Фурье цувааг өргөжүүлж, график байгуул. Дээд математик

Аль хэдийн захиалгаас залхсан. Мөн онолын стратегийн нөөцөөс шинэ лаазалсан бүтээгдэхүүн гаргаж авах цаг ирсэн гэдгийг би мэдэрч байна. Цуврал дахь функцийг өргөжүүлэх өөр арга бий юу? Жишээлбэл, шулуун шугамын хэрчмийг синус ба косинусаар илэрхийлнэ үү? Энэ нь гайхалтай юм шиг санагдаж байгаа ч ийм хол мэт санагдах функцууд нь өөрсдийгөө зээлдүүлдэг
"Дахин нэгдэл". Онол, практикийн танил зэрэглэлээс гадна функцийг цувралаар өргөжүүлэх өөр аргууд байдаг.

Энэ хичээлээр бид тригонометрийн Фурье цуваатай танилцаж, түүний нийлбэр ба нийлбэрийн асуудлыг хөндөж, мэдээжийн хэрэг Фурье цуврал дахь функцүүдийн өргөтгөлийн олон жишээг шинжлэх болно. Би нийтлэлээ "Даммигийн Фурье цуврал" гэж нэрлэхийг чин сэтгэлээсээ хүссэн боловч асуудлыг шийдвэрлэхэд математикийн шинжилгээний бусад салбаруудын мэдлэг, зарим практик туршлага шаардагддаг тул энэ нь зальтай байх болно. Тиймээс оршил нь сансрын нисгэгчдийн сургалттай төстэй байх болно =)

Нэгдүгээрт, хуудсан дээрх материалыг судлахдаа маш сайн хэлбэрээр хандах хэрэгтэй. Унтаж, амарч, сэрүүн бай. Шишүүхэйний хугарсан сарвууны тухай хүчтэй сэтгэл хөдлөл, аквариумын загасны амьдралын бэрхшээлийн талаархи хэт их бодол санаагүйгээр. Фурье цуврал нь ойлгох үүднээс тийм ч хэцүү биш боловч практик даалгаврууд нь зөвхөн анхаарал төвлөрүүлэхийг шаарддаг - хамгийн тохиромжтой нь гадны өдөөгчийг бүрэн орхих хэрэгтэй. Шийдвэрийг шалгах, хариулах амаргүй байгаа нь нөхцөл байдлыг улам хүндрүүлж байна. Тиймээс, хэрэв та дунджаас доогуур санагдаж байвал илүү энгийн зүйл хийх нь дээр. Үнэн.

Хоёрдугаарт, сансарт нисэхээсээ өмнө хөлгийн хяналтын самбарыг сайтар шалгаж үзэх шаардлагатай. Автомат дээр дарах ёстой функцүүдийн утгуудаас эхэлье.

Аливаа байгалийн үнэ цэнийн хувьд:

1) . Үнэн хэрэгтээ синусоид нь абсциссыг "пи" бүрээр "оёдог":
... Аргументийн сөрөг утгуудын хувьд үр дүн нь мэдээж ижил байх болно:.

2). Гэхдээ хүн бүр үүнийг мэддэггүй байсан. Косинус "pi en" нь "анивчуулагч"-тай тэнцүү байна:

Сөрөг аргумент өөрчлөгдөхгүй: .

Хангалттай, магадгүй.

Гуравдугаарт, нэр хүндтэй сансрын нисэгчдийн корпус та чадвартай байх ёстой ... нэгтгэх.
Ялангуяа итгэлтэйгээр дифференциал тэмдгийн дор функцийг авчрах, хэсэг хэсгээр нь нэгтгэхмөн сэтгэл хангалуун байгаарай Ньютон-Лейбницийн томъёогоор... Нислэгийн өмнөх хэд хэдэн чухал дасгалуудыг эхлүүлцгээе. Би үүнийг алгасахыг огтхон ч зөвлөдөггүй, ингэснээр дараа нь таталцлын үед тэгшлэхгүй.

Жишээ 1

Тодорхой интегралыг тооцоолох

байгалийн үнэт зүйлсийг хаанаас авдаг.

Шийдэл: интеграцчлалыг "x" хувьсагч дээр гүйцэтгэдэг бөгөөд энэ үе шатанд "en" дискрет хувьсагчийг тогтмол гэж үзнэ. Бүх интегралд Бид функцийг дифференциал тэмдгийн дор авчирдаг:

Зориулалтад тохиромжтой шийдлийн богино хувилбар дараах байдалтай байна.

Дассан:

Үлдсэн дөрвөн зүйл нь таных. Даалгавраа ухамсартайгаар хийж, интегралуудыг богино хугацаанд зурахыг хичээ. Хичээлийн төгсгөлд шийдлийн жишээ.

Дасгалуудыг ЧАНАРТАЙ гүйцэтгэсний дараа бид сансрын хувцас өмсдөг
мөн эхлэлд бэлдэж байна!

Фурье цуврал дахь функцийг интервал дээр өргөтгөх

Зарим функцийг авч үзье тодорхойлсоннаад зах нь интервалд (мөн магадгүй илүү том интервалд). Хэрэв энэ функцийг сегмент дээр нэгтгэх боломжтой бол үүнийг тригонометр болгон өргөжүүлж болно Фурье цуврал:
, гэж нэрлэгддэг зүйл хаана байна Фурье коэффициентүүд.

Энэ тохиолдолд дугаарыг дуудна задралын хугацаамөн тоо нь хагас задралын задрал.

Мэдээжийн хэрэг, ерөнхий тохиолдолд Фурье цуврал нь синус ба косинусуудаас бүрддэг.

Үнэндээ бид үүнийг нарийвчлан тайлбарлах болно:

Цувралын тэг гишүүнийг хэлбэрээр бичих нь заншилтай байдаг.

Фурье коэффициентийг дараахь томъёогоор тооцоолно.

Эхлэгчдэд энэ сэдвийг судлахын тулд шинэ нэр томьёо сайн ойлгогдоогүй хэвээр байгааг би маш сайн ойлгож байна. задралын хугацаа, хагас үе, Фурье коэффициентүүдгэх мэт сандрах хэрэггүй, энэ нь сансарт гарахын өмнөх сэтгэл догдлолтой зүйрлэшгүй юм. Бид дараагийн жишээн дээр бүх зүйлийг шийдэх болно, үүнийг хэрэгжүүлэхээсээ өмнө практик асуултуудыг асуух нь логик юм.

Дараах ажлуудад юу хийх ёстой вэ?

Фурье цуврал дахь функцийг өргөжүүлэх. Нэмж дурдахад функцийн график, цувралын нийлбэрийн график, хэсэгчилсэн нийлбэрийг дүрслэх, профессорын нарийн уран зөгнөлийн хувьд өөр зүйл хийх шаардлагатай байдаг.

Фурье цуврал дахь функцийг хэрхэн өргөжүүлэх вэ?

Үндсэндээ та олох хэрэгтэй Фурье коэффициентүүд, өөрөөр хэлбэл гурвыг зохиож, тооцоолно тодорхой интеграл.

Фурье цувралын ерөнхий дүр төрх, ажлын гурван томьёог дэвтэртээ дахин бичнэ үү. Сайтын зарим зочдод сансрын нисгэгч болох хүүхэд насны мөрөөдөл миний нүдэн дээр биелж байгаад маш их баяртай байна =)

Жишээ 2

Функцийг Фурье цувралд интервал дээр өргөжүүл. График, цувааны нийлбэр ба хэсэгчилсэн нийлбэрийн график байгуулах.

Шийдэл: Даалгаврын эхний хэсэг нь функцийг Фурье цуврал болгон өргөжүүлэх явдал юм.

Эхлэл нь стандарт тул дараах зүйлийг бичихээ мартуузай.

Энэ асуудлын хувьд задралын хугацаа нь хагас үе юм.

Бид функцийг Фурье цувралын интервал дээр өргөжүүлнэ.

Холбогдох томъёог ашиглан бид олдог Фурье коэффициентүүд... Одоо та гурвыг зохиож, тооцоолох хэрэгтэй тодорхой интеграл... Тохиромжтой болгохын тулд би зүйлсийг дугаарлах болно:

1) Эхний интеграл нь хамгийн энгийн боловч нүд, нүдийг аль хэдийн шаарддаг.

2) Бид хоёр дахь томьёог ашигладаг:

Энэ интеграл нь сайн мэддэг бөгөөд хэсэг хэсгээр нь авдаг:

Олдвол ашигласан функцийг дифференциал тэмдгийн доор оруулах арга.

Харж байгаа ажилд нэн даруй ашиглах нь илүү тохиромжтой тодорхой интегралд хэсгүүдээр нэгтгэх томъёо :

Хэд хэдэн техникийн тэмдэглэл. Эхлээд томъёог хэрэглэсний дараа илэрхийллийг бүхэлд нь том хаалтанд оруулах ёстой, анхны интегралын өмнө тогтмол байдаг тул. Бид үүнийг алдахгүй! Хаалтуудыг ямар ч алхамаар нээж болно, би үүнийг хамгийн сүүлд хийсэн. Эхний "хэсэгт" Бид орлуулахдаа маш болгоомжтой байдаг, таны харж байгаагаар тогтмол нь ажиллахгүй, интеграцийн хязгаарыг бүтээгдэхүүнд орлуулж байна. Энэ үйлдлийг дөрвөлжин хаалтанд тэмдэглэв. За, томьёоны хоёр дахь "хэсэг"-ийн интеграл нь сургалтын даалгавраас танд танил болсон ;-)

Мөн хамгийн чухал зүйл бол хамгийн их анхаарал төвлөрүүлэх явдал юм!

3) Бид гурав дахь Фурье коэффициентийг хайж байна:

Өмнөх интегралын харьцангуйг олж авсан бөгөөд энэ нь мөн адил юм хэсэгчлэн нэгтгэдэг:

Энэ жишээ нь арай илүү төвөгтэй тул би цаашдын алхмуудыг алхам алхмаар тайлбарлах болно:

(1) Илэрхийлэл нь том хаалтанд бүрэн хаагдсан байна.... Би уйтгартай дуугарахыг хүсээгүй, ихэнхдээ тэд тогтмол байдлаа алддаг.

(2) Энэ тохиолдолд би тэр даруй том хаалтуудыг нээв. Онцгой анхааралбид эхний "хэсэг" -ийг өгдөг: байнгын хажуугийн тамхи татдаг бөгөөд бүтээгдэхүүнд нэгтгэх (ба) хязгаарыг орлуулахад оролцдоггүй. Бичлэгийн эмх замбараагүй байдлын улмаас энэ үйлдлийг дөрвөлжин хаалтаар тэмдэглэхийг зөвлөж байна. Хоёр дахь "хэсэг" -ээр Бүх зүйл илүү энгийн: энд том хаалтуудыг өргөтгөсний дараа фракц гарч ирсэн бөгөөд тогтмол нь танил болсон интегралыг нэгтгэсний үр дүнд бий болсон ;-)

(3) Бид дөрвөлжин хаалтанд хувиргалтыг хийж, интегралын хязгаарыг баруун интегралд орлуулдаг.

(4) Бид дөрвөлжин хаалтаас "анивчдаг гэрлийг" гаргаж аваад дараа нь дотоод хаалтуудыг нээнэ:.

(5) Хаалтанд байгаа 1 ба –1-ийг багасгаж, эцсийн хялбаршуулалтыг хий.

Эцэст нь бүх гурван Фурье коэффициент олдлоо.

Тэдгээрийг томъёонд орлуулж үзье :

Үүний зэрэгцээ хагасыг нь хувахаа бүү мартаарай. Сүүлийн алхамд "en" -ээс үл хамаарах тогтмол ("хасах хоёр") нийлбэрийн гадна талд шилжинэ.

Тиймээс бид Фурье цуврал дахь функцийн өргөтгөлийг интервал дээр олж авлаа.

Фурье цувралын нийлмэл байдлын асуултыг судалж үзье. Би онолыг ялангуяа тайлбарлах болно Дирихлетийн теорем, шууд утгаараа "хуруунд" байгаа тул хэрэв танд хатуу үг хэллэг хэрэгтэй бол математик анализын сурах бичгийг үзнэ үү. (жишээлбэл, Боханы 2-р боть эсвэл Фихтенголзын 3-р боть, гэхдээ энэ нь илүү хэцүү байдаг).

Асуудлын хоёр дахь хэсэгт та график, цуврал нийлбэрийн график, хэсэгчилсэн нийлбэрийн графикийг харуулах хэрэгтэй.

Функцийн график нь энгийн шулуун шугам, хар тасархай шугамаар зурсан:

Бид цувралын нийлбэрийг авч үздэг. Та бүхний мэдэж байгаагаар функцүүдийн цувралууд нь функцүүдэд нийлдэг. Манай тохиолдолд баригдсан Фурье цуврал "x"-ийн дурын утгын хувьдулаанаар үзүүлсэн функцэд нийлдэг. Энэ функц нь тэсвэрлэдэг 1-р төрлийн завсарлагацэгээр, гэхдээ тэдгээрт тодорхойлогдсон (зураг дээрх улаан цэгүүд)

Тиймээс: ... Анхны функцээс юу мэдэгдэхүйц ялгаатай байгааг харахад хялбар байдаг, тиймээс тэмдэглэгээнд байна Тэнцүү тэмдэг биш харин гулдмай ашигладаг.

Цувралын нийлбэрийг бүтээхэд тохиромжтой алгоритмыг судалж үзье.

Төвийн интервал дээр Фурье цуваа функц өөрөө нийлдэг (төв улаан сегмент нь шугаман функцийн хар тасархай шугамтай давхцдаг).

Одоо тригонометрийн задралын мөн чанарын талаар бага зэрэг бодож үзье. Фурье цувралд Зөвхөн үечилсэн функцууд (тогтмол, синус, косинус) багтсан тул цувралын нийлбэр мөн үечилсэн функц юм.

Энэ нь бидний тодорхой жишээн дээр юу гэсэн үг вэ? Мөн энэ нь цувралын нийлбэр гэсэн үг юм –мэдээж үе үемөн интервалын улаан сегмент зүүн болон баруун талд хязгааргүй давтагдах ёстой.

Одоо би "мөхрөлийн үе" гэсэн хэллэгийн утга нь эцэстээ тодорхой болсон гэж бодож байна. Энгийнээр хэлэхэд нөхцөл байдал бүр дахин дахин давтагддаг.

Практикт зураг дээр үзүүлсэн шиг задралын гурван үеийг дүрслэх нь ихэвчлэн хангалттай байдаг. За, мөн хөрш зэргэлдээх үеийн "хожуул" - график үргэлжилж байгааг тодорхой болгохын тулд.

Ялангуяа сонирхолтой байдаг 1-р төрлийн эвдрэлийн цэгүүд... Ийм цэгүүдэд Фурье цуврал нь тасалдал (зураг дээрх улаан цэгүүд) "үсрэлт" -ийн яг дунд байрладаг тусгаарлагдсан утгууд руу нийлдэг. Та эдгээр цэгүүдийн ординатыг яаж мэдэх вэ? Нэгдүгээрт, бид "дээд давхар" -ын ординатыг олдог: үүний тулд бид төвийн өргөтгөлийн үеийн баруун туйлын цэг дэх функцийн утгыг тооцоолно:. "Доод давхрын" ординатыг тооцоолохын тулд ижил хугацааны хамгийн зүүн талын утгыг авах нь хамгийн хялбар арга юм. ... Дундаж ординат нь "дээд ба доод" нийлбэрийн арифметик дундаж юм:. Хамгийн сайхан нь зураг зурахдаа дунд нь зөв эсвэл буруу тооцоолсон эсэхийг шууд харах болно.

Цувралын хэсэгчилсэн нийлбэрийг бүтээж, нэгэн зэрэг "нийцэх" гэсэн нэр томъёоны утгыг давтъя. Сэдвийг мөн тухай хичээлээс мэддэг тооны цувралын нийлбэр... Бид өөрсдийн баялгийг дэлгэрэнгүй тайлбарлая:

Хэсэгчилсэн нийлбэр гаргахын тулд тэг + цувралын өөр хоёр гишүүнийг бичих шаардлагатай. Тэр бол,

Зураг дээр функцийн графикийг ногоон өнгөөр ​​харуулсан бөгөөд таны харж байгаагаар нийт дүнг маш нягт ороосон байна. Хэрэв бид цувралын таван гишүүний хэсэгчилсэн нийлбэрийг авч үзвэл энэ функцийн график нь улаан шугамыг илүү нарийвчлалтай тооцоолох болно, хэрэв нэг зуун гишүүн байвал "ногоон могой" нь улаан хэсгүүдтэй бүрэн нийлнэ гэх мэт. Ийнхүү Фурье цуваа нийлбэртээ нийлдэг.

Ямар ч хэсэгчилсэн дүн гэдгийг тэмдэглэх нь сонирхолтой юм тасралтгүй функцГэсэн хэдий ч цувралын нийт нийлбэр тасархай хэвээр байна.

Практикт хэсэгчилсэн нийлбэрийг зурах нь ердийн зүйл биш юм. Үүнийг хэрхэн хийх вэ? Манай тохиолдолд сегмент дэх функцийг авч үзэх, сегментийн төгсгөл ба завсрын цэгүүдэд түүний утгыг тооцоолох шаардлагатай (илүү олон оноо авч үзэх тусам график илүү нарийвчлалтай байх болно). Дараа нь та эдгээр цэгүүдийг зураг дээр тэмдэглэж, графикийг тухайн үе дээр үнэн зөв дүрсэлж, дараа нь зэргэлдээх интервалд "хуулбарлах" хэрэгтэй. Өөр яаж? Эцсийн эцэст, ойролцоогоор тооцоолол нь мөн үечилсэн функц юм ... ... түүний график нь эмнэлгийн төхөөрөмжийн дэлгэцэн дээр зүрхний цохилт жигд байгааг санагдуулдаг.

Мэдээжийн хэрэг, барилгын ажлыг гүйцэтгэх нь тийм ч тохиромжтой биш юм, учир нь та хагас миллиметрээс багагүй нарийвчлалтай байх ёстой. Гэсэн хэдий ч би зураг зурахад тохиромжгүй уншигчдыг баярлуулах болно - "бодит" даалгаварт зурах нь үргэлж шаардлагагүй байдаг, хаа нэгтээ 50% тохиолдолд Фурье цувралын функцийг өргөжүүлэх шаардлагатай байдаг, тэгээд л болоо.

Зургийг дуусгасны дараа бид даалгаврыг гүйцэтгэнэ.

Хариулах:

Олон үүрэг даалгаврын хувьд функц нь зовдог 1-р төрлийн завсарлагашууд задралын үед:

Жишээ 3

Сегмент дээр заасан функцийг Фурье цувралд өргөжүүл. Функц ба цувралын нийт нийлбэрийн графикийг зур.

Санал болгож буй функцийг хэсэгчлэн өгнө (түүнээс гадна, зөвхөн сегмент дээр анхаарлаа хандуулаарай)мөн тэсвэрлэдэг 1-р төрлийн завсарлагацэг дээр. Фурье коэффициентийг тооцоолох боломжтой юу? Асуудалгүй. Функцийн зүүн ба баруун тал хоёулаа интервалаараа интегралдах боломжтой тул гурван томьёо тус бүрийн интегралыг хоёр интегралын нийлбэрээр илэрхийлэх ёстой. Жишээлбэл, үүнийг тэг коэффициентээр хэрхэн хийхийг харцгаая.

Хоёр дахь интеграл нь тэгтэй тэнцүү болж, энэ нь ажлыг багасгасан боловч энэ нь үргэлж тийм байдаггүй.

Нөгөө хоёр Фурье коэффициентийг мөн адил бичнэ.

Цувралын нийлбэрийг хэрхэн илэрхийлэх вэ? Зүүн интервал дээр бид шулуун шугамын сегментийг зурж, интервал дээр - шулуун шугамын сегментийг (тэнхлэгийн хэсгийг тод, тодоор сонгоно). Өөрөөр хэлбэл, тэлэлтийн интервал дээр цувралын нийлбэр нь гурван "муу" цэгээс бусад бүх функцтэй давхцдаг. Функцийн тасархай цэг дээр Фурье цуваа нь тусгаарлагдсан утгад нийлдэг бөгөөд энэ нь тасалдалын "үсрэлт"-ийн яг дунд байрладаг. Үүнийг амаар харахад хялбар байдаг: зүүн талын хязгаар:, баруун талын хязгаар: мөн дунд цэгийн ординат нь 0.5 байх нь ойлгомжтой.

Нийлбэрийн үечилсэн байдлаас шалтгаалан зургийг зэргэлдээх цэгүүдээр "үржүүлэх", ялангуяа интервал дээр ижил дүрслэх шаардлагатай. Үүний зэрэгцээ цэгүүдэд Фурье цуваа медиан утгуудад нийлдэг.

Үнэндээ энд шинэ зүйл алга.

Энэ даалгаврыг өөрөө даван туулахыг хичээ. Төгсгөлийн дизайны ойролцоо загвар, хичээлийн төгсгөлд зураг.

Фурье цуврал дахь функцийг дурын хугацаанд өргөтгөх

Дурын тэлэлтийн хугацаанд "el" нь эерэг тоо байх үед Фурье цуврал ба Фурье коэффициентүүдийн томъёо нь синус ба косинусын бага зэрэг төвөгтэй аргументаар ялгаатай байна.

Хэрэв, дараа нь бидний эхлүүлсэн цоорхойн томъёог олж авна.

Асуудлыг шийдвэрлэх алгоритм, зарчмууд бүрэн хадгалагдан үлдсэн боловч тооцооллын техникийн нарийн төвөгтэй байдал нэмэгддэг.

Жишээ 4

Функцийг Фурье цувралд өргөтгөж, нийлбэрийг зур.

Шийдэл: үнэндээ жишээ No3-ын аналог 1-р төрлийн завсарлагацэг дээр. Энэ асуудлын хувьд задралын хугацаа нь хагас үе юм. Функц нь зөвхөн хагас интервалаар тодорхойлогддог боловч энэ нь асуудлыг өөрчлөхгүй - функцийн хоёр хэсэг нь интегралдах боломжтой байх нь чухал юм.

Функцийг Фурье цувралд өргөжүүлье.

Функц нь эхэнд тасархай тул Фурье коэффициент бүрийг хоёр интегралын нийлбэрээр бичих нь ойлгомжтой.

1) Би эхний интегралыг аль болох нарийвчлан бичих болно.

2) Бид сарны гадаргуу руу анхааралтай ажиглаж байна:

Хоёр дахь интеграл хэсэгчлэн авна:

Уусмалын үргэлжлэлийг одоор нээсний дараа та юуг анхаарах ёстой вэ?

Нэгдүгээрт, бид эхний интегралыг алдахгүй , бид нэн даруй гүйцэтгэх газар дифференциал тэмдэг... Хоёрдугаарт, том хаалт болон урд талын муу хувь заяаны тогтмолыг бүү мартаарай тэмдгүүдэд бүү андууртомъёог ашиглах үед ... Гэсэн хэдий ч том хаалтуудыг дараагийн алхамд нэн даруй нээх нь илүү тохиромжтой.

Үлдсэн хэсэг нь технологийн асуудал бөгөөд зөвхөн интегралыг шийдвэрлэх туршлага хангалтгүйгээс л бэрхшээл үүсч болно.

Тийм ээ, Францын математикч Фурьегийн нэр хүндтэй хамтрагчид уурлаж бухимдсан нь юу ч биш байсан - тэр яаж функцүүдийг тригонометрийн цуврал болгон задалж зүрхэлсэн бэ? =) Дашрамд хэлэхэд, магадгүй хүн бүр тухайн даалгаврын практик утгыг сонирхож байгаа байх. Фурье өөрөө дулаан дамжилтын математик загвар дээр ажиллаж байсан бөгөөд хожим түүний нэрэмжит цувралыг хүрээлэн буй ертөнцөд үл үзэгдэх олон үечилсэн процессуудыг судлахад ашиглаж эхэлсэн. Одоо, дашрамд хэлэхэд, би хоёр дахь жишээний графикийг үе үе зүрхний цохилттой харьцуулсан нь тохиолдлын зүйл биш гэж өөрийгөө барьж авав. Сонирхсон хүмүүс практик хэрэглээтэй танилцах боломжтой Фурье хувиргалтгуравдагч талын эх сурвалжид. ... Хэдий тийм биш ч гэсэн - Анхны хайр гэж дурсагдах болно =)

3) Дахин дурдсан сул холбоосуудыг харгалзан бид гурав дахь коэффициентийг авч үздэг.

Бид хэсэг хэсгээр нь нэгтгэдэг:

Олсон Фурье коэффициентийг томъёонд орлуулна уу , тэг коэффициентийг хагасаар хувахаа мартаж болохгүй.

Цувралын нийлбэрийг зуръя. Процедурыг товчхон давтъя: интервал дээр шулуун шугам, интервал дээр шулуун шугам барих. Хэрэв x утга тэг байвал бид "үсрэх" завсарын дунд цэг тавьж, диаграмыг зэргэлдээх үеүүдэд хуулбарлана.


Үеүүдийн "уулзвар" дээр нийлбэр нь мөн ялгааны "үсрэлтийн" дунд цэгүүдтэй тэнцүү байна.

Бэлэн. Функц нь өөрөө таамаглалаар зөвхөн хагас интервал дээр тодорхойлогддог бөгөөд мэдээжийн хэрэг интервал дээрх цувааны нийлбэртэй давхцаж байгааг сануулъя.

Хариулах:

Заримдаа хэсэгчлэн өгөгдсөн функц нь өргөтгөлийн хугацаанд үргэлжилдэг. Хамгийн энгийн жишээ: ... Шийдэл (Боханы 2-р ботийг үзнэ үү)өмнөх хоёр жишээтэй ижил байна: үл хамааран функцийн тасралтгүй байдалнэг цэг дээр Фурье коэффициент бүрийг хоёр интегралын нийлбэрээр илэрхийлнэ.

задралын интервалд 1-р төрлийн эвдрэлийн цэгүүдба / эсвэл графикийн "уулзвар" цэгүүд нь илүү их байж болно (хоёр, гурав, ерөнхийдөө аль ч финалтоо). Хэрэв функц нь хэсэг бүр дээр интегралдах боломжтой бол Фурье цувралд мөн өргөтгөх боломжтой. Гэхдээ практик туршлагаас харахад би ийм хатуу ширүүн байдгийг санахгүй байна. Гэсэн хэдий ч саяхан авч үзсэнээс илүү хэцүү даалгаврууд байгаа бөгөөд нийтлэлийн төгсгөлд хүн бүрт зориулсан Фурье цувралын нарийн төвөгтэй байдлыг нэмэгдүүлэх холбоосууд байдаг.

Энэ хооронд тайвширч, сандал дээр түшин, эцэс төгсгөлгүй оддын талаар эргэцүүлцгээе:

Жишээ 5

Функцийг Фурье цуваа дахь интервал дээр өргөтгөж, цувааны нийлбэрийг зур.

Энэ асуудалд функц Үргэлжилсэншийдлийг хялбаршуулдаг задралын хагас интервал дээр. Бүх зүйл №2 жишээтэй маш төстэй. Сансрын хөлгөөс зугтах зүйл алга - та шийдэх ёстой =) Хичээлийн төгсгөлд загвар дизайны загвар, хуваарийг хавсаргав.

Тэгш ба сондгой функцүүдийн Фурье цувралын өргөтгөл

Тэгш ба сондгой функцүүдийн тусламжтайгаар асуудлыг шийдвэрлэх үйл явц мэдэгдэхүйц хялбаршдаг. Тийм ч учраас. "Хоёр пи" үе дэх Фурье цуврал дахь функцийн өргөтгөл рүү буцъя. мөн дурын хугацаа "хоёр але" .

Бидний функц тэгш байна гэж үзье. Цувралын нийтлэг нэр томъёо нь таны харж байгаагаар тэгш косинус, сондгой синусыг агуулдаг. Хэрэв бид ТЭГШ функцийг өргөжүүлбэл яагаад сондгой синус хэрэгтэй байна вэ? Шаардлагагүй коэффициентийг тэглэе:.

Тиймээс, тэгш функцийг зөвхөн косинусаар Фурьегийн цуврал болгон өргөжүүлж болно:

Үүний хэрээр тэгш функцүүдийн интегралуудТэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй интеграцийн сегментийг хоёр дахин нэмэгдүүлэх боломжтой, дараа нь Фурьегийн бусад коэффициентийг мөн хялбаршуулна.

Хоосон зайны хувьд:

Дурын хугацааны хувьд:

Математикийн шинжилгээний бараг бүх сурах бичгээс олж болох сурах бичгийн жишээнд тэгш функцүүдийн задрал орно. ... Нэмж дурдахад тэд миний хувийн практикт олон удаа уулзаж байсан.

Жишээ 6

Функцийг өгсөн. Шаардлагатай:

1) дурын эерэг тоо байх үе бүхий Фурьегийн цувралд функцийг өргөжүүлэх;

2) тэлэлтийг интервал дээр бичиж, функц болон цувралын нийт нийлбэрийн графикийг байгуул.

Шийдэл: эхний догол мөрөнд асуудлыг ерөнхий хэлбэрээр шийдэхийг санал болгож байгаа бөгөөд энэ нь маш тохиромжтой! Хэрэгцээ гарч ирнэ - өөрийнхөө үнэ цэнийг орлуулахад л хангалттай.

1) Энэ асуудалд задралын хугацаа нь хагас үе юм. Цаашдын үйл ажиллагааны явцад, ялангуяа интеграцийн үед "el" нь тогтмол гэж тооцогддог

Функц нь тэгш бөгөөд энэ нь зөвхөн косинусуудад Фурье цуврал болгон өргөжүүлж болно гэсэн үг юм: .

Бид Фурье коэффициентийг томъёогоор хайдаг ... Тэдний болзолгүй ашиг тусыг анхаарч үзээрэй. Нэгдүгээрт, интеграци нь өргөтгөлийн эерэг сегмент дээр явагддаг бөгөөд энэ нь бид модулиас найдвартай ангижрах болно гэсэн үг юм. , хоёр ширхэгийн зөвхөн "X"-г авч үзвэл. Хоёрдугаарт, интеграци нь мэдэгдэхүйц хялбаршуулсан.

Хоёр:

Бид хэсэг хэсгээр нь нэгтгэдэг:

Тиймээс:
, энэ тохиолдолд "en" -ээс хамаарахгүй тогтмолыг нийлбэрийн хязгаараас гаргана.

Хариулах:

2) Бид өргөтгөлийг интервал дээр бичдэг бөгөөд үүний тулд шаардлагатай хагас хугацааны утгыг ерөнхий томъёонд орлуулна.

Ерөнхий мэргэжлийн боловсролын яам

Сочи улсын аялал жуулчлалын их сургууль

мөн амралтын газрын бизнес

Сурган хүмүүжүүлэх дээд сургууль

Математикийн факультет

Ерөнхий математикийн тэнхим

ТӨГСӨГЧИЙН АЖИЛ

Фурье цуврал ба тэдгээрийн хэрэглээ

Математик физикийн чиглэлээр.

Төгссөн: 5-р курсын оюутан

бүрэн цагийн гарын үсэг

Мэргэжил 010100

"Математик"

Касперова Н.С.

Оюутны картын дугаар 95471

Эрдэм шинжилгээний зөвлөх: дэд профессор, канд.

техникийн гарын үсэг шинжлэх ухаан

Позин П.А.

Сочи, 2000 он

1. Танилцуулга.

2. Фурье цувралын тухай ойлголт.

2.1. Фурье цувралын коэффициентийг тодорхойлох.

2.2. Тогтмол функцүүдийн интегралууд.

3. Фурье цувралын нийлмэл байдлын шалгуур.

3.1. Фурье цуврал дахь функцүүдийн өргөтгөлийн жишээ.

4. Фурье цуврал дахь үечилсэн функцийг өргөтгөх тухай тайлбар

5. Тэгш сондгой функцийн Фурье цуваа.

6. 2-р үетэй функцүүдийн Фурье цуваа л .

7. Үе үе бус функцийн Фурье цувралын өргөтгөл.

Танилцуулга.

Жан Батист Жозеф Фурье - Францын математикч, Парисын Шинжлэх ухааны академийн гишүүн (1817).

Фурьегийн анхны бүтээлүүд нь алгебртай холбоотой байв. 1796 онд лекц уншихдаа тэрээр өгөгдсөн хилийн хооронд орших алгебрийн тэгшитгэлийн бодит язгуурын тооны тухай теоремыг дэвшүүлсэн (1820 оны хэвлэл) түүний нэрээр нэрлэгдсэн; Алгебрийн тэгшитгэлийн бодит язгуурын тооны талаархи бүрэн шийдлийг 1829 онд Ж.Ш.Ф. Шуургагаар. 1818 онд Фурье 1768 онд Францын математикч Ж.Р.-ийн олж авсан ижил төстэй үр дүнгийн талаар мэдээгүй байсан Ньютоны боловсруулсан тэгшитгэлийн тоон шийдлийн аргыг хэрэглэх нөхцөлийн талаархи асуултыг судалжээ. Мурайлем. Фурьегийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх тоон аргын талаархи ажлын үр дүн нь нас барсны дараа 1831 онд хэвлэгдсэн "Тодорхой тэгшитгэлийн шинжилгээ" юм.

Фурьегийн судалгааны үндсэн чиглэл нь математик физик байв. 1807, 1811 онд тэрээр хатуу биет дэх дулаан тархалтын онолын талаархи анхны нээлтээ Парисын Шинжлэх ухааны академид танилцуулж, 1822 онд "Дулааны аналитик онол" хэмээх алдарт бүтээлээ хэвлүүлсэн нь математикийн дараагийн түүхэнд томоохон үүрэг гүйцэтгэсэн юм. Энэ бол дулаан дамжуулах математикийн онол юм. Аргын ерөнхий байдлын ачаар энэ ном нь математик физикийн орчин үеийн бүх аргуудын эх сурвалж болсон юм. Энэ ажилд Фурье дулаан дамжилтын дифференциал тэгшитгэлийг гаргаж, Д.Бернуллигийн өмнө дурдсан санааг боловсруулж, тодорхой өгөгдсөн хилийн нөхцлийн дагуу дулааны тэгшитгэлийг шийдвэрлэх хувьсагчдыг салгах аргыг (Фурьегийн арга) боловсруулж, үүнийгээ онцгой тохиолдлын тоо (шоо, цилиндр гэх мэт). Энэ арга нь функцуудыг тригонометрийн Фурье цувралаар дүрслэн харуулахад суурилдаг.

Фурье цуваа нь одоо хэсэгчилсэн дифференциал тэгшитгэлийн онолын хилийн бодлогын асуудлыг шийдвэрлэх сайн хөгжсөн хэрэгсэл болжээ.

1. Фурье цувралын тухай ойлголт.(х. 94, Уваренков)

Фурье цувралууд нь математикийн физик, уян хатан байдлын онол, цахилгаан инженерчлэл, ялангуяа тэдгээрийн онцгой тохиолдол болох тригонометрийн Фурье цувралд чухал үүрэг гүйцэтгэдэг.

Тригонометрийн цуваа нь хэлбэрийн цуваа юм

эсвэл бэлгэдлийн тэмдэглэгээ:

(1)

Энд ω, a 0, a 1,…, a n,…, b 0, b 1,…, b n,… нь тогтмол тоонууд (ω> 0).

Түүхийн хувьд физикийн зарим асуудлууд нь ийм цувралуудыг судлахад хүргэсэн, жишээлбэл, утаснуудын чичиргээний асуудал (18-р зуун), дулаан дамжилтын үзэгдлийн зүй тогтолын асуудал гэх мэт. Хэрэглээнд тригонометрийн цувааг авч үзэх , нь үндсэндээ y = ƒ (x) тэгшитгэлээр дүрслэгдсэн өгөгдсөн хөдөлгөөнийг илэрхийлэх асуудалтай холбоотой.

Хамгийн энгийн гармоник чичиргээний нийлбэрийн хэлбэрийг ихэвчлэн хязгааргүй их тоогоор авдаг, өөрөөр хэлбэл (1) хэлбэрийн цувралын нийлбэр хэлбэрээр авдаг.

Тиймээс бид дараахь асуудалд хүрнэ: өгөгдсөн интервал дээр өгөгдсөн ƒ (x) функцийн хувьд энэ интервал дээр энэ функцэд нийлэх цуврал (1) байгаа эсэхийг олж мэдээрэй. Хэрэв ингэх боломжтой бол ƒ (x) функцийг энэ интервал дээр тригонометрийн цуваагаар өргөтгөсөн гэж үзнэ.

Цуврал (1) нь функцүүдийн үечилсэн байдлаас шалтгаалан x 0 цэгт нийлдэг

(n = 1,2, ..), энэ нь хэлбэрийн бүх цэгүүдэд нийлдэг (m нь дурын бүхэл тоо) бөгөөд ингэснээр түүний S (x) нийлбэр нь (цувралын нийлэх мужид) a болно. үечилсэн функц: хэрэв S n ( x) нь энэ цувааны n-р хэсэгчилсэн нийлбэр бол бид байна

Тиймээс

, өөрөөр хэлбэл S (x 0 + T) = S (x 0). Иймд (1) хэлбэрийн цуваа дахь зарим ƒ (x) функцийг өргөтгөх тухай ярихдаа ƒ (x) нь үечилсэн функц гэж үзэх болно.

2. Цувралын коэффициентийг Фурье томъёогоор тодорхойлох.

2π үетэй ƒ (x) үечилсэн функцийг (-π, π) интервал дахь өгөгдсөн функцэд ойртож буй тригонометрийн цуваагаар дүрслэх, өөрөөр хэлбэл, энэ цувааны нийлбэр болно.

. (2)

Энэ тэгшитгэлийн зүүн талын функцийн интеграл нь энэ цувралын гишүүн орнуудын интегралуудын нийлбэртэй тэнцүү гэж бодъё. Хэрэв бид өгөгдсөн тригонометрийн цувааны коэффициентүүдээс бүрдэх тоон цуваа туйлын нийлдэг, өөрөөр хэлбэл эерэг тоон цуваа нийлдэг гэж үзвэл үүнийг хийх болно.

(3)

Цуврал (1) нь үндсэн шинж чанартай бөгөөд (-π, π) интервалд гишүүнээр нь нэгтгэж болно. Бид тэгш байдлын хоёр талыг нэгтгэдэг (2):

.

Баруун талын интеграл бүрийг тусад нь тооцоолъё.

, , .

Тиймээс,

, хаана . (4)

Фурье коэффициентийн тооцоо.(Бугров)

Теорем 1. 2π үеийн ƒ (x) функцийг тасралтгүй дериватив ƒ ( s) (x) дарааллын тэгш бус байдлыг бүхэлд нь бодит тэнхлэгт хангаж байна:

│ ƒ (s) (x) │≤ M s; (5)

дараа нь функцийн Фурье коэффициентүүд ƒ тэгш бус байдлыг хангана

(6)

Баталгаа. Хэсэг хэсгээр нэгтгэж, үүнийг харгалзан үзэх

ƒ (-π) = ƒ (π), бидэнд байна

ƒ ΄, ..., ƒ (s-1) деривативууд тасралтгүй бөгөөд t = -π ба t = цэгүүдэд ижил утгыг авна гэдгийг харгалзан (7) -ын баруун талыг дарааллаар нь нэгтгэх. π, түүнчлэн тооцоолол (5), бид эхний тооцоог (6) авна.

Хоёр дахь тооцоог (6) ижил төстэй аргаар олж авна.

Теорем 2. Фурье коэффициент ƒ (x) нь тэгш бус байдлыг хангана

(8)

Баталгаа. Бидэнд байгаа

Фурье цуваа нь тодорхой үетэй дурын функцийг цуваа хэлбэрээр дүрслэх явдал юм. Ерөнхийдөө энэ шийдлийг ортогональ суурь дээр элементийн өргөтгөл гэж нэрлэдэг. Фурье цувралын функцүүдийн өргөтгөл нь интеграцчлал, ялгах, түүнчлэн илэрхийлэлийг аргумент, эргэлтээр шилжүүлэх явцад энэхүү хувиргалтын шинж чанараас шалтгаалан янз бүрийн асуудлыг шийдвэрлэх нэлээд хүчирхэг хэрэгсэл юм.

Дээд математик, мөн Францын эрдэмтэн Фурьегийн бүтээлүүдийг мэддэггүй хүн ямар төрлийн "зэрэглэл" байдаг, юунд зориулагдсан болохыг ойлгохгүй байх магадлалтай. Үүний зэрэгцээ энэхүү өөрчлөлт нь бидний амьдралын нэлээд нягт хэсэг болсон. Үүнийг зөвхөн математикчид төдийгүй физикч, химич, эмч, одон орон судлаач, газар хөдлөлт судлаач, далай судлаачид болон бусад олон хүмүүс ашигладаг. Цаг хугацаанаасаа өмнө нээлт хийсэн Францын агуу эрдэмтний бүтээлүүдийг дэлгэрэнгүй сонирхоцгооё.

Хүн ба Фурьегийн өөрчлөлт

Фурье цуврал нь аргуудын нэг юм (шинжилгээ болон бусадтай хамт) Энэ үйл явц нь хүн дуу чимээ сонсох бүрт тохиолддог. Бидний чих нь янз бүрийн өндөртэй дууны түвшний дараалсан утгуудын эгнээнд (спектрийн дагуу) задардаг энгийн хэсгүүдийг уян харимхай орчинд автоматаар хувиргадаг. Цаашилбал, тархи энэ өгөгдлийг бидэнд танил болсон дуу болгон хувиргадаг. Энэ бүхэн бидний хүсэл тэмүүлэл эсвэл ухамсраас гадна өөрөө тохиолддог боловч эдгээр үйл явцыг ойлгохын тулд дээд математикийг судлахад хэдэн жил шаардагдана.

Фурье өөрчлөлтийн талаар дэлгэрэнгүй

Фурье хувиргалтыг аналитик, тоон болон бусад аргуудыг ашиглан хийж болно. Фурье цуврал нь далайн түрлэг, гэрлийн долгионоос эхлээд нарны (болон бусад одон орны объектуудын) үйл ажиллагааны мөчлөг хүртэлх аливаа хэлбэлзлийн үйл явцын тоон задралыг хэлнэ. Эдгээр математик аргуудыг ашигласнаар та ямар ч хэлбэлзлийн процессыг хамгийн багааас дээд тал руу буцах синусоид бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн цуваа болгон төлөөлүүлэн задлан шинжилж болно. Фурье хувиргалт нь синусоидуудын үе ба далайцыг тодорхой давтамжтайгаар тодорхойлдог функц юм. Энэ процессыг дулаан, гэрэл, цахилгаан энергийн нөлөөн дор явагдах динамик процессыг дүрсэлсэн маш нарийн төвөгтэй тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ашиглаж болно. Мөн Фурье цуврал нь нарийн төвөгтэй хэлбэлзлийн дохионы тогтмол бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг ялгах боломжийг олгодог бөгөөд үүний ачаар анагаах ухаан, хими, одон орон судлалын чиглэлээр олж авсан туршилтын ажиглалтыг зөв тайлбарлах боломжтой болсон.

Түүхийн лавлагаа

Энэ онолыг үндэслэгч нь Францын математикч Жан Батист Жозеф Фурье юм. Энэхүү өөрчлөлтийг түүний нэрээр нэрлэжээ. Эрдэмтэн эхэндээ дулаан дамжуулах механизм - хатуу биет дэх дулааны тархалтыг судлах, тайлбарлахдаа өөрийн аргыг ашигласан. Фурье анхны жигд бус тархалтыг хамгийн энгийн синусоид болгон задалж болно гэж санал болгосон бөгөөд тэдгээр нь тус бүр өөрийн температурын хамгийн бага ба максимум, мөн өөрийн үе шаттай байх болно. Түүнээс гадна ийм бүрэлдэхүүн хэсэг бүрийг хамгийн багадаа дээд тал руу нь хэмжинэ. Муруйн дээд ба доод оргилууд, түүнчлэн гармоник бүрийн үе шатыг тодорхойлдог математик функцийг температурын тархалтын илэрхийлэлийн Фурье хувиргалт гэж нэрлэдэг. Онолын зохиогч математикийн хувьд тайлбарлахад хэцүү ерөнхий тархалтын функцийг косинус ба синусын маш тохиромжтой цуврал болгон бууруулж, анхны тархалтыг өгсөн.

Өөрчлөлтийн зарчим ба орчин үеийн хүмүүсийн үзэл бодол

Эрдэмтний үе үеийнхэн - XIX зууны эхэн үеийн тэргүүлэх математикчид энэ онолыг хүлээн зөвшөөрөөгүй. Гол эсэргүүцэл нь шулуун эсвэл тасархай муруйг дүрсэлсэн тасархай функцийг үргэлжилсэн синусоид илэрхийллийн нийлбэр хэлбэрээр илэрхийлж болно гэсэн Фурьегийн нотолгоо байв. Жишээ болгон, Heaviside "алхам" -ыг авч үзье: түүний утга нь завсарын зүүн талд тэг, баруун талд нэг байна. Энэ функц нь хэлхээг хаах үед цахилгаан гүйдлийн цаг хугацааны хувьсагчаас хамаарах хамаарлыг тодорхойлдог. Тухайн үеийн онолын орчин үеийн хүмүүс тасалдалтай илэрхийлэл нь экспоненциал, синусоид, шугаман эсвэл квадрат гэх мэт тасралтгүй, энгийн функцүүдийн хослолоор дүрслэгдэх ижил төстэй нөхцөл байдалтай хэзээ ч тулгарч байгаагүй.

Францын математикчдыг Фурьегийн онолын талаар юу андуурсан бэ?

Эцсийн эцэст, хэрэв математикч хэлсэн үгэндээ зөв байсан бол хязгааргүй тригонометрийн Фурье цувралыг нэгтгэснээр ийм олон үе шаттай байсан ч алхам алхмаар илэрхийллийн яг тодорхой дүрслэлийг олж авах боломжтой. 19-р зууны эхэн үед ийм мэдэгдэл нь утгагүй мэт санагдаж байв. Гэхдээ бүх эргэлзээтэй байсан ч олон математикчид энэ үзэгдлийг судлах хүрээг өргөжүүлж, дулаан дамжилтын илтгэлцүүрийг судлах хүрээнээс хэтрүүлсэн. Гэсэн хэдий ч ихэнх эрдэмтэд "Синусоид цувааны нийлбэр нь тасархай функцийн яг утгад нийлж чадах уу?" Гэсэн асуултад зовж шаналж байв.

Фурье цувралын нэгдэл: жишээ

Хязгааргүй тооны цувралыг нэгтгэн дүгнэх шаардлагатай үед нэгдэх тухай асуулт гарч ирдэг. Энэ үзэгдлийг ойлгохын тулд сонгодог жишээг авч үзье. Хэрэв дараагийн алхам бүр өмнөхөөсөө хагастай тэнцүү байвал та хананд хүрч чадах болов уу? Та зорилтот цэгээс хоёр метрийн зайд байна гэж бодъё, эхний алхам нь таныг замын хагаст, дөрөвний гурвын дарааллаар ойртуулж, тавын дараа та замын бараг 97 хувийг туулах болно. Гэсэн хэдий ч та хичнээн алхам хийсэн ч хатуу математикийн утгаараа зорьсон зорилгодоо хүрч чадахгүй. Тоон тооцооллыг ашиглан эцэст нь дур мэдэн бага өгөгдсөн зайд ойртох боломжтой гэдгийг баталж чадна. Энэ нотолгоо нь хагас, дөрөвний нэг гэх мэт нийт үнэ цэнэ нь нэгдмэл байх болно гэдгийг нотлохтой тэнцүү юм.

Нэгтгэх асуулт: Хоёр дахь ирэлт буюу Лорд Келвиний төхөөрөмж

19-р зууны төгсгөлд Фурьегийн цувралыг урсацын эрчмийг урьдчилан таамаглахад ашиглахыг оролдох үед энэ асуулт дахин гарч ирэв. Энэ үеэр Лорд Келвин цэргийн болон худалдааны флотын далайчдад байгалийн энэ үзэгдлийг хянах боломжийг олгосон аналог тооцоолох төхөөрөмжийг зохион бүтээжээ. Энэхүү механизм нь тухайн боомтод жилийн турш анхааралтай хэмжсэн далайн түрлэгийн өндрийн хүснэгтээс үе шат ба далайцын багцыг тодорхойлж, тэдгээрийн харгалзах моментуудыг тодорхойлдог. Параметр бүр нь түрлэгийн өндрийн илэрхийллийн синусоид бүрэлдэхүүн хэсэг байсан бөгөөд ердийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн нэг байв. Хэмжилтийн үр дүнг Лорд Келвиний тооцоолуурт оруулсан бөгөөд энэ нь ирэх жилийн усны өндрийг цаг хугацааны функцээр урьдчилан таамагласан муруйг нэгтгэв. Тун удалгүй дэлхийн бүх боомтуудад ижил төстэй муруйг зурав.

Хэрэв процесс тасалдсан функцээр эвдэрсэн бол яах вэ?

Тухайн үед олон тооны тоолол бүхий далайн түрлэгийн долгионыг урьдчилан таамаглах хэрэгсэл нь олон тооны үе шат, далайцыг тооцоолж, илүү нарийвчлалтай таамаглал гаргаж чаддаг нь ойлгомжтой мэт санагдаж байв. Гэсэн хэдий ч синтез хийх ёстой түрлэгийн илэрхийлэл нь огцом үсрэлт агуулсан, өөрөөр хэлбэл тасалдсан тохиолдолд ийм хэв маяг ажиглагддаггүй нь тогтоогджээ. Хугацааны моментийн хүснэгтийн өгөгдлийг төхөөрөмжид оруулсан тохиолдолд хэд хэдэн Фурье коэффициентийг тооцдог. Синусоидын бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн ачаар анхны функц сэргээгддэг (олдсон коэффициентүүдийн дагуу). Анхны болон сэргээсэн илэрхийллийн хоорондох зөрүүг аль ч цэг дээр хэмжиж болно. Давтан тооцоо, харьцуулалт хийх үед хамгийн том алдааны утга буурахгүй байгаа нь харагдаж байна. Гэсэн хэдий ч тэдгээр нь тасалдсан цэгт харгалзах бүс нутагт нутагшсан бөгөөд бусад аль ч цэгт тэг хандлагатай байдаг. 1899 онд энэ үр дүнг Йелийн их сургуулийн Жошуа Виллард Гиббс онолын хувьд баталжээ.

Фурье цувралын нэгдэл ба математикийн ерөнхий хөгжил

Фурье шинжилгээ нь тодорхой интервалд хязгааргүй тооны тэсрэлт агуулсан илэрхийлэлд хамаарахгүй. Ерөнхийдөө Фурье цуваа, хэрэв анхны функцийг бодит физик хэмжилтийн үр дүнд дүрсэлсэн бол үргэлж нийлдэг. Энэ үйл явцыг функцүүдийн тодорхой ангилалд нэгтгэх асуултууд нь математикийн шинэ салбарууд, жишээлбэл, ерөнхий функцүүдийн онолууд гарч ирэхэд хүргэсэн. Энэ нь Л.Шварц, Ж.Микусинский, Ж.Темпл зэрэг нэртэй холбоотой. Энэхүү онолын хүрээнд Дирак дельта функц (энэ нь нэг цэгийн хязгааргүй жижиг хөршид төвлөрсөн нэг талбайн талбайг дүрсэлдэг) болон Хэвсайдын "алхам" гэх мэт илэрхийлэлд онолын тодорхой, нарийн үндэслэлийг бий болгосон. . Энэхүү ажлын ачаар Фурье цувралыг цэгийн цэнэг, цэгийн масс, соронзон диполь, түүнчлэн цацраг дээрх төвлөрсөн ачаалал гэх мэт мэдрэмжтэй ойлголтууд гарч ирдэг тэгшитгэл, асуудлыг шийдвэрлэхэд ашиглах боломжтой болсон.

Фурье арга

Интерференцийн зарчмын дагуу Фурье цуврал нь нарийн төвөгтэй хэлбэрийг илүү энгийн хэлбэр болгон задлахаас эхэлдэг. Жишээлбэл, дулааны урсгалын өөрчлөлтийг жигд бус хэлбэртэй дулаан тусгаарлагч материалаар хийсэн янз бүрийн саад тотгороор дамжин өнгөрөх эсвэл дэлхийн гадаргуугийн өөрчлөлт - газар хөдлөлт, селестиел биетийн тойрог замд өөрчлөлт орох зэргээр тайлбарладаг. гаригуудын нөлөө. Дүрмээр бол энгийн сонгодог системийг дүрсэлсэн ижил төстэй тэгшитгэлийг долгион бүрийн хувьд хялбархан шийдэж болно. Фурье энгийн шийдлүүдийг нэгтгэж, илүү төвөгтэй асуудлын шийдлийг олж авах боломжтой гэдгийг харуулсан. Математикийн хэлээр Фурье цуврал нь илэрхийлэлийг гармоник - косинус ба синусоидуудын нийлбэр хэлбэрээр илэрхийлэх арга юм. Тиймээс энэ шинжилгээг "гармоник анализ" гэж бас нэрлэдэг.

Фурье цуврал бол "компьютерийн эрин үе"-ийн өмнөх хамгийн тохиромжтой техник юм.

Компьютерийн технологийг бий болгохоос өмнө Фурье техник нь манай дэлхийн долгионы шинж чанартай ажиллахад эрдэмтдийн зэвсэглэлд байсан хамгийн шилдэг зэвсэг байсан. Фурьегийн цуврал нь нийлмэл хэлбэрээр Ньютоны механикийн хуулиудыг шууд хэрэглэхэд зориулагдсан энгийн асуудлуудыг төдийгүй үндсэн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх боломжийг олгодог. 19-р зууны Ньютоны шинжлэх ухааны ихэнх нээлтүүд зөвхөн Фурьегийн аргаар л боломжтой болсон.

Өнөөдөр Фурье цуврал

Компьютер хөгжихийн хэрээр Фурьегийн хувиргалт нь чанарын шинэ түвшинд гарсан. Энэхүү техник нь шинжлэх ухаан, технологийн бараг бүх салбарт бат бөх нэвтэрсэн. Жишээ нь дижитал аудио, видео юм. Үүнийг хэрэгжүүлэх нь 19-р зууны эхээр Францын математикчийн боловсруулсан онолын ачаар л боломжтой болсон. Ийнхүү Фурье цуврал нь нарийн төвөгтэй хэлбэрээр сансар огторгуйн судалгаанд нээлт хийх боломжтой болсон. Үүнээс гадна хагас дамжуулагч материал ба плазмын физик, богино долгионы акустик, далай судлал, радар, газар хөдлөлт судлалын судалгаанд нөлөөлсөн.

Тригонометрийн Фурье цуврал

Математикийн хувьд Фурьегийн цуваа нь дурын нийлмэл функцийг энгийн функцүүдийн нийлбэрээр илэрхийлэх арга юм. Ерөнхийдөө ийм илэрхийллийн тоо хязгааргүй байж болно. Түүгээр ч зогсохгүй тэдний тоог тооцоололд харгалзан үзэх тусам эцсийн үр дүнг илүү нарийвчлалтай авах болно. Ихэнхдээ тригонометрийн косинус эсвэл синус функцийг хамгийн энгийн функц болгон ашигладаг. Энэ тохиолдолд Фурье цувааг тригонометр гэж нэрлэдэг ба ийм илэрхийллийн шийдлийг гармоник тэлэлт гэж нэрлэдэг. Энэ арга нь математикт чухал үүрэг гүйцэтгэдэг. Юуны өмнө тригонометрийн цуваа нь дүрслэх хэрэгсэл болохоос гадна функцийг судлах боломжийг олгодог бөгөөд энэ нь онолын үндсэн аппарат юм. Үүнээс гадна математикийн физикийн хэд хэдэн асуудлыг шийдэх боломжийг танд олгоно. Эцэст нь энэ онол нь хөгжилд хувь нэмэр оруулж, математикийн шинжлэх ухааны хэд хэдэн маш чухал салбаруудыг (интегралын онол, үечилсэн функцийн онол) бий болгосон. Нэмж дурдахад энэ нь бодит хувьсагчийн дараах функцуудыг хөгжүүлэх эхлэлийн цэг болж, гармоник шинжилгээний үндэс суурийг тавьсан юм.

Тэдгээрийг бүрэлдэхүүн хэсгүүдэд хуваах замаар функцийг гүйцэтгэдэг. Хувьсах гүйдэл ба хүчдэл, шилжилт хөдөлгөөн, эргэлтийн хурд ба хурдатгал, акустик долгион нь инженерийн тооцоололд үечилсэн функцийг ашиглах ердийн практик жишээ юм.

Фурье цувралын өргөтгөл нь -π ≤x≤ π интервал дахь практик ач холбогдолтой бүх функцийг нийлэх тригонометрийн цуваа хэлбэрээр илэрхийлж болно гэсэн таамаглал дээр суурилдаг (хэрэв түүний гишүүдээс бүрдсэн хэсэгчилсэн нийлбэрүүдийн дараалал бол цувралыг нийлсэн гэж үзнэ. нийлдэг):

Sinx болон cosx-ийн нийлбэрээр дамжуулан стандарт (= хэвийн) тэмдэглэгээ

f (x) = a o + a 1 cosx + a 2 cos2x + a 3 cos3x + ... + b 1 sinx + b 2 sin2x + b 3 sin3x + ...,

Энд a o, a 1, a 2, ..., b 1, b 2, .. нь бодит тогтмолууд, өөрөөр хэлбэл.

Энд -π-ээс π хүртэлх мужид Фурье цувралын коэффициентийг дараах томъёогоор тооцоолно.

a o, a n, b n коэффициентүүдийг нэрлэнэ Фурье коэффициентүүд, хэрэв тэдгээрийг олж чадвал (1) цувралыг дуудна Фурьегийн хажууд, f (x) функцтэй харгалзах. (1) цувралын хувьд (a 1 cosx + b 1 sinx) нэр томъёог эхний буюу гэж нэрлэдэг үндсэн гармоник,

Цуврал бичих өөр нэг арга бол acosx + bsinx = csin (x + α) харьцааг ашиглах явдал юм.

f (x) = a o + c 1 sin (x + α 1) + c 2 sin (2x + α 2) + ... + c n син (nx + α n)

Энд ao нь тогтмол бөгөөд 1 = (a 1 2 + b 1 2) 1/2, n = (an 2 + bn 2) 1/2 нь янз бүрийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн далайц бөгөөд a = arctan an-тай тэнцүү байна. / б н.

(1) цувралын хувьд (a 1 cosx + b 1 sinx) эсвэл c 1 sin (x + α 1) нэр томъёог эхний буюу үндсэн гармоник,(a 2 cos2x + b 2 sin2x) эсвэл c 2 sin (2x + α 2) гэж нэрлэдэг хоёр дахь гармоникгэх мэт.

Нарийн төвөгтэй дохиог үнэн зөв илэрхийлэхийн тулд хязгааргүй тооны нэр томъёо шаардлагатай байдаг. Гэсэн хэдий ч олон практик асуудалд зөвхөн эхний хэдэн нэр томъёог авч үзэх нь хангалттай юм.

2π үетэй үечилсэн бус функцүүдийн Фурье цуваа.

Фурье цуврал дахь үечилсэн бус функцүүдийн өргөтгөл.

Хэрэв f (x) функц нь үечилсэн бус байвал x-ийн бүх утгын хувьд үүнийг Фурье цувралд өргөтгөх боломжгүй. Гэсэн хэдий ч та ямар ч 2π өргөн хүрээний функцийг төлөөлөх Фурье цувралыг тодорхойлж болно.

Хэрэв үечилсэн бус функцийг зааж өгсөн бол та тодорхой муж дахь f (x) утгыг авч, 2π интервалаар энэ мужаас гадуур давтах замаар шинэ функц үүсгэж болно. Шинэ функц нь 2π-ийн үетэй үе үе байдаг тул x-ийн бүх утгыг Фурье цувралд өргөжүүлж болно. Жишээлбэл, f (x) = x функц нь үечилсэн биш юм. Гэсэн хэдий ч хэрэв үүнийг o-оос 2π хүртэлх зайд Фурьегийн цувралд өргөтгөх шаардлагатай бол энэ интервалаас гадуур 2π үетэй үечилсэн функцийг байгуулна (доорх зурагт үзүүлэв).

f (x) = x гэх мэт үечилсэн бус функцүүдийн хувьд Фурье цувааны нийлбэр нь өгөгдсөн муж дахь бүх цэг дэх f (x) -ийн утгатай тэнцүү боловч цэгүүдийн хувьд f (x) -тэй тэнцүү биш юм. хүрээнээс гадуур. 2π муж дахь үечилсэн бус функцийн Фурье цувааг олохын тулд Фурьегийн коэффициентүүдийн ижил томъёог ашиглана.

Тэгш ба сондгой функцууд.

Тэд y = f (x) функцийг хэлдэг. бүрХэрэв x-ийн бүх утгын хувьд f (-x) = f (x) байвал. Тэгш функцуудын графикууд нь y тэнхлэгт үргэлж тэгш хэмтэй байдаг (өөрөөр хэлбэл, тэдгээр нь толин тусгалтай байдаг). Тэгш функцийн хоёр жишээ: y = x 2 ба y = cosx.

y = f (x) функцийг гэнэ хачин,хэрэв f (-x) = - f (x) бол x-ийн бүх утгын хувьд. Хачирхалтай функцийн графикууд нь гарал үүслийн хувьд үргэлж тэгш хэмтэй байдаг.

Олон функц тэгш, сондгой ч биш.

Косинус дахь Фурье тэлэлт.

2π хугацаатай тэгш үечилсэн функцийн Фурьегийн цуврал f (x) нь зөвхөн косинустай гишүүдийг (өөрөөр хэлбэл, синустай гишүүнчлэлийг агуулаагүй) бөгөөд тогтмол гишүүнийг агуулж болно. Тиймээс,

Фурье цувралын коэффициентүүд,

2π хугацаатай f (x) сондгой үечилсэн функцийн Фурье цувралд зөвхөн синустай гишүүн (өөрөөр хэлбэл косинустай гишүүнчлэл агуулаагүй) орно.

Тиймээс,

Фурье цувралын коэффициентүүд,

Хагас мөчлөгийн Фурье цуврал.

Хэрэв функц нь зөвхөн 0-ээс 2π хүртэл биш 0-ээс π хүртэлх мужид тодорхойлогдсон бол түүнийг зөвхөн синус эсвэл зөвхөн косинусын цуваагаар өргөжүүлж болно. Үр дүнд нь Фурье цувааг нэрлэнэ Хагас мөчлөгийн үед Фурьегийн дэргэд.

Хэрэв та задрал авахыг хүсч байвал Косинус дахь Фурье хагас мөчлөг f (x) функц 0-ээс π хүртэлх зайд байвал тэгш үечилсэн функц зохиох шаардлагатай. Зураг дээр. f (x) = x функцийг x = 0-ээс x = π хүртэлх интервал дээр зурсан доор үзүүлэв. Тэгш функц нь f (x) тэнхлэгт тэгш хэмтэй байдаг тул бид Зураг дээр үзүүлсэн шиг AB шугамыг зурна. доор. Хэрэв бид авч үзсэн интервалаас гадуур үүссэн гурвалжин хэлбэр нь 2π-ийн үетэй үе үе байна гэж үзвэл эцсийн график нь харуулсан хэлбэртэй байна. Зураг дээр. доор. Косинус дахь Фурье тэлэлтийг олж авах шаардлагатай тул өмнөх шигээ Фурьегийн a o ба a n коэффициентийг тооцоолно.

Хэрэв 0-ээс π хүртэлх зайд f (x) функцийг авах шаардлагатай бол сондгой үечилсэн функц зохиох шаардлагатай. Зураг дээр. f (x) = x функцийг x = 0-ээс x = π хүртэлх интервал дээр зурсан доор үзүүлэв. Сондгой функц нь гарал үүслийн хувьд тэгш хэмтэй байдаг тул бид CD шугамыг зурж, Зураг дээр үзүүлэв. Хэрэв бид авч үзсэн интервалаас гадуур хүлээн авсан хөрөөний дохио нь 2π-ийн үетэй үе үе байна гэж үзвэл эцсийн график нь Зураг дээр үзүүлсэн хэлбэртэй байна. Фурье задралыг синусын хагас хугацаанд авах шаардлагатай тул өмнөх шигээ Фурьегийн коэффициентийг тооцоолно. б

Дурын интервалд зориулсан Фурье цуврал.

L үетэй үечилсэн функцийг өргөтгөх.

Тогтмол функц f (x) нь x нь L-ээр нэмэгдэхэд давтагдана, i.e. f (x + L) = f (x). Өмнө нь авч үзсэн 2π хугацаатай функцээс L үетэй функц руу шилжих нь хувьсагчийг өөрчлөх замаар хийх боломжтой тул маш энгийн.

-L / 2≤x≤L / 2 муж дахь f (x) функцийн Фурьегийн цувааг олохын тулд f (x) функц нь u-тай харьцуулахад 2π үетэй байхаар шинэ u хувьсагчийг оруулав. Хэрэв u = 2πx / L бол u = -π хувьд x = -L / 2, u = π хувьд x = L / 2 байна. Мөн f (x) = f (Lu / 2π) = F (u) гэж үзье. Фурье цуврал F (u) хэлбэртэй байна

Фурье цувралын коэффициентүүд хаана байна вэ?

Гэсэн хэдий ч дээрх томъёо нь ихэвчлэн x-ээс хамааралтай байдаг. u = 2πх / L тул du = (2π / L) dx, интегралын хязгаар нь - π-аас π-ийн оронд -L / 2-оос L / 2 байна гэсэн үг юм. Үүний үр дүнд х-ээс хамаарах Фурье цуврал нь хэлбэртэй байна

Фурье цувралын коэффициентүүд -L / 2-оос L / 2 хооронд байна.

(Интегралчлалын хязгаарыг L урттай дурын интервалд, жишээлбэл, 0-ээс L хүртэл өөрчилж болно)

L ≠ 2π интервалд тодорхойлсон функцүүдийн хагас үеийн Фурье цуваа.

u = πх / L орлуулалтын хувьд x = 0-ээс x = L хүртэлх интервал нь u = 0-ээс u = π хүртэлх интервалтай тохирч байна. Тиймээс функцийг зөвхөн косинусууд эсвэл зөвхөн синусуудаар цувралаар өргөжүүлж болно, i.e. v хагас мөчлөгийн Фурье цуврал.

0-ээс L хүртэлх косинусын тэлэлт нь хэлбэртэй байна

2π хугацаатай үечилсэн функцүүдийн Фурье цуврал.

Фурье цуврал нь үечилсэн функцийг бүрэлдэхүүн хэсгүүдэд задлах замаар судлах боломжийг олгодог. Хувьсах гүйдэл ба хүчдэл, шилжилт хөдөлгөөн, эргэлтийн хурд ба хурдатгал, акустик долгион нь инженерийн тооцоололд үечилсэн функцийг ашиглах ердийн практик жишээ юм.

Фурье цувралын өргөтгөл нь -π ≤x≤ π интервал дахь практик ач холбогдолтой бүх функцийг нийлэх тригонометрийн цуваа хэлбэрээр илэрхийлж болно гэсэн таамаглал дээр суурилдаг (хэрэв түүний гишүүдээс бүрдсэн хэсэгчилсэн нийлбэрүүдийн дараалал бол цувралыг нийлсэн гэж үзнэ. нийлдэг):

Sinx болон cosx-ийн нийлбэрээр дамжуулан стандарт (= хэвийн) тэмдэглэгээ

f (x) = a o + a 1 cosx + a 2 cos2x + a 3 cos3x + ... + b 1 sinx + b 2 sin2x + b 3 sin3x + ...,

Энд a o, a 1, a 2, ..., b 1, b 2, .. нь бодит тогтмолууд, өөрөөр хэлбэл.

Энд -π-ээс π хүртэлх мужид Фурье цувралын коэффициентийг дараах томъёогоор тооцоолно.

a o, a n, b n коэффициентүүдийг нэрлэнэ Фурье коэффициентүүд, хэрэв тэдгээрийг олж чадвал (1) цувралыг дуудна Фурьегийн хажууд, f (x) функцтэй харгалзах. (1) цувралын хувьд (a 1 cosx + b 1 sinx) нэр томъёог эхний буюу гэж нэрлэдэг үндсэн гармоник,

Цуврал бичих өөр нэг арга бол acosx + bsinx = csin (x + α) харьцааг ашиглах явдал юм.

f (x) = a o + c 1 sin (x + α 1) + c 2 sin (2x + α 2) + ... + c n син (nx + α n)

Энд ao нь тогтмол бөгөөд 1 = (a 1 2 + b 1 2) 1/2, n = (an 2 + bn 2) 1/2 нь янз бүрийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн далайц бөгөөд a = arctan an-тай тэнцүү байна. / б н.

(1) цувралын хувьд (a 1 cosx + b 1 sinx) эсвэл c 1 sin (x + α 1) нэр томъёог эхний буюу үндсэн гармоник,(a 2 cos2x + b 2 sin2x) эсвэл c 2 sin (2x + α 2) гэж нэрлэдэг хоёр дахь гармоникгэх мэт.

Нарийн төвөгтэй дохиог үнэн зөв илэрхийлэхийн тулд хязгааргүй тооны нэр томъёо шаардлагатай байдаг. Гэсэн хэдий ч олон практик асуудалд зөвхөн эхний хэдэн нэр томъёог авч үзэх нь хангалттай юм.

2π үетэй үечилсэн бус функцүүдийн Фурье цуваа.

Тогтмол бус функцүүдийн задрал.

Хэрэв f (x) функц нь үечилсэн бус байвал x-ийн бүх утгын хувьд үүнийг Фурье цувралд өргөтгөх боломжгүй. Гэсэн хэдий ч та ямар ч 2π өргөн хүрээний функцийг төлөөлөх Фурье цувралыг тодорхойлж болно.

Хэрэв үечилсэн бус функцийг зааж өгсөн бол та тодорхой муж дахь f (x) утгыг авч, 2π интервалаар энэ мужаас гадуур давтах замаар шинэ функц үүсгэж болно. Шинэ функц нь 2π-ийн үетэй үе үе байдаг тул x-ийн бүх утгыг Фурье цувралд өргөжүүлж болно. Жишээлбэл, f (x) = x функц нь үечилсэн биш юм. Гэсэн хэдий ч хэрэв үүнийг o-оос 2π хүртэлх зайд Фурьегийн цувралд өргөтгөх шаардлагатай бол энэ интервалаас гадуур 2π үетэй үечилсэн функцийг байгуулна (доорх зурагт үзүүлэв).

f (x) = x гэх мэт үечилсэн бус функцүүдийн хувьд Фурье цувааны нийлбэр нь өгөгдсөн муж дахь бүх цэг дэх f (x) -ийн утгатай тэнцүү боловч цэгүүдийн хувьд f (x) -тэй тэнцүү биш юм. хүрээнээс гадуур. 2π муж дахь үечилсэн бус функцийн Фурье цувааг олохын тулд Фурьегийн коэффициентүүдийн ижил томъёог ашиглана.

Тэгш ба сондгой функцууд.

Тэд y = f (x) функцийг хэлдэг. бүрХэрэв x-ийн бүх утгын хувьд f (-x) = f (x) байвал. Тэгш функцуудын графикууд нь y тэнхлэгт үргэлж тэгш хэмтэй байдаг (өөрөөр хэлбэл, тэдгээр нь толин тусгалтай байдаг). Тэгш функцийн хоёр жишээ: y = x 2 ба y = cosx.

y = f (x) функцийг гэнэ хачин,хэрэв f (-x) = - f (x) бол x-ийн бүх утгын хувьд. Хачирхалтай функцийн графикууд нь гарал үүслийн хувьд үргэлж тэгш хэмтэй байдаг.

Олон функц тэгш, сондгой ч биш.

Косинус дахь Фурье тэлэлт.

2π хугацаатай тэгш үечилсэн функцийн Фурьегийн цуврал f (x) нь зөвхөн косинустай гишүүдийг (өөрөөр хэлбэл, синустай гишүүнчлэлийг агуулаагүй) бөгөөд тогтмол гишүүнийг агуулж болно. Тиймээс,

Фурье цувралын коэффициентүүд,

2π хугацаатай f (x) сондгой үечилсэн функцийн Фурье цувралд зөвхөн синустай гишүүн (өөрөөр хэлбэл косинустай гишүүнчлэл агуулаагүй) орно.

Тиймээс,

Фурье цувралын коэффициентүүд,

Хагас мөчлөгийн Фурье цуврал.

Хэрэв функц нь зөвхөн 0-ээс 2π хүртэл биш 0-ээс π хүртэлх мужид тодорхойлогдсон бол түүнийг зөвхөн синус эсвэл зөвхөн косинусын цуваагаар өргөжүүлж болно. Үр дүнд нь Фурье цувааг нэрлэнэ Хагас мөчлөгийн үед Фурьегийн дэргэд.

Хэрэв та задрал авахыг хүсч байвал Косинус дахь Фурье хагас мөчлөг f (x) функц 0-ээс π хүртэлх зайд байвал тэгш үечилсэн функц зохиох шаардлагатай. Зураг дээр. f (x) = x функцийг x = 0-ээс x = π хүртэлх интервал дээр зурсан доор үзүүлэв. Тэгш функц нь f (x) тэнхлэгт тэгш хэмтэй байдаг тул бид Зураг дээр үзүүлсэн шиг AB шугамыг зурна. доор. Хэрэв бид авч үзсэн интервалаас гадуур үүссэн гурвалжин хэлбэр нь 2π-ийн үетэй үе үе байна гэж үзвэл эцсийн график нь харуулсан хэлбэртэй байна. Зураг дээр. доор. Косинус дахь Фурье тэлэлтийг олж авах шаардлагатай тул өмнөх шигээ Фурьегийн a o ба a n коэффициентийг тооцоолно.

Хэрэв та авахыг хүсвэл хагас мөчлөгийн синус дахь Фурье задрал f (x) функц 0-ээс π хүртэлх зайд байвал сондгой үечилсэн функц зохиох шаардлагатай. Зураг дээр. f (x) = x функцийг x = 0-ээс x = π хүртэлх интервал дээр зурсан доор үзүүлэв. Сондгой функц нь гарал үүслийн хувьд тэгш хэмтэй байдаг тул бид CD шугамыг зурж, Зураг дээр үзүүлэв. Хэрэв бид авч үзсэн интервалаас гадуур хүлээн авсан хөрөөний дохио нь 2π-ийн үетэй үе үе байна гэж үзвэл эцсийн график нь Зураг дээр үзүүлсэн хэлбэртэй байна. Фурье задралыг синусын хагас хугацаанд авах шаардлагатай тул өмнөх шигээ Фурьегийн коэффициентийг тооцоолно. б

Дурын интервалд зориулсан Фурье цуврал.

L үетэй үечилсэн функцийг өргөтгөх.

Тогтмол функц f (x) нь x нь L-ээр нэмэгдэхэд давтагдана, i.e. f (x + L) = f (x). Өмнө нь авч үзсэн 2π хугацаатай функцээс L үетэй функц руу шилжих нь хувьсагчийг өөрчлөх замаар хийх боломжтой тул маш энгийн.

-L / 2≤x≤L / 2 муж дахь f (x) функцийн Фурьегийн цувааг олохын тулд f (x) функц нь u-тай харьцуулахад 2π үетэй байхаар шинэ u хувьсагчийг оруулав. Хэрэв u = 2πx / L бол u = -π хувьд x = -L / 2, u = π хувьд x = L / 2 байна. Мөн f (x) = f (Lu / 2π) = F (u) гэж үзье. Фурье цуврал F (u) хэлбэртэй байна

(Интегралчлалын хязгаарыг L урттай дурын интервалд, жишээлбэл, 0-ээс L хүртэл өөрчилж болно)

L ≠ 2π интервалд тодорхойлсон функцүүдийн хагас үеийн Фурье цуваа.

u = πх / L орлуулалтын хувьд x = 0-ээс x = L хүртэлх интервал нь u = 0-ээс u = π хүртэлх интервалтай тохирч байна. Тиймээс функцийг зөвхөн косинусууд эсвэл зөвхөн синусуудаар цувралаар өргөжүүлж болно, i.e. v хагас мөчлөгийн Фурье цуврал.

0-ээс L хүртэлх косинусын тэлэлт нь хэлбэртэй байна