Apskaičiuokite apribotos formos plotą internete. Apibrėžtasis integralas. Kaip apskaičiuoti figūros plotą

Uždavinio numeris 3. Padarykite brėžinį ir apskaičiuokite figūros, apribotos linijomis, plotą

Integruotas pritaikymas taikomųjų problemų sprendimui

Skaičiuojant plotą

Tolydžios neneigiamos funkcijos f (x) apibrėžtasis integralas skaitiniu požiūriu lygus išlenktos trapecijos plotas, apribotas kreivės y = f (x), O x ašies ir tiesių x = a ir x = b. Atitinkamai, ploto formulė parašyta taip:

Pažvelkime į keletą plokščių figūrų plotų skaičiavimo pavyzdžių.

Uždavinio numeris 1. Apskaičiuokite plotą, kurį riboja tiesės y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2.

Sprendimas. Sukurkime figūrą, kurios plotą turėsime apskaičiuoti.

y = x 2 + 1 yra parabolė, kurios šakos nukreiptos į viršų, o parabolė O y ašies atžvilgiu pasislinkusi vienu vienetu aukštyn (1 pav.).

1 pav. Funkcijos y = x 2 + 1 grafikas

Uždavinio numeris 2. Apskaičiuokite plotą, kurį riboja tiesės y = x 2 - 1, y = 0 intervale nuo 0 iki 1.

Sprendimas.Šios funkcijos grafikas yra šakos parabolė, kuri nukreipta į viršų, o parabolė O y ašies atžvilgiu pasislenka vienu vienetu žemyn (2 pav.).

2 pav. Funkcijos y = x 2 - 1 grafikas

Uždavinio numeris 3. Padarykite brėžinį ir apskaičiuokite figūros plotą, apribotą linijomis

y = 8 + 2x - x 2 ir y = 2x - 4.

Sprendimas. Pirmoji iš šių dviejų tiesių yra parabolė su šakomis, nukreiptomis žemyn, nes koeficientas x 2 yra neigiamas, o antroji linija yra tiesė, kertanti abi koordinačių ašis.

Norėdami sukurti parabolę, randame jos viršūnės koordinates: y ’= 2 - 2x; 2 - 2x = 0, x = 1 - viršūnės abscisė; y (1) = 8 + 2 ∙ 1 - 1 2 = 9 yra jo ordinatė, N (1; 9) yra viršūnė.

Dabar rasime parabolės ir tiesės susikirtimo taškus, išspręsdami lygčių sistemą:

Lygties dešiniųjų kraštinių prilyginimas, kurių kairiosios pusės lygios.

Gauname 8 + 2x - x 2 = 2x - 4 arba x 2 - 12 = 0, iš kur .

Taigi taškai yra parabolės ir tiesės susikirtimo taškai (1 pav.).

3 pav. Funkcijų y = 8 + 2x - x 2 ir y = 2x - 4 grafikai

Sukonstruokime tiesę y = 2x - 4. Ji eina per taškus (0; -4), (2; 0) koordinačių ašyse.

Norėdami sukurti parabolę, taip pat galite turėti jos susikirtimo taškus su 0x ašimi, ty lygties šaknis 8 + 2x - x 2 = 0 arba x 2 - 2x - 8 = 0. Pagal Vietos teoremą tai lengva rasti jo šaknis: x 1 = 2, x 2 = 4.

3 paveiksle parodyta figūra (parabolinė atkarpa M 1 N M 2), apribota šiomis linijomis.

Antroji užduoties dalis – rasti šios figūros plotą. Jo plotą galima rasti naudojant apibrėžtąjį integralą pagal formulę .

Atsižvelgiant į šią sąlygą, gauname integralą:

2 Apsisukimo kūno tūrio apskaičiavimas

Kūno tūris, gautas sukant kreivę y = f (x) aplink ašį O x, apskaičiuojamas pagal formulę:

Kai sukasi aplink O y ašį, formulė turi tokią formą:

Problema numeris 4. Nustatykite kūno tūrį, gautą sukant kreivinę trapeciją, kurią riboja tiesės x = 0 x = 3 ir kreivė y = aplink ašį O x.

Sprendimas. Pastatykime paveikslėlį (4 pav.).

4 pav. Funkcijos y = grafikas

Reikalingas tūris yra

Problema numeris 5. Apskaičiuokite kūno tūrį, gautą iš kreivosios trapecijos, apribotos kreivės y = x 2 ir tiesių y = 0 ir y = 4, sukimosi aplink O y ašį.

Sprendimas. Mes turime:

Peržiūrėkite klausimus

Pradedame svarstyti tikrąjį dvigubo integralo skaičiavimo procesą ir susipažįstame su jo geometrine reikšme.

Dvigubas integralas yra skaitiniu požiūriu lygus plokščios figūros plotui (integracijos regionui). Tai paprasčiausia dvigubo integralo forma, kai dviejų kintamųjų funkcija lygi vienetui:.

Pirmiausia panagrinėkime problemą bendrais bruožais. Dabar nustebsite, kaip tai paprasta! Apskaičiuokime plokščios figūros, apribotos linijomis, plotą. Tikslumui darome prielaidą, kad segmente. Šios figūros plotas yra lygus:

Nubrėžkime plotą brėžinyje:

Pasirinkime pirmąjį būdą pereiti teritoriją:

Taigi:

Ir iš karto svarbus techninis triukas: iteruoti integralai gali būti nagrinėjami atskirai... Pirmiausia vidinis integralas, tada išorinis integralas. Šis metodas labai rekomenduojamas pradedantiesiems arbatinukų srityje.

1) Mes apskaičiuojame vidinį integralą, o integravimas vykdomas per kintamąjį "žaidimas":

Neapibrėžtas integralas čia yra paprasčiausias, o tada naudojama banali Niutono-Leibnizo formulė su vieninteliu skirtumu integracijos ribos yra ne skaičiai, o funkcijos... Pirmiausia viršutinė riba buvo pakeista į "žaidimą" (antiderivatinė funkcija), tada - apatinė riba

2) Pirmoje pastraipoje gautas rezultatas turi būti pakeistas išoriniu integralu:

Kompaktiškesnis viso sprendimo įrašas atrodo taip:

Gauta formulė Ar tai yra būtent darbinė formulė plokščios figūros plotui apskaičiuoti naudojant „įprastą“ apibrėžtąjį integralą! Žiūrėkite pamoką Ploto apskaičiavimas naudojant apibrėžtąjį integralą, ji yra kiekviename žingsnyje!

Tai yra, ploto skaičiavimo uždavinys naudojant dvigubą integralą nelabai skiriasi nuo srities suradimo naudojant apibrėžtąjį integralą problemos! Tiesą sakant, jie yra tas pats!

Atitinkamai, jokių sunkumų neturėtų kilti! Apsvarstysiu nedaug pavyzdžių, nes iš tikrųjų jūs ne kartą susidūrėte su šia užduotimi.

9 pavyzdys

Sprendimas: Nubrėžkime plotą brėžinyje:

Pasirinkime tokią važiavimo regione tvarką:

Toliau nesigilinsiu į tai, kaip atlikti plotą, nes pirmoje pastraipoje buvo pateikti labai išsamūs paaiškinimai.

Taigi:

Kaip jau pastebėjau, pradedantiesiems geriau skaičiuoti iteruotus integralus atskirai, ir aš laikysiuosi to paties metodo:

1) Pirma, naudodamiesi Niutono-Leibnizo formule, sprendžiame vidinį integralą:

2) Pirmajame žingsnyje gautas rezultatas pakeičiamas išoriniu integralu:

2 taškas iš tikrųjų yra plokščios figūros ploto radimas naudojant apibrėžtąjį integralą.

Atsakymas:

Čia tokia kvaila ir naivi užduotis.

Įdomus nepriklausomo sprendimo pavyzdys:

10 pavyzdys

Naudodami dvigubą integralą, apskaičiuokite plokščios figūros, apribotos linijomis, plotą,

Apytikslis galutinio sprendimo projekto pavyzdys pamokos pabaigoje.

9-10 pavyzdžiuose daug pelningiau naudoti pirmąjį būdą pervažiuoti plotą, smalsūs skaitytojai, beje, gali pakeisti važiavimo tvarką ir skaičiuoti plotus antruoju būdu. Jei nepadarysite klaidos, tada, žinoma, bus tos pačios teritorijų vertės.

Tačiau daugeliu atvejų antrasis būdas apeiti sritį yra veiksmingesnis, o jauno vėpla kurso pabaigoje apsvarstykite dar keletą pavyzdžių šia tema:

11 pavyzdys

Naudodamiesi dvigubu integralu, apskaičiuokite plokščios figūros, apribotos linijomis, plotą,

Sprendimas: nekantriai laukiame dviejų parabolių su keistenybe, kurios guli vienoje pusėje. Nereikia šypsotis, panašūs dalykai keliuose integraluose yra įprasti.

Koks yra lengviausias būdas padaryti piešinį?

Mes atstovaujame parabolę dviejų funkcijų forma:
- viršutinė šaka ir - apatinė šaka.

Panašiai mes atstovaujame parabolę viršutinės ir apatinės formos šakos.

Be to, taškas po taško diagramų sudarymo taisyklės, dėl kurių gaunamas toks keistas skaičius:

Figūros plotas apskaičiuojamas naudojant dvigubą integralą pagal formulę:

Kas nutiks, jei pasirinksime pirmąjį būdą pereiti teritoriją? Pirma, ši sritis turės būti padalinta į dvi dalis. Ir, antra, mes stebėsime šį labai liūdną vaizdą: ... Integralai, žinoma, nėra itin sudėtingo lygio, bet... yra senas matematinis posakis: tiems, kurie yra draugiški su šaknimis, testo nereikia.

Todėl iš sąlygoje pateikto nesusipratimo išreiškiame atvirkštines funkcijas:

Atvirkštinės funkcijos šiame pavyzdyje turi pranašumą, nes jos nustato visą parabolę iš karto be jokių lapų, gilių, šakų ir šaknų.

Pagal antrąjį metodą ploto perėjimas bus toks:

Taigi:

Pajuskite skirtumą, kaip sakoma.

1) Susitvarkykite su vidiniu integralu:

Pakeiskite rezultatą į išorinį integralą:

Integracija kintamojo "igrek" atžvilgiu neturėtų būti gėdinga, jei būtų raidė "siu", būtų puiku integruoti per ją. Nors kas skaitė antrąją pamokos pastraipą Kaip apskaičiuoti apsisukimo kūno tūrį, jis nebepatiria nė menkiausio nepatogumo su integravimu pagal „žaidimą“.

Taip pat atkreipkite dėmesį į pirmąjį žingsnį: integrandas yra lygus, o integravimo segmentas yra simetriškas apie nulį. Todėl segmentą galima sumažinti perpus, o rezultatą padvigubinti. Ši technika išsamiai aprašyta pamokoje. Veiksmingi apibrėžtojo integralo skaičiavimo metodai.

Ką pridėti…. Viskas!

Atsakymas:

Norėdami patikrinti savo integravimo techniką, galite pabandyti apskaičiuoti ... Atsakymas turėtų būti visiškai toks pat.

12 pavyzdys

Naudodamiesi dvigubu integralu, apskaičiuokite plokščios figūros, apribotos linijomis, plotą

Tai yra „pasidaryk pats“ sprendimo pavyzdys. Įdomu pastebėti, kad jei bandysite naudoti pirmąjį ploto perėjimo būdą, tada figūrą teks padalyti ne į dvi, o į tris dalis! Ir atitinkamai jūs gaunate tris poras pasikartojančių integralų. Kartais taip nutinka.

Meistriškumo klasė baigėsi, ir laikas pereiti į didmeistrio lygį - Kaip apskaičiuoti dvigubą integralą? Sprendimų pavyzdžiai... Antrame straipsnyje pasistengsiu nebūti toks maniakiškas =)

Linkime sėkmės!

Sprendimai ir atsakymai:

2 pavyzdys:Sprendimas: Nubraižykime plotą ant piešinio:

Pasirinkime tokią važiavimo regione tvarką:

Taigi:
Pereikime prie atvirkštinių funkcijų:

Taigi:
Atsakymas:

4 pavyzdys:Sprendimas: Pereikime prie tiesioginių funkcijų:

Atlikime piešinį:

Pakeiskime teritorijos važiavimo tvarką:

Atsakymas:

Tiesą sakant, norint rasti figūros plotą, nereikia tiek daug žinių apie neapibrėžtą ir apibrėžtą integralą. Užduotis „apskaičiuoti plotą naudojant apibrėžtąjį integralą“ visada apima brėžinio sudarymą, todėl jūsų žinios ir piešimo įgūdžiai bus daug aktualesnis klausimas. Šiuo atžvilgiu naudinga atnaujinti pagrindinių elementariųjų funkcijų grafikų atmintį ir bent jau sugebėti sukurti tiesę ir hiperbolę.

Kreivinė trapecija yra plokščia figūra, kurią riboja ašis, tiesės ir atkarpos ištisinės funkcijos grafikas, kuris nekeičia ženklo šiame intervale. Tegul ši figūra yra išdėstyta ne mažiau abscisių ašis:

Tada kreivinės trapecijos plotas skaitine prasme lygus apibrėžtajam integralui... Bet koks apibrėžtas integralas (egzistuojantis) turi labai gerą geometrinę reikšmę.

Geometrijos požiūriu apibrėžtasis integralas yra PLOTAS.

Tai yra, apibrėžtas integralas (jei jis yra) geometriškai atitinka tam tikros figūros plotą. Pavyzdžiui, apsvarstykite apibrėžtąjį integralą. Integrandas nustato kreivę plokštumoje, esančioje virš ašies (norintieji gali piešti), o pats apibrėžtasis integralas yra skaitiniu būdu lygus atitinkamos kreivinės trapecijos plotui.

1 pavyzdys

Tai yra tipiška užduoties formuluotė. Pirmas ir svarbiausias sprendimo punktas – brėžinio konstrukcija... Be to, brėžinys turi būti pastatytas TEISINGAI.

Šios problemos sprendimas gali atrodyti taip.
Nubraižykime brėžinį (atkreipkite dėmesį, kad lygtis apibrėžia ašį):

Segmente yra funkcijos grafikas virš ašies, todėl:

Atsakymas:

Atlikus užduotį visada naudinga pažvelgti į projektą ir įvertinti, ar atsakymas tikras. Tokiu atveju "iš akies" skaičiuojame brėžinyje esančių langelių skaičių - na, bus atspausdinta apie 9, atrodo, kad tai tiesa. Visiškai aišku, kad jei gavome, tarkime, atsakymą: 20 kvadratinių vienetų, tai akivaizdu, kad kažkur buvo padaryta klaida – minima figūra akivaizdžiai netelpa 20 langelių, daugiausia dešimties. Jei atsakymas neigiamas, tada užduotis taip pat buvo išspręsta neteisingai.

3 pavyzdys

Apskaičiuokite figūros, apribotos linijomis ir koordinačių ašimis, plotą.

Sprendimas: Vykdykime piešinį:

Jeigu lenkta trapecija išsidėsčiusi po ašimi(ar bent jau ne aukščiau duota ašis), tada jos plotą galima rasti pagal formulę:

Tokiu atveju:

Dėmesio! Nereikėtų painioti dviejų tipų užduočių:

1) Jei jūsų prašoma išspręsti tik apibrėžtą integralą be jokios geometrinės reikšmės, tada jis gali būti neigiamas.

2) Jei jūsų prašoma rasti figūros plotą naudojant apibrėžtą integralą, tada plotas visada yra teigiamas! Štai kodėl ką tik aptartoje formulėje atsiranda minusas.

Praktikoje dažniausiai figūra yra tiek viršutinėje, tiek apatinėje pusplokštumose, todėl nuo paprasčiausių mokyklinių uždavinių pereiname prie prasmingesnių pavyzdžių.

4 pavyzdys

Raskite plokščios figūros, apribotos linijomis, plotą.

Sprendimas: Pirmiausia turite užbaigti piešinį. Paprastai kalbant, statant brėžinį ploto uždaviniuose, mus labiausiai domina tiesių susikirtimo taškai. Raskite parabolės ir tiesės susikirtimo taškus. Tai galima padaryti dviem būdais. Pirmasis būdas yra analitinis. Išsprendžiame lygtį:

Vadinasi, apatinė integracijos riba, viršutinė integracijos riba.

Jei įmanoma, šio metodo geriau nenaudoti..

Kur kas pelningiau ir greičiau statyti linijas taškas po taško, o integracijos ribos išryškėja tarsi „savaime“. Nepaisant to, kartais vis tiek tenka naudoti analitinį ribų radimo metodą, jei, pavyzdžiui, grafikas yra pakankamai didelis arba tiksli konstrukcija neatskleidė integravimo ribų (jos gali būti trupmeninės arba neracionalios). Ir mes taip pat apsvarstysime tokį pavyzdį.

Grįžtame prie savo problemos: racionaliau pirmiausia statyti tiesę, o tik tada parabolę. Atlikime piešinį:

O dabar darbo formulė: Jei atkarpoje tam tikra ištisinė funkcija didesnis arba lygus kai kurios ištisinės funkcijos, tada figūros plotą, apribotą šių funkcijų grafikais ir tiesiomis linijomis, galima rasti pagal formulę:

Čia jums nebereikia galvoti apie tai, kur yra figūra - virš ašies ar žemiau ašies, ir, grubiai tariant, svarbu, kuris grafikas yra AUKŠČIAU(kito grafiko atžvilgiu), ir kuris iš jų yra ŽEMIAUS.

Nagrinėjamame pavyzdyje akivaizdu, kad atkarpoje parabolė yra virš tiesės, todėl reikia atimti iš

Sprendimo užbaigimas gali atrodyti taip:

Reikiamą figūrą viršuje riboja parabolė, o apačioje – tiesi linija.
Segmente pagal atitinkamą formulę:

Atsakymas:

4 pavyzdys

Apskaičiuokite figūros plotą, kurį riboja linijos,,,.

Sprendimas: Pirma, atlikime piešinį:

Figūra, kurios plotą turime rasti, yra nuspalvinta mėlyna spalva(atsargiai pažiūrėkite į būklę – kuo figūra ribojama!). Tačiau praktiškai dėl neatidumo dažnai iškyla „gedimas“, kad reikia rasti figūros plotą, nuspalvintą žaliai!

Šis pavyzdys taip pat naudingas tuo, kad apskaičiuoja figūros plotą naudojant du apibrėžtuosius integralus.

Tikrai:

1) Atkarpoje virš ašies yra tiesinis grafikas;

2) Hiperbolės grafikas yra atkarpoje virš ašies.

Visiškai akivaizdu, kad sritis galima (ir reikia) pridėti, todėl:

Šiame straipsnyje bus parodyta, kaip naudojant integralinius skaičiavimus rasti linijomis apribotos formos plotą. Pirmą kartą su tokios problemos formulavimu susiduriame vidurinėje mokykloje, kai ką tik pasibaigė apibrėžtųjų integralų studijos ir laikas pradėti geometrinę praktikoje įgytų žinių interpretaciją.

Taigi, ko reikia norint sėkmingai išspręsti figūros ploto, naudojant integralus, problemą:

Gebėjimas kompetentingai kurti brėžinius;
Gebėjimas išspręsti apibrėžtąjį integralą naudojant gerai žinomą Niutono-Leibnizo formulę;
Galimybė „pamatyti“ naudingesnį sprendimą - tai yra, suprasti, kaip tokiu ar kitu atveju bus patogiau vykdyti integraciją? Išilgai x ašies (OX) ar y ašies (OY)?
Na, kur be teisingų skaičiavimų?) Tai apima supratimą, kaip išspręsti to kito tipo integralus, ir teisingus skaitinius skaičiavimus.

Figūros, apribotos linijomis, ploto skaičiavimo problemos sprendimo algoritmas:

1. Mes statome piešinį. Patartina tai padaryti ant popieriaus lapo narve, su dideliu mastu. Šios funkcijos pavadinimą pažymime pieštuku virš kiekvieno grafiko. Grafikų parašai daromi tik tolesnių skaičiavimų patogumui. Gavus norimos figūros grafiką, daugeliu atvejų iš karto bus matyti, kokios integravimo ribos bus naudojamos. Taigi problemą išsprendžiame grafiškai. Tačiau taip atsitinka, kad ribų reikšmės yra trupmeninės arba neracionalios. Todėl galite atlikti papildomus skaičiavimus, pereikite prie antrojo veiksmo.

2. Jei integravimo ribos nėra aiškiai nustatytos, tada randame grafikų susikirtimo taškus tarpusavyje ir pažiūrime, ar mūsų grafinis sprendimas sutampa su analitiniu.

3. Toliau reikia išanalizuoti piešinį. Priklausomai nuo to, kaip išdėstyti funkcijų grafikai, yra įvairių būdų, kaip rasti figūros plotą. Panagrinėkime skirtingus figūros ploto radimo pavyzdžius naudojant integralus.

3.1. Klasikiškiausia ir paprasčiausia problemos versija yra tada, kai reikia rasti lenktos trapecijos plotą. Kas yra lenkta trapecija? Tai plokščia figūra, kurią riboja x ašis. (y = 0), tiesus x = a, x = b ir bet kuri kreivė ištisinė nuo a prieš b... Be to, šis skaičius nėra neigiamas ir yra ne žemiau abscisės ašies. Šiuo atveju kreivinės trapecijos plotas yra skaitiniu būdu lygus apibrėžtajam integralui, apskaičiuotam pagal Niutono-Leibnizo formulę:

1 pavyzdys y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Kokios linijos riboja figūrą? Mes turime parabolę y = x2 - 3x + 3 kuri yra virš ašies OI, tai neneigiama, nes visi šios parabolės taškai yra teigiami. Be to, tiesios linijos x = 1 ir x = 3 kurios eina lygiagrečiai ašiai OU, yra figūrą ribojančios linijos kairėje ir dešinėje. Na y = 0, tai yra x ašis, kuri riboja figūrą iš apačios. Gauta forma užtamsinta, kaip parodyta paveikslėlyje kairėje. Tokiu atveju galite nedelsiant pradėti spręsti problemą. Prieš mus yra paprastas kreivinės trapecijos pavyzdys, kurį toliau sprendžiame naudodami Niutono-Leibnizo formulę.

3.2. Ankstesnėje 3.1 pastraipoje išanalizavome atvejį, kai kreivinė trapecija yra virš x ašies. Dabar apsvarstykite atvejį, kai problemos sąlygos yra tokios pačios, išskyrus tai, kad funkcija yra po x ašimi. Prie standartinės Niutono-Leibnizo formulės pridedamas minusas. Mes svarstysime, kaip toliau išspręsti panašią problemą.

2 pavyzdys ... Apskaičiuokite figūros, apribotos linijomis, plotą y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

Šiame pavyzdyje turime parabolę y = x2 + 6x + 2 kuris kyla iš po ašies OI, tiesus x = -4, x = -1, y = 0... Čia y = 0 riboja norimą formą iš viršaus. Tiesioginis x = -4 ir x = -1 tai yra ribos, per kurias bus skaičiuojamas apibrėžtasis integralas. Figūros ploto radimo problemos sprendimo principas beveik visiškai sutampa su 1 pavyzdžiu. Vienintelis skirtumas yra tas, kad duota funkcija nėra teigiama, o vis tiek yra nuolatinė intervale [-4; -1] ... Kas nereiškia teigiamo? Kaip matote iš paveikslo, figūra, esanti duotoje x ribose, turi išskirtinai „neigiamas“ koordinates, kurias turime pamatyti ir atsiminti sprendžiant problemą. Figūros ploto ieškome naudodami Niutono-Leibnizo formulę, tik pradžioje su minuso ženklu.

Straipsnis neišsamus.

Apibrėžtasis integralas. Kaip apskaičiuoti figūros plotą

Dabar kreipiamės į integralinio skaičiavimo taikymą. Šioje pamokoje analizuosime tipišką ir dažniausiai pasitaikančią užduotį. - kaip apskaičiuoti plokščios figūros plotą naudojant apibrėžtąjį integralą... Pagaliau tie, kurie ieško prasmės aukštojoje matematikoje – tegul ją randa. Niekada nežinai. Turėsime priartinti priemiesčio zoną su elementariomis funkcijomis ir rasti jos sritį naudodami apibrėžtą integralą.

Norėdami sėkmingai įsisavinti medžiagą, turite:

1) Suprasti neapibrėžtąjį integralą bent viduriniame lygyje. Taigi, manekenai pirmiausia turėtų susipažinti su pamoka Ne.

2) Mokėti taikyti Niutono-Leibnizo formulę ir apskaičiuoti apibrėžtąjį integralą. Puslapyje galite užmegzti šiltas draugystes su tam tikrais integralais Apibrėžtasis integralas. Sprendimų pavyzdžiai.

Tiesą sakant, visi yra susipažinę su problema rasti sritį naudojant apibrėžtą integralą nuo mokyklos laikų, ir mes toli nepralenksime mokyklos mokymo programos. Šio straipsnio gali ir išvis nebūti, bet faktas yra tas, kad problema iškyla 99 atvejais iš 100, kai studentas kenčia nuo nekenčiamo įtaiso su entuziazmu įsisavindamas aukštosios matematikos kursą.

Šio seminaro medžiaga pateikiama paprastai, išsamiai ir turint minimalų teoriją.

Pradėkime nuo lenktos trapecijos.

Lenkta trapecija vadinama plokščia figūra, kurią riboja ašis, tiesės ir atkarpos ištisinės funkcijos grafikas, kuris nekeičia ženklo šiame intervale. Tegul ši figūra yra išdėstyta ne mažiau abscisių ašis:

Tada kreivinės trapecijos plotas skaitine prasme lygus apibrėžtajam integralui... Bet koks apibrėžtas integralas (egzistuojantis) turi labai gerą geometrinę reikšmę. Pamokoje Apibrėžtasis integralas. Sprendimų pavyzdžiai Sakiau, kad apibrėžtasis integralas yra skaičius. O dabar laikas pasakyti dar vieną naudingą faktą. Geometrijos požiūriu apibrėžtasis integralas yra PLOTAS.

Tai yra, apibrėžtas integralas (jei jis yra) geometriškai atitinka tam tikros figūros plotą... Pavyzdžiui, apsvarstykite apibrėžtąjį integralą. Integrandas nustato kreivę plokštumoje, esančioje virš ašies (norintieji gali piešti), o pats apibrėžtasis integralas yra skaitiniu būdu lygus atitinkamos kreivinės trapecijos plotui.

1 pavyzdys

Tai yra tipiška užduoties formuluotė. Pirmas ir svarbiausias sprendimo punktas – brėžinio konstrukcija... Be to, brėžinys turi būti pastatytas TEISINGAI.

Kuriant piešinį rekomenduoju tokią tvarką: iš pradžių geriau statyti visas linijas (jei yra) ir tik po to- parabolės, hiperbolės, kitų funkcijų grafikai. Pelningiau kurti funkcijų grafikus kryptingai, taško po taško konstravimo techniką galima rasti pamatinėje medžiagoje Elementariųjų funkcijų grafikai ir savybės... Ten taip pat galite rasti labai naudingos medžiagos, susijusios su mūsų pamoka – kaip greitai sukurti parabolę.

Šios problemos sprendimas gali atrodyti taip.
Nubraižykime brėžinį (atkreipkite dėmesį, kad lygtis apibrėžia ašį):

Išlenktos trapecijos neperėsiu, čia akivaizdu apie kokią sritį kalba eina. Sprendimas tęsiasi taip:

Segmente yra funkcijos grafikas virš ašies, todėl:

Atsakymas:

Kam sunku apskaičiuoti apibrėžtąjį integralą ir pritaikyti Niutono-Leibnizo formulę , skaitykite paskaitą Apibrėžtasis integralas. Sprendimų pavyzdžiai.

Atlikus užduotį visada naudinga pažvelgti į projektą ir įvertinti, ar atsakymas tikras. Tokiu atveju "iš akies" skaičiuojame brėžinyje esančių langelių skaičių - na, bus atspausdinta apie 9, atrodo, kad tai tiesa. Visiškai aišku, kad jei gavome, tarkime, atsakymą: 20 kvadratinių vienetų, tai, akivaizdu, kažkur buvo padaryta klaida – nagrinėjamas skaičius akivaizdžiai netelpa 20 langelių, daugiausia dešimties. Jei atsakymas neigiamas, tada užduotis taip pat buvo išspręsta neteisingai.

2 pavyzdys

Apskaičiuokite formos plotą, apribotą linijomis ir ašimi

Tai yra „pasidaryk pats“ sprendimo pavyzdys. Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Ką daryti, jei yra išlenkta trapecija po ašimi?

3 pavyzdys

Apskaičiuokite figūros, apribotos linijomis ir koordinačių ašimis, plotą.

Sprendimas: Vykdykime piešinį:

Jeigu lenkta trapecija išsidėsčiusi po ašimi(ar bent jau ne aukščiau duota ašis), tada jos plotą galima rasti pagal formulę:
Tokiu atveju:

Dėmesio! Nereikėtų painioti dviejų tipų užduočių:

1) Jei jūsų prašoma išspręsti tik apibrėžtą integralą be jokios geometrinės reikšmės, tada jis gali būti neigiamas.

2) Jei jūsų prašoma rasti figūros plotą naudojant apibrėžtą integralą, tada plotas visada yra teigiamas! Štai kodėl ką tik aptartoje formulėje atsiranda minusas.

Praktikoje dažniausiai figūra yra tiek viršutinėje, tiek apatinėje pusplokštumose, todėl nuo paprasčiausių mokyklinių uždavinių pereiname prie prasmingesnių pavyzdžių.

4 pavyzdys

Raskite plokščios figūros, apribotos linijomis, plotą.

Vadinasi, apatinė integracijos riba, viršutinė integracijos riba.
Jei įmanoma, šio metodo geriau nenaudoti..

Kur kas pelningiau ir greičiau statyti linijas taškas po taško, o integracijos ribos išryškėja tarsi „savaime“. Įvairių diagramų taškinio braižymo technika išsamiai aptariama žinyne. Elementariųjų funkcijų grafikai ir savybės... Nepaisant to, kartais vis tiek tenka naudoti analitinį ribų radimo metodą, jei, pavyzdžiui, grafikas pakankamai didelis arba tiksli konstrukcija neatskleidė integravimo ribų (jos gali būti trupmeninės arba neracionalios). Ir mes taip pat apsvarstysime tokį pavyzdį.

Grįžtame prie savo problemos: racionaliau pirmiausia statyti tiesę, o tik tada parabolę. Atlikime piešinį:

Kartoju, kad taškinės konstrukcijos atveju integracijos ribas dažniausiai išsiaiškina „automatas“.

Nagrinėjamame pavyzdyje akivaizdu, kad atkarpoje parabolė yra virš tiesės, todėl reikia atimti iš

Sprendimo užbaigimas gali atrodyti taip:

Reikiamą figūrą viršuje riboja parabolė, o apačioje – tiesi linija.
Segmente pagal atitinkamą formulę:

Atsakymas:

Tiesą sakant, mokyklos formulė kreivinės trapecijos plotui apatinėje pusplokštumoje (žr. paprastą pavyzdį Nr. 3) yra specialus formulės atvejis. ... Kadangi ašis yra nurodyta lygtimi, o funkcijos grafikas yra ne aukščiau tada ašis

O dabar keli nepriklausomo sprendimo pavyzdžiai

5 pavyzdys

6 pavyzdys

Raskite figūros plotą, apribotą linijomis,.

Sprendžiant ploto apskaičiavimo naudojant apibrėžtąjį integralą uždavinius, kartais nutinka juokingas incidentas. Brėžinys atliktas teisingai, skaičiavimai teisingi, bet netyčia ... rastas netinkamos figūros plotas, taip tavo nuolankus tarnas kelis kartus suklydo. Štai realus atvejis:

7 pavyzdys

Apskaičiuokite figūros plotą, kurį riboja linijos,,,.

Sprendimas: Pirma, atlikime piešinį:

... Ech, išėjo bjaurus piešinys, bet viskas lyg ir įskaitoma.

Šis pavyzdys taip pat naudingas tuo, kad apskaičiuoja figūros plotą naudojant du apibrėžtuosius integralus. Tikrai:

1) Atkarpoje virš ašies yra tiesinis grafikas;

2) Hiperbolės grafikas yra atkarpoje virš ašies.

Visiškai akivaizdu, kad sritis galima (ir reikia) pridėti, todėl:

Atsakymas:

Pereikime prie dar vienos prasmingos užduoties.

8 pavyzdys

Apskaičiuokite figūros, apribotos linijomis, plotą,
Pavaizduokime lygtis „mokyklos“ forma ir pavaizduokime tašką po taško:

Iš brėžinio matyti, kad mūsų viršutinė riba yra „gera“:.
Bet kokia yra apatinė riba?! Aišku, kad tai ne sveikasis skaičius, bet kuris iš jų? Gal būt ? Bet kur garantija, kad piešinys padarytas tobulai tiksliai, gali būti, kad taip. Arba šaknis. Ką daryti, jei grafiką nubraižėme neteisingai?

Tokiais atvejais tenka skirti daugiau laiko ir analitiškai patikslinti integracijos ribas.

Raskite tiesės ir parabolės susikirtimo taškus.
Norėdami tai padaryti, išsprendžiame lygtį:

,

Tikrai,.

Tolesnis sprendimas yra nereikšmingas, svarbiausia, kad nesusipainiotumėte su pakeitimais ir ženklais, skaičiavimai čia nėra patys lengviausi.

Ant segmento , pagal atitinkamą formulę:

Atsakymas:

Na, o pamokos pabaigoje apsvarstysime dvi sudėtingesnes užduotis.

9 pavyzdys

Apskaičiuokite figūros, apribotos linijomis, plotą,

Sprendimas: Pavaizduokime šią figūrą brėžinyje.

Po velnių, pamiršau pasirašyti tvarkaraštį, bet perdaryti nuotrauką, atsiprašau, ne karšta. Nepiešiu, trumpai tariant, šiandien tokia diena =)

Norint sukurti tašką po taško, reikia žinoti sinusoidės išvaizdą (ir apskritai naudinga žinoti visų elementariųjų funkcijų grafikai), taip pat kai kurias sinusines reikšmes galima rasti trigonometrinė lentelė... Kai kuriais atvejais (kaip ir šiuo atveju) leidžiama sudaryti scheminį brėžinį, kuriame iš esmės turėtų būti teisingai atvaizduoti grafikai ir integravimo ribos.

Su integravimo ribomis problemų nėra, jos tiesiogiai išplaukia iš sąlygos: - "x" keičiasi iš nulio į "pi". Priimame tolesnį sprendimą:

Segmente funkcijos grafikas yra virš ašies, todėl: