Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх. Тохиромжгүй системүүд. Нийтлэг шийдэл бүхий системүүд. Хувийн шийдлүүд. Шугаман тэгшитгэлийн системийн ерөнхий ба тусгай шийдийг хэрхэн олох вэ

Эхлээд тэгшитгэлийн тоо нь хувьсагчийн тоотой тэнцүү байх тохиолдлыг авч үзье. m = n. Дараа нь системийн матриц квадрат байх ба түүний тодорхойлогчийг системийн тодорхойлогч гэнэ.

Урвуу матрицын арга

Муучирдаггүй квадрат матрицтай AX = B тэгшитгэлийн системийг ерөнхийд нь авч үзье. Энэ тохиолдолд урвуу матриц A -1 байна. Хоёр талыг зүүн талд A -1-ээр үржүүлье. Бид A -1 AX = A -1 V авна. Тиймээс EX = A -1 B ба

Сүүлийн тэгшитгэл нь ийм тэгшитгэлийн системийн шийдлийг олох матрицын томъёо юм. Энэ томьёог ашиглахыг урвуу матрицын арга гэж нэрлэдэг

Жишээлбэл, дараах системийг энэ аргаар шийдье.

;

Системийг шийдэж дууссаны дараа та олсон утгыг системийн тэгшитгэлд орлуулах замаар шалгаж болно. Ингэхдээ тэд жинхэнэ тэгш байдал болон хувирах ёстой.

Үзсэн жишээний хувьд дараах зүйлийг шалгая.

Крамерын томъёогоор квадрат матрицтай шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх арга

n = 2:

Хэрэв эхний тэгшитгэлийн хоёр талыг 22-оор, хоёр дахь талыг нь (-a 12) үржүүлж, дараа нь үүссэн тэгшитгэлүүдийг нэмбэл x 2 хувьсагчийг системээс хасна. Үүний нэгэн адил та x 1 хувьсагчийг хасаж болно (эхний тэгшитгэлийн хоёр талыг (-a 21), хоёр дахь талын хоёр талыг 11-ээр үржүүлж). Үүний үр дүнд бид системийг олж авна:

Хаалтанд байгаа илэрхийлэл нь системийн тодорхойлогч юм

Бид тэмдэглэж байна

Дараа нь систем дараах хэлбэрийг авна.

Үүссэн системээс харахад системийн тодорхойлогч нь 0 байвал систем тууштай, тодорхой болно. Үүний цорын ганц шийдлийг дараах томъёогоор тооцоолж болно.

Хэрэв  = 0, 1 0 ба/эсвэл 2 0 байвал системийн тэгшитгэл нь 0 * x 1 =  2 ба / эсвэл 0 * x 1 =  2 хэлбэртэй болно. Энэ тохиолдолд систем нь үл нийцэх болно.

 =  1 =  2 = 0 тохиолдолд систем нь тууштай, тодорхойгүй байх болно (хязгааргүй олон шийдтэй байх болно), учир нь энэ нь дараах хэлбэртэй болно.

Крамерын теорем(бид нотлох баримтыг орхигдуулсан). Хэрэв тэгшитгэлийн системийн матрицын тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү биш бол систем нь томъёогоор тодорхойлогддог өвөрмөц шийдэлтэй байна.

,

Энд  j нь А матрицаас j-р баганыг чөлөөт гишүүн баганаар солих замаар олж авсан матрицын тодорхойлогч юм.

Дээрх томьёог нэрлэнэ Крамерын томъёо.

Жишээлбэл, бид урвуу матрицын аргаар өмнө нь шийдэж байсан системийг шийдэхийн тулд энэ аргыг ашигладаг.

Санасан аргын сул талууд:

1) ихээхэн хөдөлмөр (тодорхойлогчдыг тооцоолох, урвуу матрицыг олох);

2) хязгаарлагдмал хамрах хүрээ (квадрат матрицтай системүүдийн хувьд).

Эдийн засгийн бодит нөхцөл байдлыг ихэвчлэн тэгшитгэл, хувьсагчийн тоо нэлээд ач холбогдолтой, хувьсагчдаас илүү тэгшитгэлтэй системээр загварчилдаг.Тиймээс практикт дараах арга илүү түгээмэл байдаг.

Гауссын арга (хувьсагчдыг дараалан арилгах арга)

Энэ аргыг n хувьсагчтай m шугаман тэгшитгэлийн системийг ерөнхий хэлбэрээр шийдвэрлэхэд ашигладаг. Үүний мөн чанар нь эквивалент хувиргалтын системийн өргөтгөсөн матрицад хэрэглэхэд оршдог бөгөөд үүний тусламжтайгаар тэгшитгэлийн системийг шийдлийг олоход хялбар (хэрэв байгаа бол) хэлбэрт шилжүүлдэг.

Энэ нь системийн матрицын зүүн дээд хэсэг нь шаталсан матриц байх болно. Энэ нь зэрэглэлийг тодорхойлохын тулд шаталсан матрицыг олж авахад ашигладаг ижил аргуудыг ашиглан хүрдэг. Үүний зэрэгцээ өргөтгөсөн матрицад энгийн хувиргалтыг ашигладаг бөгөөд энэ нь тэнцүү тэгшитгэлийн системийг олж авах боломжийг олгоно. Үүний дараа өргөтгөсөн матриц дараах хэлбэрийг авна.

Ийм матрицыг олж авах гэж нэрлэдэг шууд курсГауссын арга.

Харгалзах тэгшитгэлийн системээс хувьсагчдын утгыг олох гэж нэрлэдэг урвууГауссын арга. Үүнийг авч үзье.

Сүүлийн (m - r) тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байгааг анхаарна уу.

Хэрэв тоонуудын дор хаяж нэг нь байвал
тэгтэй тэнцүү биш бол харгалзах тэгшитгэл нь худал байх ба бүхэл систем нь зөрчилтэй байх болно.

Тиймээс аливаа хамтарсан системийн хувьд
... Энэ тохиолдолд хувьсагчдын аль ч утгын сүүлчийн (m - r) тэгшитгэл нь 0 = 0 ижил утгатай байх бөгөөд системийг шийдвэрлэхдээ тэдгээрийг үл тоомсорлож болно (зүгээр л харгалзах мөрүүдийг хаях хэрэгтэй).

Үүний дараа систем дараах хэлбэрийг авна.

Эхлээд r = n байх тохиолдлыг авч үзье. Дараа нь систем дараах хэлбэрийг авна.

Системийн сүүлчийн тэгшитгэлээс x r-ийг хоёрдмол утгагүйгээр олж болно.

x r-ийг мэдэж байгаа тул үүнээс x r -1-ийг хоёрдмол утгагүй илэрхийлэх боломжтой. Дараа нь өмнөх тэгшитгэлээс x r ба x r -1-ийг мэдсэнээр бид x r -2 гэх мэтийг илэрхийлж болно. dox 1.

Тэгэхээр энэ тохиолдолд систем нь хамтарсан, тодорхой байх болно.

Одоо r байх үеийн тохиолдлыг авч үзье үндсэн(үндсэн) болон бусад бүх - үндсэн бус(үндсэн бус, үнэ төлбөргүй). Системийн сүүлчийн тэгшитгэл нь:

Энэ тэгшитгэлээс x r үндсэн хувьсагчийг суурь бус хувьсагчаар илэрхийлж болно.

Эцсийн өмнөх тэгшитгэл нь:

Хүлээн авсан илэрхийллийг x r-ийн оронд орлуулснаар үндсэн бус хувьсагчаар x r -1 үндсэн хувьсагчийг илэрхийлэх боломжтой болно. гэх мэт. хувьсагч х 1. Системийн шийдлийг олж авахын тулд та үндсэн бус хувьсагчдыг дурын утгатай тэнцүүлж, дараа нь олж авсан томъёог ашиглан үндсэн хувьсагчдыг тооцоолж болно. Тиймээс энэ тохиолдолд систем нь тууштай, тодорхойгүй байх болно (хязгааргүй шийдлүүдтэй).

Жишээлбэл, тэгшитгэлийн системийг шийдье.

Үндсэн хувьсагчдын багцыг дуудах болно суурьсистемүүд. Тэдгээрийн коэффициентийн баганын багцыг мөн дуудах болно суурь(суурь баганууд), эсвэл үндсэн багасистемийн матрицууд. Бүх суурь бус хувьсагчид тэгтэй тэнцүү байх системийн шийдийг дуудах болно үндсэн шийдэл.

Өмнөх жишээнд үндсэн шийдэл нь (4/5; -17/5; 0; 0) байх болно (х 3 ба x 4 хувьсагч (1 ба c 2-тай) нь тэг болж, үндсэн хувьсагчид x 1 ба x 2-ийг тэднээр тооцоолно) ... Үндсэн бус шийдлийн жишээг өгөхийн тулд x 3 ба x 4 (1 ба c 2-тай) -ийг тэгтэй тэнцүү биш дурын тоонуудтай зэрэгцүүлж, тэдгээрээр дамжуулан үлдсэн хувьсагчдыг тооцоолох шаардлагатай. Жишээлбэл, c 1 = 1 ба c 2 = 0-ийн хувьд бид үндсэн бус шийдлийг олж авна - (4/5; -12/5; 1; 0). Орлуулах замаар хоёр шийдэл зөв эсэхийг шалгахад хялбар байдаг.

Тодорхойгүй системд үндсэн бус шийдлүүд хязгааргүй олон байж болох нь ойлгомжтой. Хэдэн үндсэн шийдэл байж болох вэ? Хувиргасан матрицын мөр бүр нэг үндсэн хувьсагчтай тохирч байх ёстой. Асуудалд n хувьсагч, үндсэн мөрөнд r хувьсагч байна. Тиймээс үндсэн хувьсагчийн боломжит бүх багцын тоо нь n-ээс r 2 хүртэлх хослолын тооноос хэтэрч болохгүй. -аас бага байж болно , учир нь энэ тодорхой хувьсагчдын багц нь үндсэн байхаар системийг ийм хэлбэрт шилжүүлэх нь үргэлж боломжгүй байдаг.

Энэ ямар төрөл вэ? Энэ нь эдгээр хувьсагчдын коэффициентийн баганаас үүссэн матрицыг шаталсан хэлбэр бөгөөд нэгэн зэрэг r мөрүүдээс бүрдэх болно. Тэдгээр. эдгээр хувьсагчийн коэффициентийн матрицын зэрэг нь r-тэй тэнцүү байх ёстой. Баганын тоо r-тэй тэнцүү тул r-ээс их байж болохгүй. Хэрэв энэ нь r-ээс бага бол энэ нь хувьсагчдын баганын шугаман хамаарлыг илтгэнэ. Ийм багана нь суурь болж чадахгүй.

Дээрх жишээн дээр өөр ямар үндсэн шийдлүүдийг олж болохыг авч үзье. Үүнийг хийхийн тулд үндсэн хоёр хувьсагч болох дөрвөн хувьсагчийн бүх боломжит хослолыг авч үзье. Ийм хослолууд байх болно
, тэдгээрийн аль нэгийг нь (x 1 ба x 2) аль хэдийн авч үзсэн.

x 1 ба x 3 хувьсагчдыг авч үзье. Тэдний хувьд коэффициентийн матрицын зэрэглэлийг олъё.

Энэ нь хоёртой тэнцүү тул тэдгээр нь үндсэн байж болно. Үндсэн бус хувьсагч x 2 ба x 4-ийг тэгтэй тэнцүүлье: x 2 = x 4 = 0. Дараа нь x 1 = 4/5 - (1/5) * x 4 томъёоноос x 1 = 4 гарна. /5, мөн x 2 = -17/5 + x 3 - - (7/5) * x 4 = -17/5 + x 3 томъёоноос x 3 = x 2 +17/5 = 17/ болно. 5. Тиймээс бид үндсэн шийдлийг олж авна (4/5; 0; 17/5; 0).

Үүний нэгэн адил та үндсэн хувьсагчийн үндсэн шийдлүүдийг авч болно x 1 ба x 4 - (9/7; 0; 0; -17/7); x 2 ба x 4 - (0; -9; 0; 4); x 3 ба x 4 - (0; 0; 9; 4).

Энэ жишээн дэх x 2 ба x 3 хувьсагчдыг үндсэн гэж авах боломжгүй, учир нь харгалзах матрицын зэрэглэл нэгтэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл. хоёроос бага:

.

Зарим хувьсагчийн суурийг бий болгох боломжтой эсэхийг тодорхойлох өөр нэг арга бас боломжтой. Жишээг шийдэхдээ системийн матрицыг алхам алхмаар хэлбэрт шилжүүлсний үр дүнд дараах хэлбэрийг авсан.

Хос хувьсагчийг сонгосноор энэ матрицын харгалзах миноруудыг тооцоолох боломжтой болсон. x 2 ба x 3-аас бусад бүх хосуудын хувьд тэгтэй тэнцүү биш гэдгийг шалгахад хялбар байдаг, өөрөөр хэлбэл. баганууд нь шугаман бие даасан байна. Зөвхөн x 2 ба x 3 хувьсагчтай баганын хувьд
, энэ нь тэдний шугаман хамаарлыг илтгэнэ.

Өөр нэг жишээ татъя. Тэгшитгэлийн системийг шийдье

Тиймээс, сүүлчийн матрицын гурав дахь эгнээнд харгалзах тэгшитгэл нь зөрчилдөж байна - энэ нь 0 = -1 буруу тэгшитгэлд хүргэсэн тул энэ систем нь нийцэхгүй байна.

Жордан-Гаусын арга 3 Гауссын аргын хөгжлийг илэрхийлдэг. Үүний мөн чанар нь системийн өргөтгөсөн матриц нь хувьсагчдын коэффициентүүд нь мөр эсвэл баганын 4-р солигдох хүртэл таних матрицыг бүрдүүлэх хэлбэрт шилждэг (үүнд r нь системийн матрицын зэрэглэл юм).

Энэ аргаар системийг шийдье:

Өргөтгөсөн системийн матрицыг авч үзье.

Энэ матрицад бид нэгж элементийг сонгох болно. Жишээлбэл, гурав дахь хязгаарлалтын х 2 дахь коэффициент нь 5 байна. Бид энэ баганын үлдсэн мөрүүдэд тэг байх болно, өөрөөр хэлбэл. баганыг дан болгоё. Өөрчлөлтийн явцад бид үүнийг нэрлэх болно баганазөвшөөрөгдсөн(тэргүүлэх, гол). Гурав дахь хязгаарлалт (гурав дахь мөр) мөн дуудагдах болно зөвшөөрөгдсөн... Би өөрөө бүрэлдэхүүнШийдвэрлэх мөр ба баганын огтлолцол дээр байрлах , (энд энэ нь нэгж) гэж нэрлэдэг зөвшөөрөгдсөн.

Эхний мөрөнд одоо коэффициент (-1) байна. Оронд нь тэг авахын тулд гурав дахь мөрийг (-1)-ээр үржүүлж, эхний эгнээний үр дүнг хасна (өөрөөр хэлбэл эхний мөрийг гурав дахь эгнээнд нэмнэ).

Хоёрдахь мөрөнд 2-ын хүчин зүйл байна. Түүний оронд тэгийг авахын тулд гурав дахь мөрийг 2-оор үржүүлж, эхний мөрөөс гарсан үр дүнг хасна.

Өөрчлөлтийн үр дүн нь:

Энэ матрицаас эхний хоёр хязгаарлалтын аль нэгийг устгаж болох нь тодорхой харагдаж байна (харгалзах мөрүүд нь пропорциональ, өөрөөр хэлбэл эдгээр тэгшитгэлүүд нь бие биенээсээ дагалддаг). Жишээлбэл, хоёр дахь нь:

Тэгэхээр шинэ систем нь хоёр тэгшитгэлтэй болсон. Хоёр дахь эгнээнд нэг багана (хоёр дахь) хүлээн авна. Суурийн хувьсагч x 2 нь шинэ системийн хоёр дахь тэгшитгэлтэй тохирно гэдгийг санацгаая.

Эхний мөрөнд суурь хувьсагчийг сонгоцгооё. Энэ нь x 3-аас өөр ямар ч хувьсагч байж болно (учир нь x 3-ийн хувьд эхний хязгаарлалт нь тэг коэффициентийг агуулна, өөрөөр хэлбэл x 2 ба x 3 хувьсагчдын багц энд үндсэн байж болохгүй). Та эхний эсвэл дөрөв дэх хувьсагчийг авч болно.

x 1-ийг сонгоцгооё. Дараа нь шийдвэрлэх элемент нь 5 байх бөгөөд эхний эгнээний эхний баганад нэгийг авахын тулд шийдвэрлэх тэгшитгэлийн хоёр талыг тавд хуваах шаардлагатай болно.

Үлдсэн мөрүүд (жишээ нь, хоёр дахь мөр) эхний баганад тэг байгаа эсэхийг шалгацгаая. Одоо хоёр дахь мөрөнд тэг биш, харин 3 байгаа тул хоёр дахь мөрөнд хувиргасан эхний мөрийн элементүүдийг 3-аар үржүүлж хасах шаардлагатай.

Үүссэн матрицаас үндсэн бус хувьсагчдыг тэгтэй, үндсэн хувьсагчдыг чөлөөт гишүүнтэй харгалзах тэгшитгэлүүдтэй тэнцүүлэх замаар нэг үндсэн шийдлийг шууд гаргаж болно: (0.8; -3.4; 0; 0). Та мөн үндсэн бус хувьсагчаар дамжуулан үндсэн хувьсагчдыг илэрхийлэх ерөнхий томьёог гаргаж болно: x 1 = 0.8 - 1.2 x 4; x 2 = -3.4 + x 3 + 1.6 x 4. Эдгээр томьёо нь системийн бүхэл бүтэн хязгааргүй шийдлүүдийг тайлбарладаг (х 3 ба x 4-ийг дурын тоонуудтай тэнцүүлж, та x 1 ба x 2-ыг тооцоолж болно).

Жордан-Гаусын аргын үе шат бүрийн өөрчлөлтийн мөн чанар нь дараах байдалтай байсныг анхаарна уу.

1) оронд нь нэгийг авахын тулд шийдвэрлэх мөрийг шийдвэрлэх элементээр хуваасан,

2) бусад бүх мөрүүдээс энэ элементийн оронд тэгийг авахын тулд хувиргасан нарийвчлалыг хасч, шийдвэрлэх баганын өгөгдсөн мөрөнд байгаа элементээр үржүүлсэн.

Системийн өөрчилсөн өргөтгөсөн матрицыг дахин авч үзье.

Энэ бичлэгээс харахад А системийн матрицын зэрэглэл r-тэй тэнцүү байна.

Дээр дурдсан үндэслэлийн явцад бид систем нь зөвхөн хамтарсан байх болно гэдгийг тогтоосон
... Энэ нь системийн өргөтгөсөн матриц дараах байдлаар харагдах болно гэсэн үг юм.

Тэг мөрүүдийг хаявал системийн өргөтгөсөн матрицын зэрэглэл нь мөн r байна.

Кронекер-Капелли теорем... Шугаман тэгшитгэлийн систем нь системийн матрицын зэрэглэл нь энэ системийн өргөтгөсөн матрицын зэрэгтэй тэнцүү байх тохиолдолд л нийцтэй байна.

Матрицын зэрэглэл нь түүний шугаман бие даасан мөрүүдийн хамгийн их тоотой тэнцүү гэдгийг санаарай. Үүнээс үзэхэд хэрэв өргөтгөсөн матрицын зэрэглэл нь тэгшитгэлийн тооноос бага байвал системийн тэгшитгэлүүд шугаман хамааралтай бөгөөд тэдгээрийн нэг буюу хэд хэдэн хэсгийг системээс хасаж болно (учир нь тэдгээр нь шугаман байна). бусдын хослол). Өргөтгөсөн матрицын зэрэглэл нь тэгшитгэлийн тоотой тэнцүү байх тохиолдолд тэгшитгэлийн систем нь шугаман бие даасан байх болно.

Түүгээр ч зогсохгүй шугаман тэгшитгэлийн нийцтэй системүүдийн хувьд хэрэв матрицын зэрэглэл нь хувьсагчдын тоотой тэнцүү бол систем нь өвөрмөц шийдэлтэй, хэрэв энэ нь хувьсагчийн тооноос бага байвал систем нь өвөрмөц шийдэлтэй байдаг гэж үзэж болно. систем нь хязгааргүй бөгөөд хязгааргүй олон шийдэлтэй.

1Жишээ нь матрицад таван мөр байна гэж бодъё (эх мөрний дараалал 12345). Хоёр дахь мөр, тав дахь мөрийг өөрчлөх шаардлагатай. Хоёрдахь мөрийг тав дахь байранд оруулахын тулд доошоо "нүүж", зэргэлдээх мөрүүдийг гурван удаа дараалан өөрчил: хоёр, гурав (13245), хоёр, дөрөв (13425), хоёр, тавдугаар (13425). 13452). Дараа нь тав дахь эгнээ нь анхны матрицын хоёр дахь эгнээнд орохын тулд тав дахь эгнээг зөвхөн хоёр дараалсан өөрчлөлтөөр "шилжүүлэх" шаардлагатай: тав, дөрөв дэх эгнээ (13542), тав дахь ба гурав дахь (15342).

2 n-ээс r хүртэлх хослолын тоо n-элементийн олонлогийн бүх өөр өөр r-элементийн дэд олонлогуудын тоог дууд (өөр өөр олонлогууд нь элементүүдийн өөр найрлагатай, сонгох дараалал чухал биш). Үүнийг дараах томъёогоор тооцоолно.
... "!" Тэмдгийн утгыг эргэн санацгаая. (фактор):
0!=1.)

3Энэ арга нь өмнө нь авч үзсэн Гауссын аргаас илүү түгээмэл бөгөөд мөн чанартаа Гауссын аргын урагш болон урвуу алхмуудын нэгдэл учраас заримдаа нэрний эхний хэсгийг орхигдуулан Гауссын арга гэж нэрлэдэг.

4 Жишээлбэл,
.

5Хэрэв системийн матрицад нэгж байхгүй байсан бол жишээлбэл, эхний тэгшитгэлийн хоёр талыг хоёр хуваах боломжтой бөгөөд дараа нь эхний коэффициент нэгж болно; эсвэл үүнтэй төстэй

Бид шугаман тэгшитгэлийн системтэй үргэлжлүүлэн харьцаж байна. Одоогоор бид нэг шийдэлтэй системүүдийг авч үзсэн. Ийм системийг ямар ч аргаар шийдэж болно: орлуулах арга("Сургууль"), Крамерын томъёогоор, матрицын аргаар, Гауссын арга... Гэсэн хэдий ч практик дээр дараахь тохиолдолд өөр хоёр тохиолдол өргөн тархсан байна.

1) систем нь таарахгүй (шийдэл байхгүй);

2) систем нь хязгааргүй олон шийдэлтэй.

Эдгээр системүүдийн хувьд бүх шийдлийн аргуудаас хамгийн түгээмэл нь ашиглагддаг - Гауссын арга... Үнэн хэрэгтээ "сургууль" арга нь хариултанд хүргэх боловч дээд математикт үл мэдэгдэх зүйлийг дараалан арилгах Гауссын аргыг ашигладаг. Гауссын аргын алгоритмыг мэдэхгүй хүмүүс эхлээд хичээлээ судлаарай Гауссын арга

Анхан шатны матрицын хувиргалтууд нь өөрөө яг адилхан, ялгаа нь шийдлийн төгсгөлд байх болно. Системд ямар ч шийдэл байхгүй (зөрчил) үед эхлээд хэд хэдэн жишээг авч үзье.

Жишээ 1

Энэ системд таны анхаарлыг юу шууд татдаг вэ? Тэгшитгэлийн тоо нь хувьсагчийн тооноос бага байна. Нэг теорем байдаг: "Хэрэв систем дэх тэгшитгэлийн тоо хувьсагчийн тооноос бага бол, Дараа нь систем нь нийцэхгүй эсвэл хязгааргүй олон шийдэлтэй байдаг."Үүнийг олж мэдэх л үлдлээ.

Шийдлийн эхлэл нь ердийн зүйл юм - бид системийн өргөтгөсөн матрицыг бичиж, энгийн хувиргалтуудыг ашиглан үүнийг алхам алхмаар хэлбэрт оруулдаг.

(1). Зүүн дээд алхам дээр бид (+1) эсвэл (-1) авах хэрэгтэй. Эхний баганад ийм тоо байхгүй тул мөрүүдийг дахин байрлуулах нь юу ч хийхгүй. Нэгжийг бие даан зохион байгуулах шаардлагатай бөгөөд үүнийг хэд хэдэн аргаар хийж болно. Бид үүнийг хийсэн. Эхний мөрөнд (–1) үржүүлсэн гурав дахь мөрийг нэмнэ.

(2). Одоо бид эхний баганад хоёр тэг авч байна. Хоёр дахь мөрөнд бид эхний мөрийг 3-аар үржүүлсэн тоог нэмнэ. Гурав дахь мөрөнд бид эхний мөрийг 5-аар үржүүлнэ.

(3). Гүйцэтгэсэн хувиргалт хийсний дараа үргэлж харахыг зөвлөж байна, мөн үр дүнгийн мөрүүдийг хялбарчлах боломжтой юу? Чадах. Хоёрдахь эгнээг 2-оор хувааж, хоёр дахь алхам дээр хүссэн (-1) -ийг ав. Гурав дахь эгнээг (-3) хуваана.

(4). Гурав дахь мөрөнд хоёр дахь мөрийг нэмнэ. Энгийн өөрчлөлтийн үр дүнд үүссэн муу шугамыг хүн бүр анхаарч үзсэн байх.

... Ийм байж болохгүй нь ойлгомжтой.

Үнэхээр бид үүссэн матрицыг дахин бичдэг

Шугаман тэгшитгэлийн систем рүү буцах:

Хэрэв анхан шатны хувиргалтын үр дүнд маягтын мөр , хаанаλ - тэгээс өөр тоо байвал систем таарахгүй байна (шийдэл байхгүй).

Би даалгаврын төгсгөлийг хэрхэн тэмдэглэх вэ? Та дараах хэллэгийг бичих хэрэгтэй.

"Эхний хувиргалтуудын үр дүнд маягтын мөрийг олж авсан λ ≠ 0 ". Хариулт: "Системд шийдэл байхгүй (зөрчил)."

Энэ тохиолдолд Гауссын алгоритмаас ухрах зүйл байхгүй, шийдэл байхгүй, зүгээр л олох зүйл байхгүй гэдгийг анхаарна уу.

Жишээ 2

Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийд

Энэ бол өөрөө хийх шийдлийн жишээ юм. Бүрэн шийдэл, зааварчилгааны төгсгөлд хариулна уу.

Дахин хэлэхэд, таны шийдвэр гаргах чиглэл нь бидний шийдвэрийн курсээс ялгаатай байж болохыг сануулж байна, Гауссын арга нь хоёрдмол утгагүй алгоритмыг заагаагүй тул та үйлдлүүдийн дараалал, үйлдлүүдийн талаар бие даан таах хэрэгтэй.

Шийдлийн өөр нэг техникийн шинж чанар: энгийн хувиргалтыг зогсоож болно тэр даруй, маягтын мөр гарч ирмэгц, хаана λ ≠ 0 ... Нөхцөлтэй жишээг авч үзье: анхны хувиргалт хийсний дараа матрицыг олж авлаа гэж бодъё

.

Энэ матрицыг шаталсан хэлбэрт хараахан бууруулаагүй байгаа боловч маягтын эгнээ гарч ирсэн тул цаашид энгийн өөрчлөлт хийх шаардлагагүй болно. λ ≠ 0 ... Та систем нь таарахгүй байна гэж шууд хариулах хэрэгтэй.

Шугаман тэгшитгэлийн системд шийдэл байхгүй бол энэ нь оюутанд бараг бэлэг юм, учир нь богино хэмжээний шийдлийг заримдаа 2-3 алхамаар олж авдаг. Гэхдээ энэ дэлхий дээрх бүх зүйл тэнцвэртэй бөгөөд систем нь хязгааргүй олон шийдэлтэй байдаг асуудал илүү урт юм.

Жишээ 3:

Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийд

4 тэгшитгэл, 4 үл мэдэгдэх систем байдаг тул систем нь нэг шийдэлтэй, эсвэл шийдэлгүй, эсвэл хязгааргүй олон шийдтэй байж болно. Гэсэн хэдий ч Гауссын арга биднийг хариулт руу хөтөлнө. Энэ бол түүний олон талт байдал юм.

Эхлэл нь дахин стандарт юм. Системийн өргөтгөсөн матрицыг бичиж, энгийн хувиргалтуудыг ашиглан үүнийг алхам алхмаар хэлбэрт оруулъя.

Ингээд л та нар айсан.

(1). Эхний баганад байгаа бүх тоонууд 2-т хуваагддаг тул зүүн дээд алхам дээр бид хоёрт сэтгэл хангалуун байгааг анхаарна уу. Хоёрдахь мөрөнд эхний мөрийг (–4) үржүүлж нэмнэ. Гурав дахь мөрөнд эхний мөрийг (-2) үржүүлж нэмнэ. Дөрөв дэх мөрөнд (-1) үржүүлсэн эхний мөрийг нэмнэ.

Анхаар!Дөрөв дэх шугамаас олон хүн уруу татагдаж магадгүй хасахэхний мөр. Үүнийг хийж болно, гэхдээ энэ нь шаардлагагүй, туршлагаас харахад тооцоололд алдаа гарах магадлал хэд хэдэн удаа нэмэгддэг. Зүгээр л нэмнэ үү: дөрөв дэх мөрөнд эхний мөрийг (–1) -ээр үржүүлж нэмнэ. яг!

(2). Сүүлийн гурван мөр нь пропорциональ, хоёрыг нь устгаж болно. Энд та дахин харуулах хэрэгтэй анхаарал нэмэгдсэн, гэхдээ шугамууд үнэхээр пропорциональ уу? Аюулгүй байхын тулд хоёр дахь мөрийг (-1) үржүүлж, дөрөв дэх мөрийг 2-оор хуваахад илүүдэхгүй, үр дүнд нь гурван ижил шугам гарч ирнэ. Зөвхөн дараа нь хоёрыг нь устгана. Анхан шатны өөрчлөлтүүдийн үр дүнд системийн өргөтгөсөн матриц шаталсан хэлбэр болж буурдаг.

Даалгаврыг дэвтэрт бөглөхдөө тодорхой болгохын тулд харандаагаар ижил тэмдэглэл хийхийг зөвлөж байна.

Харгалзах тэгшитгэлийн системийг дахин бичье.

Энд байгаа системийн цорын ганц шийдэл нь "ердийн" үнэртэй байдаггүй. Муу шугам хаана байна λ ≠ 0, бас үгүй. Энэ нь үлдсэн гурав дахь тохиолдол гэсэн үг юм - систем нь хязгааргүй олон шийдэлтэй.

Хязгааргүй тооны системийн шийдлүүд гэж нэрлэгддэг хэлбэрээр товч бичигдсэн байдаг системийн ерөнхий шийдэл.

Гауссын аргын урвуу хөдөлгөөнийг ашиглан системийн ерөнхий шийдлийг олно. Хязгааргүй олон шийд бүхий тэгшитгэлийн системүүдийн хувьд шинэ ойлголтууд гарч ирнэ. "Үндсэн хувьсагч"болон "Чөлөөт хувьсагч"... Эхлээд бид ямар хувьсагчтай болохыг тодорхойлъё үндсэн, аль хувьсагч - үнэгүй... Шугаман алгебрийн нэр томъёог нарийвчлан тайлбарлах шаардлагагүй, ийм зүйл байдаг гэдгийг санахад хангалттай үндсэн хувьсагчболон чөлөөт хувьсагч.

Үндсэн хувьсагч нь матрицын алхам дээр үргэлж "сууж" байдаг... Энэ жишээнд үндсэн хувьсагчид байна x 1 ба x 3 .

Үнэгүй хувьсагч нь бүх зүйл юм үлдсэншат аваагүй хувьсагчид. Манай тохиолдолд тэдгээрийн хоёр нь байна: x 2 ба x 4 - чөлөөт хувьсагч.

Одоо танд хэрэгтэй бүгдүндсэн хувьсагчилэрхийлэх зөвхөн дамжууланчөлөөт хувьсагч... Гауссын алгоритмын урвуу нь уламжлал ёсоор доороос дээш ажилладаг. Системийн хоёр дахь тэгшитгэлээс бид үндсэн хувьсагчийг илэрхийлнэ x 3:

Одоо эхний тэгшитгэлийг харцгаая: ... Эхлээд бид олсон илэрхийллийг үүн дээр орлуулна:

Энэ нь үндсэн хувьсагчийг илэрхийлэх хэвээр байна x 1 чөлөөт хувьсагчаар дамжуулан x 2 ба x 4:

Эцэст нь бид хэрэгтэй зүйлээ авсан - бүгдүндсэн хувьсагч ( x 1 ба x 3) илэрхийлсэн зөвхөн дамжууланчөлөөт хувьсагч ( x 2 ба x 4):

Үнэндээ ерөнхий шийдэл бэлэн байна:

.

Ерөнхий шийдлийг хэрхэн зөв бичих вэ? Юуны өмнө чөлөөт хувьсагчдыг ерөнхий шийдэлд "өөрөө" болон байранд нь хатуу бичдэг. Энэ тохиолдолд чөлөөт хувьсагч x 2 ба x 4-ийг хоёр, дөрөв дэх байрлалд бичнэ.

.

Үндсэн хувьсагчдын олж авсан илэрхийлэл Мэдээжийн хэрэг та эхний болон гурав дахь байрлалд бичих хэрэгтэй.

Системийн ерөнхий шийдлээс та хязгааргүй олон зүйлийг олох боломжтой хувийн шийдлүүд... Энэ нь маш энгийн. Чөлөөт хувьсагч x 2 ба x 4-ийг өгөх боломжтой учраас ингэж нэрлэдэг аливаа эцсийн утга... Хамгийн алдартай утгууд нь тэг байна, учир нь энэ нь тодорхой шийдлийн хамгийн хялбар шийдэл юм.

орлуулах ( x 2 = 0; x 4 = 0) ерөнхий шийдэлд бид тодорхой шийдлүүдийн аль нэгийг авна.

, эсвэл үнэ цэнэ дэх чөлөөт хувьсагчдад тохирох тодорхой шийдэл юм ( x 2 = 0; x 4 = 0).

Нэгж нь өөр нэг сайхан хос, орлуулагч ( x 2 = 1 ба x 4 = 1) ерөнхий шийдэл болгон:

, өөрөөр хэлбэл (-1; 1; 1; 1) нь өөр нэг тодорхой шийдэл юм.

Тэгшитгэлийн систем нь байгааг харахад хялбар байдаг хязгааргүй олон шийдэл,Учир нь бид үнэгүй хувьсагчийг өгч чадна ямар чүнэт зүйлс.

Тус бүртодорхой шийдэл нь хангасан байх ёстой тус бүртсистемийн тэгшитгэл. Энэ нь шийдлийн зөв эсэхийг "түргэн" шалгах үндэс суурь юм. Жишээлбэл, тодорхой шийдлийг (-1; 1; 1; 1) аваад анхны системийн тэгшитгэл бүрийн зүүн талд орлуулна уу:

Бүх зүйл хоорондоо зохицож байх ёстой. Таны хүлээн авсан аливаа шийдвэрийн хувьд бүх зүйл бас тохирч байх ёстой.

Хатуухан хэлэхэд тодорхой шийдлийг шалгах нь заримдаа хууран мэхлэх, i.e. Зарим тодорхой шийдэл нь системийн тэгшитгэл бүрийг хангаж чадах боловч ерөнхий шийдэл нь өөрөө буруу олддог. Тиймээс юуны түрүүнд ерөнхий шийдлийг шалгах нь илүү нарийн бөгөөд найдвартай байдаг.

Үүссэн ерөнхий шийдлийг хэрхэн шалгах вэ ?

Энэ нь хэцүү биш боловч маш их цаг хугацаа шаардсан өөрчлөлтийг шаарддаг. Та илэрхийлэл авах хэрэгтэй үндсэнхувьсагч, энэ тохиолдолд ба тэдгээрийг системийн тэгшитгэл бүрийн зүүн талд орлуулна.

Системийн эхний тэгшитгэлийн зүүн талд:

Системийн эхний тэгшитгэлийн баруун талыг олж авна.

Системийн хоёр дахь тэгшитгэлийн зүүн талд:

Системийн анхны хоёр дахь тэгшитгэлийн баруун талыг олж авна.

Мөн цаашлаад - системийн гурав, дөрөв дэх тэгшитгэлийн зүүн талд. Энэ шалгалт нь илүү урт хугацаа шаардагдах боловч ерөнхий шийдлийн зуун хувь үнэн зөвийг баталгаажуулдаг. Нэмж дурдахад зарим ажлуудад ерөнхий шийдлийг шалгах шаардлагатай байдаг.

Жишээ 4:

Гауссын аргыг ашиглан системийг шийд. Ерөнхий шийдэл ба хоёр тусгай шийдлийг олоорой. Ерөнхий шийдлийг шалгана уу.

Энэ бол өөрөө хийх шийдлийн жишээ юм. Энд, дашрамд хэлэхэд, тэгшитгэлийн тоо дахин үл мэдэгдэх тооноос бага байгаа нь систем нь үл нийцэх эсвэл хязгааргүй олон шийдтэй байх нь шууд тодорхой болно гэсэн үг юм.

Жишээ 5:

Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийд. Хэрэв системд хязгааргүй олон шийдэл байгаа бол хоёр тусгай шийдлийг олж, ерөнхий шийдлийг шалгана уу

Шийдэл:Системийн өргөтгөсөн матрицыг бичиж, энгийн хувиргалтуудыг ашиглан алхам алхмаар хэлбэрт оруулъя.

(1). Эхний мөрийг хоёр дахь мөрөнд нэмнэ. Гурав дахь мөрөнд бид 2-оор үржүүлсэн эхний мөрийг нэмнэ. Дөрөв дэх мөрөнд бид 3-аар үржүүлсэн эхний мөрийг нэмнэ.

(2). Гурав дахь мөрөнд (-5) үржүүлсэн хоёр дахь мөрийг нэмнэ. Дөрөв дэх мөрөнд (-7) үржүүлсэн хоёр дахь мөрийг нэмнэ.

(3). Гурав, дөрөв дэх мөр нь адилхан, бид тэдгээрийн аль нэгийг нь устгана. Ийм гоо үзэсгэлэн энд байна:

Үндсэн хувьсагч нь шатаар суудаг тул үндсэн хувьсагч болно.

Энд алхам аваагүй ганц л чөлөөт хувьсагч байна:.

(4). Урвуу хөдөлгөөн. Үндсэн хувьсагчдыг чөлөөт хувьсагчаар илэрхийлье.

Гурав дахь тэгшитгэлээс:

Хоёр дахь тэгшитгэлийг авч үзээд олсон илэрхийлэлийг түүнд орлуулна уу.

, , ,

Эхний тэгшитгэлийг авч үзээд олсон илэрхийллүүдийг орлуулж бичнэ үү.

Тиймээс нэг чөлөөт хувьсагчийн ерөнхий шийдэл x 4:

Дахин нэг удаа энэ нь яаж үүссэн бэ? Чөлөөт хувьсагч x 4 дангаараа дөрөвдүгээр байрт бичигдэж байна. Үндсэн хувьсагчийн үр дүнгийн илэрхийллүүд мөн байрандаа байна.

Ерөнхий шийдлийг нэн даруй шалгаж үзье.

Бид системийн тэгшитгэл бүрийн зүүн талд үндсэн хувьсагчдыг орлуулна.

Тэгшитгэлийн баруун талын харгалзах талуудыг олж авсан тул зөв ерөнхий шийдийг олно.

Одоо олдсон нийтлэг шийдлээс Бид хоёр тодорхой шийдлийг олж авдаг. Бүх хувьсагчийг энд дангаар илэрхийлнэ чөлөөт хувьсагч x 4 . Та толгойгоо хугалах шаардлагагүй.

Байцгаая x 4 = 0, тэгвэл - анхны тодорхой шийдэл.

Байцгаая x 4 = 1, тэгвэл - өөр нэг тодорхой шийдэл.

Хариулт:Нийтлэг шийдвэр: ... Хувийн шийдлүүд:

болон .

Жишээ 6:

Шугаман тэгшитгэлийн системийн ерөнхий шийдийг ол.

Бид ерөнхий шийдвэрийг аль хэдийн шалгасан, хариултанд итгэж болно. Таны шийдвэр бидний шийдвэрээс өөр байж болно. Хамгийн гол нь нийтлэг шийдвэрүүд давхцах явдал юм. Магадгүй олон хүмүүс шийдлүүдийн таагүй мөчийг анзаарсан байх: Гауссын аргын урвуу явцад бид ердийн фракцуудтай тоглох шаардлагатай болдог. Практикт энэ нь үнэн, бутархай байхгүй тохиолдол хамаагүй бага тохиолддог. Оюун санааны хувьд, хамгийн чухал нь техникийн хувьд бэлтгэлтэй байх.

Шийдвэрлэсэн жишээн дээр олдоогүй шийдлийн шинж чанарууд дээр анхаарлаа хандуулцгаая. Системийн ерөнхий шийдэлд заримдаа тогтмол (эсвэл тогтмол) орно.

Жишээлбэл, ерөнхий шийдэл нь:. Энд үндсэн хувьсагчийн нэг нь тогтмол тоотой тэнцүү байна:. Үүнд чамин зүйл байхгүй, ийм зүйл тохиолддог. Мэдээжийн хэрэг, энэ тохиолдолд аливаа тодорхой шийдэл нь эхний байрлалд А-г агуулна.

Ховор, гэхдээ ийм системүүд байдаг тэгшитгэлийн тоо хувьсагчийн тооноос их байна... Гэсэн хэдий ч Гауссын арга нь хамгийн хүнд нөхцөлд ажилладаг. Стандарт алгоритмын дагуу системийн өргөтгөсөн матрицыг шаталсан хэлбэрт тайван бууруулах шаардлагатай. Ийм систем нь үл нийцэх, хязгааргүй олон шийдэлтэй байж болох бөгөөд хачирхалтай нь нэг шийдэлтэй байж болно.

Бидний зөвлөгөөг давтан хэлье - Гауссын аргыг ашиглан системийг шийдэхдээ тав тухтай байхын тулд та гараа дүүргэж, дор хаяж хэдэн арван системийг шийдэх хэрэгтэй.

Шийдэл ба хариултууд:

Жишээ 2:

Шийдэл:Системийн өргөтгөсөн матрицыг бичиж, энгийн хувиргалтуудыг ашиглан алхам алхмаар хэлбэрт оруулцгаая.

Гүйцэтгэсэн үндсэн өөрчлөлтүүд:

(1) Эхний болон гурав дахь мөрүүд урвуу байна.

(2) Эхний мөрөнд (-6) үржүүлсэн тоог хоёр дахь мөрөнд нэмэв. Гурав дахь мөрөнд эхний мөрийг (-7) үржүүлсэн.

(3) Гурав дахь мөрөнд (-1) үржүүлсэн хоёр дахь мөрийг нэмсэн.

Энгийн хувиргалтуудын үр дүнд хэлбэрийн мөр, хаана λ ≠ 0 .Энэ нь систем таарахгүй байна гэсэн үг.Хариулт: шийдэл байхгүй.

Жишээ 4:

Шийдэл:Системийн өргөтгөсөн матрицыг бичиж, энгийн хувиргалтуудыг ашиглан үүнийг алхам алхмаар хэлбэрт оруулъя.

Гүйцэтгэсэн хөрвүүлэлт:

(1). 2-оор үржүүлсэн эхний мөрийг хоёр дахь мөрөнд, 3-аар үржүүлсэн эхний мөрийг гурав дахь мөрөнд нэмж оруулав.

Хоёрдахь алхам хийх хүн алга , хувиргах (2) нь түүнийг олж авахад чиглэгддэг.

(2). Гурав дахь мөрийг хоёр дахь мөрөнд -3-аар үржүүлэв.

(3). Хоёр ба гурав дахь мөрүүдийг сольсон (үр дүнд нь -1-ийг хоёр дахь алхам болгон дахин зассан)

(4). Гурав дахь мөрийг хоёр дахь мөрөнд 3-аар үржүүлэв.

(5). Эхний хоёр мөрийн тэмдгийг өөрчилсөн (-1-ээр үржүүлсэн), гурав дахь мөрийг 14-т хуваасан.

Урвуу:

(1). Энд - үндсэн хувьсагч (алхам дээр байгаа) болон - чөлөөт хувьсагч (алхамыг аваагүй хүмүүс).

(2). Үндсэн хувьсагчдыг чөлөөт хувьсагчаар илэрхийлье.

Гурав дахь тэгшитгэлээс: .

(3). Хоёр дахь тэгшитгэлийг авч үзье., тусгай шийдэл:

Хариулт: Нийтлэг шийдвэр:

Нарийн төвөгтэй тоо

Энэ хэсэгт бид ойлголттой танилцах болно нийлмэл тоо, авч үзэх алгебрийн, тригонометрболон үлгэр жишээ хэлбэрнийлмэл тоо. Мөн бид нийлмэл тоо бүхий үйлдлүүдийг хэрхэн хийхийг сурах болно: нэмэх, хасах, үржүүлэх, хуваах, экспонентацилах, үндсийг задлах.

Нарийн төвөгтэй тоонуудыг эзэмшихийн тулд дээд математикийн хичээлээс ямар нэгэн тусгай мэдлэг шаардагддаггүй бөгөөд материалыг оюутан хүртэл авах боломжтой. "Энгийн" тоогоор алгебрийн үйлдлүүдийг гүйцэтгэх чадвартай байх, тригонометрийг санахад хангалттай.

Эхлээд "энгийн" тоонуудыг эргэн санацгаая. Математикийн хувьд тэдгээрийг нэрлэдэг бодит тоонуудын багцмөн үсгээр тэмдэглэнэ R,эсвэл R (өтгөрүүлсэн). Бүх бодит тоонууд танил тооны шулуун дээр сууна:

Бодит тоонуудын компани нь маш олон янз байдаг - энд бүхэл тоо, бутархай, иррационал тоонууд байдаг. Энэ тохиолдолд тоон тэнхлэгийн цэг бүр нь тодорхой тооны бодит тоотой тохирч байх ёстой.

Тэгшитгэлийн системийг эдийн засгийн салбарт янз бүрийн үйл явцын математик загварчлалд өргөн ашигладаг. Жишээлбэл, үйлдвэрлэл, логистикийн чиглэл (тээврийн асуудал) эсвэл тоног төхөөрөмжийг байрлуулах менежмент, төлөвлөлтийн асуудлыг шийдвэрлэхэд.

Тэгшитгэлийн системийг зөвхөн математикийн салбарт төдийгүй физик, хими, биологи, хүн амын тоог олох асуудлыг шийдвэрлэхэд ашигладаг.

Шугаман тэгшитгэлийн системийг хэд хэдэн хувьсагчтай хоёр ба түүнээс дээш тэгшитгэл гэж нэрлэдэг бөгөөд үүний тулд ерөнхий шийдлийг олох шаардлагатай. Бүх тэгшитгэл нь жинхэнэ тэгшитгэл болох эсвэл дараалал байхгүй гэдгийг нотлох тоонуудын ийм дараалал.

Шугаман тэгшитгэл

ax + by = c хэлбэрийн тэгшитгэлийг шугаман гэж нэрлэдэг. Тэмдэглэгээ x, y нь тодорхойгүй, утгыг нь олох ёстой, b, a нь хувьсагчдын коэффициентууд, c нь тэгшитгэлийн чөлөөт гишүүн юм.
Графикийг зурах замаар тэгшитгэлийн шийдэл нь бүх цэгүүд нь олон гишүүнтийн шийдэл болох шулуун шугам хэлбэртэй байна.

Шугаман тэгшитгэлийн системийн төрлүүд

Хамгийн энгийн жишээ бол X ба Y гэсэн хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн системүүд юм.

F1 (x, y) = 0 ба F2 (x, y) = 0, энд F1,2 нь функц, (x, y) нь функцын хувьсагч юм.

Тэгшитгэлийн системийг шийдэх - Энэ нь систем жинхэнэ тэгш байдал болж хувирах утгуудыг (x, y) олох, эсвэл x ба y-д тохирох утга байхгүй гэдгийг тогтоох гэсэн үг юм.

Цэгийн координат хэлбэрээр бичигдсэн хос утгыг (x, y) шугаман тэгшитгэлийн системийн шийдэл гэж нэрлэдэг.

Хэрэв системүүд нэг нийтлэг шийдэлтэй эсвэл шийдэл байхгүй бол тэдгээрийг эквивалент гэж нэрлэдэг.

Шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн системүүд нь баруун тал нь тэгтэй тэнцүү систем юм. Хэрэв "тэнцүү" тэмдгийн дараа баруун хэсэг нь утгатай эсвэл функцээр илэрхийлэгддэг бол ийм систем нь гетероген байна.

Хувьсагчийн тоо хоёроос хамаагүй их байж болно, тэгвэл бид гурав ба түүнээс дээш хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн системийн жишээг ярих хэрэгтэй.

Системтэй тулгарах үед сургуулийн сурагчид тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх тоотой заавал давхцах ёстой гэж үздэг боловч энэ нь тийм биш юм. Систем дэх тэгшитгэлийн тоо нь хувьсагчдаас хамаардаггүй бөгөөд таны хүссэн хэмжээгээр байж болно.

Тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх энгийн бөгөөд төвөгтэй аргууд

Ийм системийг шийдэх ерөнхий аналитик арга байхгүй, бүх аргууд нь тоон шийдэл дээр суурилдаг. Сургуулийн математикийн хичээлд орлуулах, алгебрийн нэмэх, орлуулах аргууд, түүнчлэн график ба матрицын арга, Гауссын аргаар шийдвэрлэх аргуудыг нарийвчлан тайлбарласан болно.

Шийдвэрийг заах гол ажил бол системд хэрхэн зөв дүн шинжилгээ хийх, жишээ тус бүрийн оновчтой шийдлийн алгоритмыг олоход сургах явдал юм. Хамгийн гол нь арга тус бүрийн дүрэм, үйлдлийн системийг цээжлэх биш, харин тодорхой аргыг хэрэглэх зарчмуудыг ойлгох явдал юм.

Ерөнхий сургуулийн 7-р ангийн шугаман тэгшитгэлийн системийн жишээнүүдийн шийдэл нь маш энгийн бөгөөд нарийвчлан тайлбарласан болно. Математикийн аливаа сурах бичигт энэ хэсэгт хангалттай анхаарал хандуулдаг. Гаусс ба Крамерын аргаар шугаман тэгшитгэлийн системийн жишээнүүдийн шийдлийг дээд боловсролын байгууллагуудын эхний жилүүдэд илүү нарийвчлан судалж үздэг.

Орлуулах аргаар системийг шийдвэрлэх

Орлуулах аргын үйлдэл нь нэг хувьсагчийн утгыг хоёр дахь хувьсах замаар илэрхийлэхэд чиглэгддэг. Илэрхийлэлийг үлдсэн тэгшитгэлд орлуулж, дараа нь нэг хувьсагчтай хэлбэрт буулгана. Үйлдэл нь систем дэх үл мэдэгдэх тооноос хамаарч давтагдана

Орлуулах аргаар 7-р ангийн шугаман тэгшитгэлийн системийн жишээний шийдлийг өгье.

Жишээнээс харахад x хувьсагчийг F (X) = 7 + Y-ээр илэрхийлсэн. Үр дүнгийн илэрхийлэл нь системийн 2-р тэгшитгэлд X-ийн оронд орлуулсан нь 2-р тэгшитгэлд нэг Y хувьсагчийг авахад тусалсан. . Энэ жишээний шийдэл нь ямар ч хүндрэл учруулахгүй бөгөөд Y утгыг авах боломжийг олгодог.Сүүлийн алхам нь олж авсан утгуудыг шалгах явдал юм.

Шугаман тэгшитгэлийн системийн жишээг орлуулах замаар шийдэх нь үргэлж боломжгүй байдаг. Тэгшитгэлүүд нь нарийн төвөгтэй байж болох ба хувьсагчийг хоёр дахь үл мэдэгдэх утгаараа илэрхийлэх нь цаашдын тооцоололд хэтэрхий төвөгтэй байх болно. Системд 3-аас дээш үл мэдэгдэх зүйл байгаа тохиолдолд орлуулах замаар шийдвэрлэх нь бас боломжгүй юм.

Шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн системийн жишээний шийдэл:

Алгебрийн нэмэх шийдэл

Нэмэх аргаар системүүдийн шийдлийг хайхдаа тэгшитгэлийг нэр томъёогоор нэмэх, янз бүрийн тоогоор үржүүлэх ажлыг гүйцэтгэдэг. Математик үйлдлүүдийн эцсийн зорилго нь нэг хувьсагчтай тэгшитгэл юм.

Энэ арга нь дадлага, ажиглалт шаарддаг. 3 ба түүнээс дээш тооны хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн системийг нэмэх аргаар шийдвэрлэх нь амаргүй. Тэгшитгэлд бутархай болон аравтын бутархай тоо байгаа тохиолдолд алгебрийн нэмэлтийг ашиглах нь тохиромжтой.

Шийдлийн үйлдлийн алгоритм:

1. Тэгшитгэлийн хоёр талыг тодорхой тоогоор үржүүл. Арифметик үйлдлийн үр дүнд хувьсагчийн нэг коэффициент нь 1-тэй тэнцүү байх ёстой.
2. Үүссэн илэрхийллийн гишүүнийг гишүүнээр нэмээд үл мэдэгдэх зүйлсийн аль нэгийг ол.
3. Үлдсэн хувьсагчийг олохын тулд олж авсан утгыг системийн 2-р тэгшитгэлд орлуулна.

Шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэх замаар шийдэл

Хэрэв систем нь хоёроос илүүгүй тэгшитгэлийн шийдлийг олох шаардлагатай бол шинэ хувьсагчийг оруулж болно, үл мэдэгдэх тоо нь хоёроос илүүгүй байх ёстой.

Энэ аргыг шинэ хувьсагч оруулах замаар нэг тэгшитгэлийг хялбарчлахад ашигладаг. Оруулсан үл мэдэгдэх зүйлтэй холбоотойгоор шинэ тэгшитгэлийг шийдэж, үүссэн утгыг анхны хувьсагчийг тодорхойлоход ашиглана.

Шинэ t хувьсагчийг оруулснаар системийн 1-р тэгшитгэлийг стандарт квадрат гурвалжин болгон бууруулах боломжтой байсныг жишээ харуулж байна. Дискриминантыг олох замаар олон гишүүнтийг шийдэж болно.

Алдартай томъёоны дагуу ялгаварлагчийн утгыг олох шаардлагатай: D = b2 - 4 * a * c, энд D нь хайж буй дискриминант, b, a, c нь олон гишүүнтийн хүчин зүйлүүд юм. Өгөгдсөн жишээнд a = 1, b = 16, c = 39, тиймээс D = 100. Хэрэв ялгаварлагч нь тэгээс их бол хоёр шийдэл байна: t = -b ± √D / 2 * a, хэрэв ялгаварлагч нь тэгээс бага бол нэг шийдэл байна: x = -b / 2 * a.

Үүссэн системүүдийн шийдлийг нэмэх аргаар олно.

Системийг шийдвэрлэх харааны арга

3 тэгшитгэл бүхий системд тохиромжтой. Энэ арга нь системд багтсан тэгшитгэл бүрийн графикуудын координатын тэнхлэг дээр зурахаас бүрдэнэ. Муруйнуудын огтлолцох цэгүүдийн координатууд нь системийн ерөнхий шийдэл болно.

График арга нь хэд хэдэн нюанстай байдаг. Шугаман тэгшитгэлийн системийг визуал аргаар шийдвэрлэх хэд хэдэн жишээг авч үзье.

Жишээнээс харахад шулуун шугам бүрийн хувьд хоёр цэгийг барьж, x хувьсагчийн утгыг дур мэдэн сонгосон: 0 ба 3. x-ийн утгуудад үндэслэн y-ийн утгыг олов. : 3 ба 0. (0, 3) ба (3, 0) координаттай цэгүүдийг график дээр тэмдэглэж, шугамаар холбосон.

Хоёр дахь тэгшитгэлийн хувьд алхамуудыг давтах ёстой. Шугамануудын огтлолцох цэг нь системийн шийдэл юм.

Дараах жишээнд та шугаман тэгшитгэлийн системийн график шийдлийг олох хэрэгтэй: 0.5x-y + 2 = 0 ба 0.5x-y-1 = 0.

Графикууд нь параллель бөгөөд бүхэл бүтэн уртаараа огтлолцдоггүй тул системд шийдэл байхгүй гэдгийг та жишээнээс харж болно.

2 ба 3-р жишээнүүдийн системүүд нь ижил төстэй боловч үүнийг бүтээх үед тэдгээрийн шийдэл нь өөр байх нь тодорхой болно. Системд шийдэл байгаа эсэхийг хэлэх нь үргэлж боломжгүй байдаг тул график байгуулах шаардлагатай байдаг гэдгийг санах нь зүйтэй.

Матриц ба түүний сортууд

Матрицыг шугаман тэгшитгэлийн системийг товч бичихэд ашигладаг. Матриц бол тоогоор дүүргэсэн тусгай төрлийн хүснэгт юм. n * m нь n - мөр, m - баганатай.

Матриц нь багана, мөрийн тоо хоорондоо тэнцүү байх үед квадрат болно. Вектор матриц нь хязгааргүй тооны мөр бүхий нэг баганатай матриц юм. Диагональ ба бусад тэг элементийн дагуу нэг нь байрласан матрицыг таних матриц гэнэ.

Урвуу матриц нь ийм матриц бөгөөд анхных нь таних матриц болж үржихэд ийм матриц нь зөвхөн анхны дөрвөлжингийн хувьд л байдаг.

Тэгшитгэлийн системийг матриц болгон хувиргах дүрэм

Тэгшитгэлийн системд хэрэглэхэд тэгшитгэлийн коэффициент ба чөлөөт гишүүдийг матрицын тоогоор бичдэг бөгөөд нэг тэгшитгэл нь матрицын нэг эгнээ юм.

Хэрэв мөрийн ядаж нэг элемент тэгээс өөр байвал матрицын мөрийг тэгээс өөр гэж нэрлэдэг. Тиймээс, хэрэв тэгшитгэлийн аль нэгэнд хувьсагчийн тоо өөр байвал алга болсон үл мэдэгдэхийн оронд тэг бичих шаардлагатай.

Матрицын баганууд нь хувьсагчидтай яг таарч байх ёстой. Энэ нь х хувьсагчийн коэффициентийг зөвхөн нэг баганад, жишээлбэл, эхнийх нь үл мэдэгдэх у-ийн коэффициентийг зөвхөн хоёр дахь хэсэгт бичиж болно гэсэн үг юм.

Матрицыг үржүүлэхдээ матрицын бүх элементүүдийг тоогоор дараалан үржүүлнэ.

Урвуу матрицыг олох хувилбарууд

Урвуу матрицыг олох томьёо нь маш энгийн: K -1 = 1 / | K |, K -1 нь урвуу матриц бөгөөд | K | матрицын тодорхойлогч юм. | K | тэг байх ёсгүй, тэгвэл систем нь шийдэлтэй болно.

Тодорхойлогчийг хоёроос хоёр матрицад хялбархан тооцдог тул та диагональ дээрх элементүүдийг хооронд нь үржүүлэхэд л хангалттай. "Гурав гурваар" гэсэн сонголтын хувьд | K | = a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c гэсэн томъёо байдаг. 3 + a 3 b 2 c 1. Та томьёог ашиглаж болно, эсвэл багана, элементийн эгнээний тоо бүтээгдэхүүнд давтагдахгүйн тулд мөр, багана бүрээс нэг элемент авах хэрэгтэй гэдгийг санаж болно.

Шугаман тэгшитгэлийн системийн жишээг матрицын аргаар шийдвэрлэх

Шийдвэрийг олох матрицын арга нь олон тооны хувьсагч, тэгшитгэл бүхий системийг шийдвэрлэхэд төвөгтэй бичлэгүүдийг багасгах боломжийг олгодог.

Жишээн дээр a nm нь тэгшитгэлийн коэффициентууд, матриц нь вектор x n хувьсагч, b n нь чөлөөт нэр томъёо юм.

Системийн Гауссын шийдэл

Дээд математикт Гауссын аргыг Крамерын аргатай хамт судалдаг бөгөөд системийн шийдлийг олох үйл явцыг Гаусс-Крамерын арга гэж нэрлэдэг. Эдгээр аргуудыг олон тооны шугаман тэгшитгэл бүхий хувьсах системийг олоход ашигладаг.

Гауссын арга нь орлуулах болон алгебрийн нэмэх шийдэлтэй маш төстэй боловч илүү системтэй. Сургуулийн хичээл дээр Гауссын шийдлийг 3 ба 4 тэгшитгэлийн системд ашигладаг. Аргын зорилго нь системийг урвуу трапец хэлбэртэй болгох явдал юм. Системийн нэг тэгшитгэлийн нэг хувьсагчийн утгыг алгебрийн хувиргалт ба орлуулалтаар олно. Хоёрдахь тэгшитгэл нь 2 үл мэдэгдэх илэрхийлэл боловч 3 ба 4 нь 3 ба 4 хувьсагчтай.

Системийг тодорхойлсон хэлбэрт оруулсны дараа дараагийн шийдлийг системийн тэгшитгэлд мэдэгдэж буй хувьсагчдыг дараалан орлуулах хүртэл бууруулна.

7-р ангийн сургуулийн сурах бичигт Гауссын аргын шийдлийн жишээг дараах байдлаар дүрсэлсэн болно.

Жишээнээс харахад (3) алхам дээр 3х 3 -2х 4 = 11 ба 3х 3 + 2х 4 = 7 гэсэн хоёр тэгшитгэлийг олж авсан. Аливаа тэгшитгэлийн шийдэл нь x n хувьсагчийн аль нэгийг олох боломжийг танд олгоно.

Текстэд дурдсан теорем 5-д хэрэв системийн тэгшитгэлийн аль нэгийг ижил тэгшитгэлээр сольсон тохиолдолд үүссэн систем нь анхныхтай тэнцүү байх болно гэж заасан.

Гауссын арга нь ахлах ангийн сурагчдад ойлгоход хэцүү ч математик, физикийн гүнзгийрүүлсэн сургалттай хүүхдүүдийн оюун ухааныг хөгжүүлэх хамгийн сонирхолтой аргуудын нэг юм.

Тооцооллыг хялбарчлахын тулд дараахь зүйлийг хийх нь заншилтай байдаг.

Тэгшитгэлийн коэффициент ба чөлөөт нэр томъёог матрицын хэлбэрээр бичсэн бөгөөд матрицын мөр бүр нь системийн тэгшитгэлүүдийн аль нэгтэй холбоотой байдаг. тэгшитгэлийн зүүн талыг баруун талаас нь тусгаарлана. Ром тоо нь систем дэх тэгшитгэлийн тоог заана.

Эхлээд ямар матрицтай ажиллахаа бичээд дараа нь аль нэг мөрөөр гүйцэтгэсэн бүх үйлдлийг бичнэ үү. Үүссэн матрицыг сумны тэмдгийн дараа бичиж, үр дүнд хүрэх хүртэл шаардлагатай алгебрийн үйлдлүүдийг үргэлжлүүлнэ.

Үүний үр дүнд диагональуудын аль нэг нь 1, бусад бүх коэффициентүүд нь тэгтэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл матрицыг нэг хэлбэр болгон бууруулсан матрицыг авах ёстой. Тэгшитгэлийн хоёр талын тоогоор тооцоо хийхээ бүү мартаарай.

Бичлэг хийх энэ арга нь чирэгдэл багатай бөгөөд олон үл мэдэгдэх зүйлсийг жагсаахад анхаарлаа сарниулахгүй байх боломжийг олгодог.

Аливаа шийдлийг үнэ төлбөргүй хэрэглэх нь анхаарал халамж, тодорхой хэмжээний туршлага шаарддаг. Бүх аргууд нь хэрэглээний шинж чанартай байдаггүй. Шийдэл олох зарим арга нь хүний ​​​​үйл ажиллагааны бусад салбарт илүү тохиромжтой байдаг бол зарим нь боловсролын зорилгоор байдаг.

Шугаман насны тэгшитгэлийн системийг (SLAE) нийцтэй эсэхийг судлах нь энэ системд шийдэл байгаа эсэхийг олж мэдэх гэсэн үг юм. За, хэрэв шийдэл байгаа бол тэдгээрийн хэд нь байгааг зааж өгнө үү.

"Шугаман алгебр тэгшитгэлийн систем. Үндсэн нэр томьёо. Матрицын тэмдэглэгээ" сэдвээс мэдээлэл хэрэгтэй байна. Ялангуяа системийн матриц, системийн өргөтгөсөн матриц гэх мэт ойлголтууд хэрэгтэй, учир нь Кронекер-Капелли теоремыг томъёолох нь тэдгээрт суурилдаг. Ердийнх шиг, системийн матрицыг $ A $ үсгээр, системийн өргөтгөсөн матрицыг $ \ widetilde (A) $ үсгээр тэмдэглэнэ.

Кронекер-Капелли теорем

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн систем нь системийн матрицын зэрэглэл нь системийн өргөтгөсөн матрицын зэрэгтэй тэнцүү байх тохиолдолд л нийцдэг, i.e. $ \ rang A = \ rang \ widetilde (A) $.

Хэрэв систем нь ядаж нэг шийдэлтэй бол түүнийг хамтарсан гэж нэрлэнэ гэдгийг сануулъя. Кронекер-Капелли теорем нь дараах зүйлийг хэлдэг: хэрэв $ \ rang A = \ rang \ widetilde (A) $ бол шийдэл байна; хэрэв $ \ rang A \ neq \ rang \ widetilde (A) $ бол энэ SLAE шийдэл байхгүй (зөрчил). Эдгээр шийдлүүдийн тооны талаархи асуултын хариултыг Кронекер-Капелли теоремын үр дүнд өгсөн болно. Үр дүнг томъёолохдоо $ n $ үсгийг ашигласан бөгөөд энэ нь өгөгдсөн SLAE-ийн хувьсагчдын тоотой тэнцүү байна.

Кронекер-Капелли теоремын үр дүн

1. Хэрэв $ \ rang A \ neq \ rang \ widetilde (A) $ байвал SLAE нь нийцэхгүй байна (шийдэл байхгүй).
2. Хэрэв $ \ rang A = \ rang \ widetilde (A) бол< n$, то СЛАУ является неопределённой (имеет бесконечное количество решений).
3. Хэрэв $ \ rang A = \ rang \ widetilde (A) = n $ бол SLAE нь тодорхой байна (яг нэг шийдэлтэй).

Дээрх теорем ба түүний үр дагавар нь SLAE-ийн шийдлийг хэрхэн олохыг заагаагүй болохыг анхаарна уу. Тэдгээрийн тусламжтайгаар та эдгээр шийдлүүд байгаа эсэх, мөн хэрэв байгаа бол хэдэн болохыг олж мэдэх боломжтой.

Жишээ №1

SLAE-г судлах $ \ зүүн \ (\ эхлэл (зэрэгцүүлсэн) & -3x_1 + 9x_2-7x_3 = 17; \\ & -x_1 + 2x_2-4x_3 = 9; \\ & 4x_1-2x_2 + 19x_3 = -42. \ Төгсгөл (зэрэгцүүлсэн) ) \ зөв. нийцтэй байдлын хувьд $ SLAE нийцтэй бол шийдлүүдийн тоог заана уу.

Өгөгдсөн SLAE-ийн шийдлүүд байгаа эсэхийг мэдэхийн тулд бид Кронекер-Капелли теоремыг ашигладаг. Бидэнд $ A $ системийн матриц ба $ \ widetilde (A) $ системийн өргөтгөсөн матриц хэрэгтэй бөгөөд бид тэдгээрийг бичнэ.

$$ A = \ зүүн (\ эхлэл (массив) (ccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \ төгсгөл (массив) \ баруун); \; \ widetilde (A) = \ зүүн (\ эхлэл (массив) (ccc | c) -3 & 9 & -7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9 \\ 4 & -2 & 19 & -42 \ төгсгөл (массив) \ баруун). $$

$ \ rang A $ болон $ \ rang \ widetilde (A) $ -г олоорой. Үүнийг хийх олон арга байдаг бөгөөд тэдгээрийн заримыг нь Матрицын зэрэглэл хэсэгт жагсаасан болно. Ийм системийг судлахын тулд ихэвчлэн хоёр аргыг ашигладаг: "Матрицын зэрэглэлийг тодорхойлолтоор тооцоолох" эсвэл "Матрицын зэрэглэлийг энгийн хувиргалтуудын аргаар тооцоолох".

Аргын дугаар 1. Тодорхойлолтоор зэрэглэлийг тооцоолох.

Тодорхойлолтоор зэрэглэл нь матрицын насанд хүрээгүй хүмүүсийн хамгийн дээд эрэмб бөгөөд тэдгээрийн дотор дор хаяж нэг тэгээс өөр байдаг. Ихэвчлэн эхний эрэмбийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдээс судалгаа эхэлдэг боловч энд $ A $ матрицын гурав дахь эрэмбийн минорыг нэн даруй тооцоолж эхлэх нь илүү тохиромжтой. Гурав дахь эрэмбийн элементүүд нь авч үзэж буй матрицын гурван мөр, гурван баганын огтлолцол дээр байрладаг. $ A $ матриц нь зөвхөн 3 мөр, 3 багана агуулдаг тул $ A $ матрицын 3-р эрэмбийн минор нь $ A $ матрицын тодорхойлогч, өөрөөр хэлбэл. $ \ Delta A $. Тодорхойлогчийг тооцоолохын тулд "Хоёр ба гуравдахь эрэмбийн тодорхойлогчийг тооцоолох томъёо" сэдвийн №2 томъёог ашиглана уу.

$$ \ Дельта А = \ зүүн | \ эхлэл (массив) (ccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \ төгсгөл (массив) \ баруун | = -21. $$

Тэгэхээр $ A $ матрицын гурав дахь эрэмбийн минор байдаг бөгөөд энэ нь тэгтэй тэнцүү биш юм. Дөрөвдүгээр эрэмбийн минорыг зохиох боломжгүй, учир нь 4 мөр, 4 багана шаардлагатай бөгөөд $ A $ матрицад ердөө 3 мөр, 3 багана байдаг. Тэгэхээр $ A $ матрицын насанд хүрээгүй хүмүүсийн хамгийн дээд дараалал нь 0-ээс багагүй нэг нь 3-тай тэнцүү байна. Тиймээс $ \ rang A = 3 $ байна.

Мөн бид $ \ rang \ widetilde (A) $ олох хэрэгтэй. $ \ widetilde (A) $ матрицын бүтцийг авч үзье. $ \ widetilde (A) $ матриц нь $ A $ матрицын элементүүдийг агуулдаг бөгөөд бид $ \ Delta A \ neq 0 $ болохыг олж мэдсэн. Иймд $ \ widetilde (A) $ матриц нь тэг биш гуравдугаар эрэмбийн минортой байна. Бид $ \ widetilde (A) $ матрицын дөрөв дэх эрэмбийн жижиг хэсгүүдийг бүрдүүлж чадахгүй тул бид дараах дүгнэлтийг гаргав: $ \ rang \ widetilde (A) = 3 $.

$ \ rang A = \ rang \ widetilde (A) $ тул Кронекер-Капелли теоремын дагуу систем нь тууштай, өөрөөр хэлбэл. шийдэлтэй (дор хаяж нэг). Шийдлийн тоог зааж өгөхийн тулд манай SLAE нь $ x_1 $, $ x_2 $, $ x_3 $ гэсэн 3 үл мэдэгдэх зүйлийг агуулж байгааг анхаарч үзээрэй. Үл мэдэгдэх тоо $ n = 3 $ тул бид дүгнэж байна: $ \ rang A = \ rang \ widetilde (A) = n $, тиймээс Кронекер-Капелли теоремын үр дүнд үндэслэн систем нь тодорхой, өөрөөр хэлбэл. ганцхан шийдэлтэй.

Асуудал шийдэгдсэн. Энэ аргын сул тал, давуу тал юу вэ? Эхлээд давуу талуудын талаар ярилцъя. Эхлээд бид зөвхөн нэг тодорхойлогчийг олох хэрэгтэй байсан. Үүний дараа бид нэн даруй хэд хэдэн шийдлийн талаар дүгнэлт хийсэн. Ихэвчлэн стандарт тооцоололд гурван үл мэдэгдэх зүйлийг агуулсан, өвөрмөц шийдэлтэй тэгшитгэлийн системийг өгдөг. Ийм системүүдийн хувьд энэ арга нь бүр ч тохиромжтой, учир нь бид шийдэл байгаа гэдгийг урьдчилан мэддэг (өөрөөр бол ердийн тооцоонд жишээ байхгүй болно). Тэдгээр. Бид шийдэл байгаа эсэхийг хамгийн хурдан харуулах ёстой. Хоёрдугаарт, системийн матрицын тодорхойлогчийн тооцоолсон утга (өөрөөр хэлбэл $ \ Delta A $) нь өгөгдсөн системийг Крамерын аргаар эсвэл урвуу матриц ашиглан шийдэж эхлэхэд хэрэг болно.

Гэсэн хэдий ч $ A $ системийн матриц нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй байвал зэрэглэлийг тооцоолох арга нь тодорхойлогддоггүй. Энэ тохиолдолд доор хэлэлцэх хоёр дахь аргыг ашиглах нь дээр. Нэмж дурдахад, хэрэв $ \ Delta A = 0 $ бол өгөгдсөн нэг төрлийн бус SLAE-ийн шийдлийн тооны талаар бид юу ч хэлж чадахгүй. Магадгүй SLAE нь хязгааргүй тооны шийдэлтэй байж магадгүй, эсвэл байхгүй ч байж магадгүй. Хэрэв $ \ Delta A = 0 $ бол нэмэлт судалгаа хийх шаардлагатай бөгөөд энэ нь ихэвчлэн төвөгтэй байдаг.

Дээр дурдсан зүйлийг нэгтгэн дүгнэхэд эхний арга нь системийн матриц нь дөрвөлжин хэлбэртэй байдаг SLAE-д тохиромжтой гэдгийг би тэмдэглэж байна. Энэ тохиолдолд SLAE нь өөрөө гурав, дөрвөн үл мэдэгдэх зүйлийг агуулдаг бөгөөд стандарт ердийн тооцоо эсвэл хяналтын ажлаас авсан болно.

Аргын дугаар 2. Анхан шатны хувиргалтын аргаар зэрэглэлийг тооцоолох.

Энэ аргыг холбогдох сэдвээр дэлгэрэнгүй тайлбарласан болно. Бид $ \ widetilde (A) $ матрицын зэрэглэлийг тооцоолж эхэлнэ. Яагаад яг $ A $ биш $ \ widetilde (A) $ матрицууд байдаг вэ? Баримт нь $ A $ матриц нь $ \ widetilde (A) $ матрицын нэг хэсэг тул $ \ widetilde (A) $ матрицын зэрэглэлийг тооцоолохдоо бид $ A матрицын зэрэглэлийг нэгэн зэрэг олох болно. доллар.

\ start (зохицуулсан) & \ widetilde (A) = \ зүүн (\ эхлэл (массив) (ccc | c) -3 & 9 & -7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9 \\ 4 & - 2 & 19 & -42 \ төгсгөл (массив) \ баруун) \ баруун сум \ зүүн | \ текст (эхний болон хоёр дахь мөрийг солих) \ баруун | \ баруун сум \\ & \ баруун сум \ зүүн (\ эхлэл (массив) (ccc | c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ -3 & 9 & -7 & 17 \\ 4 & -2 & 19 & - 42 \ төгсгөл (массив) \ баруун) \ эхлэл (массив) (л) \ хий үзэгдэл (0) \\ II-3 \ cdot I \\ III + 4 \ cdot I \ төгсгөл (массив) \ баруун сум \ зүүн (\ эхлэл) (массив) (ccc | c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 & 5 & -10 \\ 0 & 6 & 3 & -6 \ төгсгөл (массив) \ баруун) \ эхлэл (массив) ( л) \ хий үзэгдэл (0) \\ \ хий үзэгдэл (0) \\ III-2 \ cdot II \ төгсгөл (массив) \ баруун сум \\ & \ баруун сум \ зүүн (\ эхлэл (массив) (ccc | c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 & 5 & -10 \\ 0 & 0 & -7 & 14 \ төгсгөл (массив) \ баруун) \ төгсгөл (зэрэгцүүлсэн)

Бид $ \ widetilde (A) $ матрицыг трапец хэлбэрт оруулав. Үүссэн матрицын үндсэн дагональ дээр $ \ зүүн (\ эхлэл (массив) (ccc | c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 & 5 & -10 \\ 0 & 0 & -7 & 14 \ end ( array) \ right) $ -1, 3 ба -7 гэсэн 0 биш гурван элемент байна. Дүгнэлт: $ \ widetilde (A) $ матрицын зэрэглэл нь 3, i.e. $ \ rang \ widetilde (A) = 3 $. $ \ widetilde (A) $ матрицын элементүүдээр хувиргалт хийхдээ бид $ A $ матрицын элементүүдийг нэгэн зэрэг хувиргасан бөгөөд шугам хүртэл байрладаг. $ A $ матриц нь мөн трапец хэлбэртэй байна: $ \ зүүн (\ эхлэл (массив) (ccc) -1 & 2 & -4 \\ 0 & 3 & 5 \\ 0 & 0 & -7 \ төгсгөл (массив) \ баруун ) доллар. Дүгнэлт: $ A $ матрицын зэрэглэл нь мөн 3-тай тэнцүү, өөрөөр хэлбэл. $ \ A = 3 $ дуусав.

$ \ rang A = \ rang \ widetilde (A) $ тул Кронекер-Капелли теоремын дагуу систем нь тууштай, өөрөөр хэлбэл. шийдэлтэй. Шийдлийн тоог зааж өгөхийн тулд манай SLAE нь $ x_1 $, $ x_2 $, $ x_3 $ гэсэн 3 үл мэдэгдэх зүйлийг агуулж байгааг анхаарч үзээрэй. Үл мэдэгдэх тоо $ n = 3 $ тул бид дүгнэж байна: $ \ rang A = \ rang \ widetilde (A) = n $, тиймээс Кронекер-Капелли теоремын үр дүнд үндэслэн системийг тодорхойлсон, өөрөөр хэлбэл. ганцхан шийдэлтэй.

Хоёрдахь аргын давуу тал юу вэ? Гол давуу тал нь олон талт байдал юм. Системийн матриц квадрат байх эсэх нь бидэнд огт хамаагүй. Нэмж дурдахад бид Гауссын аргын урагшлах чиглэлийн өөрчлөлтийг бодитоор хийсэн. Цөөн хэдэн арга хэмжээ үлдсэн бөгөөд бид энэхүү SLAE-ийн шийдлийг олж авах боломжтой. Үнэнийг хэлэхэд, би хоёр дахь арга нь эхнийхээсээ илүү дуртай, гэхдээ сонголт нь амт юм.

Хариулт: Өгөгдсөн SLAE нь тууштай бөгөөд тодорхойлогдсон.

Жишээ №2

SLAE-г судлах $ \ зүүн \ (\ эхлэл (зохицуулсан) & x_1-x_2 + 2x_3 = -1; \\ & -x_1 + 2x_2-3x_3 = 3; \\ & 2x_1-x_2 + 3x_3 = 2; \\ & 3x_1- 2x_2 + 5x_3 = 1; \\ & 2x_1-3x_2 + 5x_3 = -4. \ Төгсгөл (зэрэгцүүлсэн) \ баруун. $ Тохиромжтой болгохын тулд.

Бид системийн матриц болон системийн өргөтгөсөн матрицын зэрэглэлийг элементар хувиргалтын аргаар олох болно. Өргөтгөсөн системийн матриц: $ \ widetilde (A) = \ зүүн (\ эхлэл (массив) (ccc | c) 1 & -1 & 2 & -1 \\ -1 & 2 & -3 & 3 \\ 2 & -1 & 3 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 1 \\ 2 & -3 & 5 & -4 \ төгсгөл (массив) \ баруун) $. Системийн өргөтгөсөн матрицыг хувиргах замаар шаардлагатай зэрэглэлийг ол:

Өргөтгөсөн системийн матрицыг шаталсан хэлбэр болгон бууруулсан. Хэрэв матрицыг шаталсан хэлбэр болгон бууруулсан бол түүний зэрэглэл нь тэгээс өөр эгнээний тоотой тэнцүү байна. Тиймээс $ \ rang A = 3 $ байна. $ A $ матрицыг (шугам руу) трапец хэлбэрт оруулж, зэрэглэл нь 2, $ \ rang A = 2 $ байна.

$ \ rang A \ neq \ rang \ widetilde (A) $ тул Кронекер-Капелли теоремын дагуу систем нь нийцэхгүй байна (өөрөөр хэлбэл шийдэл байхгүй).

Хариулт: Систем нь тогтворгүй байна.

Жишээ №3

SLAE-г судлах $ \ зүүн \ (\ эхлэл (зохицуулсан) & 2x_1 + 7x_3-5x_4 + 11x_5 = 42; \\ & x_1-2x_2 + 3x_3 + 2x_5 = 17; \\ & -3x_1 + 9x_2-11x_3-6 = -7x ; \\ & -5x_1 + 17x_2-16x_3-5x_4-4x_5 = -90; \\ & 7x_1-17x_2 + 23x_3 + 15x_5 = 132. \ Төгсгөл (зэрэгцүүлсэн) \ баруун. $ Тохиромжтой болгохын тулд.

Өргөтгөсөн системийн матриц нь: $ \ widetilde (A) = \ left (\ begin (массив) (ccccc | c) 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42 \\ 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17 \\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64 \\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \ төгсгөл (массив) \ баруун) $. Эхний эгнээний эхний элемент нь нэг байхаар энэ матрицын эхний болон хоёр дахь мөрийг сольж үзье: $ \ left (\ begin (массив) (ccccc | c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17 \\ 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42 \\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64 \\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \ төгсгөл (массив) \ баруун) $.

Бид өргөтгөсөн системийн матриц болон системийн матрицыг трапец хэлбэртэй болгож багасгасан. Системийн өргөтгөсөн матрицын зэрэглэл нь гурав, системийн матрицын зэрэглэл нь мөн гурван байна. Систем нь $ n = 5 $ үл мэдэгдэхийг агуулдаг тул i.e. $ \ rang \ widetilde (A) = \ rang A< n$, то согласно следствия из теоремы Кронекера-Капелли данная система является неопределённой, т.е. имеет бесконечное количество решений.

Хариулт: систем тодорхойгүй байна.

Хоёрдахь хэсэгт бид ердийн тооцоолол эсвэл дээд математикийн тестүүдэд ихэвчлэн багтдаг жишээнүүдэд дүн шинжилгээ хийх болно: нийцтэй байдлын судалгаа ба SLAE-ийн шийдэл, үүнд багтсан параметрүүдийн утгуудаас хамааран.

Жишээ 1... Системийн ерөнхий шийдэл болон тодорхой шийдлийг ол

ШийдэлБид тооцоолуурын тусламжтайгаар гүйцэтгэдэг. Өргөтгөсөн болон үндсэн матрицуудыг бичье.

Үндсэн А матриц нь тасархай шугамаар тусгаарлагдсан байна.Дээр нь системийн тэгшитгэл дэх нэр томъёог өөрчлөх боломжуудыг харгалзан үл мэдэгдэх системүүдийг бичнэ. Өргөтгөсөн матрицын зэрэглэлийг тодорхойлохдоо бид зэрэглэл ба голыг нэгэн зэрэг олдог. В матрицын эхний ба хоёр дахь багана нь пропорциональ байна. Хоёр пропорциональ баганаас зөвхөн нэг нь үндсэн баганад орох боломжтой тул жишээлбэл, тасархай шугамын ард байгаа эхний баганыг эсрэг тэмдэгтэй шилжүүлнэ. Системийн хувьд энэ нь x 1-ээс тэгшитгэлийн баруун тал руу нэр томъёог шилжүүлэх гэсэн үг юм.

Матрицыг гурвалжин хэлбэрт оруулъя. Матрицын мөрийг тэгээс өөр тоогоор үржүүлж, системийн өөр мөрөнд нэмэх нь тэгшитгэлийг ижил тоогоор үржүүлж, өөр тэгшитгэлээр нэмэхийг хэлдэг тул бид зөвхөн мөрүүдтэй ажиллах болно. систем. Бид эхний эгнээтэй ажилладаг: матрицын эхний мөрийг (-3) үржүүлж, хоёр ба гурав дахь эгнээнд ээлжлэн нэмнэ. Дараа нь бид эхний мөрийг (-2) үржүүлж, дөрөв дэх мөрөнд нэмнэ.

Хоёр ба гурав дахь мөр нь пропорциональ тул тэдгээрийн аль нэгийг нь, жишээлбэл, хоёр дахь мөрийг нь хасаж болно. Энэ нь системийн хоёр дахь тэгшитгэлийг устгасантай адил юм, учир нь энэ нь гурав дахь тэгшитгэлийн үр дагавар юм.

Одоо бид хоёр дахь мөрөнд ажиллаж байна: үүнийг (-1) үржүүлж, гурав дахь мөрөнд нэмнэ.

Тасархай жижиг хэсэг нь хамгийн дээд эрэмбэтэй (боломжит насанд хүрээгүйчүүдийн) бөгөөд тэгээс өөр (энэ нь үндсэн диагональ дээрх элементүүдийн үржвэртэй тэнцүү) бөгөөд энэ минор нь үндсэн матриц болон өргөтгөсөн аль алинд нь хамаарах тул rangA = RangB = 3.
Бага суурь юм. Үүнд x 2, x 3, x 4 үл мэдэгдэх коэффициентүүд багтсан бөгөөд энэ нь үл мэдэгдэх x 2, x 3, x 4 нь хамааралтай, x 1, x 5 нь чөлөөтэй гэсэн үг юм.
Бид матрицыг хувиргаж, зүүн талд зөвхөн үндсэн бага хэсгийг үлдээдэг (энэ нь дээрх шийдлийн алгоритмын 4-р цэгтэй тохирч байна).

Энэхүү матрицын коэффициент бүхий систем нь анхны системтэй тэнцүү бөгөөд хэлбэртэй байна

Үл мэдэгдэх зүйлийг арилгах аргыг ашиглан бид дараахь зүйлийг олно.
, ,

Бид x 2, x 3, x 4 хамаарал бүхий хувьсагчдыг чөлөөт x 1 ба x 5-аар илэрхийлсэн харьцааг авсан, өөрөөр хэлбэл ерөнхий шийдлийг олсон:

Үнэгүй үл мэдэгдэх зүйлд ямар нэгэн утгыг оноож өгснөөр бид хүссэнээрээ тодорхой шийдлүүдийг олж авдаг. Хоёр тодорхой шийдлийг олцгооё:
1) x 1 = x 5 = 0, тэгвэл x 2 = 1, x 3 = -3, x 4 = 3;
2) x 1 = 1, x 5 = -1, дараа нь x 2 = 4, x 3 = -7, x 4 = 7.
Тиймээс бид хоёр шийдлийг олсон: (0.1, -3.3.0) - нэг шийдэл, (1.4, -7.7, -1) - өөр шийдэл.

Жишээ 2... Тохиромжтой байдлыг судалж, системийн ерөнхий болон тодорхой шийдлийг олох

Шийдэл... Эхний тэгшитгэлд нэгдмэл байхын тулд бид эхний болон хоёр дахь тэгшитгэлийг дахин зохион байгуулж, В матрицыг бичнэ.

Бид эхний мөрөнд ажиллаж байгаа дөрөв дэх баганад тэгийг авна.

Одоо бид хоёр дахь мөрийг ашиглан гурав дахь баганад тэгийг авна.

Гурав, дөрөв дэх мөр нь пропорциональ тул тэдгээрийн аль нэгийг нь зэрэглэлийг өөрчлөхгүйгээр зурж болно.
Бид гурав дахь мөрийг (-2) үржүүлж, дөрөв дэх эгнээнд нэмнэ.

Үндсэн болон өргөтгөсөн матрицуудын зэрэглэл нь 4-тэй тэнцүү бөгөөд зэрэглэл нь үл мэдэгдэх тоотой давхцаж байгааг бид харж байна, тиймээс систем нь өвөрмөц шийдэлтэй байна.
;
x 4 = 10 - 3х 1 - 3х 2 - 2х 3 = 11.

Жишээ 3... Системийн нийцтэй байдлыг шалгаж, хэрэв байгаа бол шийдлийг олоорой.

Шийдэл... Бид системийн өргөтгөсөн матрицыг бүрдүүлдэг.

Бид эхний хоёр тэгшитгэлийг зүүн дээд буланд 1 байхаар өөрчлөнө.
Эхний мөрийг (-1) үржүүлээд гурав дахь мөрөнд нэмнэ.

Хоёр дахь мөрийг (-2) үржүүлээд гурав дахь эгнээнд нэмнэ:

Үндсэн матрицад бид тэгээс бүрдэх мөрийг авсан бөгөөд эрэмбэ олдох үед таслагдах ба өргөтгөсөн матрицад сүүлчийн эгнээ үлдэх болно, өөрөөр хэлбэл r B> r A.

Дасгал хийх... Энэ тэгшитгэлийн системийг тууштай байдлын үүднээс судалж, матрицын тооцоолол ашиглан шийд.
Шийдэл

Жишээ... Шугаман тэгшитгэлийн системийн нийцтэй байдлыг баталж, хоёр аргаар шийд: 1) Гауссын арга; 2) Крамерын арга. (хариултыг x1, x2, x3 хэлбэрээр оруулна уу)
Шийдэл: doc: doc: xls
Хариулт: 2,-1,3.

Жишээ... Шугаман тэгшитгэлийн системийг өгөв. Түүний нийцтэй байдлыг нотлох. Системийн ерөнхий шийдэл, тодорхой нэг шийдлийг ол.
Шийдэл
Хариулт: x 3 = - 1 + x 4 + x 5; x 2 = 1 - x 4; x 1 = 2 + x 4 - 3x 5

Дасгал хийх... Систем бүрийн ерөнхий болон тусгай шийдлүүдийг олох.
Шийдэл.Кронекер-Капелли теоремыг ашиглан энэ системийг судалж үзье.
Өргөтгөсөн болон үндсэн матрицуудыг бичье.

1	1	14	0	2	0
3	4	2	3	0	1
2	3	-3	3	-2	1
x 1	x 2	x 3	x 4	x 5

Энд А матрицыг тодоор бичсэн байна.
Матрицыг гурвалжин хэлбэрт оруулъя. Матрицын мөрийг тэгээс өөр тоогоор үржүүлж, системийн өөр мөрөнд нэмэх нь тэгшитгэлийг ижил тоогоор үржүүлж, өөр тэгшитгэлээр нэмэхийг хэлдэг тул бид зөвхөн мөрүүдтэй ажиллах болно. систем.
1-р мөрийг (3) үржүүлнэ. 2-р мөрийг (-1) үржүүлнэ. 1-р мөрөнд 2-р мөрийг нэмье:

0	-1	40	-3	6	-1
3	4	2	3	0	1
2	3	-3	3	-2	1

2-р мөрийг (2) үржүүлнэ. 3-р мөрийг (-3) үржүүлнэ. 3-р мөрийг 2-т нэмье:

0	-1	40	-3	6	-1
0	-1	13	-3	6	-1
2	3	-3	3	-2	1

2-р мөрийг (-1)-ээр үржүүлнэ. 1-р мөрөнд 2-р мөрийг нэмье:

0	0	27	0	0	0
0	-1	13	-3	6	-1
2	3	-3	3	-2	1

Тодруулсан минор нь хамгийн өндөр эрэмбтэй (боломжтой насанд хүрээгүй хүмүүсийн дунд) бөгөөд тэгээс ялгаатай (энэ нь урвуу диагональ дээрх элементүүдийн үржвэртэй тэнцүү) бөгөөд энэ минор нь үндсэн матриц болон өргөтгөсөн аль алинд нь хамаарах тул дуудлаа ( A) = rang (B) = 3. Үндсэн матрицын зэрэглэл нь өргөтгөсөн зэрэгтэй тэнцүү тул систем нь нэгдэл юм.
Энэ насанд хүрээгүй хүүхэд бол үндсэн юм. Үүнд x 1, x 2, x 3 үл мэдэгдэх коэффициентүүд багтсан бөгөөд энэ нь үл мэдэгдэх x 1, x 2, x 3 нь хамааралтай (үндсэн), x 4, x 5 нь чөлөөтэй гэсэн үг юм.
Бид матрицыг хувиргаж, зүүн талд зөвхөн үндсэн минорыг үлдээдэг.

0	0	27	0	0	0
0	-1	13	-1	3	-6
2	3	-3	1	-3	2
x 1	x 2	x 3		x 4	x 5

Энэхүү матрицын коэффициент бүхий систем нь анхны системтэй тэнцүү бөгөөд дараах хэлбэртэй байна.
27х 3 =
- x 2 + 13x 3 = - 1 + 3x 4 - 6x 5
2х 1 + 3х 2 - 3х 3 = 1 - 3х 4 + 2х 5
Үл мэдэгдэх зүйлийг арилгах аргыг ашиглан бид дараахь зүйлийг олно.
Бид x 1, x 2, x 3 хамааралтай хувьсагчдыг чөлөөт x 4, x 5-аар илэрхийлсэн харилцааг олж авсан, өөрөөр хэлбэл бид олсон. нийтлэг шийдвэр:
x 3 = 0
x 2 = 1 - 3x 4 + 6x 5
x 1 = - 1 + 3x 4 - 8x 5
тэмдэглэгдээгүйоноос хойш нэгээс олон шийдэлтэй.

Дасгал хийх... Тэгшитгэлийн системийг шийд.
Хариулт: x 2 = 2 - 1.67x 3 + 0.67x 4
x 1 = 5 - 3.67x 3 + 0.67x 4
Үнэгүй үл мэдэгдэх зүйлд ямар нэгэн утгыг оноож өгснөөр бид хүссэнээрээ тодорхой шийдлүүдийг олж авдаг. Систем нь тэмдэглэгдээгүй