šiuo atveju nustatomos jo taškų koordinatės racionalios išraiškos iš kintamojo t? Atsakymas į šį klausimą priklauso nuo kreivės lygties. Jei abiejose lygties pusėse yra daugiausiai dviejų laipsnio x ir y polinomų, tada kreivės taškus visada galima apibrėžti naudojant racionalias vieno kintamojo funkcijas (pavyzdžiai pateikti 21.11 uždavinyje). Jei kreivė pateikta laipsnio lygtimi, didesnėmis nei 2, tada jos taškų koordinačių nustatyti racionaliosiomis funkcijomis paprastai neįmanoma: taip jau yra kreivės x3 + y3 = 1 atveju.

21.11 užduotis. Naudodami racionalias funkcijas, nurodykite šių kreivių taškų koordinates:

a) elipsė, kurios lygtis x2 + 4y2 = 1;

b) hiperboles su lygtimi xy = 1;

c) hiperboles su lygtimi x2 - y2 = 1.

Kryptys. b) Jei x = t, tai y = 1 / t. c) Kairiosios pusės koeficientas.

21.12 užduotis. a) Nurodykite penkis lygties x2 + y2 = 1 sprendinius teigiamais racionaliais skaičiais.

b) Nurodykite penkis lygties a2 + b2 = c2 sprendinius natūraliaisiais skaičiais.

§ 22. Kūrinio pavertimas suma ir sumos pavertimas kūriniu

Parašykime vieną po kita sumos sinuso ir skirtumo sinuso formules:

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β; sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β.

Sudėjus šias formules, gauname sin (α + β) + sin (α − β) = 2 sin α cos β, arba

sin α cos β = 1 2 (sin (α + β) + nuodėmė (α - β)).

Panašiai atlikdami sumos ir skirtumo kosinuso formules, gauname:

cos (α + β) + cos (α - β) = 2 cos α cos β; cos (α + β) - cos (α - β) = –2 sin α sin β,

iš kur gaunamos tokios formulės:

cos α cos β = 1 2 (cos (α - β) + cos (α + β))

sin α sin β = 1 2 (cos (α - β) - cos (α + β))

Gavome formules, kurios leidžia iš trigonometrinių funkcijų sandaugos pereiti prie jų sumos. Dabar išmokime pereiti kita kryptimi: nuo sumos prie produkto.

Apsvarstykite, pavyzdžiui, formulę

2 sin α cos β = nuodėmė (α + β) + nuodėmė (α - β).

Dešinėje šios formulės pusėje α + β pažymime x, o α - β – y. Sudėjus ir atėmus lygybes α + β = x ir α - β = y, gauname, kad α = (x + y) / 2, β = (x - y) / 2. Pakeitę šias išraiškas į kairę formulės pusę ir perskaitę formulę iš dešinės į kairę, galiausiai gauname:

sin x + sin y = 2 sin x + y cosx - y. 2 2

Pakeičiant ką tik gautoje formulėje −y vietoj y,

sin x - sin y = 2 sin x - y cosx + y. 2 2

Jei apdorosime cos α cos β ir sin α sin β formules taip pat, kaip tai padarėme su sin α cos β formule, gausime:

(atkreipkite dėmesį į minuso ženklą antroje formulėje).

22.1 užduotis. Įrodykite šias formules.

Trigonometrinių funkcijų sumos pavertimo sandauga formules galima gauti ir geometriškai. Pačioje

iš tikrųjų atidedame nuo kilmės vektoriaus

1 ilgio ir formuojantis

su teigiama ašies kryptimi

abscisių kampai α ir β atitinkamai; leisti būti

(22.1 pav.). Tada, aišku

OA = (cos α; sin α),

OB = (cos β; sin β),

= (cos α + cos β; sin α + sin β).

Kita vertus, kadangi OA = OB = 1, lygiagretainis OACB yra rombas. Todėl OC yra kampo AOB pusiausvyra,

iš kur BOC =

α – 2

O lygiašoniam trikampiui OBC

Kadangi vektorius

sudaro kampą β + su abscisių ašimi

Dviejų vektorinių koordinačių išraiškų palyginimas

cos α + cos β = 2 cos

sin α + sin β = 2 sin

pagal mūsų išvestas formules.

22.2 užduotis. Įrodykite tapatybes:

a) nuodėmė (α + β) nuodėmė (α - β) + nuodėmė (β + γ) nuodėmė (β - γ) +

Nuodėmė (γ + α) nuodėmė (γ - α) = 0;

b) 4 sin α sin (π / 3 - α) sin (π / 3 + α) = sin 3α;

c) cos α + cos 2α + cos 6α + cos 7α = 4 cos α 2 cos5 2 α cos 4α.

22.3 užduotis. Darant prielaidą, kad α + β + γ = π, įrodykite lygybes:

b) sin α + sin β + sin γ = 4 cos

c) sin2 α + sin2 β + sin2 γ = 2 + 2 cos α cos β cos γ.

22.4 užduotis. Tegu kampai α, β, γ yra trikampyje, esančiame priešais kraštines a, b, c. Įrodykite formules:

			α − 2 β					α − 2 β

Šios formulės vadinamos Regiomontano formulėmis arba liestinės teorema.

22.5 užduotis. a) Darant prielaidą, kad α + β + γ + δ = π, įrodykite tapatybę:

sin α sin γ + sin β sin δ = sin (α + β) sin (β + γ).

b) Į apskritimą įbrėžtas keturkampis ABCD. Įrodykite, kad AB CD + BC AD = AC BD (įbrėžtajame keturkampyje priešingų kraštinių sandaugų suma lygi įstrižainių sandaugai – Ptolemėjaus teorema).

Formulės, kurias aptarėme šiame skyriuje, naudojamos radijo inžinerijoje. Tarkime, mums reikia perduoti diktoriaus balsą per radiją, pavyzdžiui, 300 dažnių. Ant tokių žemi dažniai radijo perdavimas neįmanomas: transliavimui naudojamų radijo bangų dažniai matuojami milijonais. Bangos

tokie dažniai naudojami taip. Kol diktorius tyli, transliuojamos tik radijo bangos aukštas dažnisω (nešlio dažnis – žr. grafiką 22.2 pav. a).

Su šiuo signalu informacija neperduodama. Dabar tegul garsiakalbis pradeda skleisti garsus dažniu η (η yra daug mažesnis nei ω); tada į eterį eina signalas u = (A sin ηt) sin ωt. Apytikslis jo grafikas parodytas fig. 22.2 b. Galima sakyti, kad pati aukšto dažnio ω svyravimų amplitudė patiria žemo dažnio η virpesius. Teigiama, kad aukšto dažnio signalas moduliuojamas žemo dažnio signalu (visa tai yra tik apytikslė diagrama, kas iš tikrųjų vyksta imtuve).

Transformuojame moduliuoto signalo išraišką:

u = A sin ηt sin ωt = A 2 cos (ω - η) t −A 2 cos (ω + η) t.

Kaip matote, mūsų moduliuotas signalas yra ne kas kita, kaip signalų, kurių dažniai yra ω + η ir ω - η, suma. Taigi, kai jie sako, kad radijo stotis siunčia dažniu, tarkim, ω = 10, tada turime atsiminti, kad iš tikrųjų į orą patenka ne tik ω dažnio radijo bangos, bet ir visų dažnių bangos iš intervalo [ω −η; ω + η] čia η – didžiausias radijo stoties perduodamo naudingo signalo dažnis. Tai reiškia, kad skirtingų radijo stočių nešlio dažniai negali būti per arti vienas kito: jei segmentai [ω −η; ω + η] sutaps, tada radijo stotys trukdys viena kitai.

Kitas šio skyriaus formulių pritaikymas yra skaičių kosinusų arba sinusų, sudarančių aritmetiką, sumos apskaičiavimas.

fizinė progresija (fizikoje tokie skaičiavimai naudojami difrakcijos reiškiniui tirti).

Tarkime, kad turime supaprastinti išraišką

cos α + cos (α + h) + cos (α + 2h) +. ... ... + cos (α + 10h).

Pirmiausia išspręsime šią problemą geometriškai, o tada parodysime, kaip jai galima pritaikyti mūsų formules. Apsvarstykite šiuos vektorius: a0 = (cos α; sin α), a1 = (cos (α + h); sin (α + h)),. ... ... , a10 = (cos (α + 10h); sin (α + 10h)). Akivaizdu, kad reikiama suma yra vektoriaus a0 + a1 + abscisė. ... ... + a10. Raskime šią vektorių sumą.

Norėdami tai padaryti, atidedame OA1 = a0 nuo pradžios, A1 A2 = a1 iš taško A1 ir tt (22.3 pav.). Tada a0 + a1 +. ... ... + a10 = OA11.

Ryžiai. 22.3. OA1 = a0, A1 A2 = a1,. ... ... , A10 A11 = a10.

