Užbaikite sumažintą kvadratinę lygtį. Internetinis skaičiuotuvas. Kvadratinės lygties sprendimas

Ši tema iš pradžių gali pasirodyti sudėtinga dėl daugybės ne tokių paprastų formulių. Ne tik pačios kvadratinės lygtys turi ilgus įrašus, bet ir šaknys randamos per diskriminantą. Iš viso yra trys naujos formulės. Nelabai lengva prisiminti. Tai įmanoma tik dažnai sprendžiant tokias lygtis. Tada visos formulės įsimins pačios.

Bendras kvadratinės lygties vaizdas

Čia siūlomas jų aiškus žymėjimas, kai pirmiausia rašomas didžiausias laipsnis, o po to - mažėjančia tvarka. Dažnai pasitaiko situacijų, kai terminai skiriasi. Tada geriau perrašyti lygtį kintamojo laipsnio mažėjimo tvarka.

Pristatykime žymėjimą. Jie pateikiami toliau esančioje lentelėje.

Jei priimsime šiuos žymėjimus, visos kvadratinės lygtys bus sumažintos iki tokio žymėjimo.

Be to, koeficientas a ≠ 0. Ši formulė žymima skaičiumi vienu.

Pateikus lygtį neaišku, kiek šaknų bus atsakyme. Kadangi visada galimas vienas iš trijų variantų:

• tirpalas turės dvi šaknis;
• atsakymas bus vienas skaičius;
• Lygtis iš viso neturi šaknų.

Ir nors sprendimas neprieinamas iki galo, sunku suprasti, kuris iš variantų konkrečiu atveju iškris.

Kvadratinių lygčių įrašų tipai

Užduotys gali turėti skirtingus įrašus. Jie ne visada atrodys kaip bendra kvadratinės lygties formulė. Kartais pritrūks kai kurių terminų. Tai, kas buvo parašyta aukščiau, yra visa lygtis. Jei pašalinsite antrą ar trečią terminą, gausite kažką kito. Šie įrašai dar vadinami kvadratinėmis lygtimis, tik nepilnais.

Be to, gali išnykti tik tie terminai, kurių koeficientai „b“ ir „c“. Skaičius „a“ jokiomis aplinkybėmis negali būti lygus nuliui. Nes tokiu atveju formulė virsta tiesine lygtimi. Neišsamios lygčių formos formulės bus tokios:

Taigi, yra tik dviejų tipų, be pilnųjų, yra ir nepilnų kvadratinių lygčių. Tegul pirmoji formulė yra numeris du, o antroji - trys.

Diskriminantas ir šaknų skaičiaus priklausomybė nuo jo vertės

Šis skaičius turi būti žinomas, kad būtų galima apskaičiuoti lygties šaknis. Jį visada galima apskaičiuoti, nesvarbu, kokia būtų kvadratinės lygties formulė. Norėdami apskaičiuoti diskriminantą, turite naudoti žemiau parašytą lygybę, kuri turės skaičių keturi.

Pakeitę koeficientų reikšmes į šią formulę, galite gauti skaičius su skirtingais ženklais. Jei atsakymas yra taip, tada lygties atsakymas bus dvi skirtingos šaknys. Esant neigiamam skaičiui, kvadratinės lygties šaknų nebus. Jei jis lygus nuliui, atsakymas bus vienas.

Kaip išsprendžiama visa kvadratinė lygtis?

Tiesą sakant, šis klausimas jau pradėtas svarstyti. Nes pirmiausia reikia rasti diskriminantą. Išaiškinus, kad yra kvadratinės lygties šaknys ir žinomas jų skaičius, reikia naudoti kintamųjų formules. Jei yra dvi šaknys, tuomet reikia taikyti tokią formulę.

Kadangi jame yra ženklas „±“, bus dvi reikšmės. Po kvadratinės šaknies ženklu esanti išraiška yra diskriminantas. Todėl formulę galima perrašyti kitaip.

Formulė penkta. Iš to paties įrašo matyti, kad jei diskriminantas yra nulis, tada abi šaknys įgis tokias pačias reikšmes.

Jei kvadratinių lygčių sprendimas dar nebuvo parengtas, tada prieš taikant diskriminacines ir kintamąsias formules geriau užsirašyti visų koeficientų reikšmes. Vėliau šis momentas nesukels sunkumų. Tačiau pačioje pradžioje kyla painiava.

Kaip sprendžiama nepilna kvadratinė lygtis?

Čia viskas daug paprasčiau. Net nereikia papildomų formulių. Ir nereikės tų, kurie jau parašyti diskriminantui ir nežinomam.

Pirma, apsvarstykite nepilną lygtį numeris du. Šioje lygybėje iš skliaustų reikia išimti nežinomą reikšmę ir išspręsti tiesinę lygtį, kuri liks skliausteliuose. Atsakymas turės dvi šaknis. Pirmasis būtinai lygus nuliui, nes yra faktorius, susidedantis iš paties kintamojo. Antrasis gaunamas sprendžiant tiesinę lygtį.

Nebaigta lygtis, esanti skaičiumi trys, išspręsta perkeliant skaičių iš kairės lygties pusės į dešinę. Tada reikia padalyti iš koeficiento prieš nežinomąjį. Belieka tik ištraukti kvadratinę šaknį ir nepamiršti jos užsirašyti du kartus priešingais ženklais.

Toliau pateikiami keli veiksmai, padedantys išmokti išspręsti visų rūšių lygybes, kurios virsta kvadratinėmis lygtimis. Jie padės mokiniui išvengti klaidų dėl neatidumo. Šie trūkumai yra prastų pažymių priežastis studijuojant plačią temą „Kvadratinės lygtys (8 klasė)“. Vėliau šių veiksmų nereikės nuolat atlikti. Nes bus stabilus įprotis.

• Pirmiausia turite parašyti lygtį standartine forma. Tai yra, pirmiausia terminas su didžiausiu kintamojo laipsniu, o tada - be laipsnio, o paskutinis - tik skaičius.

• Jei prieš koeficientą „a“ atsiranda minusas, tai gali apsunkinti pradedančiajam studijuoti kvadratines lygtis. Geriau jo atsikratyti. Šiuo tikslu visa lygybė turi būti padauginta iš „-1“. Tai reiškia, kad visi terminai pakeis ženklą į priešingą.

• Lygiai taip pat rekomenduojama atsikratyti frakcijų. Tiesiog padauginkite lygtį iš atitinkamo koeficiento, kad vardikliai panaikintų.

Pavyzdžiai

Būtina išspręsti šias kvadratines lygtis:

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2).

Pirmoji lygtis: x 2 - 7x \u003d 0. Ji neišsami, todėl sprendžiama taip, kaip aprašyta formulėje numeris antroji.

Po skliaustų pasirodo: x (x - 7) \u003d 0.

Pirmoji šaknis įgauna reikšmę: x 1 \u003d 0. Antroji bus rasta iš tiesinės lygties: x - 7 \u003d 0. Nesunku pastebėti, kad x 2 = 7.

Antroji lygtis: 5x2 + 30 = 0. Vėlgi nepilna. Tik ji išspręsta taip, kaip aprašyta trečiojoje formulėje.

Perkėlus 30 į dešinę lygties pusę: 5x 2 = 30. Dabar reikia padalyti iš 5. Pasirodo: x 2 = 6. Atsakymai bus skaičiai: x 1 = √6, x 2 = - √ 6.

Trečioji lygtis: 15 - 2x - x 2 \u003d 0. Čia ir žemiau kvadratinių lygčių sprendimas prasidės perrašant jas į standartinę formą: - x 2 - 2x + 15 \u003d 0. Dabar atėjo laikas naudoti antrąją naudingas patarimas ir viską padauginkite iš minus vieno . Pasirodo x 2 + 2x - 15 \u003d 0. Pagal ketvirtąją formulę reikia apskaičiuoti diskriminantą: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64. Tai yra teigiamas skaičius. Iš to, kas pasakyta aukščiau, paaiškėja, kad lygtis turi dvi šaknis. Juos reikia skaičiuoti pagal penktąją formulę. Pagal jį paaiškėja, kad x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2. Tada x 1 \u003d 3, x 2 \u003d - 5.

Ketvirtoji lygtis x 2 + 8 + 3x \u003d 0 paverčiama taip: x 2 + 3x + 8 \u003d 0. Jos diskriminantas yra lygus šiai reikšmei: -23. Kadangi šis skaičius yra neigiamas, atsakymas į šią užduotį bus toks: „Šaknų nėra“.

Penktąją lygtį 12x + x 2 + 36 = 0 reikia perrašyti taip: x 2 + 12x + 36 = 0. Pritaikius diskriminanto formulę, gaunamas skaičius nulis. Tai reiškia, kad jis turės vieną šaknį, būtent: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6.

Šeštoji lygtis (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) reikalauja transformacijų, kurios susideda iš to, kad prieš atidarant skliaustus reikia pateikti panašius terminus. Vietoj pirmojo bus tokia išraiška: x 2 + 2x + 1. Po lygybės pasirodys šis įrašas: x 2 + 3x + 2. Suskaičiavus panašius narius, lygtis bus tokia forma: x 2 - x \u003d 0. Jis tapo neužbaigtas . Panašus į jį jau buvo laikomas šiek tiek didesnis. To šaknys bus skaičiai 0 ir 1.

Diskriminantas yra dviprasmiškas terminas. Šiame straipsnyje daugiausia dėmesio bus skiriama daugianario diskriminantui, kuris leidžia nustatyti, ar tam tikras daugianomas turi realius sprendimus. Kvadratinio daugianario formulė randama mokykliniame algebros ir analizės kurse. Kaip rasti diskriminantą? Ko reikia lygčiai išspręsti?

Vadinamas kvadratinis daugianomas arba antrojo laipsnio lygtis i * w ^ 2 + j * w + k lygus 0, kur "i" ir "j" yra atitinkamai pirmasis ir antrasis koeficientai, "k" yra konstanta, kartais vadinama "pertrauka" ir "w" yra kintamasis. Jo šaknys bus visos kintamojo, kuriam esant jis virsta tapatybe, reikšmės. Tokią lygybę galima perrašyti kaip i, (w - w1) ir (w - w2) sandaugą, lygią 0. Šiuo atveju akivaizdu, kad jei koeficientas "i" neišnyksta, tada funkcija kairioji pusė taps nuliu tik tada, jei x įgis reikšmę w1 arba w2. Šios reikšmės yra polinomo nustatymo į nulį rezultatas.

Norint rasti kintamojo, kuriam esant kvadratinis daugianomas išnyksta, reikšmę, naudojama pagalbinė konstrukcija, pagrįsta jos koeficientais ir vadinama diskriminantu. Ši konstrukcija apskaičiuojama pagal formulę D lygi j * j - 4 * i * k. Kodėl jis naudojamas?

1. Ji sako, jei yra tinkamų rezultatų.
2. Ji padeda juos apskaičiuoti.

Kaip ši vertė parodo tikrų šaknų buvimą:

• Jei jis teigiamas, realiųjų skaičių srityje galite rasti dvi šaknis.
• Jei diskriminantas lygus nuliui, tai abu sprendiniai yra vienodi. Galima sakyti, kad yra tik vienas sprendimas, ir jis yra iš realiųjų skaičių srities.
• Jei diskriminantas yra mažesnis už nulį, tai daugianomas neturi tikrųjų šaknų.

Medžiagos tvirtinimo skaičiavimo galimybės

Jei suma (7 * w^2; 3 * w; 1) lygi 0 D apskaičiuojame pagal formulę 3 * 3 - 4 * 7 * 1 = 9 - 28 gauname -19. Diskriminacinė reikšmė žemiau nulio rodo, kad realioje eilutėje rezultatų nėra.

Jei laikysime 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1, atitinkančius 0, tada D apskaičiuojamas kaip (-3) kvadratas atėmus skaičių sandaugą (4; 2; 1) ir yra lygus 9 - 8, tai yra, 1. Teigiama reikšmė rodo du realiosios linijos rezultatus.

Jei imsime sumą (w^2; 2 * w; 1) ir prilygsime 0, D apskaičiuojamas kaip du kvadratai atėmus skaičių sandaugą (4; 1; 1). Ši išraiška supaprastės iki 4–4 ir pavirs iki nulio. Pasirodo, rezultatai tokie patys. Jei atidžiai pažvelgsite į šią formulę, paaiškės, kad tai yra „pilnas kvadratas“. Tai reiškia, kad lygybę galima perrašyti į formą (w + 1) ^ 2 = 0. Tapo akivaizdu, kad šios problemos rezultatas yra „-1“. Esant situacijai, kai D lygus 0, kairę lygybės pusę visada galima sutraukti pagal formulę „sumos kvadratas“.

Diskriminanto naudojimas šaknims apskaičiuoti

Ši pagalbinė konstrukcija ne tik parodo realių sprendimų skaičių, bet ir padeda juos rasti. Bendra antrojo laipsnio lygties apskaičiavimo formulė yra tokia:

w = (-j +/- d) / (2 * i), kur d yra 1/2 laipsnio diskriminantas.

Tarkime, kad diskriminantas yra žemiau nulio, tada d yra įsivaizduojamas, o rezultatai yra įsivaizduojami.

D yra nulis, tada d lygus D laipsniui 1/2 taip pat yra nulis. Sprendimas: -j / (2 * i). Dar kartą įvertinę 1 * w ^ 2 + 2 * w + 1 = 0, rasime rezultatus, lygiaverčius -2 / (2 * 1) = -1.

Tarkime, D > 0, taigi d yra tikrasis skaičius, o atsakymas čia padalijamas į dvi dalis: w1 = (-j + d) / (2 * i) ir w2 = (-j - d) / (2 * i) . Abu rezultatai galios. Pažiūrėkime į 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 = 0. Čia diskriminantas ir d yra vienetai. Taigi w1 yra (3 + 1) padalintas iš (2 * 2) arba 1, o w2 yra (3 - 1) padalintas iš 2 * 2 arba 1/2.

Kvadratinės išraiškos prilyginimo nuliui rezultatas apskaičiuojamas pagal algoritmą:

1. Galiojančių sprendimų skaičiaus nustatymas.
2. Skaičiavimas d = D^(1/2).
3. Rezultato radimas pagal formulę (-j +/- d) / (2 * i).
4. Gauto rezultato pakeitimas pradine lygybe čekiu.

Kai kurie ypatingi atvejai

Atsižvelgiant į koeficientus, sprendimas gali būti šiek tiek supaprastintas. Akivaizdu, kad jei koeficientas prieš kintamąjį iki antrosios laipsnio yra lygus nuliui, tada gaunama tiesinė lygybė. Kai koeficientas prieš kintamąjį yra lygus nuliui iki pirmosios laipsnio, galimi du variantai:

1. daugianaris išsiplečia į kvadratų skirtumą su neigiamu laisvuoju nariu;
2. teigiamai konstantai realių sprendimų rasti nepavyksta.

Jei laisvasis narys yra nulis, tada šaknys bus (0; -j)

Tačiau yra ir kitų ypatingų atvejų, kurie supaprastina sprendimo paiešką.

Sumažinta antrojo laipsnio lygtis

Duota vadinama toks kvadratinis trinaris, kur koeficientas prieš didžiausią narį yra vienas. Šiai situacijai taikytina Vieta teorema, kuri sako, kad šaknų suma yra lygi kintamojo koeficientui iki pirmosios laipsnio, padaugintam iš -1, o sandauga atitinka konstantą "k".

Todėl w1 + w2 yra lygus -j, o w1 * w2 lygus k, jei pirmasis koeficientas yra vienas. Norėdami patikrinti tokio vaizdavimo teisingumą, galime išreikšti w2 = -j - w1 iš pirmosios formulės ir pakeisti ją į antrąją lygybę w1 * (-j - w1) = k. Rezultatas yra pradinė lygybė w1 ^ 2 + j * w1 + k = 0.

Svarbu pažymėti kad i * w ^ 2 + j * w + k = 0 galima sumažinti padalijus iš "i". Rezultatas bus toks: w^2 + j1 * w + k1 = 0, kur j1 lygus j/i, o k1 lygus k/i.

Pažiūrėkime į jau išspręstą 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 = 0 su rezultatais w1 = 1 ir w2 = 1/2. Reikia padalyti per pusę, ko pasekoje w ^ 2 - 3/2 * w + 1/2 = 0. Patikrinkime, ar rastiems rezultatams teisingos teoremos sąlygos: 1 + 1/2 = 3/2 ir 1 * 1/2 = 1/2.

Net antrasis veiksnys

Jei kintamojo koeficientas iki pirmosios laipsnio (j) dalijasi iš 2, tada bus galima supaprastinti formulę ir ieškoti sprendimo per ketvirtadalį diskriminanto D / 4 \u003d (j / 2) ^ 2 - i * k. pasirodo w = (-j +/- d/2) / i, kur d/2 = D/4 iki 1/2 laipsnio.

Jei i = 1, o koeficientas j lygus, tada sprendimas yra sandauga iš -1 ir pusės koeficiento kintamajame w, plius/atėmus šios pusės kvadrato šaknį, atėmus konstantą "k". Formulė: w = -j / 2 +/- (j ^ 2 / 4 - k) ^ 1/2.

Aukštesnės eilės diskriminatorius

Aukščiau aptartas antrojo laipsnio diskriminantas yra dažniausiai naudojamas ypatingas atvejis. Bendruoju atveju daugianario diskriminantas yra šio daugianario šaknų skirtumų padauginti kvadratai. Todėl nuliui lygus diskriminantas rodo, kad yra bent du keli sprendimai.

Apsvarstykite i * w ^ 3 + j * w ^ 2 + k * w + m = 0.

D \u003d j ^ 2 * k ^ 2 - 4 * i * k ^ 3 - 4 * i ^ 3 * k - 27 * i ^ 2 * m ^ 2 + 18 * i * j * k * m.

Tarkime, kad diskriminantas yra didesnis už nulį. Tai reiškia, kad realiųjų skaičių srityje yra trys šaknys. Esant nuliui, yra keli sprendimai. Jeigu D< 0, то два корня комплексно-сопряженные, которые дают отрицательное значение при возведении в квадрат, а также один корень — вещественный.

Vaizdo įrašas

Mūsų vaizdo įrašas išsamiai papasakos apie diskriminanto skaičiavimą.

Negavai atsakymo į savo klausimą? Siūlykite temą autoriams.

Mes ir toliau nagrinėjame temą lygčių sprendimas“. Mes jau susipažinome su tiesinėmis lygtimis, o dabar susipažinsime kvadratines lygtis.

Pirmiausia aptarsime, kas yra kvadratinė lygtis, kaip ji rašoma bendra forma ir pateiksime susijusius apibrėžimus. Po to, naudodamiesi pavyzdžiais, detaliai išanalizuosime, kaip sprendžiamos nepilnos kvadratinės lygtys. Toliau pereiname prie pilnųjų lygčių sprendimo, gauname šaknų formulę, susipažįstame su kvadratinės lygties diskriminantu ir svarstome tipinių pavyzdžių sprendimus. Galiausiai atsekame ryšius tarp šaknų ir koeficientų.

Puslapio naršymas.

Kas yra kvadratinė lygtis? Jų rūšys

Pirmiausia turite aiškiai suprasti, kas yra kvadratinė lygtis. Todėl logiška pradėti kalbėti apie kvadratines lygtis su kvadratinės lygties apibrėžimu, taip pat su ja susijusiais apibrėžimais. Po to galite apsvarstyti pagrindinius kvadratinių lygčių tipus: redukuotas ir nesumažintas, taip pat pilnas ir nepilnas lygtis.

Kvadratinių lygčių apibrėžimas ir pavyzdžiai

Apibrėžimas.

Kvadratinė lygtis yra formos lygtis a x 2 +b x+c=0, kur x yra kintamasis, a , b ir c yra kai kurie skaičiai, o a skiriasi nuo nulio.

Iš karto pasakykime, kad kvadratinės lygtys dažnai vadinamos antrojo laipsnio lygtimis. Taip yra todėl, kad kvadratinė lygtis yra algebrinė lygtis antrasis laipsnis.

Įgarsintas apibrėžimas leidžia pateikti kvadratinių lygčių pavyzdžių. Taigi 2 x 2 +6 x+1=0, 0.2 x 2 +2.5 x+0.03=0 ir t.t. yra kvadratinės lygtys.

Apibrėžimas.

Skaičiai vadinami a , b ir c kvadratinės lygties koeficientai a x 2 +b x + c=0, o koeficientas a vadinamas pirmuoju, arba vyresniuoju, arba koeficientu x 2, b yra antrasis koeficientas, arba koeficientas ties x, o c yra laisvasis narys.

Pavyzdžiui, paimkime kvadratinę lygtį, kurios forma yra 5 x 2 −2 x−3=0 , čia pirmaujantis koeficientas yra 5 , antrasis koeficientas yra −2 , o laisvasis narys −3 . Atkreipkite dėmesį, kad kai koeficientai b ir (arba) c yra neigiami, kaip ką tik pateiktame pavyzdyje, naudojama trumpoji kvadratinės lygties forma 5 x 2 −2 x−3=0, o ne 5 x 2 +(− 2 )x+(−3)=0 .

Verta paminėti, kad kai koeficientai a ir (arba) b yra lygūs 1 arba –1, tada kvadratinės lygties žymėjime jie paprastai nėra aiškiai išreikšti, o tai yra dėl tokių žymėjimo ypatumų. Pavyzdžiui, kvadratinėje lygtyje y 2 −y+3=0 pirmaujantis koeficientas yra vienas, o koeficientas ties y yra −1.

Sumažintos ir neredukuotos kvadratinės lygtys

Priklausomai nuo pirmaujančio koeficiento reikšmės, skiriamos redukuotos ir neredukuotos kvadratinės lygtys. Pateiksime atitinkamus apibrėžimus.

Apibrėžimas.

Vadinama kvadratinė lygtis, kurios pirmaujantis koeficientas yra 1 redukuota kvadratinė lygtis. Priešingu atveju kvadratinė lygtis yra nesumažintas.

Pagal šį apibrėžimą kvadratinės lygtys x 2 −3 x+1=0 , x 2 −x−2/3=0 ir kt. - sumažintas, kiekviename iš jų pirmasis koeficientas yra lygus vienetui. Ir 5 x 2 −x−1=0 ir t.t. - neredukuotos kvadratinės lygtys, jų pirmaujantys koeficientai skiriasi nuo 1 .

Iš bet kurios neredukuotos kvadratinės lygties, padalijus abi jos dalis iš pirmaujančio koeficiento, galite pereiti prie redukuotos. Šis veiksmas yra lygiavertė transformacija, tai yra, tokiu būdu gauta sumažinta kvadratinė lygtis turi tas pačias šaknis kaip ir pradinė neredukuota kvadratinė lygtis arba, kaip ji, neturi šaknų.

Paimkime pavyzdį, kaip atliekamas perėjimas iš neredukuotos kvadratinės lygties į redukuotą.

Pavyzdys.

Iš lygties 3 x 2 +12 x−7=0 pereikite prie atitinkamos sumažintos kvadratinės lygties.

Sprendimas.

Mums pakanka atlikti abiejų pradinės lygties dalių padalijimą iš pirmaujančio koeficiento 3, jis yra ne nulis, todėl galime atlikti šį veiksmą. Turime (3 x 2 +12 x−7):3=0:3, tai yra tas pats kaip (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0 ir t.t. (3 :3) x 2 +(12:3) x−7:3=0 , iš kur . Taigi mes gavome sumažintą kvadratinę lygtį, kuri yra lygiavertė pradinei.

Atsakymas:

Pilnos ir nepilnos kvadratinės lygtys

Kvadratinės lygties apibrėžime yra sąlyga a≠0. Ši sąlyga būtina, kad lygtis a x 2 +b x+c=0 būtų tiksliai kvadratinė, nes esant a=0 ji iš tikrųjų tampa b x+c=0 formos tiesine lygtimi.

Kalbant apie koeficientus b ir c, jie gali būti lygūs nuliui tiek atskirai, tiek kartu. Tokiais atvejais kvadratinė lygtis vadinama nepilna.

Apibrėžimas.

Vadinama kvadratine lygtimi a x 2 +b x+c=0 Nebaigtas, jei bent vienas iš koeficientų b , c lygus nuliui.

Savo ruožtu

Apibrėžimas.

Pilna kvadratinė lygtis yra lygtis, kurioje visi koeficientai skiriasi nuo nulio.

Šie vardai pateikti neatsitiktinai. Tai paaiškės iš tolesnės diskusijos.

Jei koeficientas b lygus nuliui, tai kvadratinė lygtis įgauna formą a x 2 +0 x+c=0 ir yra lygiavertė lygčiai a x 2 +c=0 . Jei c=0, tai yra, kvadratinė lygtis yra a x 2 +b x+0=0, tada ją galima perrašyti į x 2 +b x=0. O su b=0 ir c=0 gauname kvadratinę lygtį a·x 2 =0. Gautos lygtys skiriasi nuo pilnos kvadratinės lygties tuo, kad jų kairėje pusėje nėra nei termino su kintamuoju x, nei laisvojo nario, nei abiejų. Iš čia ir kilo jų pavadinimas – nepilnos kvadratinės lygtys.

Taigi lygtys x 2 +x+1=0 ir −2 x 2 −5 x+0,2=0 yra pilnų kvadratinių lygčių pavyzdžiai, o x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3 =0 , −x 2 −5 x=0 yra nepilnos kvadratinės lygtys.

Nepilniųjų kvadratinių lygčių sprendimas

Iš ankstesnėje pastraipoje pateiktos informacijos matyti, kad yra trijų rūšių nepilnos kvadratinės lygtys:

• a x 2 =0 , jį atitinka koeficientai b=0 ir c=0;
• ax2 +c=0, kai b=0;
• ir a x 2 +b x=0, kai c=0 .

Išanalizuokime eilės tvarka, kaip sprendžiamos kiekvieno iš šių tipų nepilnos kvadratinės lygtys.

a x 2 \u003d 0

Pradėkime spręsdami nepilnas kvadratines lygtis, kuriose koeficientai b ir c lygūs nuliui, tai yra a x 2 =0 formos lygtimis. Lygtis a·x 2 =0 yra lygiavertė lygčiai x 2 =0, kuri gaunama iš originalo, padalijus abi jos dalis iš ne nulinio skaičiaus a. Akivaizdu, kad lygties x 2 \u003d 0 šaknis yra lygi nuliui, nes 0 2 \u003d 0. Ši lygtis neturi kitų šaknų, o tai paaiškinama, iš tiesų, bet kuriam nuliui nepriklausančiam skaičiui p įvyksta nelygybė p 2 >0, o tai reiškia, kad esant p≠0 lygybė p 2 =0 niekada nepasiekiama.

Taigi, nepilna kvadratinė lygtis a x 2 \u003d 0 turi vieną šaknį x \u003d 0.

Kaip pavyzdį pateikiame nepilnos kvadratinės lygties −4·x 2 =0 sprendinį. Ji atitinka lygtį x 2 \u003d 0, jos vienintelė šaknis yra x \u003d 0, todėl pradinė lygtis turi vieną šaknies nulį.

Trumpas sprendimas šiuo atveju gali būti pateiktas taip:
−4 x 2 \u003d 0,
x 2 \u003d 0,
x=0 .

a x 2 +c=0

Dabar apsvarstykite, kaip sprendžiamos nepilnos kvadratinės lygtys, kuriose koeficientas b lygus nuliui, o c≠0, tai yra a x 2 +c=0 formos lygtys. Žinome, kad termino perkėlimas iš vienos lygties pusės į kitą su priešingu ženklu, taip pat abiejų lygties pusių padalijimas ne nuliu skaičiumi, duoda lygiavertę lygtį. Todėl galima atlikti šias lygiavertes nepilnos kvadratinės lygties a x 2 +c=0 transformacijas:

• perkelkite c į dešinę pusę, taip gaunama lygtis a x 2 =-c,
• ir padalyti abi jo dalis iš a , gauname .

Gauta lygtis leidžia daryti išvadas apie jos šaknis. Priklausomai nuo a ir c reikšmių, išraiškos reikšmė gali būti neigiama (pavyzdžiui, jei a=1 ir c=2 , tada ) arba teigiama (pavyzdžiui, jei a=-2 ir c=6 , tada ), jis nėra lygus nuliui , nes pagal sąlygą c≠0 . Atskirai analizuosime atvejus ir .

Jei , tai lygtis neturi šaknų. Šis teiginys išplaukia iš to, kad bet kurio skaičiaus kvadratas yra neneigiamas skaičius. Iš to išplaukia, kad kai , tada bet kuriam skaičiui p lygybė negali būti teisinga.

Jei , tada situacija su lygties šaknimis yra kitokia. Šiuo atveju, jei prisiminsime apie, tada lygties šaknis iš karto tampa akivaizdi, tai yra skaičius, nes. Nesunku atspėti, kad skaičius taip pat yra lygties šaknis, iš tikrųjų . Ši lygtis neturi kitų šaknų, kurias galima parodyti, pavyzdžiui, prieštaravimu. Padarykime tai.

Ką tik išsakytas lygties šaknis pažymėkime x 1 ir −x 1 . Tarkime, kad lygtis turi kitą šaknį x 2, kuri skiriasi nuo nurodytų šaknų x 1 ir −x 1 . Yra žinoma, kad pakeitimas į lygtį vietoj jos šaknų x paverčia lygtį tikra skaitine lygybe. Jei x 1 ir −x 1 turime , o x 2 turime . Skaitinių lygybių savybės leidžia atlikti tikrąsias skaitines lygybes po termino atimtį, todėl atėmus atitinkamas lygybių dalis gaunama x 1 2 − x 2 2 =0. Veiksmų su skaičiais savybės leidžia gautą lygybę perrašyti į (x 1 − x 2)·(x 1 + x 2)=0 . Žinome, kad dviejų skaičių sandauga lygi nuliui tada ir tik tada, kai bent vienas iš jų yra lygus nuliui. Todėl iš gautos lygybės išplaukia, kad x 1 −x 2 =0 ir/arba x 1 +x 2 =0 , kuri yra vienoda, x 2 =x 1 ir/arba x 2 = −x 1 . Taigi mes priėjome prie prieštaravimo, nes pradžioje sakėme, kad lygties x 2 šaknis skiriasi nuo x 1 ir −x 1 . Tai įrodo, kad lygtis neturi kitų šaknų, išskyrus ir .

Apibendrinkime šioje pastraipoje pateiktą informaciją. Nebaigta kvadratinė lygtis a x 2 +c=0 yra lygi lygčiai, kuri

• neturi šaknų, jei
• turi dvi šaknis ir jei .

Apsvarstykite a·x 2 +c=0 formos nepilnų kvadratinių lygčių sprendimo pavyzdžius.

Pradėkime nuo kvadratinės lygties 9 x 2 +7=0 . Perkėlus laisvąjį terminą į dešinę lygties pusę, jis įgaus formą 9·x 2 =−7. Padalinę abi gautos lygties puses iš 9 , gauname . Kadangi dešinėje pusėje gaunamas neigiamas skaičius, ši lygtis neturi šaknų, todėl pradinė nepilna kvadratinė lygtis 9 x 2 +7=0 neturi šaknų.

Išspręskime dar vieną nepilną kvadratinę lygtį −x 2 +9=0. Devyniuką perkeliame į dešinę pusę: -x 2 \u003d -9. Dabar abi dalis padaliname iš −1, gauname x 2 =9. Dešinėje pusėje yra teigiamas skaičius, iš kurio darome išvadą, kad arba . Užrašę galutinį atsakymą: nepilna kvadratinė lygtis −x 2 +9=0 turi dvi šaknis x=3 arba x=−3.

a x 2 +b x=0

Belieka išspręsti paskutinio tipo nepilnų kvadratinių lygčių, kai c=0 , sprendimą. Neišsamios kvadratinės lygtys formos a x 2 +b x=0 leidžia išspręsti faktorizavimo metodas. Akivaizdu, kad galime, esantys kairėje lygties pusėje, kuriai pakanka iš skliaustų išimti bendrą koeficientą x. Tai leidžia pereiti nuo pradinės nepilnos kvadratinės lygties prie lygiavertės x·(a·x+b)=0 formos lygties. Ir ši lygtis yra lygiavertė aibei dviejų lygčių x=0 ir a x+b=0 , iš kurių paskutinė yra tiesinė ir turi šaknį x=-b/a .

Taigi nepilna kvadratinė lygtis a x 2 +b x=0 turi dvi šaknis x=0 ir x=−b/a.

Norėdami konsoliduoti medžiagą, analizuosime konkretaus pavyzdžio sprendimą.

Pavyzdys.

Išspręskite lygtį.

Sprendimas.

Iš skliaustų išimame x ir gauname lygtį. Tai lygi dviem lygtims x=0 ir . Išsprendžiame gautą tiesinę lygtį: , ir padalijus mišrųjį skaičių iš paprastosios trupmenos, randame . Todėl pradinės lygties šaknys yra x=0 ir .

Įgijus reikiamą praktiką, tokių lygčių sprendinius galima parašyti trumpai:

Atsakymas:

x=0 , .

Diskriminantas, kvadratinės lygties šaknų formulė

Norėdami išspręsti kvadratines lygtis, yra šaknies formulė. Užsirašykime kvadratinės lygties šaknų formulė: , kur D=b 2 −4 a c- vadinamasis kvadratinės lygties diskriminantas. Žymėjimas iš esmės reiškia, kad .

Naudinga žinoti, kaip buvo gauta šaknies formulė ir kaip ji taikoma ieškant kvadratinių lygčių šaknų. Spręskime tai.

Kvadratinės lygties šaknų formulės išvedimas

Išspręskime kvadratinę lygtį a·x 2 +b·x+c=0 . Atlikime keletą lygiaverčių transformacijų:

• Abi šios lygties dalis galime padalyti iš ne nulinio skaičiaus a, todėl gauname sumažintą kvadratinę lygtį.
• Dabar pasirinkite visą kvadratą jo kairėje pusėje: . Po to lygtis įgis formą .
• Šiame etape galima atlikti paskutinių dviejų terminų perkėlimą į dešinę su priešingu ženklu, mes turime .
• Taip pat pakeiskime išraišką dešinėje pusėje: .

Dėl to gauname lygtį , kuri yra lygiavertė pradinei kvadratinei lygčiai a·x 2 +b·x+c=0 .

Analizuodami , jau išsprendėme panašios formos lygtis ankstesnėse pastraipose. Tai leidžia padaryti tokias išvadas apie lygties šaknis:

• jei , tai lygtis neturi realių sprendinių;
• jei , tada lygtis turi formą , todėl , Iš kurios matoma tik jos šaknis;
• Jei , Tada arba , kuris yra tas pats kaip arba , Tai yra, lygtis turi dvi šaknis.

Taigi, lygties šaknų, taigi ir pradinės kvadratinės lygties, buvimas ar nebuvimas priklauso nuo išraiškos ženklo dešinėje. Savo ruožtu šios išraiškos ženklą lemia skaitiklio ženklas, nes vardiklis 4 a 2 visada yra teigiamas, tai yra išraiškos b 2 −4 a c ženklas. Ši išraiška b 2 −4 a c vadinama kvadratinės lygties diskriminantas ir pažymėtas raide D. Iš čia aiški diskriminanto esmė – pagal jo reikšmę ir ženklą daroma išvada, ar kvadratinė lygtis turi realias šaknis, o jei taip, tai koks jų skaičius – vienas ar du.

Grįžtame prie lygties , perrašome ją naudodami diskriminanto žymėjimą: . Ir darome išvadą:

• jei D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• jei D=0, tai ši lygtis turi vieną šaknį;
• galiausiai, jei D>0, tai lygtis turi dvi šaknis arba , kurias galima perrašyti į formą arba , o išplėtus ir sumažinus trupmenas iki bendro vardiklio, gauname .

Taigi išvedėme kvadratinės lygties šaknų formules, jos atrodo kaip , kur diskriminantas D apskaičiuojamas pagal formulę D=b 2 −4 a c .

Su jų pagalba, naudodami teigiamą diskriminantą, galite apskaičiuoti abi realiąsias kvadratinės lygties šaknis. Kai diskriminantas yra lygus nuliui, abi formulės suteikia tą pačią šaknies reikšmę, atitinkančią vienintelį kvadratinės lygties sprendinį. O naudojant neigiamą diskriminantą, bandydami panaudoti kvadratinės lygties šaknų formulę, susiduriame su kvadratinės šaknies ištraukimu iš neigiamo skaičiaus, o tai perkelia mus už mokyklos mokymo programos ribų. Naudojant neigiamą diskriminantą, kvadratinė lygtis neturi tikrų šaknų, bet turi porą kompleksinis konjugatasšaknis, kurias galima rasti naudojant tas pačias šaknų formules, kurias gavome.

Kvadratinių lygčių sprendimo, naudojant šaknų formules, algoritmas

Praktiškai spręsdami kvadratinę lygtį galite iš karto naudoti šaknies formulę, pagal kurią apskaičiuoti jų reikšmes. Bet tai daugiau apie sudėtingų šaknų paiešką.

Tačiau mokykliniame algebros kurse paprastai kalbame ne apie sudėtingas, o apie realias kvadratinės lygties šaknis. Tokiu atveju, prieš naudojant kvadratinės lygties šaknų formules, patartina pirmiausia surasti diskriminantą, įsitikinti, kad jis yra neneigiamas (kitaip galime daryti išvadą, kad lygtis neturi realių šaknų), o po to apskaičiuokite šaknų reikšmes.

Aukščiau pateiktas samprotavimas leidžia mums rašyti kvadratinės lygties sprendimo algoritmas. Norėdami išspręsti kvadratinę lygtį a x 2 + b x + c \u003d 0, jums reikia:

• naudojant diskriminanto formulę D=b 2 −4 a c apskaičiuokite jo reikšmę;
• daryti išvadą, kad kvadratinė lygtis neturi realių šaknų, jei diskriminantas yra neigiamas;
• apskaičiuokite vienintelę lygties šaknį naudodami formulę, jei D=0 ;
• Raskite dvi realias kvadratinės lygties šaknis naudodami šaknies formulę, jei diskriminantas yra teigiamas.

Čia tik pažymime, kad jei diskriminantas yra lygus nuliui, formulė taip pat gali būti naudojama, ji duos tokią pat reikšmę kaip .

Galite pereiti prie kvadratinių lygčių sprendimo algoritmo taikymo pavyzdžių.

Kvadratinių lygčių sprendimo pavyzdžiai

Apsvarstykite trijų kvadratinių lygčių su teigiamu, neigiamu ir nuliniu diskriminantu sprendinius. Išnagrinėjus jų sprendimą, pagal analogiją bus galima išspręsti bet kurią kitą kvadratinę lygtį. Pradėkime.

Pavyzdys.

Raskite lygties x 2 +2 x−6=0 šaknis.

Sprendimas.

Šiuo atveju turime tokius kvadratinės lygties koeficientus: a=1 , b=2 ir c=−6 . Pagal algoritmą pirmiausia reikia apskaičiuoti diskriminantą, tam mes pakeisime nurodytus a, b ir c į diskriminanto formulę, turime D=b 2 –4 a c=2 2 –4 1 (-6)=4+24=28. Kadangi 28>0, tai yra, diskriminantas yra didesnis už nulį, kvadratinė lygtis turi dvi realias šaknis. Raskime juos pagal šaknų formulę, gausime , čia galime supaprastinti išraiškas, gautas darant išskiriant šaknies ženklą po to frakcijos sumažinimas:

Atsakymas:

Pereikime prie kito tipinio pavyzdžio.

Pavyzdys.

Išspręskite kvadratinę lygtį −4 x 2 +28 x−49=0 .

Sprendimas.

Pradedame rasdami diskriminantą: D=28 2 −4 (−4) (−49)=784−784=0. Todėl ši kvadratinė lygtis turi vieną šaknį, kurią randame kaip , tai yra,

Atsakymas:

x = 3,5 .

Belieka apsvarstyti kvadratinių lygčių sprendimą su neigiamu diskriminantu.

Pavyzdys.

Išspręskite lygtį 5 y 2 +6 y+2=0 .

Sprendimas.

Štai kvadratinės lygties koeficientai: a=5 , b=6 ir c=2 . Pakeitę šias reikšmes į diskriminacinę formulę, turime D=b 2 –4 a c=6 2 –4 5 2=36-40=-4. Diskriminantas yra neigiamas, todėl ši kvadratinė lygtis neturi realių šaknų.

Jei reikia nurodyti sudėtingas šaknis, tada naudojame gerai žinomą kvadratinės lygties šaknų formulę ir atliekame operacijos su kompleksiniais skaičiais:

Atsakymas:

nėra tikrų šaknų, sudėtingos šaknys yra: .

Dar kartą pažymime, kad jei kvadratinės lygties diskriminantas yra neigiamas, tada mokykla dažniausiai iš karto užrašo atsakymą, kuriame nurodo, kad nėra tikrų šaknų, o sudėtingų šaknų neranda.

Net antrojo koeficiento šaknies formulė

Kvadratinės lygties šaknų formulė , kur D=b 2 −4 a c leidžia gauti kompaktiškesnę formulę, leidžiančią išspręsti kvadratines lygtis su lyginiu koeficientu x (arba tiesiog su koeficientu, kuris atrodo kaip 2 n , pavyzdžiui, arba 14 ln5=2 7 ln5 ). Išveskime ją.

Tarkime, reikia išspręsti kvadratinę lygtį, kurios formos a x 2 +2 n x + c=0 . Raskime jo šaknis pagal mums žinomą formulę. Norėdami tai padaryti, apskaičiuojame diskriminantą D = (2 n) 2 -4 a c = 4 n 2 -4 a c = 4 (n 2 -a c), tada naudojame šaknies formulę:

Išraišką n 2 −a c pažymėkite kaip D 1 (kartais ji žymima D "). Tada nagrinėjamos kvadratinės lygties su antruoju koeficientu 2 n šaknų formulė įgauna formą , kur D 1 =n 2 −a c .

Nesunku pastebėti, kad D=4·D 1 , arba D 1 =D/4 . Kitaip tariant, D 1 yra ketvirtoji diskriminanto dalis. Aišku, kad D 1 ženklas yra toks pat kaip D ženklas. Tai yra, ženklas D 1 taip pat yra kvadratinės lygties šaknų buvimo ar nebuvimo rodiklis.

Taigi, norint išspręsti kvadratinę lygtį su antruoju koeficientu 2 n, jums reikia

• Apskaičiuokite D 1 =n 2 −a·c ;
• Jei D1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Jei D 1 =0, tada formule apskaičiuokite vienintelę lygties šaknį;
• Jei D 1 >0, tada pagal formulę raskite dvi realias šaknis.

Apsvarstykite pavyzdžio sprendimą naudodami šioje pastraipoje gautą šaknies formulę.

Pavyzdys.

Išspręskite kvadratinę lygtį 5 x 2 −6 x−32=0 .

Sprendimas.

Antrasis šios lygties koeficientas gali būti pavaizduotas kaip 2·(−3) . Tai yra, galite perrašyti pradinę kvadratinę lygtį į formą 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, čia a=5 , n=−3 ir c=−32, ir apskaičiuoti ketvirtąją kvadratinės lygties dalį. diskriminuojantis: D 1 =n 2 −a c=(−3) 2 −5 (−32)=9+160=169. Kadangi jos reikšmė yra teigiama, lygtis turi dvi realias šaknis. Juos randame naudodami atitinkamą šaknies formulę:

Atkreipkite dėmesį, kad kvadratinės lygties šaknims buvo galima naudoti įprastą formulę, tačiau šiuo atveju tektų atlikti daugiau skaičiavimo darbų.

Atsakymas:

Kvadratinių lygčių formos supaprastinimas

Kartais, prieš pradedant skaičiuoti kvadratinės lygties šaknis naudojant formules, nepakenks užduoti klausimą: „Ar galima supaprastinti šios lygties formą“? Sutikite, kad skaičiavimų požiūriu kvadratinę lygtį 11 x 2 −4 x −6=0 išspręsti bus lengviau nei 1100 x 2 −400 x−600=0 .

Paprastai kvadratinės lygties formos supaprastinimas pasiekiamas padauginus arba padalijus abi jos puses iš kokio nors skaičiaus. Pavyzdžiui, ankstesnėje pastraipoje mums pavyko pasiekti lygties 1100 x 2 −400 x −600=0 supaprastinimą, padalijus abi puses iš 100.

Panaši transformacija atliekama su kvadratinėmis lygtimis, kurių koeficientai nėra . Šiuo atveju abi lygties dalys paprastai dalijamos iš absoliučių jo koeficientų verčių. Pavyzdžiui, paimkime kvadratinę lygtį 12 x 2 −42 x+48=0. absoliučios jo koeficientų reikšmės: gcd(12, 42, 48)= gcd(gcd(12, 42), 48)= gcd(6, 48)=6 . Abi pradinės kvadratinės lygties dalis padalijus iš 6, gauname lygiavertę kvadratinę lygtį 2 x 2 −7 x+8=0 .

Ir abiejų kvadratinės lygties dalių dauginimas paprastai atliekamas norint atsikratyti trupmeninių koeficientų. Šiuo atveju dauginimas atliekamas pagal jo koeficientų vardiklius. Pavyzdžiui, jei abi kvadratinės lygties dalys padaugintos iš LCM(6, 3, 1)=6 , tada ji įgis paprastesnę formą x 2 +4 x−18=0 .

Baigdami šią pastraipą pažymime, kad beveik visada atsikratykite minuso esant didžiausiam kvadratinės lygties koeficientui, pakeisdami visų terminų ženklus, o tai atitinka abiejų dalių padauginimą (arba padalijimą) iš −1. Pavyzdžiui, paprastai iš kvadratinės lygties −2·x 2 −3·x+7=0 pereinama prie sprendinio 2·x 2 +3·x−7=0 .

Kvadratinės lygties šaknų ir koeficientų ryšys

Kvadratinės lygties šaknų formulė išreiškia lygties šaknis jos koeficientais. Remdamiesi šaknų formule, galite gauti kitus ryšius tarp šaknų ir koeficientų.

Labiausiai žinomos ir taikomos formulės iš Vieta teoremos formos ir . Visų pirma, duotoje kvadratinėje lygtyje šaknų suma yra lygi antrajam koeficientui su priešingu ženklu, o šaknų sandauga yra laisvasis narys. Pavyzdžiui, pagal kvadratinės lygties 3 x 2 −7 x+22=0 formą galime iš karto pasakyti, kad jos šaknų suma yra 7/3, o šaknų sandauga yra 22/3.

Naudodami jau parašytas formules, galite gauti daugybę kitų kvadratinės lygties šaknų ir koeficientų ryšių. Pavyzdžiui, kvadratinės lygties šaknų kvadratų sumą galite išreikšti jos koeficientais: .

Bibliografija.

• Algebra: vadovėlis 8 ląstelėms. bendrojo išsilavinimo institucijos / [Yu. N. Makaryčiovas, N. G. Mindjukas, K. I. Neškovas, S. B. Suvorova]; red. S. A. Telakovskis. – 16 leidimas. - M. : Švietimas, 2008. - 271 p. : nesveikas. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovičius A. G. Algebra. 8 klasė. 14 val. 1 dalis. Vadovėlis ugdymo įstaigų studentams / A. G. Mordkovich. - 11 leidimas, ištrintas. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 p.: iliustr. ISBN 978-5-346-01155-2.

Kvadratinės lygtys dažnai atsiranda sprendžiant įvairius fizikos ir matematikos uždavinius. Šiame straipsnyje mes svarstysime, kaip šias lygybes išspręsti universaliu būdu „per diskriminantą“. Straipsnyje taip pat pateikiami įgytų žinių panaudojimo pavyzdžiai.

Apie kokias lygtis mes kalbame?

Toliau pateiktame paveikslėlyje parodyta formulė, kurioje x yra nežinomas kintamasis, o lotyniški simboliai a, b, c reiškia kai kuriuos žinomus skaičius.

Kiekvienas iš šių simbolių vadinamas koeficientu. Kaip matote, skaičius „a“ yra prieš kvadratinį kintamąjį x. Tai yra didžiausia vaizduojamos išraiškos galia, todėl ji vadinama kvadratine lygtimi. Dažnai naudojamas kitas pavadinimas: antros eilės lygtis. Pati reikšmė a yra kvadratinis koeficientas (kintamojo kvadratas), b yra tiesinis koeficientas (jis yra šalia kintamojo, pakelto į pirmą laipsnį), galiausiai skaičius c yra laisvasis narys.

Atkreipkite dėmesį, kad aukščiau esančiame paveikslėlyje parodyta lygties forma yra bendra klasikinė kvadratinė išraiška. Be jo, yra ir kitų antros eilės lygčių, kuriose koeficientai b, c gali būti lygūs nuliui.

Kai uždavinys iškeliamas spręsti nagrinėjamą lygybę, tai reiškia, kad reikia rasti tokias kintamojo x reikšmes, kurios ją tenkintų. Pirmas dalykas, kurį reikia prisiminti, yra toks: kadangi didžiausia x galia yra 2, tokio tipo išraiškoje negali būti daugiau nei 2 sprendiniai. Tai reiškia, kad jei sprendžiant lygtį būtų rastos 2 ją tenkinančios x reikšmės, tuomet galite būti tikri, kad nėra trečiojo skaičiaus, kurį pakeitus vietoj x, lygybė taip pat būtų teisinga. Matematikos lygties sprendiniai vadinami jos šaknimis.

Antrosios eilės lygčių sprendimo būdai

Norint išspręsti tokio tipo lygtis, reikia žinoti tam tikrą teoriją apie jas. Mokykliniame algebros kurse nagrinėjami 4 skirtingi sprendimo būdai. Išvardinkime juos:

• naudojant faktorizaciją;
• naudojant tobulo kvadrato formulę;
• taikant atitinkamos kvadratinės funkcijos grafiką;
• naudojant diskriminantinę lygtį.

Pirmojo metodo pranašumas yra jo paprastumas, tačiau jo negalima pritaikyti visoms lygtims. Antrasis metodas yra universalus, bet šiek tiek sudėtingas. Trečiasis metodas išsiskiria aiškumu, tačiau jis ne visada patogus ir pritaikomas. Ir galiausiai, diskriminacinės lygties naudojimas yra universalus ir gana paprastas būdas rasti absoliučiai bet kokios antros eilės lygties šaknis. Todėl straipsnyje mes apsvarstysime tik tai.

Formulė lygties šaknims gauti

Pereikime prie bendrosios kvadratinės lygties formos. Užsirašykime: a*x²+ b*x + c =0. Prieš naudojant jos sprendimo būdą „per diskriminantą“, lygybė visada turi būti redukuojama iki rašytinės formos. Tai reiškia, kad jį turi sudaryti trys terminai (arba mažiau, jei b arba c yra 0).

Pavyzdžiui, jei yra išraiška: x²-9*x+8 = -5*x+7*x², tada pirmiausia turėtumėte perkelti visus jos narius į vieną lygybės pusę ir pridėti terminus, kuriuose yra kintamasis x. galias.

Šiuo atveju ši operacija sukels tokią išraišką: -6*x²-4*x+8=0, kuri atitinka lygtį 6*x²+4*x-8=0 (čia mes padauginome kairę o dešinės lygties pusės -1) .

Aukščiau pateiktame pavyzdyje a = 6, b = 4, c = -8. Atkreipkite dėmesį, kad visi nagrinėjamos lygybės nariai visada sumuojami tarpusavyje, todėl, jei atsiranda „-“ ženklas, tai reiškia, kad atitinkamas koeficientas yra neigiamas, kaip šiuo atveju skaičius c.

Išanalizavę šį tašką, dabar pereiname prie pačios formulės, kuri leidžia gauti kvadratinės lygties šaknis. Tai atrodo kaip žemiau esančioje nuotraukoje.

Kaip matyti iš šios išraiškos, ji leidžia jums gauti dvi šaknis (turėtumėte atkreipti dėmesį į „±“ ženklą). Norėdami tai padaryti, pakanka į jį pakeisti koeficientus b, c ir a.

Diskriminanto samprata

Ankstesnėje pastraipoje buvo pateikta formulė, leidžianti greitai išspręsti bet kurią antros eilės lygtį. Jame radikali išraiška vadinama diskriminantu, tai yra, D \u003d b²-4 * a * c.

Kodėl ši formulės dalis yra išskirta ir ar ji netgi turi savo pavadinimą? Faktas yra tas, kad diskriminantas sujungia visus tris lygties koeficientus į vieną išraišką. Paskutinis faktas reiškia, kad jis visiškai neša informaciją apie šaknis, kurią galima išreikšti šiuo sąrašu:

1. D>0: lygybė turi 2 skirtingus sprendinius, kurie abu yra realieji skaičiai.
2. D=0: lygtis turi tik vieną šaknį ir yra tikrasis skaičius.

Diskriminanto nustatymo užduotis

Štai paprastas pavyzdys, kaip rasti diskriminantą. Tegu yra tokia lygybė: 2*x² - 4+5*x-9*x² = 3*x-5*x²+7.

Perkelkime į standartinę formą, gausime: (2*x²-9*x²+5*x²) + (5*x-3*x) + (- 4-7) = 0, iš kurios gauname lygybę : -2*x² +2*x-11 = 0. Čia a=-2, b=2, c=-11.

Dabar galite naudoti nurodytą diskriminanto formulę: D \u003d 2² - 4 * (-2) * (-11) \u003d -84. Gautas skaičius yra užduoties atsakymas. Kadangi pavyzdyje diskriminantas yra mažesnis už nulį, galime pasakyti, kad ši kvadratinė lygtis neturi realių šaknų. Jo sprendimas bus tik kompleksinio tipo skaičiai.

Nelygybės per diskriminantą pavyzdys

Išspręskime kiek kitokio tipo uždavinius: duota lygybė -3*x²-6*x+c = 0. Reikia rasti tokias c reikšmes, kurioms D>0.

Šiuo atveju žinomi tik 2 iš 3 koeficientų, todėl tikslios diskriminanto reikšmės apskaičiuoti nepavyks, tačiau žinoma, kad ji yra teigiama. Sudarant nelygybę naudojame paskutinį faktą: D= (-6)²-4*(-3)*c>0 => 36+12*c>0. Gautos nelygybės sprendimas veda prie rezultato: c>-3.

Patikrinkime gautą skaičių. Norėdami tai padaryti, apskaičiuojame D 2 atvejams: c=-2 ir c=-4. Skaičius -2 tenkina rezultatą (-2>-3), atitinkamas diskriminantas turės reikšmę: D = 12>0. Savo ruožtu skaičius -4 netenkina nelygybės (-4 Taigi bet kokie skaičiai c, didesni už -3, tenkins sąlygą.

Lygties sprendimo pavyzdys

Čia yra problema, kurią sudaro ne tik diskriminanto radimas, bet ir lygties sprendimas. Būtina rasti lygybės -2*x²+7-9*x = 0 šaknis.

Šiame pavyzdyje diskriminantas yra lygus šiai reikšmei: D = 81-4*(-2)*7= 137. Tada lygties šaknys nustatomos taip: x = (9±√137)/(- 4). Tai yra tikslios šaknų reikšmės, jei apytiksliai apskaičiuojate šaknį, gausite skaičius: x \u003d -5,176 ir x \u003d 0,676.

geometrinė problema

Išspręskime uždavinį, kuriam prireiks ne tik gebėjimo skaičiuoti diskriminantą, bet ir panaudoti abstraktaus mąstymo įgūdžius bei žinių, kaip rašyti kvadratines lygtis.

Bobas turėjo 5 x 4 metrų antklodę. Berniukas norėjo per visą perimetrą pasiūti ištisinę gražaus audinio juostelę. Kokio storio bus ši juostelė, jei žinoma, kad Bobas turi 10 m² audinio.

Tegul juostelės storis yra x m, tada audinio plotas išilgai ilgosios antklodės pusės bus (5 + 2 * x) * x, o kadangi yra 2 ilgos pusės, turime: 2 * x * (5 + 2 * x). Trumpojoje pusėje pasiūto audinio plotas bus 4*x, kadangi šių pusių yra 2, gauname 8*x reikšmę. Atkreipkite dėmesį, kad prie ilgosios pusės pridėtas 2*x, nes šiuo skaičiumi pailgėjo antklodė. Bendras prie antklodės prisiūto audinio plotas 10 m². Todėl gauname lygybę: 2*x*(5+2*x) + 8*x = 10 => 4*x²+18*x-10 = 0.

Šiame pavyzdyje diskriminantas yra: D = 18²-4*4*(-10) = 484. Jo šaknis yra 22. Naudodami formulę randame norimas šaknis: x = (-18±22)/(2* 4) = (- 5; 0,5). Akivaizdu, kad iš dviejų šaknų problemos sąlygai tinka tik skaičius 0,5.

Taigi, audinio juostelė, kurią Bobas prisiuva prie savo antklodės, bus 50 cm pločio.

Dirbkime su kvadratines lygtis. Tai labai populiarios lygtys! Paprasčiausia kvadratinė lygtis atrodo taip:

Pavyzdžiui:

čia a =1; b = 3; c = -4

čia a =2; b = -0,5; c = 2,2

čia a =-3; b = 6; c = -18

Na, supranti...

Kaip išspręsti kvadratines lygtis? Jei turite šios formos kvadratinę lygtį, tada viskas paprasta. Prisiminkite stebuklingą žodį diskriminuojantis . Retas gimnazistas nėra girdėjęs šio žodžio! Frazė „spręsk per diskriminantą“ ramina ir ramina. Nes nereikia laukti gudrybių iš diskriminanto! Tai paprasta ir be problemų naudoti. Taigi, kvadratinės lygties šaknų radimo formulė atrodo taip:

Išraiška po šaknies ženklu yra tokia pati diskriminuojantis. Kaip matote, norėdami rasti x, naudojame tik a, b ir c. Tie. koeficientai iš kvadratinės lygties. Tiesiog atsargiai pakeiskite vertybes a, b ir cį šią formulę ir apsvarstykite. Pakaitalas su savo ženklais! Pavyzdžiui, pirmajai lygčiai a =1; b = 3; c= -4. Čia rašome:

Pavyzdys beveik išspręstas:

Tai viskas.

Kokie atvejai galimi naudojant šią formulę? Yra tik trys atvejai.

1. Diskriminantas yra teigiamas. Tai reiškia, kad iš jo galite išgauti šaknį. Kitas klausimas, ar šaknis išgauta gerai, ar blogai. Svarbu, kas išgaunama iš esmės. Tada jūsų kvadratinė lygtis turi dvi šaknis. Du skirtingi sprendimai.

2. Diskriminantas lygus nuliui. Tada turite vieną sprendimą. Griežtai kalbant, tai ne viena šaknis, bet du vienodi. Tačiau tai turi įtakos nelygybėms, kur mes šią problemą išnagrinėsime išsamiau.

3. Diskriminantas yra neigiamas. Neigiamas skaičius neįima kvadratinės šaknies. Na, gerai. Tai reiškia, kad sprendimų nėra.

Viskas labai paprasta. O kaip tu manai, negali suklysti? Na taip, kaip...
Dažniausios klaidos – supainiojimas su vertybių ženklais a, b ir c. Tiksliau, ne jų ženklais (kur čia supainioti?), o neigiamų reikšmių pakeitimu į šaknų skaičiavimo formulę. Čia išsaugomas išsamus formulės įrašas su konkrečiais skaičiais. Jei kyla problemų su skaičiavimais, tai padaryk tai!

Tarkime, kad turime išspręsti šį pavyzdį:

čia a = -6; b = -5; c=-1

Tarkime, žinote, kad pirmą kartą retai sulaukiate atsakymų.

Na, netingėk. Papildomai eilutei parašyti prireiks 30 sekundžių.Ir klaidų skaičius smarkiai sumažės. Taigi mes rašome išsamiai, su visais skliaustais ir ženklais:

Atrodo neįtikėtinai sunku taip kruopščiai dažyti. Bet tik atrodo. Pabandyk tai. Na, arba pasirinkti. Kas geriau, greitas ar teisingas? Be to, aš tave pradžiuginsiu. Po kurio laiko nebereikės visko taip kruopščiai dažyti. Tai tiesiog pasirodys teisinga. Ypač jei taikote praktinius metodus, kurie aprašyti toliau. Šis piktas pavyzdys su daugybe minusų bus išspręstas lengvai ir be klaidų!

Taigi, kaip išspręsti kvadratines lygtis per diskriminantą, kurį prisiminėme. Arba išmoko, o tai irgi gerai. Ar galite teisingai nustatyti a, b ir c. Ar žinai kaip dėmesingai pakeiskite juos šaknies formule ir dėmesingai suskaičiuok rezultatą. Ar supratote, kad pagrindinis žodis čia yra - dėmesingai?

Tačiau kvadratinės lygtys dažnai atrodo šiek tiek kitaip. Pavyzdžiui, taip:

Tai yra nepilnos kvadratinės lygtys . Jas taip pat galima išspręsti naudojant diskriminantą. Jums tiesiog reikia teisingai išsiaiškinti, kas čia yra lygus a, b ir c.

Supratau? Pirmame pavyzdyje a = 1; b = -4; a c? Jo visai nėra! Na, taip, tai tiesa. Matematikoje tai reiškia c = 0 ! Tai viskas. Vietoj to, formulėje pakeiskite nulį c, ir viskas mums susitvarkys. Panašiai ir su antruoju pavyzdžiu. Tik nulio mes čia neturime su, a b !

Tačiau neišsamias kvadratines lygtis galima išspręsti daug lengviau. Be jokios diskriminacijos. Apsvarstykite pirmąją nepilną lygtį. Ką galima padaryti kairėje pusėje? Galite išimti X iš skliaustų! Išimkime.

Ir kas iš šito? Ir tai, kad sandauga yra lygi nuliui tada ir tik tada, kai kuris nors iš veiksnių yra lygus nuliui! Netiki? Na, tada sugalvokite du ne nulius skaičius, kuriuos padauginus bus gautas nulis!
Neveikia? Kažkas...
Todėl drąsiai galime rašyti: x = 0, arba x = 4

Viskas. Tai bus mūsų lygties šaknys. Abu tinka. Pakeitus bet kurį iš jų į pradinę lygtį, gauname teisingą tapatybę 0 = 0. Kaip matote, sprendimas yra daug paprastesnis nei per diskriminantą.

Antroji lygtis taip pat gali būti lengvai išspręsta. Perkeliame 9 į dešinę pusę. Mes gauname:

Belieka ištraukti šaknį iš 9, ir viskas. Gaukite:

taip pat dvi šaknys . x = +3 ir x = -3.

Taip išsprendžiamos visos nepilnos kvadratinės lygtys. Arba išimant X iš skliaustų arba tiesiog perkeliant skaičių į dešinę, po to ištraukiant šaknį.
Šiuos metodus labai sunku supainioti. Tiesiog todėl, kad pirmuoju atveju turėsite ištraukti šaknį iš X, o tai kažkaip nesuprantama, o antruoju atveju nėra ko išimti iš skliaustų ...

Dabar atkreipkite dėmesį į praktinius metodus, kurie žymiai sumažina klaidų skaičių. Tie, kurie atsiranda dėl neatidumo... Už ką tada skaudu ir įžeidžiau...

Pirmas priėmimas. Nebūkite tingus prieš išspręsdami kvadratinę lygtį, kad ji būtų standartinė. Ką tai reiškia?
Tarkime, po bet kokių transformacijų gausite tokią lygtį:

Neskubėkite rašyti šaknų formulės! Beveik neabejotinai sumaišysite šansus a, b ir c. Teisingai sukurkite pavyzdį. Pirma, x kvadratas, tada be kvadrato, tada laisvasis narys. Kaip šitas:

Ir vėl, neskubėkite! Minusas prieš x kvadratą gali jus labai nuliūdinti. Pamiršti lengva... Atsikratykite minuso. Kaip? Taip, kaip mokyta ankstesnėje temoje! Turime padauginti visą lygtį iš -1. Mes gauname:

O dabar galite drąsiai užsirašyti šaknų formulę, apskaičiuoti diskriminantą ir užbaigti pavyzdį. Spręskite patys. Turėtumėte gauti šaknis 2 ir -1.

Antrasis priėmimas. Patikrinkite savo šaknis! Pagal Vietos teoremą. Nesijaudink, aš viską paaiškinsiu! Tikrinama paskutinis dalykas lygtis. Tie. ta, kuria užrašėme šaknų formulę. Jei (kaip šiame pavyzdyje) koeficientas a = 1, lengvai patikrinkite šaknis. Užtenka juos padauginti. Turėtumėte gauti nemokamą terminą, t.y. mūsų atveju -2. Atkreipkite dėmesį, ne 2, o -2! nemokamas narys su savo ženklu . Jei nepavyko, vadinasi, jie jau kažkur susipainiojo. Ieškokite klaidos. Jei pavyko, šaknis reikia sulankstyti. Paskutinis ir paskutinis patikrinimas. Turėtų būti santykis b su priešingas ženklas. Mūsų atveju -1+2 = +1. Koeficientas b, kuris yra prieš x, yra lygus -1. Taigi, viskas teisinga!
Gaila, kad taip paprasta tik pavyzdžiams, kur x kvadratas yra grynas, su koeficientu a = 1. Bet bent jau patikrinkite tokias lygtis! Bus mažiau klaidų.

Trečias priėmimas. Jei jūsų lygtis turi trupmenų koeficientus, atsikratykite trupmenų! Padauginkite lygtį iš bendro vardiklio, kaip aprašyta ankstesniame skyriuje. Kai dirbate su trupmenomis, klaidos dėl tam tikrų priežasčių kyla ...

Beje, žadėjau supaprastinti blogą pavyzdį su krūva minusų. Sveiki atvykę! Štai kur jis.

Kad nesusipainiotume minusuose, lygtį padauginame iš -1. Mes gauname:

Tai viskas! Spręsti yra smagu!

Taigi, pakartokime temą.

Praktiniai patarimai:

1. Prieš spręsdami kvadratinę lygtį perkeliame į standartinę formą, pastatome teisingai.

2. Jei kvadrate prieš x yra neigiamas koeficientas, jį pašaliname visą lygtį padauginę iš -1.

3. Jei koeficientai trupmeniniai, tai trupmenas eliminuojame padauginę visą lygtį iš atitinkamo koeficiento.

4. Jei x kvadratas yra grynas, jo koeficientas lygus vienetui, sprendinį galima nesunkiai patikrinti naudojant Vietos teoremą. Daryk!

Trupmenų lygtys. ODZ.

Mes ir toliau įvaldome lygtis. Mes jau žinome, kaip dirbti su tiesinėmis ir kvadratinėmis lygtimis. Lieka paskutinis vaizdas trupmenines lygtis. Arba jie taip pat vadinami daug tvirtesniais - trupmenines racionaliąsias lygtis. Tai tas pats.

Trupmenų lygtys.

Kaip rodo pavadinimas, šiose lygtyse būtinai yra trupmenų. Bet ne tik trupmenos, bet ir trupmenos, kurios turi vardiklyje nežinomas. Bent jau viename. Pavyzdžiui:

Leiskite jums priminti, jei tik vardikliuose numeriai, tai tiesinės lygtys.

Kaip nuspręsti trupmenines lygtis? Visų pirma, atsikratykite trupmenų! Po to lygtis dažniausiai virsta tiesine arba kvadratine. Ir tada mes žinome, ką daryti... Kai kuriais atvejais tai gali virsti tapatybe, pvz., 5=5 arba neteisinga išraiška, pavyzdžiui, 7=2. Tačiau taip nutinka retai. Žemiau paminėsiu.

Bet kaip atsikratyti trupmenų!? Labai paprasta. Taikant visas tas pačias identiškas transformacijas.

Turime padauginti visą lygtį iš tos pačios išraiškos. Kad visi vardikliai sumažėtų! Viskas iš karto taps lengviau. Paaiškinu pavyzdžiu. Tarkime, kad turime išspręsti lygtį:

Kaip jie buvo mokomi pradinėje mokykloje? Viską perkeliame į vieną pusę, sumažiname iki bendro vardiklio ir t.t. Pamiršk, koks blogas sapnas! Tai reikia padaryti, kai pridedate arba atimate trupmenines išraiškas. Arba dirbti su nelygybėmis. Ir lygtyse mes iš karto padauginame abi dalis iš išraiškos, kuri suteiks mums galimybę sumažinti visus vardiklius (ty iš esmės iš bendro vardiklio). Ir kas yra ši išraiška?

Kairėje pusėje, norėdami sumažinti vardiklį, turite padauginti iš x+2. O dešinėje reikia dauginti iš 2. Taigi lygtį reikia padauginti iš 2 (x+2). Mes dauginame:

Tai yra įprastas trupmenų dauginimas, bet aš parašysiu išsamiai:

Atkreipkite dėmesį, kad skliaustų dar neatidarau. (x + 2)! Taigi, visą tai rašau:

Kairėje pusėje jis visiškai sumažintas (x+2), o dešinėje 2. Pagal poreikį! Po sumažinimo gauname linijinis lygtis:

Kiekvienas gali išspręsti šią lygtį! x = 2.

Išspręskime kitą pavyzdį, šiek tiek sudėtingesnį:

Jei prisiminsime, kad 3 = 3/1, ir 2x = 2x/ 1 galima parašyti:

Ir vėl atsikratome to, kas mums nelabai patinka – nuo ​​trupmenų.

Matome, kad norint sumažinti vardiklį su x, reikia trupmeną padauginti iš (x - 2). Ir vienetai mums nėra kliūtis. Na, padauginkime. Visi kairėje pusėje ir visi dešinioji pusė:

Vėl skliausteliuose (x - 2) Aš neatskleidžiu. Aš dirbu su visu skliaustu, tarsi tai būtų vienas skaičius! Tai turi būti daroma visada, kitaip niekas nesumažės.

Su gilaus pasitenkinimo jausmu pjauname (x - 2) ir lygtį gauname be jokių trupmenų, liniuote!

O dabar atidarome skliaustus:

Pateikiame panašius, perkeliame viską į kairę pusę ir gauname:

Klasikinė kvadratinė lygtis. Bet minusas į priekį nėra geras. Visada galite jo atsikratyti padauginę arba padalydami iš -1. Bet jei atidžiai pažvelgsite į pavyzdį, pastebėsite, kad geriausia šią lygtį padalyti iš -2! Vienu ypu minusas dings, o koeficientai gražės! Daliname iš -2. Kairėje pusėje - terminas po termino, o dešinėje - tiesiog padalinkite nulį iš -2, nulį ir gaukite:

Sprendžiame per diskriminantą ir tikriname pagal Vietos teoremą. Mes gauname x = 1 ir x = 3. Dvi šaknys.

Kaip matote, pirmuoju atveju lygtis po transformacijos tapo tiesinė, o čia kvadratinė. Būna, kad atsikračius trupmenų visi x sumažinami. Kažkas liko, pavyzdžiui, 5=5. Tai reiškia kad x gali būti bet kas. Kad ir kas tai būtų, jis vis tiek bus sumažintas. Ir gaukite gryną tiesą, 5 = 5. Bet, atsikračius trupmenų, tai gali pasirodyti visiškai netiesa, pavyzdžiui, 2=7. O tai reiškia, kad jokių sprendimų! Su bet kuriuo x jis pasirodo klaidingas.

Suprato pagrindinį sprendimo būdą trupmenines lygtis? Tai paprasta ir logiška. Pakeičiame pradinę išraišką, kad dingtų viskas, kas mums nepatinka. Arba trukdyti. Šiuo atveju tai trupmenos. Tą patį padarysime su visais sudėtingais pavyzdžiais su logaritmais, sinusais ir kitais baisumais. Mes visada mes viso šito atsikratysime.

Tačiau turime pakeisti pradinę išraišką mums reikalinga kryptimi pagal taisykles, taip ... Kurio kūrimas yra pasiruošimas matematikos egzaminui. Čia mes mokomės.

Dabar mes išmoksime apeiti vieną iš pagrindinės pasalos egzamino metu! Bet pirmiausia pažiūrėkime, ar jūs į jį patenkate, ar ne?

Paimkime paprastą pavyzdį:

Reikalas jau pažįstamas, abi dalis padauginame iš (x - 2), mes gauname:

Atminkite, su skliausteliuose (x - 2) dirbame kaip su viena, integralia išraiška!

Čia aš jau neberašiau tos vardikliuose, neorus... Ir vardikliuose skliaustų netraukiau, išskyrus x - 2 nieko nėra, negalima piešti. Sutrumpiname:

Atidarome skliaustus, perkeliame viską į kairę, pateikiame panašius:

Išsprendžiame, patikriname, gauname dvi šaknis. x = 2 ir x = 3. gerai.

Tarkime, užduotyje nurodyta užrašyti šaknį arba jų sumą, jei šaknų yra daugiau nei viena. Ką rašysime?

Jei nuspręsite, kad atsakymas yra 5, jūs buvo užpulti pasaloje. Ir užduotis jums nebus įskaityta. Jie dirbo veltui... Teisingas atsakymas yra 3.

Kas nutiko?! Ir tu pabandyk patikrinti. Nežinomo reikšmes pakeiskite į pradinė pavyzdys. O jei at x = 3 viskas nuostabiai auga kartu, gauname 9 = 9, tada su x = 2 padalinti iš nulio! Ko visiškai negalima padaryti. Reiškia x = 2 nėra sprendimas ir į jį neatsižvelgiama atsakant. Tai vadinamoji pašalinė arba papildoma šaknis. Mes tiesiog jį išmetame. Yra tik viena galutinė šaknis. x = 3.

Kaip tai?! Girdžiu pasipiktinusius šūksnius. Mus mokė, kad lygtį galima padauginti iš išraiškos! Tai ta pati transformacija!

Taip, identiškas. Esant nedidelei sąlygai - išraiška, iš kurios mes dauginame (daliname) - skiriasi nuo nulio. BET x - 2 adresu x = 2 lygus nuliui! Taigi viskas sąžininga.

O dabar ką aš galiu padaryti?! Nedauginti pagal išraišką? Ar tikrinate kiekvieną kartą? Ir vėl neaišku!

ramiai! Jokios panikos!

Šioje sudėtingoje situacijoje mus išgelbės trys stebuklingos raidės. Aš žinau, ką tu galvoji. Teisingai! Tai yra ODZ . Galiojančių vertybių sritis.