Өргөдөл

Оюутнууд дамжуулсан материалыг нэгтгэхийн тулд дифференциал тэгшитгэлийг сайт дээр онлайнаар шийдвэрлэх. Мөн практик ур чадвараа сургах. Онлайн дифференциал тэгшитгэл. Дифура онлайн, математикийг онлайнаар шийддэг. Математикийн асуудлыг онлайнаар алхам алхамаар шийдвэрлэх. Дифференциал тэгшитгэлийн эрэмбэ эсвэл зэрэг нь түүнд багтсан деривативуудын хамгийн дээд дараалал юм. Онлайн дифференциал тэгшитгэл. Дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үйл явцыг интеграл гэж нэрлэдэг. Мэдэгдэж буй функцээр хязгаарлагдмал хэлбэрээр илэрхийлэгдсэн эсэхээс үл хамааран үл мэдэгдэх функцийн олдворыг квадрат болгон бууруулж чадвал дифференциал тэгшитгэлийг нэгтгэх асуудлыг шийдсэн гэж үзнэ. Онлайнаар дифференциал тэгшитгэлийг алхам алхамаар шийдэх. Бүх дифференциал тэгшитгэлийг нэг аргументаас зөвхөн функцууд (тэдгээрийн деривативууд), орж ирж буй функцууд нь олон хувьсагчдаас хамаардаг хэсэгчилсэн дифференциал тэгшитгэлүүд (PDE) -ийг багтаасан энгийн (ODE) гэж хувааж болно. Онлайн дифференциал тэгшитгэл. Стохастик процессыг багтаасан стохастик дифференциал тэгшитгэл (SDEs) бас байдаг. Онлайнаар дифференциал тэгшитгэлийг алхам алхамаар шийдэх. Дериватив, функц, бие даасан хувьсагчийн хослолоос хамааран дифференциал тэгшитгэлийг шугаман ба шугаман бус, тогтмол эсвэл хувьсах коэффициенттэй, нэг төрлийн эсвэл нэг төрлийн бус гэж хуваадаг. Хэрэглээний ач холбогдлын үүднээс квазилинар (хамгийн өндөр деривативын хувьд шугаман) хэсэгчилсэн дифференциал тэгшитгэлийг тусад нь ангилдаг. Дифференциал тэгшитгэлийн шийдлүүдийг ерөнхий ба тусгай шийдлүүдэд хуваана. Онлайн дифференциал тэгшитгэл. Ерөнхий шийдэлд тодорхой бус тогтмолууд, хэсэгчилсэн дифференциал тэгшитгэлийн хувьд нэмэлт интеграцийн нөхцлүүдээр (энгийн дифференциал тэгшитгэлийн анхны нөхцөлүүд, хэсэгчилсэн дифференциал тэгшитгэлүүдийн анхны ба хилийн нөхцлүүд) сайжруулж болох бие даасан хувьсагчдын дурын функцууд орно. Онлайнаар дифференциал тэгшитгэлийг алхам алхамаар шийдэх. Үзүүлсэн тогтмол ба тодорхойгүй функцүүдийн хэлбэрийг тодорхойлсны дараа шийдлүүд хувийн болно. Энгийн дифференциал тэгшитгэлийн шийдлийг хайх нь тусгай функцүүдийн ангиллыг бий болгоход хүргэсэн - мэдэгдэж буй энгийн функцээр илэрхийлэгдээгүй програмуудад ихэвчлэн тохиолддог функцууд. Онлайн дифференциал тэгшитгэл. Тэдний шинж чанарыг нарийвчлан судалж, үнэт зүйлсийн хүснэгтийг эмхэтгэж, харилцан хамаарлыг тодорхойлсон гэх мэт. ... Тоологдсон тоонуудын багцыг судалж болно. Даалгаварт хамгийн сайн хариулт өгөх болно. Дифференциал тэгшитгэлүүдийн нэгдэх бүс рүү гарах векторыг дээд хязгаарыг олохгүйгээр эхний ойролцоо байдлаар хэрхэн олох вэ. Математикийн функцийг нэмэгдүүлэх сонголт нь тодорхой байна. Судалгааны түвшингээс дээш дэвшилтэт арга байдаг. Асуудлын анхны нөхцлийн дагуу дифференциалын шийдлийг уялдуулах нь хоёрдмол утгагүй сонгосон утгыг олоход тусална. Тэр үл мэдэгдэх зүйлийг тэр даруй олж тогтоох боломжтой байж магадгүй юм. Математикийн бодлогын шийдлийг зааж өгөх өмнөх жишээний нэгэн адил шугаман дифференциал тэгшитгэл нь тодорхой хугацааны тодорхой асуудлын хариулт юм. Судалгааны журмын арчилгаа нь орон нутагт тодорхойлогдоогүй байна. Оюутан бүрийн жишээг олж, дифференциал тэгшитгэлийн шийдэл нь даалгавар гүйцэтгэгчийг дор хаяж хоёр утгаар тодорхойлох болно. Тодорхой сегмент дэх нийт утгын функцийг аваад аль тэнхлэгийн дагуу цоорхой гарахыг анхааруулна уу. Дифференциал тэгшитгэлийг онлайнаар судалж үзсэний үндсэн дээр эхний нөхцлөөс өгсөн бол үр дүн нь ямар чухал болохыг хоёрдмол утгагүйгээр харуулах боломжтой болно. Функцийн тодорхойлолтоос тухайн бүс нутгийг хасах боломжгүй, учир нь энэ ажлыг орон нутагт хийх тодорхойлолт байдаггүй. Тэгшитгэлийн системээс олж мэдсэний үндсэн дээр хариулт нь ерөнхий утгаар нь тооцоолж болох хувьсагчийг агуулдаг боловч дээрх нөхцлийг тодорхойлох замаар дифференциал тэгшитгэлийг энэ үйлдэлгүйгээр онлайнаар шийдвэрлэх боломжтой нь ойлгомжтой. Сегментийн интервалын дэргэд дифференциал тэгшитгэлийг онлайнаар шийдвэрлэх нь оюутны мэдлэг буурах үед судалгааны үр дүнг эерэг чиглэлд хэрхэн хөдөлгөж болохыг харж болно. Хамгийн сайн нь бизнесийн нийтлэг, хүлээн зөвшөөрөгдсөн хандлагын үр дүн биш юм. 2x томруулалтын түвшинд та шаардлагатай бүх шугаман дифференциал тэгшитгэлийг байгалийн дүрслэлээр үзэх боломжтой боловч тоон утгыг тооцоолох чадвар нь илүү сайн мэдлэг олж авах болно. Математикийн аливаа техникийн хувьд нэг төрлийн эсвэл нийлмэл гэх мэт өөр өөр илэрхийлэлээр илэрхийлэгддэг дифференциал тэгшитгэлүүд байдаг. Функцийг судлах ерөнхий дүн шинжилгээ хийсний дараа боломжуудын багц болгон дифференциалын шийдэл нь утгын тодорхой алдаа болох нь тодорхой болно. Үнэн нь abscissa шугамын дээрх орон зайд оршдог. Нарийн төвөгтэй функцын аль нэг хэсэгт, түүний тодорхойлолтод шугаман дифференциал тэгшитгэл нь хариултыг аналитик хэлбэрээр танилцуулах боломжтой болно. энэ нь ерөнхий утгаараа мөн чанар юм. Хувьсагчийг солиход юу ч өөрчлөгдөхгүй. Гэсэн хэдий ч та хариултыг онцгой сонирхож үзэх хэрэгтэй. Үнэн хэрэгтээ тооцоолуур нь харьцааг өөрчилдөг, өөрөөр хэлбэл дэлхийн утгатай пропорциональ дифференциал тэгшитгэлийн шийдлийг хайж буй шийдлийн хүрээнд хэрхэн зааж өгдөг. Зарим тохиолдолд олон нийтийн алдааны талаар анхааруулах нь зайлшгүй юм. Онлайн дифференциал тэгшитгэл нь асуудлын талаархи ерөнхий ойлголтыг хэрэгжүүлдэг боловч эцсийн дүндээ кросс бүтээгдэхүүний эерэг талыг аль болох хурдан төсөөлөх шаардлагатай болдог. Математикийн хувьд тооны онолын алдааны тохиолдол ховор тохиолддог. Баталгаажуулалт зайлшгүй шаардлагатай болно. Мэдээжийн хэрэг, энэ эрхийг мэргэжлийнхээ хүмүүст өгөх нь илүү дээр юм.Тэдний туршлага асар их бөгөөд эерэг тул дифференциал тэгшитгэлийг онлайнаар шийдвэрлэхэд туслах болно. Зураг ба талбайн гадаргуу дээрх ялгаа нь дифференциал тэгшитгэлийг онлайнаар шийдвэрлэхгүй байх боломжийг танд олгоно, гэхдээ огтлолцохгүй объектуудын багц нь тэнхлэгтэй параллель байх болно. Үүний үр дүнд та хоёр дахин их утгыг авах боломжтой. Албан ёсны тэмдэглэгээний зөв байдлын талаархи бидний ойлголт нь харах талбарт болон үр дүнгийн чанарыг санаатайгаар хэт өндөр үнэлэхтэй холбоотой шугаман дифференциал тэгшитгэлийг өгдөг. Бүх оюутнуудад сонирхолтой сэдвээр хийсэн хэлэлцүүлгийг тоймд хэд хэдэн удаа нийтэлдэг. Лекцийн бүх хичээлийг судлах явцад бид үнэнийг зөрчилдөхгүй бол дифференциал тэгшитгэл ба шинжлэх ухааны холбогдох чиглэлээр анхаарлаа хандуулах болно. Аялалын эхэнд олон үе шатаас зайлсхийх боломжтой. Хэрэв дифференциалын шийдэл нь оюутнуудын хувьд үндсэндээ шинэ зүйл хэвээр байгаа бол хуучныг огт мартдаггүй, харин өндөр хурдтай ирээдүй рүү урагшлах болно. Эхэндээ математикийн асуудлын нөхцөл өөр өөр байдаг боловч үүнийг баруун талын догол мөрөнд тусгасан болно. Тодорхойлолтоор тогтоосон хугацаа дууссаны дараа векторын хөдөлгөөний янз бүрийн хавтгайд пропорциональ хамааралтай үр дүн гарах магадлалыг үгүйсгэхгүй. Ийм энгийн тохиолдлыг засч залруулахын зэрэгцээ шугаман дифференциал тэгшитгэлийг тооцоолуур дээр ерөнхий хэлбэрээр дүрсэлсэн тул илүү хурдан бөгөөд офсет тооцоо нь буруу үзэл бодолд хүргэхгүй. Онолын дагуу нэрлэгдсэн таван тохиолдол л болж буй зүйлийн хил хязгаарыг давж чадна. Бидний дифференциал тэгшитгэлийн шийдэл нь функциональ орон зайг задлах эхний үе шатанд тоон утгыг гараар тооцоолоход тусална. Зөв газруудад дөрвөн шугамын холбоо барих цэгийг ерөнхий утгаар илэрхийлэх шаардлагатай. Гэхдээ хэрэв та даалгавраа орлуулах шаардлагатай бол нарийн төвөгтэй байдлыг тэнцүүлэхэд хялбар байх болно. Анхны өгөгдөл нь зэргэлдээ хөлийг зохион бүтээхэд хангалттай бөгөөд онлайн дифференциал тэгшитгэл нь зүүн тийш харсан бөгөөд нэг талын гадаргуу нь вектор ротор руу чиглэсэн болно. Дээд хязгаараас давсан тохиолдолд заасан нөхцлөөс хэтэрсэн тоон утгыг авах боломжтой. Математикийн томъёог харгалзан үзэж, пропорцын нийт утгын гурван үл мэдэгдэх зардлаар дифференциал тэгшитгэлийг онлайнаар шийдвэрлэх боломжтой. Орон нутгийн тооцооллын арга хүчин төгөлдөр байна. Координатын систем нь хавтгайн харьцангуй хөдөлгөөнд тэгш өнцөгт хэлбэртэй байдаг. Онлайнаар дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь тодорхой өгөгдсөн функцын графикийн дээр байрлах шулуун шугамын бүхэл бүтэн матрицын тодорхойлолтуудыг ашиглан тооцоолсон цэвэрлэгээний талд хоёрдмол утгагүйгээр дүгнэлт хийх боломжийг бидэнд олгодог. Хэрэв та гурван хагас бөмбөрцгийн холбоо барих цэг рүү хөдөлгөөний вектор хэрэглэвэл шийдэл нь дамжин өнгөрөх болно. Тэгш өнцөгтийг хажуу тийш эргүүлэх замаар цилиндрийг олж авдаг бөгөөд шугаман дифференциал тэгшитгэл нь түүний хөдөлгөөний хуулийн өгсөн илэрхийллийн дагуу цэгийн хөдөлгөөний чиглэлийг харуулах боломжтой болно. Анхны өгөгдөл зөв бөгөөд математикийн асуудлыг нэг энгийн нөхцөлд сольж болно. Гэсэн хэдий ч нөхцөл байдлаас шалтгаалан боловсруулсан дэд асуудлын нарийн төвөгтэй байдлыг харгалзан дифференциал тэгшитгэл нь гурван орон зайн түвшинд тоон орон зайг тооцоолох үйл явцыг хялбаршуулдаг. Өөрөөр нотлох нь амархан боловч дээр дурдсан жишээн дээрх шиг үүнээс зайлсхийх боломжтой. Дээд математикийн хувьд дараахь зүйлийг тусгасан болно: аливаа асуудлыг хялбаршуулсан хэлбэрт оруулах үед сурагчдын зүгээс аль болох их хүчин чармайлт гаргах хэрэгтэй. Бие биенийхээ дээр байрлуулсан мөрүүдийг байрлуулна. Pro дифференциал шийдэл нь муруй шугам дээрх дээрх давуу талыг шинэчилсээр байна. Хэрэв та эхлээд буруу зүйлийг ойлгосон бол математикийн томъёо нь илэрхийллийн шинэ утгыг бүрдүүлэх болно. Зорилго нь профессорын тавьсан даалгаврыг шийдвэрлэх оновчтой арга юм. Хялбаршуулсан хэлбэрийн шугаман дифференциал тэгшитгэл нь хүлээгдэж буй үр дүнгээс давна гэж бүү бодоорой. Бид дууссан гадаргуу дээр гурван вектор байрлуулна. бие биендээ ортогональ. Бүтээгдэхүүнийг тооцоолж үзье. Илүү олон тэмдэг нэмж, үр дүнгийн илэрхийллээс функцийн бүх хувьсагчдыг бичье. Хувь хэмжээ байдаг. Тооцоолол дуусахаас өмнөх хэд хэдэн үйлдэл, дифференциал тэгшитгэлийн шийдэлд хоёрдмол утгагүй хариулт өгөхгүй, харин ординатын тэнхлэгт хуваарилагдсан хугацаа дууссаны дараа л өгөх болно. Тасалдлын цэгийн зүүн талд, функцээс шууд бус байдлаар өгөгдсөн тэнхлэгийг хамгийн сайн өсөн нэмэгдэж буй вектор руу зурж, онлайн дифференциал тэгшитгэлийг математикийн объектын доод хилийн хамгийн бага хилийн дагуу байрлуулна. Бид нэмэлт аргументийг функцын цоорхойд хавсаргана. Муруй шугам байрладаг цэгүүдийн баруун талд, бидний бичсэн нийтлэг хуваагч болгон бууруулах томъёо нь онлайнаар дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд тусална. Ерөнхийдөө онолоос практик хүртэлх шийдэгдээгүй асуудлыг тодруулах цорын ганц зөв аргыг бид хоёрдмол утгагүйгээр авч үзэх болно. Өгөгдсөн цэгүүдийн координатын чиглэл дэх шугамууд нь талбайн хэт байрлалыг хэзээ ч хааж байгаагүй боловч дифференциал тэгшитгэлийг онлайнаар шийдвэрлэх нь математикийг сурагчдад, бидэнд болон энэ чиглэлээр шинээр суралцаж буй хүмүүст хоёуланд нь туслах болно. . Үнэ цэнийн аргументийг нэг талбарын шугамын дор чухал ач холбогдолтой бүх утгуудаар орлуулах боломжийн тухай ярьж байна. Зарчмын хувьд бидний шугаман дифференциал тэгшитгэл нь өгөгдсөн утгын нэг ойлголтод тусгаарлагдсан зүйл юм. Оюутнуудад туслахын тулд ижил төстэй үйлчилгээнүүдийн дунд хамгийн сайн тооцоолууруудын нэг юм. Бүх курсээ дүүргээд өөрт хамгийн тохиромжтойг нь сонгоорой.

