Piktograma priklauso. Matematiniai ženklai
Begalybė.J. Wallis (1655).
Pirmą kartą jis randamas anglų matematiko Johno Valis traktate „Apie kūginius pjūvius“.
Natūralių logaritmų pagrindas. L. Euleris (1736).
Matematinė konstanta, transcendentinis skaičius. Šis numeris kartais vadinamas ne Perovasškotų garbei mokslininkas Napier, veikalo „Nuostabiosios logaritmų lentelės aprašymas“ (1614) autorius. Pirmą kartą konstanta tyliai yra vertimo į priede Anglų kalba minėtas Napier darbas, išleistas 1618 m. Tą pačią konstantą pirmasis apskaičiavo šveicarų matematikas Jacobas Bernoulli, spręsdamas palūkanų pajamų ribinės vertės problemą.
2,71828182845904523...
Pirmasis žinomas šios konstantos panaudojimas, kur ji buvo pažymėta raide b, rastas Leibnizo laiškuose Huygensui, 1690–1691 m. laišką e pradėjo naudoti Euler 1727 m., o pirmoji publikacija su šiuo laišku buvo jo mechanika arba judėjimo mokslas, analitikai teigta, 1736 m. Atitinkamai, e paprastai vadinamas Eulerio numeris. Kodėl pasirinktas laiškas? e, nėra tiksliai žinomas. Galbūt taip yra dėl to, kad žodis prasideda juo eksponentinis(„eksponentinis“, „eksponentinis“). Dar viena prielaida, kad raidės a, b, c ir d jau plačiai naudojamas kitiems tikslams, ir e buvo pirmasis „nemokamas“ laiškas.
Apskritimo perimetro ir jo skersmens santykis. W. Jonesas (1706 m.), L. Eileris (1736 m.).
matematinė konstanta, neracionalus skaičius. Skaičius „pi“, senasis vardas yra Ludolfo numeris. Kaip ir bet kuris neracionalus skaičius, π vaizduojamas begaline neperiodine dešimtaine trupmena:
π=3,141592653589793...
Pirmą kartą šio skaičiaus žymėjimą graikiška raide π panaudojo britų matematikas Williamas Jonesas knygoje „Naujas matematikos įvadas“ ir jis tapo visuotinai priimtas po Leonhardo Eulerio darbo. Šis pavadinimas kilęs iš pradinės graikų kalbos žodžių περιφερεια – apskritimas, periferija ir περιμετρος – perimetras. Johanas Heinrichas Lambertas 1761 metais įrodė π neracionalumą, o Adrienas Marie Legendre 1774 metais – π 2 neracionalumą. Legendre ir Euleris manė, kad π gali būti transcendentinė, t.y. negali patenkinti nė vieno algebrinė lygtis su sveikųjų skaičių koeficientais, ką galiausiai 1882 m. įrodė Ferdinandas fon Lindemannas.
įsivaizduojamas vienetas. L. Euleris (1777 m., spaudoje - 1794 m.).
Yra žinoma, kad lygtis x 2 \u003d 1 turi dvi šaknis: 1 ir -1 . Įsivaizduojamasis vienetas yra viena iš dviejų lygties šaknų x 2 \u003d -1, žymimas lotyniška raide i, kita šaknis: -i. Šį pavadinimą pasiūlė Leonhardas Euleris, kuris paėmė pirmąją raidę Lotyniškas žodis įsivaizduojamas(įsivaizduojamas). Taip pat visas standartines funkcijas jis išplėtė į kompleksinį domeną, t.y. formoje pavaizduojamų skaičių rinkinys a+ib, kur a ir b yra realūs skaičiai. Terminą „sudėtinis skaičius“ plačiai pradėjo vartoti vokiečių matematikas Carlas Gaussas 1831 m., nors anksčiau ta pačia prasme terminą vartojo prancūzų matematikas Lazaras Carnot 1803 m.
Vienetų vektoriai. W. Hamiltonas (1853).
Vienetų vektoriai dažnai siejami su koordinačių sistemos koordinačių ašimis (ypač su Dekarto koordinačių sistemos ašimis). Vieneto vektorius, nukreiptas išilgai ašies X, pažymėta i, vieneto vektorius, nukreiptas išilgai ašies Y, pažymėta j, o vieneto vektorius nukreiptas išilgai ašies Z, pažymėta k. Vektoriai i, j, k yra vadinami ortais, jie turi tapatybės modulius. Terminą „ort“ įvedė anglų matematikas ir inžinierius Oliveris Heaviside'as (1892), o užrašas i, j, k airių matematikas Williamas Hamiltonas.
Sveikoji skaičiaus dalis, antie. K. Gaussas (1808).
Skaičiaus x skaičiaus [x] sveikoji dalis yra didžiausias sveikasis skaičius, neviršijantis x. Taigi, =5, [-3,6]=-4. Funkcija [x] taip pat vadinama "antier of x". Sveikosios dalies funkcijos simbolį Carlas Gaussas pristatė 1808 m. Kai kurie matematikai nori naudoti žymėjimą E(x), kurį 1798 m. pasiūlė Legendre.
Lygiagretumo kampas. N.I. Lobačevskis (1835).
Lobačevskio plokštumoje - kampas tarp linijosbeinantis per taškąOlygiagreti tiesia linijaa, kuriame nėra taškoO, ir statmenai nuoO ant a. α yra šio statmens ilgis. Kadangi taškas pašalinamasO iš tiesios alygiagretumo kampas sumažėja nuo 90° iki 0°. Lobačevskis pateikė lygiagretumo kampo formulęP( α )=2arctg e - α /q , kur q yra tam tikra konstanta, susijusi su Lobačevskio erdvės kreivumu.
Nežinomi arba kintantys kiekiai. R. Dekartas (1637).
Matematikoje kintamasis yra dydis, apibūdinamas reikšmių rinkiniu, kurį jis gali užimti. Tai gali reikšti ir realų fizinį dydį, laikinai vertinamą atskirai nuo jo fizinio konteksto, ir kokį nors abstraktų dydį, kuris neturi analogų realiame pasaulyje. Kintamojo samprata atsirado XVII a. iš pradžių veikiamas gamtos mokslo reikalavimų, kurie iškėlė į pirmą planą judėjimo, procesų, o ne tik būsenų, tyrinėjimus. Ši koncepcija reikalavo naujų jos išraiškos formų. Pažodinė René Descarteso algebra ir analitinė geometrija buvo tokios naujos formos. Pirmą kartą stačiakampę koordinačių sistemą ir žymėjimą x, y įvedė Rene Descartes savo veikale „Metodo diskursas“ 1637 m. Pierre'as Fermatas taip pat prisidėjo prie koordinačių metodo kūrimo, tačiau jo darbas pirmą kartą buvo paskelbtas po jo mirties. Dekartas ir Ferma koordinačių metodą naudojo tik plokštumoje. Koordinačių metodą trimatei erdvei Leonhardas Euleris pirmą kartą taikė jau XVIII a.
Vektorius. O.Koshi (1853).
Nuo pat pradžių vektorius suprantamas kaip objektas, turintis dydį, kryptį ir (pasirinktinai) taikymo tašką. Vektorių skaičiavimo užuomazgos atsirado kartu su geometriniu kompleksinių skaičių modeliu Gauss (1831). Pažangias vektorių operacijas paskelbė Hamiltonas kaip savo ketvirčio skaičiavimo dalį (įsivaizduojami kvaterniono komponentai sudarė vektorių). Hamiltonas sugalvojo terminą vektorius(iš lotyniško žodžio vektorius, vežėjas) ir aprašė kai kurias vektorinės analizės operacijas. Šį formalizmą Maxwell naudojo savo darbuose apie elektromagnetizmą, taip atkreipdamas mokslininkų dėmesį į naująjį skaičiavimą. Netrukus pasirodė Gibbso vektorinės analizės elementai (1880 m.), o paskui Heaviside'as (1903 m.) atliko vektorinę analizę. moderni išvaizda. Patį vektorinį ženklą 1853 metais pristatė prancūzų matematikas Augustinas Louisas Cauchy.
Sudėjimas, atėmimas. J. Widmanas (1489).
Pliuso ir minuso ženklai, matyt, buvo sugalvoti vokiečių matematinėje „kosistų“ (tai yra algebristų) mokykloje. Jie naudojami Jano (Johanneso) Widmanno vadovėlyje „Greitas ir malonus skaičiavimas visiems pirkliams“, išleistame 1489 m. Prieš tai papildymas buvo pažymėtas raide p(iš lotynų kalbos pliusas„daugiau“) arba lotyniškas žodis et(jungtukas „ir“), o atimtis – raide m(iš lotynų kalbos minusas„mažiau, mažiau“). Widmane pliuso ženklas pakeičia ne tik papildymą, bet ir sąjungą „ir“. Šių simbolių kilmė neaiški, tačiau greičiausiai jie anksčiau buvo naudojami prekyboje kaip pelno ir nuostolio ženklai. Abu simboliai greitai tapo įprasti Europoje – išskyrus Italiją, kuri senuosius pavadinimus naudojo apie šimtmetį.
Daugyba. W. Outredas (1631 m.), G. Leibnicas (1698 m.).
Daugybos ženklą įstrižo kryžiaus pavidalu 1631 m. įvedė anglas Williamas Outredas. Prieš jį dažniausiai naudojamas laiškas M, nors buvo pasiūlyti ir kiti pavadinimai: stačiakampio simbolis (prancūzų matematikas Erigon, 1634), žvaigždutė (šveicarų matematikas Johannas Rahnas, 1659). Vėliau Gotfrydas Vilhelmas Leibnicas kryžių pakeitė tašku (XVII a. pabaiga), kad nebūtų painiojamas su raide x; prieš jį tokią simboliką rado vokiečių astronomas ir matematikas Regiomontanas (XV a.) ir anglų mokslininkas Thomas Harriot (1560 -1621).
Padalinys. I.Ranas (1659), G.Leibnicas (1684).
William Outred naudojo pasvirąjį brūkšnį / kaip padalijimo ženklą. Dvitaškių skyrimas pradėjo žymėti Gottfriedą Leibnizą. Prieš juos laiškas taip pat dažnai buvo naudojamas D. Pradedant nuo Fibonačio, naudojama ir horizontali trupmenos linija, kurią naudojo Heronas, Diofantas ir arabų raštuose. Anglijoje ir JAV paplito simbolis ÷ (obelus), kurį 1659 m. pasiūlė Johanas Rahnas (galbūt dalyvaujant Johnui Pellui). Amerikos nacionalinio matematinių standartų komiteto bandymas ( Nacionalinis matematinių reikalavimų komitetas) pašalinti obelus iš praktikos (1923 m.) buvo neįtikinamas.
proc. P. de la Porte (1685).
Šimtoji visumos dalis, paimta kaip vienetas. Pats žodis „procentas“ kilęs iš lotyniško „pro centum“, reiškiančio „šimtas“. 1685 m. Paryžiuje buvo išleista Mathieu de la Porte knyga „Komercinės aritmetikos vadovas“. Vienoje vietoje buvo kalbama apie procentus, kurie tada reiškė „cto“ (sutrumpinimas iš cento). Tačiau rinkėjas klaidingai suprato, kad „cto“ yra trupmena ir įvedė „%“. Taigi dėl rašybos klaidos šis ženklas buvo pradėtas naudoti.
Laipsniai. R. Dekartas (1637), I. Niutonas (1676).
Šiuolaikinį eksponento žymėjimą įvedė René Descartes savo knygoje " geometrijos"(1637 m.), tačiau tik natūralioms galioms, kurių rodikliai yra didesni nei 2. Vėliau Izaokas Niutonas išplėtė šią žymėjimo formą neigiamiems ir trupmeniniams rodikliams (1676 m.), kurių interpretaciją iki tol jau buvo pasiūlyta: flamandų matematikas ir inžinierius Simonas Stevinas, anglų matematikas Johnas Vallisas ir prancūzų matematikas Albertas Girardas.
aritmetinė šaknis n tikrojo skaičiaus laipsnis a≥0, - neneigiamas skaičius n-kurio laipsnis lygus a. 2-ojo laipsnio aritmetinė šaknis vadinama kvadratine ir gali būti užrašoma nenurodant laipsnio: √. 3 laipsnio aritmetinė šaknis vadinama kubo šaknimi. Viduramžių matematikai (pavyzdžiui, Cardano) kvadratinę šaknį žymėjo simboliu R x (iš lot. Radix, šaknis). Šiuolaikinį pavadinimą pirmą kartą panaudojo vokiečių matematikas Christophas Rudolfas iš Cossist mokyklos 1525 m. Šis simbolis kilęs iš stilizuotos pirmosios to paties žodžio raidės radix. Virš radikalios išraiškos linijos iš pradžių nebuvo; vėliau jį įvedė Dekartas (1637) kitokiu tikslu (vietoj skliaustų), ir ši savybė netrukus susiliejo su šaknies ženklu. Kubinė šaknis XVI amžiuje buvo žymima taip: R x .u.cu (iš lat. Radix universalis cubica). Albertas Girardas (1629) pradėjo naudoti įprastą savavališko laipsnio šaknį. Šis formatas buvo sukurtas Isaac Newton ir Gottfried Leibniz dėka.
Logaritmas, dešimtainis logaritmas, natūralusis logaritmas. I. Kepleris (1624), B. Cavalieri (1632), A. Prinsheimas (1893).
Terminas „logaritmas“ priklauso škotų matematikui Johnui Napieriui ( "Nuostabios logaritmų lentelės aprašymas", 1614); jis atsirado sujungus graikiškų žodžių λογος (žodis, santykis) ir αριθμος (skaičius). J. Napier logaritmas yra pagalbinis skaičius dviejų skaičių santykiui matuoti. Šiuolaikinį logaritmo apibrėžimą pirmasis pateikė anglų matematikas Williamas Gardineris (1742). Pagal apibrėžimą – skaičiaus logaritmas b dėl priežasties a (a ≠ 1, a > 0) – eksponentas m, iki kurio skaičius turėtų būti padidintas a(vadinamas logaritmo pagrindu) gauti b. Žymima log a b. Taigi, m = žurnalas a b, jeigu a m = b.
Pirmąsias dešimtainių logaritmų lenteles 1617 m. paskelbė Oksfordo matematikos profesorius Henry Briggsas. Todėl užsienyje dešimtainiai logaritmai dažnai vadinami brigais. Terminą „natūralus logaritmas“ įvedė Pietro Mengoli (1659 m.) ir Nicholas Mercator (1668 m.), nors Londono matematikos mokytojas Johnas Spidellas natūraliųjų logaritmų lentelę sudarė dar 1619 m.
Prieš pabaigos XIX amžiuje nebuvo visuotinai priimto logaritmo, pagrindo, žymėjimo a nurodyta kairėje ir virš simbolio žurnalas, tada per jį. Galiausiai matematikai priėjo prie išvados, kad labiausiai patogi vieta pagrindui – žemiau linijos, po simboliu žurnalas. Logaritmo ženklas – žodžio „logaritmas“ redukcijos rezultatas – atsiranda in įvairių tipų Pavyzdžiui, beveik tuo pačiu metu, kai pasirodė pirmosios logaritmų lentelės Žurnalas- I. Kepleris (1624 m.) ir G. Briggsas (1631 m.), žurnalas- B. Cavalieri (1632). Paskyrimas ln dėl natūralusis logaritmas pristatė vokiečių matematikas Alfredas Pringsheimas (1893).
Sinusas, kosinusas, tangentas, kotangentas. W. Outred (XVII a. vidurys), I. Bernoulli (XVIII a.), L. Euleris (1748, 1753).
Trumpąjį sinuso ir kosinuso žymėjimą įvedė William Outred in septynioliktos vidurys amžiaus. Tangento ir kotangento santrumpos: tg, ctg XVIII amžiuje įvedė Johanas Bernullis, jos paplito Vokietijoje ir Rusijoje. Kitose šalyse naudojami šių funkcijų pavadinimai. įdegis, lovytė Albertas Girardas pasiūlė dar anksčiau, XVII amžiaus pradžioje. Leonardas Euleris (1748, 1753) perkėlė trigonometrinių funkcijų teoriją į šiuolaikinę formą, o mes jam taip pat skolingi už tikrosios simbolikos įtvirtinimą.Terminą „trigonometrinės funkcijos“ 1770 metais įvedė vokiečių matematikas ir fizikas Georgas Simonas Klugelis.
Iš pradžių buvo vadinama Indijos matematikų sinuso linija "arha dživa"(„pusei styga“, tai yra, pusė akordo), tada žodis "archa" buvo išmestas ir sinuso linija pradėta vadinti paprastai "dživa". Arabų kalbos vertėjai šio žodžio neišvertė "dživa" Arabiškas žodis "vataras", reiškiantis strypo stygą ir akordą, ir perrašytas arabiškomis raidėmis ir pradėtas vadinti sinusine linija "džiba". Nuo m arabiškas trumpieji balsiai nežymimi, o ilgieji „ir“ žodyje "džiba"žymimas taip pat kaip pusbalsis „y“, arabai pradėjo tarti sinusinės linijos pavadinimą "jibe", kuris pažodžiui reiškia „tuščiaviduris“, „gėlė“. Versdami arabiškus kūrinius į lotynų kalbą, Europos vertėjai išvertė šį žodį "jibe" Lotyniškas žodis sinusas, turintis tą pačią reikšmę.Terminas „tangentas“ (iš lot.liestinės- liesti) pristatė danų matematikas Thomas Fincke savo knygoje „Apvalaus geometrija“ (1583).
Arčinas. K.Scherfer (1772), J.Lagrange (1772).
Atvirkštinės trigonometrinės funkcijos yra matematinės funkcijos, kurios yra atvirkštinės trigonometrinėms funkcijoms. Atvirkštinės trigonometrinės funkcijos pavadinimas sudaromas iš atitinkamos trigonometrinės funkcijos pavadinimo pridedant priešdėlį „lankas“ (iš lat. lankas- lankas).Atvirkštinės trigonometrinės funkcijos paprastai apima šešias funkcijas: arcsine (arcsin), arccosine (arccos), arctangent (arctg), arccotangent (arcctg), arccotangent (arcsec) ir arccosecant (arccosec). Pirmą kartą specialius atvirkštinių trigonometrinių funkcijų simbolius panaudojo Daniel Bernoulli (1729, 1736).Atvirkštinių trigonometrinių funkcijų žymėjimo priešdėliu būdas lankas(iš lat. arcus, lankas) pasirodė pas austrų matematiką Karlą Scherferį ir įsitvirtino prancūzų matematiko, astronomo ir mechaniko Joseph Louis Lagrange dėka. Turėta galvoje, kad, pavyzdžiui, įprastas sinusas leidžia rasti jį išilgai apskritimo lanko jungiančią stygą, o atvirkštinė funkcija išsprendžia priešingą problemą. Iki XIX amžiaus pabaigos anglų ir vokiečių matematikos mokyklos siūlė kitą žymėjimą: nuodėmė. -1 ir 1/sin, tačiau jie nėra plačiai naudojami.
Hiperbolinis sinusas, hiperbolinis kosinusas. W. Riccati (1757).
Pirmą kartą hiperbolinių funkcijų atsiradimą istorikai atrado anglų matematiko Abraomo de Moivre'o (1707, 1722) raštuose. Šiuolaikinį apibrėžimą ir išsamų jų tyrimą atliko italas Vincenzo Riccati 1757 m. darbe „Opusculorum“, jis taip pat pasiūlė jų pavadinimus: sh,sk. Riccati rėmėsi vienos hiperbolės svarstymu. Nepriklausomą hiperbolinių funkcijų savybių atradimą ir tolesnį tyrimą atliko vokiečių matematikas, fizikas ir filosofas Johannas Lambertas (1768), nustatęs platų įprastos ir hiperbolinės trigonometrijos formulių paraleliškumą. N.I. Vėliau Lobačevskis panaudojo šį paralelizmą, bandydamas įrodyti neeuklido geometrijos nuoseklumą, kai įprasta trigonometrija pakeičiama hiperboline.
Kaip trigonometrinis sinusas ir kosinusas yra taško koordinačių apskritime koordinatės, hiperbolinis sinusas ir kosinusas yra hiperbolės taško koordinatės. Hiperbolinės funkcijos išreiškiamos eksponentine išraiška ir yra glaudžiai susijusios su trigonometrinės funkcijos: sh(x)=0,5(e x-e-x) , ch(x)=0,5(e x +e -x). Analogiškai su trigonometrinėmis funkcijomis hiperbolinis tangentas ir kotangentas apibrėžiami kaip atitinkamai hiperbolinio sinuso ir kosinuso, kosinuso ir sinuso santykiai.
Diferencialinis. G. Leibnicas (1675, spaudoje 1684).
Pagrindinė, tiesinė funkcijos prieaugio dalis.Jei funkcija y=f(x) vienas kintamasis x turi at x=x0išvestinė ir prieaugisΔy \u003d f (x 0 +? x)-f (x 0)funkcijas f(x) gali būti pavaizduotas kaipΔy \u003d f "(x 0) Δx + R (Δx) , kur narys R be galo mažas, palyginti suΔx. Pirmasis narysdy=f"(x 0 )ΔxŠiame išplėtimas vadinamas funkcijos diferencialu f(x) taškex0. AT Gottfriedo Leibnizo, Jokūbo ir Johano Bernoulli darbai"skirtumas"buvo vartojamas „prieaugio“ reikšme, I. Bernoulli jį žymėjo per Δ. G. Leibnicas (1675 m., išleistas 1684 m.) vartojo užrašą „be galo mažas skirtumas“d- pirmoji žodžio raidė"diferencinis", suformuotas jo iš"skirtumas".
Neapibrėžtas integralas. G. Leibnicas (1675, spaudoje 1686).
Žodį „integralus“ pirmasis spaudoje pavartojo Jacobas Bernoulli (1690). Galbūt šis terminas kilęs iš lotynų kalbos sveikasis skaičius- visas. Remiantis kita prielaida, pagrindas buvo lotyniškas žodis integro- atkurti, atkurti. Ženklas ∫ naudojamas matematikos integralui žymėti ir yra stilizuotas lotyniško žodžio pirmosios raidės vaizdas. suma- suma. Pirmą kartą jį panaudojo vokiečių matematikas Gottfriedas Leibnicas, diferencialinio ir integralinio skaičiavimo įkūrėjas, XVII amžiaus pabaigoje. Kitas diferencialinio ir integralo skaičiavimo pradininkų Isaacas Newtonas savo darbuose nepasiūlė alternatyvios integralo simbolikos, nors ir bandė įvairių variantų: vertikali juosta virš funkcijos arba kvadratinis simbolis, esantis prieš funkciją arba aplink ją. Neapibrėžtas funkcijos integralas y=f(x) yra visų nurodytos funkcijos antidarinių rinkinys.
Apibrėžiamasis integralas. J. Furjė (1819-1822).
Apibrėžtinis funkcijos integralas f(x) su apatine riba a ir viršutinė riba b galima apibrėžti kaip skirtumą F(b) - F(a) = a ∫ b f(x)dx , kur F(x)- tam tikra antiderivatinė funkcija f(x) . Apibrėžtasis integralas a ∫ b f(x)dx skaičiais lygus plotui figūra, ribojama x ašies, tiesių linijų x=a ir x=b ir funkcijų grafikas f(x). Dekoras apibrėžtasis integralasĮprasta forma XIX amžiaus pradžioje pasiūlė prancūzų matematikas ir fizikas Jeanas Baptiste'as Josephas Furjė.
Darinys. G. Leibnicas (1675), J. Lagranžas (1770, 1779).
Išvestinė – pagrindinė diferencialinio skaičiavimo samprata, apibūdinanti funkcijos kitimo greitį f(x) pasikeitus argumentui x . Jis apibrėžiamas kaip funkcijos padidėjimo santykio su jos argumento prieaugio riba, nes argumento padidėjimas linkęs į nulį, jei tokia riba yra. Funkcija, kuri tam tikru momentu turi baigtinę išvestinę, tame taške vadinama diferencijuojama. Išvestinės apskaičiavimo procesas vadinamas diferenciacija. atvirkštinis procesas- integracija. Klasikiniame diferencialiniame skaičiavime išvestinė dažniausiai apibrėžiama per ribų teorijos sąvokas, tačiau istoriškai ribų teorija atsirado vėliau nei diferencialinis skaičiavimas.
Terminą „darinys“ 1797 m. įvedė Joseph Louis Lagrange; dy/dx- Gotfrydas Leibnicas 1675 m. Išvestinio žymėjimo laiko atžvilgiu būdas su tašku virš raidės kilęs iš Niutono (1691).Rusišką terminą „funkcijos darinys“ pirmasis pavartojo rusų matematikasVasilijus Ivanovičius Viskovatovas (1779-1812).
Privatus darinys. A. Legendre (1786), J. Lagrange (1797, 1801).
Daugelio kintamųjų funkcijoms apibrėžiamos dalinės išvestinės – išvestinės vieno iš argumentų atžvilgiu, apskaičiuojamos darant prielaidą, kad likę argumentai yra pastovūs. Žymėjimas ∂f/ ∂ x, ∂ z/ ∂ y 1786 m. pristatė prancūzų matematikas Adrienas Marie Legendre; fx",zx"- Joseph Louis Lagrange (1797, 1801); ∂ 2z/ ∂ x2, ∂ 2z/ ∂ x ∂ y- antros eilės daliniai vediniai - vokiečių matematikas Carl Gustav Jacob Jacobi (1837).
Skirtumas, prieaugis. I. Bernoulli (XVII a. pabaiga – XVIII a. pirmoji pusė), L. Euleris (1755).
Prieaugio žymėjimą raide Δ pirmasis panaudojo šveicarų matematikas Johanas Bernoulli. AT bendroji praktika Delta simbolis buvo pradėtas naudoti po Leonhardo Eulerio darbo 1755 m.
Suma. L. Euleris (1755).
Suma yra verčių (skaičių, funkcijų, vektorių, matricų ir kt.) pridėjimo rezultatas. n skaičių sumai a 1, a 2, ..., a n žymėti naudojama graikiška raidė "sigma" Σ: a 1 + a 2 + ... + a n = Σ n i=1 a i = Σ n 1 a i . Sumos ženklą Σ įvedė Leonhardas Euleris 1755 m.
Darbas. K. Gaussas (1812).
Produktas yra daugybos rezultatas. n skaičių sandaugai a 1, a 2, ..., a n žymėti naudojama graikiška raidė "pi" Π: a 1 a 2 ... a n = Π n i=1 a i = Π n 1 a i . Pavyzdžiui, 1 3 5 ... 97 99 = ? 50 1 (2i-1). Gaminio simbolį Π 1812 m. įvedė vokiečių matematikas Carlas Gaussas. Rusų matematinėje literatūroje su terminu „darbas“ pirmą kartą susidūrė Leonty Filippovich Magnitsky 1703 m.
Faktorinis. K.Krumpas (1808).
Skaičiaus n faktorialas (žymimas n!, tariamas "en faktorialas") yra visų natūraliųjų skaičių sandauga iki n imtinai: n! = 1 2 3 ... n. Pavyzdžiui, 5! = 1 2 3 4 5 = 120. Pagal apibrėžimą 0! = 1. Faktorius apibrėžiamas tik neneigiamiems sveikiesiems skaičiams. Faktorius n yra lygus skaičiui n elementų permutacijas. Pavyzdžiui, 3! = 6, tikrai
♣ ♦
♣ ♦
♣ ♦
♦ ♣
♦ ♣
♦ ♣
Visos šešios ir tik šešios trijų elementų permutacijos.
Terminą „faktorialus“ įvedė prancūzų matematikas ir politinis veikėjas Louis François Antoine Arbogast (1800), pavadinimas n! – prancūzų matematikas Kristianas Krampas (1808).
Modulis, absoliuti vertė. K. Weierstrassas (1841).
Modulis, absoliuti tikrojo skaičiaus x reikšmė – neneigiamas skaičius, apibrėžtas taip: |x| = x, kai x ≥ 0, ir |x| = -x, kai x ≤ 0. Pavyzdžiui, |7| = 7, |- 0,23| = -(-0,23) = 0,23. Kompleksinio skaičiaus z = a + ib modulis yra tikrasis skaičius, lygus √(a 2 + b 2).
Manoma, kad terminą „modulis“ pasiūlė vartoti anglų matematikas ir filosofas, Niutono mokinys Rogeris Cotesas. Gottfriedas Leibnicas taip pat naudojo šią funkciją, kurią pavadino „moduliu“ ir pažymėjo: mol x. Visuotinai priimtą absoliučios vertės žymėjimą 1841 m. įvedė vokiečių matematikas Karlas Weierstrassas. Šią sąvoką kompleksiniams skaičiams XIX amžiaus pradžioje įvedė prancūzų matematikai Augustinas Koši ir Jeanas Robertas Arganas. 1903 m. austrų mokslininkas Konradas Lorenzas naudojo tą pačią simboliką vektoriaus ilgiui.
Norm. E. Schmidtas (1908).
Norma yra vektoriaus erdvėje apibrėžta funkcija, apibendrinanti vektoriaus ilgio arba skaičiaus modulio sampratą. Ženklą „norma“ (iš lotyniško žodžio „norma“ – „taisyklė“, „pavyzdys“) įvedė vokiečių matematikas Erhardas Schmidtas 1908 m.
Riba. S. Luillier (1786), W. Hamiltonas (1853), daugelis matematikų (iki XX a. pradžios)
Riba – viena iš pagrindinių matematinės analizės sąvokų, reiškianti, kad kuri nors kintamoji reikšmė nagrinėjamo jos kitimo procese artėja prie tam tikros pastovios vertės neribotą laiką. Ribos sąvoką jau XVII amžiaus antroje pusėje intuityviai vartojo Isaacas Newtonas, taip pat XVIII amžiaus matematikai, tokie kaip Leonhardas Euleris ir Josephas Louisas Lagrange'as. Pirmuosius griežtus sekos ribos apibrėžimus pateikė Bernardas Bolzano 1816 m. ir Augustinas Cauchy 1821 m. Simbolis lim (pirmosios 3 raidės iš lotyniško žodžio limes – kraštelis) atsirado 1787 metais pas šveicarų matematiką Simoną Antoine'ą Jeaną Lhuillier, tačiau jo vartojimas dar nepriminė šiuolaikinio. Išraišką lim mums labiau pažįstama forma pirmą kartą pavartojo airių matematikas Williamas Hamiltonas 1853 m.Weierstrassas įvedė pavadinimą, artimą šiuolaikiniam, tačiau vietoj įprastos rodyklės naudojo lygybės ženklą. Rodyklė pasirodė XX amžiaus pradžioje kartu su keliais matematikais vienu metu – pavyzdžiui, su anglų matematiku Godfriedu Hardy 1908 m.
Zeta funkcija, d Riemann zeta funkcija. B. Riemannas (1857).
Sudėtinio kintamojo s = σ + it analitinė funkcija, kai σ > 1, nustatoma pagal absoliučiai ir tolygiai konvergencines Dirichlet eilutes:
ζ (s) = 1 -s + 2 -s + 3 -s + ... .
Jei σ > 1, galioja Eulerio produkto forma:
ζ(s) = Π p (1-p -s) -s ,
kur sandauga perimama per visus pirminius p. Groja Zeta funkcija didelis vaidmuo skaičių teorijoje.Kaip realaus kintamojo funkciją 1737 m. (paskelbta 1744 m.) dzeta funkciją įvedė L. Euleris, nurodęs jos skilimą į sandaugą. Tada šią funkciją svarstė vokiečių matematikas L. Dirichlet ir ypač sėkmingai rusų matematikas ir mechanikas P.L. Čebyševas tyrinėdamas pirminių skaičių pasiskirstymo dėsnį. Tačiau giliausios zeta funkcijos savybės buvo atrastos vėliau, po vokiečių matematiko Georgo Friedricho Bernhardo Riemanno (1859 m.) darbų, kur zeta funkcija buvo laikoma kompleksinio kintamojo funkcija; 1857 m. jis taip pat pristatė pavadinimą „zeta funkcija“ ir žymėjimą ζ(s).
Gama funkcija, Eulerio Γ funkcija. A. Legendre (1814).
Gama funkcija yra matematinė funkcija, kuri išplečia faktorialo sąvoką į kompleksinių skaičių lauką. Paprastai žymimas Γ(z). Pirmą kartą z funkciją 1729 m. pristatė Leonhardas Euleris; jis apibrėžiamas pagal formulę:
Γ(z) = ribn→∞ n!nz/z(z+1)...(z+n).
Išreiškiama G funkcija didelis skaičius integralų, begalinių sandaugų ir serijų sumų. Plačiai naudojamas analitinėje skaičių teorijoje. Pavadinimą „gama funkcija“ ir žymėjimą Γ(z) 1814 m. pasiūlė prancūzų matematikas Adrienas Marie Legendre.
Beta funkcija, B funkcija, Eulerio B funkcija. J. Binet (1839).
Dviejų kintamųjų p ir q funkcija, apibrėžta p>0, q>0 lygybe:
B(p, q) = 0 ∫ 1 x p-1 (1-x) q-1 dx.
Beta funkcija gali būti išreikšta Γ funkcija: В(p, q) = Γ(p)Г(q)/Г(p+q).Kaip sveikųjų skaičių gama funkcija yra faktorialo apibendrinimas, beta funkcija tam tikra prasme yra dvejetainių koeficientų apibendrinimas.
Daugelis savybių aprašytos naudojant beta funkciją.elementariosios dalelės dalyvaujant stipri sąveika. Šią savybę pastebėjo italų fizikas teoretikasGabrielė Veneziano 1968 metais. Tai prasidėjo stygų teorija.
Pavadinimą „beta funkcija“ ir žymėjimą B(p, q) 1839 m. įvedė prancūzų matematikas, mechanikas ir astronomas Jacques'as Philippe'as Marie Binet.
Laplaso operatorius Laplasas. R. Merfis (1833).
Tiesinis diferencialinis operatorius Δ, kuris veikia φ (x 1, x 2, ..., x n) iš n kintamųjų x 1, x 2, ..., x n, susieja funkciją:
Δφ \u003d ∂ 2 φ / ∂x 1 2 + ∂ 2 φ / ∂x 2 2 + ... + ∂ 2 φ / ∂x n 2.
Visų pirma, vieno kintamojo funkcijai φ(x), Laplaso operatorius sutampa su 2-osios išvestinės operatoriumi: Δφ = d 2 φ/dx 2 . Lygtis Δφ = 0 paprastai vadinama Laplaso lygtimi; iš čia kilo pavadinimai „Laplaso operatorius“ arba „laplasietis“. Žymėjimą Δ įvedė anglų fizikas ir matematikas Robertas Murphy 1833 m.
Hamiltono operatorius, nabla operatorius, Hamiltonas. O. Heaviside (1892).
Formos vektorinis diferencialinis operatorius
∇ = ∂/∂x i+ ∂/∂m j+ ∂/∂z k,
kur i, j, ir k- koordinačių vektoriai. Per nabla operatorių natūralus būdas išreiškiamos pagrindinės vektorinės analizės operacijos, taip pat Laplaso operatorius.
1853 m. airių matematikas Williamas Rowanas Hamiltonas pristatė šį operatorių ir sukūrė jam simbolį ∇ apverstos graikiškos raidės Δ (delta) pavidalu. Hamiltone simbolio taškas buvo nukreiptas į kairę; vėliau škotų matematiko ir fiziko Peterio Guthrie Tate darbuose simbolis įgavo šiuolaikišką išvaizdą. Hamiltonas pavadino šį simbolį žodžiu „atled“ (žodis „delta“ skaitomas atgal). Vėliau anglų mokslininkai, tarp jų ir Oliveris Heaviside'as, ėmė vadinti šį simbolį „nabla“ pagal finikiečių abėcėlės raidės ∇ pavadinimą, kur jis pasitaiko. Laiško kilmė siejama su muzikinis instrumentas arfos rūšis, ναβλα (nabla) senovės graikų kalboje reiškia „arfa“. Operatorius buvo vadinamas Hamiltono operatoriumi arba nabla operatoriumi.
Funkcija. I. Bernoulli (1718), L. Euler (1734).
Matematinė sąvoka, atspindinti aibių elementų santykį. Galima sakyti, kad funkcija yra „dėsnis“, „taisyklė“, pagal kurią kiekvienam vienos aibės elementui (vadinama apibrėžimo sritimi) priskiriamas koks nors kitos aibės elementas (vadinamas reikšmių sritimi). Matematinė funkcijos samprata išreiškia intuityvią idėją, kaip vienas dydis visiškai lemia kito dydžio vertę. Dažnai terminas „funkcija“ reiškia skaitinę funkciją; tai yra funkcija, kuri vienus skaičius sulygina su kitais. Ilgam laikui matematikai argumentus nustato be skliaustų, pavyzdžiui, taigi – φх. Pirmą kartą šį žymėjimą panaudojo šveicarų matematikas Johanas Bernoulli 1718 m.Skliaustai buvo naudojami tik tuo atveju, jei buvo daug argumentų arba jei argumentas buvo sudėtingas posakis. Tų laikų aidai dažni, o dabar – rekordaisin x, lg xir tt Tačiau pamažu skliaustų naudojimas f(x) tapo bendra taisykle. Ir pagrindinis nuopelnas čia priklauso Leonhardui Euleriui.
Lygybė. R. Įrašas (1557).
Lygybės ženklą pasiūlė Velso gydytojas ir matematikas Robertas Recordas 1557 m.; veikėjo kontūras buvo daug ilgesnis nei dabartinis, nes imitavo dviejų lygiagrečių segmentų vaizdą. Autorius paaiškino, kad pasaulyje nėra nieko lygesnio už du lygiagrečius vienodo ilgio segmentus. Prieš tai senovės ir viduramžių matematikoje lygybė buvo žymima žodžiu (pvz. est egale). Rene Descartes XVII amžiuje pradėjo vartoti æ (iš lot. aequalis), ir jis naudojo šiuolaikinį lygybės ženklą, nurodydamas, kad koeficientas gali būti neigiamas. François Viète atimtį pažymėjo lygybės ženklu. Rekordo simbolis išplito ne iš karto. Rekordo simboliui plisti trukdė tai, kad nuo senų laikų tas pats simbolis buvo naudojamas linijų lygiagretumui nurodyti; pabaigoje buvo nuspręsta paralelizmo simbolį padaryti vertikalų. Žemyninėje Europoje ženklą "=" Gottfriedas Leibnicas įvedė tik XVII–XVIII amžių sandūroje, tai yra, praėjus daugiau nei 100 metų po Roberto Recordo mirties, kuris pirmą kartą jį panaudojo.
Maždaug tas pats, maždaug tas pats. A. Güntheris (1882).
Pasirašykite" ≈“ 1882 m. įvedė vokiečių matematikas ir fizikas Adamas Wilhelmas Sigmundas Güntheris kaip santykių „maždaug lygus“ simbolį.
Daugiau mažiau. T. Hariotas (1631).
Šiuos du ženklus 1631 m. pradėjo vartoti anglų astronomas, matematikas, etnografas ir vertėjas Thomas Harriot, prieš tai buvo naudojami žodžiai „daugiau“ ir „mažiau“.
Palyginamumas. K. Gaussas (1801).
Palyginimas – dviejų sveikųjų skaičių n ir m santykis, reiškiantis, kad šių skaičių skirtumas n-m dalijamas iš duoto sveikojo skaičiaus a, vadinamo palyginimo moduliu; rašoma: n≡m(mod a) ir rašoma "skaičiai n ir m yra palyginami modulo a". Pavyzdžiui, 3≡11(mod 4), nes 3-11 dalijasi iš 4; skaičiai 3 ir 11 yra suderinti modulio 4. Palyginimai turi daug savybių, panašių į lygybes. Taigi, vienoje palyginimo dalyje esantis terminas gali būti perkeltas su priešingu ženklu į kitą dalį, o palyginimus su tuo pačiu moduliu galima sudėti, atimti, dauginti, abi palyginimo dalis padauginti iš to paties skaičiaus ir pan. Pavyzdžiui,
3≡9+2 (4 mod.) ir 3–2≡9 (4 mod.)
Tuo pačiu tikri palyginimai. Ir iš tikrųjų palyginimų poros 3≡11 (mod 4) ir 1≡5 (mod 4) teisingumas yra toks:
3+1≡11+5 (4 mod.)
3-1≡11-5 (4 mod.)
3 1≡11 5 (4 mod.)
3 2 ≡ 11 2 (4 mod.)
3 23≡ 11 23 (4 mod.)
Skaičių teorijoje nagrinėjami įvairių palyginimų sprendimo būdai, t.y. sveikųjų skaičių, atitinkančių vienokius ar kitokius palyginimus, radimo metodai. Modulo palyginimus pirmasis panaudojo vokiečių matematikas Carlas Gaussas savo 1801 m. knygoje Aritmetiniai tyrimai. Palyginimui jis pasiūlė ir matematikoje nusistovėjusią simboliką.
Tapatybė. B. Riemannas (1857).
Tapatybė – dviejų analitinių posakių lygybė, galiojanti bet kokioms leistinoms į jį įtrauktų raidžių reikšmėms. Lygybė a+b = b+a galioja visoms a ir b skaitinėms reikšmėms, todėl yra tapatybė. Tapatybėms įrašyti kai kuriais atvejais nuo 1857 m. buvo naudojamas ženklas „≡“ (skaitykite „identiškai lygus“), kurio autorius šiuo vartojimu yra vokiečių matematikas Georgas Friedrichas Bernhardas Riemannas. Galima rašyti a+b ≡ b+a.
Statmenumas. P.Erigonas (1634).
Statmenumas – santykinė dviejų tiesių, plokštumų arba tiesės ir plokštumos padėtis, kurioje šios figūros sudaro stačią kampą. Ženklą ⊥, reiškiantį statmenumą, 1634 m. įvedė prancūzų matematikas ir astronomas Pierre'as Erigonas. Statmenumo sąvoka turi nemažai apibendrinimų, tačiau prie visų, kaip taisyklė, yra ženklas ⊥ .
Lygiagretumas. W. Outredas (1677 m. pomirtinis leidimas).
Lygiagretumas – santykis tarp kai kurių geometrinių figūrų; pavyzdžiui, tiesios linijos. Apibrėžiamas skirtingai, priklausomai nuo skirtingų geometrijų; pavyzdžiui, Euklido geometrijoje ir Lobačevskio geometrijoje. Lygiagretumo ženklas žinomas nuo senų laikų, jį naudojo Aleksandrijos Heronas ir Pappas. Iš pradžių simbolis buvo panašus į dabartinį lygybės ženklą (tik labiau išplėstas), tačiau atsiradus pastarajam, kad būtų išvengta painiavos, simbolis buvo pasuktas vertikaliai ||. Tokia forma jis pirmą kartą pasirodė pomirtiniame anglų matematiko Williamo Outredo darbų leidime 1677 m.
Sankryža, sąjunga. J. Peano (1888).
Aibių sankirta yra aibė, kurioje yra tie ir tik tie elementai, kurie vienu metu priklauso visoms duotoms aibėms. Aibių sąjunga yra rinkinys, kuriame yra visi pradinių rinkinių elementai. Sankirta ir sąjunga taip pat vadinamos operacijomis su aibėmis, kurios pagal aukščiau pateiktas taisykles tam tikroms aibėms priskiria naujas aibes. Žymimos atitinkamai ∩ ir ∪. Pavyzdžiui, jei
A= (♠ ♣ ) ir B= (♣ ♦ ),
Tai
A∩B= {♣ }
A∪B= {♠ ♣ ♦ } .
Yra, yra. E. Schroederis (1890).
Jei A ir B yra dvi aibės ir A nėra elementų, nepriklausančių B, tada jie sako, kad A yra B. Jie rašo A⊂B arba B⊃A (B yra A). Pavyzdžiui,
{♠}⊂{♠ ♣}⊂{♠ ♣ ♦ }
{♠ ♣ ♦ }⊃{ ♦ }⊃{♦ }
Simboliai „yra“ ir „yra“ atsirado 1890 m. kartu su vokiečių matematiku ir logiku Ernstu Schroederiu.
Priklausymas. J. Peano (1895).
Jei a yra aibės A elementas, tada parašykite a∈A ir skaitykite "a priklauso A". Jei a nėra A elementas, parašykite a∉A ir perskaitykite „a nepriklauso A“. Iš pradžių santykiai „turi“ ir „priklauso“ („yra elementas“) nebuvo skiriami, tačiau laikui bėgant šias sąvokas reikėjo skirti. Narystės ženklą ∈ pirmą kartą panaudojo italų matematikas Giuseppe Peano 1895 m. Simbolis ∈ kilęs iš pirmosios raidės Graikiškas žodisεστι – būti.
Visuotinis kvantorius, egzistencinis kvantorius. G. Gentzen (1935), C. Pierce (1885).
Kvantifikatorius yra bendras loginių operacijų pavadinimas, nurodantis predikato tiesos sritį (matematinis teiginys). Filosofai jau seniai atkreipė dėmesį į loginius veiksmus, apribojančius predikato tiesos apimtį, tačiau neišskyrė jų kaip atskiros operacijų klasės. Nors kiekybinės-loginės konstrukcijos plačiai naudojamos tiek mokslinėje, tiek kasdienėje kalboje, tačiau jų formalizavimas įvyko tik 1879 m., vokiečių logiko, matematiko ir filosofo Friedricho Ludwigo Gottlobo Frege knygoje „Sąvokų skaičiavimas“. Fregės užrašas atrodė kaip sudėtingos grafinės konstrukcijos ir nebuvo priimtas. Vėliau buvo pasiūlyta daug sėkmingesnių simbolių, tačiau egzistencinio kvantoriaus žymėjimas ∃ (skaitykite „egzistuoja“, „yra“), kurį 1885 m. pasiūlė amerikiečių filosofas, logikas ir matematikas Charlesas Pierce'as, ir ∀ universaliajam kvantoriui ( skaitykite "bet kuris", "kiekvienas", "bet kuris"), kurį 1935 m. sukūrė vokiečių matematikas ir logikas Gerhardas Karlas Erichas Gentzenas pagal analogiją su egzistencinio kvantoriaus simboliu (atvirkštinėmis angliškų žodžių Existence (existence) ir Any (egzistencija) pirmosiomis raidėmis). bet koks)). Pavyzdžiui, įrašas
(∀ε>0) (∃δ>0) (∀x≠x 0, |x-x 0 |<δ) (|f(x)-A|<ε)
skamba taip: "bet kuriam ε>0 yra δ>0, kad visiems x nelygus x 0 ir tenkinanti nelygybę |x-x 0 |<δ, выполняется неравенство |f(x)-A|<ε".
Tuščias komplektas. N. Bourbaki (1939).
Rinkinys, kuriame nėra jokių elementų. Tuščias ženklas buvo pristatytas Nicolas Bourbaki knygose 1939 m. Bourbaki yra kolektyvinis prancūzų matematikų grupės, susikūrusios 1935 m., pseudonimas. Vienas iš Bourbaki grupės narių buvo Andre Weilas, Ø simbolio autorius.
Q.E.D. D. Knuthas (1978).
Matematikoje įrodymas suprantamas kaip tam tikromis taisyklėmis pagrįsta samprotavimų seka, parodanti, kad tam tikras teiginys yra teisingas. Nuo Renesanso laikų matematikai įrodinėjimo pabaigą žymėjo kaip „Q.E.D.“, iš lotyniško posakio „Quod Erat Demonstrandum“ – „ką reikėjo įrodyti“. 1978 metais kurdamas kompiuterinę maketavimo sistemą ΤΕΧ, amerikiečių kompiuterių mokslų profesorius Donaldas Edwinas Knuthas panaudojo simbolį: užpildytą kvadratą, vadinamąjį „Halmoso simbolį“, pavadintą vengrų kilmės amerikiečių matematiko Paulo Richardo Halmoso vardu. Šiandien įrodymo užbaigimas paprastai žymimas Halmos simboliu. Kaip alternatyva naudojami kiti ženklai: tuščias kvadratas, stačiakampis trikampis, // (du pasvirieji brūkšniai), taip pat rusiška santrumpa „ch.t.d.“.
Matematinis žymėjimas(„matematikos kalba“) – sudėtingas grafinis žymėjimas, skirtas abstrakčioms matematinėms idėjoms ir sprendimams pateikti žmogui suprantama forma. Ji sudaro (savo sudėtingumu ir įvairove) didelę dalį žmonijos naudojamų nekalbinių ženklų sistemų. Šiame straipsnyje aprašomas visuotinai priimtas tarptautinis žymėjimas, nors skirtingos praeities kultūros turėjo savo, o kai kurios iš jų net iki šiol buvo naudojamos ribotai.
Atkreipkite dėmesį, kad matematinis žymėjimas, kaip taisyklė, naudojamas kartu su kai kurių natūralių kalbų rašytinėmis formomis.
Be fundamentaliosios ir taikomosios matematikos, matematinis žymėjimas plačiai naudojamas fizikoje, taip pat (nepilna apimtimi) inžinerijoje, informatikoje, ekonomikoje ir iš tikrųjų visose žmogaus veiklos srityse, kuriose naudojami matematiniai modeliai. Skirtumai tarp tinkamo matematinio ir taikomojo žymėjimo stiliaus bus aptariami teksto eigoje.
Enciklopedinis „YouTube“.
1 / 5
✪ Prisijunkite / matematikos
✪ Matematika 3 klasė. Daugiaženklių skaičių skaitmenų lentelė
✪ Matematikos rinkiniai
✪ Matematika 19. Matematikos pramogos - Šiškino mokykla
Subtitrai
Sveiki! Šis vaizdo įrašas yra ne apie matematiką, o apie etimologiją ir semiotiką. Bet aš tikiu, kad jums tai patiks. Pirmyn! Ar žinote, kad kubinių lygčių bendros formos sprendimo paieškos užtruko kelis šimtmečius? Tai iš dalies kodėl? Nes nebuvo aiškių simbolių aiškioms mintims, ar tai mūsų laikas. Yra tiek daug veikėjų, kad galite susipainioti. Bet jūs negalite mūsų apgauti, išsiaiškinkime. Tai yra apversta didžioji raidė A. Iš tikrųjų tai yra angliška raidė, pirmoje vietoje esanti žodžiuose „visi“ ir „bet koks“. Rusiškai šį simbolį, priklausomai nuo konteksto, galima perskaityti taip: visiems, visiems, visiems, visiems ir pan. Toks hieroglifas bus vadinamas universaliu kvantoriumi. Ir čia yra dar vienas kvantorius, bet jau egzistuoja. Anglų raidė e buvo atspindėta „Paint“ iš kairės į dešinę, taip užsimindama apie užjūrio veiksmažodį „egzistuoti“, mūsų nuomone, skaitysime: egzistuoja, yra, yra dar vienas panašus būdas. Šauktukas tokiam egzistenciniam kvantoriui suteiktų unikalumo. Jei tai aišku, judame toliau. Tikriausiai vienuoliktoje klasėje susidūrėte su neapibrėžtaisiais integralais, todėl noriu priminti, kad tai ne šiaip kažkoks antidarinys, o visų integrando antidarinių rinkinys. Taigi nepamirškite apie C – integracijos konstantą. Beje, pati integrali piktograma yra tik pailgos raidės s, lotyniško žodžio suma aidas. Būtent tokia yra geometrinė apibrėžto integralo reikšmė: figūros ploto po grafiku paieška susumavus be galo mažas reikšmes. Man tai yra pats romantiškiausias skaičiavimo užsiėmimas. Tačiau mokyklos geometrija yra naudingiausia, nes moko loginio griežtumo. Per pirmąjį kursą turėtumėte aiškiai suprasti, kas yra pasekmė, kas yra lygiavertiškumas. Na, jūs negalite susipainioti tarp būtinybės ir pakankamumo, supranti? Pabandykime net šiek tiek pasigilinti. Jei nuspręsite imtis aukštosios matematikos, įsivaizduoju, kaip blogai yra jūsų asmeninis gyvenimas, tačiau dėl to tikrai sutiksite įveikti nedidelę mankštą. Čia yra trys taškai, kiekvienas turi kairę ir dešinę puses, kurias reikia sujungti vienu iš trijų nupieštų simbolių. Prašau pristabdyti, išmėginkite patys ir tada klausykite, ką turiu pasakyti. Jei x=-2, tai |x|=2, bet iš kairės į dešinę, taigi frazė jau sukurta. Antroje pastraipoje kairėje ir dešinėje pusėse parašyta absoliučiai tas pats. O trečią tašką galima komentuoti taip: kiekvienas stačiakampis yra lygiagretainis, bet ne kiekvienas lygiagretainis yra stačiakampis. Taip, aš žinau, kad tu jau nebe mažas, bet vis tiek pluojuosi tiems, kurie susidorojo su šiuo pratimu. Na, gerai, užteks, prisiminkime skaičių rinkinius. Skaičiuojant naudojami natūralūs skaičiai: 1, 2, 3, 4 ir pan. Gamtoje -1 obuolys neegzistuoja, bet, beje, sveikieji skaičiai leidžia kalbėti apie tokius dalykus. Raidė ℤ mums rėkia apie svarbų nulio vaidmenį, racionalių skaičių rinkinys žymimas raide ℚ, ir tai nėra atsitiktinumas. Anglų kalboje žodis „kvotinis“ reiškia „požiūris“. Beje, jei kur Brukline prie jūsų prieina afroamerikietis ir sako: „Keep it real!“ – galite būti tikri, kad esate matematikas, realių skaičių gerbėjas. Na, reiktų paskaityti ką nors apie kompleksinius skaičius, bus naudingiau. Dabar grįšime atgal, grįšime į pirmą paprasčiausios graikų mokyklos klasę. Trumpai tariant, prisiminkime senovės abėcėlę. Pirma raidė yra alfa, tada betta, šis kabliukas yra gama, tada delta, po to epsilon ir tt iki paskutinės raidės omega. Galite būti tikri, kad graikai taip pat turi didžiąsias raides, tačiau apie liūdnus dalykus dabar nekalbėsime. Mums geriau linksma – apie ribas. Bet čia tiesiog nėra mįslių, iškart aišku, nuo kurio žodžio atsirado matematinis simbolis. Taigi, galime pereiti prie paskutinės vaizdo įrašo dalies. Pabandykite išgirsti skaičių sekos ribos apibrėžimą, kuris dabar parašytas prieš jus. Spustelėkite, verčiau pristabdykite ir pagalvokite, ir tebūna vienerių metų vaiko, išmokusio žodį „mama“, laimė. Jei bet kurio epsilono, didesnio už nulį, yra teigiamas sveikasis skaičius N, todėl visiems skaitinės sekos skaičiams, didesniems už N, nelygybė |xₙ-a|<Ɛ (эпсилон), то тогда предел числовой последовательности xₙ , при n, стремящемся к бесконечности, равен числу a. Такие вот дела, ребята. Не беда, если вам не удалось прочесть это определение, главное в свое время его понять. Напоследок отмечу: множество тех, кто посмотрел этот ролик, но до сих пор не подписан на канал, не является пустым. Это меня очень печалит, так что во время финальной музыки покажу, как это исправить. Ну а остальным желаю мыслить критически, заниматься математикой! Счастливо! [Музыка / аплодиминнты]
Bendra informacija
Sistema, kaip ir natūralios kalbos, išsivystė istoriškai (žr. matematinio žymėjimo istoriją) ir yra organizuota kaip natūralių kalbų rašymas, iš ten taip pat pasiskolinant daug simbolių (pirmiausia iš lotynų ir graikų abėcėlių). Simboliai, kaip ir įprastu raštu, vaizduojami kontrastingomis linijomis vienodame fone (juoda ant balto popieriaus, šviesi ant tamsios lentos, kontrastinga monitoriuje ir kt.), o jų reikšmę pirmiausia lemia forma ir santykinis. padėtis. Į spalvą neatsižvelgiama ir ji dažniausiai nenaudojama, tačiau naudojant raides, jų savybės, tokios kaip stilius ir net šriftas, neturinčios įtakos įprasto rašymo reikšmei, gali atlikti semantinį vaidmenį matematiniame žymėjime.
Struktūra
Įprastas matematinis žymėjimas (ypač vadinamasis matematines formules) yra rašomi paprastai eilutėje iš kairės į dešinę, bet nebūtinai sudaro nuoseklią simbolių eilutę. Atskiri simbolių blokai gali būti išdėstyti viršutinėje arba apatinėje eilutės pusėje, net ir tuo atveju, kai simboliai nesutampa vertikaliai. Be to, kai kurios dalys yra visiškai virš arba žemiau linijos. Kalbant apie gramatinę pusę, beveik bet kokia „formulė“ gali būti laikoma hierarchiškai organizuota medžio tipo struktūra.
Standartizavimas
Matematinis žymėjimas vaizduoja sistemą pagal jos komponentų ryšį, tačiau apskritai ne sudaro formalią sistemą (pačios matematikos supratimu). Bet kokiu sudėtingu atveju jų net negalima išardyti programiškai. Kaip ir bet kuri natūrali kalba, „matematikos kalba“ yra kupina nenuoseklių pavadinimų, homografų, skirtingų (tarp jos kalbėtojų) aiškinimų to, kas laikoma teisinga ir pan. Nėra net jokios numatomos matematinių simbolių abėcėlės, ypač todėl, kad ne visada vienareikšmiškai išsprendžiamas klausimas, ar laikyti du pavadinimus skirtingais simboliais, ar skirtingomis vieno simbolio rašybomis.
Dalis matematinio žymėjimo (daugiausia susijusių su matavimais) yra standartizuota pagal ISO 31 -11, tačiau apskritai žymėjimo standartizavimo nėra.
Matematinio žymėjimo elementai
Skaičiai
Jei reikia, taikoma skaičių sistema, kurios bazė yra mažesnė nei dešimt, bazė rašoma apatiniu indeksu: 20003 8 . Skaičių sistemos, kurių bazės didesnės nei dešimt, nenaudojamos visuotinai priimtame matematiniame žymėjime (nors, žinoma, jas tiria pats mokslas), nes joms nepakanka skaičių. Ryšium su kompiuterių mokslo raida, tapo aktuali šešioliktainė skaičių sistema, kurioje skaičiai nuo 10 iki 15 žymimi pirmomis šešiomis lotyniškomis raidėmis nuo A iki F. Informatikos moksle naudojami keli skirtingi metodai tokiems skaičiams žymėti. , bet jie neperkeliami į matematiką.
Viršutiniai ir apatiniai indeksai
Skliaustai, panašūs simboliai ir skyrikliai
Skliausteliuose „()“ naudojami:
Kvadratiniai skliaustai "" dažnai naudojami grupuojant reikšmes, kai reikia naudoti daug skliaustų porų. Šiuo atveju jie yra išorėje ir (su tvarkinga tipografija) yra didesni nei skliausteliuose, kurie yra viduje.
Kvadratiniai "" ir apvalūs "()" skliaustai naudojami atitinkamai uždaroms ir atviroms erdvėms žymėti.
Garbanoti skliaustai „()“ dažniausiai naudojami , nors jiems taikomas tas pats įspėjimas kaip ir laužtiniams skliaustams. Kairieji „(“ ir dešinieji „)“ skliaustai gali būti naudojami atskirai; aprašyta jų paskirtis.
Kampinių skliaustų simboliai " ⟨ ⟩ (\displaystyle \langle \;\rangle )» su tvarkinga tipografija turėtų turėti bukus kampus ir tuo skirtis nuo panašių, turinčių stačią arba smailią kampą. Praktikoje to tikėtis nereikėtų (ypač rankiniu būdu rašant formules) ir jas reikia atskirti pasitelkus intuiciją.
Simetriškų (vertikalios ašies atžvilgiu) simbolių poros, įskaitant tuos, kurie nėra išvardyti, dažnai naudojamos formulės daliai paryškinti. Aprašyta suporuotų skliaustų paskirtis.
Indeksai
Priklausomai nuo vietos, skiriami viršutiniai ir apatiniai indeksai. Viršutinis indeksas gali reikšti (bet nebūtinai) didinimą į , apie kitus naudojimo būdus.
Kintamieji
Moksluose yra dydžių rinkiniai, ir bet kuris iš jų gali paimti verčių rinkinį ir būti vadinamas kintamasis reikšmę (variantą), arba tik vieną reikšmę ir vadinti konstanta. Matematikoje dydžiai dažnai nukreipiami nuo fizinės reikšmės, o tada kintamasis virsta abstrakčiai(arba skaitmeninis) kintamasis, žymimas tam tikru simboliu, kurio neužima aukščiau minėtas specialus žymėjimas.
Kintamasis X laikomas duotu, jei nurodytas reikalingas reikšmių rinkinys (x). Patogu pastovią reikšmę laikyti kintamuoju, kuriam atitinkama aibė (x) susideda iš vieno elemento.
Funkcijos ir operatoriai
Matematiškai reikšmingo skirtumo tarp operatorius(vieninis), kartografavimas ir funkcija.
Tačiau numanoma, kad jei norint įrašyti atvaizdavimo reikšmę iš pateiktų argumentų, būtina nurodyti , tai šio atvaizdavimo simbolis žymi funkciją, kitais atvejais labiau tikėtina, kad kalbama apie operatorių. Kai kurių vieno argumento funkcijų simboliai naudojami su skliaustais ir be jų. Pavyzdžiui, daug elementarių funkcijų sin x (\displaystyle \sin x) arba sin (x) (\displaystyle \sin(x)), bet elementarios funkcijos visada vadinamos funkcijas.
Operatoriai ir ryšiai (vienarūšiai ir dvejetainiai)
Funkcijos
Funkcija gali būti vadinama dviem prasmėmis: kaip jos vertės išraiška su nurodytais argumentais (rašytiniais f (x) , f (x , y) (\displaystyle f(x),\ f(x,y)) ir tt) arba iš tikrųjų kaip funkcija. Pastaruoju atveju dedamas tik funkcijos simbolis, be skliaustų (nors dažnai rašomas atsitiktinai).
Yra daug įprastų funkcijų žymėjimų, naudojamų matematiniame darbe be papildomo paaiškinimo. Priešingu atveju funkcija turi būti kažkaip aprašyta, o pagrindinėje matematikoje ji iš esmės nesiskiria ir yra lygiai tokia pati, pažymėta savavališka raide. Raidė f yra populiariausia kintamoms funkcijoms, g ir dauguma graikų taip pat dažnai vartojamos.
Iš anksto nustatyti (rezervuoti) pavadinimai
Tačiau vienos raidės žymenims, jei pageidaujama, gali būti suteikta kitokia reikšmė. Pavyzdžiui, raidė i dažnai naudojama kaip rodyklė kontekste, kuriame kompleksiniai skaičiai nenaudojami, o raidė gali būti naudojama kaip kintamasis kai kuriose kombinatorikose. Be to, nustatykite teorijos simbolius (pvz., " ⊂ (\displaystyle \subset )"ir" ⊃ (\displaystyle \supset )“) ir teiginių skaičiavimas (pvz., „ ∧ (\displaystyle \pleištas )"ir" ∨ (\displaystyle\vee )”) gali būti naudojamas kita prasme, paprastai atitinkamai kaip eilės santykis ir dvejetainė operacija.
Indeksavimas
Indeksavimas brėžiamas (dažniausiai apačioje, kartais viršuje) ir tam tikra prasme yra būdas išplėsti kintamojo turinį. Tačiau jis naudojamas trimis šiek tiek skirtingomis (nors ir sutampančiomis) prasmėmis.
Tiesą sakant, skaičiai
Galite turėti kelis skirtingus kintamuosius, pažymėdami juos ta pačia raide, panašiai kaip naudojant . Pavyzdžiui: x 1 , x 2 , x 3 … (\displaystyle x_(1),\ x_(2),\ x_(3)\ldots ). Paprastai juos sieja koks nors bendrumas, tačiau apskritai tai nėra būtina.
Be to, kaip „indeksus“ galite naudoti ne tik skaičius, bet ir bet kokius simbolius. Tačiau kai kitas kintamasis ir išraiška įrašomi kaip indeksas, šis įrašas interpretuojamas kaip „kintamasis, kurio skaičius nustatomas pagal indekso išraiškos reikšmę“.
Tensorinėje analizėje
Tiesinėje algebroje rašoma tenzorinė analizė, diferencialinė geometrija su indeksais (kintamųjų pavidalu).
iš dviejų), 3 > 2 (trys yra daugiau nei du) ir kt.Matematinės simbolizmo raida buvo glaudžiai susijusi su bendra matematikos sąvokų ir metodų raida. Pirmas Matematiniai ženklai buvo ženklai skaičiams pavaizduoti - numeriai, kurio atsiradimas, matyt, buvo prieš rašymą. Seniausios numeracijos sistemos – babiloniečių ir egiptiečių – atsirado jau 3 1/2 tūkstantmečio prieš Kristų. e.
Pirmas Matematiniai ženklai nes savavališkos vertybės Graikijoje atsirado daug vėliau (pradedant V–IV a. pr. Kr.). Kiekiai (plotas, tūriai, kampai) buvo parodyti kaip segmentai, o dviejų savavališkų vienarūšių dydžių sandauga - kaip stačiakampis, pastatytas ant atitinkamų segmentų. „Pradžioje“ Euklidas (III a. pr. Kr.) kiekiai žymimi dviem raidėmis – atitinkamo segmento pradine ir galutine raide, o kartais net viena. At Archimedas (III a. pr. Kr.) pastarasis metodas tampa paplitęs. Toks žymėjimas apėmė pažodinio skaičiavimo kūrimo galimybes. Tačiau klasikinėje senovės matematikoje pažodinis skaičiavimas nebuvo sukurtas.
Raidžių vaizdavimo ir skaičiavimo pradžia atsiranda vėlyvojoje helenizmo epochoje, kai algebra buvo išlaisvinta iš geometrinės formos. Diofantas (tikriausiai III a.) užrašė nežinomą ( X) ir jo laipsniai su šiais ženklais:
[ - iš graikiško termino dunamiV (dynamis - jėga), reiškiančio nežinomybės kvadratą, - iš graikų cuboV (k_ybos) - kubas]. Į dešinę nuo nežinomybės ar jo laipsnių Diofantas parašė koeficientus, pavyzdžiui, buvo pavaizduotas 3x5
(kur = 3). Sudėdamas Diofantas priskirdavo terminus vienas kitam, atimti naudojo specialų ženklą; Diofantas lygybę žymėjo raide i [iš graikų isoV (isos) – lygus]. Pavyzdžiui, lygtis
(x 3 + 8x) - (5x 2 + 1) =X
Diofantas tai parašytų taip:
(čia
reiškia, kad vienetas neturi daugiklio nežinomybės galios pavidalu).
Po kelių šimtmečių indėnai pristatė įvairių Matematiniai ženklai keliems nežinomiesiems (nežinomuosius žyminčių spalvų pavadinimų santrumpos), kvadratas, kvadratinė šaknis, atimtasis skaičius. Taigi lygtis
3X 2 + 10x - 8 = x 2 + 1
Įraše Brahmagupta (7 a.) atrodytų taip:
Taip, 3 ir 10 ru 8
Taip va 1 ya 0 ru 1
(ya - iš yavat - tawat - nežinomas, va - iš varga - kvadratinis skaičius, ru - iš rupa - rupijos moneta - laisvas narys, taškas virš skaičiaus reiškia skaičių, kurį reikia atimti).
Šiuolaikinės algebrinės simbolikos kūrimas siekia XIV–XVII a.; jį lėmė praktinės aritmetikos ir lygčių tyrimo sėkmė. Įvairiose šalyse atsiranda spontaniškai Matematiniai ženklai kai kuriems veiksmams ir nežinomo dydžio galioms. Praeina daug dešimtmečių ir net šimtmečių, kol sukuriamas vienas ar kitas patogus simbolis. Taigi, pabaigoje 15 ir. N. Shuke ir L. Pacioli naudojo sudėjimo ir atimties ženklus
(iš lot. pliusas ir minusas), vokiečių matematikai pristatė šiuolaikinius + (tikriausiai lot. et santrumpa) ir -. Dar XVII amžiuje gali suskaičiuoti apie dešimt Matematiniai ženklai daugybos operacijai.
buvo skirtingi ir Matematiniai ženklai nežinomas ir jo laipsniai. XVI – XVII amžiaus pradžioje. Pavyzdžiui, vien dėl nežinomybės aikštės varžėsi daugiau nei dešimt užrašų se(iš surašymo – lotyniškas terminas, kuris buvo graikų kalbos dunamiV vertimas, K(iš kvadrato), , A (2), , Aii, aa, a 2 tt Taigi lygtis
x 3 + 5 x = 12
italų matematikas G. Cardano (1545) turėtų formą:
iš vokiečių matematiko M. Stiefelio (1544):
iš italų matematiko R. Bombelli (1572):
Prancūzų matematikas F. Vieta (1591 m.):
iš anglų matematiko T. Harioto (1631):
XVI ir XVII amžiaus pradžioje pradedami naudoti lygybės ženklai ir skliaustai: kvadratas (R. Bombelli , 1550), apvalus (N. Tartalija, 1556 m.), garbanotas (F. viet, 1593). XVI amžiuje šiuolaikinė forma reiškia trupmenų žymėjimą.
Reikšmingas žingsnis į priekį plėtojant matematinę simboliką buvo Vietos (1591) įvadas. Matematiniai ženklai savavališkoms konstantoms lotyniškos abėcėlės B, D didžiųjų priebalsių pavidalu, dėl kurių jis pirmą kartą galėjo užrašyti algebrines lygtis su savavališkais koeficientais ir su jomis operuoti. Nežinomas Vietas vaizdavo balses didžiosiomis raidėmis A, E, ... Pavyzdžiui, įrašas Vieta
Mūsų simboliuose tai atrodo taip:
x 3 + 3bx = d.
Vietas buvo algebrinių formulių kūrėjas. R. Dekartas (1637) suteikė algebros ženklams šiuolaikišką išvaizdą, žyminčius nežinomuosius paskutinėmis lato raidėmis. abėcėlė x, y, z, ir savavališki duoti kiekiai – pradinėmis raidėmis a, b, c. Jam taip pat priklauso dabartinis laipsnio rekordas. Dekarto užrašas turėjo didelį pranašumą prieš visus ankstesnius. Todėl netrukus jie sulaukė visuotinio pripažinimo.
Tolimesnis vystymas Matematiniai ženklai buvo glaudžiai susijęs su be galo mažos analizės kūrimu, kurios simbolikos kūrimui pagrindas jau didžiąja dalimi buvo paruoštas algebroje.
Kai kurių matematinių ženklų atsiradimo datos
| ženklas | prasmė | Kas pristatė | Kai supažindino |
| Atskirų objektų ženklai | |||
| ¥ | begalybė | J. Wallis | 1655 |
| e | natūraliųjų logaritmų bazę | L. Euleris | 1736 |
| p | apskritimo ir skersmens santykis | W. Jonesas L. Euleris | 1706 |
| i | kvadratinė šaknis iš -1 | L. Euleris | 1777 (išleista 1794 m.) |
| i j k | vienetų vektoriai, orts | W. Hamiltonas | 1853 |
| P (a) | lygiagretumo kampas | N.I. Lobačevskis | 1835 |
| Kintamųjų objektų ženklai | |||
| x, y, z | nežinomieji ar kintamieji | R. Dekartas | 1637 |
| r | vektorius | O. Koshy | 1853 |
| Atskirų operacijų požymiai | |||
| + | papildymas | vokiečių matematikai | 15 amžiaus pabaiga |
| – | atimti |
||
| ´ | daugyba | W. Outredas | 1631 |
| × | daugyba | G. Leibnicas | 1698 |
| : | padalinys | G. Leibnicas | 1684 |
| a 2, a 3,…, a n | laipsnį | R. Dekartas | 1637 |
| I. Niutonas | 1676 |
||
| | šaknys | K. Rudolfas | 1525 |
| A. Girardas | 1629 |
||
| Žurnalas | logaritmas | I. Kepleris | 1624 |
| žurnalas | B. Cavalieri | 1632 |
|
| nuodėmė | sinusas | L. Euleris | 1748 |
| cos | kosinusas |
||
| tg | liestinė | L. Euleris | 1753 |
| lanko nuodėmė | arcsine | J. Lagranžas | 1772 |
Sh | hiperbolinis sinusas | V. Riccati | 1757 |
Ch | hiperbolinis kosinusas |
||
| dx, ddx,… | diferencialas | G. Leibnicas | 1675 (spaudoje 1684) |
d2x, d3x,… |
|||
| | integralas | G. Leibnicas | 1675 (spaudoje 1686) |
| | išvestinė | G. Leibnicas | 1675 |
| ¦¢x | išvestinė | J. Lagranžas | 1770, 1779 |
| tu |
|||
| ¦¢(x) |
|||
| Dx | skirtumas | L. Euleris | 1755 |
| | dalinė išvestinė | A. Legendre | 1786 |
| | apibrėžtasis integralas | J. Furjė | 1819-22 |
| | suma | L. Euleris | 1755 |
| P | dirbti | K. Gaussas | 1812 |
| ! | faktorinis | K. Crumpas | 1808 |
| |x| | modulis | K. Weierstrassas | 1841 |
| lim | riba | W. Hamiltonas, daug matematikų | 1853, XX amžiaus pradžia |
| lim |
|||
| n = ¥ |
|||
| lim |
|||
| n ® ¥ |
|||
| x | zeta funkcija | B. Riemannas | 1857 |
| G | gama funkcija | A. Legendre | 1808 |
| AT | beta funkcija | J. Binet | 1839 |
| D | delta (Laplaso operatorius) | R. Merfis | 1833 |
| Ñ | nabla (Hamiltono operatorius) | W. Hamiltonas | 1853 |
| Kintamųjų operacijų požymiai | |||
| jx | funkcija | I. Bernulli | 1718 |
| f(x) | L. Euleris | 1734 |
|
| Individualių santykių požymiai | |||
| = | lygybė | R. Įrašas | 1557 |
| > | daugiau | T. Harriot | 1631 |
| < | mažiau |
||
| º | palyginamumas | K. Gaussas | 1801 |
| | paralelizmas | W. Outredas | 1677 |
| ^ | statmenumą | P. Erigonas | 1634 |
IR. niutonas savo srautų ir sklandumo metodu (1666 m. ir vėlesniais metais) įvedė ženklus nuosekliems srautams (dariniams) dydžio (forma
ir be galo mažam prieaugiui o. Kiek anksčiau J. Wallis (1655) pasiūlė begalybės ženklą ¥.
Šiuolaikinės diferencialinio ir integralinio skaičiavimo simbolikos kūrėjas yra G. Leibnicas. Jis, visų pirma, priklauso šiuo metu naudojamam Matematiniai ženklai skirtumai
dx, d 2 x, d 3 x
ir integralinis
Didžiulis nuopelnas kuriant šiuolaikinės matematikos simboliką priklauso L. Euleris. Jis įvedė (1734) į bendrą naudojimą pirmąjį kintamosios operacijos ženklą, būtent funkcijos ženklą f(x) (iš lot. functio). Po Eulerio darbo daugelio atskirų funkcijų, tokių kaip trigonometrinės funkcijos, ženklai įgavo standartinį pobūdį. Euleriui priklauso konstantų žymėjimas e(natūralių logaritmų pagrindas, 1736), p [tikriausiai iš graikų perijereia (periphereia) - apskritimas, periferija, 1736], įsivaizduojamas vienetas
(iš prancūzų imaginaire – imaginairas, 1777 m., išleistas 1794 m.).
19 amžiuje simbolizmo vaidmuo auga. Šiuo metu absoliučios reikšmės |x| ženklai (KAM. Weierstrass, 1841 m.), vektorius (O. Koši, 1853 m.), sprendėjas
(BET. Cayley, 1841) ir kt. Daugelis XIX amžiuje atsiradusių teorijų, pavyzdžiui, tenzoro skaičiavimas, negalėjo būti sukurtos be tinkamos simbolikos.
Kartu su nurodytu standartizacijos procesu Matematiniai ženklaišiuolaikinėje literatūroje dažnai galima rasti Matematiniai ženklai naudojo atskiri autoriai tik šio tyrimo apimtyje.
Matematinės logikos požiūriu, tarp Matematiniai ženklai galima išskirti šias pagrindines grupes: A) objektų ženklai, B) operacijų ženklai, C) ryšių ženklai. Pavyzdžiui, ženklai 1, 2, 3, 4 vaizduoja skaičius, tai yra aritmetikos būdu tiriamus objektus. Papildymo ženklas + pats savaime neatspindi jokio objekto; ji gauna dalykinį turinį, kai nurodoma, kokie skaičiai pridedami: užrašas 1 + 3 vaizduoja skaičių 4. Ženklas > (didesnis už) yra skaičių ryšio ženklas. Santykio ženklas įgauna gana apibrėžtą turinį, kai nurodoma, tarp kurių objektų santykis yra nagrinėjamas. Pirmiau nurodytoms trims pagrindinėms grupėms Matematiniai ženklai ribojasi su ketvirtuoju: D) pagalbiniai ženklai, nustatantys pagrindinių ženklų derinimo tvarką. Pakankamas supratimas apie tokius ženklus pateikiamas skliausteliuose, nurodant veiksmų atlikimo tvarką.
Kiekvieno iš jų ženklai tris grupes A), B) ir C) yra dviejų rūšių: 1) atskiri aiškiai apibrėžtų objektų, operacijų ir santykių ženklai, 2) bendri ženklai„nekintamieji“ arba „nežinomi“ objektai, operacijos ir santykiai.
Gali būti naudojami pirmosios rūšies ženklų pavyzdžiai (taip pat žr. lentelę):
A 1) Natūraliųjų skaičių 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 žymėjimas; transcendentiniai skaičiai e ir p; įsivaizduojamas vienetas i.
B 1) Aritmetinių veiksmų ženklai +, -, ·, ´,:; šaknų ištraukimas, diferenciacija
aibių sumos (sąjungos) È ir sandaugos (sankirtos) Ç ženklai; tai taip pat apima atskirų funkcijų sin, tg, log ir kt.
1) Lygybės ir nelygybės ženklai =, >,<, ¹, знаки параллельности || и перпендикулярности ^, знаки принадлежности Î элемента некоторому множеству и включения Ì одного множества в другое и т.п.
Antrosios rūšies ženklai vaizduoja savavališkus objektus, tam tikros klasės ar objektų operacijas ir ryšius, operacijas ir ryšius, kuriems taikomos tam tikros iš anksto nustatytos sąlygos. Pavyzdžiui, kai rašote tapatybę ( a + b)(a - b) = a 2 -b 2 raides a ir bžymėti savavališkus skaičius; tiriant funkcinę priklausomybę adresu = X 2 raides X ir y - savavališki skaičiai, susiję tam tikru santykiu; sprendžiant lygtį
Xžymi bet kurį skaičių, kuris tenkina pateiktą lygtį (išsprendę šią lygtį sužinome, kad šią sąlygą atitinka tik dvi galimos reikšmės +1 ir -1).
Loginiu požiūriu tokius bendruosius ženklus galima vadinti kintamųjų ženklais, kaip įprasta matematinėje logikoje, nebijant, kad kintamojo „pokyčio regionas“ gali būti sudarytas iš vieno. objektas ar net „tuščias“ (pavyzdžiui, lygčių be sprendimo atveju). Kiti tokių ženklų pavyzdžiai:
A 2) Taškų, linijų, plokštumų ir sudėtingesnių geometrinių formų su raidėmis žymėjimas geometrijoje.
B 2) Žymėjimas f, , j operatoriaus skaičiavimo funkcijoms ir žymėjimui, kai viena raidė L pavaizduoti, pavyzdžiui, savavališką formos operatorių:
„Kintamų santykių“ žymėjimas yra mažiau paplitęs ir naudojamas tik matematinėje logikoje (plg. Logikos algebra ) ir santykinai abstrakčiuose, dažniausiai aksiomatiniuose, matematiniuose tyrimuose.
Lit.: Cajori, A matematinių ženklų istorija, v. 1-2, Chi., 1928-29.
Straipsnis apie žodį Matematiniai ženklai“ Didžiojoje sovietinėje enciklopedijoje buvo perskaityta 39767 kartus
