Kaip Gauso metodu rasti bendruosius matricos sprendinius. Gauso metodas arba kodėl vaikai nesupranta matematikos

Šiame straipsnyje šis metodas nagrinėjamas kaip sistemų sprendimo būdas tiesines lygtis(SLAU). Metodas yra analitinis, tai yra, leidžia įrašyti sprendimo algoritmą bendras vaizdas, tada pakeiskite reikšmes iš konkrečių ten esančių pavyzdžių. Skirtingai nuo matricos metodo ar Cramerio formulių, sprendžiant tiesinių lygčių sistemą Gauso metodu, galite dirbti ir su tomis, kurios turi be galo daug sprendinių. Arba jie jo visai neturi.

Ką reiškia Gauss

Pirmiausia turite užsirašyti mūsų lygčių sistemą į Tai atrodo taip. Sistema paimama:

Koeficientai rašomi lentelės forma, o dešinėje atskirame stulpelyje – laisvieji nariai. Stulpelis su laisvaisiais nariais yra atskirtas dėl patogumo.Matrica, kurioje yra šis stulpelis, vadinama išplėstine.

Be to, pagrindinė matrica su koeficientais turi būti sumažinta iki viršutinės trikampio formos. Tai yra pagrindinis tikslas sprendžiant sistemą Gauso metodu. Paprasčiau tariant, po tam tikrų manipuliacijų matrica turėtų atrodyti taip, kad apatinėje kairiojoje jos dalyje būtų tik nuliai:

Tada, jei naują matricą vėl parašysite kaip lygčių sistemą, pastebėsite, kad paskutinėje eilutėje jau yra vienos iš šaknų reikšmė, kuri vėliau pakeičiama į aukščiau esančią lygtį, randama kita šaknis ir pan.

Šis sprendimo aprašymas Gauso metodu labiausiai bendrais bruožais. O kas atsitiks, jei staiga sistema neturi sprendimo? O gal jų yra be galo daug? Norint atsakyti į šiuos ir daugelį kitų klausimų, būtina atskirai apsvarstyti visus sprendime naudojamus elementus Gauso metodu.

Matricos, jų savybės

Nė vienas paslėpta prasmė ne matricoje. Tai paprasta patogus būdas duomenų įrašymas tolimesnėms operacijoms su jais. Net moksleiviai neturėtų jų bijoti.

Matrica visada yra stačiakampė, nes taip patogiau. Netgi taikant Gauso metodą, kai viskas susiveda į matricos kūrimą trikampis, įraše atsiranda stačiakampis, tik su nuliais toje vietoje, kur nėra skaičių. Nulių galima praleisti, tačiau jie yra numanomi.

Matrica turi dydį. Jo "plotis" yra eilučių skaičius (m), jo "ilgis" yra stulpelių skaičius (n). Tada matricos A dydis (joms žymėti dažniausiai naudojamos didžiosios lotyniškos raidės) bus žymimas kaip A m×n . Jei m = n, tada ši matrica yra kvadratinė, o m = n yra jos tvarka. Atitinkamai bet kuris matricos A elementas gali būti žymimas jo eilutės ir stulpelio skaičiumi: a xy ; x - eilutės numeris, pakeitimai , y - stulpelio numeris, pakeitimai .

B nėra pagrindinis sprendimo taškas. Iš esmės visas operacijas galima atlikti tiesiogiai su pačiomis lygtimis, tačiau žymėjimas pasirodys daug sudėtingesnis ir jame bus daug lengviau susipainioti.

Determinantas

Matrica taip pat turi determinantą. Tai labai svarbi savybė. Sužinokite jo reikšmę dabar neverta, galite tiesiog parodyti, kaip jis apskaičiuojamas, o tada pasakyti, kokias matricos savybes ji nustato. Lengviausias būdas rasti determinantą yra per įstrižaines. Matricoje brėžiamos įsivaizduojamos įstrižainės; ant kiekvieno iš jų esantys elementai padauginami, o tada pridedami gauti produktai: įstrižainės su nuolydžiu į dešinę - su "pliuso" ženklu, su nuolydžiu į kairę - su "minuso" ženklu.

Labai svarbu pažymėti, kad determinantą galima apskaičiuoti tik kvadratinei matricai. Stačiakampei matricai galima atlikti taip: iš eilučių skaičiaus ir stulpelių skaičiaus pasirinkti mažiausią (tebūnie k), tada atsitiktine tvarka matricoje pažymėti k stulpelių ir k eilučių. Elementai, esantys pasirinktų stulpelių ir eilučių sankirtoje, sudarys naują kvadratinė matrica. Jei tokios matricos determinantas yra skaičius, kuris nėra nulis, tada jis vadinamas pradinės stačiakampės matricos pagrindiniu minoriniu.

Prieš sprendžiant lygčių sistemą Gauso metodu, nepakenks apskaičiuoti determinantą. Jei paaiškėja, kad jis yra nulis, galime iš karto pasakyti, kad matrica turi arba begalinį skaičių sprendinių, arba jų iš viso nėra. Tokiu liūdnu atveju reikia eiti toliau ir sužinoti apie matricos rangą.

Sistemos klasifikacija

Yra toks dalykas kaip matricos rangas. Tai yra didžiausia jo nenulinio determinanto eilė (atsimindami pagrindinį mažąjį, galime sakyti, kad matricos rangas yra pagrindinės mažosios eilės tvarka).

Atsižvelgiant į tai, kaip viskas yra su rangu, SLAE galima suskirstyti į:

Bendras. At jungtinių sistemų pagrindinės matricos (sudarytos tik iš koeficientų) rangas sutampa su išplėstinės (su laisvųjų narių stulpeliu) rangu. Tokios sistemos turi sprendimą, bet nebūtinai vieną, todėl jungčių sistemos papildomai skirstomos į:
- tam tikras- turėti unikalų sprendimą. Tam tikrose sistemose matricos rangas ir nežinomųjų skaičius (arba stulpelių skaičius, kuris yra tas pats) yra lygūs;
- neterminuota - su begaliniu skaičiumi sprendinių. Tokių sistemų matricų rangas yra mažesnis už nežinomųjų skaičių.
Nesuderinamas. At tokios sistemos, pagrindinės ir išplėstinės matricų eilės nesutampa. Nesuderinamos sistemos neturi sprendimo.

Gauso metodas geras tuo, kad leidžia gauti arba nedviprasmišką sistemos nenuoseklumo įrodymą (neskaičiuojant didelių matricų determinantų), arba bendrą sprendinį sistemai su begaliniu sprendinių skaičiumi.

Elementariosios transformacijos

Prieš pereinant tiesiai prie sistemos sprendimo, jį galima padaryti mažiau sudėtingą ir patogesnį skaičiavimams. Tai pasiekiama elementariomis transformacijomis – tokias, kad jų įgyvendinimas niekaip nepakeistų galutinio atsakymo. Pažymėtina, kad kai kurios iš minėtų elementariųjų transformacijų galioja tik matricoms, kurių šaltinis buvo būtent SLAE. Štai šių transformacijų sąrašas:

Stygos permutacija. Akivaizdu, kad jei pakeisime lygčių tvarką sistemos įraše, tai sprendiniui tai neturės jokios įtakos. Vadinasi, šios sistemos matricoje taip pat galima sukeisti eilutes, nepamirštant, žinoma, apie laisvųjų narių stulpelį.
Visų eilutės elementų padauginimas iš tam tikro koeficiento. Labai naudingas! Jis gali būti naudojamas sutrumpinti dideli skaičiai matricoje arba pašalinkite nulius. Sprendimų rinkinys, kaip įprasta, nesikeis, o tolimesnes operacijas atlikti taps patogiau. Svarbiausia, kad koeficientas nebūtų lygus nuliui.
Ištrinti eilutes su proporciniais koeficientais. Tai iš dalies išplaukia iš ankstesnės pastraipos. Jei dvi ar daugiau matricos eilučių turi proporcingus koeficientus, tada, padauginus / padalijus vieną iš eilučių iš proporcingumo koeficiento, gaunamos dvi (arba dar kartą daugiau) visiškai identiškos eilutės, o papildomas galite pašalinti, palikdami tik vienas.
Nulinės eilutės pašalinimas. Jei transformacijų metu kažkur gaunama eilutė, kurioje visi elementai, įskaitant laisvąjį narį, yra lygūs nuliui, tai tokią eilutę galima pavadinti nuliu ir išmesti iš matricos.
Pridedant prie vienos eilutės elementų kitos (atitinkamuose stulpeliuose) elementus, padaugintus iš tam tikro koeficiento. Neaiškiausia ir svarbiausia transformacija iš visų. Verta prie jo pasilikti plačiau.

Sudedant eilutę, padaugintą iš koeficiento

Kad būtų lengviau suprasti, verta žingsnis po žingsnio išardyti šį procesą. Iš matricos paimtos dvi eilutės:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | b 2

Tarkime, kad reikia pridėti pirmąjį prie antrojo, padaugintą iš koeficiento „-2“.

a" 21 \u003d a 21 + -2 × a 11

a" 22 \u003d a 22 + -2 × a 12

a" 2n \u003d a 2n + -2 × a 1n

Tada matricoje antroji eilutė pakeičiama nauja, o pirmoji lieka nepakitusi.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Pažymėtina, kad daugybos koeficientą galima pasirinkti taip, kad, pridėjus dvi eilutes, vienas iš naujos eilutės elementų būtų lygus nuliui. Todėl sistemoje galima gauti lygtį, kurioje bus vienu nežinomuoju mažiau. Ir jei jūs gaunate dvi tokias lygtis, tada operaciją galima pakartoti ir gauti lygtį, kurioje jau bus du mažiau nežinomųjų. Ir jei kiekvieną kartą visoms eilutėms, kurios yra žemesnės už pradinę, pasuksime į nulį vieną koeficientą, galime, kaip žingsniai, nusileisti į patį matricos apačią ir gauti lygtį su vienu nežinomuoju. Tai vadinama sistemos išsprendimu Gauso metodu.

Apskritai

Tegul būna sistema. Ji turi m lygčių ir n nežinomų šaknų. Galite užrašyti taip:

Pagrindinė matrica sudaroma iš sistemos koeficientų. Laisvųjų narių stulpelis pridedamas prie išplėstinės matricos ir patogumo dėlei atskiriamas juostele.

pirmoji matricos eilutė padauginama iš koeficiento k = (-a 21 / a 11);
pridedama pirmoji modifikuota matricos eilutė ir antroji eilutė;
vietoj antros eilutės į matricą įterpiamas ankstesnės pastraipos papildymo rezultatas;
dabar pirmasis koeficientas naujoje antroje eilutėje yra 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

Dabar atliekama ta pati transformacijų serija, įtraukiamos tik pirmoji ir trečia eilutės. Atitinkamai kiekviename algoritmo žingsnyje elementas a 21 pakeičiamas 31 . Tada viskas kartojama 41, ... a m1. Rezultatas yra matrica, kurioje pirmasis elementas eilutėse yra lygus nuliui. Dabar turime pamiršti pirmą eilutę ir vykdyti tą patį algoritmą, pradedant nuo antros eilutės:

koeficientas k \u003d (-a 32 / a 22);
antroji modifikuota eilutė pridedama prie „dabartinės“ eilutės;
papildymo rezultatas pakeičiamas trečioje, ketvirtoje ir tt eilutėse, o pirmoji ir antroji lieka nepakitę;
matricos eilutėse pirmieji du elementai jau lygūs nuliui.

Algoritmas turi būti kartojamas tol, kol pasirodys koeficientas k = (-a m,m-1 /a mm). Tai reiškia, kad algoritmas paskutinį kartą buvo paleistas tik žemesnei lygčiai. Dabar matrica atrodo kaip trikampis arba turi laiptuotą formą. Apačioje eilutėje yra lygybė a mn × x n = b m . Koeficientas ir laisvasis narys yra žinomi, per juos išreiškiama šaknis: x n = b m /a mn. Gauta šaknis pakeičiama į viršutinę eilutę, siekiant rasti x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1 . Ir taip toliau pagal analogiją: kiekvienoje kitoje eilutėje yra nauja šaknis ir, pasiekę sistemos „viršų“, galite rasti daugybę sprendimų. Tai bus vienintelis.

Kai nėra sprendimų

Jei vienoje iš matricos eilučių visi elementai, išskyrus laisvąjį narį, yra lygūs nuliui, tai šią eilutę atitinkanti lygtis atrodo taip, kad 0 = b. Jis neturi sprendimo. O kadangi tokia lygtis įtraukta į sistemą, tai visos sistemos sprendinių aibė yra tuščia, tai yra išsigimusi.

Kai sprendinių yra be galo daug

Gali pasirodyti, kad sumažintoje trikampėje matricoje nėra eilučių su vienu elementu - lygties koeficientu, o viena - laisvuoju nariu. Yra tik eilutės, kurios perrašomos kaip lygtis su dviem ar daugiau kintamųjų. Taigi sistema turi begalinis skaičius sprendimus. Šiuo atveju atsakymas gali būti pateiktas bendro sprendimo forma. Kaip tai padaryti?

Visi matricos kintamieji skirstomi į pagrindinius ir laisvuosius. Pagrindiniai – tai tie, kurie stovi laiptuotos matricos eilučių „ant krašto“. Likusieji nemokami. Bendrajame sprendime pagrindiniai kintamieji rašomi laisvaisiais.

Patogumui matrica pirmiausia perrašoma į lygčių sistemą. Tada paskutiniame iš jų, kur tiksliai liko tik vienas pagrindinis kintamasis, jis lieka vienoje pusėje, o visa kita perkeliama į kitą. Tai daroma kiekvienai lygčiai su vienu pagrindiniu kintamuoju. Tada likusiose lygčių dalyse, kur įmanoma, vietoj pagrindinio kintamojo pakeičiama jam gauta išraiška. Jei rezultatas vėl yra reiškinys, kuriame yra tik vienas pagrindinis kintamasis, jis išreiškiamas dar kartą ir taip toliau, kol kiekvienas pagrindinis kintamasis užrašomas kaip išraiška su laisvaisiais kintamaisiais. Tai yra bendras SLAE sprendimas.

Taip pat galite rasti pagrindinį sistemos sprendimą – suteikite laisviesiems kintamiesiems bet kokias reikšmes, o tada šiuo konkrečiu atveju apskaičiuokite pagrindinių kintamųjų reikšmes. Yra be galo daug konkrečių sprendimų.

Sprendimas su konkrečiais pavyzdžiais

Čia yra lygčių sistema.

Patogumui geriau iš karto sukurti jo matricą

Yra žinoma, kad sprendžiant Gauso metodu, pirmąją eilutę atitinkanti lygtis transformacijų pabaigoje išliks nepakitusi. Todėl bus pelningiau, jei viršutinis kairysis matricos elementas yra mažiausias - tada pirmieji likusių eilučių elementai po operacijų pasikeis į nulį. Tai reiškia, kad sudarytoje matricoje bus naudinga vietoj pirmosios eilutės dėti antrą.

antroji eilutė: k = (-a 21 / a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 \u003d a 21 + k × a 11 \u003d 3 + (-3) × 1 \u003d 0

a" 22 \u003d a 22 + k × a 12 \u003d -1 + (-3) × 2 \u003d -7

a" 23 = a 23 + k × a 13 = 1 + (-3) × 4 = -11

b "2 \u003d b 2 + k × b 1 \u003d 12 + (-3) × 12 \u003d -24

trečia eilutė: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k × a 11 = 5 + (-5) × 1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k × a 12 = 1 + (-5) × 2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k × a 13 = 2 + (-5) × 4 = -18

b "3 \u003d b 3 + k × b 1 \u003d 3 + (-5) × 12 \u003d -57

Dabar, kad nesusipainiotumėte, reikia užsirašyti matricą su tarpiniais transformacijų rezultatais.

Akivaizdu, kad tokią matricą kai kurių operacijų pagalba galima padaryti patogesnę suvokimui. Pavyzdžiui, galite pašalinti visus „minusus“ iš antrosios eilutės, padaugindami kiekvieną elementą iš „-1“.

Taip pat verta paminėti, kad trečioje eilutėje visi elementai yra trijų kartotiniai. Tada galite sumažinti eilutę šiuo skaičiumi, padaugindami kiekvieną elementą iš "-1/3" (atėmus - tuo pačiu metu, kad pašalintumėte neigiamas reikšmes).

Atrodo daug gražiau. Dabar turime palikti pirmąją eilutę ir dirbti su antrąja ir trečia. Užduotis yra pridėti antrą eilutę prie trečios eilės, padaugintą iš tokio koeficiento, kad elementas a 32 taptų lygus nuliui.

k = (-a 32 / a 22) = (-3/7) = -3/7 trupmenos ir tik tada, kai gausite atsakymus, nuspręskite, ar suapvalinti ir išversti į kitą žymėjimo formą)

a" 32 = a 32 + k × a 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 \u003d a 33 + k × a 23 \u003d 6 + (-3/7) × 11 \u003d -9/7

b "3 \u003d b 3 + k × b 2 \u003d 19 + (-3/7) × 24 \u003d -61/7

Matrica vėl parašyta su naujomis reikšmėmis.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

Kaip matote, gauta matrica jau turi laiptuotą formą. Todėl tolesnių sistemos transformacijų Gauso metodu nereikia. Ką čia galima padaryti, tai iš trečios eilutės pašalinti bendrą koeficientą „-1/7“.

Dabar viskas gražu. Esmė maža – vėl parašykite matricą lygčių sistemos forma ir apskaičiuokite šaknis

x + 2y + 4z = 12 (1)

7m + 11z = 24 (2)

Algoritmas, pagal kurį dabar bus randamos šaknys, Gauso metodu vadinamas atvirkštiniu judėjimu. (3) lygtis apima z reikšmę:

y = (24 – 11×(61/9))/7 = –65/9

Ir pirmoji lygtis leidžia rasti x:

x = (12 - 4z - 2y) / 1 = 12 - 4x (61/9) - 2x (-65/9) = -6/9 = -2/3

Turime teisę tokią sistemą vadinti jungtine ir netgi apibrėžta, tai yra, turinčia unikalų sprendimą. Atsakymas parašytas tokia forma:

x 1 \u003d -2/3, y \u003d -65/9, z = 61/9.

Neribotos sistemos pavyzdys

Išnagrinėtas tam tikros sistemos sprendimo Gauso metodu variantas, dabar reikia nagrinėti atvejį, jei sistema yra neapibrėžta, tai yra, jai galima rasti be galo daug sprendimų.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Jau pati sistemos forma kelia nerimą, nes nežinomųjų skaičius yra n = 5, o sistemos matricos rangas jau lygiai mažesnis už šį skaičių, nes eilučių skaičius yra m = 4, tai yra, didžiausia kvadratinio determinanto eilė yra 4. Tai reiškia, kad sprendinių yra be galo daug, ir reikia ieškoti bendrosios jo formos. Gauso metodas tiesinėms lygtims leidžia tai padaryti.

Pirmiausia, kaip įprasta, sudaroma papildyta matrica.

Antroji eilutė: koeficientas k = (-a 21 / a 11) = -3. Trečioje eilutėje pirmas elementas yra prieš transformacijas, tad nieko liesti nereikia, reikia palikti tokį, koks yra. Ketvirta eilutė: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

Padauginus pirmosios eilutės elementus iš kiekvieno jų koeficiento ir pridėjus juos prie norimų eilučių, gauname tokios formos matricą:

Kaip matote, antrą, trečią ir ketvirtą eilutes sudaro elementai, kurie yra proporcingi vienas kitam. Antrasis ir ketvirtasis paprastai yra vienodi, todėl vieną iš jų galima nedelsiant pašalinti, o likusius padauginti iš koeficiento „-1“ ir gauti eilutės numerį 3. Ir vėl palikite vieną iš dviejų identiškų eilučių.

Pasirodė tokia matrica. Sistema dar nenurašyta, čia reikia nustatyti pagrindinius kintamuosius - esant koeficientams 11 \u003d 1 ir 22 \u003d 1, o laisvus - visus kitus.

Antroji lygtis turi tik vieną pagrindinį kintamąjį – x 2 . Vadinasi, jis gali būti išreikštas iš ten, rašant per kintamuosius x 3 , x 4 , x 5 , kurie yra laisvi.

Gautą išraišką pakeičiame pirmąja lygtimi.

Paaiškėjo lygtis, kurioje vienintelis pagrindinis kintamasis yra x 1. Padarykime su juo tą patį, kaip ir su x 2 .

Visi pagrindiniai kintamieji, kurių yra du, išreiškiami trimis laisvaisiais, dabar galite parašyti atsakymą bendra forma.

Taip pat galite nurodyti vieną iš konkrečių sistemos sprendimų. Tokiais atvejais, kaip taisyklė, laisvųjų kintamųjų reikšmės pasirenkami nuliai. Tada atsakymas bus toks:

16, 23, 0, 0, 0.

Nesuderinamos sistemos pavyzdys

Nenuoseklių lygčių sistemų sprendimas Gauso metodu yra greičiausias. Jis baigiasi, kai tik viename iš etapų gaunama lygtis, kuri neturi sprendinio. Tai yra, gana ilgas ir niūrus etapas su šaknų skaičiavimu išnyksta. Svarstoma tokia sistema:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Kaip įprasta, matrica sudaroma:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

Ir ji sumažinama iki pakopinės formos:

k 1 \u003d -2k 2 \u003d -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

Po pirmosios transformacijos trečioje eilutėje yra formos lygtis

neturėdamas sprendimo. Todėl sistema yra nenuosekli, o atsakymas yra tuščias rinkinys.

Metodo privalumai ir trūkumai

Jei pasirinksite, kurį metodą išspręsti SLAE ant popieriaus rašikliu, tada šiame straipsnyje aptartas metodas atrodo patraukliausias. Elementariose transformacijose susipainioti yra daug sunkiau, nei tai atsitinka, jei reikia rankiniu būdu ieškoti determinanto ar kokios keblios atvirkštinės matricos. Tačiau jei darbui su tokio tipo duomenimis naudojate programas, pavyzdžiui, skaičiuokles, tuomet paaiškėja, kad tokiose programose jau yra algoritmai, skirti skaičiuoti pagrindinius matricų parametrus – determinantą, mažuosius, atvirkštinius ir pan. Ir jei esate tikri, kad mašina pati apskaičiuos šias reikšmes ir nesuklys, tikslingiau naudoti matricos metodą arba Cramerio formules, nes jų taikymas prasideda ir baigiasi determinantų ir determinantų skaičiavimu. atvirkštinės matricos.

Taikymas

Kadangi Gauso sprendimas yra algoritmas, o matrica iš tikrųjų yra dvimatis masyvas, jį galima naudoti programuojant. Bet kadangi straipsnis save pozicionuoja kaip „manekenų“ vadovą, reikėtų pasakyti, kad metodą lengviausia įdėti į skaičiuokles, pavyzdžiui, „Excel“. Vėlgi, bet koks SLAE, įvestas į lentelę matricos pavidalu, „Excel“ bus laikomas dvimačiu masyvu. O operacijoms su jais yra daug gražių komandų: sudėjimas (galima pridėti tik tokio pat dydžio matricas!), Daugyba iš skaičiaus, matricos daugyba (taip pat su tam tikrais apribojimais), atvirkštinių ir perkeltų matricų radimas ir, svarbiausia, , apskaičiuojant determinantą. Jei ši daug laiko reikalaujanti užduotis pakeičiama viena komanda, daug greičiau bus galima nustatyti matricos rangą, taigi ir nustatyti jos suderinamumą ar nenuoseklumą.

Gauso metodas puikiai tinka tiesinėms sistemoms spręsti algebrines lygtis(SLAU). Jis turi keletą privalumų, palyginti su kitais metodais:

pirma, nereikia iš anksto tirti lygčių sistemos suderinamumo;
antra, Gauso metodu galima spręsti ne tik SLAE, kuriose lygčių skaičius sutampa su nežinomų kintamųjų skaičiumi, o pagrindinė sistemos matrica yra neišsigimusi, bet ir lygčių sistemas, kuriose lygčių skaičius nesutampa. su nežinomų kintamųjų skaičiumi arba pagrindinės matricos determinantas yra lygus nuliui;
trečia, Gauso metodas duoda rezultatą su palyginti nedideliu skaičiavimo operacijų skaičiumi.

Trumpa straipsnio apžvalga.

Pirmiausia duokime būtinus apibrėžimus ir įvesti žymėjimą.

Toliau aprašome Gauso metodo algoritmą paprasčiausiu atveju, ty tiesinių algebrinių lygčių sistemoms lygčių skaičius, kuriose sutampa su nežinomų kintamųjų skaičiumi ir sistemos pagrindinės matricos determinantas, nėra lygus nuliui. Sprendžiant tokias lygčių sistemas, aiškiausiai matoma Gauso metodo esmė, kurią sudaro nuoseklus nežinomų kintamųjų pašalinimas. Todėl Gauso metodas dar vadinamas nuoseklaus nežinomųjų pašalinimo metodu. Parodykime išsamius kelių pavyzdžių sprendimus.

Apibendrinant, nagrinėjame tiesinių algebrinių lygčių sistemų Gauso sprendimą, kurio pagrindinė matrica yra stačiakampė arba išsigimusi. Tokių sistemų sprendimas turi tam tikrų ypatybių, kurias detaliau išanalizuosime naudodamiesi pavyzdžiais.

Puslapio naršymas.

Pagrindiniai apibrėžimai ir žymėjimas.

Apsvarstykite p tiesinių lygčių sistemą su n nežinomųjų (p gali būti lygi n ):

Kur yra nežinomi kintamieji, yra skaičiai (tikrieji ar kompleksiniai), yra laisvieji nariai.

Jeigu , tada vadinama tiesinių algebrinių lygčių sistema vienalytis, kitaip - nevienalytis.

Nežinomų kintamųjų reikšmių rinkinys, kuriame visos sistemos lygtys virsta tapatybėmis, vadinama SLAU sprendimas.

Jei tiesinių algebrinių lygčių sistemoje yra bent vienas sprendinys, tada ji vadinama Bendras, kitaip - nesuderinamas.

Jei SLAE turi unikalų sprendimą, tada jis vadinamas tam tikras. Jei yra daugiau nei vienas sprendimas, tada sistema iškviečiama neapibrėžtas.

Sakoma, kad sistema parašyta koordinačių forma jei ji turi formą
.

Ši sistema yra matricos formaįrašai turi formą , kur - pagrindinė SLAE matrica, - nežinomų kintamųjų stulpelio matrica, - laisvųjų narių matrica.

Jei prie matricos A kaip (n + 1)-ąjį stulpelį pridėsime laisvųjų terminų matricos stulpelį, tai gausime vadinamąją. išplėstinė matrica tiesinių lygčių sistemos. Paprastai padidinta matrica žymima raide T, o laisvųjų narių stulpelis yra atskirtas vertikalia linija nuo likusių stulpelių, tai yra,

Kvadratinė matrica A vadinama išsigimęs jei jo determinantas lygus nuliui. Jei , vadinasi matrica A neišsigimęs.

Reikėtų atkreipti dėmesį į šį punktą.

Jei su tiesinių algebrinių lygčių sistema atliekami šie veiksmai

sukeisti dvi lygtis,
padauginkite abi bet kurios lygties puses iš savavališko ir nenulinio tikrojo (arba kompleksinio) skaičiaus k,
prie abiejų bet kurios lygties dalių pridėkite atitinkamas kitos lygties dalis, padaugintas iš savavališko skaičiaus k,

tada gauname lygiavertę sistemą, kuri turi tuos pačius sprendinius (arba, kaip ir pirminė, neturi sprendinių).

Išplėstoje tiesinių algebrinių lygčių sistemos matricoje šie veiksmai reikš elementarias transformacijas su eilutėmis:

sukeisti dvi eilutes
visų bet kurios matricos T eilutės elementų padauginimas iš nulinio skaičiaus k ,
prie bet kurios matricos eilutės elementų pridėjus atitinkamus kitos eilutės elementus, padaugintus iš savavališko skaičiaus k .

Dabar galime pereiti prie Gauso metodo aprašymo.

Gauso metodu sprendžiamos tiesinių algebrinių lygčių sistemos, kuriose lygčių skaičius lygus nežinomųjų skaičiui, o pagrindinė sistemos matrica yra neišsigimusi.

Ką darytume mokykloje, jei gautume užduotį rasti lygčių sistemos sprendimą .

Kai kurie taip ir padarytų.

Atkreipkite dėmesį, kad pridėję kairę pirmosios lygties pusę prie antrosios lygties kairės pusės, o dešinę - prie dešinės pusės, galite atsikratyti nežinomų kintamųjų x 2 ir x 3 ir iš karto rasti x 1:

Rastą reikšmę x 1 \u003d 1 pakeičiame į pirmąją ir trečiąją sistemos lygtis:

Jei abi trečiosios sistemos lygties dalis padauginsime iš -1 ir pridėsime jas prie atitinkamų pirmosios lygties dalių, tada atsikratysime nežinomo kintamojo x 3 ir galime rasti x 2:

Gautą reikšmę x 2 \u003d 2 pakeičiame trečiąja lygtimi ir randame likusį nežinomą kintamąjį x 3:

Kiti būtų pasielgę kitaip.

Išspręskime pirmąją sistemos lygtį nežinomo kintamojo x 1 atžvilgiu ir gautą išraišką pakeiskime antrąja ir trečiąja sistemos lygtimis, kad šis kintamasis būtų pašalintas iš jų:

Dabar išspręskime antrąją sistemos lygtį x 2 atžvilgiu ir pakeiskime rezultatą trečiąja lygtimi, kad iš jos neįtrauktume nežinomo kintamojo x 2:

Iš trečiosios sistemos lygties matyti, kad x 3 =3. Iš antrosios lygties randame , o iš pirmosios lygties gauname .

Pažįstami sprendimai, tiesa?

Įdomiausia yra tai, kad antrasis sprendimo metodas iš esmės yra nuoseklaus nežinomųjų pašalinimo metodas, tai yra Gauso metodas. Kai išreiškėme nežinomus kintamuosius (pirmas x 1, kitas x 2) ir pakeitėme juos į likusias sistemos lygtis, tokiu būdu juos išskyrėme. Išimtį taikėme iki to momento, kai paskutinė lygtis turėjo tik vieną nežinomą kintamąjį. Nuosekliojo nežinomųjų pašalinimo procesas vadinamas tiesioginis Gauso metodas. Baigę judėjimą pirmyn, turime galimybę apskaičiuoti nežinomą kintamąjį, rastą paskutinėje lygtyje. Jos pagalba iš priešpaskutinės lygties randame kitą nežinomą kintamąjį ir pan. Vadinamas procesas, kai nuosekliai surandami nežinomi kintamieji pereinant nuo paskutinės lygties prie pirmosios atvirkštinis Gauso metodas.

Reikėtų pažymėti, kad kai išreiškiame x 1 kaip x 2 ir x 3 pirmoje lygtyje, o gautą išraišką pakeičiame antrąja ir trečiąja lygtimis, tokie veiksmai duoda tą patį rezultatą:

Iš tiesų, tokia procedūra taip pat leidžia neįtraukti nežinomo kintamojo x 1 iš antrosios ir trečiosios sistemos lygčių:

Nežinomų kintamųjų pašalinimo Gauso metodu niuansai atsiranda tada, kai sistemos lygtyse nėra kai kurių kintamųjų.

Pavyzdžiui, SLAU pirmoje lygtyje nėra nežinomo kintamojo x 1 (kitaip tariant, koeficientas prieš jį lygus nuliui). Todėl negalime išspręsti pirmosios sistemos lygties x 1 atžvilgiu, kad pašalintume šį nežinomą kintamąjį iš kitų lygčių. Išeitis iš šios situacijos yra sukeisti sistemos lygtis. Kadangi nagrinėjame tiesinių lygčių sistemas, kurių pagrindinių matricų determinantai skiriasi nuo nulio, visada egzistuoja lygtis, kurioje yra reikalingas kintamasis, ir mes galime pertvarkyti šią lygtį į mums reikalingą padėtį. Mūsų pavyzdyje pakanka sukeisti pirmąją ir antrąją sistemos lygtis , tada galite išspręsti pirmąją x 1 lygtį ir neįtraukti ją iš likusių sistemos lygčių (nors antrojoje lygtyje x 1 jau nėra).

Tikimės, kad supratote esmę.

Aprašykime Gauso metodo algoritmas.

Tarkime, kad turime išspręsti n tiesinių algebrinių lygčių sistemą su n nežinomųjų formos kintamieji , ir tegul jo pagrindinės matricos determinantas nėra nulis.

Mes manysime, kad , nes mes visada galime tai pasiekti pertvarkydami sistemos lygtis. Nežinomą kintamąjį x 1 pašaliname iš visų sistemos lygčių, pradedant nuo antrosios. Norėdami tai padaryti, pirmąją lygtį, padaugintą iš, pridėkite prie antrosios sistemos lygties, pirmąją, padaugintą iš, pridėkite prie trečiosios lygties ir taip toliau, pridėkite pirmąją, padaugintą iš, prie n-osios lygties. Lygčių sistema po tokių transformacijų įgaus formą

kur .

Gautume tą patį rezultatą, jei pirmoje sistemos lygtyje išreikštume x 1 kitais nežinomais kintamaisiais ir gautą išraišką pakeistume visomis kitomis lygtimis. Taigi kintamasis x 1 neįtraukiamas į visas lygtis, pradedant nuo antrosios.

Toliau elgiamės panašiai, bet tik su gautos sistemos dalimi, kuri pažymėta paveikslėlyje

Norėdami tai padaryti, prie trečiosios sistemos lygties pridėkite antrąjį, padaugintą iš, prie ketvirtosios lygties pridėkite antrąjį, padaugintą iš, ir taip toliau, pridėkite antrąjį, padaugintą iš, prie n-osios lygties. Lygčių sistema po tokių transformacijų įgaus formą

kur . Taigi kintamasis x 2 neįtraukiamas į visas lygtis, pradedant nuo trečiosios.

Toliau mes pereiname prie nežinomo x 3 pašalinimo, elgdamiesi panašiai su paveiksle pažymėta sistemos dalimi

Taigi tęsiame tiesioginę Gauso metodo eigą, kol sistema įgaus formą

Nuo šiol mes pradedame atvirkštinis smūgis Gauso metodas: x n apskaičiuojame iš paskutinės lygties kaip , naudojant gautą x n reikšmę randame x n-1 iš priešpaskutinės lygties, ir taip toliau, randame x 1 iš pirmosios lygties.

Išanalizuokime algoritmą su pavyzdžiu.

Pavyzdys.

Gauso metodas.

Sprendimas.

Koeficientas a 11 skiriasi nuo nulio, todėl pereikime prie tiesioginės Gauso metodo eigos, ty prie nežinomo kintamojo x 1 pašalinimo iš visų sistemos lygčių, išskyrus pirmąją. Norėdami tai padaryti, kairėje ir dešinėje antrosios, trečiosios ir ketvirtosios lygčių dalyse pridėkite pirmosios lygties kairę ir dešinę dalis, padaugintas atitinkamai iš , Ir:

Nežinomas kintamasis x 1 buvo pašalintas, pereikime prie išskyrimo x 2 . Prie sistemos trečiosios ir ketvirtosios lygčių kairės ir dešinės dalių pridedame kairę ir dešinę antrosios lygties dalis, padaugintas iš Ir :

Norėdami užbaigti tolesnę Gauso metodo eigą, turime išskirti nežinomą kintamąjį x 3 iš paskutinės sistemos lygties. Prie ketvirtosios lygties kairiosios ir dešiniosios pusės pridėkite atitinkamai trečiosios lygties kairę ir dešinę puses, padaugintas iš :

Galite pradėti atvirkštinę Gauso metodo eigą.

Iš paskutinės mūsų turimos lygties ,
iš trečiosios lygties gauname ,
nuo antrojo
nuo pirmos.

Norėdami patikrinti, gautas nežinomų kintamųjų reikšmes galite pakeisti pradine lygčių sistema. Visos lygtys virsta tapatybėmis, o tai reiškia, kad sprendimas Gauso metodu buvo rastas teisingai.

Atsakymas:

O dabar pateiksime to paties pavyzdžio sprendimą Gauso metodu matricos pavidalu.

Pavyzdys.

Raskite lygčių sistemos sprendimą Gauso metodas.

Sprendimas.

Išplėstinė sistemos matrica turi formą . Virš kiekvieno stulpelio rašomi nežinomi kintamieji, kurie atitinka matricos elementus.

Tiesioginė Gauso metodo eiga čia apima išplėstinės sistemos matricos perkėlimą į trapecijos formą naudojant elementariąsias transformacijas. Šis procesas panašus į nežinomų kintamųjų išskyrimą, kurį atlikome su sistema koordinačių forma. Dabar jūs tuo įsitikinsite.

Transformuokime matricą taip, kad visi pirmojo stulpelio elementai, pradedant nuo antrojo, taptų nuliais. Norėdami tai padaryti, prie antros, trečios ir ketvirtos eilučių elementų pridėkite atitinkamus pirmosios eilutės elementus, padaugintus iš , ir atitinkamai:

Toliau gautą matricą transformuojame taip, kad antrajame stulpelyje visi elementai, pradedant nuo trečiojo, taptų nuliais. Tai atitiktų nežinomo kintamojo x 2 neįtraukimą. Norėdami tai padaryti, prie trečios ir ketvirtos eilučių elementų pridėkite atitinkamus pirmosios matricos eilutės elementus, padaugintus iš Ir :

Belieka iš paskutinės sistemos lygties neįtraukti nežinomo kintamojo x 3. Norėdami tai padaryti, prie gautos matricos paskutinės eilutės elementų pridedame atitinkamus priešpaskutinės eilutės elementus, padaugintus iš :

Reikia pažymėti, kad ši matrica atitinka tiesinių lygčių sistemą

kuris buvo gautas anksčiau po tiesioginio judėjimo.

Atėjo laikas pasukti atgal. Matricinėje žymėjimo formoje atvirkštinė Gauso metodo eiga apima tokią gautos matricos transformaciją, kad paveiksle pažymėta matrica

tapo įstrižai, tai yra įgavo formą

kur yra keletas skaičių.

Šios transformacijos yra panašios į Gauso metodą, tačiau atliekamos ne nuo pirmos eilutės iki paskutinės, o iš paskutinės į pirmą.

Prie trečios, antros ir pirmosios eilučių elementų pridėkite atitinkamus paskutinės eilutės elementus, padaugintus iš , vėl ir vėl atitinkamai:

Dabar prie antrosios ir pirmosios eilučių elementų pridėkime atitinkamus trečios eilučių elementus, padaugintus atitinkamai iš ir iš:

Paskutiniame Gauso metodo atvirkštinio judėjimo žingsnyje prie pirmosios eilutės elementų pridedame atitinkamus antrosios eilutės elementus, padaugintus iš :

Gauta matrica atitinka lygčių sistemą , iš kurių randame nežinomus kintamuosius.

Atsakymas:

PASTABA.

Naudojant Gauso metodą tiesinių algebrinių lygčių sistemoms spręsti, reikėtų vengti apytikslių skaičiavimų, nes tai gali lemti absoliučiai neteisingus rezultatus. Rekomenduojame neapvalinti po kablelio. Geriau dešimtainės trupmenos pereiti prie įprastų trupmenų.

Pavyzdys.

Išspręskite trijų lygčių sistemą Gauso metodu .

Sprendimas.

Atkreipkite dėmesį, kad šiame pavyzdyje nežinomi kintamieji turi skirtingą pavadinimą (ne x 1 , x 2 , x 3 , o x, y, z ). Pereikime prie paprastųjų trupmenų:

Pašalinkite nežinomą x iš antrosios ir trečiosios sistemos lygčių:

Gautoje sistemoje antroje lygtyje nėra nežinomo kintamojo y, o trečioje lygtyje yra y, todėl antrąją ir trečiąją lygtis sukeičiame:

Šiuo metu tiesioginė Gauso metodo eiga baigėsi (nereikia išskirti y iš trečiosios lygties, nes šio nežinomo kintamojo nebėra).

Grįžkime.

Iš paskutinės lygties randame ,
iš priešpaskutinės

iš pirmosios mūsų turimos lygties

Atsakymas:

X = 10, y = 5, z = -20.

Tiesinių algebrinių lygčių sistemų, kuriose lygčių skaičius nesutampa su nežinomųjų skaičiumi arba pagrindinė sistemos matrica yra išsigimusi, sprendimas Gauso metodu.

Lygčių sistemos, kurių pagrindinė matrica yra stačiakampė arba išsigimusi kvadratinė, gali neturėti sprendinių, gali turėti vieną sprendinį arba gali turėti begalinį sprendinių skaičių.

Dabar suprasime, kaip Gauso metodas leidžia nustatyti tiesinių lygčių sistemos suderinamumą ar nenuoseklumą, o jos suderinamumo atveju nustatyti visus sprendinius (arba vieną vienintelį sprendimą).

Iš esmės nežinomų kintamųjų pašalinimo procesas tokių SLAE atveju išlieka toks pat. Tačiau verta išsamiai panagrinėti kai kurias situacijas, kurios gali kilti.

Pereikime prie svarbiausio žingsnio.

Taigi, darykime prielaidą, kad tiesinių algebrinių lygčių sistema po Gauso metodo eigos į priekį įgauna formą ir nė viena iš lygčių nesumažinta iki (šiuo atveju darytume išvadą, kad sistema nenuosekli). Kyla logiškas klausimas: „Ką daryti toliau“?

Išrašome nežinomus kintamuosius, kurie yra visų gautos sistemos lygčių pirmoje vietoje:

Mūsų pavyzdyje tai yra x 1 , x 4 ir x 5 . Kairiosiose sistemos lygčių dalyse paliekame tik tuos terminus, kuriuose yra užrašyti nežinomi kintamieji x 1, x 4 ir x 5, likusius narius perkeliame į dešinę lygčių pusę su priešingu ženklu:

Priskirkime savavališkas reikšmes nežinomiems kintamiesiems, kurie yra dešinėje lygčių pusėje, kur - savavališki skaičiai:

Po to skaičiai randami teisingose visų mūsų SLAE lygčių dalyse ir galime pereiti prie atvirkštinės Gauso metodo eigos.

Iš paskutinės turimos sistemos lygties , iš priešpaskutinės randamos lygties , iš pirmosios lygties gauname

Lygčių sistemos sprendimas yra nežinomų kintamųjų reikšmių rinkinys

Duoti skaičius skirtingos reikšmės, gausime skirtingus lygčių sistemos sprendinius. Tai yra, mūsų lygčių sistema turi be galo daug sprendinių.

Atsakymas:

kur - savavališki skaičiai.

Norėdami konsoliduoti medžiagą, išsamiai išanalizuosime dar kelių pavyzdžių sprendimus.

Pavyzdys.

Išspręskite vienalytę tiesinių algebrinių lygčių sistemą Gauso metodas.

Sprendimas.

Išskirkime nežinomą kintamąjį x iš antrosios ir trečiosios sistemos lygčių. Norėdami tai padaryti, pridėkite kairiąją ir dešiniąją pirmosios lygties dalis atitinkamai prie kairiosios ir dešiniosios antrosios lygties dalių, padaugintų iš , o į kairę ir dešinę trečiosios lygties dalis pridėkite kairiąją ir dešiniąją lygties dalis. pirmoji lygtis, padauginta iš:

Dabar neįtraukiame y iš gautos lygčių sistemos trečiosios lygties:

Gautas SLAE yra lygiavertis sistemai .

Kairėje sistemos lygčių pusėje paliekame tik tuos terminus, kuriuose yra nežinomi kintamieji x ir y, o terminus su nežinomu kintamuoju z perkeliame į dešinę:

Gauso metodas yra paprastas! Kodėl? Garsus vokiečių matematikas Johanas Carlas Friedrichas Gaussas pripažinimo sulaukė per savo gyvenimą didžiausias matematikas visų laikų genijus ir net „matematikos karaliaus“ slapyvardis. Ir viskas išradinga, kaip žinote, yra paprasta! Beje, į pinigus patenka ne tik čiulptukai, bet ir genijai – Gauso portretas puikavosi ant 10 Vokietijos markių kupiūros (iki euro įvedimo), o Gaussas iki šiol paslaptingai šypsosi vokiečiams iš paprastų pašto ženklų.

Gauso metodas yra paprastas tuo, kad Jį įvaldyti PAKAKNA VENTKOKĖS MOKINIO ŽINIŲ. Turi mokėti pridėti ir dauginti! Neatsitiktinai pasirenkamųjų matematikos dalykų mokytojai dažnai svarsto nuoseklaus nežinomųjų pašalinimo metodą. Paradoksalu, tačiau Gauso metodas mokiniams sukelia daugiausiai sunkumų. Nieko stebėtino – viskas apie metodiką, o aš pabandysiu prieinama forma papasakoti apie metodo algoritmą.

Pirmiausia šiek tiek susisteminame žinias apie tiesinių lygčių sistemas. Tiesinių lygčių sistema gali:

1) Turėkite unikalų sprendimą.
2) Turėkite be galo daug sprendimų.
3) Neturi sprendimų (būti nesuderinamas).

Gauso metodas yra pats galingiausias ir universalus įrankis rasti sprendimą bet koks tiesinių lygčių sistemos. Kaip prisimename Cramerio taisyklė ir matricos metodas yra netinkami tais atvejais, kai sistema turi be galo daug sprendimų arba yra nenuosekli. Nežinomų nuoseklaus pašalinimo metodas šiaip veda mus prie atsakymo! Ant šią pamoką 1 atveju (vienintelis sistemos sprendimas) nagrinėsime Gauso metodą, straipsnis skirtas punktų Nr. 2-3 situacijoms. Atkreipiu dėmesį, kad pats metodo algoritmas visais trimis atvejais veikia vienodai.

Atgal į paprasčiausia sistema iš pamokos Kaip išspręsti tiesinių lygčių sistemą?
ir išspręskite jį Gauso metodu.

Pirmas žingsnis – rašyti išplėstinė matricų sistema:
. Kokiu principu fiksuojami koeficientai, manau, visi mato. Vertikali linija matricos viduje neturi jokios matematinės reikšmės – tai tik perbrauktas dizainas.

nuoroda :Rekomenduoju prisiminti terminai tiesinė algebra. Sistemos matrica yra matrica, sudaryta tik iš nežinomųjų koeficientų, in šis pavyzdys sistemos matrica: . Išplėstinė sistemos matrica yra ta pati sistemos matrica ir laisvųjų terminų stulpelis, šiuo atveju: . Bet kuri iš matricų gali būti vadinama tiesiog matrica dėl trumpumo.

Parašius išplėstinę sistemos matricą, su ja reikia atlikti kai kuriuos veiksmus, kurie taip pat vadinami elementarios transformacijos.

Yra šie elementarios transformacijos:

1) Stygos matricos gali pertvarkyti vietos. Pavyzdžiui, nagrinėjamoje matricoje galite saugiai pertvarkyti pirmąją ir antrąją eilutes:

2) Jei matricoje yra (arba pasirodė) proporcinga (kaip ypatinga byla yra tos pačios) eilutės, tada seka Ištrinti iš matricos visos šios eilutės, išskyrus vieną. Apsvarstykite, pavyzdžiui, matricą . Šioje matricoje paskutinės trys eilutės yra proporcingos, todėl pakanka palikti tik vieną iš jų: .

3) Jei transformacijų metu matricoje atsirado nulinė eilutė, tai taip pat seka Ištrinti. Aš, žinoma, nebrėžiu, nulinė linija yra ta linija, kurioje tik nuliai.

4) Matricos eilutė gali būti padauginti (padalyti) bet kuriam skaičiui ne nulis. Apsvarstykite, pavyzdžiui, matricą. Čia patartina pirmąją eilutę padalyti iš -3, o antrąją eilutę padauginti iš 2: . Šis veiksmas yra labai naudingas, nes supaprastina tolesnius matricos pakeitimus.

5) Ši transformacija sukelia daugiausiai sunkumų, tačiau iš tikrųjų nėra ir nieko sudėtingo. Į matricos eilutę galite pridėkite kitą eilutę, padaugintą iš skaičiaus, skiriasi nuo nulio. Apsvarstykite mūsų matricą iš atvejo analizė: . Pirmiausia labai detaliai aprašysiu transformaciją. Padauginkite pirmąją eilutę iš -2: , Ir prie antros eilutės pridedame pirmąją eilutę, padaugintą iš -2: . Dabar pirmoji eilutė gali būti padalinta "atgal" iš -2: . Kaip matote, eilutė, kuri yra PRIDĖTA LI – nepasikeitė. Yra visada eilutė pakeista, PRIE KURIOS PRIDĖTA UT.

Praktiškai, žinoma, jie netapo taip išsamiai, bet rašo trumpiau:

Dar kartą: į antrą eilutę pridėjo pirmąją eilutę, padaugintą iš -2. Linija paprastai padauginama žodžiu arba juodraštyje, o protiniai skaičiavimų eiga yra maždaug tokia:

„Perrašau matricą ir perrašau pirmą eilutę: »

Pirmas stulpelis pirmas. Žemiau turiu gauti nulį. Todėl aukščiau esantį vienetą padauginu iš -2:, o pirmąjį pridedu prie antros eilutės: 2 + (-2) = 0. Rezultatą rašau antroje eilutėje: »

„Dabar antra stulpelis. Virš -1 kartas -2: . Pirmąją pridedu į antrą eilutę: 1 + 2 = 3. Rezultatą rašau į antrą eilutę: »

„Ir trečia kolona. Virš -5 kartus -2: . Pirmą eilutę pridedu prie antros eilutės: -7 + 10 = 3. Rezultatą rašau antroje eilutėje: »

Prašome gerai pagalvoti apie šį pavyzdį ir suprasti nuoseklaus skaičiavimo algoritmą, jei tai suprantate, tada Gauso metodas yra praktiškai „kišenėje“. Bet, žinoma, mes vis dar dirbame su šia pertvarka.

Elementariosios transformacijos nekeičia lygčių sistemos sprendinio

! DĖMESIO: apgalvotos manipuliacijos negali naudoti, jei jums pasiūloma užduotis, kur matricos pateikiamos „pačios“. Pavyzdžiui, su "klasika" matricos jokiu būdu neturėtumėte pertvarkyti ko nors matricų viduje!

Grįžkime prie mūsų sistemos. Ji praktiškai suskaidyta į gabalus.

Parašykime padidintą sistemos matricą ir, naudodami elementariąsias transformacijas, sumažinkime ją iki laiptuotas vaizdas:

(1) Pirmoji eilutė buvo pridėta prie antrosios eilutės, padauginta iš -2. Ir dar: kodėl pirmąją eilutę dauginame iš -2? Norint gauti nulį apačioje, o tai reiškia, kad reikia atsikratyti vieno kintamojo antroje eilutėje.

(2) Padalinkite antrąją eilutę iš 3.

Elementariųjų transformacijų paskirtis – konvertuoti matricą į žingsninę formą: . Kurdami užduotį, jie tiesiai pieštuku nubrėžia „kopėčias“, taip pat apibraukite skaičius, esančius ant „laiptelių“. Pats terminas „pakopinis vaizdas“ nėra visiškai teorinis, mokslinėje ir mokomoji literatūra jis dažnai vadinamas trapecinis vaizdas arba trikampis vaizdas.

Elementariųjų transformacijų rezultate gavome lygiavertis originali lygčių sistema:

Dabar sistemą reikia „atsukti“ priešinga kryptimi – iš apačios į viršų šis procesas vadinamas atvirkštinis Gauso metodas.

Apatinėje lygtyje jau turime galutinį rezultatą: .

Apsvarstykite pirmąją sistemos lygtį ir jau pakeiskite ją žinoma vertė"yig":

Apsvarstykite dažniausiai pasitaikančią situaciją, kai reikia išspręsti Gauso metodą trys tiesinės lygtys trijuose nežinomuosiuose.

1 pavyzdys

Gauso metodu išspręskite lygčių sistemą:

Parašykime išplėstinę sistemos matricą:

Dabar iš karto nubraižysiu rezultatą, kurį pasieksime sprendimo eigoje:

Ir kartoju, mūsų tikslas yra suvesti matricą į laiptuotą formą naudojant elementarias transformacijas. Nuo ko pradėti imtis veiksmų?

Pirmiausia pažiūrėkite į viršutinį kairįjį skaičių:

Čia turėtų būti beveik visada vienetas. Paprastai tariant, tiks ir -1 (o kartais ir kiti skaičiai), bet kažkaip tradiciškai susiklostė taip, kad ten dažniausiai dedamas vienetas. Kaip organizuoti padalinį? Žiūrime į pirmą stulpelį – turime baigtą vienetą! Pirma transformacija: sukeiskite pirmą ir trečią eilutes:

Dabar pirmoji eilutė išliks nepakitusi iki sprendimo pabaigos. Dabar gerai.

Viršutiniame kairiajame kampe esantis padalinys yra organizuotas. Dabar šiose vietose reikia gauti nulius:

Nuliai gaunami tiesiog „sunkios“ transformacijos pagalba. Pirma, mes susiduriame su antrąja eilute (2, -1, 3, 13). Ką reikia padaryti, kad pirmoje pozicijoje būtų nulis? Būtinas prie antrosios eilutės pridėkite pirmąją eilutę, padaugintą iš -2. Protiškai arba juodraštyje pirmąją eilutę padauginame iš -2: (-2, -4, 2, -18). Ir mes nuosekliai atliekame (vėl mintyse arba pagal juodraštį) papildymą, prie antros eilutės pridedame pirmąją eilutę, jau padaugintą iš -2:

Rezultatas rašomas antroje eilutėje:

Panašiai elgiamės ir su trečiąja eilute (3, 2, -5, -1). Norėdami gauti nulį pirmoje pozicijoje, jums reikia prie trečios eilutės pridėkite pirmąją eilutę, padaugintą iš -3. Protiškai arba juodraštyje pirmąją eilutę padauginame iš -3: (-3, -6, 3, -27). IR prie trečios eilutės pridedame pirmąją eilutę, padaugintą iš -3:

Rezultatas rašomas trečioje eilutėje:

Praktikoje šie veiksmai dažniausiai atliekami žodžiu ir užrašomi vienu žingsniu:

Nereikia visko skaičiuoti iš karto ir tuo pačiu metu. Skaičiavimų ir rezultatų „įterpimo“ tvarka nuoseklus o dažniausiai taip: pirma perrašome pirmą eilutę, o patys tyliai išsipučiame - NUOSTOLIAI ir ATSARGIAI:

O pačių skaičiavimų protinę eigą jau apsvarsčiau aukščiau.

Šiame pavyzdyje tai padaryti nesunku, antrą eilutę padalijame iš -5 (nes visi ten esantys skaičiai dalijasi iš 5 be liekanos). Tuo pačiu metu trečią eilutę padalijame iš -2, nes kuo mažesnis skaičius, tuo paprastesnis sprendimas:

Paskutiniame elementariųjų transformacijų etape čia reikia gauti dar vieną nulį:

Už tai prie trečios eilutės pridedame antrą eilutę, padaugintą iš -2:

Pabandykite patys išanalizuoti šį veiksmą - mintyse padauginkite antrą eilutę iš -2 ir atlikite sudėjimą.

Paskutinis atliktas veiksmas yra rezultato šukuosena, trečią eilutę padalinkite iš 3.

Elementariųjų transformacijų rezultate buvo gauta lygiavertė pradinė tiesinių lygčių sistema:

Saunus.

Dabar pradedama naudoti atvirkštinė Gauso metodo eiga. Lygtys „atsipalaiduoja“ iš apačios į viršų.

Trečioje lygtyje mes jau turime galutinį rezultatą:

Pažvelkime į antrąją lygtį: . „z“ reikšmė jau žinoma, taigi:

Ir galiausiai pirmoji lygtis: . „Y“ ir „Z“ žinomi, reikalas mažas:

Atsakymas:

Kaip jau ne kartą buvo pažymėta, bet kuriai lygčių sistemai galima ir būtina patikrinti rastą sprendimą, laimei, tai nėra sunku ir greita.

2 pavyzdys

Tai yra savarankiško sprendimo pavyzdys, užbaigimo pavyzdys ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Reikėtų pažymėti, kad jūsų veiksmų eiga gali nesutapti su mano veiksmų eiga, ir tai yra Gauso metodo bruožas. Bet atsakymai turi būti tie patys!

3 pavyzdys

Išspręskite tiesinių lygčių sistemą Gauso metodu

Rašome išplėstinę sistemos matricą ir, naudodami elementarias transformacijas, pateikiame ją į žingsninę formą:

Mes žiūrime į viršutinį kairįjį „žingsnį“. Ten turėtume turėti padalinį. Bėda ta, kad pirmame stulpelyje išvis nėra nė vieno, todėl perstačius eilutes nieko nepavyks išspręsti. Tokiais atvejais padalinys turi būti organizuojamas naudojant elementarią transformaciją. Paprastai tai galima padaryti keliais būdais. Aš padariau tai:
(1) Prie pirmosios eilutės pridedame antrą eilutę, padaugintą iš -1. Tai yra, mes mintyse padauginome antrąją eilutę iš -1 ir atlikome pirmosios ir antrosios eilučių pridėjimą, o antroji eilutė nepasikeitė.

Dabar viršuje kairėje „minusas vienas“, kuris mums puikiai tinka. Kas nori gauti +1, gali atlikti papildomą gestą: padauginkite pirmąją eilutę iš -1 (pakeiskite jos ženklą).

(2) Pirmoji eilutė, padauginta iš 5, buvo įtraukta į antrąją eilutę. Pirmoji eilutė, padauginta iš 3, buvo įtraukta į trečią eilutę.

(3) Pirmoji eilutė buvo padauginta iš -1, iš esmės tai skirta grožiui. Trečiosios eilutės ženklas taip pat buvo pakeistas ir perkeltas į antrą vietą, taigi antruoju „žingsniu“ gavome norimą vienetą.

(4) Antroji eilutė, padauginta iš 2, buvo pridėta prie trečios eilutės.

(5) Trečioji eilutė buvo padalinta iš 3.

Blogas ženklas, rodantis skaičiavimo klaidą (rečiau rašybos klaidą), yra „bloga“ išvada. Tai yra, jei gautume kažką panašaus į žemiau, ir atitinkamai , tada su didele tikimybe galima teigti, kad elementariųjų transformacijų metu buvo padaryta klaida.

Apmokestiname atvirkštinį žingsnį, projektuojant pavyzdžius pati sistema dažnai neperrašoma, o lygtys „paimtos tiesiai iš duotosios matricos“. Atvirkštinis judėjimas, primenu, veikia iš apačios į viršų. Taip, čia yra dovana:

Atsakymas: .

4 pavyzdys

Išspręskite tiesinių lygčių sistemą Gauso metodu

Tai yra nepriklausomo sprendimo pavyzdys, jis yra šiek tiek sudėtingesnis. Gerai, jei kas nors susipainios. Visas sprendimas ir dizaino pavyzdys pamokos pabaigoje. Jūsų sprendimas gali skirtis nuo mano.

Paskutinėje dalyje aptariame kai kurias Gauso algoritmo ypatybes.
Pirmoji ypatybė yra ta, kad kartais sistemos lygtyse trūksta kai kurių kintamųjų, pavyzdžiui:

Kaip teisingai parašyti išplėstinę sistemos matricą? Apie šią akimirką jau kalbėjau pamokoje. Cramerio taisyklė. Matricos metodas. Išplėstoje sistemos matricoje vietoj trūkstamų kintamųjų dedame nulius:

Beje, tai yra gana paprastas pavyzdys, nes pirmajame stulpelyje jau yra vienas nulis, o elementarių transformacijų reikia atlikti mažiau.

Antroji savybė yra tokia. Visuose nagrinėjamuose pavyzdžiuose „žingsniuose“ įdėjome arba –1, arba +1. Ar gali būti kitų skaičių? Kai kuriais atvejais jie gali. Apsvarstykite sistemą: .

Čia, viršutiniame kairiajame „žingsnelyje“, turime dvikovą. Bet pastebime faktą, kad visi skaičiai pirmajame stulpelyje dalijasi iš 2 be likučio – ir dar iš dviejų ir šešių. O viršuje, kairėje esanti deuce mums tiks! Pirmajame žingsnyje turite atlikti šias transformacijas: prie antrosios eilutės pridėkite pirmąją eilutę, padaugintą iš -1; prie trečios eilutės pridėkite pirmąją eilutę, padaugintą iš -3. Taip gausime reikalingi nuliai pirmoje skiltyje.

Arba kitas hipotetinis pavyzdys: . Čia mums tinka ir antrojo „laiptelio“ trivietis, nes 12 (vieta, kur reikia gauti nulį) dalijasi iš 3 be liekanos. Būtina atlikti tokią transformaciją: į trečią eilutę pridėkite antrą eilutę, padaugintą iš -4, dėl to bus gautas mums reikalingas nulis.

Gauso metodas yra universalus, tačiau yra vienas ypatumas. Galite drąsiai išmokti spręsti sistemas kitais metodais (Cramerio metodas, matricos metodas) pažodžiui nuo pirmo karto – yra labai griežtas algoritmas. Tačiau norėdami pasitikėti Gauso metodu, turėtumėte „užpildyti ranką“ ir išspręsti bent 5–10 sistemų. Todėl iš pradžių gali kilti painiavos, klaidų skaičiavimuose, ir tame nėra nieko neįprasto ar tragiško.

Už lango lietingas rudeniškas oras....Todėl visiems daugiau sudėtingas pavyzdys nepriklausomam sprendimui:

5 pavyzdys

Išspręskite Gauso metodu keturių sistema tiesinės lygtys keturiuose nežinomuosiuose.

Tokia užduotis praktikoje nėra tokia reta. Manau, kad net arbatinukas, detaliai išstudijavęs šį puslapį, tokios sistemos sprendimo algoritmą supranta intuityviai. Iš esmės tas pats – tik daugiau veiksmo.

Pamokoje Nesuderinamos sistemos ir sistemos su bendruoju sprendimu nagrinėjami atvejai, kai sistema neturi sprendinių (nenuosekli) arba turi be galo daug sprendimų. Čia galite pataisyti svarstomą Gauso metodo algoritmą.

Linkime sėkmės!

Sprendimai ir atsakymai:

2 pavyzdys: Sprendimas : Užrašykime išplėstinę sistemos matricą ir, naudodami elementariąsias transformacijas, perveskime ją į laiptuotą formą.

Atliktos elementarios transformacijos:
(1) Pirmoji eilutė buvo pridėta prie antrosios eilutės, padauginta iš -2. Pirmoji eilutė buvo pridėta prie trečios eilutės, padauginta iš -1. Dėmesio!Čia gali kilti pagunda atimti pirmą iš trečios eilutės, aš griežtai nerekomenduoju atimti - klaidos rizika labai padidėja. Mes tiesiog sulenkiame!
(2) Antros eilutės ženklas buvo pakeistas (padaugintas iš -1). Antroji ir trečioji eilutės buvo pakeistos. pastaba kad ant „laiptelių“ pasitenkiname ne tik vienu, bet ir -1, o tai dar patogiau.
(3) Prie trečios eilutės pridėkite antrą eilutę, padaugintą iš 5.
(4) Antros eilutės ženklas buvo pakeistas (padaugintas iš -1). Trečioji eilutė buvo padalinta iš 14.

Atvirkštinis judėjimas:

Atsakymas: .

4 pavyzdys: Sprendimas : Rašome išplėstinę sistemos matricą ir, naudodami elementarias transformacijas, pateikiame ją į žingsninę formą:

Atliktos konversijos:
(1) Antroji eilutė buvo pridėta prie pirmosios eilutės. Taigi, norimas vienetas yra organizuojamas viršutiniame kairiajame „žingsnyje“.
(2) Pirmoji eilutė, padauginta iš 7, buvo įtraukta į antrąją eilutę. Pirmoji eilutė, padauginta iš 6, buvo įtraukta į trečią eilutę.

Su antruoju „žingsniu“ viskas dar blogiau , jo „kandidatai“ yra skaičiai 17 ir 23, o mums reikia arba vieno, arba -1. Transformacijomis (3) ir (4) bus siekiama gauti norimą vienetą

(3) Antroji eilutė buvo pridėta prie trečios eilutės, padauginta iš -1.
(4) Trečioji eilutė, padauginta iš -3, buvo pridėta prie antrosios eilutės.
(3) Antroji eilutė, padauginta iš 4, buvo įtraukta į trečią eilutę. Antroji eilutė, padauginta iš -1, buvo įtraukta į ketvirtą eilutę.
(4) Antros eilutės ženklas pakeistas. Ketvirtoji eilutė buvo padalinta iš 3 ir įdėta vietoj trečios eilutės.
(5) Trečia eilutė buvo pridėta prie ketvirtos eilutės, padauginta iš -5.

Atvirkštinis judėjimas:

Mes ir toliau svarstome tiesinių lygčių sistemas. Ši pamoka yra trečioji šia tema. Jei turite miglotą supratimą apie tai, kas apskritai yra tiesinių lygčių sistema, jaučiatės kaip arbatinukas, tada rekomenduoju pradėti nuo pagrindų kitame puslapyje, naudinga studijuoti pamoką.

Gauso metodas yra paprastas! Kodėl? Garsus vokiečių matematikas Johanas Carlas Friedrichas Gaussas per savo gyvenimą gavo pripažinimą kaip didžiausią visų laikų matematiką, genijų ir netgi pravardę „Matematikos karalius“. Ir viskas išradinga, kaip žinote, yra paprasta! Beje, į pinigus patenka ne tik čiulptukai, bet ir genijai – Gauso portretas puikavosi ant 10 Vokietijos markių kupiūros (iki euro įvedimo), o Gaussas iki šiol paslaptingai šypsosi vokiečiams iš paprastų pašto ženklų.

Pirmiausia šiek tiek susisteminame žinias apie tiesinių lygčių sistemas. Tiesinių lygčių sistema gali:

1) Turėkite unikalų sprendimą. 2) Turėkite be galo daug sprendimų. 3) Neturi sprendimų (būti nesuderinamas).

Gauso metodas yra galingiausias ir universaliausias sprendimas ieškant sprendimo bet koks tiesinių lygčių sistemos. Kaip prisimename Cramerio taisyklė ir matricos metodas yra netinkami tais atvejais, kai sistema turi be galo daug sprendimų arba yra nenuosekli. Nežinomų nuoseklaus pašalinimo metodas šiaip veda mus prie atsakymo! Šioje pamokoje dar kartą apsvarstysime Gauso metodą 1 atvejui (vienintelis sistemos sprendimas), straipsnis skirtas 2-3 punktų situacijoms. Atkreipiu dėmesį, kad pats metodo algoritmas visais trimis atvejais veikia vienodai.

Iš pamokos grįžkime prie paprasčiausios sistemos Kaip išspręsti tiesinių lygčių sistemą? ir išspręskite jį Gauso metodu.

Pirmas žingsnis – rašyti išplėstinė matricų sistema: . Kokiu principu fiksuojami koeficientai, manau, visi mato. Vertikali linija matricos viduje neturi jokios matematinės reikšmės – tai tik perbrauktas dizainas.

nuoroda : Rekomenduoju prisiminti terminai tiesinė algebra. Sistemos matrica yra matrica, sudaryta tik iš nežinomųjų koeficientų, šiame pavyzdyje sistemos matrica: . Išplėstinė sistemos matrica yra ta pati sistemos matrica ir laisvųjų narių stulpelis, šiuo atveju: . Bet kuri iš matricų gali būti vadinama tiesiog matrica dėl trumpumo.

Parašius išplėstinę sistemos matricą, su ja reikia atlikti kai kuriuos veiksmus, kurie taip pat vadinami elementarios transformacijos.

Yra šios elementarios transformacijos:

1) Stygos matricos gali pertvarkyti vietos. Pavyzdžiui, nagrinėjamoje matricoje galite saugiai pertvarkyti pirmąją ir antrąją eilutes:

2) Jei matricoje yra (arba atsirado) proporcingų (ypatingu atveju - identiškų) eilučių, tai seka Ištrinti iš matricos visos šios eilutės, išskyrus vieną. Apsvarstykite, pavyzdžiui, matricą . Šioje matricoje paskutinės trys eilutės yra proporcingos, todėl pakanka palikti tik vieną iš jų: .

3) Jei transformacijų metu matricoje atsirado nulinė eilutė, tai taip pat seka Ištrinti. Aš, žinoma, nebrėžiu, nulinė linija yra ta linija, kurioje tik nuliai.

5) Ši transformacija sukelia daugiausiai sunkumų, tačiau iš tikrųjų nėra ir nieko sudėtingo. Į matricos eilutę galite pridėkite kitą eilutę, padaugintą iš skaičiaus, skiriasi nuo nulio. Apsvarstykite mūsų matricą iš praktinio pavyzdžio: . Pirmiausia labai detaliai aprašysiu transformaciją. Padauginkite pirmąją eilutę iš -2: , Ir prie antros eilutės pridedame pirmąją eilutę, padaugintą iš -2: . Dabar pirmoji eilutė gali būti padalinta "atgal" iš -2: . Kaip matote, eilutė, kuri yra PRIDĖTA LI – nepasikeitė. Yra visada eilutė pakeista, PRIE KURIOS PRIDĖTA UT.

Praktiškai, žinoma, jie netapo taip išsamiai, bet rašo trumpiau: Dar kartą: į antrą eilutę pridėjo pirmąją eilutę, padaugintą iš -2. Linija paprastai padauginama žodžiu arba juodraštyje, o protiniai skaičiavimų eiga yra maždaug tokia:

„Perrašau matricą ir perrašau pirmą eilutę: »

„Dabar antra stulpelis. Virš -1 kartas -2: . Pirmąją pridedu į antrą eilutę: 1 + 2 = 3. Rezultatą rašau į antrą eilutę: »

„Ir trečia kolona. Virš -5 kartus -2: . Pirmą eilutę pridedu prie antros eilutės: -7 + 10 = 3. Rezultatą rašau antroje eilutėje: »

Elementariosios transformacijos nekeičia lygčių sistemos sprendinio

Parašykime padidintą sistemos matricą ir, naudodami elementariąsias transformacijas, sumažinkime ją iki laiptuotas vaizdas:

(2) Padalinkite antrąją eilutę iš 3.

Elementariųjų transformacijų paskirtis – konvertuoti matricą į žingsninę formą: . Kurdami užduotį, jie tiesiai pieštuku nubrėžia „kopėčias“, taip pat apibraukite skaičius, esančius ant „laiptelių“. Pats terminas „pakopinis vaizdas“ nėra visiškai teorinis, mokslinėje ir mokomojoje literatūroje jis dažnai vadinamas trapecinis vaizdas arba trikampis vaizdas.

Elementariųjų transformacijų rezultate gavome lygiavertis originali lygčių sistema:

Dabar sistemą reikia „atsukti“ priešinga kryptimi – iš apačios į viršų šis procesas vadinamas atvirkštinis Gauso metodas.

Apatinėje lygtyje jau turime galutinį rezultatą: .

Apsvarstykite pirmąją sistemos lygtį ir pakeiskite ja jau žinomą „y“ reikšmę:

Panagrinėkime dažniausiai pasitaikančią situaciją, kai trijų tiesinių lygčių su trimis nežinomaisiais sistemai išspręsti reikalingas Gauso metodas.

1 pavyzdys

Gauso metodu išspręskite lygčių sistemą:

Parašykime išplėstinę sistemos matricą:

Dabar iš karto nubraižysiu rezultatą, kurį pasieksime sprendimo eigoje: Ir kartoju, mūsų tikslas yra suvesti matricą į laiptuotą formą naudojant elementarias transformacijas. Nuo ko pradėti imtis veiksmų?

Pirmiausia pažiūrėkite į viršutinį kairįjį skaičių: Čia turėtų būti beveik visada vienetas. Paprastai tariant, tiks ir -1 (o kartais ir kiti skaičiai), bet kažkaip tradiciškai susiklostė taip, kad ten dažniausiai dedamas vienetas. Kaip organizuoti padalinį? Žiūrime į pirmą stulpelį – turime baigtą vienetą! Pirma transformacija: sukeiskite pirmą ir trečią eilutes:

Dabar pirmoji eilutė išliks nepakitusi iki sprendimo pabaigos. Dabar gerai.

Viršutiniame kairiajame kampe esantis padalinys yra organizuotas. Dabar šiose vietose reikia gauti nulius:

Rezultatas rašomas antroje eilutėje:

Rezultatas rašomas trečioje eilutėje:

Praktikoje šie veiksmai dažniausiai atliekami žodžiu ir užrašomi vienu žingsniu:

Nereikia visko skaičiuoti iš karto ir tuo pačiu metu. Skaičiavimų ir rezultatų „įterpimo“ tvarka nuoseklus o dažniausiai taip: pirma perrašome pirmą eilutę, o patys tyliai išsipučiame - NUOSTOLIAI ir ATSARGIAI:
O pačių skaičiavimų protinę eigą jau apsvarsčiau aukščiau.

Paskutiniame elementariųjų transformacijų etape čia reikia gauti dar vieną nulį:

Už tai prie trečios eilutės pridedame antrą eilutę, padaugintą iš -2:
Pabandykite patys išanalizuoti šį veiksmą - mintyse padauginkite antrą eilutę iš -2 ir atlikite sudėjimą.

Paskutinis atliktas veiksmas yra rezultato šukuosena, trečią eilutę padalinkite iš 3.

Elementariųjų transformacijų rezultate buvo gauta lygiavertė pradinė tiesinių lygčių sistema: Saunus.

Dabar pradedama naudoti atvirkštinė Gauso metodo eiga. Lygtys „atsipalaiduoja“ iš apačios į viršų.

Trečioje lygtyje mes jau turime galutinį rezultatą:

Pažvelkime į antrąją lygtį: . „z“ reikšmė jau žinoma, taigi:

Ir galiausiai pirmoji lygtis: . „Y“ ir „Z“ žinomi, reikalas mažas:

Atsakymas:

Kaip jau ne kartą buvo pažymėta, bet kuriai lygčių sistemai galima ir būtina patikrinti rastą sprendimą, laimei, tai nėra sunku ir greita.

2 pavyzdys

Tai yra savarankiško sprendimo pavyzdys, užbaigimo pavyzdys ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Reikėtų pažymėti, kad jūsų veiksmų eiga gali nesutapti su mano veiksmų eiga, ir tai yra Gauso metodo bruožas. Bet atsakymai turi būti tie patys!

3 pavyzdys

Išspręskite tiesinių lygčių sistemą Gauso metodu

Mes žiūrime į viršutinį kairįjį „žingsnį“. Ten turėtume turėti padalinį. Bėda ta, kad pirmame stulpelyje išvis nėra nė vieno, todėl perstačius eilutes nieko nepavyks išspręsti. Tokiais atvejais padalinys turi būti organizuojamas naudojant elementarią transformaciją. Paprastai tai galima padaryti keliais būdais. Aš padariau taip: (1) Prie pirmosios eilutės pridedame antrą eilutę, padaugintą iš -1. Tai yra, mes mintyse padauginome antrąją eilutę iš -1 ir atlikome pirmosios ir antrosios eilučių pridėjimą, o antroji eilutė nepasikeitė.

Dabar viršuje kairėje „minusas vienas“, kuris mums puikiai tinka. Kas nori gauti +1, gali atlikti papildomą gestą: padauginkite pirmąją eilutę iš -1 (pakeiskite jos ženklą).

(2) Pirmoji eilutė, padauginta iš 5, buvo įtraukta į antrąją eilutę. Pirmoji eilutė, padauginta iš 3, buvo įtraukta į trečią eilutę.

(4) Antroji eilutė, padauginta iš 2, buvo pridėta prie trečios eilutės.

(5) Trečioji eilutė buvo padalinta iš 3.

Atsakymas: .

4 pavyzdys

Išspręskite tiesinių lygčių sistemą Gauso metodu

Paskutinėje dalyje aptariame kai kurias Gauso algoritmo ypatybes. Pirmoji ypatybė yra ta, kad kartais sistemos lygtyse trūksta kai kurių kintamųjų, pavyzdžiui: Kaip teisingai parašyti išplėstinę sistemos matricą? Apie šią akimirką jau kalbėjau pamokoje. Cramerio taisyklė. Matricos metodas. Išplėstoje sistemos matricoje vietoj trūkstamų kintamųjų dedame nulius: Beje, tai yra gana paprastas pavyzdys, nes pirmajame stulpelyje jau yra vienas nulis, o elementarių transformacijų reikia atlikti mažiau.

Gauso metodas yra universalus, tačiau yra vienas ypatumas. Galite drąsiai išmokti spręsti sistemas kitais metodais (Cramerio metodas, matricos metodas) pažodžiui nuo pirmo karto – yra labai griežtas algoritmas. Tačiau norint jaustis užtikrintai Gauso metodu, turėtumėte „užpildyti ranką“ ir išspręsti bent 5–10 dešimties sistemų. Todėl iš pradžių gali kilti painiavos, klaidų skaičiavimuose, ir tame nėra nieko neįprasto ar tragiško.

Lietingas rudens oras už lango....Todėl kiekvienam sudėtingesnis savarankiško sprendimo pavyzdys:

5 pavyzdys

Gauso metodu išspręskite 4 tiesinių lygčių su keturiais nežinomaisiais sistemą.

Pamokoje nagrinėjami atvejai, kai sistema neturi sprendinių (nenuosekli) arba turi be galo daug sprendimų. Nesuderinamos sistemos ir sistemos su bendru sprendimu. Čia galite pataisyti svarstomą Gauso metodo algoritmą.

Linkime sėkmės!

Sprendimai ir atsakymai:

2 pavyzdys: Sprendimas : Užrašykime išplėstinę sistemos matricą ir, naudodami elementariąsias transformacijas, perveskime ją į laiptuotą formą.
Atliktos elementarios transformacijos: (1) Pirmoji eilutė buvo pridėta prie antrosios eilutės, padauginta iš -2. Pirmoji eilutė buvo pridėta prie trečios eilutės, padauginta iš -1. Dėmesio! Čia gali kilti pagunda atimti pirmą iš trečios eilutės, aš griežtai nerekomenduoju atimti - klaidos rizika labai padidėja. Mes tiesiog sulenkiame! (2) Antros eilutės ženklas buvo pakeistas (padaugintas iš -1). Antroji ir trečioji eilutės buvo pakeistos. pastaba kad ant „laiptelių“ pasitenkiname ne tik vienu, bet ir -1, o tai dar patogiau. (3) Prie trečios eilutės pridėkite antrą eilutę, padaugintą iš 5. (4) Antros eilutės ženklas buvo pakeistas (padaugintas iš -1). Trečioji eilutė buvo padalinta iš 14.

Atvirkštinis judėjimas:

Atsakymas : .

4 pavyzdys: Sprendimas : Rašome išplėstinę sistemos matricą ir, naudodami elementarias transformacijas, pateikiame ją į žingsninę formą:

Atliktos konversijos: (1) Antroji eilutė buvo pridėta prie pirmosios eilutės. Taigi, norimas vienetas yra organizuojamas viršutiniame kairiajame „žingsnyje“. (2) Pirmoji eilutė, padauginta iš 7, buvo įtraukta į antrąją eilutę. Pirmoji eilutė, padauginta iš 6, buvo įtraukta į trečią eilutę.

Su antruoju „žingsniu“ viskas dar blogiau , jo „kandidatai“ yra skaičiai 17 ir 23, o mums reikia arba vieno, arba -1. Transformacijomis (3) ir (4) bus siekiama gauti norimą vienetą (3) Antroji eilutė buvo pridėta prie trečios eilutės, padauginta iš -1. (4) Trečioji eilutė, padauginta iš -3, buvo pridėta prie antrosios eilutės. Antrame žingsnyje reikalingas daiktas gaunamas . (5) Prie trečios eilutės pridedama antra, padauginta iš 6. (6) Antroji eilutė buvo padauginta iš -1, trečioji eilė padalinta iš -83.

Atvirkštinis judėjimas:

Atsakymas :

5 pavyzdys: Sprendimas : Užrašykime sistemos matricą ir naudodami elementariąsias transformacijas perkelkime ją į laipsnišką formą:

Atliktos konversijos: (1) Pirmoji ir antroji eilutės buvo pakeistos. (2) Pirmoji eilutė buvo pridėta prie antrosios eilutės, padauginta iš -2. Pirmoji eilutė buvo pridėta prie trečios eilutės, padauginta iš -2. Pirmoji eilutė buvo pridėta prie ketvirtos eilutės, padauginta iš -3. (3) Antroji eilutė, padauginta iš 4, buvo įtraukta į trečią eilutę. Antroji eilutė, padauginta iš -1, buvo įtraukta į ketvirtą eilutę. (4) Antros eilutės ženklas pakeistas. Ketvirtoji eilutė buvo padalinta iš 3 ir įdėta vietoj trečios eilutės. (5) Trečia eilutė buvo pridėta prie ketvirtos eilutės, padauginta iš -5.

Atvirkštinis judėjimas:

Atsakymas :

1. Tiesinių algebrinių lygčių sistema

1.1 Tiesinių algebrinių lygčių sistemos samprata

Lygčių sistema yra sąlyga, kai vienu metu vykdomos kelios lygtys kelių kintamųjų atžvilgiu. Tiesinių algebrinių lygčių sistema (toliau – SLAE), turinti m lygčių ir n nežinomųjų, yra tokios formos sistema:

kur skaičiai a ij vadinami sistemos koeficientais, skaičiai b i yra laisvieji nariai, aij Ir b i(i=1,…, m; b=1,…, n) yra keletas žinomų skaičių ir x 1 ,…, x n- nežinomas. Koeficientų žymėjime aij pirmasis indeksas i reiškia lygties skaičių, o antrasis indeksas j yra nežinomojo skaičius, kuriame yra šis koeficientas. Atsižvelgiant į skaičių x n . Tokią sistemą patogu parašyti kompaktiška matrica: AX = B.Čia A yra sistemos koeficientų matrica, vadinama pagrindine matrica;

yra nežinomo xj stulpelio vektorius.
yra laisvųjų narių bi stulpelio vektorius.

Apibrėžiama matricų A * X sandauga, nes matricoje A yra tiek stulpelių, kiek X matricoje eilučių (n vienetų).

Išplėstinė sistemos matrica yra sistemos matrica A, papildyta laisvųjų narių stulpeliu

1.2 Tiesinių algebrinių lygčių sistemos sprendimas

Lygčių sistemos sprendimas yra sutvarkytas skaičių (kintamųjų reikšmių) rinkinys, kai juos pakeičiant vietoj kintamųjų, kiekviena sistemos lygtis virsta tikrąja lygybe.

Sistemos sprendimas yra n reikšmių nežinomųjų x1=c1, x2=c2,…, xn=cn, kurias pakeitus visos sistemos lygtys virsta tikrosiomis lygybėmis. Bet koks sistemos sprendimas gali būti parašytas kaip matricos stulpelis

Lygčių sistema vadinama nuoseklia, jei turi bent vieną sprendinį, ir nenuoseklia, jei sprendinių nėra.

Jungtinė sistema vadinama apibrėžtąja, jei ji turi unikalų sprendimą, ir neapibrėžta, jei ji turi daugiau nei vieną sprendimą. Pastaruoju atveju kiekvienas jo sprendimas vadinamas konkrečiu sistemos sprendimu. Visų konkrečių sprendimų rinkinys vadinamas bendruoju sprendimu.

Išspręsti sistemą reiškia išsiaiškinti, ar ji nuosekli, ar nenuosekli. Jei sistema suderinama, suraskite jos bendrą sprendimą.

Dvi sistemos vadinamos lygiavertėmis (ekvivalentiškomis), jei jų bendrasis sprendimas yra toks pat. Kitaip tariant, sistemos yra lygiavertės, jei kiekvienas vienos iš jų sprendimas yra kitos sprendimas, ir atvirkščiai.

Transformacija, kurios taikymas paverčia sistemą į nauja sistema, lygiavertis pradiniam, vadinamas ekvivalentine arba lygiaverte transformacija. Lygiaverčių transformacijų pavyzdžiais gali pasitarnauti šios transformacijos: dviejų sistemos lygčių sukeitimas, dviejų nežinomųjų sukeitimas su visų lygčių koeficientais, abiejų bet kurios sistemos lygties dalių padauginimas iš ne nulio skaičiaus.

Tiesinių lygčių sistema vadinama vienalyte, jei visi laisvieji nariai yra lygūs nuliui:

Vienalytė sistema visada yra nuosekli, nes x1=x2=x3=…=xn=0 yra sistemos sprendimas. Šis sprendimas vadinamas niekiniu arba trivialiu.

2. Gauso eliminacijos metodas

2.1 Gauso eliminacijos metodo esmė

Klasikinis tiesinių algebrinių lygčių sistemų sprendimo metodas yra nuoseklaus nežinomųjų pašalinimo metodas. Gauso metodas(Jis taip pat vadinamas Gauso eliminacijos metodu). Tai kintamųjų nuoseklaus eliminavimo būdas, kai elementariųjų transformacijų pagalba lygčių sistema redukuojama į lygiavertę laiptuotos (arba trikampės) formos sistemą, iš kurios paeiliui randami visi kiti kintamieji, pradedant nuo paskutiniai (pagal skaičių) kintamieji.

Gauso sprendimo procesas susideda iš dviejų etapų: judesių pirmyn ir atgal.

1. Tiesioginis judėjimas.

Pirmajame etape atliekamas vadinamasis tiesioginis judėjimas, kai elementariomis transformacijomis per eilutes sistema perkeliama į laiptuotą arba trikampę formą arba nustatoma, kad sistema nenuosekli. Būtent tarp pirmojo matricos stulpelio elementų pasirenkamas ne nulis vienetas, jis permutuojant eilutes perkeliamas į aukščiausią padėtį, o pirmoji eilė, gauta atlikus permutaciją, atimama iš likusių eilučių, ją padauginant. reikšme, lygia kiekvienos iš šių eilučių pirmojo elemento ir pirmosios eilutės pirmojo elemento santykiui, tokiu būdu nulinant po juo esantį stulpelį.

Atlikus nurodytas transformacijas, pirmoji eilutė ir pirmasis stulpelis mintyse perbraukiami ir tęsiami tol, kol lieka nulinio dydžio matrica. Jei kai kuriose iteracijose tarp pirmojo stulpelio elementų nebuvo rastas ne nulis, eikite į kitą stulpelį ir atlikite panašią operaciją.

Pirmajame etape (į priekį) sistema sumažinama į laiptuotą (ypač trikampę).

Žemiau pateikta sistema yra laipsniška:

Koeficientai aii vadinami pagrindiniais (pirmaujančiais) sistemos elementais.

(jei a11=0, pertvarkykite matricos eilutes taip a 11 nebuvo lygus 0. Tai visada įmanoma, nes kitu atveju matricoje yra nulinis stulpelis, jo determinantas lygus nuliui ir sistema nenuosekli).

Sistemą transformuojame pašalindami nežinomą x1 visose lygtyse, išskyrus pirmąją (naudojant elementarias sistemos transformacijas). Norėdami tai padaryti, padauginkite abi pirmosios lygties puses iš

ir sudėti terminą po termino su antrąja sistemos lygtimi (arba iš antrosios lygties terminą po termino atimame pirmąjį, padaugintą iš ). Tada abi pirmosios lygties dalis padauginame iš ir pridedame prie trečiosios sistemos lygties (arba atimame pirmąją, padaugintą iš trečiojo nario). Taigi pirmąją eilutę padauginame iš skaičiaus ir pridedame prie i-toji eilutė, skirta i= 2, 3, …,n.

Tęsdami šį procesą, gauname lygiavertę sistemą:

– naujos nežinomųjų ir laisvųjų dėmenų koeficientų reikšmės paskutinėse sistemos m-1 lygtyse, kurios nustatomos pagal formules:

Taigi, pirmame žingsnyje, visi koeficientai po pirmuoju pagrindiniu elementu a 11 sunaikinami

0, antrasis veiksmas sunaikina elementus po antruoju pirmuoju elementu a 22 (1) (jei 22 (1) 0) ir pan. Tęsdami šį procesą toliau, pradinę sistemą pagaliau sumažinsime iki trikampės sistemos (m-1) žingsnyje.

Jeigu redukuojant sistemą į pakopinę formą atsiranda nulinės lygtys, t.y. lygybės 0=0 formos, jos atmetamos. Jei yra formos lygtis

Tai rodo sistemos nesuderinamumą.

Tai užbaigia tiesioginį Gauso metodo eigą.

2. Atbulinis judėjimas.

Antrame etape atliekamas vadinamasis atvirkštinis judėjimas, kurio esmė yra išreikšti visus gautus pagrindinius kintamuosius ne pagrindiniais ir sudaryti pagrindinė sistema sprendiniai arba, jei visi kintamieji yra pagrindiniai, tada skaitine forma išreikškite vienintelį tiesinių lygčių sistemos sprendimą.

Ši procedūra prasideda paskutine lygtimi, iš kurios išreiškiamas atitinkamas pagrindinis kintamasis (joje yra tik vienas) ir pakeičiamas į ankstesnes lygtis ir t. t., kylant „pakopomis“.

Kiekviena eilutė tiksliai atitinka vieną pagrindinį kintamąjį, todėl kiekviename žingsnyje, išskyrus paskutinę (viršutinę), situacija tiksliai pakartoja paskutinės eilutės atvejį.

Pastaba: praktikoje patogiau dirbti ne su sistema, o su jos išplėstine matrica, atliekant visas elementarias transformacijas jos eilutėse. Patogu, kad koeficientas a11 būtų lygus 1 (pertvarkykite lygtis arba padalykite abi lygties puses iš a11).

2.2 SLAE sprendimo Gauso metodu pavyzdžiai

Šiame skyriuje, naudodami tris skirtingus pavyzdžius, parodysime, kaip Gauso metodas gali būti naudojamas SLAE išspręsti.

1 pavyzdys. Išspręskite 3 eilės SLAE.

Nustatykite koeficientus į nulį

antroje ir trečioje eilutėse. Norėdami tai padaryti, padauginkite juos atitinkamai iš 2/3 ir 1 ir pridėkite prie pirmosios eilutės: