Šaknų sumos savybės. Aritmetinė kvadratinė šaknis ir jos savybės

Šakninės formulės. kvadratinių šaknų savybės.

Dėmesio!
Yra papildomų
medžiaga specialiajame 555 skyriuje.
Tiems, kurie stipriai "nelabai..."
Ir tiems, kurie „labai...“)

Ankstesnėje pamokoje išsiaiškinome, kas yra kvadratinė šaknis. Atėjo laikas išsiaiškinti, kas yra šaknų formulės, kas yra šaknų savybės ir ką dėl viso to galima padaryti.

Šakninės formulės, šaknų savybės ir veiksmų su šaknimis taisyklės- Iš esmės tai tas pats. Formulės, skirtos kvadratinės šaknys stebėtinai mažai. Kas, žinoma, džiugina! Greičiau galima rašyti daug visokių formulių, bet praktiniam ir pasitikinčiam darbui su šaknimis užtenka vos trijų. Visa kita išplaukia iš šių trijų. Nors daugelis klysta trijose šaknų formulėse, taip ...

Pradėkime nuo paprasčiausio. Štai ir ji:

Jei jums patinka ši svetainė...

Beje, turiu jums dar keletą įdomių svetainių.)

Galite praktikuotis spręsdami pavyzdžius ir sužinoti savo lygį. Testavimas su momentiniu patvirtinimu. Mokymasis – su susidomėjimu!)

galite susipažinti su funkcijomis ir išvestinėmis.

Kvadratinio žemės sklypo plotas 81 dm². Surask jo pusę. Tarkime, kvadrato kraštinės ilgis yra X decimetrų. Tada sklypo plotas yra X² kvadratinių decimetrų. Kadangi pagal būklę šis plotas yra 81 dm², tai X² = 81. Kvadrato kraštinės ilgis yra teigiamas skaičius. Teigiamas skaičius, kurio kvadratas lygus 81, yra skaičius 9. Sprendžiant uždavinį reikėjo rasti skaičių x, kurio kvadratas lygus 81, t.y išspręsti lygtį X² = 81. Ši lygtis turi dvi šaknis: x 1 = 9 ir x 2 \u003d - 9, nes 9² \u003d 81 ir (- 9)² \u003d 81. Abu skaičiai 9 ir - 9 vadinami skaičiaus 81 kvadratinėmis šaknimis.

Atkreipkite dėmesį, kad viena iš kvadratinių šaknų X= 9 yra teigiamas skaičius. Jis vadinamas aritmetine kvadratine šaknimi iš 81 ir žymima √81, taigi √81 = 9.

Aritmetinė skaičiaus kvadratinė šaknis a yra neneigiamas skaičius, kurio kvadratas lygus a.

Pavyzdžiui, skaičiai 6 ir -6 yra kvadratinė šaknis iš 36. Skaičius 6 yra aritmetinė kvadratinė šaknis iš 36, nes 6 yra neneigiamas skaičius, o 6² = 36. Skaičius -6 nėra aritmetinė šaknis.

Aritmetika Kvadratinė šaknis nuo numerio ažymimas taip: √ a.

Ženklas vadinamas aritmetiniu kvadratinės šaknies ženklu; a vadinama šaknine išraiška. Išraiška √ a skaityti kaip ši: skaičiaus aritmetinė kvadratinė šaknis a. Pavyzdžiui, √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. Tais atvejais, kai aišku, kad Mes kalbame apie aritmetinę šaknį jie trumpai sako: „kvadratinė šaknis a«.

Skaičiaus kvadratinės šaknies radimas vadinamas kvadratinės šaknies paėmimu. Šis veiksmas yra atvirkštinis kvadratui.

Bet koks skaičius gali būti kvadratas, bet ne kiekvienas skaičius gali būti kvadratinė šaknis. Pavyzdžiui, neįmanoma išgauti kvadratinės šaknies iš skaičiaus - 4. Jei tokia šaknis egzistavo, tai pažymint ją raide X, gautume neteisingą lygybę x² \u003d - 4, nes kairėje yra neneigiamas skaičius, o dešinėje - neigiamas.

Išraiška √ a prasminga tik tada, kai a ≥ 0. Kvadratinės šaknies apibrėžimą galima trumpai parašyti taip: √ a ≥ 0, (√a)² = a. Lygybė (√ a)² = a galioja iki a ≥ 0. Taigi, norint įsitikinti, kad neneigiamo skaičiaus kvadratinė šaknis a lygus b, t.y., kad √ a =b, turite patikrinti, ar tenkinamos šios dvi sąlygos: b ≥ 0, b² = a.

Kvadratinė trupmenos šaknis

Paskaičiuokime. Atkreipkite dėmesį, kad √25 = 5, √36 = 6, ir patikrinkite, ar galioja lygybė.

Nes ir , tada lygybė yra tiesa. Taigi, .

Teorema: Jeigu a≥ 0 ir b> 0, tai yra, trupmenos šaknis yra lygi skaitiklio šaknei, padalytai iš vardiklio šaknies. Būtina įrodyti, kad: ir .

Nuo √ a≥0 ir √ b> 0, tada .

Pagal savybę pakelti trupmeną iki laipsnio ir nustatyti kvadratinę šaknį teorema įrodyta. Pažvelkime į kelis pavyzdžius.

Apskaičiuokite pagal įrodytą teoremą .

Antras pavyzdys: įrodykite tai , jei a ≤ 0, b < 0. .

Kitas pavyzdys: Apskaičiuokite .

Kvadratinės šaknies transformacija

Daugiklio išėmimas iš po šaknies ženklo. Tegu pateikiama išraiška. Jeigu a≥ 0 ir b≥ 0, tada pagal gaminio šaknies teoremą galime parašyti:

Tokia transformacija vadinama šaknies ženklo faktoriniavimu. Apsvarstykite pavyzdį;

Apskaičiuokite ties X= 2. Tiesioginis pakeitimas X= 2 radikalioje išraiškoje lemia sudėtingus skaičiavimus. Šiuos skaičiavimus galima supaprastinti, jei pirmiausia pašalinsime veiksnius iš po šaknies ženklo: . Dabar pakeitę x = 2, gauname:.

Taigi, išimant faktorių iš po šaknies ženklo, radikalų išraiška vaizduojama kaip sandauga, kurioje vienas ar keli faktoriai yra neneigiamų skaičių kvadratai. Tada taikoma šaknies sandaugos teorema ir imama kiekvieno veiksnio šaknis. Apsvarstykite pavyzdį: Supaprastinkite išraišką A = √8 + √18 - 4√2, išimdami veiksnius iš po šaknies ženklo pirmuosiuose dviejuose terminuose, gauname:. Pabrėžiame, kad lygybė galioja tik tada, kai a≥ 0 ir b≥ 0. jei a < 0, то .

Pamoka ir pristatymas šia tema:
"Kvadratinės šaknies savybės. Formulės. Sprendimų pavyzdžiai, užduotys su atsakymais"

Papildomos medžiagos
Mieli vartotojai, nepamirškite palikti savo komentarų, atsiliepimų, pasiūlymų. Visa medžiaga yra patikrinta antivirusine programa.

Mokymo priemonės ir treniruokliai internetinėje parduotuvėje "Integral" 8 klasei
Interaktyvus studijų vadovas „Geometrija per 10 minučių“ 8 klasei
Edukacinis kompleksas "1C: mokykla. Geometrija, 8 klasė"

Kvadratinės šaknies savybės

Mes ir toliau tiriame kvadratines šaknis. Šiandien mes apsvarstysime pagrindines šaknų savybes. Visos pagrindinės savybės yra intuityvios ir atitinka visas anksčiau atliktas operacijas.

Savybė 1. Dviejų neneigiamų skaičių sandaugos kvadratinė šaknis yra lygi šių skaičių kvadratinių šaknų sandaugai: $\sqrt(a*b)=\sqrt(a)*\sqrt(b)$.

Įrodinėti bet kokias savybes įprasta, tai darykime.
Tegul $\sqrt(a*b)=x$, $\sqrt(a)=y$, $\sqrt(b)=z$. Tada turime įrodyti, kad $x=y*z$.
Padėkime kiekvieną išraišką kvadratu.
Jei $\sqrt(a*b)=x$, tada $a*b=x^2$.
Jei $\sqrt(a)=y$, $\sqrt(b)=z$, tada abi išraiškas padalijus kvadratu, gauname: $a=y^2$, $b=z^2$.
$a*b=x^2=y^2*z^2$, t.y. $x^2=(y*z)^2$. Jei dviejų neneigiamų skaičių kvadratai yra lygūs, tai ir patys skaičiai yra lygūs, tai ir reikėjo įrodyti.

Iš mūsų nuosavybės matyti, kad, pavyzdžiui, $\sqrt(5)*\sqrt(3)=\sqrt(15)$.

1 pastaba. Savybė galioja ir tuo atveju, kai po šaknimi yra daugiau nei du neneigiami veiksniai.
2 nuosavybė. Jei $a≥0$ ir $b>0$, galioja ši lygybė: $\sqrt(\frac(a)(b))=\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))$

Tai yra, dalinio šaknis yra lygi šaknų daliniui.
Įrodymas.
Pasinaudokime lentele ir trumpai įrodykime savo nuosavybę.

Kvadratinių šaknų savybių naudojimo pavyzdžiai

1 pavyzdys
Apskaičiuokite: $\sqrt(81*25*121)$.

Sprendimas.
Žinoma, galime paimti skaičiuotuvą, padauginti visus skaičius po šaknimi ir atlikti kvadratinės šaknies ištraukimo operaciją. O jei po ranka nėra skaičiuoklės, kas tada?
$\sqrt(81*25*121)=\sqrt(81)*\sqrt(25)*\sqrt(121)=9*5*11=495$.
Atsakymas: 495.

2 pavyzdys. Apskaičiuokite: $\sqrt(11\frac(14)(25))$.

Sprendimas.
Radikalųjį skaičių pavaizduojame kaip netinkamą trupmeną: $11\frac(14)(25)=\frac(11*25+14)(25)=\frac(275+14)(25)=\frac(289)( 25) $.
Pasinaudokime 2 savybe.
$\sqrt(\frac(289)(25))=\frac(\sqrt(289))(\sqrt(25))=\frac(17)(5)=3\frac(2)(5)= 3,4 USD.
Atsakymas: 3.4.

3 pavyzdys
Apskaičiuokite: $\sqrt(40^2-24^2)$.

Sprendimas.
Savo išraišką galime įvertinti tiesiogiai, bet beveik visada ją galima supaprastinti. Pabandykime tai padaryti.
$40^2-24^2=(40-24)(40+24)=16*64$.
Taigi $\sqrt(40^2-24^2)=\sqrt(16*64)=\sqrt(16)*\sqrt(64)=4*8=32$.
Atsakymas: 32.

Vaikinai, atkreipkite dėmesį, kad radikalių išraiškų sudėties ir atimties operacijų formulių nėra, o toliau pateiktos išraiškos nėra teisingos.
$\sqrt(a+b)≠\sqrt(a)+\sqrt(b)$.
$\sqrt(a-b)≠\sqrt(a)-\sqrt(b)$.

4 pavyzdys
Apskaičiuokite: a) $\sqrt(32)*\sqrt(8)$; b) $\frac(\sqrt(32))(\sqrt(8))$.
Sprendimas.
Aukščiau pateiktos savybės veikia iš kairės į dešinę ir atvirkštine tvarka, tai yra:
$\sqrt(a)*\sqrt(b)=\sqrt(a*b)$.
$\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))=\sqrt(\frac(a)(b))$.
Panaudokime tai savo pavyzdžiui išspręsti.
a) $\sqrt(32)*\sqrt(8)=\sqrt(32*8)=\sqrt(256)=16.$

B) $\frac(\sqrt(32))(\sqrt(8))=\sqrt(\frac(32)(8))=\sqrt(4)=2$.

Atsakymas: a) 16; b) 2.

3 nuosavybė. Jei $a≥0$ ir n yra natūralusis skaičius, galioja ši lygybė: $\sqrt(a^(2n))=a^n$.

Pavyzdžiui. $\sqrt(a^(16))=a^8$, $\sqrt(a^(24))=a^(12)$ ir pan.

5 pavyzdys
Apskaičiuokite: $\sqrt(129600)$.

Sprendimas.
Mums pateiktas skaičius yra gana didelis, išskaidykime jį į pirminius veiksnius.
Gavome: $129600=5^2*2^6*3^4$ arba $\sqrt(129600)=\sqrt(5^2*2^6*3^4)=5*2^3*3^2 =5*8*9=360$.
Atsakymas: 360.

