Lygiagretainio plotas yra. Lygiagretainė ir jos savybės. Lygiagretaus plotas. Lygiagrečiųjų kampų pusiausvyros

Pastaba... Tai yra geometrijos uždavinių pamokos dalis (skerspjūvio lygiagretainis). Jei jums reikia išspręsti geometrijos problemą, kurios čia nėra, parašykite apie tai forume. Kvadratinės šaknies ištraukimo veiksmui užduočių sprendimuose pažymėti naudojamas simbolis √ arba sqrt (), o radikalinė išraiška nurodoma skliausteliuose.

Teorinė medžiaga

Lygiagretainio ploto nustatymo formulių paaiškinimai:

Lygiagretainio plotas lygus vienos iš jo kraštinių ilgio sandaugai iš aukščio, nuleisto į šią pusę
Lygiagretainio plotas lygus dviejų gretimų jo kraštinių sandaugai iš kampo tarp jų sinuso
Lygiagretainio plotas yra pusė jo įstrižainių sandaugos iš kampo tarp jų sinuso

Lygiagretainio ploto radimo užduotys

Užduotis.
Lygiagretainyje mažesnis aukštis ir mažesnė kraštinė yra atitinkamai lygūs 9 cm, o šaknis - 82. Didžioji įstrižainė yra 15 cm. Raskite lygiagretainio plotą.

Sprendimas.
Lygiagretainio ABCD apatinį aukštį, nuleistą nuo taško B iki didesnio pagrindo AD, pažymėkime BK.
Raskite stačiakampio trikampio ABK kojelės, sudarytos iš mažesnio aukščio, mažesnės kraštinės ir didesnio pagrindo dalies, reikšmę. Pagal Pitagoro teoremą:

AB 2 = BK 2 + AK 2
82 = 9 2 + AK 2
AK 2 = 82–81
AK = 1

Išplėskime lygiagretainio BC viršutinį pagrindą ir nuleiskite aukštį AN nuo apatinio pagrindo iki jo. AN = BK kaip stačiakampio ANBK kraštinės. Raskite gauto stačiakampio trikampio ANC koją NC.
AN 2 + NC 2 = AC 2
9 2 + NC 2 = 15 2
NC 2 = 225–81
NC 2 = √144
NC = 12

Dabar raskite didesnę lygiagretainio ABCD bazę BC.
BC = NC - NB
Atsižvelgiame į tai, kad NB = AK kaip stačiakampio kraštines, tada
BC = 12 – 1 = 11

Lygiagretainio plotas lygus pagrindo sandaugai ir aukščiui iki šio pagrindo.
S = ah
S = BC * BK
S = 11 * 9 = 99

Atsakymas: 99 cm 2.

Užduotis

AVSD lygiagrečiame statmenas VO nuleidžiamas ant kintamosios srovės įstrižainės. Raskite lygiagretainio plotą, jei AO = 8, OC = 6 ir BO = 4.

Sprendimas.
Numeskime dar vieną statmeną DK į įstrižainę АС.
Atitinkamai, trikampiai AOB ir DKC, COB ir AKD yra lygūs poromis. Viena iš kraštinių yra priešinga lygiagretainio kraštinė, vienas iš kampų yra tiesus, nes yra statmenas įstrižai, o vienas iš likusių kampų yra vidinis kryžius, esantis lygiagrečiose ir slankiosios įstrižainės kraštinėse.

Taigi lygiagretainio plotas yra lygus nurodytų trikampių plotui. Tai yra
Lygiagretus = 2S AOB + 2S BOC

Stačiakampio trikampio plotas yra pusė kojų sandaugos. Kur
S = 2 (1/2 8 * 4) + 2 (1/2 6 * 4) = 56 cm 2
Atsakymas: 56 cm 2.

Geometrinės figūros plotas- geometrinės figūros skaitinė charakteristika, rodanti šios figūros dydį (paviršiaus dalis, apribota uždaru šios figūros kontūru). Ploto dydis išreiškiamas jame esančių kvadratinių vienetų skaičiumi.

Trikampio ploto formulės

Trikampio ploto pagal kraštą ir aukštį formulė
Trikampio plotas lygus pusei trikampio kraštinės ilgio sandaugos iš aukščio, nubrėžto į šią kraštinę
Trikampio ploto iš trijų kraštinių ir apibrėžto apskritimo spindulio formulė
Trikampio ploto iš trijų kraštinių ir įbrėžto apskritimo spindulio formulė
Trikampio plotas lygi trikampio pusės perimetro ir įbrėžto apskritimo spindulio sandaugai.

Kvadratinių formulių plotas

Kvadrato ploto pagal kraštinės ilgį formulė
Kvadrato plotas yra lygus jo kraštinės ilgio kvadratui.
Kvadrato ploto pagal įstrižainės ilgį formulė
Kvadrato plotas yra lygus pusei jo įstrižainės ilgio kvadrato.
S = 1 2
2

Stačiakampio ploto formulė

Stačiakampio plotas

Lygiagretainio ploto formulės

Lygiagretainio ploto formulė kraštinės ilgio ir aukščio atžvilgiu
Lygiagretaus plotas
Lygiagretainio dviejų kraštinių ploto ir kampo tarp jų formulė
Lygiagretaus plotas lygus jo kraštinių ilgių sandaugai, padaugintam iš kampo tarp jų sinuso.
a b sin α

Rombo ploto formulės

Rombo ploto pagal kraštinės ilgį ir aukštį formulė
Rombo sritis yra lygus jo kraštinės ilgio ir į šią pusę nuleisto aukščio ilgio sandaugai.
Rombo ploto pagal kraštinės ilgį ir kampą formulė
Rombo sritis yra lygus jo kraštinės ilgio kvadrato ir kampo tarp rombo kraštinių sinuso sandaugai.
Rombo ploto pagal jo įstrižainių ilgius formulė
Rombo sritis yra lygus pusei jo įstrižainių ilgių sandaugos.

Trapecijos ploto formulės

Garnio trapecijos formulė
kur S yra trapecijos plotas,
- trapecijos pagrindų ilgis,
- trapecijos šoninių kraštinių ilgis,

Lygiagretainis Yra keturkampis, kurio kraštinės poromis lygiagrečios.

Šiame paveiksle priešingos pusės ir kampai yra lygūs vienas kitam. Lygiagretainio įstrižainės susikerta viename taške ir yra juo perpus. Lygiagretainio ploto formulės leidžia rasti kraštinių, aukščio ir įstrižainių reikšmę. Lygiagretainė gali būti pateikta ir ypatingais atvejais. Jie laikomi stačiakampiais, kvadratais ir rombu.
Pirmiausia apsvarstykite lygiagretainio aukščio ir pusės, į kurią jis nuleistas, apskaičiavimo pavyzdį.

Ši byla laikoma klasikine ir nereikalauja papildomo tyrimo. Geriau atsižvelgti į formulę, kaip apskaičiuoti plotą per dvi puses ir kampą tarp jų. Skaičiuojant naudojamas tas pats metodas. Jei pateikiami šonai ir kampas tarp jų, tada plotas apskaičiuojamas taip:

Tarkime, duotas lygiagretainis, kurio kraštinės a = 4 cm, b = 6 cm. Kampas tarp jų yra α = 30°. Raskime sritį:

Lygiagretaus plotas per įstrižaines

Lygiagretainio ploto formulė įstrižainės leidžia greitai rasti reikšmę.
Norint atlikti skaičiavimus, jums reikia kampo, esančio tarp įstrižainių, vertės.

Panagrinėkime lygiagretainio ploto per įstrižaines apskaičiavimo pavyzdį. Pateikiame lygiagretainį, kurio įstrižainės D = 7 cm, d = 5 cm. Kampas tarp jų yra α = 30 °. Pakeiskime duomenis į formulę:

Lygiagretainio ploto per įstrižainę apskaičiavimo pavyzdys davė puikų rezultatą - 8,75.

Žinodami lygiagretainio ploto formulę per įstrižainę, galite išspręsti daug įdomių problemų. Pažvelkime į vieną iš jų.

Užduotis: Jums pateikiamas lygiagretainis, kurio plotas yra 92 kv. žr. taškas F yra jo kraštinės BC viduryje. Raskime ADFB trapecijos plotą, kuris bus mūsų lygiagretainyje. Pirmiausia nupieškime viską, ką gavome pagal sąlygas.
Pradėkime spręsti:

Pagal mūsų sąlygas ah = 92 ir atitinkamai mūsų trapecijos plotas bus lygus

Lygiagretaus plotas. Daugelyje geometrijos problemų, susijusių su plotų skaičiavimu, įskaitant egzamino užduotis, naudojamos lygiagretainio ir trikampio ploto formulės. Jų yra keletas, čia mes juos apsvarstysime.

Išvardinti šias formules būtų per lengva, tokių dalykų jau pakanka žinynuose ir įvairiose svetainėse. Norėčiau perteikti esmę – kad jų nesugrūstum, o suprastum ir bet kurią akimirką galėtum lengvai prisiminti. Išstudijavę straipsnio medžiagą suprasite, kad šių formulių jums visai nereikia mokytis. Kalbant objektyviai, jie tokie dažni priimant sprendimus, kad įsimenami ilgam.

1. Taigi pažvelkime į lygiagretainį. Apibrėžimas skamba:

Kodėl taip? Tai taip paprasta! Norėdami aiškiai parodyti formulės prasmę, atliksime keletą papildomų konstrukcijų, būtent, pavaizduosime aukščius:

Trikampio (2) plotas yra lygus trikampio (1) plotui - antrajam stačiakampių trikampių lygybės ženklui "išilgai kojos ir hipotenuzės". Dabar mintyse „nupjauname“ antrąjį ir perkeliame jį uždėdami ant pirmojo - gauname stačiakampį, kurio plotas bus lygus pradinio lygiagretainio plotui:

Yra žinoma, kad stačiakampio plotas yra lygus gretimų jo kraštinių sandaugai. Kaip matote iš eskizo, viena gauto stačiakampio kraštinė lygi lygiagretainio kraštinei, o kita lygi lygiagretainio aukščiui. Todėl gauname lygiagretainio S = a ∙ h ploto formulę a

2. Tęskime, dar viena jo ploto formulė. Mes turime:

Lygiagretainio formulės plotas

Pažymime kraštines a ir b, kampas tarp jų yra γ "gama", aukštis h a. Apsvarstykite stačiakampį trikampį:

Tiksliau, pagal planimetriją ir trigonometriją, kartais reikia rasti lygiagretainio aukštį, remiantis nurodytomis kraštinių, kampų, įstrižainių ir kt.

Norėdami rasti lygiagretainio aukštį, žinodami jo plotą ir pagrindo ilgį, turite naudoti lygiagretainio ploto taisyklę. Lygiagretainio plotas, kaip žinote, yra lygus pagrindo aukščio ir ilgio sandaugai:

S - lygiagretainio plotas,

a - lygiagretainio pagrindo ilgis,

h – aukščio, nuleistos į a pusę (arba iki jos tęsinio), ilgis.

Iš to gauname, kad lygiagretainio aukštis bus plotas, padalintas iš pagrindo ilgio:

Pavyzdžiui,

pateikta: lygiagretainio plotas 50 kv.cm, pagrindas 10cm;

rasti: lygiagretainio aukštis.

h = 50/10 = 5 (cm).

Kadangi lygiagretainio aukštis, pagrindo dalis ir šalia pagrindo esanti kraštinė sudaro stačiakampį, lygiagretainio aukščiui gali būti naudojami kai kurie stačiakampio kraštinių santykiai ir kampai.

Jei lygiagretainio kraštinė, esanti šalia aukščio h (DE), žinoma d (AD), o kampas A (BAD) priešingas aukščiui, tada lygiagretainio aukščio apskaičiavimas turi būti padaugintas iš gretimo ilgio. šalia priešingo kampo sinuso:

pavyzdžiui, jei d = 10 cm, o kampas A = 30 laipsnių, tada

H = 10 * sin (30º) = 10 * 1/2 = 5 (cm).

Jei uždavinys nurodo lygiagretainio, esančio greta aukščio h (DE) d (AD), ilgį ir pagrindo ribinio aukščio ilgį (AE), tai lygiagretainio aukštį galima rasti naudojant Pitagoro teoremą. :

| AE | ^ 2 + | ED | ^ 2 = | AD | ^ 2, iš kur mes apibrėžiame:

h = | ED | = √ (| AD | ^ 2- | AE | ^ 2),

tie. lygiagretainio aukštis lygus skirtumo tarp gretimos kraštinės ilgio kvadratų ir aukščio atkirstos pagrindo dalies kvadratinei šaknei.

Pavyzdžiui, jei gretimos kraštinės ilgis yra 5 cm, o nupjautos pagrindo dalies ilgis yra 3 cm, tada aukščio ilgis bus toks:

h = √ (5 ^ 2-3 ^ 2) = 4 (cm).

Jei žinomas lygiagretainio įstrižainės ilgis (DВ), esantis greta aukščio, ir pagrindo dalies, nupjautos aukščio (BE), ilgis, tai lygiagretainio aukštį taip pat galima rasti naudojant Pitagoro teoremą. :

| ВE | ^ 2 + | ED | ^ 2 = | ВD | ^ 2, iš kur mes apibrėžiame:

h = | ED | = √ (| ВD | ^ 2- | BE | ^ 2),

tie. lygiagretainio aukštis lygus skirtumo tarp gretimos įstrižainės ilgio kvadratų ir pagrindo dalies ribinio aukščio (-ių) kvadratinei šaknei.

Pavyzdžiui, jei gretimos kraštinės ilgis yra 5 cm, o nupjautos pagrindo dalies ilgis yra 4 cm, tada aukščio ilgis bus:

h = √ (5 ^ 2-4 ^ 2) = 3 (cm).

Susiję vaizdo įrašai

Šaltiniai:

kas yra lygiagretainio aukštis

Daugiakampio aukštis – tai vienai iš figūros kraštinių statmena tiesi atkarpa, jungianti ją su priešingo kampo viršūne. Plokščioje išgaubtoje figūroje yra keletas tokių atkarpų, o jų ilgiai nėra vienodi, jei bent viena iš daugiakampio kraštinių yra skirtingo dydžio. Todėl atliekant geometrijos kurso uždavinius kartais reikia nustatyti didesnio aukščio, pavyzdžiui, trikampio ar lygiagretainio, ilgį.

Instrukcijos

Jei be trumpiausios trikampio (a) kraštinių ilgio, figūros sąlygomis (S), didesnė iš aukščių (Hₐ) bus gana paprasta. Padvigubinkite plotą ir gautą reikšmę padalinkite iš trumpojo ilgio - tai bus norimas aukštis: Hₐ = 2 * S / a.

Nežinant ploto, bet turint trikampio ilgius (a, b ir c), galima rasti ir ilgiausią iš jo aukščių, tačiau matematinių operacijų bus kur kas daugiau. Pradėkite skaičiuodami pagalbinį dydį – pusperimetrą (p). Norėdami tai padaryti, sudėkite visų pusių ilgius ir padalykite rezultatą.