Шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн системийг шийдвэрлэх. Шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн системийн шийдлүүдийн үндсэн багц

Та асуудлаа шийдэх нарийвчилсан шийдлийг захиалж болно !!!

Юу болохыг ойлгохын тулд үндсэн шийдвэрийн системТа товшиж ижил жишээний видео хичээлийг үзэж болно. Одоо шаардлагатай бүх ажлын бодит тайлбар руу шилжье. Энэ нь энэ асуудлын мөн чанарыг илүү нарийвчлан ойлгоход тусална.

Шугаман тэгшитгэлийн шийдлийн үндсэн системийг хэрхэн олох вэ?

Жишээлбэл, дараахь шугаман тэгшитгэлийн системийг авч үзье.

Энэ шугаман тэгшитгэлийн системийн шийдийг олцгооё. Эхлэхийн тулд бид системийн коэффициентүүдийн матрицыг бичих шаардлагатай.

Энэ матрицыг гурвалжин болгон хувиргацгаая.Бид эхний мөрийг өөрчлөлтгүйгээр дахин бичдэг. Мөн $ a_ (11) $ -аас доош байгаа бүх элементүүдийг тэг болгох ёстой. $ a_ (21) $ элементийн оронд тэг болгохын тулд хоёр дахь мөрөөс эхнийхийг хасаад, хоёр дахь мөрөнд зөрүүг бичнэ. $ a_ (31) $ элементийн оронд тэг болгохын тулд 3 дахь мөрөнд эхнийхийг хасаад зөрүүг 3 дахь мөрөнд бичнэ. $ a_ (41) $ элементийн оронд тэг болгохын тулд дөрөв дэх мөрөнд эхний үржвэрийг 2-оор үржүүлж хасаад зөрүүг дөрөв дэх мөрөнд бичнэ. $ a_ (31) $ элементийн оронд тэг болгохын тулд тав дахь мөрөнд эхний үржвэрийг 2-оор үржүүлж хасаад зөрүүг тав дахь мөрөнд бичнэ.

Бид эхний болон хоёр дахь мөрийг өөрчлөлтгүйгээр дахин бичдэг. Мөн $ a_ (22) $ -аас доош байгаа бүх элементүүдийг тэг болгох ёстой. $ a_ (32) $ элементийн оронд тэг болгохын тулд гурав дахь мөрөнд хоёр дахь үржвэрийг 2-оор үржүүлж хасаад зөрүүг гурав дахь мөрөнд бичнэ. $ a_ (42) $ элементийн оронд тэг болгохын тулд дөрөв дэх мөрөнд хоёр дахь үржвэрийг 2-оор үржүүлж хасаад зөрүүг дөрөв дэх мөрөнд бичнэ. $ a_ (52) $ элементийн оронд тэг болгохын тулд тав дахь мөрөнд хоёр дахь үржвэрийг 3-аар үржүүлж хасаад зөрүүг тав дахь мөрөнд бичнэ.

Бид үүнийг харж байна сүүлийн гурван мөр ижил байна, тиймийн тул, хэрэв та дөрөв ба тав дахь гурав дахь хэсгийг хасвал тэдгээр нь тэг болно.

Энэ матрицын дагуу тэгшитгэлийн шинэ системийг бичнэ.

Бидэнд зөвхөн гурван шугаман бие даасан тэгшитгэл, таван үл мэдэгдэх тэгшитгэл байгаа тул шийдлийн үндсэн систем нь хоёр вектороос бүрдэнэ. Тэгэхээр бид та сүүлийн хоёр үл мэдэгдэх зүйлийг баруун тийш шилжүүлэх хэрэгтэй.

Одоо бид зүүн талд байгаа үл мэдэгдэх зүйлсийг баруун талд байгаа хүмүүсээр дамжуулан илэрхийлж эхэлнэ. Бид хамгийн сүүлийн тэгшитгэлээс эхэлж, эхлээд $ x_3 $-г илэрхийлж, дараа нь олж авсан үр дүнг хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулж, $ x_2 $, дараа нь эхний тэгшитгэлд $ x_1 $ илэрхийлнэ. Тиймээс бид зүүн талын үл мэдэгдэх бүх зүйлийг баруун талд байгаа үл мэдэгдэх зүйлсээр илэрхийлдэг.

Үүний дараа $ x_4 $, $ x_5 $-ын оронд бид дурын тоог орлуулж $ x_1 $, $ x_2 $, $ x_3 $-г олох боломжтой. Эдгээр таван тоо тус бүр нь бидний анхны тэгшитгэлийн системийн үндэс болно. Үүнд багтсан векторуудыг олох FSRбид $ x_4 $-ын оронд 1-ийг орлуулах, $ x_5 $-ын оронд 0-г орлуулах, $ x_1 $, $ x_2 $ ба $ x_3 $-г олох, дараа нь эсрэгээр $ x_4 = 0 $ ба $ x_5 = 1 $ -ийг олох хэрэгтэй.

Бүх чөлөөт гишүүд нь тэгтэй тэнцүү шугаман тэгшитгэлийн системийг нэрлэдэг нэгэн төрлийн :

Аливаа нэгэн төрлийн систем нь үргэлж эзэмшдэг тул үргэлж нийцдэг тэг (өчүүхэн ) шийдэл. Нэг төрлийн систем ямар нөхцөлд энгийн шийдэлтэй байх вэ гэдэг асуулт гарч ирнэ.

Теорем 5.2.Нэг төрлийн систем нь үндсэн матрицын зэрэглэл нь түүний үл мэдэгдэх тооноос бага тохиолдолд л чухал бус шийдэлтэй байдаг.

Үр дагавар... Квадрат нэгэн төрлийн систем нь системийн үндсэн матрицын тодорхойлогч нь 0-тэй тэнцүү биш тохиолдолд л чухал бус шийдэлтэй байдаг.

Жишээ 5.6.Системд чухал бус шийдлүүд байгаа l параметрийн утгыг тодорхойлж, эдгээр шийдлүүдийг ол.

Шийдэл... Үндсэн матрицын тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байх үед энэ систем нь чухал биш шийдэлтэй байх болно.

Тиймээс l = 3 эсвэл l = 2 үед систем нь чухал биш юм. l = 3-ын хувьд системийн үндсэн матрицын зэрэглэл нь 1. Дараа нь зөвхөн нэг тэгшитгэл үлдээж, гэж үзнэ. y=аболон z=б, бид авдаг x = b-a, өөрөөр хэлбэл

l = 2-ын хувьд системийн үндсэн матрицын зэрэглэл нь 2. Дараа нь минорыг суурь болгон сонговол:

Бид хялбаршуулсан системийг авдаг

Үүнээс бид үүнийг олж мэднэ x = z/4, y = z/ 2. Таамаглаж байна z=4а, бид авдаг

Нэг төрлийн системийн бүх шийдлүүдийн багц нь маш чухал ач холбогдолтой юм шугаман шинж чанар : X баганууд бол 1 болон X 2 - нэгэн төрлийн системийн шийдлүүд AX = 0, дараа нь тэдгээрийн дурын шугаман хослола X 1 + б X 2 мөн энэ системийн шийдэл байх болно... Үнэхээр тэр цагаас хойш АХ 1 = 0 болон АХ 2 = 0 , дараа нь А(а X 1 + б X 2) = a АХ 1 + б АХ 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Энэ шинж чанараараа шугаман системд нэгээс олон шийдэл байвал эдгээр шийдлүүд хязгааргүй олон байх болно.

Шугаман бие даасан баганууд Э 1 , Э 2 , Э кнэгэн төрлийн системийн шийдлүүд гэж нэрлэдэг үндсэн шийдвэрийн систем шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн систем, хэрэв энэ системийн ерөнхий шийдлийг эдгээр баганын шугаман хослолоор бичиж болох юм бол:

Хэрэв нэгэн төрлийн систем байвал nхувьсагч ба системийн үндсэн матрицын зэрэглэл нь байна r, дараа нь к = n-r.

Жишээ 5.7.Дараах шугаман тэгшитгэлийн системийн шийдлийн үндсэн системийг ол.

Шийдэл... Системийн үндсэн матрицын зэрэглэлийг олцгооё.

Ийнхүү энэ тэгшитгэлийн системийн шийдлүүдийн багц нь хэмжээсийн шугаман дэд орон зайг бүрдүүлдэг n - r= 5 - 2 = 3. Үндсэн минорыг сонгоно

.

Дараа нь зөвхөн үндсэн тэгшитгэлүүд (үлдсэн хэсэг нь эдгээр тэгшитгэлүүдийн шугаман хослол байх болно) болон үндсэн хувьсагчдыг (үлдсэн хэсэг нь чөлөөт хувьсагч гэж нэрлэдэг, бид баруун тийш шилждэг) үлдээж, хялбаршуулсан тэгшитгэлийн системийг авна.

Таамаглаж байна х 3 = а, х 4 = б, х 5 = в, бид олдог

, .

Таамаглаж байна а= 1, b = c= 0, бид эхний үндсэн шийдлийг олж авна; гэж таамаглаж байна б= 1, a = c= 0, бид хоёр дахь үндсэн шийдлийг авна; гэж таамаглаж байна в= 1, a = b= 0, бид гурав дахь үндсэн шийдлийг олж авна. Үүний үр дүнд ердийн үндсэн шийдвэрийн тогтолцоо хэлбэрийг олж авдаг

Үндсэн системийг ашиглан нэгэн төрлийн системийн ерөнхий шийдлийг хэлбэрээр бичиж болно

X = aE 1 + bE 2 + cE 3. а

Шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн бус системийн шийдлүүдийн зарим шинж чанарыг тэмдэглэе AX = Bба тэдгээрийн харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн системтэй хамаарал AX = 0.

Гетероген системийн ерөнхий шийдэлхаргалзах нэгэн төрлийн системийн ерөнхий шийд AX = 0 ба нэгэн төрлийн бус системийн дурын тусгай шийдийн нийлбэртэй тэнцүү байна.... Нээрээ л байя Ю 0 нь нэгэн төрлийн бус системийн дурын тодорхой шийдэл, i.e. AY 0 = Б, ба Ю- гетероген системийн ерөнхий шийдэл, өөрөөр хэлбэл. AY = B... Нэг тэгшитгэлийг нөгөөгөөсөө хасвал бид олж авна
А(Ө-Ө 0) = 0, өөрөөр хэлбэл. Ү - Ү 0 нь харгалзах нэгэн төрлийн системийн ерөнхий шийдэл юм АХ= 0. Тиймээс, Ү - Ү 0 = X, эсвэл Y = Y 0 + X... Q.E.D.

Нэг төрлийн бус системийг AX = B хэлбэртэй болгоё 1 + Б 2 . Тэгвэл ийм системийн ерөнхий шийдлийг X = X гэж бичиж болно 1 + X 2 , хаана AX 1 = Б 1 болон AX 2 = Б 2. Энэ шинж чанар нь аливаа шугаман системд (алгебрийн, дифференциал, функциональ гэх мэт) бүх нийтийн шинж чанарыг илэрхийлдэг. Физикийн хувьд энэ өмчийг нэрлэдэг суперпозиция зарчим, цахилгаан ба радио инженерчлэлийн чиглэлээр - давхарлах зарчим... Жишээлбэл, шугаман цахилгаан хэлхээний онолд аль ч хэлхээний гүйдлийг эрчим хүчний эх үүсвэр тус бүрээс үүссэн гүйдлийн алгебрийн нийлбэр байдлаар авч болно.

Талбай дээрх шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн систем

ТОДОРХОЙЛОЛТ. Тэгшитгэлийн системийн шийдлүүдийн үндсэн систем (1) нь түүний шийдлүүдийн хоосон бус шугаман бие даасан систем бөгөөд шугаман их бие нь (1) системийн бүх шийдлүүдийн багцтай давхцдаг.

Зөвхөн тэг шийдэлтэй шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн системд шийдлийн үндсэн систем байдаггүй гэдгийг анхаарна уу.

САНАЛ 3.11. Шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн системийн шийдлүүдийн аль ч хоёр үндсэн систем нь ижил тооны шийдээс бүрдэнэ.

Баталгаа. Үнэн хэрэгтээ нэгэн төрлийн (1) тэгшитгэлийн системийн шийдлүүдийн аль ч хоёр үндсэн систем нь эквивалент ба шугаман бие даасан байдаг. Тиймээс 1.12-р саналын дагуу тэдний зэрэглэл тэнцүү байна. Иймээс нэг үндсэн системд багтсан шийдлүүдийн тоо нь бусад үндсэн шийдлүүдийн системд багтсан шийдлүүдийн тоотой тэнцүү байна.

Хэрэв (1) тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн системийн А үндсэн матриц тэг байвал -аас авсан дурын вектор нь (1) системийн шийдэл болно; Энэ тохиолдолд шугаман бие даасан векторуудын аливаа цуглуулга нь шийдвэрийн үндсэн систем юм. Хэрэв А матрицын баганын зэрэглэл тэнцүү бол систем (1) нь зөвхөн нэг шийдэлтэй - тэг; тиймээс энэ тохиолдолд тэгшитгэлийн систем (1) нь шийдлийн үндсэн системгүй болно.

ТЕОРЕМ 3.12. Хэрэв шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн системийн үндсэн матрицын зэрэглэл (1) нь хувьсагчийн тооноос бага бол (1) систем нь шийдлүүдээс бүрдсэн шийдлийн үндсэн системтэй байна.

Баталгаа. Нэг төрлийн системийн (1) үндсэн А матрицын зэрэглэл 0 буюу тэнцүү бол теорем үнэн болохыг дээр харуулсан. Тиймээс, доор нь бид А матрицын эхний баганууд шугаман бие даасан байна гэж таамаглах болно. Энэ тохиолдолд А матриц нь багасгасан шаталсан матрицтай мөрийн дагуу тэнцүү байх ба (1) систем нь дараах багасгасан шаталсан тэгшитгэлийн системтэй тэнцүү байна.

Системийн (2) чөлөөт хувьсагчийн утгуудын аль ч системд систем (2) ба иймээс (1) системд зөвхөн нэг шийдэл тохирч байгааг шалгахад хялбар байдаг. Ялангуяа систем (2) ба системийн (1) зөвхөн тэг шийдэл нь тэг утгын системд тохирно.

(2) системд бид чөлөөт хувьсагчдын аль нэгэнд 1-тэй тэнцүү утгыг, бусад хувьсагчид тэг утгыг онооно. Үүний үр дүнд бид (2) тэгшитгэлийн системийн шийдлүүдийг олж авдаг бөгөөд үүнийг бид дараахь С матрицын мөр хэлбэрээр бичнэ.

Энэ матрицын эгнээний систем нь шугаман бие даасан байна. Үнэн хэрэгтээ, тэгш байдлаас ямар ч скалярын хувьд

тэгш байдал дагадаг

улмаар тэгш байдал

С матрицын эгнээний системийн шугаман зай нь (1) системийн бүх шийдлийн олонлогтой давхцаж байгааг баталцгаая.

Системийн дурын шийдэл (1). Дараа нь вектор

нь мөн системийн (1) шийдэл бөгөөд

Нэг төрлийн систем нь үргэлж тууштай бөгөөд өчүүхэн шийдэлтэй байдаг
... Өвөрмөц шийдэл байхын тулд матрицын зэрэглэл байх шаардлагатай үл мэдэгдэх тооноос бага байсан:

.

Шийдвэр гаргах үндсэн систем нэгэн төрлийн систем
баганын вектор хэлбэрийн шийдлийн систем гэж нэрлэдэг
энэ нь каноник суурьтай тохирч, i.e. дурын тогтмолуудын суурь
ээлжлэн нэгтэй тэнцүү байхад бусад нь тэгтэй тэнцүү байна.

Дараа нь нэгэн төрлийн системийн ерөнхий шийдэл нь дараах хэлбэртэй байна.

хаана
- дурын тогтмолууд. Өөрөөр хэлбэл ерөнхий шийдэл нь шийдлүүдийн үндсэн системийн шугаман хослол юм.

Тиймээс чөлөөт үл мэдэгдэх утгуудыг ээлжлэн нэгдмэл утгыг оноож, бусад бүх нь тэгтэй тэнцүү гэж үзвэл ерөнхий шийдлээс үндсэн шийдлүүдийг гаргаж болно.

Жишээ... Системийн шийдлийг олцгооё

Хүлээн авцгаая, дараа нь бид шийдлийг дараах хэлбэрээр авна.

Одоо шийдвэрийн үндсэн системийг байгуулъя:

.

Ерөнхий шийдлийг дараах хэлбэрээр бичнэ.

Нэг төрлийн шугаман тэгшитгэлийн системийн шийдэл нь дараахь шинж чанартай байдаг.

Өөрөөр хэлбэл, нэгэн төрлийн системийн шийдлүүдийн шугаман хослол нь дахин шийдэл болно.

Шугаман тэгшитгэлийн системийг Гауссын аргаар шийдвэрлэх

Шугаман тэгшитгэлийн системийн шийдэл нь хэдэн зууны турш математикчдын сонирхлыг татсаар ирсэн. Эхний үр дүнг 18-р зуунд олж авсан. 1750 онд Г.Крамер (1704 –1752) квадрат матрицын тодорхойлогчдын тухай бүтээлүүдээ хэвлүүлж, урвуу матрицыг олох алгоритмыг санал болгосон. 1809 онд Гаусс арилгах арга гэж нэрлэгддэг шинэ шийдлийн аргыг тодорхойлсон.

Гауссын арга буюу үл мэдэгдэх зүйлийг дараалан арилгах арга нь энгийн хувиргалтыг ашиглан тэгшитгэлийн системийг шаталсан (эсвэл гурвалжин) хэлбэрийн эквивалент систем болгон бууруулсан явдал юм. Ийм системүүд нь тодорхой дарааллаар үл мэдэгдэх бүх зүйлийг дараалан олох боломжийг олгодог.

(1) системд байна гэж бодъё.
(энэ нь үргэлж боломжтой байдаг).

(1)

Эхний тэгшитгэлийг ээлжлэн гэж нэрлэгддэгээр үржүүлнэ тохиромжтой тоонууд

Үржүүлгийн үр дүнг системийн харгалзах тэгшитгэлүүдээр нэмбэл эхний тэгшитгэлээс бусад бүх тэгшитгэлд үл мэдэгдэх зүйл байхгүй байх эквивалент системийг олж авна. NS 1

(2)

Одоо бид (2) системийн хоёр дахь тэгшитгэлийг тохирох тоогоор үржүүлж, үүнийг гэж үзэв

,

мөн үүнийг дэд зүйлүүдэд нэмснээр бид хувьсагчийг хасдаг Гурав дахь нь эхлэн бүх тэгшитгэлийн.

Энэ үйл явцыг үргэлжлүүлж, дараа нь
Бид авах алхам:

(3)

Хэрэв тоонуудын дор хаяж нэг нь байвал
тэгтэй тэнцүү биш бол харгалзах тэгшитгэл нь зөрчилтэй, систем (1) зөрчилтэй байна. Харин эсрэгээр, аливаа хамтарсан тооллын системийн хувьд
тэгтэй тэнцүү байна. Тоо нь системийн матрицын зэрэглэлээс өөр юу ч биш (1).

(1) системээс (3) руу шилжих шилжилтийг дуудна шууд курс Гауссын арга ба (3) -аас үл мэдэгдэхийг олох - урвуу .

Сэтгэгдэл : Өөрсдийгөө тэгшитгэлээр биш, харин (1) системийн өргөтгөсөн матрицаар хувиргах нь илүү тохиромжтой.

Жишээ... Системийн шийдлийг олцгооё

.

Системийн өргөтгөсөн матрицыг бичье.

.

2,3,4-р мөрөнд эхнийхийг (-2), (-3), (-2)-аар үржүүлж нэмнэ.

.

2 ба 3-р мөрүүдийг хооронд нь сольж, үүссэн матрицад 2-р мөрийг 4-р мөрөнд нэмээд үржүүлээрэй. :

.

4-р эгнээнд 3-р мөрийг нэмээд үржүүлнэ
:

.

Энэ нь ойлгомжтой
Тиймээс систем нь нийцтэй байдаг. Үүссэн тэгшитгэлийн системээс

Бид урвуу орлуулалтаар шийдлийг олно:

,
,
,
.

Жишээ 2.Системийн шийдлийг олох:

.

Энэ нь систем нийцгүй байгаа нь илт байна, оноос хойш
, a
.

Гауссын аргын давуу тал :

Крамерын аргыг бодвол цаг хугацаа бага зарцуулдаг.

Энэ нь системийн нийцтэй байдлыг хоёрдмол утгагүйгээр тогтоож, шийдлийг олох боломжийг танд олгоно.

Энэ нь аливаа матрицын зэрэглэлийг тодорхойлох боломжийг олгодог.

Бид техникээ үргэлжлүүлэн өнгөлөх болно анхан шатны өөрчлөлтүүддээр шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн систем.
Эхний догол мөрөнд материал нь уйтгартай, энгийн мэт санагдаж болох ч энэ сэтгэгдэл нь хуурч байна. Техникийг цаашид хөгжүүлэхээс гадна маш олон шинэ мэдээлэл гарах тул энэ нийтлэл дэх жишээнүүдийг үл тоомсорлохгүй байхыг хичээгээрэй.

Шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн систем гэж юу вэ?

Хариулт нь өөрийгөө харуулж байна. Шугаман тэгшитгэлийн систем нь чөлөөт гишүүн бол нэгэн төрлийн байна тус бүрийнсистемийн тэгшитгэлүүд тэгтэй тэнцүү байна. Жишээлбэл:

Энэ нь маш тодорхой байна нэгэн төрлийн систем нь үргэлж нийцтэй байдаг, өөрөөр хэлбэл энэ нь үргэлж шийдэлтэй байдаг. Тэгээд хамгийн гол нь гэж нэрлэгддэг өчүүхэншийдэл ... Өчүүхэн, нэр үгийн утгыг огт ойлгодоггүй хүмүүсийн хувьд bespontov гэсэн үг. Мэдээж академик биш, гэхдээ ойлгомжтой =) ... Бутны эргэн тойронд яагаад зодох вэ, энэ системд өөр шийдэл байгаа эсэхийг олж мэдье:

Жишээ 1

Шийдэл: нэгэн төрлийн системийг шийдэхийн тулд бичих шаардлагатай системийн матрицмөн анхан шатны өөрчлөлтүүдийн тусламжтайгаар үүнийг үе шаттай хэлбэрт оруулна. Энд босоо мөр болон чөлөөт гишүүдийн тэг баганыг бичих шаардлагагүй гэдгийг анхаарна уу - эцэст нь та тэгтэй юу ч хийсэн тэд тэг хэвээр үлдэх болно:

(1) Хоёр дахь мөрөнд эхний мөрийг -2-оор үржүүлсэн. Гурав дахь мөрөнд -3-аар үржүүлсэн эхний мөрийг нэмэв.

(2) Гурав дахь мөрөнд -1-ээр үржүүлсэн хоёр дахь мөрийг нэмэв.

Гурав дахь эгнээг 3-т хуваах нь утгагүй юм.

Энгийн хувиргалтуудын үр дүнд ижил төстэй нэгэн төрлийн системийг олж авсан , мөн Гауссын аргын урвуу аргыг хэрэглэснээр шийдэл нь өвөрмөц эсэхийг шалгахад хялбар байдаг.

Хариулах:

Тодорхой шалгуурыг томъёолъё: шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн систем байна зөвхөн өчүүхэн шийдэл, хэрэв системийн матрицын зэрэглэл(энэ тохиолдолд 3) хувьсагчийн тоотой тэнцүү байна (энэ тохиолдолд - 3 ширхэг).

Бид радио хүлээн авагчаа халааж, энгийн өөрчлөлтүүдийн долгионд тохируулдаг.

Жишээ 2

Шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн системийг шийд

Алгоритмыг нэгтгэхийн тулд эцсийн даалгаврыг задлан шинжилье.

Жишээ 7

Нэг төрлийн системийг шийдэж, хариултыг вектор хэлбэрээр бичнэ үү.

Шийдэл: бид системийн матрицыг бичиж, энгийн хувиргалтыг ашиглан алхам алхмаар хэлбэрт оруулдаг.

(1) Эхний мөрийн тэмдгийг өөрчилсөн. Дахин нэг удаа би та бүхний анхаарлыг олон удаа тулгарч байсан техникт хандуулж, дараагийн үйлдлийг ихээхэн хялбарчлах боломжийг олгодог.

(1) Эхний мөрийг 2, 3-р мөрөнд нэмсэн. 2-оор үржүүлсэн эхний мөрийг 4-р мөрөнд нэмэв.

(3) Сүүлийн гурван мөр нь пропорциональ, хоёрыг нь хассан.

Үүний үр дүнд стандарт шаталсан матрицыг олж авах бөгөөд шийдэл нь нугасан замын дагуу үргэлжилнэ.

- үндсэн хувьсагч;
- чөлөөт хувьсагч.

Үндсэн хувьсагчдыг чөлөөт хувьсагчаар илэрхийлье. 2-р тэгшитгэлээс:

- 1-р тэгшитгэлд орлуулах:

Тиймээс ерөнхий шийдэл нь:

Үзэж буй жишээнд гурван чөлөөт хувьсагч байгаа тул үндсэн систем нь гурван векторыг агуулна.

Гурван утгыг орлуулна уу ерөнхий шийдэлд оруулж, координат нь нэгэн төрлийн системийн тэгшитгэл бүрийг хангадаг векторыг олж авна. Дахин хэлэхэд, үүссэн вектор бүрийг шалгах нь маш их хүсч байна - энэ нь их цаг хугацаа шаардахгүй, гэхдээ алдаанаас зуун хувь хэмнэх болно.

Гурвалсан утгын хувьд векторыг ол

Эцэст нь тройкагийн төлөө Бид гурав дахь векторыг авна.

Хариулах: , хаана

Бутархай утгуудаас зайлсхийхийг хүсч буй хүмүүс гурав дахин ихэсгэж, ижил төстэй хариулт авах боломжтой.

Бутархайн тухай ярьж байна. Бодлогод олж авсан матрицыг харцгаая Өөрөөсөө асуулт асуугаарай - цаашдын шийдлийг хялбарчлах боломжтой юу? Эцсийн эцэст, бид эхлээд үндсэн хувьсагчийг бутархайгаар илэрхийлсэн, дараа нь үндсэн хувьсагчийг бутархайгаар илэрхийлсэн бөгөөд энэ үйл явц нь хамгийн хялбар биш бөгөөд хамгийн тааламжтай биш гэдгийг хэлэх ёстой.

Хоёр дахь шийдэл:

Оролдоод үз л дээ бусад үндсэн хувьсагчдыг сонгох... Матрицыг харцгаая, гурав дахь баганад хоёрыг нь анзааръя. Тэгвэл яагаад дээд талд тэг авч болохгүй гэж? Өөр нэг энгийн өөрчлөлтийг хийцгээе: