Funkcijų išplėtimas į galių eilutes

Funkcijų išskaidymas iš Taylor, Maclaurin ir Laurent serijos svetainėje, skirtoje praktiniams įgūdžiams lavinti. Šis funkcijos išplėtimas į seriją suteikia matematikams idėją, kaip įvertinti apytikslę funkcijos reikšmę tam tikru jos apibrėžimo srities tašku. Apskaičiuoti tokią funkcijos reikšmę yra daug lengviau, palyginti su Bredis lentele, kuri skaičiavimo amžiuje yra labai pasenusi. Išplėsti funkciją į Taylor eilutę reiškia apskaičiuoti koeficientus prieš šios serijos tiesines funkcijas ir parašyti teisinga forma. Mokiniai painioja šias dvi serijas, nesuprasdami, kas yra bendras atvejis, o koks specialus antrasis atvejis. Primename kartą ir visiems laikams, Maclaurin serija yra ypatingas Taylor serijos atvejis, tai yra Taylor serija, bet taške x = 0. Visi trumpi žinomų funkcijų išplėtimo įrašai, pvz. ^x, Sin(x), Cos(x) ir kiti, tai yra Taylor serijos išplėtimai, bet argumento taške 0. Sudėtingo argumento funkcijoms Laurento serija yra dažniausia TFKT problema, nes ji reiškia dvipusę begalinę seriją. Tai dviejų eilučių suma. Siūlome pažvelgti į išskaidymo pavyzdį tiesiai svetainėje, tai labai paprasta padaryti spustelėjus „Pavyzdys“ su bet kokiu numeriu, o tada – mygtuką „Sprendimas“. Būtent su šiuo funkcijos išplėtimu į seriją yra susieta didžioji eilutė, kuri riboja pradinę funkciją tam tikrame ordinačių ašies srityje, jei kintamasis priklauso abscisių sričiai. Vektorinė analizė lyginama su kita įdomia matematikos disciplina. Kadangi kiekvieną terminą reikia ištirti, procesui reikia daug laiko. Bet kurią Taylor seriją galima susieti su Maclaurin serija, pakeitus x0 nuliu, tačiau Maclaurin serijos atveju atvirkštinis Taylor serijos vaizdas kartais nėra akivaizdus. Kad ir kaip to nereikėtų daryti gryna forma, tai įdomu bendram savęs tobulėjimui. Kiekviena Laurent serija atitinka dvipusę begalinę laipsnių eilutę sveikaisiais z-a laipsniais, kitaip tariant, to paties Teiloro tipo eilutę, tačiau skaičiuojant koeficientus šiek tiek skiriasi. Apie Laurento eilučių konvergencijos sritį pakalbėsime kiek vėliau, atlikę keletą teorinių skaičiavimų. Kaip ir praėjusiame amžiuje, laipsniškas funkcijos išplėtimas į eilutę vargu ar gali būti pasiektas tik sumažinus terminus iki bendro vardiklio, nes vardikliuose esančios funkcijos yra nelinijinės. Apytikslis funkcinės vertės apskaičiavimas reikalauja suformuluoti uždavinius. Pagalvokite apie tai, kad kai Taylor serijos argumentas yra tiesinis kintamasis, tada plėtimas vyksta keliais etapais, bet visiškai kitoks vaizdas, kai kompleksinė arba netiesinė funkcija veikia kaip plečiamos funkcijos argumentas, tada tokios funkcijos vaizdavimo laipsnių eilutėje procesas yra akivaizdus, nes tokiu būdu nesunku, nors ir apytiksliai, apskaičiuoti reikšmę bet kuriame apibrėžimo srities taške su minimalia paklaida, kuri turi mažai įtakos tolesniems skaičiavimams. Tai taip pat taikoma Maclaurin