Norėdami rasti vektoriaus OA koordinates, randame jo ilgį ir pasvirimo kampą į abscisių ašį. Norėdami tai padaryti, atkreipkite dėmesį, kad kiekvienas segmentas OA1, A1 A2,. ... ... ilgis yra 1 ir yra pasuktas ankstesnio atžvilgiu tuo pačiu kampu h radianais. Todėl taškai O, A1, A2,. ... ... , A11 guli ant to paties apskritimo. Jo centras Z yra statmenų susikirtimo su atkarpomis OA1 ir A1 A2 taškas. Jei FZ ir GZ yra šie statmenai, tai F ZG = h, kad F ZA1 = h / 2 ir apskritimo R spindulys būtų lygus F A1 / sin F ZA1 = 1/2 sin (h / 2) (prisiminti kad ilgiai nuo

pjūviai OA1 ir A1 A2 yra lygūs vienetui). Kadangi akivaizdu, kad OZA1 = = A1 ZA2 =. ... ... = A10 ZA11 = h, tada OZA11 = 11h, o iš lygiašonio trikampio OZA11 gauname

OA11		OZA11

Norėdami rasti vektoriaus OA11 pasvirimo kampą abscisių ašies atžvilgiu, pakeiskite

Atkreipkite dėmesį, kad centrinis kampas A1 ZA11 = 10h, kad įrašytas

kampas A11 OA1, besiremiantis į lanką A1 A11, yra 10h / 2 = 5h, o A11 OX = A11 OA1 + α = α + 5h. Tai yra,

OA11 = (OA11 cos (α + 5h); OA11 sin (α + 5h)) =
	sin 11h cos (α + 5h)	sin 11h sin (α + 5h)

Palyginę du vektoriaus OA11 koordinačių įrašus, gauname formules:

cos α + cos (α + h) + cos (α + 2h) +. ... ... + cos (α + 10h) =

	sin 11h cos (α + 5h)
sin α + nuodėmė (α + h) + nuodėmė (α + 2h) +. ... ... + sin (α + 10h) =
			sin 11h sin (α + 5h)

Pirmoji iš šių formulių yra tai, ko siekėme, antroji pasirodė kaip šalutinis produktas.

Kaip matote, skaičiavimai pasirodė gana ilgi. Be to, pedantiškas skaitytojas gali pastebėti, kad brėžinys 22.3 pav. gautas tik pakankamai mažoms h, o didelėms h trūkinė linija OA1 · · · A10 A11 gali apeiti visą apskritimą, ir ne vieną kartą, todėl piešimas bus kitoks. Tiesą sakant, mūsų formulė yra teisinga visiems α ir h (nebent vardiklis sin (h / 2) yra nulis; tačiau pastarasis įmanomas tik tada, kai h = 2πn kai kuriam sveikajam skaičiui n, ir tada be jokios formulės aišku, kad suma yra

- sin α + m -

Pakeisdami tai į mūsų formulę, matome, kad suma yra

α + 2

Sin α + 10 + 2

h – sin α + 9 + 2

jei atidarysite skliaustus, visos sąlygos bus atšauktos, išskyrus

- nuodėmė α -							h, ir suma bus
	sin (α + (10 + 2 1) h) - sin (α -h 2)							2 sin 11 2 h cos (α + 5h)

(sumą perskaičiavome į produktą). Panaikinus du skaitiklyje ir vardiklyje, gauname tą pačią formulę, kurią radome geometriškai.

Antrasis mūsų skaičiavimas yra trumpesnis ir lengviau nei pirmasis bet mažiau natūralus. Kai susipažinsime su kompleksiniais skaičiais, išmoksime tokias sumas rasti natūraliausiu (nors ir ne trumpiausiu) būdu.

Dešimtoje klasėje mokiniai pereis tokį algebros skyrių kaip trigonometrija. Jis bus tiriamas per daug pamokų.

Pati trigonometrija, kaip mokslas, atsirado daugiau nei prieš du tūkstantmečius. Kadangi įprastų algebrinių operacijų nebūtų pakakę trigonometrinėms funkcijoms išreikšti, mokslininkai turėjo įvesti naują žymėjimą. Šis mokslas tiria ryšį tarp trikampio kraštinių ir jo kampų. Daugelyje geometrinių, algebrinių uždavinių tampa būtina spręsti šią sritį. Dėl fizinių problemų kartais atsiranda trigonometrinių funkcijų.

Moksleiviai jau studijavo pagrindines trigonometrines funkcijas, išmoko sudaryti savo grafikus, transformuoti, pagrindines trigonometrijos formules, naudoti trigonometrijoje dažnai sutinkamų argumentų verčių lentelę ir kt. Norėdami išstudijuoti šią vaizdo pamoką, jie jau susidorojo didelė suma trigonometrinės išraiškos ir lygtys.

Kai kuriuose pavyzdžiuose tampa būtina trigonometrinės funkcijos sumos formulę paversti sandauga. Šį veiksmą galite naudoti norėdami sutrumpinti ir supaprastinti didžiules išraiškas, išspręsti lygtis, lygčių sistemas ir kt.

Vaizdo įrašas „Trigonometrinių funkcijų sumų pavertimas kūriniais“ yra puiki pagalbinė medžiaga nagrinėjant šią temą. Mokytojai gali naudoti šaltinyje pateiktus pavyzdžius, apibrėžimus ir formules. Medijos failas yra puikios kokybės. Galima žaisti per pamoką. Tai padės mokiniams susikoncentruoti į studijuojamą dalyką.

Vaizdo pamokos pradžioje diktorius sako, kad ekrane bus rodomos kai kurios sumų formulės, kurios padės sprendžiant trigonometrines lygtis.

Pirmiausia atsižvelgiama į sinusų sumą. Pirmoji išraiška yra dviejų argumentų sumos sinuso ir tų pačių argumentų skirtumo sinuso suma. Kiekvienas narys pasirašo pagal anksčiau išnagrinėtas formules. Jie rodomi dešinėje ekrano pusėje, kad primintų mokiniams.

Su pilnu žymėjimu, skliaustų išplėtimu ir supaprastinimu gauname kūrinį. Atliekamas pakeitimas kintamaisiais. X-oji reiškia argumentų sumą, y-oji - skirtumą. Pakeisdami gautą išraišką, gauname pirmąją formulę sumų pavertimui į sandaugą trigonometrijoje.

Kad moksleiviai įsimintų formulę, neužtenka parodyti kelią, kaip ją gauti. Būtina pabandyti išspręsti pavyzdžiu. Pateikiama kai kurių reikšmių sinusų suma. Pagal formulę konvertuojama į produktą.

Antroji formulė, kurios gavimas bus parodytas žingsnis po žingsnio, yra sinusų skirtumas. Norėdami papildomai neatlikti ankstesnių veiksmų, galite naudoti jau gautą sumos formulę. Atminkite, kad sinusas yra nelyginė funkcija. Jei skirtumą užrašysime kaip sumą ir sumos formulėje pakeisime minusą, tai gausime naują skirtumo pavertimo sandauga taisyklę.

Pavyzdys pateikiamas panašiai. Diktorius išsamiai paaiškina savo sprendimą.

Ta pačia tvarka pateikiama kosinusų suma ir skirtumas su pavyzdžiais. Panašiai naudojamos ir anksčiau ištirtos formulės, pateikiamas pakaitalas, rodomas rezultatas. Išvedant skirtumo formulę, galima remtis tuo, kad kosinusas yra lyginė funkcija.

Sprendžiant lygtį kairioji pusė paverčiama sandauga. Kaip žinote, jis bus lygus nuliui, kai kai kurie veiksniai taip pat bus lygūs nuliui. Todėl konvertuoti į kūrinį bus labai naudinga.

Galiausiai yra dar vienas sudėtingesnis pavyzdys. Galite pasakyti mokiniams teisingą kryptį ir jie patys susidoros su pavyzdžiu, jei supras visą principą.

Vaizdo įrašas bus labai naudingas moksleiviams, kurie mokosi namuose. Su juo galite įvaldyti svarbias formules, be kurio trigonometrinių lygčių sprendimas bus sunkus, o kartais ir neįmanomas.

TEKSTO KODAS:

Trigonometrinių funkcijų sumų konvertavimas į produktus

Šiandien apžvelgsime dar keletą trigonometrines formules, kurios leidžia sinusų arba kosinusų sumą (skirtumą) koeficientuoti. Šios formulės pravers sprendžiant trigonometrines lygtis.

Pirmoji formulė yra SIUSŲ SUMMA.

Apsvarstykite išraišką sin (s + t) + sin (s - t), kur s ir t yra trigonometrinių funkcijų argumentai.

Taikykime jau žinomas sinusinės sumos ir sinusinio skirtumo formules:

sin (x - y) = sin xcos y - cos xsin y,

tada posakis sin ( s +t) turės formą sin s cos t+ cos s nuodėmė t

ir išraiška nuodėmė (s - t) bus nuodėmė s cos t- cos s nuodėmė t,

tada gauname:

nuodėmė ( s +t) + nuodėmė ( s - t) = (nuodėmė s cos t+ cos s nuodėmė t) + (nuodėmė s cos t- cos s nuodėmė t)

Išplėskite skliaustus:

nuodėmė s cos t+ cos s nuodėmė t+ nuodėmė s cos t- cos s nuodėmė t

atliekame skaičiavimus:

cos s nuodėmė t- cos s nuodėmė t=0

nuodėmė s cos t+ nuodėmė s cos t= 2 nuodėmė s cos t.

nuodėmė ( s +t) + nuodėmė ( s - t) = (nuodėmė s cos t+ cos s nuodėmė t) + (nuodėmė s cos t- cos s nuodėmė t) = nuodėmė s cos t+ cos s nuodėmė t+ nuodėmė s cos t- cos s nuodėmė t= 2 nuodėmė s cos t.

Taigi gauname, kad išraiška sin (s + t) + sin (s - t) = 2 sin s cos t.

Pristatykime naujus kintamuosius x =s +t ir y =s- t.

Sudedame šias lygybes po termino, gauname

x + y= s +t + s- t.

x + y= 2s

Raskite vertęs

s= .

Antruoju atveju šias lygybes atimame po termino ir gauname

NS - adresu= s +t- (s - t)

NS - adresu= s +t- s + t

x - y= 2t

Raskite vertęt

Išraiškoje sin (s + t) + sin (s - t) = 2 sin s cos t

pakeisti s ir t naujiems kintamiesiems, kuriuos pristatėme:

s +tpakeisti x

s- t pakeisti adresu

sįjungta

tįjungta.

Tada gauname:

sinх + sinу = 2 sincos

(dviejų argumentų sinusų suma lygi šių argumentų pusės sumos sinuso dvigubai sandaugai iš jų pusės skirtumo kosinuso).

sin 7x + sin3x = 2 nuodėmė cos = 2 sin5x cos2x.

Antroji formulė yra SIUSUS SKIRTUMAS.

Kad galėtume pritaikyti jau išvestą dviejų argumentų sinusų sumos formulę sinх + sinу = 2 sincos

Pasinaudokime tuo, kad sinusas yra nelyginė funkcija, t.y. - sinу = nuodėmė (- у),

sinx - sinu = sinx + sin (- y)

Dabar taikome sinusų sumos formulę, gauname

2 nuodėmė cos = 2 nuodėmė cos.

sin x - sin y = nuodėmė x + nuodėmė (- y) = 2 nuodėmė cos = 2 nuodėmė cos.

Todėl gavome sinusų skirtumo formulę:

sinх - sinу = 2 nuodėmė cos (dviejų argumentų sinusų skirtumas lygus šių argumentų pusės skirtumo sinuso dvigubai sandaugai iš jų pusės sumos kosinuso).

Pavyzdys. Supaprastinkite posakį sin 77 ° - sin 17 °.

sin 77 ° - sin 17 ° = 2 nuodėmė cos = 2 nuodėmė už 47º.

(kadangi sin 30º =, tada) = 2 ∙ ∙ cos = cos.

Trečioji formulė yra KOSINO SUMA.

Norėdami išreikšti cos (s + t) + cos (s - t), naudojame jau žinomas sumos kosinuso ir skirtumo kosinuso formules:

cos (x - y) = cos xcos y + sin x sin y,

Išraiškoje cos (s + t) + cos (s - t) pakeičiame reikšmes iš formulių ir gauname:

cos ( s+t) + cos ( s - t) = cos s cos t- nuodėmė s nuodėmė t+ cos s cos t+ nuodėmė s nuodėmė t= 2 cos s cos t

Taigi, nes ( s+t) + cos ( s - t) = 2 cos s cos t

Pristatykime naujus kintamuosius x =s +t ir y =s - t... Kaip formulės SIUSŲ SUMA išvedime.

s +tpakeisti x

s- t pakeisti adresu

sįjungta

tįjungta.

Ir gauname kosinusų sumos formulę

cos x + jaukus = 2 cos cos

(dviejų argumentų kosinusų suma lygi šių argumentų pusės kosinuso dvigubai sandaugai iš jų pusės skirtumo kosinuso).

Pavyzdys. Supaprastinkite išraišką cos (x + 2y) + cos (3x - 2y).

cos (x + 2y) + cos (3x - 2y) = 2 coscos =

2cos 2x cos (- x + 2y) = 2cos 2x cos (- (x - 2y)) (o kadangi cos (-t) = kaina, tada) =

2cos2x cos (x - 2y).

Ketvirtoji formulė – KOSINO SKIRTUMAS.

Norėdami išreikšti cos (s + t) - cos (s - t), naudojame jau žinomas sumos kosinuso ir skirtumo kosinuso formules:

cos (x + y) = cos x cos y - sin x sin y

cos (x - y) = cos xcos y + sin x sin y, gauname

cos ( s+t) - cos ( s - t) = cos s cos t- nuodėmė s nuodėmė t- cos s cos t- nuodėmė s nuodėmė t= - 2 nuodėmė s nuodėmė t... Įveskite naujus kintamuosius NS= s +t ir adresu= s - t, reiškia, s = ir t =... Įvestų pavadinimų pakeitimas formulėje:

cos ( s+t) - cos ( s - t) = - 2sin s nuodėmė t, gauname kosinusų skirtumo formulę:

cosх - cosу = -2sin sin (skirtumas tarp dviejų argumentų kosinusų yra lygus šių argumentų pusės sumos sinuso dvigubai sandaugai iš jų pusės skirtumo sinuso, paimto su minuso ženklu).

Pavyzdys. Supaprastinkite posakį cos - cos.

cos - cos = - 2sin nuodėmė = - 2 nuodėmė nuodėmė (kadangi nuodėmė =, tada) =

2 ∙ ∙ nuodėmė = - nuodėmė.

PAVYZDYS 1. Išspręskite lygtį cos6x + cos2x = 0.

Sprendimas. Kosinusų sumos pavertimas sandauga naudojant formulę:

(cos х + cosу = 2 cos cos,

gauname 2cos4x cos2x = 0. Ši lygtis virsta tikrąja lygybe, jei

2 PAVYZDYS. Išspręskite lygtį sin7x + sin3x - sin5x = 0.

Sprendimas. Pirmojo ir antrojo narių sumai taikome sinusų sumos formulę

sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y

(sin7x + sin3x) – sin5x = 0

2 sincos – sin5x = 0

sin5x (2 cos2x – 1) = 0.

sin5x = 0 arba 2 cos2x - 1 = 0,

Lygties sint = a sprendiniai priimami a = 0:

sint = 0, kai t = πk,

tada gauname

x =, (pi en padalytas iš penkių)

Naudojant kosinuso lentelės reikšmes ir nustatant lygties sprendimą kaina = a, kur (| a | 1) rašoma bendra forma:

t = arccos a+ 2πk

antroji lygtis cos2x = turi tokius sprendinius

2x = arckos + 2πn,

(plius minus pi iš šešių plius pi en).

Raktas į sėkmę sumuojant slypi mūsų gebėjime konvertuoti vieną sumą į kitą – supaprastinant originalą arba priartinant mus prie tikslo. O kai išmoksite ir atliksite kelias pagrindines transformacijos taisykles, galėsite lengvai įvaldyti šį gebėjimą.

Tegu K yra baigtinė sveikųjų skaičių aibė. Elementų sumas iš K galima konvertuoti pagal tris paprastas taisykles:

Paskirstymo įstatymas leidžia įvesti ir išskaičiuoti konstantas po ženklu ir už jo ribų. Sujungimo įstatymas leidžia padalyti vieną sumą į dvi arba sujungti dvi sumas į vieną. Perkėlimo įstatyme nurodyta, kad sumos sąlygos gali būti pertvarkytos bet kokia norima tvarka; čia yra tam tikra visų sveikųjų skaičių aibės permutacija. Pavyzdžiui, jei ir jei tada šie trys dėsniai atitinkamai nurodo, kad

Gauso triukas iš Ch. 1 gali būti laikomas vienu iš šių trijų pagrindinių dėsnių taikymo. Tarkime, mes norime

apskaičiuoti sumą aritmetinė progresija bendras vaizdas

Pagal perkėlimo dėsnį, k pakeitę gausime

Šias dvi lygtis galima pridėti naudojant derinimo įstatymą:

Dabar pritaikykime paskirstymo dėsnį ir apskaičiuokime trivialią sumą:

Padalinę iš 2, tai sužinome

Dešinę pusę galima prisiminti kaip pirmo ir paskutinio terminų vidurkį, būtent, padaugintą iš terminų skaičiaus, ty iš

Svarbu nepamiršti, kad funkcija bendroje poslinkio dėsnio (2.17) formoje yra laikoma visų sveikųjų skaičių permutacija. Kitaip tariant, kiekvienai visumai turi būti lygiai viena visuma k, tokia, kad. Priešingu atveju perkėlimo įstatymas gali būti neįvykdytas – naudokite. 3 yra geras pavyzdys. C tipo konversijos arba kur c yra sveikojo skaičiaus konstanta visada yra permutacijos, todėl su jomis viskas gerai.

Tačiau galima šiek tiek susilpninti permutacijos apribojimą: pakanka tik to, kad egzistuotų tiksliai vienas sveikas skaičius k, kad kada būtų indekso aibės K elementas. Jei (ty jei jis nepriklauso K), tada jis nėra esminis, nes dažnai turi vietos lygybę, nes panašus į nedalyvauja sumoje. Taigi, pavyzdžiui, galima teigti, kad

nes yra lygiai vienas k toks, kad kai yra lyginis.

Iversono žymėjimas, leidžiantis gauti 0 arba 1 kaip loginių išraiškų reikšmes tam tikroje formulėje, gali būti naudojamas kartu su paskirstymo, derinimo ir perkėlimo dėsniais, siekiant atskleisti papildomas sumų savybes. Pavyzdžiui, svarbi taisyklė skirtingų indeksų aibių sąjungos: jei yra keletas sveikųjų skaičių aibių, tai

Tai išplaukia iš bendrųjų formulių

Paprastai taisyklė (2.20) naudojama sujungti du beveik nesusijusius indeksų rinkinius, kaip šiuo atveju

arba išskirti atskirą sumos narį, kaip ir šiuo atveju

Ši nario paryškinimo operacija yra mažinimo metodo, kuris dažnai leidžia apskaičiuoti tam tikrą sumą uždaroje formoje, pagrindas. Šio metodo esmė – pradėti nuo skaičiuotinos sumos ir ją nurodyti

(Nurodykite ir užkariaukite.) Tada perrašome dviem būdais, paryškindami ir paskutinį, ir pirmąjį terminą:

Dabar galite susidoroti su paskutine suma ir bandyti išreikšti ją žodžiais Jei bandymas sėkmingas, gauname lygtį, kurios sprendimas bus norima suma.

Pavyzdžiui, naudokime šį metodą sumai rasti geometrinė progresija bendras vaizdas

Pagal bendra schema sumažinimas (2.24), suma perrašoma į formą

o dešinėje esanti suma lygi paskirstymo dėsniui. Taigi, ir išspręsdami šią lygtį atžvilgiu, gauname

(Jei x = 1, ši suma, žinoma, yra tiesiog lygi dešiniajai šios formulės pusei, kurią galima įsiminti kaip skirtumą tarp pirmojo ir pirmojo neįvedamo termino, padalijus iš 1 skirtumo ir vardiklio progresija.

Viskas buvo gana paprasta, todėl pabandykime atmesti šiek tiek sunkesnę sumą,

Ši video pamoka skirta 10 klasės mokiniams. Jos pagalba galės studijuoti temą „Trigonometrinių reiškinių sandaugų konvertavimas į sumas“. Mokymo medžiagą lydi ramus vyriškas balsas. Su juo galite vesti įdomią ir informatyvią pamoką mokykloje. Naudodami iliustracijas ir apibrėžimus, kurie ekrane rodomi aiškiu tekstu, mokiniai galės greičiau ir efektyviau suprasti temą.

Nepaisant to, kad trigonometrija, kaip mokslas, atsirado seniai, ji neprarado savo aktualumo iki šių dienų. Įvairiuose moksluose atsiranda problemų, kurias sprendžiant moksleiviams teks susidurti su šia sritimi. Dėl šios priežasties jie turėtų sugebėti susidoroti su įvairaus sudėtingumo pavyzdžiais, apsvarstyti funkcijas, kuriose yra sinusų, kosinusų, liestinių ir kotangentų ir kt.

Kadangi trigonometrijoje yra puiki suma formules, be kurių vienos ar kitos išraiškos supaprastinimas užtruktų labai daug laiko. Todėl labai svarbu įsiminti ir suprasti šias formules. Jei suprantate, kaip juos išvesti, galite lengvai juos prisiminti ir pritaikyti praktikoje. Kad jie išliktų atmintyje ilgas laikas, būtina jas sustiprinti praktiškai. Todėl būtina, kad mokytojai paklaustų namuose didelis skaičius trigonometrinės išraiškos ir lygtys moksleiviams.

Šį vaizdo įrašą parengė profesionalai. Ji turi nuoseklią struktūrą, nėra nereikalingos ir nereikalingos informacijos, kuri nukrypsta nuo mokymo programos.

Moksleiviai jau žino, kaip trigonometrines sumos lygtis paversti sandauga. Kaip tai padaryti, jei reikia atvirkštinis procesas? Kartais reikės supaprastinti tą ar kitą posakį.

Svarstymas prasideda pavyzdžiu. Rašoma kai kurių t sinuso sandauga su tos pačios reikšmės kosinusu. Ši išraiška transformuojama per trupmeną, kur skaitiklyje matome argumentų sumos sinuso ir skirtumo sumą, padalytą iš 2.

Panašiai transformuojama kai kurių s sinuso ir t sinuso sandauga.

Siekiant įtvirtinti šias išraiškas praktikoje, siūloma išspręsti keletą pavyzdžių. Pirmajame iš jų siūloma rasti skaitinį atsakymą išraiškai, kuri yra sinuso 2x sandauga su kosinusu 9x. Sprendžiant šis pavyzdys naudojama anksčiau išmokta formulė. Ekrane rodoma išsamus sprendimas Pavyzdžiui, ji taip pat rodo, kuri formulė naudojama.

Toliau nagrinėjamas kitas pavyzdys, kai siūloma produktą konvertuoti į sumą. Visi skaičiavimai ir paaiškinimai rodomi dešinėje pusėje. Suprasti, kaip šis pavyzdys išspręstas, nėra taip sunku, nes diktorius viską komentuoja smulkiai.

Trečiajame pavyzdyje siūloma supaprastinti išraišką, kurią sudaro trijų tam tikro laipsnio reikšmių sinusų sandauga. Supaprastinimas naudoja formulę sinusų sandaugai paversti suma. Sprendžiant šį pavyzdį, atkreipiamas dėmesys į tai, kad kosinuso funkcija yra lyginė funkcija. Taigi ženklai yra teisingai atpažinti. Rodomas atsakymas. Sprendimas yra gana didelis, tačiau jei svarstysite žingsnis po žingsnio, nieko nesuprantamo neliks.

Ketvirtajame pavyzdyje yra trigonometrinė lygtis, kurią sprendžiant būtina naudoti ištirtas formules, kaip nurodyta šią pamoką ir ankstesniuose vaizdo įrašuose.

Kaip jau minėta, šiuo pristatymu galima pravesti įdomią pamoką dešimtokams. Medžiagą gali atsisiųsti ir mokytojai, ir moksleiviai. Su juo galite vizualiai parodyti studentą žingsnis po žingsnio sprendimas Pavyzdžiai, su kuriais susidurs moksleiviai tiek atlikdami namų darbus, tiek atlikdami savarankiškus ir valdymo darbai mokykloje.

TEKSTO KODAS:

Konvertuokite trigonometrinių išraiškų sandaugas į sumas

Jūs jau žinote, kad bet kuri matematinė formulė praktiškai taikoma iš dešinės į kairę ir iš kairės į dešinę. Todėl taikydami formulę priešinga kryptimi, trigonometrinės funkcijos sandaugą galime paversti suma.

Panagrinėkime pavyzdį:

iš formulės argumentų ec ir te sinusų sumų pavertimui sandauga sin ( s +t) + nuodėmė ( s - t) = 2 nuodėmė s cos t

galite gauti kitą formulę:

nuodėmė s cos t= (argumento es sinuso ir argumento te kosinuso sandauga yra lygi argumentų es ir te sumos sinuso pusei ir argumentų es ir te skirtumo sinusui, ir skirtumas imamas taip, kad kampas po kosinuso ženklu būtų atimtas iš argumento po sinuso ženklu.)

nuodėmė ( s +t) + nuodėmė ( s - t) = 2 nuodėmė s cos t

nuodėmė s cos t =

Panašiai iš formulės, skirtos argumentų ec ir te kosinusų sumoms konvertuoti į sandaugą cos ( s+t) + cos ( s - t) = 2 cos s cos t gauti

cos s cos t= (argumentų es ir te kosinusų sandauga lygi šių argumentų sumos kosinuso ir jų skirtumo kosinuso pusei).

Ir iš formulės, skirtos argumentų ec ir te kosinusų skirtumui paversti sandauga cos ( s+t) - cos ( s - t) = - 2sin s nuodėmė t mes turime

nuodėmė s nuodėmė t= (argumentų es ir te sinusų sandauga lygi šių argumentų skirtumo kosinuso ir jų sumos kosinuso pusės skirtumui).

Pažvelkime į keletą pavyzdžių.

1 PAVYZDYS. Konvertuokite sandaugą į sumą sin2x cos9x.

Sprendimas. Spręsdami naudosime formulę sin s cos t=, kur s = 2x, t = 9x. Tada rašome

sin2хcos 9х = = ( atsižvelgiant į tai

nuodėmė(-y) = -nuodėmėtaip, mes gauname) = (sinuso vienuolika x ir sinuso septyni x pusės skirtumas).

Atsakymas: sin2x cos9x =.

2 PAVYZDYS. Paverskite sandaugą į sumą cos (2x - y) cos (x + 4y) (argumento du x atėmus y kosinuso sandauga iš argumento x plius keturi y kosinuso).

Sprendimas. Spręsdami naudosime formulę cos s cos t=, kur s = (2x-y), t = (x + 4y). Tada

cos (2x - y) cos (x + 4y) = = atidarykite skliaustus =, atlikite skaičiavimus ir gaukite

= (pusė argumento kosinuso trys x plius trys y ir argumento x atėmus penkis y kosinuso sumos).

3 PAVYZDYS. Supaprastinkite išraišką sin20 ° sin40 ° sin80 °.

Sprendimas. Taikykime formulę: nuodėmė s nuodėmė t= .

sin 20 ° sin 40 ° sin 80 ° = ∙ nuodėmė 80 ° = ∙ nuodėmė 80 ° =

(atsižvelgiame į tai, kad kosinusas yra lygi funkcija, o tai reiškia

= ∙ sin 80 ° Nuo cos60 ° =

= ∙ sin 80 ° = ∙) ∙ sin 80 ° =

(atkreipkite dėmesį, kad nuodėmė 80 ° = nuodėmė (90 ° - 10 °) = cos10 °, todėl mes tai gauname)

= ∙) ∙ cos10 ° = atidarykite skliaustus = ∙ cos10 ° - ∙ cos10 °

(taikyti formulę cos s cos t =)

= ∙ - ∙ cos10 ° = ∙ () - ∙ cos10 ° =

išplėsti skliaustus

(atsimink tai =)

Atsakymas: sin20 ° sin40 ° sin80 ° =.

4 PAVYZDYS. Išspręskite lygtį 2 sin2x cos9x - sin11x = 0.

Transformuokite kairę lygties pusę naudodami formulę

nuodėmė s cos t=, kur s = 2x ir t = 9x gauname:

2 ∙ - sin11x = sin11x =.

Taigi, ši lygtis yra lygi lygčiai = 0 (atėmus septynių x sinusą, lygų nuliui). Vadinasi, = πn, iš kur х =,.