Išvestinė x padauginti lnx. Natūralaus logaritmo išvestinė ir logaritmo bazė
Išvestinės radimo operacija vadinama diferenciacija.
Išspręsus paprastiausių (ir nelabai paprastų) funkcijų išvestinių radimo uždavinius, išvestinę apibrėžiant kaip argumento prieaugio santykio ribą, išvestinių lentelę ir tiksliai apibrėžtas diferenciacijos taisykles. pasirodė. Pirmieji darinių radimo srityje buvo Izaokas Niutonas (1643-1727) ir Gotfrydas Vilhelmas Leibnicas (1646-1716).
Todėl mūsų laikais, norint rasti kokios nors funkcijos išvestinę, nebūtina skaičiuoti minėtos funkcijos prieaugio ir argumento prieaugio santykio ribos, o tiesiog reikia naudoti išvestinių lentelę ir diferenciacijos taisykles. Išvestinei rasti tinka toks algoritmas.
Norėdami rasti išvestinę, jums reikia išraiškos po brūkšnio ženklu išardyti paprastas funkcijas ir nustatyti kokius veiksmus (produktas, suma, koeficientas)šios funkcijos yra susietos. Kiti dariniai elementarios funkcijos randame išvestinių lentelėje, o sandaugos, sumos ir dalinio išvestinių formules - diferenciacijos taisyklėse. Išvestinė lentelė ir diferenciacijos taisyklės pateikiamos po pirmųjų dviejų pavyzdžių.
1 pavyzdys. Raskite funkcijos išvestinę
Sprendimas. Iš diferenciacijos taisyklių sužinome, kad funkcijų sumos išvestinė yra funkcijų išvestinių suma, t.y.
Iš išvestinių lentelės sužinome, kad „x“ išvestinė yra lygi vienetui, o sinuso – kosinusui. Šias reikšmes pakeičiame išvestinių suma ir randame išvestinę, kurios reikia pagal problemos sąlygą:
2 pavyzdys. Raskite funkcijos išvestinę
Sprendimas. Diferencijuojame kaip sumos išvestinę, kurioje antrasis narys su pastoviu koeficientu gali būti paimtas už išvestinės ženklo ribų:
Jei vis dar kyla klausimų, iš kur kas ateina, jie, kaip taisyklė, tampa aiškesni susipažinus su išvestinių lentele ir paprasčiausiomis diferenciacijos taisyklėmis. Mes einame pas juos dabar.
Paprastų funkcijų išvestinė lentelė
| 1. Konstantos (skaičiaus) išvestinė. Bet koks skaičius (1, 2, 5, 200 ...), esantis funkcijos išraiškoje. Visada nulis. Tai labai svarbu atsiminti, nes to reikalaujama labai dažnai. | |
| 2. Nepriklausomo kintamojo išvestinė. Dažniausiai „x“. Visada lygus vienam. Tai taip pat svarbu atsiminti ilgą laiką. | |
| 3. Išvestinis laipsnis. Sprendžiant problemas, reikia transformuoti ne kvadratines šaknis į laipsnį. | |
| 4. Kintamojo išvestinė su laipsniu -1 | |
| 5. Išvestinė kvadratinė šaknis | |
| 6. Sinuso išvestinė | |
| 7. Kosinuso išvestinė |  |
| 8. Liestinės išvestinė |  |
| 9. Kotangento išvestinė |  |
| 10. Arsinuso išvestinė |  |
| 11. Arkosino vedinys |  |
| 12. Arktangento išvestinė |  |
| 13. Lanko kotangento išvestinė |  |
| 14. Natūralaus logaritmo išvestinė | |
| 15. Logaritminės funkcijos išvestinė |  |
| 16. Rodiklio išvestinė | |
| 17. Eksponentinės funkcijos išvestinė |
Diferencijavimo taisyklės
| 1. Sumos arba skirtumo išvestinė |  |
| 2. Kūrinio išvestinė |  |
| 2a. Išraiškos, padaugintos iš pastovaus koeficiento, išvestinė | |
| 3. Dalinio išvestinė |  |
| 4. Sudėtinės funkcijos išvestinė |  |
1 taisyklė.Jei funkcijos
tam tikru momentu skiriasi, tada tame pačiame taške funkcijos
be to
tie. funkcijų algebrinės sumos išvestinė lygi šių funkcijų išvestinių algebrinei sumai.
Pasekmė. Jei dvi diferencijuojamos funkcijos skiriasi pastoviu nariu, tai jų išvestinės yra lygios, t.y.
2 taisyklė.Jei funkcijos
tam tikru momentu skiriasi, tada tame pačiame taške jų produktas taip pat skiriasi
be to
tie. dviejų funkcijų sandaugos išvestinė yra lygi kiekvienos iš šių funkcijų sandaugų sumai iš kitos išvestinės.
1 išvada. Pastovus koeficientas gali būti perkeltas už išvestinės ženklo ribų:
2 išvada. Kelių diferencijuojamų funkcijų sandaugos išvestinė yra lygi kiekvieno faktoriaus išvestinės visų kitų sandaugų sumai.
Pavyzdžiui, dėl trijų veiksnių:
3 taisyklė.Jei funkcijos
tam tikru momentu skiriasi ir , tada šioje vietoje jis yra diferencijuotas ir jų koeficientasu / v ir
tie. dviejų funkcijų dalinio išvestinė yra lygi trupmenai, kurios skaitiklis yra vardiklio sandaugų ir skaitiklio išvestinės bei skaitiklio ir vardiklio išvestinės sandaugų skirtumas, o vardiklis yra vardiklio sandaugų kvadratas. ankstesnis skaitiklis.
Kur ko ieškoti kituose puslapiuose
Realiuose uždaviniuose randant sandaugos išvestinę ir koeficientą, visada reikia taikyti kelias diferenciacijos taisykles vienu metu, todėl daugiau pavyzdžių dėl šių darinių – straipsnyje„Kūrinio ir tam tikros funkcijos vedinys“.
komentuoti. Nepainiokite konstantos (ty skaičiaus) kaip suminės sumos ir kaip pastovaus koeficiento! Termino atveju jo išvestinė lygi nuliui, o esant pastoviam veiksniui – išimama iš išvestinių ženklo. tai tipiška klaida kuri atsiranda ant Pradinis etapas studijuojant išvestines, tačiau išsprendus kelis vieno ar dviejų komponentų pavyzdžius, vidutinis studentas šios klaidos nebedaro.
Ir jei, atskirdami kūrinį ar konkretų dalyką, turite terminą u"v, kuriame u- skaičius, pavyzdžiui, 2 arba 5, tai yra konstanta, tada šio skaičiaus išvestinė bus lygi nuliui, todėl visas terminas bus lygus nuliui (šis atvejis analizuojamas 10 pavyzdyje).
Kita dažna klaida – sudėtingos funkcijos išvestinės kaip paprastos funkcijos išvestinės mechaninis sprendimas. Štai kodėl sudėtingos funkcijos išvestinė skirtas atskiras straipsnis. Bet pirmiausia išmoksime rasti išvestinius paprastos funkcijos.
Pakeliui neapsieisite be išraiškos transformacijų. Norėdami tai padaryti, gali tekti atidaryti mokymo programas naujuose languose Veiksmai su galiomis ir šaknimis ir Veiksmai su trupmenomis .
Jei ieškote trupmenų su laipsniais ir šaknimis išvestinių sprendimų, tai yra, kai funkcija atrodo taip 
, tada sekite pamoką Trupmenų su laipsniais ir šaknimis išvestinė.
Jei turite tokią užduotį 
, tada jūsų pamoka „Paprastų trigonometrinių funkcijų dariniai“.
Žingsnis po žingsnio pavyzdžiai – kaip rasti išvestinę
3 pavyzdys. Raskite funkcijos išvestinę
Sprendimas. Nustatome funkcijos išraiškos dalis: visa išraiška reprezentuoja sandaugą, o jos veiksniai yra sumos, kurių antrajame viename iš terminų yra pastovus veiksnys. Taikome sandaugų diferenciacijos taisyklę: dviejų funkcijų sandaugos išvestinė yra lygi kiekvienos iš šių funkcijų sandaugų sumai iš kitos išvestinės:
Toliau taikome sumos diferencijavimo taisyklę: algebrinės funkcijų sumos išvestinė lygi šių funkcijų išvestinių algebrinei sumai. Mūsų atveju kiekvienoje sumoje antrasis terminas su minuso ženklu. Kiekvienoje sumoje matome ir nepriklausomą kintamąjį, kurio išvestinė lygi vienetui, ir konstantą (skaičius), kurios išvestinė lygi nuliui. Taigi, „x“ mums virsta vienetu, o minus 5 – nuliu. Antroje išraiškoje „x“ padauginama iš 2, todėl du padauginame iš to paties vieneto, kaip ir „x“ išvestinė. Gauname šias išvestinių reikšmes:
Rastas išvestis pakeičiame sandaugų suma ir gauname visos funkcijos išvestinę, kurios reikalauja uždavinio sąlyga:
4 pavyzdys. Raskite funkcijos išvestinę
Sprendimas. Turime rasti koeficiento išvestinę. Taikome dalinio diferencijavimo formulę: dviejų funkcijų dalinio išvestinė yra lygi trupmenai, kurios skaitiklis yra vardiklio sandaugų ir skaitiklio ir skaitiklio išvestinės bei skaitiklio išvestinės skirtumas. vardiklis, o vardiklis yra ankstesnio skaitiklio kvadratas. Mes gauname:
Veiksnių išvestinę skaitiklyje jau radome 2 pavyzdyje. Nepamirškime, kad sandauga, kuri dabartiniame pavyzdyje yra antrasis skaitiklio veiksnys, imamas su minuso ženklu:
Jei ieškote sprendimų problemoms, kuriose reikia rasti funkcijos išvestinę, kurioje yra nuolatinė šaknų ir galių krūva, pvz., 
tada sveiki atvykę į klasę "Trupmenų su laipsniais ir šaknimis sumos išvestinė" .
Jei reikia daugiau sužinoti apie sinusų, kosinusų, liestinių ir kt trigonometrinės funkcijos, tai yra, kai funkcija atrodo kaip , tada tavo pamoka "Paprastų trigonometrinių funkcijų dariniai" .
5 pavyzdys. Raskite funkcijos išvestinę
Sprendimas. Šioje funkcijoje matome sandaugą, kurios vienas iš faktorių yra nepriklausomo kintamojo kvadratinė šaknis, su kurio išvestine mes susipažinome išvestinių lentelėje. Pagal sandaugos diferenciacijos taisyklę ir kvadratinės šaknies išvestinės lentelės reikšmę gauname:
6 pavyzdys. Raskite funkcijos išvestinę
Sprendimas. Šioje funkcijoje matome koeficientą, kurio dividendas yra nepriklausomo kintamojo kvadratinė šaknis. Pagal dalinio diferenciacijos taisyklę, kurią pakartojome ir taikėme 4 pavyzdyje, ir kvadratinės šaknies išvestinės lentelės reikšmę gauname:
Norėdami atsikratyti trupmenos skaitiklyje, padauginkite skaitiklį ir vardiklį iš.
Natūralaus logaritmo išvestinės ir logaritmo bazės formulių įrodymas ir išvedimas. Ln 2x, ln 3x ir ln nx išvestinių skaičiavimo pavyzdžiai. Logaritmo n-osios eilės išvestinės formulės įrodymas matematinės indukcijos metodu.
Natūralaus logaritmo ir logaritmo bazės išvestinių formulių išvedimas a
Natūralaus x logaritmo išvestinė yra lygi vienetui, padalytam iš x:
(1)
(ln x) ′ =.
Logaritmo bazės a išvestinė yra lygi vienetui, padalytam iš kintamojo x, padauginus iš natūraliojo a logaritmo:
(2)
(log a x) ′ =.
Įrodymas
Tegul yra teigiamas skaičius, kuris nėra lygus vienetui. Apsvarstykite funkciją, kuri priklauso nuo kintamojo x, kuris yra logaritmas su baze:
.
Ši funkcija apibrėžta adresu. Raskime jo išvestinę kintamojo x atžvilgiu. Pagal apibrėžimą išvestinė yra tokia riba:
(3)
.
Transformuokime šią išraišką, kad sumažintume ją iki gerai žinomų matematinių savybių ir taisyklių. Norėdami tai padaryti, turime žinoti šiuos faktus:
A) Logaritmo savybės. Mums reikia šių formulių:
(4)
;
(5)
;
(6)
;
B) Tolydžios funkcijos logaritmo tęstinumas ir ribų savybė:
(7)
.
Štai keletas funkcijų, kurios turi ribą ir ši riba yra teigiama.
V) Antrosios nepaprastos ribos reikšmė:
(8)
.
Šiuos faktus taikome iki galo. Pirmiausia transformuojame algebrinę išraišką
.
Tam taikome savybes (4) ir (5).
.
Mes naudojame nuosavybę (7) ir antrą nuostabi riba (8):
.
Ir galiausiai taikome nuosavybę (6):
.
Logaritmo bazė e paskambino natūralusis logaritmas... Jis žymimas taip:
.
Tada;
.
Taigi gavome logaritmo išvestinės formulę (2).
Natūralaus logaritmo išvestinė
Dar kartą išrašome logaritmo išvestinės formulę bazės a atžvilgiu:
.
Ši formulė turi paprasčiausią natūraliojo logaritmo formą, kuriai,. Tada
(1)
.
Dėl šio paprastumo natūralusis logaritmas labai plačiai naudojamas matematinėje analizėje ir kitose su diferencialiniu skaičiavimu susijusiose matematikos šakose. Logaritminės funkcijos su kitais pagrindais gali būti išreikštos natūraliu logaritmu, naudojant savybę (6):
.
Bazinę logaritmo išvestinę galima rasti iš (1) formulės, jei konstanta išimama iš diferenciacijos ženklo:
.
Kiti logaritmo išvestinės įrodymo būdai
Čia darome prielaidą, kad žinome eksponento išvestinės formulę:
(9)
.
Tada galime išvesti natūraliojo logaritmo išvestinės formulę, atsižvelgiant į tai, kad logaritmas yra atvirkštinė eksponentinės funkcijos.
Įrodykime natūraliojo logaritmo išvestinės formulę, taikant atvirkštinės funkcijos išvestinės formulę:
.
Mūsų atveju. Funkcija, atvirkštinė natūraliajam logaritmui, yra eksponentas:
.
Jo išvestinė nustatoma pagal (9) formulę. Kintamieji gali būti pažymėti bet kokia raide. (9) formulėje kintamąjį x pakeiskite y:
.
Nuo tada
.
Tada
.
Formulė įrodyta.
Dabar įrodome natūraliojo logaritmo išvestinės formulę naudodami diferenciacijos taisyklės sudėtinga funkcija
... Kadangi funkcijos ir yra atvirkštinės viena kitai, tada
.
Šią lygtį atskiriame kintamojo x atžvilgiu:
(10)
.
X išvestinė yra lygi vienetui:
.
Taikome sudėtingos funkcijos diferencijavimo taisyklę:
.
čia . Pakeisti į (10):
.
Iš čia
.
Pavyzdys
Rasti išvestinius iš 2x, 3x ir ln nx.
Sprendimas
Originalios funkcijos yra panašios. Todėl rasime funkcijos išvestinę y = ln nx... Tada prijunkite n = 2 ir n = 3. Ir taip gauname išvestinių formules ln 2x ir 3x .
Taigi, mes ieškome funkcijos išvestinės
y = ln nx
.
Įsivaizduokime šią funkciją kaip sudėtingą funkciją, susidedančią iš dviejų funkcijų:
1)
Nuo kintamųjų priklausančios funkcijos:;
2)
Nuo kintamųjų priklausančios funkcijos:.
Tada pradinė funkcija susideda iš funkcijų ir:
.
Raskime funkcijos išvestinę kintamojo x atžvilgiu:
.
Raskime funkcijos išvestinę kintamojo atžvilgiu:
.
Taikome sudėtingos funkcijos išvestinės formulę.
.
Čia mes nustatome.
Taigi mes radome:
(11)
.
Matome, kad išvestinė nepriklauso nuo n. Šis rezultatas yra gana natūralus, jei pakeisime pradinę funkciją, naudodami sandaugos logaritmo formulę:
.
yra pastovus. Jo išvestinė yra nulis. Tada pagal sumos diferencijavimo taisyklę turime:
.
Atsakymas
; ; .
Modulio x logaritmo išvestinė
Raskime kitos labai svarbios funkcijos išvestinę – modulio x natūralųjį logaritmą:
(12)
.
Panagrinėkime atvejį. Tada funkcija turi tokią formą:
.
Jo darinys nustatomas pagal formulę (1):
.
Dabar apsvarstykite atvejį. Tada funkcija turi tokią formą:
,
kur .
Tačiau aukščiau esančiame pavyzdyje taip pat radome šios funkcijos išvestinę. Jis nepriklauso nuo n ir yra lygus
.
Tada
.
Šiuos du atvejus sujungiame į vieną formulę:
.
Atitinkamai, logaritmo bazei a turime:
.
Natūralaus logaritmo aukštesnės eilės išvestinės
Apsvarstykite funkciją
.
Mes radome jo pirmosios eilės išvestinį:
(13)
.
Raskite antros eilės išvestinę:
.
Raskite trečios eilės išvestinę:
.
Raskime ketvirtosios eilės išvestinę:
.
Matyti, kad n-osios eilės vedinys turi tokią formą:
(14)
.
Įrodykime tai matematinės indukcijos metodu.
Įrodymas
Pakeiskime reikšmę n = 1 į formulę (14):
.
Kadangi tada n = 1
, galioja (14) formulė.
Tarkime, kad formulė (14) galioja n = k. Įrodykime, kad tai reiškia, kad formulė galioja n = k + 1 .
Iš tiesų, n = k turime:
.
Skiriamės pagal kintamąjį x:
.
Taigi mes gavome:
.
Ši formulė sutampa su (14) formule, kai n = k + 1
... Taigi iš prielaidos, kad formulė (14) galioja n = k, išplaukia, kad formulė (14) galioja n = k + 1
.
Todėl n-osios eilės išvestinei formulė (14) galioja bet kuriam n.
Aukštesnės eilės logaritmo išvestinės su baze a
Norėdami rasti logaritmo bazės n-osios eilės išvestinę, turite ją išreikšti natūraliu logaritmu:
.
Taikydami formulę (14), randame n-ąją išvestinę:
.
Apibrėžimas. Tegul funkcija \ (y = f (x) \) yra apibrėžta tam tikrame intervale, kuriame yra taškas \ (x_0 \). Suteikite argumento prieaugį \ (\ Delta x \), kad jis neišeitų iš šio intervalo. Raskite atitinkamą funkcijos prieaugį \ (\ Delta y \) (einant iš taško \ (x_0 \) į tašką \ (x_0 + \ Delta x \)) ir sudarykite santykį \ (\ frac (\ Delta y) (\ Delta x) \). Jei \ (\ Delta x \ dešinėn rodyklė 0 \) yra šio santykio riba, tada nurodyta riba vadinama išvestinė funkcija\ (y = f (x) \) taške \ (x_0 \) ir pažymėkite \ (f "(x_0) \).
$$ \ lim _ (\ Delta x \ to 0) \ frac (\ Delta y) (\ Delta x) = f "(x_0) $$
Simbolis y "dažnai naudojamas išvestinei žymėti. Atkreipkite dėmesį, kad y" = f (x) yra nauja funkcija, tačiau natūraliai susijusi su funkcija y = f (x), apibrėžta visuose x taškuose, kuriuose yra aukščiau nurodyta riba. ... Ši funkcija vadinama taip: funkcijos y = f (x) išvestinė.
Išvestinės geometrinė reikšmė yra taip. Jei funkcijos y = f (x) grafikas taške, kurio abscisė x = a gali būti nubrėžta liestinė, o ne lygiagreti y ašiai, tai f (a) išreiškia liestinės nuolydį:
\ (k = f "(a) \)
Kadangi \ (k = tg (a) \), lygybė \ (f "(a) = tg (a) \) yra teisinga.
Dabar interpretuokime išvestinės apibrėžimą apytikslių lygybių požiūriu. Tegul funkcija \ (y = f (x) \) turi išvestinę konkrečiame taške \ (x \):
$$ \ lim _ (\ Delta x \ to 0) \ frac (\ Delta y) (\ Delta x) = f "(x) $$
Tai reiškia, kad netoli taško x yra įvykdyta apytikslė lygybė \ (\ frac (\ Delta y) (\ Delta x) \ apytiksliai f "(x) \), t. y. \ (\ Delta y \ apytiksliai f" (x) \ cdot \ Delta x \). Gautos apytikslės lygybės prasminga reikšmė yra tokia: funkcijos prieaugis yra "beveik proporcingas" argumento prieaugiui, o proporcingumo koeficientas yra išvestinės reikšmė išvestinėje. nustatytas taškas NS. Pavyzdžiui, funkcija \ (y = x ^ 2 \) atitinka apytikslę lygybę \ (\ Delta y \ apytiksliai 2x \ cdot \ Delta x \). Jei atidžiai išanalizuosime išvestinės apibrėžimą, pamatysime, kad jame yra algoritmas, kaip jį rasti.
Suformuluokime.
Kaip rasti funkcijos y = f (x) išvestinę?
1. Pataisykite reikšmę \ (x \), raskite \ (f (x) \)
2. Suteikite argumentui \ (x \) prieaugį \ (\ Delta x \), eikite į naują tašką \ (x + \ Delta x \), raskite \ (f (x + \ Delta x) \)
3. Raskite funkcijos prieaugį: \ (\ Delta y = f (x + \ Delta x) - f (x) \)
4. Sudarykite ryšį \ (\ frac (\ Delta y) (\ Delta x) \)
5. Apskaičiuokite $$ \ lim _ (\ Delta x \ to 0) \ frac (\ Delta y) (\ Delta x) $$
Ši riba yra funkcijos taške x išvestinė.
Jei funkcija y = f (x) turi išvestinę taške x, tai taške x ji vadinama diferencijuojama. Iškviečiama funkcijos y = f (x) išvestinės radimo procedūra diferenciacija funkcija y = f (x).
Aptarkime tokį klausimą: kaip funkcijos tęstinumas ir diferencijuotumas taške yra susiję vienas su kitu?
Tegul funkcija y = f (x) yra diferencijuojama taške x. Tada funkcijos grafiko taške M (x; f (x)) galima nubrėžti liestinę ir, prisiminkime, liestinės nuolydis yra lygus f "(x). Toks grafikas negali "pertraukti" taške M, tai yra, funkcija turi būti ištisinė taške x.
Tai buvo „pirštų galiukų“ samprotavimai. Pateikime griežtesnį samprotavimą. Jei funkcija y = f (x) yra diferencijuojama taške x, galioja apytikslė lygybė \ (\ Delta y \ apytiksliai f "(x) \ cdot \ Delta x \). Jei šioje lygybėje \ (\ Delta x \) linkęs į nulį, tada \ (\ Delta y \) bus linkęs į nulį, ir tai yra funkcijos tęstinumo taške sąlyga.
Taigi, jei funkcija yra diferencijuojama taške x, tai ir šiame taške ji yra ištisinė.
Atvirkščiai netiesa. Pavyzdžiui: funkcija y = | x | yra ištisinis visur, ypač taške x = 0, bet funkcijos grafiko liestinė "sandūros taške" (0; 0) neegzistuoja. Jei tam tikru funkcijos grafiko tašku neįmanoma nubrėžti liestinės, tai šiuo metu išvestinės nėra.
Dar vienas pavyzdys. Funkcija \ (y = \ sqrt (x) \) yra ištisinė visoje skaičių tiesėje, įskaitant tašką x = 0. O funkcijos grafiko liestinė egzistuoja bet kuriame taške, įskaitant tašką x = 0 Bet šioje vietoje liestinės linija sutampa su y ašimi, tai yra, ji yra statmena abscisių ašiai, jos lygtis yra x = 0. Šlaitas tokios eilutės nėra, todėl jos nėra ir \ (f "(0) \)
Taigi, mes susipažinome su nauja funkcijos savybe – diferenciacija. Ir kaip iš funkcijos grafiko galime daryti išvadą apie jos diferencijavimą?
Atsakymas iš tikrųjų gautas aukščiau. Jei tam tikru funkcijos grafiko tašku galima nubrėžti liestinę, kuri nėra statmena abscisių ašiai, tai šioje vietoje funkcija yra diferencijuojama. Jei tam tikru momentu funkcijos grafiko liestinė neegzistuoja arba ji yra statmena abscisių ašiai, tai šiuo metu funkcija nediferencijuojama.
Diferencijavimo taisyklės
Išvestinės radimo operacija vadinama diferenciacija... Atliekant šią operaciją dažnai tenka dirbti su koeficientais, sumomis, funkcijų sandaugomis, taip pat su „funkcijų funkcijomis“, tai yra sudėtingomis funkcijomis. Remiantis darinio apibrėžimu, galima išvesti diferencijavimo taisykles, palengvinančias šį darbą. Jei C yra pastovus skaičius, o f = f (x), g = g (x) yra kai kurios diferencijuojamos funkcijos, tada diferenciacijos taisyklės:
$$ f "_x (g (x)) = f" _g \ cdot g "_x $$
