Geometrinės progresijos elementų suma. Algebra: aritmetinė ir geometrinė progresija
Jei kiekvienas natūralusis skaičius n atitinka tikrąjį skaičių a n tada jie sako, kad duota skaitinė seka :
a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .
Taigi, skaitinė seka yra natūralaus argumento funkcija.
Skaičius a 1 yra vadinami pirmasis sekos narys , numeris a 2 — antra kadencija , numeris a 3 — trečias ir tt Skaičius a n yra vadinami n-tasis sekos narys , ir natūralusis skaičius n — jo numeris .
Iš dviejų kaimyninių narių a n ir a n +1 sekos narys a n +1 yra vadinami vėliau (link a n ), a a n — ankstesnis (link a n +1 ).
Norėdami nurodyti seką, turite nurodyti metodą, leidžiantį rasti sekos narį su bet kokiu skaičiumi.
Dažnai seka pateikiama su n-ojo termino formulės , tai yra formulė, leidžianti nustatyti sekos narį pagal jo skaičių.
Pavyzdžiui,
teigiamų nelyginių skaičių seka gali būti nurodyta formule
a n= 2n - 1,
ir kaitaliojimosi seka 1 ir -1 - pagal formulę
b n = (-1)n +1 . ◄
Seka gali būti nustatyta rekursinė formulė, tai yra formulė, išreiškianti bet kurį sekos narį, pradedant kai kuriais, per ankstesnius (vieną ar kelis) narius.
Pavyzdžiui,
jeigu a 1 = 1 , a a n +1 = a n + 5
a 1 = 1,
a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,
a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,
a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,
a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.
Jeigu a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , tada pirmieji septyni skaitinės sekos nariai nustatomi taip:
a 1 = 1,
a 2 = 1,
a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,
a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,
a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,
a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,
a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄
Sekos gali būti galutinis ir begalinis .
Seka vadinama galutinis jei ji turi baigtinį narių skaičių. Seka vadinama begalinis jei ji turi be galo daug narių.
Pavyzdžiui,
dviženklių natūraliųjų skaičių seka:
10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99
galutinis.
Pirminių skaičių seka:
2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .
begalinis. ◄
Seka vadinama didėja jei kiekvienas jo narys, pradedant nuo antrojo, yra didesnis už ankstesnįjį.
Seka vadinama mažėja jei kiekvienas jo narys, pradedant nuo antrojo, yra mažesnis už ankstesnįjį.
Pavyzdžiui,
2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . - didėjanti seka;
1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . - mažėjančia seka. ◄
Vadinama seka, kurios elementai didėjant skaičiui nemažėja arba, atvirkščiai, nedidėja monotoniška seka .
Visų pirma, monotoninės sekos yra kylančios ir mažėjančios sekos.
Aritmetinė progresija
Aritmetinė progresija vadinama seka, kurios kiekvienas narys, pradedant antruoju, yra lygus ankstesniajam, prie kurio pridedamas toks pat skaičius.
a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .
yra bet kurio natūraliojo skaičiaus aritmetinė progresija n sąlyga įvykdyta:
a n +1 = a n + d,
kur d - kažkoks skaičius.
Taigi skirtumas tarp kito ir ankstesnio tam tikros aritmetinės progresijos narių visada yra pastovus:
a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.
Skaičius d yra vadinami aritmetinės progresijos skirtumas.
Norint nustatyti aritmetinę progresiją, pakanka nurodyti pirmąjį jos narį ir skirtumą.
Pavyzdžiui,
jeigu a 1 = 3, d = 4 , tada pirmieji penki sekos nariai randami taip:
a 1 =3,
a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,
a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,
a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,
a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄
Aritmetinei progresijai su pirmuoju nariu a 1 ir skirtumas d ją n
a n = a 1 + (n- 1)d.
Pavyzdžiui,
raskite trisdešimtąjį aritmetinės progresijos narį
1, 4, 7, 10, . . .
a 1 =1, d = 3,
a 30 = a 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄
a n-1 = a 1 + (n- 2)d,
a n= a 1 + (n- 1)d,
a n +1 = a 1 + nd,
tada aišku
| a n=
| a n-1 + a n + 1
|
| 2
|
kiekvienas aritmetinės progresijos narys, pradedant nuo antrojo, yra lygus ankstesnių ir paskesnių narių aritmetiniam vidurkiui.
skaičiai a, b ir c yra tam tikros aritmetinės progresijos nariai iš eilės tada ir tik tada, kai vienas iš jų yra lygus kitų dviejų aritmetiniam vidurkiui.
Pavyzdžiui,
a n = 2n- 7 , yra aritmetinė progresija.
Naudokime aukščiau pateiktą teiginį. Mes turime:
a n = 2n- 7,
a n-1 = 2(n - 1) - 7 = 2n- 9,
a n + 1 = 2(n + 1) - 7 = 2n- 5.
Vadinasi,
| a n + 1 + a n-1
| =
| 2n- 5 + 2n- 9
| = 2n- 7 = a n,
|
| 2
| 2
|
◄
Prisimink tai n -tąjį aritmetinės progresijos narį galima rasti ne tik per a 1 , bet ir visus ankstesnius a k
a n = a k + (n- k)d.
Pavyzdžiui,
dėl a 5 galima parašyti
a 5 = a 1 + 4d,
a 5 = a 2 + 3d,
a 5 = a 3 + 2d,
a 5 = a 4 + d. ◄
a n = a n-k + kd,
a n = a n + k - kd,
tada aišku
| a n=
| a n-k
+ a n + k
|
| 2
|
bet kuris aritmetinės progresijos narys, pradedant nuo antrosios, yra lygus šios aritmetinės progresijos narių, vienodu atstumu nuo jos nutolusių, pusės sumos.
Be to, bet kuriai aritmetinei progresijai yra teisinga lygybė:
a m + a n = a k + a l,
m + n = k + l.
