Atsitiktinis kintamasis. Ištisinių atsitiktinių dydžių skaitinės charakteristikos. Tegul tolydinis atsitiktinis dydis X pateikiamas pasiskirstymo funkcija f (x)
Skirtingai nuo diskrečiojo atsitiktinio dydžio, nuolatiniai atsitiktiniai dydžiai negali būti nurodyti jo pasiskirstymo dėsnio lentelės pavidalu, nes neįmanoma išvardyti ir užrašyti visų jo reikšmių tam tikra seka. Vienas iš galimų būdų, kaip apibrėžti nuolatinį atsitiktinį dydį, yra pasiskirstymo funkcijos naudojimas.
APIBRĖŽIMAS. Pasiskirstymo funkcija – tai funkcija, kuri nustato tikimybę, kad atsitiktinis dydis įgis reikšmę, kuri skaitinėje ašyje pavaizduota tašku, esančiu kairėje nuo taško x, t.y.
Kartais vietoj termino „Paskirstymo funkcija“ vartojamas terminas „Kumuliacinė funkcija“.
Paskirstymo funkcijos savybės:
1. Pasiskirstymo funkcijos reikšmės priklauso segmentui: 0F (x) 1
2. F (x) yra nemažėjanti funkcija, t.y. F (x 2) F (x 1), jei x 2 > x 1
Išvada 1. Tikimybė, kad atsitiktinis dydis įgis intervale (a, b) esančią reikšmę, yra lygi pasiskirstymo funkcijos prieaugiui šiame intervale:
P (aX
9 pavyzdys. Atsitiktinis dydis X pateikiamas pasiskirstymo funkcija:
Raskite tikimybę, kad atlikus testą X įgis reikšmę, priklausančią intervalui (0; 2): P (0) Sprendimas: Kadangi intervale (0; 2) pagal sąlygą F (x) = x / 4 + 1/4, tada F (2) -F (0) = (2/4 + 1/4) - ( 0/4 + 1/4) = 1/2. Taigi, P (0 Išvada 2. Tikimybė, kad nuolatinis atsitiktinis dydis X įgis vieną apibrėžtą reikšmę, yra lygi nuliui. Išvada 3. Jei galimos atsitiktinio dydžio reikšmės priklauso intervalui (a; b), tai: 1) F (x) = 0 xa; 2) F (x) = 1 xb. Pasiskirstymo funkcijos grafikas yra juostoje, kurią riboja tiesės y = 0, y = 1 (pirmoji savybė). Kai x didėja intervale (a; b), kuriame yra visos galimos atsitiktinio dydžio reikšmės, grafikas „kyla aukštyn“. Ties xa grafiko ordinatės lygios nuliui; ties xb grafiko ordinatės lygios vienai: 10 pavyzdys. Diskretus atsitiktinis dydis X pateikiamas paskirstymo lentele: Raskite pasiskirstymo funkciją ir nubraižykite ją. APIBRĖŽIMAS: Ištisinio atsitiktinio dydžio X tikimybių pasiskirstymo tankis yra funkcija f (x) – pirmoji pasiskirstymo funkcijos F (x) išvestinė: f (x) = F "(x) Iš šio apibrėžimo išplaukia, kad pasiskirstymo funkcija yra pasiskirstymo tankio antidarinė. Teorema. Tikimybė, kad nenutrūkstamas atsitiktinis dydis X įgis intervalui (a; b) priklausančią reikšmę, yra lygi apibrėžtajam pasiskirstymo tankio integralui, paimtam intervale nuo a iki b: Tikimybių tankio savybės: 1. Tikimybių tankis yra neneigiama funkcija: f (x) 0. 11 pavyzdys. Pateiktas atsitiktinio dydžio X tikimybių skirstinio tankis Sprendimas: Ieškoma tikimybė: Išplėskime diskrečiųjų dydžių skaitinių charakteristikų apibrėžimą iki nuolatinių dydžių. Tegu tolydinis atsitiktinis dydis X pateikiamas pasiskirstymo tankiu f (x). APIBRĖŽIMAS. Ištisinio atsitiktinio dydžio X, kurio galimos reikšmės priklauso segmentui, matematinė lūkestis yra apibrėžtas integralas: M (x) = xf (x) dx (9) Jei galimos reikšmės priklauso visai Ox ašiai, tada: M (x) = xf (x) dx (10) Tolydinio atsitiktinio dydžio X moda M 0 (X) vadinama galima jo reikšme, kuri atitinka lokalinį pasiskirstymo tankio maksimumą. Ištisinio atsitiktinio dydžio X mediana M e (X) vadinama galima jo verte, kurią lemia lygybė: P (X e (X)) = P (X> M e (X)) APIBRĖŽIMAS. Ištisinio atsitiktinio dydžio dispersija yra matematinė jo nuokrypio kvadrato lūkesčiai. Jei galimos X reikšmės priklauso segmentui, tada: D (x) = 2 f (x) dx (11) Jei galimos reikšmės priklauso visai x ašiai, tada. Kaip žinoma, atsitiktinis kintamasis
vadinamas kintamuoju, kuris, priklausomai nuo atvejo, gali turėti tam tikras reikšmes. Atsitiktiniai kintamieji žymimi lotyniškos abėcėlės didžiosiomis raidėmis (X, Y, Z), o jų reikšmės - atitinkamomis mažosiomis raidėmis (x, y, z). Atsitiktiniai kintamieji skirstomi į nenutrūkstamus (diskretuosius) ir tęstinius. Diskretus atsitiktinis dydis
yra atsitiktinis kintamasis, kuris ima tik baigtinę arba begalinę (skaičiuojamą) reikšmių rinkinį su tam tikromis nulinėmis tikimybėmis. Diskretinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis
vadinama funkcija, jungianti atsitiktinio dydžio reikšmes su atitinkamomis tikimybėmis. Paskirstymo dėsnį galima nurodyti vienu iš šių būdų. 1
. Paskirstymo dėsnį galima pateikti pagal lentelę:
kur λ> 0, k = 0, 1, 2,…. v) naudojant pasiskirstymo funkcija F (x)
, kuri kiekvienai x reikšmei nustato tikimybę, kad atsitiktinis dydis X įgis mažesnę nei x reikšmę, t.y. F (x) = P (X< x). Funkcijos F (x) savybės 3
. Paskirstymo dėsnį galima nustatyti grafiškai
- daugiakampio (daugiakampio) pasiskirstymas (žr. 3 užduotį). Atkreipkite dėmesį, kad norint išspręsti kai kurias problemas, nebūtina žinoti paskirstymo dėsnio. Kai kuriais atvejais pakanka žinoti vieną ar kelis skaičius, atspindinčius svarbiausias skirstymo dėsnio ypatybes. Tai gali būti skaičius, turintis atsitiktinio dydžio „vidutinę reikšmę“, arba skaičius, rodantis vidutinį atsitiktinio dydžio nuokrypį nuo jo vidutinės vertės. Tokio tipo skaičiai vadinami atsitiktinio dydžio skaitinėmis charakteristikomis. Pagrindinės diskretinio atsitiktinio dydžio skaitinės charakteristikos
: Buvo išleista 1000 loterijos bilietų: 5 iš jų laimi 500 rublių, 10 laimėjimo 100 rublių, 20 laimėjimo 50 rublių, 50 laimėjimo 10 rublių. Nustatykite atsitiktinio dydžio X tikimybių pasiskirstymo dėsnį – atlygį už bilietą. Sprendimas.
Atsižvelgiant į problemos sąlygą, galimos šios atsitiktinio dydžio X reikšmės: 0, 10, 50, 100 ir 500. Bilietų skaičius be laimėjimo yra 1000 – (5 + 10 + 20 + 50) = 915, tada P (X = 0) = 915/1000 = 0,915. Panašiai randame ir visas kitas tikimybes: P (X = 0) = 50/1000 = 0,05, P (X = 50) = 20/1000 = 0,02, P (X = 100) = 10/1000 = 0,01, P (X) = 500) = 5/1000 = 0,005. Gautą dėsnį pateikiame lentelės pavidalu: Raskime matematinę reikšmės X lūkesčius: M (X) = 1 * 1/6 + 2 * 1/6 + 3 * 1/6 + 4 * 1/6 + 5 * 1/6 + 6 * 1/6 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6 = 21/6 = 3,5 Prietaisas susideda iš trijų nepriklausomai veikiančių elementų. Kiekvieno elemento gedimo tikimybė viename eksperimente yra 0,1. Sudarykite vieno eksperimento nepavykusių elementų skaičiaus paskirstymo dėsnį, sukurkite paskirstymo daugiakampį. Raskite pasiskirstymo funkciją F (x) ir nubraižykite jos grafiką. Raskite diskretiškojo atsitiktinio dydžio matematinę lūkesčius, dispersiją ir standartinį nuokrypį. Sprendimas.
1.
Diskretus atsitiktinis kintamasis X = (nepavykusių elementų skaičius viename eksperimente) turi šias galimas reikšmes: x 1 = 0 (nė vienas įrenginio elementas nepavyko), x 2 = 1 (vienas elementas nepavyko), x 3 = 2 ( du elementai nepavyko ) ir x 4 = 3 (trijų elementų nepavyko). Elementų gedimai nepriklauso vienas nuo kito, kiekvieno elemento gedimo tikimybės yra lygios viena kitai, todėl taikytina Bernulio formulė
... Atsižvelgdami į tai, kad pagal sąlygą n = 3, p = 0,1, q = 1-p = 0,9, nustatome reikšmių tikimybes: Taigi ieškomas X dvinario skirstinio dėsnis turi tokią formą: Ant abscisių ašies nustatome galimas x i reikšmes, o ordinačių ašyje - atitinkamas tikimybes p i. Pastatykime taškus M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001). Sujungę šiuos taškus linijos atkarpomis, gauname norimą skirstymo daugiakampį. 3.
Raskime pasiskirstymo funkciją F (x) = P (X Funkcijų grafikas F (x) 4.
Binominiam skirstymui X: Tikimybių teorijoje tenka susidurti su atsitiktiniais dydžiais, kurių visų reikšmių neįmanoma suskaičiuoti. Pavyzdžiui, negalite paimti ir „kartoti“ visų atsitiktinio dydžio $ X $ reikšmių - laikrodžio tarnavimo laiko, nes laikas gali būti matuojamas valandomis, minutėmis, sekundėmis, milisekundėmis ir kt. Galite nurodyti tik tam tikrą intervalą, kuriame yra atsitiktinio dydžio reikšmės. Nuolatinis atsitiktinis dydis yra atsitiktinis dydis, kurio reikšmės visiškai užpildo tam tikrą intervalą. Kadangi neįmanoma surašyti visų nuolatinio atsitiktinio dydžio reikšmių, jį galima nurodyti naudojant paskirstymo funkciją. Paskirstymo funkcija atsitiktinio dydžio $ X $ vadinama funkcija $ F \ left (x \ right) $, kuri nustato tikimybę, kad atsitiktinis kintamasis $ X $ įgis reikšmę, mažesnę už kokią nors fiksuotą reikšmę $ x $, tai yra $ F \ kairė (x \ dešinė ) = P \ kairė (X< x\right)$. Paskirstymo funkcijos savybės: 1
... 0 $ \ le F \ kairė (x \ dešinė) \ le 1 $. 2
... Tikimybė, kad atsitiktinis kintamasis $ X $ paims reikšmes iš intervalo $ \ left (\ alfa; \ \ beta \ right) $, yra lygi skirtumui tarp paskirstymo funkcijos reikšmių šio galuose intervalas: $ P \ kairėje (\ alfa< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$. 3
... $ F \ kairė (x \ dešinė) $ - nemažėjanti. 4
... $ (\ mathop (lim) _ (x \ to - \ infty) F \ left (x \ right) = 0 \), \ (\ mathop (lim) _ (x \ to + \ infty) F \ left (x \ dešinėje) = 1 \) $. 1 pavyzdys
$$ P \ liko (0,3< X < 0,7\right)=F\left(0,7\right)-F\left(0,3\right)=0,7-0,3=0,4.$$ Funkcija $ f \ left (x \ right) = (F) "(x) $ vadinama tikimybių skirstinio tankiu, tai yra, tai yra pirmosios eilės išvestinė, paimta iš paskirstymo funkcijos $ F \ left (x) \ teisingai) $ pati. Funkcijos $ f \ left (x \ right) $ savybės. 1
... $ f \ kairė (x \ dešinė) \ ge 0 $. 2
... $ \ int ^ x _ (- \ infty) (f \ left (t \ right) dt) = F \ left (x \ right) $. 3
... Tikimybė, kad atsitiktinis kintamasis $ X $ paims reikšmes iš intervalo $ \ left (\ alfa; \ \ beta \ right) $ yra $ P \ left (\ alfa< X < \beta \right)=\int^{\beta }_{\alpha }{f\left(x\right)dx}$. Геометрически это означает, что вероятность попадания случайной величины $X$ в интервал $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ равна площади криволинейной трапеции, которая будет ограничена графиком функции $f\left(x\right)$, прямыми $x=\alpha ,\ x=\beta $ и осью $Ox$. 4
... $ \ int ^ (+ \ infty) _ (- \ infty) (f \ left (x \ right)) = 1 $. 2 pavyzdys
... Ištisinis atsitiktinis kintamasis $ X $ pateikiamas pagal šią skirstymo funkciją $ F (x) = \ left \ (\ begin (matrica) Ištisinio atsitiktinio dydžio $ X $ matematinis lūkestis apskaičiuojamas pagal formulę $$ M \ left (X \ right) = \ int ^ (+ \ infty) _ (- \ infty) (xf \ left (x \ right) dx). $$ 3 pavyzdys
... Raskite $ M \ left (X \ right) $ atsitiktiniam dydžiui $ X $ iš pavyzdžio $ 2 $. $$ M \ left (X \ right) = \ int ^ (+ \ infty) _ (- \ infty) (xf \ left (x \ right) \ dx) = \ int ^ 1_0 (x \ dx) = (( x ^ 2) \ virš (2)) \ didelis | _0 ^ 1 = ((1) \ virš (2)). $$ Ištisinio atsitiktinio dydžio $ X $ dispersija apskaičiuojama pagal formulę $$ D \ left (X \ right) = \ int ^ (+ \ infty) _ (- \ infty) (x ^ 2f \ left (x \ right) \ dx) - (\ left) ^ 2. $$ 4 pavyzdys
... Raskite $ D \ left (X \ right) $ atsitiktiniam kintamajam $ X $ iš pavyzdžio $ 2 $. $$ D \ left (X \ right) = \ int ^ (+ \ infty) _ (- \ infty) (x ^ 2f \ left (x \ right) \ dx) - (\ left) ^ 2 = \ int ^ 1_0 (x ^ 2 \ dx) - (\ kairėn (((1) \ virš (2)) \ dešinėn)) ^ 2 = ((x ^ 3) \ virš (3)) \ didelis | _0 ^ 1- ( (1) \ virš (4)) = ((1) \ virš (3)) - ((1) \ virš (4)) = ((1) \ virš (12)). $$ Į Raskite diskretinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkciją, turite naudoti šį skaičiuotuvą. 1 pratimas... Ištisinio atsitiktinio dydžio X pasiskirstymo tankis yra toks: 2 užduotis... Raskite integralinės funkcijos pateiktą atsitiktinio dydžio X dispersiją. 3 užduotis... Raskite atsitiktinio dydžio X matematinį tikėjimą pagal duotąją skirstinio funkciją. 4 užduotis... Kai kurių atsitiktinių dydžių tikimybės tankis pateikiamas taip: f (x) = A / x 4 (x = 1; + ∞) Užduotis... Kai kurių nuolatinių atsitiktinių dydžių pasiskirstymo funkcija apibrėžiama taip: Nustatykite parametrus a ir b, raskite tikimybės tankio f (x), matematinio lūkesčio ir dispersijos išraišką, taip pat tikimybę, kad atsitiktinis dydis intervale įgis reikšmę. Sukurkite grafikus f (x) ir F (x). Raskime pasiskirstymo tankio funkciją kaip pasiskirstymo funkcijos išvestinę. 1 pavyzdys. Pateiktas ištisinio atsitiktinio dydžio X tikimybių skirstinio f (x) tankis. Reikalinga: Atsitiktinis dydis X pateikiamas pasiskirstymo tankiu f (x): Ištisinio atsitiktinio dydžio (diferencinio pasiskirstymo funkcijos) tikimybių pasiskirstymo tankis yra pirmoji kaupiamojo skirstinio funkcijos išvestinė: f (x) = F ’(X). Iš šio apibrėžimo ir paskirstymo funkcijos savybių išplaukia, kad Tolydinio atsitiktinio dydžio X matematinė lūkestis yra skaičius Ištisinio atsitiktinio dydžio X dispersiją lemia lygybė 79 pavyzdys. Laiko pasiskirstymo tankis T elektroninės įrangos mazgai gamybos linijoje Rasti koeficientą A, elektroninės įrangos surinkimo laiko pasiskirstymo funkcija ir tikimybė, kad surinkimo laikas bus intervale (0,1A). Sprendimas. Remiantis atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcijos savybe Du kartus integruodami dalimis gauname Paskirstymo funkcija yra Tikimybė, kad elektroninės įrangos surinkimo laikas neviršys (0; 1 / λ): 80 pavyzdys... REA įrenginio išėjimo varžos nukrypimo nuo vardinės vertės tikimybės tankis R 0
2δ tolerancijos diapazone yra aprašytas įstatyme Raskite varžos nuokrypio nuo nominalios vertės matematinį lūkestį ir dispersiją. Sprendimas. Kadangi integralas yra nelyginis, o integravimo ribos yra simetriškos kilmės atžvilgiu, integralas yra 0. Vadinasi, M{R}
=
0. Atliekant keitimą r
=
a
nuodėmė
x,
gauti 81 pavyzdys. Pateikiamas nuolatinio atsitiktinio dydžio X pasiskirstymo tankis: Raskite: 1. F (x); 2. M (X); 3. D (X). Sprendimas. 1. Norėdami rasti F (x), naudojame formulę Jeigu Jeigu Jeigu 3.
Integruodami dalimis du kartus, gauname: 82. Raskite f (x), M (X), D (X) 74, 75 uždaviniuose. 83. Duotas ištisinio atsitiktinio dydžio X pasiskirstymo tankis: Raskite pasiskirstymo funkciją F (x). 84. Ištisinio atsitiktinio dydžio X pasiskirstymo tankis visoje Ox ašyje pateikiamas lygybe 85. Atsitiktinis dydis X intervale (-3, 3) pateikiamas pasiskirstymo tankiu a) Raskite dispersiją X; b) kuris yra labiau tikėtinas: testo rezultatas bus X<1 или X>1? 86. Raskite pasiskirstymo funkcija duoto atsitiktinio dydžio X dispersiją 87. Atsitiktinis dydis pateikiamas skirstinio funkcija Raskite X lūkesčius, dispersiją ir standartinį nuokrypį. Ištisinio atsitiktinio dydžio X pasiskirstymas vadinamas vienodu, jei intervale (a, b), kuriam priklauso visos galimos X reikšmės, tankis išlieka pastovus, o už šio intervalo ribų lygus nuliui, t.y. Eksponentinis (eksponentinis) skirstinys – tai ištisinio atsitiktinio dydžio X tikimybių skirstinys, apibūdinamas tankiu kur λ yra pastovi teigiama reikšmė. Eksponentinio dėsnio pasiskirstymo funkcija Matematinis lūkestis ir dispersija yra atitinkamai vienodi 88 pavyzdys. Ampermetro skalės padalijimas yra 0,10A. Ampermetro rodmenys suapvalinami iki artimiausio sveiko padalinio. Raskite tikimybę, kad atgalinės atskaitos metu bus padaryta klaida, viršijanti 0,02A. Sprendimas. Apvalinimo paklaida gali būti laikoma atsitiktiniu dydžiu X, kuris yra tolygiai paskirstytas intervale (0; 0,1) tarp dviejų sveikųjų skaičių padalų. Vadinasi, Tada 89 pavyzdys. Elemento veikimo trukmė turi eksponentinį pasiskirstymą. Raskite tikimybę, kad laiko trukmei t = 100 valandų: a) elementas suges; b) elementas nesuges. Sprendimas. a) Pagal apibrėžimą b) Įvykis "elementas nesuges" yra priešingas nagrinėjamajam, todėl jo tikimybė 90. Elektroninis mazgas surenkamas ant gamybos linijos, surinkimo ciklas 2 min. Pagamintas blokas nuimamas nuo konvejerio, kad būtų galima valdyti ir reguliuoti tam tikru ciklo momentu. Raskite matematinį tikėjimą ir standartinį nuokrypį laiko, kai baigtas blokas yra ant konvejerio. Laikas, kurį blokas praleidžia ant konvejerio, paklūsta atsitiktinių dydžių vienodo pasiskirstymo dėsniui. 91. Elektroninės įrangos gedimo tam tikrą laiką tikimybė išreiškiama formule 92. Kuriamo ryšio palydovo vidutinis MTBF turėtų būti 5 metai. Atsižvelgdami į realų laiką tarp gedimų kaip atsitiktinai eksponentiškai paskirstytą dydį, nustatykite tikimybę, kad a) palydovas veiks mažiau nei 5 metus, b) palydovas veiks mažiausiai 10 metų, c) palydovas suges per 6 metus. 93. Nuomininkas nusipirko keturias kaitrines lemputes, kurių vidutinis tarnavimo laikas 1000 valandų, vieną jų įdėjo į stalinę lempą, o likusias pasiliko rezerve, jei lempa perdegs. Apibrėžkite: a) numatomą bendrą keturių lempų tarnavimo laiką, b) tikimybę, kad keturios lempos iš viso veiks 5000 ar daugiau valandų, c) tikimybė, kad visų lempų bendras tarnavimo laikas neviršys 2000 valandų. 94. Matavimo prietaiso skalės padala yra 0,2. Prietaiso rodmenys suapvalinami iki artimiausios visos dalies. Raskite tikimybę, kad skaičiavimo metu bus padaryta klaida: a) mažesnė nei 0,04; b) didelis 0,05. 95. Autobusai tam tikru maršrutu važiuoja griežtai pagal tvarkaraštį. Judesių intervalas yra 5 minutės. Raskite tikimybę, kad keleivis, atvykęs į stotelę, lauks kito autobuso greičiau nei po 3 minučių. 96. Raskite atsitiktinio dydžio X, tolygiai paskirstyto intervale (2, 8), matematinę lūkesčius. 97. Raskite atsitiktinio dydžio X, tolygiai paskirstyto intervale (2, 8), dispersiją ir standartinį nuokrypį. 98. Išbandykite du nepriklausomai veikiančius elementus. Pirmojo elemento veikimo trukmė turi eksponentinį pasiskirstymą
Galioja šie ribiniai santykiai:
1 paveikslasX
1
4
8
P
0.3
0.1
0.6
Sprendimas: paskirstymo funkciją analitiškai galima parašyti taip:
2 pav
(8)
2. Ištisinio atsitiktinio dydžio tikimybių pasiskirstymo tankio apibrėžtasis integralas nuo -∞ iki + ∞ lygus 1: f (x) dx = 1.
3. Ištisinio atsitiktinio dydžio tikimybės tankio apibrėžtasis integralas nuo -∞ iki x yra lygus šio dydžio pasiskirstymo funkcijai: f (x) dx = F (x)
Raskite tikimybę, kad atlikus testą X įgis reikšmę, priklausančią intervalui (0,5; 1).
arba
D (x) = x 2 f (x) dx- 2 (11 *)
Binominiam skirstiniui M (X) = np, Puasono skirstiniui M (X) = λ
Binominiam skirstiniui D (X) = npq, Puasono skirstiniui D (X) = λProblemų sprendimo pavyzdžiai tema "Diskrečiojo atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis"
1 tikslas.
3 tikslas.
P 3 (0) = C 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0,9 3 = 0,729;
P 3 (1) = C 3 1 p 1 q 3-1 = 3 * 0,1 * 0,9 2 = 0,243;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 = 3 * 0,1 2 * 0,9 = 0,027;
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 = p 3 = 0,1 3 = 0,001;
Patikrinkite: ∑p i = 0,729 + 0,243 + 0,027 + 0,001 = 1.
už 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
už 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
už 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
jei x> 3 bus F (x) = 1, nes renginys galioja. 
- matematinė lūkestis M (X) = np = 3 * 0,1 = 0,3;
- dispersija D (X) = npq = 3 * 0,1 * 0,9 = 0,27;
- standartinis nuokrypis σ (X) = √D (X) = √0,27 ≈ 0,52.
Ištisinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija
0, \ x \ le 0 \\
x, \ 0< x\le 1\\
1, \ x> 1
\ pabaiga (matrica) \ dešinė. $. Tikimybę, kad atsitiktinis dydis $ X $ pateks į intervalą $ \ kairėje (0,3; 0,7 \ dešinėje) $, galima rasti kaip skirtumą tarp pasiskirstymo funkcijos $ F \ left (x \ right) $ reikšmių. šio intervalo galai, tai yra:Tikimybių pasiskirstymo tankis
0, \ x \ le 0 \\
x, \ 0< x\le 1\\
1, \ x> 1
\ pabaiga (matrica) \ dešinė. $. Tada tankio funkcija $ f \ left (x \ right) = (F) "(x) = \ left \ (\ begin (matrica)
0, \ x \ le 0 \\
1,\ 0 < x\le 1\\
0, \ x> 1
\ pabaiga (matrica) \ dešinė. $Tolydinio atsitiktinio dydžio matematinis lūkestis
Ištisinio atsitiktinio dydžio sklaida
Rasti:
a) parametras A;
b) pasiskirstymo funkcija F (x);
c) tikimybė pataikyti į atsitiktinį kintamąjį X intervale;
d) matematinis lūkestis MX ir dispersija DX.
Nubraižykite funkcijas f (x) ir F (x).
Raskite koeficientą A, pasiskirstymo funkciją F (x), matematinį lūkestį ir dispersiją bei tikimybę, kad atsitiktinis dydis intervale įgis reikšmę. Sukurkite grafikus f (x) ir F (x).
Žinant tai
Raskite parametrą a: 
arba 3a = 1, iš kur a = 1/3
Parametras b randamas iš šių savybių:
F (4) = a * 4 + b = 1
1/3 * 4 + b = 1, iš kur b = -1/3
Todėl paskirstymo funkcija turi tokią formą: F (x) = (x-1) / 3
Sklaida.
1 / 9 4 3 - (1 / 9 1 3) - (5 / 2) 2 = 3 / 4
Raskime tikimybę, kad atsitiktinis kintamasis įgis reikšmę intervale
P (2< x< 3) = F(3) – F(2) = (1/3*3 - 1/3) - (1/3*2 - 1/3) = 1/3
f (x) = A * kvadratas (x), 1 ≤ x ≤ 4.
Sprendimas:
Raskime parametrą A iš sąlygos: 
arba
14/3 * A-1 = 0
kur,
A = 3/14 
Paskirstymo funkciją galima rasti pagal formulę. 
, tada
a 
, tada
, tada f (x) = 0 ir
, tada
... Raskite pastovų parametrą C.
; už šio intervalo ribų 
§aštuoni. Tolygus ir eksponentinis pasiskirstymas
;
;
.
, todėl ji nustato elemento gedimo tikimybę laiku t, todėl
... Nustatykite vidutinį elektroninės įrangos veikimo laiką iki gedimo.
, antra 
... Raskite tikimybę, kad laiko trukmei t = 6 h: a) abu elementai suges; b) abu elementai nesuges; c) suges tik vienas elementas; d) suges bent vienas elementas.
