Гауссын дөрвөн тэгшитгэлийн аргаар хийсэн матриц. Матрицыг шийдвэрлэх Гауссын арга. Гауссын аргаар шугаман тэгшитгэлийн системийн шийдэл

Шугаман тэгшитгэлийн хоёр систем нь тэдгээрийн бүх шийдлийн багц давхцаж байвал тэнцүү гэж хэлдэг.

Тэгшитгэлийн системийн үндсэн хувиргалтууд нь:

Системээс өчүүхэн тэгшитгэлийг арилгах, өөрөөр хэлбэл. бүх коэффициент нь тэгтэй тэнцүү байх;

Аливаа тэгшитгэлийг тэгээс өөр тоогоор үржүүлэх;

Аливаа j -th тэгшитгэлийг дурын тоогоор үржүүлсэн i -р тэгшитгэлийг нэмэх.

Хэрэв энэ хувьсагчийг зөвшөөрөөгүй бол x i хувьсагчийг үнэгүй гэж нэрлэдэг бөгөөд тэгшитгэлийн системийг бүхэлд нь зөвшөөрдөг.

Теорем. Анхан шатны өөрчлөлт нь тэгшитгэлийн системийг эквивалент болгон өөрчилдөг.

Гауссын аргын утга нь анхны тэгшитгэлийн системийг өөрчилж, эквивалент шийдэгдсэн эсвэл түүнтэй тэнцүү нийцэхгүй системийг олж авах явдал юм.

Тиймээс Гауссын арга нь дараахь алхамуудаас бүрдэнэ.

Эхний тэгшитгэлийг авч үзье. Эхний тэг бус коэффициентийг сонгоод тэгшитгэлийг бүхэлд нь хуваацгаая. Зарим x i хувьсагч 1 коэффициентээр ордог тэгшитгэлийг авч үзье.
Үлдсэн тэгшитгэл дэх x i хувьсагчийн коэффициент тэг болохын тулд бусад тэгшитгэлийг ийм тоогоор үржүүлж хасъя. Бид x i хувьсагчийн хувьд шийдэгдсэн анхны системтэй тэнцүү системийг олж авдаг.
Хэрэв өчүүхэн тэгшитгэл үүсвэл (ховор тохиолддог, гэхдээ энэ нь тохиолддог; жишээлбэл, 0 = 0), бид тэдгээрийг системээс устгадаг. Үүний үр дүнд тэгшитгэлүүд нэг болж буурдаг;
Бид өмнөх алхмуудыг n -ээс ихгүй удаа давтана, энд n нь системийн тэгшитгэлийн тоо юм. Бид "боловсруулалт" хийх шинэ хувьсагчийг сонгох бүрт. Хэрэв зөрчилдөөнтэй тэгшитгэлүүд үүсвэл (жишээлбэл, 0 = 8), систем нь хоорондоо зөрчилддөг.

Үүний үр дүнд хэдхэн алхам хийсний дараа бид зөвшөөрөгдсөн системийг (магадгүй үнэгүй хувьсагчтай байж магадгүй) эсвэл нийцэхгүй системийг олж авдаг. Зөвшөөрөгдсөн системүүдийг хоёр тохиолдолд хуваадаг.

Хувьсагчдын тоо тэгшитгэлийн тоотой тэнцүү байна. Энэ нь системийг тодорхойлсон гэсэн үг юм;
Хувьсагчдын тоо тэгшитгэлийн тооноос их байна. Бид баруун талд байгаа бүх үнэгүй хувьсагчдыг цуглуулдаг - зөвшөөрөгдсөн хувьсагчдын томъёог авдаг. Эдгээр томъёог хариултанд бичсэн болно.

Тэгээд л болоо! Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдсэн! Энэ бол нэлээд энгийн алгоритм бөгөөд үүнийг эзэмшихийн тулд ахлах сургуулийн математикийн багштай холбоо барих шаардлагагүй болно. Жишээ авч үзье:

Даалгавар. Тэгшитгэлийн системийг шийднэ үү.

Алхамуудын тодорхойлолт:

Эхний тэгшитгэлийг хоёр, гурав дахь хэсгээс хасна уу - бид зөвшөөрөгдсөн хувьсагч x 1 -ийг авна;
Хоёрдахь тэгшитгэлийг (−1) -ээр үржүүлэх, гурав дахь тэгшитгэлийг (-3) -р хуваах - бид x 2 хувьсагч 1 коэффициенттэй тохиолддог хоёр тэгшитгэлийг олж авна.
Бид хоёр дахь тэгшитгэлийг эхнийх рүү нэмж, гуравдахаас нь хасна. Зөвшөөрөгдөх x 2 хувьсагчийг авч үзье;
Эцэст нь бид гуравдахь тэгшитгэлийг эхнийхээс хасна - бид зөвшөөрөгдсөн хувьсагч x 3 -ийг авна;
Бид эрх бүхий системийг хүлээн авсан бөгөөд бид хариултаа бичдэг.

Шугаман тэгшитгэлийн хамтарсан системийн ерөнхий шийдэл бол бүх зөвшөөрөгдсөн хувьсагчдыг чөлөөт хэлбэрээр илэрхийлсэн анхны системтэй тэнцэх шинэ систем юм.

Ерөнхий шийдэл хэзээ хэрэгтэй байж болох вэ? Хэрэв та k -ээс цөөн алхам хийх шаардлагатай бол (k бол хэдэн тэгшитгэл байдаг). Гэсэн хэдий ч, үйл явц нь l алхамаар дуусдаг шалтгаанууд< k , может быть две:

L -р алхамыг хийсний дараа бид (l + 1) тоотой тэгшитгэл агуулаагүй системийг олж авлаа. Энэ нь үнэхээр сайн, учир нь зөвшөөрөгдсөн системийг ямар ч байсан хүлээн авсан - хэдхэн алхам өмнө.
L -р алхамыг хийсний дараа хувьсагчдын бүх коэффициент нь тэгтэй тэнцүү, чөлөөт коэффициент нь тэг биш байх тэгшитгэлийг олж авсан. Энэ нь хоорондоо зөрчилдсөн тэгшитгэл тул систем нь хоорондоо зөрчилддөг.

Гауссын зөрчилдөөнтэй тэгшитгэл гарч ирэх нь үл нийцэх байдлын хангалттай шалтгаан гэдгийг ойлгох нь чухал юм. Үүний зэрэгцээ, l -р алхамыг хийсний үр дүнд өчүүхэн тэгшитгэл үлдэх боломжгүй гэдгийг анхаарна уу.

Алхамуудын тодорхойлолт:

Эхний тэгшитгэлийг хоёрдугаарт 4 -ээр үржүүл. Мөн бид эхний тэгшитгэлийг гуравдахь хэсэгт нэмнэ - зөвшөөрөгдсөн x 1 хувьсагчийг авна.
Гурав дахь тэгшитгэлийг 2 -оор үржүүлээд, хоёр дахь нь эсрэг тэсрэг тэгшитгэлийг 0 = -5 авна.

Тиймээс зөрчилдөөнтэй тэгшитгэл олдсон тул систем нь хоорондоо зөрчилддөг.

Даалгавар. Тохиромжтой байдлыг судалж, системийн нийтлэг шийдлийг олоорой.

