Kvadratinių šaknų savybės, kai didesnė nei 0. Kvadratinė šaknis. Išsamus vadovas (2019 m.)

Savybės kvadratinių šaknų

Iki šiol su skaičiais atlikome penkias aritmetines operacijas: sudėtį, atimtį, daugyba, dalyba ir eksponencija, o skaičiavimuose jie aktyviai naudojo įvairių savybiųšios operacijos, pavyzdžiui, a + b = b + a, an-bn = (ab) n ir kt.

Šiame skyriuje pristatoma nauja operacija – išgavimas kvadratinė šaknis iš neneigiamo skaičiaus. Norėdami sėkmingai jį naudoti, turite susipažinti su šios operacijos savybėmis, kurias mes atliksime šiame skyriuje.

Įrodymas. Įveskime tokį žymėjimą: https://pandia.ru/text/78/290/images/image005_28.jpg" alt="(!LANG:Lygybė" width="120" height="25 id=">!}.

Taip suformuluojame tokią teoremą.

(Trumpa formuluotė, kurią patogiau naudoti praktikoje: frakcijos šaknis lygus trupmenai iš šaknų arba dalinio šaknis yra lygi šaknų daliniui.)

Šį kartą tik pristatysime trumpa pastabaįrodymą, ir jūs bandote pateikti atitinkamus komentarus, panašius į tuos, kurie sudarė 1 teoremos įrodymo esmę.

3 pastaba. Žinoma, šį pavyzdį galima išspręsti kitaip, ypač jei po ranka turite skaičiuotuvą: padauginkite skaičius 36, 64, 9 ir paimkite gautos sandaugos kvadratinę šaknį. Tačiau sutiksite, kad aukščiau pasiūlytas sprendimas atrodo kultūringesnis.

4 pastaba. Pirmuoju metodu atlikome tiesioginius skaičiavimus. Antrasis būdas yra elegantiškesnis:
kreipėmės formulę a2 - b2 = (a - b) (a + b) ir panaudojo kvadratinių šaknų savybę.

5 pastaba. Kai kurios „karštosios galvos“ kartais siūlo tokį „sprendimą“ 3 pavyzdžiui:

Tai, žinoma, netiesa: matote - rezultatas nėra toks pat kaip mūsų 3 pavyzdyje. Faktas yra tas, kad nėra nuosavybės https://pandia.ru/text/78/290/images/image014_6.jpg" alt="(!LANG:Užduotis" width="148" height="26 id=">!} Yra tik savybės, susijusios su kvadratinių šaknų dauginimu ir padalijimu. Būkite atsargūs ir atsargūs, negalvokite apie norus.

Baigdami pastraipą atkreipiame dėmesį į dar vieną gana paprastą ir kartu svarbią savybę:
jei a > 0 ir n - natūralusis skaičius, tada

Išraiškų, kuriose yra kvadratinės šaknies operacija, konvertavimas

Kol kas atlikome tik transformacijas racionalios išraiškos, naudojant tam polinomų ir operacijų taisykles algebrinės trupmenos, sutrumpintos daugybos formulės ir tt Šiame skyriuje pristatėme naują operaciją – kvadratinės šaknies ištraukimo operaciją; mes tai nustatėme

kur, prisiminti, a, b yra neneigiami skaičiai.

Naudojant šiuos formules, galite atlikti įvairias išraiškų transformacijas, kuriose yra kvadratinės šaknies operacija. Panagrinėkime kelis pavyzdžius ir visuose pavyzdžiuose manysime, kad kintamieji turi tik neneigiamas reikšmes.

3 pavyzdysĮveskite koeficientą po kvadratinės šaknies ženklu:

6 pavyzdys. Supaprastinkite išraišką Sprendimas. Atlikime nuoseklias transformacijas:

Pamoka ir pristatymas šia tema:
"Kvadratinės šaknies savybės. Formulės. Sprendimų pavyzdžiai, užduotys su atsakymais"

Papildomos medžiagos
Mieli vartotojai, nepamirškite palikti savo komentarų, atsiliepimų, pasiūlymų. Visa medžiaga yra patikrinta antivirusine programa.

Mokymo priemonės ir treniruokliai internetinėje parduotuvėje "Integral" 8 klasei
Interaktyvus studijų vadovas „Geometrija per 10 minučių“ 8 klasei
Edukacinis kompleksas "1C: mokykla. Geometrija, 8 klasė"

Kvadratinės šaknies savybės

Mes ir toliau tiriame kvadratines šaknis. Šiandien mes apsvarstysime pagrindines šaknų savybes. Visos pagrindinės savybės yra intuityvios ir atitinka visas anksčiau atliktas operacijas.

Savybė 1. Dviejų neneigiamų skaičių sandaugos kvadratinė šaknis yra lygi šių skaičių kvadratinių šaknų sandaugai: $\sqrt(a*b)=\sqrt(a)*\sqrt(b)$.

Įrodinėti bet kokias savybes įprasta, tai darykime.
Tegul $\sqrt(a*b)=x$, $\sqrt(a)=y$, $\sqrt(b)=z$. Tada turime įrodyti, kad $x=y*z$.
Padėkime kiekvieną išraišką kvadratu.
Jei $\sqrt(a*b)=x$, tada $a*b=x^2$.
Jei $\sqrt(a)=y$, $\sqrt(b)=z$, tada abi išraiškas padalijus kvadratu, gauname: $a=y^2$, $b=z^2$.
$a*b=x^2=y^2*z^2$, t.y. $x^2=(y*z)^2$. Jei dviejų neneigiamų skaičių kvadratai yra lygūs, tai ir patys skaičiai yra lygūs, tai ir reikėjo įrodyti.

Iš mūsų nuosavybės matyti, kad, pavyzdžiui, $\sqrt(5)*\sqrt(3)=\sqrt(15)$.

