Kokia yra išraiškos tapatybė a b 2. Identiškos išraiškų transformacijos

Šiame straipsnyje pateikiamas inicialas tapatybių sąvoka... Čia mes apibrėžiame tapatybę, pristatome naudojamą žymėjimą ir, žinoma, pateikiame įvairių tapatybių pavyzdžių.

Puslapio naršymas.

Kas yra tapatybė?

Logiška pradėti medžiagos pristatymą tapatybės apibrėžimai... Yu.N. Makarychevo vadovėlyje, 7 klasių algebra, tapatybės apibrėžimas pateiktas taip:

Apibrėžimas.

Tapatybė- tai lygybė, taikoma visoms kintamųjų reikšmėms; bet kokia galiojanti skaitinė lygybė taip pat yra tapatybė.

Šiuo atveju autorius iš karto numato, kad ateityje ši apibrėžtis bus patikslinta. Šis patobulinimas vyksta 8 klasėje, susipažinus su leistinų kintamųjų ir OVS reikšmių apibrėžimu. Apibrėžimas tampa toks:

Apibrėžimas.

Tapatybės- tai tikros skaitinės lygybės, taip pat lygybės, kurios yra teisingos visoms leistinoms į jas įtrauktų kintamųjų vertėms.

Taigi kodėl, apibrėždami tapatybę, 7 klasėje kalbame apie bet kokias kintamųjų reikšmes, o 8 klasėje pradedame kalbėti apie kintamųjų reikšmes iš jų ODZ? Iki 8 klasės darbas atliekamas tik su sveikųjų skaičių išraiškomis (ypač su monomialiais ir daugianariais), ir jie yra prasmingi bet kokioms į juos įtrauktų kintamųjų reikšmėms. Todėl 7 -oje klasėje sakome, kad tapatybė yra lygybė, galiojanti visoms kintamųjų vertėms. O 8 klasėje atsiranda posakių, kurie jau turi prasmę ne visoms kintamųjų reikšmėms, o tik reikšmėms iš jų ODZ. Todėl tapatybes pradedame vadinti lygybėmis, kurios yra teisingos visoms leistinoms kintamųjų vertėms.

Taigi, tapatybė yra ypatinga byla lygybė. Tai yra, bet kokia tapatybė yra lygybė. Tačiau ne kiekviena lygybė yra tapatybė, o tik tokia lygybė, kuri galioja bet kurioms kintamųjų vertėms iš jų leistinų verčių diapazono.

Tapatybės ženklas

Yra žinoma, kad žymint lygybes naudojamas lygybės ženklas „=“, kurio kairėje ir dešinėje yra keletas skaičių ar išraiškų. Jei prie šio ženklo pridėsime dar vieną horizontalią liniją, gausime tapatybės ženklas„≡“, arba kaip jis dar vadinamas tapatybės ženklas.

Paprastai tapatybės ženklas naudojamas tik tada, kai reikia pabrėžti, kad susiduriame ne tik su lygybe, bet ir su tapatybe. Kitais atvejais tapatybių žymėjimas savo forma nesiskiria nuo lygybių.

Tapatybių pavyzdžiai

Atėjo laikas vadovauti tapatybių pavyzdžiai... Pirmoje pastraipoje pateiktas tapatybės apibrėžimas mums tai padės.

Skaitinės lygybės 2 = 2 ir yra tapatybių pavyzdžiai, nes šios lygybės yra teisingos, o bet kokia tikra skaitinė lygybė pagal apibrėžimą yra tapatybė. Jie gali būti parašyti kaip 2≡2 ir.

2 + 3 = 5 ir 7−1 = 2 · 3 formos skaitinės lygybės taip pat yra tapatybės, nes šios lygybės yra teisingos. Tai yra, 2 + 3≡5 ir 7−1≡2 · 3.

Mes kreipiamės į tapatybių pavyzdžius, kurių žymėjime yra ne tik skaičiai, bet ir kintamieji.

Apsvarstykite lygybę 3 (x + 1) = 3 x + 3. Bet kuriai kintamojo x reikšmei rašytinė lygybė yra teisinga dėl daugybos pasiskirstymo savybės pridėjimo atžvilgiu, todėl pirminė lygybė yra tapatumo pavyzdys. Štai dar vienas tapatybės pavyzdys: y (x - 1) ≡ (x - 1) x: x y 2: y, čia kintamųjų x ir y leistinų verčių diapazonas sudarytas iš visų porų (x, y), kur x ir y yra bet kokie skaičiai, išskyrus nulį.

Tačiau lygybės x + 1 = x - 1 ir a + 2 b = b + 2 a nėra tapatybės, nes yra kintamųjų reikšmių, kurių lygybės bus neteisingos. Pavyzdžiui, jei x = 2, lygybė x + 1 = x - 1 virsta klaidinga lygybe 2 + 1 = 2−1. Be to, lygybė x + 1 = x - 1 visai nepasiekiama jokioms kintamojo x reikšmėms. Ir lygybė a + 2 b = b + 2 a virsta neteisinga lygybe, jei imsime skirtingas kintamųjų a ir b reikšmes. Pavyzdžiui, jei a = 0 ir b = 1, gauname neteisingą lygybę 0 + 2 · 1 = 1 + 2 · 0. Lygybė | x | = x, kur | x | - kintamasis x taip pat nėra tapatybė, nes jis negalioja neigiamoms x reikšmėms.

Garsiausių tapatybių pavyzdžiai yra sin 2 α + cos 2 α = 1 ir log a b = b.

Baigdamas šį straipsnį norėčiau pažymėti, kad studijuodami matematiką mes nuolat susiduriame su tapatybėmis. Veiksmų su skaičiais ypatybių įrašai yra tapatybės, pavyzdžiui, a + b = b + a, 1 a = a, 0 a = 0 ir a + (- a) = 0. Taip pat yra tapatybės

Identiškos konversijos atspindi darbą, kurį atliekame skaitinėmis ir pažodinėmis išraiškomis, taip pat išraiškas, kuriose yra kintamųjų. Mes atliekame visas šias transformacijas, kad pradinė išraiška būtų tokia, kad būtų patogu išspręsti problemą. Mes apsvarstysime pagrindinius identiškų transformacijų tipus šioje temoje.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Identiškas išraiškos konvertavimas. Kas tai yra?

Pirmą kartą susitinkame su identiško transformuoto sąvoka, mes einame į algebros pamokas 7 klasėje. Tuo pat metu pirmiausia susipažįstame su identiškai lygių išraiškų sąvoka. Supraskime sąvokas ir apibrėžimus, kad tema būtų lengviau suprantama.

1 apibrėžimas

Identiškas išraiškos konvertavimas Ar veiksmai atliekami siekiant pakeisti pradinę išraišką išraiška, kuri bus identiška pradinei.

Dažnai šis apibrėžimas vartojamas sutrumpinta forma, kurioje žodis „identiškas“ praleidžiamas. Daroma prielaida, kad bet kuriuo atveju išraiškos transformaciją atliekame taip, kad gautume išraišką, tapačią pradinei, ir to nereikia atskirai pabrėžti.

Iliustruokime šį apibrėžimą pavyzdžių.

1 pavyzdys

Jei pakeisime išraišką x + 3 - 2į identišką išraišką x + 1, tada atliksime identišką išraiškos transformaciją x + 3 - 2.

2 pavyzdys

2 ir 6 išraiškos pakeitimas išraiška a 3 Ar ta pati transformacija, o išraiškos pakeitimas x apie išraišką x 2 nėra identiška transformacija nuo išraiškų x ir x 2 nėra vienodai lygūs.

Atkreipiame jūsų dėmesį į išraiškų rašymo formą atliekant identiškas transformacijas. Paprastai originalią išraišką ir gautą išraišką rašome kaip lygybę. Taigi rašant x + 1 + 2 = x + 3 reiškia, kad išraiška x + 1 + 2 buvo sumažinta iki formos x + 3.

Nuoseklus veiksmų vykdymas veda mus į lygių grandinę, kurią sudaro kelios identiškos transformacijos iš eilės. Taigi, žymėjimą x + 1 + 2 = x + 3 = 3 + x suprantame kaip nuoseklų dviejų transformacijų atlikimą: pirma, išraiška x + 1 + 2 buvo perkelta į formą x + 3, o ji - į forma 3 + x.

Identiškos transformacijos ir ODU

Kai kurios išraiškos, kurias pradedame mokytis 8 klasėje, nėra prasmingos visoms kintamųjų reikšmėms. Tokiais atvejais atlikdami identiškas transformacijas turime atkreipti dėmesį į leistinų kintamųjų verčių diapazoną (ADV). Atliekant identiškas transformacijas, ODZ gali būti nepakitęs arba susiaurintas.

3 pavyzdys

Kai šokinėja nuo išraiškos a + (- b) prie išraiškos a - b kintamas diapazonas a ir b lieka tas pats.

4 pavyzdys

Pereiti nuo išraiškos x prie išraiškos x 2 x veda prie to, kad kintamojo x leistinų verčių diapazonas susiaurėja nuo visų realiųjų skaičių aibės iki visų realiųjų skaičių, iš kurių nulis nebuvo įtrauktas.

5 pavyzdys

Identiškas išraiškos konvertavimas x 2 x išraiška x leidžia išplėsti kintamojo x leistinų verčių diapazoną nuo visų realiųjų skaičių rinkinio, išskyrus nulį, į visų realiųjų skaičių rinkinį.

Sprendžiant problemas svarbu susiaurinti ar išplėsti leistinų kintamųjų verčių diapazoną atliekant identiškas transformacijas, nes tai gali turėti įtakos skaičiavimų tikslumui ir sukelti klaidų.

Pagrindinės identiškos transformacijos

Dabar pažiūrėkime, kas yra identiškos transformacijos ir kaip jos atliekamos. Į pagrindinę grupę išskirime tuos pačius transformacijų tipus, su kuriais tenka susidurti dažniausiai.

Be pagrindinių identiškų transformacijų, yra keletas transformacijų, susijusių su tam tikro tipo išraiškomis. Frakcijų atveju tai yra redukcijos ir redukcijos iki naujo vardiklio metodai. Išraiškoms, turinčioms šaknis ir galias, visi veiksmai, atliekami remiantis šaknų ir galių savybėmis. Logaritminėms išraiškoms - veiksmai, atliekami remiantis logaritmų savybėmis. Dėl trigonometrinių išraiškų visi veiksmai naudojant trigonometrinės formulės... Visi šie privatūs pakeitimai yra išsamiai aprašyti atskirose temose, kurias galima rasti mūsų šaltinyje. Šiuo atžvilgiu mes šiame straipsnyje nesigilinsime į juos.

Pereikime prie pagrindinių identiškų transformacijų svarstymo.

Terminų, veiksnių permaina

Pradėkime nuo terminų pertvarkymo. Su šia identiška transformacija susiduriame dažniausiai. Ir šitą teiginį čia galima laikyti pagrindine taisykle: bet kokiu atveju terminų permutacija vietose neturi įtakos rezultatui.

Ši taisyklė grindžiama papildymo poslinkio ir derinio savybėmis. Šios savybės leidžia mums pertvarkyti terminus vietose ir taip gauti išraiškas, kurios yra identiškos pradinėms. Štai kodėl terminų permutacija vietose yra tapatybės transformacija.

6 pavyzdys

Turime trijų terminų 3 + 5 + 7 sumą. Jei pakeisime 3 ir 5 terminus, išraiška bus 5 + 3 + 7. Šiuo atveju yra keletas sąlygų, kaip pertvarkyti sąlygų sąlygas. Visi jie leidžia gauti išraiškas, identiškas pradinei.

Ne tik skaičiai, bet ir išraiškos gali veikti kaip sumos terminai. Jie gali būti pertvarkyti lygiai taip pat, kaip ir skaičiai, nepaveikiant galutinio skaičiavimo rezultato.

7 pavyzdys

Iš trijų sąlygų 1 a + b, a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 ir - 12 a formos 1 a + b + a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 + ( - 12) · terminus galima pertvarkyti, pavyzdžiui, taip (- 12) Savo ruožtu terminus galite pertvarkyti trupmenos 1 a + b vardiklyje, o trupmena bus 1 b + a. Ir išraiška po šaknies ženklu a 2 + 2 a + 5 taip pat yra suma, kuria galima pakeisti terminus.

Lygiai taip pat, kaip ir terminai, pradinėse išraiškose galite pakeisti veiksnių vietas ir gauti vienodai teisingas lygtis. Šiam veiksmui taikoma ši taisyklė:

2 apibrėžimas

Gaminyje daugiklių pertvarkymas vietose neturi įtakos skaičiavimo rezultatui.

Ši taisyklė grindžiama daugybos poslinkio ir derinio savybėmis, kurios patvirtina identiškos transformacijos teisingumą.

8 pavyzdys

Darbas 3 5 7 veiksnių permutacija gali būti pateikiama viena iš šių formų: 5 · 3 · 7, 5 · 7 · 3, 7 · 3 · 5, 7 · 5 · 3 arba 3 7 5.

9 pavyzdys

Perskaičiuojant produkto veiksnius x + 1 x 2 - x + 1 x gaunamas x 2 - x + 1 x x + 1

Išplečiami laikikliai

Skliaustuose gali būti skaitinių ir kintamųjų išraiškų. Šios išraiškos gali būti paverstos identiškai lygiomis išraiškomis, kuriose apskritai nebus skliaustelių arba jų bus mažiau nei pradinėse išraiškose. Šis išraiškų konvertavimo būdas vadinamas skliaustų išplėtimu.

10 pavyzdys

Atlikime veiksmus su skliausteliais formos išraiškoje 3 + x - 1 x kad gautumėte identiškai teisingą išraišką 3 + x - 1 x.

Išraišką 3 x - 1 + - 1 + x 1 - x galima konvertuoti į identišką lygi išraiška be skliaustų 3 x - 3 - 1 + x 1 - x.

Mes išsamiai aprašėme išraiškų su skliausteliais konvertavimo taisykles temoje „Skliaustų išplėtimas“, kuri paskelbta mūsų šaltinyje.

Terminų, veiksnių grupavimas

Tais atvejais, kai susiduriame su trimis ir didelė suma terminus, galime griebtis tokios tapatybės transformacijos formos kaip terminų grupavimas. Šis transformacijos metodas reiškia kelių terminų sujungimą į grupę, pertvarkant juos ir įtraukiant juos į skliaustus.

Grupuojant terminai keičiami taip, kad sugrupuojami terminai išraiškoje atsirastų vienas šalia kito. Tada jie gali būti uždėti skliausteliuose.

11 pavyzdys

Paimkime išraišką 5 + 7 + 1 ... Jei pirmąjį terminą sugrupuosime su trečiuoju, gausime (5 + 1) + 7 .

Veiksnių grupavimas atliekamas panašiai kaip terminų grupavimas.

12 pavyzdys

Darbe 2 3 4 5 pirmąjį veiksnį galime sugrupuoti su trečiuoju, o antrąjį - su ketvirtuoju, ir prieiname prie išraiškos (2 4) (3 5)... Ir jei sugrupuotume pirmąjį, antrąjį ir ketvirtąjį veiksnius, gautume išraišką (2 3 5) 4.

Sąvokas ir veiksnius, kurie yra sugrupuoti, galima pavaizduoti ir pirminiais skaičiais, ir išraiškomis. Grupavimo taisyklės buvo išsamiai aptartos temoje „Terminų ir veiksnių grupavimas“.

Skirtumų pakeitimas sumomis, daliniais produktais ir atvirkščiai

Skirtumus pakeisti sumomis tapo įmanoma mūsų pažinties su priešingais skaičiais dėka. Dabar atimame iš skaičiaus a skaičių b galima vertinti kaip numerio papildymą a skaičių - b... Lygybė a - b = a + ( - b) gali būti laikoma sąžininga ir jos pagrindu skirtumus pakeisti sumomis.

13 pavyzdys

Paimkime išraišką 4 + 3 − 2 , kuriame skaičių skirtumas 3 − 2 galime užrašyti kaip sumą 3 + (− 2) ... Mes gauname 4 + 3 + (− 2) .

14 pavyzdys

Visi išraiškos skirtumai 5 + 2 x - x 2 - 3 x 3 - 0, 2 galima pakeisti tokiomis sumomis kaip 5 + 2 x + (- x 2) + (- 3 x 3) + (- 0, 2).

Mes galime pereiti prie sumų iš bet kokių skirtumų. Panašiai galime pakeisti atvirkščiai.

Padalijimą į daugybą pakeisti daliklio abipusiškumu tampa įmanoma dėl abipusės sąvokos abipusiai skaičiai... Ši transformacija gali būti parašyta lygybe a: b = a (b - 1).

Ši taisyklė buvo įprastų trupmenų padalijimo taisyklės pagrindas.

15 pavyzdys

Privatus 1 2: 3 5 gali būti pakeistas formos produktu 1 2 5 3.

Panašiai, pagal analogiją, padalijimą galima pakeisti daugyba.

16 pavyzdys

Išraiškos atveju 1 + 5: x: (x + 3) padalijimą pakeisti į x galima padauginti iš 1 x... Padalijimas pagal x + 3 galime pakeisti daugyba iš 1 x + 3... Transformacija leidžia mums gauti išraišką, identišką originalui: 1 + 5 · 1 x · 1 x + 3.

Daugybos pakeitimas dalijimu atliekamas pagal schemą a b = a: (b - 1).

17 pavyzdys

Išraiškoje 5 x x 2 + 1 - 3 daugybą galima pakeisti padalijimu kaip 5: x 2 + 1 x - 3.

Atlikti veiksmus su skaičiais

Atliekant veiksmus su skaičiais, laikomasi veiksmų eilės taisyklės. Pirma, veiksmai atliekami naudojant skaičių galias ir skaičių šaknis. Po to logaritmus, trigonometrines ir kitas funkcijas pakeičiame jų reikšmėmis. Tada skliausteliuose atliekami veiksmai. Tada visi kiti veiksmai gali būti atliekami iš kairės į dešinę. Svarbu prisiminti, kad dauginimas ir dalijimas atliekami prieš sudėjimą ir atėmimą.

Operacijos su skaičiais leidžia paversti pradinę išraišką į jai lygią.

18 pavyzdys

Perrašykite išraišką 3 · 2 3 - 1 · a + 4 · x 2 + 5 · x, atlikdami visus įmanomus veiksmus su skaičiais.

Sprendimas

Pirmiausia atkreipkime dėmesį į laipsnį 2 3 ir šaknis 4 ir apskaičiuokite jų reikšmes: 2 3 = 8 ir 4 = 2 2 = 2.

Pakeiskite gautas vertes į pradinę išraišką ir gaukite: 3 · (8 - 1) · a + 2 · (x 2 + 5 · x).

Dabar skliausteliuose atliksime šiuos veiksmus: 8 − 1 = 7 ... Ir pereikite prie išraiškos 3 7 a + 2 (x 2 + 5 x).

Mums belieka atlikti skaičių dauginimą 3 ir 7 ... Gauname: 21 a + 2 (x 2 + 5 x).

Atsakymas: 3 2 3 - 1 a + 4 x 2 + 5 x = 21 a + 2 (x 2 + 5 x)

Prieš atliekant veiksmus su skaičiais, gali būti atliekamos kitos identiškos transformacijos, pvz., Grupuojant numerius arba plečiant skliaustus.

19 pavyzdys

Paimkime išraišką 3 + 2 (6: 3) x (y 3 4) - 2 + 11.

Sprendimas

Visų pirma, mes pakeisime koeficientą skliausteliuose 6: 3 dėl jo vertės 2 ... Gauname: 3 + 2 2 x (y 3 4) - 2 + 11.

Išplėskime skliaustus: 3 + 2 2 x (y 3 4) - 2 + 11 = 3 + 2 2 x y 3 4 - 2 + 11.

Sugrupuokime skaitinius produkto veiksnius ir terminus, kurie yra skaičiai: (3 - 2 + 11) + (2 2 4) x y 3.

Atlikime veiksmus skliausteliuose: (3 - 2 + 11) + (2 2 4) x y 3 = 12 + 16 x y 3

Atsakymas:3 + 2 (6: 3) x (y 3 4) - 2 + 11 = 12 + 16 x y 3

Jei dirbame su skaitinėmis išraiškomis, tada mūsų darbo tikslas bus rasti išraiškos prasmę. Jei išraiškas pakeisime kintamaisiais, tada mūsų veiksmų tikslas bus išraiškos supaprastinimas.

Išskiriant bendrą veiksnį

Tais atvejais, kai išraiškos sąvokos turi tą patį veiksnį, šį bendrą veiksnį galime išimti iš skliaustų. Norėdami tai padaryti, pirmiausia turime pavaizduoti pradinę išraišką kaip bendro veiksnio sandarą ir išraišką skliausteliuose, kurią sudaro pirminiai terminai be bendro veiksnio.

20 pavyzdys

Skaitmeniškai 27 + 2 3 galime pašalinti bendrą veiksnį 2 skliausteliuose ir gauti identiškai teisingą formos išraišką 2 (7 + 3).

Galite atnaujinti savo atmintį apie taisykles, pagal kurias bendras veiksnys įtraukiamas į skliaustelius atitinkamoje mūsų išteklių skiltyje. Medžiagoje išsamiai aptariamos taisyklės, pagal kurias bendras veiksnys įtraukiamas į skliaustelius, ir pateikiama daug pavyzdžių.

Panašių terminų sumažinimas

Dabar pereikime prie sumų, kuriose yra panašių terminų. Čia yra du variantai: sumos, kuriose yra tie patys terminai, ir sumos, kurių sąlygos skiriasi skaitiniu koeficientu. Veiksmai su sumomis, kuriose yra tokių terminų, vadinami tokių terminų sumažinimu. Jis atliekamas taip: mes išimame bendrąją raidės dalį už skliaustelių ir apskaičiuojame skliausteliuose esančių skaitinių koeficientų sumą.

21 pavyzdys

Apsvarstykite išraišką 1 + 4 x - 2 x... Mes galime išbraukti pažodinę x dalį už skliaustų ir gauti išraišką 1 + x (4 - 2)... Apskaičiuokime skliausteliuose esančios išraiškos vertę ir gaukime 1 + x · 2 formos sumą.

Skaičių ir išraiškų pakeitimas identiškai lygiomis išraiškomis

Skaičius ir išraiškas, iš kurių sudaroma pradinė išraiška, galima pakeisti identiškai lygiomis išraiškomis. Tokia pradinės išraiškos transformacija lemia jai identišką išraišką.

22 pavyzdys 23 pavyzdys

Apsvarstykite išraišką 1 + a 5, kuriame 5 laipsnį galime pakeisti identiškai lygiu, pavyzdžiui, formos sandauga a a 4... Tai suteiks mums išraišką 1 + a ir 4.

Atlikta transformacija yra dirbtinė. Tai prasminga tik ruošiantis kitoms transformacijoms.

24 pavyzdys

Apsvarstykite sumos transformaciją 4 x 3 + 2 x 2... Čia terminas 4 x 3 galime įsivaizduoti kaip kūrinį 2 x 2 2 x... Dėl to pirminė išraiška įgauna formą 2 x 2 2 x + 2 x 2... Dabar galime pasirinkti bendrą veiksnį 2 x 2 ir padėkite jį už skliaustų: 2 x 2 (2 x + 1).

Pridėkite ir atimkite tą patį skaičių

To paties skaičiaus ar išraiškos pridėjimas ir atėmimas tuo pačiu metu yra dirbtinė išraiškų transformacijos technika.

25 pavyzdys

Apsvarstykite išraišką x 2 + 2 x... Galime pridėti arba atimti vieną iš jo, o tai leis ateityje atlikti dar vieną identišką transformaciją - pasirinkti dvinario kvadratą: x 2 + 2 x = x 2 + 2 x + 1 - 1 = (x + 1) 2 - 1.

Jei pastebėjote teksto klaidą, pasirinkite ją ir paspauskite Ctrl + Enter

§ 2. Tapatybės išraiškos, tapatybė. Identiškas išraiškos konvertavimas. Tapatybės įrodymai

Raskite išraiškų 2 (x - 1) 2x - 2 reikšmes nurodytoms kintamojo x reikšmėms. Parašykime rezultatus į lentelę:

Galite padaryti išvadą, kad išraiškų 2 (x - 1) 2x - 2 reikšmės kiekvienai duotai kintamojo x reikšmei yra lygios viena kitai. Pagal padauginimo savybę padauginti 2 atimties atžvilgiu (x - 1) = 2x - 2. Todėl bet kuriai kitai kintamojo x reikšmei išraiškos 2 (x - 1) 2x - 2 vertė taip pat bus lygi vienas kitam. Tokios išraiškos vadinamos identiškai lygiomis.

Pavyzdžiui, išraiškos 2x + 3x ir 5x yra sinonimai, nes kiekvienai kintamojo x reikšmei šios išraiškos įgyjamos tos pačios vertybės(tai išplaukia iš daugybos skirstomosios savybės pridėjimo atžvilgiu, nes 2x + 3x = 5x).

Dabar apsvarstykite išraiškas 3x + 2y ir 5xy. Jei x = 1 ir b = 1, tada atitinkamos šių išraiškų vertės yra lygios viena kitai:

3x + 2y = 3 ∙ 1 + 2 ∙ 1 = 5; 5xy = 5 ∙ 1 ∙ 1 = 5.

Tačiau galite nurodyti tokias x ir y reikšmes, kurių šių išraiškų reikšmės nebus lygios viena kitai. Pavyzdžiui, jei x = 2; y = 0, tada

3x + 2y = 3 ∙ 2 + 2 ∙ 0 = 6,5xy = 5 ∙ 20 = 0.

Vadinasi, yra kintamųjų reikšmių, kurių atitinkamos išraiškų 3x + 2y ir 5xy reikšmės nėra lygios viena kitai. Todėl išraiškos 3x + 2y ir 5xy nėra vienodai lygios.

Remiantis tuo, kas išdėstyta, tapatybės visų pirma yra lygybės: 2 (x - 1) = 2x - 2 ir 2x + 3x = 5x.

Tapatybė yra kiekviena lygybė, kurioje yra žinomų skaičių veiksmų savybių. Pavyzdžiui,

a + b = b + a; (a + b) + c = a + (b + c); a (b + c) = ab + ac;

ab = bа; (ab) c = a (bc); a (b - c) = ab - ac.

Taip pat yra tokios lygybės kaip tapatybės:

a + 0 = a; a ∙ 0 = 0; a ∙ (-b) = -ab;

a + (-a) = 0; a ∙ 1 = a; a ∙ (-b) = ab.

1 + 2 + 3 = 6; 5 2 + 12 2 = 13 2 ; 12 ∙ (7 - 6) = 3 ∙ 4.

Jei sumažinsime panašius terminus išraiškoje -5x + 2x - 9, gausime, kad 5x + 2x - 9 = 7x - 9. Šiuo atveju jie sako, kad išraiška 5x + 2x - 9 buvo pakeista išraiška 7x - 9, kuris yra identiškas jam.

Identiškos išraiškų su kintamaisiais transformacijos atliekamos naudojant skaičių veiksmų ypatybes. Visų pirma, identiškos transformacijos su skliaustų išplėtimu, panašių terminų konstravimas ir panašiai.

Turi būti atliekamos identiškos transformacijos, kai supaprastinama išraiška, tai yra, kai kuri išraiška pakeičiama jai identiškai išreikšta išraiška, kuri turėtų būti trumpesnė.

1 pavyzdys. Supaprastinkite išraišką:

1) -0,3 m ∙ 5n;

2) 2 (3x - 4) + 3 (-4x + 7);

3) 2 + 5а - (а - 2b) + (3b - а).

1) -0,3 m ∙ 5n = -0,3 ∙ 5mn = -1,5 mn;

2) 2 (3x 4) + 3 (-4 + 7) = 6 x - 8 - 1 2x+ 21 = 6x + 13;

3) 2 + 5a - (a - 2b) + (3b - a) = 2 + 5a - a + 2 b + 3 b - a= 3a + 5b + 2.

Norėdami įrodyti, kad lygybė yra tapatybė (kitaip tariant, norint įrodyti tapatybę, naudokite identiškas išraiškų transformacijas.

Tapatybę galima įrodyti vienu iš šių būdų:

• atlikti identiškas kairės pusės transformacijas, taip sumažinant ją iki dešinės pusės formos;
• atlikti identiškas dešinės pusės transformacijas, taip sumažinant ją iki kairės pusės formos;
• atlikti vienodas abiejų jo dalių transformacijas, taip pakeldami abi dalis į tas pačias išraiškas.

2 pavyzdys. Įrodykite tapatybę:

1) 2x - (x + 5) - 11 = x - 16;

2) 206 - 4а = 5 (2а - 3b) - 7 (2а - 5b);

3) 2 (3x - 8) + 4 (5x - 7) = 13 (2x - 5) + 21.

Skyrius

1) Mes pakeičiame kairę šios lygybės pusę:

2x - (x + 5) - 11 = 2x - NS- 5 - 11 = x - 16.

Atliekant vienodas transformacijas, išraiška kairėje lygybės pusėje buvo sumažinta iki dešinės pusės ir taip įrodė, kad ši lygybė yra tapatybė.

2) Mes transformuojame dešinę šios lygybės pusę:

5 (2а - 3b) - 7 (2а - 5b) = 10a - 15 b - 14a + 35 b= 20b - 4a.

Atliekant vienodas transformacijas, dešinė lygybės pusė buvo sumažinta iki kairiosios formos ir taip įrodė, kad ši lygybė yra tapatybė.

3) Šiuo atveju patogu supaprastinti kairę ir dešinę lygybės puses ir palyginti rezultatus:

2 (3x - 8) + 4 (5x - 7) = 6x - 16 + 20 kartų- 28 = 26x - 44;

13 (2x - 5) + 21 = 26x - 65 + 21 = 26x - 44.

Vienodomis transformacijomis kairioji ir dešinė lygybės pusės buvo sumažintos iki tos pačios formos: 26x - 44. Todėl ši lygybė yra tapatybė.

Kokios išraiškos vadinamos identiškomis? Pateikite identiškų išraiškų pavyzdį. Kokia lygybė vadinama tapatybe? Pateikite tapatybės pavyzdį. Kas vadinama išraiškos tapatybės konversija? Kaip įrodyti tapatybę?

1. (Žodžiu) Arba yra išraiškų, kurios yra vienodos:

1) 2a + a ir 3a;

2) 7x + 6 ir 6 + 7x;

3) x + x + x ir x 3;

4) 2 (x - 2) ir 2x - 4;

5) m - n ir n - m;

6) 2a ∙ p ir 2p? A?

1. Ar išraiškos:

1) 7x - 2x ir 5x;

2) 5a - 4 ir 4 - 5a;

3) 4 m + n ir n + 4 m;

4) a + a ir 2;

5) 3 (a - 4) ir 3a - 12;

6) 5 m ∙ n ir 5 m + n?

1. (Žodžiu) yra melo tapatybė:

1) 2a + 106 = 12ab;

2) 7p - 1 = -1 + 7p;

3) 3 (x - y) = 3x - 5y?

1. Atidaryti skliausteliai:

1. Atidaryti skliausteliai:

1. Sujunkite panašius terminus:

1. Pavadinkite keletą išraiškų, tapačių 2a + 3a išraiškoms.
2. Supaprastinkite išraišką naudodami daugybos permutaciją ir jungiamąsias savybes:

1) -2,5 x ∙ 4;

2) 4p ∙ (-1,5);

3) 0,2 g (0,3 g);

4) - x ∙<-7у).

1. Supaprastinkite išraišką:

1) -2p ∙ 3,5;

2) 7a ∙ (-1,2);

3) 0,2 x ∙ (-3y);

4) - 1 m ∙ (-3n).

1. (Žodžiu) Supaprastinkite išraišką:

1) 2x - 9 + 5x;

2) 7а - 3b + 2а + 3b;

4) 4а ∙ (-2b).

1. Sujunkite panašius terminus:

1) 56 - 8a + 4b - a;

2) 17 - 2p + 3p + 19;

3) 1,8 a + 1,9 b + 2,8 a - 2,9 b;

4) 5 - 7 s + 1,9 g + 6,9 s - 1,7 g.

1) 4 (5x - 7) + 3x + 13;

2) 2 (7 - 9а) - (4 - 18а);

3) 3 (2p - 7) - 2 (g - 3);

4) - (3–5) + 2 (3–7).

1. Išskleiskite skliaustus ir sumažinkite panašius terminus:

1) 3 (8а - 4) + 6а;

2) 7p - 2 (3p - 1);

3) 2 (3x - 8) - 5 (2x + 7);

4) 3 (5 m - 7) - (15 m - 2).

1) 0,6 x + 0,4 (x - 20), jei x = 2,4;

2) 1,3 (2a - 1) - 16,4, jei a = 10;

3) 1,2 (m - 5) - 1,8 (10 - m), jei m = -3,7;

4) 2x - 3 (x + y) + 4y, jei x = -1, y = 1.

1. Supaprastinkite išraišką ir raskite jos prasmę:

1) 0,7 x + 0,3 (x - 4), jei x = -0,7;

2) 1,7 (y - 11) - 16,3, jei b = 20;

3) 0,6 (2a - 14) - 0,4 (5a - 1), jei a = -1;

4) 5 (m - n) - 4m + 7n, jei m = 1,8; n = -0,9.

1. Įrodykite tapatybę:

1) - (2x - y) = y - 2x;

2) 2 (x - 1) - 2x = -2;

3) 2 (x - 3) + 3 (x + 2) = 5x;

4) s - 2 = 5 (s + 2) - 4 (s + 3).

1. Įrodykite tapatybę:

1) - (m - 3n) = 3n - m;

2) 7 (2 - p) + 7p = 14;

3) 5a = 3 (a - 4) + 2 (a + 6);

4) 4 (m - 3) + 3 (m + 3) = 7 m - 3.

1. Vienos trikampio kraštinės ilgis yra cm, o kitų dviejų kraštinių ilgis yra 2 cm ilgesnis už jį. Užrašykite trikampio perimetrą kaip išraišką ir supaprastinkite išraišką.
2. Stačiakampio plotis x cm, o ilgis 3 cm ilgesnis už plotį. Užrašykite stačiakampio perimetrą kaip išraišką ir supaprastinkite išraišką.

1) x - (x - (2x - 3));

2) 5 m - ((n - m) + 3n);

3) 4p - (3p - (2p - (r + 1)));

4) 5x - (2x - ((y - x) - 2y));

5) (6a – b) - (4a – 33b);

6) - (2,7 m - 1,5 n) + (2n - 0,48 m).

1. Išskleiskite skliaustus ir supaprastinkite išraišką:

1) a - (a - (3a - 1));

2) 12 m - ((a - m) + 12a);

3) 5 metai - (6 metai - (7 metai - (8 metai - 1))));

6) (2,1 a – 2,8 b) - (1a – 1b).

1. Įrodykite tapatybę:

1) 10x - ( - (5x + 20)) = 5 (3x + 4);

2) - ( - 3p) - ( - (8 - 5p)) = 2 (4 - d);

3) 3 (a - b - c) + 5 (a - b) + 3c = 8 (a - b).

1. Įrodykite tapatybę:

1) 12а - ((8а - 16)) = -4 (4 - 5а);

2) 4 (x + y -<) + 5(х - t) - 4y - 9(х - t).

1. Įrodykite, kad išraiškos vertė

1,8 (m - 2) + 1,4 (2 - m) + 0,2 (1,7 - 2 m) nepriklauso nuo kintamojo vertės.

1. Įrodykite, kad bet kurios kintamojo reikšmės išraiškos reikšmė

a - (a - (5a + 2)) - 5 (a - 8)

yra tas pats skaičius.

1. Įrodykite, kad trijų iš eilės lyginių skaičių suma dalijasi iš 6.
2. Įrodykite, kad jei n yra natūralusis skaičius, tai išraiškos -2 (2,5 n - 7) + 2 (3n - 6) reikšmė yra lyginis skaičius.

Kartojimo pratimai

1. Lydinyje, sveriančiame 1,6 kg, yra 15% vario. Kiek kg vario yra šiame lydinyje?
2. Koks procentas yra jo skaičius 20:

1) kvadratas;

1. Turistas vaikščiojo 2 valandas ir 3 valandas važiavo dviračiu. Iš viso turistas įveikė 56 km. Raskite greitį, kuriuo turistas važiavo dviračiu, jei jis yra 12 km / h didesnis už greitį, kuriuo jis ėjo.

Įdomios užduotys tingiems studentams

1. Miesto futbolo čempionate dalyvauja 11 komandų. Kiekviena komanda žaidžia po vieną mačą su kitomis. Įrodykite, kad bet kuriuo varžybų momentu yra komanda, kuri iki šiol sužaidė lyginį rungtynių skaičių arba dar nežaidė nė vienos.

Tema "Tapatybės įrodymai"7 klasė (KRO)

Vadovėlis Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G.

Pamokos tikslai

Švietimo:

susipažinti ir pirmiausia įtvirtinti sąvokas „identiškai lygios išraiškos“, „tapatybė“, „tapačios transformacijos“;

apsvarstyti tapatybės įrodymo būdus, prisidėti prie tapatybės įrodymo įgūdžių ugdymo;

patikrinti mokinių įsisavintą perduotą medžiagą, formuoti išmoktų pritaikymo įgūdžius suvokiant naują.

Kuriama:

Ugdyti raštingą mokinių matematinę kalbą (praturtinti ir apsunkinti žodyną naudojant specialius matematinius terminus),

lavinti mąstymą,

Edukacinis: ugdyti kruopštumą, tikslumą, pratimų sprendimo fiksavimo teisingumą.

Pamokos tipas: naujos medžiagos mokymasis

Užsiėmimų metu

1 ... Laiko organizavimas.

Namų darbų patikrinimas.

Namų darbų klausimai.

Lentos tirpalo analizė.

Matematika reikalinga
Jūs negalite gyventi be jos
Mes mokome, mes mokome, draugai,
Ką prisimename iš ryto?

2 ... Padarykime apšilimą.

Papildymo rezultatas. (Suma)

Kiek skaičių žinai? (Dešimt)

Viena šimtoji skaičiaus dalis. (Procentais)

Padalijimo rezultatas? (Privatus)

Mažiausias natūralusis skaičius? (1)

Ar dalijant natūraliuosius skaičius galima gauti nulį? (Ne)

Koks yra didžiausias neigiamas sveikasis skaičius. (-1)

Iš kokio skaičiaus negalima padalinti? (0)

Dauginimo rezultatas? (Darbas)

Atimties rezultatas. (Skirtumas)

Pridėjimo savybė. (Dėl sąlygų vietų pertvarkymo suma nesikeičia)

Kelionės daugybos savybė. (Produktas nesikeičia dėl daugiklių permutacijos)

Naujos temos mokymasis (apibrėžimas rašant užrašų knygelėje)

Raskite x = 5 ir y = 4 išraiškų vertę

3 (x + y) = 3 (5 + 4) = 3 * 9 = 27

3x + 3y = 3 * 5 + 3 * 4 = 27

Gavome tą patį rezultatą. Iš pasiskirstymo ypatybės išplaukia, kad apskritai bet kurių kintamųjų reikšmių išraiškų 3 (x + y) ir 3x + 3y reikšmės yra lygios.

Dabar apsvarstykite išraiškas 2x + y ir 2xy. Jei x = 1 ir y = 2, jie turi lygias reikšmes:

Tačiau x ir y reikšmes galite nurodyti taip, kad šių išraiškų reikšmės nebūtų vienodos. Pavyzdžiui, jei x = 3, y = 4, tada

Apibrėžimas: Dvi išraiškos, kurių reikšmės yra lygios bet kokioms kintamųjų reikšmėms, vadinamos identiškai lygiomis.

Išraiškos 3 (x + y) ir 3x + 3y yra identiškai lygios, tačiau išraiškos 2x + y ir 2xy nėra vienodos.

Lygybė 3 (x + y) ir 3x + 3y galioja visoms x ir y reikšmėms. Tokios lygybės vadinamos tapatybėmis.

Apibrėžimas: Lygybė, galiojanti visoms kintamųjų reikšmėms, vadinama tapatybe.

Tikrosios skaitinės lygybės taip pat laikomos tapatybėmis. Mes jau susitikome su tapatybėmis. Tapatybės yra lygybės, išreiškiančios pagrindines veiksmų su skaičiais savybes (mokiniai komentuoja kiekvieną ypatybę, ją ištaria).

a + b = b + a
ab = ba
(a + b) + c = a + (b + c)
(ab) c = a (bc)
a (b + c) = ab + ak

Pateikite kitų tapatybių pavyzdžių

Apibrėžimas: Vienos išraiškos pakeitimas kita, identiškai lygia išraiška, vadinama tapatybės transformacija arba tiesiog išraiškos transformacija.

Identiškos išraiškų su kintamaisiais transformacijos atliekamos remiantis veiksmų su skaičiais ypatybėmis.

Identiškos išraiškų transformacijos plačiai naudojamos skaičiuojant išraiškų vertes ir sprendžiant kitas problemas. Jūs jau atlikote kai kurias identiškas transformacijas, pavyzdžiui, įvedėte panašius terminus, išplėtėte skliaustus.

5 ... Nr. 691, Nr. 692 (su skliaustelių atidarymo taisyklių, neigiamų ir teigiamų skaičių dauginimo taisyklėmis)

Racionalaus sprendimo pasirinkimo tapatybės:(priekinis darbas)

6 ... Apibendrinant pamoką.

Mokytojas užduoda klausimus, o mokiniai į juos atsako taip, kaip nori.

Kokios dvi išraiškos yra vienodos? Pateikite pavyzdžių.

Kokia lygybė vadinama tapatybe? Pateikite pavyzdį.

Kokias identiškas transformacijas žinote?

7. Namų darbai. Išmokite apibrėžimų, pateikite identiškų išraiškų pavyzdžių (bent 5), užsirašykite į sąsiuvinį

Pagrindinės skaičių pridėjimo ir daugybos savybės.

Pridėjimo savybė: sumos vertė nesikeičia nuo sąlygų permutacijos. Bet kuriam skaičiui a ir b lygybė

Sudėtinė pridėjimo savybė: norėdami prie dviejų skaičių sumos pridėti trečiąjį skaičių, prie pirmojo skaičiaus galite pridėti antrojo ir trečiojo sumas. Bet kurių skaičių a, b ir c lygybė

Dauginimo poslinkio savybė: produkto vertė nesikeičia dėl veiksnių permutacijos. Bet kuriam skaičiui a, b ir c lygybė

Kombinuota daugybos savybė: norėdami padauginti dviejų skaičių sandaugą iš trečiojo skaičiaus, pirmąjį skaičių galite padauginti iš antrojo ir trečiojo.

Bet kurių skaičių a, b ir c lygybė

Skirstomoji savybė: norėdami padauginti skaičių iš sumos, galite padauginti tą skaičių iš kiekvieno termino ir pridėti rezultatus. Bet kuriam skaičiui a, b ir c lygybė

Iš išstumiamų ir kombinuojamų pridėjimo savybių išplaukia: bet kokiu atveju jūs galite pertvarkyti terminus, kaip jums patinka, ir savavališkai sujungti juos į grupes.

1 pavyzdys Apskaičiuokime sumą 1,23 + 13,5 + 4,27.

Tam patogu pirmąjį terminą derinti su trečiuoju. Mes gauname:

1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.

Tai išplaukia iš perkeliamų ir kombinuojamų daugybos savybių: bet kuriame produkte jūs galite pertvarkyti veiksnius, kaip jums patinka, ir savavališkai juos sujungti į grupes.

2 pavyzdys Raskite produkto vertę 1,8 · 0,25 · 64 · 0,5.

Sujungę pirmąjį veiksnį su ketvirtuoju, o antrąjį - su trečiuoju, turėsime:

1,8 0,25 64 0,5 = (1,8 0,5) (0,25 64) = 0,9 16 = 14,4.