Алхамуудын тодорхойлолт:

Эхний тэгшитгэлийг хоёр дахь (өмнө нь хоёроор үржүүлсэн) ба гурав дахь хэсгээс хасах - бид зөвшөөрөгдсөн хувьсагч x 1 -ийг авна.
Хоёрдахь тэгшитгэлийг гуравдахаас нь хас. Эдгээр тэгшитгэл дэх бүх коэффициентүүд ижил байдаг тул гурав дахь тэгшитгэл нь өчүүхэн болж хувирдаг. Үүний зэрэгцээ бид хоёр дахь тэгшитгэлийг (−1) үржүүлнэ;
Эхний тэгшитгэлээс хоёр дахь хэсгийг хасах - бид зөвшөөрөгдсөн x 2 хувьсагчийг авна. Тэгшитгэлийн бүх системийг одоо шийдсэн болно;
X 3 ба x 4 хувьсагчид үнэ төлбөргүй байдаг тул бид зөвшөөрөгдсөн хувьсагчдыг илэрхийлэхийн тулд тэдгээрийг баруун тийш шилжүүлнэ. Энэ бол хариулт юм.

Тиймээс, зөвшөөрөгдсөн хоёр хувьсагч (x 1 ба x 2) болон хоёр чөлөөт (x 3 ба x 4) байдаг тул систем нь нийцтэй бөгөөд тодорхойгүй байдаг.

Шийдэх ёстой шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг өгье (системийн тэгшитгэл бүрийг тэгшитгэл болгон хувиргадаг xi үл мэдэгдэх утгыг олоорой).

Алгебрийн шугаман тэгшитгэлийн систем нь дараахь зүйлийг хийж чадна гэдгийг бид мэднэ.

1) Ямар ч шийдэл байхгүй (байх нийцэхгүй).
2) Хязгааргүй олон шийдэлтэй байх.
3) Өвөрмөц шийдэлтэй байх.

Бидний санаж байгаагаар систем хязгааргүй олон шийдэлтэй эсвэл нийцэхгүй байгаа тохиолдолд Крамерын дүрэм ба матрицын аргыг хэрэглэх боломжгүй юм. Гауссын арга – Аливаа шугаман тэгшитгэлийн системийн шийдлийг олох хамгийн хүчирхэг, уян хатан хэрэгсэл, аль нь бүх тохиолдолдбиднийг хариулт руу хөтлөх болно! Аргын алгоритм нь бүх гурван тохиолдолд ижил ажилладаг. Хэрэв Крамер ба матрицын аргад тодорхойлогчдын мэдлэг шаардлагатай бол Гауссын аргыг ашиглахын тулд зөвхөн арифметик үйлдлүүдийн мэдлэг шаардлагатай бөгөөд энэ нь бага ангийн сурагчдад ч хүртээмжтэй болгодог.

Өргөтгөсөн матрицын хувиргалт ( Энэ бол системийн матриц - зөвхөн үл мэдэгдэх коэффициентээс бүрдэх матриц, чөлөөт нэр томъёоны баганаас бүрдэнэ)Гауссын аргын шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системүүд:

1) хамт мөрүүдматриц чадна дахин зохион байгуулахгазрууд.

2) хэрэв матрицад пропорциональ (онцгой тохиолдолд ижил) мөрүүд гарч ирсэн (эсвэл байгаа бол) устгахматрицаас нэгээс бусад бүх мөрүүд.

3) хэрэв хувиргалтын явцад матрицад тэг мөр гарч ирвэл энэ нь мөн адил болно устгах.

4) матрицын мөр байж болно үржүүлэх (хуваах)тэгээс бусад дурын тоо руу.

5) матрицын мөр байж болно тоогоор үржүүлсэн өөр мөр нэмэхтэг биш.

Гауссын аргын хувьд энгийн хувиргалтууд нь тэгшитгэлийн системийн шийдлийг өөрчилдөггүй.

Гауссын арга нь хоёр үе шатаас бүрдэнэ.

"Шууд шилжих" - энгийн хувиргалтын тусламжтайгаар шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн өргөтгөсөн матрицыг "гурвалжин" хэлбэртэй болгож бууруулна уу: үндсэн диагоналийн доор байрлах өргөтгөсөн матрицын элементүүд тэгтэй тэнцүү байна ("top- доош "шилжих). Жишээлбэл, энэ маягтанд:

Үүнийг хийхийн тулд бид дараах үйлдлүүдийг хийх болно.

1) Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийн эхний тэгшитгэлийг авч үзье, x 1 дэх коэффициент K бол Хоёр дахь, гурав дахь гэх мэт. тэгшитгэлийг дараах байдлаар өөрчилнө: тэгшитгэл бүр (үл мэдэгдэх зүйлийн коэффициентүүд) үл хамаарах x 1 коэффициентэд хуваагдаж, тэгшитгэл бүрт зогсож, К -ээр үржигдсний дараа бид хоёр дахь тэгшитгэлээс эхнийхийг хасна. (үл мэдэгдэх ба үнэгүй нэр томъёоны коэффициент). Бид 2 -р тэгшитгэлд x 1 -ийн коэффициентийг авна. Эхний тэгшитгэлээс үл хамаарах x 1 -ийн хувьд бүх коэффициент 0 болтол гурав дахь хувиргасан тэгшитгэлээс эхний тэгшитгэлийг хас.

2) Дараагийн тэгшитгэл рүү очно уу. Үүнийг хоёр дахь тэгшитгэл гэж үзье, x 2 дахь коэффициент нь М -тэй тэнцүү. Бүх "доод" тэгшитгэлийн хувьд бид дээр дурдсанчлан үргэлжлүүлнэ. Тиймээс үл мэдэгдэх x 2 -ийн "дор" бүх тэгшитгэлд тэг байх болно.

3) Дараагийн тэгшитгэл рүү очоод сүүлчийн үл мэдэгдэх, хувирсан чөлөөт нэр томъёо гарах хүртэл үргэлжлүүлнэ үү.

Гауссын аргын "урвуу" - шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийн шийдлийг олж авах ("доороос дээш" шилжих). Сүүлчийн "доод" тэгшитгэлээс бид нэг анхны шийдлийг олж авдаг - үл мэдэгдэх x n. Үүнийг хийхийн тулд бид A * x n = B гэсэн энгийн тэгшитгэлийг шийднэ. Дээрх жишээнд x 3 = 4. Олсон утгыг "дээд" дараагийн тэгшитгэлээр орлуулж, дараагийн үл мэдэгдэхтэй харьцуулан шийднэ. Жишээлбэл, x 2 - 4 = 1, өөрөөр хэлбэл. x 2 = 5. Тэгээд бүх үл мэдэгдэх зүйлийг олох хүртэл.

Жишээ.

Зарим зохиогчдын зөвлөснөөр шугаман тэгшитгэлийн системийг Гауссын аргаар шийдье.

Системийн өргөтгөсөн матрицыг бичээд энгийн хувиргалтыг ашиглан алхам алхмаар хэлбэрт оруулъя.

Бид зүүн дээд "алхам" -ыг хардаг. Бид тэнд нэгжтэй байх ёстой. Асуудал нь эхний баганад огт байхгүй тул мөрүүдийг өөрчилснөөр юу ч шийдэгдэхгүй. Ийм тохиолдолд анхан шатны өөрчлөлтийг ашиглан нэгжийг зохион байгуулах шаардлагатай болно. Үүнийг ихэвчлэн хэд хэдэн аргаар хийж болно. Үүнийг хийцгээе:
1-р алхам ... Эхний мөрөнд –1 -ээр үржүүлсэн хоёр дахь мөрийг нэмнэ. Өөрөөр хэлбэл бид хоёр дахь мөрийг оюуны хувьд –1 -ээр үржүүлж, эхний болон хоёр дахь мөрүүдийг нэмсэн бол хоёр дахь мөр өөрчлөгдөөгүй байна.

Одоо зүүн дээд буланд "хасах нэг" байгаа нь бидэнд яг тохирно. +1 авахыг хүссэн хүн нэмэлт үйлдлийг хийж болно: эхний мөрийг –1 -ээр үржүүлэх (тэмдгийг нь өөрчлөх).