=

Эхний эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл. Шийдлийн жишээ.
Салгаж болох дифференциал тэгшитгэл

Дифференциал тэгшитгэл (DE). Эдгээр хоёр үг нь энгийн жирийн хүнийг айдас төрүүлдэг. Дифференциал тэгшитгэл нь олон оюутнуудад сурахад хэцүү, хэцүү зүйл мэт санагддаг. Ууууууу ... дифференциал тэгшитгэл, би яаж энэ бүхнийг даван туулах вэ?!

Энэхүү үзэл бодол, хандлага нь үндсэндээ буруу юм, учир нь үнэн хэрэгтээ Ялгаварлан гадуурхах нь энгийн бөгөөд бүр хөгжилтэй байдаг... Дифференциал тэгшитгэлийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурахын тулд та юу мэдэх, чадвартай байх ёстой вэ? Дифураг амжилттай судлахын тулд та нэгтгэх, ялгах чадвартай байх ёстой. Сэдвүүдийг илүү сайн судлах болно Нэг хувьсагчийн функцийн деривативба Хязгааргүй интеграл, дифференциал тэгшитгэлийг ойлгоход хялбар байх болно. Хэрэв та илүү сайн эсвэл бага интеграцийн ур чадвартай бол энэ сэдвийг бараг бүрэн эзэмшсэн болно гэж би хэлэх болно. Төрөл бүрийн төрөл бүрийн интегралуудыг шийдэх тусам илүү сайн болно. Яагаад? Интеграцчилах зүйл их байна. Тэгээд ялгах. Мөн маш их зөвлөж байнаолж сурах.

Тохиолдлын 95% -д хяналтын баримт бичигт 3 төрлийн 1-р зэргийн дифференциал тэгшитгэлтэй тааралддаг. салгаж болох тэгшитгэлүүдэнэ хичээл дээр бид үүнийг авч үзэх болно; нэгэн төрлийн тэгшитгэлба нэг төрлийн бус шугаман тэгшитгэл... Эхлэгчдэд диффузийг судалж эхлэхийн тулд энэхүү дараалсан хичээлүүдтэй танилцахыг зөвлөж байна, эхний хоёр өгүүллийг судалсны дараа нэмэлт семинарт ур чадвараа нэгтгэх нь гэмтээхгүй болно. тэгшитгэлийг нэгэн төрлийн болгож бууруулдаг.

Бүр ховор төрлийн дифференциал тэгшитгэл байдаг: нийт дифференциал дахь тэгшитгэл, Бернулли тэгшитгэл болон бусад. Сүүлийн хоёр төрлөөс хамгийн чухал нь нийт дифференциал тэгшитгэл юм, учир нь энэ DE -ээс гадна би шинэ материалыг авч үзэж байна. хэсэгчилсэн интеграци.

Хэрэв танд ганц хоёрхон хоног үлдвэл, тэгвэл хэт хурдан бэлтгэхэд зориулагдсанбайдаг блиц курс pdf форматаар.

Тиймээс, тэмдэглэгээг тогтоосон - явцгаая:

Эхлээд ердийн алгебрийн тэгшитгэлийг эргэн санацгаая. Тэд хувьсагч, тоог агуулдаг. Хамгийн энгийн жишээ:. Энгийн тэгшитгэлийг шийдэх гэдэг нь юу гэсэн үг вэ? Олно гэсэн үг маш олон тооЭнэ тэгшитгэлийг хангаж байна. Хүүхдүүдийн тэгшитгэл нь нэг үндэстэй болохыг харахад хялбар байдаг. Хөгжилтэй байхын тулд чек хийж, олдсон үндсийг манай тэгшитгэлээр орлуулцгаая.

- зөв тэгш байдлыг олж авсан нь шийдлийг зөв олсон гэсэн үг юм.

Ялгаа нь адилхан!

Дифференциал тэгшитгэл эхний захиалгаерөнхийдөө агуулсан:
1) бие даасан хувьсагч;
2) хамааралтай хувьсагч (функц);
3) функцийн анхны дериватив :.

1 -р эрэмбийн зарим тэгшитгэлд "x" эсвэл (ба) "тоглоом" байхгүй байж болох ч энэ нь чухал биш юм. чухалТиймээс DU -д байсананхны дериватив ба байхгүй байсанилүү өндөр захиалгын деривативууд гэх мэт.

Юу гэж байгаан ?Дифференциал тэгшитгэлийг шийдэх гэдэг нь олох гэсэн үг юм бүх олон функцуудЭнэ тэгшитгэлийг хангаж байна. Ийм функцын багц нь ихэвчлэн ийм хэлбэртэй байдаг (дурын тогтмол) гэж нэрлэдэг дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл.

Жишээ 1

Дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

Буудлагын бүрэн ачаалал. Хаанаас эхлэх вэ шийдэл?

Юуны өмнө та деривативыг арай өөр хэлбэрээр дахин бичих хэрэгтэй. Таны ихэнх хүмүүсийн хувьд инээдтэй, шаардлагагүй мэт санагдаж байсан төвөгтэй нэрийг бид санаж байна. Дифура бол үүнийг л зохицуулдаг!

Хоёрдахь шатанд үүнийг боломжтой эсэхийг шалгаарай хувьсагчдыг хуваах уу?Хувьсагчдыг хуваах гэдэг нь юу гэсэн үг вэ? Товчхондоо хэлэхэд зүүн талдбид явах хэрэгтэй зөвхөн "тоглоомчид", а баруун талдзохион байгуулах зөвхөн "x"... Хувьсагчдыг тусгаарлах ажлыг "сургуулийн" манипуляцийг ашиглан гүйцэтгэдэг: хаалт, нэр томъёог нэг хэсгээс нөгөө рүү нь шилжүүлэх, пропорциональ дүрмийн дагуу хүчин зүйлийг нэг хэсгээс нөгөө рүү шилжүүлэх гэх мэт.

Дифференциал ба бүрэн үржүүлэгч, дайтах ажиллагаанд идэвхтэй оролцогчид юм. Хяналтын жишээн дээр хувьсагчдыг пропорцын дүрмийн дагуу үржүүлэгчдийг шидэх замаар амархан салгаж болно.

Хувьсагчдыг тусгаарласан болно. Зүүн талд зөвхөн "тоглоомууд", баруун талд нь зөвхөн "X" байна.

Дараагийн шат - дифференциал тэгшитгэлийг нэгтгэх... Энэ нь маш энгийн, бид хоёр талт интегралуудыг өлгөдөг.

Мэдээжийн хэрэг интегралуудыг авах ёстой. Энэ тохиолдолд тэдгээрийг хүснэгт хэлбэрээр харуулав.

Бидний санаж байгаагаар аливаа эсрэг эмэнд тогтмол өгдөг. Энд хоёр интеграл байгаа боловч тогтмолыг нэг удаа бичихэд л хангалттай (тогтмол + тогтмол нь өөр тогтмолтай тэнцүү хэвээр байгаа тул)... Ихэнх тохиолдолд энэ нь баруун талд байрладаг.

Хатуухан хэлэхэд интегралуудыг авсны дараа дифференциал тэгшитгэлийг шийдсэн гэж үзнэ. Ганц зүйл бол бидний "тоглоом" -ыг "x" -ээр илэрхийлдэггүй, өөрөөр хэлбэл шийдлийг танилцуулдаг далд хэлбэрээрхэлбэр. Дифференциал тэгшитгэлийн далд хэлбэрийн шийдлийг нэрлэдэг дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий интеграл... Энэ бол ерөнхий интеграл юм.

Энэ хэлбэрийн хариулт нь хүлээн зөвшөөрөгдөх боловч үүнээс илүү сайн сонголт байхгүй гэж үү? Авахыг хичээцгээе нийтлэг шийдвэр.

Гуйя Эхний техникийг санаарай, энэ нь маш түгээмэл бөгөөд практик дасгалд ихэвчлэн ашиглагддаг. хэрэв нэгтгэсний дараа логарифм баруун гар талд гарч ирвэл олон тохиолдолд (гэхдээ үргэлж биш!) тогтмолыг логарифмын доор бичихийг зөвлөж байна..

Тэр бол, ОРОНДоруулгыг ихэвчлэн бичдэг .

Энэ яагаад хэрэгтэй вэ? Мөн "тоглоом" -ыг илэрхийлэхэд хялбар болгох үүднээс. Логарифмын шинж чанарыг ашиглах ... Энэ тохиолдолд:

Одоо логарифм ба модулийг устгаж болно.

Функцийг тодорхой харуулсан болно. Энэ бол ерөнхий шийдэл юм.

Хариулт: нийтлэг шийдвэр: .

Олон тооны дифференциал тэгшитгэлийн хариултыг шалгахад нэлээд хялбар байдаг. Манай тохиолдолд энэ нь маш энгийн байдлаар хийгддэг тул бид олсон шийдлийг авч, ялгадаг.

Дараа нь бид уламжлалыг анхны тэгшитгэлээр орлуулна.

- зөв тэгш байдлыг олж авсан бөгөөд энэ нь ерөнхий шийдэл нь шалгах шаардлагатай байсан тэгшитгэлийг хангаж байна гэсэн үг юм.

Өөр өөр утгыг өгснөөр та хязгааргүй олон зүйлийг олж авах боломжтой хувийн шийдлүүддифференциал тэгшитгэл. Аливаа функц, гэх мэт нь тодорхой байна. дифференциал тэгшитгэлийг хангадаг.

Ерөнхий шийдлийг заримдаа гэж нэрлэдэг функцүүдийн гэр бүл... Энэ жишээнд ерөнхий шийдэл нь байна Энэ бол шугаман функцүүдийн гэр бүл, эс тэгвээс шууд пропорциональ гэр бүл юм.

Эхний жишээг сайтар зажилсны дараа дифференциал тэгшитгэлийн талаархи хэдэн гэнэн асуултанд хариулах нь зүйтэй юм.

1)Энэ жишээнд бид хувьсагчдыг хувааж чадсан. Үүнийг үргэлж хийх боломжтой юу?Үгүй ээ үргэлж биш. Ихэнх тохиолдолд хувьсагчдыг хуваах боломжгүй байдаг. Жишээлбэл, дотор нэг төрлийн нэгдүгээр зэргийн тэгшитгэл, та эхлээд солих хэрэгтэй. Бусад төрлийн тэгшитгэлийн хувьд, жишээлбэл, шугаман нэг төрлийн бус нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэлд ерөнхий шийдлийг олохын тулд янз бүрийн техник, аргыг ашиглах шаардлагатай болдог. Эхний хичээл дээр авч үзэх салгаж болох тэгшитгэлүүд нь хамгийн энгийн дифференциал тэгшитгэл юм.

2) Дифференциал тэгшитгэлийг нэгтгэх нь үргэлж боломжтой байдаг уу?Үгүй ээ үргэлж биш. Үүнийг нэгтгэх боломжгүй "сонирхолтой" тэгшитгэлийг гаргахад маш хялбар байдаг, үүнээс гадна энгийн бус интегралууд байдаг. Гэхдээ ийм DE -ийг ойролцоогоор тусгай аргыг ашиглан шийдвэрлэх боломжтой. Д'Алемберт, Коши нар баталгаатай ... ... өө, зүгээр л их унш, бараг л "нөгөө ертөнцөөс" нэмсэн.

3) Энэ жишээнд бид ерөнхий интеграл хэлбэрийн шийдлийг олж авсан болно ... Ерөнхий интегралаас ерөнхий шийдлийг олох, өөрөөр хэлбэл "тоглоом" -ыг тодорхой хэлбэрээр илэрхийлэх нь үргэлж боломжтой байдаг уу?Үгүй ээ үргэлж биш. Жишээлбэл: . За, "тоглоом" -ыг яаж илэрхийлэх вэ?! Ийм тохиолдолд хариултыг ерөнхий интеграл болгон бичих ёстой. Нэмж дурдахад заримдаа ерөнхий шийдлийг олох боломжтой байдаг, гэхдээ маш төвөгтэй, болхи байдлаар бичсэн тул хариултыг ерөнхий интеграл хэлбэрээр үлдээх нь дээр.

4) ... одоохондоо хангалттай байх. Эхний жишээнд бид уулзсан бас нэг чухал цэг, гэхдээ "дамми" -г шинэ мэдээллийн нурангигаар бүрхэхгүйн тулд би үүнийг дараагийн хичээл хүртэл үлдээх болно.

Яарах хэрэггүй. Өөр нэг энгийн алсын удирдлага, бас нэг ердийн шийдэл:

Жишээ 2

Анхны нөхцлийг хангасан дифференциал тэгшитгэлийн тодорхой шийдлийг ол

Шийдэл: нөхцлийн дагуу олох шаардлагатай байна хувийн шийдэлӨгөгдсөн анхны нөхцлийг хангасан DE. Асуултын энэ томъёог бас нэрлэдэг Кошигийн асуудал.

Нэгдүгээрт, бид ерөнхий шийдлийг олох болно. Тэгшитгэлд "x" хувьсагч байдаггүй, гэхдээ энэ нь эргэлзээ төрүүлэх ёсгүй, гол зүйл бол эхний деривативыг агуулсан явдал юм.

Бид деривативыг шаардлагатай хэлбэрээр дахин бичнэ.

Мэдээжийн хэрэг хувьсагчдыг хувааж болно, хөвгүүд зүүн, охид баруун:

Бид тэгшитгэлийг нэгтгэдэг.

Ерөнхий интегралийг олж авна. Энд би дээд зургийн одтой тогтмол зурсан бөгөөд тун удахгүй энэ нь өөр тогтмол болж хувирах болно.

