Матрицын системийн шийдэл. Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх матрицын арга

The онлайн тооцоолууршугаман тэгшитгэлийн системийг матрицын аргаар шийддэг. Маш их өгсөн нарийвчилсан шийдэл. Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдэхийн тулд хувьсагчийн тоог сонгоно. Урвуу матрицыг тооцоолох аргыг сонгоно уу. Дараа нь нүднүүдэд өгөгдлийг оруулаад "Тооцоолох" товчийг дарна уу.

×

Анхааруулга

Бүх нүдийг арилгах уу?

Цэвэр хаах

Өгөгдөл оруулах заавар.Тоонуудыг бүхэл тоо (жишээ нь: 487, 5, -7623 гэх мэт), аравтын тоо (жишээ нь 67., 102.54 гэх мэт) эсвэл бутархай хэлбэрээр оруулна. Бутархайг a/b хэлбэрээр бичих ёстой, энд a ба b нь бүхэл тоо эсвэл аравтын тоо. Жишээ 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 гэх мэт.

Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх матрицын арга

Санаж үз дараагийн системшугаман тэгшитгэл:

Урвуу матрицын тодорхойлолтыг харгалзан үзвэл бид байна А −1 А=Э, хаана Энь таних матриц юм. Тиймээс (4)-ийг дараах байдлаар бичиж болно.

Тиймээс (1) (эсвэл (2)) шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдэхийн тулд урвуу тоог үржүүлэхэд хангалттай. Ахязгаарлалтын векторын матриц б.

Шугаман тэгшитгэлийн системийг матрицын аргаар шийдвэрлэх жишээ

Жишээ 1. Дараах шугаман тэгшитгэлийн системийг матрицын аргаар шийд.

А матрицын урвуу утгыг Жордан-Гаусын аргаар олъё. Матрицын баруун талд Атаних матрицыг бичнэ үү:

Үндсэн диагональ доор байрлах матрицын 1-р баганын элементүүдийг хасъя. Үүнийг хийхийн тулд -1/3, -1/3-аар үржүүлсэн 2,3-р мөрүүдийг 1-р эгнээнд нэмнэ.

Үндсэн диагональ доор байрлах матрицын 2-р баганын элементүүдийг хасъя. Үүнийг хийхийн тулд 3-р мөрийг -24/51-ээр үржүүлсэн 2-р мөрийг нэмнэ.

Үндсэн диагональ дээрх матрицын 2-р баганын элементүүдийг хасъя. Үүнийг хийхийн тулд 1-р мөрийг -3/17-оор үржүүлсэн 2-р эгнээнд нэмнэ.

Матрицын баруун талыг тусгаарла. Үүссэн матриц нь урвуу утгатай байна А :

Шугаман тэгшитгэлийн системийг бичих матриц хэлбэр: ax=b, хаана

Матрицын бүх алгебрийн нэмэлтүүдийг тооцоол А:

,

,

,

,

,

,

,

,

.

Урвуу матрицыг дараах илэрхийллээр тооцоолно.

(заримдаа энэ аргыг матрицын арга эсвэл урвуу матрицын арга гэж нэрлэдэг) SLAE бичих матриц хэлбэр гэх мэт ойлголттой урьдчилан танилцахыг шаарддаг. Урвуу матрицын арга нь матрицын тодорхойлогч нь тэгээс ялгаатай шугаман алгебр тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхэд зориулагдсан. Мэдээжийн хэрэг, энэ нь системийн матриц нь квадрат гэсэн үг юм (тодорхойлогч гэсэн ойлголт зөвхөн квадрат матрицууд). Урвуу матрицын аргын мөн чанарыг гурван цэгээр илэрхийлж болно.

1. Системийн матриц $A$, үл мэдэгдэх матриц $X$, чөлөөт нөхцлийн матриц $B$ гэсэн гурван матрицыг бич.
2. $A^(-1)$ урвуу матрицыг ол.
3. $X=A^(-1)\cdot B$ тэгшитгэлийг ашиглан өгөгдсөн SLAE-ийн шийдийг ол.

Аливаа SLAE нь матриц хэлбэрээр $A\cdot X=B$ хэлбэрээр бичигдэж болох ба энд $A$ нь системийн матриц, $B$ нь чөлөөт нөхцлийн матриц, $X$ нь үл мэдэгдэх матриц юм. $A^(-1)$ матриц байгаа байг. $A\cdot X=B$ тэгш байдлын хоёр талыг зүүн талд байгаа $A^(-1)$ матрицаар үржүүл.

$$A^(-1)\cdot A\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$

$A^(-1)\cdot A=E$ ($E$ нь таних матриц) тул дээр бичигдсэн тэгш байдал дараах болно.

$$E\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$

$E\cdot X=X$ тул:

$$X=A^(-1)\cdot B.$$

Жишээ №1

SLAE $ \left \( \begin(aligned) & -5x_1+7x_2=29;\\ & 9x_1+8x_2=-11. \end(aligned) \right.$-г урвуу матрицыг ашиглан шийд.

$$ A=\left(\begin(массив) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \төгсгөл(массив)\баруун);\; B=\left(\begin(массив) (c) 29\\ -11 \төгсгөл(массив)\баруун);\; X = \ зүүн (\ эхлэх (массив) (в) x_1 \\ x_2 \ төгсгөл (массив) \ баруун). $$

Системийн матрицын урвуу матрицыг олъё, өөрөөр хэлбэл. $A^(-1)$ тооцоол. Жишээ №2

$$ A^(-1)=-\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(массив)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\төгсгөл(массив)\баруун) . $$

Одоо бүх гурван матрицыг ($X$, $A^(-1)$, $B$) $X=A^(-1)\cdot B$ тэгшитгэлд орлъё. Дараа нь бид матрицын үржүүлэх ажлыг гүйцэтгэдэг

$$ \left(\begin(массив) (c) x_1\\ x_2 \end(массив)\баруун)= -\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(массив)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\төгсгөл(массив)\баруун)\cdot \left(\эхлэх(массив) (c) 29\\ -11 \төгс(массив)\баруун)=\\ =-\frac (1)(103)\cdot \left(\begin(массив) (c) 8\cdot 29+(-7)\cdot (-11)\\ -9\cdot 29+(-5)\cdot (- 11) \end(массив)\баруун)= -\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (c) 309\\ -206 \end(массив)\баруун)=\left( \эхлэх(массив) (в) -3\\ 2\төгсгөх(массив)\баруун). $$

Тиймээс бид $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) -3\\ 2\end(массив)\ баруун) $. Энэ тэгшитгэлээс бид дараах байдалтай байна: $x_1=-3$, $x_2=2$.

Хариулах: $x_1=-3$, $x_2=2$.

Жишээ №2

SLAE $ \left\(\begin(зэрэгцүүлсэн) & x_1+7x_2+3x_3=-1;\\ & -4x_1+9x_2+4x_3=0;\\ & 3x_2+2x_3=6. \end(зэрэгцүүлсэн)\баруун)-ийг шийднэ үү. .$ урвуу матрицын аргаар.

Системийн матриц $A$, чөлөөт гишүүний матриц $B$, үл мэдэгдэх $X$ матрицыг бичье.

$$ A=\left(\begin(массив) (ccc) 1 & 7 & 3\\ -4 & 9 & 4 \\0 & 3 & 2\төгсгөл(массив)\баруун);\; B=\left(\begin(массив) (c) -1\\0\\6\төгсгөл(массив)\баруун);\; X = \ зүүн (\ эхлэх (массив) (в) x_1 \\ x_2 \\ x_3 \ төгсгөл (массив) \ баруун). $$

Одоо системийн матрицын урвуу матрицыг олох цаг болжээ, i.e. $A^(-1)$ олох. Урвуу матрицыг олоход зориулагдсан хуудасны №3 жишээн дээр урвуу матрицыг аль хэдийн олсон байна. Дууссан үр дүнг ашиглаад $A^(-1)$ гэж бичье:

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(массив) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\төгсгөл(массив)\баруун). $$

Одоо бид бүх гурван матрицыг ($X$, $A^(-1)$, $B$) $X=A^(-1)\cdot B$ тэгшитгэлд орлуулсны дараа баруун талд матрицын үржүүлгийг хийнэ. энэ тэгш байдлын тал.

$$ \left(\begin(массив) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(массив)\баруун)= \frac(1)(26)\cdot \left(\begin(массив) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(массив) \баруун)\cdot \left(\эхлэх(массив) (c) -1\\0\ \6\төгсгөл(массив)\баруун)=\\ =\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(массив) (c) 6\cdot(-1)+(-5)\cdot 0 +1\cdot 6 \\ 8\cdot (-1)+2\cdot 0+(-16)\cdot 6 \\ -12\cdot (-1)+(-3)\cdot 0+37\cdot 6 \end(массив)\баруун)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(массив) (c) 0\\-104\\234\end(массив)\баруун)=\left( \эхлэх(массив) (c) 0\\-4\\9\төгсгөл(массив)\баруун) $$

Тиймээс бид $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) 0\\-4\ \9 болсон. \төгсгөл(массив)\баруун)$. Энэ тэгшитгэлээс бид дараах байдалтай байна: $x_1=0$, $x_2=-4$, $x_3=9$.

Сэдэв 2. ШУГААН АЛГЕБРИЙН ТЭГШИГЧИЛГЭЭНИЙ СИСТЕМҮҮД.

Үндсэн ойлголтууд.

Тодорхойлолт 1. систем мшугаман тэгшитгэлүүд nүл мэдэгдэх нь дараах хэлбэрийн систем юм.

хаана ба тоонууд.

Тодорхойлолт 2. Системийн шийдэл (I) нь энэ системийн тэгшитгэл бүр ижил төстэй байдал болж хувирдаг үл мэдэгдэх ийм багц юм.

Тодорхойлолт 3. Системийг (I) гэж нэрлэдэг хамтарсанхэрэв энэ нь ядаж нэг шийдэлтэй бол ба нийцэхгүйХэрэв шийдэл байхгүй бол. Хамтарсан системийг гэж нэрлэдэг тодорхойхэрэв энэ нь өвөрмөц шийдэлтэй бол, мөн тодорхойгүйөөрөөр.

Тодорхойлолт 4. Төрөл тэгшитгэл

дуудсан тэг, ба хэлбэрийн тэгшитгэл

дуудсан нийцэхгүй. Тохиромжгүй тэгшитгэл агуулсан тэгшитгэлийн систем нь нийцэхгүй нь ойлгомжтой.

Тодорхойлолт 5. Шугаман тэгшитгэлийн хоёр системийг нэрлэдэг тэнцүүХэрэв нэг системийн шийдэл бүр нь нөгөө системийн шийдэл, харин эсрэгээр хоёр дахь системийн шийдэл бүр эхнийх нь шийдэл юм.

Шугаман тэгшитгэлийн системийн матрицын тэмдэглэгээ.

(I) системийг авч үзье (§1-ийг үзнэ үү).

Тэмдэглэх:

Үл мэдэгдэх коэффициентийн матриц

Матриц - чөлөөт гишүүдийн багана

Матриц - үл мэдэгдэх багана

.

Тодорхойлолт 1.Матриц гэж нэрлэдэг системийн үндсэн матриц(I), матриц нь системийн (I) нэмэгдүүлсэн матриц юм.

Матрицын тэгш байдлын тодорхойлолтоор систем (I) нь матрицын тэгшитгэлтэй тохирч байна.

.

Матрицын үржвэрийн тодорхойлолтоор энэ тэгш байдлын баруун тал ( тодорхойлолт 3 § 5-ын 1-р бүлгийг үзнэ үү) хүчин зүйлчилж болно:

, өөрөөр хэлбэл

Тэгш байдал (2) дуудсан системийн матриц тэмдэглэгээ (I).

Шугаман тэгшитгэлийн системийг Крамерын аргаар шийдвэрлэх.

Системд оруулах (I) (§1-ийг үзнэ үү) m=n, өөрөөр хэлбэл тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх тоотой тэнцүү бөгөөд системийн үндсэн матриц нь доройтдоггүй, i.e. . Дараа нь §1-ээс (I) систем нь өвөрмөц шийдэлтэй байна

хаана ∆ = дет Агол гэж нэрлэдэг системийн тодорхойлогч(I), ∆ биΔ тодорхойлогчоос солих замаар олж авна би--р баганаас системийн чөлөөт гишүүдийн баганад (I).

Жишээ нь системийг Крамерын аргаар шийд.

.

Томъёогоор (3) .

Бид системийн тодорхойлогчдыг тооцоолно.

,

,

.

Тодорхойлогчийг авахын тулд бид тодорхойлогчийн эхний баганыг чөлөөт нөхцлийн баганаар сольсон; Тодорхойлогчийн 2-р баганыг чөлөөт гишүүдийн баганаар сольж, бид олж авна; Үүний нэгэн адил тодорхойлогчийн 3-р баганыг чөлөөт гишүүдийн баганаар сольсноор бид . Системийн шийдэл:

Урвуу матриц ашиглан шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх.

Системд оруулах (I) (§1-ийг үзнэ үү) m=nмөн системийн үндсэн матриц нь доройтдоггүй. Бид системийг (I) матриц хэлбэрээр бичдэг ( §2-г үзнэ үү):

учир нь матриц Амуудаагүй бол урвуу матрицтай ( 1-р бүлгийн теорем 1 §6-г үзнэ үү). Тэгшитгэлийн хоёр талыг үржүүл (2) матриц руу, дараа нь

Урвуу матрицын тодорхойлолтоор . Тэгш эрхээс (3) бидэнд байгаа

Урвуу матрицыг ашиглан системийг шийд

.

Тэмдэглэх

Жишээн дээр (§ 3) бид тодорхойлогчийг, тиймээс матрицыг тооцоолсон Аурвуу матрицтай. Дараа нь хүчин төгөлдөр болно (4) , өөрөөр хэлбэл

. (5)

матрицыг ол ( §6 1-р бүлгийг үзнэ үү)

, , ,

, , ,

,

.

Гауссын арга.

Шугаман тэгшитгэлийн системийг дараах байдлаар өгье.

. (би)

Системийн (I) бүх шийдлийг олох эсвэл систем нь нийцэхгүй байгаа эсэхийг шалгах шаардлагатай.

Тодорхойлолт 1.Системийн анхан шатны өөрчлөлтийг нэрлэе(I) гурван үйлдлийн аль нэг нь:

1) тэг тэгшитгэлийг хасах;

2) тэгшитгэлийн хоёр хэсэгт нөгөө тэгшитгэлийн харгалзах хэсгүүдийг l тоогоор үржүүлэх;

3) системийн тэгшитгэл дэх нэр томьёог сольж, бүх тэгшитгэлд ижил тоотой үл мэдэгдэх нь ижил байр эзэлнэ, өөрөөр хэлбэл. хэрэв жишээлбэл, 1-р тэгшитгэлд бид 2, 3-р гишүүнийг өөрчилсөн бол системийн бүх тэгшитгэлд ижил зүйлийг хийх ёстой.

Гауссын арга нь (I) системийг энгийн хувиргалтуудын тусламжтайгаар эквивалент систем болгон бууруулж, түүний шийдлийг шууд олох эсвэл шийдвэрлэх боломжгүй байдлыг тогтоох явдал юм.

§2-д тайлбарласны дагуу (I) систем нь түүний нэмэгдүүлсэн матриц болон дурын байдлаар тодорхойлогддог анхан шатны өөрчлөлтсистем (I) нь нэмэгдүүлсэн матрицын үндсэн хувиргалттай тохирч байна.

.

1) хувиргалт нь матрицын тэг мөрийг устгахтай, хувиргалт 2) матрицын харгалзах мөрөнд түүний нөгөө мөрийг l тоогоор үржүүлсэнтэй тэнцүү, хувиргалт 3) матриц дахь баганыг дахин цэгцлэхтэй тэнцүү байна.

Эсрэгээрээ матрицын элементар хувиргалт бүр нь системийн (I) элементар хувиргалттай тохирч байгааг харахад хялбар байдаг. Дээр дурдсан зүйлийг харгалзан бид (I) системтэй ажиллахын оронд энэ системийн нэмэгдүүлсэн матрицтай ажиллах болно.

Матрицын 1-р багана нь at коэффициентээс бүрдэнэ x 1, 2-р багана - коэффициентүүдээс x 2гэх мэт. Багануудыг дахин зохион байгуулах тохиолдолд энэ нөхцөлийг зөрчсөн гэдгийг анхаарч үзэх хэрэгтэй. Жишээлбэл, хэрэв бид 1, 2-р баганыг солих юм бол одоо 1-р баганад коэффициентүүд байх болно. x 2, мөн 2-р баганад - коэффициентүүд x 1.

Бид (I) системийг Гауссын аргаар шийдэх болно.

1. Матрицын бүх тэг мөрийг (I систем дэх бүх тэг тэгшитгэлийг зурж) таслана.

2. Матрицын мөрүүдийн дунд сүүлчийнхээс бусад бүх элементүүд нь тэгтэй тэнцүү (ийм мөрийг зөрчилтэй гэж нэрлэе) мөр байгаа эсэхийг шалгана уу. Мэдээжийн хэрэг, ийм шугам нь (I) систем дэх үл нийцэх тэгшитгэлтэй тохирч байгаа тул (I) системд шийдэл байхгүй бөгөөд процесс энд дуусдаг.

3. Матриц нь үл нийцэх мөрүүдийг агуулаагүй байг ((I) системд үл нийцэх тэгшитгэлүүд). Хэрэв a 11 = 0, дараа нь бид 1-р эгнээнд тэгээс ялгаатай зарим элементийг (сүүлийнхээс бусад) олж, 1-р эгнээнд 1-р эгнээнд тэг байхгүй байхаар багануудыг дахин байрлуулна. Одоо бид үүнийг (өөрөөр хэлбэл (I) системийн тэгшитгэлийн харгалзах нөхцлүүдийг сольж байна) гэж таамаглаж байна.

4. 1-р мөрийг үржүүлж үр дүнг 2-р эгнээнд нэмж, дараа нь 1-р мөрийг үржүүлж үр дүнг 3-р эгнээнд нэмнэ гэх мэт. Мэдээжийн хэрэг, энэ үйл явц нь үл мэдэгдэх зүйлийг арилгахтай адил юм x 1 1-ээс бусад системийн (I) бүх тэгшитгэлээс. Шинэ матрицад бид элементийн доорх 1-р баганад тэгийг авна а 11:

.

5. Матрицын бүх тэг мөрийг таслана, хэрэв байгаа бол зөрчилтэй мөр байгаа эсэхийг шалгана уу (хэрэв байгаа бол систем нь зөрчилтэй бөгөөд шийдэл тэнд дуусна). эсэхийг шалгацгаая a 22 / =0, хэрэв тийм бол бид 2-р эгнээнээс тэгээс ялгаатай элементийг олж, багануудыг дахин цэгцлэнэ. Дараа нь бид 2-р эгнээний элементүүдийг үржүүлнэ 3-р эгнээний харгалзах элементүүдийг нэмж, дараа нь - 2-р эгнээний элементүүдийг дээр нь нэмээд 4-р эгнээний харгалзах элементүүдтэй хамт тэгийг авах хүртэл нэмнэ. нь 22 /

.

Гүйцэтгэсэн үйлдлүүд нь үл мэдэгдэх зүйлийг арилгахтай тэнцүү байна x 2 1 ба 2-оос бусад системийн (I) бүх тэгшитгэлээс. Мөрийн тоо хязгаарлагдмал байдаг тул бид хязгаарлагдмал тооны алхмуудын дараа систем нь нийцэхгүй байна, эсвэл бид алхамын матрицтай болно ( тодорхойлолт 2 §7 1-р бүлгийг үзнэ үү) :

,

Матрицад тохирох тэгшитгэлийн системийг бичье. Энэ систем нь системтэй (I) тэнцүү байна.

.

Сүүлийн тэгшитгэлээс бид илэрхийлнэ; бид өмнөх тэгшитгэлд орлуулах, олох гэх мэтийг авах хүртлээ.

Тайлбар 1.Тиймээс (I) системийг Гауссын аргаар шийдвэрлэхдээ бид дараах тохиолдлуудын аль нэгэнд хүрнэ.

1. Систем (I) зөрчилтэй байна.

2. Хэрэв матриц дахь мөрийн тоо нь үл мэдэгдэх ()-ийн тоотой тэнцүү бол систем (I) нь өвөрмөц шийдэлтэй байдаг.

3. Матриц дахь мөрийн тоо үл мэдэгдэх () тооноос бага бол систем (I) нь хязгааргүй тооны шийдлүүдтэй байна.

Тиймээс дараах теорем биелнэ.

Теорем.Шугаман тэгшитгэлийн систем нь нэг бол нийцэхгүй, эсвэл өвөрмөц шийдэлтэй, эсвэл хязгааргүй олон шийдтэй байдаг.

Жишээ. Тэгшитгэлийн системийг Гауссын аргаар шийдэх эсвэл түүний нийцэхгүй байгааг нотлох:

б) ;

a) Өгөгдсөн системийг дараах хэлбэрээр дахин бичье.

.

Тооцооллыг хялбарчлахын тулд бид анхны системийн 1 ба 2-р тэгшитгэлийг сольсон (бутархайн оронд бид зөвхөн бүхэл тоогоор ийм солилтоор ажиллах болно).

Бид өргөтгөсөн матриц үүсгэдэг:

.

Ямар ч хоосон мөр байхгүй; үл нийцэх шугам байхгүй, ; Бид системийн бүх тэгшитгэлээс 1-р үл мэдэгдэх 1-ийг хасна. Үүнийг хийхийн тулд бид матрицын 1-р эгнээний элементүүдийг "-2"-оор үржүүлж, 2-р эгнээний харгалзах элементүүдэд нэмнэ, энэ нь 1-р тэгшитгэлийг "-2"-оор үржүүлж, 1-р тэгшитгэлийг нэмсэнтэй тэнцүү байна. 2-р тэгшитгэл. Дараа нь бид 1-р эгнээний элементүүдийг "-3" -аар үржүүлж, гурав дахь эгнээний харгалзах элементүүдэд нэмнэ, i.e. өгөгдсөн системийн 2-р тэгшитгэлийг "-3"-аар үржүүлээд 3-р тэгшитгэлд нэмнэ. Авах

.

Матриц нь тэгшитгэлийн системтэй тохирч байна). - (1-р бүлгийн 3 § 7-ийн тодорхойлолтыг үзнэ үү).

Ер нь тэгшитгэл, шугаман алгебрийн тэгшитгэл ба тэдгээрийн систем, тэдгээрийг шийдвэрлэх аргууд нь математикт онолын болон хэрэглээний аль алинд нь онцгой байр суурь эзэлдэг.

Энэ нь дийлэнх нь физик, эдийн засаг, техник, тэр ч байтугай сурган хүмүүжүүлэх даалгаварянз бүрийн тэгшитгэл, тэдгээрийн системийг ашиглан тодорхойлж, шийдэж болно. В Сүүлийн үедМатематик загварчлал нь бараг бүх сэдвийн хүрээнд судлаачид, эрдэмтэд, дадлагажигчдийн дунд ихээхэн алдартай болсон бөгөөд энэ нь янз бүрийн шинж чанартай объектуудыг судлах бусад алдартай, батлагдсан аргуудаас илт давуу талтай гэдгээрээ тайлбарлагддаг. нарийн төвөгтэй системүүд. Маш олон янз байдаг янз бүрийн тодорхойлолтуудонд эрдэмтдийн гаргасан математик загвар өөр өөр цаг хугацаа, гэхдээ бидний бодлоор хамгийн амжилттай нь дараах мэдэгдэл юм. Математик загвар нь тэгшитгэлээр илэрхийлэгдсэн санаа юм. Тиймээс тэгшитгэл, тэдгээрийн системийг зохиох, шийдвэрлэх чадвар нь орчин үеийн мэргэжилтний салшгүй шинж чанар юм.

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхийн тулд Крамер, Жордан-Гаусс, матрицын арга зэрэг хамгийн түгээмэл хэрэглэгддэг аргууд байдаг.

Матрицын аргашийдлүүд - урвуу матриц ашиглан тэг биш тодорхойлогчтой шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдэх арга.

Хэрэв бид үл мэдэгдэх xi утгуудын коэффициентийг А матрицад бичиж, үл мэдэгдэх утгуудыг X векторт, чөлөөт гишүүдийг В багана векторт цуглуулбал шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг бичиж болно. Дараахь матрицын тэгшитгэл болох AX = B ба энэ нь зөвхөн А матрицын тодорхойлогч тэгтэй тэнцүү биш үед л өвөрмөц шийдэлтэй. Энэ тохиолдолд тэгшитгэлийн системийн шийдийг дараах байдлаар олж болно X = А-нэг · Б, хаана А-1 - урвуу матриц.

Матрицын шийдлийн арга нь дараах байдалтай байна.

Шугаман тэгшитгэлийн системийг өгье nүл мэдэгдэх:

Үүнийг матриц хэлбэрээр дахин бичиж болно: АХ = Б, хаана А- системийн үндсэн матриц, Бболон X- чөлөөт гишүүдийн багана ба системийн шийдлүүд:

Үүнийг үржүүлье матрицын тэгшитгэлхүртэл үлдсэн А-1 - матрицын урвуу матриц А: А -1 (АХ) = А -1 Б

Учир нь А -1 А = Э, бид авдаг X= А -1 Б. Энэ тэгшитгэлийн баруун гар тал нь анхны системийн шийдлүүдийн баганыг өгнө. Энэ аргыг хэрэглэх нөхцөл (мөн ерөнхийдөө шийдэл байгаа эсэх). нэгэн төрлийн системтэгшитгэлийн тоо бүхий шугаман тэгшитгэл, тоотой тэнцүү байнаүл мэдэгдэх) нь матрицын ганц бус байдал юм А. Үүний зайлшгүй бөгөөд хангалттай нөхцөл нь матрицын тодорхойлогч байх явдал юм А: det А≠ 0.

Шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн системийн хувьд, өөрөөр хэлбэл вектор байх үед Б = 0 , үнэхээр урвуу дүрэм: систем АХ = 0 нь зөвхөн det бол өчүүхэн бус (өөрөөр хэлбэл, тэг биш) шийдэлтэй байна А= 0. Шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн ба нэгэн төрлийн бус системийн шийдүүдийн хоорондын ийм холболтыг Фредхолмын хувилбар гэнэ.

Жишээ Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн бус системийн шийдлүүд.

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийн үл мэдэгдэх коэффициентүүдээс бүрдэх матрицын тодорхойлогч нь 0-тэй тэнцүү биш эсэхийг шалгацгаая.

Дараагийн алхам бол тооцоолох явдал юм алгебрийн нэмэлтүүдүл мэдэгдэх коэффициентүүдээс бүрдэх матрицын элементүүдийн хувьд. Тэд урвуу матрицыг олоход хэрэгтэй болно.

Тэгшитгэлийн хэрэглээ бидний амьдралд өргөн тархсан. Тэдгээрийг олон тооны тооцоолол, барилга байгууламж барих, тэр ч байтугай спортод ашигладаг. Тэгшитгэлийг хүн төрөлхтөн эрт дээр үеэс хэрэглэж ирсэн бөгөөд тэр цагаас хойш тэдний хэрэглээ улам бүр нэмэгдсээр байна. Матрицын арга нь аливаа нарийн төвөгтэй байдлын SLAE (шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн систем) шийдлийг олох боломжийг олгодог. SLAE-ийг шийдвэрлэх бүх үйл явц нь хоёр үндсэн үе шатаас бүрдэнэ.

Үндсэн матриц дээр үндэслэн урвуу матрицыг тодорхойлох:

Үүссэн урвуу матрицыг уусмалын баганын вектороор үржүүлэх.

Бидэнд дараах хэлбэрийн SLAE өгсөн гэж бодъё:

\[\зүүн\(\эхлэх(матриц) 5x_1 + 2x_2 & = & 7 \\ 2x_1 + x_2 & = & 9 \төгсгөл(матриц)\баруун.\]

Шийдлийг эхлүүлье өгөгдсөн тэгшитгэлсистемийн матрицыг бичихээс:

Баруун талын матриц:

Урвуу матрицыг тодорхойлъё. Та 2-р эрэмбийн матрицыг дараах байдлаар олж болно: 1 - матриц өөрөө ганц биш байх ёстой; 2 - үндсэн диагональ дээр байрлах түүний элементүүд хоорондоо солигдож, хоёрдогч диагональ элементүүдийн хувьд бид эсрэгээр нь тэмдгийн өөрчлөлтийг хийж, дараа нь олж авсан элементүүдийг матрицын тодорхойлогчоор хуваах ажлыг гүйцэтгэдэг. Бид авах:

\[\begin(pmatrix) 7 \\ 9 \end(pmatrix)=\begin(pmatrix) -11 \\ 31 \end(pmatrix)\Баруун сум \begin(pmatrix) x_1 \\ x_2 \end(pmatrix) =\ эхлэл(pmatrix) -11 \\ 31 \төгсгөл(pmatrix) \]

Харгалзах элементүүд нь тэнцүү бол 2 матрицыг тэнцүү гэж үзнэ. Үүний үр дүнд бид SLAE шийдлийн дараах хариултыг авах болно.

Матрицын аргыг ашиглан тэгшитгэлийн системийг онлайнаар хаана шийдэж болох вэ?

Та манай вэбсайтаас тэгшитгэлийн системийг шийдэж болно. Үнэгүй онлайн шийдүүлэгч нь танд ямар ч төвөгтэй онлайн тэгшитгэлийг секундын дотор шийдэх боломжийг олгоно. Таны хийх ёстой зүйл бол зүгээр л шийдвэрлэгч рүү өгөгдлөө оруулах явдал юм. Та манай вэбсайтаас тэгшитгэлийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурах боломжтой. Хэрэв танд асуулт байвал манай Вконтакте группээс асууж болно.