Liestinė yra tiesi linija , kuris paliečia funkcijos grafiką viename taške ir kurio visi taškai yra mažiausiu atstumu nuo funkcijos grafiko. Todėl liestinė tam tikru kampu kerta funkcijos grafiko liestinę ir negali praeiti per liestinės tašką keliomis liestinėmis. skirtingi kampai... Funkcijos grafiko liestinės lygtys ir normaliosios lygtys sudaromos naudojant išvestinę.

Tangentinė lygtis gaunama iš tiesės lygties .

Išvedame liestinės linijos lygtį, o tada – funkcijos grafiko normaliosios lygtį.

y = kx + b .

Jame k yra nuolydis.

Iš čia gauname tokį įrašą:

y - y 0 = k(x - x 0 ) .

Išvestinė vertė f "(x 0 ) funkcijas y = f(x) taške x0 lygus nuolydžiui k= tg φ per tašką nubrėžtos funkcijos grafiko liestinė M0 (x 0 , y 0 ) , kur y0 = f(x 0 ) ... Tai yra išvestinė geometrinė reikšmė .

Taigi galime pakeisti k ant f "(x 0 ) ir gaukite šiuos dalykus funkcijos grafiko liestinės lygtis :

y - y 0 = f "(x 0 )(x - x 0 ) .

Funkcijos grafiko liestinės linijos lygties sudarymo uždaviniuose (ir netrukus prie jų pereisime) pagal aukščiau pateiktą formulę gautą lygtį reikia sumažinti iki bendrosios formos tiesės lygtis... Norėdami tai padaryti, visas raides ir skaičius turite perkelti į kairę lygties pusę, o dešinėje - palikti nulį.

Dabar apie normalią lygtį. Normalus yra tiesė, einanti per funkcijos, statmenos liestinei, grafiko liesties tašką. Normalioji lygtis :

(x - x 0 ) + f "(x 0 )(y - y 0 ) = 0

Apšilimui pirmasis pavyzdys turėtų būti išspręstas savarankiškai, o tada – sprendimas. Yra pagrindo tikėtis, kad ši užduotis mūsų skaitytojams netaps „šaltu dušu“.

0 pavyzdys. Parašykite funkcijos taške grafiko liestinės lygtį ir normaliąją lygtį M (1, 1) .

1 pavyzdys. Parašykite funkcijos grafiko liestinės lygtį ir normaliąją lygtį jei lietimo taško abscisė.

Raskime funkcijos išvestinę:

Dabar turime viską, ką reikia pakeisti į teorinėje nuorodoje pateiktą įrašą, kad gautume liestinės lygtį. Mes gauname

Šiame pavyzdyje mums pasisekė: nuolydis buvo lygus nuliui, todėl atskirai sumažinkite lygtį iki bendras vaizdas nebuvo reikalingas. Dabar galime sudaryti normalią lygtį:

Žemiau esančiame paveikslėlyje: funkcijų grafikas bordo, liestinė Žalia spalva, įprasta yra oranžinė.

Kitas pavyzdys taip pat nesudėtingas: funkcija, kaip ir ankstesniame, taip pat yra daugianario, tačiau nuolydis nebus lygus nuliui, todėl bus pridėtas dar vienas žingsnis - lygties išvedimas į bendrą formą.

2 pavyzdys.

Sprendimas. Raskite prisilietimo taško ordinatę:

Raskime funkcijos išvestinę:

.

Raskite išvestinės reikšmę liestinės taške, ty liestinės nuolydį:

Visus gautus duomenis pakeičiame į „tuščią formulę“ ir gauname liestinės lygtį:

Lygtį perkeliame į bendrą formą (kairėje pusėje renkame visas raides ir skaičius, išskyrus nulį, o dešinėje paliekame nulį):

Sudarome normalią lygtį:

3 pavyzdys. Parašykite funkcijos grafiko liestinės ir normaliosios lygtį, jei liestinės taško abscisė.

Sprendimas. Raskite prisilietimo taško ordinatę:

Raskime funkcijos išvestinę:

.

Raskite išvestinės reikšmę liestinės taške, ty liestinės nuolydį:

.

Raskite liestinės lygtį:

Prieš pateikdami lygtį į bendrą formą, turite ją šiek tiek „šukuoti“: padauginkite iš 4. Mes tai darome ir lygtį perkeliame į bendrą formą:

Sudarome normalią lygtį:

4 pavyzdys. Parašykite funkcijos grafiko liestinės ir normaliosios lygtį, jei liestinės taško abscisė.

Sprendimas. Raskite prisilietimo taško ordinatę:

.

Raskime funkcijos išvestinę:

Raskite išvestinės reikšmę liestinės taške, ty liestinės nuolydį:

.

Gauname liestinės linijos lygtį:

Pateikiame lygtį į bendrą formą:

Sudarome normalią lygtį:

Dažna klaida sudarant liestinės ir normaliosios lygtis yra nepastebėti, kad pavyzdyje pateikta funkcija yra sudėtinga, ir apskaičiuoti jos išvestinę kaip paprastos funkcijos išvestinę. Šie pavyzdžiai jau yra iš sudėtingos funkcijos(atitinkama pamoka atsidarys naujame lange).

5 pavyzdys. Parašykite funkcijos grafiko liestinės ir normaliosios lygtį, jei liestinės taško abscisė.

Sprendimas. Raskite prisilietimo taško ordinatę:

Dėmesio! Ši funkcija yra sudėtinga, nes liestinės argumentas (2 x) pati yra funkcija. Todėl funkcijos išvestinę rasime kaip kompleksinės funkcijos išvestinę.

Straipsnyje išsamiai paaiškinami apibrėžimai, darinio su grafiniais simboliais geometrinė reikšmė. Bus nagrinėjama liestinės linijos lygtis su pavyzdžiais, rastos 2 eilės kreivių liestinės lygtys.

Yandex.RTB R-A-339285-1 1 apibrėžimas

Tiesės y = k x + b polinkio kampas vadinamas kampu α, kuris matuojamas nuo teigiamos x ašies krypties iki tiesės y = k x + b teigiama kryptimi.

Paveiksle kryptis o x pažymėta žalia rodykle ir žalio lanko pavidalu, o polinkio kampas - raudonu lanku. Mėlyna linija reiškia tiesią liniją.

2 apibrėžimas

Tiesės y = k x + b nuolydis vadinamas skaitiniu koeficientu k.

Nuolydis lygus tiesės nuolydžio liestinei, kitaip tariant, k = t g α.

• Tiesės polinkio kampas lygus 0 tik tada, kai ji lygiagreti x, o nuolydis lygus nuliui, nes nulio liestinė lygi 0. Vadinasi, lygties forma bus y = b.
• Jei tiesės y = k x + b nuolydis yra ūminis, tada sąlygos 0< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию t g α >0, o grafike yra padidėjimas.
• Jei α = π 2, tai tiesės vieta yra statmena x. Lygybė nurodoma naudojant lygybę x = c, kai c yra tikrasis skaičius.
• Jei tiesės y = k x + b polinkio kampas yra bukas, tai jis atitinka sąlygas π 2< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.

3 apibrėžimas

Sekanta vadinama tiese, kuri eina per 2 funkcijos f (x) taškus. Kitaip tariant, sekantas yra tiesi linija, nubrėžta per bet kuriuos du grafiko taškus. duota funkcija.

Paveikslėlyje parodyta, kad A B yra sekantas, o f (x) yra juoda kreivė, α yra raudonas lankas, o tai reiškia sekanto pasvirimo kampą.

Kai tiesės nuolydis lygus polinkio kampo liestinei, matyti, kad stačiakampio trikampio ABC liestinę galima rasti priešingos gretimos kojos atžvilgiu.

4 apibrėžimas

Gauname formulę formos sekantui rasti:

k = tan α = BCAC = f (x B) - fx A x B - x A, kur taškų A ir B abscisės yra x A, x B ir f (x A), f (x) abscisės B) yra reikšmių funkcijos šiuose taškuose.

Akivaizdu, kad sekanto nuolydis nustatomas naudojant lygybę k = f (x B) - f (x A) x B - x A arba k = f (x A) - f (x B) x A - x B, ir lygtis turi būti parašyta taip y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) arba
y = f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B).

Sekantas vizualiai padalija grafiką į 3 dalis: į kairę nuo taško A, nuo A iki B, į dešinę nuo B. Žemiau esančiame paveikslėlyje parodyta, kad yra trys sekantai, kurie laikomi sutampančiais, tai yra, jie nustatomi naudojant panašią lygtį.

Pagal apibrėžimą aišku, kad linija ir jos sekantas šiuo atveju sutampa.

Sekantas gali kelis kartus kirsti tam tikros funkcijos grafiką. Jei sekantui yra y = 0 formos lygtis, tai susikirtimo su sinusoidu taškų skaičius yra begalinis.

5 apibrėžimas

Funkcijos f (x) grafiko liestinė taške x 0; f (x 0) vadinama tiese, einančia per nurodytą tašką x 0; f (x 0), esant segmentui, kurio x reikšmių rinkinys yra artimas x 0.

1 pavyzdys

Pažvelkime į toliau pateiktą pavyzdį atidžiau. Tada matyti, kad funkcija y = x + 1 apibrėžta tiesė laikoma y = 2 x liestine taške su koordinatėmis (1; 2). Siekiant aiškumo, reikia atsižvelgti į grafikus, kurių reikšmės yra artimos (1; 2). Funkcija y = 2 x rodoma juoda spalva, mėlyna linija yra liestinė, o raudonas taškas yra susikirtimo taškas.

Akivaizdu, kad y = 2 x susilieja su eilute y = x + 1.

Norint nustatyti liestinę, reikėtų atsižvelgti į liestinės AB elgseną be galo artėjant taškui B prie taško A. Aiškumo dėlei pateikiame paveikslą.

Sekantas AB, pažymėtas mėlyna linija, yra linkęs į pačios liestinės padėtį, o sekanto pasvirimo kampas α pradės linkti į pačios liestinės polinkio kampą α x.

6 apibrėžimas

Funkcijos y = f (x) grafiko liestinė taške A yra ribinė sekanto A B padėtis, kai B linksta į A, tai yra, B → A.

Dabar kreipiamės į funkcijos išvestinės taške geometrinės reikšmės svarstymą.

Pereikime prie funkcijos f (x) sekanto А В, kur А ir В su koordinatėmis x 0, f (x 0) ir x 0 + ∆ x, f (x 0 + ∆ x), ir ∆ x žymimas kaip argumento prieaugis... Dabar funkcija įgauna formą ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x). Kad būtų aiškumo, pateiksime paveikslėlio pavyzdį.

Apsvarstykite gautą stačiakampį trikampį A B C. Sprendimui naudojame liestinės apibrėžimą, tai yra, gauname santykį ∆ y ∆ x = t g α. Iš liestinės apibrėžimo išplaukia, kad lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x. Pagal išvestinės taške taisyklę gauname, kad išvestinė f (x) taške x 0 vadinama funkcijos didėjimo ir argumento prieaugio santykio riba, kur ∆ x → 0, tada pažymime kaip f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x ...

Iš to seka, kad f "(x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x, kur k x žymimas kaip liestinės nuolydis.

Tai yra, gauname, kad f '(x) gali egzistuoti taške x 0 ir, kaip ir nurodytos funkcijos grafiko liestinė taške, lygiame x 0, f 0 (x 0), kur reikšmė liestinės nuolydis taške yra lygus išvestinei taške x 0. Tada gauname, kad k x = f "(x 0).

Funkcijos išvestinės taške geometrinė reikšmė yra ta, kad pateikta grafiko liestinės egzistavimo tame pačiame taške samprata.

Norėdami parašyti bet kurios tiesios linijos lygtį plokštumoje, turite turėti nuolydį su tašku, per kurį ji eina. Jo žymėjimas sankryžoje laikomas x 0.

Funkcijos y = f (x) grafiko liestinės lygtis taške x 0, f 0 (x 0) yra y = f "(x 0) x - x 0 + f (x 0) .

Tai reiškia, kad baigtinė išvestinės f "(x 0) reikšmė gali nustatyti liestinės padėtį, tai yra vertikaliai, jei lim x → x 0 + 0 f" (x) = ∞ ir lim x → x 0 - 0 f "(x ) = ∞ arba visai nenurodyta lim x → x 0 + 0 f "(x) ≠ lim x → x 0 - 0 f" (x).

Liestinės vieta priklauso nuo jos nuolydžio reikšmės kx = f "(x 0). Kai lygiagreti su ox ašimi, gauname, kad kk = 0, kai lygiagreti su oy - kx = ∞, ir lygties forma liestinės x = x 0 didėja, kai kx> 0, mažėja, kai kx< 0 .

2 pavyzdys

Nubraižykite funkcijos y = ex + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 grafiko liestinės lygtį taške, kurio koordinatės (1; 3), nustačius kampą polinkis.

Sprendimas

Remiantis hipoteze, mes turime, kad funkcija yra apibrėžta visiems realiesiems skaičiams. Gauname, kad taškas su koordinatėmis, pateiktomis pagal sąlygą (1; 3), yra liesties taškas, tada x 0 = - 1, f (x 0) = - 3.

Būtina rasti išvestinę taške, kurio reikšmė - 1. Mes tai suprantame

y "= buvęs + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3" = = buvęs + 1 "+ x 3 3" - 6 - 3 3 x "- 17 - 3 3" = buvęs + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y "(x 0) = y" (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

F '(x) reikšmė liestinės taške yra nuolydis liestinė, kuri lygi nuolydžio liestine.

Tada k x = t g α x = y "(x 0) = 3 3

Iš to seka, kad α x = a r c t g 3 3 = π 6

Atsakymas: liestinės lygtis įgauna formą

y = f "(x 0) x - x 0 + f (x 0) y = 3 3 (x + 1) - 3 y = 3 3 x - 9 - 3 3

Aiškumo dėlei pateiksime pavyzdį grafinėje iliustracijoje.

Juoda spalva naudojama pradinės funkcijos grafikui, mėlyna spalva- liestinės vaizdas, raudonas taškas - liesties taškas. Paveikslėlis dešinėje rodo padidintą vaizdą.

3 pavyzdys

Išsiaiškinkite, ar egzistuoja duotosios funkcijos grafiko liestinė
y = 3 x - 1 5 + 1 taške su koordinatėmis (1; 1). Sudarykite lygtį ir nustatykite pasvirimo kampą.

Sprendimas

Remiantis hipoteze, mes turime, kad tam tikros funkcijos sritis yra visų realiųjų skaičių aibė.

Pereikime prie išvestinės paieškos

y "= 3 x - 1 5 + 1" = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5

Jei x 0 = 1, tada f '(x) yra neapibrėžtas, bet ribos rašomos kaip lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 1 + 0 = + ∞ ir lim x → 1 - 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (- 0) 4 5 = 3 5 1 + 0 = + ∞, o tai reiškia vertikalios liestinės egzistavimą ties punktas (1; 1).

Atsakymas: lygtis bus x = 1, kur pasvirimo kampas bus lygus π 2.

Aiškumo dėlei pavaizduosime grafiškai.

4 pavyzdys

Raskite funkcijos y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2 grafiko taškus, kur

1. Liestinė neegzistuoja;
2. Liestinė lygiagreti x;
3. Liestinė lygiagreti tiesei y = 8 5 x + 4.

Sprendimas

Būtina atkreipti dėmesį į apibrėžimo sritį. Remiantis hipoteze, funkcija yra apibrėžta visų realiųjų skaičių aibėje. Išskleiskite modulį ir išspręskite sistemą intervalais x ∈ - ∞; 2 ir [- 2; + ∞). Mes tai suprantame

y = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176, x ∈ - ∞; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12, x ∈ [- 2; + ∞)

Būtina atskirti funkciją. Mes tai turime

y "= - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176", x ∈ - ∞; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 ", x ∈ [- 2; + ∞) y" = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35), x ∈ - ∞; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3, x ∈ [- 2; + ∞)

Kai x = - 2, tada išvestinė neegzistuoja, nes vienpusės ribos šiuo metu nėra lygios:

lim x → - 2 - 0 y "(x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lim x → - 2 + 0 y "(x) = lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

Apskaičiuojame funkcijos reikšmę taške x = - 2, kur tai gauname

1. y (- 2) = 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 = - 2, tai yra, liestinė taške ( - 2; - 2) nebus.
2. Liestinė yra lygiagreti x, kai nuolydis lygus nuliui. Tada kx = tan α x = f "(x 0). Tai yra, reikia rasti tokio x reikšmes, kai funkcijos išvestinė paverčia ją nuliu. Tai yra f reikšmės (x) bus liestinės taškai, kur liestinė lygiagreti x ...

Kai x ∈ - ∞; - 2, tada - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0, o x ∈ (- 2; + ∞) gauname 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0.

1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2; + ∞

Apskaičiuokite atitinkamas funkcijų reikšmes

y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 y 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

Vadinasi - 5; 8 5, - 4; 4 3, 1; 8 5, 3; 4 3 laikomi reikiamais funkcijos grafiko taškais.

Apsvarstykite grafinis vaizdas sprendimus.

Juoda linija yra funkcijos grafikas, raudoni taškai yra lietimo taškai.

1. Kai linijos lygiagrečios, nuolydžiai yra lygūs. Tada funkcijos grafike reikia ieškoti taškų, kur nuolydis bus lygus 8 5 reikšmei. Norėdami tai padaryti, turime išspręsti y formos lygtį "(x) = 8 5. Tada, jei x ∈ - ∞; - 2, gauname, kad - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 5, o jei x ∈ ( - 2; + ∞), tada 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5.

Pirmoji lygtis neturi šaknų, nes diskriminantas mažiau nei nulis... Užrašykime tai

1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0

Kita lygtis turi dvi realias šaknis

1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 · (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2; + ∞

Pereikime prie funkcijos reikšmių paieškos. Mes tai suprantame

y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

Taškai su reikšmėmis - 1; 4 15,5; 8 3 yra taškai, kuriuose liestinės yra lygiagrečios tiesei y = 8 5 x + 4.

Atsakymas: juoda linija - funkcijos grafikas, raudona linija - grafikas y = 8 5 x + 4, mėlyna linija - liestinės taškuose - 1; 4 15,5; 8 3.

Tam tikroms funkcijoms gali būti begalinis liestinių skaičius.

5 pavyzdys

Parašykite visų galimų liestinių funkcijų y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3 lygtis, kurios yra statmenos tiesei y = - 2 x + 1 2.

Sprendimas

Norint sudaryti liestinės lygtį, reikia rasti liestinės taško koeficientą ir koordinates, remiantis tiesių tiesių statmenumo sąlyga. Apibrėžimas yra toks: nuolydžio koeficientų, statmenų tiesėms, sandauga yra lygi - 1, tai yra, ji parašyta kaip k x k ⊥ = - 1. Iš sąlygos gauname, kad nuolydis yra statmenas tiesei ir lygus k ⊥ = - 2, tada k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2.

Dabar reikia rasti lietimo taškų koordinates. Turite rasti x, po kurios jo reikšmė duotai funkcijai. Atkreipkite dėmesį, kad iš geometrinės išvestinės reikšmės taške
x 0 gauname, kad k x = y "(x 0). Iš šios lygybės randame lietimo taškų x reikšmes.

Mes tai suprantame

y "(x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3" = 3 - sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 "= = - 3 sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 = - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 ⇒ kx = y "(x 0) ⇔ - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 = 1 2 ⇒ sin 3 2 x 0 - π 4 = - 1 9

Tai trigonometrinė lygtis bus naudojami lietimo taškų ordinatėms apskaičiuoti.

3 2 x 0 - π 4 = a r c sin - 1 9 + 2 πk arba 3 2 x 0 - π 4 = π - a r c sin - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 = - a r c sin 1 9 + 2 πk arba 3 2 x 0 - π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 π 4 - arc sin 1 9 + 2 πk arba x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk, k ∈ Z

Z yra sveikųjų skaičių aibė.

Rasta x lietimo taškų. Dabar reikia eiti į y reikšmių paiešką:

y 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 arba y 0 = 3 - 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 arba y 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 = 4 5 - 1 3 arba y 0 = - 4 5 + 1 3

Taigi gauname, kad 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk; 4 5 - 1 3, 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk; - 4 5 + 1 3 yra kontaktiniai taškai.

Atsakymas: reikalingos lygtys bus parašytos kaip

y = 1 2 x - 2 3 π 4 - lanko sin 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3, y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + lanko sin 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z

Norėdami vizualiai pavaizduoti, apsvarstykite funkciją ir liestinę koordinačių tiesėje.

Paveikslėlyje parodyta, kad funkcijos vieta yra intervale [- 10; 10], kur juoda linija yra funkcijos grafikas, mėlynos linijos yra liestinės, esančios statmenai nurodytai y = - 2 x + 1 2 formos linijai. Raudoni taškai yra prisilietimo taškai.

2 eilės kreivių kanoninės lygtys nėra vienareikšmės funkcijos. Jų liestinių lygtys sudaromos pagal gerai žinomas schemas.

Apskritimo liestinė

Apibrėžti apskritimą, kurio centras yra taške x c ​​e n t e r; y c e n t e r ir spindulys R taikoma formulė x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2.

Šią lygybę galima parašyti kaip dviejų funkcijų sąjungą:

y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r

Pirmoji funkcija yra viršuje, o antroji – apačioje, kaip parodyta paveikslėlyje.

Sudaryti apskritimo lygtį taške x 0; y 0, kuris yra viršutiniame arba apatiniame puslankiu, turėtumėte rasti formos y = R 2 - x - xcenter 2 + ycenter arba y = - R 2 - x - xcenter 2 + funkcijos grafiko lygtį ycentre nurodytame taške.

Kai taškuose x c ​​e n t e r; y c e n t e r + R ir x c e n t e r; y c e n t e r - R liestinės gali būti pateiktos lygtimis y = y c e n t e r + R ir y = y c e n t e r - R, o taškuose x c ​​e n t e r + R; y c e n t e r ir
x c e n t e r - R; y c e n t e r bus lygiagreti apie y, tada gauname x = x c e n t e r + R ir x = x c e n t e r - R formos lygtis.

Elipsės liestinė

Kai elipsė turi centrą taške x c ​​e n t e r; y c e n t e r su pusiau ašimis a ir b, tada ją galima nurodyti naudojant lygtį x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1.

Elipsė ir apskritimas gali būti žymimi sujungiant dvi funkcijas, būtent viršutinę ir apatinę pusiau elipsę. Tada mes tai gauname

y = b a a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r

Jei liestinės yra elipsės viršūnėse, tada jos yra lygiagrečios apie x arba apie y. Žemiau, kad būtų aiškumo, apsvarstykite paveikslą.

6 pavyzdys

Užrašykite elipsės liestinės x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 lygtį taškuose, kurių x reikšmės yra lygios x = 2.

Sprendimas

Būtina rasti sąlyčio taškus, atitinkančius reikšmę x = 2. Mes pakeičiame esamą elipsės lygtį ir gauname ją

x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

Tada 2; 5 3 2 + 5 ir 2; - 5 3 2 + 5 yra liesties taškai, priklausantys viršutinei ir apatinei puselipsei.

Pereikime prie elipsės lygties y atžvilgiu radimo ir sprendimo. Mes tai suprantame

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 m - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

Akivaizdu, kad viršutinė puselipsė nurodoma naudojant y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 formos funkciją, o apatinė - y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2.

Taikykime standartinį algoritmą, kad sudarytume funkcijos grafiko liestinės lygtį taške. Užrašome, kad pirmosios liestinės lygtis taške 2; 5 3 2 + 5 turės formą

y "= 5 + 5 2 4 - x - 3 2" = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 "= = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y "(x 0) = y" (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y "(x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

Gauname, kad antrosios liestinės lygtis su taško verte
2; - 5 3 2 + 5 įgauna formą

y "= 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2" = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 "= = 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y "(x 0) = y" (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y "(x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

Grafiškai liestinės žymimos taip:

Hiperbolės liestinė

Kai hiperbolė turi centrą taške x c ​​e n t e r; y c e n t e r ir viršūnės x c e n t e r + α; y c e n t e r ir x c e n t e r - α; y c e n t e r, nelygybė nurodoma x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1, jei su viršūnėmis x c e n t e r; y c e n t e r + b ir x c e n t e r; y c e n t e r - b, tada pateikiama nelygybe x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1.

Hiperbolė gali būti pavaizduota kaip dvi kombinuotos formos funkcijos

y = ba (x - xcenter) 2 - a 2 + ycentery = - ba (x - xcenter) 2 - a 2 + ycenter arba y = ba (x - xcenter) 2 + a 2 + ycentery = - ba (x - xcenter) ) 2 + a 2 + ycentras

Pirmuoju atveju liestinės yra lygiagrečios y, o antruoju - lygiagrečios x.

Iš to seka, kad norint rasti hiperbolės liestinės lygtį, reikia išsiaiškinti, kuriai funkcijai priklauso liestinės taškas. Norint tai nustatyti, reikia pakeisti lygtis ir patikrinti jų tapatumą.

7 pavyzdys

Užrašykite hiperbolės x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 liestinės lygtį taške 7; - 3 3 - 3.

Sprendimas

Hiperbolės radimo sprendimo įrašą reikia transformuoti naudojant 2 funkcijas. Mes tai suprantame

x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 ir l ir y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3

Reikia išsiaiškinti, kuriai funkcijai priklauso duotas taškas su koordinatėmis 7; - 3 3 - 3.

Akivaizdu, kad norint išbandyti pirmąją funkciją, jums reikia y (7) = 3 2

Antrajai funkcijai turime, kad y (7) = - 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, tai reiškia, kad taškas priklauso duotam grafikui . Iš čia reikėtų rasti šlaitą.

Mes tai suprantame

y "= - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3" = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ kx = y "(x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

Atsakymas: liestinės lygtis gali būti pavaizduota kaip

y = – 3 x – 7 – 3 3 – 3 = – 3 x + 4 3 – 3

Jis aiškiai pavaizduotas taip:

Parabolės liestinė

Norint sudaryti parabolės y = ax 2 + bx + c liestinės lygtį taške x 0, y (x 0), reikia naudoti standartinį algoritmą, tada lygtis bus y = y " (x 0) x - x 0 + y ( x 0).Tokia viršūnės liestinė lygiagreti x.

Parabolė x = a y 2 + b y + c turėtų būti nurodyta kaip dviejų funkcijų sąjunga. Todėl būtina išspręsti y lygtį. Mes tai suprantame

x = ay 2 + by + c ⇔ ay 2 + by + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 ay = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a

Grafiškai pavaizduokime taip:

Norint išsiaiškinti, ar taškas x 0, y (x 0) priklauso funkcijai, švelnu veikti pagal standartinį algoritmą. Tokia liestinė bus lygiagreti maždaug y parabolės atžvilgiu.

8 pavyzdys

Parašykite grafiko liestinės lygtį x - 2 y 2 - 5 y + 3, kai turime 150 ° liestinės polinkio kampą.

Sprendimas

Sprendimą pradedame pavaizduodami parabolę kaip dvi funkcijas. Mes tai suprantame

2 y 2 - 5 y + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 (- 2) (3 - x) = 49 - 8 xy = 5 + 49 - 8 x - 4 y = 5 - 49 - 8x-4

Nuolydžio reikšmė yra lygi išvestinės reikšmei šios funkcijos taške x 0 ir lygi nuolydžio tangentei.

Mes gauname:

k x = y "(x 0) = t g α x = t g 150 ° = - 1 3

Iš čia mes nustatome x reikšmę liesties taškams.

Pirmoji funkcija bus parašyta kaip

y "= 5 + 49 - 8 x - 4" = 1 49 - 8 x ⇒ y "(x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

Akivaizdu, kad tikrų šaknų nėra, nes jos gavo neigiamą reikšmę. Darome išvadą, kad tokiai funkcijai nėra liestinės su 150 ° kampu.

Antroji funkcija bus parašyta kaip

y "= 5 - 49 - 8 x - 4" = - 1 49 - 8 x ⇒ y "(x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

Turime, kad sąlyčio taškai yra 23 4; - 5 + 3 4.

Atsakymas: liestinės lygtis įgauna formą

y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4

Grafiškai pavaizduokime taip:

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl + Enter

Instrukcijos

Nustatykite kreivės liestinės nuolydį taške M.
Kreivė, vaizduojanti funkcijos y = f (x) grafiką, yra ištisinė tam tikroje taško M kaimynystėje (įskaitant ir patį tašką M).

Jei reikšmės f ’(x0) neegzistuoja, tada liestinės linijos arba nėra, arba ji eina vertikaliai. Atsižvelgiant į tai, funkcijos išvestinė yra taške x0 dėl to, kad taške (x0, f (x0)) yra nevertikali liestinė, besiliečianti su funkcijos grafiku. Šiuo atveju liestinės nuolydis bus f "(x0). Taigi paaiškėja geometrinė išvestinės reikšmė – liestinės nuolydžio apskaičiavimas.

Raskite lietimo taško abscisių reikšmę, kuri žymima raide „a“. Jei jis sutampa su duotuoju liestinės tašku, tada "a" bus jo x koordinatė. Nustatykite vertę funkcijas f (a) pakeičiant į lygtį funkcijas abscisės vertė.

Raskite pirmąją lygties išvestinę funkcijas f '(x) ir pridėkite taško "a" reikšmę.

Imk bendroji lygtis liestinės liniją, kuri apibrėžiama kaip y = f (a) = f (a) (x - a), ir pakeiskite ja rastąsias reikšmes a, f (a), f "(a). Dėl to, bus rastas grafiko ir liestinės linijos sprendimas.

Išspręskite užduotį kitaip, jei nurodytas liestinės taškas nesutampa su liestinės tašku. Tokiu atveju liestinės lygtyje vietoj skaičių reikia pakeisti "a". Po to raides „x“ ir „y“ pakeiskite nurodyto taško koordinačių reikšme. Išspręskite gautą lygtį, kurioje "a" nežinomas. Įdėkite gautą reikšmę į liestinės lygtį.

Padarykite liestinės linijos lygtį su raide "a", jei lygtis pateikta uždavinio teiginyje funkcijas ir lygtis lygiagreti linija reikiamos liestinės atžvilgiu. Po to jums reikia darinio funkcijas, kad koordinatė būtų taške "a". Įtraukite atitinkamą reikšmę į liestinės lygtį ir išspręskite funkciją.

Jūsų privatumas mums svarbus. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Perskaitykite mūsų privatumo politiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.

Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas

Asmeninė informacija – tai duomenys, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba su juo susisiekti.

Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.

Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.

Kokią asmeninę informaciją renkame:

• Kai paliekate užklausą svetainėje, galime rinkti įvairią informaciją, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, adresą El. paštas ir tt

Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:

• Mūsų renkama asmeninė informacija leidžia susisiekti su jumis ir pranešti apie unikalius pasiūlymus, akcijas ir kitus renginius bei būsimus renginius.
• Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją svarbiems pranešimams ir žinutėms siųsti.
• Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, tokiais kaip auditas, duomenų analizė ir įvairūs tyrimai siekdami tobulinti teikiamas paslaugas ir pateikti Jums rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
• Jei dalyvaujate prizų traukime, konkurse ar panašiame reklaminiame renginyje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją toms programoms administruoti.

Informacijos atskleidimas trečiosioms šalims

Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.

Išimtys:

• Prireikus – pagal įstatymus, teismo įsakymą, teismo procese ir (arba) remiantis viešais prašymais ar vyriausybės institucijų prašymais Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleisti savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas dėl saugumo, teisėsaugos ar kitų socialiai svarbių priežasčių.
• Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai – teisių perėmėjui.

Asmeninės informacijos apsauga

Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir piktnaudžiavimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.

Pagarba jūsų privatumui įmonės lygiu

Siekdami įsitikinti, kad Jūsų asmeninė informacija yra saugi, savo darbuotojams pristatome konfidencialumo ir saugumo taisykles bei griežtai stebime konfidencialumo priemonių įgyvendinimą.

Ši matematikos programa suranda funkcijos \ (f (x) \) grafiko liestinės lygtį vartotojo nurodytame taške \ (a \).

Programa ne tik parodo liestinės linijos lygtį, bet ir parodo problemos sprendimo procesą.

Šis internetinis skaičiuotuvas gali būti naudingas aukštųjų mokyklų studentams bendrojo lavinimo mokyklose ruošiantis valdymo darbai ir egzaminus, tikrindami žinias prieš egzaminą, tėvams kontroliuoti daugelio matematikos ir algebros uždavinių sprendimą. O gal jums per brangu samdyti dėstytoją ar pirkti naujus vadovėlius? O gal tiesiog norite kuo greičiau atlikti matematikos ar algebros namų darbus? Tokiu atveju taip pat galite naudoti mūsų programas su išsamiu sprendimu.

Tokiu būdu galite vesti savo ir (arba) jaunesnių brolių ir seserų mokymą, o išsilavinimo lygis sprendžiamų problemų srityje pakyla.

Jei reikia rasti funkcijos išvestinę, tai turime užduotį Rasti išvestinę.

Jei nesate susipažinę su funkcijų įvedimo taisyklėmis, rekomenduojame su jomis susipažinti.

Įveskite funkcijos išraišką \ (f (x) \) ir skaičių \ (a \)

f (x) =
a =

Raskite liestinės linijos lygtį

Nustatyta, kad kai kurie scenarijai, reikalingi šiai problemai išspręsti, nebuvo įkelti ir programa gali neveikti.
Galbūt įjungėte „AdBlock“.
Tokiu atveju išjunkite jį ir atnaujinkite puslapį.

„JavaScript“ jūsų naršyklėje išjungta.
Kad sprendimas būtų rodomas, turite įjungti „JavaScript“.
Čia pateikiamos instrukcijos, kaip įjungti „JavaScript“ naršyklėje.

Nes Yra daug žmonių, kurie nori išspręsti problemą, jūsų prašymas yra eilėje.
Po kelių sekundžių apačioje pasirodys sprendimas.
Prašau palauk sek...

Jei tu sprendime pastebėjo klaidą, tuomet apie tai galite parašyti atsiliepimų formoje.
Nepamiršk nurodykite, kokia užduotis tu nuspręsi ir ką įveskite laukelius.

Mūsų žaidimai, galvosūkiai, emuliatoriai:

Šiek tiek teorijos.

Tiesios linijos nuolydis

Prisiminkite, kad tiesinės funkcijos \ grafikas (y = kx + b \) yra tiesi linija. Iškviečiamas skaičius \ (k = tg \ alfa \). tiesios linijos nuolydis, o kampas \ (\ alfa \) yra kampas tarp šios linijos ir Ox ašies

Jei \ (k> 0 \), tada \ (0 If \ (k Funkcijos grafiko liestinės lygtis

Jei taškas M (a; f (a)) priklauso funkcijos y = f (x) grafikui ir jei šiame taške funkcijos grafikui galima nubrėžti liestinę, kuri nėra statmena abscisei ašį, tada iš išvestinės geometrinės reikšmės išplaukia, kad liestinės nuolydis yra f "(a). Toliau sukursime bet kurios funkcijos grafiko liestinės lygties sudarymo algoritmą.

Tegul šios funkcijos grafike yra funkcija y = f (x) ir taškas M (a; f (a)); tegul yra žinoma, kad f "(a) egzistuoja. Sudarykime duotosios funkcijos grafiko liestinės lygtį nustatytas taškas... Ši lygtis, kaip ir bet kurios tiesės, kuri nėra lygiagreti ordinačių ašiai, lygtis turi formą y = kx + b, todėl uždavinys yra rasti koeficientų k ir b reikšmes.

Su nuolydžiu k viskas aišku: žinoma, kad k = f "(a). Norėdami apskaičiuoti b reikšmę, naudojame tai, kad ieškoma linija eina per tašką M (a; f (a)). Tai reiškia, kad jei į tiesės lygtį pakeisime taško M koordinates, gausime teisingą lygybę: \ (f (a) = ka + b \), ty \ (b = f (a) - ka \ ).

Belieka rastąsias koeficientų k ir b vertes pakeisti tiesės lygtimi:

$$ y = kx + b $$ $$ y = kx + f (a) - ka $$ $$ y = f (a) + k (xa) $$ $$ y = f (a) + f "( a ) (xa) $$

Mes gavome funkcijos grafiko liestinės lygtis\ (y = f (x) \) taške \ (x = a \).

Funkcijos \ (y = f (x) \) grafiko liestinės lygties radimo algoritmas
1. Lietimo taško abscisę pažymėkite raide \ (a \)
2. Apskaičiuokite \ (f (a) \)
3. Raskite \ (f "(x) \) ir apskaičiuokite \ (f" (a) \)
4. Pakeiskite rastus skaičius \ (a, f (a), f "(a) \) į formulę \ (y = f (a) + f" (a) (x-a) \)

Knygos (vadovėliai) Santraukos USE ir OGE testai internete Žaidimai, galvosūkiai Braižybos funkcijos Rusų kalbos žodynas Grafinis žodynas Jaunimo slengo žodynas Rusijos mokyklų katalogas Rusijos universitetų katalogas Rusijos universitetų katalogas Užduočių sąrašas GCD ir NOC radimas Dauginamo supaprastinimas ( daugianario daugyba)