Одоо бид ерөнхий интегралийг ерөнхий шийдэл болгон хувиргахыг хичээж байна ("тоглоом" -ыг тодорхой илэрхийлэх). Бид хуучин, сайн, сургуулиа санаж байна: ... Энэ тохиолдолд:

Үзүүлэлтийн тогтмол нь ямар нэгэн байдлаар косер биш харагддаг тул үүнийг ихэвчлэн тэнгэрээс газар руу буулгадаг. Нарийвчилсан байдлаар энэ нь иймэрхүү байдлаар тохиолддог. Power шинж чанарыг ашиглан функцийг дараах байдлаар дахин бичнэ.

Хэрэв тогтмол бол энэ нь бас тогтмол байдаг, бид үүнийг үсгээр дахин илэрхийлнэ.

Тогтмол "нураах" гэдгийг санаарай хоёр дахь техник, үүнийг дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх явцад ихэвчлэн ашигладаг.

Тиймээс ерөнхий шийдэл нь :. Экспоненциал функцүүдийн ийм сайхан гэр бүл.

Эцсийн шатанд өгөгдсөн анхны нөхцлийг хангасан тодорхой шийдлийг олох шаардлагатай байна. Бас л амархан.

Даалгавар нь юу вэ? Үүнийг авах шаардлагатай байна иймбиелүүлэх нөхцлийн тогтмол утга.

Та янз бүрийн аргаар дизайн хийж болно, гэхдээ хамгийн ойлгомжтой нь тийм байх болно. Ерөнхий шийдэлд "x" -ийн оронд бид тэгийг орлуулдаг бөгөөд "тоглоом" -ын оронд хоёр:



Тэр бол,

Стандарт дизайны хувилбар:

Одоо бид олсон тогтмол утгыг ерөнхий шийдэлд орлуулна.
- Энэ бол бидэнд хэрэгтэй тодорхой шийдэл юм.

Хариулт: хувийн шийдэл:

Шалгаж үзье. Хувийн шийдлийг шалгах нь хоёр үе шаттай:

Нэгдүгээрт, олдсон тодорхой шийдэл нь анхны нөхцлийг үнэхээр хангаж байгаа эсэхийг шалгах шаардлагатай байна уу? "X" -ийн оронд бид тэгийг орлуулж, юу болохыг харна уу.
- тийм ээ, үнэхээр хоёрыг олж авсан бөгөөд энэ нь анхны нөхцөл хангагдсан гэсэн үг юм.

Хоёр дахь шат нь аль хэдийн танил болсон. Бид үүссэн тодорхой шийдлийг аваад деривативыг олно.

Анхны тэгшитгэлээр орлуулах:

- зөв тэгш байдлыг олж авна.

Дүгнэлт: тодорхой шийдлийг зөв олсон.

Илүү утга учиртай жишээнүүд рүү шилжиж байна.

Жишээ 3

Дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

Шийдэл:Бид деривативыг шаардлагатай хэлбэрээр дахин бичнэ.

Хувьсагчдыг хуваах боломжтой эсэхийг үнэлэх үү? Болно. Бид тэмдгийн өөрчлөлтөөр хоёр дахь улирлыг баруун гар талд шилжүүлнэ.

Мөн бид пропорциональ дүрмийн дагуу үржүүлэгчдийг шиддэг.

Хувьсагчдыг тусгаарласан тул бид хоёр хэсгийг нэгтгэдэг.

Би танд анхааруулах ёстой, шүүлтийн өдөр ирж байна. Хэрэв та сайн сураагүй бол тодорхой бус интегралууд, цөөн хэдэн жишээг шийдсэн бол явах газар байхгүй - та одоо тэдгээрийг эзэмших хэрэгтэй болно.

Зүүн талын салшгүй хэсгийг олоход хялбар байдаг, бид хичээл дээр авч үзсэн стандарт техникийг ашиглан котангентын интегралтай харьцах боломжтой. Тригонометрийн функцийг нэгтгэхӨнгөрсөн онд:

Баруун талд нь бид логарифмтай бөгөөд миний анхны техникийн зөвлөмжийн дагуу тогтмолыг логарифмын доор бичих ёстой.

Одоо бид ерөнхий интегралийг хялбарчлахыг хичээж байна. Бид ижил логарифмтай тул тэдгээрийг арилгах боломжтой (мөн шаардлагатай). Ашиглах замаар мэдэгдэж буй шинж чанаруудБид логарифмыг аль болох баглаж өгдөг. Би маш дэлгэрэнгүй бичих болно:

Сав баглаа боодлыг бүрэн устгах боломжтой:

Та "тоглоом" -оо илэрхийлж чадах уу? Болно. Хоёр тал нь дөрвөлжин хэлбэртэй байх ёстой.

Гэхдээ та үүнийг хийх шаардлагагүй.

Гурав дахь техникийн зөвлөгөө:Хэрэв ерөнхий шийдлийг олж авахын тулд та хүчийг нэмэгдүүлэх эсвэл үндсийг нь гаргаж авах хэрэгтэй Ихэнх тохиолдолдЭдгээр үйлдлүүдээс татгалзаж, хариултыг ерөнхий интеграл хэлбэрээр үлдээх хэрэгтэй. Ерөнхий шийдэл нь том үндэс, тэмдэг, бусад хог хаягдалтай байх нь үнэхээр аймшигтай харагдах болно.

Тиймээс бид хариултыг ерөнхий интеграл хэлбэрээр бичдэг. Үүнийг хэлбэрээр толилуулах нь сайн хэлбэр гэж тооцогддог, өөрөөр хэлбэл баруун талд, хэрэв боломжтой бол зөвхөн тогтмол үлдээнэ үү. Үүнийг хийх шаардлагагүй, гэхдээ профессорыг баярлуулах нь үргэлж ашигтай байдаг ;-)

Хариулт:ерөнхий интеграл:

! Тэмдэглэл: аливаа тэгшитгэлийн ерөнхий интегралийг хэд хэдэн хэлбэрээр бичиж болно. Тиймээс, хэрэв таны үр дүн өмнө нь мэдэгдэж байсан хариулттай давхцаж байгаагүй бол энэ нь та тэгшитгэлийг буруу шийдсэн гэсэн үг биш юм.

Ерөнхий интегралийг бас маш амархан шалгадаг бөгөөд гол зүйл бол олох боломжтой байх явдал юм далд функцийн дериватив... Хариултыг ялгах:

Бид хоёр нэр томъёог дараахь байдлаар үржүүлнэ.

Тэгээд бид дараахь байдлаар хуваана.

Яг анхны дифференциал тэгшитгэлийг олж авсан нь ерөнхий интеграл зөв олсон гэсэн үг юм.

Жишээ 4

Анхны нөхцлийг хангасан дифференциал тэгшитгэлийн тодорхой шийдлийг ол. Шалгах.

Энэ бол өөрөө хийх шийдлийн жишээ юм.

Алгоритм нь хоёр үе шатаас бүрдэнэ гэдгийг сануулъя.
1) нийтлэг шийдлийг олох;
2) шаардлагатай хувийн шийдлийг олох.

Шалгалтыг хоёр үе шаттайгаар явуулдаг (2 -р жишээний жишээг үзнэ үү), танд дараахь зүйл хэрэгтэй болно.
1) олж авсан тодорхой шийдэл нь анхны нөхцлийг хангаж байгаа эсэхийг шалгах;
2) тодорхой шийдэл нь дифференциал тэгшитгэлийг ерөнхийд нь хангаж байгаа эсэхийг шалгах.

Бүрэн шийдэл, сургалтын төгсгөлд хариулна уу.

Жишээ 5

Дифференциал тэгшитгэлийн тодорхой шийдлийг олоорой анхны нөхцлийг хангах. Шалгах.

Шийдэл:Нэгдүгээрт, бид ерөнхий шийдлийг олох болно.Энэ тэгшитгэл нь аль хэдийн бэлэн дифференциалуудыг агуулдаг тул шийдлийг хялбаршуулсан болно. Хувьсагчдыг ялгах:

Бид тэгшитгэлийг нэгтгэдэг.

Зүүн талын интеграл нь хүснэгт хэлбэртэй, баруун талд байгаа интегралийг авна функцийг дифференциал тэмдгийн доор оруулах аргаар:

Ерөнхий интегралийг олж авсан, ерөнхий шийдлийг амжилттай илэрхийлэх боломжтой юу? Болно. Бид логарифмыг хоёр талдаа өлгөдөг. Тэдгээр нь эерэг байдаг тул модулийн тэмдэг нь хэт их байдаг.

(Хүн бүр өөрчлөлтийг ойлгодог гэж найдаж байна, ийм зүйлийг аль хэдийн мэддэг байх ёстой)

Тиймээс ерөнхий шийдэл нь:

Өгөгдсөн анхны нөхцөлтэй тохирох тодорхой шийдлийг хайж үзье.
Ерөнхий шийдэлд "x" -ийн оронд бид тэгийг орлуулдаг бөгөөд "тоглоом" -ын оронд хоёр логарифм:

Илүү танил загвар:

Бид тогтмолын олдсон утгыг ерөнхий шийдэлд орлуулдаг.

Хариулт:хувийн шийдэл:

Шалгаж байна: Эхлээд эхний нөхцөл хангагдсан эсэхийг шалгая.
- бүх зүйл сайн байна.

Одоо олдсон тодорхой шийдэл нь дифференциал тэгшитгэлд нийцэж байгаа эсэхийг шалгацгаая. Деривативыг олох:

Бид анхны тэгшитгэлийг авч үздэг. - үүнийг дифференциал хэлбэрээр танилцуулсан болно. Шалгах хоёр арга бий. Олсон деривативын ялгааг илэрхийлэх боломжтой.

Бид олдсон тодорхой шийдэл, үүссэн дифференциалийг анхны тэгшитгэлээр орлуулдаг :

Бид үндсэн логарифмын өвөрмөц байдлыг ашигладаг.

Зөв тэгш байдлыг олж авсан нь тухайн шийдлийг зөв олсон гэсэн үг юм.

Шалгах хоёрдахь арга бол толин тусгал бөгөөд илүү танил юм: тэгшитгэлээс Бид деривативыг илэрхийлдэг бөгөөд үүний тулд бид бүх хэсгүүдийг дараахь байдлаар хуваана.

Мөн хувиргасан DE -д бид олж авсан тодорхой шийдэл ба үүсмэл деривативыг орлуулдаг. Хялбаршуулсны үр дүнд зөв тэгш байдлыг олж авах ёстой.

Жишээ 6

Дифференциал тэгшитгэлийг шийднэ үү. Хариултыг ерөнхий интеграл хэлбэрээр танилцуулсан болно.

Энэ бол өөрөө хийх жишээ, зааварчилгааны төгсгөлд бүрэн шийдэл, хариулт юм.

Хуваах хувьсагчтай дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ямар бэрхшээл тулгардаг вэ?

1) Хувьсагчдыг хуваалцах нь үргэлж тодорхой байдаггүй (ялангуяа "аяга тавагны хувьд"). Нөхцөл байдлын жишээг авч үзье. Энд та хаалтнаас факторинг хийх хэрэгтэй: мөн үндсийг салгах хэрэгтэй. Хэрхэн үргэлжлүүлэх нь тодорхой байна.

2) Интеграцчиллын хүндрэлүүд. Интеграл нь ихэвчлэн тийм ч хялбар биш бөгөөд хэрэв олж авах ур чадварын хувьд алдаа байгаа бол тодорхойгүй интеграл, дараа нь олон сарнисан тохиолдолд энэ нь хэцүү байх болно. Нэмж дурдахад, цуглуулга, гарын авлага эмхэтгэгчдийн дунд логик нь "дифференциал тэгшитгэл нь энгийн тул интегралуудыг илүү төвөгтэй болгож үзье" түгээмэл байдаг.

3) Тогтвортой хөрвүүлэлт. Хүн бүрийн тэмдэглэснээр дифференциал тэгшитгэлийн тогтмолыг нэлээд чөлөөтэй зохицуулж болох бөгөөд зарим өөрчлөлтийг эхлэгчдэд тэр бүр ойлгомжтой байдаггүй. Өөр нэг нөхцөлт жишээг авч үзье. ... Үүнд бүх нэр томъёог 2 -оор үржүүлэхийг зөвлөж байна. ... Үр дүнгийн тогтмол нь мөн зарим төрлийн тогтмол бөгөөд үүнийг дараах байдлаар илэрхийлж болно. ... Тиймээ, логарифм баруун талд байгаа тул тогтмолыг өөр тогтмол хэлбэрээр дахин бичихийг зөвлөж байна. .

Гол бэрхшээл бол тэд индексийн талаар санаа зовдоггүй бөгөөд ижил үсгийг ашигладаг. Үүний үр дүнд шийдвэрийн тэмдэглэл дараах хэлбэртэй байна.

Ямар тэрс үзэл вэ? Алдаа байна! Хатуухан хэлэхэд тийм. Гэсэн хэдий ч утга учиртай өнцгөөс харахад алдаа гардаггүй, учир нь хувьсах тогтмолыг хөрвүүлсний үр дүнд хувьсах тогтмолыг олж авсан хэвээр байна.

Эсвэл тэгшитгэлийг шийдвэрлэх явцад ерөнхий интеграл олж авсан гэж бодъё. Энэ хариулт нь муухай харагдаж байгаа тул нэр томъёо бүрийн тэмдгийг өөрчлөхийг зөвлөж байна. ... Албан ёсоор энд бас нэг алдаа байна - үүнийг баруун талд бичих ёстой. Гэхдээ албан бусаар энэ нь "хасах tse" тогтмол хэвээр байгаа гэсэн үг юм ( ямар ч үнэ цэнийг амархан авдаг!), тиймээс "хасах" тавих нь утгагүй бөгөөд та ижил үсгийг ашиглаж болно.

Би хайхрамжгүй хандлагаас зайлсхийхийг хичээх болно, гэхдээ тэдгээрийг хөрвүүлэхдээ янз бүрийн индексүүдийг тогтмол утгуудад өгөх болно.

Жишээ 7

Дифференциал тэгшитгэлийг шийднэ үү. Шалгах.

Шийдэл:Энэ тэгшитгэл нь хувьсагчдыг салгах боломжийг олгодог. Хувьсагчдыг ялгах:

Бид нэгтгэдэг:

Энд байгаа тогтмолыг логарифм гэж тодорхойлох шаардлагагүй, учир нь үүнээс сайн зүйл гарахгүй.

Хариулт:ерөнхий интеграл:

Шалгах: Хариултыг ялгах (далд функц):

Бид бутархай хэсгүүдээс салж, үүний тулд бид хоёр нэр томъёог дараахь байдлаар үржүүлнэ.

Анхны дифференциал тэгшитгэлийг олж авсан нь ерөнхий интеграл зөв олсон гэсэн үг юм.

Жишээ 8

Алсын удирдлагын хувийн шийдлийг хайж олох.
,

Энэ бол өөрөө хийх шийдлийн жишээ юм. Эндээс та ерөнхий интеграл олж авах бөгөөд илүү зөвөөр хэлбэл тодорхой шийдлийг олохын тулд бодох хэрэгтэй. хэсэгчилсэн интеграл... Бүрэн шийдэл, сургалтын төгсгөлд хариулна уу.

6.1. ҮНДСЭН ОЙЛГОЛТ, ТОДОРХОЙЛОЛТ

Математик, физик, биологи, анагаах ухааны янз бүрийн асуудлыг шийдвэрлэхдээ судалж буй үйл явцыг тодорхойлдог хувьсагчдыг холбосон томъёоны хэлбэрээр функциональ хамаарлыг нэн даруй тогтоох боломжгүй байдаг. Ихэвчлэн бие даасан хувьсагч болон үл мэдэгдэх функцээс гадна түүний деривативыг агуулсан тэгшитгэлийг ашиглах шаардлагатай байдаг.

Тодорхойлолт.Бие даасан хувьсагч, үл мэдэгдэх функц, түүний янз бүрийн эрэмбийн деривативуудыг холбосон тэгшитгэлийг нэрлэдэг дифференциал.

Үл мэдэгдэх функцийг ихэвчлэн тэмдэглэдэг y (x)эсвэл зүгээр л y,ба түүний деривативууд - y ", y "гэх мэт

Бусад тэмдэглэгээг бас хийх боломжтой, жишээлбэл: хэрэв y= x (t), тэгвэл x "(t), x" "(t)нь түүний деривативууд бөгөөд ба tнь бие даасан хувьсагч юм.

Тодорхойлолт.Хэрэв функц нь нэг хувьсагчаас хамаардаг бол дифференциал тэгшитгэлийг энгийн гэж нэрлэдэг. Ерөнхий хэлбэр Энгийн дифференциал тэгшитгэл:

эсвэл

Чиг үүрэг Fба fзарим аргумент агуулаагүй байж магадгүй, гэхдээ тэгшитгэл нь дифференциал байхын тулд дериватив байх нь чухал юм.

Тодорхойлолт.Дифференциал тэгшитгэлийн дараалалҮүнийг хамгийн өндөр деривативын дараалал гэж нэрлэдэг.

Жишээлбэл, х 2 настай "- y= 0, y "+ нүгэл x= 0 бол эхний эрэмбийн тэгшитгэл ба y "+ 2 y "+ 5 y= x- хоёр дахь эрэмбийн тэгшитгэл.

Дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ интеграцийн үйлдлийг ашигладаг бөгөөд энэ нь дурын тогтмол гарч ирэхтэй холбоотой юм. Хэрэв нэгтгэх үйлдлийг хэрэглэвэл nудаа, тэгвэл шийдэл нь агуулагдах нь ойлгомжтой nдурын тогтмолууд.

6.2. НЭГДҮГЭЭР ЗАХИАЛГЫН ЯЛГААРЫН ТЭНЦҮҮЛЭГ

Ерөнхий хэлбэр Эхний эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлилэрхийллээр тодорхойлогдоно

Тэгшитгэл нь тодорхой агуулаагүй байж болно xба y,гэхдээ заавал y "агуулсан байх ёстой.

Хэрэв тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичиж болно

Дараа нь бид деривативтай холбогдсон нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийг олж авна.

Тодорхойлолт.Эхний эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл (6.3) (эсвэл (6.4)) нь шийдлүүдийн багц юм , хаана ОРУУЛСАНдурын тогтмол юм.

Дифференциал тэгшитгэлийн шийдлийн график гэж нэрлэдэг интеграл муруй.

Дурын тогтмол өгөх ОРУУЛСАНөөр өөр үнэ цэнэ, та тодорхой шийдлүүдийг авах боломжтой. Гадаргуу дээр өөЕрөнхий шийдэл нь тодорхой шийдэл бүрт харгалзах интеграл муруйн гэр бүл юм.

Хэрэв та цэг тавьбал A (x 0, y 0),үүгээр дамжуулан интеграл муруй нь дүрмийн дагуу функцүүдийн багцаас дамжих ёстой Тодорхой шийдлийг нэг хүнээс ялгаж салгаж болно.

Тодорхойлолт.Хувийн шийдвэрээрДифференциал тэгшитгэлийг дурын тогтмолууд агуулаагүй шийдэл гэж нэрлэдэг.

Хэрэв нь ерөнхий шийдэл юм

та тогтмол олох боломжтой ОРУУЛСАН.Нөхцөл байдлыг дууддаг анхны нөхцөл.

Анхны нөхцлийг хангах дифференциал тэгшитгэлийн (6.3) эсвэл (6.4) тодорхой шийдлийг олох асуудал -д дуудсан Кошигийн асуудал.Энэ асуудал үргэлж шийдэлтэй байдаг уу? Хариулт нь дараах теоремыг агуулна.

Кошигийн теорем(оршихуйн теорем ба шийдлийн өвөрмөц байдал). Дифференциал тэгшитгэлийг оруулъя y "= f (x, y)функц f (x, y)ба түүнийг

хэсэгчилсэн дериватив тодорхойлогдсон ба заримд нь тасралтгүй

талбай D,агуулсан цэг Дараа нь бүс нутагт Д.байдаг

Эхний нөхцлийг хангасан тэгшитгэлийн цорын ганц шийдэл -д

Кошигийн теоремд тодорхой нөхцөлд өвөрмөц интеграл муруй байдаг гэж заасан байдаг y= f (x),дамжин өнгөрөх цэг Теоремийн нөхцөл хангагдаагүй оноо

Коши гэж нэрлэдэг Онцгой.Эдгээр цэгүүдэд завсарлага авдаг f(x, y) эсвэл.

Хэд хэдэн интеграл муруй эсвэл тэдгээрийн аль нь ч ганц цэгээр дамждаггүй.

Тодорхойлолт.Хэрэв уусмал (6.3), (6.4) хэлбэрээс олдвол f(x, y, C)= 0, y -ийн хувьд зөвшөөрөгдөөгүй бол үүнийг дуудна нийтлэг интегралдифференциал тэгшитгэл.

Кошигийн теорем нь зөвхөн шийдэл байгаа эсэхийг баталгаажуулдаг. Шийдэл олох цорын ганц арга байхгүй тул бид нэгтгэж болох зарим нэгдүгээр зэрэглэлийн дифференциал тэгшитгэлийг л авч үзэх болно. квадратууд.

Тодорхойлолт.Дифференциал тэгшитгэл гэж нэрлэдэг квадратуудаар нэгтгэх боломжтой,хэрэв түүний шийдлийг хайж олох нь функцийг нэгтгэх хүртэл буурсан бол.

6.2.1. Хуваах хувьсагчтай нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл

Тодорхойлолт.Эхний эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийг тэгшитгэл гэж нэрлэдэг хуваах хувьсагч,

(6.5) тэгшитгэлийн баруун тал нь хоёр функцийн үр дүн бөгөөд тус бүр нь зөвхөн нэг хувьсагчаас хамаардаг.

Жишээлбэл, тэгшитгэл нь тусгаарлах тэгшитгэл юм

mise хувьсагчид
ба тэгшитгэл

(6.5) хэлбэрээр илэрхийлэх боломжгүй.

Үүнийг харгалзан үзээд , бид (6.5) гэж дахин бичдэг

Энэ тэгшитгэлээс бид тусгаарлагдсан хувьсагчтай дифференциал тэгшитгэлийг олж авдаг бөгөөд дифференциал үед зөвхөн харгалзах хувьсагчаас хамаардаг функцууд байдаг.

Нэр томъёог нэр томъёогоор нэгтгэх нь бидэнд бий

энд C = C 2 - C 1 бол дурын тогтмол юм. (6.6) илэрхийлэл нь (6.5) тэгшитгэлийн ерөнхий интеграл юм.

(6.5) тэгшитгэлийн хоёр талыг хуваахад бид эдгээр шийдлүүдийг алдах болно. Үнэхээр, хэрэв -д

дараа нь (6.5) тэгшитгэлийн шийдэл болох нь ойлгомжтой.

Жишээ 1.Сэтгэл ханамжтай тэгшитгэлийн шийдлийг олоорой

нөхцөл: y= 6 цаг x= 2 (y(2) = 6).

Шийдэл.Орлуулах үед "заримдаа ... Хоёр талыг нь үржүүл

dx,цаашид нэгтгэх явцад гарах боломжгүй юм dxхуваагдалд:

дараа нь хоёуланг нь хуваана Бид тэгшитгэлийг олж авдаг,

Үүнийг нэгтгэх боломжтой. Бид нэгтгэдэг:

Дараа нь ; хүчирхэгжүүлснээр бид y = C болно. (x + 1) - ойролцоогоор

шийдэл.

Анхны өгөгдөл дээр үндэслэн бид дурын тогтмолыг тодорхойлж, тэдгээрийг ерөнхий шийдэлд орлуулдаг

Эцэст нь бид авдаг y= 2 (x + 1) бол тодорхой шийдэл юм. Салдаг хувьсагчтай тэгшитгэлийг шийдвэрлэх хэд хэдэн жишээг авч үзье.

Жишээ 2.Тэгшитгэлийн шийдлийг олоорой

Шийдэл.Үүнийг харгалзан үзээд , бид авдаг .

Тэгшитгэлийн хоёр талыг нэгтгэж үзэхэд бидэнд байна

хаана

Жишээ 3.Тэгшитгэлийн шийдлийг олоорой Шийдэл.Бид тэгшитгэлийн хоёр талыг дифференциал тэмдгийн доорх хувьсагчтай давхцдаггүй хувьсах хэмжигдэхүүнээс хамаарах хүчин зүйлүүдэд хуваадаг. ба нэгтгэх. Дараа нь бид авна

мөн эцэст нь

Жишээ 4.Тэгшитгэлийн шийдлийг олоорой

Шийдэл.Бид юу хүлээж авахаа мэддэг. Хэсэг

lim хувьсагчид. Дараа нь

Бид нэгтгэж байна

Сэтгэгдэл. 1 ба 2 -р жишээнд хүссэн функц yтодорхой илэрхийлсэн (ерөнхий шийдэл). 3 ба 4 -р жишээнд - далд байдлаар (ерөнхий интеграл). Цаашид шийдвэрийн хэлбэрийг хэлэлцэхгүй.

Жишээ 5.Тэгшитгэлийн шийдлийг олоорой Шийдэл.

Жишээ 6.Тэгшитгэлийн шийдлийг олоорой сэтгэл ханамжтай

нөхцөл y (e)= 1.

Шийдэл.Бид тэгшитгэлийг маягтаар бичдэг

Тэгшитгэлийн хоёр талыг үржүүлэх dxтэгээд бид авах болно

Тэгшитгэлийн хоёр талыг нэгтгэн (баруун талын интегралийг хэсэг хэсгээр нь авна) бид олж авна

Гэхдээ нөхцлөөр y= 1 хувьд x= д... Дараа нь

Олсон утгуудыг орлуулах ОРУУЛСАНерөнхий шийдэл болгон:

Үүссэн илэрхийлэлийг дифференциал тэгшитгэлийн тодорхой шийдэл гэж нэрлэдэг.

6.2.2. Эхний эрэмбийн нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэл

Тодорхойлолт.Эхний эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл гэж нэрлэдэг нэгэн төрлийн,гэж дүрсэлж болох юм бол

Нэг төрлийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх алгоритмыг танилцуулъя.

1. Үүний оронд yБид дараа нь шинэ функцийг танилцуулж байна Тиймээс

2. Функцийн хувьд татэгшитгэл (6.7) хэлбэрийг авна

өөрөөр хэлбэл өөрчлөлт нь нэг төрлийн тэгшитгэлийг хувааж хуваах боломжтой тэгшитгэл болгон бууруулдаг.

(3) (6.8) тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ эхлээд u -г олоод дараа нь олно y= унтах.

Жишээ 1.Тэгшитгэлийг шийднэ үү Шийдэл.Бид тэгшитгэлийг маягтаар бичдэг

Бид орлуулалтыг хийдэг:
Дараа нь

Орлуулах

Dx -ээр үржүүлэх: Хуваах xгэх мэт дараа нь

Тэгшитгэлийн хоёр талыг харгалзах хувьсагч дээр нэгтгэсний дараа бидэнд хэрэгтэй болно

эсвэл хуучин хувьсагч руу буцаж очоод бид эцэст нь авах болно

Жишээ 2.Тэгшитгэлийг шийднэ үү Шийдэл.Болъё дараа нь

Бид тэгшитгэлийн хоёр талыг хуваана x 2: Хаалтуудыг нээж, нэр томъёог дахин цэгцэлье.

Хуучин хувьсагч руу шилжиж бид эцсийн үр дүнд хүрнэ.

Жишээ 3.Тэгшитгэлийн шийдлийг олоорой болзолтойгоор

Шийдэл.Стандарт орлуулалтыг хийснээр бид авдаг

эсвэл

эсвэл

Тиймээс тодорхой шийдэл нь хэлбэртэй байдаг Жишээ 4.Тэгшитгэлийн шийдлийг олоорой

Шийдэл.

Жишээ 5.Тэгшитгэлийн шийдлийг олоорой Шийдэл.

Бие даасан ажил

Хуваах хувьсагчтай дифференциал тэгшитгэлийн шийдлийг ол (1-9).

Нэг төрлийн дифференциал тэгшитгэлийн шийдлийг олох (9-18).

6.2.3. Эхний эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн зарим хэрэглээ

Цацраг идэвхт задралын асуудал

Ра (радий) -ийн задралын хурд нь цаг мөч бүрт байгаа масстай пропорциональ байна. Хэрэв эхний үед Ра байсан бөгөөд Ра-гийн хагас задралын хугацаа 1590 жил байсан нь мэдэгдэж байвал Ра-гийн цацраг идэвхт задралын хуулийг ол.

Шийдэл.Одоогийн байдлаар Ра масс байг x= x (t) r, ба Дараа нь Ra -ийн ялзралын түвшин

Асуудлын нөхцлөөр

хаана к

Сүүлийн тэгшитгэл дэх хувьсагчдыг салгаж, нэгтгэх замаар бид олж авна

хаана

Тодорхойлохын тулд CБид анхны нөхцлийг ашигладаг: for .

Дараа нь Тиймээс

Аспектийн харьцаа кНэмэлт нөхцлөөр тодорхойлно.

Бидэнд байгаа

Эндээс ба шаардлагатай томъёо

Бактерийн нөхөн үржихүйн хурдны асуудал

Бактерийн нөхөн үржих хурд нь тэдний тоотой пропорциональ байна. Эхэндээ 100 бактери байсан. 3 цагийн дотор тэдний тоо хоёр дахин нэмэгдэв. Бактерийн тоо цаг хугацаанаас хамааралтай болохыг олж мэд. 9 цагийн дотор бактерийн тоо хэд дахин нэмэгдэх вэ?

Шийдэл.Болъё x- Одоогийн байдлаар бактерийн тоо t.Дараа нь нөхцөл байдлын дагуу

хаана к- пропорциональ байдлын коэффициент.

Эндээс Нөхцөл байдлаас нь мэдэж байгаа ... Гэсэн үг,

Нэмэлт нөхцлөөс ... Дараа нь

Хүссэн функц:

Тиймээс, хувьд t= 9 x= 800, өөрөөр хэлбэл 9 цагийн дотор бактерийн тоо 8 дахин нэмэгджээ.

Ферментийн хэмжээг нэмэгдүүлэх асуудал

Шар айрагны мөөгөнцрийн соёлд идэвхтэй ферментийн өсөлтийн хурд нь түүний анхны хэмжээтэй пропорциональ байна x.Ферментийн анхны хэмжээ анэг цагийн дотор хоёр дахин нэмэгдсэн. Донтолтыг олох

x (t).

