Тригонометрийн тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх жишээ. Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга

Тригонометрийн үндсэн томъёоны талаархи мэдлэгийг шаарддаг - синус ба косинусын квадратуудын нийлбэр, синус ба косинусын шүргэгчийг илэрхийлэх болон бусад. Тэднийг мартсан эсвэл мэдэхгүй хүмүүст "" нийтлэлийг уншихыг зөвлөж байна.
Тиймээс, гол нь тригонометрийн томъёотэдгээрийг хэрэгжүүлэх цаг болсныг бид мэднэ. Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхЗөв арга барилтай бол энэ нь жишээлбэл, Рубикийн шоо тайлах гэх мэт сэтгэл хөдөлгөм үйл ажиллагаа юм.

Нэрнээс нь харахад тригонометрийн тэгшитгэл нь тригонометрийн функцийн тэмдгийн доор үл мэдэгдэх нь байгаа тэгшитгэл гэдэг нь тодорхой байна.
Эгэл биет гэж нэрлэгддэг амьтан байдаг тригонометрийн тэгшитгэл. Тэдгээр нь дараах байдалтай байна: sinx = a, cos x = a, tan x = a. Ингээд авч үзье Ийм тригонометрийн тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх, тодорхой болгохын тулд бид аль хэдийн танил болсон тригонометрийн тойргийг ашиглах болно.

sinx = a

cos x = a

tan x = a

ор x = a

Аливаа тригонометрийн тэгшитгэлийг хоёр үе шаттайгаар шийддэг: бид тэгшитгэлийг хамгийн энгийн хэлбэрт оруулаад дараа нь энгийн тригонометрийн тэгшитгэл болгон шийддэг.
Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх 7 үндсэн арга байдаг.

1. Хувьсах ба орлуулах арга

2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0 тэгшитгэлийг шийд.

Бууруулах томъёог ашиглан бид дараахь зүйлийг авна.

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

Энгийн квадрат тэгшитгэлийг хялбарчилж авахын тулд cos(x + /6)-г y-ээр солино уу.

2 жил 2 – 3 жил + 1 + 0

Үндэс нь y 1 = 1, y 2 = 1/2

Одоо урвуу дарааллаар явцгаая

Бид y-ийн олсон утгыг орлуулж, хариултын хоёр сонголтыг авна.

2. Тригонометрийн тэгшитгэлийг хүчин зүйлчлэлээр шийдвэрлэх

sin x + cos x = 1 тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ?

Баруун талд 0 үлдэхийн тулд бүгдийг зүүн тийш шилжүүлье:

sin x + cos x – 1 = 0

Тэгшитгэлийг хялбарчлахын тулд дээр дурдсан таних тэмдгүүдийг ашиглацгаая.

нүгэл х - 2 нүгэл 2 (х/2) = 0

Хүчин зүйлд тооцъё:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

Бид хоёр тэгшитгэл авдаг

3. Нэг төрлийн тэгшитгэлд буулгах

Хэрэв тэгшитгэлийн бүх гишүүн ижил өнцгийн синус ба косинустай харьцангуй байвал тэгшитгэл нь синус ба косинусын хувьд нэгэн төрлийн байна. Нэг төрлийн тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд дараах алхмуудыг гүйцэтгэнэ.

а) бүх гишүүдээ зүүн тал руу шилжүүлэх;

б) бүх нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтнаас гаргах;

в) бүх хүчин зүйл болон хаалтыг 0-тэй тэнцүүлэх;

г) хаалтанд хүлээн авсан нэгэн төрлийн тэгшитгэлбага зэрэг, энэ нь эргээд хамгийн дээд хэмжээгээр синус эсвэл косинусд хуваагддаг;

e) tg-ийн үр дүнд үүссэн тэгшитгэлийг шийд.

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2 тэгшитгэлийг шийд.

sin 2 x + cos 2 x = 1 томъёог ашиглаад баруун талд байгаа нээлттэй хоёрыг хасъя:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

cos x-т хуваах:

тг 2 х + 4 тг х + 3 = 0

tan x-г y-ээр сольж квадрат тэгшитгэл гарга.

y 2 + 4y +3 = 0, үндэс нь y 1 =1, y 2 = 3

Эндээс бид анхны тэгшитгэлийн хоёр шийдлийг олно.

x 2 = арктан 3 + k

4. Хагас өнцөгт шилжих замаар тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

3sin x – 5cos x = 7 тэгшитгэлийг шийд

x/2 руу шилжье:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Бүгдийг зүүн тийш шилжүүлье:

2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

cos(x/2)-д хуваах:

tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0

5. Туслах өнцгийн танилцуулга

Үүнийг авч үзэхийн тулд дараах хэлбэрийн тэгшитгэлийг авч үзье: a sin x + b cos x = c,

Энд a, b, c нь зарим дурын коэффициент, х нь үл мэдэгдэх коэффициент юм.

Тэгшитгэлийн хоёр талыг дараахь байдлаар хуваая.



Одоо тэгшитгэлийн коэффициентүүд нь тригонометрийн томъёоны дагуу sin ба cos шинж чанартай байдаг, тухайлбал: тэдгээрийн модуль нь 1-ээс ихгүй ба квадратуудын нийлбэр = 1. Тэдгээрийг тус тусад нь cos ба sin гэж тэмдэглэе. туслах өнцөг гэж нэрлэгддэг. Дараа нь тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй болно.

cos * sin x + sin * cos x = C

эсвэл sin(x + ) = C

Энэхүү хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийн шийдэл нь

x = (-1) k * arcsin C - + k, энд



Cos болон sin гэсэн тэмдэглэгээ нь солигддог гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.

sin 3x – cos 3x = 1 тэгшитгэлийг шийд

Энэ тэгшитгэл дэх коэффициентүүд нь:

a =, b = -1 тул хоёр талыг = 2-т хуваа

Олон асуудлыг шийдэхэд математикийн асуудлууд, ялангуяа 10-р ангиас өмнө тохиолдсон үйлдлүүд нь зорилгод хүргэх үйлдлүүдийн дарааллыг тодорхой тодорхойлсон байдаг. Ийм асуудалд жишээлбэл шугаман ба квадрат тэгшитгэл, шугаман ба квадрат тэгш бус байдал, бутархай тэгшитгэл, квадрат болгон бууруулсан тэгшитгэл. Дээр дурдсан асуудал бүрийг амжилттай шийдвэрлэх зарчим нь дараах байдалтай байна: та ямар төрлийн асуудлыг шийдэж байгаагаа тодорхойлох, хүссэн үр дүнд хүргэх шаардлагатай үйлдлүүдийн дарааллыг санах хэрэгтэй, жишээлбэл. хариулж, эдгээр алхмуудыг дагана уу.

Тодорхой асуудлыг шийдвэрлэхэд амжилтанд хүрэх эсвэл бүтэлгүйтэх нь үндсэндээ шийдэгдэж буй тэгшитгэлийн төрлийг хэрхэн зөв тодорхойлсон, түүний шийдлийн бүх үе шатуудын дарааллыг хэр зөв гаргахаас хамаардаг нь ойлгомжтой. Мэдээж гүйцэтгэх чадвартай байх шаардлагатай таних тэмдгийн өөрчлөлтүүдболон тооцоолох.

Нөхцөл байдал өөр байна тригонометрийн тэгшитгэл.Тэгшитгэл нь тригонометр гэдгийг батлах нь тийм ч хэцүү биш юм. Зөв хариулт өгөхөд хүргэх үйлдлүүдийн дарааллыг тодорхойлоход бэрхшээлтэй тулгардаг.

By Гадаад төрхтэгшитгэл, заримдаа түүний төрлийг тодорхойлоход хэцүү байдаг. Тэгшитгэлийн төрлийг мэдэхгүй бол хэдэн арван тригонометрийн томъёоноос зөвийг нь сонгох нь бараг боломжгүй юм.

Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд та дараахь зүйлийг туршиж үзэх хэрэгтэй.

1. тэгшитгэлд орсон бүх функцийг "ижил өнцгөөр" авчрах;
2. тэгшитгэлийг "ижил функц" болгон авчрах;
3. тэгшитгэлийн зүүн талын хүчин зүйл гэх мэт.

Ингээд авч үзье тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үндсэн аргууд.

I. Хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэл рүү буулгах

Шийдлийн диаграм

1-р алхам.Тригонометрийн функцийг мэдэгдэж буй бүрэлдэхүүн хэсгүүдээр илэрхийл.

Алхам 2.Томьёог ашиглан функцийн аргументыг ол:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x = arctan a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Алхам 3.Үл мэдэгдэх хувьсагчийг ол.

Жишээ.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Шийдэл.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Хариулт: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Хувьсах солих

Шийдлийн диаграм

1-р алхам.Аль нэгийг нь харгалзан алгебрийн хэлбэрт тэгшитгэлийг багасга тригонометрийн функцууд.

Алхам 2.Үүссэн функцийг t хувьсагчаар тэмдэглэнэ (шаардлагатай бол t дээр хязгаарлалт оруулна).

Алхам 3.Үүссэн алгебрийн тэгшитгэлийг бичиж, шийд.

Алхам 4.Урвуу орлуулалт хийх.

Алхам 5.Хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийд.

Жишээ.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Шийдэл.

1) 2(1 – нүгэл 2 (х/2)) – 5син (х/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) Гүн (x/2) = t, энд |t| ≤ 1.

3) 2т 2 + 5т + 3 = 0;

t = 1 эсвэл e = -3/2, |t| нөхцөлийг хангахгүй ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Хариулт: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Тэгшитгэлийн эрэмбийг багасгах арга

Шийдлийн диаграм

1-р алхам.Солих өгөгдсөн тэгшитгэлшугаман, зэргийг бууруулах томъёог ашиглан:

sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Алхам 2.Гарсан тэгшитгэлийг I ба II аргыг ашиглан шийд.

Жишээ.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Шийдэл.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Хариулт: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Нэг төрлийн тэгшитгэл

Шийдлийн диаграм

1-р алхам.Энэ тэгшитгэлийг хэлбэр болгон бууруул

a) a sin x + b cos x = 0 (эхний зэргийн нэгэн төрлийн тэгшитгэл)

эсвэл харах

б) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (хоёрдугаар зэргийн нэгэн төрлийн тэгшитгэл).

Алхам 2.Тэгшитгэлийн хоёр талыг хуваа

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

tan x-ийн тэгшитгэлийг олоорой:

a) хүрэн x + b = 0;

б) шаргал 2 x + b арктан x + c = 0.

Алхам 3.Мэдэгдэж буй аргуудыг ашиглан тэгшитгэлийг шийд.

Жишээ.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

Шийдэл.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) tg x = t гэж үзье

t 2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 эсвэл t = -4 гэсэн үг

tg x = 1 эсвэл tg x = -4.

Эхний тэгшитгэлээс x = π/4 + πn, n Є Z; хоёр дахь тэгшитгэлээс x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Хариулт: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Тригонометрийн томъёо ашиглан тэгшитгэлийг хувиргах арга

Шийдлийн диаграм

1-р алхам.Бүх боломжит тригонометрийн томъёог ашиглан энэ тэгшитгэлийг I, II, III, IV аргуудаар шийдсэн тэгшитгэл болгон бууруул.

Алхам 2.Мэдэгдэж буй аргуудыг ашиглан үүссэн тэгшитгэлийг шийд.

Жишээ.

нүгэл х + гэм 2х + гэм 3х = 0.

Шийдэл.

1) (нүгэл х + гэм 3х) + нүгэл 2х = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 эсвэл 2cos x + 1 = 0;

Эхний тэгшитгэлээс 2x = π/2 + πn, n Є Z; хоёр дахь тэгшитгэлээс cos x = -1/2.

Бидэнд x = π/4 + πn/2, n Є Z; хоёр дахь тэгшитгэлээс x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Үүний үр дүнд x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Хариулт: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэх чадвар, ур чадвар маш их чухал нь тэдний хөгжилд оюутан болон багшийн зүгээс ихээхэн хүчин чармайлт шаарддаг.

Стереометр, физик гэх мэт олон асуудлууд тригонометрийн тэгшитгэлийн шийдэлтэй холбоотой байдаг.Тийм асуудлыг шийдвэрлэх үйл явц нь тригонометрийн элементүүдийг судалснаар олж авсан олон мэдлэг, чадварыг өөртөө шингээдэг.

Тригонометрийн тэгшитгэл нь математикийг сурах үйл явц, ерөнхийдөө хувь хүний ​​​​хөгжилд чухал байр суурь эзэлдэг.

Асуулт хэвээр байна уу? Тригонометрийн тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэхээ мэдэхгүй байна уу?
Багшаас тусламж авахын тулд -.
Эхний хичээл үнэ төлбөргүй!

blog.site, материалыг бүрэн эсвэл хэсэгчлэн хуулахдаа эх сурвалжийн холбоосыг оруулах шаардлагатай.

Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх тухай ойлголт.

• Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд нэг буюу хэд хэдэн үндсэн тригонометрийн тэгшитгэл болгон хөрвүүлнэ. Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэх нь эцсийн эцэст дөрвөн үндсэн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэхэд хүргэдэг.

Тригонометрийн үндсэн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.

• Тригонометрийн үндсэн тэгшитгэлийн 4 төрөл байдаг.
• sin x = a; cos x = a
• tan x = a; ctg x = a
• Тригонометрийн үндсэн тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд нэгж тойрог дээрх янз бүрийн x байрлалыг харахаас гадна хөрвүүлэх хүснэгт (эсвэл тооцоолуур) ашиглана.
• Жишээ 1. sin x = 0.866. Хөрвүүлэх хүснэгт (эсвэл тооцоолуур) ашиглан та хариултыг авах болно: x = π/3. Нэгж тойрог нь өөр хариулт өгдөг: 2π/3. Санаж байна уу: бүх тригонометрийн функцууд нь үе үе бөгөөд тэдгээрийн утгууд давтагддаг гэсэн үг юм. Жишээлбэл, sin x ба cos x-ийн үечлэл 2πn, tg x ба ctg x-ийн үечлэл πn байна. Тиймээс хариултыг дараах байдлаар бичнэ.
• x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
• Жишээ 2. cos x = -1/2. Хөрвүүлэх хүснэгт (эсвэл тооцоолуур) ашиглан та хариултыг авах болно: x = 2π/3. Нэгж тойрог нь өөр хариулт өгдөг: -2π/3.
• x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
• Жишээ 3. tg (x - π/4) = 0.
• Хариулт: x = π/4 + πn.
• Жишээ 4. ctg 2x = 1.732.
• Хариулт: x = π/12 + πn.

Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ашигладаг хувиргалтууд.

• Тригонометрийн тэгшитгэлийг хувиргахын тулд ашиглана уу алгебрийн хувиргалт(факторжуулалт, нэгэн төрлийн нэр томъёог багасгах гэх мэт) болон тригонометрийн ижилсэл.
• Жишээ 5: Тригонометрийн адилтгалуудыг ашиглан sin x + sin 2x + sin 3x = 0 тэгшитгэлийг 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0 тэгшитгэлд хөрвүүлэв. Иймд дараах үндсэн тригонометрийн тэгшитгэлүүд гарч ирнэ. шийдвэрлэх шаардлагатай: cos x = 0; sin(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.

• Өнцөг олох мэдэгдэж байгаа үнэ цэнэфункцууд.

  • Тригонометрийн тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэж сурахаасаа өмнө мэдэгдэж буй функцийн утгыг ашиглан өнцгийг хэрхэн олох талаар сурах хэрэгтэй. Үүнийг хөрвүүлэх хүснэгт эсвэл тооцоолуур ашиглан хийж болно.
  • Жишээ нь: cos x = 0.732. Тооцоологч х = 42.95 градусын хариултыг өгнө. Нэгж тойрог нь нэмэлт өнцөг өгөх бөгөөд косинус нь мөн 0.732 байна.

• Нэгж тойрог дээр уусмалыг хойш тавь.

  • Та тригонометрийн тэгшитгэлийн шийдлийг нэгж тойрог дээр зурж болно. Нэгж тойрог дээрх тригонометрийн тэгшитгэлийн шийдэл нь жирийн олон өнцөгтийн орой юм.
  • Жишээ: Нэгж тойрог дээрх x = π/3 + πn/2 шийдлүүд квадратын оройг илэрхийлнэ.
  • Жишээ: Нэгж тойрог дээрх x = π/4 + πn/3 шийдлүүд ердийн зургаан өнцөгтийн оройг илэрхийлнэ.

• Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга.

  • Хэрэв өгөгдсөн тригонометрийн тэгшитгэл нь зөвхөн нэг тригонометрийн функцийг агуулж байвал уг тэгшитгэлийг үндсэн тригонометрийн тэгшитгэл болгон шийд. Хэрэв өгөгдсөн тэгшитгэлд хоёр ба түүнээс дээш тригонометрийн функц багтсан бол ийм тэгшитгэлийг шийдвэрлэх 2 арга байдаг (түүний хувиргалтын боломжоос хамааран).
    • Арга 1.
  • Энэ тэгшитгэлийг дараах хэлбэрийн тэгшитгэл болгон хувирга: f(x)*g(x)*h(x) = 0, f(x), g(x), h(x) нь үндсэн тригонометрийн тэгшитгэлүүд юм.
  • Жишээ 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
  • Шийдэл. sin 2x = 2*sin x*cos x давхар өнцгийн томьёог ашиглан sin 2x-ийг орлуул.
  • 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Одоо cos x = 0 ба (sin x + 1) = 0 гэсэн хоёр үндсэн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийд.
  • Жишээ 7. cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
  • Шийдэл: Тригонометрийн адилтгалуудыг ашиглан энэ тэгшитгэлийг cos 2x(2cos x + 1) = 0 хэлбэрийн тэгшитгэл болгон хувирга. Одоо cos 2x = 0 ба (2cos x + 1) = 0 гэсэн хоёр үндсэн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийд.
  • Жишээ 8. sin x - sin 3x = cos 2x. (0< x < 2π)
  • Шийдэл: Тригонометрийн адилтгалуудыг ашиглан энэ тэгшитгэлийг дараах хэлбэрийн тэгшитгэл болгон хувирга. -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Одоо хоёр үндсэн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийд: cos 2x = 0 ба (2sin x + 1) = 0 .
    • Арга 2.
  • Өгөгдсөн тригонометрийн тэгшитгэлийг зөвхөн нэг тригонометрийн функц агуулсан тэгшитгэл болгон хувирга. Дараа нь энэ тригонометрийн функцийг үл мэдэгдэх функцээр солино, жишээлбэл, t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tan x = t; tg (x/2) = t гэх мэт).
  • Жишээ 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0)< x < 2π).
  • Шийдэл. Энэ тэгшитгэлд (cos^2 x)-г (1 - sin^2 x)-ээр солино (тодорхойлолтын дагуу). Хувиргасан тэгшитгэл нь:
  • 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. sin x-г t-ээр солино. Одоо тэгшитгэл нь: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Энэ нь t1 = -1 ба t2 = 9/5 гэсэн хоёр үндэстэй квадрат тэгшитгэл юм. Хоёрдахь үндэс t2 нь функцийн мужийг (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • Жишээ 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
  • Шийдэл. tg x-г t-ээр солино. Анхны тэгшитгэлийг дараах байдлаар дахин бичнэ үү: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Одоо t-ийг олоод дараа нь t = tan x-ийн хувьд х-г ол.

Олон асуудлыг шийдэхэд математикийн асуудлууд, ялангуяа 10-р ангиас өмнө тохиолдсон үйлдлүүд нь зорилгод хүргэх үйлдлүүдийн дарааллыг тодорхой тодорхойлсон байдаг. Ийм бодлогод жишээлбэл, шугаман ба квадрат тэгшитгэл, шугаман ба квадрат тэгш бус байдал, бутархай тэгшитгэл, квадрат болж буурдаг тэгшитгэл орно. Дээр дурдсан асуудал бүрийг амжилттай шийдвэрлэх зарчим нь дараах байдалтай байна: та ямар төрлийн асуудлыг шийдэж байгаагаа тодорхойлох, хүссэн үр дүнд хүргэх шаардлагатай үйлдлүүдийн дарааллыг санах хэрэгтэй, жишээлбэл. хариулж, эдгээр алхмуудыг дагана уу.

Тодорхой асуудлыг шийдвэрлэхэд амжилтанд хүрэх эсвэл бүтэлгүйтэх нь үндсэндээ шийдэгдэж буй тэгшитгэлийн төрлийг хэрхэн зөв тодорхойлсон, түүний шийдлийн бүх үе шатуудын дарааллыг хэр зөв гаргахаас хамаардаг нь ойлгомжтой. Мэдээжийн хэрэг, энэ тохиолдолд ижил төстэй хувиргалт, тооцоолол хийх чадвартай байх шаардлагатай.

Нөхцөл байдал өөр байна тригонометрийн тэгшитгэл.Тэгшитгэл нь тригонометр гэдгийг батлах нь тийм ч хэцүү биш юм. Зөв хариулт өгөхөд хүргэх үйлдлүүдийн дарааллыг тодорхойлоход бэрхшээлтэй тулгардаг.

Тэгшитгэлийн харагдах байдал дээр үндэслэн түүний төрлийг тодорхойлох нь заримдаа хэцүү байдаг. Тэгшитгэлийн төрлийг мэдэхгүй бол хэдэн арван тригонометрийн томъёоноос зөвийг нь сонгох нь бараг боломжгүй юм.

Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд та дараахь зүйлийг туршиж үзэх хэрэгтэй.

1. тэгшитгэлд орсон бүх функцийг "ижил өнцгөөр" авчрах;
2. тэгшитгэлийг "ижил функц" болгон авчрах;
3. тэгшитгэлийн зүүн талын хүчин зүйл гэх мэт.

Ингээд авч үзье тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үндсэн аргууд.

I. Хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэл рүү буулгах

Шийдлийн диаграм

1-р алхам.Тригонометрийн функцийг мэдэгдэж буй бүрэлдэхүүн хэсгүүдээр илэрхийл.

Алхам 2.Томьёог ашиглан функцийн аргументыг ол:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x = arctan a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Алхам 3.Үл мэдэгдэх хувьсагчийг ол.

Жишээ.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Шийдэл.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Хариулт: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Хувьсах солих

Шийдлийн диаграм

1-р алхам.Тригонометрийн функцүүдийн аль нэгтэй нь хамааруулан тэгшитгэлийг алгебр хэлбэрт буулга.

Алхам 2.Үүссэн функцийг t хувьсагчаар тэмдэглэнэ (шаардлагатай бол t дээр хязгаарлалт оруулна).

Алхам 3.Үүссэн алгебрийн тэгшитгэлийг бичиж, шийд.

Алхам 4.Урвуу орлуулалт хийх.

Алхам 5.Хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийд.

Жишээ.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Шийдэл.

1) 2(1 – нүгэл 2 (х/2)) – 5син (х/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) Гүн (x/2) = t, энд |t| ≤ 1.

3) 2т 2 + 5т + 3 = 0;

t = 1 эсвэл e = -3/2, |t| нөхцөлийг хангахгүй ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Хариулт: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Тэгшитгэлийн эрэмбийг багасгах арга

Шийдлийн диаграм

1-р алхам.Зэрэг бууруулах томъёог ашиглан энэ тэгшитгэлийг шугаман тэгшитгэлээр солино.

sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Алхам 2.Гарсан тэгшитгэлийг I ба II аргыг ашиглан шийд.

Жишээ.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Шийдэл.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Хариулт: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Нэг төрлийн тэгшитгэл

Шийдлийн диаграм

1-р алхам.Энэ тэгшитгэлийг хэлбэр болгон бууруул

a) a sin x + b cos x = 0 (эхний зэргийн нэгэн төрлийн тэгшитгэл)

эсвэл харах

б) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (хоёрдугаар зэргийн нэгэн төрлийн тэгшитгэл).

Алхам 2.Тэгшитгэлийн хоёр талыг хуваа

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

tan x-ийн тэгшитгэлийг олоорой:

a) хүрэн x + b = 0;

б) шаргал 2 x + b арктан x + c = 0.

Алхам 3.Мэдэгдэж буй аргуудыг ашиглан тэгшитгэлийг шийд.

Жишээ.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

Шийдэл.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) tg x = t гэж үзье

t 2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 эсвэл t = -4 гэсэн үг

tg x = 1 эсвэл tg x = -4.

Эхний тэгшитгэлээс x = π/4 + πn, n Є Z; хоёр дахь тэгшитгэлээс x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Хариулт: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Тригонометрийн томъёо ашиглан тэгшитгэлийг хувиргах арга

Шийдлийн диаграм

1-р алхам.Бүх боломжит тригонометрийн томъёог ашиглан энэ тэгшитгэлийг I, II, III, IV аргуудаар шийдсэн тэгшитгэл болгон бууруул.

Алхам 2.Мэдэгдэж буй аргуудыг ашиглан үүссэн тэгшитгэлийг шийд.

Жишээ.

нүгэл х + гэм 2х + гэм 3х = 0.

Шийдэл.

1) (нүгэл х + гэм 3х) + нүгэл 2х = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 эсвэл 2cos x + 1 = 0;

Эхний тэгшитгэлээс 2x = π/2 + πn, n Є Z; хоёр дахь тэгшитгэлээс cos x = -1/2.

Бидэнд x = π/4 + πn/2, n Є Z; хоёр дахь тэгшитгэлээс x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Үүний үр дүнд x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Хариулт: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэх чадвар, ур чадвар маш их чухал нь тэдний хөгжилд оюутан болон багшийн зүгээс ихээхэн хүчин чармайлт шаарддаг.

Стереометр, физик гэх мэт олон асуудлууд тригонометрийн тэгшитгэлийн шийдэлтэй холбоотой байдаг.Тийм асуудлыг шийдвэрлэх үйл явц нь тригонометрийн элементүүдийг судалснаар олж авсан олон мэдлэг, чадварыг өөртөө шингээдэг.

Тригонометрийн тэгшитгэл нь математикийг сурах үйл явц, ерөнхийдөө хувь хүний ​​​​хөгжилд чухал байр суурь эзэлдэг.

Асуулт хэвээр байна уу? Тригонометрийн тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэхээ мэдэхгүй байна уу?
Багшаас тусламж авахын тулд бүртгүүлнэ үү.
Эхний хичээл үнэ төлбөргүй!

вэб сайт, материалыг бүрэн эсвэл хэсэгчлэн хуулахдаа эх сурвалжийн холбоос шаардлагатай.

Тригонометрийн тэгшитгэл бол амар сэдэв биш юм. Тэд хэтэрхий олон янз байдаг.) ​​Жишээ нь:

sin 2 x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = ор(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

гэх мэт...

Гэхдээ эдгээр (болон бусад бүх) тригонометрийн мангасууд нь нийтлэг бөгөөд заавал байх ёстой хоёр шинж чанартай байдаг. Нэгдүгээрт - та итгэхгүй байх болно - тэгшитгэлд тригонометрийн функцууд байдаг.) ​​Хоёрдугаарт: x-тэй бүх илэрхийлэл олддог. эдгээр ижил функцүүдийн хүрээнд.Зөвхөн тэнд! Хэрэв X хаа нэгтээ гарч ирвэл гадна,Жишээлбэл, sin2x + 3x = 3,Энэ нь аль хэдийн тэгшитгэл байх болно холимог төрөл. Ийм тэгшитгэл нь хувь хүний ​​хандлагыг шаарддаг. Бид тэдгээрийг энд авч үзэхгүй.

Бид энэ хичээл дээр бас муу тэгшитгэлийг шийдэхгүй.) Энд бид шийдвэрлэх болно Хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлүүд.Яагаад? Тийм ээ, учир нь шийдэл ямар чтригонометрийн тэгшитгэл нь хоёр үе шатаас бүрдэнэ. Эхний шатанд муу тэгшитгэлийг янз бүрийн хувиргалтаар дамжуулан энгийн тэгшитгэл болгон бууруулдаг. Хоёрдугаарт, энэ хамгийн энгийн тэгшитгэлийг шийддэг. Өөр арга байхгүй.

Тиймээс, хэрэв танд хоёр дахь шатанд асуудал байгаа бол эхний шат нь тийм ч их утгагүй болно.)

Энгийн тригонометрийн тэгшитгэлүүд ямар харагддаг вэ?

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

Энд А ямар ч тоог илэрхийлнэ. Ямар ч.

Дашрамд хэлэхэд функц дотор цэвэр X биш байж болох ч зарим төрлийн илэрхийлэл байж болно, жишээ нь:

cos(3x+π /3) = 1/2

гэх мэт. Энэ нь амьдралыг хүндрүүлдэг боловч тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргад нөлөөлдөггүй.

Тригонометрийн тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ?

Тригонометрийн тэгшитгэлийг хоёр аргаар шийдэж болно. Эхний арга: логик ба тригонометрийн тойрог ашиглах. Бид энэ замыг эндээс харах болно. Хоёрдахь арга - санах ой, томъёог ашиглах - дараагийн хичээл дээр хэлэлцэх болно.

Эхний арга нь ойлгомжтой, найдвартай, мартахад хэцүү.) Энэ нь тригонометрийн тэгшитгэл, тэгш бус байдал, бүх төрлийн төвөгтэй стандарт бус жишээнүүдийг шийдвэрлэхэд тохиромжтой. Логик нь ой санамжаас илүү хүчтэй!)

Тригонометрийн тойрог ашиглан тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.

Бид энгийн логик, тригонометрийн тойрог ашиглах чадварыг багтаасан. Та яаж гэдгийг мэдэхгүй байна уу? Гэсэн хэдий ч ... Тригонометрийн хувьд танд хэцүү байх болно ...) Гэхдээ энэ нь хамаагүй. "Тригонометрийн тойрог...... Энэ юу вэ?" гэсэн хичээлүүдийг үзээрэй. болон "Тригонометрийн тойрог дээрх өнцгийг хэмжих". Тэнд бүх зүйл энгийн байдаг. Сурах бичгээс ялгаатай нь...)

Өө, чи мэдэж байна уу!? Тэр ч байтугай "Тригонометрийн тойрогтой практик ажил" -ыг эзэмшсэн!? Баяр хүргэе. Энэ сэдэв танд ойр, ойлгомжтой байх болно.) Ялангуяа тааламжтай зүйл бол тригонометрийн тойрогт таны ямар тэгшитгэлийг шийдэх нь хамаагүй. Синус, косинус, тангенс, котангенс - түүний хувьд бүх зүйл адилхан. Ганцхан шийдлийн зарчим бий.

Тиймээс бид аливаа энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг авдаг. Наад зах нь энэ:

cosx = 0.5

Бид X-г олох хэрэгтэй. Хүний хэлээр ярих юм бол хэрэгтэй косинус нь 0.5 (x) өнцгийг ол.

Бид өмнө нь тойргийг хэрхэн ашиглаж байсан бэ? Бид үүн дээр өнцөг зурсан. градус эсвэл радианаар. Тэгээд тэр даруй харсан Энэ өнцгийн тригонометрийн функцууд. Одоо эсрэгээр нь хийцгээе. 0.5-тай тэнцүү тойрог дээр косинусыг шууд зуръя бид харна булан. Хариултаа бичих л үлдлээ.) Тийм ээ, тийм!

Тойрог зурж, косинусыг 0.5-тай тэнцүү гэж тэмдэглэ. Мэдээжийн хэрэг косинусын тэнхлэг дээр. Үүн шиг:

Одоо энэ косинусын бидэнд өгч буй өнцгийг зуръя. Зурган дээр хулганаа аваач (эсвэл таблет дээрх зураг дээр хүрнэ үү) ба Та нар харж болнояг энэ булан X.

Аль өнцгийн косинус 0.5 вэ?

x = π /3

cos 60°= учир( π /3) = 0,5

Зарим хүмүүс эргэлзэж инээх болно, тийм ээ... Бүх зүйл тодорхой болчихсон байхад тойрог хийх нь зүйтэй болов уу... Мэдээжийн хэрэг, инээж болно ...) Гэхдээ энэ бол алдаатай хариулт юм. Өөрөөр хэлбэл хангалтгүй. Тойрог сонирхогчид энд 0.5 косинусыг өгдөг бусад олон өнцөг байдаг гэдгийг ойлгодог.

Хэрэв та хөдөлж буй талыг эргүүлбэл OA бүрэн эргэлт, А цэг анхны байрлалдаа буцаж ирнэ. Ижил косинус нь 0.5-тай тэнцүү байна. Тэдгээр. өнцөг өөрчлөгдөнө 360° буюу 2π радианаар, мөн косинус - үгүй.Шинэ өнцөг 60° + 360° = 420° нь мөн бидний тэгшитгэлийн шийдэл байх болно, учир нь

Хязгааргүй олон тооны ийм бүрэн эргэлтүүдийг хийж болно... Мөн эдгээр бүх шинэ өнцөг нь бидний тригонометрийн тэгшитгэлийн шийдэл байх болно. Тэд бүгд хариуд нь ямар нэгэн байдлаар бичих хэрэгтэй. Бүгд.Үгүй бол шийдвэрийг тооцохгүй, тийм ээ...)

Математик үүнийг энгийн бөгөөд дэгжин хийж чадна. Нэг богино хариултаар бичнэ үү хязгааргүй олонлогшийдвэрүүд. Энэ нь бидний тэгшитгэлийн хувьд дараах байдалтай байна.

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

Би үүнийг тайлах болно. Бичсээр л байна утга учиртайТэнэг байдлаар нууцлаг үсэг зурахаас илүү тааламжтай, тийм үү?)

π /3 - энэ бол бидэнтэй ижил булан юм харсантойрог дээр ба тодорхойлсонкосинусын хүснэгтийн дагуу.

2π Энэ нь радиан дахь нэг бүрэн эргэлт юм.

n - энэ бол бүрэн гүйцэд тоо, өөрөөр хэлбэл. бүхэлд ньэрг / мин Энэ нь ойлгомжтой n 0, ±1, ±2, ±3.... гэх мэттэй тэнцүү байж болно. Дээр дурдсанчлан богино тэмдэглэл:

n ∈ Z

n харьяалагддаг ( ∈ ) бүхэл тооны багц ( З ). Дашрамд хэлэхэд, захидлын оронд n үсэг хэрэглэж болно к, м, т гэх мэт.

Энэ тэмдэглэгээ нь та ямар ч бүхэл тоо авч болно гэсэн үг юм n . Хамгийн багадаа -3, хамгийн багадаа 0, хамгийн багадаа +55. Юу ч хүссэн. Хэрэв та хариултанд энэ тоог орлуулбал тодорхой өнцөг гарах бөгөөд энэ нь бидний хатуу тэгшитгэлийн шийдэл байх нь гарцаагүй.)

Эсвэл өөрөөр хэлбэл, x = π /3 хязгааргүй олонлогийн цорын ганц үндэс юм. Бусад бүх үндэсийг авахын тулд π /3 () дээр хэдэн ч бүтэн эргэлт нэмэхэд хангалттай. n ) радианаар. Тэдгээр. 2πn радиан.

Бүгд? Үгүй Би таашаалыг зориуд уртасгадаг. Илүү сайн санахын тулд.) Бид тэгшитгэлийнхээ хариултуудын зөвхөн хэсгийг л авсан. Би шийдлийн эхний хэсгийг дараах байдлаар бичнэ.

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - зөвхөн нэг үндэс биш, харин бүхэл бүтэн цуврал үндэс, богино хэлбэрээр бичсэн.

Гэхдээ бас 0.5 косинус өгдөг өнцөгүүд байдаг!

Хариултаа бичсэн зураг руугаа буцъя. Тэр энд байна:

Зурган дээр хулганаа аваачиж, бид харж байнаөөр өнцөг мөн 0.5 косинусыг өгдөг.Энэ нь юутай тэнцүү гэж та бодож байна вэ? Гурвалжингууд нь адилхан ... Тийм ээ! Энэ нь өнцөгтэй тэнцүү байна X , зөвхөн сөрөг чиглэлд хойшлогдож байна. Энэ бол булан -Х. Гэхдээ бид x-г аль хэдийн тооцоолсон. π /3 эсвэл 60°. Тиймээс бид аюулгүйгээр бичиж болно:

x 2 = - π /3

Мэдээжийн хэрэг, бид бүрэн эргэлтээр олж авсан бүх өнцгийг нэмнэ.

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Энэ бол одоо.) Тригонометрийн тойрог дээр бид харсан(мэдээж хэн ойлгох вэ)) Бүгд 0.5 косинус өгдөг өнцгүүд. Мөн бид эдгээр өнцгүүдийг богино математик хэлбэрээр бичсэн. Хариулт нь хоёр төгсгөлгүй цуврал язгуурыг бий болгосон:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Энэ бол зөв хариулт юм.

Найдвар, тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх ерөнхий зарчимтойрог ашиглах нь ойлгомжтой. Өгөгдсөн тэгшитгэлээс косинусыг (синус, тангенс, котангенс) тойрог дээр тэмдэглэж, түүнд тохирох өнцгийг зурж, хариултыг бичнэ.Мэдээжийн хэрэг, бид ямар булангуудаа тодорхойлох хэрэгтэй харсантойрог дээр. Заримдаа энэ нь тийм ч тодорхой биш байдаг. Энд логик хэрэгтэй гэж би хэлсэн.)

Жишээлбэл, өөр тригонометрийн тэгшитгэлийг авч үзье.

0.5 тоо нь тэгшитгэлийн цорын ганц боломжтой тоо биш гэдгийг анхаарна уу!) Үүнийг бичих нь надад үндэс, бутархай гэхээсээ илүү тохиромжтой.

Бид ерөнхий зарчмаар ажилладаг. Бид тойрог зурж, тэмдэглэнэ (мэдээж синус тэнхлэг дээр!) 0.5. Бид энэ синустай тохирох бүх өнцгийг нэг дор зурдаг. Бид энэ зургийг авна:

Эхлээд өнцгийг нь авч үзье X эхний улиралд. Бид синусын хүснэгтийг эргэн санаж, энэ өнцгийн утгыг тодорхойлно. Энэ бол энгийн асуудал:

x = π /6

Бид бүрэн эргэлтийн талаар санаж, цэвэр ухамсартайгаар эхний цуврал хариултуудыг бичнэ үү.

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

Ажлын тал нь дууссан. Гэхдээ одоо бид тодорхойлох хэрэгтэй хоёр дахь булан ...Энэ нь косинусыг ашиглахаас илүү төвөгтэй, тийм ээ... Гэхдээ логик биднийг аварна! Хоёр дахь өнцгийг хэрхэн тодорхойлох вэ х-ээр дамжуулан? Тиймээ амархан! Зурган дээрх гурвалжин нь адилхан, улаан булан X өнцөгтэй тэнцүү X . Зөвхөн энэ нь сөрөг чиглэлд π өнцгөөс тоологддог. Тийм ч учраас улаан өнгөтэй байна.) Мөн хариултын хувьд эерэг хагас тэнхлэгийн OX-ээс зөв хэмжсэн өнцөг хэрэгтэй, өөрөөр хэлбэл. 0 градусын өнцгөөс.

Бид курсорыг зургийн дээр байрлуулж, бүх зүйлийг харна. Зургийг хүндрүүлэхгүйн тулд би эхний буланг арилгасан. Бидний сонирхож буй өнцөг (ногооноор зурсан) дараахтай тэнцүү байна.

π - x

X бид үүнийг мэднэ π /6 . Тиймээс хоёр дахь өнцөг нь:

π - π /6 = 5π /6

Дахин хэлэхэд бид бүрэн хувьсгалыг нэмж, хоёр дахь цуврал хариултыг бичнэ үү.

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Тэгээд л болоо. Бүрэн хариулт нь хоёр цуврал үндэсээс бүрдэнэ.

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Тангенс ба котангенс тэгшитгэлийг тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэх ижил ерөнхий зарчмыг ашиглан хялбархан шийдэж болно. Хэрэв та тригонометрийн тойрог дээр тангенс ба котангенс хэрхэн зурахаа мэддэг бол мэдээжийн хэрэг.

Дээрх жишээнүүдэд би синус ба косинусын хүснэгтийн утгыг ашигласан: 0.5. Тэдгээр. оюутны мэддэг утгын нэг ёстой.Одоо боломжоо өргөжүүлье бусад бүх үнэт зүйлс.Шийдээрэй, шийдээрэй!)

Тиймээс бид энэ тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй гэж үзье.

Богино хүснэгтэд ийм косинусын утга байдаггүй. Бид энэ аймшигт баримтыг үл тоомсорлодог. Тойрог зурж, косинусын тэнхлэг дээр 2/3-ыг тэмдэглэж, харгалзах өнцгийг зур. Бид энэ зургийг авдаг.

Эхлээд эхний улирлын өнцгийг харцгаая. Хэрвээ бид x нь хэдтэй тэнцүү болохыг мэдсэн бол тэр даруй хариултыг бичих болно! Бид мэдэхгүй... Бүтэлгүйтэл!? Тайвшир! Математик нь өөрийн хүмүүсийг асуудалд оруулдаггүй! Тэр энэ тохиолдолд нуман косинусуудыг гаргаж ирэв. Мэдэхгүй? Дэмий. Энэ нь таны бодож байгаагаас хамаагүй хялбар гэдгийг олж мэдээрэй. Энэ линк дээр "урвуу тригонометрийн функц"-ийн талаар нэг ч зальтай шившлэг байхгүй ... Энэ сэдэв дээр энэ нь илүүц юм.

Хэрэв та мэдэж байгаа бол "X нь косинус нь 2/3-тай тэнцүү өнцөг" гэж өөртөө хэлээрэй. Тэгээд тэр даруй нуман косинусын тодорхойлолтоор бид дараахь зүйлийг бичиж болно.

Бид нэмэлт хувьсгалуудын талаар санаж, тригонометрийн тэгшитгэлийнхээ язгуурын эхний цувралыг тайвнаар бичнэ.

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Хоёрдахь өнцгийн хоёр дахь цуврал үндэс нь бараг автоматаар бичигдсэн байдаг. Бүх зүйл адилхан, зөвхөн X (arccos 2/3) хасахтай байна:

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Тэгээд л болоо! Энэ бол зөв хариулт юм. Хүснэгтийн утгуудаас ч хялбар. Юу ч санах шаардлагагүй.) Дашрамд хэлэхэд, хамгийн анхааралтай нь энэ зураг нь нумын косинусаар шийдлийг харуулж байгааг анзаарах болно. Үндсэндээ cosx = 0.5 тэгшитгэлийн зурагнаас ялгаагүй.

Яг! Ерөнхий зарчимТийм ч учраас нийтлэг байдаг! Би зориуд бараг ижилхэн хоёр зураг зурсан. Тойрог нь бидэнд өнцгийг харуулж байна X косинусаар. Энэ нь хүснэгтийн косинус мөн эсэх нь хүн бүрт мэдэгддэггүй. Энэ ямар өнцөг, π /3, эсвэл нуман косинус гэж юу вэ - энэ нь биднээс хамаарна.

Синустай ижил дуу. Жишээлбэл:

Дахин тойрог зурж, синусыг 1/3-тай тэнцүү болгож, өнцгийг зур. Энэ бол бидний олж авсан зураг юм:

Мөн дахин зураг нь тэгшитгэлийнхтэй бараг ижил байна sinx = 0.5.Дахин бид эхний улиралд булангаас эхэлдэг. Синус нь 1/3 бол X хэдтэй тэнцүү вэ? Асуудалгүй!

Одоо эхний багц үндэс бэлэн боллоо.

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Хоёрдахь өнцгийг авч үзье. Хүснэгтийн 0.5 утгатай жишээнд энэ нь дараахтай тэнцүү байв.

π - x

Энд бас яг адилхан байх болно! Зөвхөн x нь ялгаатай, arcsin 1/3. Тэгээд юу гэж!? Та хоёр дахь үндэсийг аюулгүйгээр бичиж болно:

x 2 = π - нумын 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Энэ бол бүрэн зөв хариулт юм. Хэдийгээр энэ нь тийм ч танил биш юм шиг санагддаг. Гэхдээ энэ нь ойлгомжтой, би найдаж байна.)

Тойрог ашиглан тригонометрийн тэгшитгэлийг ингэж шийддэг. Энэ зам нь ойлгомжтой бөгөөд ойлгомжтой. Тэр бол өгөгдсөн интервал дахь үндсийг сонгох тригонометрийн тэгшитгэлд, тригонометрийн тэгш бус байдалд хадгалдаг хүн юм - тэдгээрийг ерөнхийдөө бараг үргэлж тойрог хэлбэрээр шийддэг. Товчхондоо, стандартаас арай илүү хэцүү аливаа ажилд.

Мэдлэгээ практикт хэрэгжүүлье?)

Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэх:

Нэгдүгээрт, илүү энгийн, энэ хичээлээс шууд.

Одоо илүү төвөгтэй болсон.

Зөвлөгөө: энд та тойргийн талаар бодох хэрэгтэй болно. Хувь хүний ​​хувьд.)

Тэгээд одоо тэд гаднаасаа энгийн ... Тэднийг бас онцгой тохиолдол гэж нэрлэдэг.

синкс = 0

синкс = 1

cosx = 0

cosx = -1

Санамж: энд хоёр цуврал хариулт хаана байна, хаана нэг хариулт байна... Тэгээд хоёр цуврал хариултын оронд нэгийг хэрхэн бичих вэ гэдгийг дугуйлж олох хэрэгтэй. Тийм ээ, ингэснээр хязгааргүй тооны нэг ч үндэс алга болохгүй!)

За, маш энгийн):

синкс = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Зөвлөгөө: Энд та арксин ба арккосин гэж юу болохыг мэдэх хэрэгтэй байна уу? Арктангенс, арккотангенс гэж юу вэ? Хамгийн энгийн тодорхойлолтууд. Гэхдээ та ямар ч хүснэгтийн утгыг санах шаардлагагүй!)

Хариултууд нь мэдээж замбараагүй):

x 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0.3 + 2

Бүх зүйл болохгүй байна уу? Болдог. Хичээлээ дахин унш. Зөвхөн бодолтойгоор(ийм зүйл байдаг хуучирсан үг...) Мөн холбоосыг дагана уу. Гол холбоосууд нь тойргийн тухай юм. Үүнгүйгээр тригонометр нь нүдийг нь таглаж зам хөндлөн гарахтай адил юм. Заримдаа энэ нь ажилладаг.)

Хэрэв танд энэ сайт таалагдаж байвал...

Дашрамд хэлэхэд, би танд зориулж хэд хэдэн сонирхолтой сайт байна.)

Та жишээ шийдвэрлэх дадлага хийж, өөрийнхөө түвшинг олж мэдэх боломжтой. Шуурхай баталгаажуулалт бүхий туршилт. Сурцгаая - сонирхолтой!)

Та функц, деривативтай танилцах боломжтой.