Хавтгай дээрх шулуун шугамын тэгшитгэл.
Чиглэлийн вектор шулуун байна. Ердийн вектор

Хавтгай дээрх шулуун шугам нь бага ангиасаа эхлэн танил болсон хамгийн энгийн геометрийн хэлбэрүүдийн нэг бөгөөд өнөөдөр бид аналитик геометрийн аргуудыг ашиглан үүнийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурах болно. Материалыг эзэмшихийн тулд шулуун шугам барих чадвартай байх шаардлагатай; аль тэгшитгэл нь шулуун шугамыг, тухайлбал эхийг дайран өнгөрөх шулуун шугам ба координатын тэнхлэгтэй параллель шулуун шугамыг тодорхойлохыг мэдэх. Энэ мэдээллийг гарын авлагаас олж болно. График ба энгийн функцүүдийн шинж чанарууд, Би үүнийг matan-д зориулж бүтээсэн боловч шугаман функцийн хэсэг нь маш амжилттай, дэлгэрэнгүй болсон. Тиймээс, эрхэм цайны савнуудаа эхлээд тэнд дулаацаарай. Үүнээс гадна та үндсэн мэдлэгтэй байх хэрэгтэй векторуудэс бөгөөс материалын талаарх ойлголт бүрэн бус байх болно.

Энэ хичээлээр бид хавтгайд шулуун шугамын тэгшитгэлийг бичих аргуудыг авч үзэх болно. Би практик жишээнүүдийг үл тоомсорлохгүй байхыг зөвлөж байна (энэ нь маш энгийн мэт санагдаж байсан ч) би тэдэнд анхан шатны болон чухал баримтуудыг, ирээдүйд шаардагдах техникийн аргуудыг, тэр дундаа дээд математикийн бусад хэсгүүдэд өгөх болно.

• Налуутай шулуун шугамын тэгшитгэлийг хэрхэн бичих вэ?
• Яаж ?
• Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлээр чиглэлийн векторыг хэрхэн олох вэ?
• Цэг ба хэвийн вектор өгөгдсөн шулуун шугамын тэгшитгэлийг хэрхэн бичих вэ?

мөн бид эхэлнэ:

Налуутай шугамын тэгшитгэл

Шулуун шугамын тэгшитгэлийн алдартай "сургууль" хэлбэрийг нэрлэдэг налуутай шулуун шугамын тэгшитгэл. Жишээлбэл, шулуун шугамыг тэгшитгэлээр өгвөл түүний налуу: . Энэ коэффициентийн геометрийн утга, түүний утга нь шугамын байршилд хэрхэн нөлөөлж байгааг анхаарч үзээрэй.

Энэ нь геометрийн явцад батлагдсан шулуун шугамын налуу нь өнцгийн тангенсэерэг тэнхлэгийн чиглэлийн хоорондба өгөгдсөн шугам: , мөн булан нь цагийн зүүний эсрэг "эрэггүй" байна.

Зургийг эмх замбараагүй болгохгүйн тулд би зөвхөн хоёр шулуун шугамын өнцөг зурсан. "Улаан" шулуун шугам ба түүний налууг анхаарч үзээрэй. Дээр дурдсанчлан: ("альфа" өнцгийг ногоон нумаар тэмдэглэсэн). Налуутай "цэнхэр" шугамын хувьд тэгш байдал нь үнэн юм ("бета" өнцгийг хүрэн нумаар тэмдэглэсэн). Хэрэв өнцгийн тангенс мэдэгдэж байгаа бол шаардлагатай бол олоход хялбар болно болон буланурвуу функцийг ашиглан - нуман тангенс. Тэдний хэлснээр гарт тригонометрийн хүснэгт эсвэл тооцоолуур байдаг. Энэ замаар, налуу нь шулуун шугамын х тэнхлэгт налуугийн түвшинг тодорхойлдог.

Энэ тохиолдолд дараахь тохиолдлууд боломжтой.

1) Хэрэв налуу нь сөрөг байвал: , дараа нь шугам нь дээрээс доошоо явна. Жишээ нь зураг дээрх "цэнхэр", "час улаан" шулуун шугамууд юм.

2) Хэрэв налуу эерэг байвал: , дараа нь шугам нь доороос дээш гарна. Жишээ нь зураг дээрх "хар", "улаан" шулуун шугамууд юм.

3) Хэрэв налуу нь тэгтэй тэнцүү бол: , тэгшитгэл нь хэлбэрийг авах ба харгалзах шугам нь тэнхлэгтэй параллель байна. Жишээ нь "шар" шугам юм.

4) Тэнхлэгтэй параллель шулуун шугамын гэр бүлийн хувьд (зураг дээр тэнхлэгээс бусад жишээ байхгүй) налуу байдаггүй (90 градусын тангенс тодорхойлогдоогүй).

Налуугийн модуль их байх тусам шугамын график эгц болно.

Жишээлбэл, хоёр шулуун шугамыг авч үзье. Эндээс шулуун шугам нь илүү эгц налуутай байна. Модуль нь тэмдгийг үл тоомсорлох боломжийг олгодог гэдгийг би танд сануулж байна, бид зөвхөн сонирхож байна үнэмлэхүй утгуудөнцгийн коэффициентүүд.

Хариуд нь шулуун шугам нь шулуун шугамаас илүү эгц байдаг. .

Үүний эсрэгээр: налуугийн модуль бага байх тусам шулуун шугам нь тэгш болно.

Шулуун шугамын хувьд тэгш бус байдал нь үнэн тул шулуун шугам нь халхавчаас илүү юм. Хөхөрсөн, овойлт тарихгүйн тулд хүүхдийн слайд.

Энэ яагаад хэрэгтэй вэ?

Зовлон зүдгүүрээ уртасга. Дээрх баримтуудыг мэдэх нь алдаагаа, ялангуяа график зурахдаа алдаагаа шууд харах боломжийг олгоно - хэрэв зураг нь "ямар нэгэн зүйл буруу болсон нь тодорхой" байвал. Энэ нь танд зүйтэй юм шуудЖишээ нь, шулуун шугам нь маш эгц бөгөөд доороос дээш явдаг, шулуун шугам нь маш хавтгай, тэнхлэгт ойрхон, дээрээс доош явдаг нь тодорхой байв.

Геометрийн асуудлуудад хэд хэдэн шулуун шугамууд ихэвчлэн гарч ирдэг тул тэдгээрийг ямар нэгэн байдлаар тэмдэглэхэд тохиромжтой.

Тэмдэглэгээ: шулуун шугамыг жижиг латин үсгээр тэмдэглэнэ: . Алдартай сонголт бол байгалийн доод үсэгтэй ижил үсгийн тэмдэглэгээ юм. Жишээлбэл, бидний саяхан авч үзсэн таван мөрийг дараах байдлаар тэмдэглэж болно .

Аливаа шулуун шугам нь хоёр цэгээр тодорхойлогддог тул дараахь цэгүүдээр тэмдэглэж болно. гэх мэт. Тэмдэглэгээ нь цэгүүд нь шугаманд харьяалагддаг гэдгийг тодорхой харуулж байна.

Жаахан тайвшрах цаг:

Налуутай шулуун шугамын тэгшитгэлийг хэрхэн бичих вэ?

Хэрэв тодорхой шугамд хамаарах цэг ба энэ шугамын налуу нь мэдэгдэж байгаа бол энэ шугамын тэгшитгэлийг дараах томъёогоор илэрхийлнэ.

Жишээ 1

Хэрэв цэг нь энэ шулуун шугамд хамаарах нь мэдэгдэж байгаа бол налуутай шулуун шугамын тэгшитгэлийг зохио.

Шийдэл: Бид томьёоны дагуу шулуун шугамын тэгшитгэлийг зохиох болно . Энэ тохиолдолд:

Хариулах:

Шалгалтүндсэн байдлаар гүйцэтгэсэн. Эхлээд бид үүссэн тэгшитгэлийг хараад бидний налуу байрандаа байгаа эсэхийг шалгаарай. Хоёрдугаарт, цэгийн координат нь өгөгдсөн тэгшитгэлийг хангасан байх ёстой. Тэдгээрийг тэгшитгэлд оруулъя:

Зөв тэгшитгэлийг олж авсан бөгөөд энэ нь цэг нь үүссэн тэгшитгэлийг хангаж байна гэсэн үг юм.

Гаралт: Тэгшитгэл зөв олдсон.

Өөрөө хийх шийдлийн илүү төвөгтэй жишээ:

Жишээ 2

Шулууны тэнхлэгийн эерэг чиглэлд налуу өнцөг нь , цэг нь энэ шулуунд хамаарах нь мэдэгдэж байвал шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич.

Хэрэв танд бэрхшээл тулгарвал онолын материалыг дахин уншина уу. Илүү нарийн, илүү практик, би олон нотолгоог алдаж байна.

Сүүлчийн хонх дуугарч, төгсөлтийн бөмбөг унтарч, төрөлх сургуулийн маань хаалганы цаана аналитик геометр биднийг хүлээж байна. Хошигнол дууслаа... Магадгүй дөнгөж эхэлж байгаа байх =)

Дурсамжтайгаар бид танил тал руу бариулыг даллаж, шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлтэй танилцдаг. Аналитик геометрийн хувьд яг үүнийг ашиглаж байгаа тул:

Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна: , зарим тоо хаана байна. Үүний зэрэгцээ коэффициентүүд нэгэн зэрэгтэгшитгэл утгаа алддаг тул тэгтэй тэнцүү биш байна.

Костюм өмсөж, налуутай тэгшитгэлийг уяцгаая. Эхлээд бид бүх нэр томъёог зүүн тал руу шилжүүлнэ:

"x"-тэй нэр томъёог эхний ээлжинд оруулах ёстой.

Зарчмын хувьд тэгшитгэл нь аль хэдийн хэлбэртэй байна , гэхдээ математикийн ёс зүйн дүрмийн дагуу эхний нэр томъёоны коэффициент (энэ тохиолдолд ) эерэг байх ёстой. Өөрчлөгдсөн тэмдгүүд:

Энэ техникийн шинж чанарыг санаарай!Бид эхний коэффициентийг (ихэнхдээ) эерэг болгодог!

Аналитик геометрийн хувьд шулуун шугамын тэгшитгэлийг бараг үргэлж ерөнхий хэлбэрээр өгөх болно. За, шаардлагатай бол налуутай "сургууль" хэлбэрт оруулахад хялбар байдаг (y тэнхлэгтэй параллель шулуун шугамуудаас бусад).

Юу гэж өөрөөсөө асууя хангалттайшулуун шугам барихыг мэдэх үү? Хоёр оноо. Харин энэ бага насны хэргийн талаар хожим нь одоо сумны дүрмийг баримталж байна. Шулуун шугам бүр нь "дасан зохицоход" хялбар байдаг тодорхой налуутай. вектор.

Шугамантай параллель байх векторыг тухайн шугамын чиглэлийн вектор гэнэ.. Мэдээжийн хэрэг, аливаа шулуун шугам нь хязгааргүй олон чиглэлтэй векторуудтай бөгөөд тэдгээр нь бүгд коллинеар байх болно (хамтран чиглүүлэх эсэх нь хамаагүй).

Би чиглэлийн векторыг дараах байдлаар тэмдэглэнэ: .

Гэхдээ нэг вектор нь шулуун шугам барихад хангалтгүй, вектор нь чөлөөтэй бөгөөд онгоцны аль ч цэгт холбогддоггүй. Тиймээс шугамд хамаарах зарим цэгийг мэдэх шаардлагатай.

Цэг ба чиглэлийн вектор өгөгдсөн шулуун шугамын тэгшитгэлийг хэрхэн бичих вэ?

Хэрэв шугамд хамаарах зарим цэг ба энэ шугамын чиглүүлэгч вектор мэдэгдэж байвал энэ шугамын тэгшитгэлийг дараах томъёогоор эмхэтгэж болно.

Заримдаа үүнийг дууддаг шугамын каноник тэгшитгэл .

Хэзээ юу хийх вэ координатуудын нэгтэг бол бид доорх практик жишээг авч үзэх болно. Дашрамд хэлэхэд, анхаарна уу - хоёулаа нэгэн зэрэгТэг вектор нь тодорхой чиглэлийг заагаагүй тул координатууд тэг байж болохгүй.

Жишээ 3

Цэг ба чиглэлийн вектор өгөгдсөн шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич

Шийдэл: Бид томьёоны дагуу шулуун шугамын тэгшитгэлийг зохиох болно. Энэ тохиолдолд:

Пропорцын шинж чанарыг ашиглан бид бутархай хэсгүүдээс сална.

Мөн бид тэгшитгэлийг ерөнхий хэлбэрт оруулдаг.

Хариулах:

Ийм жишээн дээр зурах нь дүрмээр бол шаардлагагүй, гэхдээ ойлгохын тулд:

Зураг дээр бид эхлэх цэг, анхны чиглэлийн вектор (энэ нь хавтгайн аль ч цэгээс хойшлогдож болно) болон баригдсан шугамыг харж байна. Дашрамд хэлэхэд, ихэнх тохиолдолд шулуун шугам барих нь налуу тэгшитгэлийг ашиглан хамгийн тохиромжтой байдаг. Бидний тэгшитгэлийг хэлбэрт шилжүүлэхэд хялбар бөгөөд шулуун шугам барихын тулд ямар ч асуудалгүйгээр дахин нэг цэгийг сонгоно.

Хэсгийн эхэнд дурьдсанчлан шулуун нь хязгааргүй олон чиглэлийн векторуудтай бөгөөд тэдгээр нь бүгд хоорондоо уялдаатай байдаг. Жишээлбэл, би ийм гурван вектор зурсан: . Аль ч чиглэлийн векторыг сонгохоос үл хамааран үр дүн нь үргэлж ижил шулуун шугамын тэгшитгэл байх болно.

Цэг ба чиглүүлэх вектороор шулуун шугамын тэгшитгэлийг байгуулъя:

Пропорцийг задлах:

Хоёр талыг -2-т хувааж, танил тэгшитгэлийг гарга.

Хүссэн хүмүүс векторуудыг мөн адил туршиж үзэх боломжтой эсвэл бусад коллинеар вектор.

Одоо урвуу асуудлыг шийдье:

Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлээр чиглэлийн векторыг хэрхэн олох вэ?

Маш энгийн:

Тэгш өнцөгт координатын системд шулуун шугамыг ерөнхий тэгшитгэлээр өгсөн бол вектор нь энэ шулуун шугамын чиглэлийн вектор болно.

Шулуун шугамын чиглэлийн векторуудыг олох жишээ:

Энэхүү мэдэгдэл нь бидэнд хязгааргүй олонлогоос зөвхөн нэг чиглэлийн векторыг олох боломжийг олгодог боловч бидэнд илүү их зүйл хэрэггүй. Хэдийгээр зарим тохиолдолд чиглэлийн векторуудын координатыг багасгахыг зөвлөж байна.

Тиймээс, тэгшитгэл нь тэнхлэгтэй параллель шулуун шугамыг зааж өгсөн бөгөөд үр дүнд нь жолоодох векторын координатуудыг -2-т хувааж, яг үндсэн векторыг жолооны вектор болгон авна. Логикийн хувьд.

Үүний нэгэн адил тэгшитгэл нь тэнхлэгтэй параллель шулуун шугамыг тодорхойлж, векторын координатыг 5-д хуваахад бид ort-ыг чиглэлийн вектор болгон авна.

Одоо гүйцээцгээе жишээ 3-ыг шалгана уу. Жишээ нь дээшилсэн тул бид цэг ба чиглэлийн векторыг ашиглан шулуун шугамын тэгшитгэлийг хийсэн гэдгийг би танд сануулж байна.

Нэгдүгээрт, шулуун шугамын тэгшитгэлийн дагуу бид түүний чиглүүлэх векторыг сэргээнэ. - бүх зүйл зүгээр, бид анхны векторыг авсан (зарим тохиолдолд энэ нь анхны вектортой давхцаж болох бөгөөд үүнийг харгалзах координатын пропорциональ байдлаар харахад хялбар байдаг).

Хоёрдугаарт, цэгийн координат нь тэгшитгэлийг хангасан байх ёстой. Бид тэдгээрийг тэгшитгэлд орлуулна:

Зөв тэгш байдлыг олж авсан бөгөөд үүнд бид маш их баяртай байна.

Гаралт: Ажлыг зөв гүйцэтгэсэн.

Жишээ 4

Цэг ба чиглэлийн вектор өгөгдсөн шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич

Энэ бол өөрөө хийх жишээ юм. Хичээлийн төгсгөлд шийдэл, хариулт. Саяхан авч үзсэн алгоритмын дагуу шалгалт хийх нь зүйтэй юм. Ноорог үргэлж (боломжтой бол) шалгахыг хичээ. 100% зайлсхийх боломжтой алдаа гаргах нь тэнэг хэрэг юм.

Чиглэлийн векторын координатуудын аль нэг нь тэг байвал үүнийг хийх нь маш энгийн:

Жишээ 5

Шийдэл: Баруун талын хуваагч нь тэг учраас томьёо хүчингүй байна. Гарах гарц байна! Пропорцын шинж чанарыг ашиглан бид томъёог хэлбэрээр дахин бичиж, үлдсэн хэсэг нь гүн гүнзгий нүхний дагуу эргэлддэг.

Хариулах:

Шалгалт:

1) Шулууны чиглэлийн векторыг сэргээнэ үү:
– үүссэн вектор нь анхны чиглэлийн вектортой коллинеар байна.

2) Тэгшитгэл дэх цэгийн координатыг орлуулна уу.

Зөв тэгш байдлыг олж авна

Гаралт: ажлыг зөв гүйцэтгэсэн

Тэртэй тэргүй ажиллах бүх нийтийн хувилбар байгаа юм бол яагаад томьёогоор зовоод байгаа юм бэ гэсэн асуулт гарч ирнэ. Хоёр шалтгаан бий. Нэгдүгээрт, бутархайн томъёо санах нь хамаагүй дээр. Хоёрдугаарт, бүх нийтийн томъёоны сул тал нь төөрөгдүүлэх эрсдэл мэдэгдэхүйц нэмэгддэгкоординатыг орлуулах үед.

Жишээ 6

Цэг ба чиглэлийн вектор өгөгдсөн шулуун шугамын тэгшитгэлийг зохио.

Энэ бол өөрөө хийх жишээ юм.

Хаа сайгүй байдаг хоёр цэг рүү буцъя:

Хоёр цэг өгсөн шулуун шугамын тэгшитгэлийг хэрхэн бичих вэ?

Хэрэв хоёр цэг мэдэгдэж байгаа бол эдгээр цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг дараах томъёогоор эмхэтгэж болно.

Үнэн хэрэгтээ энэ бол нэг төрлийн томъёо бөгөөд яагаад гэвэл: хэрэв хоёр цэг мэдэгдэж байгаа бол вектор нь энэ шугамын чиглэлийн вектор байх болно. Хичээл дээр Дамми нарт зориулсан векторуудБид хамгийн энгийн асуудлыг авч үзсэн - хоёр цэгээс векторын координатыг хэрхэн олох вэ. Энэ асуудлын дагуу чиглэлийн векторын координатууд:

Анхаарна уу : цэгүүдийг "солилцож" болох ба томъёог ашиглана . Ийм шийдвэр нь тэнцүү байх болно.

Жишээ 7

Хоёр цэгээс шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич .

Шийдэл: Томъёог ашиглана уу:

Бид хуваагчдыг самнадаг:

Тэгээд тавцангаа холь:

Одоо бутархай тооноос салахад тохиромжтой. Энэ тохиолдолд та хоёр хэсгийг 6-аар үржүүлэх хэрэгтэй.

Хаалтуудыг нээгээд тэгшитгэлийг сана:

Хариулах:

ШалгалтЭнэ нь тодорхой байна - эхний цэгүүдийн координатууд нь үүссэн тэгшитгэлийг хангасан байх ёстой.

1) Цэгийн координатыг орлуулна уу:

Жинхэнэ тэгш байдал.

2) Цэгийн координатыг орлуулна уу:

Жинхэнэ тэгш байдал.

Гаралт: шулуун шугамын тэгшитгэл зөв.

Хэрэв ядаж нэгоноо нь тэгшитгэлийг хангахгүй бол алдааг хай.

Энэ тохиолдолд график шалгах нь хэцүү гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй, учир нь шугам зурж, цэгүүд нь түүнд хамаарах эсэхийг харах нь зүйтэй юм. , тийм ч амар биш.

Би шийдлийн техникийн хэд хэдэн цэгийг тэмдэглэх болно. Магадгүй энэ асуудалд толин тусгалын томъёог ашиглах нь илүү ашигтай байж болох юм мөн ижил онооны хувьд тэгшитгэл хийх:

Цөөн тооны бутархай байдаг. Хэрэв та хүсвэл шийдлийг эцэс хүртэл хийж болно, үр дүн нь ижил тэгшитгэл байх ёстой.

Хоёрдахь зүйл бол эцсийн хариултыг харж, үүнийг илүү хялбарчилж чадах эсэхийг харах явдал юм. Жишээлбэл, тэгшитгэл олдвол үүнийг хоёроор багасгахыг зөвлөж байна: - тэгшитгэл нь ижил шулуун шугамыг тогтооно. Гэсэн хэдий ч энэ нь аль хэдийн ярианы сэдэв болсон шулуун шугамын харилцан зохицуулалт.

Хариу хүлээж авлаа Жишээ 7-д би тэгшитгэлийн БҮХ коэффициентүүд 2, 3 эсвэл 7-д хуваагдах эсэхийг шалгасан. Гэсэн хэдий ч ихэнх тохиолдолд ийм бууралтыг шийдлийн явцад хийдэг.

Жишээ 8

Цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич .

Энэ бол бие даасан шийдлийн жишээ бөгөөд энэ нь тооцооллын техникийг илүү сайн ойлгож, боловсруулах боломжийг танд олгоно.

Өмнөх догол мөртэй төстэй: хэрэв томъёонд байгаа бол хуваагчийн аль нэг нь (чиглэлийн вектор координат) алга болж, бид үүнийг дахин бичнэ. Дахин хэлэхэд тэр ямар эвгүй, төөрөгдөлтэй харагдаж эхэлснийг анзаараарай. Бид ийм асуудлыг аль хэдийн шийдсэн тул практик жишээ өгөх нь утгагүй гэж би олж харахгүй байна (№ 5, 6-г үзнэ үү).

Шулуун шугамын хэвийн вектор (хэвийн вектор)

Хэвийн гэж юу вэ? Энгийнээр хэлбэл, хэвийн бол перпендикуляр юм. Өөрөөр хэлбэл, шугамын хэвийн вектор нь өгөгдсөн шулуунтай перпендикуляр байна. Аливаа шулуун шугамд тэдгээрийн хязгааргүй тооны (түүнчлэн чиглүүлэх векторууд) байх нь ойлгомжтой бөгөөд шулуун шугамын бүх хэвийн векторууд нь коллинеар байх болно (хоорондоо чиглүүлэх эсэх нь хамаагүй).

Тэдэнтэй харьцах нь чиглэлийн векторуудтай харьцуулахад илүү хялбар байх болно:

Тэгш өнцөгт координатын системд шулуун шугамыг ерөнхий тэгшитгэлээр өгсөн бол вектор нь энэ шулууны хэвийн вектор болно.

Хэрэв чиглэлийн векторын координатыг тэгшитгэлээс болгоомжтой "сугалах" шаардлагатай бол хэвийн векторын координатыг зүгээр л "арилгаж" болно.

Хэвийн вектор нь шугамын чиглэлийн вектортой үргэлж ортогональ байна. Бид эдгээр векторуудын ортогональ байдлыг ашиглан шалгах болно цэгийн бүтээгдэхүүн:

Би чиглэлийн вектортой ижил тэгшитгэл бүхий жишээг өгөх болно.

Нэг цэг ба хэвийн векторыг мэдэж шулуун шугамын тэгшитгэл бичих боломжтой юу? Энэ нь боломжтой юм шиг санагдаж байна. Хэрэв хэвийн вектор нь мэдэгдэж байгаа бол хамгийн шулуун шугамын чиглэлийг мөн өвөрмөц байдлаар тодорхойлно - энэ нь 90 градусын өнцөг бүхий "хатуу бүтэц" юм.

Цэг ба хэвийн вектор өгөгдсөн шулуун шугамын тэгшитгэлийг хэрхэн бичих вэ?

Хэрэв шугамд хамаарах зарим цэг ба энэ шугамын хэвийн векторыг мэддэг бол энэ шугамын тэгшитгэлийг дараах томъёогоор илэрхийлнэ.

Энд бүх зүйл бутархай болон бусад гэнэтийн зүйлгүйгээр өнгөрөв. Энэ бол бидний ердийн вектор юм. Таалагдлаа. Бас хүндэлдэг =)

Жишээ 9

Цэг ба хэвийн вектор өгөгдсөн шулуун шугамын тэгшитгэлийг зохио. Шулуун шугамын чиглэлийн векторыг ол.

Шийдэл: Томъёог ашиглана уу:

Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг олж аваад шалгацгаая.

1) Тэгшитгэлээс хэвийн векторын координатыг "хасах": - тийм ээ, үнэхээр анхны векторыг нөхцлөөс гаргаж авсан (эсвэл вектор нь анхны вектортой ижил байх ёстой).

2) Цэг нь тэгшитгэлийг хангаж байгаа эсэхийг шалгана уу:

Жинхэнэ тэгш байдал.

Тэгшитгэл зөв гэдэгт итгэлтэй болсны дараа бид даалгаврын хоёр дахь, хялбар хэсгийг дуусгах болно. Бид шулуун шугамын чиглэлийн векторыг гаргаж авдаг.

Хариулах:

Зураг дээр нөхцөл байдал дараах байдалтай байна.

Сургалтын зорилгоор бие даасан шийдлийн ижил төстэй даалгавар:

Жишээ 10

Цэг ба хэвийн вектор өгөгдсөн шулуун шугамын тэгшитгэлийг зохио. Шулуун шугамын чиглэлийн векторыг ол.

Хичээлийн эцсийн хэсэг нь хавтгай дээрх шулуун шугамын тэгшитгэлийн бага түгээмэл боловч чухал хэлбэрүүдэд зориулагдсан болно.

Сегмент дэх шулуун шугамын тэгшитгэл.
Параметр хэлбэрийн шулуун шугамын тэгшитгэл

Сегмент дэх шулуун шугамын тэгшитгэл нь тэгээс өөр тогтмолууд гэсэн хэлбэртэй байна. Зарим төрлийн тэгшитгэлийг энэ хэлбэрээр илэрхийлэх боломжгүй, жишээлбэл, шууд пропорциональ (чөлөөт нэр томъёо нь тэг бөгөөд баруун талд нь нэгийг авах арга байхгүй).

Энэ нь дүрслэлээр хэлбэл "техникийн" төрлийн тэгшитгэл юм. Ердийн даалгавар бол шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг сегмент дэх шулуун шугамын тэгшитгэл болгон илэрхийлэх явдал юм. Яагаад тохиромжтой вэ? Сегмент дэх шулуун шугамын тэгшитгэл нь координатын тэнхлэгүүдтэй шулуун шугамын огтлолцлын цэгүүдийг хурдан олох боломжийг олгодог бөгөөд энэ нь дээд математикийн зарим асуудалд маш чухал юм.

Шугамын тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийг ол. Бид "y"-г дахин тохируулах ба тэгшитгэл нь хэлбэрийг авна. Хүссэн цэгийг автоматаар авна: .

Тэнхлэгтэй адилхан шугам нь у тэнхлэгтэй огтлолцох цэг юм.

Хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл. Нийтлэлд" " Өгөгдсөн функцийн график ба энэ графикт шүргэгчийг ашиглан дериватив олохын тулд танилцуулсан асуудлыг шийдвэрлэх хоёр дахь аргыг шинжлэхийг би танд амласан. Бид энэ аргыг судлах болно , битгий алдаарай! Яагааддараачийн?

Баримт нь шулуун шугамын тэгшитгэлийн томъёог тэнд ашиглах болно. Мэдээжийн хэрэг, хүн энэ томъёог зүгээр л харуулж, үүнийг сурахыг зөвлөж болно. Гэхдээ энэ нь хаанаас гаралтай вэ гэдгийг тайлбарлах нь дээр. Энэ нь зайлшгүй шаардлагатай! Хэрэв та мартсан бол хурдан сэргээхэцүү биш байх болно. Бүгдийг доор дэлгэрэнгүй харуулав. Тиймээс бид координатын хавтгай дээр хоёр А цэгтэй байна(x 1; y 1) ба B (x 2; y 2) гэж заасан цэгүүдээр шулуун шугам татна.

Энд шууд томъёо байна:

*Өөрөөр хэлбэл, цэгүүдийн тодорхой координатыг орлуулахад y=kx+b хэлбэрийн тэгшитгэл гарна.

** Хэрэв энэ томьёог зүгээр л "цээсэн" бол индекстэй андуурагдах магадлал өндөр байна. X. Нэмж дурдахад индексийг янз бүрийн аргаар тэмдэглэж болно, жишээлбэл:

Тийм учраас утгыг нь ойлгох нь чухал.

Одоо энэ томъёоны гарал үүсэл. Бүх зүйл маш энгийн!

ABE ба ACF гурвалжин нь хурц өнцгийн хувьд ижил төстэй (тэгш өнцөгт гурвалжны ижил төстэй байдлын эхний шинж тэмдэг). Эндээс харгалзах элементүүдийн харьцаа тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл:

Одоо бид эдгээр сегментүүдийг цэгүүдийн координатын зөрүүгээр илэрхийлж байна.

Мэдээжийн хэрэг, хэрэв та элементүүдийн харилцааг өөр дарааллаар бичвэл алдаа гарахгүй (хамгийн гол нь захидал харилцааг хадгалах явдал юм):

Үр дүн нь шулуун шугамын ижил тэгшитгэл юм. Энэ бүгд!

Өөрөөр хэлбэл, цэгүүд (мөн тэдгээрийн координатууд) хэрхэн томилогдсоноос үл хамааран энэ томъёог ойлгосноор та шулуун шугамын тэгшитгэлийг үргэлж олох болно.

Томьёог векторуудын шинж чанарыг ашиглан гаргаж болно, гэхдээ бид тэдгээрийн координатын пропорциональ байдлын талаар ярих тул гарган авах зарчим нь ижил байх болно. Энэ тохиолдолд тэгш өнцөгт гурвалжны ижил төстэй байдал ажилладаг. Миний бодлоор дээр дурдсан дүгнэлт илүү ойлгомжтой)).

Гаралтыг вектор координатаар харах >>>

Өгөгдсөн A (x 1; y 1) ба B (x 2; y 2) хоёр цэгийг дайран өнгөрөх координатын хавтгай дээр шулуун шугам байгуулъя. Координаттай шулуун дээрх дурын C цэгийг тэмдэглэе. х; y). Бид мөн хоёр векторыг тэмдэглэдэг:

Зэрэгцээ шулуун (эсвэл нэг шулуун дээр) байрлах векторуудын хувьд тэдгээрийн харгалзах координатууд нь пропорциональ байдаг нь мэдэгдэж байна, өөрөөр хэлбэл:

- бид харгалзах координатын харьцааны тэгш байдлыг бичнэ.

Жишээ авч үзье:

(2;5) ба (7:3) координаттай хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг ол.

Та өөрөө шугам барьж чадахгүй. Бид томъёог хэрэглэнэ:

Харьцааг гаргахдаа захидал харилцааг барьж авах нь чухал юм. Хэрэв та дараах зүйлийг бичвэл буруу явж чадахгүй.

Хариулт: y=-2/5x+29/5 go y=-0.4x+5.8

Үүссэн тэгшитгэл зөв олдсон эсэхийг шалгахын тулд үүнийг шалгахаа мартуузай - өгөгдлийн координатыг цэгүүдийн нөхцөлд орлуулна уу. Та зөв тэгш байдлыг авах ёстой.

Тэгээд л болоо. Энэ материал танд хэрэгтэй байсан гэж найдаж байна.

Хүндэтгэсэн, Александр.

P.S: Хэрэв та сайтын талаар олон нийтийн сүлжээгээр хэлвэл би талархах болно.

Евклидийн геометрийн шулуун шугамын шинж чанарууд.

Ямар ч цэгээр зурж болох хязгааргүй олон шугам байдаг.

Дурын хоёр давхцаагүй цэгээр дамжин зөвхөн нэг шулуун шугам байна.

Хавтгай дээрх давхцаагүй хоёр шулуун нэг цэг дээр огтлолцдог, эсвэл огтлолцдог

зэрэгцээ (өмнөхөөс хойш).

Гурван хэмжээст орон зайд хоёр шугамын харьцангуй байрлалын гурван сонголт байдаг.

• шугамууд огтлолцдог;

• шулуун шугамууд зэрэгцээ байна;

• шулуун шугамууд огтлолцдог.

Чигээрээ шугам- нэгдүгээр эрэмбийн алгебрийн муруй: декартын координатын системд шулуун шугам

хавтгайд нэгдүгээр зэргийн тэгшитгэлээр (шугаман тэгшитгэл) өгөгдөнө.

Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл.

Тодорхойлолт. Хавтгай дээрх дурын шугамыг нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэлээр өгч болно

Ah + Wu + C = 0,

ба тогтмол А, Бнэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү биш. Энэ эхний эрэмбийн тэгшитгэл гэж нэрлэгддэг ерөнхий

шулуун шугамын тэгшитгэл.Тогтмолуудын утгуудаас хамаарна А, БТэгээд FROMДараах онцгой тохиолдлууд боломжтой.

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- шугам нь гарал үүслээр дамждаг

. A = 0, B ≠0, C ≠0 ( By + C = 0)- тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам Өө

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C = 0)- тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам OU

. B = C = 0, A ≠ 0- шугам нь тэнхлэгтэй давхцаж байна OU

. A = C = 0, B ≠ 0- шугам нь тэнхлэгтэй давхцаж байна Өө

Шулуун шугамын тэгшитгэлийг аливаа өгөгдсөн байдлаас хамааран янз бүрийн хэлбэрээр илэрхийлж болно

анхны нөхцөл.

Шулуун шугамын цэг ба хэвийн векторын тэгшитгэл.

Тодорхойлолт. Декартын тэгш өнцөгт координатын системд (A, B) бүрэлдэхүүн хэсгүүдтэй вектор.

тэгшитгэлээр өгөгдсөн шулуунтай перпендикуляр

Ah + Wu + C = 0.

Жишээ. Нэг цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг ол A(1, 2)векторт перпендикуляр (3, -1).

Шийдэл. A \u003d 3 ба B \u003d -1 дээр шулуун шугамын тэгшитгэлийг байгуулъя: 3x - y + C \u003d 0. С коэффициентийг олохын тулд

гарсан илэрхийлэлд өгөгдсөн А цэгийн координатыг орлуулна.Иймд: 3 - 2 + C = 0 болно.

C = -1. Нийт: хүссэн тэгшитгэл: 3x - y - 1 \u003d 0.

Хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл.

Орон зайд хоёр цэг өгье M 1 (x 1 , y 1 , z 1)Тэгээд M2 (x 2, y 2, z 2),тэгээд шулуун шугамын тэгшитгэл,

Эдгээр цэгүүдээр дамжин өнгөрөх:

Хэрэв хуваагчийн аль нэг нь тэгтэй тэнцүү бол харгалзах тоог тэгтэй тэнцүүлэх ёстой. Дээр

хавтгай, дээр бичсэн шулуун шугамын тэгшитгэлийг хялбаршуулсан:

хэрэв x 1 ≠ x 2Тэгээд x = x 1, хэрэв x 1 = x 2 .

Бутархай = кдуудсан налуугийн хүчин зүйл Чигээрээ.

Жишээ. A(1, 2) ба B(3, 4) цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг ол.

Шийдэл. Дээрх томъёог ашигласнаар бид дараахь зүйлийг авна.

Шулуун шугамын цэг ба налуугийн тэгшитгэл.

Хэрэв шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл Ah + Wu + C = 0хэлбэрт оруулах:

болон томилох , дараа нь үүссэн тэгшитгэлийг дуудна

к налуутай шулуун шугамын тэгшитгэл.

Цэг дээрх шулуун шугам ба чиглүүлэх векторын тэгшитгэл.

Хэвийн вектороор дамжин өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг авч үзэх цэгтэй зүйрлэснээр та даалгаврыг оруулж болно

цэгээр дамжин өнгөрөх шулуун шугам ба шулуун шугамын чиглэлийн вектор.

Тодорхойлолт. Тэг биш вектор бүр (α 1 , α 2), бүрэлдэхүүн хэсгүүд нь нөхцөлийг хангадаг

Aα 1 + Bα 2 = 0дуудсан шулуун шугамын чиглэлийн вектор.

Ah + Wu + C = 0.

Жишээ. Чиглэлийн вектор (1, -1) ба А(1, 2) цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг ол.

Шийдэл. Бид хүссэн шулуун шугамын тэгшитгэлийг дараах хэлбэрээр хайх болно. Ax + By + C = 0.Тодорхойлолтын дагуу,

Коэффициент нь дараахь нөхцлийг хангасан байх ёстой.

1 * A + (-1) * B = 0, өөрөөр хэлбэл. A = B.

Дараа нь шулуун шугамын тэгшитгэл дараах хэлбэртэй байна. Ax + Ay + C = 0,эсвэл x + y + C / A = 0.

цагт x=1, y=2бид авдаг C/ A = -3, өөрөөр хэлбэл Хүссэн тэгшитгэл:

x + y - 3 = 0

Сегмент дэх шулуун шугамын тэгшитгэл.

Хэрэв шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлд Ah + Wu + C = 0 C≠0 байвал -C-д хуваавал бид дараахь зүйлийг авна.

эсвэл , хаана

Коэффициентийн геометрийн утга нь a коэффициент нь огтлолцох цэгийн координат юм

тэнхлэгтэй шулуун Өө,гэхдээ б- шугамын тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийн координат OU.

Жишээ. Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг өгөв x - y + 1 = 0.Энэ шулуун шугамын тэгшитгэлийг хэрчмээр ол.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Шулуун шугамын хэвийн тэгшитгэл.

Хэрэв тэгшитгэлийн хоёр тал Ah + Wu + C = 0тоогоор хуваах гэж нэрлэдэг

хэвийн болгох хүчин зүйл, тэгвэл бид авна

xcosφ + ysinφ - p = 0 -шулуун шугамын хэвийн тэгшитгэл.

Хэвийн хүчин зүйлийн ± тэмдгийг сонгох ёстой μ * C< 0.

Р- эхээс шугам хүртэл унасан перпендикулярын урт;

гэхдээ φ - тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй энэ перпендикуляраас үүссэн өнцөг Өө.

Жишээ. Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл өгөгдсөн 12x - 5y - 65 = 0. Төрөл бүрийн тэгшитгэл бичихэд шаардлагатай

энэ шулуун шугам.

Сегмент дэх энэ шулуун шугамын тэгшитгэл:

Энэ шулууны налуутай тэгшитгэл: (5-т хуваах)

Шулуун шугамын тэгшитгэл:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p=5.

Шулуун шугам бүрийг сегмент дэх тэгшитгэлээр төлөөлж болохгүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй, жишээлбэл, шулуун шугамууд,

тэнхлэгүүдтэй параллель буюу эхийг дайран өнгөрөх.

Хавтгай дээрх шугамуудын хоорондох өнцөг.

Тодорхойлолт. Хэрэв хоёр мөр өгөгдсөн бол y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, дараа нь эдгээр шугамын хоорондох хурц өнцөг

гэж тодорхойлох болно

Хэрэв хоёр шугам зэрэгцээ байна k 1 = k 2. Хоёр шугам перпендикуляр байна

хэрэв k 1 \u003d -1 / к 2 .

Теорем.

Шууд Ah + Wu + C = 0Тэгээд A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0коэффициентүүд пропорциональ байх үед параллель байна

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. Хэрэв бас С 1 \u003d λС, дараа нь шугамууд давхцана. Хоёр шугамын огтлолцох цэгийн координатууд

Эдгээр шугамын тэгшитгэлийн системийн шийдэл гэж олддог.

Өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл нь өгөгдсөн шулуунтай перпендикуляр байна.

Тодорхойлолт. Нэг цэгээр дамжин өнгөрөх шугам М 1 (х 1, у 1)ба шугаманд перпендикуляр y = kx + b

тэгшитгэлээр илэрхийлэгдэнэ:

Нэг цэгээс шугам хүртэлх зай.

Теорем. Хэрэв оноо өгсөн бол M(x 0, y 0),дараа нь шугам хүртэлх зай Ah + Wu + C = 0гэж тодорхойлсон:

Баталгаа. Гол нь байя М 1 (х 1, у 1)- перпендикулярын суурь нь цэгээс унасан Мөгөгдсөн төлөө

шууд. Дараа нь цэгүүдийн хоорондох зай МТэгээд М 1:

(1)

Координатууд x 1Тэгээд 1тэгшитгэлийн системийн шийдийг олж болно:

Системийн хоёр дахь тэгшитгэл нь өгөгдсөн M 0 цэгийг перпендикуляраар дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл юм.

өгөгдсөн шугам. Хэрэв бид системийн эхний тэгшитгэлийг дараах хэлбэрт шилжүүлбэл:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + 0-ээр + C = 0,

Дараа нь шийдэж, бид дараахь зүйлийг авна.

Эдгээр илэрхийллийг тэгшитгэл (1)-д орлуулснаар бид дараахь зүйлийг олно.

Теорем нь батлагдсан.

K(x 0; y 0) цэгийг дайрч y = kx + a шулуунтай параллель шулууныг дараах томъёогоор олно.

y - y 0 \u003d k (x - x 0) (1)

Энд k нь шулуун шугамын налуу юм.

Альтернатив томъёо:
M 1 (x 1 ; y 1) цэгийг дайрч, Ax+By+C=0 шулуунтай параллель шулууныг тэгшитгэлээр илэрхийлнэ.

A(x-x 1)+B(y-y 1)=0 . (2)

K( цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич. ;) y = шулуунтай параллель байна x + .

Жишээ №1. M 0 (-2.1) цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг зохиож, нэгэн зэрэг:
a) шулуун шугамтай параллель 2x+3y -7 = 0;
б) 2х+3у -7 = 0 шулуунтай перпендикуляр.
Шийдэл . Налуугийн тэгшитгэлийг y = kx + a гэж илэрхийлье. Үүнийг хийхийн тулд бид y-ээс бусад бүх утгыг баруун тал руу шилжүүлнэ: 3y = -2x + 7. Дараа нь бид баруун талыг 3 коэффициентээр хуваана. Бид авна: y = -2/3x + 7/3
y = -2 / 3 x + 7 / 3 шулуунтай параллель K(-2;1) цэгийг дайран өнгөрөх NK тэгшитгэлийг ол.
x 0 \u003d -2, k \u003d -2 / 3, y 0 \u003d 1-ийг орлуулснаар бид дараахь зүйлийг авна.
y-1 = -2 / 3 (x-(-2))
эсвэл
y = -2 / 3 x - 1/3 эсвэл 3y + 2x +1 = 0

Жишээ №2. 2х + 5у = ​​0 шулуунтай параллель шулуун шугамын тэгшитгэлийг бичээд координатын тэнхлэгүүдийн хамт талбай нь 5 хэмжээтэй гурвалжин үүсгэ.
Шийдэл . Шулуунууд зэрэгцээ байгаа тул хүссэн шугамын тэгшитгэл нь 2x + 5y + C = 0 байна. Тэгш өнцөгт гурвалжны талбай, энд a ба b нь түүний хөл юм. Хүссэн шугамын координатын тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүдийг ол.
;
.
Тэгэхээр A(-C/2,0), B(0,-C/5). Талбайн томьёог орлуулна уу: . Бид 2х + 5у + 10 = 0 ба 2х + 5у - 10 = 0 гэсэн хоёр шийдлийг авдаг.

Жишээ №3. (-2; 5) цэгийг дайран өнгөрөх шулуун ба 5x-7y-4=0 параллель шулууны тэгшитгэлийг бич.
Шийдэл. Энэ шулуун шугамыг y = 5/7 x – 4/7 (энд a = 5/7) тэгшитгэлээр илэрхийлж болно. Хүссэн шугамын тэгшитгэл нь y - 5 = 5 / 7 (x - (-2)), i.e. 7(y-5)=5(x+2) эсвэл 5x-7y+45=0 .

Жишээ №4. (2) томъёог ашиглан жишээ 3 (A=5, B=-7)-ийг шийдэж, бид 5(x+2)-7(y-5)=0-г олно.

Жишээ дугаар 5. (-2;5) цэгийг дайран өнгөрөх шулуун ба 7х+10=0 параллель шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич.
Шийдэл. Энд A=7, B=0. Формула (2) нь 7(x+2)=0, өөрөөр хэлбэл. x+2=0. Энэ тэгшитгэлийг y-тэй харьцуулан шийдвэрлэх боломжгүй тул (1) томъёог ашиглах боломжгүй (энэ шулуун шугам нь у тэнхлэгтэй параллель байна).

Хавтгай дээрх шугамын тэгшитгэл.

Мэдэгдэж байгаагаар, хавтгай дээрх аливаа цэг нь зарим координатын систем дэх хоёр координатаар тодорхойлогддог. Координатын систем нь суурь ба гарал үүслийн сонголтоос хамааран өөр өөр байж болно.

Тодорхойлолт. Шугамын тэгшитгэлнь энэ шулууныг бүрдүүлж буй цэгүүдийн координатуудын хоорондын y = f(x) хамаарал юм.

Шугамын тэгшитгэлийг параметрийн аргаар илэрхийлж болохыг анхаарна уу, өөрөөр хэлбэл цэг бүрийн координат бүрийг бие даасан параметрээр илэрхийлнэ. т.

Энгийн жишээ бол хөдөлж буй цэгийн замнал юм. Энэ тохиолдолд цаг хугацаа нь параметрийн үүрэг гүйцэтгэдэг.

Хавтгай дээрх шулуун шугамын тэгшитгэл.

Тодорхойлолт. Хавтгай дээрх дурын шугамыг нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэлээр өгч болно

Ah + Wu + C = 0,

үүнээс гадна A, B тогтмолууд нь нэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү биш, i.e. A 2 + B 2  0. Энэ нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэлийг нэрлэнэ шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл.

A, B, C тогтмолуудын утгуудаас хамааран дараахь онцгой тохиолдлууд боломжтой.

C \u003d 0, A  0, B  0 - шугам эхийг дайран өнгөрдөг

A \u003d 0, B  0, C  0 (By + C \u003d 0) - шугам нь Ox тэнхлэгтэй параллель байна

B \u003d 0, A  0, C  0 ( Ax + C \u003d 0) - шугам нь Ой тэнхлэгтэй параллель байна

B \u003d C \u003d 0, A  0 - шулуун шугам нь Ой тэнхлэгтэй давхцаж байна

A \u003d C \u003d 0, B  0 - шулуун шугам нь Ox тэнхлэгтэй давхцаж байна

Шулуун шугамын тэгшитгэлийг өгөгдсөн анхны нөхцлөөс хамааран янз бүрийн хэлбэрээр үзүүлж болно.

Шулуун шугамын цэг ба хэвийн векторын тэгшитгэл.

Тодорхойлолт. Декартын тэгш өнцөгт координатын системд (A, B) бүрэлдэхүүн хэсгүүдтэй вектор нь Ax + By + C = 0 тэгшитгэлээр өгөгдсөн шулуунд перпендикуляр байна.

Жишээ.Векторт перпендикуляр А (1, 2) цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг ол. (3, -1).

A \u003d 3 ба B \u003d -1 дээр шулуун шугамын тэгшитгэлийг байгуулцгаая: 3x - y + C \u003d 0. С коэффициентийг олохын тулд өгөгдсөн А цэгийн координатыг үүссэн илэрхийлэлд орлуулна.

Бид авна: 3 - 2 + C \u003d 0, тиймээс C \u003d -1.

Нийт: хүссэн тэгшитгэл: 3x - y - 1 \u003d 0.

Хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл.

Орон зайд M 1 (x 1, y 1, z 1) ба M 2 (x 2, y 2, z 2) гэсэн хоёр цэгийг өгвөл эдгээр цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл:

Хэрэв хуваагчийн аль нэг нь тэгтэй тэнцүү бол харгалзах тоог тэгтэй тэнцүүлэх ёстой.

Хавтгай дээр дээр бичсэн шулуун шугамын тэгшитгэлийг хялбаршуулсан болно.

хэрэв x 1  x 2 ба x \u003d x 1, хэрэв x 1 \u003d x 2 бол.

Бутархай
=k гэж нэрлэдэг налуугийн хүчин зүйлЧигээрээ.

Жишээ. A(1, 2) ба B(3, 4) цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг ол.

Дээрх томъёог ашигласнаар бид дараахь зүйлийг авна.

Шулуун шугамын цэг ба налуугийн тэгшитгэл.

Ax + Vy + C = 0 шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл нь дараах хэлбэрт хүргэнэ.

болон томилох
, дараа нь үүссэн тэгшитгэлийг дуудна налуутай шулуун шугамын тэгшитгэлк.

Цэг дээрх шулуун шугам ба чиглүүлэх векторын тэгшитгэл.

Хэвийн вектороор дамжин өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг авч үзсэн догол мөртэй зүйрлэснээр та цэгээр дамжин өнгөрөх шулуун ба шулуун шугамын чиглүүлэх векторын оноолтыг оруулж болно.

Тодорхойлолт. Тэг биш вектор бүр ( 1 ,  2), бүрэлдэхүүн хэсгүүд нь A 1 + B 2 = 0 нөхцөлийг хангасан бол шугамын чиглүүлэх вектор гэнэ.

Ah + Wu + C = 0.

Жишээ.Чиглэлийн вектор бүхий шулуун шугамын тэгшитгэлийг ол (1, -1) ба А(1, 2) цэгээр дамжин өнгөрнө.

Бид хүссэн шулуун шугамын тэгшитгэлийг дараах хэлбэрээр хайх болно: Ax + By + C = 0. Тодорхойлолтын дагуу коэффициентүүд нь дараахь нөхцлийг хангасан байх ёстой.

1A + (-1)B = 0, өөрөөр хэлбэл. A = B.

Дараа нь шулуун шугамын тэгшитгэл нь: Ax + Ay + C = 0, эсвэл x + y + C/A = 0 хэлбэртэй байна.

x = 1, y = 2 үед бид С/A = -3, i.e. Хүссэн тэгшитгэл:

Сегмент дэх шулуун шугамын тэгшитгэл.

Хэрэв шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлд Ah + Wu + C = 0 C 0 байвал –C-д хуваавал бид дараахь зүйлийг авна.
эсвэл

, хаана

Коэффициентийн геометрийн утга нь коэффициент юм гэхдээнь шугамын х тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийн координат ба б- шулуун шугамын Ой тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийн координат.

Жишээ. x - y + 1 = 0 шулууны ерөнхий тэгшитгэл өгөгдсөн. Энэ шулууны тэгшитгэлийг хэрчмүүдээс ол.

C \u003d 1,
, a = -1, b = 1.

Шулуун шугамын хэвийн тэгшитгэл.

Ax + Wy + C = 0 тэгшитгэлийн хоёр тал нь тоонд хуваагдвал
гэж нэрлэдэг хэвийн болгох хүчин зүйл, тэгвэл бид авна

xcos + ysin - p = 0 –

шулуун шугамын хэвийн тэгшитгэл.

Нормчлох хүчин зүйлийн  тэмдгийг С байхаар сонгох ёстой< 0.

p нь эхлэлээс шулуун шугам руу унасан перпендикулярын урт,  Энэ перпендикуляраар Үхрийн тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй үүссэн өнцөг.

Жишээ.Өгөгдсөн ерөнхий тэгшитгэл 12x - 5y - 65 = 0. Энэ мөрөнд янз бүрийн төрлийн тэгшитгэл бичих шаардлагатай.

сегмент дэх энэ шулуун шугамын тэгшитгэл:

Энэ шугамын налуутай тэгшитгэл: (5-д хуваах)

шулуун шугамын хэвийн тэгшитгэл:

; cos = 12/13; sin = -5/13; p=5.

Шулуун шугам бүрийг сегмент дэх тэгшитгэлээр төлөөлж болохгүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй, жишээлбэл, тэнхлэгүүдтэй параллель эсвэл эхийг дайран өнгөрөх шулуун шугамууд.

Жишээ.Шулуун шугам нь координатын тэнхлэг дээрх тэнцүү эерэг сегментүүдийг таслав. Эдгээр хэрчмүүдээс үүссэн гурвалжны талбай 8 см 2 бол шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич.

Шулуун шугамын тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.
, a = b = 1; ab/2 = 8; a = 4; -4.

a = -4 нь асуудлын нөхцөлтэй тохирохгүй байна.

Нийт:
эсвэл x + y - 4 = 0.

Жишээ.А (-2, -3) цэг ба эхийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич.

Шулуун шугамын тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.
, энд x 1 \u003d y 1 \u003d 0; x 2 \u003d -2; y 2 \u003d -3.

Хавтгай дээрх шугамуудын хоорондох өнцөг.

Тодорхойлолт. Хэрэв хоёр шулуун y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 өгөгдсөн бол эдгээр шулуунуудын хоорондох хурц өнцөг дараах байдлаар тодорхойлогдоно.

.

Хэрвээ k 1 = k 2 бол хоёр шулуун зэрэгцээ байна.

k 1 = -1/k 2 бол хоёр шулуун перпендикуляр байна.

Теорем. Ax + Vy + C = 0 ба А шулуун шугамууд 1 x + B 1 y + C 1 А коэффициентүүд пропорциональ байх үед = 0 параллель байна 1 =  А, Б 1 =  B. Хэрэв бас C 1 =  C, дараа нь шугамууд давхцдаг.

Хоёр шугамын огтлолцох цэгийн координатыг эдгээр шугамын тэгшитгэлийн системийн шийдэл болгон олно.

Өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл

энэ шугамд перпендикуляр.

Тодорхойлолт. M 1 (x 1, y 1) цэгийг дайран өнгөрөх ба y \u003d kx + b шугаманд перпендикуляр шугамыг тэгшитгэлээр илэрхийлнэ.

Нэг цэгээс шугам хүртэлх зай.

Теорем. Хэрэв M цэг бол (x 0 , y 0 ), тэгвэл Ax + Vy + C = 0 шугам хүртэлх зайг тодорхойлно

.

Баталгаа. М цэгээс өгөгдсөн шулуун руу буулгасан перпендикулярын суурь нь M 1 (x 1, y 1) цэг байг. Дараа нь M ба M цэгүүдийн хоорондох зай 1:

x 1 ба y 1 координатуудыг тэгшитгэлийн системийн шийдэл болгон олж болно.

Системийн хоёр дахь тэгшитгэл нь өгөгдсөн шулуунд перпендикуляр M 0 цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл юм.

Хэрэв бид системийн эхний тэгшитгэлийг дараах хэлбэрт шилжүүлбэл:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + 0-ээр + C = 0,

Дараа нь шийдэж, бид дараахь зүйлийг авна.

Эдгээр илэрхийллийг тэгшитгэл (1)-д орлуулснаар бид дараахь зүйлийг олно.

.

Теорем нь батлагдсан.

Жишээ.Шугамануудын хоорондох өнцгийг тодорхойлно уу: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 \u003d -3; k 2 = 2tg =
;  = /4.

Жишээ. 3x - 5y + 7 = 0 ба 10x + 6y - 3 = 0 шулуунууд перпендикуляр болохыг харуул.

Бид олдог: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 k 2 \u003d -1, тиймээс шугамууд перпендикуляр байна.

Жишээ.Гурвалжны оройг A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1) өгөв. С оройноос татсан өндрийн тэгшитгэлийг ол.

Бид AB талын тэгшитгэлийг олно.
; 4х = 6у - 6;

2x - 3y + 3 = 0;

Хүссэн өндрийн тэгшитгэл нь: Ax + By + C = 0 эсвэл y = kx + b.

k = . Дараа нь y =
. Учир нь өндөр нь С цэгээр дамжин өнгөрвөл координатууд нь энэ тэгшитгэлийг хангана.
үүнээс b = 17. Нийт:
.

Хариулт: 3x + 2y - 34 = 0.

Сансар огторгуй дахь аналитик геометр.

Орон зай дахь шугамын тэгшитгэл.

Огторгуй дахь шулуун шугамын тэгшитгэл ба

чиглэлийн вектор.

Дурын шугам ба векторыг ав (m, n, p) өгөгдсөн шугамтай параллель байна. Вектор дуудсан чиглүүлэгч векторЧигээрээ.

Шулуун дээр дурын M 0 (x 0 , y 0 , z 0) ба M(x, y, z) хоёр цэгийг авъя.

z

М1

Эдгээр цэгүүдийн радиус векторуудыг гэж тэмдэглэе Тэгээд , энэ нь ойлгомжтой - =
.

Учир нь векторууд
Тэгээд collinear байвал хамаарал үнэн болно
= t, энд t нь зарим параметр юм.

Нийтдээ бид дараахь зүйлийг бичиж болно. = + т.

Учир нь Энэ тэгшитгэл нь шулуун дээрх дурын цэгийн координатаар хангагдвал үүссэн тэгшитгэл нь шулуун шугамын параметрийн тэгшитгэл.

Энэ вектор тэгшитгэлийг координат хэлбэрээр илэрхийлж болно.

Энэ системийг хувиргаж, t параметрийн утгыг тэнцүүлэх замаар бид орон зайд шулуун шугамын каноник тэгшитгэлийг олж авна.

.

Тодорхойлолт. Чиглэлийн косинусуудшууд нь векторын чиглэлийн косинусууд юм , үүнийг дараах томъёогоор тооцоолж болно.

;

.

Эндээс: m: n: p = cos : cos : cos.

m, n, p тоонуудыг дууддаг налуугийн хүчин зүйлүүдЧигээрээ. Учир нь нь тэг биш вектор бөгөөд m, n, p нь нэгэн зэрэг тэг байж болохгүй, гэхдээ эдгээр тоонуудын нэг эсвэл хоёр нь тэг байж болно. Энэ тохиолдолд шулуун шугамын тэгшитгэлд харгалзах тоог тэгтэй тэнцүүлэх ёстой.

Орон зайд өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл

хоёр цэгээр дамжуулан.

Хэрвээ дурын хоёр цэг M 1 (x 1, y 1, z 1) ба M 2 (x 2, y 2, z 2) нь огторгуйд шулуун шугам дээр тэмдэглэгдсэн бол эдгээр цэгүүдийн координатууд нь тэгшитгэлийг хангах ёстой. дээр авсан шулуун шугам:

.

Үүнээс гадна M 1 цэгийн хувьд бид дараахь зүйлийг бичиж болно.

.

Эдгээр тэгшитгэлийг хамтад нь шийдснээр бид дараахь зүйлийг олж авна.

.

Энэ бол огторгуйн хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл юм.

Орон зайн шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл.

Шулуун шугамын тэгшитгэлийг хоёр хавтгайн огтлолцох шугамын тэгшитгэл гэж үзэж болно.

Дээр дурдсанчлан вектор хэлбэрийн хавтгайг тэгшитгэлээр өгч болно.

+ D = 0, хаана

- онгоц хэвийн; - хавтгайн дурын цэгийн радиус-вектор.