Шийдэл.Таамаглалын дагуу үйл явцын дифференциал тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна

эндээс

Гэхдээ ... Гэсэн үг, C= аТэгээд

Үүнийг бас мэддэг

Тиймээс,

6.3. ХОЁРДУГААР ЗАХИАЛГИЙН ӨӨРИЙН ТЭНЦҮҮЛЭГ

6.3.1. Үндсэн ойлголтууд

Тодорхойлолт.Хоёрдахь эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлбие даасан хувьсагч, хүссэн функц, түүний эхний болон хоёр дахь деривативыг холбосон харилцаа гэж нэрлэдэг.

Онцгой тохиолдолд тэгшитгэл нь x, -дэсвэл y ". Гэхдээ хоёр дахь эрэмбийн тэгшитгэлд заавал y" байх ёстой. Ерөнхий тохиолдолд хоёр дахь эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийг дараах хэлбэрээр бичнэ.

эсвэл боломжтой бол хоёр дахь деривативын хувьд зөвшөөрөгдсөн хэлбэрээр:

Нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэлийн нэгэн адил хоёрдогч эрэмбийн тэгшитгэлийн ерөнхий болон тусгай шийдлүүд байж болно. Ерөнхий шийдэл нь:

Хувийн шийдлийг хайж олох

анхны нөхцөлд - өгсөн

тоо) гэж нэрлэдэг Кошигийн асуудал.Геометрийн хувьд энэ нь интеграл муруйг олох шаардлагатай гэсэн үг юм -д= y (x),өгөгдсөн цэгээр дамжин өнгөрөх мөн энэ үед тангенс байна

тэнхлэгийн эерэг чиглэлд үлээж байна Үхэрөгөгдсөн өнцөг. д. (Зураг 6.1). (6.10) тэгшитгэлийн баруун тал, Үргэлжилсэн

нь тасралтгүй бөгөөд тасралтгүй хэсэгчилсэн деривативтай байдаг y, y "эхлэх цэгийн зарим хороололд

Тогтвортой олохын тулд тодорхой шийдэлд багтсан бол системийг зөвшөөрөх шаардлагатай

Цагаан будаа. 6.1.Интеграл муруй

Боловсролын байгууллага "Беларусь улс

Хөдөө аж ахуйн академи "

Дээд математикийн тэнхим

НЭГДҮГЭЭР ЗАХИАЛГЫН ЯЛГААРЫН ТЭНЦҮҮЛЭГ

Нягтлан бодох бүртгэлийн оюутнуудад зориулсан лекцийн тэмдэглэл

гадуурх боловсрол (NISPO)

Горки, 2013 он

Эхний эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл

Дифференциал тэгшитгэлийн тухай ойлголт. Ерөнхий ба тусгай шийдлүүд

Янз бүрийн үзэгдлийг судлахдаа бие даасан хувьсагч ба хүссэн функцийг шууд холбосон хуулийг олох нь ихэвчлэн боломжгүй байдаг ч хүссэн функц ба түүний үүсмэл зүйлийн хооронд холбоо тогтоох боломжтой байдаг.

Бие даасан хувьсагч, хайж буй функц, түүний үүсмэл хэсгүүдийг холбосон холбоог нэрлэдэг дифференциал тэгшитгэл :

Энд x- бие даасан хувьсагч, yШаардлагатай функц байна уу,
- шаардлагатай функцын деривативууд. Энэ тохиолдолд дор хаяж нэг дериватив байх шаардлагатай (1).

Дифференциал тэгшитгэлийн дараалал тэгшитгэлд орох хамгийн өндөр деривативын дараалал гэж нэрлэдэг.

Дифференциал тэгшитгэлийг авч үзье

. (2)

Зөвхөн нэгдүгээр эрэмбийн дериватив энэ тэгшитгэлд ордог тул үүнийг нэрлэдэг нь эхний эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл юм.

Хэрэв (2) тэгшитгэлийг үүсмэл хэлбэрийн хувьд шийдэж, хэлбэрээр бичвэл

, (3)

тэгвэл ийм тэгшитгэлийг энгийн хэлбэрээр эхний эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл гэж нэрлэдэг.

Ихэнх тохиолдолд хэлбэрийн тэгшитгэлийг авч үзэхийг зөвлөж байна

гэж нэрлэдэг дифференциал хэлбэрээр бичсэн эхний эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл.

Учир нь
, дараа нь тэгшитгэлийг (3) хэлбэрээр бичиж болно
эсвэл
хаана авч үзэж болох вэ
ба
... Энэ нь (3) тэгшитгэлийг (4) тэгшитгэл болгон хувиргасан гэсэн үг юм.

(4) тэгшитгэлийг маягтаар бичье
... Дараа нь
,
,
хаана авч үзэж болох вэ
, өөрөөр хэлбэл (3) хэлбэрийн тэгшитгэлийг олж авна. Тиймээс (3) ба (4) тэгшитгэлүүд тэнцүү байна.

Дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх замаар (2) эсвэл (3) аливаа функцийг дууддаг
, (2) эсвэл (3) тэгшитгэлээр орлуулахдаа үүнийг таних тэмдэг болгон хувиргадаг.

эсвэл
.

Дифференциал тэгшитгэлийн бүх шийдлийг олох үйл явцыг түүний гэж нэрлэдэг нэгтгэх , мөн шийдлийн график
дифференциал тэгшитгэл гэж нэрлэдэг интеграл муруй энэ тэгшитгэлийн.

Хэрэв дифференциал тэгшитгэлийн шийдлийг далд хэлбэрээр олж авсан бол
, дараа нь үүнийг дууддаг салшгүй энэ дифференциал тэгшитгэл.

Ерөнхий шийдвэрээр Эхний эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл нь хэлбэрийн функцүүдийн гэр бүл юм
дурын тогтмолоос хамаарна ОРУУЛСАН, тус бүр нь дурын тогтмол зөвшөөрөгдөх утгын энэхүү дифференциал тэгшитгэлийн шийдэл юм ОРУУЛСАН... Тиймээс дифференциал тэгшитгэл нь тоолж баршгүй олон шийдэлтэй байдаг.

Хувийн шийдвэрээр Дифференциал тэгшитгэл нь дурын тогтмол байдлын тодорхой утгын ерөнхий шийдлийн томъёоноос олж авсан шийдэл юм ОРУУЛСАНүүнд
.

Кошигийн асуудал ба түүний геометрийн тайлбар

Тэгшитгэл (2) нь тоолж баршгүй олон шийдэлтэй. Тодорхой шийдэл гэж нэрлэгддэг энэхүү багцаас нэг шийдлийг ялгахын тулд зарим нэмэлт нөхцлийг оруулах шаардлагатай болно.

(2) тэгшитгэлийн тодорхой шийдлийг өгөгдсөн нөхцөлд олох асуудлыг дууддаг Кошигийн асуудал ... Энэ асуудал нь дифференциал тэгшитгэлийн онолын хамгийн чухал асуудлын нэг юм.

Кошигийн асуудлыг дараах байдлаар томъёолсон болно. (2) тэгшитгэлийн бүх шийдлүүдийн дунд ийм шийдлийг олоорой
Үүнд функц
өгөгдсөн тоон утгыг авна хэрэв бие даасан хувьсагч x өгөгдсөн тоон утгыг авна , өөрөөр хэлбэл

,
, (5)

хаана Д.- функцын домэйн
.

Утга дуудсан функцийн анхны утга , а – бие даасан хувьсагчийн анхны утга ... Нөхцөл (5) гэж нэрлэдэг анхны нөхцөл эсвэл Кошигийн нөхцөл байдал .

Геометрийн үүднээс дифференциал (2) тэгшитгэлийн Коши бодлогыг дараах байдлаар томъёолж болно. (2) тэгшитгэлийн интеграл муруйн багцаас өгөгдсөн цэгээр дамжихыг сонгоно уу
.

Салгаж болох дифференциал тэгшитгэл

Дифференциал тэгшитгэлийн хамгийн энгийн төрлүүдийн нэг нь хүссэн функцийг агуулаагүй эхний эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл юм.

. (6)

Үүнийг харгалзан үзээд
, бид тэгшитгэлийг хэлбэрээр бичнэ
эсвэл
... Сүүлийн тэгшитгэлийн хоёр талыг нэгтгэн бид дараахь зүйлийг авна.
эсвэл

. (7)

Тиймээс (7) нь (6) тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл юм.

Жишээ 1 ... Дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийг ол
.

Шийдэл ... Бид тэгшитгэлийг маягтаар бичдэг
эсвэл
... Бид үүссэн тэгшитгэлийн хоёр талыг нэгтгэдэг.
,
... Бид эцэст нь бичих болно
.

Жишээ 2 ... Тэгшитгэлийн шийдлийг олоорой
болзолтойгоор
.

Шийдэл ... Тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийг олцгооё.
,
,
,
... Нөхцөлөөр
,
... Ерөнхий шийдэлд орлуулъя.
эсвэл
... Шийдлийн ерөнхий томъёонд дурын тогтмолын олсон утгыг орлуулна уу.
... Энэ бол өгөгдсөн нөхцлийг хангасан дифференциал тэгшитгэлийн тодорхой шийдэл юм.

Тэгшитгэл

(8)

Дуудсан бие даасан хувьсагч агуулаагүй эхний эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл ... Үүнийг хэлбэрээр бичье
эсвэл
... Бид сүүлийн тэгшитгэлийн хоёр талыг нэгтгэсэн болно.
эсвэл
- тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл (8).

Жишээ ... Тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийг олоорой
.

Шийдэл ... Бид энэ тэгшитгэлийг дараах хэлбэрээр бичнэ.
эсвэл
... Дараа нь
,
,
,
... Тиймээс,
Энэ тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл юм.

Хэлбэрийн тэгшитгэл

(9)

хувьсах тусгаарлалтыг ашиглан нэгтгэдэг. Үүний тулд бид тэгшитгэлийг маягтаар бичнэ
, дараа нь үржүүлэх, хуваах үйлдлүүдийг ашиглан зөвхөн функцийг гүйцэтгэдэг хэлбэр болгон бууруулдаг NSба дифференциал dx, хоёр дахь хэсэгт - функц -дба дифференциал dy... Үүнийг хийхийн тулд тэгшитгэлийн хоёр талыг үржүүлэх ёстой dxба хуваагдах
... Үүний үр дүнд бид тэгшитгэлийг олж авдаг

, (10)

үүнд хувьсагчид NSба -дсалсан. Бид (10) тэгшитгэлийн хоёр талыг нэгтгэсэн болно.
... Үүссэн харилцаа нь тэгшитгэлийн ерөнхий интеграл (9) болно.

Жишээ 3 ... Тэгшитгэлийг нэгтгэх
.

Шийдэл ... Тэгшитгэлийг өөрчилж хувьсагчдыг салгаж үзье.
,
... Интеграцчилъя:
,
эсвэл - өгөгдсөн тэгшитгэлийн ерөнхий интеграл.
.

Тэгшитгэлийг хэлбэрээр өгөөрэй

Ийм тэгшитгэл гэж нэрлэдэг хуваах хувьсагчтай эхний эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл тэгш хэмтэй хэлбэрээр.

Хувьсагчдыг салгахын тулд тэгшитгэлийн хоёр талыг хуваах хэрэгтэй
:

. (12)

Үр дүнгийн тэгшитгэл гэж нэрлэдэг тусгаарлагдсан хувьсагчтай дифференциал тэгшитгэл ... (12) тэгшитгэлийг нэгтгэе.

.(13)

Холбоо (13) нь дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий интеграл (11) юм.

Жишээ 4 ... Дифференциал тэгшитгэлийг нэгтгэх.

Шийдэл ... Бид тэгшитгэлийг маягтаар бичдэг

мөн хоёуланг нь хуваана
,
... Үр дүнгийн тэгшитгэл:
нь тусгаарлагдсан хувьсагчтай тэгшитгэл юм. Үүнийг нэгтгэж үзье.

,
,

,
... Сүүлчийн тэгш байдал нь энэхүү дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий интеграл юм.

Жишээ 5 ... Дифференциал тэгшитгэлийн тодорхой шийдлийг олоорой
нөхцлийг хангах
.

Шийдэл ... Үүнийг харгалзан үзээд
, бид тэгшитгэлийг хэлбэрээр бичнэ
эсвэл
... Хувьсагчдыг хувааж үзье.
... Энэ тэгшитгэлийг нэгтгэе.
,
,
... Үүссэн харилцаа нь энэ тэгшитгэлийн ерөнхий интеграл юм. Нөхцөлөөр
... Ерөнхий интегралаар орлуулж олоорой ОРУУЛСАН:
,ОРУУЛСАН= 1. Дараа нь илэрхийлэл
нь тодорхой интеграл хэлбэрээр бичигдсэн энэхүү дифференциал тэгшитгэлийн тодорхой шийдэл юм.

Эхний эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэл

Тэгшитгэл

(14)

дуудсан шугаман эхний эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл ... Үл мэдэгдэх функц
ба түүний дериватив нь энэ тэгшитгэлийг шугаман байдлаар оруулна
ба
Үргэлжилсэн.

Хэрэв
, дараа нь тэгшитгэл

(15)

дуудсан шугаман нэгэн төрлийн ... Хэрэв
, дараа нь (14) тэгшитгэл гэж нэрлэдэг шугаман жигд бус .

(14) тэгшитгэлийн шийдлийг олохын тулд ихэвчлэн ашигладаг орлуулах арга (Бернулли) , мөн чанар нь дараах байдалтай байна.

(14) тэгшитгэлийн шийдлийг хоёр функцын үржвэр хэлбэрээр хайх болно

, (16)

хаана
ба
- зарим тасралтгүй функцууд. Орлуулах
ба дериватив
тэгшитгэлд (14):

Чиг үүрэг vнөхцлийг бүрдүүлэх байдлаар сонгох болно
... Дараа нь
... Тиймээс (14) тэгшитгэлийн шийдлийг олохын тулд дифференциал тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх шаардлагатай байна

Системийн эхний тэгшитгэл нь шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл бөгөөд хувьсагчдыг салгах аргаар шийдэж болно.
,
,
,
,
... Функц болгон
Нэг төрлийн тэгшитгэлийн тодорхой шийдлүүдийн нэгийг авч болно, өөрөөр хэлбэл. -д ОРУУЛСАН=1:
... Системийн хоёр дахь тэгшитгэлийг орлуулна уу.
эсвэл
Дараа нь
... Тиймээс, эхний эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь хэлбэртэй байна
.

Жишээ 6 ... Тэгшитгэлийг шийднэ үү
.

Шийдэл ... Бид тэгшитгэлийн шийдлийг хэлбэрээр хайж олох болно
... Дараа нь
... Томъёонд орлуулах:

эсвэл
... Чиг үүрэг vтэгш байдлыг хангах байдлаар сонго
... Дараа нь
... Эдгээр тэгшитгэлүүдийн эхнийхийг хувьсагчдыг салгах аргаар шийдье.
,
,
,
,... Чиг үүрэг vхоёр дахь тэгшитгэлд орлуулна уу:
,
,
,
... Энэ тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл бол
.

Мэдлэгийг өөрөө хянах асуултууд

Дифференциал тэгшитгэл гэж юу вэ?

Дифференциал тэгшитгэлийн дарааллыг юу гэж нэрлэдэг вэ?

Ямар дифференциал тэгшитгэлийг эхний эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл гэж нэрлэдэг вэ?

Эхний эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийг дифференциал хэлбэрээр хэрхэн бичих вэ?

Дифференциал тэгшитгэлийг юу гэж нэрлэдэг вэ?

Интеграл муруй гэж юу вэ?

Эхний эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийг юу гэж нэрлэдэг вэ?

Дифференциал тэгшитгэлийн тодорхой шийдлийг юу гэж нэрлэдэг вэ?

Эхний эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн Коши бодлогыг хэрхэн томъёолсон бэ?

Коши бодлогын геометрийн тайлбар юу вэ?

Салгаж болох дифференциал тэгшитгэлийг тэгш хэмт хэлбэрээр хэрхэн бичих вэ?

Аль тэгшитгэлийг эхний эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэл гэж нэрлэдэг вэ?

Эхний эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд ямар аргыг ашиглаж болох вэ, энэ аргын мөн чанар нь юу вэ?

Бие даан хийх даалгавар

Хуваах хувьсагчтай дифференциал тэгшитгэлийг шийдээрэй.

a)
; б)
;

v)
; G)
.

2. Эхний эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэлийг шийд.

a)
; б)
; v)
;

G)
; д)
.

Дифференциал тэгшитгэл (DE) тэгшитгэл юм
хаана бие даасан хувьсагч байгаа бол y нь функц бөгөөд хэсэгчилсэн дериватив юм.

Энгийн дифференциал тэгшитгэл нь зөвхөн ганц бие даасан хувьсагчтай дифференциал тэгшитгэл юм.

Хэсэгчилсэн дифференциал тэгшитгэл нь хоёр ба түүнээс дээш бие даасан хувьсагчтай дифференциал тэгшитгэл юм.

Аль тэгшитгэлийг авч үзэж байгаа нь тодорхой бол "энгийн" ба "хэсэгчилсэн үүсмэл хэлбэрээр" гэсэн үгсийг орхиж болно. Үүний дараа ердийн дифференциал тэгшитгэлийг авч үзнэ.

Дифференциал тэгшитгэлийн дараалал нь хамгийн өндөр деривативын дараалал юм.

Эхний эрэмбийн тэгшитгэлийн жишээг энд харуулав.

Дөрөв дэх эрэмбийн тэгшитгэлийн жишээг энд харуулав.

Заримдаа эхний эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийг дифференциал байдлаар бичдэг.

Энэ тохиолдолд x ба y хувьсагчид тэнцүү байна. Өөрөөр хэлбэл, бие даасан хувьсагч нь x эсвэл y байж болно. Эхний тохиолдолд y нь x -ийн функц юм. Хоёр дахь тохиолдолд, x нь y -ийн функц юм. Шаардлагатай бол бид энэ тэгшитгэлийг y ′ деривативыг тодорхой оруулсан хэлбэр болгон бууруулж болно.
Энэ тэгшитгэлийг dx -д хуваахад бид дараахь зүйлийг авна.
.
Үүнээс хойш, үүнээс үүдэлтэй юм
.

Дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

Анхан шатны функцийн деривативыг үндсэн функцээр илэрхийлдэг. Анхан шатны функцийн интегралийг ихэвчлэн энгийн функцээр илэрхийлдэггүй. Дифференциал тэгшитгэлийн нөхцөл байдал бүр ч дор байна. Шийдлийн үр дүнд та дараахь зүйлийг авах боломжтой.

• хувьсагчаас функцын тодорхой хамаарал;

  Дифференциал тэгшитгэлийн шийдэл нь y = u функц юм (x), тодорхойлогдсон, n удаа ялгагдах боломжтой ба.

• Φ төрлийн тэгшитгэл хэлбэрээр далд хамаарал (x, y) = 0эсвэл тэгшитгэлийн систем;

  Дифференциал тэгшитгэлийн интеграл нь далд хэлбэртэй дифференциал тэгшитгэлийн шийдэл юм.

• анхан шатны функцээр илэрхийлэгдсэн хамаарал ба тэдгээрийн интеграл;

  Дифференциал тэгшитгэлийг квадрат хэлбэрээр шийдвэрлэх - энэ бол энгийн функцууд ба тэдгээрийн интегралуудын хослол хэлбэрээр шийдлийг олох явдал юм.

• шийдлийг энгийн функцээр илэрхийлж болохгүй.

Дифференциал тэгшитгэлийн шийдлийг интегралийн тооцоонд хүртэл бууруулдаг тул шийдэлд C 1, C 2, C 3, ... C n тогтмолуудын багц орно. Тогтвортой тоо нь тэгшитгэлийн дараалалтай тэнцүү байна. Дифференциал тэгшитгэлийн хэсэгчилсэн интеграл нь C 1, C 2, C 3, ..., C n тогтмолуудын өгөгдсөн утгуудын ерөнхий интеграл юм.

Ашигласан материал:
V.V. Степанов, Дифференциал тэгшитгэлийн курс, "LCI", 2015.
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Дээд математикийн бодлогын цуглуулга, "Лан", 2003.