Savarankiško sprendimo užduotys

1. Apskaičiuokite: $\sqrt(144*36*64)$.
2. Apskaičiuokite: $\sqrt(8\frac(1)(36))$.
3. Apskaičiuokite: $\sqrt(52^2-48^2)$.
4. Apskaičiuokite:
a) $\sqrt(128*\sqrt(8))$;
b) $\frac(\sqrt(128))(\sqrt(8))$.

Kvadratinių šaknų savybės

Iki šiol su skaičiais atlikome penkias aritmetines operacijas: sudėtį, atimtį, daugyba, dalyba ir eksponencija, o skaičiavimuose jie aktyviai naudojo įvairių savybiųšios operacijos, pavyzdžiui, a + b = b + a, an-bn = (ab) n ir kt.

Šiame skyriuje pristatoma nauja operacija – kvadratinės šaknies paėmimas iš neneigiamo skaičiaus. Norėdami sėkmingai jį naudoti, turite susipažinti su šios operacijos savybėmis, kurias mes atliksime šiame skyriuje.

Įrodymas. Įveskime tokį užrašą: https://pandia.ru/text/78/290/images/image005_28.jpg" alt="(!LANG:Lygybė" width="120" height="25 id=">!}.

Taip suformuluojame tokią teoremą.

(Trumpa formuluotė, kurią patogiau naudoti praktikoje: frakcijos šaknis lygus trupmenai iš šaknų arba dalinio šaknis yra lygi šaknų daliniui.)

Šį kartą tik pristatysime trumpa pastabaįrodymą, ir jūs bandote pateikti atitinkamus komentarus, panašius į tuos, kurie sudarė 1 teoremos įrodymo esmę.

3 pastaba. Žinoma, šį pavyzdį galima išspręsti kitaip, ypač jei po ranka turite skaičiuotuvą: padauginkite skaičius 36, 64, 9 ir paimkite gautos sandaugos kvadratinę šaknį. Tačiau sutiksite, kad aukščiau pasiūlytas sprendimas atrodo kultūringesnis.

4 pastaba. Pirmuoju metodu atlikome tiesioginius skaičiavimus. Antrasis būdas yra elegantiškesnis:
kreipėmės formulę a2 - b2 = (a - b) (a + b) ir panaudojo kvadratinių šaknų savybę.

5 pastaba. Kai kurie „karštagalviai“ kartais siūlo tokį „sprendimą“ 3 pavyzdžiui:

Tai, žinoma, netiesa: matote - rezultatas nėra toks pat kaip mūsų 3 pavyzdyje. Faktas yra tas, kad nėra nuosavybės https://pandia.ru/text/78/290/images/image014_6.jpg" alt="(!LANG:Užduotis" width="148" height="26 id=">!} Yra tik savybės, susijusios su kvadratinių šaknų dauginimu ir padalijimu. Būkite atsargūs ir atsargūs, negalvokite apie norus.

Baigdami pastraipą atkreipiame dėmesį į dar vieną gana paprastą ir kartu svarbią savybę:
jei a > 0 ir n - natūralusis skaičius, tada

Išraiškų, kuriose yra kvadratinės šaknies operacija, konvertavimas

Kol kas atlikome tik transformacijas racionalios išraiškos, naudojant tam polinomų ir operacijų taisykles algebrinės trupmenos, sutrumpintos daugybos formulės ir tt Šiame skyriuje pristatėme naują operaciją – kvadratinės šaknies ištraukimo operaciją; mes tai nustatėme

kur, prisiminti, a, b yra neneigiami skaičiai.

Naudojant šiuos formules, galite atlikti įvairias išraiškų transformacijas, kuriose yra kvadratinės šaknies operacija. Panagrinėkime kelis pavyzdžius ir visuose pavyzdžiuose manysime, kad kintamieji turi tik neneigiamas reikšmes.

3 pavyzdysĮveskite koeficientą po kvadratinės šaknies ženklu:

6 pavyzdys. Supaprastinkite išraišką Sprendimas. Atlikime nuoseklias transformacijas:

Šis straipsnis yra išsamios informacijos rinkinys, kuriame nagrinėjama šaknų savybių tema. Atsižvelgdami į temą, pradėsime nuo savybių, išnagrinėsime visas formuluotes ir pateiksime įrodymus. Norėdami įtvirtinti temą, apsvarstysime n-ojo laipsnio savybes.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Šaknų savybės

Mes kalbėsime apie savybes.

Nuosavybė padauginti skaičiai a ir b, kuri pavaizduota kaip lygybė a · b = a · b . Jis gali būti pavaizduotas kaip daugikliai, teigiamas arba lygus nuliui a 1 , a 2 , … , a k kaip a 1 a 2 … a k = a 1 a 2 … a k ;
iš privataus a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0, galima parašyti ir tokia forma a b = a b ;
Savybė iš skaičiaus galios a su lyginiu rodikliu a 2 m = a m bet kuriam skaičiui a, pavyzdžiui, savybė iš skaičiaus kvadrato a 2 = a .

Bet kurioje pateiktoje lygtyje galite sukeisti dalis prieš ir po brūkšnelio, pavyzdžiui, lygybė a · b = a · b transformuojama kaip a · b = a · b . Lygybės savybės dažnai naudojamos sudėtingoms lygtims supaprastinti.

Pirmųjų savybių įrodymas pagrįstas kvadratinės šaknies apibrėžimu ir laipsnių su natūraliuoju rodikliu savybėmis. Norint pagrįsti trečiąją savybę, būtina remtis skaičiaus modulio apibrėžimu.

Pirmiausia reikia įrodyti kvadratinės šaknies a · b = a · b savybes. Pagal apibrėžimą būtina atsižvelgti į tai, kad a b yra skaičius, teigiamas arba lygus nuliui, kuris bus lygus a b statybos metu į aikštę. Išraiškos a · b reikšmė yra teigiama arba lygi nuliui kaip neneigiamų skaičių sandauga. Padaugintų skaičių laipsnio savybė leidžia lygybę pavaizduoti forma (a · b) 2 = a 2 · b 2 . Pagal kvadratinės šaknies apibrėžimą a 2 \u003d a ir b 2 \u003d b, tada a b \u003d a 2 b 2 \u003d a b.

Panašiai tai galima įrodyti iš produkto k daugikliai a 1 , a 2 , … , a k bus lygus šių faktorių kvadratinių šaknų sandaugai. Iš tiesų, a 1 · a 2 · … · ak 2 = a 1 2 · a 2 2 · … · ak 2 = a 1 · a 2 · … · a k .

Iš šios lygybės išplaukia, kad a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k .

Pažvelkime į keletą pavyzdžių, kad sustiprintume temą.

1 pavyzdys

3 5 2 5 = 3 5 2 5, 4, 2 13 1 2 = 4, 2 13 1 2 ir 2, 7 4 12 17 0, 2 (1) = 2, 7 4 12 17 0. 2 (1).

Būtina įrodyti dalinio aritmetinės kvadratinės šaknies savybę: a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0. Savybė leidžia parašyti lygybę a: b 2 = a 2: b 2 ir a 2: b 2 = a: b, o a: b yra teigiamas skaičius arba lygus nuliui. Ši išraiška bus įrodymas.

Pavyzdžiui, 0:16 = 0:16, 80:5 = 80:5 ir 30, 121 = 30, 121.

Apsvarstykite skaičiaus kvadrato kvadratinės šaknies savybę. Jis gali būti parašytas kaip lygybė kaip a 2 = a Norint įrodyti šią savybę, reikia išsamiai apsvarstyti keletą lygybių a ≥ 0 ir pas a< 0 .

Akivaizdu, kad a ≥ 0 lygybė a 2 = a yra teisinga. At a< 0 lygybė a 2 = - a bus teisinga. Tiesą sakant, šiuo atveju − a > 0 ir (− a) 2 = a 2 . Galime daryti išvadą, kad a 2 = a , a ≥ 0 - a , a< 0 = a . Именно это и требовалось доказать.

Pažvelkime į kelis pavyzdžius.

2 pavyzdys

5 2 = 5 = 5 ir - 0. 36 2 = - 0. 36 = 0. 36.

Įrodyta savybė padės pagrįsti 2 m = a m , kur a- tikras ir m- natūralus skaičius. Iš tiesų, eksponentiškumo savybė leidžia mums pakeisti laipsnį a 2 m išraiška (am) 2, tada a 2 · m = (a m) 2 = a m .

3 pavyzdys

3 8 = 3 4 = 3 4 ir (- 8 , 3) 14 = - 8, 3 7 = (8 , 3) 7 .

N-osios šaknies savybės

Pirmiausia turite atsižvelgti į pagrindines n-ojo laipsnio šaknų savybes:

Savybė iš skaičių sandaugos a ir b, kurie yra teigiami arba lygūs nuliui, gali būti išreikšti lygybe a b n = a n b n , ši savybė galioja sandaugai k numeriai a 1 , a 2 , … , a k kaip a 1 a 2 … a k n = a 1 n a 2 n … a k n ;
iš trupmeninio skaičiaus turi savybę a b n = a n b n , kur a yra bet koks tikrasis skaičius, kuris yra teigiamas arba lygus nuliui, ir b yra teigiamas realusis skaičius;
Bet kuriam a ir lyginiai skaičiai n = 2 m a 2 m 2 m = a yra tiesa, o nelyginis n = 2 m − 1 lygybė a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a yra įvykdyta.
Išskyrimo savybė iš a m n = a n m , kur a- bet koks skaičius, teigiamas arba lygus nuliui, n ir m yra natūralūs skaičiai, ši savybė taip pat gali būti pavaizduota kaip . . a n k n 2 n 1 = a n 1 · n 2 . . . nk ;
Bet kokiam neneigiamam a ir savavališkam n ir m, kurie yra natūralūs, galima apibrėžti ir teisingąją lygybę a m n · m = a n ;
laipsnio nuosavybė n iš skaičiaus galios a, kuris yra teigiamas arba lygus nuliui, natūra m, apibrėžiamas lygybe a m n = a n m ;
Palyginimo savybė, kurios rodikliai yra tokie patys: bet kokiems teigiamiems skaičiams a ir b toks kad a< b , nelygybė a n< b n ;
Turima palyginimo savybė tie patys skaičiaišaknis: jei m ir n- natūraliuosius skaičius, kad m > n, tada val 0 < a < 1 galioja nelygybė a m > a n, o už a > 1 esu< a n .

Aukščiau pateiktos lygtys galioja, jei dalys prieš ir po lygybės ženklo yra apverstos. Jie taip pat gali būti naudojami šioje formoje. Tai dažnai naudojama supaprastinant ar transformuojant išraiškas.

Minėtų šaknies savybių įrodymas grindžiamas apibrėžimu, laipsnio savybėmis ir skaičiaus modulio apibrėžimu. Šios savybės turi būti įrodytos. Bet viskas tvarkoje.

Pirmiausia iš sandaugos a · b n = a n · b n įrodysime n-ojo laipsnio šaknies savybes. Dėl a ir b , kuris yra teigiamas arba nulis , reikšmė a n · b n taip pat yra teigiama arba lygi nuliui, nes tai yra neneigiamų skaičių daugybos pasekmė. Natūralios galios sandaugos savybė leidžia užrašyti lygybę a n · b n n = a n n · b n n . Pagal šaknies apibrėžimą n laipsnis a n n = a ir b n n = b , todėl a n · b n n = a · b . Gauta lygybė yra būtent tai, ką reikėjo įrodyti.

Ši savybė panašiai įrodyta ir gaminiui k faktoriai: neneigiamiems skaičiams a 1 , a 2 , … , a n a 1 n · a 2 n · … · a k n ≥ 0 .

Čia yra šakninės nuosavybės naudojimo pavyzdžiai n gaminio galia: 5 2 1 2 7 = 5 7 2 1 2 7 ir 8 , 3 4 17 , (21) 4 3 4 5 7 4 = 8 , 3 17 , (21) 3 5 7 4 .

Įrodykime dalinio a b n = a n b n šaknies savybę. At a ≥ 0 ir b > 0 sąlyga a n b n ≥ 0 tenkinama, o a n b n n = a n n b n n = a b .

Parodykime pavyzdžius:

4 pavyzdys

8 27 3 = 8 3 27 3 ir 2 , 3 10: 2 3 10 = 2, 3: 2 3 10 .

Dėl Kitas žingsnis reikia įrodyti n-ojo laipsnio savybes nuo skaičiaus iki laipsnio n. Tai reiškiame lygybę a 2 m 2 m = a ir 2 m - 1 2 m - 1 = a bet kokiai realiai a ir natūralus m. At a ≥ 0 gauname a = a ir a 2 m = a 2 m, kas įrodo lygybę a 2 m 2 m = a, o lygybė a 2 m - 1 2 m - 1 = a yra akivaizdi. At a< 0 gauname atitinkamai a = - a ir a 2 m = (- a) 2 m = a 2 m . Paskutinė skaičiaus transformacija galioja pagal laipsnio savybę. Tai įrodo, kad lygybė a 2 m 2 m \u003d a ir 2 m - 1 2 m - 1 \u003d a bus tiesa, nes - c 2 m - 1 \u003d - c 2 m yra nelyginis. laipsnis - 1 bet kuriam skaičiui c , teigiamas arba lygus nuliui.

Norėdami konsoliduoti gautą informaciją, apsvarstykite keletą nuosavybės pavyzdžių:

5 pavyzdys

7 4 4 = 7 = 7, (- 5) 12 12 = - 5 = 5, 0 8 8 = 0 = 0, 6 3 3 = 6 ir (- 3, 39) 5 5 = - 3, 39.

Įrodykime tokią lygybę a m n = a n · m . Norėdami tai padaryti, reikia pakeisti skaičius prieš lygybės ženklą ir po jo vietose a n · m = a m n . Tai reikš teisingas įrašas. Dėl a , kuri yra teigiama arba lygus nuliui , iš formos a m n yra teigiamas skaičius arba lygus nuliui. Pažvelkime į savybę pakelti galią į galią ir apibrėžimą. Jų pagalba galite paversti lygybes forma a m n n · m = a m n n m = a m m = a . Tai įrodo svarstomą šaknies nuo šaknies savybę.

Panašiai įrodytos ir kitos savybės. Tikrai,. . . a n k n 2 n 1 n 1 n 2 . . . nk = . . . a n k n 3 n 2 n 2 n 3 . . . nk = . . . a nk n 4 n 3 n 3 n 4 . . . nk = . . . = a n k n k = a .

Pavyzdžiui, 7 3 5 = 7 5 3 ir 0, 0009 6 = 0, 0009 2 2 6 = 0, 0009 24.

Įrodykime kitas turtas a m n · m = a n . Norėdami tai padaryti, reikia parodyti, kad n yra skaičius, kuris yra teigiamas arba lygus nuliui. Pakėlus iki laipsnio n m yra esu. Jei skaičius a tada yra teigiamas arba nulis n laipsnis iš tarpo a yra teigiamas skaičius arba lygus nuliui Be to, a n · m n = a n n m , kurį reikėjo įrodyti.

Norėdami įtvirtinti įgytas žinias, apsvarstykite keletą pavyzdžių.

Įrodykime tokią savybę - formos a m n = a n m laipsnio šaknies savybę. Akivaizdu, kad val a ≥ 0 laipsnis a n m yra neneigiamas skaičius. Be to, ji n-asis laipsnis lygus esu, iš tiesų, a n m n = a n m · n = a n n m = a m . Tai įrodo tariamą laipsnio savybę.

Pavyzdžiui, 2 3 5 3 = 2 3 3 5 .

Turime tai įrodyti bet kokiems teigiamiems skaičiams a ir b a< b . Apsvarstykite nelygybę a n< b n . Воспользуемся методом от противного a n ≥ b n . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным a n n ≥ b n n , то есть, a ≥ b . Но это не соответствует условию a< b . Todėl n< b n при a< b .

Pavyzdžiui, mes suteikiame 12 4< 15 2 3 4 .

Apsvarstykite šaknies savybę n-tas laipsnis. Pirmiausia apsvarstykite pirmąją nelygybės dalį. At m > n ir 0 < a < 1 tiesa a m > a n . Tarkime, a m ≤ a n . Savybės supaprastins išraišką iki a n m · n ≤ a m m · n . Tada pagal laipsnio su natūraliuoju rodikliu savybes tenkinama nelygybė a n m n m n ≤ a m m n m n, tai yra, a n ≤ a m. Vertė, gauta esant m > n ir 0 < a < 1 neatitinka aukščiau nurodytų savybių.

Lygiai taip pat galima tai įrodyti m > n ir a > 1 sąlyga a m< a n .

Norėdami pataisyti aukščiau nurodytas savybes, apsvarstykite keletą konkrečių pavyzdžių. Apsvarstykite nelygybes naudodami konkrečius skaičius.

6 pavyzdys

0 , 7 3 < 0 , 7 5 и 12 > 12 7 .

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter