Integracija gabalas po gabalo– metodas, naudojamas apibrėžtiesiems ir neapibrėžtiesiems integralams spręsti, kai vienas iš integrandų yra lengvai integruojamas, o kitas – diferencijuotas. Gana paplitęs metodas ieškant integralų, tiek neapibrėžtų, tiek apibrėžtų. Pagrindinis ženklas, kai jį reikia naudoti, yra tam tikra funkcija, susidedanti iš dviejų funkcijų sandauga, kurios negalima integruoti tuščiu tašku.

Formulė

Norėdami sėkmingai naudoti šį metodą, turite išanalizuoti ir išmokti formules.

Neapibrėžtinio integralo integravimo dalimis formulė:

$$ \ int udv = uv - \ int vdu $$

Integravimo dalimis į apibrėžtąjį integralą formulė:

$$ \ int \ limits_ (a) ^ (b) udv = uv \ bigg | _ (a) ^ (b) - \ int \ limits_ (a) ^ (b) vdu $$

Sprendimų pavyzdžiai

Panagrinėkime praktikoje integravimo dalimis sprendimų, kuriuos dažnai siūlo mokytojai testų darbuose, pavyzdžius. Atkreipkite dėmesį, kad po integralo simboliu yra dviejų funkcijų rezultatas. Tai yra ženklas, kad nurodytas metodas tinka sprendimui.

1 pavyzdys

Raskite integralą $ \ int xe ^ xdx $

Sprendimas

Matome, kad integrandas susideda iš dviejų funkcijų, iš kurių viena diferenciacijos metu akimirksniu virsta vienetu, o kita – lengvai integruojama. Integralui išspręsti naudosime integravimo dalimis metodą. Įdėkite $ u = x \ rodyklė dešinėn du = dx $ ir $ dv = e ^ x dx \ rodyklė dešinėn v = e ^ x $ Rastas reikšmes pakeiskite į pirmąją integravimo formulę ir gaukite: $$ \ int xe ^ x dx = xe ^ x - \ int e ^ x dx = xe ^ x - e ^ x + C $$ Jei negalite išspręsti savo problemos, atsiųskite ją mums. Pateiksime išsamų sprendimą. Galėsite susipažinti su skaičiavimo eiga ir gauti informacijos. Tai padės jums laiku gauti kreditą iš savo mokytojo!

Atsakymas

$$ \ int xe ^ x dx = xe ^ x - e ^ x + C $$

4 pavyzdys

Įvertinti integralą $ \ int \ limits_0 ^ 1 (x + 5) 3 ^ x dx $

Sprendimas

Analogiškai su ankstesniais išspręstais pavyzdžiais išsiaiškinsime, kurią funkciją be problemų integruoti, kurią atskirti. Atkreipkite dėmesį, kad jei atskirsime $ (x + 5) $, tada ši išraiška bus automatiškai konvertuojama į vieną, o tai mums bus naudinga. Todėl mes darome taip: $$ u = x + 5 \ rodyklė dešinėn du = dx, dv = 3 ^ x dx \ rodyklė dešinėn v = \ frac (3 ^ x) (ln3) $$ Dabar visos nežinomos funkcijos buvo rastos ir jas galima sudėti į antrąją integravimo formulę dalimis apibrėžtam integralui. $$ \ int \ limits_0 ^ 1 (x + 5) 3 ^ x dx = (x + 5) \ frac (3 ^ x) (\ ln 3) \ bigg | _0 ^ 1 - \ int \ limits_0 ^ 1 \ frac (3 ^ x dx) (\ ln 3) = $$ $$ = \ frac (18) (\ ln 3) - \ frac (5) (\ ln 3) - \ frac (3 ^ x) (\ ln ^ 2 3) \ bigg | _0 ^ 1 = \ frac (13) (\ ln 3) - \ frac (3) (\ ln ^ 2 3) + \ frac (1) (\ ln ^ 2 3) = \ frac (13) (\ ln 3 ) - \ frac (4) (\ ln ^ 2 3) $$

Atsakymas

$$ \ int \ limits_0 ^ 1 (x + 5) 3 ^ x dx = \ frac (13) (\ ln 3) - \ frac (4) (\ ln ^ 2 3) $$

Sudėtingi integralai

Šis straipsnis užbaigia neapibrėžtų integralų temą ir apima integralus, kurie man atrodo gana sudėtingi. Pamoka buvo sukurta ne kartą paprašius lankytojų, kurie išreiškė pageidavimą, kad svetainėje būtų analizuojami ir sunkesni pavyzdžiai.

Daroma prielaida, kad šio teksto skaitytojas yra gerai pasiruošęs ir žino, kaip taikyti pagrindinius integravimo būdus. Manekenai ir žmonės, kurie nelabai pasitiki integralais, turėtų kreiptis į pačią pirmąją pamoką - Neapibrėžtas integralas. Sprendimų pavyzdžiai, kur temą galite įsisavinti praktiškai nuo nulio. Labiau patyrę studentai gali susipažinti su integravimo technikomis ir metodais, su kuriais dar nebuvo susidurta mano straipsniuose.

Kokie integralai bus svarstomi?

Pirmiausia apsvarstysime integralus su šaknimis, kurių sprendimui mes nuosekliai naudojame kintamasis pakeitimas ir integravimas dalimis... Tai yra, viename pavyzdyje vienu metu derinami du būdai. Ir dar daugiau.

Tada susipažinsime su įdomiu ir originaliu integralo redukavimo į save metodą... Taip išsprendžiama ne tiek ir mažai integralų.

Trečiasis programos numeris atiteks sudėtingų trupmenų integralams, kurie ankstesniuose straipsniuose praskriejo pro kasas.

Ketvirta, bus analizuojami papildomi trigonometrinių funkcijų integralai. Visų pirma, yra metodų, kuriais išvengiama daug laiko reikalaujančio universalaus trigonometrinio pakeitimo.

(2) Integrande dalijame skaitiklį iš vardiklio termino.

(3) Mes naudojame neapibrėžto integralo tiesiškumo savybę. Paskutiniame integralu iš karto funkciją perkeliame po diferencialiniu ženklu.

(4) Paimkite likusius integralus. Atminkite, kad logaritme galima naudoti skliaustus, o ne modulį, nes.

(5) Atliekame atvirkštinį pakeitimą, išreikšdami tiesioginį pakeitimą „te“:

Mazochistiniai studentai gali atskirti atsakymą ir gauti pradinį integrandą, kaip ką tik padariau aš. Ne, ne, aš patikrinau teisinga prasme =)

Kaip matote, sprendimo eigoje teko panaudoti net daugiau nei du sprendimo būdus, taigi, norint susidoroti su tokiais integralais, reikalingi pasitikintys integravimo įgūdžiai ir ne mažiausia patirtis.

Praktiškai, žinoma, kvadratinė šaknis yra labiau paplitusi, čia yra trys nepriklausomo sprendimo pavyzdžiai:

2 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą

3 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą

4 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą

Šie pavyzdžiai yra to paties tipo, todėl visas sprendimas straipsnio pabaigoje bus skirtas tik 2 pavyzdžiui, 3-4 pavyzdžiuose – vienas atsakymas. Kurį pakaitalą naudoti sprendimų pradžioje, manau, akivaizdu. Kodėl pasirinkau to paties tipo pavyzdžius? Jie dažnai susitinka savo vaidmenyje. Dažniau galbūt tiesiog kažkas panašaus .

Tačiau ne visada, kai tiesinės funkcijos šaknis randama pagal arctangento, sinuso, kosinuso, eksponento ir kitas funkcijas, vienu metu reikia taikyti kelis metodus. Daugeliu atvejų galima „lengvai nulipti“, tai yra iškart po pakeitimo gaunamas paprastas integralas, kurį galima paimti elementariai. Lengviausia iš aukščiau pasiūlytų užduočių yra 4 pavyzdys, kuriame pakeitus gaunamas gana paprastas integralas.

Sumažinant integralą į save

Išradingas ir gražus metodas. Iš karto pažvelkime į žanro klasiką:

5 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą

Po šaknimi yra kvadratinis dvinaris, o bandant integruoti šį pavyzdį, virdulys gali kentėti valandas. Toks integralas imamas po gabalo ir redukuojasi į save. Iš principo nėra sunku. Jei žinai kaip.

Pažymėkime nagrinėjamą integralą lotyniška raide ir pradėkime sprendimą:

Integruojame gabalas po gabalo:

(1) Paruoškite integrando funkciją terminų padalijimui.

(2) Integrandą padalijame iš termino. Galbūt ne visi supranta, parašysiu plačiau:

(3) Mes naudojame neapibrėžto integralo tiesiškumo savybę.

(4) Paimkite paskutinį integralą („ilgasis“ logaritmas).

Dabar žiūrime į pačią sprendimo pradžią:

Ir pabaigai:

Kas nutiko? Dėl mūsų manipuliacijų integralas sumažėjo iki savęs!

Sulyginkime pradžią ir pabaigą:

Pakeisdami ženklą pereikite į kairę:

Ir mes nešame dvikovą į dešinę pusę. Kaip rezultatas:

Konstanta, griežtai tariant, turėjo būti pridėta anksčiau, bet pridėta pabaigoje. Labai rekomenduoju perskaityti, kas čia griežta:

Pastaba: Tiksliau, galutinis sprendimo etapas atrodo taip:

Taigi:

Konstantą galima pakeisti kaip. Kodėl galite paskirti iš naujo? Nes vis tiek priima bet koks reikšmės, ir šia prasme nėra skirtumo tarp konstantų ir.
Kaip rezultatas:

Panašus nuolatinio pertvarkymo triukas yra plačiai naudojamas diferencialines lygtis... O ten aš būsiu griežtas. O štai tokią laisvę aš leidžiu tik tam, kad nesupainiočiau jūsų su nereikalingais dalykais ir susikoncentruotumėte į patį integracijos metodą.

6 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą

Kitas tipiškas nepriklausomo sprendimo integralas. Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje. Skirtumas nuo atsakymo iš ankstesnio pavyzdžio bus toks!

Jei po kvadratine šaknimi yra kvadratinis trinaris, sprendimas bet kuriuo atveju sumažinamas iki dviejų analizuotų pavyzdžių.

Pavyzdžiui, apsvarstykite integralą ... Viskas, ką jums reikia padaryti, tai iš anksto pasirinkite visą kvadratą:
.
Be to, atliekamas linijinis pakeitimas, kurio atsisakoma „be jokių pasekmių“:
, todėl gaunamas integralas. Kažkas pažįstamo, tiesa?

Arba toks pavyzdys su kvadratiniu dvejetainiu:
Pasirinkite visą kvadratą:
Ir po tiesinio pakeitimo gauname integralą, kuris taip pat išsprendžiamas pagal jau svarstytą algoritmą.

Apsvarstykite dar du tipinius pavyzdžius, kaip sumažinti integralą į save:
- eksponento integralas, padaugintas iš sinuso;
Ar eksponento integralas, padaugintas iš kosinuso.

Išvardytuose integraluose pagal dalis turėsime integruoti jau du kartus:

7 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą

Integrandas yra eksponentas, padaugintas iš sinuso.

Integruojame dalimis du kartus ir integralą sumažiname į save:

Dėl dvigubo integravimo dalimis integralas redukuojamas į save. Sulyginkime sprendimo pradžią ir pabaigą:

Pakeisdami ženklą pereikite į kairę ir išreikškite mūsų integralą:

Paruošta. Pakeliui patartina šukuoti dešinįjį šoną, t.y. padėkite eksponentą už skliaustų, o skliaustuose sudėliokite sinusą ir kosinusą „gražia“ tvarka.

Dabar grįžkime į pavyzdžio pradžią arba, tiksliau, prie integravimo dalimis:

Nes mes paskyrėme parodos dalyvį. Kyla klausimas, ar tiksliai rodiklis visada turi būti žymimas? Nereikalinga. Tiesą sakant, laikomame integralu iš esmės Nesvarbu, ką žymėti, buvo galima eiti kitu keliu:

Kodėl tai įmanoma? Kadangi eksponentas virsta savimi (ir diferencijuojant, ir integruojant), sinusas ir kosinusas tarpusavyje transformuojasi vienas į kitą (vėlgi – tiek diferencijuojant, tiek integruojant).

Tai reiškia, kad taip pat galite nurodyti trigonometrinę funkciją. Tačiau nagrinėjamame pavyzdyje tai yra mažiau racionalu, nes atsiras trupmenos. Jei norite, galite pabandyti išspręsti šį pavyzdį antruoju būdu, atsakymai turi būti vienodi.

8 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą

Tai yra „pasidaryk pats“ sprendimo pavyzdys. Prieš priimdami sprendimą, pagalvokite, ką šiuo atveju naudingiau priskirti eksponentei ar trigonometrinei funkcijai? Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Ir, žinoma, atminkite, kad daugumą šios pamokos atsakymų yra pakankamai lengva atskirti!

Pavyzdžiai nebuvo laikomi pačiais sunkiausiais. Praktikoje labiau paplitę integralai, kur konstanta yra ir eksponente, ir trigonometrinės funkcijos argumente, pavyzdžiui:. Daugeliui žmonių teks pasiklysti tokiame integrale, o aš pats dažnai susipainioju. Faktas yra tas, kad yra didelė tikimybė, kad tirpale atsiras frakcijos, ir labai lengva ką nors prarasti dėl neatidumo. Be to, yra didelė ženklų klaidų tikimybė, atkreipkite dėmesį, kad rodiklis turi minuso ženklą, o tai sukelia papildomų sunkumų.

Paskutiniame etape dažnai pasirodo taip:

Net sprendimo pabaigoje turėtumėte būti ypač atsargūs ir kompetentingai elgtis su trupmenomis:

Sudėtinių frakcijų integravimas

Mes pamažu artėjame prie pamokos pusiaujo ir pradedame svarstyti trupmenų integralus. Vėlgi, ne visi jie yra labai sudėtingi, tiesiog dėl vienokių ar kitokių priežasčių pavyzdžiai buvo šiek tiek „ne į temą“ kituose straipsniuose.

Tęsiant šaknų temą

9 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą

Vardiklyje po šaknimi yra kvadratinis trinaris plius už šaknies „priedas“ „x“ forma. Tokio tipo integralas išsprendžiamas naudojant standartinį pakaitalą.

Mes nusprendžiame:

Pakeitimas paprastas:

Mes žiūrime į gyvenimą po pakeitimo:

(1) Po pakeitimo terminus, esančius šaknyje, sujungiame į bendrą vardiklį.
(2) Išimame iš po šaknies.
(3) Sumažinkite skaitiklį ir vardiklį. Tuo pačiu metu pagal šaknį pertvarkiau sąlygas patogia tvarka. Turint tam tikrą patirtį, žingsnius (1), (2) galima praleisti, atliekant komentuojamus veiksmus žodžiu.
(4) Gautas integralas, kaip prisimenate iš pamokos Kai kurių trupmenų integravimas, išspręsta viso kvadrato parinkimo būdu... Pasirinkite visą kvadratą.
(5) Integracija gauname įprastą "ilgą" logaritmą.
(6) Atliekame atvirkštinį pakeitimą. Jei iš pradžių, tada atgal:.
(7) Galutinis veiksmas nukreiptas į rezultato šukuoseną: po šaknimi vėl sujungiame terminus į bendrą vardiklį ir išimame juos iš po šaknies.

10 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą

Tai yra „pasidaryk pats“ sprendimo pavyzdys. Čia prie vienišo X buvo pridėta konstanta, o pakeitimas beveik toks pat:

Vienintelis dalykas, kurį reikia padaryti papildomai, yra išreikšti „x“ iš pakeitimo:

Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Kartais tokiame integrale po šaknimi gali būti kvadratinis dvinaris, tai sprendimo nekeičia, bus dar paprasčiau. Jausti skirtumą:

11 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą

12 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą

Trumpi sprendimai ir atsakymai pamokos pabaigoje. Reikėtų pažymėti, kad 11 pavyzdys yra būtent toks dvinario integralo, kurio sprendimo būdas buvo aptartas pamokoje Iracionaliųjų funkcijų integralai.

Neskaidomo 2 laipsnio daugianario integralas laipsniais

(polinomas vardiklyje)

Retesnė, bet vis dėlto praktiniuose pavyzdžiuose sutinkama integralo forma.

13 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą

Bet grįžkime prie pavyzdžio su laimingu numeriu 13 (tiesą pasakius, aš neatspėjau teisingai). Šis integralas taip pat yra iš tų, su kuriais galite labai kankintis, jei nežinote, kaip tai išspręsti.

Sprendimas prasideda dirbtine transformacija:

Manau, visi jau supranta, kaip dalyti skaitiklį iš vardiklio termino iš termino.

Gautas integralas paimamas po gabalo:

Formos integralui (yra natūralusis skaičius), pasikartojantis Laipsnio mažinimo formulė:
, kur - laipsniu žemesnis integralas.

Patikrinkime šios formulės pagrįstumą išspręstam integralui.
Šiuo atveju:,, naudojame formulę:

Kaip matote, atsakymai yra tie patys.

14 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą

Tai yra „pasidaryk pats“ sprendimo pavyzdys. Mėginio tirpalui du kartus iš eilės naudojama aukščiau pateikta formulė.

Jei pagal laipsnį yra nesuyrantis kvadratinis trinalis, tada sprendimas sumažinamas iki dvejetainio, pasirenkant visą kvadratą, pavyzdžiui:

Ką daryti, jei skaitiklyje yra papildomas daugianomas? Šiuo atveju naudojamas neapibrėžtų koeficientų metodas, o integrandas išplečiamas į trupmenų sumą. Bet mano praktikoje toks pavyzdys niekada nesusitiko, todėl šį atvejį straipsnyje praleidau Trupmeninės racionalios funkcijos integralai, dabar praleisiu. Jei toks integralas vis tiek pasitaiko, žiūrėkite vadovėlį – ten viskas paprasta. Nemanau, kad tikslinga įtraukti medžiagos (net ir paprastos), su kuria susitikimo tikimybė linkusi į nulį.

Sudėtingų trigonometrinių funkcijų integravimas

Daugumoje pavyzdžių būdvardis „sunku“ vėlgi yra sąlyginis. Pradėkime nuo liestinių ir kotangentų dideliais laipsniais. Kalbant apie liestinės ir kotangento sprendimo metodus, jie yra beveik vienodi, todėl daugiau kalbėsiu apie liestinę, o tai reiškia, kad parodytas integralo sprendimo būdas galioja ir kotangentui.

Aukščiau pateiktoje pamokoje mes apžvelgėme universalus trigonometrinis pakeitimas tam tikros rūšies trigonometrinių funkcijų integralams išspręsti. Universalaus trigonometrinio pakeitimo trūkumas yra tas, kad jį naudojant dažnai iškyla sudėtingi integralai su sunkiais skaičiavimais. Ir kai kuriais atvejais galima išvengti universalaus trigonometrinio pakeitimo!

Apsvarstykite kitą kanoninį pavyzdį, vienybės integralą, padalytą iš sinuso:

17 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą

Čia galite naudoti bendrąjį trigonometrinį pakeitimą ir gauti atsakymą, tačiau yra racionalesnis būdas. Pateiksiu išsamų sprendimą su komentarais kiekvienam žingsniui:

(1) Mes naudojame dvigubo kampo sinuso trigonometrinę formulę.
(2) Atliekame dirbtinę transformaciją: vardiklyje padalinkite ir padauginkite iš.
(3) Pagal gerai žinomą vardiklyje esančią formulę trupmeną transformuojame į liestinę.
(4) Pažymime funkciją po diferencialo ženklu.
(5) Paimkite integralą.

Keletas paprastų nepriklausomo sprendimo pavyzdžių:

18 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą

Pastaba: pats pirmasis žingsnis yra naudoti liejimo formulę ir atsargiai atlikite veiksmus, panašius į ankstesnį pavyzdį.

19 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą

Na, tai labai paprastas pavyzdys.

Užbaigti sprendimai ir atsakymai pamokos pabaigoje.

Manau, kad dabar niekas neturės problemų su integralais:
ir tt

Kokia metodo idėja? Idėja yra sutvarkyti tik liestinės ir liestinės išvestinę integrande naudojant transformacijas, trigonometrines formules. Tai yra, mes kalbame apie pakeitimą: ... 17–19 pavyzdžiuose iš tikrųjų taikėme šį pakeitimą, tačiau integralai buvo tokie paprasti, kad reikalas buvo sprendžiamas lygiaverčiu veiksmu – funkcijai priskirti diferencialinį ženklą.

Panašus samprotavimas, kaip jau minėjau, gali būti atliktas ir kotangentui.

Taip pat yra formali būtina sąlyga, norint taikyti pirmiau nurodytą pakeitimą:

Kosinuso ir sinuso laipsnių suma yra neigiamas sveikasis skaičius LYGINIS skaičius, pavyzdžiui:

integralui – neigiamas sveikasis LYGINIS skaičius.

! Pastaba : jei integralas turi TIK sinusą arba TIK kosinusą, tai integralas taip pat imamas neigiamam nelyginiam laipsniui (paprasčiausi atvejai yra pavyzdžiuose Nr. 17, 18).

Apsvarstykite keletą prasmingesnių šios taisyklės užduočių:

20 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą

Sinuso ir kosinuso laipsnių suma: 2 - 6 = –4 yra neigiamas sveikasis skaičius LYGINIS skaičius, o tai reiškia, kad integralas gali būti sumažintas iki liestinių ir jo išvestinės:

(1) Pakeiskite vardiklį.
(2) Pagal gerai žinomą formulę gauname.
(3) Pakeiskite vardiklį.
(4) Mes naudojame formulę .
(5) Pažymime funkciją po diferencialo ženklu.
(6) Mes atliekame pakeitimą. Labiau patyrę studentai gali neatlikti keitimo, tačiau liestinę vis tiek geriau pakeisti viena raide – mažesnė rizika supainioti.

21 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą

Tai yra „pasidaryk pats“ sprendimo pavyzdys.

Laikykitės, čempionų turai prasideda =)

Dažnai integrande yra „dėmėsis“:

22 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą

Šis integralas iš pradžių turi liestinę, kuri iš karto sukelia jau pažįstamą mintį:

Dirbtinė transformacija pačioje pradžioje ir likusius žingsnius paliksiu be komentarų, nes viskas jau buvo pasakyta aukščiau.

Keletas kūrybingų savarankiško sprendimo pavyzdžių:

23 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą

24 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą

Taip, juose, žinoma, galite sumažinti sinuso, kosinuso laipsnius, naudoti universalų trigonometrinį pakaitalą, tačiau sprendimas bus daug efektyvesnis ir trumpesnis, jei jis bus atliktas per liestinę. Visas sprendimas ir atsakymai pamokos pabaigoje

Kas yra integracija dalimis? Norėdami įvaldyti tokio tipo integraciją, pirmiausia prisiminkime produkto išvestinį:

$ ((\ left (f \ cdot g \ right)) ^ (\ prime)) = (f) "\ cdot g + f \ cdot (g)" $

Kyla klausimas: ką su tuo turi integralai? Dabar integruokime abi šios lygties puses. Taigi mes užrašysime:

$ \ int (((\ left (f \ cdot g \ right)) ^ (\ prime)) \ text (d) x =) \ int ((f) "\ cdot g \, \ text (d) x + \ int (f \ cdot (g) "\, \ text (d) x)) $

Bet kas yra insulto primityvus? Tai tik pati funkcija, kuri yra smūgio viduje. Taigi mes užrašysime:

$ f \ cdot g = \ int ((f) "\ cdot g \, \ text (d) x + \ int (f \ cdot (g)" \, \ text (d) x)) $

Šioje lygtyje siūlau išreikšti terminą. Mes turime:

$ \ int ((f) "\ cdot g \, \ text (d) x = f \ cdot g- \ int (f \ cdot (g)" \, \ text (d) x)) $

Štai kas yra integravimas pagal dalių formulę... Taigi, mes iš esmės keičiame išvestinę ir funkciją. Jei iš pradžių mes pirminio integralą padauginome iš kažko, tada gauname naujo kažko integralą, padaugintą iš pirminio. Tai visa taisyklė. Iš pirmo žvilgsnio ši formulė gali atrodyti sudėtinga ir beprasmė, tačiau iš tikrųjų ji gali labai supaprastinti skaičiavimus. Pažiūrėkime.

Integralų skaičiavimo pavyzdžiai

1 uždavinys. Apskaičiuokite:

\ [\ int (\ ln x \, \ text (d) x) \] \ [\]

Perrašykime išraišką pridėdami prieš logaritmą 1:

\ [\ int (\ ln x \, \ text (d) x) = \ int (1 \ cdot \ ln x \, \ text (d) x) \]

Turime teisę tai padaryti, nes nei numeris, nei funkcija nepasikeis. Dabar palyginkime šią išraišką su tuo, ką parašėme formulėje. $ (f) "$ vaidmuo yra 1, todėl parašykime:

$ \ pradžia (lygiuoti) & (f) "= 1 \ Rodyklė dešinėn f = x \\ & g = \ ln x \ Rodyklė dešinėn (g)" = \ frac (1) (x) \\\ pabaiga (lygiuoti) $

Visos šios funkcijos pateiktos lentelėse. Dabar, kai aprašėme visus elementus, įtrauktus į mūsų išraišką, perrašysime šį integralą pagal integravimo dalimis formulę:

\ [\ pradėti (lygiuoti) & \ int (1 \ cdot \ ln x \, \ text (d) x) = x \ ln x- \ int (x \ cdot \ frac (1) (x) \ tekstas (d ) x) = x \ ln x- \ int (\ tekstas (d) x) = \\ & = x \ ln xx + C = x \ kairė (\ ln x-1 \ dešinė) + C \\\ pabaiga ( lygiuoti) \]

Viskas, integralas rastas.

2 uždavinys. Apskaičiuokite:

$ \ int (x ((\ tekstas (e)) ^ (- x)) \, \ tekstas (d) x = \ int (x \ cdot ((e) ^ (- x)) \, \ tekstas (d ) x)) $

Jei išvestinės, iš kurios dabar reikia rasti antidarinį, vaidmenį imsime $ x $, tada gausime $ ((x) ^ (2)) $, o galutinėje išraiškoje bus $ ((x) ^ (2)) ( (\ tekstas (e)) ^ (- x)) $.

Akivaizdu, kad užduotis nėra supaprastinta, todėl veiksnius pakeisime integralo ženklu:

$ \ int (x \ cdot ((\ tekstas (e)) ^ (- x)) \, \ tekstas (d) x) = \ int (((\ tekstas (e)) ^ (- x)) \ cdot x \, \ tekstas (d) x) $

O dabar pristatome užrašą:

$ (f) "= ((\ tekstas (e)) ^ (- x)) \ Rodyklė dešinėn f = \ int (((\ tekstas (e)) ^ (- x)) \, \ tekstas (d) x) = - ((\ tekstas (e)) ^ (- x)) $

Atskirti $ ((\ text (e)) ^ (- x)) $:

$ ((\ kairėn (((\ text (e)) ^ (- x)) \ dešinėn)) ^ (\ prime)) = ((\ text (e)) ^ (- x)) \ cdot ((\ kairėje (-x \ dešinėje)) ^ (\ pirminis)) = - ((\ tekstas (e)) ^ (- x)) $

Kitaip tariant, pirmiausia pridedamas minusas, o tada integruojamos abi pusės:

\ [\ pradėti (lygiuoti) & ((\ kairėn (((\ tekstas (e)) ^ (- x)) \ dešinėje)) ^ (\ pirminis)) = - ((\ tekstas (e)) ^ (- x)) \ Rodyklė dešinėn ((\ tekstas (e)) ^ (- x)) = - ((\ kairėn (((\ tekstas (e)) ^ (- x)) \ dešinėn)) ^ (\ pirminis)) \\ & \ int (((\ text (e)) ^ (- x)) \, \ text (d) x) = - \ int (((\ left (((\ text (e))) ^ (-) x)) \ dešinėje)) ^ (\ pirminis)) \ tekstas (d) x) = - ((\ tekstas (e)) ^ (- x)) + C \\\ pabaiga (lygiuoti) \]

Dabar panagrinėkime funkciją $ g $:

$ g = x \ Rodyklė dešinėn (g) "= 1 $

Mes laikome integralą:

$ \ pradėti (lygiuoti) & \ int (((\ text (e)) ^ (- x)) \ cdot x \, \ text (d) x) = x \ cdot \ left (- ((\ text (e)) )) ^ (- x)) \ dešinė) - \ int (\ kairė (- ((\ tekstas (e))) ^ (- x)) \ dešinė) \ cdot 1 \ cdot \ text (d) x) = \ \ & = -x ((\ tekstas (e)) ^ (- x)) + \ int (((\ tekstas (e)) ^ (- x)) \, \ tekstas (d) x) = - x ( (\ tekstas (e)) ^ (- x)) - ((\ tekstas (e)) ^ (- x)) + C = - ((\ tekstas (e)) ^ (- x)) \ kairėje (x) +1 \ dešinėn) + C \\\ pabaiga (lygiuoti) $

Taigi, atlikome antrąjį integravimą dalimis.

3 uždavinys. Apskaičiuokite:

$ \ int (x \ cos 3x \, \ text (d) x) $

Šiuo atveju ką paimti už $ (f) "$ ir ką už $ g $? Jei $ x $ yra išvestinė, tai integruojant bus $ \ frac (((x) ^ (2))) ( 2 ) $, o pirmasis veiksnys niekur nedings - bus $ \ frac (((x) ^ (2))) (2) \ cdot \ cos 3x $. Todėl dar kartą pakeisime daugiklius:

$ \ pradėti (lygiuoti) & \ int (x \ cos 3x \, \ text (d) x) = \ int (\ cos 3x \ cdot x \, \ text (d) x) \\ & (f) "= \ cos 3x \ Rodyklė dešinėn f = \ int (\ cos 3x \, \ text (d) x) = \ frac (\ sin 3x) (3) \\ & g = x \ Rodyklė dešinėn (g) "= 1 \\\ pabaiga (lygiuoti) $

Perrašome pradinę išraišką ir išplečiame ją dalimis pagal integravimo formulę:

\ [\ pradėti (lygiuoti) & \ int (\ cos 3x \ cdot x \ \ text (d) x) = \ frac (\ sin 3x) (3) \ cdot x- \ int (\ frac (\ sin 3x) (3) \ text (d) x) = \\ & = \ frac (x \ sin 3x) (3) - \ frac (1) (3) \ int (\ sin 3x \, \ text (d) x) = \ frac (x \ sin 3x) (3) + \ frac (\ cos 3x) (9) + C \\\ pabaiga (lygiuoti) \]

Tai štai, trečia problema išspręsta.

Baigdamas dar kartą pažvelk į integravimas pagal dalių formulę... Kaip atrenkame, kuris veiksnys bus išvestinė, o kuris – tikroji funkcija? Čia yra tik vienas kriterijus: elementas, kurį išskirsime, turi arba suteikti „gražią“ išraišką, kuri vėliau bus sumažinta, arba diferencijuojant visai išnykti. Tuo pamoka baigiama.

Integravimas dalimis. Sprendimų pavyzdžiai

Labas dar kartą. Šiandien pamokoje išmoksime integruoti po gabalėlį. Integravimas dalimis yra vienas iš integralinio skaičiavimo kertinių akmenų. Testo, egzamino metu studento beveik visada prašoma išspręsti šių tipų integralus: paprasčiausias integralas (žr. straipsnį) arba kintamojo kaitos integralas (žr. straipsnį) arba integralas tiesiog įjungtas integravimo dalimis metodas.

Kaip visada, po ranka turėtumėte turėti: Integruotas stalas ir Išvestinių priemonių lentelė... Jei vis dar jų neturite, apsilankykite mano svetainės sandėlyje: Matematinės formulės ir lentelės... Nepavargsiu kartoti – geriau viską atspausdinti. Visą medžiagą stengsiuosi pateikti nuosekliai, paprastai ir lengvai, ypatingų sunkumų integruojant dalimis nėra.

Kokią problemą išsprendžia integravimo dalimis metodas? Integravimo dalimis metodas išsprendžia labai svarbią problemą, leidžia integruoti kai kurias funkcijas, kurių lentelėje nėra, dirbti funkcijos, o kai kuriais atvejais – ir koeficientas. Kaip prisimename, nėra patogios formulės: ... Bet yra štai kas: - dalių integravimo asmeniškai formulė. Žinau, žinau, tu viena - dirbsime su ja visą pamoką (taip jau lengviau).

Ir iškart sąrašas studijoje. Šių tipų integralai paimami dalimis:

1) , , - logaritmas, logaritmas, padaugintas iš kokio nors daugianario.

2) ,- eksponentinė funkcija, padauginta iš kokio nors daugianario. Tai taip pat gali apimti integralus, tokius kaip - eksponentinė funkcija, padauginta iš daugianario, tačiau praktiškai procentas yra kaip 97, po integralu yra graži raidė "e". ... straipsnis pasirodo kažkoks lyriškas, o taip ... atėjo pavasaris.

3) , , - trigonometrinės funkcijos, padaugintos iš kurio nors daugianario.

4), - atvirkštinės trigonometrinės funkcijos ("arkos"), "arkos", padaugintos iš kurio nors daugianario.

Be to, kai kurios trupmenos imamos dalimis, taip pat išsamiai apsvarstysime atitinkamus pavyzdžius.

Logaritmų integralai

1 pavyzdys

Klasika. Kartkartėmis šį integralą galima rasti lentelėse, tačiau nepageidautina naudoti paruoštą atsakymą, nes mokytojui pavasarį trūksta vitaminų ir jis stipriai prisiekia. Kadangi nagrinėjamas integralas jokiu būdu nėra lentelės formos – jis imamas gabalėliu. Mes nusprendžiame:

Pertraukiame sprendimą dėl tarpinių paaiškinimų.

Integravimui pagal dalis naudojame formulę:

Formulė taikoma iš kairės į dešinę

Mes žiūrime į kairę pusę:. Akivaizdu, kad mūsų pavyzdyje (ir visuose kituose, kuriuos svarstysime) reikia ką nors pažymėti ir kažką.

Nagrinėjamo tipo integraluose logaritmas visada žymimas.

Techniškai sprendimo dizainas įgyvendinamas taip, stulpelyje rašome:

Tai reiškia, kad mes pažymėjome logaritmą, o už - likusią dalį integrando išraiška.

Kitas žingsnis: raskite skirtumą:

Skirtumas beveik toks pat kaip ir išvestinė, kaip jį rasti, jau analizavome ankstesnėse pamokose.

Dabar randame funkciją. Norint rasti funkciją, būtina integruoti dešinioji pusė mažesnė lygybė:

Dabar atidarome savo sprendimą ir sukuriame dešinę formulės pusę:.
Beje, čia yra švaraus tirpalo pavyzdys su keliomis pastabomis:

Vienintelį momentą sandaugoje iš karto persirikiavau vietomis ir, kadangi įprasta daugiklį rašyti prieš logaritmą.

Kaip matote, integravimo pagal dalis formulės taikymas iš tikrųjų sumažino mūsų sprendimą iki dviejų paprastų integralų.

Atkreipkite dėmesį, kad kai kuriais atvejais iš karto po Taikant formulę, pagal likusį integralą būtinai atliekamas supaprastinimas - nagrinėjamame pavyzdyje integrandą sumažinome "x".

Patikrinkime. Norėdami tai padaryti, turite paimti atsakymo išvestinę:

Gaunamas pradinis integralas, o tai reiškia, kad integralas išspręstas teisingai.

Patikrinimo metu naudojome produktų diferencijavimo taisyklę: ... Ir tai nėra atsitiktinumas.

Integravimas pagal dalių formulę ir formulė Yra dvi tarpusavyje atvirkštinės taisyklės.

2 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą.

Integrandas yra logaritmo sandauga iš daugianario.
Mes nusprendžiame.

Dar kartą išsamiai aprašysiu taisyklės taikymo tvarką, ateityje pavyzdžiai bus pateikti glausčiau, o jei kiltų kokių sunkumų apsispręsti, teks grįžti prie pirmųjų dviejų pavyzdžių. pamoka.

Kaip jau minėta, reikia nurodyti logaritmą (tai, kad jis yra valdžioje, nesvarbu). Už žymėti likusią dalį integrando išraiška.

Stulpelyje rašome:

Pirmiausia randame skirtumą:

Čia naudojama sudėtingos funkcijos diferenciacijos taisyklė ... Neatsitiktinai, pačioje pirmoje temos pamokoje Neapibrėžtas integralas. Sprendimų pavyzdžiai Atkreipiau dėmesį į tai, kad norint įvaldyti integralus, reikia „susivaldyti“ išvestinius. Su išvestinėmis priemonėmis teks susidoroti ne vieną kartą.

Dabar randame funkciją, kurią integruojame dešinioji pusė mažesnė lygybė:

Integravimui taikėme paprasčiausią lentelių formulę

Dabar viskas paruošta taikyti formulę. ... Atidarykite jį žvaigždute ir „sukonstruokite“ sprendimą pagal dešinę pusę:

Pagal integralą vėl turime logaritmo daugianarį! Todėl sprendimas vėl nutraukiamas ir integravimo dalimis taisyklė taikoma antrą kartą. Nepamirškite, kad panašiose situacijose logaritmas visada žymimas.

Būtų gerai, jei šiuo metu žodžiu rastumėte paprasčiausius integralus ir išvestinius.

(1) Nepainiokite ženklų! Labai dažnai jie čia praranda minusą, taip pat atkreipkite dėmesį, kad minusas reiškia visiems skliausteliuose , ir šiuos skliaustus reikia teisingai išplėsti.

(2) Išplėskite skliaustus. Supaprastiname paskutinį integralą.

(3) Imame paskutinį integralą.

(4) „Sušukuoti“ atsakymą.

Poreikis taikyti integravimo dalimis taisyklę du kartus (ar net tris kartus) nėra toks retas.

O dabar keli nepriklausomo sprendimo pavyzdžiai:

3 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą.

Šis pavyzdys išspręstas pakeitus kintamąjį (arba sumuojant po diferencialo ženklu)! O kodėl gi ne – galite pabandyti paimti dalimis, gausite juokingą dalyką.

4 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą.

Tačiau šis integralas yra integruotas dalimis (žadėtoji trupmena).

Tai savipagalbos pavyzdžiai, sprendimai ir atsakymai pamokos pabaigoje.

Atrodo, kad 3,4 pavyzdžiuose integrandai yra panašūs, tačiau sprendimo būdai skiriasi! Tai yra pagrindinis integralų įsisavinimo sunkumas - jei pasirinksite netinkamą integralo sprendimo metodą, galite su juo valytis valandas, kaip su tikru galvosūkiu. Todėl kuo daugiau spręsite įvairius integralus, tuo geriau, tuo lengviau bus išlaikytas testas ir egzaminas. Be to, antrame kurse bus diferencialinės lygtys, o be integralų ir išvestinių sprendimo patirties ten nėra ką veikti.

Kalbant apie logaritmus, galbūt daugiau nei pakankamai. Užkandžiui taip pat galiu prisiminti, kad technologijų studentai vadina moteriškas krūtis =). Beje, pravartu mintinai žinoti pagrindinių elementariųjų funkcijų grafikus: sinuso, kosinuso, arctangento, eksponento, trečio, ketvirto laipsnio daugianario ir kt. Ne, žinoma, prezervatyvas pasaulyje
Neištempsiu, bet dabar daug ką prisiminsite iš skyriaus Grafikai ir funkcijos =).

Rodiklio integralai, padauginti iš daugianario

Pagrindinė taisyklė:

5 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą.

Naudodami pažįstamą algoritmą integruojame dalimis:

Jei kyla sunkumų dėl integralo, turėtumėte grįžti prie straipsnio Kintamojo keitimo metodas neapibrėžtame integrelyje.

Vienintelis kitas dalykas, kurį galite padaryti, tai šukuoti atsakymą:

Bet jei jūsų skaičiavimo technika nėra labai gera, tada pelningiausias pasirinkimas yra palikti atsakymą ar net

Tai yra, pavyzdys laikomas išspręstu, kai imamas paskutinis integralas. Tai nebus klaida, kitas reikalas, kad mokytojas gali paprašyti supaprastinti atsakymą.

6 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą.

Tai yra „pasidaryk pats“ sprendimo pavyzdys. Šis integralas integruojamas dalimis du kartus. Ypatingas dėmesys turėtų būti skiriamas ženklams – čia juose lengva susipainioti, taip pat prisimename, kad tai sudėtinga funkcija.

Daugiau apie parodos dalyvį nėra ką pasakyti. Galiu tik pridurti, kad eksponentas ir natūralusis logaritmas yra abipusiai atvirkštinės funkcijos, tai aš į linksmų aukštosios matematikos grafikų temą =) Stop-stop, nesijaudink, dėstytojas blaivus.

Trigonometrinių funkcijų integralai, padauginti iš daugianario

Pagrindinė taisyklė: nes visada žymi daugianarį

7 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą.

Integruojame gabalas po gabalo:

Hmmm... ir nėra ką komentuoti.

8 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą

Tai yra „pasidaryk pats“ sprendimo pavyzdys

9 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą

Kitas pavyzdys su trupmena. Kaip ir dviejuose ankstesniuose pavyzdžiuose, žymimas daugianomas.

Integruojame gabalas po gabalo:

Jei kyla sunkumų ar nesusipratimų ieškant integralo, rekomenduoju apsilankyti pamokoje Trigonometrinių funkcijų integralai.

10 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą

Tai yra „pasidaryk pats“ sprendimo pavyzdys.

Patarimas: prieš naudodami integravimo dalimis metodą, turėtumėte pritaikyti kokią nors trigonometrinę formulę, kuri paverčia dviejų trigonometrinių funkcijų sandaugą į vieną funkciją. Formulė gali būti naudojama ir taikant integravimo dalimis metodą, nes taip patogiau bet kam.

Ko gero, visa tai šioje pastraipoje. Kažkodėl prisiminiau eilutę iš fizikos ir matematikos himno „Banga po bangos eina sinuso grafiko abscisėmis“...

Atvirkštinių trigonometrinių funkcijų integralai.
Atvirkštinių trigonometrinių funkcijų integralai, padauginti iš daugianario

Pagrindinė taisyklė: nes visada reiškia atvirkštinę trigonometrinę funkciją.

Leiskite jums priminti, kad atvirkštinės trigonometrinės funkcijos apima arcsinusą, atvirkštinį kosinusą, arctangentą ir atvirkštinį kotangentą. Trumpumo dėlei juos pavadinsiu „arkomis“

Integravimo pagal dalis formulė yra tokia:
.

Integravimo dalimis metodas yra šios formulės taikymas. Praktikoje reikia pažymėti, kad u ir v yra integravimo kintamojo funkcijos. Integravimo kintamasis žymimas x (simbolis po diferencialo d ženklo integralo gale). Tada u ir v yra x funkcijos: u (x) ir v (x).
Tada
, .
Ir integravimo pagal dalis formulė yra tokia:
.

Tai reiškia, kad integrandą turi sudaryti dviejų funkcijų sandauga:
,
iš kurių vieną žymime u: g (x) = u, o kitas turi skaičiuoti integralą (tiksliau, reikėtų rasti antidarinį):
, tada dv = f (x) dx.

Kai kuriais atvejais f (x) = 1 ... Tai yra, integralu
,
galime įdėti g (x) = u, x = v.

Santrauka

Taigi, taikant šį metodą, reikėtų atsiminti integravimo pagal dalis formulę ir taikyti dviem formomis:
;
.

Integralai, apskaičiuoti integruojant dalimis

Integralai, kuriuose yra logaritmo ir atvirkštinės trigonometrinės (hiperbolinės) funkcijos

Integralai, kuriuose yra logaritmas ir atvirkštinės trigonometrinės arba hiperbolinės funkcijos, dažnai integruojami dalimis. Šiuo atveju dalis, kurioje yra logaritmas arba atvirkštinės trigonometrinės (hiperbolinės) funkcijos, žymima u, likusi dalis – dv.

Štai tokių integralų, kurie apskaičiuojami integravimo dalimis metodu, pavyzdžiai:
, , , , , , .

Integralai, kuriuose yra daugianario sandauga ir sin x, cos x arba e x

Pagal integravimo formulę dalys randamos kaip formos integralai:
, , ,
čia P (x) yra x daugianario. Integruojant daugianomas P (x) žymimas u, o e ax dx, cos ax dx arba nuodėmės kirvis dx- per dv.

Štai tokių integralų pavyzdžiai:
, , .

Integralų skaičiavimo integravimo dalimis metodu pavyzdžiai

Integralų, kuriuose yra logaritmo ir atvirkštinės trigonometrinės funkcijos, pavyzdžiai

Pavyzdys

Apskaičiuokite integralą:

Detalus sprendimas

Čia integrandas turi logaritmą. Pakeitimų darymas
u = ln x,
dv = x 2 dx.
Tada
,
.

Apskaičiuojame likusį integralą:
.
Tada
.
Skaičiavimų pabaigoje būtinai turite pridėti konstantą C, nes neapibrėžtas integralas yra visų antidarinių rinkinys. Jis taip pat gali būti įtrauktas į tarpinius skaičiavimus, tačiau tai tik sujauktų skaičiavimus.

Trumpesnis sprendimas

Galite pateikti sprendimą trumpesniu variantu. Norėdami tai padaryti, jums nereikia keisti u ir v, tačiau galite sugrupuoti veiksnius ir pritaikyti integravimo pagal dalis formulę antroje formoje.

.

Atsakymas

Integralų, kuriuose yra daugianario sandauga ir sin x, cos x arba ex, pavyzdžiai

Pavyzdys

Apskaičiuokite integralą:
.

Sprendimas

Įveskime eksponentą po diferencialo ženklu:
e - x dx = - e - x d (-x) = - d (e - x).

Integruojame dalimis.
.
Taip pat taikome integravimo dalimis metodą.
.
.
.
Pagaliau turime.