Paskirstymo ypatybė taip pat teisinga, kai skaičius padauginamas iš trijų ar daugiau terminų sumos.

Pavyzdžiui, bet kurių skaičių a, b, c ir d lygybė

a (b + c + d) = ab + ac + skelbimas.

Mes žinome, kad atėmimą galima pakeisti pridedant pridėjus priešingą skaičių prie atimamo skaičiaus:

Tai leidžia ab formos skaitinę išraišką laikyti skaičių a ir -b suma, o formos a + bcd skaitinę išraišką -skaičių a, b, -c, -d ir tt suma Svarstomos veiksmų savybės taip pat tinka tokioms sumoms.

3 pavyzdys Raskite išraiškos reikšmę 3.27-6.5-2.5 + 1.73.

Ši išraiška yra skaičių 3,27, -6,5, -2,5 ir 1,73 suma. Taikydami papildymo savybes, gauname: 3,27-6,5-2,5 + 1,73 = (3,27 + 1,73) + (-6,5-2,5) = 5 + (-9) = -4.

4 pavyzdys Apskaičiuokime sandaugą 36 · ().

Daugiklis gali būti suvokiamas kaip skaičių ir -suma. Naudodami daugybos platinimo savybę, gauname:

36 () = 36-36 = 9-10 = -1.

Tapatybės

Apibrėžimas. Dvi išraiškos, kurių atitinkamos reikšmės yra lygios bet kokioms kintamųjų reikšmėms, vadinamos identiškai lygiomis.

Apibrėžimas. Lygybė, galiojanti visoms kintamųjų reikšmėms, vadinama tapatybe.

Raskite išraiškų 3 (x + y) ir 3x + 3y reikšmes ties x = 5, y = 4:

3 (x + y) = 3 (5 + 4) = 3 9 = 27,

3x + 3y = 3 5 + 3 4 = 15 + 12 = 27.

Gavome tą patį rezultatą. Iš pasiskirstymo ypatybės išplaukia, kad apskritai bet kurioms kintamųjų reikšmėms atitinkamos išraiškų 3 (x + y) ir 3x + 3y reikšmės yra lygios.

Dabar apsvarstykite išraiškas 2x + y ir 2xy. Jei x = 1, y = 2, jie turi lygias reikšmes:

Tačiau galite nurodyti x ir y reikšmes, kad šių išraiškų reikšmės nebūtų vienodos. Pavyzdžiui, jei x = 3, y = 4, tada

Išraiškos 3 (x + y) ir 3x + 3y yra identiškai lygios, tačiau išraiškos 2x + y ir 2xy nėra vienodos.

Lygybė 3 (x + y) = x + 3y, teisinga bet kuriai x ir y reikšmei, yra tapatybė.

Tikrosios skaitinės lygybės taip pat laikomos tapatybėmis.

Taigi tapatybės yra lygybės, išreiškiančios pagrindines veiksmų su skaičiais savybes:

a + b = b + a, (a + b) + c = a + (b + c),

ab = ba, (ab) c = a (bc), a (b + c) = ab + ac.

Galima paminėti kitus tapatybės pavyzdžius:

a + 0 = a, a + (- a) = 0, a-b = a + (- b),

a 1 = a, a (-b) =- ab, (-a) (- b) = ab.

Identiškos išraiškos konversijos

Vienos išraiškos pakeitimas kita, identiškai jai lygia išraiška, vadinama tapatia transformacija arba tiesiog išraiškos transformacija.

Identiškos išraiškų su kintamaisiais transformacijos atliekamos remiantis veiksmų su skaičiais ypatybėmis.

Norėdami rasti išraiškos xy-xz reikšmę, atsižvelgiant į x, y, z reikšmes, turite atlikti tris veiksmus. Pavyzdžiui, x = 2,3, y = 0,8, z = 0,2 gauname:

xy-xz = 2,3 0,8-2,3 0,2 = 1,84-0,46 = 1,38.

Šį rezultatą galima gauti atlikus tik du veiksmus, jei naudojate išraišką x (y-z), kuri yra identiška išraiškai xy-xz:

xy-xz = 2,3 (0,8-0,2) = 2,3 0,6 = 1,38.

Mes supaprastinome skaičiavimus, pakeisdami išraišką xy-xz identiškai vienoda išraiška x (y-z).

Identiškos išraiškų transformacijos plačiai naudojamos skaičiuojant išraiškų vertes ir sprendžiant kitas problemas. Kai kurios identiškos transformacijos jau buvo atliktos, pavyzdžiui, panašių terminų sumažinimas, skliaustų išplėtimas. Prisiminkime šių transformacijų atlikimo taisykles:

norėdami pateikti tokius terminus, turite pridėti jų koeficientus ir padauginti rezultatą iš visos raidės dalies;

jei prieš skliaustelius yra pliuso ženklas, skliaustelius galima praleisti, laikant kiekvieno termino ženklą skliausteliuose;

jei prieš skliaustus yra minuso ženklas, skliaustelius galima praleisti keičiant kiekvieno skliausteliuose esančio termino ženklą.

1 pavyzdys Pateiksime panašius terminus sumoje 5x + 2x-3x.

Mes naudosime taisyklę tokiems terminams sumažinti:

5x + 2x-3x = (5 + 2-3) x = 4x.

Ši transformacija grindžiama daugybos pasiskirstymo savybe.

2 pavyzdys Išplėskime skliaustus išraiškoje 2a + (b-3c).

Taikant taisyklę, skirtą išplėsti skliaustus, prieš kurį yra pliuso ženklas:

2a + (b-3c) = 2a + b-3c.

Atlikta transformacija grindžiama kombinavimo pridėjimo savybe.

3 pavyzdys Išplėskime skliaustus išraiškoje a- (4b-c).

Naudokime skliaustų išplėtimo taisyklę, prieš kurią yra minuso ženklas:

a- (4b-c) = a-4b + c.

Atlikta transformacija grindžiama daugybos pasiskirstymo savybe ir derinio savybe. Parodykime. Šioje išraiškoje mes vaizduojame antrąjį terminą-(4b-c) kaip produktą (-1) (4b-c):

a- (4b-c) = a + (- 1) (4b-c).

Taikydami nurodytas veiksmo savybes, gauname:

a- (4b-c) = a + (- 1) (4b-c) = a + (- 4b + c) = a-4b + c.