Pavyzdžiui,
aritmetinėje progresijoje
1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;
2) 28 = a 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;
3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (7 + 13)/2;
4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, nes
2 + 12= 4 + 34 = 38,
5 + 9 = 13 + 25 = 38. ◄
S n= a 1 + a 2 + a 3 +. ... ...+ a n,
Pirmas n aritmetinės progresijos nariai yra lygūs kraštutinių narių pusės sumos sandaugai iš narių skaičiaus:
Iš to visų pirma išplaukia, kad jei būtina terminus sumuoti
a k, a k +1 , . . . , a n,
tada ankstesnė formulė išlaiko savo struktūrą:
Pavyzdžiui,
aritmetinėje progresijoje 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .
S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;
10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄
Jei pateikiama aritmetinė progresija, tada reikšmės a 1 , a n, d, n irS n susieta dviem formulėmis:
Todėl, jei pateikiamos trijų iš šių dydžių reikšmės, tada iš šių formulių nustatomos atitinkamos kitų dviejų dydžių reikšmės, sujungiamos į dviejų lygčių su dviem nežinomaisiais sistemą.
Aritmetinė progresija yra monotoniška seka. Kur:
- jeigu d > 0 , tada jis didėja;
- jeigu d < 0 , tada jis mažėja;
- jeigu d = 0 , tada seka bus stacionari.
Geometrinė progresija
Geometrinė progresija vadinama seka, kurios kiekvienas narys, pradedant antruoju, yra lygus ankstesniajai, padaugintai iš to paties skaičiaus.
b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .
yra bet kurio natūraliojo skaičiaus geometrinė progresija n sąlyga įvykdyta:
b n +1 = b n · q,
kur q ≠ 0 - kažkoks skaičius.
Taigi kito tam tikros geometrinės progresijos nario ir ankstesnio nario santykis yra pastovus skaičius:
b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.
Skaičius q yra vadinami geometrinės progresijos vardiklis.
Norint nustatyti geometrinę progresiją, pakanka nurodyti pirmąjį jos narį ir vardiklį.
Pavyzdžiui,
jeigu b 1 = 1, q = -3 , tada pirmieji penki sekos nariai randami taip:
b 1 = 1,
b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,
b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,
b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,
b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄
b 1 ir vardiklis q ją n Terminą galima rasti pagal formulę:
b n = b 1 · q n -1 .
Pavyzdžiui,
raskite septintą geometrinės progresijos narį 1, 2, 4, . . .
b 1 = 1, q = 2,
b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄
b n-1 = b 1 · q n -2 ,
b n = b 1 · q n -1 ,
b n +1 = b 1 · q n,
tada aišku
b n 2 = b n -1 · b n +1 ,
kiekvienas geometrinės progresijos narys, pradedant nuo antrosios, yra lygus ankstesnių ir paskesnių elementų geometriniam vidurkiui (proporciniam).
Kadangi atvirkštinis teiginys taip pat yra teisingas, galioja šis teiginys:
skaičiai a, b ir c yra nuoseklūs tam tikros geometrinės progresijos nariai tada ir tik tada, kai vieno iš jų kvadratas yra lygus kitų dviejų sandaugai, tai yra, vienas iš skaičių yra kitų dviejų geometrinis vidurkis.
Pavyzdžiui,
įrodykime, kad formulės pateikta seka b n= -3 2 n , yra eksponentinė progresija. Naudokime aukščiau pateiktą teiginį. Mes turime:
b n= -3 2 n,
b n -1 = -3 2 n -1 ,
b n +1 = -3 2 n +1 .
Vadinasi,
b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,
kuris įrodo reikalingą teiginį. ◄
Prisimink tai n -tąjį geometrinės progresijos narį galima rasti ne tik per b 1 , bet ir bet kuris ankstesnis terminas b k , kuriam pakanka naudoti formulę
b n = b k · q n - k.
Pavyzdžiui,
dėl b 5 galima parašyti
b 5 = b 1 · q 4 ,
b 5 = b 2 · q 3,
b 5 = b 3 · q 2,
b 5 = b 4 · q. ◄
b n = b k · q n - k,
b n = b n - k · q k,
tada aišku
b n 2 = b n - k· b n + k
bet kurio geometrinės progresijos nario kvadratas, pradedant nuo antrosios, yra lygus šios progresijos narių, nutolusių nuo jos vienodu atstumu, sandaugai.
Be to, bet kuriai geometrinei progresijai galioja lygybė:
b m· b n= b k· b l,
m+ n= k+ l.
Pavyzdžiui,
eksponentiškai
1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;
2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;
3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;
4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , nes
b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,
b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄
S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n
Pirmas n geometrinės progresijos nariai su vardikliu q ≠ 0 apskaičiuojamas pagal formulę:
Ir kada q = 1 - pagal formulę
S n= nb 1
Atkreipkite dėmesį, kad jei reikia susumuoti terminus
b k, b k +1 , . . . , b n,
tada naudojama formulė:
| S n- S k -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k · | 1 - q n -
k +1
| . |
| 1 - q
|
Pavyzdžiui,
eksponentiškai 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .
S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;
64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄
Jei pateikiama geometrinė progresija, tada reikšmės b 1 , b n, q, n ir S n susieta dviem formulėmis:
Todėl, jei pateikiamos bet kurių trijų iš šių dydžių reikšmės, tada iš šių formulių nustatomos atitinkamos kitų dviejų dydžių reikšmės, sujungiamos į dviejų lygčių su dviem nežinomaisiais sistemą.
Geometrinei progresijai su pirmuoju nariu b 1 ir vardiklis q Sekantis monotoniškumo savybės :
- progresija didėja, jei įvykdoma viena iš šių sąlygų:
b 1 > 0 ir q> 1;
b 1 < 0 ir 0 < q< 1;
- progresavimas mažėja, jei įvykdoma viena iš šių sąlygų:
b 1 > 0 ir 0 < q< 1;
b 1 < 0 ir q> 1.
Jeigu q< 0 , tada geometrinė progresija yra kintamoji: jos nelyginiai nariai turi tą patį ženklą kaip ir pirmasis narys, o poriniai nariai turi priešingą ženklą. Akivaizdu, kad kintamoji geometrinė progresija nėra monotoniška.
Pirmojo darbas n geometrinės progresijos nariai gali būti apskaičiuojami pagal formulę:
P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .
Pavyzdžiui,
1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;
3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄
Be galo mažėjanti geometrinė progresija
Be galo mažėjanti geometrinė progresija vadinama begaline geometrine progresija, kurios vardiklio modulis yra mažesnis 1 , tai yra
|q| < 1 .
Atminkite, kad be galo mažėjanti geometrinė progresija gali būti ne mažėjanti seka. Tai tinka šiuo atveju
1 < q< 0 .
Su tokiu vardikliu seka yra kintamoji. Pavyzdžiui,
1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .
Be galo mažėjančios geometrinės progresijos suma yra skaičius, kurio suma yra pirmoji n progresijos nariai su neribotu skaičiaus padidėjimu n ... Šis skaičius visada yra baigtinis ir išreiškiamas formule
| S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . = | b 1
| . |
| 1 - q
|
Pavyzdžiui,
10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,
10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄
Aritmetinės ir geometrinės progresijos ryšys
Aritmetinė ir geometrinė progresijos yra glaudžiai susijusios. Pažvelkime tik į du pavyzdžius.
a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , tada
b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .
Pavyzdžiui,
1, 3, 5, . . . - aritmetinė progresija su skirtumu 2 ir
7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - geometrinė progresija su vardikliu 7 2 . ◄
b 1 , b 2 , b 3 , . . . - geometrinė progresija su vardikliu q , tada
log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . - aritmetinė progresija su skirtumu žurnalas aq .
Pavyzdžiui,
2, 12, 72, . . . - geometrinė progresija su vardikliu 6 ir
lg 2, lg 12, lg 72, . . . - aritmetinė progresija su skirtumu lg 6 . ◄
Geometrinė progresija kartu su aritmetika yra svarbi skaičių eilutė, kuri mokoma mokykliniame algebros kurse 9 klasėje. Šiame straipsnyje mes apsvarstysime geometrinės progresijos vardiklį ir kaip jo vertė veikia jos savybes.
Geometrinės progresijos apibrėžimas
Pirmiausia pateikime šios skaičių serijos apibrėžimą. Geometrinė progresija vadinama racionaliųjų skaičių seka, kuri susidaro nuosekliai padauginus jos pirmąjį elementą iš pastovaus skaičiaus, vadinamo vardikliu.
Pavyzdžiui, skaičiai eilutėje 3, 6, 12, 24, ... yra geometrinė progresija, nes padauginus 3 (pirmą elementą) iš 2, gausite 6. Jei padauginsite 6 iš 2, gausite 12 ir pan.
Nagrinėjamos sekos nariai dažniausiai žymimi simboliu ai, kur i yra sveikasis skaičius, nurodantis elemento skaičių eilutėje.
Aukščiau pateiktą progresijos apibrėžimą matematikos kalba galima parašyti taip: an = bn-1 * a1, kur b yra vardiklis. Šią formulę patikrinti nesunku: jei n = 1, tai b1-1 = 1, ir gauname a1 = a1. Jei n = 2, tai an = b * a1, ir vėl pasiekiame nagrinėjamos skaičių serijos apibrėžimą. Panašūs samprotavimai gali būti tęsiami ir didelėms n reikšmėms.
Geometrinės progresijos vardiklis
Skaičius b visiškai nustato, kokį simbolį turės visa skaičių serija. Vardiklis b gali būti teigiamas, neigiamas arba didesnis už vieną ar mažiau. Visos šios parinktys lemia skirtingas sekas:
- b> 1. Didėja racionaliųjų skaičių serija. Pavyzdžiui, 1, 2, 4, 8, ... Jei elementas a1 yra neigiamas, tai visa seka didės tik absoliučia reikšme, bet mažės atsižvelgiant į skaičių ženklą.
- b = 1. Toks atvejis dažnai nevadinamas progresija, nes yra įprasta identiškų racionaliųjų skaičių serija. Pavyzdžiui, -4, -4, -4.
Sumos formulė
Prieš pradedant nagrinėti konkrečias problemas naudojant nagrinėjamos progresijos tipo vardiklį, reikia pateikti svarbią formulę pirmųjų n elementų sumai. Formulė yra tokia: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).
Šią išraišką galite gauti patys, jei atsižvelgsite į rekursyvią progresijos narių seką. Taip pat atkreipkite dėmesį, kad aukščiau pateiktoje formulėje pakanka žinoti tik pirmąjį elementą ir vardiklį, kad būtų galima rasti savavališko skaičiaus terminų sumą.
Be galo mažėjanti seka
Aukščiau buvo paaiškinta, kas tai yra. Dabar, žinodami Sn formulę, pritaikykite ją šiai skaičių serijai. Kadangi bet kuris skaičius, kurio modulis neviršija 1, padidintas iki didelio laipsnio linkęs į nulį, tai yra, b∞ => 0, jei -1
Kadangi skirtumas (1 - b) visada bus teigiamas, nepriklausomai nuo vardiklio reikšmės, geometrinės S∞ mažėjančios begalinės progresijos sumos ženklą vienareikšmiškai lemia jo pirmojo elemento a1 ženklas.
Dabar apsvarstysime keletą užduočių, kuriose parodysime, kaip pritaikyti įgytas žinias apie konkrečius skaičius.
Uždavinio numeris 1. Nežinomų progresijos elementų ir sumos apskaičiavimas
Jums duota geometrinė progresija, progresijos vardiklis yra 2, o pirmasis jos elementas yra 3. Kokie bus jos 7 ir 10 nariai ir kokia yra septynių pradinių elementų suma?
Problemos sąlyga sudaryta gana paprastai ir apima tiesioginį aukščiau pateiktų formulių naudojimą. Taigi, norėdami apskaičiuoti elementą su skaičiumi n, naudojame išraišką an = bn-1 * a1. 7-ajam elementui turime: a7 = b6 * a1, pakeitę žinomus duomenis, gauname: a7 = 26 * 3 = 192. Tą patį darome su 10-uoju nariu: a10 = 29 * 3 = 1536.
Naudokime gerai žinomą sumos formulę ir nustatykime šią reikšmę pirmiesiems 7 serijos elementams. Turime: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.
Uždavinio numeris 2. Savavališkų progresijos elementų sumos nustatymas
Tegu -2 yra eksponentinės progresijos bn-1 * 4 vardiklis, kur n yra sveikas skaičius. Būtina nustatyti sumą nuo 5 iki 10 šios serijos elemento imtinai.
Iškeltos problemos negalima tiesiogiai išspręsti naudojant žinomas formules. Ją galima išspręsti 2 skirtingais būdais. Dėl išsamumo pateikiame abu.
1 būdas. Jo idėja paprasta: reikia apskaičiuoti dvi atitinkamas pirmųjų narių sumas, o paskui iš vienos atimti kitą. Apskaičiuojame mažesnę sumą: S10 = ((-2) 10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Dabar apskaičiuojame didelę sumą: S4 = ((-2) 4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Atkreipkite dėmesį, kad paskutinėje išraiškoje buvo susumuoti tik 4 terminai, nes 5-asis jau yra įtrauktas į sumą, kurią reikia apskaičiuoti pagal uždavinio sąlygą. Galiausiai paimkite skirtumą: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.
2 būdas. Prieš pakeisdami skaičius ir skaičiuodami, galite gauti sumos tarp nagrinėjamos eilutės narių m ir n formulę. Mes darome lygiai taip pat, kaip ir 1 metodu, tik pirmiausia dirbame su simboliniu sumos vaizdavimu. Turime: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Gautoje išraiškoje galite pakeisti žinomus skaičius ir apskaičiuoti galutinį rezultatą: S105 = 4 * ((-2) 10 - (-2) 4) / (-2 - 1) = -1344.
Užduotis numeris 3. Kas yra vardiklis?
Tegu a1 = 2, raskite geometrinės progresijos vardiklį, jei begalinė jos suma lygi 3 ir žinoma, kad tai mažėjanti skaičių seka.
Pagal problemos sąlygą nesunku atspėti, kurią formulę naudoti jai išspręsti. Žinoma, progresijos suma be galo mažėja. Turime: S∞ = a1 / (1 - b). Iš kur išreiškiame vardiklį: b = 1 - a1 / S∞. Belieka pakeisti žinomas reikšmes ir gauti reikiamą skaičių: b = 1 - 2/3 = -1 / 3 arba -0,333 (3). Šį rezultatą galima kokybiškai patikrinti, jei prisiminsime, kad tokio tipo sekos modulis b neturėtų viršyti 1. Kaip matote, | -1 / 3 |
Užduotis numeris 4. Skaičių serijos atkūrimas
Tegu pateikiami 2 skaitinės eilutės elementai, pavyzdžiui, 5-asis lygus 30, o 10-asis – 60. Iš šių duomenų reikia atkurti visą eilutę žinant, kad ji tenkina geometrinės progresijos savybes.
Norėdami išspręsti problemą, pirmiausia turite užsirašyti atitinkamą kiekvieno žinomo nario išraišką. Turime: a5 = b4 * a1 ir a10 = b9 * a1. Dabar antrąją išraišką padaliname iš pirmosios, gauname: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Iš čia mes nustatome vardiklį, imdami penktąją šaknį iš terminų, žinomų iš uždavinio sąlygos, santykio, b = 1,148698. Gautą skaičių pakeičiame viena iš žinomo elemento išraiškų, gauname: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698) 4 = 17.2304966.
Taigi, mes nustatėme, kas yra progresijos bn vardiklis, o geometrinė progresija bn-1 * 17.2304966 = an, kur b = 1.148698.
Kur naudojamos geometrinės progresijos?
Jei šios skaičių eilutės nebūtų taikomos praktikoje, jos tyrimas būtų sumažintas iki grynai teorinio intereso. Bet yra tokia programa.
Žemiau pateikiami 3 garsiausi pavyzdžiai:
- Zenono paradoksas, kai sumanusis Achilas negali pasivyti lėto vėžlio, sprendžiamas naudojant be galo mažėjančios skaičių sekos koncepciją.
- Jei į kiekvieną šachmatų lentos langelį dedate kviečių grūdus taip, kad 1 grūdas būtų įdėtas į 1 langelį, 2 - 2, 3 - 3 ir tt, tada 18446744073709551615 grūdų reikės, kad užpildytumėte visus šachmatų lentos langelius. lenta!
- Žaidime „Tower of Hanoi“, norint pertvarkyti diskus iš vieno strypo į kitą, reikia atlikti 2n - 1 operacijas, tai yra, jų skaičius auga eksponentiškai kartu su naudojamų diskų skaičiumi n.
Jau Senovės Egipte jie žinojo ne tik aritmetinę, bet ir geometrinę progresiją. Pavyzdžiui, čia yra problema iš Ryndo papiruso: „Septyni veidai turi po septynias kates; kiekviena katė suėda septynias peles, kiekviena pelė suėda septynias ausis, kiekviena ausis gali užauginti septynis mačius miežių. Kokie yra šios serijos skaičiai ir jų suma?
 |
|
Ryžiai. 1. Senovės Egipto geometrinės progresijos problema |
Ši užduotis buvo kartojama daug kartų su skirtingais variantais tarp kitų tautų kitu metu. Pavyzdžiui, rašytame XIII a. Leonardo iš Pizos (Fibonačio) „Abako knyga“ turi problemą, kai į Romą keliauja 7 senos moterys (akivaizdu, kad piligrimai), kurių kiekviena turi po 7 mulus, kurių kiekvienas turi po 7 maišus. 7 kepalai, kurių kiekvienas turi 7 peilius, kurių kiekvienas yra 7 makštuose. Problema klausia, kiek elementų yra.
Geometrinės progresijos S n = b 1 (q n - 1) / (q - 1) pirmųjų n narių suma. Šią formulę galima įrodyti, pavyzdžiui, taip: S n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n - 1.
Pridėkite prie S n skaičių b 1 q n ir gaukite:
|
Iš čia S n (q - 1) = b 1 (q n - 1), ir gauname reikiamą formulę.
Jau ant vienos iš Senovės Babilono molinių lentelių, datuojamų VI a. pr. Kr e., yra suma 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 - 1. Tiesa, kaip ir daugeliu kitų atvejų, mes nežinome, kaip šis faktas buvo žinomas babiloniečiams .
Spartus geometrinės progresijos augimas daugelyje kultūrų, ypač Indijoje, ne kartą naudojamas kaip vizualus visatos begalybės simbolis. Gerai žinomoje legendoje apie šachmatų atsiradimą viešpats suteikia galimybę jų išradėjui pačiam pasirinkti atlygį ir klausia, kiek kviečių grūdų gausis, jei bus pasodintas į pirmą šachmatų lentos langelį. du ant antrojo, keturi ant trečio, aštuoni ant ketvirto ir taip toliau, kiekvieną kartą skaičius padvigubėja. Vladyka manė, kad daugiausiai apie kelis maišus, bet apsiskaičiavo. Nesunku pastebėti, kad už visus 64 šachmatų lentos langelius išradėjas turėjo gauti (2 64 - 1) grūdelį, kuris išreiškiamas 20 skaitmenų skaičiumi; net jei būtų apsėtas visas Žemės paviršius, surinkti reikiamą grūdų kiekį prireiktų mažiausiai 8 metų. Ši legenda kartais interpretuojama kaip nurodanti į beveik neribotas šachmatų žaidime slypinčias galimybes.
Nesunku suprasti, kad šis skaičius iš tikrųjų yra 20 skaitmenų:
2 64 = 2 4 ∙ (2 10) 6 = 16 ∙ 1024 6 ≈ 16 ∙ 1000 6 = 1,6 ∙ 10 19 (tiksliau apskaičiavus gaunama 1,84 ∙ 10 19). Bet įdomu, ar galite sužinoti, kokiu skaitmeniu baigiasi šis skaičius?
Geometrinė progresija didėja, jei vardiklio absoliuti reikšmė yra didesnė nei 1, arba mažėja, jei ji mažesnė už vieną. Pastaruoju atveju skaičius q n, esant pakankamai dideliam n, gali tapti savavališkai mažas. Didėjanti geometrinė progresija netikėtai greitai didėja, o mažėjanti lygiai taip pat greitai mažėja.
Kuo didesnis n, tuo mažesnis skaičius qn skiriasi nuo nulio ir tuo geometrinės progresijos S n = b 1 (1 - qn) / (1 - q) n narių suma artimesnė skaičiui S = b 1 / ( 1 - q). (Taip samprotavo, pavyzdžiui, F. Vietas). Skaičius S vadinamas be galo mažėjančios geometrinės progresijos suma. Nepaisant to, daugelį amžių matematikams nebuvo pakankamai aiškus klausimas, ką reiškia VISOS geometrinės progresijos sumavimas su begaliniu terminų skaičiumi.
Mažėjančią geometrinę progresiją galima pastebėti, pavyzdžiui, Zenono aporijose „Perpusėjimas“ ir „Achilas ir vėžlys“. Pirmuoju atveju aiškiai parodoma, kad visas kelias (tarkime, kad ilgis 1) yra begalinio skaičiaus atkarpų 1/2, 1/4, 1/8 ir tt suma. Taigi, žinoma, nuo baigtinės sumos begalinės geometrinės progresijos sampratos požiūriu. Ir vis dėlto – kaip tai gali būti?
|
Ryžiai. 2. Progresavimas su koeficientu 1/2 |
Aporijoje apie Achilą situacija yra šiek tiek sudėtingesnė, nes čia progresijos vardiklis lygus ne 1/2, o kitam skaičiui. Tarkime, pavyzdžiui, Achilas bėga greičiu v, vėžlys juda greičiu u, o pradinis atstumas tarp jų yra l. Achilas nubėgs šį atstumą per laiką l / v, vėžlys per tą laiką judės atstumu lu / v. Kai Achilas bėgs šia atkarpa, atstumas tarp jo ir vėžlio taps lygus l (u / v) 2 ir tt Pasirodo, kad pasivyti vėžlį reiškia rasti be galo mažėjančios geometrinės progresijos su pirmuoju nariu sumą. l ir vardiklis u / v. Ši suma – atkarpa, kurią Achilas galiausiai nubėgs į vietą, kur susitinka vėžlį – yra lygi l / (1 - u / v) = lv / (v - u). Tačiau vėlgi, kaip šis rezultatas turėtų būti interpretuojamas ir kodėl jis apskritai turi prasmę, ilgą laiką nebuvo labai aišku.
|
Ryžiai. 3. Geometrinė progresija su koeficientu 2/3 |
Archimedas naudojo geometrinės progresijos sumą, kad nustatytų parabolės segmento plotą. Tegul duotąją parabolės atkarpą riboja styga AB, o liestinės tiesė parabolės taške D yra lygiagreti AB. Tegu C yra AB vidurio taškas, E - AC, F - CB vidurio taškas. Per taškus A, E, F, B nubrėžkite lygiagrečias DC tieses; tegul taške D nubrėžta liestinė šios tiesės susikerta taškuose K, L, M, N. Taip pat nubrėžkime segmentus AD ir DB. Tegul tiesė EL kerta tiesę AD taške G, o parabolė – taške H; tiesė FM kerta tiesę DB taške Q ir parabolę taške R. Pagal bendrąją kūginių pjūvių teoriją DC yra parabolės (tai yra atkarpos, lygiagrečios jos ašiai) skersmuo; jis ir liestinė taške D gali būti x ir y koordinačių ašys, kuriose parabolės lygtis parašyta kaip y 2 = 2px (x yra atstumas nuo D iki bet kurio tam tikro skersmens taško, y yra a ilgis lygiagrečiai nurodytai liestinės linijai nuo šio skersmens taško iki tam tikro taško pačioje parabolėje).
Pagal parabolės lygtį DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH, DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA, o kadangi DK = 2DL, tada KA = 4LH. Kadangi KA = 2LG, LH = HG. Parabolės ADB segmento plotas lygus trikampio ΔADB plotui ir AHD bei DRB segmentų plotams kartu. Savo ruožtu AHD segmento plotas panašiai lygus trikampio AHD ir likusių segmentų AH ir HD plotui, su kiekvienu iš jų galite atlikti tą pačią operaciją - padalinti į trikampį (Δ) ir du likę segmentai () ir tt:
Trikampio ΔAHD plotas lygus pusei trikampio ΔALD ploto (jie turi bendrą pagrindą AD, o aukščiai skiriasi 2 kartus), o tai, savo ruožtu, yra lygi pusei trikampio ploto. ΔAKD, taigi pusė trikampio ΔACD ploto. Taigi, trikampio ΔAHD plotas yra lygus ketvirtadaliui trikampio ΔACD ploto. Taip pat trikampio ΔDRB plotas yra lygus ketvirtadaliui trikampio ΔDFB ploto. Taigi, trikampių ΔAHD ir ΔDRB plotai, paimti kartu, yra lygūs ketvirtadaliui trikampio ΔADB ploto. Kartodami šią operaciją, taikomą segmentams AH, HD, DR ir RB, iš jų taip pat bus parinkti trikampiai, kurių plotas kartu bus 4 kartus mažesnis už trikampių ΔAHD ir ΔDRB plotą kartu paėmus, o tai reiškia 16 kartų mažiau nei trikampio plotas ΔADB. Ir tt:
Taigi Archimedas įrodė, kad „kiekviena atkarpa, esanti tarp tiesės ir parabolės, yra keturi trečdaliai vienodo pagrindo ir vienodo aukščio trikampio“.
Pamoka ir pristatymas tema: "Skaičių sekos. Geometrinė progresija"
Papildomos medžiagos
Mieli vartotojai, nepamirškite palikti savo komentarų, atsiliepimų, pageidavimų! Visa medžiaga buvo patikrinta antivirusine programa.
Mokymo priemonės ir simuliatoriai Integral internetinėje parduotuvėje 9 klasei
Laipsniai ir šaknys Funkcijos ir grafikai
Vaikinai, šiandien mes susipažinsime su kitu progresavimo tipu.
Šios dienos pamokos tema – geometrinė progresija.
Geometrinė progresija
Apibrėžimas. Skaičių seka, kurioje kiekvienas narys, pradedant nuo antrojo, yra lygus ankstesnio ir tam tikro fiksuoto skaičiaus sandaugai, vadinama geometrine progresija.Nustatykime savo seką rekursyviai: $ b_ (1) = b $, $ b_ (n) = b_ (n-1) * q $,
kur b ir q yra tam tikri duotieji skaičiai. Skaičius q vadinamas progresijos vardikliu.
Pavyzdys. 1,2,4,8,16 ... Geometrinė progresija, kurioje pirmasis narys yra lygus vienetui, o $ q = 2 $.
Pavyzdys. 8,8,8,8 ... Geometrinė progresija, kurios pirmasis narys yra aštuoni,
ir $ q = 1 $.
Pavyzdys. 3, -3,3, -3,3 ... Geometrinė progresija, kurioje pirmasis narys yra lygus trims,
ir $ q = -1 $.
Geometrinė progresija turi monotoniškumo savybių.
Jei $ b_ (1)> 0 $, $ q> 1 $,
tada seka yra didėjanti.
Jei $ b_ (1)> 0 $, $ 0 Seka paprastai žymima taip: $ b_ (1), b_ (2), b_ (3), ..., b_ (n), ... $.
Kaip ir aritmetinėje progresijoje, jei geometrinėje progresijoje elementų skaičius yra baigtinis, progresija vadinama baigtine geometrine progresija.
$ b_ (1), b_ (2), b_ (3), ..., b_ (n-2), b_ (n-1), b_ (n) $.
Atkreipkite dėmesį, jei seka yra geometrinė progresija, tada narių kvadratų seka taip pat yra geometrinė progresija. Antrosios sekos pirmasis narys yra $ b_ (1) ^ 2 $, o vardiklis yra $ q ^ 2 $.
Geometrinės progresijos n-ojo nario formulė
Geometrinė progresija taip pat gali būti nurodyta analitine forma. Pažiūrėkime, kaip tai padaryti:$ b_ (1) = b_ (1) $.
$ b_ (2) = b_ (1) * q $.
$ b_ (3) = b_ (2) * q = b_ (1) * q * q = b_ (1) * q ^ 2 $.
$ b_ (4) = b_ (3) * q = b_ (1) * q ^ 3 $.
$ b_ (5) = b_ (4) * q = b_ (1) * q ^ 4 $.
Mes lengvai pastebime modelį: $ b_ (n) = b_ (1) * q ^ (n-1) $.
Mūsų formulė vadinama „geometrinės progresijos n-ojo nario formule“.
Grįžkime prie mūsų pavyzdžių.
Pavyzdys. 1,2,4,8,16 ... Geometrinė progresija, kurioje pirmasis narys yra lygus vienetui,
ir $ q = 2 $.
$ b_ (n) = 1 * 2 ^ (n) = 2 ^ (n-1) $.
Pavyzdys. 16,8,4,2,1,1 / 2 ... Geometrinė progresija, kurios pirmasis narys yra šešiolika ir $ q = \ frac (1) (2) $.
$ b_ (n) = 16 * (\ frac (1) (2)) ^ (n-1) $.
Pavyzdys. 8,8,8,8 ... Geometrinė progresija, kurios pirmasis narys yra aštuoni ir $ q = 1 $.
$ b_ (n) = 8 * 1 ^ (n-1) = 8 $.
Pavyzdys. 3, -3,3, -3,3 ... Geometrinė progresija, kurios pirmasis narys yra trys ir $ q = -1 $.
$ b_ (n) = 3 * (- 1) ^ (n-1) $.
Pavyzdys. Jums duota geometrinė progresija $ b_ (1), b_ (2),…, b_ (n),… $.
a) Yra žinoma, kad $ b_ (1) = 6, q = 3 $. Raskite $ b_ (5) $.
b) Yra žinoma, kad $ b_ (1) = 6, q = 2, b_ (n) = 768 $. Raskite n.
c) Yra žinoma, kad $ q = -2, b_ (6) = 96 $. Raskite $ b_ (1) $.
d) Yra žinoma, kad $ b_ (1) = - 2, b_ (12) = 4096 $. Rasti q.
Sprendimas.
a) $ b_ (5) = b_ (1) * q ^ 4 = 6 * 3 ^ 4 = 486 $.
b) $ b_n = b_1 * q ^ (n-1) = 6 * 2 ^ (n-1) = 768 $.
2 USD ^ (n-1) = \ frak (768) (6) = 128 USD, nes 2 USD ^ 7 = 128 => n-1 = 7; n = 8 $.
c) $ b_ (6) = b_ (1) * q ^ 5 = b_ (1) * (- 2) ^ 5 = -32 * b_ (1) = 96 => b_ (1) = - 3 $.
d) $ b_ (12) = b_ (1) * q ^ (11) = - 2 * q ^ (11) = 4096 => q ^ (11) = - 2048 => q = -2 $.
Pavyzdys. Skirtumas tarp septintojo ir penktojo geometrinės progresijos narių yra 192, penktojo ir šeštojo progresijos narių suma yra 192. Raskite šios progresijos dešimtąjį narį.
Sprendimas.
Žinome, kad: $ b_ (7) -b_ (5) = 192 $ ir $ b_ (5) + b_ (6) = 192 $.
Taip pat žinome: $ b_ (5) = b_ (1) * q ^ 4 $; $ b_ (6) = b_ (1) * q ^ 5 $; $ b_ (7) = b_ (1) * q ^ 6 $.
Tada:
$ b_ (1) * q ^ 6-b_ (1) * q ^ 4 = 192 $.
$ b_ (1) * q ^ 4 + b_ (1) * q ^ 5 = 192 $.
Gavome lygčių sistemą:
$ \ pradžia (atvejai) b_ (1) * q ^ 4 (q ^ 2-1) = 192 \\ b_ (1) * q ^ 4 (1 + q) = 192 \ pabaiga (atvejai) $.
Sulyginus, mūsų lygtys gaunasi:
$ b_ (1) * q ^ 4 (q ^ 2-1) = b_ (1) * q ^ 4 (1 + q) $.
$ q ^ 2-1 = q + 1 $.
$ q ^ 2-q-2 = 0 $.
Gavome du sprendinius q: $ q_ (1) = 2, q_ (2) = - 1 $.
Iš eilės pakeiskite antrąją lygtį:
$ b_ (1) * 2 ^ 4 * 3 = 192 => b_ (1) = 4 $.
$ b_ (1) * (- 1) ^ 4 * 0 = 192 => $ sprendimų nėra.
Gavome: $ b_ (1) = 4, q = 2 $.
Raskite dešimtąjį narį: $ b_ (10) = b_ (1) * q ^ 9 = 4 * 2 ^ 9 = 2048 $.
Baigtinės geometrinės progresijos suma
Tarkime, kad turime baigtinę geometrinę progresiją. Apskaičiuokime, kaip ir aritmetinei progresijai, jos narių sumą.Tegu pateikta baigtinė geometrinė progresija: $ b_ (1), b_ (2),…, b_ (n-1), b_ (n) $.
Įveskime jo narių sumos žymėjimą: $ S_ (n) = b_ (1) + b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n) $.
Tuo atveju, kai $ q = 1 $. Visi geometrinės progresijos nariai lygūs pirmajam nariui, tada akivaizdu, kad $ S_ (n) = n * b_ (1) $.
Dabar apsvarstykite atvejį $ q ≠ 1 $.
Padauginkite aukščiau nurodytą sumą iš q.
$ S_ (n) * q = (b_ (1) + b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) * q = b_ (1) * q + b_ (2) * q + ⋯ + b_ (n-1) * q + b_ (n) * q = b_ (2) + b_ (3) + ⋯ + b_ (n) + b_ (n) * q $.
Pastaba:
$ S_ (n) = b_ (1) + (b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) $.
$ S_ (n) * q = (b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) + b_ (n) * q $.
$ S_ (n) * q-S_ (n) = (b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) + b_ (n) * q-b_ (1) - (b_ (2) ) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) = b_ (n) * q-b_ (1) $.
$ S_ (n) (q-1) = b_ (n) * q-b_ (1) $.
$ S_ (n) = \ frakas (b_ (n) * q-b_ (1)) (q-1) = \ frakas (b_ (1) * q ^ (n-1) * q-b_ (1)) (q-1) = \ frac (b_ (1) (q ^ (n) -1)) (q-1) $.
$ S_ (n) = \ frac (b_ (1) (q ^ (n) -1)) (q-1) $.
Gavome baigtinės geometrinės progresijos sumos formulę.
Pavyzdys.
Raskite geometrinės progresijos, kurios pirmasis narys yra 4, o vardiklis yra 3, pirmųjų septynių narių sumą.
Sprendimas.
$ S_ (7) = \ frac (4 * (3 ^ (7) -1)) (3-1) = 2 * (3 ^ (7) -1) = 4372 $.
Pavyzdys.
Raskite penktąjį geometrinės progresijos narį, kuris yra žinomas: $ b_ (1) = - 3 $; $ b_ (n) = - 3072 $; $ S_ (n) = - 4095 $.
Sprendimas.
$ b_ (n) = (- 3) * q ^ (n-1) = - 3072 $.
$ q ^ (n-1) = 1024 $.
$ q ^ (n) = 1024q $.
$ S_ (n) = \ frac (-3 * (q ^ (n) -1)) (q-1) = - 4095 $.
-4095 USD (q-1) = -3 * (q ^ (n) -1) $.
-4095 USD (q-1) = -3 * (1024q-1) USD.
$ 1365q-1365 = 1024q-1 $.
341 USD = 1364 USD.
$ q = 4 $.
$ b_5 = b_1 * q ^ 4 = -3 * 4 ^ 4 = -3 * 256 = -768 $.
Būdinga geometrinės progresijos savybė
Vaikinai, pateikta geometrinė progresija. Panagrinėkime tris iš eilės einančius jo narius: $ b_ (n-1), b_ (n), b_ (n + 1) $.Mes tai žinome:
$ \ frac (b_ (n)) (q) = b_ (n-1) $.
$ b_ (n) * q = b_ (n + 1) $.
Tada:
$ \ frac (b_ (n)) (q) * b_ (n) * q = b_ (n) ^ (2) = b_ (n-1) * b_ (n + 1) $.
$ b_ (n) ^ (2) = b_ (n-1) * b_ (n + 1) $.
Jei progresija yra baigtinė, tada ši lygybė galioja visiems nariams, išskyrus pirmąjį ir paskutinįjį.
Jei iš anksto nežinoma, kokia seka yra, bet žinoma, kad: $ b_ (n) ^ (2) = b_ (n-1) * b_ (n + 1) $.
Tada galime drąsiai teigti, kad tai geometrinė progresija.
Skaitinė seka yra geometrinė progresija tik tada, kai kiekvieno jos nario kvadratas yra lygus dviejų gretimų progresijos narių sandaugai. Nepamirškite, kad baigtinei progresijai ši sąlyga netenkinama pirmajam ir paskutiniajam nariams.
Pažvelkime į šią tapatybę: $ \ sqrt (b_ (n) ^ (2)) = \ sqrt (b_ (n-1) * b_ (n + 1)) $.
$ | b_ (n) | = \ sqrt (b_ (n-1) * b_ (n + 1)) $.
$ \ sqrt (a * b) $ vadinamas geometriniu skaičių a ir b vidurkiu.
Bet kurio geometrinės progresijos elemento modulis yra lygus dviejų gretimų elementų geometriniam vidurkiui.
Pavyzdys.
Raskite x tokį, kad $ x + 2; 2x + 2; 3x + 3 $ buvo trys iš eilės eksponentiniai nariai.
Sprendimas.
Naudokime būdingą savybę:
$ (2x + 2) ^ 2 = (x + 2) (3x + 3) $.
4x ^ 2 + 8x + 4 = 3x ^ 2 + 3x + 6x + 6 $.
$ x ^ 2-x-2 = 0 $.
$ x_ (1) = 2 $ ir $ x_ (2) = - 1 $.
Iš eilės pakeičiant pradinę išraišką, mūsų sprendimai:
Kai $ x = 2 $, gavome seką: 4; 6; 9 - geometrinė progresija, kurioje $ q = 1,5 $.
Kai $ x = -1 $, gavome seką: 1; 0; 0.
Atsakymas: $ x = 2. $
Savarankiško sprendimo užduotys
1. Raskite aštuntą pirmąjį geometrinės progresijos narį 16; -8; 4; -2….2. Raskite geometrinės progresijos 11,22,44… dešimtąjį narį.
3. Yra žinoma, kad $ b_ (1) = 5, q = 3 $. Raskite $ b_ (7) $.
4. Yra žinoma, kad $ b_ (1) = 8, q = -2, b_ (n) = 512 $. Raskite n.
5. Raskite geometrinės progresijos 3; 12; 48… pirmųjų 11 narių sumą.
6. Raskite x tokį, kad $ 3x + 4; 2x + 4; x + 5 $ yra trys iš eilės eksponentiniai nariai.
Geometrinė progresija ne mažiau svarbi matematika nei aritmetika. Geometrinė progresija yra skaičių seka b1, b2, ..., b [n], kurios kiekvienas kitas narys gaunamas padauginus ankstesnįjį iš pastovaus skaičiaus. Šis skaičius, kuris taip pat apibūdina progresavimo didėjimo ar mažėjimo greitį, vadinamas geometrinės progresijos vardiklis ir žymėti
Norint visiškai priskirti geometrinę progresiją, be vardiklio, būtina žinoti arba nustatyti pirmąjį jos narį. Teigiamai vardiklio reikšmei progresija yra monotoniška seka, o jei ši skaičių seka monotoniškai mažėja, o jei – monotoniškai didėja. Atvejis, kai vardiklis lygus vienetui, praktiškai nenagrinėjamas, nes turime identiškų skaičių seką, o jų sumavimas praktiškai neįdomus.
Bendrasis geometrinės progresijos terminas apskaičiuojamas pagal formulę
Geometrinės progresijos pirmųjų n narių suma nustatoma pagal formulę
Apsvarstykite klasikinių geometrinės progresijos uždavinių sprendimus. Norėdami suprasti, pradėkime nuo paprasčiausių.
1 pavyzdys. Pirmasis geometrinės progresijos narys yra 27, o jo vardiklis yra 1/3. Raskite pirmuosius šešis geometrinės progresijos narius.
Sprendimas: Formoje parašykime problemos sąlygą
Skaičiavimams naudojame geometrinės progresijos n-ojo nario formulę
Jos pagrindu randame nežinomus progresijos narius
Kaip matote, geometrinės progresijos narius apskaičiuoti nėra sunku. Pati progresija atrodys taip
2 pavyzdys. Pateikti pirmieji trys geometrinės progresijos nariai: 6; -12; 24. Raskite vardiklį ir jo septintą narį.
Sprendimas: Apskaičiuokite geomitrinės progresijos vardiklį pagal jo apibrėžimą
Gavome kintamąją geometrinę progresiją, kurios vardiklis yra -2. Septintasis narys apskaičiuojamas pagal formulę
Tai išsprendė problemą.
3 pavyzdys. Geometrinę progresiją pateikia du jos nariai 
... Raskite dešimtąjį progresijos narį.
Sprendimas:
Parašykime pateiktas reikšmes per formules
Pagal taisykles reiktų rasti vardiklį, o tada ieškoti norimos reikšmės, bet dešimtam kadencijai turime
Tą pačią formulę galima gauti naudojant paprastas manipuliacijas su įvesties duomenimis. Šeštą serijos kadenciją padaliname iš kitos, kaip rezultatas, gauname
Jei gautą reikšmę padauginame iš šeštojo nario, gauname dešimtą
Taigi tokioms užduotims, greitai naudodami paprastas transformacijas, galite rasti tinkamą sprendimą.
4 pavyzdys. Geometrinė progresija pateikiama pasikartojančiomis formulėmis
Raskite geometrinės progresijos vardiklį ir pirmųjų šešių narių sumą.
Sprendimas:
Pateiktus duomenis užrašykime lygčių sistemos forma
Išreikškite vardiklį, padalydami antrąją lygtį iš pirmosios
Raskite pirmąjį progresijos narį iš pirmosios lygties
Apskaičiuokime kitus penkis narius, kad surastume geometrinės progresijos sumą