serijai. kai reikia apskaičiuoti funkciją nuliniame taške. Tačiau pati Laurent serija čia yra plokštumos plėtra su įsivaizduojamais vienetais. Be to, ne be sėkmės bus teisingas problemos sprendimas viso proceso eigoje. Matematikoje šis požiūris nėra žinomas, bet objektyviai egzistuoja. Dėl to galite padaryti išvadą apie vadinamuosius taškinius poaibius, o išplečiant funkciją serijoje, reikia taikyti šiam procesui žinomus metodus, pavyzdžiui, taikyti išvestinių teoriją. Dar kartą įsitikinome mokytojo, padariusio savo prielaidas apie poskaičiuotinių skaičiavimų rezultatus, teisingumu. Atkreipkime dėmesį, kad Taylor serija, gauta pagal visus matematikos kanonus, egzistuoja ir yra apibrėžta visoje skaitinėje ašyje, tačiau, mieli svetainės paslaugos vartotojai, nepamirškite originalios funkcijos formos, nes ji gali pasirodyti kad iš pradžių reikia nustatyti funkcijos sritį, tai yra išrašyti ir neįtraukti į tolesnius svarstymus tuos taškus, kuriuose funkcija nėra apibrėžta realiųjų skaičių srityje. Taip sakant, tai parodys jūsų greitumą sprendžiant problemą. Maclaurin serijos su nuline argumento verte konstrukcija nebus išimtis to, kas buvo pasakyta. Tuo pačiu metu niekas neatšaukė funkcijos apibrėžimo srities paieškos, ir jūs turite rimtai žiūrėti į šį matematinį veiksmą. Jei Laurent serijoje yra pagrindinė dalis, parametras "a" bus vadinamas izoliuotu vienaskaitos tašku, o Laurent serija bus išplėsta žiede - tai yra jos dalių konvergencijos sričių sankirta, iš kurios atitinkama bus teorema. Tačiau ne viskas taip sunku, kaip gali pasirodyti iš pirmo žvilgsnio nepatyrusiam studentui. Išstudijavus tik Taylor seriją, galima nesunkiai suprasti Laurent seriją – apibendrintą skaičių erdvės išplėtimo atvejį. Bet koks funkcijos išplėtimas į seriją gali būti atliktas tik funkcijos srities taške. Reikėtų atsižvelgti į tokių funkcijų savybes, pavyzdžiui, periodiškumą arba begalinį diferencijavimą. Taip pat siūlome naudoti paruoštų išplėtimų lentelę „Taylor“ elementariųjų funkcijų serijoje, nes vieną funkciją galima pavaizduoti iki dešimčių galios eilučių, kurios skiriasi viena nuo kitos, o tai matyti iš mūsų internetinės skaičiuotuvas. Maclaurin internetinėje serijoje kaip niekad lengviau nustatyti, ar naudojatės unikalia svetainės paslauga, tereikia įvesti teisingą rašytinę funkciją ir per kelias sekundes gausite pateiktą atsakymą, jis bus garantuotas tikslus ir standartine rašytine forma . Galite nedelsdami perrašyti rezultatą į švarią kopiją, kuri bus pristatyta mokytojui. Būtų teisinga pirmiausia nustatyti nagrinėjamos funkcijos analitiškumą žieduose, o tada vienareikšmiškai teigti, kad ji gali būti išplėsta Laurent serijoje visuose tokiuose žieduose. Svarbus momentas yra nepamiršti Laurent serijos narių, turinčių neigiamus laipsnius. Sutelkite į tai kuo daugiau dėmesio. Tinkamai išnaudokite Laurent'o teoremą apie funkcijos išplėtimą į sveikųjų skaičių laipsnius.

Kaip svetainėje įterpti matematines formules?

Jei kada nors prireiks prie tinklalapio pridėti vieną ar dvi matematines formules, paprasčiausias būdas tai padaryti yra taip, kaip aprašyta straipsnyje: matematinės formulės lengvai įterpiamos į svetainę paveikslėlių, kuriuos Wolfram Alpha automatiškai generuoja, pavidalu. Be paprastumo, šis universalus metodas padės pagerinti svetainės matomumą paieškos sistemose. Jis veikia jau seniai (ir, manau, veiks amžinai), bet morališkai pasenęs.

Kita vertus, jei savo svetainėje nuolat naudojate matematines formules, rekomenduoju naudoti MathJax – specialią JavaScript biblioteką, kuri rodo matematinius žymėjimus žiniatinklio naršyklėse, naudojant MathML, LaTeX arba ASCIIMathML žymėjimą.

Yra du būdai pradėti naudoti MathJax: (1) naudodami paprastą kodą, prie savo svetainės galite greitai prijungti MathJax scenarijų, kuris bus automatiškai įkeltas iš nuotolinio serverio reikiamu metu (serverių sąrašas); (2) Įkelkite MathJax scenarijų iš nuotolinio serverio į savo serverį ir prijunkite jį prie visų savo svetainės puslapių. Antrasis metodas yra sudėtingesnis ir reikalaujantis daug laiko ir leis jums pagreitinti jūsų svetainės puslapių įkėlimą, o jei pagrindinis MathJax serveris dėl kokių nors priežasčių laikinai taps nepasiekiamas, tai neturės jokios įtakos jūsų svetainei. Nepaisant šių privalumų, pasirinkau pirmąjį būdą, nes jis paprastesnis, greitesnis ir nereikalaujantis techninių įgūdžių. Sekite mano pavyzdžiu ir per 5 minutes savo svetainėje galėsite naudotis visomis MathJax funkcijomis.

Galite prijungti MathJax bibliotekos scenarijų iš nuotolinio serverio naudodami dvi kodo parinktis, paimtas iš pagrindinės MathJax svetainės arba iš dokumentacijos puslapio:

Vieną iš šių kodo parinkčių reikia nukopijuoti ir įklijuoti į tinklalapio kodą, geriausia tarp žymų Ir arba iškart po žymos . Pagal pirmąjį variantą MathJax įkeliamas greičiau ir mažiau sulėtina puslapį. Tačiau antroji parinktis automatiškai seka ir įkelia naujausias MathJax versijas. Jei įterpsite pirmąjį kodą, jį reikės periodiškai atnaujinti. Jei įklijuosite antrą kodą, puslapiai bus įkeliami lėčiau, tačiau jums nereikės nuolat stebėti MathJax atnaujinimų.

Lengviausias būdas prijungti „MathJax“ yra „Blogger“ arba „WordPress“: svetainės valdymo skydelyje pridėkite valdiklį, skirtą trečiosios šalies „JavaScript“ kodui įterpti, nukopijuokite į jį pirmąją arba antrąją aukščiau pateikto įkėlimo kodo versiją ir įdėkite valdiklį arčiau. į šablono pradžią (beje, tai visai nebūtina, nes MathJax scenarijus įkeliamas asinchroniškai). Tai viskas. Dabar išmokite MathML, LaTeX ir ASCIIMathML žymėjimo sintaksę ir būsite pasiruošę į savo tinklalapius įdėti matematines formules.

Bet koks fraktalas statomas pagal tam tikrą taisyklę, kuri nuosekliai taikoma neribotą skaičių kartų. Kiekvienas toks laikas vadinamas iteracija.

Iteratyvus Menger kempinės konstravimo algoritmas yra gana paprastas: originalus kubas su 1 kraštine plokštumos, lygiagrečios jo paviršiams, padalintas į 27 vienodus kubus. Iš jo pašalinamas vienas centrinis kubas ir 6 šalia jo esantys kubeliai. Pasirodo rinkinys, susidedantis iš 20 likusių mažesnių kubelių. Tą patį padarę su kiekvienu iš šių kubelių, gauname rinkinį, kurį sudaro 400 mažesnių kubelių. Tęsdami šį procesą neribotą laiką, gauname Menger kempinę.

Aukštosios matematikos studentai turėtų žinoti, kad tam tikros laipsnių eilutės, priklausančios mums duotam eilučių konvergencijos intervalui, suma pasirodo esanti ištisinė ir neribotą skaičių kartų diferencijuota funkcija. Kyla klausimas: ar galima teigti, kad duota savavališka funkcija f(x) yra kai kurių laipsnių eilučių suma? Tai yra, kokiomis sąlygomis funkcija f(x) gali būti pavaizduota laipsnių eilute? Šio klausimo svarba slypi tame, kad funkciją f(x) galima apytiksliai pakeisti kelių pirmųjų laipsnių eilutės narių suma, tai yra daugianario. Toks funkcijos pakeitimas gana paprasta išraiška – polinomu – patogus ir sprendžiant kai kuriuos uždavinius, būtent: sprendžiant integralus, skaičiuojant ir pan.

Įrodyta, kad kai kuriai funkcijai f(x), kurioje galima apskaičiuoti išvestines iki (n + 1) eilės, įskaitant ir paskutinę, kai kurių (α - R; x 0 + R) kaimynystėje taško x = α formulė:

Ši formulė pavadinta garsaus mokslininko Brooko Tayloro vardu. Serija, gauta iš ankstesnės, vadinama Maclaurin serija:

Taisyklė, leidžianti išplėsti Maclaurin seriją:

Nustatykite pirmosios, antrosios, trečiosios ... eilių išvestines.
Apskaičiuokite, kokios yra išvestinės, kai x=0.
Parašykite šios funkcijos Maclaurin eilutes ir nustatykite jos konvergencijos intervalą.
Nustatykite intervalą (-R;R), kur lieka Maklaurino formulės dalis

R n (x) -> 0 n -> begalybė. Jei toks yra, joje esanti funkcija f(x) turi sutapti su Maklaurino eilutės suma.

Dabar apsvarstykite Maclaurin seriją, skirtą atskiroms funkcijoms.

1. Taigi pirmasis bus f(x) = e x. Žinoma, pagal savo ypatybes tokia funkcija turi labai skirtingų eilių išvestines ir f (k) (x) \u003d e x, kur k lygus viskam. Pakeiskime x \u003d 0. Gauname f (k) (0) \u003d e 0 \u003d 1, k \u003d 1,2 ... Remiantis tuo, kas išdėstyta pirmiau, serija e x atrodys taip:

2. Funkcijos f(x) = sin x Maklaurino eilutė. Nedelsdami paaiškinkite, kad visų nežinomųjų funkcija turės išvestines, be f "(x) \u003d cos x \u003d sin (x + n / 2), f "" (x) \u003d -sin x \u003d sin (x + 2*n/2)..., f(k)(x)=sin(x+k*n/2), kur k yra lygus bet kuriam natūraliajam skaičiui. Tai yra, atlikę paprastus skaičiavimus, galime daryti išvadą, kad f(x) = sin x serija atrodys taip:

3. Dabar pabandykime nagrinėti funkciją f(x) = cos x. Jis turi savavališkos eilės išvestinius visiems nežinomiesiems ir |f (k) (x)| = |cos(x+k*n/2)|<=1, k=1,2... Снова-таки, произведя определенные расчеты, получим, что ряд для f(х) = cos х будет выглядеть так:

Taigi, mes išvardijome svarbiausias funkcijas, kurias galima išplėsti Maclaurin serijoje, tačiau kai kurioms funkcijoms jas papildo Taylor serija. Dabar mes juos išvardinsime. Taip pat verta paminėti, kad Taylor ir Maclaurin eilutės yra svarbi aukštosios matematikos eilių sprendimo praktikos dalis. Taigi, Taylor serija.

1. Pirmoji bus f-ii f (x) = ln (1 + x) eilutė. Kaip ir ankstesniuose pavyzdžiuose, atsižvelgiant į f (x) = ln (1 + x), galime pridėti eilutę naudodami bendrą Maclaurin serijos formą. tačiau šiai funkcijai Maclaurin seriją galima gauti daug paprasčiau. Integravę tam tikrą geometrinę eilutę, gauname tokios imties f (x) = ln (1 + x) eilutę:

2. O antrasis, kuris bus galutinis mūsų straipsnyje, bus f (x) \u003d arctg x serija. Jei x priklauso intervalui [-1; 1], galioja išplėtimas:

Tai viskas. Šiame straipsnyje buvo nagrinėjamos dažniausiai naudojamos Taylor ir Maclaurin serijos aukštojoje matematikoje, ypač ekonomikos ir technikos universitetuose.

„Find the Maclaurin plėtinys f(x)“– būtent taip skamba aukštosios matematikos užduotis, kurią vieni mokiniai gali atlikti, o kiti nesusidoroja su pavyzdžiais. Yra keletas būdų, kaip išplėsti seriją galiomis, čia pateiksime metodą, kaip išplėsti Maclaurin serijos funkcijas. Kurdami funkciją serijoje, turite gerai mokėti išvestines.

4.7 pavyzdys Išplėskite funkciją į eilę laipsnio x

Skaičiavimai: Atliekame funkcijos išplėtimą pagal Maclaurin formulę. Pirmiausia funkcijos vardiklį išplečiame į seriją

Galiausiai išplėtimą padauginame iš skaitiklio.
Pirmasis narys yra funkcijos reikšmė nuliui f (0) = 1/3.
Raskite pirmosios ir aukštesnės eilės funkcijų f (x) išvestines ir šių išvestinių reikšmę taške x=0

Be to, naudojant išvestinių vertės keitimo į 0 modelį, rašome n-osios išvestinės formulę

Taigi, mes atstovaujame vardiklį kaip Maclaurin serijos išplėtimą

Padauginame iš skaitiklio ir gauname norimą funkcijos išplėtimą eilėje x laipsniais

Kaip matote, čia nėra nieko sudėtingo.
Visi pagrindiniai punktai yra pagrįsti galimybe apskaičiuoti išvestines priemones ir greitai apibendrinti aukštesnių pavedimų išvestinės priemonės vertę ties nuliu. Šie pavyzdžiai padės jums sužinoti, kaip greitai išplėsti funkciją į seriją.

4.10 pavyzdys Raskite funkcijos Maclaurin plėtinį

Skaičiavimai: Kaip jau spėjote, kosinusą skaitiklyje išplėsime serija. Norėdami tai padaryti, galite naudoti be galo mažų reikšmių formules arba galite išvesti kosinuso plėtrą išvestinių atžvilgiu. Dėl to gauname kitą seką x laipsniais

Kaip matote, turime mažiausiai skaičiavimų ir kompaktišką serijos išplėtimo vaizdą.

4.16 pavyzdys Išplėskite funkciją į eilę x laipsniais:
7/(12-x-x^2)
Skaičiavimai: tokio tipo pavyzdžiuose trupmeną reikia išplėsti per paprastųjų trupmenų sumą.
Kaip tai padaryti, dabar neparodysime, bet neribotų koeficientų pagalba pasieksime ex trupmenų sumą.
Toliau vardiklius įrašome eksponentine forma

Belieka išplėsti terminus naudojant Maclaurin formulę. Susumavus terminus, turinčius vienodus "x" laipsnius, sudarome funkcijos išplėtimo eilėje bendrojo termino formulę.

Paskutinę perėjimo prie serijos dalį pradžioje sunku įgyvendinti, nes sunku derinti suporuotų ir nesuporuotų indeksų (galių) formules, tačiau praktikuojantis tai seksis geriau.

4.18 pavyzdys Raskite funkcijos Maclaurin plėtinį

Skaičiavimai: Raskite šios funkcijos išvestinę:

Išplečiame funkciją į seriją naudodami vieną iš McLaren formulių:

Mes apibendriname serijas po termino, remdamiesi tuo, kad abu yra visiškai sutampa. Integruodami visą seriją po termino, gauname funkcijos išplėtimą į seriją x laipsniais

Tarp paskutinių dviejų skaidymo eilučių yra perėjimas, kuris pradžioje užtruks daug laiko. Apibendrinti serijos formulę nėra lengva visiems, todėl nesijaudinkite, kad nepavyks gauti gražios ir kompaktiškos formulės.

4.28 pavyzdys Raskite funkcijos Maclaurin išplėtimą:

Logaritmą rašome taip

Naudodami Maclaurin formulę išplečiame funkcijos logaritmą eilute x laipsniais

Galutinis lankstymas iš pirmo žvilgsnio yra sudėtingas, tačiau kaitaliodami simbolius visada gausite kažką panašaus. Įvadinė pamoka funkcijų planavimo iš eilės tema baigta. Kitos ne mažiau įdomios skaidymo schemos bus išsamiai aptartos tolesnėje medžiagoje.

Jei funkcija f(x) turi tam tikrame intervale, kuriame yra taškas bet, visų eilių išvestiniai, tada jai galima pritaikyti Teiloro formulę:

kur rn- vadinamasis likutinis terminas arba likusi eilutės dalis, ją galima įvertinti naudojant Lagranžo formulę:

, tarp kurių yra skaičius x X Ir bet.

Jei už kokią nors vertę x r n®0 val n®¥, tada riboje šios reikšmės Teiloro formulė virsta konvergencine formule Taylor serija:

Taigi funkcija f(x) nagrinėjamu tašku galima išplėsti į Taylor seriją X, jei:

1) turi visų eilučių išvestinius;

2) sudarytos eilutės konverguoja šioje vietoje.

At bet=0 gauname seriją, vadinamą netoli Maclaurino:

1 pavyzdys f(x)= 2x.

Sprendimas. Raskime funkcijos ir jos išvestinių reikšmes X=0

f(x) = 2x, f( 0) = 2 0 =1;

f¢(x) = 2x ln2, f¢( 0) = 2 0 ln2=ln2;

f¢¢(x) = 2x 2 2, f¢¢( 0) = 2 0 log 2 2 = log 2 2;

f(n)(x) = 2x ln n 2, f(n)( 0) = 2 0 ln n 2=ln n 2.

Pakeisdami gautas išvestinių vertes į Taylor serijos formulę, gauname:

Šios eilutės konvergencijos spindulys yra lygus begalybei, todėl šis išplėtimas galioja -¥<x<+¥.

2 pavyzdys X+4) funkcijai f(x)= e x.

Sprendimas. Funkcijos e išvestinių radimas x ir jų vertės taške X=-4.

f(x)= e x, f(-4) = e -4 ;

f¢(x)= e x, f¢(-4) = e -4 ;

f¢¢(x)= e x, f¢¢(-4) = e -4 ;

f(n)(x)= e x, f(n)( -4) = e -4 .

Todėl norima Taylor funkcijos serija turi tokią formą:

Šis išskaidymas taip pat galioja -¥<x<+¥.

3 pavyzdys . Išplėsti funkciją f(x)=ln x eilėje pagal laipsnius ( X- 1),

(t. y. Taylor serijoje netoli taško X=1).

Sprendimas. Randame šios funkcijos išvestinius.

Pakeitę šias reikšmes į formulę, gauname norimą Taylor seriją:

Naudojant d'Alemberto testą, galima patikrinti, ar serija konverguoja kada

½ X- 1½<1. Действительно,

Serija susilieja, jei ½ X- 1½<1, т.е. при 0<x<2. При X=2 gauname kintamą eilutę, atitinkančią Leibnizo testo sąlygas. At X=0 funkcija neapibrėžta. Taigi Teiloro eilutės konvergencijos sritis yra pusiau atviras intervalas (0;2]).

Pateikime tokiu būdu gautus išplėtimus Maclaurino serijoje (t. y. taško kaimynystėje X=0) kai kurioms elementarioms funkcijoms:

(2) ,

(3) ,

( vadinamas paskutinis išplėtimas dvinario serija)

4 pavyzdys . Išplėskite funkciją į galių eilutę

Sprendimas. Skaidyme (1) pakeičiame X ant - X 2, gauname:

5 pavyzdys . Išplėskite funkciją Maclaurin serijoje

Sprendimas. Mes turime

Naudodami (4) formulę galime parašyti:

pakeičiant vietoj Xį formulę -X, mes gauname:

Iš čia randame:

Išplėsdami skliaustus, pertvarkydami serijos sąlygas ir sumažinę panašius terminus, gauname

Ši serija susilieja intervale

(-1;1), nes jis gaunamas iš dviejų eilučių, kurių kiekviena susilieja šiame intervale.

komentuoti .

Formulės (1)-(5) taip pat gali būti naudojamos atitinkamoms Taylor serijos funkcijoms išplėsti, t.y. funkcijoms plėsti teigiamus sveikuosius laipsnius ( Ha). Norėdami tai padaryti, būtina atlikti tokias identiškas tam tikros funkcijos transformacijas, kad būtų gauta viena iš funkcijų (1) - (5), kurioje vietoj X kainuoja k( Ha) m , kur k yra pastovus skaičius, m yra teigiamas sveikasis skaičius. Dažnai patogu keisti kintamąjį t=Ha ir išplėsti gautą funkciją t atžvilgiu Maclaurin serijoje.

Šis metodas iliustruoja teoremą apie funkcijos plėtimosi laipsnių eilutėje unikalumą. Šios teoremos esmė yra ta, kad to paties taško kaimynystėje negalima gauti dviejų skirtingų laipsnių eilučių, kurios susilietų į tą pačią funkciją, nesvarbu, kaip jos išplėtimas būtų atliktas.

6 pavyzdys . Išplėskite funkciją Taylor serijoje taško kaimynystėje X=3.

Sprendimas. Šią problemą, kaip ir anksčiau, galima išspręsti naudojant Taylor serijos apibrėžimą, kuriai reikia rasti funkcijų išvestines ir jų reikšmes X=3. Tačiau bus lengviau naudoti esamą skaidymą (5):

Gauta serija susilieja ties arba -3<x- 3<3, 0<x< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.

7 pavyzdys . Parašykite Taylor seriją galiomis ( X-1) savybės .

Sprendimas.

Serija susilieja ties , arba 2< x£5.