Алхам 2 ... Эхний мөрийг 5 -аар үржүүлсэн хоёр дахь мөрөнд 3 -р үржүүлсэн эхний мөрийг гурав дахь мөрөнд нэмсэн.

Алхам 3 ... Эхний мөрийг -1 -ээр үржүүлсэн бөгөөд зарчмын хувьд энэ бол гоо сайхны төлөө юм. Бид мөн гурав дахь мөрийн тэмдгийг өөрчилж, хоёрдугаар байранд шилжүүлсэн тул хоёр дахь "алхам дээр бидэнд шаардлагатай нэгж байна.

Алхам 4 ... Хоёрдахь мөрийг гурав дахь мөрөнд нэмж, 2 -оор үржүүлэв.

Алхам 5 ... Гурав дахь мөрийг 3 -аар хуваасан.

Тооцооллын алдааг илтгэдэг тэмдэг (ихэвчлэн алдаа гардаг) нь "муу" доод мөр юм. Хэрэв бид доод талд нь (0 0 11 | 23), үүний дагуу 11x 3 = 23, x 3 = 23/11 гэх мэт зүйлийг олж авсан бол өндөр магадлалтайгаар алдаа гарсан гэж маргаж болно. анхан шатны өөрчлөлтийн үед хийгдсэн.

Бид урвуу алхам хийдэг, жишээ нь дизайны хувьд системийг өөрөө дахин бичдэггүй бөгөөд тэгшитгэлийг "тухайн матрицаас шууд авдаг." Урвуу алхам нь "доороос дээш" ажилладаг гэдгийг би танд сануулж байна. Энэ жишээнд бид бэлэг авсан:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 = 1, тиймээс x 1 + 3 - 1 = 1, x 1 = –1

Хариулт: x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.

Санал болгож буй алгоритмын дагуу ижил системийг шийдье. Бид авдаг

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Хоёрдахь тэгшитгэлийг 5 -т, гурав дахь хэсгийг 3 -т хуваана.

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Хоёр ба гурав дахь тэгшитгэлийг 4 -ээр үржүүлснээр бид дараахь зүйлийг авна.

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Эхний тэгшитгэлийг хоёр ба гурав дахь тэгшитгэлээс хасахдаа бидэнд дараахь зүйл байна.

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Гурав дахь тэгшитгэлийг 0.64 -т хуваана уу.

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Гурав дахь тэгшитгэлийг 0.4 -ээр үржүүлнэ үү

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Гурав дахь тэгшитгэлээс хоёр дахь хэсгийг хасаад бид "алхам алхмаар" өргөтгөсөн матриц авна.

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Тиймээс тооцооллын явцад алдаа хуримтлагдсан тул бид x 3 = 0.96 буюу ойролцоогоор 1 болно.

x 2 = 3 ба x 1 = –1.

Ийм байдлаар шийдсэнээр та тооцоололд хэзээ ч төөрөлдөхгүй бөгөөд тооцооллын алдааг үл харгалзан үр дүнд хүрэх болно.

Алгебрийн шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх энэ аргыг хялбархан програмчлах боломжтой бөгөөд үл мэдэгдэх коэффициентийн онцлог шинж чанарыг харгалзан үздэггүй, учир нь практик дээр (эдийн засгийн болон техникийн тооцоонд) бүхэл тоон бус коэффициентийг шийдвэрлэх шаардлагатай болдог.

Танд амжилт хүсье! Хичээл дээр уулзацгаая! Багш.

Блог. сайт, материалыг бүрэн буюу хэсэгчлэн хуулбарласан тохиолдолд эх сурвалжтай холбоос оруулах шаардлагатай.

Гауссын аргын тодорхойлолт ба тодорхойлолт

Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх Гауссын хувиргах арга (үл мэдэгдэх хувьсагчдыг тэгшитгэл эсвэл матрицаас дараалан устгах арга гэж нэрлэдэг) нь алгебрийн тэгшитгэлийн системийг (SLAE) шийдвэрлэх сонгодог арга юм. Мөн энэхүү сонгодог аргыг урвуу матриц олж авах, матрицын зэрэглэл тогтоох зэрэг асуудлыг шийдвэрлэхэд ашигладаг.

Гауссын аргыг ашиглан хийсэн өөрчлөлт нь шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системд жижиг (энгийн) дараалсан өөрчлөлт хийхээс бүрдэх бөгөөд үүнээс хувьсагчдыг дээрээс доош нь устгаж, тэгшитгэлийн шинэ гурвалжин систем үүсгэнэ. анхных.

Тодорхойлолт 1

Уусмалын энэ хэсгийг Гауссын уусмалын шууд явц гэж нэрлэдэг, учир нь бүх процесс нь дээрээс доошоо явагддаг.

Анхны тэгшитгэлийн системийг гурвалжин болгон багасгасны дараа системийн бүх хувьсагчдыг доороос дээш нь олдог (өөрөөр хэлбэл эхний олдсон хувьсагчид систем эсвэл матрицын сүүлийн мөрөнд яг байрладаг). Шийдлийн энэ хэсгийг Гауссын эргэлт гэж нэрлэдэг. Түүний алгоритм нь дараахь зүйлээс бүрдэнэ: эхлээд тэгшитгэл эсвэл матрицын системийн доод хэсэгт хамгийн ойр байрлах хувьсагчдыг тооцоолж, дараа нь олж авсан утгуудыг дээр орлуулж, өөр нэг хувьсагч олох гэх мэт.

Гауссын аргын алгоритмын тодорхойлолт

Гауссын аргаар тэгшитгэлийн системийн ерөнхий шийдлийн үйл ажиллагааны дараалал нь SLAE дээр суурилсан матриц руу урагшаа болон урвуу хөдөлгөөнийг ээлжлэн ашиглахаас бүрдэнэ. Анхны тэгшитгэлийн системийг дараах хэлбэртэй болгоё.

$ \ эхлэх (тохиолдлууд) a_ (11) \ cdot x_1 + ... + a_ (1n) \ cdot x_n = b_1 \\ ... \\ a_ (m1) \ cdot x_1 + a_ (mn) \ cdot x_n = b_m \ төгсгөл (тохиолдлууд) $

SLAE -ийг Гауссын аргаар шийдвэрлэхийн тулд анхны тэгшитгэлийн системийг матриц хэлбэрээр бичих шаардлагатай.

$ A = \ эхлэх (pmatrix) a_ (11) &… & a_ (1n) \\ \ vdots &… & \ vdots \\ a_ (m1) &… & a_ (mn) \ end (pmatrix) $, $ b = \ эхлэх (pmatrix) b_1 \\ \ vdots \\ b_m \ end (pmatrix) $

$ A $ матрицыг үндсэн матриц гэж нэрлэдэг бөгөөд дарааллаар бичигдсэн хувьсагчдын коэффициентийг илэрхийлдэг бөгөөд $ b $ -ыг түүний чөлөөт нөхцлийн багана гэж нэрлэдэг. Чөлөөт нэр томъёоны багана бүхий баараар бичсэн $ A $ матрицыг өргөтгөсөн матриц гэж нэрлэдэг.

$ A = \ эхлэх (массив) (ccc | c) a_ (11) &… & a_ (1n) & b_1 \\ \ vdots &… & \ vdots & ... \\ a_ (m1) &… & a_ ( mn) & b_m \ төгсгөл (массив) $

Одоо тэгшитгэлийн системийн үндсэн хувиргалтыг ашиглан (эсвэл матрицын хувьд илүү тохиромжтой) дараах хэлбэрт оруулах шаардлагатай байна.

$ \ эхлэх (тохиолдлууд) α_ (1j_ (1)) \ cdot x_ (j_ (1)) + α_ (1j_ (2)) \ cdot x_ (j_ (2)) ... + α_ (1j_ (r)) \ cdot x_ (j_ (r)) + ... α_ (1j_ (n)) \ cdot x_ (j_ (n)) = β_1 \\ α_ (2j_ (2)) \ cdot x_ (j_ (2)). .. + α_ (2j_ (r)) \ cdot x_ (j_ (r)) + ... α_ (2j_ (n)) \ cdot x_ (j_ (n)) = β_2 \\ ... \\ α_ ( rj_ (r)) \ cdot x_ (j_ (r)) + ... α_ (rj_ (n)) \ cdot x_ (j_ (n)) = β_r \\ 0 = β_ (r + 1) \\… \ \ 0 = β_m \ төгсгөл (тохиолдлууд) $ (1)

(1) тэгшитгэлийн тэгшитгэлийн системийн коэффициентээс олж авсан матрицыг шаталсан гэж нэрлэдэг бөгөөд шаталсан матриц ихэвчлэн иймэрхүү харагддаг.

$ A = \ эхлэх (массив) (ccc | c) a_ (11) & a_ (12) & a_ (13) & b_1 \\ 0 & a_ (22) & a_ (23) & b_2 \\ 0 & 0 & a_ (33) & b_3 \ төгсгөл (массив) $

Эдгээр матрицууд нь дараахь шинж чанаруудаар тодорхойлогддог.

Түүний бүх тэг шугамууд тэгээс бусад шугамын дараа байна.
Хэрэв $ k $ дугаартай матрицын зарим мөр тэг биш бол ижил матрицын өмнөх мөр нь $ k $ дугаартай энэ мөрөөс цөөн тооны тэг агуулна.

Шаталсан матрицыг олж авсны дараа олж авсан хувьсагчдыг үлдсэн тэгшитгэлээр орлуулж (төгсгөлөөс нь эхлэн) хувьсагчдын үлдсэн утгыг олж авах шаардлагатай.

Гауссын аргыг ашиглах үндсэн дүрмүүд ба зөвшөөрөгдсөн өөрчлөлтүүд

Матриц эсвэл тэгшитгэлийн системийг энэ аргаар хялбарчлахдаа зөвхөн энгийн хувиргалтыг ашиглах ёстой.

Ийм хувиргалт нь утгыг нь өөрчлөхгүйгээр матриц эсвэл тэгшитгэлийн системд ашиглаж болох үйлдлүүд юм.

газар дээрх хэд хэдэн мөрийг солих,
матрицын нэг мөрөөс өөр нэг мөрийг нэмж хасах,
тэгийг тэнцүү биш тогтмолыг үржүүлэх буюу хуваах,
системийг тооцоолох, хялбарчлах явцад олж авсан зөвхөн тэгээс бүрдсэн мөрийг устгах ёстой.
Цаашид тооцоолоход илүү тохиромжтой, тохиромжтой коэффициенттэй цорын ганц системийг сонгохын тулд шаардлагагүй пропорциональ шугамыг арилгах хэрэгтэй.

Бүх энгийн хувиргалтыг буцаах боломжтой.

Гауссын энгийн хувиргалтын аргыг ашиглан шугаман тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үед үүсдэг гурван үндсэн тохиолдлын дүн шинжилгээ

Гауссын аргыг ашиглан системийг шийдвэрлэхэд дараах гурван тохиолдол гардаг.

Систем нийцэхгүй байх үед өөр шийдэл байхгүй болно
Тэгшитгэлийн систем нь шийдэлтэй бөгөөд цорын ганц бөгөөд матриц дахь тэг биш мөр баганын тоо хоорондоо тэнцүү байна.
Систем нь тодорхой тооны эсвэл боломжит олон шийдэлтэй бөгөөд доторх мөрийн тоо нь баганын тооноос бага байна.

Тогтмол бус системтэй шийдвэрийн үр дүн

Энэ сонголтын хувьд матрицын тэгшитгэлийг Гауссын аргаар шийдвэрлэхдээ тэгш байдлыг биелүүлэх боломжгүй зарим шугамыг олж авах нь ердийн зүйл юм. Тиймээс, хэрэв дор хаяж нэг буруу тэгш байдал гарвал үүссэн болон анхны системүүд нь бусад тэгшитгэлийг үл харгалзан шийдэлгүй болно. Тогтмол бус матрицын жишээ:

$ \ эхлэх (массив) (ccc | c) 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ төгсгөл (массив) $

Сүүлийн мөрөнд хангагдашгүй тэгш байдал гарч ирэв: $ 0 \ cdot x_ (31) + 0 \ cdot x_ (32) + 0 \ cdot x_ (33) = 1 $.

Зөвхөн нэг шийдэлтэй тэгшитгэлийн систем

Шаталсан матриц болгон бууруулж, тэгийг хассан мөрүүдийг устгасны дараа эдгээр системүүд үндсэн матрицад ижил тооны мөр, баганатай байна. Ийм системийн хамгийн энгийн жишээг энд харуулав.

$ \ эхлэх (тохиолдлууд) x_1 -x_2 = -5 \\ 2 \ cdot x_1 + x_2 = -7 \ төгсгөл (тохиолдлууд) $

Үүнийг матриц хэлбэрээр бичье.

$ \ эхлэх (массив) (cc | c) 1 & -1 & -5 \\ 2 & 1 & -7 \ төгсгөл (массив) $

Хоёрдахь эгнээний эхний нүдийг тэг болгохын тулд дээд мөрийг $ -2 доллараар үржүүлж, матрицын доод эгнээнээс хасаад дээд мөрийг анхны хэлбэрээр нь үлдээж, үр дүнд нь бидэнд дараахь зүйл байна.

$ \ эхлэх (массив) (cc | c) 1 & -1 & -5 \\ 0 & 3 & 10 \ төгсгөл (массив) $

Энэ жишээг систем болгон бичиж болно:

$ \ эхлэх (тохиолдлууд) x_1 - x_2 = -5 \\ 3 \ cdot x_2 = 10 \ төгсгөл (тохиолдлууд) $

$ X $ дараах утга нь доод тэгшитгэлээс гарна: $ x_2 = 3 \ frac (1) (3) $. Энэ утгыг дээд тэгшитгэлд орлуулбал: $ x_1 - 3 \ frac (1) (3) $, бид $ x_1 = 1 \ frac (2) (3) $ авна.

Олон боломжит шийдэл бүхий систем

Энэ систем нь баганын тооноос цөөн тооны чухал мөрөөр тодорхойлогддог (үндсэн матрицын мөрүүдийг харгалзан үздэг).

Ийм систем дэх хувьсагчдыг үндсэн ба үнэгүй гэсэн хоёр төрөлд хуваадаг. Ийм системийг хувиргахдаа түүнд агуулагдах үндсэн хувьсагчдыг зүүн талдаа “=” тэмдэг хүртэл үлдээж, үлдсэн хувьсагчдыг тэгш байдлын баруун талд шилжүүлэх ёстой.

Ийм систем нь зөвхөн ерөнхий шийдэлтэй байдаг.

Дараах тэгшитгэлийн системд дүн шинжилгээ хийцгээе.

$ \ эхлэх (тохиолдлууд) 2y_1 + 3y_2 + x_4 = 1 \\ 5y_3 - 4y_4 = 1 \ төгсгөл (тохиолдлууд) $

Үүнийг матриц хэлбэрээр бичье.

$ \ эхлэх (массив) (cccc | c) 2 & 3 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 4 & 1 \\ \ end (массив) $

Бидний даалгавар бол системийн ерөнхий шийдлийг олох явдал юм. Энэ матрицын хувьд үндсэн хувьсагчууд нь $ y_1 $ ба $ y_3 $ байх болно ($ y_1 $ -ийн хувьд - энэ нь эхний ээлжинд, $ y_3 $ тохиолдолд - тэгийн дараа байрладаг).

Үндсэн хувьсагчийн хувьд бид мөрөнд тэгтэй тэнцүү биш эхнийх нь байгаа хүмүүсийг сонгоно.

Үлдсэн хувьсагчдыг үнэгүй гэж нэрлэдэг бөгөөд тэдгээрийн тусламжтайгаар бид үндсэн хувьсагчдыг илэрхийлэх хэрэгтэй.

Урвуу шилжих гэж нэрлэгддэг системийг ашиглан бид системийг дээрээс доош нь задлан шинжилдэг бөгөөд үүний тулд эхлээд системийн доод шугамаас $ y_3 $ илэрхийлнэ.

$ 5y_3 - 4y_4 = 1 $

$ 5y_3 = 4y_4 + 1 $

$ y_3 = \ frac (4/5) y_4 + \ frac (1) (5) $.

Одоо $ 2y_1 + 3y_2 + y_4 = 1 $ системийн дээд тэгшитгэлд илэрхийлсэн $ y_3 $: $ 2y_1 + 3y_2 - (\ frac (4) (5) y_4 + \ frac (1) (5)) + y_4 = 1 $

Бид $ y_1 $ -г чөлөөт хувьсагчийн хувьд $ y_2 $ ба $ y_4 $ илэрхийлнэ.

$ 2y_1 + 3y_2 - \ frac (4) (5) y_4 - \ frac (1) (5) + y_4 = 1 $

$ 2y_1 = 1 - 3y_2 + \ frac (4) (5) y_4 + \ frac (1) (5) - y_4 $

$ 2y_1 = -3y_2 - \ frac (1) (5) y_4 + \ frac (6) (5) $

$ y_1 = -1.5x_2 - 0.1y_4 + 0.6 $

Шийдэл бэлэн боллоо.

Жишээ 1

Гауссигийн аргаар хуйвалдааныг шийднэ. Жишээ. Гауссын аргыг ашиглан 3 -аас 3 матрицаар өгсөн шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх жишээ

$ \ эхлэх (тохиолдлууд) 4x_1 + 2x_2 - x_3 = 1 \\ 5x_1 + 3x_2 - 2x ^ 3 = 2 \\ 3x_1 + 2x_2 - 3x_3 = 0 \ төгсгөл (тохиолдлууд) $

Өргөтгөсөн матриц хэлбэрээр системээ бичье.

$ \ эхлэх (массив) (ccc | c) 4 & 2 & -1 & 1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0 \\ \ end (массив) $

Одоо тав тухтай, практик байхын тулд та матрицыг өөрчлөх хэрэгтэй бөгөөд ингэснээр 1 доллар нь хэт баганын дээд буланд байх ёстой.

Үүнийг хийхийн тулд 1 -р мөрөнд $ -1 доллараар үржүүлсэн мөрийг дундаас нь нэмж, дунд мөрийг байгаагаар нь бичвэл дараах байдалтай болно.

$ \ эхлэх (массив) (ccc | c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0 \\ \ end (массив) $

$ \ эхлэх (массив) (ccc | c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 0 & -3 \\ \ end (массив) Доллар

Дээд ба сүүлчийн мөрүүдийг $ -1 доллараар үржүүлж, сүүлчийн болон дунд мөрүүдийг солино уу.

$ \ эхлэх (массив) (ccc | c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ \ end (массив) $

$ \ эхлэх (массив) (ccc | c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3 \\ \ end (массив) $

Сүүлийн мөрийг 3 доллараар хуваа.

$ \ эхлэх (массив) (ccc | c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ \ end (массив) $

Бид дараахь тэгшитгэлийн системийг олж авдаг бөгөөд энэ нь анхныхтай тэнцүү юм.

$ \ эхлэх (тохиолдлууд) x_1 + x_2 - x_3 = 1 \\ x_2 = 3 \\ x_3 = 1 \ төгсгөл (тохиолдлууд) $

Дээд тэгшитгэлээс бид $ x_1 $ илэрхийлнэ.

$ x1 = 1 + x_3 - x_2 = 1 + 1 - 3 = -1 $.

Жишээ 2

Гауссын аргаар 4-ээс 4 матриц ашиглан тодорхойлсон системийг шийдвэрлэх жишээ

$ \ эхлэх (массив) (cccc | c) 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40 \\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \ end (массив) $.

Эхэндээ бид судалгааны дээд шугамын байршлыг сольж, зүүн дээд буланд 1 доллар авна.

$ \ эхлэх (массив) (cccc | c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40 \\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \ end (массив) $.

Одоо дээд мөрийг $ -2 доллараар үржүүлж, 2, 3 -р хэсэгт нэмнэ үү. 4 -рт бид 1 -р мөрийг $ -3 доллараар үржүүлсэн тоог нэмнэ.

$ \ эхлэх (массив) (cccc | c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 4 & 5 & 5 & 18 & 0 \\ 0 & - 1 & 3 & -1 & 4 \\ \ end (массив) $

Одоо 3 -р мөрөнд 2 -р мөрийг 4 доллараар үржүүлж, 4 -р мөрөнд 2 -р мөрийг -1 доллараар үржүүлсэн тоог нэмнэ.

$ \ эхлэх (массив) (cccc | c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10 \\ 0 & 0 & 3 & 0 & 6 \\ \ end (массив) $

Бид 2 -р мөрийг $ -1 доллараар үржүүлж, 4 -р мөрийг 3 доллараар хувааж, 3 -р мөрийг солино.

$ \ эхлэх (массив) (cccc | c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10 \\ \ end (массив) $

Одоо сүүлчийн мөрийг $ -5 доллараар үржүүлсэн тоог нэмнэ үү.

$ \ эхлэх (массив) (cccc | c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \ end (массив) $

Бид үүссэн тэгшитгэлийн системийг шийддэг.

$ \ эхлэх (тохиолдлууд) m = 0 \\ g = 2 \\ y + m = 2 \ \ x + 3y + 2g + m = 11 \ төгсгөл (тохиолдлууд) $

16-18-р зууны эхэн үеэс математикчид функцийг эрчимтэй судалж эхэлсэн бөгөөд үүний ачаар бидний амьдралд маш их зүйл өөрчлөгдсөн. Энэхүү мэдлэггүйгээр компьютерийн технологи байхгүй болно. Нарийн төвөгтэй асуудлууд, шугаман тэгшитгэл, функцуудыг шийдвэрлэхийн тулд янз бүрийн ойлголт, теорем, шийдлийн техникүүдийг бий болгосон. Шугаман тэгшитгэл ба тэдгээрийн системийг шийдвэрлэх ийм түгээмэл, оновчтой арга, аргуудын нэг бол Гауссын арга байв. Матриц, тэдгээрийн зэрэг, тодорхойлогчид - бүх зүйлийг нарийн төвөгтэй үйлдлүүдгүйгээр тооцоолж болно.

SLAE гэж юу вэ

Математикт SLAE гэсэн ойлголт байдаг - шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн систем. Энэ ямар байна вэ? Энэ нь шаардлагатай n үл мэдэгдэх тоо хэмжээ бүхий m тэгшитгэлүүдийн багц бөгөөд ихэвчлэн x, y, z, эсвэл x 1, x 2 ... x n эсвэл бусад тэмдэгтээр тэмдэглэгддэг. Энэ системийг Гауссын аргаар шийдэх гэдэг нь үл мэдэгдэх бүх зүйлийг олох гэсэн үг юм. Хэрэв систем ижил тооны үл мэдэгдэх ба тэгшитгэлтэй бол түүнийг n дарааллын систем гэж нэрлэдэг.

SLAE -ийг шийдвэрлэх хамгийн түгээмэл аргууд

Дунд боловсролын боловсролын байгууллагуудад ийм системийг шийдвэрлэх янз бүрийн аргуудыг судалж байна. Ихэнхдээ эдгээр нь үл мэдэгдэх хоёр зүйлээс бүрддэг энгийн тэгшитгэлүүд байдаг тул тэдэнд хариулт өгөх ямар ч арга их цаг хугацаа шаарддаггүй. Энэ нь нэг тэгшитгэлээс өөр нэгийг гаргаж, эх хувилбараар орлуулах үед орлуулах арга шиг байж болно. Эсвэл үе үе хасах, нэмэх арга. Гэхдээ Гауссын аргыг хамгийн хялбар, хамгийн уян хатан гэж үздэг. Энэ нь олон тооны үл мэдэгдэх тэгшитгэлийг шийдвэрлэх боломжийг олгодог. Энэ тусгай техникийг яагаад оновчтой гэж үздэг вэ? Энэ нь энгийн. Матрицын аргын сайн тал нь шаардлагагүй тэмдгийг хэд хэдэн удаа дахин бичих шаардлагагүй бөгөөд коэффициент дээр арифметик үйлдэл хийхэд хангалттай бөгөөд та найдвартай үр дүнд хүрэх болно.

SLAE -ийг практикт хаана ашигладаг

SLAE -ийн шийдэл нь функцын график дээрх шугамын огтлолцох цэгүүд юм. Манай өндөр технологийн компьютерийн эрин үед тоглоом болон бусад програмыг хөгжүүлэхтэй нягт холбоотой хүмүүс ийм системийг хэрхэн шийдвэрлэх, юуг төлөөлж, үр дүнгийн зөв эсэхийг хэрхэн шалгахаа мэддэг байх ёстой. Ихэнхдээ програмистууд шугаман алгебрийг тооцоолох тусгай програм боловсруулдаг бөгөөд үүнд шугаман тэгшитгэлийн систем багтдаг. Гауссын арга нь одоо байгаа бүх шийдлийг тооцоолох боломжийг олгодог. Бусад хялбаршуулсан томъёо, техникийг бас ашигладаг.

SLAE -ийн нийцтэй байдлын шалгуур

Ийм системийг нийцэж байж л шийдэж болно. Ойлгомжтой болгохын тулд бид SLAE -ийг Ax = b хэлбэрээр төлөөлдөг. Rang (A) нь rang (A, b) -тэй тэнцүү байвал энэ нь шийдэлтэй болно. Энэ тохиолдолд (A, b) нь чөлөөт нөхцлөөр дахин бичиж А матрицаас авах боломжтой өргөтгөсөн матриц юм. Гауссын аргаар шугаман тэгшитгэлийг шийдвэрлэх нь маш хялбар байдаг.

Зарим тэмдэглэгээ нь бүрэн тодорхой биш байгаа тул бүх зүйлийг жишээгээр авч үзэх шаардлагатай байна. Систем байна гэж бодъё: x + y = 1; 2x-3y = 6. Энэ нь ердөө хоёр үл мэдэгдэх хоёр тэгшитгэлээс бүрдэнэ. Матрицын зэрэглэл нь өргөтгөсөн матрицын зэрэглэлтэй тэнцсэн тохиолдолд л систем шийдэлтэй болно. Цол гэж юу вэ? Энэ бол систем дэх бие даасан шугамын тоо юм. Манай тохиолдолд матрицын зэрэглэл 2. А матриц нь үл мэдэгдэх зүйлсийн ойролцоо байрлах коэффициентүүдээс бүрдэх бөгөөд “=” тэмдгийн ард байгаа коэффициентүүдийг мөн өргөтгөсөн матрицад оруулсан болно.

SLAE -ийг яагаад матриц хэлбэрээр дүрсэлж болох вэ?

Батлагдсан Kronecker-Capelli теоремын дагуу нийцтэй байдлын шалгуурыг үндэслэн шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг матриц хэлбэрээр дүрсэлж болно. Гауссын каскадын аргыг ашигласнаар та матрицыг шийдэж, бүхэл бүтэн системийн найдвартай хариултыг авах боломжтой болно. Хэрэв ердийн матрицын зэрэглэл нь түүний өргөтгөсөн матрицын зэрэглэлтэй тэнцүү боловч үл мэдэгдэх тооноос бага байвал систем нь хязгааргүй олон тооны хариулттай болно.

Матрицын хувиргалт

Матрицыг шийдэхийн өмнө тэдгээрийн элементүүд дээр ямар үйлдэл хийж болохыг мэдэх хэрэгтэй. Хэд хэдэн үндсэн өөрчлөлтүүд байдаг:

Системийг матриц хэлбэрээр дахин бичиж, түүний шийдлийг хэрэгжүүлснээр цувралын бүх элементүүдийг ижил коэффициентоор үржүүлэх боломжтой болно.
Матрицыг каноник хэлбэрт оруулахын тулд хоёр зэрэгцээ мөрийг сольж болно. Каноник хэлбэр нь үндсэн диагональ дээр байрладаг матрицын бүх элементүүд нэг болж, бусад нь тэг болно гэсэн үг юм.
Матрицын зэрэгцээ мөрүүдийн харгалзах элементүүдийг бие биендээ нэмж болно.

Жордан-Гауссын арга

Шугаман нэгэн төрлийн ба нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн системийг Гауссын аргаар шийдвэрлэхийн мөн чанар нь үл мэдэгдэх зүйлийг аажмаар арилгахад оршино. Бидэнд үл мэдэгдэх хоёр тэгшитгэлийн систем бий гэж бодъё. Тэдгээрийг олохын тулд та системийн нийцтэй байдлыг шалгах хэрэгтэй. Гауссын тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд маш энгийн. Үл мэдэгдэх бүрийн ойролцоо байрладаг коэффициентүүдийг матриц хэлбэрээр бичих шаардлагатай. Системийг шийдэхийн тулд өргөтгөсөн матриц бичих шаардлагатай. Хэрэв тэгшитгэлийн аль нэгэнд үл мэдэгдэх тоо цөөн байвал алга болсон элементийн оронд "0" тавих ёстой. Мэдэгдэж буй хувиргах бүх аргыг матрицад ашигладаг: үржүүлэх, тоогоор хуваах, цувралын харгалзах элементүүдийг бие биендээ нэмэх гэх мэт. Мөр бүрт "1" гэсэн утгатай нэг хувьсагчийг үлдээх шаардлагатай бөгөөд үлдсэнийг нь тэг хэлбэрт оруулах ёстой. Илүү нарийвчлалтай ойлгохын тулд Гауссын аргыг жишээгээр авч үзэх шаардлагатай.

2x2 системийн шийдлийн энгийн жишээ

Эхлэхийн тулд алгебрийн тэгшитгэлийн энгийн системийг авч үзье, үүнд 2 үл мэдэгдэх зүйл байх болно.

Өргөтгөсөн матриц руу дахин бичье.

Энэхүү шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдэхийн тулд ердөө хоёр үйлдлийг хийх шаардлагатай. Матрицыг каноник хэлбэрт оруулах хэрэгтэй бөгөөд ингэснээр үндсэн диагональ дээр нэгжүүд байх болно. Тиймээс матрицын хэлбэрээс систем рүү шилжүүлснээр бид 1x + 0y = b1 ба 0x + 1y = b2 тэгшитгэлийг олж авдаг бөгөөд b1 ба b2 нь шийдвэрлэх явцад олж авсан хариултууд юм.

Өргөтгөсөн матрицыг шийдвэрлэх эхний үйлдэл нь дараах байдалтай байна: хоёр дахь тэгшитгэлд үл мэдэгдэх нэг зүйлийг арилгахын тулд эхний мөрийг -7 -аар үржүүлж, харгалзах элементүүдийг хоёр дахь эгнээнд тус тус оруулах ёстой.
Гауссын аргаар тэгшитгэлийн шийдэл нь матрицыг каноник хэлбэрт оруулахыг шаарддаг тул эхний тэгшитгэлтэй ижил үйлдлийг хийж, хоёр дахь хувьсагчийг хасах шаардлагатай болно. Үүнийг хийхийн тулд эхний мөрөөс хоёр дахь мөрийг хасаад шаардлагатай хариултыг аваарай - SLAE -ийн шийдэл. Эсвэл зураг дээр үзүүлсэн шиг бид хоёр дахь эгнээг -1 дахин үржүүлж, хоёр дахь эгнээний элементүүдийг эхний эгнээнд нэмнэ. Энэ ч мөн адил.

Таны харж байгаагаар манай системийг Жордан-Гауссын аргаар шийдсэн. Бид үүнийг шаардлагатай хэлбэрээр дахин бичнэ үү: x = -5, y = 7.

SLAE 3x3 -ийг шийдвэрлэх жишээ

Бидэнд илүү төвөгтэй шугаман тэгшитгэлийн систем байна гэж бодъё. Гауссын арга нь хамгийн ойлгомжгүй мэт санагдах системийн хариултыг тооцоолох боломжийг олгодог. Тиймээс тооцоолох аргачлалыг илүү гүнзгий судлахын тулд гурван үл мэдэгдэх илүү төвөгтэй жишээ рүү шилжиж болно.

Өмнөх жишээний нэгэн адил бид системийг өргөтгөсөн матриц хэлбэрээр дахин бичиж, каноник хэлбэрт оруулж эхлэв.

Энэ системийг шийдэхийн тулд та өмнөх жишээнээс хамаагүй олон үйлдэл хийх шаардлагатай болно.

Нэгдүгээрт, та эхний баганад нэг нэгжийн элемент болон үлдсэн тэгүүдийг хийх хэрэгтэй. Үүнийг хийхийн тулд эхний тэгшитгэлийг -1 -ээр үржүүлж, хоёр дахь тэгшитгэлийг нэмнэ үү. Бид эхний мөрийг анхны хэлбэрээр нь дахин бичиж, хоёр дахь хэсгийг нь аль хэдийн өөрчилсөн гэдгийг санах нь чухал юм.
Дараа нь бид эхний үл мэдэгдэх зүйлийг гурав дахь тэгшитгэлээс хасдаг. Үүнийг хийхийн тулд эхний эгнээний элементүүдийг -2 -оор үржүүлж, гурав дахь эгнээнд нэмнэ. Одоо эхний ба хоёр дахь мөрүүдийг анхны хэлбэрээр, гурав дахь хэсгийг нь өөрчилсөн болно. Үр дүнгээс харахад матрицын үндсэн диагоналийн эхэнд эхний тэгийг олж авлаа. Дахиад хэдэн алхам, Гауссын аргаар тэгшитгэлийн системийг найдвартай шийдвэрлэх болно.
Одоо мөрүүдийн бусад элементүүд дээр үйлдэл хийх шаардлагатай байна. Гурав ба дөрөв дэх үйлдлийг нэг дор нэгтгэж болно. Диагональ дээрх хасах хэсгүүдийг арилгахын тулд та хоёр ба гурав дахь эгнээг -1 -ээр хуваах хэрэгтэй. Бид гурав дахь мөрийг шаардлагатай маягтанд аль хэдийн авчирсан.
Дараа нь бид хоёр дахь мөрийг каноник хэлбэрт оруулах болно. Үүнийг хийхийн тулд бид гурав дахь эгнээний элементүүдийг -3 -аар үржүүлж, матрицын хоёр дахь мөрөнд нэмнэ. Үр дүнгээс харахад хоёрдахь мөрийг мөн бидний хүссэн хэлбэр болгон бууруулсан болно. Дахиад хэдэн үйлдэл хийж, үл мэдэгдэх зүйлийн коэффициентийг эхний эгнээнээс хасах болно.
Шугамын хоёр дахь элементээс 0 болгохын тулд та гурав дахь мөрийг -3 -аар үржүүлж, эхний мөрөнд нэмэх хэрэгтэй.
Дараагийн шийдвэрлэх алхам бол хоёр дахь эгнээний шаардлагатай элементүүдийг эхний мөрөнд нэмэх явдал юм. Тиймээс бид матрицын каноник хэлбэр, үүний дагуу хариултыг олж авдаг.

Таны харж байгаагаар тэгшитгэлийг Гауссын аргаар шийдвэрлэх нь маш энгийн.

4х4 хэмжээтэй тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх жишээ

Зарим нарийн төвөгтэй тэгшитгэлийн системийг компьютерийн програм ашиглан Гауссын аргаар шийдэж болно. Үл мэдэгдэх коэффициентүүдийг одоо байгаа хоосон нүдэнд оруулах шаардлагатай бөгөөд програм өөрөө алхам бүрийг нарийвчлан тайлбарлаж шаардлагатай үр дүнг тооцоолох болно.

Ийм жишээг шийдэх алхам алхмаар зааварчилгааг доор өгөв.

Эхний үйлдэлд чөлөөт коэффициент, үл мэдэгдэх тоог хоосон нүдэнд оруулна. Тиймээс бид гараар бичсэн өргөтгөсөн матрицыг олж авдаг.

Өргөтгөсөн матрицыг каноник хэлбэрт оруулахын тулд шаардлагатай бүх арифметик үйлдлүүдийг хийдэг. Тэгшитгэлийн системийн хариулт нь бүхэл тоо биш гэдгийг ойлгох ёстой. Заримдаа шийдэл нь бутархай тоо байж болно.

Уусмалын зөв эсэхийг шалгаж байна

Жордан-Гауссын арга нь үр дүнгийн зөв эсэхийг шалгах боломжийг олгодог. Коэффициентийг зөв тооцоолсон эсэхийг мэдэхийн тулд үр дүнг анхны тэгшитгэлийн системд орлуулах хэрэгтэй. Тэгшитгэлийн зүүн тал нь тэгш тэмдгийн ард байрлах баруун талтай таарч байх ёстой. Хэрэв хариултууд давхцахгүй бол та системийг дахин тооцоолох эсвэл SLAE-ийг шийдвэрлэх өөр аргыг ашиглахыг оролдох хэрэгтэй, тухайлбал орлуулах эсвэл үе үе хасах, нэмэх. Эцсийн эцэст математик бол асар олон тооны шийдлийн аргуудтай шинжлэх ухаан юм. Гэхдээ санаж байгаарай: ямар шийдэл ашигласан хамаагүй үр дүн нь үргэлж ижил байх ёстой.

Гауссын арга: SLAE -ийг шийдвэрлэх явцад гардаг хамгийн нийтлэг алдаа

Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхдээ коэффициентийг матриц хэлбэрт буруу шилжүүлэх гэх мэт алдаа ихэвчлэн гардаг. Тэгшитгэлийн аль нэгэнд үл мэдэгдэх зүйл байхгүй, дараа нь өгөгдлийг өргөтгөсөн матриц руу шилжүүлснээр алдагдах боломжтой системүүд байдаг. Үүний үр дүнд, энэ системийг шийдвэрлэх үед үр дүн нь бодит байдалтай тохирохгүй байж магадгүй юм.

Өөр нэг гол алдаа бол эцсийн үр дүнг буруу бичих явдал юм. Эхний коэффициент нь системээс үл мэдэгдэх эхнийхтэй, хоёр дахь нь хоёрдугаарт хамаарах болно гэдгийг тодорхой ойлгох шаардлагатай байна.

Гауссын аргад шугаман тэгшитгэлийн шийдлийг нарийвчлан тайлбарласан болно. Түүний ачаар шаардлагатай үйлдлүүдийг хийж, зөв үр дүнг олоход хялбар байдаг. Үүнээс гадна, энэ нь аливаа нарийн төвөгтэй тэгшитгэлд найдвартай хариулт олох түгээмэл хэрэгсэл юм. Магадгүй энэ нь SLAE -ийг шийдвэрлэхэд ихэвчлэн ашиглагддаг байх.

Боловсролын байгууллага "Беларусь улс

Хөдөө аж ахуйн академи "

Дээд математикийн тэнхим

Арга зүйн заавар

"Гауссын шугаман системийг шийдвэрлэх арга." сэдвийг судалж байна

тэгшитгэл "захидал харилцааны боловсролын нягтлан бодох бүртгэлийн ангийн оюутнуудын хийсэн (NISPO)

Горки, 2013 он

Гауссын шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх арга

Эквивалент тэгшитгэлийн системүүд

Шугаман тэгшитгэлийн хоёр системийг аль нэгнийх нь шийдэл бүр нөгөөгийнх нь шийдэл бол тэнцүү гэж хэлдэг. Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх үйл явц нь үүнийг дараалсан эквивалент систем болгон хувиргах явдал юм анхан шатны өөрчлөлтүүд , аль нь юм:

1) системийн аль ч хоёр тэгшитгэлийг солих;

2) системийн аливаа тэгшитгэлийн хоёр талыг тэг бус тоогоор үржүүлэх;

3) дурын тоогоор үржүүлсэн өөр тэгшитгэлийг аливаа тэгшитгэлд нэмэх;

4) тэгээс бүрдэх тэгшитгэлийг устгах, өөрөөр хэлбэл. хэлбэрийн тэгшитгэл.

Гауссын үл хамаарах зүйлүүд

Системийг анхаарч үзээрэй мбүхий шугаман тэгшитгэл nүл мэдэгдэх:

Гауссын арга буюу үл мэдэгдэх зүйлийг дараалан устгах аргын мөн чанар нь дараах байдалтай байна.

Нэгдүгээрт, энгийн хувиргалтын тусламжтайгаар үл мэдэгдэх нь системийн бүх тэгшитгэлээс хасагдах болно, эхнийхээс бусад. Ийм системийн өөрчлөлтийг нэрлэдэг Гауссын устгах алхам ... Үл мэдэгдэх гэж нэрлэдэг шийдвэрлэх хувьсагч өөрчлөлтийн эхний алхам дээр. Коэффициент гэж нэрлэдэг шийдвэрлэх хүчин зүйл , эхний тэгшитгэл гэж нэрлэдэг тэгшитгэлийг шийдвэрлэх , ба коэффициентүүдийн багана зөвшөөрөх багана .

Гауссын устгах нэг алхам хийхдээ дараах дүрмийг баримтлах хэрэгтэй.

1) шийдвэрлэх тэгшитгэлийн коэффициент ба чөлөөт хугацаа өөрчлөгдөөгүй хэвээр байх;

2) нарийвчлалын коэффициентийн доор байрлах нарийвчлалын баганын коэффициентууд алга болно;

3) эхний алхам дахь бусад бүх коэффициент ба чөлөөт нөхцлийг тэгш өнцөгтийн дүрмийн дагуу тооцоолно.

, хаана би=2,3,…,м; j=2,3,…,n.

Бид системийн хоёр дахь тэгшитгэл дээр ижил төстэй өөрчлөлтийг хийдэг. Энэ нь эхний хоёроос бусад бүх тэгшитгэлд үл мэдэгдэх зүйлийг арилгах системийг бий болгоно. Системийн тэгшитгэл бүр дээр ийм өөрчлөлт хийсний үр дүнд (Гауссын аргын шууд чиглэл) анхны системийг дараахь төрлүүдийн аль нэгтэй тэнцэх шатлалтай систем болгон бууруулсан болно.

Гауссын аргыг буцаана уу

Алхамын систем

гурвалжин хэлбэртэй ба бүгд (би=1,2,…,n). Ийм системд ганцхан шийдэл бий. Үл мэдэгдэх зүйлийг сүүлчийн тэгшитгэлээс эхлэн тодорхойлно (Гауссын аргын эсрэг).

Шатны систем нь хэлбэртэй байна

хаана, өөрөөр хэлбэл систем дэх тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх тооноос бага буюу тэнцүү байна. Энэ систем нь шийдэлгүй, учир нь сүүлийн тэгшитгэл нь хувьсагчийн утгыг харгалзахгүй.

Алхам хэлбэрийн систем

тоолж баршгүй олон шийдэлтэй. Сүүлийн тэгшитгэлээс үл мэдэгдэх зүйлийг үл мэдэгдэх зүйлээр илэрхийлдэг ... Дараа нь төгсгөлийн тэгшитгэлд үл мэдэгдэх зүйлийн оронд түүний илэрхийлэлийг үл мэдэгдэх зүйлээр орлуулдаг ... Гауссын аргын урвуу чиглэлийг үргэлжлүүлж, үл мэдэгдэх зүйлүүд үл мэдэгдэх байдлаар илэрхийлж болно ... Энэ тохиолдолд үл мэдэгдэх зүйлүүд гэж нэрлэдэг үнэгүй мөн ямар ч үнэ цэнэ, үл мэдэгдэх зүйлийг авч болно үндсэн

Системийн практик шийдэлд бүх хувиргалтыг тэгшитгэлийн системээр бус харин үл мэдэгдэх коэффициент ба чөлөөт нэр томъёоны баганаас бүрдсэн системийн өргөтгөсөн матрицаар хийх нь тохиромжтой байдаг.

Жишээ 1... Тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх

Шийдэл... Системийн өргөтгөсөн матриц зохиож, энгийн хувиргалтыг хийцгээе.

Системийн өргөтгөсөн матрицад 3 -р тоо (үүнийг тодруулсан болно) нь шийдвэрлэх хүчин зүйл, эхний мөр нь шийдвэрлэх мөр, эхний багана нь шийдвэрлэх багана юм. Дараагийн матриц руу шилжих үед шийдвэрлэх мөр өөрчлөгдөхгүй бөгөөд шийдвэрлэх элементийн доорх шийдвэрлэх баганын бүх элементүүдийг тэгээр солино. Матрицын бусад бүх элементүүдийг дөрвөлжин дүрмийн дагуу дахин тооцоолно. Хоёр дахь мөрийн 4 -р элементийн оронд бичих , -3 элементийн оронд хоёр дахь мөрөнд агуулагдах болно гэх мэт Тиймээс хоёр дахь матрицыг олж авах болно. Энэ матрицад шийдвэрлэх элемент нь хоёр дахь эгнээний 18 тоо байх болно. Дараагийн (гуравдахь матриц) үүсгэхийн тулд бид хоёр дахь мөрийг хэвээр үлдээж, шийдвэрлэх элементийн доор баганад тэг гэж бичээд үлдсэн хоёр элементийг дахин тооцоолно уу: 1 тооны оронд бичнэ үү. , 16 тооны оронд бид бичдэг.