Гауссын арга бол бүх нийтийн томьёо юм. Гауссын аргыг буцаана уу

Өнөөдөр бид шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх Гауссын аргыг авч үзэж байна. Эдгээр нь ямар төрлийн системүүд болохыг та Крамерын аргаар ижил SLAE-ийг шийдвэрлэхэд зориулагдсан өмнөх нийтлэлээс уншиж болно. Гауссын арга нь тодорхой мэдлэг шаарддаггүй, зөвхөн анхаарал халамж, тууштай байх шаардлагатай. Математикийн үүднээс авч үзвэл сургуулийн бэлтгэл нь үүнийг хэрэглэхэд хангалттай боловч энэ аргыг эзэмшсэн оюутнуудад ихэвчлэн бэрхшээлтэй байдаг. Энэ нийтлэлд бид тэдгээрийг хүчингүй болгохыг хичээх болно!

Гауссын арга

М Гауссын арга- SLAE-ийг шийдвэрлэх хамгийн уян хатан арга (маш том системээс бусад). Өмнө дурьдсанаас ялгаатай нь энэ нь зөвхөн нэг шийдэлтэй системд төдийгүй хязгааргүй олон тооны шийдэлтэй системүүдэд тохиромжтой. Энд гурван боломж бий.

1. Систем нь өвөрмөц шийдэлтэй (системийн үндсэн матрицын тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү биш);
2. Систем нь хязгааргүй олон тооны шийдэлтэй;
3. Ямар ч шийдэл байхгүй, систем нь таарахгүй байна.

Тиймээс, бидэнд систем бий (үүнийг нэг шийдэлтэй болго), бид үүнийг Гауссын аргыг ашиглан шийдэх гэж байна. Хэрхэн ажилладаг?

Гауссын арга нь урагш, хойшоо гэсэн хоёр үе шатаас бүрдэнэ.

Гауссын аргын урагшлах урсгал

Эхлээд бид системийн өргөтгөсөн матрицыг бичнэ. Үүнийг хийхийн тулд үндсэн матрицад чөлөөт гишүүдийн баганыг нэмнэ үү.

Гауссын аргын бүх мөн чанар нь өгөгдсөн матрицыг шаталсан (эсвэл тэдний хэлснээр гурвалжин) хэлбэрт энгийн хувиргалтаар оруулах явдал юм. Энэ хэлбэрээр матрицын үндсэн диагональ дор (эсвэл түүнээс дээш) зөвхөн нэг тэг байх ёстой.

Чи юу хийж чадах вэ:

1. Та матрицын мөрүүдийг газар дээр нь өөрчилж болно;
2. Хэрэв матриц ижил (эсвэл пропорциональ) мөрүүдийг агуулж байвал тэдгээрийн нэгээс бусад бүх мөрийг устгаж болно;
3. Та мөрийг дурын тоогоор (тэгээс бусад) үржүүлж эсвэл хувааж болно;
4. Тэг шугамыг хассан;
5. Та тэгээс өөр тоогоор үржүүлсэн тэмдэгт мөрийг нэмж болно.

Гауссын аргыг буцаана уу

Бид системийг ийм байдлаар хувиргасны дараа нэг үл мэдэгдэх Xn мэдэгдэж байгаа бөгөөд та системийн тэгшитгэл дэх аль хэдийн мэдэгдэж байсан x-г эхнийх хүртэл орлуулж, үл мэдэгдэх бүх үлдэгдлийг урвуу дарааллаар олох боломжтой.

Интернет үргэлж бэлэн байх үед та Гауссын аргыг ашиглан тэгшитгэлийн системийг шийдэж чадна онлайн.Та зүгээр л онлайн тооцоолуур руу коэффициентүүдийг оруулах хэрэгтэй. Гэхдээ энэ жишээг компьютерийн программ биш, харин таны тархи шийдсэн гэдгийг ойлгох нь илүү тааламжтай гэдгийг та хүлээн зөвшөөрөх ёстой.

Гауссын аргаар тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх жишээ

Одоо - бүх зүйл тодорхой, ойлгомжтой болохын тулд жишээ. Шугаман тэгшитгэлийн системийг өгье, та үүнийг Гауссын аргаар шийдэх хэрэгтэй.

Эхлээд өргөтгөсөн матрицыг бичье:

Одоо зарим өөрчлөлтийг хийцгээе. Бид матрицын гурвалжин дүр төрхийг олж авах хэрэгтэй гэдгийг санаарай. 1-р мөрийг (3) үржүүлнэ. 2-р мөрийг (-1)-ээр үржүүлнэ. 1-р мөрөнд 2-р мөрийг нэмээд:

Дараа нь 3-р эгнээ (-1) -ээр үржүүлнэ. 2-р мөрөнд 3-р мөрийг нэмье:

1-р мөрийг (6)-аар үржүүлнэ. 2-р мөрийг (13)-аар үржүүлнэ. 1-р мөрөнд 2-р мөрийг нэмье:

Voila - системийг зохих хэлбэрт оруулсан. Үл мэдэгдэх зүйлийг олоход л үлддэг:

Энэ жишээн дээрх систем нь нэг шийдэлтэй. Хязгааргүй олон тооны шийдэл бүхий системийн шийдлийг бид тусдаа өгүүллээр авч үзэх болно. Магадгүй та эхлээд матрицыг хаанаас хувиргахаа мэдэхгүй байж магадгүй, гэхдээ зохих дадлага хийсний дараа та гараа авч, самар шиг Гауссын аргыг ашиглан SLAE дээр дарах болно. Хэрэв та гэнэт хэтэрхий хатуу санагдах SLAE-тэй тулгарвал манай зохиогчидтой холбоо бариарай! та захидал харилцааны курст өргөдөл үлдээж болно. Бид хамтдаа ямар ч асуудлыг шийдэх болно!

16-18-р зууны эхэн үеэс математикчид функцуудыг эрчимтэй судалж эхэлсэн бөгөөд үүний ачаар бидний амьдралд маш их өөрчлөлт гарсан. Энэ мэдлэггүйгээр компьютерийн технологи байхгүй байх байсан. Нарийн төвөгтэй бодлого, шугаман тэгшитгэл, функцийг шийдвэрлэхийн тулд янз бүрийн ойлголт, теорем, шийдвэрлэх арга техникийг бий болгосон. Шугаман тэгшитгэл ба тэдгээрийн системийг шийдвэрлэх ийм түгээмэл, оновчтой арга, аргуудын нэг нь Гауссын арга юм. Матрицууд, тэдгээрийн зэрэглэл, тодорхойлогч - бүх зүйлийг нарийн төвөгтэй үйлдлүүд ашиглахгүйгээр тооцоолж болно.

SLAE гэж юу вэ

Математикт SLAE гэсэн ойлголт байдаг - шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн систем. Тэр ямархуу хүн бэ? Энэ нь ихэвчлэн x, y, z, эсвэл x 1, x 2 ... x n, эсвэл бусад тэмдэгтээр тэмдэглэгдсэн шаардлагатай n үл мэдэгдэх хэмжигдэхүүн бүхий m тэгшитгэлийн багц юм. Энэ системийг Гауссын аргаар шийдэх нь үл мэдэгдэх бүх үл мэдэгдэх зүйлийг олох гэсэн үг юм. Хэрэв систем ижил тооны үл мэдэгдэх ба тэгшитгэлтэй бол түүнийг n эрэмбийн систем гэнэ.

SLAE-ийг шийдвэрлэх хамгийн түгээмэл аргууд

Дунд боловсролын боловсролын байгууллагуудад ийм системийг шийдвэрлэх янз бүрийн аргуудыг судалж байна. Ихэнхдээ эдгээр нь хоёр үл мэдэгдэхээс бүрдэх энгийн тэгшитгэлүүд байдаг тул тэдгээрийн хариултыг олоход одоо байгаа арга нь их цаг хугацаа шаарддаггүй. Энэ нь нэг тэгшитгэлээс өөр нэг тэгшитгэл гаргаж, эх хувилбарт орлуулах аргатай адил байж болно. Эсвэл нэр томъёог хасах, нэмэх арга. Гэхдээ Гауссын аргыг хамгийн хялбар бөгөөд түгээмэл гэж үздэг. Энэ нь ямар ч үл мэдэгдэх тоотой тэгшитгэлийг шийдвэрлэх боломжийг олгодог. Энэ тодорхой техникийг яагаад оновчтой гэж үздэг вэ? Энэ бол энгийн. Матрицын аргын сайн тал нь үл мэдэгдэх хэлбэрээр шаардлагагүй тэмдэгтүүдийг хэд хэдэн удаа дахин бичих шаардлагагүй бөгөөд коэффициентүүд дээр арифметик үйлдлүүдийг хийхэд хангалттай бөгөөд та найдвартай үр дүнд хүрэх болно.

SLAE-г практикт хаана ашигладаг вэ

SLAE-ийн шийдэл нь функцүүдийн график дээрх шугамуудын огтлолцох цэгүүд юм. Өндөр технологийн компьютерийн эрин зуунд тоглоом болон бусад программыг хөгжүүлэхтэй нягт холбоотой хүмүүс ийм системийг хэрхэн шийдвэрлэх, тэдгээр нь юуг төлөөлж, үр дүнгийн зөв эсэхийг хэрхэн шалгахыг мэддэг байх ёстой. Ихэнх тохиолдолд програмистууд шугаман алгебрийг тооцоолох тусгай хөтөлбөр боловсруулдаг бөгөөд үүнд шугаман тэгшитгэлийн систем орно. Гауссын арга нь одоо байгаа бүх шийдлүүдийг тооцоолох боломжийг олгодог. Бусад хялбаршуулсан томъёо, техникийг бас ашигладаг.

SLAE-ийн нийцтэй байдлын шалгуур

Ийм систем нь нийцтэй байж л шийдэгдэх болно. Тодорхой болгохын тулд бид SLAE-ийг Ax = b хэлбэрээр төлөөлдөг. Rang (A) нь rang (A, b) тэнцүү бол шийдэлтэй байна. Энэ тохиолдолд (A, b) нь өргөтгөсөн матриц бөгөөд үүнийг чөлөөт нөхцөлөөр дахин бичих замаар А матрицаас гаргаж авах боломжтой. Шугаман тэгшитгэлийг Гауссын аргаар шийдвэрлэх нь маш хялбар юм.

Магадгүй зарим тэмдэглэгээ нь бүрэн тодорхой бус байгаа тул бүх зүйлийг жишээгээр авч үзэх шаардлагатай. Систем байна гэж бодъё: x + y = 1; 2x-3y = 6. Энэ нь хоёр л үл мэдэгдэх хоёр тэгшитгэлээс бүрдэнэ. Түүний матрицын зэрэглэл нь өргөтгөсөн матрицын зэрэгтэй тэнцүү байх тохиолдолд л систем шийдэлтэй байх болно. Зэрэглэл гэж юу вэ? Энэ нь систем дэх бие даасан мөрүүдийн тоо юм. Манай тохиолдолд матрицын зэрэглэл нь 2 байна. А матриц нь үл мэдэгдэхийн ойролцоо байрлах коэффициентүүдээс бүрдэх бөгөөд "=" тэмдгийн ард байгаа коэффициентүүд нь өргөтгөсөн матрицад багтсан болно.

Яагаад SLAE-ийг матриц хэлбэрээр төлөөлж болох вэ?

Батлагдсан Кронекер-Капелли теоремын дагуу нийцтэй байдлын шалгуур дээр үндэслэн шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг матриц хэлбэрээр илэрхийлж болно. Каскадын Гауссын аргыг ашигласнаар та матрицыг шийдэж, бүхэл бүтэн системийн хувьд нэг найдвартай хариулт авах боломжтой. Хэрэв ердийн матрицын зэрэглэл нь түүний өргөтгөсөн матрицын зэрэгтэй тэнцүү боловч үл мэдэгдэх тооноос бага байвал систем нь хязгааргүй тооны хариулттай байна.

Матрицын хувиргалт

Матрицуудыг шийдвэрлэхийн өмнө тэдгээрийн элементүүд дээр ямар үйлдэл хийж болохыг мэдэх хэрэгтэй. Хэд хэдэн үндсэн өөрчлөлтүүд байдаг:

• Системийг матриц хэлбэрээр дахин бичиж, түүний шийдлийг хэрэгжүүлснээр цувралын бүх элементүүдийг ижил коэффициентээр үржүүлэх боломжтой.
• Матрицыг каноник хэлбэрт шилжүүлэхийн тулд хоёр зэрэгцээ мөрийг сольж болно. Каноник хэлбэр нь үндсэн диагональ дээр байрлах матрицын бүх элементүүд нэг болж, үлдсэн хэсэг нь тэг болно гэсэн үг юм.
• Матрицын зэрэгцээ эгнээний харгалзах элементүүдийг өөр хоорондоо нэмж болно.

Жордан-Гаусын арга

Шугаман нэгэн төрлийн ба нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн системийг Гауссын аргаар шийдвэрлэхийн мөн чанар нь үл мэдэгдэх зүйлийг аажмаар хасах явдал юм. Бид хоёр үл мэдэгдэх хоёр тэгшитгэлийн системтэй гэж бодъё. Тэдгээрийг олохын тулд та системийг нийцтэй эсэхийг шалгах хэрэгтэй. Гауссын тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд маш энгийн. Үл мэдэгдэх бүрийн ойролцоо байрлах коэффициентүүдийг матриц хэлбэрээр бичих шаардлагатай. Системийг шийдэхийн тулд та өргөтгөсөн матрицыг бичих хэрэгтэй. Хэрэв тэгшитгэлийн аль нэг нь үл мэдэгдэх цөөн тоотой бол алга болсон элементийн оронд "0"-ийг тавих ёстой. Бүх мэдэгдэж буй хувиргах аргуудыг матрицад ашигладаг: үржүүлэх, тоогоор хуваах, цувралын харгалзах элементүүдийг бие биендээ нэмэх болон бусад. Мөр бүрт "1" гэсэн утгатай нэг хувьсагчийг үлдээх шаардлагатай болж, үлдсэнийг нь тэг хэлбэрт оруулах ёстой. Илүү нарийвчлалтай ойлгохын тулд Гауссын аргыг жишээн дээр авч үзэх шаардлагатай.

2х2 системийн шийдлийн энгийн жишээ

Эхлээд 2 үл мэдэгдэх алгебрийн тэгшитгэлийн энгийн системийг авч үзье.

Үүнийг өргөтгөсөн матриц болгон дахин бичье.

Энэхүү шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдэхийн тулд зөвхөн хоёр үйлдэл хийх шаардлагатай. Үндсэн диагональ дээр нэг нь байхын тулд бид матрицыг каноник хэлбэрт оруулах хэрэгтэй. Тиймээс матрицын хэлбэрээс систем рүү буцаан шилжүүлснээр бид тэгшитгэлийг олж авна: 1x + 0y = b1 ба 0x + 1y = b2, энд b1 ба b2 нь шийдлийн явцад олж авсан хариултууд юм.

1. Өргөтгөсөн матрицыг шийдвэрлэх эхний үйлдэл нь дараах байдалтай байна: хоёр дахь тэгшитгэлийн нэг үл мэдэгдэх зүйлийг арилгахын тулд эхний мөрийг -7-оор үржүүлж, хоёр дахь эгнээнд харгалзах элементүүдийг тус тус нэмэх шаардлагатай.
2. Гауссын аргаар тэгшитгэлийн шийдэл нь матрицыг каноник хэлбэрт оруулахыг шаарддаг тул эхний тэгшитгэлтэй ижил үйлдлийг хийж, хоёр дахь хувьсагчийг хасах шаардлагатай. Үүнийг хийхийн тулд эхнийхээс хоёр дахь мөрийг хасч, шаардлагатай хариултыг аваарай - SLAE-ийн шийдэл. Эсвэл зурагт үзүүлсэн шиг бид хоёр дахь эгнээ -1-ээр үржүүлж, хоёр дахь эгнээний элементүүдийг эхний мөрөнд нэмнэ. Энэ ч мөн адил.

Таны харж байгаагаар манай системийг Жордан-Гаусын аргаар шийдсэн. Бид үүнийг шаардлагатай хэлбэрээр дахин бичнэ: x = -5, y = 7.

SLAE 3x3-ийг шийдэх жишээ

Бид илүү төвөгтэй шугаман тэгшитгэлийн системтэй гэж бодъё. Гауссын арга нь хамгийн ойлгомжгүй мэт санагдах системийн хариултыг тооцоолох боломжийг олгодог. Тиймээс тооцооллын аргачлалыг гүнзгийрүүлэхийн тулд та гурван үл мэдэгдэх зүйлтэй илүү төвөгтэй жишээ рүү шилжиж болно.

Өмнөх жишээний нэгэн адил бид системийг өргөтгөсөн матриц хэлбэрээр дахин бичиж, каноник хэлбэрт оруулж эхэлдэг.

Энэ системийг шийдэхийн тулд та өмнөх жишээнээс хамаагүй илүү үйлдэл хийх шаардлагатай болно.

1. Эхлээд та эхний баганад нэг нэгж элемент, үлдсэн тэгийг хийх хэрэгтэй. Үүнийг хийхийн тулд эхний тэгшитгэлийг -1-ээр үржүүлж, хоёр дахь тэгшитгэлийг нэмнэ. Бид эхний мөрийг анхны хэлбэрээр нь дахин бичиж, хоёр дахь нь аль хэдийн өөрчлөгдсөн гэдгийг санах нь чухал юм.
2. Дараа нь бид гурав дахь тэгшитгэлээс эхний үл мэдэгдэх ижил зүйлийг хасна. Үүнийг хийхийн тулд эхний эгнээний элементүүдийг -2-оор үржүүлж, гурав дахь эгнээнд нэмнэ. Одоо эхний болон хоёр дахь мөрийг анхны хэлбэрээр нь, гурав дахь нь өөрчлөлтөөр дахин бичсэн. Үр дүнгээс харахад бид матрицын үндсэн диагоналын эхэнд эхнийхийг, үлдсэн тэгүүдийг авсан. Дахиад хэдэн алхам хийвэл Гауссын аргаар тэгшитгэлийн систем найдвартай шийдэгдэх болно.
3. Одоо мөрүүдийн бусад элементүүд дээр үйлдлүүд хийх шаардлагатай байна. Гурав, дөрөв дэх үйлдлүүдийг нэг болгон нэгтгэж болно. Та диагональ дээрх хасах зүйлсийг арилгахын тулд хоёр ба гурав дахь эгнээ -1-ээр хуваах хэрэгтэй. Бид аль хэдийн гурав дахь мөрийг шаардлагатай маягт руу авчирсан.
4. Дараа нь бид хоёр дахь мөрийг каноникчилдог. Үүнийг хийхийн тулд бид гурав дахь эгнээний элементүүдийг -3-аар үржүүлж, матрицын хоёр дахь мөрөнд нэмнэ. Үр дүн нь хоёр дахь мөр нь бидний хэрэгцээтэй хэлбэрт багассан болохыг харуулж байна. Дахиад хэд хэдэн үйлдэл хийж, эхний мөрөнд үл мэдэгдэх коэффициентүүдийг арилгахад л үлддэг.
5. Мөрийн хоёр дахь элементээс 0 болгохын тулд та гурав дахь мөрийг -3-аар үржүүлж, эхний мөрөнд нэмэх хэрэгтэй.
6. Дараагийн шийдвэрлэх алхам бол хоёр дахь эгнээний шаардлагатай элементүүдийг эхний эгнээнд нэмэх явдал юм. Тиймээс бид матрицын каноник хэлбэр, үүний дагуу хариултыг авдаг.

Таны харж байгаагаар тэгшитгэлийг Гауссын аргаар шийдэх нь маш энгийн.

4х4 тэгшитгэлийн системийг шийдэх жишээ

Зарим илүү төвөгтэй тэгшитгэлийн системийг компьютерийн программ ашиглан Гауссын аргаар шийдэж болно. Үл мэдэгдэх коэффициентийг одоо байгаа хоосон нүднүүдэд оруулах шаардлагатай бөгөөд програм өөрөө алхам алхмаар шаардлагатай үр дүнг тооцоолж, үйлдэл бүрийг нарийвчлан тайлбарлах болно.

Ийм жишээг шийдвэрлэх алхам алхмаар зааварчилгааг доор харуулав.

Эхний үйлдэлд үл мэдэгдэх үнэ төлбөргүй коэффициент, тоог хоосон нүдэнд оруулна. Тиймээс бид гараар бичсэн ижил өргөтгөсөн матрицыг олж авдаг.

Өргөтгөсөн матрицыг каноник хэлбэрт оруулахын тулд шаардлагатай бүх арифметик үйлдлүүд хийгддэг. Тэгшитгэлийн системийн хариулт нь үргэлж бүхэл тоо биш гэдгийг ойлгох ёстой. Заримдаа шийдэл нь бутархай тоо байж болно.

Шийдлийн зөв эсэхийг шалгаж байна

Жордан-Гаусын арга нь үр дүнгийн зөв эсэхийг шалгах боломжийг олгодог. Коэффициентийг зөв тооцоолсон эсэхийг мэдэхийн тулд үр дүнг анхны тэгшитгэлийн системд орлуулахад л хангалттай. Тэгшитгэлийн зүүн тал нь тэнцүү тэмдгийн ард баруун талтай тохирч байх ёстой. Хэрэв хариултууд давхцахгүй бол та системийг дахин тооцоолох эсвэл SLAE-ийг шийдвэрлэх өөр аргыг, тухайлбал орлуулалт, нэр томъёог хасах, нэмэх гэх мэт өөр аргыг ашиглахыг оролдох хэрэгтэй. Эцсийн эцэст математик бол асар олон тооны янз бүрийн шийдлийн аргуудтай шинжлэх ухаан юм. Гэхдээ санаарай: ямар ч шийдлийн аргыг ашигласан ч үр дүн нь үргэлж ижил байх ёстой.

Гауссын арга: SLAE-ийг шийдвэрлэхэд гаргадаг хамгийн нийтлэг алдаа

Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхдээ коэффициентийг матриц хэлбэрт буруу шилжүүлэх зэрэг алдаа ихэвчлэн гардаг. Нэг тэгшитгэлд зарим үл мэдэгдэх зүйл байхгүй системүүд байдаг бөгөөд өгөгдлийг өргөтгөсөн матриц руу шилжүүлснээр тэдгээр нь алдагдах боломжтой байдаг. Үүний үр дүнд, энэ системийг шийдвэрлэх үед үр дүн нь бодиттой тохирохгүй байж магадгүй юм.

Өөр нэг гол алдаа бол эцсийн үр дүнг буруу бичсэн байж болно. Эхний коэффициент нь системээс үл мэдэгдэх эхний коэффициент, хоёр дахь нь хоёр дахь гэх мэттэй тохирно гэдгийг тодорхой ойлгох шаардлагатай.

Гауссын арга нь шугаман тэгшитгэлийн шийдлийг нарийвчлан тодорхойлдог. Түүний ачаар шаардлагатай үйлдлүүдийг хийж, зөв ​​үр дүнг олоход хялбар байдаг. Нэмж дурдахад энэ нь аливаа нарийн төвөгтэй тэгшитгэлийн найдвартай хариултыг олох бүх нийтийн хэрэгсэл юм. Магадгүй ийм учраас үүнийг SLAE-ийг шийдвэрлэхэд ихэвчлэн ашигладаг.

Бид шугаман тэгшитгэлийн системийг үргэлжлүүлэн авч үзэх болно. Энэ хичээл нь сэдвийн гурав дахь хичээл юм. Хэрэв та ерөнхийдөө шугаман тэгшитгэлийн систем гэж юу болох талаар тодорхойгүй ойлголттой бол та цайны сав шиг санагдаж байвал би хуудасны үндсээс эхлэхийг зөвлөж байна Цаашид хичээлийг судлах нь ашигтай байдаг.

Гауссын арга амархан!Яагаад? Германы алдарт математикч Иоганн Карл Фридрих Гаусс амьд ахуйдаа бүх цаг үеийн хамгийн агуу математикч, суут ухаантан, тэр ч байтугай "математикийн хаан" хочоор хүлээн зөвшөөрөгдсөн. Та бүхний мэдэж байгаагаар ухаалаг бүх зүйл энгийн байдаг!Дашрамд дурдахад, новшнууд төдийгүй суут ухаантнууд мөнгөөр ​​цалинждаг - Гауссын хөрөг 10 Дойчмаркийн дэвсгэрт дээр байсан (евро гаргахаас өмнө) бөгөөд Гаусс жирийн шуудангийн маркнаас германчуудад учир битүүлгээр инээмсэглэдэг хэвээр байна.

Гауссын арга нь 5-р ангийн сурагчийн мэдлэг түүнийг эзэмшихэд ХАНГАЛТТАЙ байдгаараа энгийн. Та нэмэх, үржүүлэх чадвартай байх ёстой!Сургуулийн математикийн хичээл дээр үл мэдэгдэх зүйлийг дараалан арилгах аргыг багш нар ихэвчлэн авч үздэг нь санамсаргүй хэрэг биш юм. Хачирхалтай нь, Гауссын арга нь оюутнуудад хамгийн хэцүү байдаг. Гайхах зүйлгүй - бүх зүйл арга зүйд байгаа бөгөөд би аргын алгоритмын талаар танд хүртээмжтэй хэлбэрээр хэлэхийг хичээх болно.

Эхлээд шугаман тэгшитгэлийн системийн талаарх мэдлэгээ бага зэрэг системчилье. Шугаман тэгшитгэлийн систем нь:

1) Өвөрмөц шийдэлтэй байх. 2) Хязгааргүй олон шийдэлтэй байх. 3) Ямар ч шийдэл байхгүй (байх нийцэхгүй).

Гауссын арга бол шийдлийг олох хамгийн хүчирхэг, олон талын хэрэгсэл юм ямар чшугаман тэгшитгэлийн системүүд. Бидний санаж байгаагаар Крамерын дүрэм ба матрицын аргасистем нь хязгааргүй олон шийдэлтэй эсвэл нийцэхгүй байгаа тохиолдолд тохиромжгүй. Мөн үл мэдэгдэх зүйлийг дараалан арилгах арга ямар ч байсанбиднийг хариулт руу хөтөлнө! Энэ хичээл дээр бид Гауссын аргыг 1-р тохиолдлыг дахин авч үзэх болно (системийн цорын ганц шийдэл), нийтлэлийг 2-3-р цэгийн нөхцөл байдалд зориулж хадгалсан болно. Аргын алгоритм нь гурван тохиолдолд адилхан ажилладаг гэдгийг анхаарна уу.

Хичээлээс хамгийн энгийн систем рүү буцаж орцгооё Шугаман тэгшитгэлийн системийг хэрхэн шийдэх вэ?Гауссын аргаар шийднэ.

Эхний шатанд та бичих хэрэгтэй Өргөтгөсөн системийн матриц:. Коэффициентийг ямар зарчмаар бичсэнийг хүн бүр харж байгаа байх. Матриц доторх босоо зураас нь ямар ч математикийн утгыг агуулдаггүй - энэ нь дизайныг хялбар болгох үүднээс доогуур зураас юм.

лавлагаа : Би санаж байхыг зөвлөж байна нөхцөл шугаман алгебр. Системийн матриц Зөвхөн үл мэдэгдэх коэффициентүүдээс бүрдэх матриц уу, энэ жишээнд системийн матриц: . Өргөтгөсөн системийн матриц - энэ нь системийн ижил матриц ба чөлөөт гишүүдийн багана, энэ тохиолдолд: ... Аливаа матрицыг товчилсон матриц гэж нэрлэж болно.

Системийн өргөтгөсөн матрицыг бичсэний дараа түүнтэй хамт зарим үйлдлүүдийг хийх шаардлагатай бөгөөд үүнийг бас нэрлэдэг. анхан шатны өөрчлөлтүүд.

Дараах үндсэн өөрчлөлтүүд байдаг.

1) Мөрматрицууд чадна дахин зохион байгуулахгазрууд. Жишээлбэл, авч үзэж буй матрицад та эхний болон хоёр дахь эгнээг өвдөлтгүйгээр дахин байрлуулж болно.

2) Хэрэв матриц нь пропорциональ (тусгай тохиолдолд - ижил) мөрүүдийг агуулж байвал (эсвэл гарч ирнэ) дараа нь дараах болно. устгахматрицаас нэгээс бусад бүх мөр. Жишээлбэл, матрицыг авч үзье ... Энэ матрицад сүүлийн гурван эгнээ пропорциональ байгаа тул тэдгээрийн зөвхөн нэгийг нь үлдээхэд хангалттай. .

3) Хэрэв хувиргалт хийх явцад матрицад тэг мөр гарч ирсэн бол энэ нь мөн адил байна устгах... Би зурахгүй, мэдээжийн хэрэг, тэг шугам нь ямар шугам юм зөвхөн тэг.

4) Матрицын мөр байж болно үржүүлэх (хуваах)ямар ч тоогоор, тэг биш... Жишээлбэл, матрицыг авч үзье. Энд эхний мөрийг -3-аар хувааж, хоёр дахь мөрийг 2-оор үржүүлэхийг зөвлөж байна. ... Энэ үйлдэл нь матрицын цаашдын хувиргалтыг хялбарчлах тул маш хэрэгтэй.

5) Энэ өөрчлөлт нь хамгийн хэцүү, гэхдээ үнэндээ тийм ч төвөгтэй зүйл байхгүй. Матрицын эгнээнд та чадна тоогоор үржүүлсэн өөр мөр нэмнэтэг биш. Практик жишээнээс манай матрицыг авч үзье:. Эхлээд би хөрвүүлэлтийг нарийвчлан тайлбарлах болно. Эхний мөрийг -2-оор үржүүлнэ: , ба хоёр дахь мөрөнд эхний мөрийг -2-оор үржүүлнэ: ... Одоо эхний мөрийг "буцаж" -2: гэж хувааж болно. Таны харж байгаагаар ADD гэсэн мөр ЛЭЭ – өөрчлөгдөөгүй. Үргэлж байдагАЛЬ НЭМЭГДҮҮЛЭХИЙГ мөрийг өөрчилнө UT.

Практикт мэдээжийн хэрэг тэд тийм ч дэлгэрэнгүй тайлбарладаггүй, гэхдээ богино бичдэг: Дахин нэг удаа: хоёр дахь мөрөнд -2-оор үржүүлсэн эхний мөрийг нэмсэн... Мөрийг ихэвчлэн амаар эсвэл ноорог дээр үржүүлдэг бол тооцооллын сэтгэцийн явц нь дараах байдалтай байна.

“Би матрицыг дахин бичиж, эхний мөрийг дахин бичнэ: »

“Эхний багана. Доод талд нь би тэг авах хэрэгтэй. Тиймээс би дээд талд байгаа нэгжийг –2:-оор үржүүлж, хоёр дахь мөрөнд эхнийхийг нэмнэ: 2 + (–2) = 0. Үр дүнг хоёр дахь мөрөнд бичнэ: »

"Одоо хоёр дахь баганад. Дээрх -1-ийг -2-оор үржүүлнэ:. Би эхний мөрийг хоёр дахь мөрөнд нэмнэ: 1 + 2 = 3. Үр дүнг хоёр дахь мөрөнд бичнэ: »

"Ба гурав дахь багана. -5-аас дээшийг -2-оор үржүүлнэ:. Би хоёр дахь мөрөнд эхнийхийг нэмнэ: –7 + 10 = 3. Би үр дүнг хоёр дахь мөрөнд бичнэ: »

Энэ жишээг сайтар ойлгож, тооцооллын дараалсан алгоритмыг ойлгоорой, хэрэв та үүнийг ойлгож байгаа бол Гауссын арга бараг "халаасанд" байна. Гэхдээ мэдээж энэ өөрчлөлтийн тал дээр ажиллана.

Элементар хувиргалт нь тэгшитгэлийн системийн шийдийг өөрчилдөггүй

! АНХААР: заль мэх гэж үздэг ашиглаж чадахгүй, хэрэв танд матрицуудыг "өөрсдөө" өгдөг даалгавар санал болгосон бол. Жишээлбэл, "сонгодог" матрицтай үйлдлүүдЯмар ч тохиолдолд та матриц доторх ямар нэг зүйлийг дахин цэгцлэх ёсгүй! Систем рүүгээ буцаж орцгооё. Тэр бараг хэсэг хэсгээрээ хуваагдсан.

Бид системийн өргөтгөсөн матрицыг бичиж, энгийн хувиргалтыг ашиглан үүнийг багасгадаг шаталсан харах:

(1) Хоёр дахь мөрөнд эхний мөрийг -2-оор үржүүлсэн. Дахин хэлэхэд: яагаад бид эхний мөрийг -2-оор үржүүлдэг вэ? Доод талд нь тэг авахын тулд хоёр дахь мөрөнд нэг хувьсагчаас сална гэсэн үг.

(2) Хоёр дахь эгнээ 3-аар хуваагдана.

Анхан шатны өөрчлөлтүүдийн зорилго – матрицыг шаталсан хэлбэрт оруулах: ... Даалгаврын загварт "шат" -ыг энгийн харандаагаар тэмдэглэж, "алхмууд" дээр байрлах тоонуудыг дугуйлсан байна. "Алхам төрөл" гэсэн нэр томъёо нь өөрөө онолын шинж чанартай биш бөгөөд шинжлэх ухаан, боловсролын ном зохиолд үүнийг ихэвчлэн нэрлэдэг трапец хэлбэрийн харагдацэсвэл гурвалжин үзэмж.

Энгийн өөрчлөлтүүдийн үр дүнд бид олж авсан тэнцүүАнхны тэгшитгэлийн систем:

Одоо системийг эсрэг чиглэлд "өнхрөх" хэрэгтэй - доороос дээш, энэ процессыг дууддаг хоцрогдсон Гауссын арга.

Доод тэгшитгэлд бид аль хэдийн бэлэн үр дүнтэй байна:.

Системийн эхний тэгшитгэлийг авч үзээд "тоглоом" -ын аль хэдийн мэдэгдэж байсан утгыг түүнд орлъё.

Гауссын арга нь гурван үл мэдэгдэх гурван шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдэхийг шаарддаг хамгийн нийтлэг нөхцөл байдлыг авч үзье.

Жишээ 1

Тэгшитгэлийн системийг Гауссын аргаар шийд.

Системийн өргөтгөсөн матрицыг бичье.

Одоо би шийдлийн явцад хүрэх үр дүнг нэн даруй зурах болно. Дахин хэлэхэд бидний зорилго бол энгийн хувиргалтуудыг ашиглан матрицыг шаталсан хэлбэрт оруулах явдал юм. Үйл ажиллагааг хаанаас эхлэх вэ?

Эхлээд бид зүүн дээд талын дугаарыг харна: Энэ нь бараг үргэлж энд байх ёстой нэгж... Ерөнхийдөө, -1 нь зүгээр байх болно (заримдаа бусад тоонууд), гэхдээ ямар нэгэн байдлаар энэ нэгжийг ихэвчлэн тэнд байрлуулсан байдаг. Хэрхэн нэгжийг зохион байгуулах вэ? Бид эхний баганыг харж байна - бидэнд бэлэн нэгж байна! Эхний хувиргалт: эхний болон гурав дахь мөрийг солино:

Одоо эхний мөр нь шийдлийн төгсгөл хүртэл өөрчлөгдөөгүй хэвээр байх болно.... Одоо зүгээр.

Зүүн дээд хэсэгт байрлах нэгж нь зохион байгуулалттай. Одоо та эдгээр газруудад тэг авах хэрэгтэй:

Бид "хэцүү" өөрчлөлтийн тусламжтайгаар тэгүүдийг авдаг. Эхлээд бид хоёр дахь мөрөнд (2, –1, 3, 13) хандана. Эхний байрлалд тэг авахын тулд юу хийх ёстой вэ? Шаардлагатай хоёр дахь мөрөнд эхний мөрийг -2-оор үржүүлнэ... Оюун санааны хувьд эсвэл ноорог дээр эхний мөрийг –2-оор үржүүлнэ: (–2, –4, 2, –18). Мөн бид байнга (дахин оюун ухаанаараа эсвэл ноорог дээр) нэмэлт, өөрчлөлт оруулдаг. Хоёр дахь мөрөнд бид аль хэдийн -2-оор үржүүлсэн эхний мөрийг нэмнэ:

Бид үр дүнг хоёр дахь мөрөнд бичнэ:

Бид гурав дахь мөрийг ижил аргаар (3, 2, –5, –1) харьцдаг. Эхний байрлалд тэг авахын тулд танд хэрэгтэй Гурав дахь мөрөнд эхний мөрийг -3-аар үржүүлнэ... Оюун санааны хувьд эсвэл ноорог дээр эхний мөрийг –3-аар үржүүлнэ: (–3, –6, 3, –27). БА Гурав дахь мөрөнд эхний мөрийг -3-аар үржүүлнэ:

Бид үр дүнг гурав дахь мөрөнд бичнэ.

Практикт эдгээр үйлдлүүдийг ихэвчлэн амаар хийж, нэг алхамаар тэмдэглэдэг.

Та бүгдийг нэг дор, зэрэг тоолох шаардлагагүй... Тооцооллын дараалал, үр дүнг "бичих" тууштайба ихэвчлэн ийм байдаг: эхлээд бид эхний мөрийг дахин бичиж, зальтай зүйл дээр өөрсдийгөө хөөргөдөг - ДАРААЛТ болон АНХААРАЛТАЙ:
Дээр дурдсан тооцооллын сэтгэцийн явцыг би аль хэдийн судалж үзсэн.

Энэ жишээнд үүнийг хийхэд хялбар, хоёр дахь мөрийг -5-т хуваана (учир нь бүх тоо 5-д үлдэгдэлгүйгээр хуваагддаг). Үүний зэрэгцээ бид гурав дахь мөрийг -2-т хуваана, учир нь тоо бага байх тусам шийдэл нь хялбар болно.

Анхан шатны өөрчлөлтүүдийн эцсийн шатанд та эндээс өөр тэг авах хэрэгтэй.

Үүний төлөө Гурав дахь мөрөнд хоёр дахь мөрийг -2-оор үржүүлнэ:
Энэ үйлдлийг өөрөө задлан шинжилж үзээрэй - хоёр дахь мөрийг оюун ухаанаар -2-оор үржүүлж, нэмнэ үү.

Хамгийн сүүлд хийсэн үйлдэл бол үр дүнгийн үс засалт бөгөөд гурав дахь мөрийг 3-аар хуваана.

Энгийн хувиргалтуудын үр дүнд шугаман тэгшитгэлийн ижил төстэй анхны системийг олж авав. Сайхан байна.

Гауссын аргын урвуу тал одоо хэрэгжиж байна. Тэгшитгэлүүд нь доороос дээш "тайлдаг".

Гурав дахь тэгшитгэлд бид аль хэдийн бэлэн үр дүнд хүрсэн байна.

Бид хоёр дахь тэгшитгэлийг авч үзье:. "z"-ийн утгыг аль хэдийн мэддэг болсон тул:

Эцэст нь эхний тэгшитгэл:. "Y" ба "z" нь мэдэгдэж байгаа, асуудал бага байна:

Хариулах:

Олон удаа дурьдсанчлан тэгшитгэлийн аливаа системийн хувьд олсон шийдлийг шалгах боломжтой бөгөөд шаардлагатай байдаг нь аз болоход энэ нь хялбар бөгөөд хурдан юм.

Жишээ 2

Энэ бол өөрөө хийх дээж, дуусгах загвар, сургалтын төгсгөлд байгаа хариулт юм.

Таны шийдвэрийн курсМиний шийдвэртэй таарахгүй байж магадгүй, бөгөөд энэ нь Гауссын аргын онцлог юм... Гэхдээ хариултууд нь адилхан байх ёстой!

Жишээ 3

Шугаман тэгшитгэлийн системийг Гауссын аргаар шийд

Бид зүүн дээд талын "алхам" -ыг хардаг. Бид тэнд нэгжтэй байх ёстой. Асуудал нь эхний баганад нэг ч хүн байхгүй тул мөрүүдийг дахин байрлуулах нь юу ч шийдэхгүй. Ийм тохиолдолд нэгжийг энгийн өөрчлөлтийг ашиглан зохион байгуулах шаардлагатай. Үүнийг ихэвчлэн хэд хэдэн аргаар хийж болно. Би үүнийг хийсэн: (1) Эхний мөрөнд хоёр дахь мөрийг -1-ээр үржүүлнэ... Өөрөөр хэлбэл, бид оюун ухаанаараа хоёр дахь мөрийг –1-ээр үржүүлж, эхний болон хоёр дахь мөрийг нэмсэн бол хоёр дахь мөр өөрчлөгдөөгүй.

Одоо зүүн дээд талд "хасах нэг" байгаа нь бидний хувьд зүгээр юм. +1 авахыг хүссэн хэн бүхэн биеийн нэмэлт хөдөлгөөнийг хийж болно: эхний мөрийг -1-ээр үржүүлнэ (тэмдэггээ өөрчлөх).

(2) 5-аар үржүүлсэн эхний мөрийг хоёр дахь мөрөнд, 3-аар үржүүлсэн эхний мөрийг гурав дахь мөрөнд нэмж оруулав.

(3) Эхний мөрийг -1-ээр үржүүлсэн, зарчмын хувьд энэ нь гоо сайхны төлөө юм. Бид мөн гурав дахь эгнээний тэмдгийг өөрчилж, хоёрдугаарт шилжүүлсэн тул хоёр дахь "алхамдаа шаардлагатай нэгжтэй болсон.

(4) 2-оор үржүүлсэн хоёр дахь эгнээ гурав дахь эгнээнд нэмэгдэв.

(5) Гурав дахь мөрийг 3-т хуваасан.

Тооцооллын алдааг илтгэдэг муу тэмдэг (бага тохиолдолд - үсгийн алдаа) нь "муу" доод шугам юм. Өөрөөр хэлбэл, хэрэв бид доод хэсэгт ийм зүйл авсан бол, үүний дагуу, , дараа нь өндөр магадлалтайгаар анхан шатны өөрчлөлтийн явцад алдаа гарсан гэж маргаж болно.

Бид урвуу цохилтыг цэнэглэдэг, жишээнүүдийн дизайнд систем өөрөө ихэвчлэн дахин бичигддэггүй бөгөөд тэгшитгэлийг "өгөгдсөн матрицаас шууд авдаг." Урвуу хөдөлгөөн нь доороос дээш ажиллана гэдгийг би танд сануулж байна. Тийм ээ, энд бэлэг гарч ирэв:

Хариулах: .

Жишээ 4

Шугаман тэгшитгэлийн системийг Гауссын аргаар шийд

Энэ бол бие даасан шийдлийн жишээ бөгөөд энэ нь арай илүү төвөгтэй юм. Хэн нэгэн андуурвал зүгээр. Сургалтын төгсгөлд иж бүрэн шийдэл, загвар дизайн. Таны шийдэл минийхээс өөр байж магадгүй.

Сүүлийн хэсэгт бид Гауссын алгоритмын зарим шинж чанарыг авч үзэх болно. Эхний онцлог нь заримдаа системийн тэгшитгэлд зарим хувьсагч дутуу байдаг, жишээлбэл: Өргөтгөсөн системийн матрицыг хэрхэн зөв бичих вэ? Энэ мөчийн талаар би аль хэдийн хичээл дээр ярьсан. Крамерын дүрэм. Матрицын арга... Системийн өргөтгөсөн матрицад бид алга болсон хувьсагчдын оронд тэгүүдийг тавьдаг. Дашрамд хэлэхэд, энэ нь нэлээд хялбар жишээ юм, учир нь эхний баганад аль хэдийн нэг тэг байгаа бөгөөд цөөн тооны энгийн хувиргалт хийх болно.

Хоёр дахь онцлог нь дараах байдалтай байна. Бүх авч үзсэн жишээн дээр бид "алхам" дээр -1 эсвэл +1-ийн аль нэгийг тавьсан. Өөр тоонууд байж болох уу? Зарим тохиолдолд тэд чадна. Системийг авч үзье: .

Энд, зүүн дээд "алхам" дээр бид хоёр байна. Гэхдээ эхний баганад байгаа бүх тоо 2-т үлдэгдэлгүйгээр хуваагддаг болохыг бид анзаарч байна - үлдсэн хоёр ба зургаа. Мөн зүүн дээд талд байгаа deuce бидэнд тохирох болно! Эхний алхамд та дараах хувиргалтыг хийх хэрэгтэй: эхний мөрийг -1-ээр үржүүлсэн хоёр дахь мөрөнд нэмнэ; Гурав дахь мөрөнд эхний мөрийг -3-аар үржүүлнэ. Энэ нь эхний баганад хүссэн тэгүүдийг өгөх болно.

Эсвэл өөр нөхцөлт жишээ: ... 12 (тэг авах шаардлагатай газар) нь үлдэгдэлгүйгээр 3-т хуваагддаг тул хоёр дахь "алхам" дээрх гурав нь бидэнд тохирно. Дараахь хувиргалтыг хийх шаардлагатай: гурав дахь мөрөнд хоёр дахь мөрийг -4-ээр үржүүлж, үр дүнд нь бидэнд хэрэгтэй тэгийг авах болно.

Гауссын арга нь бүх нийтийнх боловч нэг онцлог шинж чанартай байдаг. Та системийг өөр аргуудаар (Крамерын арга, матрицын арга) хэрхэн шийдвэрлэх талаар анх удаа итгэлтэйгээр сурах боломжтой - маш хатуу алгоритм байдаг. Гэхдээ Гауссын аргад итгэлтэй байхын тулд та "гараа дүүргэж", дор хаяж 5-10 арван системийг шийдэх хэрэгтэй. Тиймээс, эхэндээ төөрөгдөл, тооцоололд алдаа гарах боломжтой бөгөөд үүнд ер бусын, эмгэнэлтэй зүйл байхгүй.

Цонхны гадна бороотой намрын цаг агаар ... Тиймээс хүн бүрт бие даасан шийдлийн илүү төвөгтэй жишээ:

Жишээ 5

Дөрвөн үл мэдэгдэх 4 шугаман тэгшитгэлийн системийг Гауссын аргаар шийд.

Практикт ийм даалгавар тийм ч ховор биш юм. Энэ хуудсыг сайтар судалж үзсэн цайны аяга хүртэл ийм системийг шийдэх алгоритм нь зөн совингийн хувьд ойлгомжтой гэж би бодож байна. Үндсэндээ бүх зүйл ижил байна - зүгээр л илүү олон үйлдэл байна.

Хичээл дээр системд шийдэл байхгүй (зөрчил) эсвэл хязгааргүй олон шийдэлтэй тохиолдлуудыг авч үзнэ. Тохиромжгүй систем ба системүүд нийтлэг шийдэлтэй... Гауссын аргын авч үзсэн алгоритмыг мөн тэнд засах боломжтой.

Танд амжилт хүсье!

Шийдэл ба хариултууд:

Жишээ 2: Шийдэл : Системийн өргөтгөсөн матрицыг бичиж, энгийн хувиргалтуудыг ашиглан алхам алхмаар хэлбэрт оруулъя.
Гүйцэтгэсэн үндсэн өөрчлөлтүүд: (1) Хоёр дахь мөрөнд эхний мөрийг -2-оор үржүүлсэн. Гурав дахь мөрөнд эхний мөрийг -1-ээр үржүүлсэн. Анхаар! Энд гурав дахь мөрөөс эхнийхийг хасах сонирхолтой байж магадгүй, би хасахыг цээрлэдэг - алдаа гарах эрсдэл эрс нэмэгддэг. Зүгээр л нэмээрэй! (2) Хоёр дахь мөрийн тэмдгийг өөрчилсөн (-1-ээр үржүүлсэн). Хоёр, гурав дахь мөрүүдийг сольсон. тэмдэглэл "Алхам" дээр бид зөвхөн нэг төдийгүй -1-д сэтгэл хангалуун байдаг бөгөөд энэ нь илүү тохиромжтой юм. (3) Гурав дахь эгнээнд хоёр дахь эгнээ нэмж, 5-аар үржүүлэв. (4) Хоёр дахь мөрийн тэмдгийг өөрчилсөн (-1-ээр үржүүлсэн). Гурав дахь мөрийг 14-т хуваасан.

Урвуу:

Хариулах : .

Жишээ 4: Шийдэл : Системийн өргөтгөсөн матрицыг бичиж, энгийн хувиргалтуудыг ашиглан алхам алхмаар хэлбэрт оруулъя.

Гүйцэтгэсэн хөрвүүлэлтүүд: (1) Хоёр дахь нь эхний мөрөнд нэмэгдсэн. Тиймээс хүссэн нэгжийг зүүн дээд "шат" дээр зохион байгуулдаг. (2) 7-оор үржүүлсэн эхний мөрийг хоёр дахь мөрөнд, 6-аар үржүүлсэн эхний мөрийг гурав дахь мөрөнд нэмж оруулав.

Хоёр дахь алхам нь улам дордож байна , "Нэр дэвшигчид" нь 17 ба 23 тоо бөгөөд бидэнд нэг эсвэл -1 хэрэгтэй. Өөрчлөлт (3) ба (4) нь хүссэн нэгжийг авахад чиглэгдэх болно (3) Гурав дахь мөрөнд хоёр дахь мөрийг нэмж, -1-ээр үржүүлсэн. (4) Гурав дахь мөрийг хоёр дахь мөрөнд нэмж, -3-аар үржүүлсэн. Хоёрдахь шатанд шаардлагатай зүйлийг хүлээн авна . (5) Гурав дахь мөрөнд хоёр дахь мөрийг нэмж, 6-аар үржүүлсэн. (6) Хоёр дахь мөрийг -1-ээр үржүүлж, гурав дахь мөрийг -83-аар хуваасан.

Урвуу:

Хариулах :

Жишээ 5: Шийдэл : Системийн матрицыг бичиж, энгийн хувиргалтуудыг ашиглан алхам алхмаар хэлбэрт оруулъя.

Гүйцэтгэсэн хөрвүүлэлтүүд: (1) Эхний болон хоёр дахь мөрүүд урвуу байна. (2) -2-оор үржүүлсэн эхний мөрийг хоёр дахь мөрөнд нэмэв. Гурав дахь мөрөнд -2-оор үржүүлсэн эхний мөрийг нэмэв. Дөрөв дэх мөрөнд -3-аар үржүүлсэн эхний мөрийг нэмэв. (3) Гурав дахь мөрөнд хоёр дахь мөрийг нэмж, 4-өөр үржүүлсэн. Хоёр дахь мөрийг дөрөв дэх мөрөнд нэмж, -1-ээр үржүүлсэн. (4) Хоёр дахь мөрийн тэмдгийг өөрчилсөн. Дөрөв дэх мөрийг 3-аар хувааж, гурав дахь мөрийн оронд байрлуулсан. (5) -5-аар үржүүлсэн гурав дахь мөрийг дөрөв дэх мөрөнд нэмэв.

Урвуу:

Хариулах :

Энд та шугаман тэгшитгэлийн системийг үнэ төлбөргүй шийдэж болно Гауссын арга онлайннарийн шийдэл бүхий нийлмэл тоогоор том хэмжээтэй. Манай тооны машин нь хязгааргүй тооны шийдтэй Гауссын аргаар шугаман тэгшитгэлийн ердийн тодорхой ба тодорхойгүй системийг онлайнаар шийдэх боломжтой. Энэ тохиолдолд та хариултдаа зарим хувьсагчийн хамаарлыг бусдаас үнэ төлбөргүй хүлээн авах болно. Та мөн Гауссын шийдлийг ашиглан тэгшитгэлийн системийг онлайнаар шалгаж болно.

Матрицын хэмжээ: 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 29 30 31 32 33 34 4 4 3 4 4 3 3 4 4 3 4 3 4 3 4 3 4 4 3 4 3 4 4 3 4 3 4 4 3 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 X 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 32 33 29 30 31 32 33 30 44 31 32 33 34 44 36 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101

Аргын тухай

Шугаман тэгшитгэлийн системийг Гауссын аргаар онлайнаар шийдвэрлэхдээ дараах алхмуудыг гүйцэтгэнэ.

1. Бид өргөтгөсөн матрицыг бичнэ.
2. Үнэн хэрэгтээ шийдэл нь Гауссын аргын урагш ба урвуу алхамд хуваагддаг. Гауссын аргын шууд дамжлагыг матрицыг шаталсан хэлбэр болгон бууруулах гэж нэрлэдэг. Гауссын аргын урвуу аргыг матрицыг тусгай шаталсан хэлбэр болгон бууруулах гэж нэрлэдэг. Гэвч бодит байдал дээр тухайн элементийн дээр болон доор байгаа зүйлийг нэн даруй тэглэх нь илүү тохиромжтой байдаг. Манай тооны машин яг ийм аргыг ашигладаг.
3. Гауссын аргаар шийдвэрлэхдээ баруун тал нь тэгээс өөр талтай (чөлөөт нэр томъёоны багана) дор хаяж нэг тэг мөр бүхий матрицад байгаа нь системийн үл нийцэх байдлыг харуулж байгааг анхаарах нь чухал юм. Энэ тохиолдолд шугаман системийн шийдэл байхгүй.

Гаусс онлайнаар хэрхэн ажилладагийг хамгийн сайн ойлгохын тулд дурын жишээг оруулаад "өндөр нарийвчилсан шийдэл" -ийг сонгоод шийдлийг онлайнаар харна уу.

Гауссын аргын тодорхойлолт ба тайлбар

Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх Гауссын хувиргах арга (тэгшитгэл эсвэл матрицаас үл мэдэгдэх хувьсагчдыг дараалан арилгах арга гэж нэрлэдэг) нь алгебрийн тэгшитгэлийн системийг (SLAE) шийдвэрлэх сонгодог арга юм. Мөн энэ сонгодог аргыг урвуу матрицыг олж авах, матрицын зэрэглэлийг тодорхойлох зэрэг асуудлыг шийдвэрлэхэд ашигладаг.

Гауссын аргыг ашиглан хувиргах нь шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системд жижиг (элементар) дараалсан өөрчлөлтүүдийг хийхээс бүрдэх бөгөөд үүнээс хувьсагчдыг дээрээс доош нь хасахад хүргэдэг бөгөөд энэ нь шинэ гурвалжин тэгшитгэлийн системийг бий болгоход хүргэдэг. анхных нь.

Тодорхойлолт 1

Бүх процесс нь дээрээс доошоо явагддаг тул уусмалын энэ хэсгийг Гауссын уусмалын шууд явц гэж нэрлэдэг.

Анхны тэгшитгэлийн системийг гурвалжин болгон бууруулсны дараа системийн бүх хувьсагчдыг доороос дээш олно (өөрөөр хэлбэл эхний олдсон хувьсагч нь систем эсвэл матрицын хамгийн сүүлийн мөрөнд яг байрладаг). Уусмалын энэ хэсгийг мөн Гауссын урвуу гэж нэрлэдэг. Түүний алгоритм нь дараах байдалтай байна: эхлээд тэгшитгэлийн систем эсвэл матрицын доод хэсэгт хамгийн ойр байгаа хувьсагчдыг тооцоолж, дараа нь олж авсан утгуудыг дээр нь орлуулж, өөр нэг хувьсагчийг олох гэх мэт.

Гауссын аргын алгоритмын тайлбар

Гауссын аргаар тэгшитгэлийн системийн ерөнхий шийдлийн үйлдлүүдийн дараалал нь SLAE дээр суурилсан матриц руу урагшлах ба урвуу хөдөлгөөнийг ээлжлэн хэрэглэхээс бүрдэнэ. Анхны тэгшитгэлийн системийг дараах хэлбэртэй болго.

$ \ эхлэл (тохиолдлууд) a_ (11) \ cdot x_1 + ... + a_ (1n) \ cdot x_n = b_1 \\ ... \\ a_ (m1) \ cdot x_1 + a_ (mn) \ cdot x_n = b_m \ төгсгөл (тохиолдлууд) $

SLAE-ийг Гауссын аргаар шийдэхийн тулд анхны тэгшитгэлийн системийг матриц хэлбэрээр бичих шаардлагатай.

$ A = \ эхлэл (pmatrix) a_ (11) &… & a_ (1n) \\ \ vdots &… & \ vdots \\ a_ (m1) &… & a_ (mn) \ төгсгөл (pmatrix) $, $ b = \ эхлэл (pmatrix) b_1 \\ \ vdots \\ b_m \ төгсгөл (pmatrix) $

$ A $ матрицыг үндсэн матриц гэж нэрлэх ба дарааллаар бичигдсэн хувьсагчдын коэффициентийг илэрхийлдэг ба $ b $ -ийг түүний чөлөөт нөхцлийн багана гэж нэрлэдэг. Чөлөөт нөхцлүүдийн багана бүхий баараар бичсэн $ A $ матрицыг өргөтгөсөн матриц гэнэ.

$ A = \ эхлэл (массив) (ccc | c) a_ (11) &… & a_ (1n) & b_1 \\ \ vdots &… & \ vdots & ... \\ a_ (m1) &… & a_ ( mn) & b_m \ төгсгөл (массив) $

Одоо тэгшитгэлийн систем дээр (эсвэл матриц дээр, илүү тохиромжтой тул) үндсэн хувиргалтыг ашиглан дараах хэлбэрт оруулах шаардлагатай байна.

$ \ эхлэл (тохиолдлууд) α_ (1j_ (1)) \ cdot x_ (j_ (1)) + α_ (1j_ (2)) \ cdot x_ (j_ (2)) ... + α_ (1j_ (r)) \ cdot x_ (j_ (r)) + ... α_ (1j_ (n)) \ cdot x_ (j_ (n)) = β_1 \\ α_ (2j_ (2)) \ cdot x_ (j_ (2)). .. + α_ (2j_ (r)) \ cdot x_ (j_ (r)) + ... α_ (2j_ (n)) \ cdot x_ (j_ (n)) = β_2 \\ ... \\ α_ ( rj_ (r)) \ cdot x_ (j_ (r)) + ... α_ (rj_ (n)) \ cdot x_ (j_ (n)) = β_r \\ 0 = β_ (r + 1) \\… \ \ 0 = β_m \ төгсгөл (тохиолдлууд) $ (1)

(1)-ийн хувирсан тэгшитгэлийн системийн коэффициентүүдээс олж авсан матрицыг шаталсан гэж нэрлэдэг бөгөөд шаталсан матрицууд ихэвчлэн иймэрхүү харагддаг.

$ A = \ эхлэл (массив) (ccc | c) a_ (11) & a_ (12) & a_ (13) & b_1 \\ 0 & a_ (22) & a_ (23) & b_2 \\ 0 & 0 & a_ (33) & b_3 \ төгсгөл (массив) $

Эдгээр матрицууд нь дараах шинж чанаруудаар тодорхойлогддог.

1. Түүний бүх тэг мөрүүд нь тэгээс өөр мөрүүдийн дараа байна.
2. Хэрэв $ k $ дугаартай матрицын зарим мөр тэгээс өөр байвал ижил матрицын өмнөх мөр нь $ k $ дугаартай энэ мөрөөс цөөн тэг агуулсан байна.

Шаталсан матрицыг олж авсны дараа олж авсан хувьсагчдыг үлдсэн тэгшитгэлд (эцсээс эхлэн) орлуулж, хувьсагчдын үлдсэн утгыг авах шаардлагатай.

Гауссын аргыг ашиглах үндсэн дүрмүүд ба зөвшөөрөгдсөн хувиргалтууд

Матриц эсвэл тэгшитгэлийн системийг энэ аргаар хялбарчлахдаа зөвхөн энгийн хувиргалтыг ашиглах ёстой.

Ийм хувиргалтыг матриц эсвэл тэгшитгэлийн системд утгыг нь өөрчлөхгүйгээр хэрэглэж болох үйлдлүүд гэж үздэг.

• олон мөрийг газар дахин байрлуулах,
• матрицын нэг эгнээнээс нөгөө мөрийг нэмэх, хасах,
• мөрийг тэгтэй тэнцүү биш тогтмол тоогоор үржүүлэх буюу хуваах,
• системийг тооцоолох, хялбаршуулах явцад олж авсан зөвхөн тэгээс бүрдэх мөрийг устгах ёстой.
• Та мөн шаардлагагүй пропорциональ шугамуудыг арилгах хэрэгтэй бөгөөд системд илүү тохиромжтой, тохиромжтой коэффициент бүхий цорын ганцыг сонгох хэрэгтэй.

Бүх энгийн өөрчлөлтүүд буцаах боломжтой.

Энгийн Гауссын хувиргалтын аргыг ашиглан шугаман тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд үүсэх гурван үндсэн тохиолдлын шинжилгээ.

Системийг шийдвэрлэхийн тулд Гауссын аргыг ашиглахад гурван тохиолдол гардаг.

1. Систем нь зөрчилтэй үед, өөрөөр хэлбэл ямар ч шийдэл байдаггүй
2. Тэгшитгэлийн систем нь цорын ганц шийдэлтэй бөгөөд матриц дахь тэгээс өөр мөр, баганын тоо бие биетэйгээ тэнцүү байна.
3. Систем нь тодорхой тооны эсвэл олон боломжит шийдлүүдтэй бөгөөд доторх мөрийн тоо нь баганын тооноос бага байна.

Тогтворгүй тогтолцоотой шийдвэрийн үр дүн

Энэ сонголтын хувьд матрицын тэгшитгэлийг Гауссын аргаар шийдвэрлэхдээ тэгш байдлыг хангах боломжгүй шугамыг олж авах нь ердийн зүйл юм. Тиймээс, ядаж нэг буруу тэгшитгэл тохиолдвол үүссэн болон эх систем нь бусад тэгшитгэлээс үл хамааран шийдэлгүй болно. Тогтворгүй матрицын жишээ:

$ \ эхлэл (массив) (ccc | c) 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ төгсгөл (массив) $

Сүүлийн мөрөнд сэтгэл хангалуун бус тэгш байдал гарч ирэв: $ 0 \ cdot x_ (31) + 0 \ cdot x_ (32) + 0 \ cdot x_ (33) = 1 $.

Зөвхөн нэг шийдэлтэй тэгшитгэлийн систем

Шаталсан матриц болгон бууруулж, тэгтэй мөрүүдийг хассаны дараа эдгээр системүүд үндсэн матрицад ижил тооны мөр, баганатай байна. Ийм системийн хамгийн энгийн жишээ энд байна.

$ \ эхлэл (тохиолдол) x_1 - x_2 = -5 \\ 2 \ cdot x_1 + x_2 = -7 \ төгсгөл (тохиолдол) $

Үүнийг матриц хэлбэрээр бичье.

$ \ эхлэл (массив) (cc | c) 1 & -1 & -5 \\ 2 & 1 & -7 \ төгсгөл (массив) $

Хоёр дахь эгнээний эхний нүдийг тэг болгохын тулд дээд мөрийг $ -2 $-оор үржүүлж, матрицын доод эгнээнээс хасаад дээд мөрийг анхны хэлбэрээр нь үлдээгээрэй, үр дүнд нь бид дараах байдалтай байна.

$ \ эхлэл (массив) (cc | c) 1 & -1 & -5 \\ 0 & 3 & 10 \ төгсгөл (массив) $

Энэ жишээг систем хэлбэрээр бичиж болно:

$ \ эхлэл (тохиолдол) x_1 - x_2 = -5 \\ 3 \ cdot x_2 = 10 \ төгсгөл (тохиолдол) $

Дараах $ x $ утга нь доод тэгшитгэлээс гарна: $ x_2 = 3 \ frac (1) (3) $. Энэ утгыг дээд тэгшитгэлд орлуулбал: $ x_1 - 3 \ frac (1) (3) $, бид $ x_1 = 1 \ frac (2) (3) $ авна.

Олон боломжит шийдэл бүхий систем

Энэ систем нь баганын тооноос цөөн тооны чухал мөрөөр тодорхойлогддог (үндсэн матрицын мөрүүдийг харгалзан үзнэ).

Ийм системийн хувьсагчдыг үндсэн ба үнэгүй гэж хоёр төрөлд хуваадаг. Ийм системийг хувиргахдаа түүнд агуулагдах үндсэн хувьсагчдыг "=" тэмдэг хүртэл зүүн хэсэгт үлдээж, үлдсэн хувьсагчдыг тэгш байдлын баруун талд шилжүүлэх ёстой.

Ийм систем нь зөвхөн ерөнхий шийдэлтэй байдаг.

Дараахь тэгшитгэлийн системд дүн шинжилгээ хийцгээе.

$ \ эхлэл (тохиолдлууд) 2y_1 + 3y_2 + x_4 = 1 \\ 5y_3 - 4y_4 = 1 \ төгсгөл (тохиолдлууд) $

Үүнийг матриц хэлбэрээр бичье.

$ \ эхлэл (массив) (cccc | c) 2 & 3 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 4 & 1 \\ \ төгсгөл (массив) $

Бидний даалгавар бол системийн ерөнхий шийдлийг олох явдал юм. Энэ матрицын хувьд үндсэн хувьсагчууд нь $ y_1 $ ба $ y_3 $ байх болно ($ y_1 $ хувьд - эхний байранд байгаа тул $ y_3 $ - тэгийн дараа байрлана).

Үндсэн хувьсагчийн хувьд бид яг тэгтэй тэнцүү биш мөрний эхнийхүүдийг сонгоно.

Үлдсэн хувьсагчдыг үнэгүй гэж нэрлэдэг бөгөөд тэдгээрийн тусламжтайгаар бид үндсэн хувьсагчдыг илэрхийлэх хэрэгтэй.

Урвуу гэж нэрлэгддэг хөдөлгөөнийг ашиглан бид системийг доороос дээш задлан шинжилдэг бөгөөд үүний тулд эхлээд системийн доод мөрөөс $ y_3 $ илэрхийлнэ.

$ 5y_3 - 4y_4 = 1 $

$ 5y_3 = 4y_4 + 1 $

$ y_3 = \ frac (4/5) y_4 + \ frac (1) (5) $.

Одоо системийн дээд тэгшитгэлд $ 2y_1 + 3y_2 + y_4 = 1 $ гэж илэрхийлсэн $ y_3 $ орлуулна: $ 2y_1 + 3y_2 - (\ frac (4) (5) y_4 + \ frac (1) (5)) + y_4 = 1 $

Бид $ y_1 $-г $ y_2 $ ба $ y_4 $ чөлөөт хувьсагчаар илэрхийлдэг:

$ 2y_1 + 3y_2 - \ frac (4) (5) y_4 - \ frac (1) (5) + y_4 = 1 $

$ 2y_1 = 1 - 3y_2 + \ frac (4) (5) y_4 + \ frac (1) (5) - y_4 $

$ 2y_1 = -3y_2 - \ frac (1) (5) y_4 + \ frac (6) (5) $

$ y_1 = -1.5x_2 - 0.1y_4 + 0.6 $

Шийдэл бэлэн боллоо.

Жишээ 1

Слогийг Гауссын аргаар шийд. Жишээ. 3-аас 3 матрицаар өгөгдсөн шугаман тэгшитгэлийн системийг Гауссын аргаар шийдвэрлэх жишээ

$ \ эхлэл (тохиолдол) 4x_1 + 2x_2 - x_3 = 1 \\ 5x_1 + 3x_2 - 2x ^ 3 = 2 \\ 3x_1 + 2x_2 - 3x_3 = 0 \ төгсгөл (тохиолдол) $

Системээ өргөтгөсөн матриц хэлбэрээр бичье.

$ \ эхлэл (массив) (ccc | c) 4 & 2 & -1 & 1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0 \\ \ төгсгөл (массив) $

Одоо тав тухтай, практик байхын тулд та матрицыг өөрчлөх хэрэгтэй бөгөөд ингэснээр $ 1 $ нь туйлын баганын дээд буланд байх болно.

Үүнийг хийхийн тулд дундаас нь $ -1 $ үржүүлсэн мөрийг 1-р мөрөнд нэмж, дунд мөрийг байгаагаар нь бичнэ.

$ \ эхлэл (массив) (ccc | c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0 \\ \ төгсгөл (массив) $

$ \ эхлэл (массив) (ccc | c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 0 & -3 \\ \ төгсгөл (массив) доллар

Дээд болон сүүлчийн мөрүүдийг $ -1 $-оор үржүүлж, сүүлийн болон дунд мөрүүдийг солино.

$ \ эхлэл (массив) (ccc | c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ \ төгсгөл (массив) $

$ \ эхлэл (массив) (ccc | c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3 \\ \ төгсгөл (массив) $

Сүүлийн мөрийг 3 доллараар хуваана:

$ \ эхлэл (массив) (ccc | c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ \ төгсгөл (массив) $

Бид дараах тэгшитгэлийн системийг олж авдаг бөгөөд энэ нь анхныхтай тэнцүү юм.

$ \ эхлэл (тохиолдол) x_1 + x_2 - x_3 = 1 \\ x_2 = 3 \\ x_3 = 1 \ төгсгөл (тохиолдол) $

Дээд тэгшитгэлээс бид $ x_1 $ илэрхийлнэ:

$ x1 = 1 + x_3 - x_2 = 1 + 1 - 3 = -1 $.

Жишээ 2

Гауссын аргаар 4х4 матриц ашиглан тодорхойлсон системийг шийдэх жишээ

$ \ эхлэл (массив) (cccc | c) 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40 \\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \ төгсгөл (массив) $.

Эхэндээ бид зүүн дээд буланд $ 1 $ авахын тулд түүний ард байрлах дээд судалгааны шугамын байршлыг өөрчилнө.

$ \ эхлэл (массив) (cccc | c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40 \\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \ төгсгөл (массив) $.

Одоо дээд мөрийг $ -2 $ -оор үржүүлж, 2, 3-т нэмнэ. 4-т бид $ -3 $-оор үржүүлсэн 1-р мөрийг нэмнэ.

$ \ эхлэл (массив) (cccc | c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 4 & 5 & 5 & 18 \\ 0 & - 1 & 3 & -1 & 4 \\ \ төгсгөл (массив) $

Одоо 3-р мөрөнд бид 2-р мөрийг 4 доллараар үржүүлж, 4-р мөрөнд 2-р мөрийг $ -1 $-оор нэмнэ.

$ \ эхлэл (массив) (cccc | c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10 \\ 0 & 0 & 3 & 0 & 6 \\ \ төгсгөл (массив) $

2-р мөрийг $ -1 $-оор үржүүлж, 4-р мөрийг $ 3 $-оор хувааж 3-р мөрийг солино.

$ \ эхлэл (массив) (cccc | c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10 \\ \ төгсгөл (массив) $

Одоо сүүлчийн мөрөнд төгсгөлөөс өмнөх мөрийг $ -5 $-оор үржүүлээрэй.

$ \ эхлэл (массив) (cccc | c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \ төгсгөл (массив) $

Бид үүссэн тэгшитгэлийн системийг шийднэ.

$ \ эхлэл (тохиолдол) m = 0 \\ g = 2 \\ y + m = 2 \ \ x + 3y + 2g + m = 11 \ төгсгөл (тохиолдол) $