1 pastaba. Savybė galioja ir tuo atveju, kai po šaknimi yra daugiau nei du neneigiami veiksniai.
2 nuosavybė. Jei $a≥0$ ir $b>0$, galioja ši lygybė: $\sqrt(\frac(a)(b))=\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))$

Tai yra, dalinio šaknis yra lygi šaknų daliniui.
Įrodymas.
Pasinaudokime lentele ir trumpai įrodykime savo nuosavybę.

Kvadratinių šaknų savybių naudojimo pavyzdžiai

1 pavyzdys
Apskaičiuokite: $\sqrt(81*25*121)$.

Sprendimas.
Žinoma, galime paimti skaičiuotuvą, padauginti visus skaičius po šaknimi ir atlikti kvadratinės šaknies ištraukimo operaciją. O jei po ranka nėra skaičiuoklės, kas tada?
$\sqrt(81*25*121)=\sqrt(81)*\sqrt(25)*\sqrt(121)=9*5*11=495$.
Atsakymas: 495.

2 pavyzdys. Apskaičiuokite: $\sqrt(11\frac(14)(25))$.

Sprendimas.
Radikalųjį skaičių pavaizduojame kaip netinkamą trupmeną: $11\frac(14)(25)=\frac(11*25+14)(25)=\frac(275+14)(25)=\frac(289)( 25) $.
Pasinaudokime 2 savybe.
$\sqrt(\frac(289)(25))=\frac(\sqrt(289))(\sqrt(25))=\frac(17)(5)=3\frac(2)(5)= 3,4 USD.
Atsakymas: 3.4.

3 pavyzdys
Apskaičiuokite: $\sqrt(40^2-24^2)$.

Sprendimas.
Savo išraišką galime įvertinti tiesiogiai, bet beveik visada ją galima supaprastinti. Pabandykime tai padaryti.
$40^2-24^2=(40-24)(40+24)=16*64$.
Taigi $\sqrt(40^2-24^2)=\sqrt(16*64)=\sqrt(16)*\sqrt(64)=4*8=32$.
Atsakymas: 32.

Vaikinai, atkreipkite dėmesį, kad radikalių išraiškų sudėties ir atimties operacijų formulių nėra, o toliau pateiktos išraiškos nėra teisingos.
$\sqrt(a+b)≠\sqrt(a)+\sqrt(b)$.
$\sqrt(a-b)≠\sqrt(a)-\sqrt(b)$.

4 pavyzdys
Apskaičiuokite: a) $\sqrt(32)*\sqrt(8)$; b) $\frac(\sqrt(32))(\sqrt(8))$.
Sprendimas.
Aukščiau pateiktos savybės veikia iš kairės į dešinę ir atvirkštine tvarka, tai yra:
$\sqrt(a)*\sqrt(b)=\sqrt(a*b)$.
$\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))=\sqrt(\frac(a)(b))$.
Panaudokime tai savo pavyzdžiui išspręsti.
a) $\sqrt(32)*\sqrt(8)=\sqrt(32*8)=\sqrt(256)=16.$

B) $\frac(\sqrt(32))(\sqrt(8))=\sqrt(\frac(32)(8))=\sqrt(4)=2$.

Atsakymas: a) 16; b) 2.

3 nuosavybė. Jei $a≥0$ ir n yra natūralusis skaičius, galioja ši lygybė: $\sqrt(a^(2n))=a^n$.

Pavyzdžiui. $\sqrt(a^(16))=a^8$, $\sqrt(a^(24))=a^(12)$ ir pan.

5 pavyzdys
Apskaičiuokite: $\sqrt(129600)$.

Sprendimas.
Mums pateiktas skaičius yra gana didelis, išskaidykime jį į pirminius veiksnius.
Gavome: $129600=5^2*2^6*3^4$ arba $\sqrt(129600)=\sqrt(5^2*2^6*3^4)=5*2^3*3^2 =5*8*9=360$.
Atsakymas: 360.

Savarankiško sprendimo užduotys

1. Apskaičiuokite: $\sqrt(144*36*64)$.
2. Apskaičiuokite: $\sqrt(8\frac(1)(36))$.
3. Apskaičiuokite: $\sqrt(52^2-48^2)$.
4. Apskaičiuokite:
a) $\sqrt(128*\sqrt(8))$;
b) $\frac(\sqrt(128))(\sqrt(8))$.

Šis straipsnis yra išsamios informacijos rinkinys, kuriame nagrinėjama šaknų savybių tema. Atsižvelgdami į temą, pradėsime nuo savybių, išnagrinėsime visas formuluotes ir pateiksime įrodymus. Norėdami įtvirtinti temą, apsvarstysime n-ojo laipsnio savybes.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Šaknų savybės

Mes kalbėsime apie savybes.

Nuosavybė padauginti skaičiai a ir b, kuri pavaizduota kaip lygybė a · b = a · b . Jis gali būti pavaizduotas kaip daugikliai, teigiamas arba lygus nuliui a 1 , a 2 , … , a k kaip a 1 a 2 … a k = a 1 a 2 … a k ;
iš privataus a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0, galima parašyti ir tokia forma a b = a b ;
Savybė iš skaičiaus galios a su lyginiu rodikliu a 2 m = a m bet kuriam skaičiui a, pavyzdžiui, savybė iš skaičiaus kvadrato a 2 = a .

Bet kurioje iš pateiktų lygčių galite sukeisti dalis prieš ir po brūkšnelio, pavyzdžiui, lygybė a · b = a · b transformuojama kaip a · b = a · b . Lygybės savybės dažnai naudojamos sudėtingoms lygtims supaprastinti.

Pirmųjų savybių įrodymas pagrįstas kvadratinės šaknies apibrėžimu ir laipsnių su natūraliuoju rodikliu savybėmis. Norint pagrįsti trečiąją savybę, būtina remtis skaičiaus modulio apibrėžimu.

Pirmiausia reikia įrodyti kvadratinės šaknies a · b = a · b savybes. Pagal apibrėžimą būtina atsižvelgti į tai, kad a b yra skaičius, teigiamas arba lygus nuliui, kuris bus lygus a b statybos metu į aikštę. Išraiškos a · b reikšmė yra teigiama arba lygi nuliui kaip neneigiamų skaičių sandauga. Padaugintų skaičių laipsnio savybė leidžia lygybę pavaizduoti forma (a · b) 2 = a 2 · b 2 . Pagal kvadratinės šaknies apibrėžimą a 2 \u003d a ir b 2 \u003d b, tada a b \u003d a 2 b 2 \u003d a b.

Panašiai tai galima įrodyti iš produkto k daugikliai a 1 , a 2 , … , a k bus lygus šių faktorių kvadratinių šaknų sandaugai. Iš tiesų, a 1 · a 2 · … · ak 2 = a 1 2 · a 2 2 · … · ak 2 = a 1 · a 2 · … · a k .

Iš šios lygybės išplaukia, kad a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k .

Pažvelkime į keletą pavyzdžių, kad sustiprintume temą.

1 pavyzdys

3 5 2 5 = 3 5 2 5, 4, 2 13 1 2 = 4, 2 13 1 2 ir 2, 7 4 12 17 0, 2 (1) = 2, 7 4 12 17 0. 2 (1).

Būtina įrodyti dalinio aritmetinės kvadratinės šaknies savybę: a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0. Savybė leidžia parašyti lygybę a: b 2 = a 2: b 2 ir a 2: b 2 = a: b, o a: b yra teigiamas skaičius arba lygus nuliui. Ši išraiška bus įrodymas.

Pavyzdžiui, 0:16 = 0:16, 80:5 = 80:5 ir 30, 121 = 30, 121.

Apsvarstykite skaičiaus kvadrato kvadratinės šaknies savybę. Ją galima parašyti kaip lygybę kaip a 2 = a Norint įrodyti šią savybę, reikia detaliai apsvarstyti keletą lygybių a ≥ 0 ir pas a< 0 .

Akivaizdu, kad a ≥ 0 lygybė a 2 = a yra teisinga. At a< 0 lygybė a 2 = - a bus teisinga. Tiesą sakant, šiuo atveju − a > 0 ir (− a) 2 = a 2 . Galime daryti išvadą, kad a 2 = a , a ≥ 0 - a , a< 0 = a . Именно это и требовалось доказать.

Pažvelkime į keletą pavyzdžių.

2 pavyzdys

5 2 = 5 = 5 ir - 0. 36 2 = - 0. 36 = 0. 36.

Įrodyta savybė padės pagrįsti 2 m = a m , kur a- tikras ir m- natūralus skaičius. Iš tiesų, eksponentiškumo savybė leidžia mums pakeisti laipsnį a 2 m išraiška (am) 2, tada a 2 · m = (a m) 2 = a m .

3 pavyzdys

3 8 = 3 4 = 3 4 ir (- 8 , 3) 14 = - 8, 3 7 = (8 , 3) 7 .

N-osios šaknies savybės

Pirmiausia turite atsižvelgti į pagrindines n-ojo laipsnio šaknų savybes:

Savybė iš skaičių sandaugos a ir b, kurios yra teigiamos arba lygios nuliui, gali būti išreikštos lygybe a b n = a n b n , ši savybė galioja sandaugai k numeriai a 1 , a 2 , … , a k kaip a 1 a 2 … a k n = a 1 n a 2 n … a k n ;
iš trupmeninio skaičiaus turi savybę a b n = a n b n , kur a yra bet koks tikrasis skaičius, kuris yra teigiamas arba lygus nuliui, ir b yra teigiamas realusis skaičius;
Bet kuriam a ir lyginiai skaičiai n = 2 m a 2 m 2 m = a yra tiesa, o nelyginis n = 2 m − 1 lygybė a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a yra įvykdyta.
Išskyrimo savybė iš a m n = a n m , kur a- bet koks skaičius, teigiamas arba lygus nuliui, n ir m yra natūralūs skaičiai, ši savybė taip pat gali būti pavaizduota kaip . . a n k n 2 n 1 = a n 1 · n 2 . . . nk ;
Bet kokiam neneigiamam a ir savavališkam n ir m, kurios yra natūralios, galima apibrėžti ir teisingąją lygybę a m n · m = a n ;
laipsnio nuosavybė n iš skaičiaus galios a, kuris yra teigiamas arba lygus nuliui, natūra m, apibrėžiamas lygybe a m n = a n m ;
Lyginimo savybė, kurios rodikliai yra tokie patys: bet kokiems teigiamiems skaičiams a ir b toks kad a< b , nelygybė a n< b n ;
Turima palyginimo savybė tie patys skaičiaišaknis: jei m ir n- natūraliuosius skaičius, kad m > n, tada val 0 < a < 1 galioja nelygybė a m > a n, o už a > 1 esu< a n .

Aukščiau pateiktos lygtys galioja, jei dalys prieš ir po lygybės ženklo yra apverstos. Jie taip pat gali būti naudojami šioje formoje. Tai dažnai naudojama supaprastinant ar transformuojant išraiškas.

Minėtų šaknies savybių įrodymas grindžiamas apibrėžimu, laipsnio savybėmis ir skaičiaus modulio apibrėžimu. Šios savybės turi būti įrodytos. Bet viskas tvarkoje.

Pirmiausia iš sandaugos a · b n = a n · b n įrodysime n-ojo laipsnio šaknies savybes. Dėl a ir b , kuris yra teigiamas arba nulis , reikšmė a n · b n taip pat yra teigiama arba lygi nuliui, nes tai yra neneigiamų skaičių daugybos pasekmė. Natūralios galios sandaugos savybė leidžia užrašyti lygybę a n · b n n = a n n · b n n . Pagal šaknies apibrėžimą n laipsnis a n n = a ir b n n = b , todėl a n · b n n = a · b . Gauta lygybė yra būtent tai, ką reikėjo įrodyti.

Ši savybė panašiai įrodyta ir gaminiui k faktoriai: neneigiamiems skaičiams a 1 , a 2 , … , a n a 1 n · a 2 n · … · a k n ≥ 0 .

Čia yra šakninės nuosavybės naudojimo pavyzdžiai n gaminio galia: 5 2 1 2 7 = 5 7 2 1 2 7 ir 8 , 3 4 17 , (21) 4 3 4 5 7 4 = 8 , 3 17 , (21) 3 5 7 4 .

Įrodykime dalinio a b n = a n b n šaknies savybę. At a ≥ 0 ir b > 0 sąlyga a n b n ≥ 0 tenkinama, o a n b n n = a n n b n n = a b .

Parodykime pavyzdžius:

4 pavyzdys

8 27 3 = 8 3 27 3 ir 2 , 3 10: 2 3 10 = 2, 3: 2 3 10 .

Dėl Kitas žingsnis reikia įrodyti n-ojo laipsnio savybes nuo skaičiaus iki laipsnio n. Tai reiškiame lygybę a 2 m 2 m = a ir 2 m - 1 2 m - 1 = a bet kokiai realiai a ir natūralus m. At a ≥ 0 gauname a = a ir a 2 m = a 2 m, kas įrodo lygybę a 2 m 2 m = a, o lygybė a 2 m - 1 2 m - 1 = a yra akivaizdi. At a< 0 gauname atitinkamai a = - a ir a 2 m = (- a) 2 m = a 2 m . Paskutinė skaičiaus transformacija galioja pagal laipsnio savybę. Tai įrodo, kad lygybė a 2 m 2 m \u003d a ir 2 m - 1 2 m - 1 \u003d a bus tiesa, nes - c 2 m - 1 \u003d - c 2 m yra nelyginis. laipsnis - 1 bet kuriam skaičiui c , teigiamas arba lygus nuliui.

Norėdami konsoliduoti gautą informaciją, apsvarstykite keletą nuosavybės pavyzdžių:

5 pavyzdys

7 4 4 = 7 = 7, (- 5) 12 12 = - 5 = 5, 0 8 8 = 0 = 0, 6 3 3 = 6 ir (- 3, 39) 5 5 = - 3, 39.

Įrodykime tokią lygybę a m n = a n · m . Norėdami tai padaryti, reikia pakeisti skaičius prieš lygybės ženklą ir po jo vietose a n · m = a m n . Tai reikš teisingas įrašas. Dėl a , kuri yra teigiama arba lygus nuliui , iš formos a m n yra teigiamas skaičius arba lygus nuliui. Pažiūrėkime į savybę pakelti galią į galią ir apibrėžimą. Jų pagalba galite paversti lygybes forma a m n n · m = a m n n m = a m m = a . Tai įrodo svarstomą šaknies nuo šaknies savybę.

Panašiai įrodomos ir kitos savybės. Tikrai,. . . a n k n 2 n 1 n 1 n 2 . . . nk = . . . a n k n 3 n 2 n 2 n 3 . . . nk = . . . a nk n 4 n 3 n 3 n 4 . . . nk = . . . = a n k n k = a .

Pavyzdžiui, 7 3 5 = 7 5 3 ir 0, 0009 6 = 0, 0009 2 2 6 = 0, 0009 24.

Įrodykime kitas turtas a m n · m = a n . Norėdami tai padaryti, reikia parodyti, kad n yra skaičius, kuris yra teigiamas arba lygus nuliui. Pakėlus iki laipsnio n m yra esu. Jei skaičius a tada yra teigiamas arba nulis n laipsnis iš tarpo a yra teigiamas skaičius arba lygus nuliui Be to, a n · m n = a n n m , kurį reikėjo įrodyti.

Norėdami įtvirtinti įgytas žinias, apsvarstykite keletą pavyzdžių.

Įrodykime tokią savybę - formos a m n = a n m laipsnio šaknies savybę. Akivaizdu, kad val a ≥ 0 laipsnis a n m yra neneigiamas skaičius. Be to, ji n-tas laipsnis lygus esu, iš tiesų, a n m n = a n m · n = a n n m = a m . Tai įrodo tariamą laipsnio savybę.

Pavyzdžiui, 2 3 5 3 = 2 3 3 5 .

Turime tai įrodyti bet kokiems teigiamiems skaičiams a ir b a< b . Apsvarstykite nelygybę a n< b n . Воспользуемся методом от противного a n ≥ b n . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным a n n ≥ b n n , то есть, a ≥ b . Но это не соответствует условию a< b . Todėl n< b n при a< b .

Pavyzdžiui, mes suteikiame 12 4< 15 2 3 4 .

Apsvarstykite šaknies savybę n– laipsnis. Pirmiausia apsvarstykite pirmąją nelygybės dalį. At m > n ir 0 < a < 1 tiesa a m > a n . Tarkime, a m ≤ a n . Savybės supaprastins išraišką iki a n m · n ≤ a m m · n . Tada pagal laipsnio su natūraliuoju rodikliu savybes tenkinama nelygybė a n m n m n ≤ a m m n m n, tai yra, a n ≤ a m. Vertė, gauta esant m > n ir 0 < a < 1 neatitinka aukščiau nurodytų savybių.

Lygiai taip pat galima tai įrodyti m > n ir a > 1 sąlyga a m< a n .

Norėdami pataisyti aukščiau nurodytas savybes, apsvarstykite keletą konkrečių pavyzdžių. Apsvarstykite nelygybes naudodami konkrečius skaičius.

6 pavyzdys

0 , 7 3 < 0 , 7 5 и 12 > 12 7 .

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

1 faktas.
$\bullet$ Paimkite kokį nors neneigiamą skaičių $a$ (ty $a\geqslant 0$ ). Tada (aritmetika) kvadratinė šaknis iš skaičiaus $a$ vadinamas toks neneigiamas skaičius $b$, sudėjus jį kvadratu gauname skaičių $a$ : \[\sqrt a=b\quad \text(tas pats kaip )\quad a=b^2\] Iš apibrėžimo išplaukia, kad $a\geqslant 0, b\geqslant 0$. Šie apribojimai yra svarbi sąlyga kvadratinės šaknies egzistavimą ir juos reikia atsiminti!
Prisiminkite, kad bet koks skaičius kvadratu duoda neneigiamą rezultatą. Tai yra, $100^2=10000\geqslant 0$ ir $(-100)^2=10000\geqslant 0$ .
$\bullet$ Kas yra $\sqrt(25)$? Žinome, kad $5^2=25$ ir $(-5)^2=25$ . Kadangi pagal apibrėžimą turime rasti neneigiamą skaičių, $-5$ netinka, taigi $\sqrt(25)=5$ (nes $25=5^2$ ).
Reikšmės $\sqrt a$ radimas vadinamas kvadratine šaknimis iš skaičiaus $a$, o skaičius $a$ vadinamas šaknies išraiška.
$\bullet$ Remiantis apibrėžimu, išraiškos $\sqrt(-25)$ , $\sqrt(-4)$ ir kt. neturi prasmės.

2 faktas.
Dėl greitas skaičiavimas bus naudinga išmokti natūraliųjų skaičių nuo $1$ iki $20$ kvadratų lentelę: \[\begin(masyvas)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(masyvas)\]

3 faktas.
Ką galima padaryti su kvadratinėmis šaknimis?
$\bullet$ Kvadratinių šaknų suma arba skirtumas NĖRA LYGI sumos ar skirtumo kvadratinei šakniai, t.y. \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Taigi, jei reikia apskaičiuoti, pavyzdžiui, $\sqrt(25)+\sqrt(49)$ , tada iš pradžių turite rasti reikšmes $\sqrt(25)$ ir $\sqrt (49)\ ) ir sudėkite juos. Vadinasi, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Jei reikšmių \(\sqrt a$ arba $\sqrt b$ nepavyksta rasti pridedant $\sqrt a+\sqrt b$, tada tokia išraiška toliau nekonvertuojama ir lieka tokia, kokia yra. Pavyzdžiui, sumoje $\sqrt 2+ \sqrt (49)$ galime rasti $\sqrt(49)$ - tai yra $7$ , bet $\sqrt 2$ negali būti bet kokiu būdu konvertuoti, Štai kodėl $\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7$. Be to, šio posakio, deja, jokiu būdu negalima supaprastinti.$\bullet$ Kvadratinių šaknų sandauga/dalinys yra lygus sandaugos/dalinio kvadratinei šakniai, t.y. \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (su sąlyga, kad abi lygybių dalys turi prasmę)
Pavyzdys: $\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8$; $\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16$; $\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40$. $\bullet$ Naudojant šias savybes patogu rasti kvadratines šaknis dideli skaičiai juos faktorinuojant.
Apsvarstykite pavyzdį. Raskite $\sqrt(44100)$ . Nuo $44100:100=441$ , tada $44100=100\cdot 441$ . Pagal dalijimosi kriterijų skaičius $441$ dalijasi iš $9$ (nes jo skaitmenų suma yra 9 ir dalijasi iš 9), todėl $441:9=49$ , tai yra, $441=9\ cdot 49$ .
Taigi, mes gavome: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Pažvelkime į kitą pavyzdį: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
$\bullet$ Parodykime, kaip įvesti skaičius po kvadratinės šaknies ženklu, naudojant reiškinio $5\sqrt2$ pavyzdį (išreiškimo $5\cdot \sqrt2$ trumpinys). Kadangi $5=\sqrt(25)$ , tada \ Taip pat atkreipkite dėmesį, kad pvz.
1) $\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2$ ,
2) $5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3$
3) $\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a$ .

Kodėl taip? Paaiškinkime 1 pavyzdžiu). Kaip jau supratote, negalime kažkaip konvertuoti skaičiaus $\sqrt2$ . Įsivaizduokite, kad $\sqrt2$ yra koks nors skaičius $a$ . Atitinkamai, išraiška $\sqrt2+3\sqrt2$ yra ne kas kita, kaip $a+3a$ (vienas skaičius $a$ ir dar trys tokie patys skaičiai $a$ ). Ir mes žinome, kad tai lygu keturiems tokiems skaičiams $a$ , tai yra $4\sqrt2$ .

4 faktas.
$\bullet$ Dažnai sakoma „negalima išgauti šaknies“, kai surandant kokio nors skaičiaus reikšmę neįmanoma atsikratyti šaknies (radikalo) ženklo $\sqrt () \ $. Pavyzdžiui, skaičių $16$ galite šakninti, nes $16=4^2$ , taigi $\sqrt(16)=4$ . Tačiau iš skaičiaus $3$ ištraukti šaknį, tai yra, rasti $\sqrt3$ , neįmanoma, nes nėra tokio skaičiaus, kuris kvadratu gautų $3$ .
Tokie skaičiai (arba išraiškos su tokiais skaičiais) yra neracionalūs. Pavyzdžiui, skaičiai $\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)$ ir tt yra neracionalūs.
Taip pat neracionalūs yra skaičiai $\pi$ (skaičius „pi“, maždaug lygus $3,14$ ), $e$ (šis skaičius vadinamas Eilerio skaičiumi, apytiksliai lygus $2 ,7$ ) ir kt.
$\bullet$ Atminkite, kad bet kuris skaičius bus racionalus arba neracionalus. Ir kartu viskas racionalu ir viskas neracionalūs skaičiai sudaryti rinkinį, vadinamą realiųjų (tikrųjų) skaičių rinkinys.Šis rinkinys žymimas raide $\mathbb(R)$ .
Tai reiškia, kad visi skaičiai, kurie yra Šis momentasžinome, kad jie vadinami tikraisiais skaičiais.

5 faktas.
$\bullet$ Realiojo skaičiaus modulis $a$ yra neneigiamas skaičius $|a|$, lygus atstumui nuo taško $a$ iki $0$ realiame lange linija. Pavyzdžiui, $|3|$ ir $|-3|$ yra lygūs 3, nes atstumai nuo taškų $3$ ir $-3$ iki $0$ yra tas pats ir lygus $3 $ .
$\bullet$ Jei $a$ yra neneigiamas skaičius, tada $|a|=a$ .
Pavyzdys: $|5|=5$ ; $\qquad |\sqrt2|=\sqrt2$ . $\bullet$ Jei $a$ yra neigiamas skaičius, tada $|a|=-a$ .
Pavyzdys: $|-5|=-(-5)=5$ ; $\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3$.
Jie sako, kad neigiamų skaičių atveju modulis „suvalgo“ minusą, o teigiamus skaičius, taip pat skaičių $0$ , modulis palieka nepakitęs.
BETši taisyklė taikoma tik skaičiams. Jei po modulio ženklu turite nežinomą $x$ (ar kitą nežinomą), pvz., $|x|$ , apie kurį mes nežinome, ar jis teigiamas, lygus nuliui ar neigiamas, tada atsikratyti modulio negalime. Šiuo atveju ši išraiška išlieka tokia: $|x|$ . $\bullet$ Galioja šios formulės: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( pateikta ) a\geqslant 0\] Dažnai daroma tokia klaida: sakoma, kad $\sqrt(a^2)$ ir $(\sqrt a)^2$ yra tas pats dalykas. Tai galioja tik tada, kai $a$ yra teigiamas skaičius arba nulis. Bet jei $a$ yra neigiamas skaičius, tai netiesa. Pakanka apsvarstyti tokį pavyzdį. Paimkime skaičių $-1$ vietoj $a$. Tada $\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1$ , bet išraiška $(\sqrt (-1))^2$ iš viso neegzistuoja (nes ji yra neįmanoma po šaknies ženklu įveskite neigiamus skaičius!).
Todėl atkreipiame jūsų dėmesį į tai, kad $\sqrt(a^2)$ nėra lygus $(\sqrt a)^2$ ! Pavyzdys: 1) $\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2$, nes $-\sqrt2<0$ ;

$\phantom(00000)$ 2) $(\sqrt(2))^2=2$ . $\bullet$ Kadangi $\sqrt(a^2)=|a|$ , tada \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (išraiška $2n$ reiškia lyginį skaičių)
Tai reiškia, kad išimant šaknį iš skaičiaus, kuris yra tam tikru laipsniu, šis laipsnis sumažinamas perpus.
Pavyzdys:
1) $\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64$
2) $\sqrt((-25)^2)=|-25|=25$ (atkreipkite dėmesį, kad jei modulis nenustatytas, paaiškėja, kad skaičiaus šaknis yra lygi $-25) $ ; bet mes prisimename , kuri pagal šaknies apibrėžimą taip negali būti: ištraukdami šaknį visada turime gauti teigiamą skaičių arba nulį)
3) $\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8$ (kadangi bet koks skaičius iki lyginio laipsnio yra neneigiamas)

6 faktas.
Kaip palyginti dvi kvadratines šaknis?
$\bullet$ Tiesa kvadratinėms šaknims: jei $\sqrt a<\sqrt b$ , то $aPavyzdys:
1) palyginkite \(\sqrt(50)$ ir $6\sqrt2$ . Pirma, antrąją išraišką paverčiame į $\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)$. Taigi, nuo $50<72$ , то и $\sqrt{50}<\sqrt{72}$ . Следовательно, $\sqrt{50}<6\sqrt2$ .
2) Tarp kurių sveikųjų skaičių yra $\sqrt(50)$ ?
Nuo $\sqrt(49)=7$ , $\sqrt(64)=8$ ir $49<50<64$ , то $7<\sqrt{50}<8$ , то есть число $\sqrt{50}$ находится между числами $7$ и $8$ .
3) Palyginkite $\sqrt 2-1$ ir $0,5$ . Tarkime $\sqrt2-1>0,5$ : \[\begin(sulygiuotas) &\sqrt 2-1>0,5 \ \big| +1\quad \text((pridėkite po vieną prie abiejų pusių))\\ &\sqrt2>0,5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((abi dalis kvadratu))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end (sulygiuotas)\] Matome, kad gavome neteisingą nelygybę. Todėl mūsų prielaida buvo klaidinga ir $\sqrt 2-1<0,5$ .
Atkreipkite dėmesį, kad tam tikro skaičiaus pridėjimas prie abiejų nelygybės pusių neturi įtakos jos ženklui. Abiejų nelygybės dalių padauginimas/dalinimas iš teigiamo skaičiaus taip pat neturi įtakos jos ženklui, tačiau padauginus/dalijus iš neigiamo skaičiaus nelygybės ženklas apverčiamas!
Abi lygties/nelygybės pusės gali būti pakeltos kvadratu TIK JEI abi pusės yra neneigiamos. Pavyzdžiui, nelygybėje iš ankstesnio pavyzdžio galite kvadratuoti abi puses, nelygybėje $-3<\sqrt2$ нельзя (убедитесь в этом сами)! $\bullet$ Atkreipkite dėmesį \[\begin (sulygiuotas) &\sqrt 2\apytiksliai 1,4\\ &\sqrt 3\apytiksliai 1,7 \pabaiga (sulygiuotas)\] Apytikslės šių skaičių reikšmės žinojimas padės lyginant skaičius! $\bullet$ Norėdami išgauti šaknį (jei ji išskirta) iš kokio nors didelio skaičiaus, kurio nėra kvadratų lentelėje, pirmiausia turite nustatyti, tarp kurių „šimtų“ jis yra, tada tarp kurių „dešimties“, ir tada nustatykite paskutinį šio skaičiaus skaitmenį. Parodykime, kaip tai veikia pavyzdžiu.
Paimkite $\sqrt(28224)$ . Žinome, kad $100^2=10\,000$ , $200^2=40\,000$ ir pan. Atminkite, kad $28224$ yra tarp $10\,000$ ir $40\,000$ . Todėl $\sqrt(28224)$ yra tarp $100$ ir $200$ .
Dabar nustatykime, tarp kurių „dešimties“ yra mūsų skaičius (ty, pavyzdžiui, tarp $120$ ir $130$ ). Iš kvadratų lentelės taip pat žinome, kad $11^2=121$ , $12^2=144$ ir kt., tada $110^2=12100$ , $120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900$ , $140^2=19600$ , $150^2=22500$ , $160^2=25600$ , $170^2=28900 $ ). Taigi matome, kad $28224$ yra tarp $160^2$ ir $170^2$ . Todėl skaičius $\sqrt(28224)$ yra tarp $160$ ir $170$ .
Pabandykime nustatyti paskutinį skaitmenį. Prisiminkime, kokius vienaženklius skaičius kvadratu duoda pabaigoje \ (4 \) ? Tai yra $2^2$ ir $8^2$ . Todėl $\sqrt(28224)$ baigsis 2 arba 8. Patikrinkime tai. Raskite $162^2$ ir $168^2$ :
$162^2=162\cdot 162=26224$
$168^2=168\cdot 168=28224$ .
Taigi $\sqrt(28224)=168$ . Voila!

Norint tinkamai išspręsti matematikos egzaminą, pirmiausia reikia išstudijuoti teorinę medžiagą, kurioje pateikiama daugybė teoremų, formulių, algoritmų ir kt. Iš pirmo žvilgsnio gali pasirodyti, kad tai gana paprasta. Tačiau rasti šaltinį, kuriame vieningo valstybinio matematikos egzamino teorija būtų lengvai ir suprantamai pateikta bet kokio pasirengimo mokiniams, iš tikrųjų yra gana nelengva užduotis. Mokykliniai vadovėliai ne visada gali būti po ranka. O rasti pagrindines matematikos egzamino formules gali būti sunku net internete.

Kodėl matematikos teoriją taip svarbu mokytis ne tik tiems, kurie laiko egzaminą?

Nes tai praplečia akiratį. Matematikos teorinės medžiagos studijavimas naudingas kiekvienam, norinčiam gauti atsakymus į įvairiausius klausimus, susijusius su pasaulio pažinimu. Gamtoje viskas sutvarkyta ir turi aiškią logiką. Būtent tai atsispindi moksle, per kurį galima suprasti pasaulį.
Nes lavina intelektą. Studijuodamas matematikos egzamino informacinę medžiagą, taip pat spręsdamas įvairias problemas, žmogus išmoksta logiškai mąstyti ir mąstyti, teisingai ir aiškiai formuluoti mintis. Jis ugdo gebėjimą analizuoti, apibendrinti, daryti išvadas.

Kviečiame asmeniškai įvertinti visus mūsų požiūrio į mokomosios medžiagos sisteminimą ir pateikimą privalumus.

Matematika gimė tada, kai žmogus suvokė save ir pradėjo save pozicionuoti kaip savarankišką pasaulio vienetą. Noras matuoti, lyginti, apskaičiuoti tai, kas tave supa, yra vienas iš pagrindinių mūsų dienų mokslų. Iš pradžių tai buvo elementarios matematikos dalelės, kurios leido skaičius susieti su jų fizinėmis išraiškomis, vėliau išvados pradėtos pateikti tik teoriškai (dėl jų abstraktumo), tačiau po kurio laiko, kaip teigė vienas mokslininkas, „ matematika pasiekė sudėtingumo lubas, kai visi skaičiai. „Kvadratinės šaknies“ sąvoka atsirado tuo metu, kai ją buvo galima lengvai paremti empiriniais duomenimis, peržengiančiais skaičiavimų plokštumą.

Kaip viskas prasidėjo

Pirmasis šaknies, kuri šiuo metu žymima √, paminėjimas buvo užfiksuotas Babilono matematikų, padėjusių pagrindą šiuolaikinei aritmetikai, raštuose. Žinoma, jos atrodė šiek tiek panašios į dabartinę formą – tų metų mokslininkai pirmą kartą panaudojo stambias tabletes. Tačiau antrajame tūkstantmetyje pr. e. jie sugalvojo apytikslę skaičiavimo formulę, kuri parodė, kaip imti kvadratinę šaknį. Žemiau esančioje nuotraukoje pavaizduotas akmuo, ant kurio Babilono mokslininkai išraižė išvesties procesą √2, ir jis pasirodė toks teisingas, kad neatitikimas atsakyme buvo rastas tik dešimtosiose dešimtosiose.

Be to, šaknis buvo naudojama, jei reikėjo rasti trikampio kraštinę, jei žinomos kitos dvi. Na, o sprendžiant kvadratines lygtis nepabėgsi nuo šaknies ištraukimo.

Kartu su babiloniečių darbais straipsnio objektas buvo tiriamas ir kinų veikale „Matematika devyniose knygose“, o senovės graikai priėjo prie išvados, kad bet koks skaičius, iš kurio šaknis neišgaunama be liekanos, duoda neracionalų rezultatą. .

Šio termino kilmė siejama su arabišku skaičiaus vaizdu: senovės mokslininkai tikėjo, kad savavališko skaičiaus kvadratas išauga iš šaknies, kaip augalas. Lotyniškai šis žodis skamba kaip radix (galima atsekti šabloną – viskas, kas turi „šaknies“ semantinę apkrovą, yra priebalsė, ar tai ridikas, ar išialgija).

Vėlesnių kartų mokslininkai pasirinko šią idėją ir pavadino ją Rx. Pavyzdžiui, XV amžiuje, norėdami nurodyti, kad kvadratinė šaknis paimta iš savavališko skaičiaus a, jie parašė R 2 a. Šiuolaikinei išvaizdai pažįstama „erkė“ √ Rene Descarteso dėka atsirado tik XVII amžiuje.

Mūsų dienos

Matematiškai y kvadratinė šaknis yra skaičius z, kurio kvadratas yra y. Kitaip tariant, z 2 =y yra lygiavertis √y=z. Tačiau šis apibrėžimas yra svarbus tik aritmetinei šaknei, nes jis reiškia neneigiamą išraiškos reikšmę. Kitaip tariant, √y=z, kur z yra didesnis arba lygus 0.

Apskritai, kuri galioja nustatant algebrinę šaknį, išraiškos reikšmė gali būti teigiama arba neigiama. Taigi, dėl to, kad z 2 =y ir (-z) 2 =y, gauname: √y=±z arba √y=|z|.

Dėl to, kad meilė matematikai tik stiprėjo tobulėjant mokslui, atsiranda įvairių meilės jai apraiškų, neišreikštų sausais skaičiavimais. Pavyzdžiui, kartu su tokiais įdomiais renginiais kaip Pi diena, švenčiamos ir kvadratinės šaknies šventės. Jos švenčiamos devynis kartus per šimtą metų ir nustatomos pagal tokį principą: dieną ir mėnesį eilės tvarka žymintys skaičiai turi būti metų kvadratinė šaknis. Taigi kitą kartą ši šventė bus švenčiama 2016 metų balandžio 4 dieną.

Kvadratinės šaknies savybės lauke R

Beveik visos matematinės išraiškos turi geometrinį pagrindą, šis likimas nepraėjo ir √y, kuris apibrėžiamas kaip kvadrato, kurio plotas y, kraštinė.

Kaip rasti skaičiaus šaknį?

Yra keli skaičiavimo algoritmai. Paprasčiausias, bet tuo pat metu gana sudėtingas yra įprastas aritmetinis skaičiavimas, kuris yra toks:

1) iš skaičiaus, kurio šaknies mums reikia, paeiliui atimami nelyginiai skaičiai - tol, kol likusi išvesties dalis yra mažesnė už atimtą vienetą arba net lygi nuliui. Judėjimų skaičius ilgainiui taps norimu skaičiumi. Pavyzdžiui, apskaičiuojant kvadratinę šaknį iš 25:

Kitas nelyginis skaičius yra 11, likusioji dalis yra: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

Tokiais atvejais yra Taylor serijos išplėtimas:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , kur n įgauna reikšmes nuo 0 iki

+∞ ir |y|≤1.

Grafinis funkcijos z=√y pavaizdavimas

Apsvarstykite elementariąją funkciją z=√y realiųjų skaičių R lauke, kur y yra didesnis arba lygus nuliui. Jos diagrama atrodo taip:

Kreivė auga nuo pradžios ir būtinai kerta tašką (1; 1).

Funkcijos z=√y savybės realiųjų skaičių R lauke

1. Nagrinėjamos funkcijos apibrėžimo sritis yra intervalas nuo nulio iki plius begalybės (nulis įtraukiamas).

2. Nagrinėjamos funkcijos reikšmių diapazonas yra intervalas nuo nulio iki plius begalybės (vėl įtraukiamas nulis).

3. Funkcija įgauna mažiausią reikšmę (0) tik taške (0; 0). Maksimalios vertės nėra.

4. Funkcija z=√y nėra nei lyginė, nei nelyginė.

5. Funkcija z=√y nėra periodinė.

6. Yra tik vienas funkcijos z=√y grafiko susikirtimo taškas su koordinačių ašimis: (0; 0).

7. Funkcijos z=√y grafiko susikirtimo taškas yra ir šios funkcijos nulis.

8. Funkcija z=√y nuolat auga.

9. Funkcija z=√y turi tik teigiamas reikšmes, todėl jos grafikas užima pirmąjį koordinačių kampą.

Funkcijos z=√y rodymo parinktys

Matematikoje, kad būtų lengviau skaičiuoti sudėtingas išraiškas, kartais naudojama kvadratinės šaknies rašymo galios forma: √y=y 1/2. Ši parinktis yra patogi, pavyzdžiui, pakeliant funkciją į laipsnį: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2 . Šis metodas taip pat yra geras diferencijavimo su integravimu vaizdavimas, nes jo dėka kvadratinė šaknis yra pavaizduota įprasta galios funkcija.

O programuojant simbolio √ pakaitalas yra raidžių derinys sqrt.

Verta paminėti, kad šioje srityje kvadratinė šaknis yra labai paklausi, nes ji yra daugelio skaičiavimams reikalingų geometrinių formulių dalis. Pats skaičiavimo algoritmas yra gana sudėtingas ir pagrįstas rekursija (funkcija, kuri iškviečia save).

Kvadratinė šaknis kompleksiniame lauke C

Apskritai, šio straipsnio tema paskatino atrasti kompleksinių skaičių C lauką, nes matematikus persekiojo klausimas, kaip iš neigiamo skaičiaus gauti lyginę laipsnio šaknį. Taip atsirado įsivaizduojamas vienetas i, kuriam būdinga labai įdomi savybė: jo kvadratas yra -1. Dėl to kvadratinės lygtys ir su neigiamu diskriminantu gavo sprendimą. C, kvadratinei šakniai, svarbios tos pačios savybės kaip ir R, vienintelis dalykas yra tai, kad pašalinami šaknies išraiškos apribojimai.