Матрицын зэрэглэлийн тухай ойлголттой ажиллахын тулд "Алгебрийн нэмэлт ба багачууд. Бага ба алгебрийн нэмэлтүүдийн төрлүүд" сэдвээс мэдээлэл хэрэгтэй. Юуны өмнө энэ нь "минор матриц" гэсэн нэр томъёонд хамаатай бөгөөд учир нь матрицын зэрэглэл нь насанд хүрээгүй хүмүүсээр тодорхойлогддог.

Матрицын зэрэглэлээртүүний насанд хүрээгүй хүмүүсийн хамгийн дээд дарааллыг гэж нэрлэдэг бөгөөд тэдгээрийн дотор дор хаяж нэг нь тэгтэй тэнцүү биш байна.

Эквивалент матрицууд- зэрэглэлүүд нь хоорондоо тэнцүү матрицууд.

Илүү дэлгэрэнгүй тайлбарлая. Хоёрдугаар зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийн дунд дор хаяж нэг тэгээс өөр насанд хүрээгүй хүүхдүүд байна гэж бодъё. Хоёроос дээш дараалалтай бүх насанд хүрээгүй хүүхдүүд тэгтэй тэнцүү байна. Дүгнэлт: матрицын зэрэглэл нь 2. Эсвэл жишээлбэл, арав дахь зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийн дунд дор хаяж нэг нь тэгтэй тэнцүү биш байна. Мөн дараалал нь 10-аас дээш насны бүх насанд хүрээгүй хүүхдүүд тэгтэй тэнцүү байна. Дүгнэлт: матрицын зэрэглэл нь 10 байна.

$ A $ матрицын зэрэглэлийг $ \ rang A $ эсвэл $ r (A) $ гэж тэмдэглэнэ. $ O $ тэг матрицын зэрэглэлийг тэг, $ \ rang O = 0 $ гэж үздэг. Минор матриц үүсгэхийн тулд мөр, баганыг хасах шаардлагатай боловч матрицад агуулагдахаас илүү мөр, баганыг таслах боломжгүй гэдгийг танд сануулъя. Жишээлбэл, $ F $ матриц нь $ 5 \ үр 4 $ (өөрөөр хэлбэл 5 мөр, 4 багана агуулсан) байвал түүний насанд хүрээгүй хүмүүсийн хамгийн дээд дараалал дөрөв байна. Тав дахь зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг бүрдүүлэх боломжгүй болно, учир нь тэдэнд 5 багана шаардлагатай болно (мөн бидэнд ердөө 4). Энэ нь $ F $ матрицын зэрэглэл дөрвөөс илүү байж болохгүй гэсэн үг юм. $ \ F≤4 $ дуугарлаа.

Илүү ерөнхий хэлбэрээр, дээр дурдсан нь хэрэв матриц нь $ m $ мөр, $ n $ багана агуулсан байвал түүний зэрэглэл $ m $ ба $ n $ тоонуудын хамгийн багаас хэтэрч болохгүй, өөрөөр хэлбэл. $ \ rang A≤ \ min (m, n) $.

Зарчмын хувьд зэрэглэлийг тодорхойлохоос эхлээд түүнийг олох аргыг баримталдаг. Тодорхойлолтоор матрицын зэрэглэлийг олох үйл явцыг схемээр дараах байдлаар дүрсэлж болно.

Би энэ диаграммыг илүү дэлгэрэнгүй тайлбарлах болно. Анхнаасаа бодож эхэлцгээе, өөрөөр хэлбэл. $ A $ матрицын нэгдүгээр зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүмүүстэй.

1. Хэрэв эхний эрэмбийн бүх насанд хүрээгүй хүмүүс (өөрөөр хэлбэл $ A $ матрицын элементүүд) тэгтэй тэнцүү бол $ \ rang A = 0 $ байна. Хэрэв нэгдүгээр зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийн дунд дор хаяж нэг тэгээс өөр байвал $ \ A≥ 1 $ гэж хэлбэлзэв. Хоёрдугаар зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг шалгах ажлыг үргэлжлүүлье.
2. Хоёрдахь эрэмбийн бүх насанд хүрээгүй хүүхдүүд тэгтэй тэнцүү бол $ \ rang A = 1 $ болно. Хэрэв хоёр дахь зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийн дунд дор хаяж нэг тэгээс өөр байвал $ \ A≥ 2 $ байна. Гуравдугаар зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг шалгах ажлыг үргэлжлүүлье.
3. Гурав дахь зэрэглэлийн бүх насанд хүрээгүй хүүхдүүд тэгтэй тэнцүү бол $ \ rang A = 2 $ байна. Гурав дахь зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийн дунд дор хаяж нэг тэгээс өөр байвал $ \ rang A≥ 3 $ байна. Дөрөвдүгээр зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг шалгах ажлыг үргэлжлүүлье.
4. Хэрэв дөрөв дэх эрэмбийн бүх насанд хүрээгүй хүүхдүүд тэгтэй тэнцүү бол $ \ rang A = 3 $ болно. Дөрөвдүгээр зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийн дунд дор хаяж нэг тэгээс өөр байвал $ \ A≥ 4 $ гэж хэлбэлзэв. 5-р зэргийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг шалгах гэх мэтээр үргэлжлүүлье.

Энэ процедурын төгсгөлд биднийг юу хүлээж байна вэ? Энэ нь k-р зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүмүүсийн дунд дор хаяж нэг тэгээс өөр байх боломжтой бөгөөд (k + 1)-р зэрэглэлийн бүх насанд хүрээгүй хүмүүс тэгтэй тэнцүү байх болно. Энэ нь k нь насанд хүрээгүй хүмүүсийн хамгийн дээд дараалал гэсэн үг бөгөөд тэдгээрийн дотор дор хаяж нэг нь тэгтэй тэнцүү биш, өөрөөр хэлбэл. зэрэглэл нь k байх болно. Нөхцөл байдал өөр байж болно: k-р зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийн дунд 0-тэй тэнцүү биш дор хаяж нэг байх бөгөөд (k + 1)-р зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүмүүсийг үүсгэх боломжгүй болно. Энэ тохиолдолд матрицын зэрэглэл нь мөн k байна. Товчхондоо, хамгийн сүүлд бүрдсэн тэгээс өөр минорын дараалал ба матрицын зэрэгтэй тэнцүү байна.

Тодорхойлолтоор матрицын зэрэглэлийг олох үйл явцыг нүдээр харуулах жишээнүүд рүү шилжье. Энэ сэдвийн жишээн дээр бид зөвхөн зэрэглэлийн тодорхойлолтыг ашиглан матрицын зэрэглэлийг олж эхэлнэ гэдгийг би дахин онцолж байна. Бусад аргууд (насанд хүрээгүй хүмүүсийг хиллэх аргаар матрицын зэрэглэлийг тооцоолох, элементар хувиргалтын аргаар матрицын зэрэглэлийг тооцоолох) дараах сэдвүүдэд авч үзнэ.

Дашрамд хэлэхэд, №1, 2-р жишээн дээр дурдсанчлан зэрэглэл тогтоох журмыг хамгийн бага зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдээс эхлүүлэх шаардлагагүй. Та насанд хүрээгүй хүүхдүүд рүү шууд очиж болно (жишээ № 3-ыг үзнэ үү).

Жишээ №1

$ A = \ зүүн (\ эхлэл (массив) (cccc) 5 & 0 & -3 & 0 & 2 \\ 7 & 0 & -4 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & -1 матрицын зэрэглэлийг ол. & 0 & 1 \ төгсгөл (массив) \ баруун) $.

Энэ матриц нь $ 3 \ үр 5 $ хэмжээтэй байна, өөрөөр хэлбэл. гурван мөр, таван багана агуулсан. 3 ба 5 тоонуудын хамгийн бага нь 3 байна; тиймээс $ A $ матрицын зэрэглэл хамгийн ихдээ 3 байна, өөрөөр хэлбэл. $ \ A≤ 3 $ дуугарлаа. Мөн энэ тэгш бус байдал нь ойлгомжтой, учир нь бид дөрөв дэх эрэмбийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг үүсгэх боломжгүй болно - тэдэнд 4 мөр хэрэгтэй, бидэнд ердөө 3 байна. Өгөгдсөн матрицын зэрэглэлийг олох процесс руу шууд орцгооё.

Нэгдүгээр эрэмбийн насанд хүрээгүй хүмүүсийн дунд (өөрөөр хэлбэл $ A $ матрицын элементүүдийн дунд) тэгээс ялгаатай байдаг. Жишээлбэл, 5, -3, 2, 7. Ерөнхийдөө бид тэгээс бусад элементийн нийт тоог сонирхдоггүй. Наад зах нь нэг тэгээс өөр элемент байдаг - энэ нь хангалттай. Нэгдүгээр зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийн дунд дор хаяж нэг тэгээс өөр байдаг тул бид $ \ rang A≥ 1 $ байна гэж дүгнэж, хоёрдугаар зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг шалгана.

Хоёрдугаар зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг судалж эхэлцгээе. Жишээлбэл, №1, 2-р мөр ба 1, 4-р баганын огтлолцол дээр ийм жижиг элементийн элементүүд байна: $ \ left | \ begin (массив) (cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \ end (массив) \ баруун | $. Энэ тодорхойлогчийн хувьд хоёр дахь баганын бүх элементүүд тэгтэй тэнцүү тул тодорхойлогч өөрөө тэгтэй тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл. $ \ зүүн | \ эхлэл (массив) (cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \ төгсгөл (массив) \ баруун | = 0 $ (тодорхойлогчдын шинж чанарын сэдвээр №3 өмчийг үзнэ үү). Эсвэл та хоёр ба гурав дахь эрэмбийн тодорхойлогчийг тооцоолох хэсгийн №1 томъёог ашиглан энэ тодорхойлогчийг зүгээр л тооцоолж болно.

$$ \ зүүн | \ эхлэл (массив) (cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \ төгсгөл (массив) \ баруун | = 5 \ cdot 0-0 \ cdot 7 = 0. $$

Бидний шалгасан хоёр дахь эрэмбийн эхний минор нь тэг болсон. Энэ юу гэсэн үг вэ? Хоёрдугаар зэргийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг цаашид шалгах шаардлагатай байгаа тухай. Тэд бүгд тэг болж хувирна (дараа нь зэрэглэл нь 1-тэй тэнцүү байх болно), эсвэл тэдний дунд дор хаяж нэг жижиг тэг байх болно. Элементүүд нь №1, #2 мөр, №1, #5 баганын огтлолцол дээр байрлах хоёр дахь эрэмбийн минорыг бичиж, илүү сайн сонголт хийхийг хичээцгээе: $ \ left | \ begin (массив) (cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \ төгсгөл (массив) \ баруун | $. Энэ хоёрдугаар эрэмбийн минорын утгыг олъё:

$$ \ зүүн | \ эхлэл (массив) (cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \ төгсгөл (массив) \ баруун | = 5 \ cdot 3-2 \ cdot 7 = 1. $$

Энэ насанд хүрээгүй нь тэг биш юм. Дүгнэлт: 2-р зэргийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийн дунд дор хаяж нэг тэгээс өөр байдаг. Тиймээс $ \ rang A≥ 2 $ байна. Гуравдугаар зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийн судалгааг үргэлжлүүлэх шаардлагатай байна.

Хэрэв бид 2-р багана эсвэл 4-р баганыг сонговол 3-р зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг үүсгэхийн тулд ийм насанд хүрээгүй хүүхдүүд тэгтэй тэнцүү байх болно (учир нь тэдгээр нь тэг баганатай байх болно). Гурав дахь эрэмбийн зөвхөн нэг минорыг шалгахад л үлддэг бөгөөд тэдгээрийн элементүүд нь 1, 3, 5, 5-р багана, 1, 2, 3-р эгнээний огтлолцол дээр байрладаг. Энэ жижиг зүйлийг бичиж, утгыг нь олцгооё.

$$ \ зүүн | \ эхлэл (массив) (ccc) 5 & -3 & 2 \\ 7 & -4 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \ төгсгөл (массив) \ баруун | = -20-18-14 + 16 + 21 + 15 = 0. $$

Тэгэхээр гуравдахь зэрэглэлийн насанд хүрээгүй бүх хүүхдүүд тэг байна. Бидний эмхэтгэсэн хамгийн сүүлчийн минор хоёр дахь зэрэглэл байв. Дүгнэлт: Насанд хүрээгүй хүүхдүүдийн хамгийн дээд дараалал, тэдгээрийн дунд 0-ээс өөр нэг нь байдаг, 2. Тиймээс $ \ rang A = 2 $ байна.

Хариулах: $ \ rang A = 2 $.

Жишээ №2

$ A = \ зүүн (\ эхлэл (массив) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3 \\ 4 & -2 & 5 & 1 \\ -5 & 0 & -4 & 0 матрицын зэрэглэлийг ол. \\ 9 & 7 & 8 & -7 \ төгсгөл (массив) \ баруун) $.

Бид дөрөв дэх эрэмбийн квадрат матрицтай. Энэ матрицын зэрэглэл 4-өөс хэтрэхгүй гэдгийг нэн даруй анхаарна уу, өөрөөр хэлбэл. $ \ A≤ 4 $ дуугарлаа. Матрицын зэрэглэлийг хайж эхэлцгээе.

Нэгдүгээр эрэмбийн насанд хүрээгүй хүмүүсийн дунд (өөрөөр хэлбэл $ A $ матрицын элементүүдийн дунд) дор хаяж нэг тэгээс өөр байдаг тул $ \ rang A≥ 1 $ байна. Хоёрдугаар зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг шалгах ажлыг үргэлжлүүлье. Жишээлбэл, №2, 3-р мөр, №1, 2-р баганын огтлолцол дээр бид хоёр дахь эрэмбийн минорыг авна: $ \ left | \ эхлэл (массив) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \ төгсгөл (массив) \ баруун | $. Үүнийг тооцоод үзье:

$$ \ үлдсэн | \ эхлэл (массив) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \ төгсгөл (массив) \ баруун | = 0-10 = -10. $$

Хоёрдугаар зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийн дунд дор хаяж нэг тэгээс өөр байдаг тул $ \ rang A≥ 2 $ байна.

Гурав дахь зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүд рүү шилжье. Жишээлбэл, элементүүд нь 1, 3, 4, 4, 1, 2, 4-р багануудын огтлолцол дээр байрладаг минорыг олцгооё.

$$ \ үлдсэн | \ эхлэл (массив) (cccc) -1 & 3 & -3 \\ -5 & 0 & 0 \\ 9 & 7 & -7 \ төгсгөл (массив) \ баруун | = 105-105 = 0. $$

Энэ 3-р зэргийн насанд хүрээгүй хүүхэд 0 болж гарсан тул дахин 3-р зэргийн хүүхдийг шалгах шаардлагатай байна. Тэд бүгд тэгтэй тэнцэх (дараа нь зэрэглэл нь 2-той тэнцүү байх болно), эсвэл тэдний дунд дор хаяж нэг нь тэгтэй тэнцүү биш байх болно (дараа нь бид дөрөв дэх зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг судлах болно). Гурав дахь эрэмбийн минорыг авч үзье, тэдгээрийн элементүүд нь 2, 3, 4, 4, 2, 3, 4-р баганын огтлолцол дээр байрладаг.

$$ \ үлдсэн | \ эхлэл (массив) (ccc) -2 & 5 & 1 \\ 0 & -4 & 0 \\ 7 & 8 & -7 \ төгсгөл (массив) \ баруун | = -28. $$

Гуравдугаар зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийн дунд дор хаяж нэг тэгээс өөр байдаг тул $ \ rang A≥ 3 $ байна. Дөрөвдүгээр зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг шалгах ажлыг үргэлжлүүлье.

Дөрөвдүгээр зэрэглэлийн дурын минор нь $ A $ матрицын дөрвөн мөр, дөрвөн баганын огтлолцол дээр байрладаг. Өөрөөр хэлбэл, дөрөв дэх эрэмбийн минор нь $ A $ матрицын тодорхойлогч бөгөөд энэ матрицад яг 4 мөр, 4 багана багтдаг. Энэ матрицын тодорхойлогчийг "Тодорхойлогчийн дарааллыг бууруулах. Тодорхойлогчийг эгнээнд (багана) задлах" сэдвийн 2-р жишээн дээр тооцоолсон тул эцсийн үр дүнг авна уу:

$$ \ үлдсэн | \ эхлэл (массив) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3 \\ 4 & -2 & 5 & 1 \\ -5 & 0 & -4 & 0 \\ 9 & 7 & 8 & -7 \ төгсгөл (массив) \ баруун | = 86. $$

Тэгэхээр дөрөв дэх эрэмбийн минор нь тэг биш юм. Бид тав дахь зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг бүрдүүлж чадахгүй. Дүгнэлт: насанд хүрээгүй хүүхдүүдийн хамгийн дээд эрэмбийн тоо нь 0-ээс багагүй нэг нь 4. Нийт: $ \ rang A = 4 $.

Хариулах: $ \ rang A = 4 $.

Жишээ №3

$ A = \ зүүн (\ эхлэл (массив) (cccc) -1 & 0 & 2 & -3 \\ 4 & -2 & 5 & 1 \\ 7 & -4 & 0 & -5" матрицын зэрэглэлийг ол. \ end ( массив) \ баруун) $.

Энэ матриц нь 3 мөр, 4 баганатай тул $ \ rang A≤ 3 $ байдгийг нэн даруй анхаараарай. Өмнөх жишээнүүдэд бид хамгийн бага (эхний) эрэмбийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг эрэмблэх үйл явцыг эхлүүлсэн. Энд бид хамгийн дээд зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг нэн даруй шалгахыг хичээх болно. $ A $ матрицын хувьд ийм насанд хүрээгүй хүүхдүүд гуравдахь зэрэглэлтэй байдаг. Элементүүд нь 1, 2, 3, 3-р мөр, 2, 3, 4-р баганын огтлолцол дээр байрладаг гуравдагч эрэмбийн минорыг авч үзье.

$$ \ үлдсэн | \ эхлэл (массив) (ccc) 0 & 2 & -3 \\ -2 & 5 & 1 \\ -4 & 0 & -5 \ төгсгөл (массив) \ баруун | = -8-60-20 = -88. $$

Тиймээс, насанд хүрээгүй хүмүүсийн хамгийн дээд эрэмбэ нь 0-тэй тэнцүү биш дор хаяж нэг нь 3 байна. Тиймээс матрицын зэрэглэл нь 3, өөрөөр хэлбэл. $ \ Ring A = 3 $.

Хариулах: $ \ rang A = 3 $.

Ерөнхийдөө матрицын зэрэглэлийг тодорхойлолтоор нь олох нь ерөнхийдөө нэлээд хөдөлмөр шаарддаг ажил юм. Жишээлбэл, харьцангуй бага хэмжээтэй $ 5 \ үр 4 $ матрицад 60 2-р эрэмбийн насанд хүрээгүй. Тэдний 59 нь тэгтэй тэнцүү байсан ч 60 дахь насанд хүрээгүй нь тэг биш болж магадгүй юм. Дараа нь та өгөгдсөн матриц нь 40 ширхэгтэй гурав дахь эрэмбийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг судлах хэрэгтэй. Ихэвчлэн тэд насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг хиллэх, түүнтэй адилтгах арга гэх мэт чирэгдэл багатай аргуудыг ашиглахыг хичээдэг.

Матрицын зэрэглэл нь чухал тоон шинж чанар юм. Матрицын зэрэглэлийг олоход шаардагдах хамгийн нийтлэг асуудал бол шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийн тууштай байдлыг шалгах явдал юм. Энэ нийтлэлд бид матрицын зэрэглэлийн тухай ойлголтыг өгч, түүнийг олох аргуудыг авч үзэх болно. Материалыг илүү сайн шингээхийн тулд бид хэд хэдэн жишээний шийдлүүдийг нарийвчлан шинжлэх болно.

Хуудасны навигаци.

Матрицын зэрэглэл, шаардлагатай нэмэлт ойлголтуудыг тодорхойлох.

Матрицын зэрэглэлийн тодорхойлолтыг зарлахаасаа өмнө насанд хүрээгүй гэсэн ойлголтыг сайн ойлгох хэрэгтэй бөгөөд матрицын багачуудыг олох нь тодорхойлогчийг тооцоолох чадварыг илэрхийлдэг. Тиймээс бид шаардлагатай бол өгүүллийн онол, матрицын тодорхойлогчийг олох аргууд, тодорхойлогчийн шинж чанаруудыг эргэн санахыг зөвлөж байна.

А эрэмбийн матрицыг ав. k нь m ба n тоонуудын хамгийн багааас хэтрэхгүй натурал тоо байг, өөрөөр хэлбэл, .

Тодорхойлолт.

К-р зэргийн багаА матрицын урьдчилан сонгосон k мөр, k баганад байгаа А матрицын элементүүдээс тогтсон дарааллын квадрат матрицын тодорхойлогч гэж нэрлэдэг ба А матрицын элементүүдийн зохион байгуулалт хадгалагдан үлдэнэ. .

Өөрөөр хэлбэл, А матрицын (p – k) мөр, (n – k) баганыг устгаад, А матрицын элементүүдийн зохион байгуулалтыг хадгалан үлдсэн элементүүдээс матриц үүсгэвэл үүссэн матрицын тодорхойлогч болно. нь А матрицын k эрэмбийн минор юм.

Минор матрицын тодорхойлолтыг жишээгээр авч үзье.

Матрицыг авч үзье .

Энэ матрицын эхний эрэмбийн хэд хэдэн жижиг хэсгүүдийг бичье. Жишээлбэл, хэрэв бид А матрицын гурав дахь мөр ба хоёр дахь баганыг сонговол бидний сонголт нэгдүгээр эрэмбийн минортой тохирно. ... Өөрөөр хэлбэл, энэ минорыг авахын тулд бид А матрицаас эхний болон хоёрдугаар эгнээ, мөн нэг, гурав, дөрөв дэх баганыг зурж, үлдсэн элементээс тодорхойлогчийг бүрдүүлсэн. Хэрэв бид А матрицын эхний мөр ба гурав дахь баганыг сонговол бид минорыг авна .

Нэгдүгээр зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг олж авах журмыг тайлбарлая
болон .

Тиймээс матрицын эхний эрэмбийн минорууд нь матрицын элементүүд юм.

Бид хэд хэдэн хоёрдугаар зэргийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг үзүүлдэг. Хоёр мөр, хоёр багана сонгоно уу. Жишээлбэл, эхний ба хоёр дахь мөр, гурав, дөрөв дэх баганыг авч үзье. Энэ сонголтоор бид хоёр дахь зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхэдтэй болсон ... А матрицаас гурав дахь мөр, нэг, хоёр дахь баганыг устгаснаар энэ минорыг үүсгэж болно.

А матрицын өөр нэг хоёрдугаар эрэмбийн минор нь.

Эдгээр хоёр дахь зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийн бүтээн байгуулалтыг үзүүлье
болон .

А матрицын гуравдахь эрэмбийн насанд хүрээгүй хүмүүсийг мөн адил олж болно. А матрицад зөвхөн гурван мөр байгаа тул бид бүгдийг нь сонгоно. Хэрэв бид эдгээр мөрүүдийн эхний гурван баганыг сонговол гуравдахь эрэмбийн минорыг авна

Үүнийг мөн А матрицын сүүлчийн баганыг устгаснаар байгуулж болно.

Өөр нэг гурав дахь зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхэд

А матрицын гурав дахь баганыг устгаснаар олж авсан.

Эдгээр гурав дахь зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийн бүтээн байгуулалтыг харуулсан зураг энд байна.
болон .

Өгөгдсөн А матрицын хувьд 3-аас дээш эрэмбийн багачууд байдаггүй, учир нь.

А эрэмбийн матрицын k-р эрэмбийн хэдэн минор байдаг вэ?

k зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийн тоог хаана гэж тооцож болно болон - p-ээс k, n-ээс k хүртэлх хослолын тоо.

p эрэмбийн А матрицын k зэрэглэлийн бүх миноруудыг n-ээр хэрхэн байгуулах вэ?

Бидэнд олон матрицын мөрийн дугаар, олон баганын дугаар хэрэгтэй. Бид бүгдийг бичдэг p элементийн хослолууд k(тэдгээр нь k эрэмбийн минорыг барихад А матрицын сонгосон мөрүүдтэй тохирно). Мөрийн дугааруудын хослол бүрт бид n элементийн бүх хослолыг k баганын дугаартай дараалан нэмнэ. Эдгээр А матрицын мөр ба баганын дугааруудын хослолууд нь k эрэмбийн бүх жижиг хэсгүүдийг бүрдүүлэхэд тусална.

Нэг жишээ татъя.

Жишээ.

Матрицын бүх хоёр дахь эрэмбийн багануудыг ол.

Шийдэл.

Анхны матрицын дараалал нь 3-аас 3 байх тул хоёр дахь эрэмбийн нийт насанд хүрээгүй хүмүүс байх болно .

А матрицын 3-ын 2 мөрийн бүх хослолыг бичье: 1, 2; 1, 3 ба 2, 3. 3-аас 2 баганын дугаар бүхий бүх хослолууд нь 1, 2; 1, 3 ба 2, 3.

А матрицын эхний ба хоёр дахь эгнээг ав. Эдгээр эгнээнд эхний ба хоёр дахь багана, нэг ба гурав дахь багана, хоёр, гурав дахь багана зэргийг сонгосноор бид насанд хүрээгүй хүмүүсийг авна.

Эхний болон гурав дахь эгнээний хувьд ижил төстэй сонголт бүхий багана бидэнд байна

Хоёр, гурав дахь эгнээнд эхний болон хоёр дахь, нэг ба гурав дахь, хоёр, гурав дахь баганыг нэмэх хэвээр байна.

Тэгэхээр А матрицын хоёр дахь эрэмбийн есөн минор бүгд олдлоо.

Одоо та матрицын зэрэглэлийг тодорхойлох руу шилжиж болно.

Тодорхойлолт.

Матрицын зэрэглэлМатриц дахь тэгээс өөр минорын хамгийн дээд эрэмбэ.

А матрицын зэрэглэлийг Rank (A) гэж нэрлэдэг. Та мөн Rg (A) эсвэл Rang (A) гэсэн тэмдэглэгээг олж болно.

Матрицын зэрэглэл ба матрицын минорын тодорхойлолтоос бид тэг матрицын зэрэглэл нь тэг, тэгээс өөр матрицын зэрэглэл дор хаяж нэг байна гэж дүгнэж болно.

Тодорхойлолтоор матрицын зэрэглэлийг олох.

Тиймээс матрицын зэрэглэлийг олох эхний арга бол харгис хүчний арга... Энэ арга нь матрицын зэрэглэлийг тодорхойлоход суурилдаг.

Бид эрэмбийн А матрицын зэрэглэлийг олох хэрэгтэй гэж бодъё.

Товчхон тайлбарлая алгоритмнасанд хүрээгүй хүүхдүүдийг тоолох замаар энэ асуудлыг шийдвэрлэх.

Хэрэв матрицын дор хаяж нэг элемент тэгээс ялгаатай байвал матрицын зэрэглэл дор хаяж нэгтэй тэнцүү байна (учир нь тэгтэй тэнцүү биш нэгдүгээр эрэмбийн минор байдаг).

Дараа нь бид хоёр дахь зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг давтдаг. Хоёрдахь эрэмбийн бүх насанд хүрээгүй хүмүүс тэгтэй тэнцүү бол матрицын зэрэглэл нэгтэй тэнцүү байна. Хэрэв дор хаяж нэг тэгээс өөр хоёр дахь эрэмбийн минор байгаа бол бид гурав дахь эрэмбийн насанд хүрээгүй хүмүүсийн тоололд шилжих ба матрицын зэрэглэл дор хаяж хоёр байна.

Үүний нэгэн адил, хэрэв гурав дахь зэрэглэлийн бүх насанд хүрээгүй хүүхдүүд тэг байвал матрицын зэрэглэл хоёр байна. Хэрэв тэгээс өөр дор хаяж нэг гуравдагч эрэмбийн минор байвал матрицын зэрэглэл дор хаяж гурваас доошгүй байх ба бид дөрөв дэх эрэмбийн минорыг давна.

Матрицын зэрэглэл нь p ба n тоонуудын хамгийн багаас хэтэрч болохгүй гэдгийг анхаарна уу.

Жишээ.

Матрицын зэрэглэлийг ол .

Шийдэл.

Матриц нь тэг биш тул түүний зэрэглэл дор хаяж нэг байна.

Хоёр дахь зэрэглэлийн бага тэгээс ялгаатай тул А матрицын зэрэглэл дор хаяж хоёр байна. Бид гурав дахь зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүмүүсийн тооллого руу шилждэг. Тэд бүгд зүйлс.

Гурав дахь зэрэглэлийн бүх насанд хүрээгүй хүүхдүүд тэг байна. Тиймээс матрицын зэрэглэл нь хоёр байна.

Хариулт:

Зэрэглэл (A) = 2.

Матрицын зэрэглэлийг хил залгаа насны аргаар олох.

Матрицын зэрэглэлийг олох өөр аргууд байдаг бөгөөд энэ нь танд бага тооцооллын үр дүнд хүрэх боломжийг олгодог.

Ийм аргуудын нэг хиллэх бага арга.

Харьцъя хиллэдэг насанд хүрээгүй.

А матрицын (k + 1)-р эрэмбийн минор M ok нь А матрицын k эрэмбийн минор М-тэй хиллэдэг, хэрэв бага M ok-д харгалзах матрицад тохирох матриц "агуулагдсан" бол. насанд хүрээгүй М.

Өөрөөр хэлбэл, нэг мөр, нэг баганын элементүүдийг устгаснаар хүрээтэй минор М ok-д харгалзах матрицаас хилийн минор М-д тохирох матрицыг гаргана.

Жишээлбэл, матрицыг авч үзье мөн хоёр дахь эрэмбийн насанд хүрээгүй хүнийг авна. Бүх хилийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг бичье.

Насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг хиллэх аргыг дараах теоремоор нотолсон (бид түүний томъёоллыг нотлох баримтгүйгээр толилуулж байна).

Теорем.

Хэрэв p зэрэглэлийн А матрицын k-р зэргийн минортой n-ээр хиллэдэг бүх минорууд тэгтэй тэнцүү бол А матрицын бүх минорууд (k + 1) тэгтэй тэнцүү байна.

Тиймээс матрицын зэрэглэлийг олохын тулд хангалттай хиллэдэг бүх насанд хүрээгүй хүмүүсийг давтах шаардлагагүй. А эрэмбийн матрицын k-р зэргийн минортой хиллэх насанд хүрээгүй хүмүүсийн тоог томъёогоор олно ... А матрицын k-р зэрэглэлийн минортой хиллэдэг насанд хүрээгүй хүмүүс нь А матрицын (k + 1) -р зэрэглэлийн миноруудаас ихгүй байгааг анхаарна уу. Тиймээс ихэнх тохиолдолд насанд хүрээгүй хүүхдүүдийн хил залгаа аргыг ашиглах нь бүх насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг энгийн тоолохоос илүү ашигтай байдаг.

Матрицын зэрэглэлийг хил залгаа насанд хүрээгүй хүмүүсийн аргаар хайж олъё. Товчхон тайлбарлая алгоритмэнэ арга.

Хэрэв А матриц нь тэг биш бол нэгдүгээр эрэмбийн минорын хувьд бид А матрицын тэгээс өөр аль ч элементийг авна. Түүний хил залгаа насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг авч үзье. Хэрэв тэдгээр нь бүгд тэгтэй тэнцүү бол матрицын зэрэглэл нэгтэй тэнцүү байна. Хэрэв дор хаяж нэг тэгээс ялгаатай насанд хүрээгүй (түүний дараалал нь хоёр) байвал бид түүний хилийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг авч үзэх болно. Хэрэв тэдгээр нь бүгд тэг байвал зэрэглэл (A) = 2 байна. Хэрэв наад зах нь нэг хил залгаа насанд хүрээгүй хүүхэд тэгээс өөр байвал (түүний дараалал гурав) байвал бид түүний хил залгаа насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг авч үзнэ. гэх мэт. Үүний үр дүнд, А матрицын (k + 1)-р зэрэглэлийн бүх хил залгаа багачууд тэгтэй тэнцүү бол (A) = k, эсвэл тэгээс өөр байвал Rank (A) = min (p, n) болно. Бага зэрэг нь бага зэрэгтэй хиллэдэг (min ( p, n) - 1).

Жишээн дээр матрицын зэрэглэлийг олох хилийн насанд хүрээгүй хүмүүсийн аргыг задлан шинжилье.

Жишээ.

Матрицын зэрэглэлийг ол насанд хүрээгүй хүүхдийг хиллэх аргаар.

Шийдэл.

А матрицын a 1 1 элемент нь тэгээс ялгаатай тул бид үүнийг нэгдүгээр эрэмбийн минор гэж авна. Тэг биш хүрээтэй насанд хүрээгүй хүүхдийг хайж эхэлцгээе:

Тэгээс өөр хоёр дахь зэрэглэлийн хил залгаа насанд хүрээгүй хүнийг олсон. Түүний хил залгаа насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг (тэдний зүйлс):

Хоёрдугаар эрэмбийн минортой хиллэдэг бүх насанд хүрээгүй хүмүүс тэгтэй тэнцүү тул А матрицын зэрэглэл хоёртой тэнцүү байна.

Хариулт:

Зэрэглэл (A) = 2.

Жишээ.

Матрицын зэрэглэлийг ол хил залгаа насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг ашиглах.

Шийдэл.

Эхний эрэмбийн тэгээс өөр минорын хувьд бид А матрицын a 1 1 = 1 элементийг авна. Хоёрдугаар зэрэглэлийн хажуугийн насанд хүрээгүй хүн тэг биш. Энэ насанд хүрээгүй хүүхэд гуравдугаар зэргийн насанд хүрээгүй хүүхэдтэй хиллэдэг.
... Энэ нь 0-тэй тэнцүү биш бөгөөд түүнд зааглах нэг ч минор байхгүй тул А матрицын зэрэглэл нь гуравтай тэнцүү байна.

Хариулт:

Зэрэглэл (A) = 3.

Анхан шатны матрицын хувиргалтыг ашиглан зэрэглэлийг олох (Гаусын арга).

Матрицын зэрэглэлийг олох өөр аргыг авч үзье.

Дараахь матрицын хувиргалтыг энгийн гэж нэрлэдэг.

• матрицын мөр (эсвэл багана) солих;
• матрицын аль ч мөрийн (баганын) бүх элементүүдийг тэгээс бусад дурын k тоогоор үржүүлэх;
• дурын эгнээний (баганын) элементүүдэд матрицын өөр мөрийн (баганын) харгалзах элементүүдийг дурын k тоогоор үржүүлнэ.

В матрицыг А матрицтай эквивалент гэж нэрлэдэгХэрэв В-г А-аас хязгаарлагдмал тооны элементар хувиргалтыг ашиглан авсан бол. Матрицуудын эквивалентыг "~" тэмдгээр тэмдэглэнэ, өөрөөр хэлбэл A ~ B гэж бичнэ.

Элементар матрицын хувиргалтыг ашиглан матрицын зэрэглэлийг олох нь: Хэрэв В матрицыг А матрицаас хязгаарлагдмал тооны элементар хувиргалтыг ашиглан авсан бол (А) зэрэглэл = (В) зэрэглэлд үндэслэнэ.

Энэхүү мэдэгдлийн хүчинтэй байдал нь матрицын тодорхойлогчийн шинж чанараас хамаарна.

• Матрицын мөрүүдийг (эсвэл багануудыг) дахин зохион байгуулахад түүний тодорхойлогч тэмдэг өөрчлөгддөг. Хэрэв энэ нь тэгтэй тэнцүү бол мөр (багана) солих үед энэ нь тэгтэй тэнцүү хэвээр байна.
• Матрицын аль нэг мөрийн (баганын) бүх элементүүдийг тэгээс өөр k тоогоор үржүүлэхэд үүссэн матрицын тодорхойлогч нь анхны матрицын тодорхойлогчийг k-ээр үржүүлсэнтэй тэнцүү байна. Хэрэв анхны матрицын тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү бол аливаа мөр, баганын бүх элементүүдийг k тоогоор үржүүлсний дараа үүссэн матрицын тодорхойлогч нь мөн тэгтэй тэнцүү байх болно.
• Матрицын зарим мөрийн (баганын) элементүүдэд матрицын өөр эгнээний (баганын) харгалзах элементүүдийг зарим k тоогоор үржүүлэхэд түүний тодорхойлогч өөрчлөгдөхгүй.

Анхан шатны хувиргалтын аргын мөн чанарЭнэ нь бидний эрэмбийг олох шаардлагатай матрицыг энгийн хувиргалтуудыг ашиглан трапец хэлбэрийн (тодорхой тохиолдолд дээд гурвалжин) болгон бууруулахаас бүрдэнэ.

Яагаад үүнийг хийж байгаа юм бэ? Энэ төрлийн матрицын зэрэглэлийг олоход маш хялбар байдаг. Энэ нь дор хаяж нэг тэгээс өөр элемент агуулсан мөрүүдийн тоотой тэнцүү байна. Мөн анхан шатны хувиргалт хийх үед матрицын зэрэглэл өөрчлөгдөхгүй тул үүссэн утга нь анхны матрицын зэрэг болно.

Матрицын зарим дүрслэлийг энд оруулав, тэдгээрийн аль нэгийг нь хувиргасны дараа авах ёстой. Тэдний хэлбэр нь матрицын дарааллаас хамаарна.

Эдгээр зургууд нь бид А матрицыг хувиргах загварууд юм.

Тодорхойлъё аргын алгоритм.

Бид тэгээс ялгаатай А эрэмбийн матрицын зэрэглэлийг олох хэрэгтэй (p нь n-тэй тэнцүү байж болно) гэж бодъё.

Тэгэхээр, . А матрицын эхний эгнээний бүх элементүүдийг үржүүлье. Энэ тохиолдолд бид эквивалент матрицыг олж авах бөгөөд үүнийг A (1) гэж тэмдэглэнэ:

Үүссэн матрицын хоёр дахь эгнээний элементүүдэд (1) эхний эгнээний харгалзах элементүүдийг үржүүлж нэмнэ. Гурав дахь эгнээний элементүүдэд эхний эгнээний харгалзах элементүүдийг үржүүлж нэмнэ. Гэх мэтээр p-р мөр хүртэл. Бид эквивалент матрицыг олж, үүнийг A (2) гэж тэмдэглэнэ:

Хэрэв үүссэн матрицын хоёр дахь хэсгээс p-р хүртэлх эгнээнд байрлах бүх элементүүд тэгтэй тэнцүү бол энэ матрицын зэрэглэл нэгтэй тэнцүү байх ба улмаар анхны матрицын зэрэглэлтэй байна. нэгтэй тэнцүү.

Хэрэв хоёр дахь хэсгээс pth хүртэлх эгнээнд дор хаяж нэг тэгээс өөр элемент байвал бид хувиргалтыг үргэлжлүүлнэ. Түүнээс гадна, бид яг ижил аргаар ажилладаг, гэхдээ зөвхөн зураг (2) дээр тэмдэглэгдсэн А матрицын хэсгийг ашиглана.

Хэрэв тийм бол бид A (2) матрицын мөр ба (эсвэл) багануудыг "шинэ" элемент нь тэгээс ялгаатай байхаар өөрчлөнө.

Дараах тохиолдолд r тоог А матрицын зэрэглэл гэнэ.
1) А матриц нь тэгээс ялгаатай r эрэмбийн минорыг агуулна;
2) бүх насанд хүрээгүй (r + 1) ба түүнээс дээш, хэрэв байгаа бол тэгтэй тэнцүү байна.
Үгүй бол матрицын зэрэглэл нь тэгээс бага зэргийн хамгийн дээд тушаал юм.
Тэмдэглэл: rangA, r A, эсвэл r.
Тодорхойлолтоос харахад r нь эерэг бүхэл тоо юм. Тэг матрицын хувьд зэрэглэлийг тэг гэж үзнэ.

Үйлчилгээний зорилго... Онлайн тооцоолуур нь олоход зориулагдсан матрицын зэрэг... Энэ тохиолдолд шийдлийг Word болон Excel форматаар хадгална. шийдлийн жишээг үзнэ үү.

Заавар. Матрицын хэмжээг сонгоод "Дараах" дээр дарна уу.

Матрицын хэмжээг сонгоно уу 3 4 5 6 7 x 3 4 5 6 7

Тодорхойлолт. r зэрэглэлийн матрицыг өгье. Тэгээс бусад r дараалалтай матрицын минорыг үндсэн, түүний бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн мөр, багануудыг үндсэн мөр, багана гэнэ.
Энэ тодорхойлолтын дагуу А матриц нь хэд хэдэн үндсэн насанд хүрээгүй байж болно.

E таних матрицын зэрэглэл нь n (мөрийн тоо) юм.

Жишээ 1. Хоёр матриц өгөгдсөн, болон тэдний насанд хүрээгүй хүүхдүүд , ... Аль нь суурь болгон авч болох вэ?
Шийдэл... Бага M 1 = 0, тиймээс энэ нь аль ч матрицын хувьд үндсэн байж болохгүй. Минор M 2 = -9 ≠ 0 бөгөөд 2-р эрэмбтэй тул 2-той тэнцүү зэрэглэлтэй байх тохиолдолд үүнийг A эсвэл / ба В матрицуудыг суурь болгон авч болно. detB = 0 (хоёр пропорциональ баганатай тодорхойлогчийн хувьд) тул rangB = 2 ба M 2-ийг B матрицын суурь минор болгон авч болно. A матрицын зэрэглэл нь 3, учир нь detA = -27 ≠ 0 ба , тиймээс энэ матрицын үндсэн минорын дараалал нь 3-тай тэнцүү байх ёстой, өөрөөр хэлбэл M 2 нь А матрицын хувьд суурь биш юм. А матриц нь нэг үндсэн минортой бөгөөд энэ нь А матрицын тодорхойлогчтой тэнцүү болохыг анхаарна уу.

Теорем (үндсэн минор дээр). Матрицын аливаа мөр (багана) нь түүний үндсэн мөрүүдийн (баганын) шугаман хослол юм.
Теоремоос гарсан үр дүн.

1. r зэрэглэлийн матрицын дурын (r + 1) багана (мөр) нь шугаман хамааралтай байна.
2. Хэрэв матрицын зэрэглэл нь түүний эгнээний (баганын) тооноос бага бол түүний мөрүүд (баганууд) шугаман хамааралтай байна. Хэрэв rangA нь түүний эгнээний (баганын) тоотой тэнцүү бол мөрүүд (баганууд) шугаман бие даасан байна.
3. А матрицын тодорхойлогч нь зөвхөн мөрүүд (баганууд) нь шугаман хамааралтай бол тэгтэй тэнцүү байна.
4. Хэрэв матрицын нэг мөрөнд (багана) тэгээс өөр тоогоор үржүүлсэн өөр мөр (багана) нэмбэл матрицын зэрэглэл өөрчлөгдөхгүй.
5. Хэрэв матриц дахь мөр (багана) нь бусад мөрүүдийн (баганын) шугаман хослолыг хөндлөн зурсан бол матрицын зэрэглэл өөрчлөгдөхгүй.
6. Матрицын зэрэглэл нь түүний шугаман бие даасан мөрүүдийн (баганын) хамгийн их тоотой тэнцүү байна.
7. Шугаман бие даасан мөрүүдийн хамгийн их тоо нь шугаман бие даасан баганын хамгийн их тоотой ижил байна.

Жишээ 2. Матрицын зэрэглэлийг ол .
Шийдэл. Матрицын зэрэглэлийн тодорхойлолт дээр үндэслэн бид тэгээс бусад хамгийн дээд зэрэглэлийн минорыг хайх болно. Эхлээд бид матрицыг илүү энгийн хэлбэрт шилжүүлнэ. Үүнийг хийхийн тулд матрицын эхний мөрийг (-2) үржүүлж, хоёр дахь дээр нэмээд (-1) үржүүлж, гурав дахь дээр нэмнэ.

А матрицыг m \ дахин n, k нь m ба n-ээс ихгүй натурал тоо байг: k \ leqslant \ min \ (m; n \). К-р зэргийн багаА матрицын дур мэдэн сонгосон k мөр ба k баганын огтлолцол дээрх элементүүдээс үүссэн k-р эрэмбийн матрицын тодорхойлогч гэж нэрлэдэг. Насанд хүрээгүй хүмүүсийг тэмдэглэхдээ сонгосон мөрүүдийн тоог дээд үсгээр, сонгосон баганыг бага баганаар, өсөх дарааллаар байрлуулна.

Жишээ 3.4.Матрицын янз бүрийн эрэмбийн насанд хүрээгүй хүмүүсийг бич

A = \ эхлэл (pmatrix) 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 3 & 3 \ төгсгөл (pmatrix) \ !.

Шийдэл.А матриц нь 3 \ дахин4 хэмжээтэй байна. Үүнд: 1-р зэргийн насанд хүрээгүй 12 хүүхэд, жишээлбэл, насанд хүрээгүй хүүхэд М _ (() _ 2) ^ (() _ 3) = \ det (a_ (32)) = 4; 2-р зэргийн насанд хүрээгүй 18 хүүхэд, жишээлбэл, M _ (() _ (23)) ^ (() ^ (12)) = \ эхлэл (vmatrix) 2 & 1 \\ 2 & 2 \ төгсгөл (vmatrix) = 2; 4 бага 3-р зэрэглэл, жишээ нь,

M _ (() _ (134)) ^ (() ^ (123)) = \ эхлэл (vmatrix) 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 3 \ төгсгөл (vmatrix) = 0.

m \ дахин n хэмжээтэй А матрицад r-р эрэмбийн минор гэж нэрлэдэг үндсэнхэрэв энэ нь тэг биш бол бүх (r + 1) -ro эрэмбийн насанд хүрээгүй хүүхдүүд тэг эсвэл огт байхгүй.

Матрицын зэрэглэлээрүндсэн насанд хүрээгүй тушаал гэж нэрлэдэг. Тэг матрицад үндсэн минор байхгүй. Тиймээс тэг матрицын зэрэглэлийг тодорхойлолтоор тэг гэж үздэг. А матрицын зэрэглэлийг тэмдэглэв \ операторын нэр (rg) A.

Жишээ 3.5.Бүх үндсэн насанд хүрээгүй хүүхдүүд болон матрицын зэрэглэлийг ол

A = \ эхлэл (pmatrix) 1 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \ төгсгөл (pmatrix) \ !.

Шийдэл.Эдгээр тодорхойлогч нь тэг гурав дахь эгнээтэй тул энэ матрицын бүх гуравдугаар эрэмбийн минорууд тэгтэй тэнцүү байна. Тиймээс матрицын эхний хоёр мөрөнд байрлах хоёр дахь эрэмбийн минор л үндсэн байж болно. Насанд хүрээгүй 6 хүүхэд дамжиж, бид 0-ээс өөр зүйлийг сонгоно

M _ (() _ (12)) ^ (() ^ (12)) = М _ (() _ (13)) ^ (() ^ (12)) = \ эхлэл (vmatrix) 1 & 2 \\ 0 & 2 \ end ( vmatrix) \!, \ quad M _ (() _ (24)) ^ (() ^ (12)) = M _ (() _ (34)) ^ (() ^ (12) )) = \ эхлэл (vmatrix) 2 & 0 \\ 2 & 3 \ төгсгөл (vmatrix) \!, \ Quad M _ (() _ (14)) ^ (() ^ (12)) = \ эхлэл (vmatrix) ) 1 & 0 \\ 0 & 3 \ төгсгөл (vmatrix) \ !.

Эдгээр таван насанд хүрээгүй хүүхэд бүр үндсэн юм. Тиймээс матрицын зэрэглэл нь 2 байна.

Тайлбар 3.2

1. Хэрэв матрицад k-р зэрэглэлийн бүх минорууд тэгтэй тэнцүү бол дээд эрэмбийн минорууд мөн тэгтэй тэнцүү байна. Үнэн хэрэгтээ, (k + 1) -ro минорыг дурын эгнээний дагуу өргөтгөхөд бид энэ эгнээний элементүүдийн үржвэрийн нийлбэрийг k-р эрэмбийн минороор олж авах бөгөөд тэдгээр нь тэгтэй тэнцүү байна.

2. Матрицын зэрэглэл нь энэ матрицын тэгээс өөр минорын хамгийн дээд зэрэгтэй тэнцүү байна.

3. Хэрэв квадрат матриц доройтдоггүй бол түүний зэрэглэл нь дараалалтай тэнцүү байна. Хэрэв квадрат матриц доройтсон бол түүний зэрэглэл нь дарааллаас бага байна.

4. Тэмдэглэлийг мөн зэрэглэлд ашигладаг \ операторын нэр (Rg) A, ~ \ операторын нэр (дууга) A, ~ \ операторын нэр (зэрэглэл) А.

5. Блок матрицын зэрэглэлнь энгийн (тоон) матрицын зэрэглэлээр тодорхойлогддог, i.e. түүний блокийн бүтцэд анхаарал хандуулахгүй байх. Түүнээс гадна блок матрицын зэрэглэл нь түүний блокуудын зэрэглэлээс багагүй байна: \ operatorname (rg) (A \ mid B) \ geqslant \ operatorname (rg) Aболон \ operatorname (rg) (A \ mid B) \ geqslant \ operatorname (rg) BУчир нь А (эсвэл В) матрицын бүх багачууд нь блок матрицын (A \ mid B) жижиг матрицууд байдаг.

Минор ба матрицын зэрэглэлийн үндсэн теоремууд

Матрицын баганын (мөр) шугаман хамаарал ба шугаман хамааралгүй байдлын шинж чанарыг илэрхийлсэн үндсэн теоремуудыг авч үзье.

Үндсэн минорын тухай теорем 3.1.Дурын А матрицын багана (мөр) бүр нь үндсэн минор байрладаг багана (мөр) -ийн шугаман хослол юм.

Үнэн хэрэгтээ ерөнхий шинж чанараа алдалгүйгээр бид m \ дахин n хэмжээтэй А матрицад үндсэн минор нь эхний r мөр, эхний r баганад байрлана гэж бид үздэг. Тодорхойлогчийг авч үзье

D = \ start (vmatrix) ~ a_ (11) & \ cdots & a_ (1r) \! \! & \ Vline \! \! & A_ (1k) ~ \\ ~ \ vdots & \ ddots & \ vdots \! \! & \ vline \! \! & \ vdots ~ \\ ~ a_ (r1) & \ cdots & a_ (rr) \! \! & \ vline \! \! & a_ (rk) ~ \\\ hline ~ a_ (s1) & \ cdots & a_ (sr) \! \! & \ vline \! \! & a_ (sk) ~ \ төгсгөл (vmatrix),

s-р мөр ба k-р баганын харгалзах элементүүдийг А матрицын үндсэн минорд оноож гарган авна. Аль ч тохиолдолд үүнийг анхаарна уу 1 \ leqslant s \ leqslant mбөгөөд энэ тодорхойлогч нь тэг байна. Хэрэв s \ leqslant r эсвэл k \ leqslant r бол тодорхойлогч D нь хоёр ижил мөр эсвэл хоёр ижил багана агуулна. Хэрэв s> r ба k> r бол D-ийн тодорхойлогч нь (r + l) -ro дарааллын минор учраас тэгтэй тэнцүү байна. Тодорхойлогчийг сүүлчийн шугамын дагуу өргөжүүлбэл бид олж авна

a_ (s1) \ cdot D_ (r + 11) + \ ldots + a_ (sr) \ cdot D_ (r + 1r) + a_ (sk) \ cdot D_ (r + 1 \, r + 1) = 0,

Энд D_ (r + 1 \, j) нь сүүлчийн эгнээний элементүүдийн алгебрийн нэмэлтүүд юм. Энэ нь үндсэн минор учраас D_ (r + 1 \, r + 1) \ ne0 гэдгийг анхаарна уу. Тийм ч учраас

a_ (sk) = \ lambda_1 \ cdot a_ (s1) + \ ldots + \ lambda_r \ cdot a_ (sr), хаана \ lambda_j = - \ frac (D_ (r + 1 \, j)) (D_ (r + 1 \, r + 1)), ~ j = 1,2, \ ldots, r.

s = 1,2, \ ldots, m-ийн сүүлчийн тэгшитгэлийг бичвэл бид олж авна.

\ start (pmatrix) a_ (1k) \\\ vdots \\ a_ (mk) \ end (pmatrix) = \ lambda_1 \ cdot \! \ start (pmatrix) a_ (11) \\\ vdots \\ a_ (m1) \ end (pmatrix) + \ ldots \ lambda_r \ cdot \! \ эхлэл (pmatrix) a_ (1r) \\\ vdots \\ a_ (mr) \ end (pmatrix) \ !.

тэдгээр. k --р багана (ямар ч 1 \ leqslant k \ leqslant n) нь шаардлагатай бол үндсэн минорын баганын шугаман хослол юм.

Үндсэн минор теорем нь дараах чухал теоремуудыг батлахад үйлчилдэг.

Тодорхойлогчийн тэгтэй тэнцүү байх нөхцөл

Теорем 3.2 (тодорхойлогч алга болох зайлшгүй ба хангалттай нөхцөл).Тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байхын тулд түүний нэг багана (түүний нэг мөр) нь үлдсэн багана (мөр) -ийн шугаман хослол байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай.

Үнэн хэрэгтээ хэрэгцээ нь үндсэн минор теоремоос гардаг. Хэрэв n-р эрэмбийн квадрат матрицын тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү бол түүний зэрэглэл нь n-ээс бага, өөрөөр хэлбэл. наад зах нь нэг баганыг үндсэн бага хэсэгт оруулаагүй болно. Дараа нь теорем 3.1-ээр сонгосон энэ багана нь үндсэн минор байрлаж буй баганын шугаман хослол юм. Шаардлагатай бол энэ хослол дээр тэг коэффициент бүхий бусад багануудыг нэмбэл сонгосон багана нь матрицын үлдсэн баганын шугаман хослол болохыг олж авна. Тодорхойлогчийн шинж чанараас хангалттай байдал үүсдэг. Жишээлбэл, тодорхойлогчийн сүүлчийн багана A_n байвал \ det (A_1 ~ A_2 ~ \ cdots ~ A_n)үлдсэнээр нь шугаман байдлаар илэрхийлнэ

A_n = \ lambda_1 \ cdot A_1 + \ lambda_2 \ cdot A_2 + \ ldots + \ lambda_ (n-1) \ cdot A_ (n-1),

дараа нь A_n баганад нэмж A_1 (- \ lambda_1), дараа нь A_2 баганыг (- \ lambda_2)-аар үржүүлнэ. багана A_ (n-1) (- \ lambda_ (n-1)) -ээр үржүүлснээр бид тодорхойлогчийг авна. \ det (A_1 ~ \ cdots ~ A_ (n-1) ~ o)тэг баганатай нь тэг (тодорхойлогчийн 2-р шинж чанар).

Матрицын инвариант байдлыг элементар хувиргалтаар эрэмбэлдэг

Теорем 3.3 (элементар хувиргалт дахь зэрэглэлийн инвариантын тухай). Матрицын баганын (мөр) элементийн хувиргалт нь түүний зэрэглэлийг өөрчлөхгүй.

Нээрээ л байг. А матрицын багануудыг нэг элементар хувиргасны үр дүнд бид А матрицыг олж авлаа гэж бодъё. Хэрэв I төрлийн (хоёр баганыг солих) хувиргалт хийсэн бол ямар ч жижиг (r + l) -ro А" матрицын дараалал нь А матрицын эрэмбийн харгалзах минор (r + l ) -ro-той тэнцүү эсвэл тэмдгээр (тодорхойлогчийн 3-р шинж чанар) ялгаатай байна. Хэрэв II төрлийн хувиргалт хийгдсэн бол (баганыг \ lambda \ ne0 тоогоор үржүүлэх) А матрицын дарааллын ямар ч жижиг (r + l) -ro нь харгалзах минортой (r + l) тэнцүү байна. A матрицын эрэмбийн -ro буюу түүнээс ялгаатай хүчин зүйл \ lambda \ ne0 (тодорхойлогчийн 6-р шинж чанар) Хэрэв III төрлийн хувиргалт хийсэн бол (өөр баганын нэг баганад нэмэх \ Lambda тоогоор үржүүлсэн) тэгвэл А матрицын (r + 1)-р эрэмбийн аль нэг минор нь А матрицын харгалзах минор (r + 1) -р зэрэгтэй (тодорхойлогчийн 9-р шинж чанар) эсвэл нийлбэртэй тэнцүү байна. А матрицын (r + l) -ro дарааллын хоёр минорын (тодорхойлогчийн 8-р шинж чанар). Иймд ямар ч төрлийн элементар хувиргалтын үед матрицын (r + l) -ro дарааллын бүх минорууд нь "A" матрицын (r + l) -ro дарааллын бүх минорууд тэгтэй тэнцүү байна. А нь 0-тэй тэнцүү.Энмэнтар руу урвуу хувиргалт нь элементар байдаг тул баганын элементар хувиргалт дахь матрицын зэрэглэл буурахгүй, өөрөөр хэлбэл өөрчлөгдөхгүй.

Дүгнэлт 1. Хэрэв матрицын нэг мөр (багана) нь бусад мөрүүдийн (багануудын) шугаман хослол юм бол энэ мөрийг (багана) зэрэглэлийг нь өөрчлөхгүйгээр матрицаас устгаж болно.

Үнэн хэрэгтээ ийм мөрийг энгийн хувиргалтуудыг ашиглан тэг болгож болох бөгөөд тэг мөрийг үндсэн минорд оруулах боломжгүй.

Дүгнэлт 2. Хэрэв матрицыг хамгийн энгийн хэлбэр (1.7) болгон бууруулсан бол

\ операторын нэр (rg) A = \ операторын нэр (rg) \ Lambda = r \ ,.

Үнэн хэрэгтээ хамгийн энгийн хэлбэрийн матриц (1.7) нь r-р эрэмбийн суурь минортой байна.

Дүгнэлт 3. Аливаа доройтдоггүй квадрат матриц нь энгийн, өөрөөр хэлбэл доройтдоггүй квадрат матрицууд нь ижил эрэмбийн таних матрицтай тэнцүү байна.

Үнэн хэрэгтээ, хэрэв А нь n дарааллын доройтдоггүй квадрат матриц юм бол \ операторын нэр (rg) A = n(3.2-р тайлбарын 3-р зүйлийг үзнэ үү). Иймд А матрицыг энгийн хувиргалтаар хамгийн энгийн хэлбэрт (1.7) буулгаснаар нэгж матриц \ Lambda = E_n-ийг олж авна. \ операторын нэр (rg) A = \ операторын нэр (rg) \ Lambda = n(Үндэслэл 2-ыг үзнэ үү). Үүний үр дүнд А матриц нь E_n таних матрицтай тэнцүү бөгөөд хязгаарлагдмал тооны энгийн хувиргалтуудын үр дүнд үүнээс олж авч болно. Энэ нь А матриц нь элементар гэсэн үг.

Теорем 3.4 (матрицын зэрэглэл дээр). Матрицын зэрэглэл нь энэ матрицын шугаман бие даасан мөрүүдийн хамгийн их тоотой тэнцүү байна.

Нээрээ л байя \ операторын нэр (rg) A = r... Тэгвэл А матриц нь r шугаман бие даасан мөртэй байна. Эдгээр нь үндсэн минор байрладаг шугамууд юм. Хэрэв тэдгээр нь шугаман хамааралтай байсан бол энэ минор нь теорем 3.2-оор тэгтэй тэнцүү байх ба А матрицын зэрэглэл r-тэй тэнцүү биш байх байсан. r нь шугаман бие даасан мөрүүдийн хамгийн их тоо гэдгийг харуулъя, өөрөөр хэлбэл, ямар ч p мөр нь p> r-ээс шугаман хамааралтай байна. Үнэн хэрэгтээ бид эдгээр p мөрүүдээс В матрицыг үүсгэдэг. В матриц нь А матрицын нэг хэсэг учраас \ operatorname (rg) B \ leqslant \ operatorname (rg) A = r

Иймд В матрицын ядаж нэг мөр энэ матрицын үндсэн минорт ороогүй болно. Дараа нь үндсэн минор теоремоор энэ нь үндсэн минор байрлах эгнээний шугаман хослолтой тэнцүү байна. Тиймээс В матрицын мөрүүд шугаман хамааралтай байна. Тиймээс А матриц нь хамгийн ихдээ r шугаман бие даасан мөрүүдийг агуулна.

Дүгнэлт 1. Матриц дахь шугаман бие даасан мөрүүдийн хамгийн их тоо нь шугаман бие даасан баганын хамгийн их тоотой тэнцүү байна.

\ операторын нэр (rg) A = \ операторын нэр (rg) A ^ T.

Хэрэв бид үүнийг шилжүүлсэн матрицын эгнээнд хэрэглэж, шилжүүлэн суулгах явцад насанд хүрээгүй хүмүүс өөрчлөгддөггүй (тодорхойлогчийн 1-р шинж чанар) гэж тооцвол теорем 3.4-ээс энэ мэдэгдэл гарч ирнэ.

Дүгнэлт 2. Матрицын эгнээний үндсэн хувиргалтуудын үед энэ матрицын баганын аль ч системийн шугаман хамаарал (эсвэл шугаман бие даасан байдал) хадгалагдана.

Үнэн хэрэгтээ өгөгдсөн А матрицын аль ч k баганыг сонгож, тэдгээрээс В матрицыг зохиоё. А матрицын эгнээний элементар хувиргалтын үр дүнд А матрицыг "боловсруулж, В матрицын эгнээний ижил хувиргалтуудын үр дүнд В матрицыг авсан" гэж үзье. Теорем 3.3 \ операторын нэр (rg) B "= \ операторын нэр (rg) B... Тиймээс, хэрэв В матрицын баганууд шугаман бие даасан байсан бол, i.e. k = \ операторын нэр (rg) B(Үргэлжлэл 1-ийг үзнэ үү), тэгвэл В матрицын баганууд нь мөн шугаман бие даасан байна, учир нь k = \ операторын нэр (rg) B "... Хэрэв В матрицын баганууд шугаман хамааралтай байсан бол (k> \ операторын нэр (rg) B), тэгвэл В матрицын баганууд мөн шугаман хамааралтай байна (k> \ операторын нэр (rg) B ")... Иймээс А матрицын аль ч баганын хувьд шугаман хамаарал эсвэл шугаман бие даасан байдал нь мөрүүдийн элементар хувиргалтаар хадгалагдана.

Тайлбар 3.3

1. Теоремын 3.4-ийн 1-р үр дүнд үндэслэн 2-р зүйлд заасан баганын шинж чанар нь матрицын аль ч мөрийн системд зөвхөн түүний баганууд дээр элементар хувиргалт хийсэн тохиолдолд хүчинтэй байна.

2. 3.3 теоремын 3-р үр дүнг дараах байдлаар боловсронгуй болгож болно. Зөвхөн түүний мөрүүдийн (эсвэл зөвхөн баганын) энгийн хувиргалтыг ашиглан доройтдоггүй аливаа квадрат матрицыг ижил эрэмбийн таних матриц болгон бууруулж болно.

Үнэн хэрэгтээ зөвхөн энгийн эгнээний хувиргалтыг ашиглан аливаа матрицыг A хялбаршуулсан хэлбэр болгон багасгаж болно \ Lambda (Зураг 1.5) (Теорем 1.1-ийг үз). А матриц нь доройтдоггүй (\ det (A) \ ne0) тул баганууд нь шугаман хамааралгүй байдаг. Тиймээс \ Ламбда матрицын баганууд нь мөн шугаман хамааралгүй байдаг (Теорем 3.4-ийн үр дүн 2). Иймээс хялбаршуулсан хэлбэр \ Ламбда нь доройтдоггүй А матрицын хамгийн энгийн хэлбэртэй давхцаж байна (Зураг 1.6) ба таних матриц \ Ламбда = E байна (Теорем 3.3-ын 3-р үр дүнг үз). Тиймээс зөвхөн доройтдоггүй матрицын мөрүүдийг хувиргаснаар үүнийг ижил төстэй нэг болгон бууруулж болно. Үүнтэй төстэй үндэслэл нь доройтдоггүй матрицын баганын үндсэн хувиргалтуудад хүчинтэй.

Бүтээгдэхүүний зэрэглэл ба матрицын нийлбэр

Теорем 3.5 (матрицын үржвэрийн зэрэглэл дээр). Матрицын бүтээгдэхүүний зэрэглэл нь дараах хүчин зүйлсийн зэрэглэлээс хэтрэхгүй байна.

\ operatorname (rg) (A \ cdot B) \ leqslant \ min \ (\ operatorname (rg) A, \ operatorname (rg) B \).

Үнэн хэрэгтээ, А ба В матрицууд нь m \ дахин p ба p \ дахин n хэмжээтэй байг. Бид А матрицад матрицыг онооно C = AB \ хоёр цэг \, (A \ дунд C)... Үүнийг хэлэх шаардлагагүй \ операторын нэр (rg) C \ leqslant \ операторын нэр (rg) (A \ дунд C), учир нь C нь матрицын нэг хэсэг (A \ mid C) (Тайлбар 3.2-ын 5-р зүйлийг үзнэ үү). Матрицыг үржүүлэх үйлдлийн дагуу C_j багана бүр нь баганын шугаман хослол гэдгийг анхаарна уу. A_1, A_2, \ ldots, A_pматрицууд A = (A_1 ~ \ cdots ~ A_p):

C_ (j) = A_1 \ cdot b_ (1j) + A_2 \ cdot b_ (2j) + \ ldots + A_ (p) \ cdot b_pj), \ quad j = 1,2, \ ldots, n.

Ийм баганыг зэрэглэлийг өөрчлөхгүйгээр матрицаас (A \ mid C) устгаж болно (Теорем 3.3-ын үр дүн 1). С матрицын бүх баганыг гатлаад бид дараахь зүйлийг авна. \ операторын нэр (rg) (A \ дунд C) = \ операторын нэр (rg) А... Тиймээс, \ операторын нэр (rg) C \ leqslant \ операторын нэр (rg) (A \ дунд C) = \ операторын нэр (rg) A... Үүний нэгэн адил нөхцөл байдал байгааг нотолж болно \ операторын нэр (rg) C \ leqslant \ операторын нэр (rg) Б, мөн теоремын хүчинтэй байдлын талаар дүгнэлт гарга.

Үр дагавар. Хэрэв Тэгэхээр А нь доройтдоггүй квадрат матриц юм \ операторын нэр (rg) (AB) = \ операторын нэр (rg) Bболон \ операторын нэр (rg) (CA) = \ операторын нэр (rg) C, өөрөөр хэлбэл матрицын зэрэглэл нь муудаагүй квадрат матрицаар зүүн эсвэл баруун тийш үржүүлбэл өөрчлөгдөхгүй.

Матрицын нийлбэрийн зэрэглэлийн тухай теорем 3.6. Матрицын нийлбэрийн зэрэглэл нь нэр томъёоны зэрэглэлийн нийлбэрээс хэтрэхгүй байна.

\ операторын нэр (rg) (A + B) \ leqslant \ операторын нэр (rg) A + \ операторын нэр (rg) Б.

Үнэндээ бид матрицыг бүрдүүлдэг (A + B \ дунд A \ дунд В)... A + B матрицын багана бүр нь А ба В матрицын баганын шугаман хослол гэдгийг анхаарна уу. Тийм ч учраас \ операторын нэр (rg) (A + B \ дунд A \ дунд B) = \ операторын нэр (rg) (A \ дунд В)... Матриц дахь шугаман бие даасан баганын тоо (A \ mid B) -аас хэтрэхгүй гэдгийг харгалзан үзвэл \ операторын нэр (rg) A + \ операторын нэр (rg) Б, a \ операторын нэр (rg) (A + B) \ leqslant \ операторын нэр (rg) (A + B \ дунд A \ дунд В)(Тайлбар 3.2-ын 5-р зүйлийг үз), бид шаардлагатай тэгш бус байдлыг олж авна.

>> Матрицын зэрэглэл

Матрицын зэрэглэл

Матрицын зэрэглэлийг тодорхойлох

Тэгш өнцөгт матрицыг авч үзье. Хэрэв энэ матрицад бид дур мэдэн сонгоно кшугам ба кбагана, дараа нь сонгосон мөр, баганын огтлолцол дахь элементүүд нь k-р дарааллын квадрат матрицыг бүрдүүлнэ. Энэ матрицын тодорхойлогчийг нэрлэдэг р зэргийн багаматриц А. Мэдээжийн хэрэг, А матриц нь m ба n тоонуудын 1-ээс хамгийн бага хүртэлх аль ч эрэмбийн минортой. А матрицын бүх тэгээс өөр миноруудын дунд хамгийн бага дараалал нь хамгийн их байх нэг минор байдаг. Өгөгдсөн матрицын насанд хүрээгүй хүмүүсийн хамгийн том тэг бус дарааллыг гэж нэрлэдэг зэрэглэлматрицууд. Хэрэв А матрицын зэрэглэл байвал r, тэгвэл энэ нь А матриц дарааллын тэгээс өөр минортой байна гэсэн үг r, гэхдээ түүнээс их захиалгатай ямар ч бага r, тэгтэй тэнцүү байна. А матрицын зэрэглэлийг r (A) гэж тэмдэглэнэ. Харилцаа гэдэг нь ойлгомжтой

Насанд хүрээгүй хүмүүсийг ашиглан матрицын зэрэглэлийг тооцоолох

Матрицын зэрэглэлийг насанд хүрээгүй хилийн аргаар эсвэл энгийн хувиргалт хийх аргаар олно. Эхний аргаар матрицын зэрэглэлийг тооцоолохдоо доод зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдээс дээд зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүд рүү шилжих хэрэгтэй. Хэрэв тэгээс ялгаатай A матрицын k-р эрэмбийн минор D аль хэдийн олдсон бол зөвхөн (k + 1) --р эрэмбийн минорууд, бага D-тэй хиллэдэг байх шаардлагатай, i.e. үүнийг жижиг түлхүүр болгон агуулж байна. Хэрэв тэдгээр нь бүгд тэгтэй тэнцүү бол матрицын зэрэглэл болно к.

Жишээ 1.Насанд хүрээгүй хүмүүсийг зааглаж матрицын зэрэглэлийг ол

.

Шийдэл.Бид 1-р зэргийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдээс эхэлдэг, өөрөөр хэлбэл. матрицын элементүүдтэй A. Жишээ нь, эхний мөр ба эхний баганад байрлах минор (элемент) М 1 = 1-ийг сонгоцгооё. Хоёр дахь эгнээ, гурав дахь баганатай хүрээлэхдээ бид тэгээс өөр жижиг M 2 = авна. Одоо бид М 2-той хиллэдэг 3-р зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүд рүү шилжиж байна. Тэдгээрийн зөвхөн хоёр нь байдаг (та хоёр дахь багана эсвэл дөрөв дэх багана нэмж болно). Бид тэдгээрийг тооцоолно: = 0. Ийнхүү гурав дахь зэрэглэлийн бүх хил залгаа насанд хүрээгүй хүүхдүүд тэгтэй тэнцүү болов. А матрицын зэрэглэл хоёр байна.

Элементар хувиргалтыг ашиглан матрицын зэрэглэлийг тооцоолох

Бага ангиДараахь матрицын хувиргалтыг нэрлэдэг.

1) дурын хоёр мөр (эсвэл баганын) солих,

2) мөр (эсвэл баганыг) тэгээс өөр тоогоор үржүүлэх,

3) нэг мөрөнд (эсвэл баганад) өөр нэг мөр (эсвэл багана) нэмэх зарим тоогоор үржүүлсэн.

Хоёр матрицыг дуудна тэнцүүхэрэв тэдгээрийн аль нэгийг нь нөгөөгөөс нь хязгаарлагдмал энгийн хувиргалтуудыг ашиглан авсан бол.

Эквивалент матрицууд нь ерөнхийдөө тэнцүү биш боловч тэдгээрийн зэрэглэлүүд тэнцүү байна. Хэрэв А ба В матрицууд тэнцүү бол дараах байдлаар бичнэ: А~ Б.

Каноникматриц гэдэг нь үндсэн диагональын эхэнд хэд хэдэн нэг эгнээтэй (тэдгээрийн тоо нь тэгтэй тэнцүү байж болно), бусад бүх элементүүд нь тэгтэй тэнцүү байдаг матриц юм, жишээлбэл,

.

Мөр, баганын энгийн хувиргалтын тусламжтайгаар аливаа матрицыг каноник болгон бууруулж болно. Каноник матрицын зэрэглэл нь түүний үндсэн диагональ дээрх нэгүүдийн тоотой тэнцүү байна.

Жишээ 2Матрицын зэрэглэлийг ол

A =

мөн каноник хэлбэрт аваачна.

Шийдэл.Хоёр дахь мөрөөс эхнийхийг хасаад эдгээр мөрүүдийг дахин цэгцлээрэй.

.

Одоо 2 ба 5-аар үржүүлсэн хоёр ба гурав дахь мөрөөс эхнийхийг хасна.

;

гурав дахь мөрөөс эхнийхийг хасах; Бид матрицыг авдаг

B = ,

Энэ нь А матрицтай тэнцүү, учир нь энэ нь үндсэн хувиргалтуудын хязгаарлагдмал багцыг ашиглан түүнээс гарган авсан. Мэдээжийн хэрэг, В матрицын зэрэглэл 2-той тэнцүү тул r (A) = 2 байна. В матрицыг каноник болгон хялбархан багасгаж болно. Тохиромжтой тоогоор үржүүлсэн эхний баганыг дараагийн бүх тооноос хасч, эхний эгнээнээс бусад бүх элементүүдийг тэг болгон хувиргаж, үлдсэн мөрүүдийн элементүүд өөрчлөгдөхгүй. Дараа нь тохирох тоогоор үржүүлсэн хоёр дахь баганыг дараагийн бүх тооноос хасаад хоёр дахь эгнээний бүх элементүүдийг тэглэж, каноник матрицыг авна уу.

.