Lygtys

Kaip išspręsti lygtis?

Šiame skyriuje prisiminsime (arba išnagrinėsime – kaip kam patinka) elementariausias lygtis. Taigi, kas yra lygtis? Kalbant žmonių kalba, tai yra keletas matematinė išraiška, kur yra lygybės ženklas ir nežinomasis. Kuris dažniausiai žymimas raide "X". išspręsti lygtį yra rasti tokias x reikšmes, kurias pakeičiant į pradinė išraiška, suteiks mums teisingą tapatybę. Priminsiu, kad tapatybė yra išraiška, kuri nekelia abejonių net ir absoliučiai neapkrautam matematinėmis žiniomis. Kaip 2=2, 0=0, ab=ab ir t.t. Taigi, kaip išspręsti lygtis? Išsiaiškinkime.

Yra visokių lygčių (nustebau, tiesa?). Tačiau visą jų begalinę įvairovę galima suskirstyti tik į keturias rūšis.

4. Kita.)

Visa kita, žinoma, daugiausia, taip...) Tai apima kubinius, eksponentus, logaritminius, trigonometrinius ir visokius kitus. Mes glaudžiai bendradarbiausime su jais atitinkamuose skyriuose.

Turiu iš karto pasakyti, kad kartais lygtys pirmieji trys tipai yra taip suvynioti, kad jų neatpažįstate... Nieko. Išmoksime juos atpalaiduoti.

Ir kam mums reikalingi šie keturi tipai? Ir tada kas tiesines lygtis išspręsti vienu būdu kvadratas kiti trupmeninis racionalus - trečiasis, a poilsis visai neišspręsta! Na, ne tai, kad jie visai neapsisprendžia, aš veltui įžeidžiau matematiką.) Tiesiog jie turi savo specialius triukus ir metodai.

Bet bet kam (kartosiu - už bet koks!) lygtys yra patikimas ir nesudėtingas sprendimo pagrindas. Veikia visur ir visada. Ši bazė - Skamba baisiai, bet dalykas yra labai paprastas. Ir labai (labai!) svarbu.

Tiesą sakant, lygties sprendimas susideda iš tų pačių transformacijų. Esant 99 proc. Atsakymas į klausimą: " Kaip išspręsti lygtis?" slypi tik šiose transformacijose. Ar užuomina aiški?)

Lygčių tapatybės transformacijos.

AT bet kokios lygtys norint rasti nežinomybę, būtina transformuoti ir supaprastinti pirminį pavyzdį. Be to, kad keičiant išvaizda lygties esmė nepasikeitė. Tokios transformacijos vadinamos identiški arba lygiavertis.

Atkreipkite dėmesį, kad šios transformacijos yra tik dėl lygčių. Matematikoje vis dar yra identiškų transformacijų posakius. Tai jau kita tema.

Dabar pakartosime viską, kas yra pagrindinė identiškos lygčių transformacijos.

Pagrindiniai, nes juos galima pritaikyti bet koks lygtys – tiesinės, kvadratinės, trupmeninės, trigonometrinės, eksponentinės, logaritminės ir kt. ir tt

Pirmoji identiška transformacija: abi bet kurios lygties puses galima pridėti (atimti) bet koks(bet tas pats!) skaičius arba išraiška (įskaitant išraišką su nežinomuoju!). Lygties esmė nesikeičia.

Beje, jūs nuolat naudojote šią transformaciją, tik galvojote, kad kai kuriuos terminus perkeliate iš vienos lygties dalies į kitą su ženklo pasikeitimu. Tipas:

Reikalas pažįstamas, perkeliame dviratį į dešinę ir gauname:

Tiesą sakant, tu paimti iš abiejų lygties pusių deuce. Rezultatas tas pats:

x+2 - 2 = 3 - 2

Terminų perkėlimas į kairę-dešinę keičiant ženklą yra tiesiog sutrumpinta pirmojo varianto versija tapatybės transformacija. Ir kam mums reikia tokių gilių žinių? - Jūs klausiate. Lygtyse nieko nėra. Perkelk, dėl Dievo meilės. Tik nepamirškite pakeisti ženklo. Tačiau nelygybės atveju įprotis perkelti gali patekti į aklavietę...

Antroji tapatybės transformacija: abi lygties puses galima padauginti (padalyti) iš to paties ne nulis skaičius arba išraiška. Čia jau atsiranda suprantamas apribojimas: kvaila dauginti iš nulio, o dalinti išvis neįmanoma. Tai transformacija, kurią naudojate, kai nusprendžiate ką nors panašaus į puikų

Suprantama, X= 2. Bet kaip jūs tai radote? Pasirinkimas? Ar tiesiog užsidegė? Kad neimtum ir nelauktum įžvalgos, reikia suprasti, kad esi teisingas padalinti abi lygties puses 5. Dalijant kairę pusę (5x), penkis sumažino, liko grynas X. Ko mums ir reikėjo. O padalijus dešinę (10) pusę iš penkių, tai, žinoma, pasirodė dviguba.

Tai viskas.

Juokinga, bet šios dvi (tik dvi!) identiškos transformacijos yra sprendimo pagrindas visos matematikos lygtys. Kaip! Prasminga pažvelgti į pavyzdžius, kas ir kaip, tiesa?)

Identiškų lygčių transformacijų pavyzdžiai. Pagrindinės problemos.

Pradėkime nuo Pirmas identiška transformacija. Judėti į kairę-dešinę.

Pavyzdys mažiesiems.)

Tarkime, kad turime išspręsti šią lygtį:

3-2x=5-3x

Prisiminkime burtą: "su X - į kairę, be X - į dešinę!"Šis burtažodis yra pirmosios tapatybės transformacijos taikymo instrukcija.) Kokia išraiška su x dešinėje? 3x? Atsakymas neteisingas! Mūsų dešinėje - 3x! Minusas trys x! Todėl perjungus į kairę, ženklas pasikeis į pliusą. Gaukite:

3-2x+3x=5

Taigi, X buvo sujungti. Padarykime skaičius. Trys kairėje. Koks ženklas? Atsakymas „be jokių“ nepriimamas!) Prieš trigubą iš tikrųjų niekas nenupiešta. Ir tai reiškia, kad priešais trigubas yra Pliusas. Taigi matematikai sutiko. Nieko neparašyta, taigi Pliusas. Todėl trigubas bus perkeltas į dešinę pusę su minusu. Mes gauname:

-2x+3x=5-3

Liko tuščių vietų. Kairėje - pateikite panašius, dešinėje - suskaičiuokite. Atsakymas iš karto:

Šiame pavyzdyje pakako vienos identiškos transformacijos. Antrojo neprireikė. Na, gerai.)

Pavyzdys vyresniesiems.)

Jei jums patinka ši svetainė...

Beje, turiu jums dar keletą įdomių svetainių.)

Galite praktikuotis spręsdami pavyzdžius ir sužinoti savo lygį. Testavimas su momentiniu patvirtinimu. Mokymasis – su susidomėjimu!)

galite susipažinti su funkcijomis ir išvestinėmis.

7 klasės matematikos kurse jie pirmą kartą susitinka su lygtys su dviem kintamaisiais, tačiau jie tiriami tik lygčių sistemų su dviem nežinomaisiais kontekste. Štai kodėl daugelis problemų iškrenta iš akiračio, kai juos ribojantiems lygties koeficientams pateikiamos tam tikros sąlygos. Be to, ignoruojami ir tokie problemų sprendimo metodai kaip „Išspręskite lygtį natūraliais arba sveikaisiais skaičiais“, nors su tokio pobūdžio problemomis vis dažniau susiduriama USE medžiagoje ir stojamųjų egzaminų metu.

Kuri lygtis bus vadinama lygtimi su dviem kintamaisiais?

Taigi, pavyzdžiui, lygtys 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 arba xy = 12 yra dviejų kintamųjų lygtys.

Apsvarstykite lygtį 2x - y = 1. Ji virsta tikrąja lygybe, kai x = 2 ir y = 3, todėl ši kintamųjų reikšmių pora yra nagrinėjamos lygties sprendimas.

Taigi, bet kurios lygties su dviem kintamaisiais sprendimas yra sutvarkytų porų (x; y) rinkinys, kintamųjų reikšmės, kurias ši lygtis paverčia tikrąja skaitine lygybe.

Lygtis su dviem nežinomaisiais gali:

a) turi vieną sprendimą. Pavyzdžiui, lygtis x 2 + 5y 2 = 0 turi unikalų sprendimą (0; 0);

b) turi kelis sprendimus. Pavyzdžiui, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 turi 4 sprendimus: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

in) neturi sprendimų. Pavyzdžiui, lygtis x 2 + y 2 + 1 = 0 neturi sprendinių;

G) turi be galo daug sprendimų. Pavyzdžiui, x + y = 3. Šios lygties sprendiniai bus skaičiai, kurių suma lygi 3. Sprendimų aibė duota lygtis galima parašyti kaip (k; 3 – k), kur k yra bet koks realusis skaičius.

Pagrindiniai lygčių su dviem kintamaisiais sprendimo būdai yra faktoringo išraiškomis pagrįsti metodai, išryškinant visą kvadratą, naudojant kvadratinės lygties savybes, ribines išraiškas ir vertinimo metodus. Lygtis, kaip taisyklė, paverčiama forma, iš kurios galima gauti nežinomųjų radimo sistemą.

Faktorizavimas

1 pavyzdys

Išspręskite lygtį: xy - 2 = 2x - y.

Sprendimas.

Sąlygas faktoringo tikslais sugrupuojame:

(xy + y) - (2x + 2) = 0. Išimkite bendrą koeficientą iš kiekvieno skliausto:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1) (y - 2) = 0. Turime:

y = 2, x yra bet koks realusis skaičius arba x = -1, y yra bet koks realusis skaičius.

Šiuo būdu, atsakymas yra visos poros formos (x; 2), x € R ir (-1; y), y € R.

Neneigiamų skaičių lygybė nuliui

2 pavyzdys

Išspręskite lygtį: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Sprendimas.

Grupavimas:

(9x 2 - 12x + 4) + (4y 2 - 12y + 9) = 0. Dabar kiekvieną skliaustelį galima sutraukti naudojant kvadratinio skirtumo formulę.

(3x - 2) 2 + (2y - 3) 2 = 0.

Dviejų neneigiamų išraiškų suma lygi nuliui tik tada, kai 3x - 2 = 0 ir 2y - 3 = 0.

Taigi x = 2/3 ir y = 3/2.

Atsakymas: (2/3; 3/2).

Vertinimo metodas

3 pavyzdys

Išspręskite lygtį: (x 2 + 2x + 2) (y 2 - 4y + 6) = 2.

Sprendimas.

Kiekviename skliaustelyje pasirinkite visą kvadratą:

((x + 1) 2 + 1) ((y – 2) 2 + 2) = 2. Įvertinkite skliausteliuose esančių posakių reikšmė.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 ir (y - 2) 2 + 2 ≥ 2, tada kairioji lygties pusė visada yra bent 2. Lygybė galima, jei:

(x + 1) 2 + 1 = 1 ir (y - 2) 2 + 2 = 2, taigi x = -1, y = 2.

Atsakymas: (-1; 2).

Susipažinkime su kitu lygčių su dviem antrojo laipsnio kintamaisiais sprendimo būdu. Šis metodas yra tas, kad lygtis laikoma kvadratas kokio nors kintamojo atžvilgiu.

4 pavyzdys

Išspręskite lygtį: x 2 - 6x + y - 4√y + 13 = 0.

Sprendimas.

Išspręskime lygtį kaip kvadratinę x atžvilgiu. Raskime diskriminantą:

D = 36 - 4 (y - 4√y + 13) = -4y + 16 y - 16 = -4 (√y - 2) 2 . Lygtis turės sprendinį tik tada, kai D = 0, t.y., jei y = 4. Pakeičiame y reikšmę į pradinę lygtį ir nustatome, kad x = 3.

Atsakymas: (3; 4).

Dažnai lygtyse su dviem nežinomaisiais nurodo kintamųjų apribojimai.

5 pavyzdys

Išspręskite lygtį sveikaisiais skaičiais: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Sprendimas.

Perrašykime lygtį į formą x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Dešinioji gautos lygties pusė, padalijus iš 5, gaunama liekana 2. Todėl x 2 nesidalija iš 5. Bet kvadratas iš 5 nesidalijančio skaičiaus liekana yra 1 arba 4. Taigi lygybė neįmanoma ir sprendinių nėra.

Atsakymas: nėra šaknų.

6 pavyzdys

Išspręskite lygtį: (x 2 - 4|x| + 5) (y 2 + 6y + 12) = 3.

Sprendimas.

Pažymime visus kvadratus kiekviename skliaustelyje:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Kairė lygties pusė visada yra didesnė arba lygi 3. Lygybė galima, jei |x| – 2 = 0 ir y + 3 = 0. Taigi, x = ± 2, y = -3.

Atsakymas: (2; -3) ir (-2; -3).

7 pavyzdys

Kiekvienai neigiamų sveikųjų skaičių (x; y) porai, atitinkančiai lygtį
x 2 - 2xy + 2y 2 + 4y = 33, apskaičiuokite sumą (x + y). Atsakykite į mažiausią sumą.

Sprendimas.

Pasirinkite pilnus kvadratus:

(x 2 - 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x - y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Kadangi x ir y yra sveikieji skaičiai, jų kvadratai taip pat yra sveikieji skaičiai. Dviejų sveikųjų skaičių kvadratų sumą, lygią 37, gauname sudėjus 1 + 36. Todėl:

(x – y) 2 = 36 ir (y + 2) 2 = 1

(x - y) 2 = 1 ir (y + 2) 2 = 36.

Išspręsdami šias sistemas ir atsižvelgdami į tai, kad x ir y yra neigiami, randame sprendinius: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Atsakymas: -17.

Nenusiminkite, jei turite sunkumų spręsdami lygtis su dviem nežinomaisiais. Šiek tiek praktikuodami galėsite įvaldyti bet kurią lygtį.

Ar turite kokių nors klausimų? Nežinote, kaip išspręsti lygtis su dviem kintamaisiais?
Norėdami gauti korepetitoriaus pagalbą – registruokitės.
Pirma pamoka nemokama!

svetainę, visiškai ar iš dalies nukopijavus medžiagą, būtina nuoroda į šaltinį.

Taikymas

Bet kokio tipo lygčių sprendimas internetu į svetainę, kad būtų galima konsoliduoti studentų ir moksleivių studijuojamą medžiagą. Lygčių sprendimas internetu. Lygtys internete. Egzistuoja algebrinės, parametrinės, transcendentinės, funkcinės, diferencialinės ir kitų tipų lygtys.Kai kurios lygčių klasės turi analitinius sprendimus, kurie yra patogūs tuo, kad ne tik pateikia tiksli vertėšaknį ir leidžia parašyti sprendimą formulės forma, kurioje gali būti parametrų. Analitinės išraiškos leidžia ne tik apskaičiuoti šaknis, bet išanalizuoti jų egzistavimą ir skaičių, priklausomai nuo parametrų reikšmių, o tai dažnai yra dar svarbiau praktinis pritaikymas nei konkrečios šakninės reikšmės. Lygčių sprendimas internetu.Lygtys internetu. Lygties sprendimas yra užduotis rasti tokias argumentų reikšmes, dėl kurių ši lygybė pasiekiama. Galimoms argumentų reikšmėms gali būti nustatytos papildomos sąlygos (sveikasis skaičius, tikrasis ir kt.). Lygčių sprendimas internetu.Lygtys internetu. Jūs galite išspręsti lygtį internete akimirksniu ir su dideliu rezultato tikslumu. Pateiktų funkcijų (kartais vadinamų „kintamaisiais“) argumentai lygties atveju vadinami „nežinomaisiais“. Nežinomųjų reikšmės, kurioms pasiekiama ši lygybė, vadinamos duotosios lygties sprendiniais arba šaknimis. Sakoma, kad šaknys tenkina pateiktą lygtį. Spręsti lygtį internete reiškia surasti visų jos sprendinių (šaknų) aibę arba įrodyti, kad šaknų nėra. Lygčių sprendimas internetu.Lygtys internetu. Ekvivalentėmis arba ekvivalentinėmis vadinamos lygtys, kurių šaknų aibės sutampa. Lygiavertėmis taip pat laikomos lygtys, kurios neturi šaknų. Lygčių lygiavertiškumas turi simetrijos savybę: jei viena lygtis yra lygiavertė kitai, tai antroji lygtis yra lygi pirmajai. Lygčių lygiavertiškumas turi tranzityvumo savybę: jei viena lygtis yra lygiavertė kitai, o antroji lygiavertė trečiajai, tai pirmoji lygtis yra lygiavertė trečiajai. Lygčių lygiavertiškumo savybė leidžia su jomis atlikti transformacijas, kuriomis grindžiami jų sprendimo metodai. Lygčių sprendimas internetu.Lygtys internetu. Svetainė leis jums išspręsti lygtį internete. Lygtys, kurių analitiniai sprendimai yra žinomi, apima algebrines lygtis, ne aukštesnes nei ketvirtojo laipsnio: tiesinę lygtį, kvadratinė lygtis, kubinė lygtis ir ketvirtojo laipsnio lygtis. Algebrinės lygtys aukštesni laipsniai in bendras atvejis jie neturi analitinio sprendimo, nors kai kuriuos iš jų galima redukuoti į žemesnio laipsnio lygtis. Lygtys, apimančios transcendentines funkcijas, vadinamos transcendentinėmis. Tarp jų kai kuriems žinomi analitiniai sprendimai trigonometrines lygtis, nuo nulių trigonometrinės funkcijos garsus. Bendruoju atveju, kai nepavyksta rasti analitinio sprendimo, naudojami skaitiniai metodai. Skaitiniai metodai neduoda tikslaus sprendimo, o tik leidžia susiaurinti intervalą, kuriame yra šaknis, iki tam tikros iš anksto nustatytos vertės. Lygčių sprendimas internetu.. Internetinės lygtys.. Vietoj internetinės lygties pateiksime kaip ta pati išraiška formuoja tiesinę priklausomybę ir ne tik išilgai tiesiosios liestinės, bet ir pačiame grafiko vingio taške. Šis metodas yra būtinas bet kuriuo metu studijuojant dalyką. Dažnai atsitinka taip, kad lygčių sprendimas priartėja prie galutinės reikšmės naudojant begaliniai skaičiai ir rašymo vektoriai. Būtina patikrinti pradinius duomenis ir tai yra užduoties esmė. Kitu atveju vietinė sąlyga paverčiama formule. Tiesios linijos inversija iš suteikta funkcija, kurią lygčių skaičiuotuvas apskaičiuos be didelio uždelsimo vykdymo, erdvės privilegija pasitarnaus kaip užskaita. Tai bus apie studentų veiklą mokslinėje aplinkoje. Tačiau, kaip ir visa tai, kas išdėstyta pirmiau, tai padės mums surasti, o kai visiškai išspręsite lygtį, gautą atsakymą išsaugokite tiesios atkarpos galuose. Erdvės tiesės susikerta taške, ir šis taškas vadinamas susikertamas tiesėmis. Intervalas eilutėje pažymėtas kaip nurodyta anksčiau. Bus paskelbtas aukščiausias matematikos studijų postas. Priskirdami argumento reikšmę iš parametriškai apibrėžto paviršiaus ir išsprendę lygtį internete, galėsite nurodyti produktyvaus funkcijos iškvietimo principus. Möbius juostelė arba, kaip ji vadinama begalybe, atrodo kaip aštunta figūra. Tai vienpusis paviršius, o ne dvipusis. Pagal visiems gerai žinomą principą objektyviai priimsime tiesines lygtis kaip pagrindinį pavadinimą, koks yra studijų srityje. Tik dvi iš eilės pateiktų argumentų reikšmės gali atskleisti vektoriaus kryptį. Daryti prielaidą, kad kitoks internetinių lygčių sprendimas yra daug daugiau nei tik jo sprendimas, reiškia gauti visavertę invarianto versiją išvestyje. Be integruoto požiūrio mokiniams sunku išmokti šią medžiagą. Visgi kiekvienai ypatingai progai mūsų patogus ir išmanusis skaičiuotuvas lygtys internete padės kiekvienam sunkiu momentu, nes tereikia nurodyti įvesties parametrus ir sistema pati apskaičiuos atsakymą. Prieš pradedant įvesti duomenis, mums reikia įvesties įrankio, kurį galima padaryti be didelių sunkumų. Kiekvieno atsakymo balo skaičius bus kvadratinė lygtis, leidžianti daryti išvadas, tačiau tai padaryti nėra taip paprasta, nes nesunku įrodyti priešingai. Teorija dėl jos ypatumų neparemta praktinėmis žiniomis. Pamatyti trupmenos skaičiuotuvą atsakymo paskelbimo etape nėra lengva matematikos užduotis, nes alternatyva įrašyti skaičių rinkinyje padidina funkcijos augimą. Tačiau nesakyti apie mokinių mokymą būtų neteisinga, todėl kiekvienas išreikšime tiek, kiek reikės padaryti. Anksčiau rasta kubinė lygtis teisėtai priklausys apibrėžimo sričiai, joje bus skaitinių reikšmių erdvė, taip pat simboliniai kintamieji. Išmokę ar išmokę teoremą, mūsų mokiniai įrodys save tik su geresnė pusė ir mes džiaugsimės už juos. Priešingai nei laukų susikirtimų rinkinys, mūsų internetinės lygtys apibūdinamos judėjimo plokštuma išilgai dviejų ir trijų skaitinių kombinuotų linijų daugybos. Matematikos aibė nėra vienareikšmiškai apibrėžta. Geriausias sprendimas, pasak mokinių, yra iki galo užbaigta rašytinė išraiška. Kaip buvo sakyta moksline kalba, simbolinių posakių abstrakcija nėra įtraukta į reikalų būklę, tačiau lygčių sprendimas visais žinomais atvejais duoda nedviprasmišką rezultatą. Mokytojo užsiėmimo trukmė priklauso nuo šio pasiūlymo poreikių. Analizė parodė, kad daugelyje sričių reikalingi visi skaičiavimo metodai, ir visiškai aišku, kad lygčių skaičiuotuvas yra nepakeičiamas įrankis gabiose studento rankose. Ištikimas požiūris į matematikos studijas lemia skirtingų krypčių požiūrių svarbą. Jūs norite paskirti vieną iš pagrindinių teoremų ir išspręsti lygtį tokiu būdu, priklausomai nuo atsakymo, kurį reikės toliau taikyti. Analizė šioje srityje įgauna pagreitį. Pradėkime nuo pradžių ir išveskime formulę. Peržengus funkcijos padidėjimo lygį, liestinės linija vingio taške būtinai lems tai, kad lygties sprendimas internete bus vienas iš pagrindinių aspektų sudarant tą patį grafiką iš funkcijos argumento. Mėgėjiškas požiūris turi teisę būti taikomas, jei ši sąlyga neprieštarauja mokinių išvadoms. Būtent ta antrinė užduotis įtraukia matematinių sąlygų analizę kaip tiesines lygtis esamą plotą objektų apibrėžimai. Poslinkis ortogonalumo kryptimi panaikina vienišos absoliučios vertės pranašumą. Modulo, sprendžiant lygtis internetu, gaunamas tiek pat sprendinių, jei skliaustus pirmiausia atidarote pliuso, o po to minuso ženklu. Šiuo atveju sprendimų yra dvigubai daugiau, o rezultatas bus tikslesnis. Stabili ir teisinga internetinė lygčių skaičiuoklė – tai sėkmė siekiant užsibrėžto tikslo mokytojo iškeltoje užduotyje. Atrodo, kad įmanoma pasirinkti reikiamą metodą dėl didelių mokslininkų požiūrių skirtumų. Gauta kvadratinė lygtis apibūdina tiesių kreivę, vadinamąją parabolę, o ženklas nustatys jos išgaubimą kvadratinėje koordinačių sistemoje. Iš lygties gauname ir diskriminantą, ir pačias šaknis pagal Vietos teoremą. Būtina pateikti išraišką kaip tinkamą ar netinkamą trupmeną ir pirmajame etape naudoti trupmenų skaičiuotuvą. Atsižvelgiant į tai, bus sudarytas tolesnių mūsų skaičiavimų planas. Matematika su teoriniu požiūriu yra naudinga kiekviename etape. Rezultatą būtinai pateiksime kaip kubinę lygtį, nes šioje išraiškoje paslėpsime jos šaknis, siekdami supaprastinti užduotį studentui universitete. Bet kokie metodai yra geri, jei jie tinkami paviršutiniškai analizei. Papildomos aritmetinės operacijos nesukels skaičiavimo klaidų. Nustatykite atsakymą nurodytu tikslumu. Naudodami lygčių sprendimą, pripažinkime – rasti nepriklausomą kintamąjį iš duotosios funkcijos nėra taip paprasta, ypač tiriamuoju laikotarpiu lygiagrečios linijos begalybėje. Atsižvelgiant į išimtį, poreikis yra labai akivaizdus. Poliškumo skirtumas yra nedviprasmiškas. Iš dėstymo institutuose patirties pasisėmė mūsų mokytojas pagrindinė pamoka, kurioje lygtys buvo tiriamos internete visa matematine prasme. Čia buvo kalbama apie didesnes pastangas ir specialius teorijos taikymo įgūdžius. Mūsų išvadų naudai nereikėtų žiūrėti per prizmę. Dar visai neseniai buvo manoma, kad tokiame plote sparčiai auga uždaras rinkinys, o lygčių sprendimą tiesiog reikia ištirti. Pirmajame etape mes neatsižvelgėme į visus galimi variantai, tačiau toks požiūris labiau pagrįstas nei bet kada. Papildomi veiksmai su skliaustais pateisina tam tikrą pažangą išilgai ordinatės ir abscisių ašių, kurių negalima nepastebėti plika akimi. Yra vingio taškas plačios proporcingos funkcijos padidėjimo prasme. Dar kartą įrodome, kaip būtina sąlyga bus taikomas per visą vienos ar kitos vektoriaus mažėjančios padėties mažėjimo intervalą. Uždaroje erdvėje pasirinksime kintamąjį iš pradinio scenarijaus bloko. Sistema, sukurta kaip trijų vektorių pagrindas, yra atsakinga už pagrindinio jėgos momento nebuvimą. Tačiau lygčių skaičiuotuvas išvedė ir padėjo rasti visus sudarytos lygties narius tiek virš paviršiaus, tiek išilgai lygiagrečių linijų. Apibūdinkime ratą aplink pradžios tašką. Taigi, mes pradėsime judėti aukštyn išilgai pjūvio linijų, o liestinė apibūdins apskritimą per visą jo ilgį, todėl gausime kreivę, kuri vadinama evoliucine. Beje, pakalbėkime apie šią kreivę šiek tiek istorijos. Faktas yra tas, kad istoriškai matematikoje nebuvo pačios matematikos sąvokos grynąja prasme, kokia ji yra šiandien. Anksčiau visi mokslininkai užsiėmė vienu bendra priežastis y., mokslas. Vėliau, po kelių šimtmečių, kai mokslo pasaulis prisipildė milžiniško kiekio informacijos, žmonija vis dėlto išskyrė daugybę disciplinų. Jie vis dar išlieka nepakitę. Ir vis dėlto kiekvienais metais mokslininkai visame pasaulyje bando įrodyti, kad mokslas yra beribis, ir jūs negalite išspręsti lygties, jei neturite gamtos mokslų žinių. Gal ir nepavyks pagaliau padaryti taško. Galvoti apie tai taip pat beprasmiška, kaip šildyti orą lauke. Raskime intervalą, kuriame argumentas su savo teigiama reikšme nustato vertės modulį staigiai didėjančia kryptimi. Reakcija padės rasti bent tris sprendimus, tačiau juos reikės patikrinti. Pradėkime nuo to, kad turime išspręsti lygtį internetu, naudodami unikalią mūsų svetainės paslaugą. Įveskime abi pateiktos lygties dalis, paspauskite mygtuką „SPRENDIMAS“ ir vos per kelias sekundes gausime tikslų atsakymą. Ypatingais atvejais paimsime matematikos knygą ir dar kartą patikrinsime savo atsakymą, būtent, žiūrėsime tik į atsakymą ir viskas paaiškės. Tas pats projektas išskris ant dirbtinio perteklinio gretasienio. Yra lygiagretainis su lygiagrečiomis kraštinėmis, ir jis paaiškina daugybę principų ir požiūrių, kaip tirti tuščiavidurės erdvės kaupimosi formulėse proceso erdvinį ryšį. natūrali išvaizda. Dviprasmiškos tiesinės lygtys parodo norimo kintamojo priklausomybę nuo mūsų bendro Šis momentas laikas pagal sprendimą ir reikia kažkaip išvesti ir sumažinti netinkamą trupmeną iki nereikšmingo atvejo. Tiesėje pažymime dešimt taškų ir per kiekvieną tašką nubrėžiame kreivę tam tikra kryptimi ir su išgaubimu į viršų. Mūsų lygčių skaičiuoklė be didelių sunkumų pateiks išraišką tokia forma, kad jos patikrinimas dėl taisyklių galiojimo bus akivaizdus net įrašymo pradžioje. Specialiųjų stabilumo atvaizdų sistema matematikams pirmiausia, jei formulėje nenurodyta kitaip. Į tai atsakysime išsamiai pristatydami pranešimą apie plastinės kūnų sistemos izomorfinę būseną, o lygčių sprendimas internete aprašys kiekvieno materialaus taško judėjimą šioje sistemoje. Giluminio tyrimo lygmeniu reikės detaliai išsiaiškinti bent apatinio erdvės sluoksnio inversijų klausimą. Didėjant funkcijos nepertraukiamumo atkarpoje, taikome bendras metodas puikus tyrinėtojas, beje, mūsų kraštietis, o apie lėktuvo elgesį papasakosime žemiau. Dėl stiprių analitiškai pateiktos funkcijos savybių internetinį lygčių skaičiuotuvą naudojame tik pagal paskirtį, neviršydami išvestinių įgaliojimų. Ginčydami toliau, sustabdome pačios lygties homogeniškumo apžvalgą, tai yra, jos dešinė pusė prilyginama nuliui. Dar kartą patikrinsime savo matematikos sprendimo teisingumą. Kad negautume trivialaus sprendimo, atliksime kai kuriuos pradines sistemos sąlyginio stabilumo problemos koregavimus. Sudarykime kvadratinę lygtį, kuriai naudodami gerai žinomą formulę išrašome du įrašus ir randame neigiamas šaknis. Jei viena šaknis penkiais vienetais viršija antrąją ir trečiąją šaknis, tada atlikdami pakeitimus į pagrindinis argumentas taip iškreipiame pradines poproblemos sąlygas. Iš esmės kažką neįprasto matematikoje visada galima apibūdinti šimtosios teigiamo skaičiaus tikslumu. Trupmenų skaičiuotuvas kelis kartus pranašesnis už analogiškus panašius išteklius geriausiu serverio apkrovos momentu. Greičio vektoriaus, augančio išilgai y ašies, paviršiuje nubrėžiame septynias linijas, išlenktas viena kitai priešingomis kryptimis. Priskirtos funkcijos argumento palyginamumas rodo atkūrimo balanso skaitiklį. Matematikoje šį reiškinį galima pavaizduoti per kubinę lygtį su įsivaizduojamais koeficientais, taip pat dvipoliu mažėjančių linijų progresu. Kritiniai temperatūros skirtumo taškai daugeliu savo prasmių ir pažangos apibūdina sudėtingos trupmeninės funkcijos faktoringo procesą. Jei jums liepta išspręsti lygtį, neskubėkite to daryti šią minutę, būtinai pirmiausia įvertinkite visą veiksmų planą ir tik tada imkitės tinkamo požiūrio. Tikrai bus naudos. Lengvumas darbe akivaizdus, ​​o matematikoje – tas pats. Išspręskite lygtį internete. Visos internetinės lygtys yra tam tikro tipo skaičių arba parametrų įrašas ir kintamasis, kurį reikia apibrėžti. Apskaičiuokite šį labai kintamąjį, tai yra, suraskite konkrečias verčių rinkinio reikšmes arba intervalus, kurių tapatybė bus patenkinta. Pradinės ir galutinės sąlygos tiesiogiai priklauso. AT bendras sprendimas lygtys paprastai apima tam tikrus kintamuosius ir konstantas, kurias nustatę, gausime ištisas tam tikros problemos teiginių sprendimų šeimas. Apskritai tai pateisina pastangas, skirtas erdvinio kubo, kurio kraštinė lygi 100 centimetrų, funkcionalumo didinimo kryptimi. Teoremą ar lemą galite taikyti bet kuriame atsakymo sudarymo etape. Svetainė palaipsniui išleidžia lygčių skaičiuotuvą, jei reikia, parodykite mažiausią vertę bet kuriuo produktų sumavimo intervalu. Pusėje atvejų toks rutulys kaip tuščiaviduris labiau neatitinka tarpinio atsakymo nustatymo reikalavimų. Bent jau y ašyje vektorinio vaizdavimo mažėjimo kryptimi ši proporcija neabejotinai bus optimalesnė nei ankstesnė išraiška. Tą valandą, kai bus atlikta visa tiesinių funkcijų taškų analizė, mes iš tikrųjų surinksime visus savo kompleksinius skaičius ir dvipolies plokštumos erdves. Pakeisdami kintamąjį gautoje išraiškoje, lygtį išspręsite etapais ir labai tiksliai pateiksite išsamiausią atsakymą. Vėlgi, pasitikrinti savo veiksmus matematikoje bus gera mokinio forma. Dalių santykio proporcija fiksavo rezultato vientisumą visose svarbiose nulinio vektoriaus veiklos srityse. Trivialumas patvirtinamas atliktų veiksmų pabaigoje. Turėdami paprastą užduočių rinkinį, mokiniams negali kilti sunkumų, jei jie per trumpiausią įmanomą laiką išsprendžia lygtį internete, tačiau nepamirškite ir įvairiausių taisyklių. Poaibių rinkinys susikerta konverguojančio žymėjimo srityje. Įvairiais atvejais produktas nėra klaidingai faktorizuojamas. Jums padės išspręsti lygtį internete mūsų pirmame skyriuje apie matematinių metodų pagrindus, skirtus svarbiems universitetų ir technikos mokyklų studentams. Atsakant į pavyzdžius, nereikės laukti kelių dienų, nes geriausios vektorinės analizės sąveikos su nuosekliu sprendimų paieška procesas buvo patentuotas praėjusio amžiaus pradžioje. Pasirodo, pastangos užmegzti ryšį su aplinkiniu kolektyvu nenuėjo veltui, visų pirma buvo akivaizdžiai pavėluota dar kažkas. Po kelių kartų viso pasaulio mokslininkai privertė manyti, kad matematika yra mokslų karalienė. Nesvarbu, ar tai kairysis atsakymas, ar teisingas atsakymas, baigtinius terminus vis tiek reikia rašyti trimis eilėmis, nes mūsų atveju vienareikšmiškai kalbėsime tik apie vektorinę matricos savybių analizę. Netiesinės ir tiesinės lygtys kartu su bikvadratinėmis lygtimis užėmė ypatingą vietą mūsų knygoje apie geriausia praktika judėjimo trajektorijos skaičiavimas visų uždaros sistemos materialių taškų erdvėje. Trijų iš eilės vektorių skaliarinės sandaugos linijinė analizė padės mums įgyvendinti idėją. Kiekvieno nustatymo pabaigoje užduotis supaprastinama įvedant optimizuotas skaitines išimtis atliekamų skaitinės erdvės perdangų kontekste. Kitas sprendimas neprieštaraus rastam atsakymui savavališka trikampio forma apskritime. Kampas tarp dviejų vektorių apima reikiamą maržos procentą, o lygčių sprendimas internete dažnai atskleidžia tam tikrą bendrą lygties šaknį, o ne pradines sąlygas. Išimtis atlieka katalizatoriaus vaidmenį visame neišvengiamame teigiamo sprendimo paieškos procese funkcijų apibrėžimo srityje. Jei nesakoma, kad negalite naudotis kompiuteriu, internetinė lygčių skaičiuoklė kaip tik tinka jūsų sudėtingoms užduotims. Pakanka įvesti savo sąlyginius duomenis teisingu formatu ir mūsų serveris per trumpiausią įmanomą laiką pateiks visavertį atsakymą. Eksponentinė funkcija auga daug greičiau nei tiesinė. Tai liudija išmaniosios bibliotekinės literatūros Talmudai. Skaičiavimą atliks bendrąja prasme, kaip tai padarytų duota kvadratinė lygtis su trimis kompleksiniais koeficientais. Viršutinėje pusės plokštumos dalyje esanti parabolė apibūdina tiesinį lygiagretų judėjimą išilgai taško ašių. Čia verta paminėti potencialų skirtumą kūno darbo erdvėje. Mainais už neoptimalų rezultatą, mūsų trupmenų skaičiuotuvas teisėtai užima pirmąją vietą funkcinių programų apžvalgos matematiniame reitinge gale. Naudojimosi šia paslauga patogumą įvertins milijonai interneto vartotojų. Jei nežinote, kaip juo naudotis, mes mielai jums padėsime. Taip pat iš daugelio pradinukų užduočių norime išryškinti ir išryškinti kubinę lygtį, kai reikia greitai surasti jos šaknis ir plokštumoje nubraižyti funkcijų grafiką. aukštesni laipsniai reprodukcija yra viena iš sunkiausių matematinių uždavinių institute ir pakankamai valandų. Kaip ir visos tiesinės lygtys, mūsų nėra daugelio objektyvių taisyklių išimtis, pažvelkite iš skirtingų požiūrių, ir tai pasirodys paprasta ir pakankama pradinėms sąlygoms nustatyti. Didėjimo intervalas sutampa su funkcijos išgaubtumo intervalu. Lygčių sprendimas internete. Teorijos studijos remiasi internetinėmis lygtimis iš daugelio pagrindinės disciplinos studijų skyrių. Esant tokiam požiūriui į neapibrėžtas problemas, labai lengva pateikti lygčių sprendimą iš anksto nustatyta forma ir ne tik padaryti išvadas, bet ir numatyti tokio teigiamo sprendimo rezultatą. Paslauga padės mums mokytis dalyko pagal geriausias matematikos tradicijas, kaip įprasta rytuose. Geriausiais laiko intervalo momentais panašios užduotys buvo padaugintos iš bendro daugiklio dešimt kartų. Esant gausybei kelių kintamųjų daugybų lygčių skaičiuoklėje, jis pradėjo daugintis iš kokybės, o ne iš kiekybinių kintamųjų, tokių kaip masė ar kūno svoris. Kad būtų išvengta materialinės sistemos disbalanso atvejų, mums visiškai akivaizdu trimačio keitiklio išvedimas ant trivialios neišsigimusių matematinių matricų konvergencijos. Atlikite užduotį ir išspręskite lygtį nurodytomis koordinatėmis, nes išvestis iš anksto nežinoma, taip pat nežinomi visi kintamieji, įtraukti į posterdvės laiką. Ant trumpalaikis bendrąjį koeficientą perkelkite už skliaustų ir iš anksto padalinkite iš didžiausio bendro abiejų dalių daliklio. Iš po gauto padengto skaičių pogrupio ištrauka detalus būdas trisdešimt tris taškus iš eilės per trumpą laiką. Tiek, kiek geriausiu atveju kiekvienas studentas gali išspręsti lygtį internetu, žvelgiant į priekį, tarkime, vieną svarbų, bet esminį dalyką, be kurio mums nebus lengva gyventi ateityje. Praėjusiame amžiuje didysis mokslininkas pastebėjo daugybę matematikos teorijos dėsningumų. Praktiškai susidarė ne visai lauktas įvykių įspūdis. Tačiau iš esmės šis lygčių sprendimas internete padeda geriau suprasti ir suvokti holistinį požiūrį į studijas ir praktinį studentų nagrinėjamos teorinės medžiagos įtvirtinimą. Studijų metu tai padaryti daug lengviau.

=

I. kirvis 2 \u003d 0 – Nebaigtas kvadratinė lygtis (b = 0, c = 0 ). Sprendimas: x=0. Atsakymas: 0.

Išspręskite lygtis.

2x·(x+3)=6x-x 2 .

Sprendimas. Išplėskite skliaustus padaugindami 2x kiekvienam terminui skliausteliuose:

2x2 +6x=6x-x2 ; terminų perkėlimas iš dešinės į kairę:

2x2 +6x-6x+x2=0; Čia yra panašūs terminai:

3x 2 = 0, taigi x = 0.

Atsakymas: 0.

II. ax2+bx=0 –Nebaigtas kvadratinė lygtis (s = 0 ). Sprendimas: x (ax+b)=0 → x 1 =0 arba ax+b=0 → x 2 =-b/a. Atsakymas: 0; -b/a.

5x2 -26x=0.

Sprendimas. Išimkite bendrą veiksnį X skliausteliuose:

x(5x-26)=0; kiekvienas koeficientas gali būti lygus nuliui:

x=0 arba 5x-26=0→ 5x=26, padalykite abi lygybės puses iš 5 ir gauname: x \u003d 5.2.

Atsakymas: 0; 5,2.

3 pavyzdys 64x+4x2=0.

Sprendimas. Išimkite bendrą veiksnį 4x skliausteliuose:

4x(16+x)=0. Mes turime tris veiksnius, 4≠0, todėl arba x=0 arba 16+x=0. Iš paskutinės lygybės gauname x=-16.

Atsakymas: -16; 0.

4 pavyzdys(x-3) 2 + 5x = 9.

Sprendimas. Taikydami dviejų išraiškų skirtumo kvadrato formulę, atidarykite skliaustus:

x 2 -6x+9+5x=9; transformuoti į formą: x 2 -6x+9+5x-9=0; Čia yra panašūs terminai:

x2-x=0; kentėti X už skliaustų gauname: x (x-1)=0. Iš čia arba x=0 arba x-1=0→ x=1.

Atsakymas: 0; 1.

III. ax2+c=0 –Nebaigtas kvadratinė lygtis (b = 0 ); Sprendimas: ax 2 \u003d -c → x 2 \u003d -c / a.

Jeigu (-c/a)<0 , tada nėra tikrų šaknų. Jeigu (-s/a)>0

5 pavyzdys x 2 -49=0.

Sprendimas.

x 2 \u003d 49, iš čia x=±7. Atsakymas:-7; 7.

6 pavyzdys 9x2-4=0.

Sprendimas.

Dažnai reikia rasti kvadratinės lygties šaknų kvadratų sumą (x 1 2 + x 2 2) arba kubelių sumą (x 1 3 + x 2 3), rečiau - atvirkštinės lygties atvirkštinių dydžių sumą. šaknų kvadratai arba aritmetikos suma kvadratinės šaknys iš kvadratinės lygties šaknų:

Vietos teorema gali padėti:

x 2 +px+q=0

x 1 + x 2 \u003d-p; x 1 ∙ x 2 \u003d q.

Express per p ir q:

1) lygties šaknų kvadratų suma x2+px+q=0;

2) lygties šaknų kubelių suma x2+px+q=0.

Sprendimas.

1) Išraiška x 1 2 + x 2 2 gautas padalijus abi lygties puses kvadratu x 1 + x 2 \u003d-p;

(x 1 + x 2) 2 \u003d (-p) 2; atidarykite skliaustus: x 1 2 +2x 1 x 2 + x 2 2 =p 2; išreiškiame norimą sumą: x 1 2 +x 2 2 \u003d p 2 -2x 1 x 2 \u003d p 2 -2q. Turime naudingą lygtį: x 1 2 + x 2 2 \u003d p 2 -2q.

2) Išraiška x 1 3 + x 2 3 pavaizduoti pagal kubų sumos formulę tokia forma:

(x 1 3 + x 2 3)=(x 1 + x 2) (x 1 2 -x 1 x 2 +x 2 2) = -p (p 2 -2q-q) = -p (p 2 -3 q ).

Kita naudinga lygtis: x 1 3 + x 2 3 \u003d-p (p 2 -3q).

Pavyzdžiai.

3) x 2 -3x-4=0. Neišsprendę lygties, apskaičiuokite išraiškos reikšmę x 1 2 + x 2 2.

Sprendimas.

x 1 + x 2 \u003d-p \u003d 3, ir darbas x 1 ∙x 2 \u003d q \u003d1 pavyzdyje) lygybė:

x 1 2 + x 2 2 \u003d p 2 -2q. Mes turime -p=x 1 +x 2 = 3 → p 2 =3 2 =9; q= x 1 x 2 = -4. Tada x 1 2 + x 2 2 =9-2 (-4)=9+8=17.

Atsakymas: x 1 2 + x 2 2 =17.

4) x 2 -2x-4 = 0. Apskaičiuokite: x 1 3 +x 2 3 .

Sprendimas.

Pagal Vietos teoremą, šios sumažintos kvadratinės lygties šaknų suma x 1 + x 2 \u003d-p \u003d 2, ir darbas x 1 ∙x 2 \u003d q \u003d- keturi. Taikome tai, ką gavome ( 2 pavyzdyje) lygybė: x 1 3 + x 2 3 \u003d-p (p 2 -3q) \u003d 2 (2 2 -3 (-4)) = 2 (4 + 12) = 2 16 = 32.

Atsakymas: x 1 3 + x 2 3 =32.

Klausimas: o kas, jei mums būtų pateikta neredukuota kvadratinė lygtis? Atsakymas: jį visada galima „sumažinti“ dalijant terminą iš pirmojo koeficiento.

5) 2x2 -5x-7=0. Neišsprendę apskaičiuokite: x 1 2 + x 2 2.

Sprendimas. Mums duota visa kvadratinė lygtis. Padalinkite abi lygties puses iš 2 (pirmasis koeficientas) ir gaukite tokią kvadratinę lygtį: x 2 -2,5x-3,5 \u003d 0.

Pagal Vietos teoremą šaknų suma yra 2,5 ; šaknų produktas yra -3,5 .

Mes sprendžiame taip pat, kaip pavyzdys 3) naudojant lygybę: x 1 2 + x 2 2 \u003d p 2 -2q.

x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q= 2,5 2 -2∙(-3,5)=6,25+7=13,25.

Atsakymas: x 1 2 + x 2 2 = 13,25.

6) x2 -5x-2=0. Rasti:

Transformuokime šią lygybę ir, pakeisdami Vietos teoremos šaknų sumą, -p, o šaknų produktas per q, gauname dar vieną naudingą formulę. Išvesdami formulę naudojome lygybę 1): x 1 2 + x 2 2 \u003d p 2 -2q.

Mūsų pavyzdyje x 1 + x 2 \u003d -p \u003d 5; x 1 ∙x 2 \u003d q \u003d-2. Pakeiskite šias reikšmes į gautą formulę:

7) x 2 -13x+36=0. Rasti:

Transformuokime šią sumą ir gaukime formulę, pagal kurią iš kvadratinės lygties šaknų bus galima rasti aritmetinių kvadratinių šaknų sumą.

Mes turime x 1 + x 2 \u003d -p \u003d 13; x 1 ∙ x 2 \u003d q \u003d 36. Pakeiskite šias reikšmes į gautą formulę:

Patarimas : visada patikrinkite galimybę rasti kvadratinės lygties šaknis pagal tinkamas būdas, po visko 4 peržiūrėta naudingos formulės leidžia greitai atlikti užduotį, visų pirma tais atvejais, kai diskriminantas yra „nepatogus“ skaičius. Iš viso paprasti atvejai rasti šaknis ir jas operuoti. Pavyzdžiui, paskutiniame pavyzdyje šaknis pasirenkame naudodami Vieta teoremą: šaknų suma turi būti lygi 13 , ir šaknų produktas 36 . Kokie tai skaičiai? Žinoma, 4 ir 9. Dabar apskaičiuokite šių skaičių kvadratinių šaknų sumą: 2+3=5. Viskas!

I. Vietos teorema sumažintai kvadratinei lygčiai.

Sumažintos kvadratinės lygties šaknų suma x 2 +px+q=0 yra lygus antrajam koeficientui, paimtam iš priešingas ženklas, o šaknų sandauga lygi laisvajam terminui:

x 1 + x 2 \u003d-p; x 1 ∙ x 2 \u003d q.

Raskite duotosios kvadratinės lygties šaknis naudodami Vietos teoremą.

1 pavyzdys) x 2 -x-30=0. Tai yra sumažinta kvadratinė lygtis ( x 2 +px+q=0), antrasis koeficientas p=-1, ir laisvas terminas q=-30. Pirmiausia įsitikinkite, kad duota lygtis turi šaknis ir kad šaknys (jei yra) bus išreikštos sveikaisiais skaičiais. Tam pakanka, kad diskriminantas būtų visas sveikojo skaičiaus kvadratas.

Diskriminanto radimas D=b 2 – 4ac=(-1) 2 –4∙1∙(-30)=1+120=121= 11 2 .

Dabar pagal Vietos teoremą šaknų suma turi būti lygi antrajam koeficientui, paimtam su priešingu ženklu, t.y. ( -p), o prekė lygi laisvam terminui, t.y. ( q). Tada:

x 1 + x 2 =1; x 1 ∙ x 2 \u003d -30. Turime pasirinkti tokius du skaičius, kad jų sandauga būtų lygi -30 , o suma yra vienetas. Tai yra skaičiai -5 ir 6 . Atsakymas: -5; 6.

2 pavyzdys) x 2 +6x+8=0. Turime sumažintą kvadratinę lygtį su antruoju koeficientu p=6 ir nemokamas narys q=8. Įsitikinkite, kad yra sveikųjų skaičių šaknų. Raskime diskriminantą D1 D1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . Diskriminantas D 1 yra tobulas skaičiaus kvadratas 1 , todėl šios lygties šaknys yra sveikieji skaičiai. Šaknis pasirenkame pagal Vietos teoremą: šaknų suma lygi –p=-6, o šaknų produktas yra q=8. Tai yra skaičiai -4 ir -2 .

Iš tikrųjų: -4-2=-6=-p; -4∙(-2)=8=q. Atsakymas: -4; -2.

3 pavyzdys) x 2 +2x-4=0. Šioje sumažintoje kvadratinėje lygtyje antrasis koeficientas p=2, ir laisvas terminas q=-4. Raskime diskriminantą D1, nes antrasis koeficientas yra lyginis skaičius. D1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. Diskriminantas nėra tobulas skaičiaus kvadratas, todėl mes tai darome išvada: šios lygties šaknys nėra sveikieji skaičiai ir jų negalima rasti naudojant Vietos teoremą. Taigi, šią lygtį, kaip įprasta, išsprendžiame pagal formules (šiuo atveju pagal formules). Mes gauname:

4 pavyzdys). Parašykite kvadratinę lygtį naudodami jos šaknis, jei x 1 \u003d -7, x 2 \u003d 4.

Sprendimas. Norima lygtis bus parašyta tokia forma: x 2 +px+q=0, be to, remiantis Vieta teorema –p=x1 +x2=-7+4=-3 →p=3; q = x 1 ∙ x 2=-7∙4=-28 . Tada lygtis bus tokia: x2 +3x-28=0.

5 pavyzdys). Parašykite kvadratinę lygtį naudodami jos šaknis, jei:

II. Vietos teorema pilnai kvadratinei lygčiai ax2+bx+c=0.

Šaknų suma yra minusas b padalytą a, šaknų produktas yra Su padalytą a:

x 1 + x 2 \u003d -b / a; x 1 ∙ x 2 \u003d c / a.

6 pavyzdys). Raskite kvadratinės lygties šaknų sumą 2x2 -7x-11=0.

Sprendimas.

Esame įsitikinę, kad ši lygtis turės šaknis. Tam pakanka parašyti diskriminanto išraišką ir jo neskaičiuojant tik įsitikinti, kad diskriminantas yra didesnis už nulį. D=7 2 -4∙2∙(-11)>0 . O dabar naudokimės teorema Vieta pilnosioms kvadratinėms lygtims.

x 1 + x 2 =-b:a=- (-7):2=3,5.

7 pavyzdys). Raskite kvadratinės lygties šaknų sandaugą 3x2 +8x-21=0.

Sprendimas.

Raskime diskriminantą D1, nuo antrojo koeficiento ( 8 ) yra lyginis skaičius. D1=4 2 -3∙(-21)=16+63=79>0 . Kvadratinė lygtis turi 2 šaknis, pagal Vietos teoremą, šaknų sandauga x 1 ∙ x 2 \u003d c: a=-21:3=-7.

I. ax 2 +bx+c=0 yra bendroji kvadratinė lygtis

Diskriminuojantis D=b 2 - 4ac.

Jeigu D>0, tada turime dvi tikras šaknis:

Jeigu D=0, tada turime vieną šaknį (arba dvi lygias šaknis) x=-b/(2a).

Jeigu D<0, то действительных корней нет.

Pavyzdys 1) 2x2 +5x-3=0.

Sprendimas. a=2; b=5; c=-3.

D=b 2-4ac=5 2 -4∙2∙(-3)=25+24=49=7 2 >0; 2 tikros šaknys.

4x2 +21x+5=0.

Sprendimas. a=4; b=21; c=5.

D=b 2-4ac=21 2 - 4∙4∙5=441-80=361=19 2 >0; 2 tikros šaknys.

II. ax2+bx+c=0 – specialioji kvadratinė lygtis lygiai sekundei

koeficientas b

Pavyzdys 3) 3x2 -10x+3=0.

Sprendimas. a=3; b\u003d -10 (lyginis skaičius); c=3.

4 pavyzdys) 5x2-14x-3=0.

Sprendimas. a=5; b= -14 (lyginis skaičius); c=-3.

5 pavyzdys) 71x2 +144x+4=0.

Sprendimas. a=71; b=144 (lyginis skaičius); c=4.

6 pavyzdys) 9x2 -30x+25=0.

Sprendimas. a=9; b\u003d -30 (lyginis skaičius); c=25.

III. ax2+bx+c=0 – kvadratinė lygtis privatus tipas, suteikiamas: a-b+c=0.

Pirmoji šaknis visada yra minusas, o antroji šaknis minusas Su padalytą a:

x 1 \u003d -1, x 2 \u003d - c / a.

7 pavyzdys) 2x2+9x+7=0.

Sprendimas. a=2; b=9; c=7. Patikrinkime lygybę: a-b+c=0. Mes gauname: 2-9+7=0 .

Tada x 1 \u003d -1, x 2 \u003d -c / a = -7 / 2 \u003d -3,5. Atsakymas: -1; -3,5.

IV. ax2+bx+c=0 – tam tikros formos kvadratinė lygtis pagal sąlygą : a+b+c=0.

Pirmoji šaknis visada lygi vienetui, o antroji – lygi Su padalytą a:

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d c / a.

8 pavyzdys) 2x2 -9x+7=0.

Sprendimas. a=2; b=-9; c=7. Patikrinkime lygybę: a+b+c=0. Mes gauname: 2-9+7=0 .

Tada x 1 \u003d 1, x 2 \u003d c / a = 7/2 \u003d 3,5. Atsakymas: 1; 3,5.

1 puslapis iš 1 1

Šiame vaizdo įraše išanalizuosime visą rinkinį tiesinių lygčių, kurios išsprendžiamos naudojant tą patį algoritmą – todėl jos ir vadinamos paprasčiausiomis.

Pirmiausia apibrėžkime: kas yra tiesinė lygtis ir kuri iš jų turėtų būti vadinama paprasčiausia?

Tiesinė lygtis yra ta, kurioje yra tik vienas kintamasis ir tik pirmojo laipsnio.

Paprasčiausia lygtis reiškia konstrukciją:

Visos kitos tiesinės lygtys sumažinamos iki paprasčiausių, naudojant algoritmą:

1. Atidaryti skliausteliuose, jei tokių yra;
2. Perkelkite terminus su kintamuoju į vieną lygybės ženklo pusę, o terminus be kintamojo į kitą;
3. Panašius terminus perkelkite į kairę ir dešinę nuo lygybės ženklo;
4. Gautą lygtį padalinkite iš kintamojo $x$ koeficiento.

Žinoma, šis algoritmas ne visada padeda. Faktas yra tas, kad kartais po visų šių machinacijų kintamojo $x$ koeficientas pasirodo lygus nuliui. Šiuo atveju galimi du variantai:

1. Lygtis apskritai neturi sprendinių. Pavyzdžiui, kai gaunate kažką panašaus į $0\cdot x=8$, t.y. kairėje yra nulis, o dešinėje - ne nulis skaičius. Žemiau esančiame vaizdo įraše apžvelgsime keletą priežasčių, kodėl tokia situacija yra įmanoma.
2. Sprendimas yra visi skaičiai. Vienintelis atvejis, kai tai įmanoma, yra tada, kai lygtis sumažinta iki konstrukcijos $0\cdot x=0$. Visai logiška, kad kad ir kokius $x$ pakeistume, vis tiek išeis „nulis lygus nuliui“, t.y. teisinga skaitinė lygybė.

O dabar pažiūrėkime, kaip visa tai veikia realių problemų pavyzdžiu.

Lygčių sprendimo pavyzdžiai

Šiandien mes susiduriame su tiesinėmis lygtimis ir tik paprasčiausiomis. Apskritai tiesinė lygtis reiškia bet kokią lygybę, kurioje yra tiksliai vienas kintamasis, ir ji eina tik iki pirmojo laipsnio.

Tokios konstrukcijos sprendžiamos maždaug tokiu pačiu būdu:

1. Visų pirma, turite atidaryti skliaustus, jei tokių yra (kaip mūsų paskutiniame pavyzdyje);
2. Tada atnešk panašų
3. Galiausiai išskirkite kintamąjį, t.y. viskas, kas susiję su kintamuoju – terminai, kuriuose jis yra – perkeliamas į vieną pusę, o viskas, kas lieka be jo, perkeliama į kitą pusę.

Tada, kaip taisyklė, kiekvienoje gautos lygybės pusėje reikia panašų, o po to lieka tik padalyti iš koeficiento ties „x“, ir mes gausime galutinį atsakymą.

Teoriškai tai atrodo gražiai ir paprastai, tačiau praktiškai net patyrę vidurinės mokyklos mokiniai gali padaryti įžeidžiančių klaidų gana paprastai tiesines lygtis. Dažniausiai klaidos daromos arba atidarant skliaustus, arba skaičiuojant „pliusus“ ir „minusus“.

Be to, pasitaiko, kad tiesinė lygtis iš viso neturi sprendinių arba taip, kad sprendinys yra visa skaičių tiesė, t.y. bet koks skaičius. Šios subtilybės analizuosime šios dienos pamokoje. Bet pradėsime, kaip jau supratote, nuo paprasčiausių užduočių.

Paprastų tiesinių lygčių sprendimo schema

Pirmiausia leiskite man dar kartą parašyti visą paprasčiausių tiesinių lygčių sprendimo schemą:

1. Išskleiskite skliaustus, jei tokių yra.
2. Atskirti kintamuosius, t.y. viskas, kas turi "x", perkeliama į vieną pusę, o be "x" - į kitą.
3. Pateikiame panašias sąlygas.
4. Viską padalijame iš koeficiento ties „x“.

Žinoma, ši schema ne visada pasiteisina, turi tam tikrų subtilybių ir gudrybių, o dabar mes su jais susipažinsime.

Realių paprastų tiesinių lygčių pavyzdžių sprendimas

1 užduotis

Pirmajame etape turime atidaryti skliaustus. Tačiau šiame pavyzdyje jų nėra, todėl šį žingsnį praleidžiame. Antrame etape turime išskirti kintamuosius. Pastaba: Mes kalbame tik apie atskirus terminus. Parašykime:

Kairėje ir dešinėje pateikiame panašius terminus, tačiau tai jau buvo padaryta čia. Todėl pereiname prie ketvirto žingsnio: padalinkite iš koeficiento:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Čia mes gavome atsakymą.

2 užduotis

Šioje užduotyje galime stebėti skliaustus, todėl išplėskime juos:

Ir kairėje, ir dešinėje matome maždaug vienodą konstrukciją, bet veikime pagal algoritmą, t.y. sekvesterio kintamieji:

Štai keletas tokių:

Kokiomis šaknimis tai veikia? Atsakymas: bet kokiam. Todėl galime parašyti, kad $x$ yra bet koks skaičius.

3 užduotis

Trečioji tiesinė lygtis jau įdomesnė:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Čia yra keli skliaustai, bet jie iš nieko nepadauginti, tik prieš juos yra skirtingi ženklai. Išskaidykime juos:

Atliekame antrą mums jau žinomą žingsnį:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Paskaičiuokime:

Mes atliekame paskutinį žingsnį - viską padaliname iš koeficiento "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Ką reikia atsiminti sprendžiant tiesines lygtis

Jei ignoruosime pernelyg paprastas užduotis, norėčiau pasakyti:

• Kaip sakiau aukščiau, ne kiekviena tiesinė lygtis turi sprendimą – kartais tiesiog nėra šaknų;
• Net jei yra šaknų, tarp jų gali patekti nulis – nieko blogo.

Nulis yra toks pat skaičius kaip ir kiti, neturėtumėte jo kažkaip diskriminuoti arba manyti, kad jei gaunate nulį, vadinasi, padarėte kažką ne taip.

Kitas bruožas yra susijęs su skliaustų išplėtimu. Atkreipkite dėmesį: kai prieš juos yra „minusas“, mes jį pašaliname, bet skliausteliuose keičiame ženklus į priešingas. Ir tada galime jį atidaryti pagal standartinius algoritmus: gausime tai, ką matėme atlikdami aukščiau esančius skaičiavimus.

Šio paprasto fakto supratimas padės nepadaryti kvailų ir skaudžių klaidų vidurinėje mokykloje, kai tokie veiksmai laikomi savaime suprantamu dalyku.

Sudėtingų tiesinių lygčių sprendimas

Pereikime prie sudėtingesnių lygčių. Dabar konstrukcijos sudėtingės ir atsiras kvadratinė funkcija atliekant įvairias transformacijas. Tačiau neturėtumėte to bijoti, nes jei pagal autoriaus ketinimą išspręsime tiesinę lygtį, tada transformacijos procese visi monomai, turintys kvadratinę funkciją, būtinai bus sumažinti.

1 pavyzdys

Akivaizdu, kad pirmasis žingsnis yra atidaryti skliaustus. Padarykime tai labai atsargiai:

Dabar paimkime privatumą:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Štai keletas tokių:

Akivaizdu, kad ši lygtis neturi sprendinių, todėl atsakyme rašome taip:

\[\įvairovė \]

arba be šaknų.

2 pavyzdys

Mes atliekame tuos pačius veiksmus. Pirmas žingsnis:

Viską perkelkime su kintamuoju į kairę, o be jo - į dešinę:

Štai keletas tokių:

Akivaizdu, kad ši tiesinė lygtis neturi sprendimo, todėl rašome taip:

\[\varnothing\],

arba be šaknų.

Sprendimo niuansai

Abi lygtys yra visiškai išspręstos. Šių dviejų išraiškų pavyzdžiu dar kartą įsitikinome, kad net paprasčiausiose tiesinėse lygtyse viskas gali būti ne taip paprasta: gali būti arba viena, arba nė vienos, arba be galo daug. Mūsų atveju mes nagrinėjome dvi lygtis, abiejose tiesiog nėra šaknų.

Tačiau norėčiau atkreipti jūsų dėmesį į kitą faktą: kaip dirbti su skliaustais ir kaip juos išplėsti, jei prieš juos yra minuso ženklas. Apsvarstykite šią išraišką:

Prieš atidarant, reikia viską padauginti iš "x". Atkreipkite dėmesį: padauginkite kiekvienas atskiras terminas. Viduje yra du terminai - atitinkamai du terminai ir yra padauginti.

Ir tik baigus šias iš pažiūros elementarias, bet labai svarbias ir pavojingas transformacijas, skliaustą galima atverti iš to, kad po jo yra minuso ženklas. Taip, taip: tik dabar, kai atliekamos transformacijos, prisimename, kad prieš skliaustus yra minuso ženklas, o tai reiškia, kad viskas žemiau tiesiog keičia ženklus. Tuo pačiu metu dingsta patys laikikliai ir, svarbiausia, dingsta ir priekinis „minusas“.

Tą patį darome su antrąja lygtimi:

Neatsitiktinai atkreipiu dėmesį į šiuos mažus, atrodytų, nereikšmingus faktus. Nes lygčių sprendimas visada yra seka elementarios transformacijos, kur nesugebėjimas aiškiai ir kompetentingai atlikti paprastus veiksmus lemia tai, kad pas mane ateina gimnazistai ir vėl mokosi spręsti tokias paprastas lygtis.

Žinoma, ateis diena, kai šiuos įgūdžius patobulinsite iki automatizmo. Jums nebereikės kaskart atlikti tiek daug transformacijų, viską surašysite į vieną eilutę. Bet kol jūs tik mokotės, kiekvieną veiksmą turite parašyti atskirai.

Dar sudėtingesnių tiesinių lygčių sprendimas

Tai, ką dabar spręsime, vargu ar galima pavadinti paprasčiausia užduotimi, tačiau prasmė išlieka ta pati.

1 užduotis

\[\kairė(7x+1\dešinė)\kairė(3x-1\dešinė)-21((x)^(2))=3\]

Padauginkime visus pirmosios dalies elementus:

Padarykime rekolekciją:

Štai keletas tokių:

Atlikime paskutinį žingsnį:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Štai mūsų galutinis atsakymas. Ir nepaisant to, kad spręsdami turėjome koeficientus su kvadratine funkcija, tačiau jie vienas kitą panaikino, todėl lygtis yra tiksliai tiesinė, o ne kvadratinė.

2 užduotis

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

Atsargiai atlikime pirmąjį veiksmą: padauginkite kiekvieną elementą pirmame skliaustelyje iš kiekvieno antrojo elemento. Iš viso po transformacijų turėtų būti gauti keturi nauji terminai:

Ir dabar atidžiai atlikite dauginimą kiekviename termine:

Perkelkime terminus su „x“ į kairę, o be – į dešinę:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Čia yra panašūs terminai:

Gavome galutinį atsakymą.

Sprendimo niuansai

Svarbiausia pastaba apie šias dvi lygtis yra tokia: kai tik pradedame dauginti skliaustus, kuriuose yra didesnis už jį narys, tada tai daroma pagal kita taisyklė: paimame pirmąjį narį iš pirmojo ir dauginame su kiekvienu elementu iš antrojo; tada paimame antrą elementą iš pirmojo ir panašiai padauginame su kiekvienu elementu iš antrojo. Dėl to gauname keturis terminus.

Apie algebrinę sumą

Paskutiniu pavyzdžiu norėčiau priminti mokiniams, kas yra algebrinė suma. Klasikinėje matematikoje turime omenyje 1–7 USD paprastas dizainas: iš vieno atimkite septynis. Algebroje turime omenyje tai: prie skaičiaus „vienas“ pridedame kitą skaičių, būtent „minus septyni“. Ši algebrinė suma skiriasi nuo įprastos aritmetinės sumos.

Kai tik atlikdami visas transformacijas, kiekvieną sudėtį ir daugybą, pradėsite matyti konstrukcijas, panašias į aukščiau aprašytas, tiesiog neturėsite problemų algebroje dirbdami su daugianariais ir lygtimis.

Pabaigoje pažvelkime į dar keletą pavyzdžių, kurie bus dar sudėtingesni nei tie, kuriuos ką tik pažvelgėme, ir norėdami juos išspręsti, turėsime šiek tiek išplėsti savo standartinį algoritmą.

Lygčių su trupmena sprendimas

Norint išspręsti tokias užduotis, į mūsų algoritmą reikės įtraukti dar vieną žingsnį. Bet pirmiausia priminsiu mūsų algoritmą:

1. Atidarykite skliaustus.
2. Atskiri kintamieji.
3. Atnešk panašių.
4. Padalinkite iš koeficiento.

Deja, šis nuostabus algoritmas, nepaisant viso jo efektyvumo, nėra visiškai tinkamas, kai prieš mus yra trupmenos. Ir tai, ką matysime toliau, abiejose lygtyse turime trupmeną kairėje ir dešinėje.

Kaip tokiu atveju dirbti? Taip, tai labai paprasta! Norėdami tai padaryti, prie algoritmo turite pridėti dar vieną žingsnį, kurį galima atlikti tiek prieš pirmąjį veiksmą, tiek po jo, būtent atsikratyti trupmenų. Taigi, algoritmas bus toks:

1. Atsikratykite frakcijų.
2. Atidarykite skliaustus.
3. Atskiri kintamieji.
4. Atnešk panašių.
5. Padalinkite iš koeficiento.

Ką reiškia „atsikratyti trupmenų“? Ir kodėl tai galima padaryti ir po pirmojo standartinio žingsnio, ir prieš jį? Iš tikrųjų mūsų atveju visos trupmenos yra skaitinės pagal vardiklį, t.y. visur vardiklis yra tik skaičius. Todėl, jei abi lygties dalis padauginsime iš šio skaičiaus, tada atsikratysime trupmenų.

1 pavyzdys

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Atsikratykime šios lygties trupmenų:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot keturi\]

Atkreipkite dėmesį: viskas padauginama iš „keturių“ vieną kartą, t.y. vien todėl, kad turite du skliaustus, nereiškia, kad turite padauginti kiekvieną iš „keturių“. Parašykime:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Dabar atidarykime:

Atliekame kintamojo išskyrimą:

Atliekame panašių terminų sumažinimą:

\[-4x = -1\left| :\kairė(-4 \dešinė) \dešinė.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Gavome galutinį sprendimą, pereiname prie antrosios lygties.

2 pavyzdys

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Čia atliekame visus tuos pačius veiksmus:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Problema išspręsta.

Tiesą sakant, tai yra viskas, ką šiandien norėjau pasakyti.

Pagrindiniai klausimai

Pagrindinės išvados yra šios:

• Žinoti tiesinių lygčių sprendimo algoritmą.
• Galimybė atidaryti skliaustus.
• Nesijaudinkite, jei kažkur turite kvadratinių funkcijų, greičiausiai tolesnių transformacijų metu jos bus sumažintos.
• Šaknys tiesinėse lygtyse, net ir paprasčiausiose, yra trijų tipų: viena šaknis, visa skaičių eilutė yra šaknis, šaknų visai nėra.

Tikiuosi, kad ši pamoka padės jums įsisavinti paprastą, bet labai svarbią temą, kad galėtumėte geriau suprasti visą matematiką. Jei kažkas neaišku, eikite į svetainę, išspręskite ten pateiktus pavyzdžius. Sekite naujienas, jūsų laukia dar daug įdomių dalykų!