ni = 1 ai = Π n 1 a i. Жишээлбэл, 1 · 3 · 5 · ... · 97 · 99 =? 50 1 (2i-1). Энэхүү бүтээлийн Π тэмдгийг Германы математикч Карл Гаусс 1812 онд танилцуулжээ. Оросын математикийн уран зохиолд "ажил" гэсэн нэр томъёог анх 1703 онд Леонти Филиппович Магнитский олж харжээ.
Факторын. К.Крамп (1808).
N тооны факториал (n! Гэж тэмдэглэсэн, "энто-факториал" гэж дууддаг) нь n: n хүртэлх бүх байгалийн тоонуудын үржвэр юм! = 1 · 2 · 3 · ... · n. Жишээлбэл, 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120. Тодорхойлолтоор 0 гэж үзнэ! = 1. Факториалыг зөвхөн сөрөг бус бүхэл тоонуудын хувьд тодорхойлдог. N тооны факториал нь n элементийн сэлгэлтийн тоотой тэнцүү байна. Жишээлбэл, 3! = 6, үнэхээр,
♣ ♦
♣ ♦
♣ ♦
♦ ♣
♦ ♣
♦ ♣
Гурван элементийн зургаа, ердөө зургаахан сэлгэмэл.
"Факториал" гэсэн нэр томъёог Францын математикч, улс төрч Луис Франсуа Антуан Арбогаст (1800), n гэсэн тэмдэглэгээгээр нэвтрүүлсэн. - Францын математикч Кристиан Крамп (1808).
Модуль, үнэмлэхүй утга. K. Weierstrass (1841).
Модуль, бодит тооны x-ийн үнэмлэхүй утга нь дараах байдлаар тодорхойлогдсон сөрөг бус тоо юм: | x | = x нь x ≥ 0, мөн | x | x ≤ 0 -ийн хувьд = -x.Жишээ нь, | 7 | = 7, | - 0.23 | = - ( - 0.23) = 0.23. Z = a + ib комплекс тооны модуль нь √ (a 2 + b 2) -тэй тэнцүү бодит тоо юм.
"Модуль" гэсэн нэр томъёог Английн математикч, философич, Ньютоны оюутан Рожер Күүтс ашиглахыг санал болгосон гэж үздэг. Готфрид Лейбниц мөн "модуль" гэж нэрлээд энэ функцийг ашигласан бөгөөд үүнийг mol x гэж тэмдэглэв. Үнэмлэхүй утгын нийтээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн тэмдэглэгээг 1841 онд Германы математикч Карл Вейерштрасс нэвтрүүлсэн. Нарийн төвөгтэй тоонуудын хувьд энэ ойлголтыг 19 -р зууны эхэн үед Францын математикчид Августин Коши, Жан Роберт Арган нар нэвтрүүлсэн. 1903 онд Австрийн эрдэмтэн Конрад Лоренц векторын урттай ижил бэлгэдлийг ашигласан.
Норм. Э.Шмидт (1908).
Норм бол векторын орон зайд тодорхойлогддог функц бөгөөд тооны вектор эсвэл модулийн уртын тухай ойлголтыг нэгтгэдэг. "Норм" тэмдгийг (лат. "Norma" - "дүрэм", "дээж" гэсэн үгнээс гаралтай) Германы математикч Эрхард Шмидт 1908 онд танилцуулсан.
Хязгаар. С.Луиллиер (1786), В.Хэмилтон (1853), олон математикчид (ХХ зууны эхэн хүртэл)
Хязгаар гэдэг нь математикийн анализын үндсэн ойлголтуудын нэг бөгөөд энэ нь өөрчлөгдөж буй процессын явцад тодорхой хувьсах утга нь тодорхой тогтмол утгад хязгааргүй ойртож байна гэсэн үг юм. Ухаалаг түвшний хязгаарын тухай ойлголтыг 17 -р зууны хоёрдугаар хагаст Исаак Ньютон, мөн 18 -р зууны математикчид, тухайлбал Леонард Эйлер, Жозеф Луи Лагранж нар ашиглаж байжээ. Дарааллын хязгаарын анхны хатуу тодорхойлолтыг Бернард Болзано 1816 онд, Августин Коши 1821 онд өгсөн. Лим тэмдэг (латин үг limes - хилийн эхний 3 үсэг) 1787 онд Швейцарийн математикч Саймон Антуан Жан Луиллиер гарч ирсэн боловч түүний хэрэглээ нь орчин үеийнхтэй хараахан хараахан нийцээгүй байна. Бидний хувьд илүү танил болсон лим гэсэн илэрхийлэлийг 1853 онд Ирландын математикч Уильям Хэмилтон анх хэрэглэж байжээ.Вейерштрасс орчин үеийнхтэй ойролцоо тэмдэглэгээг танилцуулсан боловч ердийн сумны оронд тэнцүү тэмдгийг ашигласан. Сум 20 -р зууны эхээр хэд хэдэн математикчдын дунд нэгэн зэрэг гарч ирэв - жишээлбэл, Английн математикч Годфрид Харди 1908 онд.
Zeta функц, d Riemann -ийн zeta функц... Б.Рийман (1857).
S = σ + it цогц хувьсагчийн аналитик функцийг σ> 1 -ийн хувьд Дирихлет цувралаар туйлын жигд тодорхойлно.
ζ (s) = 1 -s + 2 -s + 3 -s + ....
Σ> 1 -ийн хувьд Эйлер бүтээгдэхүүн хэлбэрийн дүрслэл хүчинтэй байна.
ζ (s) = Πх (1 -p -s) -s,
Бүтээгдэхүүнийг бүх анхан шатны нэгжид авсан p. Zeta функц нь тооны онолд чухал үүрэг гүйцэтгэдэг.Бодит хувьсагчийн функцын хувьд zeta функцийг 1737 онд (1744 онд хэвлэгдсэн) Л.Эйлер танилцуулж, бүтээгдэхүүн болгон өргөжүүлж байгаагаа илэрхийлсэн. Дараа нь энэ функцийг Германы математикч Л.Дирихлет, ялангуяа Оросын математикч, механик П.Л. Чебышев анхны тооны хуваарилалтын хуулийг судалж байхдаа. Гэсэн хэдий ч, zeta функцийн хамгийн гүнзгий шинж чанаруудыг хожим нь нээсэн бөгөөд Германы математикч Георг Фридрих Бернхард Риманны (1859) ажлын үр дүнд zeta функцийг цогц хувьсагчийн функц гэж үзсэн; Тэрээр мөн 1857 онд "zeta function" нэр, ζ (s) тэмдэглэгээг танилцуулсан.
Гамма функц, Эйлер Γ-функц. A. Legendre (1814).
Гамма функц нь факториаль гэсэн ойлголтыг нарийн төвөгтэй тоонуудын хүрээнд өргөжүүлдэг математик функц юм. Ихэвчлэн Γ (z) гэж тэмдэглэдэг. R-функцийг анх 1729 онд Леонард Эйлер танилцуулсан; Үүнийг томъёогоор тодорхойлно.
Γ (z) = хязгаарn → ∞ n! n z /z(z+1)...(z+n).
Олон тооны интеграл, хязгааргүй бүтээгдэхүүн, цувааны нийлбэрийг Γ функцээр илэрхийлдэг. Энэ нь аналитик тооны онолд өргөн хэрэглэгддэг. "Гамма функц" нэр, Γ (z) тэмдэглэгээг 1814 онд Францын математикч Адриен Мари Легендре санал болгов.
Бета функц, В функц, Эйлер В функц. Ж.Бинет (1839).
P> 0, q> 0 гэсэн тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон p ба q гэсэн хоёр хувьсагчийн функц:
B (p, q) = 0 ∫ 1 x p-1 (1-x) q-1 dx.
Бета функцийг Γ-функцээр илэрхийлж болно: B (p, q) = Γ (p) Г (q) / Г (p + q).Бүхэл тоонуудын хувьд гамма функц нь факториалын ерөнхий шинж чанар байдаг шиг бета функц нь нэг талаараа биномын коэффициентүүдийн ерөнхийлөлт юм.
Бета функцийг ашиглан олон шинж чанарыг тайлбарласан болноэнгийн тоосонцороролцож байна хүчтэй харилцан үйлчлэл... Энэ онцлогийг Италийн онолын физикч анзаарчээГабриэле Венезиано 1968 онд. Энэ нь эхлэлийг тавьсан юмутас онол.
"Бета функц" гэсэн нэр, B (p, q) тэмдэглэгээг 1839 онд Францын математикч, механик, одон орон судлаач Жак Филипп Мари Бинет танилцуулжээ.
Лаплас оператор, Лапласиан. Р.Мерфи (1833).
X 1, x 2, ..., x n хувьсагч дахь φ (x 1, x 2, ..., x n) функцийг хуваарилдаг шугаман дифференциал оператор Δ:
Δφ = ∂ 2 φ / ∂x 1 2 + ∂ 2 φ / ∂x 2 2 + ... + ∂ 2 φ / ∂x n 2.
Ялангуяа нэг хувьсагчийн φ (х) функцын хувьд Лаплас оператор нь хоёр дахь үүсмэл оператортой давхцдаг: Δφ = d 2 φ / dx 2. Δφ = 0 тэгшитгэлийг ихэвчлэн Лапласын тэгшитгэл гэж нэрлэдэг; Тиймээс "Лаплас оператор" эсвэл "Лапласс" гэсэн нэрс гарч ирсэн. The гэсэн тэмдэглэгээг 1833 онд Английн физикч, математикч Роберт Мерфи оруулсан байна.
Хамилтон оператор, набла оператор, Хамилтониан. О.Хевисайд (1892).
Хэлбэрийн вектор дифференциал оператор
∇ = ∂ / ∂x би+ ∂ / ∂y j+ ∂ / ∂z к,
хаана би, j, ба к- нэгжийн векторуудыг координатлах. Вектор шинжилгээний үндсэн үйлдлүүд, түүнчлэн Лаплас операторыг nabla оператороор дамжуулан байгалийн аргаар илэрхийлдэг.
1853 онд Ирландын математикч Уильям Роуэн Хэмилтон энэхүү операторыг танилцуулж Greek тэмдгийг урвуу грек үсгээр del (дельта) хэлбэрээр бүтээжээ. Гамильтон хотод бэлгэдлийн үзүүр зүүн тийш чиглэсэн бол хожим Шотландын математикч, физикч Питер Гутри Тэйтийн бүтээлүүдэд уг тэмдэг орчин үеийн хэлбэрээ олж авсан байна. Хэмилтон энэ тэмдгийг "атлед" гэж нэрлэсэн ("дельта" гэдэг үгийг эсрэгээр нь уншсан). Хожим нь Английн эрдэмтэд, түүний дотор Оливер Хевисайд энэ тэмдгийг Финикийн цагаан толгойн ∇ үсгийн нэрээр нэрлэгдсэний дараа "набла" гэж нэрлэж эхлэв. Захидлын гарал үүсэл нь ятга хэлбэрийн хөгжмийн зэмсэгтэй холбоотой бөгөөд ναβλα (набла) нь эртний Грек хэлээр "ятга" гэсэн утгатай юм. Операторыг Хамилтон оператор буюу набла оператор гэж нэрлэдэг байв.
Чиг үүрэг. I. Бернулли (1718), Л.Эйлер (1734).
Багцын элементүүдийн хоорондын хамаарлыг тусгасан математик ойлголт. Функц нь "багц хууль", "дүрэм" гэж хэлж болно, үүний дагуу нэг олонлогийн элемент бүрийг (тодорхойлолтын домэйн гэж нэрлэдэг) өөр олонлогийн зарим элементтэй (утгуудын домэйн гэж нэрлэдэг) холбодог. Функцийн математик үзэл баримтлал нь нэг хэмжигдэхүүн нь бусад хэмжигдэхүүний үнэ цэнийг хэрхэн бүрэн тодорхойлдог тухай зөн совинтой ойлголтыг илэрхийлдэг. Ихэнхдээ "функц" гэсэн нэр томъёо нь тоон функцийг хэлдэг; өөрөөр хэлбэл нэг тоог нөгөөдөө оноож өгдөг функц. Удаан хугацааны турш математикчид хаалтгүйгээр аргумент өгдөг байсан, жишээ нь - φх. Анх удаа ийм нэр томъёог Швейцарийн математикч Иоханн Бернулли 1718 онд ашиглажээ.Хаалтуудыг зөвхөн олон аргументэд ашигладаг байсан, эсвэл хэрүүл нь нарийн төвөгтэй илэрхийлэл байсан бол. Өнөөг хүртэл ашиглагдаж байгаа бичлэгүүд нь тэр үеийн цуурай юм.sin x, lg xболон бусад.Гэвч аажмаар хаалт ашиглах f (x) нь ерөнхий дүрэм болжээ. Үүний гол гавьяаг Леонард Эйлер эзэлдэг.
Тэгш байдал. R. Бичлэг (1557).
Тэгш тэмдгийг Уэльсийн эмч, математикч Роберт Рекорд 1557 онд санал болгосон; хоёр зэрэгцээ сегментийн дүрсийг дуурайсан тул бэлгэдлийн хэлбэр нь одоогийнхоос хамаагүй урт байв. Зохиогч дэлхий дээр ижил урттай хоёр зэрэгцээ сегментээс илүү тэнцүү зүйл гэж байдаггүй гэж тайлбарлав. Үүнээс өмнө эртний болон дундад зууны математикт тэгш байдлыг амаар илэрхийлдэг байсан (жишээ нь үнэхээр эгаль). 17 -р зуунд Рене Декарт æ (лат. тэгш хэм), мөн тэрээр коэффициент сөрөг байж болохыг харуулахын тулд орчин үеийн тэгш тэмдгийг ашигласан. Франсуа Виетт нь хасах тэмдгийг тэнцүү тэмдгээр тэмдэглэв. Бичлэгийн тэмдэг тэр даруй тархсангүй. Эрт дээр үеэс ижил тэмдгийг шулуун шугамын параллелизмийг илэрхийлэхэд ашигладаг байсан нь Рекорд тэмдгийн тархалтад саад болж байв. Эцэст нь параллелизмын тэмдгийг босоо болгохоор шийдсэн. Тив Европт "=" тэмдгийг Готфрид Лейбниц зөвхөн 17-18-р зууны төгсгөлд, өөрөөр хэлбэл үүнийг анх ашигласан Роберт Рекорд нас барснаас хойш 100 гаруй жилийн дараа танилцуулжээ.
Ойролцоогоор тэнцүү, ойролцоогоор тэнцүү. А.Гюнтер (1882).
Гарын үсэг зурах " ≈ 1882 онд Германы математикч, физикч Адам Вильгельм Зигмунд Гюнтертэй ойролцоогоор тэнцүү харьцааны бэлгэдэл болгон ашиглаж эхэлсэн.
Илүү бага. Т.Гариот (1631).
Эдгээр хоёр тэмдгийг 1631 онд Английн одон орон судлаач, математикч, угсаатны зүйч, орчуулагч Томас Гарриот ашиглаж эхэлсэн бөгөөд үүнээс өмнө "илүү", "бага" гэсэн үгсийг ашиглаж байжээ.
Харьцуулах чадвар. К.Гаусс (1801).
Харьцуулалт - n ба m гэсэн хоёр бүхэл тоонуудын харьцаа, эдгээр тоонуудын n -m ялгааг харьцуулсан модуль гэж нэрлэсэн a бүхэл тоонд хуваана гэсэн үг; бичсэн: n≡m (mod a) ба "n ба m тоонуудыг харьцуулж болох a a" гэж уншина уу. Жишээлбэл, 3≡11 (mod 4), учир нь 3-11 нь 4-т хуваагддаг; 3 ба 11 тоонууд нь харьцуулж болох модуль 4. Харьцуулалт нь тэгшитгэлтэй төстэй олон шинж чанартай байдаг. Тиймээс харьцуулалтын нэг хэсэгт байгаа нэр томъёог нөгөө тэмдэг рүү нь эсрэг тэмдэгээр шилжүүлж, ижил модультай харьцуулалтыг нэмж, хасах, үржүүлэх, харьцуулалтын хоёр хэсгийг ижил тоогоор үржүүлэх гэх мэт болно. . Жишээлбэл,
3≡9 + 2 (mod 4) ба 3-2≡9 (mod 4)
Зөв харьцуулалтыг нэгэн зэрэг хийх. 3≡11 (mod 4) ба 1≡5 (mod 4) гэсэн зөв харьцуулалтаас дараахь зүйл зөв байна.
3 + 1≡11 + 5 (мод 4)
3-1≡11-5 (мод 4)
3 1≡11 5 (мод 4)
3 2 ≡11 2 (мод 4)
3 23≡11 23 (мод 4)
Янз бүрийн харьцуулалтыг шийдвэрлэх аргуудыг тооны онолд авч үздэг. Нэг төрлийн харьцуулалтыг хангасан бүхэл тоог олох арга.Модульчлагдсан харьцуулалтыг Германы математикч Карл Гаусс 1801 онд бичсэн "Арифметикийн судалгаа" номондоо анх ашиглаж байжээ. Тэрээр харьцуулахын тулд математикт бий болсон бэлгэдлийг санал болгов.
Танигдах байдал. Б.Рийман (1857).
Identity - хоёр аналитик илэрхийллийн тэгш байдал, үүнд орсон үсгүүдийн зөвшөөрөгдөх утгад хүчинтэй байна. A + b = b + a тэгш байдал нь a ба b -ийн бүх тоон утгуудын хувьд үнэн бөгөөд ингэснээр таних тэмдэг болно. Зарим тохиолдолд таних тэмдгийг бичихийн тулд 1857 оноос хойш "≡" ("ижил тэнцүү" гэж уншина уу) тэмдгийг ашигласан бөгөөд үүнийг зохиогч нь Германы математикч Георг Фридрих Бернхард Риманн юм. Та бичиж болно a + b ≡ b + a.
Перпендикуляр байдал. П.Эригон (1634).
Перпендикуляр байдал нь хоёр шулуун шугам, хавтгай эсвэл шулуун шугам ба хавтгайн харьцангуй байрлал бөгөөд эдгээр дүрс нь зөв өнцөг үүсгэдэг. Перпендикуляр байдлыг илэрхийлэх ⊥ тэмдгийг 1634 онд Францын математикч, одон орон судлаач Пьер Эригон танилцуулжээ. Перпендикуляр байдлын тухай ойлголт нь хэд хэдэн ерөнхий тоймтой байдаг боловч дүрмээр бол ⊥ тэмдгийг дагалддаг.
Зэрэгцээ байдал. W. Outred (нас барсны дараах хэвлэл 1677).
Зэрэгцээ байдал нь тодорхой геометрийн хэлбэрүүдийн хоорондын харилцаа юм; жишээ нь шулуун шугамууд. Янз бүрийн геометрээс хамааран өөр өөрөөр тодорхойлогддог; Жишээлбэл, Евклидийн геометр ба Лобачевскийн геометрийн хувьд. Зэрэгцээ байдлын шинж тэмдгийг эрт дээр үеэс мэддэг байсан бөгөөд үүнийг Александрын Герон, Паппус нар ашигладаг байжээ. Эхэндээ тэмдэг нь одоогийн тэгш тэмдэгтэй төстэй байв (зөвхөн урт), гэхдээ сүүлчийн дүр төрх нь төөрөгдөлд орохгүйн тулд тэмдгийг босоо чиглэлд эргүүлэв ||. Энэ хэлбэрээр тэрээр анх 1677 онд Английн математикч Уильям Отредын бүтээлүүдийн нас барсны дараах хэвлэлд гарч ирэв.
Уулзвар, нэгдэл. J. Peano (1888).
Багцын огтлолцол нь эдгээр бүх элементүүдэд нэгэн зэрэг хамаарах тэдгээр элементүүд багтдаг олонлог юм. Багцын холбоо - анхны багцын бүх элементүүдийг агуулсан багц. Уулзвар ба холболтыг дээр дурдсан дүрмийн дагуу зарим багцад шинэ багц хуваарилах олонлогийн үйл ажиллагаа гэж нэрлэдэг. ∩ ба ∪ -г тус тус тэмдэглэв. Жишээлбэл, хэрэв
A = (♠ ♣)ба B = (♣ ♦),
Тэр
АВ = {♣ }
АВ = {♠ ♣ ♦ } .
Агуулсан, агуулсан. E. Schroeder (1890).
Хэрэв А ба В хоёр багц бөгөөд А -д В -д хамааралгүй элемент байхгүй бол А -г В -д агуулагддаг гэж хэлдэг. Тэд A⊂B эсвэл B⊃A гэж бичдэг (В нь А агуулдаг). Жишээлбэл,
{♠}⊂{♠ ♣}⊂{♠ ♣ ♦ }
{♠ ♣ ♦ }⊃{ ♦ }⊃{♦ }
"Агуулсан" ба "агуулсан" гэсэн тэмдэглэгээг 1890 онд Германы математикч логикч Эрнст Шрөдер гаргажээ.
Хамаарал. J. Peano (1895).
Хэрэв a нь А олонлогийн элемент бол тэд a∈A гэж бичээд "a нь А -д харьяалагддаг" гэж уншдаг. Хэрэв a нь A олонлогийн элемент биш бол a∉A гэж бичээд "ба А -д хамаарахгүй" гэж уншина уу. Эхэндээ "агуулсан" ба "харьяалагддаг" ("элемент бол") харилцаа нь ялгагдаагүй боловч цаг хугацаа өнгөрөхөд эдгээр ойлголтууд ялгааг шаардаж байв. Гишүүнчлэлийн тэмдгийг 1895 онд Италийн математикч Жузеппе Пеано анх хэрэглэж байжээ. ∈ тэмдэг нь грекийн εστι - байх гэсэн үгийн эхний үсгээс гаралтай.
Орчлон ертөнцийн хэмжигдэхүүн, оршихуйн тоон үзүүлэлт. G. Genzen (1935), C. Pearce (1885).
Тоон хэмжигч бол логик үйлдлийн ерөнхий нэр бөгөөд уг таамаглалын үнэний талбарыг харуулдаг (математик мэдэгдэл). Философчид урьдчилсан таамаглалын үнэний хүрээг хязгаарлах логик үйлдлүүдэд удаан хугацааны туршид анхаарал хандуулж ирсэн боловч тэдгээрийг тусдаа үйлдлийн ангилал болгон ялгаж чадаагүй юм. Тоон хэмжигч логик бүтцийг шинжлэх ухаан болон өдөр тутмын ярианд өргөн ашигладаг боловч тэдгээрийг албан ёсны болгох ажлыг зөвхөн 1879 онд хийсэн бөгөөд Германы логикч, математикч, философич Фридрих Людвиг Готлоб Фрегегийн "Үзэл баримтлалын тооцоолол" номонд бичсэн байдаг. Фрегегийн тэмдэглэгээ нь том график хийц шиг харагдаж байсан бөгөөд хүлээн зөвшөөрөгдөөгүй. Дараа нь илүү олон амжилттай бэлгэдэл санал болгосон боловч 1885 онд Америкийн философич, логикч, математикч Чарльз Пирсийн санал болгосон оршихуйн тоон үзүүлэлтийн хувьд "хүлээн зөвшөөрөгдсөн", "байдаг" гэсэн утгатай нийтлэг хүлээн зөвшөөрөгдсөн тэмдэглэгээ нь ∃ болжээ. 1935 онд Германы математикч, логикч Герхард Карл Эрих Генцений бий болгосон орчлон ертөнцийн хэмжигдэхүүн ("ямар ч", "хүн бүр", "хүн бүр" -ийг уншина уу), оршихуйн тоон үзүүлэлтийн тэмдэг (Англи хэлний оршихуйн оршихуй ба аль нэг үгийн урвуу дараалсан эхний үсгүүд) ). Жишээлбэл, оруулга
(∀ε> 0) (∃δ> 0) (∀x ≠ x 0, | x-x 0 |<δ) (|f(x)-A|<ε)
дараах байдлаар уншдаг: "ямар ч ε> 0-ийн хувьд бүх x-ийн хувьд x 0-тэй тэнцүү биш бөгөөд тэгш бус байдлыг хангадаг x> 0 гэж байдаг | x-x 0 |<δ, выполняется неравенство |f(x)-A|<ε".
Хоосон багц. Н.Бурбаки (1939).
Элемент агуулаагүй багц. Хоосон багц тэмдгийг 1939 онд Николас Бурбакийн номонд оруулсан болно. Бурбаки бол 1935 онд бүтээгдсэн Францын математикчдын бүлэг нэр юм. Бурбаки бүлгийн гишүүдийн нэг бол Ø тэмдгийн зохиогч Андре Вейл байв.
Q.E.D. D. Knuth (1978).
Математикийн хувьд нотолгоо гэдэг нь тодорхой дүрмүүд дээр үндэслэсэн, тодорхой мэдэгдэл үнэн болохыг харуулсан үндэслэлийг хэлдэг. Сэргэн мандалтын үеэс хойш нотолгооны төгсгөлийг математикчид "Quod Erat Demonstrandum" гэсэн латин хэлнээс "Q.E.D." гэсэн товчлолоор тэмдэглэжээ. 1978 онд компьютер бичих системийн системийг бий болгохдоо Америкийн компьютерийн шинжлэх ухааны профессор Дональд Эдвин Кнут Унгар гаралтай Америкийн математикч Пол Ричард Халмосын нэрээр нэрлэгдсэн "Халмосын тэмдэг" гэж нэрлэгддэг дүүргэсэн дөрвөлжин тэмдгийг ашиглажээ. Өнөөдөр нотлох баримт бөглөх ажлыг ихэвчлэн Халмос тэмдэгээр тэмдэглэдэг. Эсвэл бусад тэмдгийг ашигладаг: хоосон дөрвөлжин, тэгш өнцөгт гурвалжин, // (хоёр зураас), мөн орос хэл дээрх "ch.t.d."
Сургуулиас (эсвэл бага сургуулийн 1 -р ангиас) бидний хүн бүр математикийн энгийн тэмдгийг мэддэг байх ёстой илүү тэмдэгба бага тэмдэгмөн тэнцүү тэмдэг.
Гэсэн хэдий ч хэрэв ямар нэг зүйлийг сүүлчийнхтэй нь андуурах нь нэлээд хэцүү бол тухай хэрхэн, аль чиглэлд тэмдэг бага багаар бичигддэг (бага тэмдэгба гарын үсэг зурах, заримдаа тэднийг ингэж нэрлэдэг), олон хүмүүс нэг сургуулийн вандан сандлын дараа тэр даруй мартдаг, tk. тэдгээрийг бидний өдөр тутмын амьдралд бараг ашигладаггүй.
Гэхдээ бараг бүх хүмүүс эрт орой хэзээ нэгэн цагт тэдэнтэй харьцах ёстой бөгөөд хүссэн дүрээ аль чиглэлд бичсэнийг зөвхөн дуртай хайлтын системээсээ тусламж хүсэх замаар олж авсныг "санаарай". Энэ асуултанд нарийвчлан хариулж, манай сайтын зочдод эдгээр тэмдгүүдийн зөв бичгийн дүрмийг ирээдүйд хэрхэн санах талаар санал болгож яагаад болохгүй гэж?
Энэ нь их бага тэмдгийг хэрхэн зөв бичих тухай бөгөөд бид энэ жижигхэн тэмдэглэлд танд сануулахыг хүсч байна. Үүнийг хэлэхэд хэт их зүйл болохгүй гар дээр том эсвэл тэнцүү тэмдгийг хэрхэн яаж бичих вэба -аас бага буюу тэнцүүоноос хойш Энэ асуулт нь маш ховор тохиолддог ажилтай тулгардаг хэрэглэгчдэд хүндрэл учруулдаг.
Шууд цэг рүүгээ орцгооё. Хэрэв та энэ бүхнийг ирээдүйд санах дургүй байгаа бол дараагийн удаа "google" хийх нь илүү хялбар байх болно, гэхдээ одоо танд "тэмдгийг аль чиглэлд бичих вэ" гэсэн асуултын хариулт л хэрэгтэй байна. богино хариултыг бэлдсэн - доорх зурган дээр харуулсан шиг ийм олон тэмдэгт бичдэг.
Үүнийг ирээдүйд хэрхэн ойлгож, санах талаар одоо жаахан дэлгэрэнгүй хэлье.
Ерөнхийдөө ойлгох логик нь маш энгийн байдаг - үсгийн чиглэл дэх тэмдэг аль тал нь (том эсвэл жижиг) зүүн тийш харагддаг - ийм тэмдэг байдаг. Үүний дагуу тэмдэг нь илүү өргөн талдаа зүүн тийш илүү харагдаж байна.
Илүү тэмдэг ашиглах жишээ:
- 50> 10 - 50 тоо 10 -аас их байна;
- Энэ улиралд оюутнуудын ирц ангиудын 90% -иас дээш байв.
Тэмдгийг хэрхэн бага бичих вэ, магадгүй дахин тайлбарлах нь утгагүй болно. Энэ нь илүү ихийг хийх тэмдэгтэй яг ижил юм. Хэрэв тэмдэг нь нарийхан талаас нь зүүн тийш харвал жижиг байх тусам таны өмнө тэмдэг бага байна.
Бага тэмдгийг ашиглах жишээ:
- 100<500 - число 100 меньше числа пятьсот;
- уулзалтанд ирсэн<50% депутатов.
Таны харж байгаагаар бүх зүйл нэлээд логик бөгөөд энгийн тул ирээдүйд аль чиглэлд илүү их, бага тэмдгийг бичих вэ гэсэн асуулт байх ёсгүй.
Илүү эсвэл тэнцүү / бага эсвэл тэнцүү гарын үсэг зурна уу
Хэрэв та шаардлагатай тэмдгийг хэрхэн яаж бичихээ аль хэдийн санаж байсан бол доороос нэг зураас оруулах нь танд хэцүү биш тул та тэмдэг авах болно. "-аас бага эсвэл тэнцүү"эсвэл гарын үсэг зурна уу "илүү эсвэл тэнцүү".
Гэсэн хэдий ч зарим хүмүүс эдгээр дүрүүдийн талаар өөр асуулт асуудаг - ийм дүрсийг компьютерийн гар дээр хэрхэн яаж бичих вэ? Үүний үр дүнд ихэнх хүмүүс зүгээр л хоёр тэмдгийг дараалан тавьдаг, жишээ нь "илүү эсвэл тэнцүү" гэсэн утгатай ">=" , энэ нь зарчмын хувьд ихэвчлэн хүлээн зөвшөөрөгддөг боловч үүнийг илүү үзэсгэлэнтэй, илүү зөв болгож чаддаг.
Уг нь эдгээр тэмдэгтүүдийг бичихийн тулд дурын гар дээр оруулах тусгай тэмдэгтүүд байдаг. Тэмдгийг зөвшөөрч байна "≤" ба "≥" хамаагүй дээр харагдаж байна.
Гар дээрх том эсвэл тэнцүү тэмдэг
Нэг тэмдэгт бүхий гар дээр "том эсвэл тэнцүү" гэж бичихийн тулд тусгай тэмдэгтүүдийн хүснэгтэд орох шаардлагагүй - түлхүүрийг дарж байхдаа томоос том тэмдэг тавина уу. "алт"... Тиймээс гарын товчлол (англи хэл дээр байрлуулсан) дараах байдлаар байх болно.
Эсвэл, хэрэв та зөвхөн нэг удаа ашиглах шаардлагатай бол дүрсийг энэ нийтлэлээс хуулж болно. Тэр энд байна.
≥
Гарын товчлуураас бага буюу тэнцүү тэмдэг
Та өөрөө аль хэдийн таамаглаж байсан байх шиг, та гар дээр "бага эсвэл тэнцүү" гэж бичээд илүү их тэмдгийг зүйрлэж бичиж болно. "алт"... Англи хэлний байршилд оруулах шаардлагатай гарын товчлол дараах байдалтай байна.
Эсвэл танд үүнийг хөнгөвчлөх юм бол энэ хуудаснаас хуулж аваарай.
≤
Таны харж байгаагаар илүү олон тэмдэгт бичих дүрмийг санах нь маш энгийн бөгөөд гар дээр илүү эсвэл тэнцүү, бага эсвэл тэнцүү тэмдэгт оруулахын тулд та нэмэлт товчлуур дарах хэрэгтэй - бүх зүйл энгийн.
Балагин Виктор
Математикийн дүрэм, теоремыг нээснээр эрдэмтэд математикийн шинэ тэмдэглэгээ, тэмдгүүдийг гаргаж ирэв. Математик тэмдгүүд нь математик ойлголт, өгүүлбэр, тооцоолол бичихэд хэрэглэгддэг тэмдэг юм. Математикийн хувьд тэмдэглэгээг богиносгож, мэдэгдлийг илүү нарийвчлалтай илэрхийлэхийн тулд тусгай тэмдгийг ашигладаг. Математикийн хэл нь янз бүрийн цагаан толгойн үсэг, латин, грек, еврей хэлнээс гадна сүүлийн хэдэн зууны турш зохион бүтээсэн олон тусгай тэмдэгтүүдийг ашигладаг.
Татаж авах:
Урьдчилан үзэх:
МАТЕМАТИКИЙН СИМБОЛ.
Би ажлаа хийсэн
7 -р ангийн сурагч
GBOU SOSH № 574
Балагин Виктор
2012-2013 оны хичээлийн жил
МАТЕМАТИКИЙН СИМБОЛ.
- Танилцуулга
Математикч гэдэг үг эртний Грек хэлнээс бидэнд ирсэн бөгөөд μάθημα нь "сурах", "мэдлэг олж авах" гэсэн утгатай. "Надад математик хэрэггүй, би математикч болохгүй" гэж хэлдэг хүн буруу юм. Хүн бүрт математик хэрэгтэй. Тэрээр бидний эргэн тойрон дахь тоонуудын гайхалтай ертөнцийг илчилж, бидэнд илүү тодорхой, тууштай сэтгэхийг заадаг, бодол санаа, анхаарлыг хөгжүүлж, тэсвэр тэвчээр, хүсэл зоригийг хөгжүүлдэг. М.В.Ломоносов хэлэхдээ: "Математик оюун ухааныг эмх цэгцтэй болгодог." Товчхондоо, математик нь мэдлэг олж авч сурахыг бидэнд заадаг.
Математик бол хүний эзэмшиж чадах анхны шинжлэх ухаан юм. Хамгийн эртний үйл ажиллагаа бол тоолох явдал байв. Зарим анхдагч овог аймгууд хуруу, хөлийн хуруугаараа объектын тоог тоолж байжээ. Чулуун зэвсгийн үеэс өнөөг хүртэл хадгалагдан ирсэн хадны зураг дээр 35 тоог дараалсан 35 савх хэлбэрээр дүрсэлсэн байдаг. 1 саваа бол математикийн анхны тэмдэг гэж бид хэлж чадна.
Бидний одоо ашигладаг математик "бичих" - үл мэдэгдэх зүйлийг x, y, z үсгээр тэмдэглэхээс эхлээд интеграл тэмдэг хүртэл аажмаар хөгжиж байна. Бэлгэдлийн хөгжил нь математик үйлдлүүдтэй ажиллах ажлыг хялбарчилж, математикийн хөгжилд хувь нэмэр оруулсан.
Эртний Грекийн "бэлгэдэл" -ээс (Грек.симболон - тэмдэг, шинж тэмдэг, нууц үг, бэлгэ тэмдэг) - объектив шинж чанартай холбоотой шинж тэмдэг бөгөөд түүний утга, тэмдгийн утга нь зөвхөн тэмдгээр илэрхийлэгддэг бөгөөд зөвхөн тайлбарлах замаар л илэрдэг.
Математикийн дүрэм, теоремыг нээснээр эрдэмтэд математикийн шинэ тэмдэглэгээ, тэмдгүүдийг гаргаж ирэв. Математик тэмдгүүд нь математик ойлголт, өгүүлбэр, тооцоолол бичихэд хэрэглэгддэг тэмдэг юм. Математикийн хувьд тэмдэглэгээг богиносгож, мэдэгдлийг илүү нарийвчлалтай илэрхийлэхийн тулд тусгай тэмдгийг ашигладаг. Математикийн хэл нь янз бүрийн цагаан толгойн үсэг, латин, грек, еврей хэлнээс гадна сүүлийн хэдэн зууны турш зохион бүтээсэн олон тусгай тэмдэгтүүдийг ашигладаг.
2. Нэмэх, хасах шинж тэмдэг
Математикийн тэмдэглэлийн түүх палеолитын үеэс эхэлдэг. Энэ үеэс эхлэн огноо тоолоход ашигладаг ховил бүхий чулуу, яс. Хамгийн алдартай жишээ болИшанго яс... МЭӨ 20 мянга орчим жилийн тэртээх Ишанго (Конго) -ын алдартай яс нь тухайн үед хүн нэлээд нарийн төвөгтэй математик үйлдлүүдийг хийж байсныг нотолж байна. Ясны ховилыг нэмэлт болгон ашигласан бөгөөд тоог нэмж оруулахыг бэлгэдсэн бүлгээр хийсэн.
Эртний Египт нь илүү дэвшилтэт тэмдэглэгээний системтэй байсан. Жишээлбэл, доторАхмес папируснэмэлт тэмдэг болгон текстийн дагуу урагш явж буй хоёр хөлийн зургийг, хасахдаа хоёр хөлөө хойшоо харуулсан зургийг ашигласан болно.Эртний Грекчүүд нэмэлтийг хажуу тийш нь бичих замаар нэрлэж байсан боловч үе үе хасахдаа "/'" зураас, хагас зууван муруйг ашигладаг байжээ.
Нэмэх (нэмэх "+'') ба хасах (хасах"-‘') арифметик үйлдлийн бэлгэдэл нь маш түгээмэл байдаг тул бид үргэлж байдаггүй гэж бараг хэзээ ч боддоггүй. Эдгээр тэмдгийн гарал үүсэл нь тодорхойгүй байна. Хувилбаруудын нэг нь тэдгээрийг өмнө нь ашиг, алдагдлын шинж тэмдэг болгон арилжаанд ашиглаж байсан явдал юм.
Энэ нь бас бидний тэмдэг гэж үздэгЛатинаар "ба" гэсэн утгатай "et" гэдэг үгийн нэг хэлбэрээс гаралтай. Илэрхийлэл a + b Латинаар ингэж бичжээ. a et b ... Аажмаар, байнга ашигладаг тул "тэмдгээс"гэх мэт "зөвхөн үлддэг" t "Цаг хугацаа өнгөрөхөд энэ нь болж хувирав"+ ". Тэмдгийг ашигласан байж магадгүй анхны хүнet -ийн товчлол бол XIV зууны дунд үед одон орон судлаач Николь Д'Орем ("Тэнгэр ба ертөнцийн ном" номын зохиогч) байв.
XV зууны төгсгөлд Францын математикч Шикует (1484), Италийн Пасиоли (1494) нар "'' эсвэл " Нэмэх ба "нэмэх" гэсэн утгатай)'' эсвэл " '' (Хасах гэж тэмдэглэнэ) хасах.
Хасах тэмдэглэгээ нь илүү ойлгомжгүй байсан, учир нь энгийн "Герман, Швейцарь, Голландын номонд заримдаа "÷" гэсэн тэмдэглэгээг ашигладаг байсан бөгөөд үүнийг бид одоо хуваахыг илэрхийлдэг. XVII зууны хэд хэдэн номонд (жишээлбэл, Декарт, Мерсенн) хасалтыг илэрхийлэхийн тулд "∙ ∙ '" гэсэн хоёр цэг эсвэл "∙ ∙ ∙'" гэсэн гурван цэгийг ашигладаг.
Орчин үеийн алгебрийн тэмдгийн анхны хэрэглээ "Дрезден номын сангаас олдсон алгебрийн 1481 оны Германы гар бичмэлийг хэлнэ. Латин гар бичмэл дээр (мөн Дрезден номын сангаас) хоёулаа тэмдэглэгээ байдаг: ""ба" - ". Тэмдгийг системтэй ашиглах "Нэмэх, хасахад "ба" - "тэмдэгт гарч ирдэгИоханн Видманн. Германы математикч Иоханн Видманн (1462-1498) лекцэндээ оюутнууд байгаа болон байхгүйг тэмдэглэхийн тулд хоёр тэмдгийг анх ашиглаж байжээ. Тэр эдгээр тэмдгийг Лейпцигийн их сургуулийн төдийлөн сайн мэддэггүй профессороос "зээлсэн" гэсэн мэдээлэл байдаг. 1489 онд тэрээр Лейпциг хотод хоёулаа хоёуланг нь агуулсан анхны хэвлэгдсэн номыг (Худалдааны арифметик - "Арилжааны арифметик") хэвлүүлжээ.ба , "Бүх худалдаачдын хурдан бөгөөд тааламжтай данс" бүтээлд (c. 1490)
Түүхэн сониуч зангийн хувьд тэмдгийг хүлээн авсны дараа ч гэсэн тэмдэглэх нь зүйтэйхүн бүр энэ тэмдгийг ашигладаггүй. Видманн өөрөө үүнийг Грекийн загалмай гэж танилцуулсан(өнөөдөр бидний хэрэглэж буй тэмдэг), хэвтээ баар нь заримдаа босоо баарнаас арай урт байдаг. Рекорд, Харриот, Декарт зэрэг зарим математикчид ижил тэмдгийг ашигласан. Бусад нь (Хьюм, Гюйгенс, Ферма гэх мэт) латин загалмай "†", заримдаа хэвтээ, нэг төгсгөлд нь баартай байв. Эцэст нь зарим нь (Halley гэх мэт) илүү гоёл чимэглэлийн төрхийг ашигласан. " ».
3. Тэнцвэрийн тэмдэг
Математик болон бусад нарийн шинжлэх ухаанд тэнцүү тэмдгийг ижил хэмжээтэй хоёр илэрхийллийн хооронд бичдэг. Тэгш тэмдгийг Диофантус анх ашигласан. Тэрээр тэгш байдлыг i үсгээр (Грекээс isos - тэнцүү) илэрхийлсэн. Vэртний болон дундад зууны математиктэгш байдлыг амаар илэрхийлсэн, жишээлбэл, est egale, эсвэл тэд Латин aequalis - "тэнцүү" гэсэн "ae" товчлолыг ашигласан. Бусад хэлнүүд мөн "тэнцүү" гэдэг үгийн эхний үсгийг ашигладаг байсан боловч үүнийг нийтээр хүлээн зөвшөөрдөггүй байв. "=" Тэнцүү тэмдгийг Уэльсийн эмч, математикч 1557 онд нэвтрүүлсэнРоберт Рекорд(Рекорд Р., 1510-1558). Зарим тохиолдолд II тэмдэг нь тэгш байдлыг илэрхийлэх математик тэмдэг болж үйлчилдэг. Бичлэг нь "=" тэмдгийг хоёр ижил хэвтээ параллель шугамаар оруулсан бөгөөд өнөөгийнхөөс хамаагүй урт байна. Английн математикч Роберт Рекорд "тэгш байдал" гэсэн тэмдгийг анх хэрэглэж, "хоёр объект бие биентэйгээ хоёр зэрэгцээ сегментээс илүү тэнцүү байж чадахгүй" гэсэн үгээр маргалджээ. Гэхдээ буцаж ор17 -р зуунРене Декарт"ae" гэсэн товчлолыг ашигласан.Франсуа Вьетнамтэнцүү тэмдэг нь хасах үйлдлийг илэрхийлнэ. Хэсэг хугацааны туршид Record тэмдгийн тархалтад ижил тэмдгийг шулуун шугамын параллелизмийг илэрхийлэхэд ашигласан нь саад болж байсан; Эцэст нь параллелизмын тэмдгийг босоо болгохоор шийдсэн. Энэхүү тэмдэг нь XVII-XVIII зууны төгсгөлд Лейбницын бүтээлүүдийн дараа, өөрөөр хэлбэл үүнийг анх ашигласан хүн нас барснаас хойш 100 гаруй жилийн дараа тархжээ.Роберта Рекорд... Түүний булшны чулуун дээр ямар ч үг байдаггүй - зүгээр л тэнцүү тэмдгийг сийлжээ.
Ойролцоо тэгш байдлын "≈" ба "өвөрмөц байдал" гэсэн холбогдох тэмдгүүд нь маш залуу байдаг - эхнийх нь 1885 онд Гюнтер, хоёр дахь нь 1857 онд танилцуулагдсан болно.Рийман
4. Үржүүлэх, хуваах шинж тэмдэг
Загалмай ("x") хэлбэрээр үржүүлэх тэмдгийг Англик математикч тахилч танилцуулавУильям Оугтред v 1631 он... Түүний өмнө М үсгийг үржүүлэх тэмдгийн хувьд ашигладаг байсан боловч бусад тэмдэглэгээг санал болгосон боловч тэгш өнцөгтийн тэмдэг (Эригон,), од ( Иоханн Рахн, ).
Хожим нь Лейбницзагалмайг цэгээр сольсон (төгсгөл17 -р зуун) Үүнийг үсгээр андуурахгүйн тулд x ; Түүний өмнө ийм бэлгэдэл олдсон байвРегиомонтана (XV зуун), Английн эрдэмтэнТомас Харриот (1560-1621).
Хуваах үйлдлийг илэрхийлэхОтредурагшлах зураасыг илүүд үзсэн. Колон хуваагдлыг илэрхийлж эхлэвЛейбниц... Тэдний өмнө D үсгийг бас ихэвчлэн ашигладаг байсанФибоначчи, мөн араб бичвэрт ашиглаж байсан фракцын шугамыг ашигладаг. Маягт дахь хуваагдал obelus ("÷") Швейцарийн математикч танилцуулсанИоханн Рахн(ойролцоогоор 1660)
5. Хувийн тэмдэг.
Бүхэл бүтэн зүүний нэгийг нэг болгон авсан. "Хувь" гэдэг үг өөрөө латин "pro centum" -аас гаралтай бөгөөд орчуулгад "зуун" гэсэн утгатай. 1685 онд Матье де ла Портын "Арилжааны арифметикийн гарын авлага" ном (1685) Парист хэвлэгджээ. Нэг газарт энэ нь ойролцоогоор хувь байсан бөгөөд энэ нь "cto" (cento гэсэн үгийн товчлол) гэсэн утгатай байв. Гэсэн хэдий ч бичигч энэ "cto" -г бутархай гэж андуурч "%" гэж бичжээ. Тиймээс, буруу хэвлэснээс болж энэ тэмдэг ашиглагдаж эхэлжээ.
6 хязгааргүй байдлын тэмдэг
Хязгааргүй байдлын одоогийн бэлгэдэл "∞" -ийг хэрэглээнд нэвтрүүлсэнЖон Уоллис 1655 онд. Жон Уоллис"Хязгааргүй арифметик" хэмээх том трактат хэвлүүлжээ (лат.Arithmetica Infinitorum нь Nova Methodus Inquirendi -ийг Curvilineorum Quadraturam -д оруулсан болно, өөр нэр Difficiliora Matheseos Problemata), тэр өөрийн зохион бүтээсэн тэмдгийг оруулавхязгааргүй... Тэр яагаад энэ тэмдгийг сонгосон нь одоог хүртэл тодорхойгүй байна. Хамгийн эрх мэдэлтэй таамаглалуудын нэг нь энэ тэмдгийн гарал үүслийг Ромчууд 1000 тоог зааж өгдөг "М" латин үсэгтэй холбодог.Хязгааргүй байдлын бэлгэдлийг дөчин жилийн дараа математикч Бернулли "lemniscus" (Латин тууз) гэж нэрлэжээ.
Өөр нэг хувилбарт наймдугаар зургийн дүрс нь "хязгааргүй" гэсэн ойлголтын гол шинж чанарыг илэрхийлдэг: хөдөлгөөнэцэс төгсгөлгүй ... 8 -р эгнээний эгнээнд та дугуйн зам шиг эцэс төгсгөлгүй хөдөлгөөн хийх боломжтой. Оруулсан тэмдгийг 8 гэсэн тоотой андуурахгүйн тулд математикчид үүнийг хэвтээ байрлуулахаар шийджээ. Болсон... Энэхүү тэмдэглэгээ нь зөвхөн алгебр биш бүх математикийн стандарт болсон. Хязгааргүй байдлыг яагаад тэг гэж тэмдэглэдэггүй вэ? Хариулт нь тодорхой байна: 0 тоог бүү эргүүлээрэй - энэ нь өөрчлөгдөхгүй. Тиймээс сонголт 8 дээр унав.
Өөр нэг сонголт бол МЭӨ 1500 жилийн өмнө Египтэд эхлэл, төгсгөлгүй янз бүрийн үйл явцыг бэлгэдсэн сүүлээ залгисан могой юм.
Мобиусын навчийг бэлгэдлийн өвөг дээдэс гэж олон хүн үздэг.хязгааргүй, учир нь хязгааргүй байдлын бэлгэдэл нь Mobius зурвас төхөөрөмжийг зохион бүтээсний дараа патентлагдсан (XIX зууны математикч Мебиусын нэрээр нэрлэгдсэн). Мобиусын зурвас нь орон зайн хоёр гадаргуу үүсгэхийн тулд муруй хэлбэртэй, төгсгөлд нь нийлүүлсэн цаасан тууз юм. Гэсэн хэдий ч одоо байгаа түүхэн мэдээллээр хязгааргүй байдлын тэмдгийг Мобиус зурвас нээгдэхээс хоёр зууны өмнө хязгааргүй байдлыг илэрхийлэх зорилгоор ашиглаж эхэлсэн байна.
7. Тэмдгүүд нүүрсба перпендикуляр sti
Тэмдгүүд " тарилга"ба" перпендикуляр»Хамт ирсэн 1634 жилФранцын математикчПьер Эригон... Перпендикуляр байдлын тэмдэг нь T үсэгтэй төстэй байсан бөгөөд өнцгийн тэмдэг нь дүрстэй төстэй байв., орчин үеийн хэлбэрийг өгсөнУильям Оугтред ().
8. Гарын үсэг зурах параллелизмба
Тэмдэг " параллелизм»Эрт дээр үеэс мэдэгдэж байсан бөгөөд үүнийг ашиглаж байжээХеронба Александрын Паппус... Эхэндээ тэмдэг нь одоогийн тэгш тэмдэгтэй төстэй байсан боловч сүүлчийн дүр гарч ирснээс хойш төөрөгдөл гарахаас зайлсхийхийн тулд тэмдгийг босоо чиглэлд эргүүлэв (Отред(1677), Керси (Жон Керси ) болон 17 -р зууны бусад математик)
9. Pi дугаар
Тойргийн тойргийн диаметртэй харьцуулсан тооны нийтээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн тэмдэглэгээг (3.1415926535 ...) анх үүсгэсэн.Уильям Жонс v 1706 жил, περιφέρεια грек үгний эхний үсгийг авав.тойрогба περίμετρος - периметр, өөрөөр хэлбэл тойрог. Энэ тайралт надад таалагдсанЭйлер, түүний бүтээлүүд эцэст нь тэмдэглэгээг нэгтгэв.
10. Синус ба косинус
Синус ба косинусын гадаад төрх нь сонирхолтой юм.
Латин хэлнээс синус - синус, сэтгэлийн хямрал. Гэхдээ энэ нэр нь урт түүхтэй. Энэтхэгийн математикчид 5 -р зуунд тригонометрийн чиглэлээр нэлээд ахиц дэвшил гаргасан. "Тригонометр" гэдэг үгийг өөрөө биш, 1770 онд Георг Клугел танилцуулсан.) Бидний одоо синус гэж нэрлэдэг зүйл нь индианчуудын ардха-жия гэж нэрлэдэгтэй ойролцоо утгатай бөгөөд орчуулгад хагас утастай (өөрөөр хэлбэл хагас хөвч) . Товч байхын тулд тэдгээрийг энгийн гэж нэрлэдэг байв - жия (бөхийлгөх). Арабчууд санскрит хэлнээс Хиндүчуудын бүтээлийг орчуулахдаа "нумны уяа" -г араб хэл рүү хөрвүүлээгүй, зөвхөн араб үсгээр үгийг хөрвүүлжээ. Энэ нь жиба болж хувирсан. Гэхдээ араб хэлний үг хэллэгээр богино эгшгийг заагаагүй тул энэ нь үнэхээр jb хэвээр байгаа бөгөөд энэ нь өөр араб үг болох jayb (хөндий, синус) -тай төстэй юм. 12 -р зуунд Кремонагийн Жерар арабчуудыг латин хэл рүү орчуулахдаа энэ үгийг синус гэж орчуулсан бөгөөд энэ нь латинаар цээж, хотгор гэсэн утгатай юм.
Косинус автоматаар гарч ирдэг, учир нь Хиндүчүүд түүнийг коти-жия буюу товчоор ко-жия гэж дууддаг байв. Кочи бол санскрит хэлээр нумын муруй үзүүр юм.Орчин үеийн богино тэмдэглэгээмөн танилцуулсан Уильям Оугтредмөн бичээсүүдэд тусгасан болноЭйлер.
Тангенс / котангенс тэмдэглэгээ нь нэлээд хожуу гаралтай (англи хэл дээрх тангенс гэдэг үг нь латин tangere - хүрэхэд хүрдэг) -аас гаралтай). Өнөөдрийг хүртэл нэгдсэн тэмдэглэгээ байдаггүй - зарим оронд tan гэсэн тэмдэглэгээг ихэвчлэн ашигладаг, бусад оронд tg
11. "Нотлоход шаардлагатай байсан" гэсэн товчлол (гэх мэт)
Энэ бол жагсаал юм "(Quol erat limonstranlum).
Грек хэллэг нь "нотлох шаардлагатай зүйл" гэсэн утгатай, латин хэл нь "харуулах шаардлагатай зүйл" гэсэн утгатай. Энэхүү томъёо нь Эртний Грекийн агуу математикч Евклид (МЭӨ III зуун) -ийн математикийн аргумент бүрийг төгсгөдөг. Латин хэлнээс орчуулагдсан бөгөөд үүнийг нотлох шаардлагатай байв. Дундад зууны шинжлэх ухааны трактатуудад энэ томъёог ихэвчлэн товчилсон хэлбэрээр бичдэг байсан: QED.
12. Математик тэмдэглэгээ.
Тэмдэгтүүд | Тэмдгийн түүх |
Нэмэх ба хасах тэмдгийг Германы "косистистууд" математикийн сургуульд (өөрөөр хэлбэл алгебристууд) зохион бүтээсэн бололтой. Эдгээрийг 1489 онд хэвлэгдсэн Иоханн Видманы арифметикт ашигласан болно. Үүнээс өмнө нэмэлтийг p (нэмэх) үсэг эсвэл латин үг et (нэгдэл "ба"), хасах үйлдлийг m (хасах) үсгээр тэмдэглэв. Видманы хувьд нэмэх тэмдэг нь зөвхөн нэмэлтийг төдийгүй "ба" холбоог орлуулдаг. Эдгээр тэмдгийн гарал үүсэл нь тодорхойгүй байгаа боловч өмнө нь арилжаа наймаанд ашиг, алдагдлын үзүүлэлт болгон ашиглаж байсан байх. Италиас бусад хоёр тэмдэг нь Европт бараг тэр даруй түгээмэл болжээ. |
|
× ∙ | Үржүүлэх тэмдгийг 1631 онд Уильям Оугтред (Англи) ташуу загалмай хэлбэрээр танилцуулсан. Түүний өмнө М үсгийг ашигладаг байсан.Хожим нь Лейбниц загалмайг цэгээр сольсон (17 -р зууны төгсгөл), үүнийг х үсгээр андуурахгүйн тулд; Түүний өмнө ийм бэлгэдэл нь Региомонтанус (15-р зуун), Английн эрдэмтэн Томас Харриотт (1560-1621) -д олджээ. |
/ : ÷ | Отред довтолгооны шугамыг илүүд үзсэн. Лейбниц хуваагдлыг хоёр цэгээр илэрхийлж эхлэв. Тэдний өмнө D үсгийг бас ашигладаг байсан.Фибоначчигээс эхлэн араб бичгүүдэд ашигладаг бутархай шугамыг бас ашигладаг. Англи, АНУ -д ÷ (obelus) тэмдэг өргөн тархсан бөгөөд үүнийг 17 -р зууны дунд үед Иоханн Рахн, Жон Пелл нар санал болгов. |
= | Тэгш тэмдгийг 1557 онд Роберт Рекорд (1510-1558) санал болгов. Тэрээр ижил урттай параллель хоёр сегментээс илүү тэнцүү зүйл гэж байдаггүй гэж тэр тайлбарлав. Тив Европт тэгш тэмдгийг Лейбниц танилцуулсан. |
Харьцуулах тэмдгийг Томас Харриотт 1631 онд нас барсныхаа дараа хэвлүүлсэн бүтээлдээ танилцуулжээ. Түүний өмнө тэд илүү их, бага гэж үгээр бичжээ. |
|
% | Хувийн тэмдэг нь 17 -р зууны дунд үед хэд хэдэн эх сурвалжид нэгэн зэрэг гарч ирсэн бөгөөд гарал үүсэл нь тодорхойгүй байна. Энэ нь cto (cento, зуун дахь) товчлолыг 0/0 гэж бичсэн бичгийн машины алдаанаас үүдэлтэй гэсэн таамаглал байдаг. Энэ нь 100 жилийн түүхтэй арилжааны тэмдэг байх магадлал өндөр байна. |
√ | Үндэс тэмдгийг анх 1525 онд Коссист сургуулийн Германы математикч Кристоф Рудольф ашиглаж байжээ. Энэ тэмдэг нь radix (root) гэдэг үгийн загварчилсан эхний үсгээс гаралтай. Радикал илэрхийллийн дээрх шугам эхэндээ байгаагүй; үүнийг хожим Декарт өөр зориулалтаар (хаалтанд оруулахын тулд) танилцуулсан бөгөөд удалгүй энэ шинж чанарыг эх тэмдгээр нэгтгэв. |
a n | Өргөтгөх. Орчин үеийн экспонентын тэмдэглэгээг Декарт өөрийн "Геометр" (1637) номондоо танилцуулсан боловч зөвхөн 2 -оос дээш байгалийн зэрэглэлд зориулан хожим нь Ньютон энэ хэлбэрийн тэмдэглэгээг сөрөг ба бутархай экспонент болгон өргөжүүлэв (1676). |
() | Тарталья (1556) -д хаалтууд радикал илэрхийлэл болгон гарч ирсэн боловч ихэнх математикчид хаалтын оронд онцолсон илэрхийлэлийг дээгүүр тавихыг илүүд үздэг байв. Лейбниц хаалтуудыг ерөнхий хэрэглээнд нэвтрүүлсэн. |
Нийлбэрийн тэмдгийг Эйлер 1755 онд танилцуулсан |
|
Бүтээгдэхүүний тэмдгийг Гаусс 1812 онд танилцуулсан |
|
би | И үсэг нь төсөөллийн нэгжийн код юм:Эйлерийн санал болгосон (1777), үүний тулд imaginarius (төсөөлөл) гэдэг үгийн эхний үсгийг авсан. |
π | 3.14159 ... гэсэн нийтээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн тэмдэглэгээг Уильям Жонс 1706 онд бүтээсэн бөгөөд грек хэлний περιφέρεια - тойрог ба περίμετρος - периметрийн эхний үсгийг, өөрөөр хэлбэл тойргийн уртыг авчээ. |
Лейбниц интегралийн тэмдэглэгээг "Сумма" гэдэг үгийн эхний үсгээс гаргаж авсан. |
|
y " | Богино үүсмэл анхны тэмдэглэгээ нь Лагранж руу буцдаг. |
Хязгаарын тэмдэг нь 1787 онд Саймон Луиллиер (1750-1840) гарч ирэв. |
|
Хязгааргүй байдлын бэлгэдлийг 1655 онд хэвлэгдсэн Уоллис зохион бүтээжээ. |
13. Дүгнэлт
Соёл иргэншсэн нийгэмд математикийн шинжлэх ухаан зайлшгүй шаардлагатай. Математик нь бүх шинжлэх ухаанд байдаг. Математикийн хэл нь хими, физикийн хэлтэй холилдсон байдаг. Гэхдээ бид одоо ч гэсэн үүнийг ойлгодог. Математикийн хэлийг төрөлх хэлтэйгээ хамт сурч эхэлдэг гэж хэлж болно. Ийнхүү математик бидний амьдралд салшгүй оржээ. Өнгөрсөн үеийн математикийн нээлтүүдийн ачаар эрдэмтэд шинэ технологи бүтээж байна. Амьд үлдсэн нээлтүүд нь математикийн нарийн төвөгтэй асуудлыг шийдвэрлэх боломжийг олгодог. Мөн эртний математикийн хэл нь бидэнд ойлгомжтой бөгөөд нээлтүүд нь бидэнд сонирхолтой байдаг. Математикийн ачаар Архимед, Платон, Ньютон физик хуулиудыг нээсэн. Бид тэднийг сургуульд сурдаг. Физикт физик шинжлэх ухаанд хамаарах нэр томъёо бас байдаг. Гэхдээ физик томъёоны дунд математикийн хэл алга болоогүй байна. Үүний эсрэгээр математикийн мэдлэггүй бол эдгээр томъёог бичих боломжгүй юм. Түүх нь хойч үедээ мэдлэг, баримтыг хадгалдаг. Шинэ нээлт хийхэд математикийг цаашид судлах шаардлагатай байна.Үзүүлэнгийн урьдчилж харахыг ашиглахын тулд өөрийгөө Google акаунт (данс) үүсгээд нэвтэрнэ үү: https://accounts.google.com
Слайдын тайлбар:
Математик тэмдэг Энэ ажлыг 574 -р сургуулийн 7 -р ангийн сурагч Балагин Виктор гүйцэтгэсэн
Тэмдэгт (Грекийн symbolon - тэмдэг, тэмдэг, нууц үг, бэлгэ тэмдэг) гэдэг нь объектив шинж чанартай холбоотой шинж тэмдэг бөгөөд түүний утга, тэмдгийн утгыг зөвхөн тэмдгээр илэрхийлж, зөвхөн дамжуулан харуулдаг. түүний тайлбар. Тэмдгүүд нь математикийн ойлголт, өгүүлбэр, тооцооллыг бүртгэх математикийн уламжлал юм.
Ишманго ясны нэг хэсэг бол Ахмес папирус юм
+ - нэмэх ба хасах тэмдэг. Нэмэлтийг p (нэмэх) эсвэл латин үг et ("ба" холбоос), хасах үйлдлийг m (хасах) үсгээр тэмдэглэв. A + b гэсэн илэрхийлэлийг латин үсгээр ингэж бичжээ: a et b.
Хасах тэмдэглэгээ. ÷ ∙ ∙ эсвэл ∙ ∙ ∙ Рене Декарт Марен Мерсенн
Иоханн Видманн номын хуудас. 1489 онд Иоханн Видманн Лейпциг хотод + ба - тэмдгүүд хоёулаа байсан анхны хэвлэгдсэн номыг (Худалдааны арифметик - "Арилжааны арифметик") хэвлүүлжээ.
Нэмэлт тэмдэглэгээ. Christian Huygens David Hume Пьер де Фермат Эдмунд (Эдмонд) Халлей
Тэнцүү тэмдэг Diophantus нь тэгш тэмдгийг анх ашигласан. Тэрээр тэгш байдлыг i үсгээр (Грекээс isos - тэнцүү) илэрхийлсэн.
1557 онд Английн математикч Роберт Рекорд "Хоёр объект бие биентэйгээ хоёр зэрэгцээ сегментээс илүү байж болохгүй." Тэнцүү тэмдгийг Европын тивд Лейбниц танилцуулжээ.
× ∙ Үржүүлэх тэмдгийг Уильям Оугтред (Англи) 1631 онд ташуу загалмай хэлбэрээр танилцуулсан. Лейбниц загалмайг x үсгээр андуурахгүйн тулд цэгээр (17 -р зууны сүүл) сольжээ. Уильям Отред Готфрид Вильгельм Лейбниц
Хувь. Матье де ла Порт (1685). Бүхэл бүтэн зүүний нэгийг нэг болгон авсан. "Хувь" - "pro centum", энэ нь "зуун" гэсэн утгатай. "Cto" (центогийн товчлол). Бичигч "cto" -г бутархай гэж андуураад "%" гэж бичжээ.
Хязгааргүй байдал. Жон Уоллис Жон Уоллис 1655 онд зохион бүтээсэн бэлгэдлээ танилцуулжээ. Сүүлээ залгисан могой нь эхлэл, төгсгөлгүй янз бүрийн үйл явцыг бэлэгддэг байв.
Хязгааргүй байдлын бэлгэ тэмдгийг Мобиус зурвас нээгдэхээс хоёр зууны өмнө хязгааргүй байдлыг илэрхийлэх зорилгоор ашиглаж эхэлсэн бөгөөд Мобиус зурвас нь орон зайн хоёр гадаргуу үүсгэхийн тулд муруй хэлбэртэй, төгсгөлд нь нийлсэн цаасан тууз юм. Наймдугаар сар Фердинанд Мобиус
Өнцөг ба перпендикуляр. Энэхүү тэмдгийг 1634 онд Францын математикч Пьер Эригон зохион бүтээжээ. Эригоны өнцгийн тэмдэг нь дүрстэй төстэй байв. Перпендикуляр байдлын тэмдэг нь T үсэгтэй төстэй болж өөрчлөгдсөн байна. Эдгээр тэмдгүүдийг орчин үеийн хэлбэрийг Уильям Оугтред (1657) өгсөн.
Зэрэгцээ байдал. Энэхүү бэлгэдлийг Александрын Герон, Александрийн Паппус нар ашигласан байна. Эхэндээ тэмдэг нь одоогийн тэгш тэмдэгтэй төстэй байсан боловч төөрөгдөл гаргахгүйн тулд сүүлчийн дүр гарч ирснээр тэмдгийг босоо чиглэлд эргүүлэв. Александрын герон
Пи. π ≈ 3.1415926535 ... Уильям Жонс 1706 онд π εριφέρεια нь тойрог бөгөөд π ερίμετρος нь периметр, өөрөөр хэлбэл тойргийн урт юм. Энэхүү товчлол нь Эйлерт таалагдсан бөгөөд түүний бүтээлүүд эцэст нь нэрийг нь нэгтгэв. Уильям Жонс
sin Синус ба косинус cos Синус (Латин хэлнээс) - синус, хөндий. коти-жия, эсвэл товчхондоо ко-жия. Кочи - нумын муруй үзүүр Уильям Отредийн танилцуулсан, Эйлерийн бичвэрт тусгасан орчин үеийн товчлолууд. "Арха -жива" - индианчуудын дунд - "хагас утас" Леонард Эйлер Уильям Отред
Энэ нь "Quod erat demonstrandum" QED -ийг нотлоход шаардлагатай байсан зүйл юм. Энэхүү томъёо нь Эртний Грекийн агуу математикч Евклид (МЭӨ III зуун) -ийн математикийн аргумент бүрийг төгсгөдөг.
Эртний математикийн хэл нь бидэнд ойлгомжтой байдаг. Физикт физик шинжлэх ухаанд хамаарах нэр томъёо бас байдаг. Гэхдээ физик томъёоны дунд математикийн хэл алга болоогүй байна. Үүний эсрэгээр математикийн мэдлэггүй бол эдгээр томъёог бичих боломжгүй юм.
"Тэмдэг бол зөвхөн бодлын тэмдэглэл биш,
түүний дүр төрх, нэгтгэх хэрэгсэл, -
Үгүй ээ, тэд бодол санаанд нөлөөлдөг.
Тэд түүнийг чиглүүлж өгөхөд хангалттай
тэдгээрийг цаасан дээр зөөнө үү
эргэлзээгүйгээр шинэ үнэнийг олж авах болно. "
Л.Карно
Математик тэмдгийг математикийн ойлголт, өгүүлбэрийг үнэн зөв (хоёрдмол утгагүй) бүртгэхэд ашигладаг. Математикчдийн хэрэглээний бодит нөхцөлд тэдгээрийн хослол нь математикийн хэл гэж нэрлэгддэг хэлийг бүрдүүлдэг.
Математик тэмдгүүд нь энгийн хэлээр ярвигтай өгүүлбэрүүдийг авсаархан хэлбэрээр бичих боломжийг олгодог. Энэ нь тэднийг санахад хялбар болгодог.
Математикч тодорхой шинж тэмдгүүдийг тайлбарлахдаа ашиглахаасаа өмнө тус бүр нь юу гэсэн үг болохыг хэлэхийг хичээдэг. Үгүй бол түүнийг ойлгохгүй байж магадгүй юм.
Гэхдээ математикчид ямар нэгэн математикийн онолд зориулан оруулсан ямар бэлгэдэл нь тусгагдсаныг шууд хэлж чаддаггүй. Жишээлбэл, хэдэн зуун жилийн турш математикчид сөрөг ба нийлмэл тоогоор үйл ажиллагаа явуулж ирсэн боловч эдгээр тоонуудын объектив утга, түүнтэй хийсэн үйлдлийг зөвхөн 18 -р зууны сүүл, 19 -р зууны эхэн үед л илчлэх боломжтой байв.
1. Математикийн тоон үзүүлэлтүүдийн бэлгэдэл
Энгийн хэлний нэгэн адил математик тэмдгийн хэл нь тогтсон математикийн үнэнийг солилцох боломжийг олгодог боловч зөвхөн энгийн хэлэнд хавсаргасан туслах хэрэгсэл байж, оршин тогтнох боломжгүй юм.
Математикийн тодорхойлолт:
Нийтлэг хэлээр:
Функцийн хязгаарлалт F (x) X0 цэг дээр тогтмол A тоо байдаг тул дурын E> 0 тооны хувьд эерэг нөхцөл (d) байдаг, иймээс | X - X 0 | Тоолуурын тэмдэглэгээ (математик хэлээр) 2. Математикийн тэмдэг ба геометрийн дүрс тэмдгийн бэлгэдэл. 1) Хязгааргүй байдал гэдэг нь математик, философи, байгалийн шинжлэх ухаанд хэрэглэгддэг ойлголт юм. Объектын тухай ойлголт, шинж чанар хязгааргүй гэдэг нь түүний хил хязгаар, тоон хэмжүүрийг тодорхойлох боломжгүй гэсэн үг юм. Хязгааргүй гэдэг нэр томъёо нь математик, физик, философи, теологи, өдөр тутмын амьдрал гэх мэт хэрэглээний чиглэлээс хамаарч хэд хэдэн өөр өөр ойлголттой нийцдэг. Математикт хязгааргүй байдлын тухай ганцхан ойлголт байдаггүй бөгөөд энэ нь хэсэг бүрт тусгай шинж чанартай байдаг. Түүгээр ч үл барам эдгээр өөр өөр "хязгааргүй" байдлыг хооронд нь сольж болохгүй. Жишээлбэл, олонлогийн онол нь өөр өөр хязгааргүй байдлыг илэрхийлдэг бөгөөд нэг нь нөгөөгөөсөө том байж болно. Бүхэл тоонуудын тоо хязгааргүй их гэж тооцъё (үүнийг тоолох боломжтой гэж нэрлэдэг). Хязгааргүй олонлогийн элементүүдийн тооны тухай ойлголтыг ерөнхийд нь харуулахын тулд математикт кардинализмын тухай ойлголтыг оруулсан болно. Үүний зэрэгцээ "хязгааргүй" хүч гэж байдаггүй. Жишээлбэл, бодит тооны олонлогийн кардинал чанар нь бүхэл тоонуудын кардинал чанараас их байдаг, учир нь эдгээр олонлогуудын хооронд ганцаарчилсан захидал харилцааг үүсгэх боломжгүй бөгөөд бүхэл тоонууд нь бодит тоонд багтсан болно. Тиймээс, энэ тохиолдолд нэг кардинал тоо (багцын кардинализмтай тэнцүү) нөгөөгөөсөө "хязгааргүй" байна. Эдгээр ойлголтыг үндэслэгч нь Германы математикч Георг Кантор байв. Математикийн шинжилгээнд бодит тоонуудын багцад нэмэх ба хасах хязгааргүй гэсэн хоёр тэмдэглэгээг нэмж оруулсан бөгөөд эдгээрийг хилийн утга ба нэгдмэл байдлыг тодорхойлоход ашигладаг. Энэ тохиолдолд бид "биет" хязгааргүй байдлын тухай яриагүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй, учир нь энэ тэмдгийг агуулсан аливаа мэдэгдлийг зөвхөн хязгаарлагдмал тоо, хэмжигч ашиглан бичиж болно. Эдгээр дүрүүдийг (бусад олон хүмүүсийн нэгэн адил) илүү урт илэрхийллийг бичихийг богиносгох зорилгоор танилцуулсан. Хязгааргүй байдал нь хязгааргүй жижиг гэсэн нэр томъёотой салшгүй холбоотой байдаг, жишээлбэл Аристотель хүртэл: Ихэнх соёлд хязгааргүй байдал нь орон зайн болон түр зуурын хил хязгааргүй аж ахуйн нэгжүүдэд хэрэглэгддэг ойлгомжгүй том зүйлийн хийсвэр тоон тодорхойлолт хэлбэрээр гарч ирсэн. 2) Тойрог гэдэг нь хавтгай дээрх цэгүүдийн байрлал бөгөөд тойргийн төв гэж нэрлэгддэг тодорхой цэг хүртэлх зай нь энэ тойргийн радиус гэж нэрлэгддэг сөрөг бус тооноос хэтрэхгүй байна. Хэрэв радиус нь тэг бол тойрог нь цэг болж доройтдог. Тойрог гэдэг нь тодорхой цэгээс ижил зайд байрлах хавтгай дээрх цэгүүдийн байршлыг төв гэж нэрлэдэг бөгөөд тэгээс өөр зайд радиус гэж нэрлэдэг. 3) Дөрвөлжин (ромб) нь дөрвөн өөр элемент, жишээлбэл, дөрвөн үндсэн элемент эсвэл дөрвөн улирлын хослол, дарааллын бэлгэдэл юм. 4 -р тооны бэлэг тэмдэг, тэгш байдал, энгийн байдал, шулуун байдал, үнэн, шударга ёс, мэргэн ухаан, нэр төр. Симметри бол хүн эв найрамдлыг ойлгохыг хичээдэг бөгөөд үүнийг гоо үзэсгэлэнгийн бэлгэдэл гэж үздэг. Тэгш хэмийг "дүрсэлсэн" гэж нэрлэгддэг шүлгүүд эзэмшдэг бөгөөд текст нь ромбус хэлбэртэй байдаг. Бид - (Э. Мартов, 1894) 4) Тэгш өнцөгт. Бүх геометрийн хэлбэрүүдээс энэ нь хамгийн оновчтой, хамгийн найдвартай, зөв дүрс юм; Эмпирик байдлаар энэ нь үргэлж, хаа сайгүй тэгш өнцөгт хэлбэрийг илүүд үздэгтэй холбоотой юм. Үүний тусламжтайгаар хүн орон зай эсвэл аливаа объектыг амьдралдаа шууд ашиглахаар тохируулсан, жишээлбэл: байшин, өрөө, ширээ, ор гэх мэт. 5) Пентагон бол од хэлбэртэй, мөнх, төгс төгөлдөр, орчлон ертөнцийн бэлгэдэл юм. Пентагон бол эрүүл мэндийн сахиус, шуламуудаас хамгаалах хаалган дээрх тэмдэг, Тот, Меркури, Селтик Хавай гэх мэт бэлгэ тэмдэг, Есүс Христийн таван шарх, хөгжил цэцэглэлт, иудейчүүдэд амжилт хүсье. Соломоны домогт түлхүүр; Япончуудын дунд нийгэмд өндөр байр суурь эзэлж байгаагийн шинж. 6) Ердийн зургаан өнцөгт, зургаан өнцөгт - элбэг дэлбэг байдал, гоо үзэсгэлэн, эв найрамдал, эрх чөлөө, гэрлэлт, 6 тооны бэлгэдэл, хүний дүрс (хоёр гар, хоёр хөл, толгой ба их бие). 7) Загалмай бол хамгийн дээд ариун үнэт зүйлсийн бэлгэдэл юм. Загалмай нь сүнслэг талыг, сүнсний өгсөлтийг, Бурханд, мөнхөд тэмүүлэхийг загварчилдаг. Загалмай бол амьдрал ба үхлийн нэгдмэл байдлын бэлгэдэл юм. 8) Гурвалжин бол нэг шулуун шугам дээр хэвтдэггүй гурван цэг ба эдгээр гурван цэгийг холбосон гурван сегментээс бүрдэх геометрийн дүрс юм. 9) Зургаан үзүүртэй од (Давидын од) - тэгш өнцөгт хоёр гурвалжингаас бүрдсэн. Тэмдгийн гарал үүслийн нэг хувилбар нь түүний хэлбэрийг зургаан дэлбээтэй Цагаан сараана цэцгийн хэлбэртэй холбодог. Цэцгийг уламжлал ёсоор сүмийн чийдэнгийн доор байрлуулсан бөгөөд ингэснээр тахилч Маген Давидын төвд гал асаадаг байв. Каббалад хоёр гурвалжин нь хүний төрөлхийн хоёрдмол байдлыг бэлгэддэг: сайн муугийн эсрэг, сүнслэг ба бие махбодийн гэх мэт. Дээш чиглэсэн гурвалжин нь тэнгэрт өгсөж буян нигүүлслийн урсгалыг буцаан энэ дэлхий рүү буулгах бидний сайн үйлсийг бэлгэддэг (гурвалжин доошоо харуулсан). Заримдаа Давидын Одыг Бүтээгчийн Од гэж нэрлэдэг бөгөөд түүний зургаан үзүүр нь долоо хоногийн аль нэг өдөр, төв нь Бямба гаригтай холбоотой байдаг. 10) Таван үзүүртэй од-Большевикуудын гол онцлог бэлгэ тэмдэг бол 1918 оны хавар албан ёсоор суурилуулсан улаан таван хошуутай од юм. Эхэндээ большевикуудын суртал ухуулгаар үүнийг "Ангараг гаригийн од" (эртний дайны бурхан Ангараг гаригт харьяалагддаг) гэж нэрлээд дараа нь "Одны таван туяа нь дэлхийн бүх тивийн ажилчдын нэгдэл гэсэн үг юм. капитализмын эсрэг тэмцэл. " Бодит байдал дээр таван үзүүртэй од нь дайчин бурхан Ангараг болон олон улсын пролетариаттай ямар ч холбоогүй бөгөөд энэ нь "пентаграмм" эсвэл "Соломоны од" гэж нэрлэгддэг эртний далдын тэмдэг юм. Пентаграмыг большевикууд Улаан армийн дүрэмт хувцас, цэргийн техник хэрэгсэл, янз бүрийн шинж тэмдэг, харааны ухуулгын бүх шинж чанарыг цэвэр сатан байдлаар байрлуулсан байдаг: хоёр "эвэр" дээш. 3. Масоник шинж тэмдэг Өрлөгчид Уриа:"Эрх чөлөө. Тэгш байдал. Ах дүүс ". Чөлөөт сонголтын үндсэн дээр тэднийг илүү сайн болох, Бурханд ойртох боломжийг олгодог чөлөөт хүмүүсийн нийгмийн хөдөлгөөн, улмаар тэд дэлхийг сайжруулахын тулд хүлээн зөвшөөрөгддөг. Тэмдгүүд Гялалзсан нүд (дельта) бол эртний, шашны шинж тэмдэг юм. Бурхан өөрийнхөө бүтээлүүдийг хянадаг гэж тэр хэлэв. Энэхүү тэмдгийг дүрслэн харуулснаар масонууд аливаа агуу үйлс, тэдний хөдөлмөрийг адислахыг Бурханаас гуйжээ. Гэрэлт нүд нь Санкт -Петербург хотын Казанийн сүмийн орой дээр байрладаг. Масоник тэмдгийн луужин ба дөрвөлжингийн хослол. Анхааралгүй хүмүүсийн хувьд энэ бол хөдөлмөрийн хэрэгсэл (тоосго өрөгч) бөгөөд эхлүүлсэн хүмүүсийн хувьд эдгээр нь ертөнцийг танин мэдэх арга зам, бурханлаг мэргэн ухаан ба хүний оюун ухааны хоорондын харилцаа юм. Тэнгэрлэг мэргэн ухаанд боломжгүй зүйл гэж байдаггүй, энэ нь хүний хэлбэр (-) ба бурханлиг хэлбэр (0) хоёуланг нь авч чаддаг, бүх зүйлийг багтаах чадвартай. Тиймээс хүний оюун ухаан тэнгэрлэг мэргэн ухааныг ойлгож, түүнийг хүлээн авдаг. Философийн хувьд энэ мэдэгдэл нь туйлын болон харьцангуй үнэний постулат юм. Зургаан өнцөгт од (Бетлехем) G үсэг нь орчлон ертөнцийн агуу геометр Бурхан (Герман - Got) гэсэн утгатай. Дүгнэлт Математик тэмдгийг математикийн ойлголт, өгүүлбэрийг үнэн зөв бүртгэхэд ашигладаг. Тэдний хослол нь математикийн хэл гэж нэрлэгддэг зүйлийг бүрдүүлдэг.
"… Сегментийг хувааж болох хэсгүүдийн тоо хязгааргүй тул илүү олон тоог гаргаж ирэх боломжтой байдаг. Тиймээс хязгааргүй байдал нь боломжит, хэзээ ч бодит биш бөгөөд хичнээн олон хэлтэс зааж өгсөн хамаагүй та үргэлж энэ сегментийг бүр ч илүү тоогоор хувааж болно. " Аристотель хязгааргүй байдлыг ухамсарлахад асар их хувь нэмэр оруулсан бөгөөд үүнийг боломжит ба бодит гэж хувааж, математикийн анализын үндэс суурийг энэ тал руу ойртуулж, мөн энэ талаархи таван санааны эх сурвалжийг зааж өгсөн болохыг анхаарна уу.
Цаашилбал, хязгааргүй байдлыг гүн ухаан, теологийн чиглэлээр яг нарийн шинжлэх ухаантай зэрэгцүүлэн хөгжүүлсэн. Жишээлбэл, теологийн хувьд Бурханы хязгааргүй байдал нь хязгаарлагдмал, ойлгомжгүй гэсэн утгыг агуулдаггүй. Философийн хувьд энэ нь орон зай, цаг хугацааны шинж чанар юм.
Орчин үеийн физик нь Аристотелийн үгүйсгэсэн хязгааргүй байдлын хамааралтай ойролцоо байна. Жишээлбэл, хар нүх, том тэсрэлтийн онолтой нягт холбоотой ганцаарчилсан үзэл баримтлал байдаг: энэ бол хязгааргүй жижиг эзэлхүүн дэх массыг хязгааргүй нягтралтайгаар төвлөрүүлж буй орон зай-цаг хугацааны цэг юм. Том тэсрэлтийн онол боловсруулагдаагүй байгаа ч хар нүх байдаг гэсэн баттай нотлох баримтууд аль хэдийн бий.
Тойрог бол нар, сарны бэлгэдэл юм. Хамгийн түгээмэл бэлгэдлийн нэг. Энэ нь мөн хязгааргүй байдал, үүрд мөнхийн төгс байдлын бэлгэдэл юм.
Шүлэг бол ромб юм.
Харанхуй дунд.
Нүд амарч байна.
Шөнийн бүрэнхий бүрэнхий.
Зүрх шуналтайгаар санаа алдана
Оддын шивнээ заримдаа нисдэг.
Мөн номин өнгө мэдрэмжүүд хамтдаа бөөгнөрсөн байна.
Шүүдэрхэг сүр жавхлан дотор бүх зүйл мартагдсан байв.
Анхилуун үнсэлт!
Хурдан гэрэлтээрэй!
Дахин шивнэ
Тэр үед:
"Тийм ээ!"
Мэдээжийн хэрэг, эдгээр мэдэгдлүүдтэй санал нийлэхгүй байж болно.
Гэсэн хэдий ч аливаа дүрс нь хүний холбоог өдөөдөг гэдгийг хэн ч үгүйсгэхгүй. Гэхдээ асуудал бол зарим объект, хуйвалдаан эсвэл график элементүүд нь бүх хүмүүст ижил холбоо үүсгэдэг (эсвэл илүү олон хүн), зарим нь огт өөр байдаг.
Дүрс болгон гурвалжны шинж чанар: хүч чадал, хувиршгүй байдал.
Стереометрийн аксиом А1: "Онгоц нь нэг шулуун дээр хэвтдэггүй орон зайн 3 цэгийг дайран өнгөрдөг.
Энэхүү мэдэгдлийн гүн гүнзгий байдлыг шалгахын тулд тэд ихэвчлэн бөглөх асуудлыг асуудаг: “Ширээний гурван үзүүр дээр гурван ялаа сууж байна. Тодорхой мөчид тэд ижил перпендикуляр гурван чиглэлд ижил хурдтайгаар тархана. Тэд хэзээ дахин нэг онгоцонд суух вэ? " Хариулт нь гурван цэг үргэлж ямар ч үед нэг хавтгайг тодорхойлдог явдал юм. Гурвалжныг тодорхойлдог 3 цэг байдаг тул геометр дээрх энэ зургийг хамгийн тогтвортой, бат бөх гэж үздэг.
Гурвалжинг ихэвчлэн эр хүний зарчимтай холбоотой хурц, "доромжилсон" дүрс гэж нэрлэдэг. Адил талт гурвалжин бол бурхан, гал, амьдрал, зүрх, уул, авиралт, хөгжил цэцэглэлт, эв найрамдал, хааны эрхийг илэрхийлдэг эрэгтэй ба нарны тэмдэг юм. Урвуу гурвалжин бол эмэгтэй, сарны бэлгэдэл бөгөөд ус, үржил шим, бороо, бурханлаг нигүүлслийг илэрхийлдэг.
АНУ-ын төрийн бэлгэдэл нь зургаан өнцөгт оддыг янз бүрийн хэлбэрээр агуулдаг, ялангуяа АНУ-ын Их тамга, мөнгөн дэвсгэрт дээр байдаг. Давидын одыг Германы Чер, Гербстед хотууд, Украины Тернополь, Конотопын сүлд дээр дүрсэлсэн байдаг. Бурунди улсын далбаан дээр зургаан үзүүртэй гурван од дүрслэгдсэн бөгөөд үндэсний уриа болох “Эв нэгдэл. Ажил. Дэвшил ".
Христийн шашинд зургаан үзүүртэй од бол Христийн бэлгэдэл, өөрөөр хэлбэл бурханлаг ба хүний мөн чанарын Христ дэх нэгдэл юм. Тиймээс энэ тэмдгийг Ортодокс загалмай дээр бичжээ.
Засгийн газар ”нь Масонизмын бүрэн хяналтанд байдаг.
Сатанистууд ихэвчлэн хоёр үзүүртэй пентаграм зурдаг бөгөөд энд чөтгөрийн толгойг "Бафометын пентаграмм" гэж бичихэд хялбар байдаг. "Галт хувьсгалч" -ын хөргийг 1932 онд төлөвлөсөн КГБ -ын тусгай тушаал "Феликс Дзержинский" -ийн найрлагын гол хэсэг болох "Бафометын Пентаграм" дотор байрлуулсан болно (цаашид уг төслийг Сталин гүнзгий үзэн ядсан) "Төмөр Феликс").
"Дэлхийн пролетар хувьсгал" хийх марксист төлөвлөгөө нь масон гаралтай байсан бөгөөд хамгийн алдартай марксистуудын зарим нь Freemasonry -ийн гишүүд байв. Л.Троцкий бол тэдний харьяалагддаг хүн бөгөөд масоны пентаграмыг большевизмын таних бэлгэ тэмдэг болгох санал тавьсан хүн юм.
Олон улсын масоны байрууд большевикуудад бүх талаар, ялангуяа санхүүгийн хувьд нууцаар дэмжлэг үзүүлж байв.
Масон бол инерци, инерци, мунхгийн эсрэг Бүтээгчийн хамтрагчид, нийгмийн дэвшилд хамтрагчид юм. Масонизмын шилдэг төлөөлөгчид - Карамзин Николай Михайлович, Суворов Александр Васильевич, Кутузов Михаил Илларионович, Пушкин Александр Сергеевич, Геббельс Иосиф.
Дүрмээр бол доод талаас нь дөрвөлжин бол дэлхийн тухай хүмүүсийн мэдлэг юм. Freemasonry -ийн үүднээс авч үзвэл хүн бурханлиг төлөвлөгөөг мэдэхийн тулд дэлхийд ирдэг. Мэдлэгийн хувьд багаж хэрэгсэл хэрэгтэй. Дэлхий ертөнцийг танин мэдэх хамгийн үр дүнтэй шинжлэх ухаан бол математик юм.
Дөрвөлжин бол эрт дээр үеэс мэдэгдэж байсан хамгийн эртний математик хэрэгсэл юм. Дөрвөлжингийн төгсөлт нь танин мэдэхүйн математик хэрэгслийн хувьд том алхам юм. Хүн ертөнцийг шинжлэх ухааны тусламжтайгаар сурдаг, математик бол тэдний анхных боловч цорын ганц зүйл биш юм.
Гэсэн хэдий ч дөрвөлжин нь модоор хийгдсэн бөгөөд барьж чадах зүйлээ хадгалдаг. Үүнийг салгах боломжгүй юм. Хэрэв та илүү их байлгахын тулд салгахыг оролдвол эвдэх болно.
Тиймээс бурханлиг төлөвлөгөөний хязгааргүй байдлыг танин мэдэхийг хичээдэг хүмүүс үхэх эсвэл галзуурах болно. "Хил хязгаараа мэдэж аваарай!" - энэ тэмдэг дэлхийд үүнийг хэлж байна. Эйнштейн, Ньютон, Сахаров ч бай хүн төрөлхтний хамгийн агуу оюун ухаан болоорой! - Та төрсөн цагаасаа хязгаарлагдмал байдгийг ойлгох; дэлхийн мэдлэг, хэл, тархины эзэлхүүн, төрөл бүрийн хүний хязгаарлалт, таны биеийн амьдрал. Тиймээс, таньж мэдээрэй, гэхдээ та хэзээ ч бүрэн таньж чадахгүй гэдгээ ойлгоорой!
Мөн луужин? Луужин бол бурханлиг мэргэн ухаан юм. Та тойрог луужингаар дүрсэлж болох бөгөөд хэрэв та хөлийг нь холдуулбал шулуун шугам болно. Бэлгэдлийн системд тойрог ба шулуун шугам нь хоёр эсрэг тэсрэг зүйл юм. Шулуун шугам нь хүнийг, түүний эхлэл ба төгсгөлийг илэрхийлдэг (төрөх ба үхэх хоёр огнооны хоорондох зураас шиг). Тойрог бол төгс дүр учраас бурханы бэлгэдэл юм. Тэд бие биенийхээ эсрэг байдаг - бурханлаг ба хүний дүрүүд. Хүн төгс биш. Бурхан бүх зүйлд төгс төгөлдөр юм.
Хүмүүс үнэнийг үргэлж мэддэг боловч харьцангуй үнэнийг үргэлж мэддэг. Мөн туйлын үнэнийг зөвхөн Бурханд л мэддэг.
Та үнэнийг эцсээ хүртэл мэдэж чадахгүй гэдгээ ухаарч, илүү ихийг мэдэж аваарай - дөрвөлжин хэлбэртэй жирийн луужингаас бид ямар гүнзгий зүйлийг олж хардаг вэ! Хэн бодох байсан бол!
Энэ бол асар их оюуны гүн дэх масоник бэлгэдлийн гоо үзэсгэлэн, сэтгэл татам байдал юм.
Дундад зууны үеэс эхлэн луужин нь өөгүй тойрог зурах хэрэгсэл болж, геометр, сансрын дэг журам, төлөвлөсөн үйл ажиллагааны бэлгэдэл болжээ. Энэ үед хостуудын бурханыг орчлон ертөнцийг бүтээгч, архитекторын дүрээр гартаа луужин барьж зурдаг байв (Уильям Блэйк "Их архитектор", 1794).
Зургаан өнцөгт од гэдэг нь эсрэг тэсрэг хүмүүсийн нэгдэл ба тэмцэл, эрэгтэй эмэгтэй хүмүүсийн тэмцэл, сайн ба муу, гэрэл ба харанхуй гэсэн утгатай байв. Нэг нь нөгөөгүйгээр оршин тогтнох боломжгүй. Эдгээр эсрэг тэсрэгийн хооронд үүссэн хурцадмал байдал нь бидний мэддэг ертөнцийг бий болгодог.
Дээш чиглэсэн гурвалжин нь "Хүн Бурханы төлөө хичээдэг" гэсэн утгатай. Доошоо чиглэсэн гурвалжин - "Шүтээн Хүн рүү буудаг." Тэдэнтэй холбогдуулан хүн төрөлхтөн, бурханлиг хоёрын холбоо болох бидний ертөнц оршин тогтнож байна. Энд байгаа G үсэг нь Бурхан бидний ертөнцөд амьдардаг гэсэн үг юм. Тэр бүтээсэн бүх зүйлдээ үнэхээр байдаг.
Математикийн бэлгэдлийг хөгжүүлэх шийдвэрлэх хүч бол математикчдын "чөлөөт хүсэл" биш, харин практик, математикийн судалгааны шаардлага юм. Энэ бол тоон ба чанарын харилцааны бүтцийг аль тэмдгийн систем хамгийн сайн тусгаж өгдөг болохыг олж тогтооход тусалдаг бодит математик судалгаа бөгөөд үүний ачаар тэмдэг, бэлгэ тэмдгийг цаашид ашиглах үр дүнтэй хэрэгсэл болно.
